九年级数学下册26二次函数课题二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质课件(新版)华东师大版
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九年数学下册第26章二次函数262二次函数的图象与性质2二次函数Y=ax2+bx+c的图象与性质第2
15．如图，已知二次函数y＝(x＋2)2的图象与x轴交于点A， 与y轴交于点B.
(1)写出点A、点B的坐标；
解：在y＝(x＋2)2中，令y＝0， 得x1＝x2＝－2；令x＝0，得y＝4. ∴点A、点B的坐标分别为(－2，0)，(0，4)．
(2)求S△AOB； 解：∵点 A、点 B 的坐标分别为(－2，0)，(0，4)， ∴OA＝2，OB＝4. ∴S△ AOB＝12OA·OB＝12×2×4＝4.
13．已知抛物线 y＝a(x－h)2 向右平移 3 个单位后得到抛物 线 y＝14x2.
(1)求 a、h 的值； 解：a＝14，h＝－3.
(2)写出抛物线y＝a(x－h)2的对称轴及顶点坐标． 解：抛物线 y＝14(x＋3)2 的对称轴为直线 x＝－3，顶点 坐标为(－3，0)．
14．如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位后，顶点为A， 与y轴交于点B，且△AOB
【答案】y1＞y2＞y3
【易错警示】在利用函数的增减性比较函数值的大 小时，首先要保证所有含比较函数值的点在对称轴 的同一侧，若不在对称轴的同一侧，通过抛物线的 对称性将点统一到同一侧后再进行大小比较．
12．已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为直线x＝－2，且过 点(1，－3)．
(1)求抛物线的函数表达式；
A．y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2 C．0＜y2＜y1 D．y2＜y1＜0
*7.若二次函数y＝(x－m)2，当x≤3时，y随x的增大而减小， 则m的取值范围是( )
A．m＝3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3
【点拨】∵二次函数y＝(x－m)2的二次项系数是1，∴该 二次函数的图象开口向上，其对称轴是直线x＝m.∵当 x≤3时，y随x的增大而减小，∴m≥3.故选C. 【答案】C
二次函数 y=ax2的图象及其性质ppt课件
x轴
______对称.
如果已知y=ax2 (a≠0)的图象，可通过
2的图象.
翻折
_________更方便地得到y=－ax
上
当a＞0时，抛物线开口向___；
当a＜0时，抛物线开口向___.
下
y
7
6
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y=2x2
1 2 3 4 5
x
y=-2x2
第1章 二次函数
1.2 二次函数的图象
第1课时 二次函数 y=ax²的图象及其性质
学习目标
知识与技能 ：能够利用描点法画函数y=ax2的图象。
过程与方法 ：
①经历二次函数y=ax2图象的作法。
②探索二次函数y=ax2性质，获得利用图象研究函数性质的经验。
重点：会画函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解二次函数y=ax2
0 时， y 随x 的增大而减小
当 x=0 时， y 最大值 =0
16
探究新知
例1 已知二次函数y=ax2 (a≠0)的图象经过点(－2，－3).
(1)求a的值，并写出这个二次函数的表达式.
解：把点(－2，－3)的坐标代入y=ax2 ，
得－3=a(－2)2，
解得 a=－
.
所以这个二次函数的表达式是y=－
0.5x2的图象，它们的共同特点是( D )
A．都关于x轴对称，抛物线开口向上
B．都关于原点对称，顶点都是原点
C．都关于y轴对称，抛物线开口向下
D．都关于y轴对称，顶点都是原点
24
2 二次函数的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第3课时PPT课件(华师大版)
首先要将二次函数的关系式化为顶点式,然后按照“左加右减,上加下
减”的平移规律,确定平移后的抛物线对应的函数关系式.
第3课时
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
目标三 理解二次函数y=a(x-h)2+k的性质
例 3 [高频考题]
已知函数 y=3 - +9.
(1)确定此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
第3课时
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
知识点二 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
二次
a的
图象的开 图象的 图象的顶
函数值的
图象
函数
符号
最值
口方向
对称轴 点坐标
变化情况
当x>h时,y随x的
y=
a(x-
a>0
向上
直线
( h , 增大而 增大 ;
图象有最 低点,
当x=h时,y有最
x=h
2
称轴分别为 y 轴,直线 x=1,直线 x=1;顶点坐标分别为
(0,0),(1,0),(1,-2).
