2.3.1离散型随机变量的数学期望
人教新课标版数学高二人教B版选修2-3学案 离散型随机变量的数学期望
2.3随机变量的数字特征2．3.1 离散型随机变量的数学期望[对应学生用书P34]设有12个西瓜，其中重5 kg 的有4个，重6 kg 的有3个，重7 kg 的有5个．问题1：任取一个西瓜，用X 表示这个西瓜的重量，试想X 可以取哪些值？ 提示：X ＝5,6,7.问题2：X 取上述值时对应的概率分别是多少？ 提示：13，14，512.问题3：试想每个西瓜的平均重量该如何求？ 提示：5×4＋6×3＋7×512＝5×13＋6×14＋7×512.1．离散型随机变量的均值或数学期望设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是x 1，x 2，…，x n ，这些值对应的概率是p 1，p 2，…，p n 则E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．2．超几何分布与二项分布的均值若离散型随机变量X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ；若离散型随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，则E (X )＝nMN.1．对离散型随机变量均值的理解：(1)离散型随机变量的均值E (X )是一个数值，是随机变量X 本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．(2)随机变量的分布相同，则它们的均值一定相同；有相同均值的两个分布未必相同；两个不同的分布也可以有相同的均值．2．离散型随机变量的均值和样本均值之间的区别随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本的不同而变化．[对应学生用书P34]求离散型随机变量的期望盒中装有5池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X 的分布列及期望．明确X 的取值，并计算出相应的概率，列出分布列后再计算期望． X 可取的值为1,2,3，则P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝25×34＝310，P (X ＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X 的分布列为X 1 2 3 P35310110E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝1.5.求离散型随机变量的均值的步骤：(1)根据随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值； (2)求X 取每个值的概率； (3)写出X 的分布列； (4)由期望的定义求出E (X )．1．从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数乘积的数学期望是________． 解析：从1,2,3,4,5中任取不同的两个数，其乘积X 的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每个值的概率都是110，∴E (X )＝110×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)＝8.5.答案：8.52．(江西高考)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种，X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为：X －2 －1 0 1 P1145142727E (X )＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－314.二项分布与超几何分布的均值和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X ，求X 的概率分布列及数学期望E (X )．(1)利用对立事件发生的概率去求；(2)X 服从二项分布，列出X 的值并求其概率，列出概率分布列，并求其数学期望． (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ， 那么P (C )＝1－P (C )＝1－110·p ＝4950.解得p ＝15.(2)由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3.故P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫1103＝11 000， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫1102×⎝⎛⎭⎫1－110＝271 000， P (X ＝2)＝C 23110×⎝⎛⎭⎫1－1102＝2431 000， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫1－1103＝7291 000. 所以随机变量X 的概率分布列为X 0 1 2 3 P11 000271 0002431 0007291 000故随机变量X 的数学期望：E (X )＝0×11 000＋1×271 000＋2×2431 000＋3×7291 000＝2710.1．若题中离散型随机变量符合两点分布、二项分布、超几何分布，可直接代入公式求得期望．2．常见的三种分布的均值 设p 为一次试验中成功的概率，则 (1)两点分布E (X )＝p ； (2)二项分布E (X )＝np ；(3)超几何分布，即X ～H (n ，M ，N )，则E (X )＝nMN.3．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X 表示取到次品的个数，则E (X )等于( )A.35 B.815C.1415D ．1解析：法一：P (X ＝0)＝C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 17C 13C 210＝715，P (X ＝2)＝C 23C 210＝115.∴E (X )＝1×715＋2×115＝35.法二：由题意知X 服从N ＝10，M ＝3，n ＝2的超几何分布，则E (X )＝nM N ＝35.答案：A4．若将例1中的无放回改为有放回，并去掉条件“直到取到好电池为止”，求检验5次取到好电池次数X 的数学期望．解：每次检验取到好电池的概率均为35，故X ～B (5，35)，则E (X )＝5×35＝3.5．某运动员投篮命中率为p ＝0.6. (1)求投篮1次时命中次数X 的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望． 解：(1)投篮1次，命中次数X 的分布列如下表：X 0 1 P0.40.6则E (X )＝p ＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)．则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3.离散型随机变量期望的实际应用 (12利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲 乙首次出现故障的时间x (年)0＜x ≤1 1＜x ≤2 x ＞2 0＜x ≤2 x ＞2 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元)1231.82.9(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．对(1)、(2)根据表中的数据利用古典概型概率公式求概率和分布列．对(3)分别求出X 1、X 2的期望，比较大小作出判断．(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝2＋350＝110.(2分)(2)依题意得，X 1的分布列为X 1 1 2 3 P125 350 910(4分)X 2的分布列为X 2 1.8 2.9 P110 910(6分)(3)由(2)得，E (X 1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．(8分)因为E (X 1)＞E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车． (12分)解答此类题目时，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望，并根据期望的大小作出判断．6．某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全部命中奖励40元，命中4发不奖励，也不必付款，命中3发或3发以下，应付款2元．现有一游客，其命中率为0.5.(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率； (2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值．