湖南城市学院-随机过程讲稿(15)
数理统计与随机过程讲义
=q(t) r e ，为非平凡(非零)有界解，这里•为状态转移概率 那么我们有分布函数F (t) = P(x 乞 t) = 1 _ P(x t) = 1 _ q(t) = 1 _ e —'t因此得到指数分布 Ye 」t_00 other两个指数分布之和的分布？f(t) dF(t) dt 《数理统计与随机过程讲义》段法兵复杂性科学研究所第一章概率论回顾F 面是数理统计部分需要的掌握的，许多推导的基础知识§1.1几种分布的由来指数分布：服务台电话呼叫时间，公交车到达一个车站时间，这些时间分布的符合指数分布。
设q(t)为区间t 上没有事件发生的概率，x 为第一次事件发生等待 的时间，那么q(t)二P(x .t)，假设不同时间区间t i ，t 2相互不重叠且独立，那么 P(x tJP(x t 2) = P(x t 1 t 2)=q(t i )q(t 2)=q(t i t ?)在x-y的空间内，满足x • y乞z的区域如上，那么z的累计分布f z (z)二 f x (x) * f y (y)= F(z) = P& + y wz}= (dy(」f xy (x,y)dx那么f z (zH-d FjZ Z^ " 0f x (x )f y (^x)dx 例如x 与y 为相互独立的指数分布，f x (x)二(厂和f y (y)二，e_y 分别为其概率分 布函数，那么z = x+y 的分布为，2e —'X e-'(z 」)dx = z ・2e 」z ， 0Gamma 分布：N 个指数分布的随机变量之和的分布为 Gamma 分布。
例如x 与y 为相互独立的指数分布，f x (x)二’e"和f y (y)二分别为其概率分 布函数，那么z 二x+y 的分布为z n - n f z (z) = f x (x) * f y (y)=［扎eF/Jdx = zfb如此卷积下去，N 个相互独立的指数分布相加的概率分布为 Gamma 分布，其概 率密度函数这里参数〉，■：':0。
湖南城市学院-随机过程讲稿(17)
l pii , p ljj 相互控制，同为无穷或有限，从而同为常返或非常 l 0
l 0
l 0
l 0
[定理7.11]如果j是非常返态，则对于每一个i，有
p
n 1
n
ij
和
lim pij 0
n
n
[定义7.12]如果有正整数d，d>1，只有当n=d, 2d, 3d,…时 态i是具有周期性的状态。
[定义7.9] 如果单个状态i构成一个闭集，则称这个状态i为吸 收态。 例题： 设有四个状态（0,1,2,3）的马尔可夫链，它的一步 转移概率矩阵为P，对其状态进行分类。
1 1 2 2 0 1 1 0 P 2 2 1 1 1 4 4 4 0 0 0
0 0 1 4 1
f ij P Tij n1X 0 i 0
n
[定义7.11] 对于马尔可夫链X(k)，定义自状态i出发迟早到达 状态j的概率为
fij
1 n
fij
n
1 n
P T
ij
n1X 0 i P Tij
[定理7.8] fij>0的充要条件是i→j。 [推论7.3] 状态i,j相通的充要条件是fij>0 和fji>0 。当i=j时，fii 的取值在0-1之间的一个数值，根据取值情况，把状态i分为： 若fii=1, 则称 i 为常返状态， 若fii<1, 则称 i 为非常返状态（或瞬时状态或称滑过的）。
n 1
由定义知状态0为常返态。 因此，由定理知I中所有状态都是常返态。 故此马氏链为不可约常返链。
7.2.4马尔可夫链的遍历性 [定义7.13]如果齐次马尔可夫链中，对于一切的i和j，存在 不依赖i的极限，即
随机过程讲义 第一章
第一章 随机过程及其分类在概率论中，我们研究了随机变量，n 维随机向量。
在极限定理中我们研究了无穷多个随机变量，但只局限在它们之间相互独立的情形。
将上述情形加以推广，即研究一族无穷多个、相互有关的随机变量，这就是随机过程。
1． 随机过程的概念定义：设),,(P ∑Ω是一概率空间，对每一个参数T t ∈，),(ωt X 是一定义在概率空间),,(P ∑Ω上的随机变量，则称随机变量族});,({T t t X X T ∈=ω为该概率空间上的一随机过程。
其中R T ⊂是一实数集，称为指标集或参数集。
随机过程的两种描述方法： 用映射表示T X ，R T t X →Ω⨯:),(ω即),(⋅⋅X 是一定义在Ω⨯T 上的二元单值函数，固定T t ∈，),(⋅t X 是一定义在样本空间Ω上的函数，即为一随机变量；对于固定的Ω∈ω，),(ω⋅X 是一个关于参数T t ∈的函数，通常称为样本函数，或称随机过程的一次实现，所有样本函数的集合确定一随机过程。
记号),(ωt X 有时记为)(ωt X 或简记为)(t X 。
参数T 一般表示时间或空间。
常用的参数一般有：（1）},2,1,0{0 ==N T ；（2）},2,1,0{ ±±=T ；（3）],[b a T =，其中a 可以取0或∞-，b 可以取∞+。