第3课时
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
【归纳总结】画二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象的技巧:
(1)找到对称轴直线 x=h(即顶点的横坐标 h);
(2)列表时选取的 x 值中把 h 放在中间,比 h 小和比 h 大的数各取若干个
k
)
当x<h时,y随x的
h)2+k
增大而
增大
大值
k
第3课时
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
反思
减”的平移规律,确定平移后的抛物线对应的函数关系式.
第3课时
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
目标三 理解二次函数y=a(x-h)2+k的性质
例 3 [高频考题]
已知函数 y=3 - +9.
(1)确定此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
第3课时
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
知识点二 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
二次
a的
图象的开 图象的 图象的顶
函数值的
图象
函数
符号
最值
口方向
对称轴 点坐标
变化情况
当x>h时,y随x的
y=
a(x-
a>0
向上
直线
( h , 增大而 增大 ;
图象有最 低点,
当x=h时,y有最
x=h
2
称轴分别为 y 轴,直线 x=1,直线 x=1;顶点坐标分别为
(0,0),(1,0),(1,-2).
第3课时
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
【归纳总结】画二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象的技巧:
(1)找到对称轴直线 x=h(即顶点的横坐标 h);
(2)列表时选取的 x 值中把 h 放在中间,比 h 小和比 h 大的数各取若干个
k
)
当x<h时,y随x的
h)2+k
增大而
增大
大值
k
第3课时
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
反思
北师大版九年级数学下册《二次函数——二次函数的图象与性质》教学PPT课件(4篇)
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4Байду номын сангаас
2
1
–4
–3
–2
–1
O
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
1
2
3
4
x
y =－x2
新知讲解
在画有y
=x2直角坐标系中，画出
=
，y
=2x2的图象.
①列表； ②描点； ③连线.
10
y
y=2x2
9
x
··· －2 －1
y =x2
8
0
1
2
···
7
6
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
新知讲解
在同一坐标系中，画出二次函数 = − ,y=− + ，
y=−
− 的图象，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶
点坐标，指明抛物线y=− + 通过怎样的平移可得到抛物线
=
−
-4
− .
如图所示
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
典例精析
已知二次函数y=x2.求：
（1）当x=5时，y的值；
（2）当y=4时，x的值；
（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？
2 二次函数的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第4课时PPT课件(华师大版)
质 随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x 的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x
>-
>-
时,y随x的增大而增大.
(4)抛物线有最低点,当x=
-
最小值,y最小值=
-
时,y随x的增大而减小.
时,y有 (4)抛物线有最高点,当x=
-
大值,y最大值=
-
时,y有最
以选项 D 错误.
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
【归纳总结】求二次函数最大(小)值的方法:
(1)直接观察函数图象得最大(小)值;(2)配方法;(3)用顶点的坐标公
式求最大(小)值.
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
例 3 [高频考题]
2
如果二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图
2
2
y=ax +bx+c 的形式.反过来,二次函数 y=ax +bx+c 也可以通过配方法转
2
化为 y=a(x-h) +k 的形式.具体过程如下:
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
2
y=ax +bx+c
=a + +
=a + ·
=a +
+
-
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
反思
已知二次函数 y=x2+(m-1)x+1,当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大,试
>-
>-
时,y随x的增大而增大.
(4)抛物线有最低点,当x=
-
最小值,y最小值=
-
时,y随x的增大而减小.
时,y有 (4)抛物线有最高点,当x=
-
大值,y最大值=
-
时,y有最
以选项 D 错误.
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
【归纳总结】求二次函数最大(小)值的方法:
(1)直接观察函数图象得最大(小)值;(2)配方法;(3)用顶点的坐标公
式求最大(小)值.
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
例 3 [高频考题]
2
如果二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图
2
2
y=ax +bx+c 的形式.反过来,二次函数 y=ax +bx+c 也可以通过配方法转
2
化为 y=a(x-h) +k 的形式.具体过程如下:
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
2
y=ax +bx+c
=a + +
=a + ·
=a +
+
-
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
反思
已知二次函数 y=x2+(m-1)x+1,当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大,试
《二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质》二次函数PPT精品课件
和一次项同时提取公因数a，再进行配方会更简便.
3. 将二次函数y＝－
1
4
x2＋x＋4写成y＝a(x－h)2＋k的形
式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝－
x2＋x＋4＝－
(x2－4x＋4－4)＋4＝－
(x
－2)2＋5，
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标是(2，5)，对称轴为直
线x＝2.
2－_______.
＝（x＋_______）
4
15
2. 配方：y＝2x2－4x＋1
＝2(x2－2x)＋1
＝2(x2－2x＋______________－______________)＋1
1
1
2－______________.
