2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课件 第11章推理与证明、算法初步与复数 第4讲复数

2
i4n＝1，i4n 1＝i，i4n 2＝－1，i4n 3＝－i(n∈N)．
＋ ＋ ＋
基础诊断
考点突破
课堂总结
1＋3i 【训练2】 (1)(2014· 新课标全国Ⅱ卷) ＝ 1－i A．1＋2i C．1－2i
1＋i 6 (2) 1－i ＋
(
)
B．－1＋2i D．－1－2i
2＋ 3i ＝________. 3－ 2i 1＋3i 1＋3i1＋i －2＋4i 解析 (1) ＝ ＝ 2 ＝－1＋2i. 1－i 1－i1＋i
复平面
示复数的平面叫做复平
除了原点外，虚轴上的点 都表示纯虚数，各象限内 的点都表示虚数
x轴 叫实轴，y轴叫 面，____
虚轴 → 设OZ对应的复数为z＝a
复数的模
→ ＋bi，则向量OZ的长度 叫做复数z＝a＋bi的模
a2＋b2 |z|＝|a＋bi|＝________
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2.复数的几何意义
答案 (1)D (2)0 规律方法 (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式
运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把 i的幂写成最简形式．(2)记住以下结论，可提高运算速度： 1＋i 1－i a＋bi ①(1± i) ＝± 2i；② ＝i；③ ＝－i；④ i ＝b－ai；⑤ 1－i 1＋i
2．两个虚数不能比较大小． 3．注意复数的虚部是指在a＋bi(a，b∈R)中的实数b，即虚部 是一个实数.
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∴a－3＝0，∴a＝3. (2)由已知得3＋bi＝(1－i)(a＋bi)＝a＋bi－ai－bi2＝ (a＋b)＋(b－a)i，
a＋b＝3， 根据复数相等得 b－a＝b， a＝0， 解得 b＝.
∴a＋b＝3.
答案 (1)D (2)3
规律方法 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的 实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处 理．
复数的概念
R，b∈R)的数叫复
a， 数，其中实部为__ b 虚部为___
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔
a＝c且b＝d ____________
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内容
意义 a＋bi与c＋di共轭⇔
备注
共轭复数
a＝c且b＝－d (a，b， _______________
c，d∈R) 建立平面直角坐标系来表 实轴上的点都表示实数；
离，也就是复数对应的向量的模．( √ )
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1 2．(2014· 新课标全国Ⅰ卷)设z＝ ＋i，则|z|＝ 1＋i 1 A．2 3 C． 2
解析 ∴|z|＝
答案 B
(
)
2 B． 2 D．2
1－i 1－i 1 1 1 ∵z＝ ＋i＝ ＋i＝ 2 ＋i＝2＋2i， 1＋i 1＋i1－i
课堂总结
解析
2i1－i 2i (1)i ＋ ＝－i＋ 2 ＝－i＋i－i2＝1，故选D. 1＋i
3
i1＋2 3i 2 21 007 (2)原式＝ ＋ 1＋2 3i 1－i 2 1 007 1 007 4×251＋3 3 ＝i＋ ＝ i ＋ i ＝ i ＋ i ＝ i ＋ i ＝0. －2i
的点位于复平面的
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2－i2 (2)复数z＝ i (i为虚数单位)，则|z|＝
A．25 C．5 B. 41 D. 5
(
)
(
)
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解析 (1)实部为－2，虚部为1的复数为－2＋i，所对应的点位 于复平面的第二象限，故选B. 4－4i－1 3－4i 3－4ii 4＋3i (2)∵z＝ ＝ i ＝ i· i i ＝ －1 ＝－4－3i， ∴|z|＝ －42＋－32＝5.
1 1 2 ＋ 2＝ 2 2
2 2 ，故选B.
