高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战77895
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本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．第1部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案打在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式()()()P A B P A P B +=+24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k kn kn n P k C P P -=-第一部分（选择题 共60分）1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上． 2．本大题共12小题，每小题5分，共60分．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1．若全集{1,2,3,4,5}M =，{2,4}N =，则M N = （A ）∅（B ）{1,3,5}（C ）{2,4}（D ）{1,2,3,4,5} 答案：B解析：∵{1,2,3,4,5}M =，则MN ={1,3,5}，选B ．2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9 [23.5，27.5) 18[27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5，39.5) 7 [39.5，43.5) 3 根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占（A ）211（B ）13 （C ）12（D ）23答案：B解析：大于或等于31.5的数据共有12+7+3=22个，约占221663=，选B ．3．圆22460x y x y +-+=的圆心坐标是（A ）(2，3) （B ）(－2，3) （C ）(－2，－3)（D ）(2，－3) 答案：D解析：圆方程化为22(2)(3)13x y -++=，圆心(2，－3)，选D ．4．函数1()12x y =+的图象关于直线y=x 对称的图象像大致是答案：A解析：1()12x y =+图象过点(0,2)，且单调递减，故它关于直线y=x 对称的图象过点(2,0)且单调递减，选A ．5．“x ＝3”是“x2＝9”的（A ）充分而不必要的条件（B ）必要而不充分的条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要的条件 答案：A解析：若x ＝3，则x 2＝9，反之，若x 2＝9，则3x =±，选A ． 6．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（A ）12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒（B ）12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥（C ）233////l l l ⇒1l ，2l ，3l 共面（D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 答案：B解析：由12l l ⊥，23//l l ，根据异面直线所成角知1l 与3l 所成角为90°，选B ． 7．如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=（A ）0（B ）BE （C ）AD （D ）CF 答案：D解析：BA CD EF CD DE EF CF ++=++=，选D ．8．在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（A ）(0,]6π（B ）[,)6ππ（C ）(0,]3π（D ）[,)3ππ答案：C解析：由222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-得222a b c bc ≤+-，即222122b c a bc +-≥，∴1cos 2A ≥，∵0A π<<，故03A π<≤，选C ．9．数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1=1，an+1 =3Sn （n ≥1），则a6=（A ）3 × 44（B ）3 × 44+1（C ）44（D ）44+1答案：A解析：由an+1 =3Sn ，得an =3Sn －1（n ≥ 2），相减得an+1－an =3(Sn －Sn －1)=3an ，则an+1=4an （n ≥ 2），a1=1，a2=3，则a6=a2·44=3×44，选A ．10．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为（A ）4650元（B ）4700元（C ）4900元（D ）5000元 答案：C解析：设派用甲型卡车x （辆），乙型卡车y （辆），获得的利润为u （元），450350u x y =+，由题意，x 、y 满足关系式12,219,10672,08,07,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≥⎨⎪≤≤⎪≤≤⎪⎩作出相应的平面区域，45035050(97)u x y x y =+=+在由12,219x y x y +≤⎧⎨+≤⎩确定的交点(7,5)处取得最大值4900元，选C ．11．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为（A ）(2,9)--（B ）(0,5)-（C ）(2,9)-（D ）(1,6)- 答案：A解析：令抛物线上横坐标为14x =-、22x =的点为(4,114)A a --、(2,21)B a -，则2AB k a =-，由22y x a a '=+=-，故切点为(1,4)a ---，切线方程为(2)60a x y ---=，该直线又和圆相切，则2665(2)1d a ==-+，解得4a =或0a =（舍去），则抛物线为2245(2)9y x x x =+-=+-，定点坐标为(2,9)--，选A ．12．在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b =α，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积等于2的平行四边形的个数为m ，则m n= （A ）215（B ）15（C ）415（D ）13答案：B解析：∵以原点为起点的向量(,)a b =α有(2,1)、(2,3)、(2,5)、(4,1)、(4,3)、(4,5)共6个，可作平行四边形的个数2615n C ==个，结合图形进行计算，其中由(2,1)(4,1)、(2,1)(4,3)、(2,3)(4,5)确定的平行四边形面积为2，共有3个，则31155m n ==，选B ．第二部分（非选择题 共90分）注意事项：1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．2．本部分共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．9(1)x +的展开式中3x 的系数是_________．（用数字作答）答案：84解析：∵9(1)x +的展开式中3x 的系数是639984C C ==． 14．双曲线2216436x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是4，那么P 到左准线的距离是____．答案：16 答案：16解析：离心率54e =，设P 到右准线的距离是d ，则454d =，则165d =，则P 到左准线的距离等于2641616105⨯+=．15．如图，半径为4的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________． 答案：32π解析：如图，设球一条半径与圆柱相应的母线夹角为α，圆柱侧面积24sin 24cos S παα=⨯⨯⨯＝32sin2πα，当4πα=时，S 取最大值32π，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为32π．16．函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数．例如，函数()f x =2x+1(x ∈R )是单函数．下列命题：①函数2()f x x =（x ∈R ）是单函数； ②指数函数()2x f x =（x ∈R ）是单函数；③若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号） 答案：②③④解析：对于①，若12()()f x f x =，则12x x =±，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题共l2分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14、12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12、14；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算，考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力．解：（Ⅰ）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A 、B ，则111()1424P A =--=，111()1244P A =--=． 答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14、14． （Ⅱ）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C ，则1111111111113()()()()4244222442444P C =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为3418．（本小题共l2分）已知函数73()sin()cos()44f x x x ππ=++-，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知4cos()5βα-=，4cos()5βα+=-，02παβ<<≤．求证：2[()]20f β-=．本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识和基本运算能力，函数与方程、化归与转化等数学思想．（Ⅰ）解析：7733()sin cos cos sin cos cos sin sin4444f x x x x x ππππ=+++ 2sin 2cos x x =-2sin()4x π=-，∴()f x 的最小正周期2T π=，最小值min ()2f x =-．（Ⅱ）证明：由已知得4cos cos sin sin 5αβαβ+=，4cos cos sin sin 5αβαβ-=-两式相加得2cos cos 0αβ=，∵02παβ<<≤，∴cos 0β=，则2πβ=．∴22[()]24sin 204f πβ-=-=．19．（本小题共l2分）如图，在直三棱柱ABC －A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P ，使C1P ＝A1C1，连接AP 交棱CC1于D ．（Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1；（Ⅱ）求二面角A －A1D －B 的平面角的余弦值；本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力． 解法一：（Ⅰ）连结AB1与BA1交于点O ，连结OD ，∵C1D ∥平面AA1，A1C1∥AP ，∴AD=PD ，又AO=B1O ， ∴OD ∥PB1，又OD 面BDA1，PB1面BDA1， ∴PB1∥平面BDA1．（Ⅱ）过A 作AE ⊥DA1于点E ，连结BE ．∵BA ⊥CA ，BA ⊥AA1，且AA1∩AC=A ，∴BA ⊥平面AA1C1C ．由三垂线定理可知BE ⊥DA1． ∴∠BEA 为二面角A －A1D －B 的平面角．在Rt △A1C1D 中，22115()12A D =+=，又11151122AA D S AE ∆=⨯⨯=⨯⋅，∴25AE =． 在Rt △BAE 中，222535()15BE =+=，∴2cos 3AH AHB BH ∠==． 故二面角A －A1D －B 的平面角的余弦值为23． 解法二：如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A1－B1C1A ，则1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，1(0,1,0)C ，(1,0,1)B ，(0,2,0)P ．（Ⅰ）在△PAA1中有1112C D AA =，即1(0,1,)2D ．∴1(1,0,1)A B =，1(0,1,)A D x =，1(1,2,0)B P =-．设平面BA1D 的一个法向量为1(,,)a b c =n ， 则11110,10.2A B a c A D b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 令1c =-，则11(1,,1)2=-n ． ∵1111(1)2(1)002B P ⋅=⨯-+⨯+-⨯=n ，∴PB1∥平面BA1D ，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA1D 的一个法向量11(1,,1)2=-n ．又2(1,0,0)=n 为平面AA1D 的一个法向量．∴12121212cos ,3||||312⋅<>===⋅⨯n n n n n n ．故二面角A －A1D －B 的平面角的余弦值为23． 20．（本小题共12分）已知{}n a 是以a 为首项，q 为公比的等比数列，n S 为它的前n 项和．（Ⅰ）当1S 、3S 、4S 成等差数列时，求q 的值；（Ⅱ）当m S 、n S 、l S 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，m k a +、n k a +、l k a +也成等差数列．本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力．解：（Ⅰ）由已知，1n n a aq -=，因此1S a =，23(1)S a q q =++，234(1)S a q q q =+++．当1S 、3S 、4S 成等差数列时，1432S S S +=，可得32aq aq aq =+．化简得210q q --=．解得15q ±=． （Ⅱ）若1q =，则{}n a 的每项n a a =，此时m k a +、n k a +、l k a +显然成等差数列．若1q ≠，由m S 、n S 、l S 成等差数列可得2m l n S S S +=，即(1)(1)2(1)111m l n a q a q a q q q q ---+=---． 整理得2m l n q q q +=．因此，11()22k m l n k m k l k n k a a aq q q aq a -+-++++=+==． 所以，m k a +、n k a +、l k a +也成等差数列．21．（本小题共l2分）过点C(0，1)的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，椭圆与x 轴交于两点(,0)A a 、(,0)A a -，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．（I ）当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； （Ⅱ）当点P 异于点B 时，求证：OP OQ ⋅为定值．本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．解：（Ⅰ）由已知得31,2c b a ==，解得2a =，所以椭圆方程为2214x y +=．椭圆的右焦点为(3,0)，此时直线l 的方程为 313y x =-+，代入椭圆方程得 27830x x -=，解得12830,7x x ==，代入直线l 的方程得 1211,7y y ==-，所以831(,)77D -， 故2283116||(0)(1)777CD =-+--=． （Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为11(0)2y kx k k =+≠≠且．代入椭圆方程得22(41)80k x kx ++=．解得12280,41kx x k -==+，代入直线l 的方程得2122141,41k y y k -==+，所以D 点的坐标为222814(,)4141k kk k --++．又直线AC 的方程为12x y +=，又直线BD 的方程为12(2)24ky x k+=+-，联立得4,2 1.x k y k =-⎧⎨=+⎩因此(4,21)Q k k -+，又1(,0)P k-．所以1(,0)(4,21)4OP OQ k k k⋅=--+=．故OP OQ ⋅为定值． 22．（本小题共l4分）已知函数21()32f x x =+，()h x x =．（Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值；（Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33lg[(1)]2lg ()2lg (4)24f x h a x h x --=---；（Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1()()[(1)(2)()]6f n h n h h h n -+++≥．本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．解：（Ⅰ）223()18()[()]129(0)F x f x x h x x x x =-=-++≥，2()312F x x '∴=-+．令()0F x '∴=，得2x =（2x =-舍去）．当(0,2)x ∈时．()0F x '>；当(2,)x ∈+∞时，()0F x '<，故当[0,2)x ∈时，()F x 为增函数；当[2,)x ∈+∞时，()F x 为减函数． 2x =为()F x 的极大值点，且(2)824925F =-++=．（Ⅱ）方法一：原方程可化为42233log [(1)]log ()log (4)24f x h a x h x --=---，即为4222log (1)log log 4log 4a xx a x x x --=---=-，且,14,x a x <⎧⎨<<⎩①当14a <≤时，1x a <<，则14a xx x--=-，即2640x x a -++=， 364(4)2040a a ∆=-+=->，此时620435ax a ±-==±-，∵1x a <<，此时方程仅有一解35x a =--．②当4a >时，14x <<，由14a xx x--=-，得2640x x a -++=，364(4)204a a ∆=-+=-，若45a <<，则0∆>，方程有两解35x a =±-； 若5a =时，则0∆=，方程有一解3x =； 若1a ≤或5a >，原方程无解．方法二：原方程可化为422log (1)log (4)log ()x h x h a x -+-=-，即2221log (1)log 4log 2x x a x-+-=-，10,40,0,(1)(4).x x a x x x a x ->⎧⎪->⎪⇔⎨->⎪⎪--=-⎩214,(3) 5.x x a a x ⎧<<⎪⇔<⎨⎪=--+⎩ ①当14a <≤时，原方程有一解35x a =--； ②当45a <<时，原方程有二解35x a =±-； ③当5a =时，原方程有一解3x =；④当1a ≤或5a >时，原方程无解．（Ⅲ）由已知得(1)(2)()]12h h h n n +++=+++，1431()()666n f n h n n +-=-．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1()()6n S f n h n =-（*n ∈N ）从而有111a S ==，当2100k ≤≤时，14341166k k k k k a S S k k -+-=-=--．又1[(43)(41)1]6k a k k k k k -=+---2216(43)(41)1k k k k =⋅++--106(43)(41)1k k k k =⋅>++--． 即对任意2k ≥时，有k a k>，又因为111a ==，所以1212n a a a n +++≥+++．则(1)(2)()n S h h h n ≥+++，故原不等式成立．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.（5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱2.（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A.﹣2﹣3iB.﹣2+3iC.2﹣3iD.2+3i3.（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A.8B.10C.12D.144.（5分）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A. B. C.D.5.（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A.18B.20C.21D.406.（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件7.（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A.f（x）是偶函数B.f（x）是增函数C.f（x）是周期函数D.f（x）的值域为[﹣1，+∞）8.（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A.=（0，0），=（1，2）B.=（﹣1，2），=（5，﹣2）C.=（3，5），=（6，10）D.=（2，﹣3），=（﹣2，3）9.（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A.5B.+C.7+D.610.（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A.（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B.（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5C.（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D.（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置11.（4分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为.12.（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于.13.（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）14.（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为.15.（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是.三、解答题：本大题共4小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣.（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间.17.（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图.（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.18.（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.19.（13分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x.（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由.在2123题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修42：矩阵与变换20.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1.（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex. 21.（7分）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）.（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.五、选修44：极坐标与参数方程22.（7分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）.（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.六、选修45：不等式选讲23.已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a.（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (2)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱【分析】直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可. 【解答】解：圆柱的正视图为矩形，故选：A.【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题.2.（（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A.﹣2﹣3iB.﹣2+3iC.2﹣3iD.2+3i【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简z，则其共轭可求.【解答】解：∵z=（3﹣2i）i=2+3i，∴.故选：C.【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题.3.（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A.8B.10C.12D.14【分析】由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6【解答】解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，∴a6=a1+5d=2+5×2=12，故选：C.【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题.4.（5分）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A. B. C.D.【分析】由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可.【解答】解：由题意可知图象过（3，1），故有1=loga3，解得a=3，选项A，y=a﹣x=3﹣x=（）x单调递减，故错误；选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；选项C，y=（﹣x）3=﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y=loga（﹣x）=log3（﹣x），当x=﹣3时，y=1，但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误.故选：B.【点评】本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题.5.（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A.18B.20C.21D.40【分析】算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，计算满足条件的S值，可得答案. 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15.∴输出S=20.故选：B.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.6.（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【分析】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【解答】解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立.若△OAB的面积为，则S==×2×==，即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，则（|k|﹣1）2=0，即|k|=1，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立.故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键.7.（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A.f（x）是偶函数B.f（x）是增函数C.f（x）是周期函数D.f（x）的值域为[﹣1，+∞）【分析】由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可.【解答】解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，当x＞0时，函数的值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故正确.故选：D.【点评】本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题.8.（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A.=（0，0），=（1，2）B.=（﹣1，2），=（5，﹣2）C.=（3，5），=（6，10）D.=（2，﹣3），=（﹣2，3）【分析】根据向量的坐标运算，，计算判别即可.【解答】解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能.选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能. 选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能.故选：B.【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题.9.（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A.5B.+C.7+D.6【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离.【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6.故选：D.【点评】本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.10.（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A.（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B.（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5C.（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D.（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）【分析】根据“1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来”，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决.【解答】解：从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+a+a2+a3+a4+a5；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1+b5；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+c+c2+c3+c4+c5=（1+c）5，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5.故选：A.【点评】本题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置11.（4分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为 1 .【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值. 【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小，此时z最小.此时z的最小值为z=0×3+1=1，故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法. 12.（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于 2.【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积. 【解答】解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，∴，解得sinB=1，∴B=90°，C=30°，∴△ABC的面积=.故答案为：.【点评】本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积.正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题.13.（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 160 （单位：元）【分析】此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求.【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，故当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故答案为：160【点评】本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题.14.（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为.【分析】利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率.【解答】解：由题意，y=lnx与y=ex关于y=x对称，∴阴影部分的面积为2（e﹣ex）dx=2（ex﹣ex）=2，∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为.故答案为：.【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到.15.（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是 6 .【分析】利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论.【解答】解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个.【点评】本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键.三、解答题：本大题共4小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣.（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间.【分析】（1）根据题意，利用sinα求出cosα的值，再计算f（α）的值；（2）化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期与单调增区间即可.【解答】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z.【点评】本题考查了三角函数的化简以及图象与性质的应用问题，是基础题目.17.（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图.（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可得出；（2）建立如图所示的空间直角坐标系.设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式sinθ=|cos|=即可得出.【解答】（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系.∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M.∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=.设平面BCM的法向量=（x，y，z），则，令y=﹣1，则x=1，z=1.∴=（1，﹣1，1）.设直线AD与平面MBC所成角为θ.则sinθ=|cos|===.【点评】本题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sinθ=|cos|=，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题.18.（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为60元的概率，依题意得X得所有可能取值为20，60，分别求出P（X=60），P（X=20），画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望；（2）先讨论，寻找期望为60元的方案，找到（10，10，50，50），（20，20，40，40）两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决.【解答】解：（1）设顾客所获取的奖励额为X，①依题意，得P（X=60）=，即顾客所获得奖励额为60元的概率为，②依题意得X得所有可能取值为20，60，。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战77256
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的模长为（）A．B． C．D．22．（5分）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．（1，2]3．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A． B． C． D．4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p45．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．606．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）A．B．C．D．7．（5分）使得（3x+）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4 B．5 C．6 D．78．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（）A．b=a3 B．C．D．10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣1612．（5分）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．14．（5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=．15．（5分）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=．16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．18．（12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．19．（12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．20．（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．（Ⅰ）求P的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．21．（12分）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战27883