当参数取可列集时，一般称随机过程为随机序列。
随机过程});({T t t X ∈可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间，记作S 。
S 中的元素称为状态。
状态空间可以由复数、实数或更一般的抽象空间构成。
实际应用中，随机过程的状态一般都具有特定的物理意义。
例1：抛掷一枚硬币，样本空间为},{T H =Ω，借此定义：⎩⎨⎧=时当出现，时当出现T 2H ,cos )(t t t X π ),(∞+-∞∈t 其中2/1}{}{==T P H P ，则)},(,)({∞+-∞∈t t X 是一随机过程。
湖南城市学院-随机过程讲稿(3)
E[( X (t 2 ) X (t1 )) ( X (t 4 ) X (t3 ))] 0
则称X(t)是正交增量过程。
例题
设{X(t),t∈T}是正交增量过程，T=[a,b]为有限区间，且规定X(a)=0， 当a<s<t<b时，求其协方差函数。
独立增量过程
定义：
例题2.10
考虑一种设备一直使用到损坏为止，然后换上同类型的设备。假设设 备的使用寿命是随机变量，令N(t)为在时间段[0,t]内更换设备的件数， 通常可以认为{N(t)，t≥0}是平稳独立增量过程。
马尔可夫过程 定义： 设{X(t),t∈T}是随机过程，若对任意正整数n及t1<t2, …<tn， P(X(t1)=x1, …,X(tn-1)=xn-1)>0，且其条件分布
正交增量过程
定义依据： 不相重叠的时间区间上增量的 统计相依性
互不相关
独立增量过程
相互独立
正交增量过程
×
二阶矩存在，均值函数恒为零
独立增量过程
正交增量过程
独立增量过程
平稳独立增量过程
定义：
设{X(t),t∈T}是独立增量过程，若对任意s<t，随机变量X(t)-X(s)的分 布仅依赖于t-s，则称{X(t),t∈T}是平稳独立增量过程。
n
lim 则(1) l.i.m cn n cn c n (2) l.i.m U U n (3) l.i.m c nU cU
n
n
n
(4) (5) (6)
l.i.m (aX n bYn ) aX bY
n
lim EX n EX E l.i.m X n
RX ( s, t ) E[ X ( s ) X (t )]
随机过程课件PPT资料(正式版)
☞随机事件：样本空间的子集,常记为 A ,B ,…它是满足某些条件的样本点所组成的集合.
排队和服务系统 ◙A∩勤B 奋⇔、A刻B ：苦A、与合➢B作的、积探事索件；； 更新过程 为从事科学研究打下坚实的基础；
☞抽取的是精装中➢文版数学书 ⇒
➢ 时间序列分析
➢ 鞅过程
绪论
《随机过程》基础
概率(或然率或几率) ——随机事件出现的可能 性的量度；
概率论其起源与博弈、 、天气预报等问题有 关
⊕16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博 中的一些问题；
⊕17世纪中叶，「现有两个赌徒相约赌若干 局，谁先赢S局就算赢了，当赌徒A赢K局(K<S)， 而赌徒B赢L局(L<S)时，赌博中止，赌资应怎 样分才合理呢？」
随机过程课件
《随机过程》
➢ 教材： ◙ 张卓奎,陈慧婵，随机过程.西安电子科技大 学.2003.
➢ 主要参考文献： ◙ 胡奇英编著,随机过程.西安电子科技大学.1998. ◙ 周荫清 ,随机过程习题集. 清华大学出版社, 2004. ◙ 林元纟金烈 ,应用随机过程. 清华大学出版社, 2002.
……
➢ 随机过程理论在社会科学中例如在社会统计， 学、经 济、金融工程、管理中也得到极其广泛的应用。
➢ 为从事科学研究打下坚实的基础；
绪论
教学目标
➢ 充分理解、熟练掌握教材的内容 ◙ 熟练掌握基本的数学概念和定理；
◙ 熟练掌握随机过程研究对象的数学描述；
Hale Waihona Puke ➢ 通过学习和练习，具备一定的分析、解决本专业具体 问题的能力；
☞拉普拉斯曾说：“生活中最重要的问题，其中 绝大多数在实质上只是概率的问题”。
☞概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。 在实际中，人们往往还需要研究在时间推进中某 一特定随机现象的演变情况，描述这种演变的就 是概率论中的随机过程。
随机过程课件
。每个可能取的值称为一个状态。
对随机过程 {X (t) , t T} 进行一次试验 (即在 T 上进行一次全程观测) , 其结果是 t 的函数, 记为
x(t) , t T , 称它为随机过程的一个 样 本 函 数 或 样本曲线 .
所有不同的试验结果构成一族样本函数.
随机过程 总体
样本函数 个体
（4）连续参数、连续状态的随机过程。如例3，T=[0，∞]， 状态空间为[-∞，∞]。
离散参数的随机过程亦称为随机序列。
四、随机过程的分布函数族
给定随机过程 {X (t),t T}.
