2013东莞二模(理数)【含答案--全WORD--精心排版】
广东省东莞市2013届高三上学期期末教学质量检测数学(理)试题及答案
东莞2012-2013学年度第—学期高三调研测试理科数学考生注意：本卷共三大题，满分150分，时问120分钟．不准使用计算器 参考公式：若事件A 与事件B 相互独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ）．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题各有四个选择支，仅有一 个选择支正确．请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．） 1．若a 实数，1(2)ai i i +=-，则a 等于A ．2B ．-1C ．1D ．-2 2．若函数21()cos ()2f x x x R =-∈，则()f x 是 A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数3．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50) （单 位：元），其中支出在[)30,50（单位：元）的同学 有67人，其频率分布直方图如右图所示，则n 的值为 A ．100 B ．120 C ．130 D ．390 4．等差数列{}n a 中，192a =-,352a =-,则该数列前n 项 和n S 取得最小值时n 的值是A ．4B ．5C ．6D ．75．设m 、n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则m a ⊥的—个充分条件是A ．m//n,n //β, αβ⊥B ．,n //β,α//βmC ．m//n ，n β⊥,α//β D ．m n ⊥,n β⊥,αβ⊥6．甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，采取3局2胜制(即3局内谁先赢2局就算胜出，比赛结束，每局比赛没有平局，每局甲获胜的概率为35，则比赛打完3局且甲取胜的概率为A ．18125B ．36125C ．925D ．18257．2012翼装飞行世界锦标赛在张家界举行，某翼人 空中高速飞行，右图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度()v x 与时间x 的关系，若定义“速度差函数”()u x 为时间段[]0,x 内的最大速度与最小速度的差，则()u x 的图像是８．设集合{}012,,S A A A =，在S 上定义运算⊕：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被3除的余数，{},1,2,3i j ∈，则使关系式0()i j i A A A A ⊕⊕=成立的有序数对(,)i j 总共有 A ．１对 B ．２对 C ．３对 D ．４对 ９．已知函数1()1f x x=-的定义域为Ｍ，()ln g x x =的定义域为Ｎ， 则MN ＝ ．10．已知变量x,y 满足120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则z x y =+的最小值是 。
东莞市2012-2013学年度第二学期教学质量检查高二理科数学(A卷)含答案
2012-2013学年度第二学期教学质量检查高二理科数学（A 卷）一、选择题:(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1. 已知i b ai a +=-，其中i 为虚数单位，b a ,为实数，则b a += （ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 22. 函数)(x f 的定义域为开区间（a ，b ）,导函数)(x f '在（a ，b ）内的图像如图所示，则函数)(x f在开区间（a ，b ）内的极值点是（ ）A. 1x ，3x ，5xB. 2x ，3x ，4xC. 1x ，5xD. 2x ，4x3. 已知服从正态分布N （μ,2σ）的随机变量在区间（σμ-,σμ+），（σμ2-,σμ2+），和（σμ3-,σμ3+）内取值的概率分别为68.3%，95.4%，和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高（单位：cm ）服从正态分布（165，52），则适合身高在155~175cm范围内的校服大约要定制（ ）A. 683套B. 954套C. 972套D. 997套 4. 用数学归纳法证明aa aa a n n --=++++++111322（*,1N n a ∈≠），在验证当n=1时，等式左边应为A. 1B. 1+aC. 1+a+a 2D. 1+a+a 2+a 35. 6)3(y x +的二项展开式中，42y x 项的系数是（ ）A. 45B. 90C. 135D. 270 6. 曲线y=2sinx 在点P （π，0）处的切线方程为 （ ）A. π22+-=x yB. 0=yC. π22--=x yD. π22+=x y 7. 投掷一枚骰子，若事件A={点数小于5}，事件B={点数大于2}，则P （B|A ）= （ ） A.51 B.41 C.31 D.218. 从n(*N n ∈,且n ≥2)人中选两人排A ，B 两个位置，若其中A 位置不排甲的排法数为25，则n=( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 已知某一随机变量X ( )A. 5B. 6C. 7D. 810. 函数)(x f 的定义域为R ，2013)2(=-f ，对任意R x ∈，都有)(x f '＜x 2成立，则不等式2009)(2+x x f 的解集为 （ ）A. （-2，2）B. （-2，+∞）C. （-∞，-2）D. （-∞，+∞） 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11. 若复数ii z 2131-+=（i 是虚数单位），则z 的模z = .12. 若根据儿童的年龄x （岁）和体重y （kg ），得到利用年龄预报体重的线性回归方程是53ˆ+=x y.现已知5名儿童的年龄分别是3，4，5，6，7，则这5名儿童的平均体重大约是 （kg). 13. 由曲线xy 1=和直线31=x ，3=x 及x 轴所围图形的面积为 .14. 电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则是:一个方块下面有一个雷或没有雷，如果无雷，掀开方块下面就会标有数字（如果数字是0，常省略不标），此数字表明它周围的方块中雷的个数（至多八个），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中有且仅有3个雷.图乙是张三玩的游戏中的局部，根据图乙中信息，上方第一行左起七个方块中（方块上标有字母），能够确定下面一定没有雷的方块有 ，下面一定有雷的方块有 .（请填入所有选定方块上的字母）三、解答题：（本大题共6小题，共80分） 15.（本小题满分12分） 已知复数bi z =(R b ∈),iz +-12是实数，i 是虚数单位.（1）求复数z ；（2）若复数2)(z m +所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围. 图甲 图乙16.（本题满分12分）在对某校高一学生体育选修项目的一次调查中，共调查了160人，其中女生85人，男生75人.女生中有60人选修排球，其余的人选修篮球；男生中有20人选修排球，其余的人选修篮球.（每人必须选一项，且只能选一项）（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与体育选修项目有关？参考公式及数据：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.17.（本小题满分14分） 已知函数b x a ax x x f +-+-=)1(31)(223（R b a ∈,），其图像在点（1，)1(f ）处的切线方程为03=-+y x . （1）求a ,b 的值；（2）求函数)(x f 的单调区间和极值； （3）求函数)(x f 在区间[-2,5]上的最大值.18. ζ的分布列为（1）若事件A =｛购买该平板电脑的3位大学生中，至少有1位采用1期付款｝，求事件A 的概率P （A ）； （2）若签订协议后，在实际付款中，采用1期付款的没有变化，采用2、3期付款的都至多有一次改付款期数的机会，其中采用2期付款的只能改为3期，概率为51；采用3期付款的只能改为2期，概率为31.数码城销售一台该平板电脑，实际付款期数ζ'与利润η（元）的关系为求η的分布列及期望E （η）.19.（本小题满分14分)下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n 个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为)(n f .图1 图2 图3 图4 （1）求出)2(f ,)3(f ,)4(f ,)5(f ;（2）找出)(n f 与)1(+n f 的关系，并求出)(n f 的表达式； （3）求证：362512)(3117)3(3115)2(3113)1(311+++++++++n n f f f f (*N n ∈).20.（本小题满分14分）已知函数kxe xf =)(（k 是不为零的实数，e 为自然对数的底数）.（1）若曲线)(x f y =与2x y =有公共点，且在它们的某一公共点处有共同的切线，求k 的值； （2）若函数)22)(()(2--=kx x x f x h 在区间)1,(kk 内单调递减，求此时k 的取值范围.2012—2013学年度第二学期教学质量检查 高二理科数学（A 卷）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）11．2； 12．20； 13．2ln 3； 14．BDEF(3分)；AC （2分） 三、解答题（本大题共6小题，共80分.） 15． (本小题满分12分) 解:（1）()z bi b R =∈2211z bi i i --∴=++(2)(1)(1)(1)bi i i i --=+-(2)(2)2b b i-++= ……………2分 2222b b i -+=+． ……………3分 又iz +-12是实数，202b +∴=, ……………5分 2b ∴=-，即i z 2-=． ……………6分 (2) 2z i =-，R ∈m ，∴22222)(2)44(4)4m z m i m mi i m mi +=-=-+=--（, ……………8分又 复数2)(z m +所表示的点在第一象限，240,40,m m ⎧->∴⎨->⎩ ……………10分解得2m <-，即(,2)m ∈-∞-时，复数2)(z m +所表示的点在第一象限． ……………12分16．(本小题满分12分)解: (1)根据题中数据，建立一个2×2的列联表如下:……………6分(2)22160(60552025)30.74580808575K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ ， ……………8分且30.74510.828>，2(10.828)0.001P K ≥≈， ……………10分 所以能在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为性别与体育选修项目有关． ……………12分17．（本小题满分14分）解：(1) 由题意，22()21f x x ax a '=-+-． ……………1分又∵函数)(x f 的图象在点))1(,1(f 处的切线方程为03=-+y x ，所以切线的斜率为1-，即(1)1f '=-，∴2210a a -+=，解得1a =． ……………2分又∵点))1(,1(f 在直线03=-+y x 上，∴2)1(=f ， ……………3分 同时点))1(,1(f 即点)2,1(在()y f x =上，∴b a a +-+-=)1(3122， ……………4分即b +-+-=)11(13122，解得83b =． ……………5分（2）由（1）有3218()33f x x x =-+，∴2()2f x x x '=-， ……………6分 由()0f x '=可知0x =，或2x =，所以有x 、)(x f '、)(x f 的变化情况表如下：8分由上表可知，)(x f 的单调递增区间是(),0-∞和()2,+∞，单调递减区间是()0,2； ………10分 ∴函数)(x f 的极大值是8(0)3f =，极小值是4(2)3f =． ……………11分（3）由（2），函数)(x f 在区间]5,2[-上的极大值是8(0)3f =． ……………12分又58(2)4,(5)3f f -=-=，……………13分 ∴函数)(x f 在区间]5,2[-上的最大值为583. ……………14分18.（本小题满分14分）解：（1）若事件A={购买该平板电脑的3位大学生中，至少有1位采用1期付款}，则事件A={购买该平板电脑的3位大学生中没有1位采用1期付款}．∵216.0)4.01()(3=-=AP， (2)分∴784.0216.01)(1)(=-=-=APAP．……………4分（2）根据题意，实际付款期数'ζ的概率为'2(1)0.45Pξ===，'1119(2)0.25(1)0.355360Pξ==⨯-+⨯=，'1117(3)0.250.35(1)5360Pξ==⨯+⨯-=，……………10分而销售一台该平板电脑的利润η的可能值为200元，250元，300元．……………11分∴2 (200)5Pη==，19 (250)60Pη==，17 (300)60Pη==，∴η的分布列为…………… 12分∴η的期望219171()200250300244560606Eη=⨯+⨯+⨯=（元）．……………14分19.（本小题满分14分）解：（1）由题意有3)1(=f，12233)1()2(=⨯++=ff，27433)2()3(=⨯++=ff，48633)3()4(=⨯++=ff，75833)4()5(=⨯++=f f ． ……………2分 （2）由题意及（1）知，36)(233)()1(++=⨯++=+n n f n n f n f ， …………… 4分 即(1)()63f n f n n +-=+，所以(2)(1)613f f -=⨯+， (3)(2)623f f -=⨯+， (4)(3)633f f -=⨯+， …()(1)6(1)3f n f n n --=-+， …………… 5分 将上面)1(-n 个式子相加，得：()(1)6[123(1)]3(1)f n f n n -=+++⋅⋅⋅+-+- (11)(1)63(1)2n n n +--=⨯+-233n =- …………… 6分 又()13f =，所以2()3f n n =． …………… 7分 （3） 23)(n n f = ∴111)1(1)1(112112)(31122+-=+<+=++=++n n n n n n n n n f ． …………… 9分当1n =时，11251436(1)+33f =<，原不等式成立． …………… 10分 当2n =时，3625361391415)2(3113)1(311<=+=+++f f ，原不等式成立． …………… 11分 当3n ≥时，12)(3117)3(3115)2(3113)1(311+++⋅⋅⋅++++++n n f f f f)111()5141()4131(51231133311+-+⋅⋅⋅+-+-++⨯++⨯<n n11114931n =++-+25125=-<， 原不等式成立． …………… 13分综上所述，对于任意*n N ∈，原不等式成立． …………… 14分 20． (本小题满分14分)解：（1）设曲线()y f x =与2y x =有共同切线的公共点为00(,)P x y ，则020kx ex =． …………… 1分又曲线()y f x =与2y x =在点00(,)P x y 处有共同切线，且'()kx f x ke =，2()'2x x =， … 2分 ∴002kx kex =， …………… 3分解得 2k e=±． …………… 4分（2）由()kxf x e =得函数2()(22)kxh x x kx e =--，所以22(())[(22)4]kxh x kx k x k e '=+-- …………… 5分22[(2)4]kx k x k x e k=+--2(2)()kx k x k x e k=-+． …………… 6分又由区间1(,)k k 知，1k k>，解得01k <<，或1k <-． …………… 7分①当01k <<时，由(())h x '=2(2)()0kx k x k x e k -+<，得22x k k-<<，即函数()h x 的单调减区间为2(,2)k k-， …………… 8分要使得函数2()()(22)h x f x x kx =--在区间1(,)k k内单调递减，则有01,2,12,k k k k k⎧⎪<<⎪⎪≥-⎨⎪⎪≤⎪⎩ ……………9分解得12k ≤<． …………… 10分②当1k <-时，由(())h x '=2(2)()0kx k x k x e k-+<，得2x k <，或2x k>-，即函数()h x 的单调减区间为(,2)k -∞和2(,)k-+∞， …………… 11分要使得函数2()()(22)h x f x x kx =--在区间1(,)k k内单调递减，则有112k k k <-⎧⎪⎨≤⎪⎩，或12k k k <-⎧⎪⎨≥-⎪⎩， …………… 12分 这两个不等式组均无解. …………… 13分综上，当12k ≤<时，函数2()()(22)h x f x x kx =--在区间1(,)k k内单调递减. ……… 14分。
2013二模理科数学答案.doc
永州市2013年高考第二次模拟考试 数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(每小题5分，共40分)D ADC BAAC二、填空题(每小题5分，共35分)(一）选做题（9－11题，考生只能从中选做2题，如果多做则按前两题计分）9． 2cos 0ρθ+= 10．1(1,)3-- 11． （二）必做题（12－16题）12． 90 13． i 14． －10 15． ＜16． （1）15（2）7 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）解：（1）20人只有2人过关，过关率为110，估计100名学员中有11001010⨯=人一次过关； …………3分（2）设“过科目一、二、三”分别为事件A 、B 、C ，过科目一的12人中有2人过了科目二却没过科目三，故P ＝21(|)126P BC A ==；…6分 （3）设这个学员一次过关的科目数为η,则η的分布列为： …………………8分E η＝22119012355101010⨯+⨯+⨯+⨯=， ………………10分 ξ＝100η，E （ξ）＝E （100η）＝100 ×E （η）＝100×910＝90． ………………12分18．（本小题满分12分）解法一(1)证明：连接OE ，OF ，由图1知：OE //AC ，OF //AD ，而OE ，OF 不在平面ACD 上，且OE 交OF 于O ，故平面OEF //平面ACD ，所以EF //平面ACD ． ………………5分（2）取AD 的中点G ，连接OG ，则∠CGO 就是二面角C －AD －O 的平面角， OGCO ＝2，………………9分90oCOG ∠=，tan CO CGO OG∠===， ………………11分故二面角C －AD －O．……………12分解法二：证明（1）如图建立空间直角坐标系，A (0,－2,0),C (0,0,2),D,-1,0), E(0,),,1,0),(0,2,2),AC =(3,1,0)AD =, (3,1EF =设平面ACD 的法向量(,,)m x y z =，依题意有：m AC m AD ⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩(,,)(0,2,2)220(,,)0)0m AC x y z y z m AD x y z y ⋅=⋅=+=⇒⊥=⋅=+=⎧⎪⎨⎪⎩，令x =－1,则y，z =,则(m =-，………………3分因为(m EF ⋅=-⋅-0==，所以m EF ⊥，又EF 不在平面ACD 上，故EF//平面ACD ． ………………6分 （2）易求得平面OAD 的一个法向量(0,0,1)n =，设二面角C －AD －O 的大小为θ，由图知θ为锐角，(1,cos ||||||mn m n θ⋅-===，………………9分tan cos 3θθ===………………11分故二面角C －AD －O的正切值为3． ………………12分19．（本小题满分12分） 解：(1) 由|f (x )|＝|2sin(3πx ＋6π)|＝2得sin(3πx ＋6π)＝±1， 即3πx ＋6π＝k π＋2π，∴ x ＝3k ＋1，k ∈N ，∴ {a n }是首项为1，公差为3的等差数列，∴ a n ＝3n －2，n ∈N ＊， …………4分3222n a n n b -==，{n b }是首项是2，公比是8的等比数列，其前n 项和2(18)2(81)187n nn S -==--； ………………6分 (2) 12231tan tan tan tan tan tan n n n T a a a a a a +=+++tan1tan 4tan 4tan 7tan(32)tan(31)n n =⋅+⋅++-⋅+， ………………8分由tan(31)tan(32)tan 3tan[(31)(32)]1tan(31)tan(32)n n n n n n +--=+--=++⋅-， ………………9分有tan(31)tan(32)tan(32)tan(31)1tan 3n n n n +---⋅+=-， ………………10分14473231n T n n =⋅+⋅++-⋅+tan tan tan tan tan()tan()4174107111333---=-+-+-+tan tan tan tan tan tan ()()()tan tan tan313213n n +--+-tan()tan()[]tan 3113n n +-=-tan()tan tan ． ……………12分20．（本小题满分13分）解：(1) 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，直线BC 过焦点F （0,1）， 故设BC 的直线方程为y ＝kx ＋1，由 ⎩⎨⎧=+=yx kx y 412 得x 2－4kx －4＝0，故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， ……………3分 ∴ |x 1－x 2|＝212214)(x x x x -+＝16162+k ∴ S △EBC ＝S △EBF ＋S △CEF ＝21|x 1| |EF |＋21|x 2| |EF | ＝|x 1－x 2|＝142+k ＝5，求得k ＝34±，此时，BC 方程为314y x =±+， 点 B 的坐标为(±4，4)，故l 的方程为514y x =±-； ………………6分 （2）设B (x 1，y 1)，A (x 3，y 3)，l 方程：y ＝kx －1，由⎩⎨⎧=-=yx kx y 412， 得x 2－4kx ＋4＝0，△＝16k 2－16>0，k 2>1，故x 1＋x 3＝4k ，x 1x 3＝4，又A 在E 与B 之间， ∴0＜∣x 3∣＜∣x 1∣， ∴0＜|x 3|2＜∣x 1 x 3∣＝4， ∴0＜∣x 3∣＜2，x 1＝34x ,直线BC 的方程为1111y y x x -=+， ………………9分 设M (3x ,y o )，点M 在直线BC 上，有13111o y y x x -=+，即2131141o x y x x -=+，整理得y o ＝2－234x ，M (3x ，2－234x )， (－2＜3x ＜2且3x ≠0)|EM|==,令234x ＝t ,则(0,1)t ∈,|EM|==． ………………12分 线段EM长的取值范围为． ………………13分 21．(本题满分13分)解：（1）连结 OP ，因30o BAP ∠=，120o ABP ∠=30oAPB ∴∠=．在三角形PBO 中，222102021020cos120700OP =+-⨯⨯=22(1012)OP >+ 即22OP >故该外轮未进入我领海主权范围内． ………………5分 （2）作PQ AN ⊥于Q ，PS AB ⊥于S，则AQ SP ==30PQ =，因60oNAP ∠=，NMP θ∠=，首先应有60oθ>， 30sin PM θ=，30cos sin AM θθ=，设MP 方向的船速为V ，则我救助船全速到达P 点共所需时间为130cos 13030cos ()]sin sin sin T VV VVθλθθλθθλθ-=+⋅=⨯, ……………7分221cos 301cos 30()sin sin T VVθλθλθλθθ--'=⨯=⨯,令()0T θ'=得1cos θλ=．设使1cos θλ=的那个锐角为λθ，则当(60,)oλθθ∈时，()0T θ'<，当(,90)o λθθ∈时，()0T θ'>，()T θ在(60,)oλθ位减函数，在(,90)o λθ位增函数，（注：将(60,)o λθ写成 (0,)oλθ 不扣分）所以当1cos θλ=时()T θ能取得最小值． ………………9分另一方面，延长PC 与AN 交于0M ，须0QM QM ≥（即0QM P θ≥∠）救助船才能沿直线MP 航行．0cos cos QM P θ∠===≤，由1λ≤解得λ≥．此时0Q M P λθ≥∠，而当λ<时，0Q M P λθ<∠，由()T θ的单调性知θ取0QM P ∠时()T θ最小． ………………11分综上知，为使到达P 点的时间最短，当λ≥时，救助船选择的拐角θ应满足1cos θλ=；当λ<时，救助船应在0M 处拐头直朝P 点航行，此时cosθ=． ………………13分22．(本题满分13分)解：（1）∵()2ln()f x a x b =+，∴2()af x x b'=+，则()f x 在切点(0,2ln )A a b 处切线的 斜率2(0)a k f b '==，则()f x 在点(0,2ln )A a b 处切线方程为22ln a y x a b b =+．又由2()1x g x e =-，得2()2x g x e '=，则()g x 在切点B(0,0)处切线的斜率(0)2k g '==， 则()g x 在点B 处切线方程为2y x =． 由22ab= 和2ln 0a b =解得1a =，1b =． ()2ln(1)(1)f x x x =+>-，2()1xg x e =-． ………………4分（2）由002[1g(x x m ->+202x m x e <-， 令2()2h x x e =-要使22m x e <-[0,)+∞上有解，只需max [()]m h x <． ………………5分 ①当0x =时，(0)0h =，所以0m <； ………………6分②当0x >时，2()2x h x e '=-，∵0x >，有2≥，e 1x >，∴2()20x h x e '=-<函数2()2h x x e =-[0,)+∞上单调递减，所以max ()(0)0h x h ==， 所以0m <综合①②得实数m 的取值范围是(,0)-∞ ……………8分（3）令2()()()12ln(1)(1)x u x g x f x e x x =-=--+>-，则2222(1)2()211xx e x u x e x x +-'=-=++．∴当0x ≥时，由于21,11xex ≥+≥，所以 22(1)2x e x +≥∴()0u x '≥在0x ≥上恒成立， 函数()u x 在区间(0,)+∞上单调递增， ∴当0x >时，()(0)0u x u >=恒成立，故对于任意210x x >>，有2121()()g x x f x x ->-． ………………10分 又∵212121111()1011x x x x x x x x +--+-=>++，∴2212111ln(1)ln ln(1)ln(1)1x x x x x x +-+>=+-++． ∴2121()()()f x x f x f x ->-， ………………12分 从而2121()()()g x x f x f x ->-． ………………13分方法2：也可按下面思路：先证明212()2112()x x e x x -->- [构造2()12x u x e x =--，求导再分析单调性] 再证明2121ln(1)ln(1)x x x x ->+-+ [通过构造()ln(x 1)v x x =-+，求导后分析单调性]（详略）。
广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题(WORD解析版)
