2014-2015年宁夏大学附中高三(上)期末数学试卷(理科)含参考答案

2014-2015学年宁夏大学附中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合A={x|x2+x﹣6≤0}，集合B为函数y=的定义域，则A∩B （）A．（1，2）B．[1，2]C．[1，2）D．（1，2] 2．（5分）将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（）A．B．C．D．3．（5分）在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项为3，前3项和为21，则a3等于（）A．15B．12C．9D．64．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A．4种B．10种C．18种D．20种5．（5分）已知向量的最小值为（）A．B．6C．12D．6．（5分）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），那么可得这个几何体的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm37．（5分）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且c=，B=45°则S=2，则b等于（）A．B．C．25D．59．（5分）已知命题p：函数f（x）=2ax2﹣x﹣1（a≠0）在（0，1）内恰有一个零点；命题q：函数y=x2﹣a在（0，+∞）上是减函数．若p且￢q为真命题，则实数a的取值范围是（）A．a＞1B．a≤2C．1＜a≤2D．a≤1或a＞2 10．（5分）已知log（x+y+4）＜log（3x+y﹣2），若x﹣y＜λ恒成立，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，10]B．（﹣∞，10）C．[10，+∞）D．（10，+∞）11．（5分）已知椭圆+x2=1与抛物线x2=ay有相同的焦点F，O为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（）A．2B．4C．3D．412．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=e x（1﹣x）；②f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）；③函数f（x）有2个零点；④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．共20分）13．（5分）若f（x+2）=，则f（+2）•f（﹣14）=．14．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），令a n=f（n+1）+f（n），n ∈N+，记数列{}的前n项和为S n，则S n=10时，n的值是．15．（5分）直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆相交于P、Q两点，M 为PQ的中点，O为原点．若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l 的方程为．16．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD 所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为．三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）17．（10分）某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布直方图如图所示．（1）求a，b，c，d；（2）该校决定在成绩较好的3，4，5组用分层抽样抽取6名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？组别成绩人数频率1[75，80）50.052[80，85）350.353[85，90）a b4[90，95）c d5[95，100]100.118．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且=．（1）求角B的大小；（2）如果b=2，求△ABC面积的最大值．19．（12分）已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项和，若T n≥λ对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．20．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求三棱锥H﹣BDF的体积．21．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知圆M：x2+y2=的切线l与椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点，如果是，求出定点的坐标，如果不是，请说明理由．22．（12分）设函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当a=时，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．2014-2015学年宁夏大学附中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合A={x|x2+x﹣6≤0}，集合B为函数y=的定义域，则A∩B （）A．（1，2）B．[1，2]C．[1，2）D．（1，2]【解答】解：A={x|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}=[﹣3，2]，要使函数y=有意义，则x﹣1＞0，即x＞1，∴函数的定义域B=（1，+∞），则A∩B=（1，2]，故选：D．2．（5分）将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数．故选：B．3．（5分）在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项为3，前3项和为21，则a3等于（）A．15B．12C．9D．6【解答】解：设等比数列的公比为q，则∵等比数列{a n}中，首项为3，前3项和为21，∴3+3q+3q2=21，∴q2+q﹣6=0，∵q＞0，∴q=2，∴a3=3q2=3×4=12．故选：B．4．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A．4种B．10种C．18种D．20种【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，从4位朋友选一个有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42=6种，根据分类计数原理知共10种，故选：B．5．（5分）已知向量的最小值为（）A．B．6C．12D．