对固定的 t T, 随机变量 X (t) 的分布函数一 般与 t 有关, 记为 FX (x,t) P{X (t) x}, x R.
1 0.5
-4
-2
-0.5
2
4
-1
当t固定时,X(t)是随机变量,故{X(t), t>0}是一族随机变量。
另一方面，对随机变量 做一φ次试验得一个试验值 ，
就是一条样本曲线。X (t) a cos(0t )
二、随机过程的概念
1 定义 参数集：设T是实数轴 (, )上的一个子集，且包含无限多
个数。随机过程是一族随机变量，可用 {X (t),t T} 来表示。T称为 随机过程的参数集。
在次概数率是论一中个曾随指机出变，量在，单记位X时(t间)为内[0一,t]电内话的站呼接叫到次的数呼唤 次数可用一离散型随机变量 X()表示，且有
P{X() k} k e , k 0, 1,2, ,( 0)
k! 在[0，t]时间内接到的呼唤次数,这一随机变量可记为X(t)。
P{X(t) k} (t)k et , k 0, 1,2, ,( 0)
随机过程
标准教材：随机过程基础及其应用/赵希人，彭秀艳编著索书号：O211.6/Z35-2备用教材：（这个非常多，内容一样一样的）工程随机过程/彭秀艳编著索书号：TB114/P50历年试题（页码对应备用教材）2007一、习题0.7（1）二、习题1.4三、例2.5.1—P80四、例2.1.2—P47五、习题2.2六、例3.2.2—P992008一、习题0.5二、习题1.4三、定理2.5.1—P76四、定理2.5.6—P80五、1、例2.5.1—P802、例2.2.2—P53六、例3.2.3—P992009（回忆版）一、习题1.12二、例2.2.3—P53三、例1.4.2与例1.5.5的融合四、定理2.5.3—P76五、习题0.8六、例3.2.22010一、习题0.4（附加条件给出两个新随机变量表达式，间二、例1.2.1三、例2.1.4四、例2.2.2五、习题2.6六、习题3.3引理1.3.1 解法纠正 许瓦兹不等式()222E XY E X E Y ⎡⎤⎡⎤≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦证明：()()()()222222222220440E X Y E X E XY E Y E XY E X E Y E XY E X E Y λλλ +⎡⎤⎡⎤=++≥⎣⎦⎣⎦∴∆≤⎡⎤⎡⎤∴-≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤∴≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦例1.4.2 解法详解已知随机过程(){},X t t T ∈的均值为零，相关函数为()121212,,,,0a t t t t et t T a --Γ=∈>为常数。
求其积分过程()(){},t Y t X d t T ττ=∈⎰的均值函数()Y m t 和相关函数()12,Y t t Γ。
解：()0Y m t =不妨设12t t >()()()()()()1212222112121122122100,,Y t t t t t t t t t EY t Y t E X d X d d d τττττττττΓ===Γ⎰⎰⎰⎰()()()()()222121122221222112222212221212121212000220022002200222211||111111||211t t t a a t t a a a a t t t a a at a t a at t a t t at at ed d ed de d e d a ae d e d a a t t e e a a a a t e e e a aττττττττττττττττττττττττ--------------=+-=+=---=+-+⎡=++--⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎤⎦同理当21t t >时()()2112112221,1a t tat at Y t t t e e e a a----⎡⎤Γ=++--⎣⎦ （此处书上印刷有误）例1.5.5解法同上例1.5.6 解法详解 普松过程公式推导：(){}()()()()()()()()()()()1lim !lim 1!!!1lim 1!!lim 1lim !lim lim !N k N N kkN N kkN N kN kq tqtN N kN kk k N N P X t k C P N q t q t k N k N q t q t N k k q t eeN N Nq t q t N k N →∞-→∞-→∞---∆-→∞→∞-→∞→∞===-∆∆-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤-∆==⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⋅∆=∆⎢⎥--⎣⎦第一项可看做幂级数展开：第二项将分子的阶乘进行变换：()()()()!lim 1N k kk k k k N q t N qt qt -⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=∆⋅=⋅=(){}()()()()!1lim 1!!!N k kN kqtP X t k N q t q t N k k qt e k -→∞-∴=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦=例2.1.2 解法详解设(){},X t t -∞<<+∞为零均值正交增量过程且()()2212121,E X t X t t t t t -=->⎡⎤⎣⎦，令()()()1Y t X t X t =--，试证明(){},Y t t -∞<<+∞为平稳过程。