2013年广东省东莞市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2013•东莞二模）设z=1﹣i（是虚数单位），则=（）A．2B．2+i C．2﹣i D．2+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和共轭复数的定义即可得出．解答：解：∵z=1﹣i，∴，==．∴==1+i+1+i=2+2i．故选D．点评：熟练掌握复数的运算法则和共轭复数的定义是解题的关键．2．（5分）（2013•东莞二模）命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是（）A．∀x∈R，x2+1＜1 B．∃x∈R，x2+1≤1 C．∃x∈R，x2+1＜1 D．∃x∈R，x2+1≥1考点：V enn图表达集合的关系及运算；交、并、补集的混合运算．专题：规律型．分析：全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，结合已知中原命题“∀x∈R，都有有x2+1≥1”，易得到答案．解答：解：∵原命题“∀x∈R，有x2+1≥1”∴命题“∀x∈R，有x2+1≥1”的否定是：∃x∈R，使x2+1＜1．故选C．点评：本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，是解答此类问题的关键．3．（5分）（2013•湛江一模）若，则a0=（）A．1B．32 C．﹣1 D．﹣32考点：二项式定理的应用．专题：概率与统计．分析：根据（x+1）5=[2+（x﹣1）]5=•25+•24（x﹣1）+•23•（x﹣1）2+•22（x﹣1）3+•2•（X﹣1）4+•（x﹣1）5，结合所给的条件求得a0的值．解答：解：∵（x+1）5=[2+（x﹣1）]5=•25+•24（x﹣1）+•23•（x﹣1）2+•22（x﹣1）3+•2•（X﹣1）4+•（x﹣1）5，而且，故a0=•25=32，故选B．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．4．（5分）（2013•梅州一模）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a=（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：先由三视图画出几何体的直观图，理清其中的线面关系和数量关系，再由柱体的体积计算公式代入数据计算即可．解答：解：由三视图可知此几何体为一个三棱柱，其直观图如图：底面三角形ABC为底边AB边长为2的三角形，AB边上的高为AM=a，侧棱AD⊥底面ABC，AD=3，∴三棱柱ABC﹣DEF的体积V=S△ABC×AD=×2×a×3=3，∴a=．故选C．点评：本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力5．（5分）（2013•东莞二模）已知函数y=sinx+cosx，则下列结论正确的是（）B．此函数的最大值为1；A．此函数的图象关于直线对称D．此函数的最小正周期为π．C．此函数在区间上是增函数．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，解答：解：因为函数y=sinx+cosx=sin（x+），当时函数值为：0，函数不能取得最值，所以A不正确；函数y=sinx+cosx=sin（x+），当x=时函数取得最大值为，B不正确；因为函数x+∈（），即x在上函数是增函数，所以函数在区间上是增函数，正确．函数的周期是2π，D不正确；故选C．点评：本题考查三角函数的化简求值，正弦函数的周期与最值、单调性与对称性，考查基本知识的应用．6．（5分）（2013•湛江一模）已知函数f（x）=lg（x2﹣a n x+b n），其中a n，b n的值由如图的程序框图产生，运行该程序所得的函数中，定义域为R的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：程序框图．专题：计算题．分析：要使函数f（x）=lg（x2﹣an x+b n）定义域为R，则必须满足△=＜0，成立．由循环结构输出的数值a i，及b i（i=1，2，3，4，5）进行判定即可．。
广东省东莞市南开实验学校2013-2014学年下学期高二年级调研考试数学试卷(理科,有答案)
广东省东莞市南开实验学校2013-2014学年下学期高二年级调研考试数学试卷（理科，有答案）本试卷共4页，20小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，收卷时只交答题卷。
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设z 的共轭复数是z ，或z +z =4,z ·z ＝8，则zz等于 ( ) A 1 B -i C ±1 D ±i 2. 若f(x)为可导函数，且满足12)1()1(lim-=--→xx f f x ，则过曲线y=f(x)上的点(1,f(1))处的切线方程的斜率为（ ）A -2B -1C 1D 2 3. 已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A.－3B.2C.－3或2D.124. 函数f (x )＝－x 3＋x 2＋tx ＋t 在(－1,1)上是增函数，则t 的取值范围是 ( )A ．t >5B ．t <5C ．t ≥5D ．t ≤55.设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则ʃ21 f (－x )d x 的值等于 ( ) A.56 B.12 C.23 D.166. 函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为 ( )A ．0≤a <1B ．0<a <1C ．－1<a <1D ．0<a <127. 定积分ʃ10[1－(x －1)2－x ]d x 等于 ( )A.π－24B.π2－1C.π－14D.π－128. 已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )的前n 项和为S n ，则S 2 014的值为 ( )A.2 0112 012B.20152014 C.2 0122 013 D.20142013二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2013年高考全国Ⅱ理科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2013年全国Ⅱ，理1，5分】已知集合{}2|(1)4),M x x x R =-<∈，{}1,0,1,2,3N =-，则M N = （ ）（A ）{}0,1,2 （B ）{}1,0,1,2- （C ）{}1,0,2,3- （D ）{}0,1,2,3 【答案】A【解析】因为{}31|<<-=x x M ，{}3,2,1,0,1-=N ，所以{}0,1,2M N = ，故选A ． （2）【2013年全国Ⅱ，理2，5分】设复数z 满足(1i)2i z -=则z =（ ）（A ）1i -+ （B ）1i -- （C ）1i + （D ）1i - 【答案】A【解析】2i 2i(1i)1i 1i (1i)(1i)z +===-+--+，故选A ． （3）【2013年全国Ⅱ，理3，5分】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =（ ）（A ）13 （B ）13- （C ）19（D ）19-【答案】C【解析】设数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则由59a =，得19a =，此时327S =，而211099a a +=，不满足题意，因此1q ≠．∵1q ≠时，33111(1)·101a q qa a S q -=-=+，∴31101q q q -=+-，整理得29q =． ∵451·9a a q ==，即1819a =，∴119a =，故选C ．（4）【2013年全国Ⅱ，理4，5分】已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ）（A ）//αβ且//l α （B ）αβ⊥且l β⊥ （C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l【答案】D【解析】因为m α⊥，l m ⊥，l α⊄，所以//l α．同理可得//l β．又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线，故选D ．（5）【2013年全国Ⅱ，理5，5分】已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数是5，则a =（ ）（A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）1- 【答案】D【解析】因为5(1)x +的二项展开式的通项为5C 0)5(r rr r x ≤≤∈Z ，，则含2x 的项为221552C C 105()x ax x a x +⋅=+，所以1055a +=，1a =-，故选D ． （6）【2013年全国Ⅱ，理6，5分】执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =（ ）（A ）1111+2310+++ （B ）1111+2!3!10!+++ （C ）1111+2311+++ （D ）1111+2!3!11!+++【答案】D【解析】由程序框图知，当1k =，0S =，1T =时，1T =，1S =；当2k =时，12T =，1=1+2S ；当3k =时，123T =⨯，111+223S =+⨯；当4k =时，1234T =⨯⨯，1111+223234S =++⨯⨯⨯；…； 当10k =时，123410T =⨯⨯⨯⨯ ，1111+2!3!10!S =+++ ，k 增加1变为11，满足k N >，输出S ，所以B 正确，故选D ．（7）【2013年全国Ⅱ，理7，5分】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()1,0,1，()1,1,0，()0,1,1，()0,0,0，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】A【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系O xyz -的图像为下图：则它在平面zOx 上的投影即正视图为A 图形，故选A ．（8）【2013年全国Ⅱ，理8，5分】设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）a b C >> 【答案】D【解析】根据公式变形，lg 6lg 21lg3lg3a ==+，lg10lg 21lg 5lg 5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+，因为lg 7lg5lg3>>， 所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg5lg3<<，即c b a <<，故选D ． （9）【2013年全国Ⅱ，理9，5分】已知0a >，,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值是1，则a =（ ）（A ）14 （B ）12（C ）1 （D ）2【答案】B【解析】由题意作出13x x y ≥⎧⎨+≤⎩所表示的区域如图阴影部分所示，作直线21x y +=，因为直线21x y +=与直线1x =的交点坐标为(1)1-，，结合题意知直线()3y a x =-过点(1)1-，，代入得12a =，故选B ． （10）【2013年全国Ⅱ，理10，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）（A ）0x R ∃∈，0()0f x = （B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减（D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确．由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为0,0（），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间0,x -∞（）单调递减是错误的，D 正确，故选C ．（11）【2013年全国Ⅱ，理11，5分】设抛物线22(0)y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF为直径的圆过点0,2（），则C 的方程为（ ）（A ）24y x =或28y x = （B ）22y x =或28y x = （C ）24y x =或216y x = （D ）22y x =或216y x = 【答案】C【解析】设点M 的坐标为00()x y ，，由抛物线的定义，得052P MF x =+=，则052x p =-．又点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以以MF 为直径的圆的方程为()()0020p y y x x x y ⎛⎫- ⎭-⎪⎝-+=．将0x =，2y =代入得00840px y +-=，即0202480y y -+=，所以04y =．由0202y px =，得16252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解之得2p =，或8p =． 所以C 的方程为24y x =或216y x =，故选C ．（12）【2013年全国Ⅱ，理12，5分】已知1,0A -（），1,0B （），0,1C （），直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）（A ）0,1（） （B ）112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）113⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【答案】B第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上（13）【2013年全国Ⅱ，理13，5分】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=______． 【答案】2【解析】解法一：在正方形中，12AE AD DC =+ ,BD BA AD AD DC =+=-,所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯= ．解法二：以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为()0,0，点B 的坐标为()2,0，点D 的坐标为()0,2，点E 的坐标为()1,2，则()1,2AE =，()2,2BD =-，所以2AE BD ⋅= ． （14）【2013年全国Ⅱ，理14，5分】从n 个正整数1,2,3,4,5，…，n 中任意取出两个不同的数，若其和为5的概率是114，则n =__ ____．【答案】8【解析】从1,2，…，n 中任取两个不同的数共有2C n种取法，两数之和为5的有()1,4，()2,3 2种，所以221C 14n=，即24111142n n n n ==(-)(-)，解得8n =．（15）【2013年全国Ⅱ，理15，5分】设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=_______．【答案】【解析】由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，得1t a n 3θ=-，即1s i n c o s 3θθ=-．将其代入22sin cos 1θθ+=，得210cos 19θ=．因为θ为第二象限角，所以cos θ=，sin θ=sin cos θθ+=． （16）【2013年全国Ⅱ，理16，5分】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为_______． 【答案】49-【解析】设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1101109S =10210450a a d d ⨯=+=＋，①115115141521510525d S a d a =+⨯==+．② 联立①②，得13a =-，23d =，所以2(1)211032333n n n n S n n --+⨯=-=．令()n f n nS =，则32110()33f n n n =-，220'()3f n n n =-．令()0f n '=，得0n =或203n =．当203n >时，()0f n '>,200<<3n 时，()0f n '<，所以当203n =时，()f n 取最小值，而n +∈N ，则()648f =-，()749f =-，所以当7n =时，()f n 取最小值49-．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）【2013年全国Ⅱ，理17，12分】ABC ∆的内角的对边分别为,,,a b c 已知cos cos a b C c B =+．（1）求B ；（2）若2b =，求ABC ∆的面积的最大值． 解：（1）由已知及正弦定理得sin sin cos sin sin A B C C B =+．① 又()A B C π=-+，故()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+．② 由①，②和0()C π∈，得sin cos B B =， 又0()B π∈，，所以π4B =． （2）ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==．由已知及余弦定理得22π2cos 44ac a c =+-． 又222a c ac +≥，故ac ≤a c =时，等号成立．因此ABC ∆．（18）【2013年全国Ⅱ，理18，12分】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点．1AA AC CB AB ===． （1）证明：1//BC 平面11A CD ；（2）求二面角1D ACE --的正弦值． 解：（1）连结1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则1//BC DF ． 因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ．（2）由AC CB AB ==得，AC BC ⊥．以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图 所示的空间直角坐标系C xyz -．设2CA =，则()1,1,0D ，()0,2,1E ，()12,0,2A ，()1,1,0CD =， ()0,2,1CE = ，()12,0,2CA =．设111()x y z =n ，，是平面1A CD 的法向量，则100CD CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即11110220x y x z +=⎧⎨+=⎩，可取11(1)=--n ，，．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量， 则10CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 可取2,1()2=-m ，．从而||||o c s ==n?m n n m m 〈，〉，故sin ,=n m 即二面角1D ACE --（19）【2013年全国Ⅱ，理19，12分】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t ，100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 （1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作1为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量[)100,110X ∈，则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[)100,110的频率)，求T 的数学期望．解：（1）当[)100,130X ∈时，()50030013080039000T X X X =--=-，当[]130,150X ∈时，50013065000T =⨯=． 所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩．（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤．由直方图知需求量[]120,150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7． （3）依题意可得T所以450000.1ET =⨯+（20）【2013年全国Ⅱ，理20，12分】平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：2222=1x y a b +(0a b >>)右焦点的直线0x y +交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12．（1）求M 的方程；（2）C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值．解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，00()P x y ，，则221122=1x y a b+，222222=1x y a b +，2121=1y y x x ---， 由此可得2212122121=1b x x y y a y y x x (+)-=-(+)-．因为1202x x x +=，1202y y y +=，0012y x =，所以222a b =． 又由题意知，M 的右焦点为)，故223ab -=．因此26a =，23b =．所以M 的方程为22=163x y +．（2）由220163x y xy⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩AB =CD 的方程为： y x n n ⎛=+<<⎝，设33()C x y ，，44()D x y ，．由22163y x nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2234260x nx n ++-=． 于是3,4x =CD 的斜率为1，所以43|x xCD -由已知，四边形ACBD 的面积1||||2S CD AB =⋅=． 当0n =时，S ．所以四边形ACBD ．（21）【2013年全国Ⅱ，理21，12分】已知函数()ln()x f x e x m =-+．（1）设0x =是()f x 的极值点，求m 并讨论()f x 的单调性； （2）当2m ≤时，证明()0f x >．解：（1）()1e x mf x x =-'+．由0x =是()f x 的极值点得()00f '=，所以1m =．于是()()e ln 1x f x x =-+，定义域为()1-+∞，，()1e 1x f x x =-+'．函数()1e 1x f x x =-+'在()1-+∞，单调递增，且()00f '=． 因此当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当0()x ∈+∞，时，()0f x '>．所以()f x 在()1,0-单调递减，在(0)+∞， 单调递增．（2）当2m ≤，()x m ∈-+∞，时，()()ln ln 2x m x +≤+，故只需证明当2m =时，()0f x >．当2m =时，函数()1e 2x f x x =-+'在()2-+∞，单调递增．又()10f '-<，()00f '>， 故()0f x '=在()2-+∞，有唯一实根0x ，且()01,0x ∈-．当02()x x ∈-，时，()0f x '<； 当0()x x ∈+∞，时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值．由()00f x '=得001e 2x x =+， ()00ln 2x x +=-，故()()20000011022f x x x x f x x (+)+=≥>++=．综上，当2m ≤时，()0f x >． 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请写清题号． （22）【2013年全国Ⅱ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且 ··BC AE DC AF =，B ，E ，F ，C 四点共圆． （1）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；（2）若DB BE EA ==，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．解：（1）因为CD 为ABC ∆外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF ∆∆∽， 所以DBC EFA ∠=∠．因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒． 所以90CBA ∠=︒，因此CA 是ABC ∆外接圆的直径．（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由D B B E =，有C E D C =， 又22·2BC DB BA DB ==，所以222246CA DB BC DB =+=．而22·3DC DB DA DB ==，故过B ，E ，F ， C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值为12．（23）【2013年全国Ⅱ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知动点P Q 、都在曲线2cos :2sin x tC y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点． （1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2(2)2sin Q αα，，因此cos cos ()2sin sin2M αααα++，． M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，02απ<<)．（2）M点到坐标原点的距离)02d απ<<．当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（24）【2013年全国Ⅱ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（1）13ab bc ac ++≤；（2）2221a b c b c a ++≥．解：（1）由222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，得222a b c ab bc ca ++≥++．由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c a b b c c a +++++=．()31ab bc ca ∴++≤，即13a b b c c a ++≤．（2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，故()222(2)a b ca abc c a b c b +≥++++++，即222a b c a b c b c a ≥++++．所以2221a b cb c a++≥．。
广东省东莞市高考数学二模试卷(理科)