解：(1)设5发子弹命中X (X ＝0,1,2,3,4,5)发，则由题意有P (X ＝5)＝C 550.55＝132. (2)X 的分布列为X 0 1 2 3 4 5 P13253210321032532132于是Y 的分布列为Y －2 0 40 P2632532132E (Y )＝(－2)×2632＋0×532＋40×132＝－0.375(元)．7．两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4、0.1、0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1、0.6、0.3，那么两名战士获胜希望较大的是谁？解：设这次射击比赛战士甲得X 1分，战士乙得X 2分，则分布列分别如下：X 1 1 2 3 P0.40.10.5X 2 1 2 3 P0.10.60.3根据均值公式，得E (X 1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1； E (X 2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2. E (X 2)>E (X 1)，故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，所以乙获胜希望大．1．随机变量的期望反映的是离散型随机变量取值的平均水平．在实际问题的决策中，往往把期望最大的方案作为最佳方案进行选择．2．二项分布的数学期望是求期望的一种常见形式，在理解的基础上应熟练记住．对于二项分布的解答，如果采用E (X )＝np ，会大大减少运算量．[对应课时跟踪训练(十五)]1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X 的期望是( )A ．0.2B ．0.8C ．1D ．0解析：因为P (X ＝1)＝0.8，P (X ＝0)＝0.2， 所以E (X )＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 答案：B2．已知X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12，Y ～B ⎝⎛⎭⎫n ，13，且E (X )＝15，则E (Y )＝( ) A ．15 B ．20 C ．5D ．10解析：因为X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12，所以E (X )＝n2，又E (X )＝15，则n ＝30.由于Y ～B ⎝⎛⎭⎫n ，13，可得Y ～B ⎝⎛⎭⎫30，13，故E (Y )＝30×13＝10. 答案：D3．现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是( )A ．6B ．7.8C ．9D ．12解析：设此人的得奖金额为X ，则X 的所有可能取值为12,9,6.P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115，P (X＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，故E (X )＝7.8.答案：B4．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的期望为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4解析：X 的可能取值为3,2,1,0，P (X ＝3)＝0.6；P (X ＝2)＝0.4×0.6＝0.24；P (X ＝1)＝0.42×0.6＝0.096；P (X ＝0)＝0.43＝0.064.所以E (X )＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＝2.376.答案：C5．设随机变量X 等可能地取1,2,3，…，n ，若P (X <4)＝0.3，则E (X )等于________． 解析：根据题意，X 取1,2,3，…，n 的概率都是1n ，则P (X <4)＝3n ＝0.3，解得n ＝10，则E (X )＝1×110＋2×110＋…＋10×110＝5.5.答案：5.56．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.解析：因为P (X ＝0)＝112＝(1－p )2×13，所以p ＝12.随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因此P (X ＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×(12)2＋23×(12)2＝13，P (X ＝2)＝23×(12)2×2＋13×(12)2＝512，P (X ＝3)＝23×(12)2＝16，所以E (X )＝1×13＋2×512＋3×16＝53.答案：537．(浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．(1)求X 的分布列； (2)求X 的数学期望E (X )． 解：(1)由题意得X 取3,4,5,6，且P (X ＝3)＝C 35C 39＝542，P (X ＝4)＝C 14·C 25C 39＝1021，P (X ＝5)＝C 24·C 15C 39＝514，P (X ＝6)＝C 34C 39＝121.所以X 的分布列为X 3 4 5 6 P5421021514121(2)由(1)知E (X )＝3·P (X ＝3)＋4·P (X ＝4)＋5·P (X ＝5)＋6·P (X ＝6)＝133. 8．小明家住C 区，他的学校在D 区，从家骑自行车到学校的路有L 1，L 2两条路线(如图)，L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为23；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走L 1路线，求至少遇到1次红灯的概率； (2)若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．解：(1)法一：设“走L 1路线至少遇到一次红灯”为事件A ， 则P (A )＝C 13×23×(13)2＋C 23×(23)2×13＋C 33×(23)3×(13)0＝2627， 所以走L 1路线，至少遇到一次红灯的概率为2627.法二：设“走L 1路线没有遇到一次红灯”为事件A ，则“走L 1路线至少遇到一次红灯”为事件A －，故P (A )＝(1－23)(1－23)(1－23)＝13×13×13＝127，所以P (A －)＝1－P (A )＝1－127＝2627，高中数学-打印版校对打印版 所以走L 1路线，至少遇到一次红灯的概率为2627. (2)依题意，X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝(1－34)×(1－35)＝110， P (X ＝1)＝34×(1－35)＋(1－34)×35＝920， P (X ＝2)＝34×35＝920. 随机变量X 的分布列为所以E (X )＝110×0＋920×1＋920×2＝2720. (3)设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，Y ～B (3，23)，所以E (Y )＝3×23＝2>E (X )，所以应选择L 2路线．。
三段式学案3 ：2.3.1离散型随机变量的数学期望
离散型随机变量的数学期望【学习目标】1.了解加权平均的意义，学会根据离散型随机变量的分布列计算均值；2.理解离散型随机变量的均值含义；3.熟练掌握两点分布和二项分布中随机变量的均值计算。
【学习重难点】1.了解随机变量均值的含义；2.二项分布随机变量均值公式的推导。
探究案问题1：某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？问题2：某商场要将单价分别为18元/kg 、24元/kg 、36元/kg 的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？【继续探究】问题1： 如果混合糖果中每粒糖果的质量都相等，我们把混合糖果搅拌充分均匀，那么我们从中任取1颗糖果，这颗糖果的单价X 的分布列是多少？问题2：如果你买了1kg 这种混合糖果，你要付多少钱？而你买的糖果的实 际价值刚好是23元吗？新知1：均值或数学期望： 若离散型随机变量X 的分布列为：X 1x 2x … i x … n x P1p2p…i p…n p则称 ）（X E 为随机变量X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的 ．它与随机变量本身有相同的单位．试一试：已知随机变量X 的分布列为：X0 1 2 3 4 5 P0.10.20.30.20.10.1求）（X E ．新知2：离散型随机变量期望的性质：若b aX Y +=，其中b a ,为常数，则Y 也是随机变量，且()E aX b += ． 特别的，（1）0a =时，()E b = ；（2）当1a =时，()E X b += ． （3）当0b =时，()E aX = ．注意：随机变量的均值与样本的平均值的区别：随机变量的均值是 ，而样本的平均值是 ；联系：对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越 总体均值．