＝2(x－______________)
1
1
课堂导练
【例1】利用配方法把抛物线y＝x2－6x－3化为y＝a（x－h）2
形式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝x2－8x＋16－16＝(x－4)2－16，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（4，－16），对称轴
为直线x＝4.
【例2】用配方法把二次函数y＝x2－x＋2化成顶点式．
解：y＝x2－x＋2＝x2－x＋
即y＝ −
2
＋
－
＋2＝ −
新知探究
课堂小结
这节课你收获了什么？ 还有什么疑惑？
新知探究
新知探究
新知探究
2
＋
，
．
思路点拨：利用一次项系数的一半的平方来凑完全平方式
3. 将二次函数y＝－
1
4
x2＋x＋4写成y＝a(x－h)2＋k的形
式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝－
x2＋x＋4＝－
(x2－4x＋4－4)＋4＝－
(x
－2)2＋5，
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标是(2，5)，对称轴为直
线x＝2.
2－_______.
＝（x＋_______）
4
15
2. 配方：y＝2x2－4x＋1
＝2(x2－2x)＋1
＝2(x2－2x＋______________－______________)＋1
1
1
2－______________.
＝2(x－______________)
1
1
课堂导练
【例1】利用配方法把抛物线y＝x2－6x－3化为y＝a（x－h）2
形式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝x2－8x＋16－16＝(x－4)2－16，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（4，－16），对称轴
为直线x＝4.
【例2】用配方法把二次函数y＝x2－x＋2化成顶点式．
解：y＝x2－x＋2＝x2－x＋
即y＝ −
2
＋
－
＋2＝ −
新知探究
课堂小结
这节课你收获了什么？ 还有什么疑惑？
新知探究
新知探究
新知探究
2
＋
，
．
思路点拨：利用一次项系数的一半的平方来凑完全平方式
二次函数y=ax2的图像与性质》课件
0时，y<0.
记 r 为圆的半径，S 为该圆的面 积，有面积公式S=πr2，表明S是r的 函数. (1)当半径r分别为2、2.5、3时，求圆 的 面积S（π取3.14）； (2)画出函数S=πr2的图象.
函数S=πr2 的图象: 注意r≥0的条件.
已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
2 二次函数y=ax 的图象和性质
复习回顾
函数的图象的意义：
一般地，对于一个函数，如果把 自变量与函数的每对对应值分别作为 点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面 内由这些点组成的图形就是这个函数 的图象。
函数图象的画法：
组卷网
1、列表
2、描点 3、连线
列出自变量与函数的对应值表。 注意：自变量的值必须满足取值范围.
共同点: 开口都向下; 顶点是原点而且是抛物线 的最高点，对称轴是 y 轴 在对称轴的左侧， y随着x的增大而增大。 在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小。 不同点: 开口大小不同;
1
-3 -2 -1 0 -1
y
1 2 3 x
1 2 y x 2
-2 -3 -4 -5
y x2 a 越大， 抛物线的开口越大．
2
…
y=－x2
-４ -2.25
-2.25 -４ …
-１.１２５
…
-2
-１.１２５
-2
…
y=－2x2
… -８
-4. 5
-２
-０ . ５ ０
-０ . ５
-２
-4. 5
-８ …
1
5.2二次函数的图像和性质 第3课时 二次函数y=ax^2 bx c的图像和性质(教学课件)-初中数
=-(x2+4x+4-4)-5 =-(x+2)2-1. 二次项系数-1<0，函数图像开口向下，顶点坐标为(-2，-1)，对称轴 是过点(-2，-1)且平行于y轴的直线.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
二次函数y=-x2-4x-5 的图像如图所示.
由图像可知， 当x=-2时， y的值最大， 最大值是-1.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
y＝
1 2
x2－6x＋21
y＝
1 2
(x2－12x)＋21
你知道是怎样配方的吗？ 1. “提”：提出二次项系数；
1 y＝ 2 (x2－12x＋36－36)＋21
y＝ 1 (x－6) 2＋21－18 2
2.“配”：括号内配成完全平方式；
a＜0时，抛物线开口向下，函数有最大值；
4ac － b2
函数在顶点处取得有最大（小）值 4a
.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
练一练：用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式 为( B ) A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
例1 画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，并指出它的开口方向、顶点坐 标、对称轴、最大值或最小值. 【分析】要画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，可先将函数表达式变
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y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
二次函数y=-x2-4x-5 的图像如图所示.
由图像可知， 当x=-2时， y的值最大， 最大值是-1.