广东省东莞市高考数学二模试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2020 高二下·西安期中) 已知，i 是虚数单位，则 （ ）A.B.C.D.2. （2 分） 设集合 U={1,2,3,4}，A={1,2}，B={2,4}，则（）A . {2}B . {3}C . {1,4}D . {1,3,4}3. （2 分） (2017·郴州模拟) 已知 夹角为（ ）均为单位向量，且，则向量的A.B.C.D.4. （2 分） (2019·南昌模拟) 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕 斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在 1654 年发现这一规律的.我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算 法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为 1第 1 页 共 13 页的项，依次构成数列，则此数列前 135 项的和为（ ）A. B. C. D. 5. （2 分） 利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数 a 和 b，则方程 x=-2a- 有实根的概率为（ ） A. B. C. D. 6. （2 分） 执行如图的程序框图，如果输入的 N 的值是 6，那么输出的 p 的值是（ ）A . 15 B . 105 C . 120 D . 720第 2 页 共 13 页7. （2 分） (2020 高二下·衢州期末) 已知常数，则的图象可能是（ ）A.B. C.D. 8. （2 分） 如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 （ ）第 3 页 共 13 页A. B. C. D. 9. （2 分） (2017·顺义模拟) 在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影．由区域 A. B. C.2 D.8中的点在直线 x﹣2y﹣2=0 上的投影构成的线段记为 AB，则|AB|=（ ）10. （2 分） 过双曲线 交，则双曲线离心率 的取值范围为（ ）的右焦点 F，作渐近线的垂线与双曲线左右两支都相A.B. C.第 4 页 共 13 页D.11. （2 分） (2019·呼和浩特模拟) 设函数是定义在 上的函数，且对任意的实数 ，恒有，，当时，.若有且仅有三个零点，则 的取值范围为（ ）在在上A.B.C.D. 12. （2 分） (2019 高三上·佛山月考) 已知函数上恒成立，则 的最小值是（ ），若不等式在A.B. C. D.二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)13. （1 分） (2019 高一下·上海月考) 若，，则的值是________14. （1 分） (2013·四川理) 二项式（x+y）5 的展开式中，含 x2y3 的项的系数是________（用数字作答）．15. （1 分） 已知一个三棱锥，积为________.，，则它的外接球的表面16. （2 分） (2020 高一下·常熟期中) 已知中，a，b，c 分别是三个内角 A，B，C 的对边，设，第 5 页 共 13 页则角 A 的取值范围是________； 的取值范围是________.三、 解答题 (共 7 题；共 55 分)17. （10 分） (2016 高一下·南平期末) 已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 且 S3=9，a1 ， a3 ， a7 成等比数列．（1） 求数列{an}的通项公式；（2） 数列{bn}满足 bn=（an﹣1）2n ， 求数列{bn}的前 n 项和 Tn ．18. （5 分） (2020·威海模拟) 新药在进入临床实验之前，需要先通过动物进行有效性和安全性的实验．现对某种新药进行 5000 次动物实验，一次实验方案如下：选取 3 只白鼠对药效进行检验，当 3 只白鼠中有 2 只或 2只以上使用“效果明显”，即确定“实验成功”；若有且只有 1 只“效果明显”，则再取 2 只白鼠进行二次检验，当 2 只白鼠均使用“效果明显”，即确定“实验成功”，其余情况则确定“实验失败”．设对每只白鼠的实验相互独立，且使用“效果明显”的概率均为．（Ⅰ）若，设该新药在一次实验方案中“实验成功”的概率为 ，求 的值；（Ⅱ）若动物实验预算经费 700 万元，对每只白鼠进行实验需要 300 元，其他费用总计为 100 万元，问该动物 实验总费用是否会超出预算，并说明理由．19. （10 分） (2017 高三下·武邑期中) 如图，四边形 ABCD 中，△BCD 为正三角形，AD=AB=2，，AC 与 BD 中心 O 点，将△ACD 沿边 AC 折起，使 D 点至 P 点，已知 PO 与平面 ABCD 所成的角为 60°．（1） 求证：平面 PAC⊥平面 PDB； （2） 求已知二面角 A﹣PB﹣D 的余弦值．20. （5 分） 已知 F1、F2 分别是椭圆=1 的左、右焦点，曲线 C 是坐标原点为顶点，以 F2 为焦点的抛物线，过点 F1 的直线 l 交曲线 C 于 x 轴上方两个不同点 P、Q，点 P 关于 x 轴的对称点为 M，设 =λ第 6 页 共 13 页（Ⅰ）若 λ∈[2，4]，求直线 L 的斜率 k 的取值范围； （Ⅱ）求证：直线 MQ 过定点．21. （5 分） 已知，函数.（Ⅰ）若函数在上递减, 求实数 的取值范围；（Ⅱ）当时，求的最小值的最大值；（Ⅲ）设，求证：.22. （10 分） 椭圆 C： + =1，直线 l 的极坐标方程 2ρcos（θ+ ）+9=0． （1） 写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的直角坐标方程； （2） 设 A（1，0），若椭圆 C 上的点 P 满足到点 A 的距离与其到直线 l 的距离相等，求点 P 坐标． 23. （10 分） 已知函数 f（x）=（4a﹣3）x+b﹣2a，x∈[0，1]，若 f（x）≤2 恒成立．（1） 当 a= 时，求实数 b 的取值范围； （2） 画出点 P（a，b）表示的平面区域，并求 z=a+b 的最大值．第 7 页 共 13 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 13 页16-1、三、 解答题 (共 7 题；共 55 分)17-1、17-2、第 9 页 共 13 页18-1、 19-1、第 10 页 共 13 页19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。
广东省东莞市2013-2014学年高二下学期期末教学质量检查数学(理)试题(A卷) 扫描版含答案
2013—2014学年度第二学期教学质量检查高二理科数学（A 卷）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．0.05 12．1- 13．64 14． mk n C + 三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15．（本小题满分12分） 解：（1）设(),z x yi x y R =+∈． (1)分由2z i +iy x )2(++=为实数，得2=+y ，即2y =-． …………2分又()()()()12212421z i x i i x x i -=--=--+， (3)分由()12z i -为纯虚数，得()40210x x -=⎧⎪⎨+≠⎪⎩， …………5分 ∴4x =， (6)分∴i z 24-=． (7)分 （2）∵i m m m mi z )2(8)124()(22-+++-=+， …………9分根据条件，可知⎪⎩⎪⎨⎧<->-+,0)2(8,04122m m m …………10分 解得22<<-m ， (11)分∴实数m的取值范围是()2,2-．…………12分16．（本小题满分12分） 解：（1）由题意，258)18()10()5(23131520=-+-+-+++++=x ， …………1分898)5.3()5.2()5.0(5.05.15.35.35.6=-+-+-+++++=y ， …………2分所以41)25(8125689258324ˆ2281281=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==xn x yx n yx bi i i ii ， …………4分21254189ˆˆ=⨯-=-=x b y a， …………6分 故y 关于x 的线性回归方程：11ˆ42yx =+． …………7分 （2）由题意，设该同学的物理成绩为w ，则物理偏差为：5.91-w ． …………8分而数学偏差为128-120=8， …………9分∴218415.91+⨯=-w ， …………10分 解得94=w ， (11)分所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分． …………12分17．（本小题满分14分）解：（1）由题意，每次摸球写有数字“5”的概率为21． …………1分 四次摸球数字之和为30，只能是两次摸到写有数字“5”，另两次写有数字“10”. …………2分设X 为4次摸球中写有数字“5”的次数，则)21,4(~B X ， …………3分所以抽奖者四次摸球数字之和为30的概率为：83)211()21()2(24224=-⨯⨯==-C X P ．……5分（2）由题意，抽奖者获得的收益ξ可取18元、0元、-2元. …………6分从8个球中任取4个球的结果数为48C ，其中恰好有k 个球写有数字“5”的结果数为kkC C -⋅444，所以从8个球中任取4个球，其中恰好k 个球写有数字“5”的概率为：48444)(C C C k Y P kk -⋅==，4,3,2,1,0=k ， …………8分所以351)4()0()18(480440********=⋅+⋅==+===--C C C C C C Y P Y P P ξ， …………9分3516)3()1()0(48344344814414=⋅+⋅==+===--C C C C C C Y P Y P P ξ， …………10分3518)2()2(4824424=⋅===-=-C C C Y P P ξ， …………11分 因此，随机变量ξ的分布列为…………12分35183518)2(3516035118)(-=⨯-+⨯+⨯=ξE . …………13分所以，(1)抽奖者四次摸球数字之和为30的概率为38；(2) 抽奖者收益的期望为18-35元.…14分18．（本小题满分14分）解：（1）由x a x f ln )(=，得x a x f =')(，∴12)2(=='af ，即2=a ，∴x x f ln 2)(=. …………2分∴cxbx x x g ++=2ln 2)(， 从而xcx bx c bx x x g 2222)(2++=++='. …………3分∵)(x g 在21=x 和2=x 处有极值， ∴0221)21(2)21(2=++⨯='xc b g ，02222)2(2=++⨯='xc b g ， …………5分解得：1=b ，5-=c ， …………7分经检验：1=b ，5-=c 满足题意. …………8分（2）由（1），x x x x g 5ln 2)(2-+=，()2252()0x x g x x x-+'=>.令()0g x '>，得102x <<或2x >；令()0g x '<，得122x <<. ∴()g x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()2+∞，上单调递增，在122⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减. …………9分若0,212>≤k k 且，即410≤<k 时，)(x g 在区间)2,(k k 内的单调递增； …………10分若22210<<<<k k ，即2141<<k 时，)(x g 在区间)21,(k 内的单调递增，在区间)2,21(k 内的单调递减； …………11分若2221≤<≤k k ，即121≤≤k 时，)(x g 在区间)2,(k k 内的单调递减； …………12分若k k 2221<<<，即21<<k 时，)(x g 在区间)2,(k 内的单调递减，在区间)2,2(k 内的单调递增； …………13分 若2≥k ，)(x g 在区间)2,(k k 内的单调递增. …………14分19．（本小题满分14分） 解：（1）由121n n a a n +-=-，得：21132322n a a n n n =++++-=-+， …………3分2n b n =. …………4分（2）① 当1n =时，111T S ==，∴()1136T S +=，又3246n n +=，∴1n =时等式成立；……5分② 假设n k =时等式成立，即()3324k k T S k k +=+，则1n k =+时，()()()()()()223111133324311212k k k k k k T S T S b a k k k k k ++++⎡⎤+=+++=+++++-++⎣⎦()()232466161k k k k =++++-+ ()()()2216161k k k k k =-++++ ()()22461k k k =+++()()22141k k ⎡⎤=+++⎣⎦()()32141k k =+++，∴1n k =+时等式也成立． …………8分 根据①②，()()33+24n n T S n n n N +=+∈都成立． …………9分 （3）当3n ≥时，20n b n =>，∴1231211111154n b b b b b b ++++>+=． …………11分 又22212311111111123n b b b b n++++=++++()2111111223341n n <+++++⨯⨯-5111111423341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭5117424n =+-<． 综上可知：12351111744n b b b b <++++<成立． …………14分 20．（本小题满分14分）可解：（1）假设曲线()y f x =与()y g x =存在“内公切线”，记内公切线与曲线()xg x e =的切点为()00x y ，，则切线l方程为：()000x x y e e x x -=-． …………2分又由()000214x x y e e x x y x ⎧-=-⎪⎨=-⎪⎩可得：()00201104x x x e x x e ++-=． …………3分由于切线l 也和曲线()214f x x =-相切， 所以()()000200110x x x x ex e e e x ∆=--=-+=．000010x x e e x >∴-+=． …………4分当00x >时，0001,10xx e e x >∴-+>； 当00x =时，0001,10xx e e x =∴-+=； 当00x <时，0001,10x x e e x <∴-+<．所以000,1x y ==，故公切线l的方程为：1y x =+． …………5分下面证明1y x =+就是()f x 与()g x 内公切线，即证2114x x x e -≤+≤． ∵2221111110442x x x x x ⎛⎫⎛⎫+--=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2114x x -≤+成立． …………7分设()1xh x e x =--，则()/1xh x e =-．令()/0h x =，得0x =．当0x <时，()/0h x <，当0x >时，()/0h x >，∴()h x 在(),0-∞上为减函数，在()0+∞，上为增函数，所以()()00h x h ≥=，即1x x e +≤． …………9分∴2114x x x e -≤+≤，即1y x =+就是曲线()y f x =与()y g x =的内公切线． …………10分（2）∵()/xg x e =，∴21321x x x e e e x x -=-．要证明：132x x x <<，只需证明：2131221x x x x x e e e e e x x -<=<-，只需证明：()()12122121xxxxx x e e e x x e -<-<-，只需证明：()12121xxxx x e e e -<-，及()21221xxxe e x x e -<-，只需证明：()21211x xx x e --+<，及()12121x xx x e --+<． …………13分由（1）知：()1xx e x R +≤∈，所以()21211x x x x e --+<及()12121x xx x e --+<成立，∴132x x x <<． (14)分。
广东省东莞市2013-2014学年高二下学期期末考试数学理(A卷)试题Word版含答案
2013-2014学年广东省东莞市高二（下）期末试卷（A卷）数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题各有四个选项支，仅有一个选项支正确）1．（5分）对两个变量x和y进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），则下列说法中不正确的是（）A．由样本数据得到的回归方程=x+必过样本点的中心（，）B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2=1﹣来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好D．用相关指数R2=1﹣来刻画回归效果，R2的值越大，说明模型的拟合效果越好2．（5分）复数z=（i为虚数单位），则z的共轭复数z为（）A．2﹣i B．2+i C．4﹣2i D．4+2i3．（5分）随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）=0.4，则P（ξ＜2）=（）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.64．（5分）用反证法证明命题：“若a、b、c是三连续的整数，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c中至多有一个偶数B．假设a、b、c中至多有两个偶数C．假设a、b、c都是偶数D．假设a、b、c都不是偶数5．（5分）曲线y=ln（x+1）在x=0处的切线方程是（）A．y=x B．y=﹣x C．y﹣x D．y=2x 6．（5分）若随机变量X服从两点分布，其中P（X=0）=，则E（3X+2）和D（3X+2）的值分别是（）A．4和2 B．4和4 C．2和4 D．2和27．（5分）（x+）11的展开式中，常数项是（）A．第3项B．第4项C．第7项D．第8项8．（5分）计算：|1﹣x2|dx=（）A．﹣B．C．2D．9．（5分）7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．120 C．240 D．360 10．（5分）设f（x）=x3+ax2+bx+c，当x=x1∈（﹣1，0）时取得极大值，当x=x2∈（0，1）时取得极小值，则2b﹣a的取值范围为（）A．﹣3，1）B．（﹣2，1）C．（﹣1，1）D．（﹣2，﹣1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．（5分）某班收集了50位同学的身高数据，每一个学生的性别与其身高是否高于或低于k2的观测值k=≈4.84，因为K2≥3.841，所以在犯错误的概率不超过_________的前提下认为性别与身高有关系．12．（5分）若（1﹣2x）2014=a0+a1x+…+a2014x2014，则++…+=_________．13．（5分）等比数列{a n}中，a1=1，a2=2，f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）（x﹣a3）（x﹣a4），f′（x）为函数f（x）的导函数，则f′（0）=_________．14．（5分）从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有种取法．在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是取出m﹣1个白球，1个黑球，共有，即有等式：成立．试根据上述思想化简下列式子：=_________．（1≤k＜m≤n，k，m，m∈N）．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）已知z是复数，若z+2i为实数（i为虚数单位），且z（1﹣2i）为纯虚数．（1）求复数z；（2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．16．（12分）偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差x（单位：分）与物理偏差y（单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位（2）若该次考试该班数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由（1）的结论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩．参考数据：=20×6.5+15×3.5+13×3.5+3×1.5+2×0.5+（﹣5）×（﹣0.5）+（﹣10）×（﹣2.5）+（﹣18）×（﹣3.5）=324x=202+152+132+32+22+（﹣5）2+（﹣10）2+（﹣18）2=1256．17．（14分）抽奖游戏规则如下：一个口袋中装有完全一样的8个球，其中4个球上写有数字“5”，另外4个球上写有数字“10”．（1）每次摸出一个球，记下球上的数字后放回，求抽奖者四次摸球数字之和为30的概率；（2）若抽奖者每交2元钱（抽奖成本）获得一次抽奖机会，每次摸出4个球，若4个球数字之和为20或40则中一等奖，奖励价值20元的商品一件；若4个球数字之和为25或35则中二等奖，奖励价值2元的商品一件；若4个球数字之和为30则不中奖．试求抽奖者收益ξ（奖品价值﹣抽奖成本）的期望．18．（14分）已知f（x）=alnx，g（x）=f（x）+bx2+cx，且f′（2）=1，g（x）在x=和x=2处有极值．（1）求实数a，b，c的值；（2）若k＞0，判断g（x）在区间（k，2k）内的单调性．19．（14分）将正整数按如图的规律排列，把第一行数1，2，3，10，17，…记为数列{a n}（n∈N+），第一数列1，4，9，16，25，…记为数列{b n}（n∈N+）（1）写出数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，用数学归纳法证明：3（T n+T n）=2n3+4n （n∈N+）；（3）当n≥3时，证明：＜+++…+＜．20．（14分）定义：若曲线y=f（x）与y=g（x）都和直线y=kx+b相切，且满足：f（x）≤kx+b≤g （x）或g（x）≤kx+b≤f（x）恒成立，则称直线y=kx+b为曲线y=f（x）与y=g（x）的“内公切线”．已知f（x）=﹣x2，g（x）=e x．（1）试探究曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在“内公切线”？若存在，请求出内公切线的方程；若不存在，请说明理由；（2）g′（x）是函数g（x）的导设函数，P（x1，g（x1）），Q（x2，g（x2））是函数y=g（x）图象上任意两点，x1＜x2，且存在实数x3，使得g′（x3）=，证明：x1＜x3＜x2．2013—2014学年度第二学期教学质量检查高二理科数学（A 卷）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．0.05 12．1- 13．64 14． mk n C + 三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15．（本小题满分12分）解：（1）设(),z x yi x y R =+∈． ………1分由2z i +i y x )2(++=为实数，得02=+y ，即2y =-． ……2分 又()()()()12212421z i x i i x x i -=--=--+， (3)分由()12z i -为纯虚数，得()40210x x -=⎧⎪⎨+≠⎪⎩， …………5分∴4x =， ………6分 ∴i z 24-=． ……7分（2）∵i m m m mi z )2(8)124()(22-+++-=+， ………9分根据条件，可知⎪⎩⎪⎨⎧<->-+,0)2(8,04122m m m …………10分解得22<<-m ， ………11分∴实数m 的取值范围是()2,2-． ………12分16．（本小题满分12分） 解：（1）由题意，258)18()10()5(23131520=-+-+-+++++=x ， ……1分898)5.3()5.2()5.0(5.05.15.35.35.6=-+-+-+++++=y ， (2)分所以41)25(8125689258324ˆ2281281=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==xn x yx n y x bi i i i i ， ………4分21254189ˆˆ=⨯-=-=x b y a， …………6分 故y关于x 的线性回归方程：11ˆ42yx =+． …………7分 （2）由题意，设该同学的物理成绩为w ，则物理偏差为：5.91-w ． ………8分而数学偏差为128-120=8， …………9分∴218415.91+⨯=-w ， ……10分 解得94=w ， ……11分所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分． ………12分17．（本小题满分14分）解：（1）由题意，每次摸球写有数字“5”的概率为21． …1分 四次摸球数字之和为30，只能是两次摸到写有数字“5”，另两次写有数字“10”. …………2分设X 为4次摸球中写有数字“5”的次数，则)21,4(~B X ， …3分 所以抽奖者四次摸球数字之和为30的概率为：83)211()21()2(24224=-⨯⨯==-C X P ．……5分（2）由题意，抽奖者获得的收益ξ可取18元、0元、-2元. ……6分 从8个球中任取4个球的结果数为48C ，其中恰好有k 个球写有数字“5”的结果数为kk C C -⋅444，所以从8个球中任取4个球，其中恰好k 个球写有数字“5”的概率为：48444)(C C C k Y P k k -⋅==，4,3,2,1,0=k ， …………8分 所以351)4()0()18(48044044844444=⋅+⋅==+===--C C C C C C Y P Y P P ξ， (9)分3516)3()1()0(48344344814414=⋅+⋅==+===--C C C C C C Y P Y P P ξ， (10)分3518)2()2(4824424=⋅===-=-C C C Y P P ξ， ……11分 因此，随机变量ξ的分布列为…………12分35183518)2(3516035118)(-=⨯-+⨯+⨯=ξE . ………13分 所以，(1)抽奖者四次摸球数字之和为30的概率为38；(2) 抽奖者收益的期望为18-35元.…14分18．（本小题满分14分）解：（1）由x a x f ln )(=，得x a x f =')(，∴12)2(=='af ，即2=a ，∴x x f ln 2)(=.…2分∴cx bx x x g ++=2ln 2)(， 从而xcx bx c bx x x g 2222)(2++=++='. ……3分∵)(x g 在21=x 和2=x 处有极值， ∴0221)21(2)21(2=++⨯='xc b g ，02222)2(2=++⨯='x c b g ， ……5分解得：1=b ，5-=c ， …………7分 经检验：1=b ，5-=c 满足题意. …………8分（2）由（1），x x x x g 5ln 2)(2-+=，()2252()0x x g x x x-+'=>.令()0g x '>，得102x <<或2x >；令()0g x '<，得122x <<. ∴()g x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()2+∞，上单调递增，在122⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减.