※ 典型例题例1已知随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P121316且Y ＝aX ＋3，若E (Y )＝－2，求a 的值．练习1：随机变量X 的分布列为则E (5X+4)等于新知3：几种分布的期望①若X 服从两点分布，则=)(X E ； ②若X ～),(p n B ，则=)(X E ．例2．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为12，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响．(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．练习2．一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个，分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值．例3．在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望．练习3．甲、乙两人独立解出某一道题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率为0.36.求：(1)甲独立解出该题的概率；(2)解出该题的人数ξ的数学期望．【总结提升】1．随机变量的均值；2．几种分布的期望．训练案1．设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，又X的数学期望E(X)＝3，则a＋b＝________.2．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：x123P(ξ＝x)？！？请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________.3．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E (ξ)＝________(结果用最简分数表示)．4.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望．5．某人有10万元，准备用于投资房地产或购买股票，如果根据下面的盈利表进行决策，那么应选择哪一种决策方案？盈利状况方案盈利(万元)概率购买股票投资房地产巨大成功 0.3 10 8 中等成功 0.5 3 4 失败 0.2－5－4答案例1【解析】 E (X )＝1×12＋2×13＋3×16＝53，∴E (Y )＝E (aX ＋3)＝aE (X )＋3＝53a ＋3＝－2，∴a ＝－3.练习1. 【解析】∵E (X )=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2,∴E (5X+4)=5E (X )+4=11+4=15.例2.【解析】(1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，因此ξ～B 1(4,)2． ∴P (ξ＝0)＝04411()216C ⨯=，P (ξ＝1)＝1441()2C ⨯＝14，P (ξ＝2)＝2441()2C ⨯＝38， P (ξ＝3)＝3441()2C ⨯＝14，P (ξ＝4)＝4441()2C ⨯＝116. 其分布列为(2)∵ξ～B 1(4,)2，∴E (ξ)＝4×12＝2. 又由题意可知η＝2 300－100ξ，∴E (η)＝E (2 300－100ξ)＝2 300－100E(ξ)＝2 300－100×2＝2 100元． 即所求变量η的期望为2100元．练习2：【解析】 设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X 1和X 2，则X 1～B (20,0.9)，X 2～B (20,0.25)，所以E (X 1)＝20×0.9＝18，E (X 2)＝20×0.25＝5.由于每题选对得5分，所以学生甲和学生乙在这项测验中的成绩分别是5X 1和5X 2.这样，他们在测验中的成绩的期望分别是E (5X 1)＝5E (X 1)＝5×18＝90，E (5X 2)＝5E (X 2)＝5×5＝25.例3：【解析】从10件产品中任取3件，共有310C 种结果．从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为337k kC C -，其中k ＝0,1,2,3. ∴P (X ＝k )＝337310k kC C C -，k ＝0,1,2,3. 所以随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910. 练习3：【解析】(1)设甲、乙独立解出该题的概率均为p ，则该题不能被甲且不能被乙解出的概率为2(1)p -，由题意知1－2(1)p -＝0.36，解得p ＝0.2. (2)解出该题的人数ξ的可能取值为0,1,2， 故分布列为∴E (ξ)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.训练案1.【解析】 由题意，得a (1＋2＋3＋4)＋4b ＝1， 即10a ＋4b ＝1，再由E (X )＝3，得a ＋b ＋2(2a ＋b )＋3(3a ＋b )＋4(4a ＋b )＝3， 即30a ＋10b ＝3， 解得b ＝0，a ＝110.故a ＋b ＝110.【答案】1102.【解析】 令“？”为a ，“！”为b ，则2a ＋b ＝1. ∴E (ξ)＝a ＋2b ＋3a ＝2(2a ＋b )＝2. 【答案】 23.【解析】 由题意知，ξ的可能取值为0,1,2，则P (ξ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (ξ＝1)＝C 15C 12C 27＝1021，P (ξ＝2)＝C 22C 27＝121.∴ξ的分布列为ξ 0 1 2 P10211021121∴ξ的数学期望E (ξ)＝0×1021＋1×1021＋2×121＝1221＝47.【答案】 474.【解析】 (1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”， A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”， A 表示事件“第4局甲当裁判”， 则A ＝A 1·A 2，P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14.(2)X 的可能取值为0,1,2.设A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (B 1·B 3)＝P (B 1)P (B 3)＝14，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－18－14＝58，故EX ＝0·P (X ＝0)＋1·P (X ＝1)＋2·P (X ＝2)＝98.5.【解析】 设购买股票的盈利为X ，投资房地产的盈利为Y ， 则购买股票的盈利的数学期望E (X )＝10×0.3＋3×0.5＋(－5)×0.2＝3＋1.5－1＝3.5. 投资房地产的盈利的数学期望E (Y )＝8×0.3＋4×0.5＋(－4)×0.2＝2.4＋2－0.8＝3.6. 因为E (Y )＞E (X )，所以投资房地产的平均盈利高，故选择投资房地产.。
学案5：2.3.1 离散型随机变量的数学期望
2.3.1 离散型随机变量的数学期望学习目标导航1.理解离散型随机变量的数学期望的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出数学期望.(重点)2.掌握二点分布、二项分布的数学期望.(重点)3.会利用离散型随机变量的数学期望解决一些相关问题.(难点)[基础·初探]教材整理1 离散型随机变量的数学期望 阅读教材，完成下列问题. 1.定义一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是x 1，x 2，…，x n ，这些值对应的概 率是p 1，p 2，…，p n ，则E (X )＝ 叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望(简称期望). 2.意义刻画了离散型随机变量的 .随手练1.下列说法正确的有________(填序号).①随机变量X 的数学期望E (X )是个变量，其随X 的变化而变化； ②随机变量的均值反映样本的平均水平；③若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则E (2X )＝4； ④随机变量X 的均值E (X )＝x 1＋x 2＋…＋x nn.2.已知离散型随机变量X 的分布列为：X 1 2 3 P35310110则X 的数学期望E (X )＝________. 3.设E (X )＝10，则E (3X ＋5)＝________. 教材整理2 常见几种分布的数学期望 阅读教材，完成下列问题.名称 二点分布 二项分布 超几何分布 公式E (X )＝E (X )＝ E (X )＝nM N随手练1.若随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫4，13，则E (X )的值为________. 