随机过程实验讲义
随机过程实验讲义刘继成华中科技大学数学与统计学院2011-2012年上半年为华中科技大学数学系本科生讲授随机过程课程参考资料前言 (1)第一章Matlab 简介 (2)第二章简单分布的模拟 (6)第三章基本随机过程 (9)第四章Markov过程 (12)第五章模拟的应用和例子 (16)附录各章的原程序 (51)参考文献 (75)若想检验数学模型是否反映客观现实，最自然的方法是比较由模型计算的理论概率和由客观试验得到的经验频率。
不幸的是，这两件事都往往是费时的、昂贵的、困难的，甚至是不可能的。
此时，计算机模拟在这两方面都可以派上用场：提供理论概率的数值估计与接近现实试验的模拟。
模拟的第一步自然是在计算机程序的算法中如何产生随机性。
程序语言，甚至计算器，都提供了“随机”生成[0，1]区间内连续数的方法。
因为每次运行程序常常生成相同的“随机数”，因此这些数被称为伪随机数。
尽管如此，对于多数的具体问题这样的随机数已经够用。
我们将假定计算机已经能够生成[0，1]上的均匀随机数。
也假定这些数是独立同分布的，尽管它们常常是周期的、相关的、……。
……本讲义的安排如下，第一章是Matlab简介，从实践动手角度了解并熟悉Matlab环境、命令、帮助等，这将方便于Matlab的初学者。
第二章是简单随机变量的模拟，只给出了常用的Matlab 模拟语句，没有堆砌同一种变量的多种模拟方法。
对于没有列举的随机变量的模拟，以及有特殊需求的读者应该由这些方法得到启发，或者参考更详细的其他文献资料。
第三章是基本随机过程的模拟。
主要是简单独立增量过程的模拟，多维的推广是直接的。
第四章是Markov过程的模拟。
包括服务系统，生灭过程、简单分支过程等。
第五章是这些模拟的应用。
例如，计算概率、估计积分、模拟现实、误差估计，以及减小方差技术，特别给读者提供了一些经典问题的模拟，通过这些问题的模拟将会更加牢固地掌握实际模拟的步骤。
平稳过程的模拟、以及利用平稳过程来预测的内容并没有包含在本讲义之内，但这丝毫不影响该内容的重要性，这也是将会增补进来的主要内容之一。
《随机过程》课件
泊松过程
定义
泊松过程是一种计数随机过程，其事件的发生是 相互独立的，且具有恒定的平均发生率。
例子
放射性衰变、电话呼叫次数、交通事故等。
应用领域
物理学、工程学、保险学等。
03
随机过程的变换与函数
随机过程的线性变换
线性变换的定义
线性变换是指对随机过程中的每个时间点，将该点的随机变量或随机向量乘以一个常数 或矩阵，并加上另一个常数或矩阵。
应用
微分在随机过程的理论和应用中非常重要，例如在金融 领域中，可以通过计算股票价格的导数来预测股票价格 的变动趋势。
积分的定义
随机过程的积分是指对随机过程中的每个时间点，将该 点的随机变量进行积分。
积分的性质
积分运算可以改变随机过程的统计特性，例如期望、方 差和协方差等。
应用
积分在随机过程的理论和应用中也有重要应用，例如在 信号处理中，可以通过对信号进行积分来提取信号的特 征或进行信号的合成。
连续随机过程
01
定义
连续随机过程是在时间或空间上 连续取值的随机现象的数学模型 。
02
03
例子
应用领域
电子信号、温度波动、随机漫步 等。
物理、工程、金融等。
马尔可夫过程
定义
马尔可夫过程是一种特殊的随机过程，其未来状态只依赖于当前 状态，与过去状态无关。
例子
赌徒输赢的过程、天气变化等。
应用领域
统计学、计算机科学、人工智能等。
将随机信号视为随时间变化的随机变量序列，具有时间和概率的统 计特性。
随机模型
根据实际需求建立信号的随机模型，如高斯过程、马尔可夫过程等 。
信号的滤波与预测
滤波器设计
根据随机模型设计滤波 器，用于提取有用信号 或抑制噪声。
随机过程的基本概念 精华版
-1 0 20 40 60
二、随机过程的数字特征
•均值 均值 •方差 方差
2 σ X (t ) = E{[ X (t ) − mX (t )]2}
2 = E{X 2 (t )} − mX (t )
mX (t ) = E{X (t )} = ∫ xf X ( x, t )dx
−∞
+∞
•均值与方差的物理意义： 均值与方差的物理意义： 均值与方差的物理意义
每次观测所得结果都不同，都是时间t 每次观测所得结果都不同，都是时间t的 不同函数，观测前又不能预知观测结果， 不同函数，观测前又不能预知观测结果， 没有确定的变化规律。 没有确定的变化规律。
实际过程
正弦信号
调制信号
周期性脉冲信号
雷达接收机的噪声
鸟叫声
爆破信号
2.1 随机过程的基本概念及定义 2.2 随机过程的统计描述 2.3 平稳随机过程 2.4 随机过程的联合分布和互相关函数 2.5 随机过程的功率谱密度
RX (t1 , t 2 ) = 0 ，则称 X (t1 ) 和 X(t2 ) 是相互正交的。如果 是相互正交 正交的
f X ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) = f X ( x1 , t1 ) f X ( x 2 , t 2 ) ，则称随机过程在