一、选择题（每题4分，共48分）1、设全集{}6,5,4,3,2,1=U ，集合{}6,4,2=A ，{}3,2=B ，则()=B A C U （ ）A 、{}1B 、{}5C 、{}5,1D 、{}6,4,3,22、1>a 是a a >2的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3、若函数2)1(2)(2+++=x a x x f 在(]2,∞-上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A 、(]3,-∞-B 、[)∞+,1C 、[)∞+-,3D 、(]1,∞-4、若复数i z +=1，则()=⋅+z z 1（ ）A 、i +3B 、i -3C 、i 31+D 、35、已知向量()3,1=a ，()4,x =b ，若()a b a -⊥2，则x 的值为（ ）A 、5-B 、6-C 、7-D 、76、已知过点()8,2--A 和()4,m B 的直线与012=-+y x 平行，则m的值为（ ）A 、22B 、10-C 、12D 、8-7、在ABC ∆中，2=a ，2=b ，︒=∠45B ，则=∠A （ ）A 、︒︒12060或B 、︒60C 、︒︒15030或D 、︒308、函数x x y 2cos 2sin 2⋅=是（ ） A 、周期为2π的奇函数B 、周期为2π的偶函数 C 、周期为4π的奇函数D 、周期为4π的偶函数9、过点()1,2-M 与圆C ：()()53122=++-y x 相切的直线方程为（ ） A 、01=-+y x B 、052=--y x C 、042=--y x D 、02=+y x10、有4名男生2名女生共6人排成一排，则女生不相邻的排法种数是（ ）A 、120B 、720C 、480D 、56011、设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若b a ⊥，α⊄b ，α⊥a ，则α//b ；②若α//a ，βα⊥，则β⊥a ；③若β⊥a ，βα⊥，则α//a 或α⊂a ；④若b a ⊥，α⊥a ，β⊥b ，则βα⊥，其中真命题的个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、312、定义在R 上的奇函数)(x f y =在[)∞+,0上单调增加，且0)2(=f ，则不等式0)(<⋅x f x 的解集为（ ）A 、()2,2-B 、()()2,00,2 -C 、()()∞+-∞-,22,D 、()()∞+-,20,2二、填空题（每题4分，共24分）13、数列{}n a 满足11=a ，n n a a 21=+，则数列n a 的前n 项和=n S ____________14、函数()x x y 21-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛<<210x 的最大值是______________ 15、圆()9122=+-y x 上的点到直线07=+-y x 的最大距离是______________16、已知m 为实数，椭圆13222=+my x 的一个焦点为抛物线x y 42=的焦点，则=m _____17、某篮球运动员在罚球线投中球的概率为32，在某次比赛中罚3球恰好中2球的概率是_____________18、已知抛物线x y 62=，定点()3,2A ，F 为焦点，P 为抛物线上的动点，则PA PF +的最小值为______________三、解答题（本题包括7小题，共78分）19、（本题6分）求函数()2223log xx y --=的定义域20、（本题10分）已知()1tan =-απ，（1）求αtan 的值；（2）求ααα22sin cos 2sin +-的值21、（本题10分）在等差数列{}n a 中，前4项的和204-=S ，前12项的和13212=S ，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 前n 项和n S 的最小值22、（本题10分）已知函数22)(2++=ax x x f ，[]5,5-∈x （1）当1-=a 时，求)(x f 的最大值与最小值；（2）求实数a 的取值范围，使)(x f y =在区间[]5,5-上单调增加23、（本题14分）甲袋中装有4个红球，2个白球，乙袋中装有3个红球，3个白球，现从甲袋中取出2个球，从乙袋中取出1个球（1）求从甲袋中取出的2个球中恰有1个白球的概率；（2）记ξ表示抽取的3个球中白球的个数，求ξ的概率分布及数学期望24、(本题14分) 如图，四边形ABCD 是边长为66的正方形，PABCD PA 平面⊥，若106==PD PB（1）求PC 与平面ABCD 所成角的大小（2）求P 到BD 的距离25、（本题14分）设椭圆C ：12222=+by a x ()0>>b a 的离心率为22=e ，点A 是椭圆上的一点，且点A 到椭圆C 两焦点的距离之和为4（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 上一动点()y x P ,关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ，求1143y x -的取值范围参考答案一、选择题（每题4分，共48分）13、12-n；14、81；15、243+；16、2±；17、94；18、27 三、解答题（共78分）19、()1,3- 20、（1）1-；（2）1-21、（1）154-=n a n ；（2）213-=S22、（1）最小值1，最大值37；（2）5≥a23、（1）158；（2） 67=ξE （2）76；24、（1）︒30；25、（1）12422=+y x ；（2）[]10,10-一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（）A.a1，a3，a9成等比数列B.a2，a3，a6成等比数列C.a2，a4，a8成等比数列D.a3，a6，a9成等比数列2.（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A.=0.4x+2.3B.=2x﹣2.4C.=﹣2x+9.5D.=﹣0.3x+4.44.（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A.﹣B.0C.3D.5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A.s＞B.s＞C.s＞D.s＞6.（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A.p∧qB.￢p∧￢qC.￢p∧qD.p∧￢q7.（5分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A.54B.60C.66D.728.（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.39.（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A.72B.120C.144D.16810.（5分）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）A.bc（b+c）＞8B.ab（a+b）＞16C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24二、填空题：本大题共3小题，每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上.11.（5分）设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（∁UA）∩B=.12.（5分）函数f（x）=log2•log（2x）的最小值为.13.（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=.三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14.（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=.15.（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=.16.若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是.四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值.18.（13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（Ⅱ）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望.（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数.）19.（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上的一点，且BM=，MP⊥AP.（Ⅰ）求PO的长；（Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值.20.（12分）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c.（Ⅰ）确定a，b的值；（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围.21.（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上.DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径.22.（12分）设a1=1，an+1=+b（n∈N*）（Ⅰ）若b=1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立，证明你的结论.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(13)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（）A.a1，a3，a9成等比数列B.a2，a3，a6成等比数列C.a2，a4，a8成等比数列D.a3，a6，a9成等比数列【分析】利用等比中项的性质，对四个选项中的数进行验证即可.【解答】解：A项中a3=a1•q2，a1•a9=•q8，（a3）2≠a1•a9，故A项说法错误，B项中（a3）2=（a1•q2）2≠a2•a6=•q6，故B项说法错误，C项中（a4）2=（a1•q3）2≠a2•a8=•q8，故C项说法错误，D项中（a6）2=（a1•q5）2=a3•a9=•q10，故D项说法正确，故选：D.【点评】本题主要考查了是等比数列的性质.主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断.2.（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案.【解答】解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i∵复数Z的实部2＞0，虚部1＞0∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限故选：A.【点评】本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，是解答本题的关键.3.（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A.=0.4x+2.3B.=2x﹣2.4C.=﹣2x+9.5D.=﹣0.3x+4.4【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程.【解答】解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，故选：A.【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键.4.（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A.﹣B.0C.3D.【分析】根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可.【解答】解：∵=（k，3），=（1，4），=（2，1）∴2﹣3=（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）•=0'∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0，解得，k=3.故选：C.【点评】本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错.5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A.s＞B.s＞C.s＞D.s＞【分析】程序运行的S=××…×，根据输出k的值，确定S的值，从而可得判断框的条件.【解答】解：由程序框图知：程序运行的S=××…×，∵输出的k=6，∴S=××=，∴判断框的条件是S＞，故选：C.【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键.6.（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A.p∧qB.￢p∧￢qC.￢p∧qD.p∧￢q【分析】由命题p，找到x的范围是x∈R，判断p为真命题.而q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答.【解答】解：因为命题p对任意x∈R，总有2x＞0，根据指数函数的性质判断是真命题；命题q：“x＞1”不能推出“x＞2”；但是“x＞2”能推出“x＞1”所以：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故q是假命题；所以p∧￢q为真命题；故选：D.【点评】判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断.7.（5分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A.54B.60C.66D.72【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算.【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∵AB⊥平面BEFC，∴AB⊥BC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5∴几何体的表面积S=×3×4+×3×5+×4+×5+3×5=60.故选：B.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.8.（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.3【分析】不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率.【解答】解：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，∴（3b﹣4a）（3b+a）=0∴a=b，∴c==b，∴e==.故选：B.【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题.9.（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A.72B.120C.144D.168【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先将3个歌舞类节目全排列，②、因为3个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案.【解答】解：分2步进行分析：1、先将3个歌舞类节目全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，2、因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，分2种情况讨论：①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C21A22=4种情况，排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种；②将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22=2种情况，排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种；则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120，故选：B.【点评】本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便.10.（5分）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）A.bc（b+c）＞8B.ab（a+b）＞16C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质进行证明即可得到结论. 【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，∴sin2A+sin2B=﹣sin2C+，∴sin2A+sin2B+sin2C=，∴2sinAcosA+2sin（B+C）cos（B﹣C）=，2sinA（cos（B﹣C）﹣cos（B+C））=，化为2sinA[﹣2sinBsin（﹣C）]=，∴sinAsinBsinC=.设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：=2R，由S=，及正弦定理得sinAsinBsinC==，即R2=4S，∵面积S满足1≤S≤2，∴4≤R2≤8，即2≤R≤，由sinAsinBsinC=可得，显然选项C，D不一定正确，A.bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，正确，B.ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16，不一定正确，故选：A.【点评】本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上.11.（5分）设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（∁UA）∩B={7，9}.【分析】由条件利用补集的定义求得∁UA，再根据两个集合的交集的定义求得（∁UA）∩B.【解答】解：∵全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，∴（∁UA）={4，6，7，9 }，∴（∁UA）∩B={7，9}，故答案为：{7，9}.【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题.12.（5分）函数f（x）=log2•log（2x）的最小值为.【分析】利用对数的运算性质可得f（x）=，即可求得f（x）最小值. 【解答】解：∵f（x）=log2•log（2x）∴f（x）=log（）•log（2x）=log x•log（2x）=log x（log x+log2）=log x（log x+2）=，∴当log x+1=0即x=时，函数f（x）的最小值是.故答案为：﹣【点评】本题考查对数不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，考查二次函数的配方法，属于中档题.13.（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=4±.【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论. 【解答】解：圆心C（1，a），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d=，平方得a2﹣8a+1=0，解得a=4±，故答案为：4±【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键.三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14.（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=4.【分析】由题意，∠PAB=∠C，可得△PAB∽△PCA，从而，代入数据可得结论.【解答】解：由题意，∠PAB=∠C，∠APB=∠CPA，∴△PAB∽△PCA，∴，∵PA=6，AC=8，BC=9，∴，∴PB=3，AB=4，故答案为：4.【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判断，属于基础题.15.（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=.【分析】直线l的参数方程化为普通方程、曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求出公共点的坐标，即可求出极径.【解答】解：直线l的参数方程为，普通方程为y=x+1，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0的直角坐标方程为y2=4x，直线l与曲线C联立可得（x﹣1）2=0，∴x=1，y=2，∴直线l与曲线C的公共点的极径ρ==.故答案为：.【点评】本题考查直线l的参数方程、曲线C的极坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题.16.若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，].【分析】利用绝对值的几何意义，确定|2x﹣1|+|x+2|的最小值，然后让a2+a+2小于等于它的最小值即可.【解答】解：|2x﹣1|+|x+2|=，∴x=时，|2x﹣1|+|x+2|的最小值为，∵不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，∴a2+a+2≤，∴a2+a﹣≤0，∴﹣1≤a≤，∴实数a的取值范围是[﹣1，].故答案为：[﹣1，].【点评】本题考查绝对值不等式的解法，突出考查一元二次不等式的解法及恒成立问题，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值.【分析】（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω=2.再根据图象关于直线x=对称，结合﹣≤φ＜可得φ 的值.（Ⅱ）由条件求得sin（α﹣）=.再根据α﹣的范围求得cos（α﹣）的值，再根据cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]，利用两角和的正弦公式计算求得结果.【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2.再根据图象关于直线x=对称，可得 2×+φ=kπ+，k∈z.结合﹣≤φ＜可得φ=﹣.（Ⅱ）∵f（）=（＜α＜），∴sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=.再根据 0＜α﹣＜，∴cos（α﹣）==，∴cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin=+=.【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题.18.（13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（Ⅱ）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望.（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数.）【分析】第一问是古典概型的问题，要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式即可，相对简单些；第二问应先根据题意求出随机变量X的所有可能取值，此处应注意所取三张卡片可能来自于相同数字（如1或2）或不同数字（1和2、1和3、2和3三类）的卡片，因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析，然后计算出每个随机变量所对应事件的概率，最后将分布列以表格形式呈现.【解答】解：（Ⅰ）由古典概型的概率计算公式得所求概率为P=，（Ⅱ）由题意知X的所有可能取值为1，2，3，且P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，所以X的分布列为：X 1 2 3P所以E（X）=.【点评】本题属于中档题，关键是要弄清涉及的基本事件以及所研究的事件是什么才能解答好第一问；第二问的只要是准确记住了中位数的概念，应该说完成此题基本没有问题. 19.（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上的一点，且BM=，MP⊥AP.（Ⅰ）求PO的长；（Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值.【分析】（Ⅰ）连接AC，BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，分别求出向量，的坐标，进而根据MP⊥AP，得到•=0，进而求出PO的长；（Ⅱ）求出平面APM和平面PMC的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值，进而根据平方关系可得：二面角A﹣PM﹣C的正弦值.【解答】解：（Ⅰ）连接AC，BD，∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，故AC∩BD=O，且AC⊥BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，∵AB=2，∠BAD=，∴OA=AB•cos（∠BAD）=，OB=AB•sin（∠BAD）=1，∴O（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，0，0），=（0，1，0），=（﹣，﹣1，0），又∵BM=，∴=（﹣，﹣，0），则=+=（﹣，，0），设P（0，0，a），则=（﹣，0，a），=（，﹣，a），∵MP⊥AP，∴•=﹣a2=0，解得a=，即PO的长为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知=（﹣，0，），=（，﹣，），=（，0，），设平面APM的法向量=（x，y，z），平面PMC的法向量为=（a，b，c），由，得，令x=1，则=（1，，2），由，得，令a=1，则=（1，﹣，﹣2），∵平面APM的法向量和平面PMC的法向量夹角θ满足：cosθ===﹣故sinθ==【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键.20.（12分）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c.（Ⅰ）确定a，b的值；（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围.【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，构造关于a，b的方程，可得a，b的值；（Ⅱ）将c=3代入，利用基本不等式可得f′（x）≥0恒成立，进而可得f（x）在定义域R为均增函数；（Ⅲ）结合基本不等式，分c≤4时和c＞4时两种情况讨论f（x）极值的存在性，最后综合讨论结果，可得答案.【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）∴f′（x）=2ae2x+2be﹣2x﹣c，由f′（x）为偶函数，可得2（a﹣b）（e2x﹣e﹣2x）=0，即a=b，又∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，即f′（0）=2a+2b﹣c=4﹣c，故a=b=1；（Ⅱ）当c=3时，f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣3≥2=1＞0恒成立，故f（x）在定义域R为均增函数；（Ⅲ）由（Ⅰ）得f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣c，而2e2x+2e﹣2x≥2=4，当且仅当x=0时取等号，当c≤4时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）无极值；当c＞4时，令t=e2x，方程2t+﹣c=0的两根均为正，即f′（x）=0有两个根x1，x2，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＞0，故当x=x1，或x=x2时，f（x）有极值，综上，若f（x）有极值，c的取值范围为（4，+∞）.【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档.22.（12分）设a1=1，an+1=+b（n∈N*）（Ⅰ）若b=1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立，证明你的结论.【分析】（Ⅰ）若b=1，利用an+1=+b，可求a2，a3；证明{（an﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列，即可求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设f（x）=，则an+1=f（an），令c=f（c），即c=﹣1，解得c=.用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1即可.【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，an+1=+b，b=1，∴a2=2，a3=+1；又（an+1﹣1）2=（an﹣1）2+1，∴{（an﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列；∴（an﹣1）2=n﹣1，∴an=+1（n∈N*）；（Ⅱ）设f（x）=，则an+1=f（an），令c=f（c），即c=﹣1，解得c=.下面用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1.n=1时，a2=f（1）=0，a3=f（0）=﹣1，∴a2＜c＜a3＜1，成立；设n=k时结论成立，即a2k＜c＜a2k+1＜1∵f（x）在（﹣∞，1]上为减函数，∴c=f（c）＞f（a2k+1）＞f（1）=a2，∴1＞c＞a2k+2＞a2，∴c=f（c）＜f（a2k+2）＜f（a2）=a3＜1，∴c＜a2k+3＜1，∴a2（k+1）＜c＜a2（k+1）+1＜1，即n=k+1时结论成立，综上，c=使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立.【点评】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，难度大.21.（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上.DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径.【分析】（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF1|==，|DF2|=，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由F1P1⊥F2P2，得x1=﹣或x1=0，分类讨论即可求得圆的半径.【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，由=2，得|DF1|==c，从而=|DF1||F1F2|=c2=，故c=1.从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得=+=，因此|DF2|=，所以2a=|DF1|+|DF2|=2，故a=，b2=a2﹣c2=1，因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣+=0，由椭圆方程得1﹣=，即3+4x1=0，解得x1=﹣或x1=0.当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；当x1=﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2，又|CP1|=|CP2|，故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=.【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题.。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战77847
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数)421sin(2π+=x y 的周期是（ ）A ．4π B ．π4 C ．π2D ．2π 2．函数)10lg(1)(22x x x x f -+-=的定义域为（ ）A ．RB ．[1，10]C ．（1，10）D ．)10,1()1,(⋃--∞3．一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120的扇形，则圆锥的体积等于A.π322 B.π22 C.π324 D.π4835 4.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．3x y -=)(R x ∈B ．x y sin =)(R x ∈C ．x y tan -=D ．xy )21(=)(R x ∈5.若向量)2,1(=a ，)4,3(-=b ，则)()(b a b a +⋅⋅等于（ ） A ．20 B ．），（3010- C ．54 D ．），（248-6.如图，平面内的两条相交直线1OP 和2OP 将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界）. 若21OP b OP a OP +=，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数b a 、满足（ ） A ． 0,0>>b a . B. 0,0<>b a . C ． 0,0><b a . D. 0,0<<b a .y xO6π 2 512π 7．在ABC ∆中,角2120,tan tan 33C A B =+=则tan tan A B 的值为 ( ) A ．41 B ．13 C ．21 D ．538.已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示.则函数()f x 的解析式为( )A ．)621sin(2)(π+=x x fB ．)621sin(2)(π-=x x fC ．)62sin(2)(π-=x x fD ．()2sin(2)6f x x π=+9．在ABC ∆中，有命题①BC AC AB =-；②0=++CA BC AB ；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等腰三角形；④若0>⋅AB AC ，则ABC ∆为锐角三角形. 上述命题正确的是 （ ）A.①②B.①④C.②③D.②③④100≠=b a ，且关于x 的方程02=⋅++b a a x 有实数根，则a 与b 的夹角的取值范围是 ( ) A.[,]3ππ B.[0,]6π C.2[,]33ππ D.[,]6ππ 第二部分非选择题 (共 100 分)二．填空题：本大题共5小题, 每小题5分, 共25分. 把答案填在答卷的相应位置． 11．=-57sin 333cos 33sin 27sin ；12.已知1:210l x my ++=与2:31l y x =-，若两直线平行，则m 的值为； 13．将函数x y 2sin =的图象按向量)0,6(π-=平移后的图象的函数解析式为；14．函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________．15．对于任意向量a 、b ，定义新运算“※”：a ※b =||||sin a b θ⋅⋅（其中 θ为a 与b 所的角）。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战17305
本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时．请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的．答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式V=13sh ，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高． 线性回归方程a x b y-=中系数计算公式x b y a x xy y x xb ni ini i i-=---=∑∑==,)())((211样本数据12,,...n x x x 的标准差()()()[]222211x x x x x x ns n -++-+-=其中y x ,表示样本均值， n 是正整数，则))((1221----++++-=-n n n n nnb ab b a ab a b a一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足1iz =，其中i 为虚数单位，则z = （ ） A ．i - B ．i C ．1- D ．1 2．已知集合(){,|A x y x y =、为实数，且}221xy +=，(){,|B x y x y =、为实数，且}1x y +=，则A B 的元素个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)a b c ===，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ= （ ）A ．14B ．12C ．1D ．2 4 ．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 （ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．(,)-∞+∞5．不等式2210x x -->的解集是（ ）A ．1(,1)2-B (1,)+∞C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D ．1(,)(1,)2-∞-⋃+∞6．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(),M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为()2,1，则z OM OA =⋅的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．32D ．427．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（ ）A ．20B ．15C ．12D ．108．设圆C 与圆外切，与直线0y =相切．则C 的圆心轨迹为（ ）A ． 抛物线B ． 双曲线C ． 椭圆D ． 圆9．如图13，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别为等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）A ．B ．C ．D ． 210．设)(),(),(x h x g x f 是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数()()x g f 和()()x g f •；对任意R x ∈,()()())(x g f x g f = ；()()())(x g x f x g f =•．则下列等式恒成立的是（ ） A ．()()()()()())(x h g h f x h g f ••=• B ．()()()()()())(x h g h f x h g f •=• C ．()()()()()())(x h g h f x h g f =2 2主视图左视图俯视图D ．()()()()()())(x h g h f x h g f •••=••二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．已知{}n a 是递增等比数列，4,2342=-=a a a ，则此数列的公比=q 2． 12．设函数.1cos )(3+=x x x f 若11)(=a f ，则=-)(a f 9．13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打时间x （单位：小时）与当于投篮命中率y 之间的关系： 时间x 1 2 3 4 5 命中率y0．40．50．60．60．4小李这 5天的平均投篮命中率为0.5，用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧==θθsin cos 5y x （0≤ ＜＝和⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 245 （t ∈R ），它们的交点坐标为25(1,)5． 15．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E 、F 分别为AD 、BC 上点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为7:5．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()12sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈． （1）求()0f 的值； （2）设10,0,,3,2213f ππαβα⎡⎤⎛⎫∈+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()632,5f βπ+=求()sin αβ+的值． 解：（1）(0)2sin()2sin166f ππ=-=-=-F ED CB A（2）101(3)2sin[(3)]2sin ,13232661(32)2sin[(32)]2sin()2cos 536253sin ,cos ,13512cos ,134sin 55312463sin()sin cos cos sin 13513565f f πππαααππβπβπββαβαβαβαβαβ=+=⨯+-==+=⨯+-=+=∴==∴====∴+=+=⨯+⨯=17．（本小题满分13分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用n x 表示编号为()1,2,,6n n =的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下： （1）求第6位同学成绩6x ，及这6位同学成绩的标准差s ；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间()68,75中的概率． 解：（1）6_15_616_222222221175,66675707672707290,11()(5135315)49,667n n n n n n x x x x x s x x s =====∴=-=⨯-----==-=+++++=∴=∑∑∑（2）从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法： {1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5} 选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于（68,75）的取法共有如下4种： {1,2}，{2,3}，{2,4}，{2,5}25∴所求概率为18．（本小题满分13分）如图所示，将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右平移到的,,,A A B B ''分别为,,,,CD C D DE D E ''''的中点，11220,0,0,0''分别为,,,CD C D DE D E ''''的中点． （1） 证明：120,,0,A B ''四点共面；（2） 设G 为AA '中点，延长10A ''到H ', 使得1100H A ''''=,证明:20B '''⊥面H B G ．证明：（1）11221121212,',''''////''//''A A CD C D O A O A BO BO AO AO BO O A BO O A B O ∴∴∴∴分别为中点连接直线是由直线平移得到，，，共面（2）111112211111221232222212221222H=,',,'''//'//'''',''',''''2'''''''''''''''''''''''''''AO H O O A HO HB H H O O HB BO HO A G H O H H A H O H H GA H GA H O H HO O B O O O O O B O O O O O O B BO O O O BO BO H B H B H π∴∴∴==∠=∠=∴∆≅∆∴⊥⊥⋂=∴⊥∴⊥∴⊥⋂将延长至使得连接由平移性质得，，面，2'''''G H BO H B G=∴⊥面19．（本小题满分14分）设0>a ,讨论函数 x a x a a x x f )1(2)1(ln )(2---+=的单调性． 解：函数f(x)的定义域为（0，+∞）221212122(1)2(1)1'(),112(1)2(1)1012(1)()310,'()23110,220'()0,()(0,)(,)a a x a x f x xa a a x a x a a a f x x x a a x x x x f x f x x x ---+=≠---+=∆=--<∆>=->=+<<>>+∞当时，方程的判别式①当0<时，有个零点且当或时，在与内为增函数121212'()0,(),)110,'()0,()(0,)311'()0(0),()(0,)1110,0,0,'()22x x x f x f x x x a f x f x a f x x f x xa x x f x a a <<<≤<∆≤≥+∞==>>+∞>∆>=->=+<；当时，在(内为减函数当时，在内为增函数；当时，在内为增函数；当时，所以在定义域内有唯一②③④11110'()0,()(0,)'()0,()(,)x x f x f x x x x f x f x x <<>><+∞且当时，在内为增函数；当时，在内为减函数；综上所述，f(x)的单调区间如下表：（其中121122x x a a ==） 20．（本小题满分14分） 设b>0,数列}{n a 满足b a =1,11(2)22n n n nba a n a n --=≥+-．（3） 求数列}{n a 的通项公式；（4） 证明：对于一切正整数n ,121+≤+n n b a ．解：（1）11111-11n 11n 10,11111,,111111112=++11(1)11(1)1(1),111,1n n n n n n n n n n nnn n n n n n n nba a b a a n n n n A A a b b a a bn A A A b b b b b b b b b b b A b b bA nnb b b a b b ------=>=+--∴=+==≥=+++=++--≠==--=⎧-≠⎪∴=-⎨⎪=⎩由可知令则，当时，当时，当时，①b 1②b =111122111211112(1)(2)121,112(1)11(1)11111()(222)22(1)21112212n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n nb b b a b b b nb b b b b b b b b b b b b b b b b bb nb nb b a b b b a b +++-+----++-≠=≤+--≤+--+=+++++++-=++++++>+++=-∴=<+-===+当时，欲证只需证当时，综上所述1+1n n a b +≤21．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy中，直线:2l x =-交x 轴于点A ，设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足MPO AOP ∠=∠．（1） 当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；（2） 已知(1,1)T -．设H 是E 上动点，求||||HO HT +的最小值，并给出此时点H 的坐标； （3） 过点(1,1)T -且不平行于y 轴的直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点，求直线1l 的斜率k 的取值范围．解：（1）如图，设MQ 为线段OP 的垂直平分线，交OP 于点Q ，MPQ AOP ∠=∠22224(1),(1).MP l MO MPx y x x x ∴⊥=∴+=+=+≥-且，即y ①另一种情况（如图2），即点M 和A 位于OP 的同侧.（图1）（图2）因为MQ 为线段OP 的垂直平分线MPQ MOQ ∴∠=∠MPQ AOP MOQ AOP ∠=∠∴∠=∠又因此M 在x 轴上，此时，记M （x,0），设P （2,a ）为l 上任意点a R ∈（）yxl ：x=2yxl ：x=2由MO MP =即x =21114x a =--≤- (,0)M x ∴≤点的轨迹方程为y=0,x -1②综合①,②得，点M 的轨迹E 的方程为24(1),10,1x x y x +≥-⎧=⎨<-⎩(2)由（1）知，轨迹E 的方程由下面12E E 和两部分组成（如下图）21:4(1),(1):0,1{E y x x E y x =+≥-=<-E2E13）当1123'--14='''3('')1333--14H E T l T E D H HO HH HO HT HH HT TT H T H D H E HO HT BO BT HO HT H ∈∴∴+=+≥=∈+>+>+>+时，过作垂直于的直线，垂足为，交于点（，）再过作垂直于l 的直线，交l 于H '，该等号仅当与重合（或与重合）时取得当时，则综合可得的最小值为，此时点（，）（3）由图3可知，直线10l k 的斜率不可能为12122:1(1),(0)144(1)1,(8)016444(8)(2)280l y k x k x y E y y k k k k k k +=-≠∴=++--+=∴∆=++=++>设代入的方程得： 11211212111111(,0),1,0,0)21(,](0,)2l E E E l l E k k k k l E k k kE l k ∴+++<--<<∴-∞-⋃+∞与中的有且仅有两个不同的交点又由和的方程可知，若与有交点则此交点的坐标为且即当时与有唯一交点(从上可知l 与有三个不同的交点直线斜率的取值范围是一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为.2.