2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分.已知他命中的概率为0.8，则罚 球一次得分X 的期望是________. 类型1 二点分布与二项分布的数学期望 例1.某运动员投篮命中率为p ＝0.6.(1)求投篮1次时命中次数X 的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望.【精彩点拨】 (1)利用二点分布求解.(2)利用二项分布的数学期望公式求解. 名师指津1.常见的两种分布的均值设p 为一次试验中成功的概率，则 (1)二点分布E (X )＝p ； (2)二项分布E (X )＝np .熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度. 2.二点分布与二项分布辨析(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生. (2)不同点：①随机变量的取值不同，二点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x ＝0,1,2，…，n .②试验次数不同，二点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n 次试验. [再练一题]1.(1)某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A.100B.200C.300D.400(2)已知某离散型随机变量X 服从的分布列如下，则随机变量X 的数学期望E (X )等于( )X 0 1 Pm 2mA.19 B.29 C.13D.23类型2 求离散型随机变量的数学期望例2.在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值.【精彩点拨】(1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率；(2)先求出ξ的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值.名师指津求离散型随机变量ξ的数学期望的步骤1.根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值.2.求出ξ的每个值的概率.3.写出ξ的分布列.4.利用定义求出数学期望.其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识. [再练一题]2.盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及数学期望.[探究共研型]探究点离散型随机变量的均值实际应用探究1某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，则他罚球一次的得分X可以取哪些值？X取每个值时的概率是多少？探究2在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？探究3在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？例3.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【精彩点拨】根据利润的意义写出ξ的取值→写出ξ的分布列→求出数学期望E X→利用期望回答问题名师指津1.实际问题中的期望问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的期望来进行估计.2.概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些.(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的期望.(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论.[再练一题]3.甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X 稳定在7,8,9,10环.将它们的比赛成绩画成频率分布直方图如图231甲和图乙所示.图231(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P (X 乙＝8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大).当堂检测1.一名射手每次射击中靶的概率为0.8，则独立射击3次中靶的次数X 的数学期望是( )A.0.83B.0.8C.2.4D.32.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的均值为( )A.13B.23C.2D.833.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ 7 8 9 10 Px0.10.3y已知ξ的均值E (ξ)＝8.9，则y 的值为________.4.设离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3，P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3).又X 的均值E (X )＝3，则a ＋b ＝________.5.袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X 表示取得的分数.求：(1)X 的分布列；(2)X的均值.参考答案[基础·初探]教材整理11.x1p1＋x2p2＋…＋x n p n2.平均取值水平.随手练1.【解析】 ①错误，随机变量的数学期望E (X )是个常量，是随机变量X 本身固有的一个数字特征.②错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平.③正确，由均值的性质可知.④错误，因为E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n . 【答案】 ③2.【解析】 E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.【答案】 323.【解析】 E (3X ＋5)＝3E (X )＋5＝3×10＋5＝35. 【答案】 35 教材整理2 P np随手练1.【解析】 E (X )＝np ＝4×13＝43.【答案】 432.【解析】 因为P (X ＝1)＝0.8，P (X ＝0)＝0.2，所以E (X )＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 【答案】 0.8例1.【解】 (1)投篮1次，命中次数X 的分布列如下表：X 0 1 P0.40.6则E (X )＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)，则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3. [再练一题]1.【解析】 (1)由题意可知，补种的种子数记为X ，X 服从二项分布，即X ～B (1 000,0.1)，所以不发芽种子的数学期望为1 000×0.1＝100.所以补种的种子数的数学期望为2×100＝200. (2)由题意可知m ＋2m ＝1，所以m ＝13，所以E (X )＝0×13＋1×23＝23.【答案】 (1)B (2)D例2.【解】 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数.(1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 26＝1－15＝45.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P (ξ＝0)＝5C 26＝13，P (ξ＝1)＝4C 26＝415，P (ξ＝2)＝3C 26＝15，P (ξ＝3)＝2C 26＝215，P (ξ＝4)＝1C 26＝115. 从而知ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 P1341515215115所以E (ξ)＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.[再练一题]2.【解】 X 可取的值为1,2,3，则P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝25×34＝310，P (X ＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X 的分布列为X 1 2 3 P35310110E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.探究1【提示】 随机变量X 可能取值为0,1.X 取每个值的概率分别为P (X ＝0)＝0.3，P (X ＝1)＝0.7.探究2【提示】 每次平均得分为810＝0.8.探究3【提示】 在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0×0.3＋1×0.7＝0.7(分).