【解答】解：由已知⊥⇒=0⇒（x﹣1，2）•（4，y）=0⇒2x+y=2则9x+3y=，当且仅当32x=3y，即时取得等号．故选：B．6．（5分）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），那么可得这个几何体的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3【解答】解：由三视图判断几何体为三棱锥，且三棱锥的高为2，底面三角形底边长和高都为2．∴棱锥的体积V=××2×2×2=（cm）．故选：C．7．（5分）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线方程为，则F（c，0），B（0，b）直线FB：bx+cy﹣bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac所以c2﹣a2=ac，即e2﹣e﹣1=0，所以或（舍去）8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且c=，B=45°则S=2，则b等于（）A．B．C．25D．5【解答】解：由S===2，得a=1又由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=1+32﹣2×=25，所以b=5故选：D．9．（5分）已知命题p：函数f（x）=2ax2﹣x﹣1（a≠0）在（0，1）内恰有一个零点；命题q：函数y=x2﹣a在（0，+∞）上是减函数．若p且￢q为真命题，则实数a的取值范围是（）A．a＞1B．a≤2C．1＜a≤2D．a≤1或a＞2【解答】解：由题意，命题p：得a＞1．命题q：2﹣a＜0，得a＞2，∴￢q：a≤2．故由p且￢q为真命题，得1＜a≤2，故选：C．10．（5分）已知log（x+y+4）＜log（3x+y﹣2），若x﹣y＜λ恒成立，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，10]B．（﹣∞，10）C．[10，+∞）D．（10，+∞）【解答】解：由题意得，即．画出不等式组表示的可行域如下图示：在可行域内平移直线z=x﹣y，当直线经过3x+y﹣2=0与x=3的交点A（3，﹣7）时，目标函数z=x﹣y有极大值z=3+7=10．z=x﹣y的取值范围是（﹣∞，10）．若x﹣y＜λ恒成立，则λ≥10，∴λ的取值范围是[10，+∞）．故选：C．11．（5分）已知椭圆+x2=1与抛物线x2=ay有相同的焦点F，O为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（）A．2B．4C．3D．4【解答】解：∵椭圆+x2=1，∴c2=5﹣1=4，即c=2，则椭圆的焦点为（0，±2），不妨取焦点（0，2），∵抛物线x2=ay=4（）y，∴抛物线的焦点坐标为（0，），∵椭圆+x2=1与抛物线x2=ay有相同的焦点F，∴=2，即a=8，则抛物线方程为x2=8y，准线方程为y=﹣2，∵|AF|=4，由抛物线的定义得，∴A到准线的距离为4，y+2=4，即A点的纵坐标y=2，又点A在抛物线上，∴x=±4，不妨取点A的坐标A（4，2）；A关于准线的对称点的坐标为B（4，﹣6）则|PA|+|PO|=|PB|+|PO|≥|OB|，即O，P，B三点共线时，有最小值，最小值为|AB|==．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=e x（1﹣x）；②f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）；③函数f（x）有2个零点；④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，故f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1），又f（x）是定义在R上的奇函数，故f（﹣x）=﹣f（x）=e﹣x（﹣x+1），所以f（x）=e﹣x（x﹣1），故①错误；因为当x＜0时，由f（x）=e x（x+1）＞0，解得﹣1＜x＜0，当x＞0时，由f（x）=e﹣x（x﹣1）＞0，解得x＞1，故f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞），故②正确；令e x（x+1）=0可解得x=﹣1，当e﹣x（x﹣1）=0时，可解得x=1，又函数f（x）是定义在R上的奇函数，故有f（0）=0，故函数的零点由3个，故③错误；④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，正确，因为当x＞0时f（x）=e﹣x（x﹣1），图象过点（1，0），又f′（x）=e﹣x（2﹣x），可知当0＜x＜2时，f′（x）＞0，当x＞2时，f′（x）＜0，故函数在x=2处取到极大值f（2）=，且当x趋向于0时，函数值趋向于﹣1，当当x趋向于+∞时，函数值趋向于0，由奇函数的图象关于原点对称可作出函数f（x）的图象，可得函数﹣1＜f（x）＜1，故有|f（x1）﹣f（x2）|＜2成立．综上可得正确的命题为②④，故选：B．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．共20分）13．（5分）若f（x+2）=，则f（+2）•f（﹣14）=．【解答】解：由题意可得f（+2）=sin=sin（6π﹣）=﹣sin=﹣，同理可得f（﹣14）=f（﹣16+2）=log216=4，∴f（+2）•f（﹣14）=﹣×4=，故答案为：14．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），令a n=f（n+1）+f（n），n ∈N+，记数列{}的前n项和为S n，则S n=10时，n的值是120．【解答】解：∵幂函数y=f（x）=xα的图象过点（4，2），∴2=4α，解得α=．∴．∵a n=f（n+1）+f（n）=，n∈N+，∴==．∴数列{}的前n项和为S n=+…+=．则S n=10时，令=10，解得n=120．故答案为：120．15．（5分）直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆相交于P、Q两点，M 为PQ的中点，O为原点．若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l 的方程为．【解答】解：由，得a2=2，b2=1，所以c2=a2﹣b2=2﹣1=1．则c=1，则左焦点F（﹣1，0）．由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，则直线l的方程为y=kx+k．设l与椭圆相交于P（x1，y1）、Q（x2，y2），联立，得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0．所以．则PQ的中点M的横坐标为．因为△FMO是以OF为底边的等腰三角形，所以．解得：．所以直线l的方程为．故答案为．16．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD 所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为6π．