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=.3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是.4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是.6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm.7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是.8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是.11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是.12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是.13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是.14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值.16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O 正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn （n∈N*）成立.三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修41：几何证明选讲】21.（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D.【选修42：矩阵与变换】22.（10分）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值.【选修43：极坐标及参数方程】23.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于AB两点，则线段AB的长为.【选修44：不等式选讲】24.已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）25.（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）.26.（10分）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*. （1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（附详细答案）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1，3}.【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.2.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为 21 .【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论.【解答】解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，故z的实部为21，故答案为：21【点评】本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础.3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是 5 .【分析】算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，∵24=16＜20，25=32＞20，∴输出n=5.故答案为：5.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.【分析】首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可.【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，故所求概率P=.故答案为：.【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件.5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是.【分析】由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得=.根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出.【解答】解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴=.∵0≤φ＜π，∴，∴+φ=，解得φ=.故答案为：.【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题.6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 24 株树木的底部周长小于100cm.【分析】根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数.【解答】解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）.故答案为：24.【点评】本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=.7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是 4 . 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0.∵a8=a6+2a4，∴，化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2.∴a6===1×22=4.故答案为：4.【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题.8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比.【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===.故答案为：.【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目.9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.【分析】求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2.利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长.【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=故答案为：.【点评】本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题.10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0） .【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围.【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）.【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题.11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是﹣3 .【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案.【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，∴y′=2ax﹣，∴，解得：，故a+b=﹣3，故答案为：﹣3【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，是解答的关键.12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是 22 .【分析】由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案.【解答】解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22.【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键.13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，） .【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可.【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知.故答案为：（0，）.【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用.14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.【分析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论.【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），由余弦定理得cosC====≥=，当且仅当时，取等号，故≤cosC＜1，故cosC的最小值是.故答案为：.【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键.二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值.【分析】（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值.【解答】解：α∈（，π），sinα=.∴cosα=﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα==﹣；∴sin（+α）的值为：﹣.（2）∵α∈（，π），sinα=.∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣.cos（﹣2α）的值为：﹣.【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力.16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可. 【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC.【点评】本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目.17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.【分析】（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值.（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值.【解答】解：（1）∵C的坐标为（，），∴，即，∵，∴a2=（）2=2，即b2=1，则椭圆的方程为+y2=1.（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0），∵B（0，b），∴直线BF2：y=﹣x+b，代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x2﹣=0，解得x=0，或x=，∵A（，﹣），且A，C关于x轴对称，∴C（，），则=﹣=，∵F1C⊥AB，∴×（）=﹣1，由b2=a2﹣c2得，即e=.【点评】本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大.18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O 正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？【分析】（1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大. 【解答】解：（1）如图，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，∴∠ABF=∠BCE，∴.设AF=4x（m），则BF=3x（m）.∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），∴BE=（3x+60）m.∵，∴CE=（m）.∴（m）.∴，解得：x=20.∴BE=120m，CE=90m，则BC=150m；（2）如图，设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，∵∠POM=∠PQC=90°，∴∠PMO=∠BCO.设OM=xm，则OP=m，PM=m.∴PC=m，PQ=m.设⊙M半径为R，∴R=MQ=m=m.∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，∴136﹣﹣（60﹣x）≥80，136﹣﹣x≥80.解得：10≤x≤35.∴当且仅当x=10时R取到最大值.∴OM=10m时，保护区面积最大.【点评】本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题.19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；（3）构造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论.【解答】解：（1）∵f（x）=ex+e﹣x，∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴ex+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=ex，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m.（3）令g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），则g′（x）=ex﹣e﹣x+3a（x2﹣1），当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，故e+﹣2a＜0，即a＞（e+），令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，则h′（x）=1﹣，由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），注意到h（1）=h（e）=0，∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立.①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而ea﹣1＜ae﹣1，②当a=e时，ae﹣1=ea﹣1，③当a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e ﹣1）lna，从而ea﹣1＞ae﹣1.【点评】本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大.20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn （n∈N*）成立.【分析】（1）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到an，再利用“H”数列的意义即可得出.（2）利用等差数列的前n项和即可得出Sn，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，取n=2和根据d＜0即可得出；（3）设{an}的公差为d，构造数列：bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，cn=（n﹣1）（a1+d），可证明{bn}和{cn}是等差数列.再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出.【解答】解：（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=S1=2.当n=1时，S1=a1.当n≥2时，Sn=an+1.∴数列{an}是“H”数列.（2）Sn==，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，即，取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1.（3）设{an}的公差为d，令bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，对∀n∈N*，bn+1﹣bn=﹣a1，cn=（n﹣1）（a1+d），对∀n∈N*，cn+1﹣cn=a1+d，则bn+cn=a1+（n﹣1）d=an，且数列{bn}和{cn}是等差数列.数列{bn}的前n项和Tn=，令Tn=（2﹣m）a1，则.当n=1时，m=1；当n=2时，m=1.当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*.因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使Tn=bm成立，即{bn}为H数列.数列{cn}的前n项和Rn=，令cm=（m﹣1）（a1+d）=Rn，则m=.∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*.因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使Rn=cm成立，即{cn}为H数列.因此命题得证.【点评】本题考查了利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”求an、等差数列的前n项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题.三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修41：几何证明选讲】21.（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D.【分析】利用OC=OB，可得∠OCB=∠B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论.【解答】证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠B，∵∠B=∠D，∴∠OCB=∠D.【点评】本题考查同弧所对的圆周角相等，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题. 【选修42：矩阵与变换】22.（10分）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值.【分析】利用矩阵的乘法，结合A=B，可得方程组，即可求x，y的值，从而求得x+y 的值.【解答】解：∵矩阵A=，B=，向量=，A=B，∴，∴x=﹣，y=4，∴x+y=【点评】本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，属于基础题.【选修43：极坐标及参数方程】23.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于AB两点，则线段AB的长为.【分析】直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y2=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长.【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），化为普通方程为x+y=3，与抛物线y2=4x联立，可得x2﹣10x+9=0，∴交点A（1，2），B（9，﹣6），∴|AB|==8.故答案为：8.【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.【选修44：不等式选讲】24.已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.【分析】由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥，两式相乘可得结论.【解答】证明：由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥分别当且仅当x=y2=1，x2=y=1时等号成立，∴两式相乘可得（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.【点评】本题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键.(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）26.（10分）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*. （1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立.【分析】（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf0（x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，把x=代入式子求值；（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx和2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x=代入所给的式子求解验证.【解答】解：（1）∵f0（x）=，∴xf0（x）=sinx，则两边求导，[xf0（x）]′=（sinx）′，∵fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*，∴f0（x）+xf1（x）=cosx，两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战48577
数学（文科）.3本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设全集}4,3,2,1{=U ，集合}2,1{=P ，}3,1{=Q ，则=)(Q C P UA ．{1}B ．{2}C ．{4}D ．{1，2，4}2．若向量a=（1，—1），b=（—1，1），c=（5，1），则c+a+b=A ．aB ．bC ．cD ．a+b 3．抛物线24y x =的焦点坐标为A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0,1)D ．(1,0)4．已知1=a ，复数),()2()1(2R b a i a a z ∈-+-=，则“1=a ”是“z 为纯虚数”的 A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件5．如图，是CCTV 青年歌手大奖赛上某位选手得分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均 数为 A ．85 B ．86 C ．87 D ．88 6．右图，是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视 图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则 其体积是A 342C 43D ．837．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为A ．827 B ．271 C ．2627 D ．1527 8．已知数列：1213214321,,,,,,,,,,...,1121231234依它的前10项的规律，这个数列的第项2010a 满足A ．20101010a <<B ．20101110a ≤< C ．2010110a ≤≤ D ．201010a >第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：用黑色签字笔将答案写在答题卡上规定的区域内．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．函数y x=的定义域是__. 10．=8cos8sinππ.11．如图，是计算111124620++++的值的一个程序 框图，其中判断框内应填入的条件是. 12．若函数2)(3++-=cx x x f )(R c ∈，则/3()2f -、/(1)f -、/(0)f 的大小关系是_.13．如图，直角POB ∆中，90=∠PBO ，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A 点．若圆弧AB 等分△POB 的面积，且∠AOB=α弧 度，则tan α=α.14．已知函数⎩⎨⎧>-≤++-=0,20,)(2x x c bx x x f ，若1)1(=-f ，2)0(-=f ，则函数x x f x g +=)()(的零点个数为____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分12分）已知函数)2cos(cos )(x x x f -+=π．（Ⅰ）求)3(πf 的值；（Ⅱ）求)(x f 的单调递减区间．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正 三角形．（Ⅰ）求证：MD//平面APC ；（Ⅱ）求 证：平面ABC ⊥平面APC ． 17．（本小题满分13分）已知函数b ax x x f ++=23)(的图象在点)0,1(P 处的切线与直线03=+y x 平行．（Ⅰ）求常数a 、b 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间]4,0[上的最小值和最大值．18．（本小题满分13分）某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图 所示．若130~140分数段的人数为2人．（Ⅰ）估计这所学校成绩在90~140分之间学生的参赛人数；（Ⅱ）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为21，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边 形周长等于8．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点（0，—2）的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求直线l 的方程．20．（本小题满分14分） 当n p p p ,,,21 均为正数时，称np p p n+++ 21为n p p p ,,,21 的“均倒数”．已知数列{}n a 的各项均为正数，且其前n 项的“均倒数”为121+n ． （Ⅰ）试求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设12+=n a c nn ，试判断并说明()*1n n c c n N +-∈的符号； （Ⅲ）已知(0)n an b t t =>，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，试求1n nS S +的值．怀柔区～度第二学期高三数学期中练习参考答案及评分标准(文科).3 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BCDACCBB9. }0{>x x 10.4211. 20n ≤ 12./(0)f ＞/(1)f -＞/3()2f -13. 2 14. 3三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()coscos()3323f ππππ=+-=4分 （Ⅱ） x x x x x f cos sin )2cos(cos )(+=-+=π2()22coscos sin )44)84x x x x x πππ=+=+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分由232422πππππ+≤+≤+k x k 得45242ππππ+≤≤+k x k∴)(x f 的递减区间为]452,42[ππππ++k k ，)(Z k ∈12分16．（本小题满分14分）解（Ⅰ）∵M 为AB 中点，D 为PB 中点，∴MD//AP ，又MD ⊄平面ABC ， ∴MD//平面APC 。
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注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{}{=22,x A x B y y <==，则A B =（ ）A.[)0,1B.()0,2C.()1+∞，D.[)0+∞， 2.已知复数z 满足()z 1i i +=-，则z =（ ） A.12C.13.在等比数列{}n a 中，2348a a a =，78a =，则1=a （ ） A.1 B. 1± C.2 D.2±4.如图所示的程序框图的运行结果为（ ） A. 1- B.12C.1D.2 5.在区间[]0,4上随机取两个实数,x y ，使得28x y +≤的概率为（ ）6.在平行四边形ABCD 中，4,3,3AB AD DAB π==∠=，点,E F 分别在,BC DC 边上，且2,BE EC DF FC ==，则AE BF ⋅=（ ）A.83-B.1-C. 2D. 1037.已知圆C 方程为()()22210x y r r -+=>，若p ：13r ≤≤；q ：圆C 上至多有3个点到直线+30x -=的距离为1，则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(第4题图)(第6题图)8.已知函数()22,0lg ,0x x x f x x x ⎧+⎪=⎨>⎪⎩≤，则函数()()11g x f x =--的零点个数为（ ）A.1B.2C.3D.49.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A.36πB.52πC. 72πD.100π10.若()()()2cos 2+0f x x ϕϕ=>的图像关于直线3x π=对称，且当ϕ取最小值时，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()0f x a =，则a 的取值范围是（ ） A.(]1,2- B. [)2,1-- C.()1,1- D.[)2,1-11.已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PF PA的最小值是（ ）A.14 B. 1212.已知函数()2()e x f x x ax b =++，当1b <时，函数()f x 在(),2-∞-，()1,+∞上均为增函数，则2a ba +-的取值范围是（ ） A ．22,3⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2=log 1f x x -，则2f ⎛- ⎝⎭=.14.若244xy+=，则2x y +的最大值是.第二次八校联考文科数学 第 2 页（共6页） 俯视图正视图 侧视图第9题图)15.已知12,l l 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线，且右焦点关于1l 的对称点在2l 上，则双曲线的离心率为.16.数列{}n a 满足1=1a ，()()1=11n n na n a n n ++++，且2=cos 3n n n b a π，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则120S =.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本小题满分12分)如图，在平面四边形ABCD 中，AB AD ⊥，1AB =，AC 23ABC π∠=，3ACD π∠=.（Ⅰ）求sin BAC ∠；（Ⅱ）求DC 的长.18.(本小题满分12分)国内某知名大学有男生14000人，女生10000人.该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是[]0,3.） （Ⅰ）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到0.1）；（Ⅱ）若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生 为“非运动达人”.①请根据样本估算该校“运动达人”的数量；②请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，并通过计算判断能否在犯错 误的概率不超过0.05参考公式：()()()()()22=n ad bc K a b c d a c b d -++++，其中.n a b c d =+++A CDB(第17题图)第二次八校联考文科数学 第 3 页（共6页）参考数据：19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是等边三角形，14BC CC ==,D 是11A C 中点.（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1B CD ；（Ⅱ）当三棱锥11C B C D -体积最大时，求点B 到平面1B CD 的距离.20. (本小题满分12分)定义：在平面内，点P 到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P 到曲线Γ的距离.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M：(2212x y +=及点()A ，动点P 到圆M 的距离与到A 点的距离相等，记P 点的轨迹为曲线W . （Ⅰ）求曲线W 的方程；（Ⅱ）过原点的直线l （l 不与坐标轴重合）与曲线W 交于不同的两点,C D ，点E 在曲线W 上，且CE CD ⊥，直线DE 与x 轴交于点F ，设直线,DE CF 的斜率分别为12,k k ，求12.kk21.(本小题满分12分)已知函数()()ln 4f x ax x a =--∈R .A B 1A C1C D 1B (第19题图) 第二次八校联考文科数学 第 4 页（共6页）（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当2a =时，若存在区间[]1,,2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使()f x 在[],m n 上的值域是,11kk m n ⎡⎤⎢⎥++⎣⎦，求k 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分10分)41 ：几何证明选讲如图，在锐角三角形ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的圆O 与边,BC AC 另外的交点分别为,D E ，且DF AC ⊥于.F （Ⅰ）求证：DF 是O ⊙的切线；（Ⅱ）若3CD =，7=5EA ，求AB 的长.23.(本小题满分10分)44 ：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为1cos 3sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ<≤），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）若极坐标为4π⎫⎪⎭的点A 在曲线1C 上，求曲线1C 与曲线2C 的交点坐标；（Ⅱ）若点P 的坐标为()1,3-，且曲线1C 与曲线2C 交于,B D 两点，求.PB PD ⋅24.(本小题满分10分)选修45：不等式选讲 已知函数()+122f x x x =--． （Ⅰ）求不等式()1f x x -≥的解集；（Ⅱ）若()f x 的最大值是m ，且,,a b c 均为正数，a b c m ++=，求222b c a a b c++的最小值.第二次八校联考文科数学 第 5 页（共6页）第二次八校联考文科数学 第 6 页（共6页）BO(第22题图)八校高三第二次联考文科数学参考答案一、选择题答案：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B A A D CACB DC A二、填空题： 13.32； 14.2； 15.2； 16.7280 三、解答题：17.（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅，即260BC BC +-=，解得：2BC =，或3BC =-（舍）， ………………3分由正弦定理得：sin sin sin sin BC AC BC B BAC BAC B AC =⇒∠==∠………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）有：cos sin CAD BAC ∠=∠=sin CAD ∠=，所以1sin sin 32D CAD π⎛⎫=∠+== ⎪⎝⎭, ………………9分由正弦定理得：sin sin sin sin DC AC AC CADDC CAD D D∠=⇒===∠……………12分（其他方法相应给分）18. （Ⅰ）由分层抽样得：男生抽取的人数为14000120=7014000+10000⨯人，女生抽取人数为1207050-=人，故x =5，y =2， ……………2分则该校男生平均每天运动的时间为：0.2520.7512 1.2523 1.7518 2.2510 2.7551.570⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈， ……………5分故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时； （Ⅱ）①样本中“运动达人”所占比例是201=1206，故估计该校“运动达人”有 ()1140001000040006⨯+=人； ……………8分 ②由表格可知：运动达人 非运动达人总 计 男 生 15 55 70 女 生 5 45 50 总 计20100120……………9分华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 鄂南高中故2K 的观测值()2120154555596=2.7433.841.20100507035k ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯……………11分 故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”. ……………12分19.（Ⅰ）连结1BC ，交1B C 于O ，连DO .在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BB C C 为平行四边形，则1BO OC =,又D 是11A C 中点，∴1DO A B ∥，而DO ⊂平面1B CD ，1A B ⊄平面1B CD ，∴1A B ∥平面1B CD . ……………4分（Ⅱ）设点C 到平面111A B C 的距离是h，则11111=3C B C D B C D V S h -△，而14h CC =≤，故当三棱锥11C B C D -体积最大时，1=4h CC =，即1CC ⊥平面111A B C . ……………6分 由（Ⅰ）知：1BO OC =，所以B 到平面1B CD 的距离与1C 到平面1B CD 的距离相等. ∵1CC ⊥平面111A B C ，1B D ⊂平面111A B C ，∴11CC B D ⊥，∵ABC △是等边三角形，D 是11A C 中点，∴111AC B D ⊥，又1111=CC AC C ，1CC ⊂平面11AA C C ，11AC ⊂平面11AA C C ，∴1B D ⊥平面11AA C C ，∴1B D CD ⊥，由计算得：1B D CD =1B CD S ∆ ……………9分设1C 到平面1B CD 的距离为h '，由1111=C B C D C B CD V V --得：114=3B CD S h h ''⇒=△B 到平面1B CD……………12分 （其他方法相应给分）20.（Ⅰ）由分析知：点P在圆内且不为圆心，故PA PM AM +=>=, 所以P 点的轨迹为以A 、M 为焦点的椭圆， ……………2分设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，则22a a c c ⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，所以21b =，故曲线W 的方程为22 1.3x y +=……………5分（Ⅱ）设111122(,)(0),(,)C x y x y E x y ≠,则11(,)D x y --,则直线CD 的斜率为11CD y k x =，又CE CD ⊥，所以直线CE 的斜率是11CE x k y =-，记11xk y -=，设直线CE 的方程为y kx m =+，由题意知0,0k m ≠≠，由2213y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222136330k x mkx m +++-=.∴122613mk x x k +=-+，∴121222()213my y k x x m k+=++=+，由题意知，12x x ≠， 所以1211121133y y y k x x k x +==-=+， ……………9分所以直线DE 的方程为1111()3y y y x x x +=+，令0y =，得12x x =，即1(2,0)F x . 可得121y k x =-. ……………11分 所以1213k k =-，即121=.3k k -……………12分 （其他方法相应给分）21.（Ⅰ）函数()f x 的定义域是()0+∞，，()1ax f x x-'=， 当a ≤0时，()0f x '≤，所以()f x 在()0+∞，上为减函数， ……………2分 当a >0时，令()0f x '=，则1x a =，当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '<，()f x 为减函数， 当1+x a ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，()f x 为增函数， ……………4分 ∴当a ≤0时，()f x 在()0+∞，上为减函数；当a >0时，()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为减函数，在1+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上为增函数.……………5分（Ⅱ）当2a =时，()2ln 4f x x x =--，由（Ⅰ）知：()f x 在1+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上为增函数，而[]1,,2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，∴()f x 在[],m n 上为增函数，结合()f x 在[],m n 上的值域是,11kk m n ⎡⎤⎢⎥++⎣⎦知：()(),11k k f m f n m n ==++，其中12m n <≤， 则()1k f x x =+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上至少有两个不同的实数根， ……………7分由()1kf x x =+得()2=221ln 4k x x x x --+-，记()()2=221ln 4x x x x x ϕ--+-，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则()1=4ln 3x x x x ϕ'---，记()()1=4ln 3F x x x x xϕ'=---，则()()2222213410x x x x F x x x -+-+'==>， ∴()F x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，即()x ϕ'在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，而()1=0ϕ'，∴当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'>，∴()x ϕ在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，在()1,+∞上为增函数， ……………10分而13ln 2922ϕ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1=4ϕ-，当x →+∞时，()x ϕ→+∞，故结合图像得：()13ln 291422k k ϕϕ-⎛⎫<⇒-< ⎪⎝⎭≤≤，∴k 的取值范围是3ln 294,.2-⎛⎤- ⎥⎝⎦……………12分 （其他方法相应给分）22.（Ⅰ）连结,.AD OD 则AD BC ⊥，又AB AC =，∴D 为BC 的中点， ……………2分 而O 为AB 中点，∴OD AC ∥，又DF AC ⊥，∴OD DF ⊥， 而OD 是半径，∴DF 是O ⊙的切线.……………5分（Ⅱ）连DE ，则CED B C ∠=∠=∠，则DCF DEF △△≌，∴CF FE =，…………7分设CF FE x ==，则229DF x =-，由切割线定理得：2DF FE FA =⋅，即279+5x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得：1295=52x x =-，（舍），∴ 5.AB AC ==……………10分 （其他方法相应给分）23.（Ⅰ）点4π⎫⎪⎭对应的直角坐标为()1,1， ……………1分由曲线1C 的参数方程知：曲线1C 是过点()1,3-的直线，故曲线1C 的方程为20x y +-=，……………2分而曲线2C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=，联立得2222020x y x y x y ⎧+--=⎨+-=⎩，解得：12122002x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，故交点坐标分别为()()2,0,0,2.……………5分 （Ⅱ）由判断知：P 在直线1C 上，将1+cos 3sin x t y t αα=-⎧⎨=+⎩代入方程22220x y x y +--=得：()24cos sin 60t t αα--+=，设点,B D 对应的参数分别为12,t t ，则12,PB t PD t ==,而126t t =，所以1212==6.PB PD t t t t ⋅=⋅……………10分（其他方法相应给分）24.（Ⅰ）131x x x <-⎧⎨--⎩≥，或11311x x x -⎧⎨--⎩≤≤≥，或131x x x >⎧⎨-+-⎩≥，解得：02x ≤≤故不等式的解集为[]02，； ……………5分 （Ⅱ）()3,131,113,1x x f x x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪-+>⎩ ≤≤，显然当1x =时，()f x 有大值，()1 2.m f ==∴2a b c ++=， ……………7分 而()()2222222222=b c a a b c a b c a bc ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++++++++++⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥ ∴2222b c a a b c a b c ++++=≥，当且仅当2a b c ⎪++=⎩，即23a b c ===时取等号，故222b c a a b c++的最小值是2.……………10分 （其他方法相应给分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的模长为（）A．B． C．D．22．（5分）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．（1，2]3．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A． B． C． D．4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p45．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．606．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）A．B．C．D．7．（5分）使得（3x+）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4 B．5 C．6 D．78．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（）A．b=a3 B．C．D．10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣1612．（5分）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．14．（5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=．15．（5分）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=．16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．18．（12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．19．（12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．20．（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．（Ⅰ）求P的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．21．（12分）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战36583