……9分 若0,212>≤k k 且，即410≤<k 时，)(x g 在区间)2,(k k 内的单调递增； (10)分若22210<<<<k k ，即2141<<k 时，)(x g 在区间)21,(k 内的单调递增，在区间)2,21(k 内 的单调递减； …………11分若2221≤<≤k k ，即121≤≤k 时，)(x g 在区间)2,(k k 内的单调递减；…12分若k k 2221<<<，即21<<k 时，)(x g 在区间)2,(k 内的单调递减，在区间)2,2(k 内的单调 递增； ………13分若2≥k ，)(x g 在区间)2,(k k 内的单调递增. ………14分19．（本小题满分14分）解：（1）由121n n a a n +-=-，得：21132322n a a n n n =++++-=-+， …3分2n b n =. …………4分（2）① 当1n =时，111T S ==，∴()1136T S +=，又3246n n +=，∴1n =时等式成立；……5分② 假设n k =时等式成立，即()3324k k T S k k +=+，则1n k =+时，()()()()()()223111133324311212k k k k k k T S T S b a k k k k k ++++⎡⎤+=+++=+++++-++⎣⎦()()232466161k k k k =++++-+ ()()()2216161k k k k k =-++++ ()()22461k k k =+++()()22141k k ⎡⎤=+++⎣⎦()()32141k k =+++，∴1n k =+时等式也成立． …………8分根据①②，()()33+24n n T S n n n N +=+∈都成立． ……9分（3）当3n ≥时，20n b n =>，∴1231211111154n b b b b b b ++++>+=． ……11分 又22212311111111123n b b b b n ++++=++++()2111111223341n n <+++++⨯⨯-5111111423341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭5117424n =+-<． 综上可知：12351111744n b b b b <++++<成立． ………14分20．（本小题满分14分）可解：（1）假设曲线()y f x =与()y g x =存在“内公切线”，记内公切线与曲线()xg x e =的切点为()00x y ，，则切线l 方程为：()000xx y e ex x -=-． ………2分又由()000214x x y e e x x y x⎧-=-⎪⎨=-⎪⎩可得：()00201104x x x e x x e ++-=． ………3分 由于切线l 也和曲线()214f x x =-相切， 所以()()000200110x x x x ex e e e x ∆=--=-+=．000010x x e e x >∴-+=． …………4分当00x >时，0001,10x x e e x >∴-+>； 当00x =时，0001,10x x e e x =∴-+=； 当00x <时，0001,10x x e e x <∴-+<．所以000,1x y ==，故公切线l 的方程为：1y x =+． (5)分下面证明1y x =+就是()f x 与()g x 内公切线，即证2114x x x e -≤+≤． ∵2221111110442x x x x x ⎛⎫⎛⎫+--=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2114x x -≤+成立． …………7分 设()1xh x e x =--，则()/1xh x e =-． 令()/0h x =，得0x =．当0x <时，()/0h x <，当0x >时，()/0h x >，∴()h x 在(),0-∞上为减函数，在()0+∞，上为增函数，所以()()00h x h ≥=，即1xx e +≤． ………9分∴2114x x x e -≤+≤，即1y x =+就是曲线()y f x =与()y g x =的内公切线． ……10分（2）∵()/x g x e =，∴21321x x x e e e x x -=-． 要证明：132x x x <<，只需证明：2131221x x x x x e e e e e x x -<=<-， 只需证明：()()12122121x x x xx x e e e x x e -<-<-， 只需证明：()12121x x x x x e e e -<-，及()21221x x xe e x x e -<-， 只需证明：()21211x x x x e--+<，及()12121x x x x e --+<． …………13分由（1）知：()1x x ex R +≤∈，所以()21211x x x x e --+<及()12121x x x x e --+<成立， ∴ 132x x x <<． …………14分。
广东省2013届高三最新理科试题精选(37套含13大市区的二模)分类汇编7立体几何
广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编7：立体几何一、选择题1 ．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）如图是一个几何体的三视图,若它的体积是,则a =（ ）AB C D 【答案】C2 ．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）如图,在透明塑料制成的长方体1111D C B A ABCD -容器内灌进一些水,将容器底面一边BC 固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个说法:①水的部分始终呈棱柱状;②水面四边形EFGH 的面积不改变; ③棱11D A 始终与水面EFGH 平行;④当1AA E ∈时,BF AE +是定值. 其中所有正确的命题的序号是（ ）A ．①②③B ．①③C ．②④D ．①③④【答案】D3 ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知某个几何体的三视图如图2所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),则这个几何体的体积是 （ ）A ．38cmB ．312cmC ．324cmD ．372cm【答案】B 解析:三视图的直观图是有一个侧面垂直于底面三棱锥,底面是底边长为6高为4的等腰三角形,三棱锥的高为3,所以,这个几何体的体积116431232V =⨯⨯⨯⨯= 4 ．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示,当a b +取最大值时,这个几何体的体积为（ ）A ．16B ．13C ．23D ．12【答案】D5 ．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆,那么这个几何体的全面积为（ ）A ．π4B ．π2C ．π3D ．23π【答案】D6 ．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是【答案】B7 ．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知一个几何体的三视图及其大小如图1,这个几何体的体积=V （ ）A ．π12B ．π16C ．π18D ．π64【答案】B8 ．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图2所示.若一个平行于 圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两部分,则截面的面积为 （ ） A ．14π B ．πC ．94π D ．4π【答案】C9 ．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））如图是某简单组合体的三视图,则该组合体的体积为图2（ ）A．π+ B．2)π+ C．D．2)+【答案】【解析】由三视图可知几何体是由截面相同的半个圆锥与半个三棱锥组合而成的.圆椎底面半径为6,椎体底面边长为12,高为.1111361262)3232V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+故选B .10．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）下列命题中假命题．．．是 （ ）A ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行;B ．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直;C ．若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;D ．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行,那么这两个平面相互平行. 【答案】B11．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图(1)示,则该几何体的体积为 （ ）A ．7B ．223 C ．476D ．233图(1)【答案】依题意可知该几何体的直观图如右上图,其体积为.3112322111323-⨯⨯⨯⨯⨯=,故选 D ．侧视图正视图12．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是 （ ）A ．403 B ．3C ．503D ．6【答案】A 二、填空题13．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积．．．等于_______【答案】6+14．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,正视图是正方形,俯视图为半圆,侧视图为矩形,则其表面保积为________【答案】π34+;15．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）已知某个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,侧视图是直角三角形,俯视图是等腰直角三角形则此三棱锥的体积等于_____________ .【答案】16．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））已知集合A B C 、、，A ={直线},B ={平面},C A B =.若,,a A b B c C ∈∈∈,给出下列四个命题:①//////a b a c c b ⎧⇒⎨⎩ ②//a b a c c b ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ③//a ba c cb ⎧⇒⊥⎨⊥⎩ ④//a ba c c b⊥⎧⇒⊥⎨⎩ 其中所有正确命题的序号是__________.【答案】【解析】由题意知:C 可以是直线,也可以是平面,当C 表示平面时,①②③都不对,故选④正确.17．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为___【答案】103三、解答题18．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）如图,在三棱拄111ABC A B C -中,AB ⊥侧面11BB C C ,已知11,3BC BCC π=∠=(Ⅰ)求证:1C B ABC ⊥平面;(Ⅱ)试在棱1CC (不包含端点1,)C C 上确定一点E 的位置,使得1EA EB ⊥; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,求二面角11A EB A --的平面角的正切值.EC 1B 1A1CA【答案】证(Ⅰ)因为AB ⊥侧面11BB C C ,故1AB BC ⊥在1BC C 中,1111,2,3BC CC BB BCC π===∠=由余弦定理有1BC == 故有 222111BC BC CC C B BC += ∴⊥而 BC AB B = 且,AB BC ⊂平面ABC∴1C B ABC ⊥平面(Ⅱ)由11,,,,EA EB AB EB ABAE A AB AE ABE ⊥⊥=⊂平面从而1B E ABE ⊥平面 且BE ABE ⊂平面 故1BE B E ⊥不妨设 CE x =,则12C E x =-,则221BE x x =+-又1123B C C π∠= 则2211B E x x =++在1Rt BEB 中有 22114x x x x +++-+= 从而1x =±(舍负)111故E 为1CC 的中点时,1EA EB ⊥ 法二:以B 为原点1,,BC BC BA为,,x y z 轴,设CE x=,则11(0,0,0),(1),(2B E x B A -- 由1EA EB ⊥得 10EAEB ⋅= 即11(1,,0)0222211(1)(2)02222x x x x x x x x ---=⎫---=⎪⎪⎭化简整理得 2320x x -+= 1x = 或 2x = 当2x =时E 与1C 重合不满足题意 当1x =时E 为1CC 的中点 故E 为1CC 的中点使1EA EB ⊥(Ⅲ)取1EB 的中点D ,1A E 的中点F ,1BB 的中点N ,1AB 的中点M 连DF 则11//DF A B ,连DN 则//DN BE ,连MN 则11//MN A B 连MF 则//MF BE ,且MNDF 为矩形,//MD AE 又1111,A B EB BE EB ⊥⊥ 故MDF ∠为所求二面角的平面角在Rt DFM 中,111(22DF A B BCE==∆为正三角形）111222MF BE CE === 1tan 22MDF ∴∠==法二:由已知1111,EA EB B A EB ⊥⊥, 所以二面角11A EB A --的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角因为11B A BA == 1(22EA =-- 故 11112cos tan 23EA B A EA B A θθ⋅==⇒=⋅19．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）四棱锥P —ABCD 中,侧面PDC 是MP A BC D • EF G 边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD 是∠ADC ︒=60的菱形,M 为PB 的中点,Q 为CD 的中点. (1) 求证:PA ⊥CD ;(2) 求AQ 与平面CDM 所成的角.【答案】解:(1)连结PQ ,AQ .∵△PCD 为正三角形, ∴PQ ⊥CD . ∵底面ABCD 是∠ADC ︒=60的菱形, ∴AQ ⊥CD. ∴CD ⊥平面PAQ ∴PA ⊥CD .(2)设平面CDM 交PA 于N ,∵CD //AB , ∴CD //平面PAB .∴CD //MN .由于M 为PB 的中点,∴N 为PA 的中点.又PD =CD =AD ,∴DN ⊥PA . 由(1)可知PA ⊥CD ,∴PA ⊥平面CDM∴平面CDM ⊥平面PAB . ∵PA ⊥平面CDM ,联接QN 、QA ,则∠AQN 为AQ 与平面CDM 所成的角 在Rt ∆PMA 中,AM =PM =3, ∴AP =6,∴AN =26,sin ∠AQN =AQ AN =22.∴∠AQN =45°(2)另解(用空间向量解): 由(1)可知PQ ⊥CD ,AQ ⊥CD .又由侧面PDC ⊥底面ABCD ,得PQ ⊥AQ .因此可以如图建立空间直角坐标系xyz Q -易知P (0 , 0 ,3)、A (3, 0 , 0)、B (3, 2 , 0)、C (0 , 1 , 0)、D (0 , -1 , 0)①由=(3, 0 , -3),=(0 , -2 , 0),得⋅=0. ∴PA ⊥CD②由M (23, 1 , -23),CM =(23, 0 , -23),得⋅CM =0. ∴PA ⊥CM∴PA ⊥平面CDM ,即平面CDM ⊥平面PAB .从而就是平面CDM 的法向量设AQ 与平面所成的角为θ , 则sin θ =|cos<,PA >|=22|633|=⨯. 第18题图CB DQPMBCBDQPM 第17题图∴AQ 与平面所成的角为45°20．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）如图,PA 垂直⊙O 所在平面ABC,AB 为⊙O 的直径,PA=AB,14BF BP =,C 是弧AB 的中点. (1)证明:BC ⊥平面PAC; (2)证明:CF ⊥BP;(3)求二面角F —OC —B 的平面角的正弦值.【答案】证明:(1)∵PA ⊥平面ABC,BC ⊂平面ABC,∴BC ⊥PA∵∠ACB 是直径所对的圆周角, ∴90o ACB ∠=,即BC ⊥AC又∵PA AC A =,∴BC ⊥平面PAC(2)∵PA ⊥平面ABC,OC ⊂平面ABC, ∴OC ⊥PA∵C 是弧AB 的中点,∴∆ABC 是等腰三角形,AC=BC, 又O 是AB 的中点,∴OC ⊥AB又∵PA AB A =,∴OC ⊥平面PAB ,又PB ⊂平面PAB ,∴BP OC ⊥设BP 的中点为E,连结AE,则//OF AE ,AE BP ⊥ ∴BP OF ⊥∵OC OF O =,∴BP ⊥平面CFO . 又CF ⊂平面CFO ,∴CF BP ⊥ 解:(3)由(2)知OC ⊥平面PAB ,∴OF OC ⊥,OC OB ⊥, ∴BOF ∠是二面角F OC B --的平面角 又∵BP OF ⊥,045FBO ∠=,∴045FOB ∠=,∴sin FOB ∠=,即二面角F OC B --21．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.(Ⅰ)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积;(Ⅱ)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1? 如何组拼?试证明你的结论;(Ⅲ)在(Ⅱ)的情形下,设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点为E, 求平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值.【答案】解:(Ⅰ)该几何体的直观图如图1所示,它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD 是边长为6的 正方形,高为CC 1=6,故所求体积是7266312=⨯⨯=V(Ⅱ)依题意,正方体的体积是原四棱锥体积的3倍,故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体, 其拼法如图2所示证明:∵面ABCD 、面ABB 1A 1、面AA 1D 1D 为全等的正方形,于是D D AA C A ABB C ABCD C V V V 1111111---== 故所拼图形成立(Ⅲ)方法一:设B 1E,BC 的延长线交于点G, 连结GA,在底面ABC 内作BH⊥AG,垂足为H, 连结HB 1,则B 1H⊥AG,故∠B 1HB 为平面AB 1E 与 平面ABC 所成二面角或其补角的平面角 在Rt△ABG 中,180=AG ,则512180126=⨯=BH ,5182121=+=BB BH H B 32cos 11==∠HB HB HB B ,故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为32± 方法二:以C 为原点,CD 、CB 、CC 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立直角坐标系(如图3),∵正方体棱长为6,则E(0,0,3),B 1(0,6,6),A(6,6,0). 设向量n =(x ,y ,z ),满足n ⊥1EB ,n ⊥1AB ,正视图侧视图俯视图于是⎩⎨⎧=+-=+066036z x z y ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-==z y zx 21取z =2,得n =(2,-1,2). 又=1BB (0,0,6),321812||||,cos 111==>=<BB n BB 故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为32±22．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）如图,三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥平面ABC ,D 、E 分别为11A B 、1AA 的中点,点F 在棱AB 上,且14AF AB =. (Ⅰ)求证://EF 平面1BDC ;(Ⅱ)在棱AC 上是否存在一个点G ,使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15,若存在,指出点G 的位置;若不存在,说明理由.【答案】所以符合要求的点G 不存在.23．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）如图5,在四棱锥P ABCD -中,底面为直角梯形,//,90AD BC BAD ︒∠=,PA 垂直于底面ABCD ,22,,PA AD AB BC M N ====分别为,PC PB 的中点.(1)求证:PB DM ⊥;(2)求平面ADMN 与平面ABCD 所成的二面角的余弦值;(3)求点B 到平面PAC 的距离.【答案】解:(1)证明:因为N 是PB 的中点,PA AB =, 所以AN PB ⊥由PA ⊥底面ABCD ,得PA AD ⊥, 又90BAD ︒∠=,即BA AD ⊥,又,BA PA 在平面PAB 内,∴ AD ⊥平面PAB ,所以AD PB ⊥ ,又,AD AN 在平面ADMN 内,∴ PB ⊥平面ADMN , ∴PB DM ⊥.(2)方法一:由(1)知,AD ⊥平面PAB ,所以AN AD ⊥ , 由已知可知,AB AD ⊥所以BAN ∠是平面ADMN 与平面ABCD 所成的二面角的平面角 在直角三角形PAB 中,PB ===因为N 直角三角形PAB 斜边PB 的中点,所以AN =在直角三角形NAB 中,cos 2AN BAN AB ∠== 即平面ADMN 与平面ABCD所成的二面角的余弦值为2. 方法二:如图建立空间直角坐标系,则(0,0,0),(1,0,1)A N ,(0,2,0)D(1,0,1)AN =,(0,2,0)AD =设平面ADMN 的法向量为(,,)n x y z =,则0n AN n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩即020x z y +=⎧⎨=⎩,令1z =-,则1x =,所以平面ADMN 的一个法向量为(1,0,1)n =- 显然(0,0,2)a =是平面ABCD 的一个法向量 设平面ADMN 与平面ABCD 所成的二面角的平面角为θ,则cos ||||222n ana θ-===⋅⋅即平面ADMN 与平面ABCD .(3)由已知得,AC ==11122123323P ABC ABC V S PA -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=设点B 到平面PAC 的距离为h ,则1112332B ACP ACP V S h h -∆=⋅=⨯⨯=由P ABC B ACP V V --=,即233h =,得5h =即点B 到平面PAC 的距离5. 24．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）如图5,在四棱锥ABCD P -中,PA ⊥平面ABCD ,4=AB ,3=BC ,090,5=∠=∠=ABC DAB AD ,E 是CD 的中点.(1)求证:CD ⊥平面PAE ;(2)若直线PB 与平面PAE 所成的角和直线PB 与平面ABCD 所成的角相等,求四棱锥ABCD P -的体积.【答案】(1)如图(1),连接AC ,由090,3,4=∠==ABC BC AB,得5=AC5,AD =又E 是CD 的中点,所以.CD AE ⊥,,PA ABCD CD ABCD ⊥⊂平面平面所以.PA CD ⊥而,PA AE 是平面PAE 内的两条相交直线,所以CD ⊥平面PAE (2)过点B 作,,,,.BG CD AE AD F G PF //分别与相交于连接由(1)CD ⊥平面PAE 知,BG ⊥平面PAE .于是BPF ∠为直线PB 与平面PAE 所成的角,且BG AE ⊥由PA ABCD ⊥平面知,PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角 由题意,知,PBA BPF ∠=∠因为sin ,sin ,PA BF PBA BPF PB PB∠=∠=所以.PA BF = 由90//,//,DAB ABC AD BC BG CD ∠=∠=知，又所以四边形BCDG 是平行四边形,故3.GD BC ==于是 2.AG =在Rt ΔBAG 中,4,2,,AB AG BG AF ==⊥所以2AB BG BF BG =====于是PA BF ==又梯形ABCD 的面积为1(53)416,2S =⨯+⨯=所以四棱锥P ABCD -的体积为111633V S PA =⨯⨯=⨯=解法2:如图(2),以A 为坐标原点,,,AB AD AP 所在直线分别为x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设,PA h =则相关的各点坐标为:),0,0(),0,4,2(),0,5,0(),0,3,4(),0,0,4(),0,0,0(h P E D C B A(1)易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,).CD AE AP h =-==因为8800,0,CD AE CD AP ⋅=-++=⋅=所以,.CD AE CD AP ⊥⊥而,AP AE 是平面PAE 内的两条相交直线,所以.CD PAE ⊥平面 (2)由题设和(1)知,,CD AP 分别是PAE 平面、ABCD 平面的法向量 由(1)知,(4,2,0),(0,0,),CD AP h =-=-而直线PB 与PAE 平面所成的角和直线PB 与ABCD 平面所成的角相等,所以cos ,cos ,.CD PB PA PB CD PB PA PB CD PBPA PB⋅⋅<>=<>=⋅⋅,即由(4,0,),PB h =-故222160016520016hh h h+⋅++=+⋅++-解得h =又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S =⨯+⨯=,所以四棱锥P ABCD -的体积为 111633V S PA =⨯⨯=⨯=25．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）如图,在底面为直角梯形的四棱锥ABCD P -中,BC AD //,︒=∠90ABC ,⊥PD 平面ABCD ,1=AD ,3=AB ,4=BC (1)求直线AB 与平面PDC 所成的角;(2)设点E 在棱PC 上,λ=,若//DE 平面PAB ,求λ的值.APEC DB【答案】解1:(1)∵⊥PD 平面ABCD ⊂PD 面PDC∴平面⊥PDC 平面ABCD过D 作AB DF //交BC 于F 过点F 作CD FG ⊥交CD 于G , ∵平面 PDC 平面CD ABCD =∴⊥FG 面PDC∴FDG ∠为直线AB 与平面PDC 所成的角 在DFC Rt ∆中,︒=∠90DFC ,3=DF ,3=CF ∴3tan =∠FDG , ∴︒=∠60FDG即直线AB 与平面PDC 所成角为︒60(2)连结EF ,∵AB DF //,⊄DF 平面PAB ,⊂AB 平面PAB ∴//DF 平面PAB又∵//DE 平面PAB 且D DF DE = ∴平面//DEF 平面PABPEFBCDAGPE∴AB EF //又∵1=AD ,4=BC ,1=BF∴41==BC BF PC PE ∴41=,即41=λ 解2:如图,在平面ABCD 内过D 作直线AB DF //,交BC 于F ,分别以DA 、DF 、DP 所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.