t1
和 t 2 时刻的状态是相互独立的。 时刻的状态是相互独立的 独立
二、平稳随机过程自相关函数性质
RX (0)
2 σX
2 mX
RX (τ )
τ
0
相关函数示意图
RX (−τ ) = RX (τ )
RX (0) ≥ RX (τ )
2 2 RX (0) = σ X + mX
概率论与数理统计及其应用第15讲 随机过程的概念
工程技术中有很多随机现象:地震波幅、结构物承受的
风荷载、通讯系统和自动控制系统中的各种噪声和干扰，
以及生物群体的生灭问题，数量遗传学，竞争现象，传染
病扩散，癌细胞扩散，质点的随机游动，排队问题等变化
过程都可以用随机过程这一数学模型来描述． 但是，这些随机过程都不能像随机相位正弦波那样，
很方便、很具体地用时间和随机变量（一个或几个）的关
例 10.2 （热噪声电压）电子元件或器件由于内部微观粒 子的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压,它在任一确 定时刻t的值是随机变量,记为V(t).不同时刻对应着不同的随机 变量,当时间在某区间,譬如[0,+)上推移时,热噪声电压表现 为一簇随机变量.在无线电通讯技术中,接收机在接收信号时, 机内的热噪声电压要对信号产生持续的干扰,为消除这种干扰, 就必须考虑热噪声电压随时间变化的过程.为此,我们通过某种 装臵对电阻两端的热噪声电压进行长时间的测量,并把结果自 动记录下来,这作为一次试验结果,便得到一个电压—时间函数 v1(t),t0.这个电压—时间函数是不可能预先确知的,只有通过 测量才能得到.如在相同条件下独立地再进行一次测量,则得到 的记录是不同的,事实上,由于热骚动的随机性,在相同条件下 每次测量都将产生不同的电压—时间函数．这样,不断地独立 重复第一次测量就可以得到一簇不同的电压—时间函数 ,这簇函数从另一个角度刻画了热噪声电压．
y 1 dF ( y; t ) f X (ln ) t y f ( y ;t ) dy 0
t 1 y 0 0
, y 0, , y 0.
t 1 y , ln 0, y t 0 , y 0.
1 2 x (t ) gt 2
湖南城市学院随机过程讲稿
（1）数学期望：
E ??X ?n ??? ? E ??a n?1W ?1?? a n? 2W ?2?? ... ? aW ?n ? 1?? W ?n ???
? (1? a ? L
?
a n?1 )E[W(n)] ?
??1 ? a n ? 1? a
E[W ( n )]
?? E[W(n)] ?n
a ?1 a ?1
m ? 1??
W ?n???
a mW
?n
?
m ?????
? ??
? a n ?m?1a n?1E ??W ?1?W ?1??? ? ... ? a m E ??W ?n ? m?W ?n ???
?
?
2
w
[
a
m
?
a m? 2
?
L
? a ] m? 2( n ?1)
?
??? ?
a2 m
w
?1? a2n
?
?
?
2
x
?
Rx (0)
?
?
2
w
1? a2
说明平稳随机序列X (n) 的方差
?
2比白噪声方差
x
?
2
w
大。
最后讨论一阶 AR模型的功率谱。对 (2)式两边取z变换，可
得其传递函数为：
X ?z?? az ?1X ?z?? W ?z?
H ( z) ?
X( z) W (z)
?
1 1 ? az ?1
?
z z? a
1
r1
? ?
r k?1 2
r2
W(n
?
k)
（5）
第十二页，编辑于星期二：十点 五十一分。
湖南城市学院-随机过程讲稿(5)
[定义3.1] 给定一个随机过程X(t)，对于他的每一个样本函数 x(t)，都能够确定一个对应的函数y(t)，于是我们得到一个新的 随机过程Y(t), 记为： Y(t)=T[X(t)]，其中T称为从随机过程 X(t)到Y(t)的变换。
x(t)（样本函数） X(t)（随机过程）
T
y(t)（样本函数） Y(t)（随机过程）
•
感情上的亲密，发展友谊；钱财上的 亲密， 破坏友 谊。20.11.102020年11月10日 星期二 6时16分8秒20.11.10
谢谢大家！
i0
i0
比例性 L[kX (t)] kL[ X (t)]
时不变性 Y (t ) L[ X (t )]
[定义3.3] 对于线性变换L,即Y(t)=L[X(t)]，如果 Y(t+ε)=L[X(t+ε)]成立，其中ε为任意常数，即输入的延时对输出 也只产生一个相应的延时，则称L为线性时不变的。L所对应的系 统称为线性时不变系统。
[定义3.2] 设有任意n个随机变量Ak以及任意n个随机信号 Xk(t)(k=1,2,…,n),若
则称变换L为线性变换。
注意：对于线性变换L，必须保证无论Ak(k=1,2,…,n),为何值，也 无论Xk(t)(k=1,2,…,n),为何种函数，上述关系式一定能够成立。
4、线性变换的性质：
n
n
叠加性 L[ ai Xi (t)] aiL[Xi (t)]
,
，并且有
则称 依均方收敛于随机变量X；或者说，随机变量X是随机序 列 依均方收敛意义下的极限，记作
[定义3.6] 设一随机过程X(t),当 随机变量X的定义
时，X(t)依概率收敛于
或者称随机变量X是随机过程X(t)当 的极限，记作
第1章随机过程简介
精品PPT
第1章 随机过程简介
对于(duìyú)马尔可夫链，如果n时刻的k步转移概率满 足
即从i状态转到j状态的概率和时刻n无关，就称这类MC为时 齐马尔可夫链，或齐次马尔可夫链，有时也说它是具有平 稳转移概率的马尔可夫链。通常考虑状态空间是有限的齐 次马尔可夫链。