一．基础题组1.（北京市昌平区高三二模理3）已知等差数列{}n a 的公差是2，若134,,a a a 成等比数列，则1a 等于（ ） A. 4- B. 6- C. 8- D. 10- 【答案】C考点：等差数列与等比数列.2.（北京市东城区高三5月综合练习（二）理3）已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ⋅=，则567a a a ⋅⋅=（ ）（A ）4（B ）8（C ）16（D ）64 【答案】B 【解析】试题分析：由于数列{}n a 是正各项都是正数的等比数列，所以根据等比数列的性质可知：248664,2a a a a ==∴=，356768a a a a ==，所以答案为B.考点：1.等比数列的性质;2.等比数列的求值.3.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）理2）在等比数列}{n a 中，344a a +=，22a =，则公比q 等于（ ）A ．2B ．1或2C ．1D ．1或2 【答案】B 【解析】试题分析：∵344a a +=，∴2224a q a q +=∴解得1q =或2q =-，故选B.考点：等比数列的通项公式.4.（北京市顺义区高三第一次统一练习（一模）理11）已知无穷数列{}n a 满足：1110,2()n n a a a n N *+=-=+∈.则数列{}n a 的前n 项和的最小值为.【答案】30考点：等差数列. 二．能力题组1.（北京市石景山区高三3月统一测试（一模）理6）等差数列{}n a 中，11,m k a a k m==()m k ≠，则该数列前mk 项之和为（ ） A ．12mk - B ．2mk C ．12mk + D ．12mk+ 【答案】C 【解析】试题分析：设公差为,d 由已知1111111,(1)(1),kk m d a a k d k m k mk m mk mk -===--=--⋅=-所以，1(1)1(1)11,222mk mk mk mk mk mk S mka d mk mk mk --+=+=⋅+⋅=选C .考点：等差数列及其求和公式.2.（北京市西城区高三一模考试理12）若数列{}n a 满足12a =-，且对于任意的*,m n ∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，则3a =___；数列{}n a 前10项的和10S =____．【答案】8-,682 【解析】试题分析：由m n m n a a a +=⋅得2113214,8,a a a a a a =⋅==⋅=-由m n m n a a a +=⋅得112n n n a a a a +=⋅=-，所以数列{}n a 为等比数列，因此10102[1(2)]682.1(2)S ---==---考点：等比数列通项与和项3.（北京市朝阳区高三第二次综合练习理13）已知点()11,1a A ，()22,2a A ，⋅⋅⋅，(),n n a n A （n *∈N ）在函数13log y x =的图像上，则数列的通项公式为__________；设O 为坐标原点，点，则，中，面积的最大值是__________．【答案】13n⎛⎫ ⎪⎝⎭,16考点：1.对数函数性质；2.求数列通项；3.数列单调性.4.（北京市海淀区101中学高三上学期期中模拟考试理10）在公差为正数的等差数列}{n a 中，n S a a a a ,0,011101110<<+且是其前n 项和，则使n S 取最小值的n 是．【答案】10 【解析】试题分析：因为数列的公差为正数，所以数列为递增数列，又因为0,011101110<<+a a a a 且， 所以0,01110><a a ，所以前10项的和最小，即使n S 取最小值的。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战39559
一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）（•海淀区一模）的值等于（）A ．1B．﹣1C．i D．﹣i2．（3分）设圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=2，直线L的方程为x+y﹣3=0，点P的坐标为（2，1），那么（）A ．点P在直线L上，但不在圆M上B．点P在圆M上，但不在直线L上C ．点P既在圆M上，又在直线L上D．点P既不在直线L上，也不在圆M上3．（3分）集合{1，2，3}的子集共有（）A ．7个B．8个C．6个D．5个4．（3分）已知双曲线方程，那么双曲线的焦距是（）A ．10B．5C．D．5．（3分）在的展开式中，x6的系数是（）A ．﹣27C106B．27C104C．﹣9C106D．9C1046．（3分）（•北京模拟）函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是（）A ．B．πC．2πD．4π7．（3分）方程的解集是（）A ．B ．C ．D ．8．（3分）极坐标方程所表示的曲线是（）A ．圆B．双曲线右支C．抛物线D．椭圆9．（3分）如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是（）A ．相交直线B．平行直线C ．不互相垂直的异面直线D．互相垂直的异面直线10．（3分）的值等于（）A ．4B．C．D．811．（3分）设命题甲：△ABC的一个内角为60°，命题乙：△ABC的三内角的度数成等差数列．那么（）A．甲是乙的充分条件，但不是必要条件B甲是乙的必要条件，但不是充分条件．C．甲是乙的充要条件D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件12．（3分）在复平面内，若复数z满足|z+1|=|z﹣i|，则z所对应的点Z的集合构成的图形是（）A ．圆B．直线C．椭圆D．双曲线13．（3分）如果曲线x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0经过平移坐标轴后的新方程为x'2﹣y'2=1，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（）A ．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）14．（3分）（•杭州一模）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（）A ．C32C1973种B．C32C1973+C33C1972种C ．C﹣C1975种D．C﹣C31C1974种15．（3分）已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角，C是平面α内一点（它不在棱AB上），点D是点C在面β上的射影，点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任一点，那么（）A ．∠CEB＞∠DEBB．∠CEB=∠DEBC ．∠CEB＜∠DEBD．∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定二、解答题（共5小题，满分0分）16．（20分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=，用α表示∠ASD，求sinα的值．17．（10分）已知tgx=a，求的值．18．（10分）如图，正三棱锥S﹣ABC的侧面是边长为a的正三角形，D是SA的中点，E是BC的中点，求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积．19．（12分）给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数y=（x∈R，且x≠）．证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴；（2）这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．20．（12分）某中学在一次健康知道竞赛活动中，抽取了一部分同学测试的成绩，绘制的成绩统计图如图所示，请结合统计图回答下列问题：（1）本次测试中，抽取了的学生有多少人？（2）若这次测试成绩80分以上（含80分）为优秀，则请你估计这次测试成绩的优秀率不低于百分之几？．21．（11分）21、设的大小，并证明你的结论．全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）（•海淀区一模）的值等于（）A ．1B．﹣1C．i D．﹣i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：根据复数的计算方法，可得的值，进而可得=（﹣i）2，可得答案．解答：解：根据复数的计算方法，可得==﹣i，则=（﹣i）2=﹣1，故选B．点评：本题考查复数的混合运算，解本题时，注意先计算括号内，再来计算复数平方．2．（3分）设圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=2，直线L的方程为x+y﹣3=0，点P的坐标为（2，1），那么（）A ．点P在直线L上，但不在圆M上B．点P在圆M上，但不在直线L上C ．点P既在圆M上，又在直线L上D．点P既不在直线L上，也不在圆M上考点：点与圆的位置关系．分析：点P代入直线方程和圆的方程验证即可．解答：解：点P坐标代入直线方程和圆的方程验证，点P的坐标为（2，1），适合L的方程，即2+1﹣3=0；点P 的坐标为（2，1），满足圆M的方程，即（2﹣3）2+（1﹣2）2=2．显然A、B、D不正确．选项C正确．故选C．点评：本题是基础题，考查点的坐标适合方程．3．（3分）集合{1，2，3}的子集共有（）A ．7个B．8个C．6个D．5个考点：子集与真子集．分析：集合{1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．解答：解：集合{1，2，3}的子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}…{1，2，3}共8个．故选B．点评：本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．4．（3分）已知双曲线方程，那么双曲线的焦距是（）A ．10B．5C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：根据题设条件求出c2，然后求出c，就能得到双曲线的焦距2c．解答：解：c2=25，c=5，∴双曲线的焦距2c=10．故选A．点评：本题比较简单，解题时注意不要和椭圆弄混了．5．（3分）在的展开式中，x6的系数是（）A ．﹣27C106B．27C104C．﹣9C106D．9C104考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6求出x6的系数．解答：解：展开式的通项为令10﹣r=6得r=4∴展开式中x6的系数是9C104故选项为D点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6．（3分）（•北京模拟）函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是（）A ．B．πC．2πD．4π考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：观察题目条件，思路是降幂，先用平方差公式，再逆用二倍角公式，式子变为能判断周期等性质的形式，即y=Asin（ωx+φ）的形式．解答：解：∵y=cos4x﹣sin4x=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴T=π，故选B点评：对于和式的整理，基本思路是降次、消项和逆用公式，本题就是逆用余弦的二倍角公式．另外还要注意切割化弦，变量代换和角度归一等方法．7．（3分）方程的解集是（）A ．B ．C ．D ．考点：正弦函数的图象．分析：令t=cosx代入后转化为一元二次方程后即可解．解答：解：令t=cosx则可转化为：4t2﹣4t+3=0∴t=∴cosx=∴x=±故选C．点评：本题主要考查解关于三角函数的二次方程问题．一般通过换元法转化为一元二次方程的问题后再处理．8．（3分）极坐标方程所表示的曲线是（）A ．圆B．双曲线右支C．抛物线D．椭圆考点：简单曲线的极坐标方程．分析：圆锥曲线的统一的极坐标方程是，其中e表示曲线的离心率，欲判断极坐标方程所表示的曲线，只须将它化成统一的形式后看其离心率即可．解答：解：∵，∴，∴其离心率e=，是椭圆．故选D．点评：本题主要考查了圆锥曲线的统一的极坐标方程，属于基础题．9．（3分）如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是（）A ．相交直线B．平行直线C ．不互相垂直的异面直线D．互相垂直的异面直线考点：空间中直线与直线之间的位置关系．分析：首先由“直线平行于平面，则该直线与平面内任一直线异面”判定A'D'与BB′异面；然后通过A'D'与BB′的夹角是等腰梯形的内角，确定A'D'与BB′不垂直．解答：解：在正四棱台中，A'D'∥B′C′，又A'D'⊄平面BCC′B′，所以A'D'∥平面BCC′B′，又BB′⊂平面BCC′B′，所以A'D'与BB′异面；又因为四边形BCC′B′是等腰梯形，所以BB′与B′C′不垂直，即BB′与A'D'不垂直．故选C．点评：本题考查异面直线的定义及其夹角．10．（3分）的值等于（）A ．4B．C．D．8考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：应用两角和的正切公式直接化简，以及公式tg（arctgx）=x直接求解即可．解答：解：=故选D．点评：本题考查反三角函数的运算，两角和的正切公式，是基础题．11．（3分）设命题甲：△ABC的一个内角为60°，命题乙：△ABC的三内角的度数成等差数列．那么（）A．甲是乙的充分条件，但不是必要条件B．甲是乙的必要条件，但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件考点：等差关系的确定．分析：根据三角形内角和180°，△ABC的一个内角为60°，另外两个角的和是120°，满足等差中项的特点，△ABC的三内角的度数成等差数列，等差中项是60°．解答：解：∵△ABC的一个内角为60°，∴另外两个角的和是120°，∴三个角满足等差数列；∵△ABC的三内角的度数成等差数列，∴等差中项是60°，故选C点评：本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质．以便利于区分等差和等比．12．（3分）在复平面内，若复数z满足|z+1|=|z﹣i|，则z所对应的点Z的集合构成的图形是（）A ．圆B．直线C．椭圆D．双曲线考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：本题考查的是复数的模的几何意义．|z1﹣z2|表示点Z1到Z2距离．先明确几何意义，再数形结合就可以给出解答．解答：解：|z+1|，|z﹣i|的几何意义分别是点Z到﹣1所对应的点A（﹣1，0）和点Z到i所对应的点B（0，1）的距离．由|ZA|=|ZB|，则点Z的轨迹是线段AB的垂直平分线．点评：本题考查的是复数的模的几何意义．注意掌握|z1﹣z2|表示点Z1到Z2距离．13．（3分）如果曲线x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0经过平移坐标轴后的新方程为x'2﹣y'2=1，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（）A ．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）考点：函数的图象与图象变化．分析：先将方程x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0配方，再看此方程可由什么样的平移方式得到新方程为x'2﹣y'2=1，从而新坐标系的原点在原坐标系中的坐标．解答：解：将方程x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0配方得：（x﹣1）2﹣（y+1）2=1，其中心在（1，﹣1），故新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（1，﹣1），故选D．点评：本题主要考查了函数的图象的图象变化，属于基础题．14．（3分）（•杭州一模）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（）A ．C32C1973种B．C32C1973+C33C1972种C ．C﹣C1975种D．C﹣C31C1974种考点：组合及组合数公式．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案．解答：解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有C32C1973种，“有3件次品”的抽取方法有C33C1972种，则共有C32C1973+C33C1972种不同的抽取方法，故选B．点评：本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少”“至多”“最少”“最少”等情况的分类讨论．15．（3分）已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角，C是平面α内一点（它不在棱AB上），点D是点C在面β上的射影，点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任一点，那么（）A ．∠CEB＞∠DEBB．∠CEB=∠DEBC ．∠CEB＜∠DEBD．∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定考点：三垂线定理．专题：作图题；综合题；压轴题．分析：作出图形，利用三垂线定理和直角三角形，推出∠CEB、∠DEB的正切值的大小，推出结论．解答：解：过C向AB做垂线交AB于F，连接DF，因为CD⊥AB又CF⊥AB，所以AB⊥面CDF，所以CF垂直于AB在直角三角形CDF中，CF为斜边DF为直角边，所以CF＞DF易知tan∠CEF=tan∠DEB=由CF＞DF知，∠CEB＞∠DEB故选A．点评：本题考查三垂线定理，考查学生逻辑思维能力，是基础题．二、解答题（共5小题，满分0分）16．（20分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=，用α表示∠ASD，求sinα的值．考点：三垂线定理．专题：作图题；证明题．分析：利用三垂线定理说明DA⊥SA，求出SD，解三角形SAD，即可得到sinα的值．解答：解：因为SB垂直于底面ABCD，所以斜线段SA在底面上的射影为AB，由于DA⊥AB所以DA⊥SA从而连接BD，易知BD=由于SB⊥BD，所以因此，点评：本题考查三垂线定理，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题．17．（10分）已知tgx=a，求的值．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：先用和差化积公式再根据二倍角公式即可化简求值．解答：解：==点评：本题主要考查三角函数的和差化积公式和二倍角公式．三角函数中公式比较多，一定要熟练记忆，能够灵活运用．19．（12分）给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数y=（x∈R，且x≠）．证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴；（2）这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．考点：反函数．专题：证明题．分析：（1）欲证经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴，设M1（x1，y1），M2（x2，y2）是这个函数图象上任意两个不同的点，可通过证明任意两个不同的点的直线的斜率恒不为0得到；（2）要证这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形，设点P（x'，y'）是这个函数图象上任意一点，证明其对称点（y'，x'）也在此函数的图象上即可．解答：解：（1）设M1（x1，y1），M2（x2，y2）是这个函数图象上任意两个不同的点，则x1≠x2，且=，∵a≠1，且x1≠x2，∴y2﹣y1≠0．从而直线M1M2的斜率，因此，直线M1M2不平行于x轴．（2）设点P（x'，y'）是这个函数图象上任意一点，则x'≠，且y'=（1）易知点P（x'，y'）关于直线y=x的对称点P'的坐标为（y'，x'）由（1）式得y'（ax'﹣1）=x'﹣1，即x'（ay'﹣1）=y'﹣1，（2），即ax'﹣a=ax'﹣1，由此得a=1，与已知矛盾，∴这说明点P'（y'，x'）在已知函数的图象上，因此，这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．点评：本题主要考查了等价转化能力和数式的运算能力，属于中档题．对（1）也可用反证法或考查平行x轴的直线y=c与所给函数的图象是否相交及交点数目的情况．由其无交点或恰有一交点，从而得证．对（2）也可先求反函数，由反函数与原函数相同证明其图象关于y=x对称）．20．（12分）某中学在一次健康知道竞赛活动中，抽取了一部分同学测试的成绩，绘制的成绩统计图如图所示，请结合统计图回答下列问题：（1）本次测试中，抽取了的学生有多少人？（2）若这次测试成绩80分以上（含80分）为优秀，则请你估计这次测试成绩的优秀率不低于百分之几？．考点：频率分布直方图．专题：压轴题；图表型．分析：（1）由频数直方图的意义，将各组人数相加可得共抽取的学生人数，即答案；（2）读直方图可得：这次测试成绩80分以上的人数，除以总人数即可得优秀率，即答案．解答：解：（1）由频数直方图可知：本次测试中，抽取了的学生有2+3+41+4=50人；（2）这次测试成绩80分以上（含80分）的人数为41+4=45，则优秀率为=90%．故答案为：（1）50人；（2）90%．点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．21．（11分）21、设的大小，并证明你的结论．考点：对数的运算性质；对数值大小的比较．专题：压轴题．分析：先判断与的大小，再由对数函数的单调性可得到答案．解答：解：当t＞0时，由基本不等式可得，当且仅当t=1时取“=”号∴t≠1时，当0＜a＜1时，y=logax是单调减函数，∴，即当a＞1时，y=logax是单调增函数，∴＞，即＞点评：本题主要考查对数函数的单调性，即当底数大于1时函数单调递增，当底数大于0小于1时函数单调递减．18．（10分）如图，正三棱锥S﹣ABC的侧面是边长为a的正三角形，D是SA的中点，E是BC的中点，求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱锥的结构特征．专题：计算题．分析：连接AE，说明ED⊥SA，作DF⊥SE，交SE于点F．所求的旋转体的体积是以DF为底面半径，分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和，求出DF，然后求出几何体的体积．解答：解：连接AE，因为△SDE和△ABC都是边长为a的正三角形，并且SE和AE分别是它们的中线，所以SE=AE，从而△SEA为等腰三角形，由于D是SA的中点，所以ED⊥SA．作DF⊥SE，交SE于点F．考虑直角△SDE的面积，得到，所以，，．所求的旋转体的体积是以DF为底面半径，分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和，即．点评：本题是基础题，考查空间想象能力，圆锥的体积的求法，考查计算能力以及发现问题解决问题的能力．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.102.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A.＞B.＜C.＞D.＜5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A.0B.1C.2D.36.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.28.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A.[，1]B.[，1]C.[，]D.[，1]9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A.①②③B.②③C.①③D.①②10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.（5分）复数=.12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=.13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是.15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.其中的真命题有.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB 的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.20.（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标.21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.10【分析】利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数.然后求解即可.【解答】解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15.故选：C.【点评】本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础，计算准确是关键.2.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}【分析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得.【解答】解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，∴A∩B={﹣1，0，1，2}.故选：A.【点评】本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分.3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度【分析】根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论.【解答】解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，故选：A.【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题.4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A.＞B.＜C.＞D.＜【分析】利用特例法，判断选项即可.【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确.解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴.故选：D.【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确.5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A.0B.1C.2D.3【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2.故选：C.【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.6.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论.【解答】解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种.故选：B.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题.7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.2【分析】由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案.【解答】解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m+=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D.【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档.8.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A.[，1]B.[，1]C.[，]D.[，1]【分析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出.【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.不妨取AB=2.在Rt△AOA1中，==.sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，=1.∴sinα的取值范围是.故选：B.【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题.9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A.①②③B.②③C.①③D.①②【分析】根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案.【解答】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln （）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g （0）=0，又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；故正确的命题有①②③，故选：A.【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档.10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题.【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，结合及，得，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2.不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，=.当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B.【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式.2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高.3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.（5分）复数= ﹣2i .【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果.【解答】解：复数===﹣2i，故答案为：﹣2i.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题.12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）= 1 .【分析】由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值.【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战57258
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.（5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱2.（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A.﹣2﹣3iB.﹣2+3iC.2﹣3iD.2+3i3.（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A.8B.10C.12D.144.（5分）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A. B. C.D.5.（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A.18B.20C.21D.406.（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件7.（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A.f（x）是偶函数B.f（x）是增函数C.f（x）是周期函数D.f（x）的值域为[﹣1，+∞）8.（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A.=（0，0），=（1，2）B.=（﹣1，2），=（5，﹣2）C.=（3，5），=（6，10）D.=（2，﹣3），=（﹣2，3）9.（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A.5B.+C.7+D.610.（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A.（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B.（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5C.（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D.（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置11.（4分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为.12.（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于.13.（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）14.（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为.15.（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是.三、解答题：本大题共4小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣.（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间.17.（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图.（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.18.（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.19.（13分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x.（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由.在2123题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修42：矩阵与变换20.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1.（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex. 21.（7分）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）.（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.五、选修44：极坐标与参数方程22.（7分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）.（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.六、选修45：不等式选讲23.已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a.（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (2)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱【分析】直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可. 【解答】解：圆柱的正视图为矩形，故选：A.【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题.2.（（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A.﹣2﹣3iB.﹣2+3iC.2﹣3iD.2+3i【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简z，则其共轭可求.【解答】解：∵z=（3﹣2i）i=2+3i，∴.故选：C.【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题.3.（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A.8B.10C.12D.14【分析】由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6【解答】解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，∴a6=a1+5d=2+5×2=12，故选：C.【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题.4.（5分）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A. B. C.D.【分析】由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可.【解答】解：由题意可知图象过（3，1），故有1=loga3，解得a=3，选项A，y=a﹣x=3﹣x=（）x单调递减，故错误；选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；选项C，y=（﹣x）3=﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y=loga（﹣x）=log3（﹣x），当x=﹣3时，y=1，但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误.故选：B.【点评】本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题.5.（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A.18B.20C.21D.40【分析】算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，计算满足条件的S值，可得答案. 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15.∴输出S=20.故选：B.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.6.（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【分析】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【解答】解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立.若△OAB的面积为，则S==×2×==，即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，则（|k|﹣1）2=0，即|k|=1，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立.故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键.7.（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A.f（x）是偶函数B.f（x）是增函数C.f（x）是周期函数D.f（x）的值域为[﹣1，+∞）【分析】由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可.【解答】解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，当x＞0时，函数的值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故正确.故选：D.【点评】本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题.8.（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A.=（0，0），=（1，2）B.=（﹣1，2），=（5，﹣2）C.=（3，5），=（6，10）D.=（2，﹣3），=（﹣2，3）【分析】根据向量的坐标运算，，计算判别即可.【解答】解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能.选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能. 选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能.故选：B.【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题.9.（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A.5B.