设a PD =,则)0,0,0(D 、)0,0,1(A 、)0,3,1(B 、)0,3,3(-C 、),0,0(a P (1)设面PDC 的法向量为),,(z y x n = ∵)0,3,3(-=DC 、),0,0(a =∴由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00 得⎪⎩⎪⎨⎧==+-0033az y x 令1=x 可解得⎪⎩⎪⎨⎧==03z y∴)0,3,1(=n ∵)0,3,0(= ∴2323030||||,cos =⨯++=⋅<n AB n AB ∴直线AB 与平面PDC 所成的角θ,则23|,cos |sin =><=θ∵︒<<︒900θ ∴︒=60θ 即直线AB 与平面PDC 所成的角为︒60(2)∵),3,3(a PC --= ∴),3,3(λλλλa --==∴),3,3(),3,3(),0,0(λλλλλλa a a a --=--+=+= 设面PAB 的法向量为),,(111z y x = ∵)0,3,0(=、),0,1(a -=∴由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00 得⎪⎩⎪⎨⎧=-=003az x y 令1=z 可解得⎩⎨⎧==a x y 0∴)1,0,(a =若//DE 平面PAB ,则003)1,0,(),3,3(=-++-=⋅--=⋅λλλλλa a a a a a m DE 而0≠a , 所以41=λ 26．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））如图,ABC ∆的外接圆⊙OB其中AB 为圆直径,CD ⊥⊙O 所在的平面,//,4,2BE CD CD BC ==,且1BE =. (1)求证:平面ADC ⊥平面BCDE ;(2)试问线段DE 上是否存在点M,使得直线AM 与平面ACD 所成角的正弦值为27?若存在,确定M 的位置,若不存在,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)∵AB 是直径,∴AC⊥BC,又∵CD ⊥平面ABC,∴CD⊥BC,故BC⊥平面ACDBC ⊂平面BCDE,∴平面ADC ⊥平面BCDE(Ⅱ)方法一:假设点M 存在,过点M 作MN⊥CD 于N, 连结AN,作MF⊥CB 于F,连结AF∵平面ADC ⊥平面BCDE,∴MN⊥平面ACD,∴∠MAN 为MA 与平面ACD 所成的角 设MN=x ,计算易得,DN=32x ,MF=342x -故AM ===2sin 7MNMAN AM∠===12分 解得:83x =-(舍去) 43x =,故23MN CB =,从而满足条件的点M 存在,且23DM DE = 方法二:建立如图所示空间直角坐标系C —xyz ,则:A(4,0,0),B(0,2,0),D(0,0,4),E(0,2,1),C(0,0,0)则(0,2,3)DE =-易知平面ACD 的法向量为C (0,2,0)OB =,假设M 点存在,设(,,)M a b c ,则(,,4)DM a b c =-, 再设,(0,1]DM DE λλ=∈00224343a a b b c c λλλλ==⎧⎧⎪⎪∴=⇒=⎨⎨⎪⎪-=-=-⎩⎩,即(0,2,43)M λλ-, 从而(4,2,43)AM λλ=--设直线AM 与平面ACD 所成的角为θ,则:22sin cos ,72164OB θλ==++ 22sin cos ,72164OB θλ===+解得4233λλ=-=或,其中4(0,1]3λ=-∉应舍去,而2(0,1]3λ=∈故满足条件的点M 存在,且点M 的坐标为4(0,,2)327．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q 为AD 的中点,M 是棱PC 上的点,PA=PD=2,BC=12. (1)若点M 是棱PC 的中点,求证:PA // 平面BMQ;(2)求证:平面PQB⊥平面PAD;(3)若二面角M-BQ-C 为30°,设PM=tMC,试确定t 的值 .【答案】(Ⅱ)∵AD // BC,BC=12AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD // BQ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BQ⊥平面PAD∵BQ⊂平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD另证:AD // BC,BC=12AD,Q为AD的中点∴ BC // DQ 且BC= DQ,∴ 四边形BCDQ为平行四边形,∴CD // BQ .∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD∵ PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ∵ AD⊂平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD(Ⅲ)∵PA=PD,Q为AD的中点, ∴PQ⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD(不证明PQ⊥平面ABCD 直接建系扣1分) 如图,以Q 为原点建立空间直角坐标系. 则平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =;(0,0,0)Q,P,B,(C -设(,,)M x y z ,则(,,PM x y z =,(1,)MC x y z =---,∵PM tMC =,∴ (1))(x t x y t y z t z =--⎧⎪=⎨⎪=-⎩）, ∴ 111t x ty t z t⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩28．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）如图所示,已知AB 为圆O 的直径,点D 为线段AB 上一点,且13AD DB =,点C 为圆O 上一点,且BC =.点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ,PD DB =.(1)求证:PA CD ⊥;(2)求二面角C PB A --的余弦值.第18题图【答案】解析:(Ⅰ)法1:连接CO ,由3AD DB =知,点D 为AO 的中点, 又∵AB 为圆O 的直径,∴AC CB ⊥, 由BC =知,60CAB ∠=, ∴ACO ∆为等边三角形,从而CD AO ⊥ ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D , ∴PD ⊥平面ABC ,又CD ⊂平面ABC , ∴PD CD ⊥, 由PDAO D =得,CD ⊥平面PAB ,又PA ⊂平面PAB ,∴PA CD ⊥(注:证明CD ⊥平面PAB 时,也可以由平面PAB ⊥平面ACB 得到,酌情给分.) 法2:∵AB 为圆O 的直径,∴AC CB ⊥,在Rt ABC ∆中设1AD =,由3AD DB =BC =得,3DB =,4AB =,BC =,∴BD BC BC AB ==,则BDC BCA ∆∆∽, ∴BCA BDC ∠=∠,即CD AO ⊥ ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D , ∴PD ⊥平面ABC ,又CD ⊂平面ABC , ∴PD CD ⊥, 由PDAO D =得,CD ⊥平面PAB ,又PA ⊂平面PAB ,∴PA CD ⊥法3:∵AB 为圆O 的直径,∴AC CB ⊥, 在Rt ABC ∆BC =得,30ABC ∠=, 设1AD =,由3AD DB =得,3DB =,BC =由余弦定理得,2222cos303CD DB BC DB BC =+-⋅=,∴222CD DB BC +=,即CD AO ⊥. - ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D , ∴PD ⊥平面ABC ,又CD ⊂平面ABC , ∴PD CD ⊥, 由PDAO D =得,CD ⊥平面PAB ,又PA ⊂平面PAB ,∴PA CD ⊥(Ⅱ)法1:(综合法)过点D 作DE PB ⊥,垂足为E ,连接CE 由(1)知CD ⊥平面PAB ,又PB ⊂平面PAB , ∴CD PB ⊥,又DE CD D =, ∴PB ⊥平面CDE ,又CE ⊂平面CDE , ∴CE PB ⊥,∴DEC ∠为二面角C PB A --的平面角 由(Ⅰ)可知CD =,3PD DB ==,(注:在第(Ⅰ)问中使用方法1时,此处需要设出线段的长度,酌情给分∴PB =则2PD DB DE PB ⋅===, ∴在Rt CDE ∆中,tan 3CD DEC DE ∠===, ∴cos 5DEC ∠=,即二面角C PB A --的余弦值为5法2:(坐标法)以D 为原点,DC 、DB 和DP 的方向分别为x 轴、y 轴和z 轴的正向,建立如图所示的空间直角坐标系(注:如果第(Ⅰ)问就使用“坐标法”时,建系之前先要证明CD AB ⊥,酌情给分.) 设1AD =,由3AD DB =BC =得,3PD DB ==,CD =∴(0,0,0)D ,C ,(0,3,0)B ,(0,0,3)P , ∴(3,0,3)PC =-,(0,3,3)PB =-,(CD =,由CD ⊥平面PAB ,知平面PAB 的一个法向量为(CD = 设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ,则00PC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即30330y y z -=-=⎪⎩,令1y =,则x =1z =,∴=n ,设二面角C PB A --的平面角的大小为θ,则cos 5||5CD CD θ⋅===-⋅n |n |, ∴二面角C PB A --的余弦值为529．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））等边三角形ABC 的边长为3,点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且满足AD DB =12CE EA =(如图 3).将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置,使二面角1A DE B --成直二面角,连结1A B 、1AC (如图4).(1)求证:1A D ⊥平面BCED ;(2)在线段BC 上是否存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60?若存在,求出PB 的长,若不存在,请说明理由.【答案】(本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识,考查空间想象能力和运算求解能力等,本小题满分14分)证明:(1)因为等边△ABC 的边长为3,且AD DB =12CE EA =,所以1AD =,2AE =. 在△ADE 中,60DAE ∠=,由余弦定理得3DE ==. 因为222AD DE AE +=, 所以AD DE ⊥. 折叠后有1A D DE ⊥因为二面角1A DE B --是直二面角,所以平面1A DE ⊥平面BCED 又平面1A DE平面BCED DE =,1A D ⊂平面1A DE ,1A D DE ⊥,所以1A D ⊥平面BCED(2)解法1:假设在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60. 如图,作PH BD ⊥于点H ,连结1A H 、1A P 由(1)有1A D ⊥平面BCED ,而PH ⊂平面BCED , 所以1A D ⊥PH又1A DBD D =,所以PH ⊥平面1A BD所以1PA H ∠是直线1PA 与平面1A BD 所成的角 设PB x =()03x ≤≤,则2xBH =,PH x =在Rt △1PA H 中,160PA H ∠=,所以112A H x = 在Rt △1A DH 中,11A D =,122DH x =- 由22211A D DH A H +=,得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得52x =,满足03x ≤≤,符合题意 所以在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60,此时52PB =解法2:由(1)的证明,可知ED DB ⊥,1A D ⊥平面BCED .以D 为坐标原点,以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y标系D xyz -如图 设2PB a =()023a ≤≤,则BH a =,PH =,2DH a =-所以()10,0,1A ,()2,0P a -,()E 所以()12,,1PA a =- 因为ED ⊥平面1A BD ,所以平面1A BD 的一个法向量为()DE = 因为直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60, 所以11sin 60PA DE PA DE===, 解得54a =即522PB a ==,满足023a ≤≤,符合题意所以在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60,此时52PB =30．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））(本小题满分14分)如图,111ABC A B C -中,侧棱与底面垂直, AB AC ⊥,12AB AC AA ===,点,M N 分别为1A B 和11B C 的中点.(1)证明: 11//MN A ACC 平面; (2)求二面角N MC A --的正弦值.B 1A 1PC 1NCBAMB 1【答案】(本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 解 :(1)证法一: 连接1,1AB AC由题意知,点,M N 分别为1AB 和11B C 的中点,1//MN AC ∴又MN ⊂平面11A ACC ,1AC ⊂平面11A ACC , //MN ∴平面11A ACC证法二:取11A B 中点P ,连,MP NP ,而,M N 分别为1AB 与11B C 的中点,1//MP A A ∴,11MP A ACC ⊄平面,111AA A ACC ⊂平面, 11//MP A ACC ∴平面, 同理可证11//NP A ACC 平面又MP NP P = ∴平面MNP //平面11A ACC MN ⊂平面MNP ,//MN ∴平面11A ACC证法三(向量法): 以点A 为坐标原点,分别以直线1,,AB AC AA 为x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系A xyz-,如图所示.于是(0,0,0),(2,0,0),A B (1,0,1),(1,1,2)M N 1,AB AC AB AA ⊥⊥,1ACAA A =,11AB A ACC ∴⊥平面∴向量(2,0,0)AB 是平面11A ACC 的一个法向量(0,1,1)MN ,2001010AB MN ⋅=⨯+⨯+⨯=AB MN ∴⊥又11MN A ACC ⊄平面 //MN ∴平面11A ACC(2)解法一: 以点A 为坐标原点,分别以直线1,,AB AC AA 为x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系A xyz -,如图所示.于是(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)A B C ,111(0,0,2),(2,0,2),(0,2,2)A B C ,(1,0,1),(1,1,2)M NB 1A 1QPHOD 1DC 1NC B A MB 1PQHOMD 1CA由(1)知1MA 是平面MCA 的一个法向量, 1(1,0,1)MA =-设平面NMC 的法向量为(,,)n x y z =,(0,1,1)MN =,(1,2,1)MC =--,002030n MN y z y z x y z x zn MC ⎧⋅=+==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+-==-⋅=⎩⎩⎪⎩, (3,1,1)n ∴=-设向量1MA 和向量n 的夹角为θ,则11cos (MAn MA nθ⋅===- ∴二面角N MC A --==解法二(几何法):如图,将几何体补形成一个正方体,连11DC CD 、交于点O ,连11B A B O 、,显然,11A M C B D O 、、、、、,都在同一平面11ACB D 上 易证1//B O MC ,11C O CD ⊥,11B D ⊥平面11C CDD ,1C O ⊂平面11C CDD , 111C O B D ∴⊥,又1111B D CD D =1C O ∴⊥平面11ACB D . 取1B O 中点H ,连NH ,N H 、分别是111,B O B C 的中点1//NH C O ∴,NH ∴⊥平面11ACB D ,且H 为垂足,即NH ⊥平面AMC ,过点O 作OPMC ⊥于P ,过H 作//HQ OP 交MC 于Q ,连NQ , 则NQH ∠即是所求二面角N MC A --的补角 在RtMAC ∆中,CM===, sin AM MCA MC ∠===,sin sin()cos2OCP MCA MCA π∠=-∠=∠==, 在Rt OPC ∆中,sin OCP ∠=,OP ∴==HQOP ∴==又112MH C O ==∴在Rt NQH ∆中,NQ ===sin NH NQH NQ ∴∠===∴所求二面角N MC A --31．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）如图甲,设正方形ABCD的边长为3,点E F 、分别在AB CD 、上,并且满足22AE EB CF FD ==，,如图乙,将直角梯形AEFD 沿EF 折到11A EFD 的位置,使点1A 在平面EBCF 上的射影G 恰好在BC 上.(1)证明:1//A E 平面1CD F ;(2)求平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角的余弦值.【答案】⑴证明:在图甲中,易知//AE DF ,从而在图乙中有11//A E D F ,因为1A E ⊄平面1CD F ,1D F ⊂平面1CD F ,所以1//A E 平面1CD F (条件2分) ⑵解法1、如图,在图乙中作GH EF ⊥,垂足为H ,连接1A H ,由于1A G ⊥平面EBCF ,则1AG EF ⊥, 所以EF ⊥平面1AGH ,则1EF A H ⊥, BECD F图甲1A EFBC1DG图乙A 第18题图所以1A HG ∠平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角的平面角, 图甲中有EF AH ⊥,又GH EF ⊥,则A G H 、、三点共线,设CF 的中点为M ,则1MF =,易证ABG EMF ∆≅∆,所以,1BG MF ==,AG =; (三角形全等1分) 又由ABGAHE ∆∆,得1AB AE A H AH AG ===, 于是,HG AG AH =-=在1Rt AGH ∆中,112cos 3HG AGH A H ∠==,即所求二面角的余弦值为23解法2、如图,在图乙中作GH EF ⊥,垂足为H ,连接1A H ,由于1A G ⊥平面EBCF ,则1AG EF ⊥, 所以EF ⊥平面1A GH ,则1EF A H ⊥,图甲中有EF AH ⊥,又GH EF ⊥,则A G H 、、三点共线,设CF 的中点为M ,则1MF =,易证ABG EMF ∆≅∆,所以1BG MF ==,则AG =; 又由ABGAHE ∆∆,得1AB AE A H AH AG ===, A BE CDF图甲1A EFC1D图乙GMHHE 图丙于是,HG AG AH =-=在1Rt AGH ∆中,1AG ===作//GT BE 交EF 于点T ,则TG GC ⊥,以点G 为原点,分别以1GC GT GA 、、所在直线为x y z 、、轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系,则(0,0,0)G 、(1,1,0)E -、(2,2,0)F、1A ,则1(1,3,0)(EF EA ==-，(坐标系、坐标、向量各1分) 显然,1GA =是平面BEFC 的一个法向量,设(,,)n x y z =是平面11A EFD 的一个法向量,则130,0n EF x y n EA x y ⎧=+=⎪⎨=-+=⎪⎩,即3,x y z =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,不妨取1y =-,则(3,1,n =-,设平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角为θ,可以看出,θ为锐角,所以,121|032cos 3||||23(1)GA n GA n θ⨯===+-,所以,平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角的余弦值为2332．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）在图(4)所示的长方形ABCD 中,AD=2AB=2,E 、F 分别为AD 、BC 的中点, M 、N 两点分别在AF 和CE 上运动,且AM=EN=a (0a <<把长方形ABCD 沿EF 折成大小为θ的二面角A-EF-C,如图(5)所示,其中(0,]2πθ∈图（5）图（4）MN FDC B E(1)当045θ=时,求三棱柱BCF-ADE 的体积;G EABCDFNMN 1M 1EA BC DFNMQEABC DFNM(2)求证:不论θ怎么变化,直线MN 总与平面BCF 平行; (3)当090θ=且2a =时,求异面直线MN 与AC 所成角余弦值.【答案】解:(1)依题意得,,EF DE EF AE EF ⊥⊥∴⊥平面ADE ,DEA ∠=θ由45θ=得,12sin 4524ADE S DEEA ∆=⋅=, ∴BCF ADE ADE V S EF -∆=⋅=(2)证法一:过点M 作1MM BF ⊥交BF 于1M , 过点N 作1NN CF ⊥交BF 于1N ,连结11M N , ∵11//,//MM AB NN EF ∴11//MM NN 又∵11MM NN FM CN AB FA CE EF===∴11MM NN = ∴四边形11MNN M 为平行四边形,11//MN N M ∴,11,,MN BCF N M BCF ⊄⊂又面面//.MN BCF ∴面【法二:过点M 作MG EF ⊥交EF 于G,连结NG,则,CN FM FGNE MA GE == //NG CF ∴,,//NG BCF CF BCF NG BCF ⊄⊂∴又面面面,同理可证得//MG BCF 面,又MG NG G =, ∴平面MNG//平面BCF∵MN ⊂平面MNG, //MN BCF ∴面 】 (3)法一:取CF 的中点为Q,连结MQ 、NQ,则MQ//AC, ∴NMQ ∠或其补角为异面直线MN 与AC 所成的角,∵090θ=且2a =∴12NQ=,2MQ ==,2MN ∴=222cos 23QM MN NQ NMQ MN QM +-∴∠==⋅即MN 与AC 所成角的余弦值为3【法二:∵090θ=且a =分别以FE 、FB 、FC 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系则111111(1,1,0),(0,0,1),(,,0),(,0,),(1,1,1),(0,,),222222A C M N AC MN =--=-得cos ,AC MN ∴<>==所以与AC】 33．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））如图,在边长为4的菱形ABCD中,60DAB ∠=,点E,F 分别在边CD,CB 上,点E 与点C,点D 不重合,EF AC ⊥, EF AC O ⋂= ,沿EF 将CEF ∆折起到PEF ∆的位置,使得平面PEF ⊥ 平面ABFED(1)求证:BD ⊥平面POA (2)设AOBD=H,当O 为CH 中点时,若点Q 满足AQ QP ＝,求直线OQ 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】。
2013高考全国2卷数学理科试题及答案详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝( )．A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )．A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )．A．13 B ．13-C．19 D．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则( )．A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )．A．－4 B．－3 C．－2 D．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝( )．A ．111 1+2310+++B．111 1+2!3!10!+++C．111 1+2311+++D．111 1+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )．A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a＞0，x，y满足约束条件1,3,3.xx yy a x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )．A．14 B．12 C．1 D．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．112⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．113⎛⎤⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
广东省东莞市2013届高三上学期期末教学质量检测数学(理)试题
东莞2012-2013学年度第—学期高三调研测试理科数学考生注意：本卷共三大题，满分150分，时问120分钟．不准使用计算器 参考公式：若事件A 与事件B 相互独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ）．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题各有四个选择支，仅有一 个选择支正确．请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．） 1．若a 实数，1(2)ai i i +=-，则a 等于A ．2B ．-1C ．1D ．-2 2．若函数21()cos ()2f x x x R =-∈，则()f x 是 A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数3．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50) （单 位：元），其中支出在[)30,50（单位：元）的同学 有67人，其频率分布直方图如右图所示，则n 的值为 A ．100 B ．120 C ．130 D ．390 4．等差数列{}n a 中，192a =-,352a =-,则该数列前n 项 和n S 取得最小值时n 的值是A ．4B ．5C ．6D ．75．设m 、n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则m a ⊥的—个充分条件是A ．m//n,n //β, αβ⊥B ．,n //β,α//βmC ．m//n ，n β⊥,α//β D ．m n ⊥,n β⊥,αβ⊥6．甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，采取3局2胜制(即3局内谁先赢2局就算胜出，比赛结束，每局比赛没有平局，每局甲获胜的概率为35，则比赛打完3局且甲取胜的概率为 A ．18125 B ．36125 C ．925 D ．18257．2012翼装飞行世界锦标赛在张家界举行，某翼人 空中高速飞行，右图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度()v x 与时间x 的关系，若定义“速度差函数”()u x 为时间段[]0,x 内的最大速度与最小速度的差，则()u x 的图像是８．设集合{}012,,S A A A =，在S 上定义运算⊕：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被3除的余数，{},1,2,3i j ∈，则使关系式0()i j i A A A A ⊕⊕=成立的有序数对(,)i j 总共有 A ．１对 B ．２对 C ．３对 D ．４对 ９．已知函数1()1f x x=-的定义域为Ｍ，()ln g x x =的定义域为Ｎ， 则M N ＝ ．10．已知变量x,y 满足120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则z x y =+的最小值是 。