32
精品PPT
第1章 随机过程简介
6
精品PPT
第1章 随机过程简介
图1.3 电话交换站呼叫(hū jiào)计数
7
精品PPT
第1章 随机过程简介
例1.4 纺纱机纺出长度为l的细纱(xìshā) 若对一个纺 纱机进行n次长时间测量，同时记录每一次纺纱机纺出细纱 (xìshā)长度的曲线，并以{X(u)， u∈［0，∞)}表示纺纱机 纺出细纱(xìshā)的长度，则X(u)是一个随机变量，如图1.4 所示。
k步转移(zhuǎnyí)概率矩阵记为P(k)。
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第1章 随机过程简介
本课程研究时间齐次马尔可夫过程(guòchéng)，简称时 齐马尔 可夫过程(guòchéng)。它满足
P{X(t)≤x|X(tn)=xn}=P{X(t－tn)≤x|X(0)=xn} 其中假定系统的行为不依赖于观测的时间，即马尔可夫过 程(guòchéng)中的条件分布函数不随观察起始时刻的变化而 变化，我们可以任选时间轴的起点。
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第1章 随机过程简介
设Xn=X(nΔt)表示时刻 nΔt时，系统(xìtǒng)内的顾客数， 即系统(xìtǒng)的状态。{Xn，n=0，1，2，…}是一随机过 程，状态空间I＝{0，1，2，3}，而且仿照例1.6、例1.7的分 析，可知它是一个齐次马尔可夫链。下面来计算此马尔可 夫链的一步转移概率。
湖南城市学院随机过程讲稿6
例题2
解：略。例题3解：略。 Nhomakorabea _
E[ X (t ) X (t u)]h(u)du RX ( u)]h(u)du
RX ( ) h( )
3. 输出Y(t)的自相关函数
RY (t1 , t2 ) RXY (t1, t2 ) h(t1 ) RYX (t1, t2 ) h(t2 )
f t t f 0 t f t t t1 f t t1 t t1 f t t f t d f t d f t
f t t t1 f t t1
0
频域： 若 h(t )dt 物理可实现，且x(t)有界，则有：
Y ( ) H ( ) X ( ) 。
所以对于确定信号，总可以用数学式或列表形式给定其 时域的描述，或用变换的方式给出其“频域”的表述，而且 对于其通过线性时不变系统的表述为：
x(t ) X ( ) h(t ) H ( ) y(t ) x(t ) h(t ) Y ( ) X ( ) H ( )
对式（3.2）和（3.3）两边取数学期望可得：
=0
看成非变量
3.2 输出与输入的互相关函数：
看成变量
=0
输出与输入的互相关函数：
看成变量 看成非变量
3.3 输出自相关函数
例题1
解：略。
3.4、随机过程通过线性系统的分析
3.4.1 冲击响应法
对于随机信号 X(t ) 任意一个样本函数均成立。 设线性系统的冲击响应为h(t)，输入的随机过程为X(t)，根据《信 号与系统》中的卷积定理，系统的输出Y(t)为：
随机过程课程教学大纲.doc
随机过程课程教学大纲课程代码：课程中英文名称：随机过程/ Stochastic Processes开课学期：6学分/学时：3/48课程类别：选修课；学科专业拓展课程适用专业/开课对象：数学与应用数学/三年级本科生先修/后修课程：实变函数、概率论/相关专业课程开课单位：数理与信息工程学院团队负责人：沈炎峰执笔人：沈炎峰核准系主任：杨敏波一.课程性质、教学目标和毕业要求随机过程是对随时间和空间变化的随机现象进行建模和分析的学科，在物理、生物、工程、心理学、计算机科学、经济和管理等方面都得到广泛的应用。
本课程介绍随机过程的基本理论和几类重要随机过程模型与应用背景，主要包括泊松过程与更新过程、离散时间与连续时间的马尔可夫链、平稳过程、布朗运动与随机积分初步。
通过该门课程的学习，要求学生能较深刻地理解随机过程的基本理论、思想和方法，并能应用于解决实践中遇到的随机问题，从而提高学生的数学素质，加强学生开展科研工作和解决实际问题的能力。
其具体的课程教学目标为：课程教学目标1：了解随机过程的产生背景，掌握描述随机过程的基本数学工具以及在各个领域中的一些应用。
课程教学目标2：掌握随机过程的基本概念和基本理论，能够根据法则、公式正确地进行分析演算。
能够根据问题的情景，寻求和设计合理简捷的运算途径。
课程教学目标3：能运用计算机按照一定的程序和步骤进行有关的模拟或数值计算，提高解决实际问题的能力，能够将本课程与相关课程有机地联系起来，提出并解决相关学科中与本课程有关的问题。
本课程重点支持以下3个毕业要求指标点：毕业要求指标3-4：掌握概率统计的基础知识、基本理论和基本方法，具备用数学工具处理随机现象的基本能力，具备使用相关软件进行数据分析的能力。
本门课程的教学目标与毕业要求指标点对应的矩阵关系如表1-1所示：表1-1=1二.教学内容本课程理论教学共48个学时，包含7章。
表2-1理论教学环节教学章节、教学目标、教学活动及学时安排%1.教学方法本课程采用课堂讲授，课堂讨论及课外学习的教学方法，以到达符合毕业要求指标点的教学目的。
湖南城市学院-随机过程讲稿(18)
n
Sn Ti (n 1) i 1
Sn t X (t) n
分布函数：
FSn (t) P Sn
t
PX
(t )
n
P
X (t)
k n
PX (t) k et (t)k
k n
k n
k!