+C.7+D.6【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离.【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6.故选：D.【点评】本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.10.（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A.（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B.（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5C.（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D.（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）【分析】根据“1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来”，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决.【解答】解：从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+a+a2+a3+a4+a5；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1+b5；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+c+c2+c3+c4+c5=（1+c）5，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5.故选：A.【点评】本题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置11.（4分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为 1 .【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值. 【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小，此时z最小.此时z的最小值为z=0×3+1=1，故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法. 12.（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于 2.【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积. 【解答】解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，∴，解得sinB=1，∴B=90°，C=30°，∴△ABC的面积=.故答案为：.【点评】本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积.正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题.13.（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 160 （单位：元）【分析】此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求.【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，故当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故答案为：160【点评】本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题.14.（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为.【分析】利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率.【解答】解：由题意，y=lnx与y=ex关于y=x对称，∴阴影部分的面积为2（e﹣ex）dx=2（ex﹣ex）=2，∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为.故答案为：.【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到.15.（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是 6 .【分析】利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论.【解答】解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个.【点评】本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键.三、解答题：本大题共4小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣.（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间.【分析】（1）根据题意，利用sinα求出cosα的值，再计算f（α）的值；（2）化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期与单调增区间即可.【解答】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z.【点评】本题考查了三角函数的化简以及图象与性质的应用问题，是基础题目.17.（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图.（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可得出；（2）建立如图所示的空间直角坐标系.设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式sinθ=|cos|=即可得出.【解答】（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系.∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M.∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=.设平面BCM的法向量=（x，y，z），则，令y=﹣1，则x=1，z=1.∴=（1，﹣1，1）.设直线AD与平面MBC所成角为θ.则sinθ=|cos|===.【点评】本题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sinθ=|cos|=，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题.18.（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为60元的概率，依题意得X得所有可能取值为20，60，分别求出P（X=60），P（X=20），画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望；（2）先讨论，寻找期望为60元的方案，找到（10，10，50，50），（20，20，40，40）两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决.【解答】解：（1）设顾客所获取的奖励额为X，①依题意，得P（X=60）=，即顾客所获得奖励额为60元的概率为，②依题意得X得所有可能取值为20，60，P（X=60）=，P（X=20）=，即X的分布列为X 60 20P所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E（X）=20×+60×=40（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元，如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，因此可能的方案是（10，10，50，50）记为方案1，对于面值由20元和40元的组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记为方案2，以下是对这两个方案的分析：对于方案1，即方案（10，10，50，50）设顾客所获取的奖励额为X1，则X1的分布列为 X1 60 20 100PX1 的数学期望为E（X1）=.X1 的方差D（X1）==，对于方案2，即方案（20，20，40，40）设顾客所获取的奖励额为X2，则X2的分布列为 X2 40 60 80PX2 的数学期望为E（X2）==60，X2 的方差D（X2）=差D（X1）=. 由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2.【点评】本题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查了数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查了必然与或然思想与整合思想.19.（13分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x.（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由.【分析】（1）依题意，可知=2，易知c=a，从而可求双曲线E的离心率；（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1，设直线l与x轴相交于点C，分l⊥x轴与直线l不与x轴垂直讨论，当l⊥x轴时，易求双曲线E的方程为﹣=1.当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，与双曲线E的方程联立，利用由S△OAB=|OC|•|y1﹣y2|=8可证得：双曲线E的方程为﹣=1，从而可得答案.【解答】解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x，所以=2.所以=2.故c=a，从而双曲线E的离心率e==.（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1.设直线l与x轴相交于点C，当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=4a，所以|OC|•|AB|=8，因此a•4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为﹣=1.以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E的方程为﹣=1也满足条件.设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k＞2或k＜﹣2；则C（﹣，0），记A（x1，y1），B（x2，y2），由得y1=，同理得y2=，由S△OAB=|OC|•|y1﹣y2|得：|﹣|•|﹣|=8，即m2=4|4﹣k2|=4（k2﹣4）.由得：（4﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣16=0，因为4﹣k2＜0，所以△=4k2m2+4（4﹣k2）（m2+16）=﹣16（4k2﹣m2﹣16），又因为m2=4（k2﹣4），所以△=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点.因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为﹣=1.【点评】本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想.在2123题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修42：矩阵与变换20.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1.（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex. 【分析】（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数的符号变化可求得函数的极值；（2）构造函数g（x）=ex﹣x2，求出导数，利用（1）问结论可得到函数的符号，从而判断g（x）的单调性，即可得出结论；（3）首先可将要证明的不等式变形为x2＜ex，进而发现当x＞时，x2＜x3，因此问题转化为证明当x∈（0，+∞）时，恒有x3＜ex.【解答】解：（1）由f（x）=ex﹣ax，得f′（x）=ex﹣a.又f′（0）=1﹣a=﹣1，解得a=2，∴f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2.由f′（x）=0，得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4.f（x）无极大值.（2）令g（x）=ex﹣x2，则g′（x）=ex﹣2x，由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex；（3）首先证明当x∈（0，+∞）时，恒有x3＜ex.证明如下：令h（x）=x3﹣ex，则h′（x）=x2﹣ex.由（2）知，当x＞0时，x2＜ex，从而h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减，所以h（x）＜h（0）=﹣1＜0，即x3＜ex，取x0=，当x＞x0时，有x2＜x3＜ex.因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex.【点评】该题主要考查导数的几何意义、导数的运算及导数的应用等基础知识，考查学生的运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想.属难题.21.（7分）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）.（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.【分析】（1）利用AA﹣1=E，建立方程组，即可求矩阵A；（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量.【解答】解：（1）设A=，则由AA﹣1=E得=，解得a=，b=﹣，c=﹣，d=，所以A=；（2）矩阵A﹣1的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）2﹣1，令f（λ）=（λ﹣2）2﹣1=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=3，设λ1=1对应的一个特征向量为α=，则由λ1α=Mα，得x+y=0得x=﹣y，可令x=1，则y=﹣1，所以矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为，同理可得矩阵M的一个特征值λ2=3对应的一个特征向量为.【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题.六、选修45：不等式选讲23.已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a.（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3.【分析】（1）由绝对值不等式|a|+|b|≥|a﹣b|，当且仅当ab≤0，取等号；（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，即可证得.【解答】（1）解：∵|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，∴f（x）的最小值为3，即a=3；（2）证明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2=（p+q+r）2=32=9，即p2+q2+r2≥3.【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.五、选修44：极坐标与参数方程22.（7分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）.（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.【分析】（1）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程；（2）求出圆心到直线的距离d，再根据直线l与圆C有公共点⇔d≤r即可求出.【解答】解：（1）直线l的参数方程为，消去t可得2x﹣y﹣2a=0；圆C的参数方程为，两式平方相加可得x2+y2=16；（2）圆心C（0，0），半径r=4.由点到直线的距离公式可得圆心C（0，0）到直线L的距离d=.∵直线L与圆C有公共点，∴d≤4，即≤4，解得﹣2≤a≤2.【点评】熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键.数学（文）一.填空题1.已知全集{}4,3,2,1=U ，集合{}{}3,2,2,1==Q P ，则()UP Q =▲.2.命题“2,220x R x x ∀∈-+>”的否定是▲．3.已知虚数z 满足216i z z -=+，则||z =▲．4.“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的▲.条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择填空）5.已知向量(,12),(4,5),(10,),OA k OB OC k ===当,,A B C 三点共线时，实数k 的值为▲.．6.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若222,sin 3sin ,a b bc C B -==则A =_▲.. 7.设函数)(x f 满足x x f x f sin )()(+=+π，当π≤≤x 0时，0)(=x f ，则)623(πf =▲. 8.已知tan()1αβ+=，tan()2αβ-=，则sin 2cos 2αβ的值为▲.9.已知函数(2)y f x =+的图象关于直线2x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，2()log .x f x =若1(3),(),(2),4a fb fc f =-==则,,a b c 由大到小的顺序是▲.10.若函数()sin cos()(0)6g x x x πωωω=++>的图象关于点(2,0)π对称，且在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ω的值为▲. 11. 已知函数24,0,()5,0.x x x f x e x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若关于x 的方程()50f x ax --=恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a 的取值集合为▲.12. 已知点O 在ABC ∆所在平面内，且4,3,AB AO ==()0,OA OB AB +=()0,OA OC AC +=则AB AC 取得最大值时线段BC 的长度是▲.13.在ABC ∆中，若tan tan tan tan 5tan tan ,A C A B B C +=则sin A 的最大值为▲.14.已知定义在R 上的函数1()2x f x +=可以表示为一个偶函数()g x 与一个奇函数()h x 之和，设(),()(2)h x t p t g x ==+2()mh x +2m m -A DOM CN1-().m R ∈若方程(())0p p t =无实根，则实数m 的取值范围是▲.二.解答题15.已知命题:p 指数函数()(26)xf x a =-在R 上单调递减，命题:q 关于x 的方程23x ax -2210a ++=的两个实根均大于3.若“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,求实数a 的取值范围.16. 函数)0(3sin 32cos 6)(2>-+=ωωωx xx f 在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形. (Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域；(Ⅱ)若083()f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值.17.已知向量(2,1),(sin ,cos()),2Am n B C =-=+角,,A B C 为ABC ∆的内角，其所对的边分别为,,.a b c（1）当.m n 取得最大值时，求角A 的大小；（2）在（1）成立的条件下，当3a =22b c +的取值范围.18.为丰富农村业余文化生活，决定在A,B,N 三个村子的中间地带建造文化中心．通过测量，发现三个村子分别位于矩形ABCD 的两个顶点A,B 和以边AB 的中心M 为圆心，以MC 长为半径的圆弧的中心N 处，且AB ＝8km ，BC ＝42．经协商，文化服务中心拟建在与A,B 等距离的O 处，并建造三条道路AO,BO,NO 与各村通达．若道路建设成本AO,BO 段为每公里a 2万元，NO 段为每公里a 万元，建设总费用为w 万元．（1）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离N 村的距离；（2）若建设总费用最少，求该文化中心离N 村的距离. 19. 设2()(f x x bx c b =++、)c R ∈．（1）若()f x 在[2,2]-上不单调，求b 的取值范围； （2）若()||f x x ≥对一切x R ∈恒成立，求证：214b c +≤；（3）若对一切x R ∈，有1()0f x x+≥，且2223()1x f x ++的最大值为1，求b 、c 满足的条件。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战51794
一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.1.（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A.3﹣4iB.3+4iC.﹣3﹣4iD.﹣3+4i2.（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）A.{0，1}B.{﹣1，0，1，2}C.{﹣1，0，2}D.{﹣1，0，1}3.（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A.5B.6C.7D.84.（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等5.（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A.（﹣1，1，0）B.（1，﹣1，0）C.（0，﹣1，1）D.（﹣1，0，1）6.（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A.200，20B.100，20C.200，10D.100，107.（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定8.（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）9.（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为.10.（5分）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为.11.（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为.12.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=.13.（5分）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=.（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】14.（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为.【几何证明选讲选做题】15.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=.三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=.（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）.17.（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30] 3 0.12（30，35] 5 0.20（35，40] 8 0.32（40，45] n1 f1（45，50] n2 f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率.18.（13分）如图，四边形ABCD为正方形.PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值.19.（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15. （1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{an}的通项公式.20.（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为. （1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.21.（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2.（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (3)参考答案与试题解析一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.1.（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A.3﹣4iB.3+4iC.﹣3﹣4iD.﹣3+4i【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z 的值.【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题.2.（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）A.{0，1}B.{﹣1，0，1，2}C.{﹣1，0，2}D.{﹣1，0，1}【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.【解答】解：∵集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，∴M∪N={﹣1，0，1，2}，故选：B.【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.3.（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A.5B.6C.7D.8【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，故选：B.【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键.4.（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论.【解答】解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9﹣k，c2=34﹣k，曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25﹣k，b2=9，c2=34﹣k，即两个双曲线的焦距相等，故选：A.【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键.5.（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A.（﹣1，1，0）B.（1，﹣1，0）C.（0，﹣1，1）D.（﹣1，0，1）【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论.【解答】解：不妨设向量为=（x，y，z），A.若=（﹣1，1，0），则cosθ==，不满足条件.B.若=（1，﹣1，0），则cosθ===，满足条件.C.若=（0，﹣1，1），则cosθ==，不满足条件.D.若=（﹣1，0，1），则cosθ==，不满足条件.故选：B.【点评】本题主要考查空间向量的数量积的计算，根据向量的坐标公式是解决本题的关键.6.（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A.200，20B.100，20C.200，10D.100，10【分析】根据图1可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数.【解答】解：由图1知：总体个数为3500+2000+4500=10000，∴样本容量=10000×2%=200，分层抽样抽取的比例为，∴高中生抽取的学生数为40，∴抽取的高中生近视人数为40×50%=20.故选：A.【点评】本题借助图表考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是关键.7.（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定【分析】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，∴l1与l4的位置关系不确定.【解答】解：∵l1⊥l2，l2⊥l3，∴l1与l3的位置关系不确定，又l4⊥l3，∴l1与l4的位置关系不确定.故A、B、C错误.故选：D.【点评】本题考查了空间直线的垂直关系的判定，考查了学生的空间想象能力，在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面.8.（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A.60B.90C.120D.130【分析】从条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手，讨论xi所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论.【解答】解：由于|xi|只能取0或1，且“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：①xi中有2个取值为0，另外3个从﹣1，1中取，共有方法数：；②xi中有3个取值为0，另外2个从﹣1，1中取，共有方法数：；③xi中有4个取值为0，另外1个从﹣1，1中取，共有方法数：.∴总共方法数是++=130.即元素个数为130.故选：D.【点评】本题看似集合题，其实考察的是用排列组合思想去解决问题.其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法.二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）9.（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞） .【分析】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求.【解答】解：由不等式|x﹣1|+|x+2|≥5，可得①，或②，或③.解①求得x≤﹣3，解②求得 x∈∅，解③求得x≥2.综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）.【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题.10.（5分）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为 y=﹣5x+3. .【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程.【解答】解；y′=﹣5e﹣5x，∴k=﹣5，∴曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为y﹣3=﹣5x，即y=﹣5x+3.故答案为：y=﹣5x+3【点评】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程，属基础题.11.（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为.【分析】根据条件确定当中位数为6时，对应的条件即可得到结论【解答】解：从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有C107种方法，若七个数的中位数是6，则只需从0，1，2，3，4，5，选3个，从7，8，9中选3个不同的数即可，有C63种方法，则这七个数的中位数是6的概率P==，故答案为：.【点评】本题主要考查古典概率的计算，注意中位数必须是按照从小到大的顺序进行排列的.比较基础.12.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则= 2 .【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果.【解答】解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin（B+C）=2sinB，∵sin（B+C）=sinA，∴sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b，则=2.故答案为：2【点评】此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键.13.（5分）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=50 .【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案.【解答】解：∵数列{an}为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，∴a10a11=e5，∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…a20）=ln（a10a11）10=ln（e5）10=lne50=50.故答案为：50.【点评】本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题.（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】14.（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为（1，1） .【分析】首先运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将极坐标方程化为普通方程，然后组成方程组，解之求交点坐标.【解答】解：曲线C1：ρsin2θ=cosθ，即为ρ2sin2θ=ρcosθ，化为普通方程为：y2=x，曲线ρsinθ=1，化为普通方程为：y=1，联立，即交点的直角坐标为（1，1）.故答案为：（1，1）.【点评】本题考查极坐标方程和普通方程的互化，考查解方程的运算能力，属于基础题【几何证明选讲选做题】15.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则= 9 .【分析】利用ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，可得=，利用△CDF∽△AEF，可求.【解答】解：∵ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，∴=，∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△CDF∽△AEF，∴=（）2=9.故答案为：9.【点评】本题考查相似三角形的判定，考查三角形的面积比，属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=.（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）.【分析】（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值.（2）由（1）可得f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ 的值，再由θ∈（0，），求得sinθ 的值，从而求得f（﹣θ）的值.【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=.∴Asin（+）=Asin=A•=，∴A=.（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sin cosθ=cosθ=，∴cosθ=，再由θ∈（0，），可得sinθ=.∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ=.【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题. 17.（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30] 3 0.12（30，35] 5 0.20（35，40] 8 0.32（40，45] n1 f1（45，50] n2 f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率.【分析】（1）利用所给数据，可得样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图；（3）利用对立事件可求概率.【解答】解：（1）（40，45]的频数n1=7，频率f1=0.28；（45，50]的频数n2=2，频率f2=0.08；（2）频率分布直方图：（3）设在该厂任取4人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件A，则至少有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件，已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35]的概率为，∴P（A）==，∴P（）=1﹣P（A）=，∴在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率为.【点评】本题考查了频数分布表，频数分布直方图和概率的计算，属于中档题.18.（13分）如图，四边形ABCD为正方形.PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值.【分析】（1）结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判PC⊥平面ADF，即得所求；（2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可.【解答】解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，又CD⊥AD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，∴AD⊥PC，又AF⊥PC，∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF；（2）设AB=1，在RT△PDC中，CD=1，∠DPC=30°，∴PC=2，PD=，由（1）知CF⊥DF，∴DF=，AF==，∴CF==，又FE∥CD，∴，∴DE=，同理可得EF=CD=，如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，1），E（，0，0），F（，，0），P（，0，0），C（0，1，0）设向量=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则有，，∴，令x=4可得z=，∴=（4，0，），由（1）知平面ADF的一个法向量为=（，1，0），设二面角D﹣AF﹣E的平面角为θ，可知θ为锐角，cosθ=|cos＜，＞|===∴二面角D﹣AF﹣E的余弦值为：【点评】本题考查用空间向量法求二面角的余弦值，建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键，属中档题.19.（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15. （1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{an}的通项公式.【分析】（1）在数列递推式中取n=2得一关系式，再把S3变为S2+a3得另一关系式，联立可求a3，然后把递推式中n取1，再结合S3=15联立方程组求得a1，a2；（2）由（1）中求得的a1，a2，a3的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明.【解答】解：（1）由Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，得：S2=4a3﹣20 ①又S3=S2+a3=15 ②联立①②解得：a3=7.再在Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n中取n=1，得：a1=2a2﹣7 ③又S3=a1+a2+7=15 ④联立③④得：a2=5，a1=3.∴a1，a2，a3的值分别为3，5，7；（2）∵a1=3=2×1+1，a2=5=2×2+1，a3=7=2×3+1.由此猜测an=2n+1.下面由数学归纳法证明：1、当n=1时，a1=3=2×1+1成立.2、假设n=k时结论成立，即ak=2k+1.那么，当n=k+1时，由Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，得，，两式作差得：.∴==2（k+1）+1.综上，当n=k+1时结论成立.∴an=2n+1.【点评】本题考查数列递推式，训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，考查了学生的灵活应变能力和计算能力，是中档题.21.（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2.（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）.【分析】（1）利用换元法，结合函数成立的条件，即可求出函数的定义域.（2）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论.（3）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集.【解答】解：（1）设t=x2+2x+k，则f（x）等价为y=g（t）=，要使函数有意义，则t2+2t﹣3＞0，解得t＞1或t＜﹣3，即x2+2x+k＞1或x2+2x+k＜﹣3，则（x+1）2＞2﹣k，①或（x+1）2＜﹣2﹣k，②，∵k＜﹣2，∴2﹣k＞﹣2﹣k，由①解得x+1＞或x+1，即x＞﹣1或x，由②解得﹣＜x+1＜，即﹣1﹣＜x＜﹣1+，综上函数的定义域为（﹣1，+∞）∪（﹣∞，﹣1﹣）∪（﹣1﹣，﹣1+）.（2）f′（x）===﹣，由f'（x）＞0，即2（x2+2x+k+1）（x+1）＜0，则（x+1+）（x+1﹣）（x+1）＜0 解得x＜﹣1﹣或﹣1＜x＜﹣1+，结合定义域知，x＜﹣1﹣或﹣1＜x＜﹣1+，即函数的单调递增区间为：（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1，﹣1+），同理解得单调递减区间为：（﹣1﹣，﹣1），（﹣1+，+∞）.（3）由f（x）=f（1）得（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）﹣3=（3+k）2+2（3+k）﹣3，则[（x2+2x+k）2﹣（3+k）2]+2[（x2+2x+k）﹣（3+k）]=0，∴（x2+2x+2k+5）（x2+2x﹣3）=0即（x+1+）（x+1﹣）（x+3）（x﹣1）=0，∴x=﹣1﹣或x=﹣1+或x=﹣3或x=1，∵k＜﹣6，∴1∈（﹣1，﹣1+），﹣3∈（﹣1﹣，﹣1），∵f（﹣3）=f（1）=f（﹣1﹣）=f（﹣1+），且满足﹣1﹣∈（﹣∞，﹣1﹣），﹣1+∈（﹣1+，+∞），由（2）可知函数f（x）在上述四个区间内均单调递增或递减，结合图象，要使f（x）＞f （1）的集合为：（）∪（﹣1﹣，﹣3）∪（1，﹣1+）∪（﹣1+，﹣1+）.【点评】本题主要考查函数定义域的求法，以及复合函数单调性之间的关系，利用换元法是解决本题的关键，综合性较强，难度较大.20.（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为. （1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得a和b，则椭圆的方可得.（2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△=0，整理出关于k的一元二次方程，利用韦达定理表示出k1•k2，进而取得x0和y0的关系式，即P点的轨迹方程.【解答】解：（1）依题意知，求得a=3，b=2，∴椭圆的方程为+=1.（2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P的坐标为（±3，±2），符合题意，②当两条切线斜率均存在时，设过点P（x0，y0）的切线为y=k（x﹣x0）+y0，+=+=1，整理得（9k2+4）x2+18k（y0﹣kx0）x+9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，∴△=[18k（y0﹣kx0）]2﹣4（9k2+4）×9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，整理得（x02﹣9）k2﹣2x0×y0×k+（y02﹣4）=0，∴﹣1=k1•k2==﹣1，∴x02+y02=13.把点（±3，±2）代入亦成立，∴点P的轨迹方程为：x2+y2=13.【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题.对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x和y关系.一．基础题组1.（北京市昌平区高三二模理3）已知等差数列{}n a 的公差是2，若134,,a a a 成等比数列，则1a 等于（ ） A. 4- B. 6- C. 8- D. 10- 【答案】C考点：等差数列与等比数列.2.（北京市东城区高三5月综合练习（二）理3）已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ⋅=，则567a a a ⋅⋅=（ ）（A ）4（B ）8（C ）16（D ）64 【答案】B 【解析】试题分析：由于数列{}n a 是正各项都是正数的等比数列，所以根据等比数列的性质可知：248664,2a a a a ==∴=，356768a a a a ==，所以答案为B.考点：1.等比数列的性质;2.等比数列的求值.3.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）理2）在等比数列}{n a 中，344a a +=，22a =，则公比q 等于（ ）A ．2B ．1或2C ．1D ．1或2 【答案】B 【解析】试题分析：∵344a a +=，∴2224a q a q +=∴解得1q =或2q =-，故选B.考点：等比数列的通项公式.4.（北京市顺义区高三第一次统一练习（一模）理11）已知无穷数列{}n a 满足：1110,2()n n a a a n N *+=-=+∈.则数列{}n a 的前n 项和的最小值为.【答案】30考点：等差数列. 二．能力题组1.（北京市石景山区高三3月统一测试（一模）理6）等差数列{}n a 中，11,m k a a k m==()m k ≠，则该数列前mk 项之和为（ ） A ．12mk - B ．2mk C ．12mk + D ．12mk+ 【答案】C 【解析】试题分析：设公差为,d 由已知1111111,(1)(1),kk m d a a k d k m k mk m mk mk -===--=--⋅=-所以，1(1)1(1)11,222mk mk mk mk mk mk S mka d mk mk mk --+=+=⋅+⋅=选C .考点：等差数列及其求和公式.2.（北京市西城区高三一模考试理12）若数列{}n a 满足12a =-，且对于任意的*,m n ∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，则3a =___；数列{}n a 前10项的和10S =____．【答案】8-,682 【解析】试题分析：由m n m n a a a +=⋅得2113214,8,a a a a a a =⋅==⋅=-由m n m n a a a +=⋅得112n n n a a a a +=⋅=-，所以数列{}n a 为等比数列，因此10102[1(2)]682.1(2)S ---==---考点：等比数列通项与和项3.（北京市朝阳区高三第二次综合练习理13）已知点()11,1a A ，()22,2a A ，⋅⋅⋅，(),n n a n A （n *∈N ）在函数13log y x =的图像上，则数列的通项公式为__________；设O 为坐标原点，点，则，中，面积的最大值是__________．【答案】13n⎛⎫ ⎪⎝⎭,16考点：1.对数函数性质；2.求数列通项；3.数列单调性.4.（北京市海淀区101中学高三上学期期中模拟考试理10）在公差为正数的等差数列}{n a 中，n S a a a a ,0,011101110<<+且是其前n 项和，则使n S 取最小值的n 是．【答案】10 【解析】试题分析：因为数列的公差为正数，所以数列为递增数列，又因为0,011101110<<+a a a a 且， 所以0,01110><a a ，所以前10项的和最小，即使n S 取最小值的。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战77739