广东省12大市2013届高三二模数学(理)试题分类汇编5数列
广东省12大市2013届高三二模数学（理）试题分类汇编5：数列姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题1 ．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）已知数列{}{},n n a b 都是公差为1的等差数列,其首项分别为1,a b 且*1111125,,,a b a b a b N +=>∈,则数列{}n b 的前10项和等于（ ）A ．55B ．70C ．85D ．1002 ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））已知等差数列共有10项,其中奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差是 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．23 ．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）设()f x 是定义在(0,1)上的函数,对任意的1y x >>都有11()()()1y x f f f xy x y -=--,记21()()55n a f n N n n *=∈++,则81ii a=∑=（ ）A ．1()2fB ．1()3fC ．1()4fD ．1()5f4 ．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）在等差数列{}n a 中,首项10,a =公差0d ≠,若129m a a a a =+++,则m 的值为（ ）A ．37B ．36C ．20D ．195 ．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）已知数列}{n a 是等差数列,若3,244113==+a a a ,则数列}{n a 的公差等于 （ ）A ．1B ．3C ．5D ．6二、填空题6 ．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））已知{a n }的前n 项之和为n S ,a1=1, S n = 2a n+1,则n S =______7 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））在n n ⨯ 的方格中进行跳棋游戏.规定每跳一步只能向左,或向右,或向上,不能向下,且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格.设 ()f n 表示从左下角“○”位置开始,连续跳到右上角“☆”位置结束的所有不同路径的条数.如图 4,给出了3n = 时的一条路径.则(3)f =_________;()f n =____________.(二)选做题:第14、15题为选做题,考生只能从中选做一题.8 ．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）将集合{22st +|0s t≤<且,s t Z ∈}中的元素按上小下大,左小右大的顺序排成如图的三角形数表,将数表中位于第行第j 列的数记为i j b (0i j ≥>),则65b =________.9 ．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））在等差数列{}n a 中,有67812a a a ++=,则此数列的前13项之和为__________ .10．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））数列}{n a 的项是由1或2构成,且首项为1,在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2,即数列}{n a为:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,,记数列}{n a 的前n 项和为n S ,则20S =___;2013S =___.11．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知等差数列{}n a 的首项11=a ,前三项之和93=S ,则{}n a 的通项____=n a .三、解答题12．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,对一切正整数n ,点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图像上,且过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k . (1)求数列}{n a 的通项公式. (2)若n k na b n 2=,求数列}{n b 的前n 项和n T .(3)设},2{},,{**∈==∈==N n a x x R N n k x x Q n n ,等差数列}{n c 的任一项n c Q R ∈,其中1c 是QR 中的最小数,11511010<<c ,求}{n c 的通项公式.35691012第13题图13．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））已知x 轴上有一列点P 1,P 2 P 3,,P n ,,当2≥n 时,点P n 是把线段P n -1 P n +1 作n 等分的分点中最靠近P n +1的点,设线段P 1P 2 , P 2P 3 , P 3P 4,,P n P n +1的长度分别 为A 1,A 2,A 3,,A N,其中a 1=1.(1)求a n 关于n 的解析式;(2 )证明:a 1 + 2a + a 3 + + a n < 3(3) 设点P(n,n a ) {3≥n ),在这些点中是否存在两个点同时在函数)0()1(2>-=k x ky 的图象上?如果存在,求出点的坐标;如果不存在,说明理由.14．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知数列{}{},n n a b 满足:110,2013a b ==,且对任意1,,,n n n n a a b +和11,,n n n a b b ++均为等差数列. (1)求22,a b 的值;(2)证明:{}n n a b -和{}2n n a b +均成等比数列;(3)是否存在唯一的正整数c ,使得n n a c b <<恒成立?证明你的结论.15．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）如图,过点P(1,0)作曲线C:)),0((2+∞∈=x x y 的切线,切点为1Q ,设点1Q 在x 轴上的投影是点1P ;又过点1P 作曲线C 的切线,切点为2Q ,设2Q 在x 轴上的投影是2P ;;依此下去,得到一系列点12,3,Q Q Q ⋅⋅⋅n Q ,设点n Q 的横坐标为n a .(1)求直线1PQ 的方程; (2)求数列{}n a 的通项公式;(3)记n Q 到直线1n n P Q +的距离为n d ,求证:2n ≥时,12111 (3)n d d d +++>16．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）在数列{}n a 中,10a =,且对任意*21221,,,k k k k N a a a -+∈成等差数列,其公差为2k .(1)证明:456,,a a a 成等比数列; (2)求数列{}n a 的通项公式;(3)记2222323n nn T a a a =+++,证明:322(2)2n n T n <-<≥17．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））已知曲线C:xy=1,过C 上一点A (,)n n n x y 作一斜率12n n k x =-+的直线交曲线C 于另一点111A (,)n n n x y +++,点列{n A }的横坐标构成数列{n x },其中1117x =. (1)求n x 与1n x +的关系式; (2)求证:数列是等比数列;(3)求证:18．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）数列{}n a 中,13a =,1n n a a cn +=+(c 是常数,123n =，，，),且123a a a ，，成公比不为1的等比数列. (1)求c 的值;(2)求{}n a 的通项公式;(3)求最小的自然数n ,使2013n a ≥.19．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）设函数1220()x f x x e-=⋅,记0()f x 的导函数01()()f x f x '=,1()f x 的导函数12()()f x f x '=,2()f x 的导函数23()()f x f x '=,,1()n f x -的导函数1()()n n f x f x -'=,1,2,n =.(1)求3(0)f ; (2)用n 表示(0)n f ; (3)设231(0)(0)(0)n n S f f f +=+++,是否存在*n N ∈使n S 最大?证明你的结论.20．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））已知函数()log m f x x =(m 为常数,01m <<),且数列{}()n f a 是首项为2,公差为2的等差数列.(1) 若()n n n b a f a =⋅,当m =,求数列{}n b 的前n 项和n S ;(2)设lg n n n c a a =⋅,如果{}n c 中的每一项恒小于它后面的项,求m 的取值范围.21．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设0a >,函数21()f x x a=+. (Ⅰ)证明:存在唯一实数01(0,)x a∈,使00()f x x =; (Ⅱ)定义数列{}n x :10x =,1()n n x f x +=,*n N ∈. (i)求证:对任意正整数n 都有2102n n x x x -<<; (ii) 当2a =时, 若10(2,3,4,)2k x k <≤=,证明:对任意*m N ∈都有:1134m k k k x x +--<⋅.22．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知数列}{n a 满足:21,121==a a ,且=+2n a 121+++n n n a a a (*N ∈n ). (Ⅰ)求证:数列}{1+n na a 为等差数列; (Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅲ)求下表中前n 行所有数的和n S .广东省12大市2013届高三二模数学（理）试题分类汇编5：数列参考答案一、选择题 1. C 2. C 3.因21(3)(2)()55(3)(2)1n n n a f f n n n n ⎛⎫+-+== ⎪++++-⎝⎭11()()23f f n n =-++,故81ii a =∑128111111()()()()()()34451011a a a f f f f f f =+++=-+-++-111131()()()()31111314f f f f -=-==⨯-,故选C.4. 由129m a a a a =+++得5(1)93637m d a d m -==⇒=,选A.5. B 二、填空题6. 13()2n -7. 9 1n n -8. 809. 【解析】等差数列{}n a 中,有67873a a a a ++=,71374,1352S a a ∴=∴== ,故此数列的前13项之和为52.10. 36;3981 11. 12-n . 三、解答题 12.解:(1)点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图像上,∴2*2()n S n n n N =+∈,当n 2≥时,12 1.n n n a S S n -=-=+当1n =时,113a S ==满足上式,所以数列}{n a 的通项公式为2 1.n a n =+ (2)由x x x f 2)(2+=求导可得()22f x x '=+过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k ,22n k n ∴=+.24(21)4n k n n n b a n ∴==⋅+⋅. 12343445447421)4n n T n ∴=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅⨯+⨯+4（ ①由①×4,得2341443445447421)4n n T n +=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅⨯+⨯+4（ ② ①-②得:()23134342444-21)4n n n T n +⎡⎤-=⨯+⨯++⋅⋅⋅++⨯⎣⎦（ 2114144342-21)414n n n -+⎡⎤-=⨯+⨯+⨯⎢⎥-⎣⎦（）（26116499n n n T ++∴=⋅- (3){22,},{42,}Q x x n n N R x x n n N **==+∈==+∈,QR R ∴=.又n c Q R ∈,其中1c 是Q R 中的最小数,16c ∴=.{}n c 是公差是4的倍数,*1046()c m m N ∴=+∈.又10110115c <<,*11046115m m N<+<⎧∴⎨∈⎩,解得27m =,所以10114c =, 设等差数列的公差为d ,则1011146121019c cd --===-，6(1)12126n c n n ∴=++⨯=-,所以{}n c 的通项公式为126n c n =-13.14.15.解:(1)令2111(,)Q a a ,由'2y x =得112PQ k x =即2111021a a a -=- 故12a = ∴14PQ k =,则切线1l 的方程为:440x y --=(2)令2(,)n n nQ a a ,则1221111110(,),(,0),2n nn n n n n n P Q n n n a Q a aP a k a a a --------∴==- 化简得12,(2)nn a n a -=≥, 故数列{}n a 是以2为首项2为公比的等比数列 所以2n n a =(3)由(2)知)0,2(n n P ,)2,2(2211+++n n n Q ,)2,2(2n n n Q 故112222221202,:22022n n n n n n n n P Q P Q n n k l x y +++++++-==∴--=-42424n nn n d ∴<=⋅142n n d ∴>12 故21211[1()]111111221.......4[()()]44[1()]42221212n n n n d d d -+++>+++=⋅=->-16.证明:(Ⅰ)因为01=a ,且*∈∀N k ,12-k a ,k a 2,12+k a 成等差数列,其公差为k 2.即121222+-+=k k k a a a ,k a a a a k k k k 2212122=-=-+-所以,分别取3,2,1=k 代入解得18,12,8654===a a a ,显然满足6425a a a =,即4a ,5a ,6a 成等比数列;(Ⅱ)由题意可知:,41212k a a k k =--+对*∈∀N k 恒成立所以)(.....)()()(1212573513112-++-++-+-+-+=k k k a a a a a a a a a ak 4......12840+++++==)1(22)40)(1(+=++=k k k k又k a a k k 2212=-+,所以k a a k k 2122-=+=222)1(2k k k k =-+所以数列{}n a 的通项公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=)2(,2)12(,2122k n n k n n a n , *∈N k或写为*∈--+=N n n a n n ,41)1(22(注意:以上三种写法都给全分)(Ⅲ)先证右边:(1)当2=n 时,2=nT ,22222=-⨯=-n T n 显然满足结论.(2)当2>n 时,因为n 为奇数时,212-=n a n , 所以212222>-=n n a n n ,且⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=--=-111112222n n n a n n 当n 为偶数时,22n a n =,22=n a n ,022=-n a n综上可知)1(2 (322)3222-≥+++=n a n a a T n n ,当2=n 时取等号所以2)1(222=--≤-n n T n n 对任意的*∈≥N n n ,2成立.再证左边:因为n T n n 22=-)........32(23222n a n a a +++-)2(...)32()22(223222n a n a a -++-+-+= 所以(1)当*∈+=N k k n ,12时2322123221212)22121(....)6141()4121(21)12(20....172015201320222222>++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-++-+--=-+-++--+--+--+=-k k k k k T n n(2)当*∈=N k k n ,2时23212321212)21221(....)6141()4121(201)12(20....172015201320222222>+=⎪⎭⎫⎝⎛--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--++-+--=+---++--+--+--+=-k k k k k T n n综上可知对2,≥∈∀*n N n ,2223≤-<n T n 成立.17.18.解:(1)13a =,23a c =+,333a c =+,∵1a ,2a ,3a 成等比数列,∴2(3)3(33)c c +=+, 解得0c =或3c =当0c =时,123a a a ==,不符合题意舍去,故3c =(2)当2n ≥时,由21a a c -=,322a a c -=,1(1)n n a a n c --=-,得1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=又13a =,3c =,∴2333(1)(2)(23)22n a n n n n n =+-=-+=，，当1n =时,上式也成立,∴23(2)()2n a n n n N *=-+∈(3)由2013n a ≥得23(2)20132n n -+≥,即213400n n --≥ ∵n N ∈*,∴12n +≥141813622+⨯>= 令37n =,得3720012013a =<,令38n =得3821122013a => ∴使2013n a ≥成立的最小自然数38n =19. ⑴易得,()1221122xf x x x e -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,()12221224xf x x x e -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()122313382xf x x x e -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭,所以3(0)3f =-⑵不失一般性,设函数()21111()x n n n n f x a x b x c e λ----=++⋅的导函数为()2()x n n n n f x a x b x c e λ=++⋅,其中1,2,n =,常数0λ≠,0001,0a b c ===.对1()n f x -求导得:2111111()[(2)()]x n n n n n n f x a x a b x b c e λλλλ------'=⋅++⋅++⋅⋅ 故由1()()n n f x f x -'=得:1n n a a λ-=⋅ ①, 112n n n b a b λ--=+⋅ ②, 11n n n c b c λ--=+⋅ ③由①得:,n n a n N λ=∈ , 代入②得:112n n n b b λλ--=⋅+⋅,即112nn nn b b λλλ--=+,其中1,2,n=故得:12,n n b n n N λ-=⋅∈ 代入③得:212n n n c n c λλ--=⋅+⋅,即1212nn nn c c nλλλ--=+,其中1,2,n =.故得:2(1),n n c n n n N λ-=-⋅∈, 因此(0)n f =2(1),n n c n n n N λ-=-⋅∈.将12λ=-代入得:21(0)(1)()2n n f n n -=--,其中n N ∈ (2)由(1)知111(0)(1)()2n n f n n -+=+-,⎧⎪⎨⎪⎩当2(1,2,)n k k ==时,21221211(0)2(21)()02k k k k S S f k k --+-==+⋅-<,2212210,k k k k S S S S --∴-<<,故当n S 最大时,n 为奇数当21(2)n k k =+≥时,21212221(0)(0)k k k k S S f f +-++-=+又2221(0)(21)(22)()2k k f k k +=++-,21211(0)2(21)()2k k f k k -+=+-221222111(0)(0)(21)(22)()2(21)()22k k k k f f k k k k -++∴+=++-++-211(21)(1)()02k k k -=+--<,2121k k S S +-∴<,因此数列{}21(1,2,)k S k +=是递减数列又12(0)2S f ==,3234(0)(0)(0)2S f f f =++=, 故当1n =或3n =时,n S 取最大值132S S ==20. (1) 证:由题意()2(1)22n f n n a =+-⨯=,即log 2m n n a =,2n n m a =∴2()2n n n n b a f a n m =⋅=⋅,当m =,11()()2n n n n b a f a n -=⋅=⋅∴012111111()2()3()()2222n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅, ①123111111()2()3()()22222n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅ ②①-②,得012311111111()()()()()()2222222n n n S n -=+++++-⋅ 11(1())12()121()2n n n ⨯-=-⋅- ∴11(2)()42n n S n -=-+⋅+(2) 解:由(1)知,2lg 2lg n n n n c a a n m m =⋅=⋅,要使1n n c c +<对一切n N *∈成立, 即2lg (1)lg n m n m m <+对一切n N *∈成立201,lg 0(1)m m n n m <<∴<∴>+,对一切n N *∈恒成立,只需2min ()1nm n <+,1111n n n =-++单调递增,∴当1n =时,min 1()12n n =+ ∴212m <,且01k <<, ∴0m << 综上所述,存在实数m ∈满足条件 21. (Ⅰ)证明: ①3()10f x x x ax =⇔+-=令3()1h x x ax =+-,则(0)10h =-<,311()0h a a =>, ∴1(0)()0h h a⋅<又/2()30h x x a =+>,∴3()1h x x ax =+-是R 上的增函数 故3()1h x x ax =+-在区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点, 即存在唯一实数010,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使00()f x x = ②当1n =时, 10x =,211()(0)x f x f a ===,由①知010,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即102x x x <<成立; 设当(2)n k k =≥时, 2102k k x x x -<<,注意到21()f x x a=+在()0,+∞上是减函数,且0k x >, 故有:2102()()()k k f x f x f x ->>,即2021k k x x x +>> ∴2021()()()k k f x f x f x +<<,即21022k k x x x ++<<.这就是说,1n k =+时,结论也成立. 故对任意正整数n 都有:2102n n x x x -<< (2)当2a =时,由10x =得:211()(0)2x f x f ===,2112x x -= 222132222221211122(2)(2)x x x x x x x x --=-=++++22121211114244x x x x x x -+⎛⎫<=⋅-= ⎪⎝⎭当2k ≥时,102k x <≤, ∴22112222111122(2)(2)k k k k k k k k x x x x x x x x -+----=-=++++114k k k k x x x x ---+<14k k x x --< 2212321144k k k x x x x ---⎛⎫⎛⎫<⋅-<<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14k⎛⎫< ⎪⎝⎭对*m N ∀∈,1121()()()m k k m k m k m k m k k k x x x x x x x x +++-+-+-+-=-+-++-1121m k m k m k m k k k x x x x x x ++-+-+-+≤-+-++-1122111114444k k m m x x +--⎛⎫≤+++++- ⎪⎝⎭111114141141134343414m k k k k m k k x x x x ++--⎛⎫=-=⋅-⋅-<⋅= ⎪⋅⎝⎭- 22.解:(Ⅰ)由条件21,121==a a ,=+2n a 121+++n n n a a a ,得=++12n n a a 11+++n n n a a a ⇒-++21n n a a 11=+n n a a∴ 数列}{1+n na a 为等差数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)得11)1(211+=⋅-+=+n n a aa a n n ∴⋅=211a a a a n ⋅32a a !321n n a a n n =⋅⋅⋅=⋅- ∴!1n a n =(Ⅲ)=++-11n k n k a a akn C k n k n 1)!1(!)!1(+=+-+ (n k ,,2,1 =)∴ 第n 行各数之和1111211++-++++n n n n n n a aa a a a a a a 22112111-=+++=++++n n n n n C C C ( ,2,1=n ) ∴ 表中前n 行所有数的和)22()22()22(132-++-+-=+n n S231(222)2n n +=+++-22(21)221n n -=--2224n n +=--.。
广东省12大市2013届高三二模数学(理)试题分类汇编3：三角函数 2-推荐下载
f (x) Asin(x )( A, 0,| | ) 的图像与 y 轴交于 (0,3 2) ,它在 y 右侧的第 2
一个最高点和第 一个最低点的坐标分别为 (m, 6) 和 (m , 6) . 2
递增;
C． f (x) 为奇函数,且在[1，0] 上单调递增; D． f (x) 为奇 函数,且在[1，0] 上单
调递减.
