高中人教A版数学必修4(课时习题与单元测试卷)：第27课时 两角差的余弦公式 含解析

课时目标
识记强化
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
课时作业
一、选择题 1．cos(－75°)的值是( )
A.6－22
B.6＋22
C.6－24
D.6＋24
答案：C
解析：cos(－75°)＝cos(45°－120°)＝cos45°·cos120°＋sin45°sin120°＝22×⎝⎛⎭⎫－12＋22
×32＝6－24
，故选C. 2．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－3
5
，则cos(α－β)的值为( )
A ．－6365
B ．－3365
C.6365
D.3365 答案：A
解析：∵α为锐角，且cos α＝1213，∴sin α＝1－cos 2α＝5
13
.∵β为第三象限角，且sin β＝
－35，∴cos β＝－1－sin 2β＝－45，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝⎛⎭⎫－45＋5
13×⎝⎛⎭
⎫－35＝－63
65
.故选A.
3．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－5
13
，则cos(2π－β)的值为( )
A.3365 B ．－3365 C.5465 D ．－5465 答案：A
解析：∵α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，∴sin α＝45，sin(α＋β)＝12
13
，∴cos(2π
－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－513×35＋1213×45＝33
65
.
4．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 答案：D
解析：由题意，得cos A cos B －sin A sin B >0. 即cos(A ＋B )>0，－cos C >0，cos C <0.
又0<C <π，故π
2
<C <π，△ABC 为钝角三角形．
5．已知α，β均为锐角，且cos α＝2 55，cos β＝10
10
，则α－β等于( )
A.π4 B ．－π4 C.π2 D ．－π2 答案：B
解析：因为α，β均为锐角，所以sin α＝55，sin β＝310
10.
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝2
2
又∵sin α<sin β；∴0<α<β<π
2
，
∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4
.
6．若cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫3π2，7π
4，则cos x 的值为( ) A.210 B.7 210 C.310 D.7 310 答案：A
解析：∵x ∈⎝⎛⎭⎫3π2，7π4，∴⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫7π
4，2π. ∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－35
. ∴cos x ＝cos ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin π4＝22⎝⎛⎭⎫45－35＝210. 二、填空题 7．－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°＝________. 答案：cos1°
解析：－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°＝－sin40°·(－sin39°)＋cos40°cos39°＝cos(40°－39°)＝cos1°.
8．已知α是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－3
5
，则cos α＝________. 答案：－4＋33
10
解析：因为α是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－35<0，所以α＋π
3
是第三象限角， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－45
， 所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3－π3＝ 12cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋32sin ⎝⎛
⎭⎫α＋π3＝－4＋3310. 9．若a ＝(cos60°，sin60°)，b ＝(cos15°，sin15°)，则a ·b ＝________.
答案：2
2
解析：a ·b ＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝2
2
. 三、解答题
10．已知sin(π－α)＝437，cos(α－β)＝1314，0<β<α<π
2，求角β的大小．
解：因为sin(π－α)＝437，所以sin α＝43
7
.
因为0<α<π2，所以cos α＝1－sin 2α＝1
7
.
因为cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，所以0<α－β<π
2
，
所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝33
14
.
所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝1
2
.
因为0<β<π
2，
所以β＝π
3
.
11．已知函数f (x )＝－cos2x cos 5π4＋sin2x sin 9π
4
.
(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)若π8<α<β<π
2，f (α)＝2＋64，且f (β)＝6－24
，求角2β－2α的大小．
解：(1)因为f (x )＝－cos2x cos 5π4＋sin2x sin 9π
4
，
所以f (x )＝cos2x cos π4＋sin2x sin π
4＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π
2
＝π.
(2)因为f (α)＝2＋64，且f (β)＝6－2
4，
所以cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝2＋64， cos ⎝⎛⎭⎫2β－π4＝6－24
. 又π8<α<β<π2，所以2α－π4，2β－π
4∈⎝
⎛⎭⎫0，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫2α－π4＝6－24
，sin ⎝⎛⎭⎫2β－π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫2β－π4＝6＋2
4
， 所以cos(2β－2α)
＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝
⎛⎭⎫2β－π4－⎝⎛⎭⎫2α－π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2β－π4cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋ sin ⎝
⎛⎭⎫2β－π4sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4 ＝6－24×6＋24＋6＋24×6－24＝12
.
又π8<α<β<π2，所以0<2β－2α<3π4，所以2β－2α＝π3.
能力提升
12．若cos(α－β)＝55，cos2α＝10
10
，且α、β均为锐角，α<β，则α＋β的值为( ) A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π6 答案：C
解析：∵0<α<π2，0<β<π2，α<β，∴－π
2<α－β<0.
又cos(α－β)＝5
5
，
∴sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－2 5
5
.
又∵0<2α<π，cos2α＝10
10，
∴sin2α＝1－cos 22α＝310
10
，
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝1010×55＋310
10
×⎝
⎛⎭⎫
－2 55＝－22.
又0<α＋β<π，故α＋β＝3π
4.
13．已知sin α＋sin β＝2
2，求cos α＋cos β的取值范围．
解：由sin α＋sin β＝2
2
，平方得，
sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β＝1
2
， ①
设cos α＋cos β＝m ，平方得， cos 2α＋2cos αcos β＋cos 2β＝m 2, ②
由①＋②，得sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β＋cos 2α＋2cos αcos β＋cos 2β＝m 2＋1
2
，
整理得，m 2＝3
2
＋2cos(α－β)．
又由于cos(α－β)∈[－1,1]，m 2>0，
所以0≤m 2≤72，解得－142≤m ≤14
2
.
∴cos α＋cos β的取值范围是⎣⎡⎦⎤
－142，
142.。