一、选择题1．在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边长作正方形，这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为( )A.3681B．1236C.1281D．14答案：D2．(辽宁高考)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )A.π2B．π4C.π6D．π8答案：B3．已知函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么满足f(x0)≤0，x0∈[－5,5]的x0取值的概率为( )A.310B．35C.15D．110答案：A4．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，即称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.827B．127C.2627D．1527答案：B5．如图，A是圆O上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它的长度小于或等于半径的概率为( )A.1 2B．32C.13D．14答案：C二、填空题6．设D是半径为R的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C，连接CD得一弦，若A 表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P(A)＝________.解析：如图所示，△DPQ为圆内接正三角形，当C点位于劣弧PQ上时，弦DC＞PD，∴P(A)＝13.答案：137．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a 的概率为________．解析：点P到点A的距离小于等于a可以看作是随机的，点P到点A的距离小于等于a 可视作构成事件的区域，棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率：P＝18×43πa3a3＝16π.答案：16π8．(重庆高考)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________(用数字作答)．解析：设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x分钟，第y分钟．根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(50－30)2＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A＝{(x，y)|y－x≥5,30≤x≤50,30≤y≤50}，如图中阴影部分所示．阴影部分所占的面积为12×15×15＝2252，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P(A)＝2252400＝932.答案：932三、解答题9．已知点M(x，y)满足|x|≤1，|y|≤1.求点M落在圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的内部的概率．解：如图所示，区域Ω为图中的正方形，正方形的面积为4，且阴影部分是四分之一圆，其面积为14π，则点M落在圆(x－1)2＋(y －1)2＝1的内部的概率为14π4＝π16.10．小朋友做投毽子游戏，首先在地上画出如图所示的框图，其中AG＝HR＝DR＝12GH，CP＝DP＝AE＝2CQ.其游戏规则是：将毽子投入阴影部分为胜，否则为输．求某小朋友投毽子获胜的概率．解：观察图形可看出阴影部分面积占总面积的一半，投入阴影部分的概率只与阴影部分的面积和总面积有关，故所求事件(记为事件A)的概率为P(A)＝12.11．如图，已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝8，M ，N ，P 是将半圆圆周四等分的三个分点．(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率； (2)在半圆内任取一点S ，求△SAB 的面积大于82的概率．解：(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM ，△ABN ，△ABP ，△AMN ，△AMP ，△ANP ，△BMN ，△BMP ，△BNP ，△MNP ，其中是直角三角形的只有△ABM ，△ABN ，△ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为310. (2)连接MP ，取线段MP 的中点D ， 则OD ⊥MP ，易求得OD ＝22，当S 点在线段MP 上时，S △ABS ＝12×22×8＝82，所以只有当S 点落在阴影部分时，△SAB 的面积才能大于82，而S 阴影＝S 扇形MOP －S △OMP ＝12×π2×42－12×42＝4π－8，所以由几何概型的概率公式得△SAB 的面积大于82的概率为4π－88π＝π－22π.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的模长为（）A．B． C．D．22．（5分）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．（1，2]3．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A． B． C． D．4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p45．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．606．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）A．B．C．D．7．（5分）使得（3x+）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4 B．5 C．6 D．78．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（）A．b=a3 B．C．D．10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣1612．（5分）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．14．（5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=．15．（5分）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=．16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．18．（12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．19．（12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．20．（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．（Ⅰ）求P的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．21．（12分）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战52077
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式：柱体的体积公式：V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式：13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=其中S1、S2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高球的表面积公式：24S R π=球的体积公式：334R V π=其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知集合{}{}2lg ,230A x y x B x x x ===--<，则A B = ( ▲ )A ．(0,3)B ．(1,0)-C ．(,0)(3,)-∞+∞D ．(1,3)-2．已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ▲ )A ．若//l α，//m α，则//l mB ．若l m ⊥，//m α，则l α⊥C ．若l α⊥，m α⊥，则//l mD ．若l m ⊥，l α⊥，则//m α3．已知实数y x ,满足20323x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则y x z -=的最大值为( ▲ )A ．1-B ．0C ．1D ．34．已知直线l ：b kx y +=，曲线C ：122=+y x ，则“1=b ”是“直线l 与曲线C 有公共点”的( ▲ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知正方形ABCD 的面积为2，点P 在边AB 上，则PD PC ⋅的最大值为（ ▲ ）A．32C ．2 D6．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3AD =，点E 为AD 的中点，现分别沿,BE CE 将,ABE DCE ∆∆翻折，使得点,A D 重合于F ，此时二面角E BC F --的余弦值为 ( ▲ )A ．34 BC ．23D722221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，点P 在第一象限，且满足2||F P a =,1(F P 2PF 与双曲线C 点Q ，若22C ( ▲ )A ．y =C ．2y x =±D ．3y x =± 8．已知集合22{(,)|1}M x y x y =+≤，若实数,λμ满足：对任意的(,)x y M ∈，都有(,)x y M λμ∈，则称(,)λμ是集合M 的“和谐实数对”。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战77789
本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，24小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回. 参考公式：锥体的体积公式是：13V S h =•锥体底，其中S 底是锥体的底面积，h 是锥体的高. 第一部分 选择题（共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{1,2,5}A =，{}1,3,5U C B =，则A B =（ ）A ．{5}B ．{2}C ．{1,2,4,5}D ．{3,4,5}2．已知Z=ii+12 (i 为虚数单位),则Z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3.已知非零向量()21,1a m m =-+与向量()1,2b =-平行，则实数m 的值为（ ）A ．1-或21B ．1或21- C ．1-D ．214．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．1B ．23C ．1321D ．6109875．设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． 若2a =，c =，21sin =A ，且b c <，则=B （ ） A ．6πB ．3πC ．2πD ．32π6．设数列}{n a 是等差数列，n S 为其前n 项和.若368S S =，853=-a a ，则20a =（ ）A ．4B.36 C.74- D.80334俯视图侧视图正视图第10题图7．设函数⎩⎨⎧≥<-+=-)1(,3)1(),2(log 1)(13x x x x f x ,则=+-)12(log )7(3f f ( ) A ．7B.9 C.11D.138．已知命题p ⌝:存在x ∈(1,2)使得0xe a ->,若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）A. (∞,e )B. (∞, e ]C. (2e ,+∞) D. [2e ,+∞)9. 已知函数()()sin f x A ωx φ=+002πA ωφ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示，若将()f x 图像上的所有点向右平移12π个单位得到函数()g x 的图像， 则函数()g x 的单调递增区间为（ ）A ．[,]36k k ππππ-+,k Z ∈B ．2[+,]63k k ππππ+,k Z ∈ C ．[,]1212k k ππππ-+,k Z ∈D ．7[,]1212k k ππππ--,k Z ∈10．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．31πB ． 32πC ． 34πD ．36π11．《算数书》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A ．227B ．258C ．15750D ．35511312．已知抛物线24y x =的焦点为F ，A 、B 为抛物线上两点，若3AF FB =，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为() A ．3B ．833C ．43D ．23第二部分 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则直线l 的方程为.第9题图14．实数,x y 满足1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则1++=y x Z 的最大值为.15．设△ABC 的内角为A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c .若ab c b a c b a =++-+))((，则角C=__________.16．设函数)('x f 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，0)1(=-f ，当0x >时，0)()('<-x f x xf ，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是.三、解答题:本大题共 8小题，满分 70 分。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战19705
高三理科数学答案1. 【答案】D2. 【答案】D3．【答案】A ．4.【答案】B5.【答案】A6. 【答案】 B7. 【答案】 B.8. 【答案】C.9. 【答案】D ．10.【答案】选D11. 【答案】A12. 【答案】C13. 答案为：m=914. 答案⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞,5115. 答案为：． 16．①②④ 17. 解：（1）因为55sin ,43==A C π 所以552sin 1cos 2=-=A A由已知得A B -=4π. 所以A A A B sin 4cos cos 4sin )4sin(sin πππ-=-= 1010552225222=⋅-⋅=……………………………………………………6分 （2）由（1）知43π=C 所以22sin =C 且1010sin =B . 由正弦定理得510sin sin ==C A c a . 又因为105-=-a c ，所以10,5==a c .所以25101051021sin 21=⋅⋅==∆B ac S ABC ………………………………12分 18. 解：（1）证明：令0==y x ，有0)0(=f ，再令x y -=有)()()(x f x f x x f -+=-即)()(x f x f -=-，故)(x f 是R 上的奇函数 ……………………… 3分（2）设1x ∀<2x 即12x x -＞0，且)(12x x f -<0因为())()(1212x x f x f x f -=-<0，所以)(2x f <)(1x f即)(x f 是R 上减函数 ……………………… 7分（3）由（1）知)3(k f x ⋅>)293(--x x f ,即)3(k f x ⋅>)239(+-xx f 则k x ⋅3<239+-xx ，所以k <13233239-+=+-x x x x x k <1221323min-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 所以)122,(--∞∈k ……………………… 12分19. 解答： （方法一）（1）证明：如图一，连接AC1与A1C 交于点K ，连接DK ． 在△ABC1中，D 、K 为中点，∴DK ∥BC1．又DK ⊂平面DCA1，BC1⊄平面DCA1，∴BC1∥平面DCA1（2）解：二面角D ﹣CA1﹣C1与二面角D ﹣CA1﹣A 互补．如图二，作DG ⊥AC ，垂足为G ，又平面ABC ⊥平面ACC1A1，∴DG ⊥平面ACC1A1．作GH ⊥CA1，垂足为H ，连接DH ，则DH ⊥CA1，∴∠DHG 为二面角D ﹣CA1﹣A 的平面角设AB=BC=CA=AA1=2，在等边△ABC 中，D 为中点，∴，在正方形ACC1A1中，，∴，，∴． ∴．∴所求二面角的余弦值为．图一__________图二__________图三（方法二）（1）证明：如图三以BC 的中点O 为原点建系，设AB=BC=CA=AA1=2． 设是平面DCA1的一个法向量，则．又，，∴．令，∴∵，∴．又BC1⊄平面DCA1，∴BC1∥平面DCA1．（2）解：设是平面CA1C1的一个法向量，则．又，，∴．令，∴．∴．∴所求二面角的余弦值为．20. 解答：（Ⅰ）解：依题意，得…（2 分）解得…∴椭圆的方程为．…（3分）（Ⅱ）解：设B（x1，y1），C（x2，y2），BC的方程为，则有整理，得．…（5 分）由，解得．…（6 分）由根与系数的关系，得：，．…（7 分），设d为点A到直线BC的距离，则．…（8 分）∴．∵≤，当且仅当m=±2时取等号，∴当m=±2时，△ABC 的面积取得最大值．…（8 分）（Ⅲ）解：设直线AB与直线AC的斜率分别为kAB和kAC，则，，…故．∵，∴．∴．…由，，得，…（x1∴．∴．…12分21. 解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx．∴f′（x）=1+lnx，当x∈（0，）时，f′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0．所以函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．…（3分）（Ⅱ）由于x＞0，f（x）＞kx ﹣恒成立，∴k<lnx+．构造函数k（x）=lnx+．∴k′（x）=﹣=．令k′（x）=0，解得x=，当x∈（0，）时，k′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，k′（x）＞0．∴函数k （x ）在点x=处取得最小值，即k （）=1﹣ln2．因此所求的k 的取值范围是（﹣∞，1﹣ln2）．…（7分）（Ⅲ）f （a+x ）＜f （a ）•ex ⇔（a+x ）ln （a+x ）＜alna ）•ex ⇔＜． 构造函数g （x ）=，则问题就是要求g （a+x ）＜g （a ）恒成立．…（9分） 对于g （x ）求导得 g ′（x ）=．令h （x ）=lnx+1﹣xlnx ，则h ′（x ）=﹣lnx ﹣1，显然h ′（x ）是减函数．当x>1时，h ′（x ）< h ′（1）=0，从而函数h(x)在()+∞,1上也是减函数。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战15807
【考情解读】1.了解算法的含义，了解算法的思想；2.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环；3.了解程序框图，了解工序流程图(即统筹图)；4.能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用；5.了解结构图，会运用结构图梳理已学过的知识，整理收集到的资料信息．【重点知识梳理】1．算法的定义算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．2．程序框图(1)程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．(2)基本的程序框有终端框(起止框)、输入、输出框、处理框(执行框)、判断框．3．三种基本逻辑结构名称内容顺序结构条件结构循环结构定义由若干个按先后顺序执行的步骤组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构算法的流程根据条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为循环体程序框图(1)输入、输出、赋值语句的格式与功能语句一般格式功能输入语句INPUT“提示内容”；变量输入信息输出语句PRINT“提示内容”；表达式输出常量、变量的值和系统信息赋值语句变量＝表达式将表达式的值赋给变量(2)①IF－THEN格式②IF－THEN－ELSE格式(3)循环语句的格式及框图．①UNTIL语句②WHILE语句【高频考点突破】考点一程序框图的执行问题【例1】 (1)当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A．7 B．42 C．210 D．840(2)若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________．(2)输入n＝50，由于S＝0，i＝1，则：第一次运行S＝2×0＋1＝1，i＝1＋1＝2；第二次运行S＝2×1＋2＝4，i＝2＋1＝3；第三次运行S＝2×4＋3＝11，i＝3＋1＝4；第四次运行S＝2×11＋4＝26，i＝4＋1＝5；第五次运行S＝2×26＋5＝57＞50，i＝5＋1＝6，终止循环，故输出i＝6.答案(1)C(2)6【规律方法】执行循环结构首先要分清是先执行循环体，再判断条件，还是先判断条件，再执行循环体．其次注意控制循环的变量是什么，何时退出循环．最后要清楚循环体内的程序是什么，是如何变化的．【变式探究】 (1)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的结果不大于37，则输入的整数i的最大值为()A．3 B．4 C．5 D．6(2)阅读如图所示的程序框图，若输入的k＝10，则该算法的功能是()A．计算数列{2n－1}的前10项和B ．计算数列{2n －1}的前9项和C ．计算数列{2n －1}的前10项和D ．计算数列{2n －1}的前9项和考点二 程序框图的补全问题【例2】执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A ．s>12B ．s>35C ．s>710D ．s>45解析 程序框图的执行过程如下：s ＝1，k ＝9；s ＝910，k ＝8；s ＝910×89＝810，k ＝7；s ＝810×78＝710，k ＝6，循环结束．故可填入的条件为s ＞710.故选C.答案 C【规律方法】解答这类题目时，一定要理解悟透各种框图的作用，才能得到正确的结果，特别要注意对问题的转化，问题与框图的表示的相互转化．【变式探究】某程序框图如图所示，判断框内为“k≥n ？”，n 为正整数，若输出的S ＝26，则判断框内的n ＝________．解析 依题意，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，k ＝1＋1＝2，S ＝2×1＋2＝4；进行第二次循环时，k ＝2＋1＝3，S ＝2×4＋3＝11；进行第三次循环时，k ＝3＋1＝4，S ＝2×11＋4＝26，因此当输出的S ＝26时，判断框内的n ＝4.答案 4考点三 基本算法语句【例3】 根据下图算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( ) INPUTxIFx ＜＝50 THEN y ＝0.5*xELSE y ＝25＋0.6*(x －50)END IF PRINTyA ．25B ．30C ．31D ．61解析 通过阅读理解知，算法语句是一个分段函数y ＝f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，x≤50，25＋0.6（x －50），x ＞50，∴y ＝f(60)＝25＋0.6×(60－50)＝31. 答案 C【规律方法】解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．【真题感悟】1.【高考新课标1，文9】执行右面的程序框图，如果输入的0.01t=，则输出的n=（）（A）5（B）6（C）10（D）12【答案】C2.【高考重庆，文8】执行如图（8）所示的程序框图，则输出s的值为（）(A) 34(B)56(C)1112(D)2524【答案】D3.【高考天津，文3】阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为（）(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5【答案】C 【解析】由程序框图可知:2,8;3,S 5;4, 1.i S i i S ======故选C.4.【高考陕西，文7】根据右边框图，当输入x 为6时，输出的y =（ ） A ．1B ．2C ．5D ．10【答案】D【解析】该程序框图运行如下：6330x =-=>，330x =-=，0330x =-=-<，2(3)110y =-+=，故答案选D.5.【高考湖南，文5】执行如图2所示的程序框图，如果输入n=3，中输入的S=( )A 、67 B 、37 C 、89 D 、49【答案】B【解析】由题根据所给程序框图不难得到所求S 值即是求递推数列的连续前3项的和； 由题11131335577++=⨯⨯⨯，故选B. 6.【高考福建，文4】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出y 的值为（ ）A ．2B ．7C ．8D ．128【答案】C【解析】由题意得，该程序表示分段函数2,2,9,2x xyx x⎧≥=⎨-<⎩，则(1)918f=-=，故选C．7.【高考北京，文5】执行如图所示的程序框图，输出的k的值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】初值为3,0a k==，进入循环体后，3,12ak==；3,24a k==；3,38a k==；3,416a k==；此时14a<，退出循环，故4k=，故选B.8.【高考安徽，文7】执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】B9.【高考山东，文11】执行右边的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是 .【答案】13【解析】第一次执行程序，满足条件2,112x x <=+=；第二次执行程序，不满足条件22,32113x y <=⨯+=，输出13y =，结束.答案为13.1．（·安徽卷）如图1-1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()图1-1A ．34B ．53C ．78D ．89【答案】B 【解析】由程序框图可知，变量的取值情况如下：2．（·天津卷）阅读如图1-1所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为()图1-1A．15B．105C．245D．945【答案】B3．（·福建卷）阅读如图1-3所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于()图1-3A．18B．20C．21D．40【答案】B【解析】输入S＝0，n＝1，第一次循环，S＝0＋2＋1＝3，n＝2；第二次循环，S＝3＋22＋2＝9，n＝3；第三次循环，S＝9＋23＋3＝20，n＝4，满足S≥15，结束循环，输出S＝20.4．（·湖北卷）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图1-2所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________．图1-2【答案】495 【解析】取a1＝815⇒b1＝851－158＝693≠815⇒a2＝693； 由a2＝693⇒b2＝963－369＝594≠693⇒a3＝594； 由a3＝594⇒b3＝954－459＝495≠594⇒a4＝495； 由a4＝495⇒b4＝954－459＝495＝a4⇒b ＝495.5．（·湖南卷）执行如图1-1所示的程序框图．如果输入的t ∈[－2，2]，则输出的S 属于() A ．[－6，－2] B ．[－5，－1] C ．[－4，5] D ．[－3，6]图1-1【答案】D 【解析】(特值法)当t ＝－2时，t ＝2×(－2)2＋1＝9，S ＝9－3＝6，所以D 正确． 6．（·江西卷）阅读如图1-3所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为()图1-3A ．7B ．9C ．10D ．11【答案】B 【解析】由程序框图可知，运算过程如下表：S S<－1i 输出赋初值 01 开始S ＝0＋lg 13＝－lg 3>－1 否 3 S ＝－lg 3＋lg 35＝－lg 5>－1 否 5S ＝－lg 5＋lg 57＝－lg 7>－1否77．（·辽宁卷）执行如图1-2所示的程序框图，若输入x ＝9，则输出y ＝________．图1-2 【答案】299【解析】当x ＝9时，y ＝5，则|y －x|＝4；当x ＝5时，y ＝113，则|y －x|＝43；当x ＝113时，y ＝299，则|y －x|＝49<1.故输出y ＝299.8．（·新课标全国卷Ⅰ）执行如图1-2所示的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3，则输出的M ＝()图1-2A.203B.165C.72D.158【答案】D【解析】逐次计算，依次可得：M ＝32，a ＝2，b ＝32，n ＝2；M ＝83，a ＝32，b ＝83，n ＝3；M ＝158，a ＝83，b ＝158，n ＝4.此时输出M ，故输出的是158.9．（·新课标全国卷Ⅱ）执行如图1-2所示的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝()图1-2A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】D【解析】逐次计算，可得M ＝2，S ＝5，k ＝2；M ＝2，S ＝7，k ＝3，此时输出S ＝7.10．（·山东卷）执行如图1-2所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为____．图1-2 【答案】3【解析】x ＝1满足不等式，执行循环后，x ＝2，n ＝1；x ＝2满足不等式，执行循环后，x ＝3，n ＝2；x＝3满足不等式，执行循环后，x＝4，n＝3；x＝4不满足不等式，结束循环，输出的n的值为3.11．（·陕西卷）根据如图1-1所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是()图1-1A．an＝2nB．an＝2(n－1)C．an＝2nD．an＝2n－1【答案】C【解析】阅读题中所给的程序框图可知，对大于2的整数N，输出数列：2，2×2＝22，2×22＝23，2×23＝24，…，2×2N－1＝2N，故其通项公式为an＝2n.12．（·四川卷）执行如图1-1所示的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为()图1-1A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】题中程序输出的是在⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤1，x≥0，y≥0的条件下S ＝2x ＋y 的最大值与1中较大的数．结合图像可得，当x ＝1，y ＝0时，S ＝2x ＋y 取得最大值2，2>1，故选C.【押题专练】1．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．10B ．17C ．19D ．36解析 执行程序：k ＝2，S ＝0；S ＝2，k ＝3；S ＝5，k ＝5；S ＝10，k ＝9；S ＝19，k ＝17，此时不满足条件k ＜10，终止循环，输出结果为S ＝19.选C.答案 C2．为了在运行如图所示的程序之后得到结果y ＝16，则键盘输入的x 应该是( ) INPUT x IF x ＜0 THEN y ＝(x ＋1)*(x ＋1) ELSEy ＝(x －1)*(x －1) END IF PRINT y END A ．±5 B ．5 C ．－5D ．0解析 ∵f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＜0，（x －1）2，x≥0.∴当x ＜0时，令(x ＋1)2＝16，∴x ＝－5； 当x≥0时，令(x －1)2＝16，∴x ＝5，∴x ＝±5. 答案 A3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )A ．5B ．7C ．9D ．114．执行如图所示的程序框图，输出的M 值是( )A ．2B ．－1 C.12D ．－2解析 M ＝2，i ＝1；M ＝11－2＝－1，i ＝2；M＝11－（－1）＝12，i＝3；M＝11－12＝2，i＝4；M＝11－2＝－1，i＝5，终止循环，输出M＝－1.答案B5.如图所示的程序框图，该算法的功能是()A．计算(1＋20)＋(2＋21)＋(3＋22)＋…＋(n＋1＋2n)的值B．计算(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)的值C．计算(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)的值D．计算[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋(20＋21＋22＋…＋2n)的值6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是4，则判断框内m的取值范围是 ()A ．(2，6]B ．(6，12]C ．(12，20]D ．(2，20)7．执行如图所示的程序框图，则输出0的概率为( )A.38B.58C.12D.23解析 因为⎣⎡⎭⎫1，74的长度为74－1＝34，[1，3]的长度为3－1＝2，所以输出0的概率为342＝38，故选A.答案 A8．利用如图所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2＋y2＝10内的个数为( )A．2 B．3C．4 D．59．运行如下所示的程序，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为________．INPUT a，bIF a>b THENm＝aELSEm＝bEND IFPRINT mEND解析∵a＝2，b＝3，∴a<b，应把 3.答案310．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为________．解析逐次写出运行结果．该流程图运行4次，各次S的取值分别是1，2，6，15，所以输出的k＝4.答案411. 执行如图所示的程序框图，如果输出S＝3，那么判断框内应填入的条件是________．12．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的值为________．13．图1是某地区参加高考的学生身高的条形统计图，从左至右的各条形图表示的学生人数依次记为A1，A2，A3，…，A10(如A2表示身高(单位：cm)在[150，155)内的学生人数，图2是图1中统计身高在一定范围内学生人数的一个算法程序框图．现要统计身高在[160，180)内的学生人数，那么流程图中判断框内整数k的值为________．解析依题意，注意到身高在[160，180)内的学生属于第4组至第7组，因此结合题中的程序框图得知，流程图中判断框内整数k的值是7.答案7一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为.2.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=.3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是.4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是.6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm.7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是.8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是.11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是.12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是.13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是.14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值.16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O 正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn （n∈N*）成立.三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修41：几何证明选讲】21.（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D.【选修42：矩阵与变换】22.（10分）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值.【选修43：极坐标及参数方程】23.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于AB两点，则线段AB的长为.【选修44：不等式选讲】24.已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）25.（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）.26.（10分）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*. （1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（附详细答案）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1，3}.【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.2.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为 21 .【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论.【解答】解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，故z的实部为21，故答案为：21【点评】本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础.3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是 5 .【分析】算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，∵24=16＜20，25=32＞20，∴输出n=5.故答案为：5.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.【分析】首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可.【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，故所求概率P=.故答案为：.【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件.5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是.【分析】由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得=.根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出.【解答】解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴=.∵0≤φ＜π，∴，∴+φ=，解得φ=.故答案为：.【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题.6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 24 株树木的底部周长小于100cm.【分析】根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数.【解答】解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）.故答案为：24.【点评】本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=.7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是 4 . 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0.∵a8=a6+2a4，∴，化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2.