y
A．1
二、填空题
cos
．（广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））若函数
x
6
N*
B．2
的一个对称中心是
9.．（广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））如图,已知平面上
(2)记
直线 l1//l2,A、B 分别是 l1、l2 上的动点,C 是 l1,l2 之间一定点,C 到 l1 的距离 CM = 1 , C 到 l2 的距离 CN= 3 ,ΔABC 内角 A、B、C 所对 边分别为 a、b、c,a > b ,且 b.cosB
= a.cosA (1) 判断三角形 ΔABC 的形状;
ACM , f ( ) 1 1
AC BC ,求 f(θ)的最大值.
10.．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知 ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, sin(2C ) 1 ,且 a2 b2 c2 . 22 (1)求角 C 的大小;(2)求 a b . c
3 cos 2x 2sin x cos x,
2013年历年广东省东莞市初三数学中考模拟试题二
2013年东莞中考数学模拟卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1、16的平方根是（ ）A 、4B 、4±C 、2D 、2±2、据中国科学院统计，到今年5月，我国已经成为世界第四风力发电大国，年发电量约为12 350 000千瓦，12 350 000保留三位有效数字用科学记数法表示为（ ） A 、71.2310⨯ B 、71.0010⨯ C 、71.23510⨯ D 、71.2410⨯ 3、如图1所示的计算程序中，y 与x 之间的函数关系所对应的图 象应为（ ）4、如图2，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ） A ．点PB ．点QC ．点RD ．点M5、如图3是一串有趣的图案按一定的规律排列，请仔细观察，按此规律第2 013个图案是( ) 图36、一个扇形的圆心角为60°，它所对的孤长为2πcm ，则这个扇形的半径为（ ） A ．6cm B ．12cm C ．2cm D ．cm7、一个多边形的内角和是720º，则这个多边形的边数为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8、小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面 和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的 影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为 1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树 的高度为（ ） A ． （6+）米B ． 12米C ． （4﹣2）米D ． 10米xO y x -2 - 4 A D C B O 4 2 y O 2 - 4 y xO 4- 2 y x 取相反数 ×2 ＋4图1输入x输出y MRQ 图2ABCP9、如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A 、点B ， 点A 的坐标为（0，3），M 是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C 的半径长为（ ） A ． 6 B ． 5 C ． 3 D ． 310、在公式I =RU中，当电压U 一定时，电流I 与电阻R 之间的函数关系可用图象大致表示为（ ）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）11、边长为5cm 的菱形，一条对角线长是6cm ，则另一条对角线的长是____________cm ； 12、分解因式：2212a b ab -+-= ；13、一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的2倍大3，把这两位数的位置对调后组成的两位数比原数小45，则原来这个两位数为 ；14、将点P (-1,3)绕原点顺时针旋转90°后坐标变为 ； 15、如图2，△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ， AB=7cm ，CD=3cm ，则△ABC 的面积是 .16、下表为杨辉三角系数表的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如()na b +(n 为正整数)展开式的系数，请仔细观察下表中的规律，填出()4a b +展开式中所缺的系数．()a b a b +=+()2222a b a ab b +=++ ()3322333a b a a b ab b +=+++则()4432234a b a a b a b ab b +=++++ … … … …三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）17、求不等式组1184 1.x x x x --⎧⎨+>-⎩≥，的整数解．CAOBE D第21题图18、先化简，再求值：23(),2111x x x x x x x -÷=+--其中 19、一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米 /小时 ，顺风飞行需2小时50分，逆风飞行需要3小时，求两城之间的距离。
广东省东莞市2013届高三数学第二次模拟试题 理(东莞二模)新人教A版
东莞市2013届高三理科数学模拟试题(二)参考公式：样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 的回归方程为：y bx a ∧=+，其中1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，1212,n nx x x y y y x y n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==，a y bx =-．b 是回归方程得斜率，a 是截距．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设1z i =-（是虚数单位），则2z z+= A ．2 B ．2i + C ．2i - D ．22i + 2．命题:p 2,11x x ∀∈+≥R ，则p ⌝是A ．2,11x x ∀∈+<R B ．2,11x x ∃∈+≤R C ．2,11x x ∃∈+<R D ．2,11x x ∃∈+≥R3．若5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-，则0a ＝A ．1B ．32C ．－1D ．－32 4．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a ＝A ．2B ．22 C ．3 D ．325. 已知函数x x y cos sin +=，则下列结论正确的是A.此函数的图象关于直线4π-=x 对称B.此函数的最大值为1C.此函数在区间)4,4(ππ-上是增函数 D.此函数的最小正周期为π6. 已知函数2()lg()n n f x x a x b =-+，其中,n n a b 的值由如图的 程序框图产生，运行该程序所得的函数中，定义域为R 的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7. 设命题p ：“若对任意x R ∈，｜x ＋1｜＋｜x －2｜＞a ，则a ＜3”；命题q ：“设M 为平面内任意一点，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是存在角α，使22sin cos MB MA MC αα=+⋅”，则A ．p q ∧为真命题B ．p q ∨为假命题C ．p q ⌝∧为假命题D ．p q ⌝∨为真命题8．在实数集R 中定义一种运算“⊕”，具有性质：①对任意,,a b R a b b a ∈⊕=⊕；②对任意,0a R a a ∈⊕=；③对任意,,,()()()()2a b c R a b c c ab a c b c c ∈⊕⊕=⊕+⊕+⊕-.函数1()(0)f x x x x=⊕>的最小值为 A ．4 B ．3 C．．1二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的相应位置．） （一）必做题(9～13题)9．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，284=+a a ， 11S = . 10. 已知,0,0>>y x 且,191=+yx 则23x y +学科网的最小值为 . 11.设曲线axy e =在点（0,1）处的切线与直线012=++y x 垂直，则a ＝ . 12．dx x x )cos (sin 0⎰+π= .13．已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞单调递增，则满足x f x f 的)31()12(<-取值范围是__________．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C：ρ=和曲线2C ：cos(ρθ+则1C 上到2C 的点的个数为 ．3n = 15．(几何证明选讲选做题)如图（3）所示，AB 是⊙O 的直径，过圆上一点E 作切线ED ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C .若 CB =2，CE =4，则AD 的长为 ．图（3）245AD =三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数)631tan()(π-=x x f(1)求)(x f 的最小正周期；(2)求⎪⎭⎫⎝⎛23πf 的值； (3)设,21273-=⎪⎭⎫⎝⎛+παf 求)4sin(2)cos()sin(παπααπ+-+-的值．17．（本小题满分12分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示： 月份x1 2 3 4 5 y （万盒）44566（1）该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，根据表中数据已经正确计算出ˆ0.6b=，试求出ˆa 的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数； （2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18.（本小题满分14分）如图，PA 垂直⊙O 所在平面ABC ，AB 为⊙O 的直径，PA=AB ，14BF BP =，C 是弧AB 的中点.（1）证明：BC ⊥平面PAC ； （2）证明：CF ⊥BP ；（3）求二面角F —OC —B 的平面角的正弦值.19.（本小题满分14分）设等差数列}{n a 的公差0≠d ，数列}{n b 为等比数列，若a b a ==11，33b a =，57b a =.（1）求数列}{n b 的公比q ；（2）将数列}{n a ，}{n b 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列}{n c ，是否存在正整数,,λμω（其中λμω<<）使得,,λμω和,,c c c λμωλμω+++均成等差数列？若存在，求出,,λμω的值，若不存在，请说明理由.20. （本小题满分14分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为e =直线:2l y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆O 相切. （1）求椭圆C 1的方程；（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F ，且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l ，垂足为点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点R 、S 在2C 上，且满足0=⋅RS QR ，求||QS 的取值范围.21.（本小题满分14分）已知函数x x ax x g 2231)(23-+=，函数)(x f 是函数)(x g 的导函数. (1)若1=a ，求)(x g 的单调减区间； (2)若对任意R x x ∈21,且21x x ≠，都有2)()()2(2121x f x f x x f +<+，求实数a 的取值范围；(3)在第（2）问求出的实数a 的范围内，若存在一个与a 有关的负数M ，使得对任意]0,[M x ∈时4)(≤x f 恒成立，求M 的最小值及相应的a 的值.东莞市2013届高三理科数学模拟试题(二) 参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题：(每小题5分，共30分)9.11 10．6629+ 11．2 12.2 13．)32,31( 14．3 15．524 三、解答题：(共80分) 16．（本小题满分12分） 解：(1))(x f 的最小正周期为ππ331==T ． …………3分(2)33tan )663tan()23(==-=ππππf ． …………6分(3)由21)273(-=+παf ，得21]6)273(31tan[-=-+ππα，即21)tan(-=+απ， …………8分所以.21tan -=α …………9分0cos =/∴α，⋅+-=+-+-ααααπαπααπcos sin cos sin )4sin(2)cos()sin( ………10分1tan 1tan +-=αα …………11分3121121-=+---=． …………12分17．（本小题满分12分）解：（1）11(12345)3,(44566)555x y =++++==++++=，因线性回归方程ˆ=+ybx a 过点(,)x y ， ∴50.66 3.2a y bx =-=-⨯=，∴6月份的生产甲胶囊的产量数：ˆ0.66 3.2 6.8y=⨯+= …………5分（2）0,1,2,3,ξ= …………6分31254533991054010(0),(1),84428421C C C P P C C ξξ======== 213454339930541(2),(3).84148421C C C P P C C ξξ======== …………10分 其分布列为5105140123 422114213E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.…………12分18．（本小题满分14分）证明：（1）∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥PA. …………1分∵∠ACB 是直径所对的圆周角，∴90o ACB ∠=，即BC ⊥AC. …………2分又∵PA AC A =，∴BC ⊥平面PAC . …………4分 （2）∵PA ⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，∴OC ⊥PA. …………5分 ∵C 是弧AB 的中点，∴∆ABC 是等腰三角形，AC=BC ， 又O 是AB 的中点，∴OC ⊥AB. …………6分 又∵PA AB A =，∴OC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ， ∴BP OC ⊥. …………7分 设BP 的中点为E ，连结AE ，则//OF AE ，AE BP ⊥ ∴BP OF ⊥. …………8分∵OC OF O =，∴BP ⊥平面CFO . 又CF ⊂平面CFO ，∴CF BP ⊥. …………9分解：（3）由（2）知OC ⊥平面PAB ，∴OF OC ⊥，OC OB ⊥， …………10分∴BOF ∠是二面角F OC B --的平面角. …………11分 又∵BP OF ⊥，045FBO ∠=，∴045FOB ∠=， …………13分 ∴2sin 2FOB ∠=，即二面角F OC B --22. ………14分19.（本小题满分14分）解：（1）设}{n b 的公比为q ，由题意⎪⎩⎪⎨⎧+=+=d a aq d a aq 6242，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-da aq da aq 6242， …………2分 1=q 不合题意，故311142=--q q ，解得22=q 2±=∴q . …………5分 （2）若}{n a 与}{n b 有公共项，不妨设m n b a =由（1）知：1221-=+m n m 为奇数，且. …………7分令)(12*N k k m ∈-=，则11122)2(---•=•=k k m a a b ， …………8分ac n n 12-=∴.…………9分若存在正整数,,λμω（其中λμω<<）满足题意，设,,p q r λμω===，则⎩⎨⎧+•++•=+•+=---)2()2()2(22111r a p a q a rp q r p q 11222--+=∴r p q ，又)""(222222211===≥++-+--时取当且仅当r p r p r P r p ，且r p ≠，211222r p r p +-->+∴. …………12分又xy 2=在R 上单调递增，2r p q +>∴，与题设2rp q +=矛盾， ∴不存在,,λμω满足题意. …………14分20. （本小题满分14分）解：（1）由直线:2l y x =+与圆222x y b +=相切，得b =，即b =. ………2分由e =222213b e a =-=，所以a = …………3分所以椭圆的方程是221:132x y C +=. …………4分（2）由条件，知2||||MF MP =，即动点M 到定点2F 的距离等于它到直线1:1l x =-的距离，由抛物线的定义得点M 的轨迹2C 的方程是x y 42=. …………7分（3）由（2），知(0,0)Q ，设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴222121121,,,44y y y QR y RS y y ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. …………8分 由0=⋅RS QR ，得()()222121121016y y y y y y -+-=. …………9分∵12y y ≠，∴21116y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，∴222121256323264y y y =++≥=，当且仅当2121256y y =，即14y =±时等号成立. …………11分又||y QS ⎛== ， …………12分∵2264y≥，∴当2264y =，即28y =±时，min ||QS=， …………13分故||QS 的取值范围是)⎡+∞⎣. …………14分21. （本小题满分14分） 解：（1）当1a =时，321()223g x x x x =+-，2'()42g x x x =+-. ………1分由'()0g x <，解得22x --<<-+. (2)分∴当1a =时，函数()g x 的单调减区间为(22--. …………3分（2）易知2()'()42f x g x ax x ==+-.依题意知1212()()()22x x f x f x f ++-222121*********()4()2222x x x x ax x ax x a +++-++-=+--212()04ax x =--<. …………5分因为12x x ≠，所以0a >，即实数a 的取值范围是(0,)+∞. …………6分 （3）解法一易知2224()42()2f x ax x a x a a=+-=+--，0a >. 显然(0)2f =-，由（2）知抛物线的对称轴20x a=-<. …………7分 ①当424a --<-，即02a <<时，2(,0)M a∈-且()4f M =-.令2424ax x +-=-，解得x=…………8分此时M 取较大的根，即M ==.…………9分02a <<， ∴21422M a -=>--+. …………10分②当424a --≥-，即2a ≥时，2M a<-且()4f M =. 令2424ax x +-=，解得246ax a-±+=. …………11分此时M 取较小的根，即2466462a M a a --+-==+-. …………12分 2a ≥，∴63462M a -=≥-+-，当且仅当2a =时取等号.…………13分由于31-<-，所以当2a =时，M 取得最小值3-. …………14分 解法二对任意[,0]x M ∈时，“4f x ≤|()|恒成立”等价于“4f x ≤max ()且4f x ≥-min ()”. 由（2）可知实数a 的取值范围是(0,)+∞，故2()42f x ax x =+-的图象是开口向上，对称轴20x a=-<的抛物线. …………7分 ①当20M a-≤<时，()f x 在区间[,0]M 上单调递增， ∴f x =max ()(0)24f =-<， 要使M 最小，只需要2424f x f M aM M ==+-=-min ()().…………8分若1680a ∆=-<，即2a >时，无解； …………9分 若1680a ∆=-≥，即02a <≤时， 解得2422a M a a ---=<-（舍去） 或2421aM a-+-=≥-，故1M ≥-（当且仅当2a =时取等号）. …………10分 ②当2M a <-时，()f x 在区间2[,]M a -上单调递减，在2(,0]a-递增，(0)24,f =-<24()24f a a-=--≥-，则2a ≥. …………11分要使M 最小，则2424f M aM M =+-=()，即2460aM M +-=， …………12分解得2M a=>-（舍去），或3M ==≥-（当且仅当2a =时取等号）. …………13分综上所述，当2a =时，M 的最小值为3-. …………14分。
东莞市2012-2013学年九年级上期末数学试卷及答案解析