因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X 的数学期望来描述他总体得分的平均水平.具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X 的均值的一个分数.例3.【解】 (1)X 的所有可能取值有6,2,1，－2.P (X ＝6)＝126200＝0.63，P (X ＝2)＝50200＝0.25，P (X ＝1)＝20200＝0.1，P (X ＝－2)＝4200＝0.02.故X 的分布列为：X621－2P 0.63 0.25 0.1 0.02(2)E (X )＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.(3)设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为 E (X )＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x )＋1×x ＋(－2)×0.01 ＝4.76－x (0≤x ≤0.29).依题意，E (X )≥4.73，即4.76－x ≥4.73， 解得x ≤0.03，所以三等品率最多为3%. [再练一题]3.【解】 (1)由图乙可知P (X 乙＝7)＝0.2，P (X 乙＝9)＝0.2，P (X 乙＝10)＝0.35.所以P (X 乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.同理P (X 甲＝7)＝0.2，P (X 甲＝8)＝0.15，P (X 甲＝9)＝0.3， 所以P (X 甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35. P (X 甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.(2)因为E (X 甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10× 0.35＝8.8，E (X 乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7， 则有E (X 甲)>E (X 乙)，所以估计甲的水平更高.当堂检测1.【解析】 E (X )＝3×0.8＝2.4. 【答案】 C2.【解析】 X 的取值为2,3.因为P (X ＝2)＝1C 23＝13，P ＝(X ＝3)＝C 12C 23＝23.所以E (X )＝2×13＋3×23＝83.【答案】 D3.【解析】 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝17x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0.67x ＋10y ＝5.4，解得y ＝0.4. 【答案】 0.44.【解析】 ∵P (X ＝1)＝a ＋b ，P (X ＝2)＝2a ＋b ， P (X ＝3)＝3a ＋b ，∴E (X )＝1×(a ＋b )＋2×(2a ＋b )＋3×(3a ＋b )＝3， ∴14a ＋6b ＝3.①又∵(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＝1， ∴6a ＋3b ＝1.②∴由①②可知a ＝12，b ＝－23，∴a ＋b ＝－16.【答案】 －165.【解】 (1)由题意知，X 可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝0)＝C 24C 29＝16，P (X ＝1)＝C 13C 14C 29＝13，P (X ＝2)＝C 14C 12＋C 23C 29＝1136， P (X ＝3)＝C 12C 13C 29＝16，P (X ＝4)＝C 22C 29＝136.故X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P1613113616136(2)E (X )＝0×16＋1×13＋2×1136＋3×16＋4×136＝149.。
离散型随机变量的均值与方差-期望值 人教课标版精品课件
解:因为商场内的促销活动可获效益2万元 设商场外的促销活动可获效益万元,则的分布列
10 －4 P 0.6 0.4 所以E=10×0.6＋(-4) ×0.4=4.4
因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.
学习小结:
1、本节课学习了离散型随机变量ξ的期望及公式： （1）E(aξ+b)=aEξ+b; （2）若ξ～B（n,p），则Eξ=np 2、会根据离散型随机变量的分布列求出期望。
aE b
即 E(a b) aE b
练习一 (巩固定义)
练习一
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P 0.5 0.3 0.2
(1)则Eξ=
2.4 .
(2)若η=2ξ+1，则Eη=
5.8 .
2、随机变量ξ的分布列是
ξ 4 7 9 10 P 0.3 a b 0.2
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4.
小心翼翼珍藏着，和母亲在一起的美好时光。母亲身体一直不好，最后的几年光景几乎 长大后，才发现生活不像我们想象的那样的简单，我们时刻面临着不同的选择，学习、工作、家庭……我们总是小心翼翼，在每一条路上，我们总是想追求最好的，努力付出过后，结局如何，只有我们自己慢慢去体会。
随机变量的期望值计算
随机变量的期望值计算随机变量的期望值是概率论中一个非常重要的概念，它代表了随机变量在一次试验中平均取值的大小。
在实际问题中，计算随机变量的期望值可以帮助我们更好地理解问题的特性和规律。
本文将介绍随机变量的期望值的计算方法，包括离散型随机变量和连续型随机变量的情况。
一、离散型随机变量的期望值计算对于离散型随机变量X，其取值为有限个或可数个，记为{x1,x2, ..., xn}，对应的概率分布为{p1, p2, ..., pn}，则随机变量X的期望值E(X)的计算公式为：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn其中，xi为随机变量X的取值，pi为对应的概率。
通过这个公式，我们可以计算出离散型随机变量的期望值。
例如，假设有一个随机变量X的取值为{1, 2, 3, 4}，对应的概率分布为{0.1, 0.2, 0.3, 0.4}，那么随机变量X的期望值E(X)的计算如下：E(X) = 1*0.1 + 2*0.2 + 3*0.3 + 4*0.4 = 2.8因此，随机变量X的期望值为2.8。
二、连续型随机变量的期望值计算对于连续型随机变量X，其取值为一个区间[a, b]，概率密度函数为f(x)，则随机变量X的期望值E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(a到b) x*f(x) dx其中，f(x)为随机变量X的概率密度函数。
通过这个公式，我们可以计算出连续型随机变量的期望值。
例如，假设有一个连续型随机变量X的概率密度函数为f(x) = 2x，取值区间为[0, 1]，那么随机变量X的期望值E(X)的计算如下：E(X) = ∫(0到1) x*2x dx = 2∫(0到1) x^2 dx = 2*[x^3/3] (0到1) = 2/3因此，随机变量X的期望值为2/3。
三、随机变量的期望值计算的应用随机变量的期望值计算在概率论和统计学中有着广泛的应用。
通过计算随机变量的期望值，我们可以得到随机变量的平均取值大小，从而更好地理解问题的特性和规律。
人教高中数学选修2-3第二章 2.3.1离散型随机变量的数学期望(共24张PPT)
B 表示事件：该地的 1 位车主购买乙种保险但不购 买甲种保险； C 表示事件：该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种 保险中的1种；
D 表示事件：该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不 购买． (1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝AUB，
P(C)＝P(AUB)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝ C ，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，
练习：
1、某射手射击所得环数ξ 的分布列如下：
ξ p 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.22
能否估计出该射手n次射击的平均环数？
8.32
2、甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下， 他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表 示， X1，X2的概率分布下：
甲选项正确的个数X~B(12，0.9) E(X)=10.8
甲得分Y=5X E(Y)=54
乙的选项正确的个数Z~B(12,0.25) E(Z)=3 乙得分Z`=5Z E(Z`)=15
例4 一个袋子里装有大小相同的5个白球和4个黑
球，从中任取3个，求其中所含白球个数的期望.