21
概率密度函数：
7.5.2 泊松过程概念
泊松过程是计数过程，而且是最重要的一类计数过程。
设有一随机过程{X(t)，t ≥0 }， 如果X(t)满足：
（1） 从t=0起开始观察事件，即X(0)=0; （2） X(t)是独立增量过程; （3）该计数过程为平稳增量过程； （4）在(t,t+Δt)内，当 t 0时出现一个事件概率为
有
E X t2 X t1 X t4 X t3 0
则称这类随机过程X(t)为正交增量过程。
[定理7.13] 对于独立增量过程 X t ,t T ，如果它还满足
E
X
t
0,
E
X
t
2
，则该过程也是正交增量过程。
[定义7.18] 如果独立增量过程的增量X(tk)-X(tk-1)的分布仅与时 间差(tk-tk-1)有关，而与tk,tk-1本身无关，则称它为齐次的独立增 量过程。
T1
T2 T3
0 W1 W2 W3
Tn t
Wn-1 Wn
时间间隔Tn的分布为：
FTn (t) PTn t 1
P Tn
t
1 et , t 0 0 , t 0
概率密度为：
et ,t 0
fTn (t) 0 , t 0
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a 式中， 、0 为已知常数， 为在 0, 2 区间均匀分布的 随机变量。
s (t ) a cos 0t
N(t)为平稳窄带实高斯随机过程，具有零均值和方差。 称N(t)为噪声。并设它的功率谱密度对称与 0 。 很明显，X(t)也是一个窄带随机过程。
求解包络和相位的二维概率密度步骤：
一、求出四维密度 f AC AS Ac1 , As1 , Ac 2 , As 2 二、求 A(t )和 t 各自的联合概率密度 f A A1 , 1 , A2 , 2
三、求二维边缘概率密度 f A A1 , A2 和 f 1 , 2
a 0
2
0
0 a 0 2
1 2 2 2 2 2 exp 1 1 2 Ac1 As1 Ac 2 As 2 2a Ac1 Ac 2 As1 As 2 2D 2 2 D1 2 Ac1 =A1 cos 1 , Ac 2 =A2 cos 2 , As1 =A1 sin 1 , As 2 =A2 sin 2
通过对 f A
At , t 求边沿概率密度，便可得到
f A At , t dt f A At , t dt
0 2
f A At At
2
0
At2 At2 At exp 2 2 2 exp 2 , At 0 2 2 2 2
上式给出了包络A(t)的一维概率密度函数表达式，通常将它 称为瑞利分布，其图形如图5.5.2所示。
f A At
0.32
0.6
1
0
1.0
2.0
At
图5.5.2
瑞利概率密度函数
同理， t 的一维概率密度函数为
f t
0
1 f A At , t dAt , 0 t 2 2
A(t )
包络检波器
W (t )
X (t )
高频窄带系统 理想带通限幅 器 相乘 低通网络
X (t ) A(t ) cos[0t t ]
cos t
2 cos 0t
图5.5.1 窄带高斯过程的的产生
5.5.1 包络和相位的一维概率密度 假设 Y (t ) A(t ) cos[0t (t )] 是一窄带平稳高斯实随 机过程，具有零均值和方差 2 ，
其他
式中 a cos 2 1 2
根据（2）、（3）、（4）可得：
f A A1 , 1 , A2 , 2 f A A1 , A2 f 1 , 2
这就表明，窄带高斯过程的包络和相位不是统 计独立的随机过程。
5.5.2 正弦型信号与窄带高斯噪声之和的包络 及相位的概率密度
（2）求联合概率密度 f A A1 , 1 , A2 , 2
f A A1 , 1 , A2 , 2 J f AC AS Ac1 , As1 , Ac 2 , As 2
其中，雅克比为
J Ac1 , Ac 2 , As1 , As 2 A1 , A2 , 1 , 2 A1 A2
（3）包络的二维概率密度
f A A1 , A2
2
0
2
0
f A A1 , 1 , A2 , 2 d1d2
A A a A A 2 A12 A22 1 2 1 2 I exp 12 0 12 12 2D D D A , A 0 1 2 其他 0
第五章 窄带随机过程
5.1 确知信号的复信号表示
5.2 希尔伯特变换
5.3 复随机过程
5.4 窄带随机过程的统计特性
5.5 窄带高斯过程的包络和相位分布 5.6 卡方分布及非中心卡方分布
1
5.5 窄带高斯随机过程包络与相位的分布