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1－i 2 3．(2014· 湖北卷)i为虚数单位， 1＋i ＝
(
)
A．1 C．i
解析
B．－1
1－i 2 －2i 因为 ＝ 2i ＝－1.故选B. 1 ＋ i
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考点二 复数的运算
2i 【例2】 (1)(2014· 安徽卷)设i是虚数单位，复数i ＋ ＝ 1＋i
3
( A．－i C．－1 B．i D．1
)
－2 3＋i 2 2 014 (2) ＋ ＝________. 1 － i 1＋2 3i
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考点突破
＋di≠0)．
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(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有 z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． (3)复数加、减法的几何意义 → → ①复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量 OZ1 ， OZ2 不 → → 共线，则复数z1＋z2是以 OZ1 ， OZ2 为两邻边的平行四边形的对 → 角线OZ所对应的复数． → → → ②复数减法的几何意义：复数z1－z2是 OZ1 － OZ2 ＝ Z2Z1 所对应 的复数．
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[思想方法] 1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方 根．除法实际上是分母实数化的过程． 2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是由它的实部和虚部惟一确定的， 两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的
主要方法．对于一个复数 z ＝a＋bi(a，b∈R)，既要从整体
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解析
(1)设z＝－a＋bi(a，b∈R＋)，则z的共轭复数 z ＝－a－
bi，它的对应点为(－a，－b)，是第三象限的点，故选B. (2)在复平面内，复数z＝a＋bi与点(a，b)一一对应． ∵点(a，b)关于原点对称的点为(－a，－b)，则复数z2＝－2＋ 3i.
答案 (1)B (2)－2＋3i
第4讲 复数
最新考纲 1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条 件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代
数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何
意义．
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知识梳理
1．复数的有关概念
内容
意义 形如________ a＋bi (a∈
备注 若b＝0，则a＋bi为实 数；若a＝0且b≠0， 则a＋bi为纯虚数
的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚 部的角度分解成两部分去认识．
3 ．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法
则，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结 合．
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[易错防范] 1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它
的实部是否有意义．
复数集 C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的， 复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合
也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)
Z(a，b) a，b∈R)． 复平面内的点_______(
→ 平面向量OZ.
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3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则
10 【例1】 (1)设i是虚数单位．若复数a－ (a∈R)是纯虚数， 3－i 则a的值为 A．－3 C．1 B．－1 D．3 ( )
3＋bi (2)若 ＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝________. 1－i
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解析
103＋i 10 (1)复数a－ ＝a－ 10 ＝(a－3)－i为纯虚数， 3－i
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5．(人教A选修1－2P63B1改编)已知(1＋2i) z ＝4＋3i，则z＝ ________.
解析 4＋3i 4＋3i1－2i ∵z＝ ＝ 1＋2i 1＋2i1－2i
10－5i ＝ 5 ＝2－i，∴z＝2＋i.
答案 2＋i
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考点一 复数的概念
D．－i
答案 B
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4 ． (2014· 山东卷 ) 已知 a ， b∈R ， i 是虚数单位．若 a ＋ i ＝ 2 － bi，则(a＋bi)2＝ A．3－4i B．3＋4i ( )
C．4－3i
D．4＋3i
解析 ∵a＋i＝2－bi，∴a＝2，b＝－1， ∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i，故选A. 答案 A
解析
(1)由(z－3)(2－i)＝5，
52＋i 52＋i 5 得z＝ ＋3＝ ＋3＝ 5 ＋3＝5＋i， 2－i 2－i2＋i ∴ z ＝5－i.故选D. 2－i 2－i 2 1 1 (2)z＝ ＝ ＝ 5 ＝5－5i. 2＋i 2＋i2－i 1 故复数z的虚部为－5. 1 答案 (1)D (2)－5
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诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
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(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(× )
(2) 复 数 中 有 相 等 复 数 的 概 念 ， 因 此 复 数 可 以 比 较 大 小．( × ) (3)原点是实轴与虚轴的交点．( √ ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；