X P
0 4/84
1 30/84
离散型随机变量的数学期望
某校为了解学生迟到情况，每天记录迟到人 数.下表是在100天中的记录.计算每天平均有 问题：已知分布列如何求均值？ 多少人迟到？
人数 天数 0 30 1 30 2 20 3 20
解法1:(0×30+1×30+2×20+3×20)/100=1.3
X P 0
30/100
1
30/100
事件首次发生所需要的试验次数X服从几何分布. 超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中 有一类物品的件数为M，从所有物品中任取n件 （n不超过N），这n件中所含的这类物品的件数
2.3.1离散型随机变量的期望
回答问题1、2
学习小结:
1、本节课学习了离散型随机变量ξ的期望及公式：
（1）E(aξ+b)=aEξ+b;
（2）若ξ～B（n,p），则Eξ=np 2、会根据离散型随机变量的分布列求出期望。
思考2. 有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢8 元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢．这场 赌博对你是否有利?
解 用X1、X2和X3分别表示三种方案的损 . 失 采用第 种方案,无论有无洪水都损失38 000 1 , 元,即X1 38 000.
采用第2 种方案, 遇到大洪水时损失 2 000 , 60 000 62 000;没有大洪水时损失2 000元, , 62 000, 有大洪水; 即 X2 2 000, 无大洪水. 同样,采用第3种方案,有
24元 / kg
36元 / kg
?元 / kg
它是三种糖果价格的一 种加权平均.这里 1 1 1 的权数分别是 , 和 . 2 3 6
权是秤锤,权数是起权衡轻重作用的数
值.加权平均是指在计算若干个数量的平 均数时, 考虑到每个数量在总量中所具有 的重要性不同 分别给予不同的权数 , .
思考 如果混合糖果中每一颗 糖果的质量 都相等, 你能解释权数的实际含 义吗?
根据古典概型 在混合糖果中任取一颗糖果它的 , , , 单价为18元 / kg, 24元 / k, 36元 / kg 的概率分别为 1 1 1 , 和 .用X表示这颗糖果的价格则它是一个离 , 2 3 6 散型随机变量 其分别列为 ,
思考 随机变量的均值与样本 的平均值有何联系 与区别? 可以看到 随机变量的均值是常数而样本的平均值 , , 是随机变量.对于简单随机样本 随着样本容量增加 , , 样本平均值越来越接近 于总体均值. 思考 在实际问题中如何估计随机变量的总 , 体均 值呢?
2.3.1离散型随机变量的数学期望doc
2.3.1离散型随机变量的数学期望一、课标点击(一)学习目标：理解取有限个值的离散型随机变量的数学期望的概念，会求简单离散型随机变量的数学期望，并能根据概念解决一些一些简单问题.(二)教学重、难点： 二、教学过程: （一）知识链接1、离散型随机变量的分布列2、离散型随机变量分布列的性质：(1) (2) （二）问题导引有甲乙两块玉米田，从中各抽出100株，测得高度（数值），如何判断哪块玉米长的好？ (三)自主探究1、离散型随机变量取值的平均水平——数学期望 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则ξ的数学期望（或平均数、均值）思考与讨论:1.(,),()X B n p E X np =若～则2.若随机变量X 服从参数为p 的二点分布，则()()101E X p p p =⨯+⨯-=3.若随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则().E X np =4.若随机变量X 服从参数为N ,M 和N 的超几何分布，则().nME X N=5.设η＝a ξ＋b ，其中a ，b 为常数，则η也是随机变量． （1） η分布列是什么？ （2） E η=？(四) 典例探讨例1 一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的期望。
例2 根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.设工地上有一台大型设备，为保护设备有这样三种方案。
方案1：运走设备，此时需花费3800元。
方案2：建一保护围墙，需花费2000元。
但围墙无法防止大洪水，当大水来临，设备受损，损失6000元。
方案3：不采取措施，希望不发生洪水。
此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失10000元。
是比较哪一种方案好？1．袋子里装有大小相同的5个白球，4个黑球，从中任取2个，求其中所含白球个数的期望2．班上有45名同学，其中30名男生，15名女生，随机抽查了5名同学的作业，用X 表示抽查女生的人数，求E(X).(七)当堂检测1.随机变量ξ的分布列是(1)则E ξ= .(2)若η=2ξ+1，则E η=2、 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分ξ的期望为3 、随机抛掷一个骰子，所得骰子的点数为随机变量ξ. (1)求抛掷骰子所得点数ξ的概率分布列（2)求抛掷骰子所得点数ξ的期望A 组 一选择题1、一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从中同时取2个，则其中含红球个数的数学期望是2、随机变量ξ的分布列是E ξ=7.5,则a= b=3．口袋中有5只球，编号为5,4,3,2,1，从中任取3个球，以ξ表示取出球的最大号码，则=ξE （ ）A. 4B. 5C. 4.5D. 4.75 二填空题1．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为 ．2．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中率为0.6，现在共有4颗子弹，命中后尚余子弹数目ξ的期望为 .三解答题1 、有一批数量很大的产品，其次品率是15％．对这批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过10次．求抽查次数ξ的期望(结果保留三个有效数字)．2．A 、B 两个试验方案在某科学试验中成功的概率相同，已知A 、B 两个方案至少一个成功的概率为0.36，（1）求两个方案均获成功的概率；（2）设试验成功的方案的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．B 组一选择题1.A 、B 两篮球队进行比赛，规定若一队胜4场则此队获胜且比赛结束（七局四胜制），A 、B 两队在每场比赛中获胜的概率均为21，ξ为比赛需要的场数，则=ξE ( ) A. 1673 B. 1693 C.1893 D. 18732．某服务部门有n 个服务对象,每个服务对象是否需要服务是独立的,若每个服务对象一天中需要服务的可能性是 p , 则该部门一天中平均需要服务的对象个数是 ( )A . n p (1－p)B. n pC. nD. p (1－p) 二填空题1. 对三架机床进行检验，各机床产生故障是相互独立的，且概率分别为1P 、2P 、3P ，ξ为产生故障的仪器的个数，则=ξE .2.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：则该公司一年后估计可获收益的期望是___________（元）三解答题1.某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。
高三数学选修2-3(B版)_《离散型随机变量的数学期望》导学案
2.3.1离散型随机变量的数学期望【学习要求】1．通过实例理解离散型随机变量数学期望的概念，能计算简单离散型随机变量的数学期望。
2．理解离散型随机变量数学期望的性质。
3．掌握两点分布、二项分布的数学期望。