东莞市2012-2013学年九年级上期末数学试卷及答案解析一、选择题（每小题3分，共15分）1．（3分）（2013•怀柔区二模）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）（2012•定结县模拟）下列根式中不是最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．（3分）方程x（x+1）=0的根为（）A．0B．﹣1 C．0，﹣1 D．0，14．（3分）75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm5．（3分）下列事件中，必定发生的是（）A．某射击运动射击一次，命中靶心B．通常情形下，水加热到100℃时沸腾C．掷一次骰子，向上的一面是6点D．抛一枚硬币，落地后正面朝上二、填空题（每小题3分，共15分）6．（3分）（1997•江西）运算：=_________．7．（3分）（2012•天津）袋子中装有5个红球和3个黑球，这些球除了颜色外都相同．从袋子中随机的摸出一个球，则它是红球的概率是_____ ____．8．（3分）（2012•和平区模拟）把图中的五角星图案，绕着它的中心点O进行旋转，那么至少旋转_________度，才能与自身重合．9．（3分）已知1是关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，那么m+n=_________．10．（3分）在直径为10cm的⊙0中，弦AB的长为5cm，则点0到A B的距离是_________．三、解答题（每小题6分，共30分）11．（6分）运算：12．（6分）解方程：x2+2x﹣4=013．（6分）如图，已知△ABC在平面直角坐标系中的位置．（1）点C关于原点中心对称的点的坐标是_________；（2）画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的图形△AB′C′．14．（6分）已知α、β是关于x的一元二次方程3x2﹣1=2x+5的两个实数根，求的值．15．（6分）如图，已知⊙0的半径为5，AB是⊙0的直径，点C、D都在⊙0上，若∠D=30°，求AC的长．四、解答题（每小题8分，共40分）16．（8分）如图是一个能够自由转动的转盘，转盘被分成面积相等的3个扇形，转动转盘后任其自由停止，其中某个扇形会恰好停在指针所指的位置（如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次）（1）转盘转动一次，指针所指的颜色不是红色的概率是多少？（2）转盘转动两次，两次指针指向颜色相同的概率是多少？（用列表法或画树状图）．17．（8分）已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当p=2时，求该方程的根．18．（8分）如图，有一块长方形铁皮，长40cm，宽30cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？19．（8分）如图，△ABE和△ACD差不多上等边三角形，△AEC逆时针旋转一定角度后能与△ABD重合，EC与BD相交于点F．（1）旋转中心是_________，旋转角至少是_________度；（2）求∠DFC的度数．20．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆⊙0与BC、CA、AB分不切于点D、E、F．（1）若BC=40cm，AB=50cm，求⊙0的半径；（2）若⊙0的半径为r，△ABC的周长为ι，求△ABC的面积．广东省东莞市2012-2013学年九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共15分）1．（3分）（2013•怀柔区二模）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．专题：常规题型．分析：按照轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选C．点评：本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时把握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是查找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要查找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（3分）（2012•定结县模拟）下列根式中不是最简二次根式的是（）A．B．C．D．考点：最简二次根式．分析：找到被开方数中含有开得尽方的因数的式子即可．解答：解：各选项中只有选项C 、=2，不是最简二次根式，故选C．点评：最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．3．（3分）方程x（x+1）=0的根为（）A．0B．﹣1 C．0，﹣1 D．0，1考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解．专题：因式分解．分析：两个因式的积为0，这两个因式能够分不为0，求出方程的两个根．解答：解：x（x+1）=0x=0或x+1=0∴x1=0，x2=﹣1．故选C．点评：本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把一元二次方程化成两个因式的积的形式，然后求出方程的两个根．4．（3分）75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm考点：弧长的运算．分析：按照弧长公式L=，将n=75，L=2.5π，代入即可求得半径长．解答：解：∵75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，由L=，∴2.5π=，解得：r=6，故选：A．点评：此题要紧考查了弧长公式的应用，熟练把握弧长公式：L=才能准确的解题．5．（3分）下列事件中，必定发生的是（）A．某射击运动射击一次，命中靶心B．通常情形下，水加热到100℃时沸腾C．掷一次骰子，向上的一面是6点D．抛一枚硬币，落地后正面朝上考点：随机事件．专题：应用题．分析：必定事件确实是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．解答：解：∵A，C，D选项为不确定事件，即随机事件，故错误．∴是必定发生事件的是：通常情形下，水加热到100℃时沸腾．故选B．点评：本题要紧考查随机事件的概念．用到的知识点为：随机事件是可能发生也可能不发生的事件，必定事件是一定发生的事件．二、填空题（每小题3分，共15分）6．（3分）（1997•江西）运算：=5．考点：二次根式的加减法．分析：按照二次根式相加减运算法则运算即可．解答：解：原式=×3+6×=2+3=5．故答案为：5．点评：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．7．（3分）（2012•天津）袋子中装有5个红球和3个黑球，这些球除了颜色外都相同．从袋子中随机的摸出一个球，则它是红球的概率是．考点：概率公式．分析：按照概率的求法，找准两点：①全部情形的总数；②符合条件的情形数目；二者的比值确实是其发生的概率．解答：解；袋中球的总数为：5+3=8，取到红球的概率为：；故答案为：．点评：此题要紧考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A显现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．8．（3分）（2012•和平区模拟）把图中的五角星图案，绕着它的中心点O进行旋转，那么至少旋转72度，才能与自身重合．考点：旋转对称图形．分析：角星能被从中心发出的射线平分成相等的5部分，再由一个周角是360°即可求出最小的旋转角度．解答：解：五角星能够被中心发出的射线平分成5部分，那么最小的旋转角度为：360°÷5=72°．故答案为：72°．点评：本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，那个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．9．（3分）已知1是关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，那么m+n=﹣1．考点：一元二次方程的解．分析：按照一元二次方程的解的定义，将x=1代入关于x的一元二次方程x2+mx+n=0即可求得m+n 的值．解答：解：∵1是关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，∴x=1满足关于x的一元二次方程x2+mx+n=0，∴1+m+n=0，解得m+n=﹣1．故答案是：﹣1．点评：此题要紧考查了方程解的定义．此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．10．（3分）在直径为10cm的⊙0中，弦AB的长为5cm，则点0到A B的距离是cm．考点：垂径定理；勾股定理．专题：探究型．分析：按照题意画出图形，先按照⊙O的直径为10cm，求出其半径长，再过点O作OD⊥AB于点D，按照垂径定理求出AD的长，在Rt△OAD中，按照勾股定理即可得出OD的长．解答：解：如图所示：∵⊙O的直径为10cm，∴OA=5cm，过点O作OD⊥AB于点D，∵AB=5cm，∴AD=AB=×5=cm，在Rt△OAD中，∵OA=5cm，AD=cm，∴OD===cm．故答案为：cm．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理．按照题意画出图形，作出辅助线，构造出直角三角形，按照勾股定理求解是解答此题的关键．三、解答题（每小题6分，共30分）11．（6分）运算：考点：二次根式的加减法．分析：先将各二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可．解答：解：原式==﹣．点评：本题考查了对二次根式的化简及合并的差不多运算．12．（6分）解方程：x2+2x﹣4=0考点：解一元二次方程-配方法．分析：解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．解答：解：移项得x2+2x=4，配方得x2+2x+1=4+1，即（x+1）2=5，开方得x+1=±，∴x1=，x2=﹣．点评：用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直截了当开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．13．（6分）如图，已知△ABC在平面直角坐标系中的位置．（1）点C关于原点中心对称的点的坐标是（﹣5，﹣1）；（2）画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的图形△AB′C′．考点：作图-旋转变换．专题：作图题．分析：（1）先写出点C的坐标，再按照关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；（2）按照网格结构找出点B、C绕点A逆时针方向旋转90°后的对应点B′、C′的位置，然后顺次连接即可．解答：解：（1）∵点C的坐标为（5，1），∴点C关于原点中心对称的点的坐标是（﹣5，﹣1）；（2）△AB′C′如图所示．点评：本题考查了利用旋转变换作图，熟练把握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．14．（6分）已知α、β是关于x的一元二次方程3x2﹣1=2x+5的两个实数根，求的值．考点：根与系数的关系．分析：按照α、β是关于x的一元二次方程3x2﹣1=2x+5的两个实数根，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子变形为，最后把α+β和αβ的值代入，运算即可．解答：解：∵α、β是关于x的一元二次方程3x2﹣1=2x+5的两个实数根，而方程3x2﹣1=2x+5即为3x2﹣2x﹣6=0，∴α+β=，αβ=﹣2，∴===﹣．点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．15．（6分）如图，已知⊙0的半径为5，AB是⊙0的直径，点C、D 都在⊙0上，若∠D=30°，求AC的长．考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：连接BC，则AB是直径，按照圆周角定理即可求得∠A=∠D=30°，在直角△ABC中，利用三角函数即可求得AC的长度．解答：解：连接BC．∵AB是⊙0的直径，∴∠ACB=90°，在直角△ABC中，∠A=∠D=30°，AB=2×5=10．∴AC=AB•cosA=10×=5．点评：本题考查了圆周角定理以及三角函数，正确明白得圆周角定理是关键．四、解答题（每小题8分，共40分）16．（8分）如图是一个能够自由转动的转盘，转盘被分成面积相等的3个扇形，转动转盘后任其自由停止，其中某个扇形会恰好停在指针所指的位置（如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次）（1）转盘转动一次，指针所指的颜色不是红色的概率是多少？（2）转盘转动两次，两次指针指向颜色相同的概率是多少？（用列表法或画树状图）．考点：列表法与树状图法．分析：（1）由于颜色为蓝色或黄色转盘面积的三分之二，因此按照概率的定义得到指针所指的颜色不是红色的概率=；（2）先化树状图展现所有9种等可能的结果，其中颜色相同占3种，然后按照概率定义求解．解答：解：（1）转盘转动一次，指针所指的颜色不是红色的概率=；（2）画树状图如下：，共有9种等可能的结果，其中颜色相同占3种，因此转盘转动两次，两次指针指向颜色相同的概率==．点评：本题考查了列表法与树状图法：先通过列表法或树状图法展现一个实验发生的所有等可能的结果，再从中找出某事件发生的结果数，然后按照概率的定义求那个事件的概率．17．（8分）已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当p=2时，求该方程的根．考点：根的判不式；解一元二次方程-公式法．专题：证明题．分析：（1）先把方程化为一样式，再运算出△=1+4p2，按照非负数的性质得到△＞0，则按照判不式的意义得到那个方程总有两个不相等的实数根；（2）p=2方程变形为x2﹣5x+2=0，然后利用求根公式法解方程．解答：（1）证明：方程整理为x2﹣5x+6﹣p2=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=1+4p2，∵4p2≥0，∴△＞0，∴那个方程总有两个不相等的实数根；（2）解：当p=2时，方程变形为x2﹣5x+2=0，△=1+4×4=17，∴x=，∴x1=，x2=．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判不式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．18．（8分）如图，有一块长方形铁皮，长40cm，宽30cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？考点：一元二次方程的应用．专题：几何图形咨询题．分析：易得底面积的长=原先的长﹣2×切去的正方形的边长，宽=原先的宽﹣2×切去的正方形的边长，按照长×宽=600列方程求得合适解即可．解答：解：设切去的小正方形的边长为x．（40﹣2x）（30﹣2x）=60．解得x1=5，x2=30．当x=30时，20﹣2x＜0，∴x=30不合题意，应舍去．答：纸板各角应切去边长为5cm的正方形．点评：考查一元二次方程的应用；得到无盖方盒的底面积的边长是解决本题的突破点．19．（8分）如图，△ABE和△ACD差不多上等边三角形，△AEC逆时针旋转一定角度后能与△ABD重合，EC与BD相交于点F．（1）旋转中心是点A，旋转角至少是60度；（2）求∠DFC的度数．考点：旋转的性质；等边三角形的性质．分析：（1）按照图形知，旋转中心是点A，旋转角是∠EAB；（2）按照等边三角形性质推出∠EAB=60°，按照三角形外角性质推出∠AGC=∠AEC+60°=∠ABD+∠GFB，求出∠GFB的度数，按照对顶角相等求出即可．解答：解：（1）如图，∵△ABC的等边三角形，∴∠EAB=60°．∵△AEC逆时针旋转一定角度后能与△ABD重合，∴点A是旋转中心，∠EAB是旋转角，∴，△AEC逆时针旋转至少60°后能与△ABD重合，（2）∵按照旋转的性质知，△AEC≌△ABD，∴∠AEC=∠ABD，∵∠AGC=∠AEG+∠EAB=∠AEC+60°，∴∠AGC=∠GFB+∠ABD=∠GFB+∠AEC，∴∠AEC+60°=∠GFB+∠AEC，∴∠GFB=60°，∴∠DFC=∠GFB=60°．故答案是：点A，60．点评：本题考查了等边三角形性质，旋转性质，对顶角，三角形外角性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中．20．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆⊙0与B C、CA、AB分不切于点D、E、F．（1）若BC=40cm，AB=50cm，求⊙0的半径；（2）若⊙0的半径为r，△ABC的周长为ι，求△ABC的面积．考点：三角形的内切圆与内心．分析：（1）连接OE、OD、OC、OB、OF、OA，由勾股定理求出AC=30cm，由三角形面积公式得出（AC+BC+AB）R=AC×BC，代入求出即可；（2）连接OE、OD、OC、OB、OF、OA，⊙O半径是r，则OE=OD=OF=r，由三角形面积公式得：S△ABC=S△ACO+S△BCO+S△ABO，代入求出即可．解答：解：（1）连接OE、OD、OC、OB、OF、OA，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=40cm，AB=50cm，由勾股定理得：AC=30cm，设⊙O半径是R，则OE=OD=OF=R，∵⊙O是△ACB的内切圆，∴OF⊥AB，OE⊥AC，OD⊥BC，∴由三角形面积公式得：S△ABC=S△ACO+S△BCO+S△ABO=（AC+BC+AB）R=AC×BC，∴（40+30+50）R=30×40，解得R=10cm，即⊙0的半径为10cm；（2）连接OE、OD、OC、OB、OF、OA，⊙O半径是r，则OE=OD=OF=r，∵⊙O是△ACB的内切圆，∴OF⊥AB，OE⊥AC，OD⊥BC，∵△ABC的周长为l，∴AC+BC+AB=l，∴由三角形面积公式得：S△ABC=S△ACO+S△BCO+S△ABO=×AC×r+×BC×r+×AB×r=（AC+BC+AB）×r=lr，即△ABC的面积是lr．点评：本题考查了三角形的内切圆，三角形的面积，勾股定理的应用，注意：如果R为三角形ABC 的内切圆的半径，则三角形ABC的面积为（AC+BC+AB）R．。
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5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
东莞市2013届高三二模考试试题理科数学参考公式：样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y L 的回归方程为：y bx a ∧=+，其中1122211()()()n niii ii i nni i i i x x y y x y nx yb x x x nx====---==--∑∑∑∑， 1212,n nx x x y y y x y n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==，a y bx =-．b 是回归方程得斜率，a 是截距．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设1z i =-（是虚数单位），则2z z+=（ ） A ．2 B ．2i + C ．2i - D ．22i + 2．命题:p 2,11x x ∀∈+≥R ，则p ⌝是（ ）A ．2,11x x ∀∈+<R B ．2,11x x ∃∈+≤R C ．2,11x x ∃∈+<R D ．2,11x x ∃∈+≥R 3．若5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-，则0a ＝（ ） A ．1 B ．32 C ．－1 D ．－32 4．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是a ＝（ ） ABCD5. 已知函数x x y cos sin +=，则下列结论正确的是（ ） A. 此函数的图象关于直线4π-=x 对称 B. 此函数的最大值为1C. 此函数在区间)4,4(ππ-上是增函数 D. 此函数的最小正周期为π 6. 已知函数2()lg()n n f x x a x b =-+，其中,n n a b 的值由如图的程序框图产生， 运行该程序所得的函数中，定义域为R 的有（ ）5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7. 设命题p ：“若对任意x R ∈，12x x a ++->，则3a <”；命题q ：“设M 为平面内任意一点，则,,A B C 三 点共线的充要条件是存在角α，使22sincos MB MA MC αα=+⋅”，则（ ）A ．p q ∧为真命题B ．p q ∨为假命题C ．p q ⌝∧为假命题D ．p q ⌝∨为真命题8．在实数集R 中定义一种运算“⊕”，具有性质：①对任意,,a b R a b b a ∈⊕=⊕；②对任意,0a R a a ∈⊕=； ③对任意,,,()()()()2a b c R a b c c ab a c b c c ∈⊕⊕=⊕+⊕+⊕-.函数1()(0)f x x x x=⊕>的最小值为（ ）A ．4B ．3 C． D ．1二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的相应位置．） （一）必做题(9～13题)9．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，284=+a a ， 11S = . 10. 已知,0,0>>y x 且,191=+yx 则23x y +的最小值为 . 11. 设曲线axy e =在点（0,1）处的切线与直线012=++y x 垂直，则a ＝ . 12．dx x x )cos (sin 0⎰+π= .13．已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞单调递增，则满足x f x f 的)31()12(<-取值范围是__________． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C：ρ=2C：cos()4πρθ+=1C 上到2C 的距离等的点的个数为 ．15．(几何证明选讲选做题)如图（3）所示，AB 是⊙O 的直径，过圆上一点E 作切线ED ⊥AF交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C.若CB=2，CE=4，则AD 的长为 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数)631tan()(π-=x x f(1) 求)(x f 的最小正周期； (2) 求⎪⎭⎫⎝⎛23πf 的值； 图（3）5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
(3) 设,21273-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+παf 求)4sin(2)cos()sin(παπααπ+-+-的值．17．（本小题满分12分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：（1）该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，根据表中数据已经正确计算出ˆ0.6b =，试求出ˆa的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18.（本小题满分14分）如图，PA 垂直⊙O 所在平面ABC ，AB 为⊙O 的直径，PA=AB ，14BF BP =，C 是弧AB 的中点.（1）证明：BC ⊥平面PAC ； （2）证明：CF ⊥BP ；（3）求二面角F —OC —B 的平面角的正弦值.19.（本小题满分14分）设等差数列}{n a 的公差0≠d ，数列}{n b 为等比数列，若a b a ==11，33b a =，57b a =. （1）求数列}{n b 的公比q ；5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
（2）将数列}{n a ，}{n b 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列}{n c ，是否存在正整数,,λμω（其中λμω<<）使得,,λμω和,,c c c λμωλμω+++均成等差数列？若存在，求出,,λμω的值，若不存在，请说明理由.20. （本小题满分14分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为e =，直线:2l y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆O 相切. （1）求椭圆C 1的方程；（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F ，且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l ，垂足为点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点,R S 在2C 上，且满足0=⋅RS QR ，求||QS 的取值范围.21.（本小题满分14分）已知函数x x ax x g 2231)(23-+=，函数)(x f 是函数)(x g 的导函数. (1) 若1=a ，求)(x g 的单调减区间； (2) 若对任意R x x ∈21,且21x x ≠，都有2)()()2(2121x f x f x x f +<+，求实数a 的取值范围； (3) 在第（2）问求出的实数a 的范围内，若存在一个与a 有关的负数M ，使得对任意]0,[M x ∈时4)(≤x f 恒成立，求M 的最小值及相应的a 的值.东莞市2013届高三二模考试试题理科数学参考答案5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
二、填空题：(每小题5分，共30分)9. 11 10．6629+ 11．2 12. 2 13．)32,31( 14．3 15．524 三、解答题：(共80分)16．解：(1))(x f 的最小正周期为ππ331==T ．………3分(2)33tan )663tan()23(==-=ππππf ． …………6分 (3)由21)273(-=+παf ，得21]6)273(31tan[-=-+ππα，即21)tan(-=+απ， …………8分 所以.21tan -=α………9分，0cos =/∴α，⋅+-=+-+-ααααπαπααπcos sin cos sin )4sin(2)cos()sin( ………10分 1tan 1tan +-=αα…………11分，3121121-=+---=． …………12分 17．解：（1）11(12345)3,(44566)555x y =++++==++++=，因线性回归方程ˆ=+y bx a 过点(,)x y ， ∴50.66 3.2a y bx =-=-⨯=，∴6月份的生产甲胶囊的产量数：ˆ0.66 3.2 6.8y=⨯+=…………5分（2）0,1,2,3,ξ= …………6分，31254533991054010(0),(1),84428421C C C P P C C ξξ======== 213454339930541(2),(3).84148421C C C P P C C ξξ======== …………10分 其分布列为5105140123 422114213E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=. …………12分18．证明：（1）∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC⊥PA. …………1分 ∵∠ACB 是直径所对的圆周角，∴90o ACB ∠=，即BC ⊥AC.………2分 又∵PA AC A =，∴BC ⊥平面PAC . …………4分 （2）∵PA ⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，∴OC ⊥PA. ………5分5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。