∴a6===1×22=4.故答案为：4.【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题.8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比.【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===.故答案为：.【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目.9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.【分析】求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2.利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长.【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=故答案为：.【点评】本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题.10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0） .【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围.【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）.【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题.11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是﹣3 .【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案.【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，∴y′=2ax﹣，∴，解得：，故a+b=﹣3，故答案为：﹣3【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，是解答的关键.12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是 22 .【分析】由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案.【解答】解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22.【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键.13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，） .【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可.【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知.故答案为：（0，）.【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用.14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.【分析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论.【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），由余弦定理得cosC====≥=，当且仅当时，取等号，故≤cosC＜1，故cosC的最小值是.故答案为：.【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键.二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值.【分析】（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值.【解答】解：α∈（，π），sinα=.∴cosα=﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα==﹣；∴sin（+α）的值为：﹣.（2）∵α∈（，π），sinα=.∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣.cos（﹣2α）的值为：﹣.【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力.16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可. 【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC.【点评】本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目.17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.【分析】（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值.（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值.【解答】解：（1）∵C的坐标为（，），∴，即，∵，∴a2=（）2=2，即b2=1，则椭圆的方程为+y2=1.（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0），∵B（0，b），∴直线BF2：y=﹣x+b，代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x2﹣=0，解得x=0，或x=，∵A（，﹣），且A，C关于x轴对称，∴C（，），则=﹣=，∵F1C⊥AB，∴×（）=﹣1，由b2=a2﹣c2得，即e=.【点评】本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大.18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O 正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？【分析】（1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大.【解答】解：（1）如图，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，∴∠ABF=∠BCE，∴.设AF=4x（m），则BF=3x（m）.∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），∴BE=（3x+60）m.∵，∴CE=（m）.∴（m）.∴，解得：x=20.∴BE=120m，CE=90m，则BC=150m；（2）如图，设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，∵∠POM=∠PQC=90°，∴∠PMO=∠BCO.设OM=xm，则OP=m，PM=m.∴PC=m，PQ=m.设⊙M半径为R，∴R=MQ=m=m.∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，∴136﹣﹣（60﹣x）≥80，136﹣﹣x≥80.解得：10≤x≤35.∴当且仅当x=10时R取到最大值.∴OM=10m时，保护区面积最大.【点评】本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题.19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；（3）构造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论.【解答】解：（1）∵f（x）=ex+e﹣x，∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴ex+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=ex，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m.（3）令g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），则g′（x）=ex﹣e﹣x+3a（x2﹣1），当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，故e+﹣2a＜0，即a＞（e+），令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，则h′（x）=1﹣，由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），注意到h（1）=h（e）=0，∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立.①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而ea﹣1＜ae﹣1，②当a=e时，ae﹣1=ea﹣1，③当a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e ﹣1）lna，从而ea﹣1＞ae﹣1.【点评】本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大.20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn （n∈N*）成立.【分析】（1）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到an，再利用“H”数列的意义即可得出.（2）利用等差数列的前n项和即可得出Sn，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，取n=2和根据d＜0即可得出；（3）设{an}的公差为d，构造数列：bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，cn=（n﹣1）（a1+d），可证明{bn}和{cn}是等差数列.再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出.【解答】解：（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=S1=2.当n=1时，S1=a1.当n≥2时，Sn=an+1.∴数列{an}是“H”数列.（2）Sn==，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，即，取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1.。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战27355
本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．3．答第II 卷时必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，要字体工整，笔迹清晰，严格在题号所指示的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．参考公式：锥体的体积公式V=13Sh ．其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。
共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}21log ,1,,12x A y y x x B y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>==>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B ⋂= A.102y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B.{}01y y << C.112y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D.φ 2.下列说法中错误的是A.若命题2:,10p x R x x ∃∈++<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈++≥B.“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C.命题“若2320,1x x x -+==则”的逆否命题为:“若1x ≠，则232x x -+≠0”D.若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题3.由曲线1xy =，直线,3y x x ==所围成的封闭图形的面积为 A.1ln 32+ B.4ln 3- C.92 D.1164. C 解析：因为0.20331>=，πππ0log 1log 3log π1,=<<=33log log 10<=，所以a b c >>，故选C.5. 李华经营了两家电动轿车销售连锁店，其月利润（单位：元）分别为21590016000L x x =-+-,23002000L x =-（其中x 为销售辆数），若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为（ ）A.11000B. 22000C. 33000D. 400005.C 解析：设甲连锁店销售x 辆，则乙连锁店销售110x -辆，故利润2590016000300(110)2000L x x x =-+-+--2560015000x x =-++25(60)33000x =--+，所以当x=60辆时，有最大利润33000元，故选C 。
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本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页。
第Ⅱ卷3 至4页，满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后， 考试注意：1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考试要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考试本人的准考证号、姓名是否一致.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，.第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并交回。
参考公式：样本数据（11,y x ），（22,y x ），...，（n n y x ,）的线性相关系数∑∑∑===----=ni in i ini iiy y x x y y x x r 12121)()())((其中nx x x x n+++= (21)ny y y y n +++= (21)锥体的体积公式13V Sh =其中S 为底面积，h 为高第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1） 若iiz 21+=,则复数-z = ( )A.i --2B. i +-2C. i -2D.i +2答案：C 解析： i i i i i i i z -=--=+=+=21222122 （2） 若集合}02|{},3121|{≤-=≤+≤-=xx x B x x A ,则B A ⋂= ( ) A.}01|{<≤-x x B.}10|{≤<x x C.}20|{≤≤x x D.}10|{≤≤x x 答案：B 解析：{}{}{}10/,20/,11/≤<=⋂≤<=≤≤-=x x B A x x B x x A（3） 若)12(21log1)(+=x x f ,则)(x f 的定义域为 ( )A. (21-,0) B. (21-,0] C. (21-,∞+) D. (0,∞+) 答案： A 解析：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∴<+<∴>+0,211120,012log 21x x x（4） 若x x x x f ln 42)(2--=,则0)('>x f 的解集为 ( )A. (0,∞+)B. (1,0)⋃(2,∞+)C. (2,∞+)D. (1,0)答案：C 解析：()()()2,012,0,02,0422'2>∴>+-∴>>-->--=x x x x xx x x x x f （5） 已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足:m n m n S S S +=+,且11=a ,那么=10a ( )A. 1B. 9C. 10D. 55答案：A 解析：11,41,31,2104314321321212==∴=+==∴=+==∴=+=a a S S S a S S S a S a a S（6） 变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1).1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数,2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数,则 ( ) A.012<<r r B. 120r r << C.120r r << D. 12r r =答案：C 解析： ()()()()∑∑∑===----=ni ini ini iiyyx x yyx x r 12121 第一组变量正相关，第二组变量负相关。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战43800
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A.y=B.y=（x﹣1）2C.y=2﹣xD.y=log0.5（x+1）2.（（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A.{0}B.{0，1}C.{0，2}D.{0，1，2}3.（5分）曲线（θ为参数）的对称中心（）A.在直线y=2x上B.在直线y=﹣2x上C.在直线y=x﹣1上D.在直线y=x+1上4.（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A.7B.42C.210D.8405.（5分）设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.（5分）若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A.2B.﹣2C.D.﹣7.（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2≠S3C.S3=S1且S3≠S2D.S3=S2且S3≠S18.（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A.2人B.3人C.4人D.5人二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.（5分）复数（）2=.10.（5分）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|=.11.（5分）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为；渐近线方程为.12.（5分）若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=时，{an}的前n项和最大.13.（5分）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种.14.（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为.三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15.（13分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=.（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长.16.（13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场1 22 12 客场1 18 8 主场2 15 12 客场2 13 12 主场3 12 8 客场3 21 7 主场4 23 8 客场4 18 15 主场5 24 20 客场5 25 12 （1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）.17.（14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P ﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.（1）求证：AB∥FG；（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH 的长.18.（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值.19.（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4，（1）求椭圆C的离心率（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论.20.（13分）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（an，bn），记T1（P）=a1+b1，Tk（P）=bk+max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}（2≤k≤n），其中max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}表示Tk﹣1（P）和a1+a2+…+ak两个数中最大的数，（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）参考答案与试题解析（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A.y=B.y=（x﹣1）2C.y=2﹣xD.y=log0.5（x+1）【分析】根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论. 【解答】解：由于函数y=在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，由于函数y=（x﹣1）2在（0，1）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=2﹣x在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件，故选：A.【点评】本题主要考查函数的单调性的定义和判断，基本初等函数的单调性，属于基础题.一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）2.（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A.{0}B.{0，1}C.{0，2}D.{0，1，2}【分析】解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集.【解答】解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}故选：C.【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键.3.（5分）曲线（θ为参数）的对称中心（）A.在直线y=2x上B.在直线y=﹣2x上C.在直线y=x﹣1上D.在直线y=x+1上【分析】曲线（θ为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论.【解答】解：曲线（θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x 上，故选：B.【点评】本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题.4.（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A.7B.42C.210D.840【分析】算法的功能是求S=7×6×…×k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出S的【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，当m=7，n=3时，m﹣n+1=7﹣3+1=5，∴跳出循环的k值为4，∴输出S=7×6×5=210.故选：C.【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键.5.（5分）设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 【解答】解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但{an}不是递增数列，充分性不成立.若an=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键.6.（5分）若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A.2B.﹣2C.D.﹣【分析】对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案. 【解答】解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，当y=0，由kx﹣y+2=0，得x=，∴B（﹣）.由z=y﹣x得y=x+z.由图可知，当直线y=x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小.此时，解得：k=﹣.故选：D.【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.7.（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2≠S3C.S3=S1且S3≠S2D.S3=S2且S3≠S1【分析】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论.【解答】解：设A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），则各个面上的射影分别为A'，B'，C'，D'，在xOy坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），D'（1，1，0），S1=.在yOz坐标平面上的正投影A'（0，0，0），B'（0，2，0），C'（0，2，0），D'（0，1，），S2=.在zOx坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，0，0），C'（0，0，0），D'（0，1，），S3=，则S3=S2且S3≠S1，故选：D.【点评】本题主要考查空间坐标系的应用，求出点对于的投影坐标是解决本题的关键.8.（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A.2人B.3人C.4人D.5人【分析】分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出文成绩得A，B，C的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数.【解答】解：用ABC分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1个，语文成绩得B得也最多只有一个，得C最多只有一个，因此学生最多只有3人，显然（AC）（BB）（CA）满足条件，故学生最多有3个.故选：B.【点评】本题主要考查了合情推理，关键是找到语句中的关键词，培养了推理论证的能力.二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.（5分）复数（）2= ﹣1 .【分析】由复数代数形式的除法运算化简括号内部，然后由虚数单位i的运算性质得答案. 【解答】解：（）2=.故答案为：﹣1.【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题.10.（5分）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|=. 【分析】设=（x，y）.由于向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），可得，解出即可.【解答】解：设=（x，y）.∵向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），∴=λ（x，y）+（2，1）=（λx+2，λy+1），∴，化为λ2=5.解得.故答案为：.【点评】本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题.11.（5分）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为；渐近线方程为 y=±2x .【分析】利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论.【解答】解：与﹣x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x2=m，（m≠0），∵双曲线C经过点（2，2），∴m=，即双曲线方程为﹣x2=﹣3，即，对应的渐近线方程为y=±2x，故答案为：，y=±2x.【点评】本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础.12.（5分）若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n= 8 时，{an}的前n项和最大.【分析】可得等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论.【解答】解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0，∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，∴等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{an}的前8项和最大，故答案为：8.【点评】本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题.13.（5分）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有 36 种.【分析】分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②计算其中A、B相邻又满足B、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案.【解答】解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有2=48种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2=12种摆法，故满足条件的摆法有48﹣12=36种.故答案为：36.【点评】本题考查分步计数原理的应用，要优先分析受到限制的元素，如本题的A、B、C.14.（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为π .【分析】由f（）=f（）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=﹣f（）可得函数的半周期，则周期可求.【解答】解：由f（）=f（），可知函数f（x）的一条对称轴为x=，则x=离最近对称轴距离为.又f（）=﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），由于f（x）在区间[，]上具有单调性，则≤T⇒T≥，从而=⇒T=π.故答案为：π.【点评】本题考查f（x）=Asin（ωx+φ）型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是中档题.三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15.（13分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=.（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长.【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论.【解答】解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC====，则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠A DC•sinB=×﹣=.（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，即AC=7.【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大.16.（13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场1 22 12 客场1 18 8 主场2 15 12 客场2 13 12 主场3 12 8 客场3 21 7 主场4 23 8 客场4 18 15 主场5 24 20 客场5 25 12 （1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）.【分析】（1）根据概率公式，找到李明在该场比赛中超过0.6的场次，计算即可，（2）根据互斥事件的概率公式，计算即可.（3）求出平均数和EX，比较即可.【解答】解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6为事件A，由题意知，李明在该场比赛中超过0.6的场次有：主场2，主场3，主场5，客场2，客场4，共计5场所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率P（A）=，（2）设李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为事件B，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率，客场命中率超过0.6的概率，故P（B）=P1×（1﹣P2）+P2×（1﹣P1）=；（3）=（12+8+12+12+8+7+8+15+20+12）=11.4EX=【点评】本题主要考查了概率的计算、数学期望，平均数，互斥事件的概率，属于中档题.17.（14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.（1）求证：AB∥FG；（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH 的长.【分析】（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得；（2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE为正方形，建立如图的空间直角坐标系Axyz，分别求出A，B，C，E，P，F，及向量BC的坐标，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），求出一个值，设直线BC与平面ABF所成的角为α，运用sinα=|cos|，求出角α；设H（u，v，w），再设，用λ表示H的坐标，再由n=0，求出λ和H的坐标，再运用空间两点的距离公式求出PH的长.【解答】（1）证明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中点，∴AB∥DE，又∵AB⊄平面PDE，∴AB∥平面PDE，∵AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，∴AB∥FG；（2）解：∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE，如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），E（0，2，0），F（0，1，1），，设平面ABF的法向量为=（x，y，z），则即，令z=1，则y=﹣1，∴=（0，﹣1，1），设直线BC与平面ABF所成的角为α，则sinα=|cos＜，＞|=||=，∴直线BC与平面ABF所成的角为，设H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可设，即（u，v，w﹣2）=λ（2，1，﹣2），∴u=2λ，v=λ，w=2﹣2λ，∵是平面ABF的法向量，∴=0，即（0，﹣1，1）•（2λ，λ，2﹣2λ）=0，解得λ=，∴H（），∴PH==2.【点评】本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面平行、垂直的判定和性质，同时考查直线与平面所成的角的求法，考查运用空间直角坐标系求角和距离，是一道综合题.18.（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值.【分析】（1）求出f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，判定出在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，得f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f（0）=0.（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx＜0”构造函数g（x）=sinx﹣cx，通过求函数的导数讨论参数c求出函数的最值，进一步求出a，b的最值.【解答】解：（1）由f（x）=xcosx﹣sinx得f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，此在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，所以f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f（0）=0.（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx＜0”令g（x）=sinx﹣cx，则g′（x）=cosx﹣c，当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0，）上恒成立，当c≥1时，因为对任意x∈（0，），g′（x）=cosx﹣c＜0，所以g（x）在区间[0，]上单调递减，从而，g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0，）恒成立，当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0，）使得g′（x0）=cosx0﹣c=0，g（x）与g′（x）在区间（0，）上的情况如下：x （0，x0） x0 （x0，）g′（x）+ ﹣g（x）↑↓因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，所以g（x0）＞g（0）=0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，当且仅当综上所述当且仅当时，g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，）恒成立，所以若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1 【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值；考查解决不等式问题常通过构造函数解决函数的最值问题，属于一道综合题.20.（13分）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（an，bn），记T1（P）=a1+b1，Tk（P）=bk+max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}（2≤k≤n），其中max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}表示Tk﹣1（P）和a1+a2+…+ak两个数中最大的数，（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）.【分析】（Ⅰ）利用T1（P）=a1+b1，Tk（P）=bk+max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}（2≤k≤n），可求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}，分类讨论，利用新定义，可比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）根据新定义，可得结论.【解答】解：（Ⅰ）T1（P）=2+5=7，T2（P）=1+max{T1（P），2+4}=1+max{7，6}=8；（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}.当m=a时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+d+b，∵a+b+d≤c+d+b，且a+c+d≤c+b+d，∴T2（P）≤T2（P′）；当m=d时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+a+b，∵a+b+d≤c+a+b，且a+c+d≤c+a+d，∴T2（P）≤T2（P′）；∴无论m=a和m=d，T2（P）≤T2（P′）；（Ⅲ）数对（4，6），（11，11），（16，11），（11，8），（5，2），T5（P）最小；T1（P）=10，T2（P）=26；T3（P）42，T4（P）=50，T5（P）=52.【点评】本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解与运用新定义是解题的关键.19.（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4，（1）求椭圆C的离心率（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论.【分析】（1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求；（2）设出点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0，由OA⊥OB得到，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x2+y2=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB 与圆x2+y2=2相切.【解答】解：（1）由x2+2y2=4，得椭圆C的标准方程为.∴a2=4，b2=2，从而c2=a2﹣b2=2.因此a=2，c=.故椭圆C的离心率e=；（2）直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下：设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0.∵OA⊥OB，∴，即tx0+2y0=0，解得.当x0=t时，，代入椭圆C的方程，得.故直线AB的方程为x=，圆心O到直线AB的距离d=.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.当x0≠t时，直线AB的方程为，即（y0﹣2）x﹣（x0﹣t）y+2x0﹣ty0=0.圆心O到直线AB的距离d=.又，t=.故=.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力和逻辑思维能力，是压轴题.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的．）1.已知定点A 、B ，且|AB|＝4，动点P 满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是( ) A ．12B ．32 C ．72D ．5 2. 若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( )（A ）(1,2]（B ）[2,)+∞（C ）(1,3]（D ）[3,)+∞3.【百强校】【陕西西安西北工大附中高三下学期5月模拟】已知抛物线x y 82=的焦点与双曲线1222x y a-=的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（） A ．255 B ．41515C ．233D ．2 4.【山东高考理第10题】 已知0>>b a ，椭圆1C 的方程为12222=+b y a x ，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为（ ） A.02=±y x B.02=±y x C.02=±y x D.02=±y x5. 【嵊州市高三第二次教学质量调测】已知双曲线2222C :1(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作平行于C 的渐近线的直线交C 于点P ．若12PF PF ⊥，则C 的离心率为（ ）A 23．2 D 56.【全国1高考理第4题】已知F 为双曲线C :)0(322>=-m m my x 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）A. 3B. 3C. m 3D. m 37.【改编题】已知斜率为2的直线l 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>交,A B 两点，若点(2,1)P 是AB 的中点，则C 的离心率等于（）（A) 22 (B) 2 (C) 3 (D ) 28.已知点()()0,0,1,1O A -，若F 为双曲线221x y -=的右焦点，P 是该双曲线上且在第一象限的动点，则OA FP ⋅的取值范围为（ ） A ．()21,1-B ．()21,2-C ．()1,2D ．()2,+∞9.【百强校】【实验中学高三上学期第五次模拟考试】已知双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点分别是12,F F ，正三角形12AF F 的一边1AF 与双曲线左支交于点B ，且114AF BF =，则双曲线C 的离心率的值是 （ ） A ．123+B ．312+C ．1313+D ．1313+ 10.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为1F 、2F ，其中一条渐近线方程为(*)2by x b N =∈，P 为双曲线上一点，且满足5OP <（其中O 为坐标原点），若1PF 、12F F 、2PF 成等比数列，则双曲线C 的方程为（ ）A.2214x y -=B.221x y -= C.22149x y -= D.221416x y -= 二、填空题11.【全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷）】双曲线2212x y -=的焦距是，渐近线方程是．12.【日照市高三校际联合检测（二模）】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点()125,0F -，右焦点()225,0F ，离心率5e =.若点P 为双曲线C 右支上一点，则12PF PF -=__________. 13. 【百强校】【实验中学高三上学期第五次模拟】已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且321π=∠PF F ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则=+222131e e ． 14.【全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷）】已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为．15. 【上海市闸北区高三下学期期中练习（二模）】从双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 是线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -的值是____________．16.【全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战19045