4．会利用离散型随机变量的数学期望，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题。
【学法指导】离散型随机变量的数学期望是离散型随机变量取值的平均水平，可以利用离散型随机变量的分布列求得数学期望。
利用随机变量的数学期望可以帮助我们对实际问题做出决策。
【知识要点】1．离散型随机变量的数学期望或期望若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)＝为随机变量X的数学期望或期望，它反映了离散型随机变量取值的。
2．离散型随机变量的数学期望的性质如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是(离散型)随机变量，且P(X＝x i)＝，i＝1，2，3，…，n，E(Y)＝＝。
3．两点分布与二项分布的数学期望（1）如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝(p为成功概率)。
（2）如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝。
【问题探究】探究点一离散型随机变量的数学期望公式及性质问题1某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？问题2离散型随机变量的均值有什么作用？问题3若一组数据x i(i＝1,2，…，n)的平均数为x，那么另一组数据ax i＋b(a、b是常数且i＝1,2，…，n)的平均数为a x＋b。
那么离散型随机变量Y＝aX＋b 是否也具有类似性质？如何证明？例1已知随机变量X的分布列如下：（1）求m的值；（2）求E(X)；（3）若Y＝2X－3，求E(Y)。
小结对于aX＋b型的随机变量，可利用数学期望的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便。
高中数学概率随机变量的数字特征离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的方差
所取球的标号．求 ξ 的分布列、均值和方差.
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【解】 由题意得，ξ的所有可能取值为 0，1，2，3，4，
P(ξ＝0)＝1200＝12，P(ξ＝1)＝210， P(ξ＝2)＝220＝110，P(ξ＝3)＝230， P(ξ＝4)＝240＝15.
3 10
η0 1 2
P
5 10
3 10
2 10
试对这两名工人的技术水平进行比较．
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【解】 工人甲生产出次品数 ξ 的期望和方差分别为 E(ξ)＝0×160＋1×110＋2×130＝0.7， D(ξ)＝(0－0.7)2×160＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×130＝0.81.工人 乙生产出次品数 η 的期望和方差分别为 E(η)＝0×150＋1×130＋2×120＝0.7，
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解：(1)由已知，有 P(A)＝C22C23C＋48C23C23＝365. 所以，事件 A 发生的概率为365. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3，4. P(X＝k)＝Ck5CC4843－k(k＝1，2，3，4)． 所以，随机变量 X 的分布列为
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2．离散型随机变量的方差 (1)离散型随机变量的方差、标准差 ①设一个离散型随机变量 X 所有可能取的值是 x1，x2，…，xn， 这些值对应的概率是 p1，p2，…，pn，则 D(X)＝(x1－E(X))2p1＋ (x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn 叫做这个离散型随机变量 X 的 方差．离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值相对于 期望的平_均__(p_ín_gj_ūn_)波__动__大__小___．
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3 0.73
(2)因为，X～B(3,0.7)，所以，X的数学期望为
E ( X ) 3 0.7 2.1
射手 甲
8环 0.3
9环 0.1
10环 0.6
乙 Bqr6401@
0.2
0.5
0.3
四、应用举例
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
例3.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题 有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案， 每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得 分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9， 学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选 择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成 绩的期望。
引例1： 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2， 2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？ 1111 2 2 2 3 3 4 X 2 10 换个角度看问题，把环数看成随机变量的概率分布 列： 权数
X P
X 1 4 10
1
4 10
2
3 10
3
2 10
p1 p1 p 2 p i p n 1 n
n 这说明数学期望与平均值具有相同的含义。
Bqr6401@
E ( X ) ( x1 x 2 x i x n )
1
三、概念形成
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
Bqr6401@
五、课堂练习
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
课本第64页，习题2-3A，1，2，3，4，5，6，7
xn
pn
E X x1 p 1 x 2 p 2 x i p i x n p n
所以，随机变量Y的分布列为
X
Y P
x1 ax 1 b
x2 ax 2 b
p1
p2
· · · · · · · · ·
xi
ax i b
pi
· · xn · · ax n b · · · · pn ·
概念2. 离散型随机变量的数学期望(均值)的性质 性质1：若随机变量Y=aX+b，其中a，b为常数，则 E(Y)=aE(X)+b。
性质1：若随机变量Y=aX+b，其中a，b为常数，则 EY=aEX+b。 证明：设随机变量X的分布列为
X
x1 x2
P
p1
p2
· · · · · ·
xi
pi
· · · · · ·
E ( ) 20 0.9 18
E ( ) 20 0.25 5
由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的 成绩分别是5ξ，5η 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是： 所以，E(5ξ)=90，E(5η)=25。
Bqr6401@
四、应用举例
普 通 高 中 课 程 标 准