【解答】解：∵定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心，而且底面BCD 是正三角形，∴三棱锥A﹣BCD是正三棱锥，∴AB=AC=AD，令底面三角形BCD的重心（即中心）为P，∵底面BCD为边长为2的正三角形，DE是BC边上的高，∴DE=，∴PE=，DP=∵直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，∴AP=，∵AD2=AP2+DP2（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，∴三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为，∴正方体的对角线长为，∴外接球的半径为∴外接球的表面积=4πr2=6π故答案为：6π．三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）17．（10分）某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布直方图如图所示．（1）求a，b，c，d；（2）该校决定在成绩较好的3，4，5组用分层抽样抽取6名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？组别成绩人数频率1[75，80）50.052[80，85）350.353[85，90）a b4[90，95）c d5[95，100]100.1【解答】解：（1）根据频率分布直方图，得；数据在[85，90）内的频率为b=0.06×5=0.3，对应的频数为a=100×0.3=30，数据在[90，95）内的频率为d=1﹣0.05﹣0.35﹣0.3﹣0.1=0.2，对应的频数为c=100×0.2=20；（2）3，4，5组共有30+20+10=60人，所以第3组应抽6×=3人，第4组应抽6×=2人，第5组应抽6×=1人．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且=．（1）求角B的大小；（2）如果b=2，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）已知等式=，由正弦定理得=，即tanB=，∴B=；（2）∵b=2，cosB=，∴cosB==，∴a2+c2=ac+4，又∴a2+c2≥2ac，∴ac≤4，当且仅当a=c取等号，∴S=acsinB≤，则△ABC为正三角形时，S max=．19．（12分）已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项和，若T n≥λ对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．【解答】解：（1）设公差为d，∵各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列，∴，解得d=1或d=0（舍），所以a1=2，故a n=n+1．…（5分）（2）因为==，…（6分）所以+…+=，…（8分）而T n随着n的增大而增大，所以T n≥T1=，…（10分）因为T n≥λ对∀n∈N*恒成立，即，所以实数λ的最大值为．（12分）20．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求三棱锥H﹣BDF的体积．【解答】（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．因为平面BDEF⊥平面ABCD，且四边形BDEF是矩形，所以ED⊥平面ABCD，…（3分）又因为AC⊂平面ABCD，所以ED⊥AC．因为ED∩BD=D，所以AC⊥平面BDEF．…（5分）（Ⅱ）解：取BC得中点P，连接DP．因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以△DBC为等边三角形，所以DP⊥BC，且．…（7分）又由（1）知FB⊥平面ABCD且DP⊂平面ABCD，所以DP⊥FB，又FB∩BC=B，所以DP⊥平面FBC，，…（10分）所以．…（12分）21．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知圆M：x2+y2=的切线l与椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点，如果是，求出定点的坐标，如果不是，请说明理由．【解答】解：（1）因为椭圆C的离心率，所以，即．因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，所以，所以c=1，b==1．所以椭圆C的方程为．（2）（i）当直线l的斜率不存在时，因为直线l与圆M相切，故其中的一条切线方程为．由，可得，，则以AB为直径的圆的方程为．（ii）当直线l的斜率为零时，因为直线l与圆M相切，所以其中的一条切线方程为．由，可得，，则以AB为直径的圆的方程为．显然以上两圆都经过点O（0，0）．（iii）当直线l的斜率存在且不为零时，设直线l的方程为y=kx+m．由消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．所以y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=．所以=①，因为直线l和圆M相切，所以圆心到直线l的距离，整理，得，②将②代入①，得，显然以AB为直径的圆经过定点O（0，0），综上可知，以AB为直径的圆过定点（0，0）．22．（12分）设函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当a=时，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x﹣1，f′（x）=﹣1，∴f′（1）=0，f（1）=﹣2，∴曲线f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣2．（Ⅱ）f′（x）=﹣a﹣=（x＞0）当a=0，f′（x）=，f（x）的增区间是（1，+∞），减区间是（0，1），当a≠0时，＞1，即0＜a＜时，f（x）的增区间是（1，），减区间是（0，1），（，+∞），=1，即a=，f（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；＜1，即a＞或a＜0，a＞时，f（x）的增区间是（，1），减区间是（0，），（1，+∞），a＜0，f（x）的增区间是（0，），（1，+∞），减区间是（，1）；（Ⅲ）当a=时，由（Ⅱ）知f（x）在[1，2]上递增，所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=﹣，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立⇔g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在[1，2]上的最小值．又g（x）=x2﹣2bx﹣=（x﹣b）2﹣b2﹣，x∈[0，1]，①当b＜0，g（x）在[0，1]上递增，g（x）min=g（0）=﹣＞﹣，不成立；②当0≤b≤1，g（x）min=g（b）=﹣b2﹣，由﹣b2﹣≤﹣及0≤b≤1，≤b≤1；③当b＞1时，g（x）在[0，1]上递减，g（x）min=g（1）=﹣2b≤﹣，此时b＞1，综上，b的取值范围是[，+∞）．。