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1.（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（）A.（0，4]B.[0，4）C.[﹣1，0）D.（﹣1，0]2.（5分）设z=，则z的共轭复数为（）A.﹣1+3iB.﹣1﹣3iC.1+3iD.1﹣3i3.（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.c＞b＞aD.c＞a＞b4.（5分）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（）A.2B.C.1D.5.（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A.60种B.70种C.75种D.150种6.（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=17.（5分）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A.2eB.eC.2D.18.（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A. B.16π C.9π D.9.（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A. B. C. D.10.（5分）等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（）A.6B.5C.4D.311.（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A. B. C. D.12.（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（）A.y=g（x）B.y=g（﹣x）C.y=﹣g（x）D.y=﹣g（﹣x）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13.（5分）的展开式中x2y2的系数为.（用数字作答）14.（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为.15.（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于.16.（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是.三、解答题17.（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B.18.（12分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=13，a2为整数，且Sn≤S4.（1）求{an}的通项公式；（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn.19.（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2.（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小.20.（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立.（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.21.（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C 的交点为Q，且|QF|=|PQ|.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.22.（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）.（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明：＜an≤（n∈N*）.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（大纲版）（附详细答案）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1.（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（）A.（0，4]B.[0，4）C.[﹣1，0）D.（﹣1，0]【分析】求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解.【解答】解：由x2﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4.∴M={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4}，又N={x|0≤x≤5}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0，4）.故选：B.【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题.2.（5分）设z=，则z的共轭复数为（）A.﹣1+3iB.﹣1﹣3iC.1+3iD.1﹣3i【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求.【解答】解：∵z==，∴.故选：D.【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题.3.（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.c＞b＞aD.c＞a＞b【分析】可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°=＞sin35°，综合可得.【解答】解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，由正弦函数的单调性可知b＞a，而c=tan35°=＞sin35°=b，∴c＞b＞a故选：C.【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题.4.（5分）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（）A.2B.C.1D.【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+）•=0，（2+）•=0，由此求得||.【解答】解：由题意可得，（+）•=+=1+=0，∴=﹣1；（2+）•=2+=﹣2+=0，∴b2=2，则||=，故选：B.【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题.5.（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A.60种B.70种C.75种D.150种【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有15×5=75种；故选：C.【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同.6.（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程.【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1.故选：A.【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题.7.（5分）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A.2eB.eC.2D.1【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率.【解答】解：函数的导数为f′（x）=ex﹣1+xex﹣1=（1+x）ex﹣1，当x=1时，f′（1）=2，即曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，故选：C.【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础.8.（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A. B.16π C.9π D.【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积.【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=.故选：A.【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题.9.（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A. B. C. D.【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论.【解答】解：∵双曲线C的离心率为2，∴e=，即c=2a，点A在双曲线上，则|F1A|﹣|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，则由余弦定理得cos∠AF2F1===.故选：A.【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力.10.（5分）等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（）A.6B.5C.4D.3【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10.再利用对数的运算性质即可得出.【解答】解：∵数列{an}是等比数列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10.∴lga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2•…•a8）=4lg10=4.故选：C.【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题.11.（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案.【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E做EF⊥AE，连接BF，∵AE⊥l∴∠EAC=90°∵CD∥AF又∠ACD=135°∴∠FAC=45°∴∠EAF=45°在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE=a，在Rt△AEF中，则EF=a，AF=a，在Rt△BEF中，则BF=2a，∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，∴cos∠BAF===.故选：B.【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题.12.（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（）A.y=g（x）B.y=g（﹣x）C.y=﹣g（x）D.y=﹣g（﹣x）【分析】设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，代入解析式变形可得.【解答】解：设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，又∵函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，∴P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，∴必有﹣y=g（﹣x），即y=﹣g（﹣x）∴y=f（x）的反函数为：y=﹣g（﹣x）故选：D.【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13.（5分）的展开式中x2y2的系数为 70 .（用数字作答）【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数.【解答】解：的展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r••=•（﹣1）r••，令 8﹣=﹣4=2，求得 r=4，故展开式中x2y2的系数为=70，故答案为：70.【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题.14.（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为 5 .【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案.【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）.化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得.由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大.此时zmax=1+4×1=5.故答案为：5.【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.15.（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于.【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ=的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ=，计算求得结果.【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA==，圆的半径为r=，∴sinθ==，∴cosθ=，tanθ==，∴tan2θ===，故答案为：.【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题.16.（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（﹣∞，2].【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x的范围求出t 的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围.【解答】解：由f（x）=cos2x+asinx=﹣2sin2x+asinx+1，令t=sinx，则原函数化为y=﹣2t2+at+1.∵x∈（，）时f（x）为减函数，则y=﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=.∴，解得：a≤2.∴a的取值范围是（﹣∞，2].故答案为：（﹣∞，2].【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题.三、解答题17.（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B.【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）即可得出.【解答】解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=.∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.18.（12分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=13，a2为整数，且Sn≤S4.（1）求{an}的通项公式；（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn.【分析】（1）通过Sn≤S4得a4≥0，a5≤0，利用a1=13、a2为整数可得d=﹣4，进而可得结论；（2）通过an=13﹣3n，分离分母可得bn=（﹣），并项相加即可.【解答】解：（1）在等差数列{an}中，由Sn≤S4得：a4≥0，a5≤0，又∵a1=13，∴，解得﹣≤d≤﹣，∵a2为整数，∴d=﹣4，∴{an}的通项为：an=17﹣4n；（2）∵an=17﹣4n，∴bn===﹣（﹣），于是Tn=b1+b2+……+bn=﹣[（﹣）+（﹣）+……+（﹣）]=﹣（﹣）=.【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题.19.（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2.（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小.【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得. 【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=，作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB，∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，由AD==1可知D为AC中点，∴DF==，∴tan∠A1FD==，∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题.21.（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C 的交点为Q，且|QF|=|PQ|.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得 p的值，可得C的方程.（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|.把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|.由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程.【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px（p ＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=.又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）.故C的方程为 y2=4x.（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为 x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4. ∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）.又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为 x=﹣y+2m2+3.过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）.故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣1=0.【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题.22.（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）.（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明：＜an≤（n∈N*）.【分析】（Ⅰ）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性；（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式.【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）=，①当1＜a＜2时，若x∈（﹣1，a2﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，若x∈（a2﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，0）上是减函数，若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数.②当a=2时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，③当a＞2时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，若x∈（0，a2﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数，若x∈（a2﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函数. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞，（x＞0），又由（Ⅰ）知，当a=3时，f（x）在（0，3）上是减函数，当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜，下面用数学归纳法进行证明＜an≤成立，①当n=1时，由已知，故结论成立.②假设当n=k时结论成立，即，则当n=k+1时，an+1=ln（an+1）＞ln（），ak+1=ln（ak+1）＜ln（），即当n=k+1时，成立，综上由①②可知，对任何n∈N•结论都成立.【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大.20.（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立.（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.【分析】记Ai表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求. （Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PXi，再利用数学期望公式计算即可. 【解答】解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31.（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4P（X=0）=（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）=0.06P（X=1）=0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×（1﹣0.4）=0.25 P（X=4）=P（A2•B•C）=0.52×0.6×0.4=0.06，P（X=3）=P（D）﹣P（X=4）=0.25，P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06=0.38.故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，计算要有耐心，属于难题.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为.2.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=.3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是.4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是.6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm.7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是.8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是.11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是.12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是.13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是.14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值.16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O 正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn （n∈N*）成立.三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修41：几何证明选讲】21.（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D.【选修42：矩阵与变换】22.（10分）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值.【选修43：极坐标及参数方程】23.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于AB两点，则线段AB的长为.【选修44：不等式选讲】24.已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）25.（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）.26.（10分）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*. （1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（附详细答案）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1，3}.【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.2.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为 21 .【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论.【解答】解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，故z的实部为21，故答案为：21【点评】本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础.3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是 5 .【分析】算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，∵24=16＜20，25=32＞20，∴输出n=5.故答案为：5.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.【分析】首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可.【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，故所求概率P=.故答案为：.【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件.5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是.【分析】由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得=.根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出.【解答】解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴=.∵0≤φ＜π，∴，∴+φ=，解得φ=.故答案为：.【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题.6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 24 株树木的底部周长小于100cm.【分析】根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数.【解答】解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）.故答案为：24.【点评】本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=.7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是 4 . 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0.∵a8=a6+2a4，∴，化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2.∴a6===1×22=4.故答案为：4.【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题.8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比.【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===.故答案为：.【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目.9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.【分析】求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2.利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长.【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=故答案为：.【点评】本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题.10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0） .【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围.【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）.【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题.11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是﹣3 .【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案.【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，∴y′=2ax﹣，∴，解得：，故a+b=﹣3，故答案为：﹣3【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，是解答的关键.12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是 22 .【分析】由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案.【解答】解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22.【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键.13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，） .【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可.【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知.故答案为：（0，）.【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用.14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.【分析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论.。
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文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合[0,5]U =,2{|230,}A x x x x N =--<∈，B=0,11,3)(3,5)⋃⋃（）（,则()U A C B ⋂=() A.{0，1，2) B.{1,0，1,2,3} C. {0，1} D.{2} 2.已知z=2(1)23i i++(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知函数2()2sin ()4f x x π=+，则下列结论正确的是( )A. ()f x 是奇函数B. x =4π-是()f x 一条对称轴 C. ()f x 的最小正周期为2π D. (4π-,0)是()f x 的一条对称轴 4.已知命题p ⌝:存在x ∈(1,2)使得0x e a ->,若p 是真命题，则实数a 的取值范围为 A.(2e ,+∞) B.[2e ,+∞) C.(∞,e ) D.(∞,e ]5.执行如下图所示的程序框图，则输出的i 值为( )A ．3 B.4 C.5 D.66. 《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问第十日所织尺数为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．157.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积为（ ）A.3πB.154π33π6π8.已知变量,x y 满足240220x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则z =2222x y x y +++的取值范围是（ ）A ．[8,23] B.[8,25]C.[6,23] D.[6,25]9.已知函数()()sin f x A ωx φ=+002πA ωφ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示，若将()f x 的图象上所有点向右平移12π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调增区间为（ ）A.[,]36k k ππππ-+,k Z ∈B.2[+,]63k k ππππ+,k Z ∈ C.[,]1212k k ππππ-+,k Z ∈ D.7[,]1212k k ππππ--,k Z ∈ 10.已知过抛物线2163y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，交其准线于C 点,已知CB =3BF ,则线段AB 的中点M 到准线的距离为( ).A ．83B ．3C ．163D ． 6 11.已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率5，则该双曲线的一条渐近线被圆C ：22230x y x +--=截得的弦长为（ ）A ．45B ．85C ．3D ．2 12.设点P 在曲线ln y x =上，点Q 在曲线11(0)y x x=->上，点R 在直线y x =上，则||||PR RQ +的最小值为 （ ）A ．2(1)2e -B ．2(1)e -C ．22D ．2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量,a b 满足|a |=1,|2|a b -=23a 在b 方向的投影为12，则(+2)b a b •=.14.如图所示，在△DEF 中，M 是在线段DF 上，DE =3，DM =EM =2，sin F ∠=35,则边EF 的长为.15.已知直线110l ax y ++=：（0a >）与直线2:(4)20l x b y +-+=（0b >）垂直，则22a b +的最小值为.16.已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足()3(2)f x f x =+，当)2,0[∈x 时，1122+101()log 24x x f x x x -⎧≤≤⎪=⎨<<⎪⎩，，1，设)(x f 在)2,22[n n -上的最大值为)(*∈N n a n ，且}{n a 的前n 项和为n S ，则n S =．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本大题满分12分）在数列{n a }中，1a =1,点（n a ，1n a +）在函数32y x =+图象上.（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）求数列{n na }的前n 项和n T .18.（本大题满分12分）为了迎接12月16日至12月18日在浙江乌镇召开的第二届国际互联网大会乌镇峰会，组委会对报名参服务的1500名加志愿者进行互联网知识测试，从这1500名志愿者中采用随机抽样的方法抽取15人，所得得到成绩如下：57，63，65,68,72,77,78,78，79,80,83,85，88,90,95（Ⅰ）作出抽取15人的测试成绩的茎叶图，根据茎叶图估计志愿者的测试成绩分布情况，写出统计结论，以频率为概率，估计这1500志愿者中成绩在90分以上（包含90分）的人数；（Ⅱ）从抽取的15名志愿者成绩在80分以上（包含80分）志愿者中，随机选3名志愿者参加某项活动，求选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的概率.19.（本大题满分12分）在如图所示三棱锥D —ABC 中，AD DC ⊥，，，∠BAC=45°，平面平面，,E F 分别在,BD BC ，且2DE EB =，2BC BF =，．（Ⅰ）求证：BC ⊥AD ；（Ⅱ）求平面AEF 将三棱锥D ABC -分成两部分的体积之比．20.（本大题满分12分）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>左右焦点，过1F 的直线交椭圆于,C D 两点，△2CDF 的周长为8，椭圆的离心率为12. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l 与椭圆E 交于,A B 且OA OB ⊥，求证原点O 到直线l 的距离为定值．21.（本大题满分12分）已知函数2()(21)(1)ln f x a x ax a x =+--+-，其中a R ∈ .（Ⅰ）当a =1时，求()f x 的极值；（Ⅱ）当1x ≥时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围.请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本题满分10分）选修4—1几何证明选讲如图所示，在四边形ABCD 中，AC 交BD 于点E ，AE EC BE DE ⨯=⨯.（Ⅰ）求证：A 、B 、C 、D 四点共圆;（Ⅱ）过D 作四边形ABCD 外接圆的切线交BC 的延长线于F ，BD CF DF BC ⨯=⨯,求证：DC 平分BDF ∠.23.（本题满分10分）选修4—4 坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 和及坐标系中，极点与原点重合，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为123x t y t=-⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C ：24sin 20ρρθ-+=． （Ⅰ）将直线l 的方程化为普通方程，将曲线C 的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线交于,A B ，求||AB ．24.（本题满分10分）选修4—1不等式选讲已知函数()22f x x a x =+--.（Ⅰ）当1a =时，求不等式()2f x <的解集；（Ⅱ）若存在实数x 使()2+3f x x ≥-成立，求a 的取值范围.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的模长为（）A．B． C．D．22．（5分）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．（1，2]3．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A． B． C． D．4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p45．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．606．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）A．B．C．D．7．（5分）使得（3x+）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4 B．5 C．6 D．78．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（）A．b=a3 B．C．D．10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣1612．（5分）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．14．（5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=．15．（5分）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=．16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．18．（12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．19．（12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．20．（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．（Ⅰ）求P的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．21．（12分）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。