X P 0 0.3 1 0.7
所以，E(X)=0×0.3+1×0.7=0.7
Bqr6401@
四、应用举例
普 通 高 中 课 程 标 准
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例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚 不中得0分。已知某运动员罚球命中的概率为0.7， 他连续罚球3次； (1)求他得到的分数X的分布列； (2)求X的期望。 练习：根据历次比赛记 录，甲、乙两射手在同 样条件下进行射击比赛 成绩分布如下： 试比较甲、乙两射手射 击水平的高低。
Liangxiangzhongxue
例4.一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球， 从中任取4个，求其所含白球的数学期望。
解：根据提设可知，所含白球数X服从参数N=10， M=5，N=4的超几何分布，则
E(X ) nM N 45 10 2
所以，从中任取4个球，平均来说会含有两个白球。
Xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
则称
x1
x2
· · · · · ·
xi
· · ·
xn
p1
p2
pi
· pn · ·
E ( X ) x1 p 1 x 2 p 2 x i p i x n p n
为随机变量X的平均值或数学期望(mathematical expectation)。
Bqr6401@
三、概念形成
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概念1. 离散型随机变量的数学期望(均值) 几点说明： (1)均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征 数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。 (2)在有限取值离散型随机变量X的分布中，若 p1=p2=p3=…=pn，此时
例6.在一次摸奖游戏中，一袋中装有同样大小的球10 个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能 从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和。玩 者交5元钱，可以参加一次摸奖。求抽奖人获利的数学 期望。 解：设X表示为抽到的2球的钱数之和，则X的可能取值 如下 X=2(抽到2个1元的)，X=6(抽到1个1元，1个5圆) X=10(抽到2个5元) 所以，依题意有
解：用X1，X2和X3分别表示三种方案的损失， 对于方案1，无论有无洪水，都将损失3800元，即 X1=3800。
例5.根据天气预报，某地区下个月有小洪水的概率是 0.25，有大洪水的概率是0.01。设工地上有一台大型设 备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损 失10000元．为保护设备，有以下3种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3800元； 方案2：建保护围墙，建设费为2000 元。但围墙只能防 小洪水； 方案3：不采取措施，希望不发生洪水。 试比较哪一种方案好。
普通高中课程标准数学2-3(选修)
第二章 概率
2.3.1 离散型随机变量的数学期望 （约2课时）
良乡中学数学组 制作：任宝泉
2012年7月31日星期二
一、复习引入
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
1.离散型随机变量的分布列 X
x1 x2
· · · · · ·
xi
· · · · · ·
Bqr6401@
四、应用举例
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Liangxiangzhongxue
例6.在一次摸奖游戏中，一袋中装有同样大小的球 10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖 者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱 数之和。玩者交5元钱，可以参加一次摸奖。求抽 奖人获利的数学期望。
性质2：若随机变量X服从两点分布，则E(X)=p。 性质3：若随机变量X服从参数为n，p的二项分布， 则E(X)=np
Bqr6401@
三、概念形成
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
概念2. 离散型随机变量的数学期望(均值)的性质 性质4：若随机变量X服从参数为N，M，n的超几何 分布，则。
解：(1)依题意可知，X～B(3,0.7)，所以其分布列为 X P
0 0.3
1
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中 得0分。已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚 球3次； (1)求他得到的分数X的分布列； (2)求X的期望。
1
C 3 0 .7 0 .3
2
2
C 3 0 .7 0 .3
良乡中学数学组 任宝泉
怀 天 天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 什 才 在 于 勤 奋，努 力 书 山 有 下 学问为 求人 真 海 无，学 苦成 做 !!! 人 勤劳的孩子展望未来, 什 徒 才 能 但懒惰的孩子享受现在!!! 天 小 不 不 ， 的径，学 知 伤 悲不 到 功！ 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 少 么 也 路 勤习，老 来 么 也 崖 学 作 舟
Bqr6401@
四、应用举例
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
例5.根据天气预报，某地区下个月有小洪水的概率 是0.25，有大洪水的概率是0.01。设工地上有一台 大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小 洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方 案： 方案1：运走设备，搬运费为3800元； 方案2：建保护围墙，建设费为2000 元。但围墙只 能防小洪水； 方案3：不采取措施， 希望不发生洪水。 试比较哪一种方案好。
X P
0
0
Cn p q
0 n
1
Cn p q
1 1 n 1
…
…
k
k
Cn p q
k nk
…
…
n
n
Cn p q
n 0
根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出 随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不
止于此。
Bqr6401@
二、提出问题
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E(X ) nM N
Bqr6401@
四、应用举例
普 通 高 中 课 程 标 准
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例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚 不中得0分。已知某运动员罚球命中的概率为0.7， 则他罚球1次的得分X的均值是多少？
解：因为X可取的值为0，1，所以X服从两点分布，
P ( X 10) C2
2
P ( X 2) 1 45
C8
2
C 10
2
2
28 45
P ( X 6)
C 8C 2 C 10