在许多实际电子系统或电路中，我们经常遇到这样的情况， 用一个宽带随机过程激励一个高频窄带线性系统（或简称 窄带滤波器）。如图5.5.1所示。
（1）求四维分布 f A
C AS
Ac1 , As1 , Ac 2 , As 2
对于确定的时刻t, Ac1 , As1 , Ac 2 , As 2 皆为零均值、方差为σ 2的高斯 变量。根据多维高斯随机变量的概率密度公式可得：
f AC AS
X
1
2
n2
1 T 1 1 2 exp X K X 2 K
（4）相位的二维概率密度
f 1 , 2 D1 2 4 2 4 A,A 1 2 0
0
0
f A A1 , 1 , A2 , 2 dA1dA2
1 2 1 2 arccos 2 3 2 1 0
可见，随机相位在 0, 2 区间呈均匀分布。 比较以上三式，还可以得到 上式告诉我们，在同一时刻t，随机变量 At 与t 相 互独立，但也应注意，这并不意味着随机过程 A(t )和 t 相互独立。
f A At , t f A AC AS
于是可得X(t)的包络和相位联合概率密度函数为：
f A At , t , J f AC AS Act , Ast At At2 a 2 2aAt cos t exp , At 0,0 , t 2 2 2 2 2 其他 0,
Ac1 A s1 X Ac 2 As 2
2 0 a 0 2 0 a 0 K a 0 2 0 0 a 0 2
其中
a Ra RC RS
将由式
A(t )
2 2 AC t AS t
AC t 所表示的At 和t 与Act、Ast 之间的函数关系记为
(t ) arg tan
AS t
At g1 Act , Ast
2 2 Act Ast
Ast t g 2 Act , Ast arg tan Act 相应的反变换关系为
12
变量的概率密度公式中可得： f AC AS Ac1 , As1 , Ac 2 , As 2
2 2 2 其中 D K a ，把以上带入到多维
2 0 1 2 1 0 K 12 D a 0 0 a
At sin t cos t
可得
2 At At exp 2 At 0,0 t 2 2 f A At , t 2 2 0 其它
三、求 f A At 和f t
f A At 和f t
其中，
AC t a cos NC t AS t a sin N S t
根据上节的分析可知，NC(t)和NS(t)服从高斯分布，所以对于 任意的θ和t,AC(t)和AS(t)也是高斯分布并且相互独立。在θ值 给定的情况下，它们的均值和方差分别为：
二、求 f A At , t
利用 f A At , t J f AC AS Act , Ast
式中J为雅可比因子
J
Act , Ast At , t
h1 At h2 At
h1 t h2 t
At
cos t sin t
Act , Ast 的均值皆为零，即 E Act E Ast 0
3. Act , Ast 具有相同的方差，且都等于Y(t)的方差 2 。 2 2 E Act E Ast E Yt 2 2 4.
Act , Ast相互独立。应用 Act , Ast 的性质可得
其中N(t) 表达式为： (t ) N C t cos 0t N S t sin 0t N
所以有：
X (t ) a cos N C t cos 0t a sin N S t sin 0t
AC t cos 0t AS t sin 0t
包络概率密度函数为：
At2 a 2 aAt At f A At 2 exp I0 2 2 2
, At 0
该式表明，窄带高斯噪声加正弦信号的包络服从广义瑞利分布 或者莱斯分布。
当信噪比很小时，即
从而可得：
A1 A2 1 exp 1 2 2 A12 A22 2a A1 A2 cos 2 1 4 2 D1 2 2D f A A1 , 1 , A2 , 2 A1 , A2 0; 0 1 , 2 2 0 其他
即Act 与Ast 正交。RCS 0 0
5. 于是可得 Act , Ast 的联合概率密度函数为： 2 2 Act Ast 1 f AC AS Act , Ast f AC Act f AS Ast exp 2 2 2 2
Act h1 At , t At cos t Ast h2 At , t At s int
包络和相位的一维分布
一、求 f AC AS Act , Ast 为求得 f AC AS Act , Ast ，先来研究Act , Ast 的某些统计特性。 1. Act , Ast 都是高斯随机变量。 2.