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y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
y＝
1 2
x2－6x＋21
y＝
1 2
(x2－12x)＋21
你知道是怎样配方的吗？ 1. “提”：提出二次项系数；
1 y＝ 2 (x2－12x＋36－36)＋21
y＝ 1 (x－6) 2＋21－18 2
2.“配”：括号内配成完全平方式；
a＜0时，抛物线开口向下，函数有最大值；
4ac － b2
函数在顶点处取得有最大（小）值 4a
.
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y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
练一练：用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式 为( B ) A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
例1 画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，并指出它的开口方向、顶点坐 标、对称轴、最大值或最小值. 【分析】要画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，可先将函数表达式变
九下数学课件二次函数y=ax^2+bx+c的图像与性质(课件)
知识点三 二次函数的性质
【变式2】二次函数y＝x2－ax＋b的图像如图所示，对称轴为直线x＝2，
下 列结论不正确的是( C )
A. a＝4 B. 当b＝－4时，顶点的坐标为(2，－8) C. 当x＝－1时，b＞－5 D. 当x＞3时，y随x的增大而增大
知识点四 求最大值、最小值 【例4】已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的
初中数学苏科版九年级下册
中物理
第5章 二次函数
5.2.5 二次函数y=ax2+bx+c 的图像与性质
1.理解二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x+h)2+k之间的关系 2.掌握二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
3.体会二次函数y=ax2+bx+c的图像与a，b，c之间的
关系
思考（一） 请说出抛物线y=ax²+k， y=a（x+h）²，y=a（x+h）²+k 的开口方向、对称轴和顶点坐标.
知识点五 图像的位置与系数a、b、c的Biblioteka 系字母的符号图象的特征
a＞0
a
a＜0
开口向上 开口向下
ab＞0（a，b同号） 对称轴在y轴左侧
b
ab＜0（a，b异号） 对称轴在y轴右侧
c=0
图象过原点
c
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
知识点五 图像的位置与系数a、b、c的关系
【例5】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，那 么abc，2a＋b，a＋b＋c这3个代数式中， 值为正数的有( )
能力提升
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1 的顶点为A.点B的坐标为(3，5)． (1) 求抛物线过点B时顶点A的坐标； (2) 点A的坐标记为(x，y)，求y与x的函数表达式； (3) 如图，点C的坐标为(0，2)，若抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1与线段
2 二次函数的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第2课时PPT课件(华师大版)
y=x 分别交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左边),求△ABC 的面积.
[解析] 将抛物线 y=- x2 向左平移 4 个单位后得到抛物线
2
y=- (x+4) ,在平面直角坐标系中画出直线 y=x 与抛物线 y=- (x+4)
2
的草图,求出 A,B 两点的坐标,然后利用△ABC 的面积等于△AOC 的面
∴当 x<-2 时,y 值随 x 值的增大而增大.
2
【归纳总结】抛物线 y=a(x-h) 的顶点坐标是(h,0),对称轴是直线 x=h.
第2课时
二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
备选目标 二次函数y=a(x-h)2与一次函数的关系
例
2
将抛物线 y=- x 向左平移 4 个单位后,其顶点为 C,并与直线
第2课时
二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
如图,过点 A,B 分别作 AD⊥x 轴于点 D,BE⊥x 轴于点 E,
∴△ABC 的面积= OC·AD- OC·BE= ×4×8- ×4×2=12.
第2课时
二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
总结反思
小结
知识点一 二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系
第26章
26.2
二次函数
二次函数的图象与性质
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第26章
第2课时
二次函数
2
二次函数y=a(x-h)
的图象与性质
目标突破
总结反思
《二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质(1、2)》教学课件
y=x2+1的图象的顶点坐标是
（0，1）． 只要将 y=x2 的图象向 上平移１个单位，就可以得 到 y=x2+1 的图象．
(2)二次函数 y=x2－2的
图象与二次函数 y=x2的图 y=x2 y= x2-2
象有什么关系？它是轴对称
图形吗？它的开口方向、对 称轴和顶点坐标分别是什么？
答：二次函数 y=x2-2的
抛物线y=ax2+c与y=ax2的关系
抛物线 y=ax2+c 与 y=ax2 形状相同，位置不 同．把抛物线y=ax2向上或向下平移，可以得到抛 物线 y=ax2+c. 当 c > 0 时，把抛物线 y = ax2 向上平移 c
个单位得到；当 c < 0 时，把抛物线 y = ax2 向
下平移
|c| 个单位得到． 简称“上，开口方向、对称轴也都 相同，但顶点坐标不同，
y=x2-2的图象的顶点坐标是
（0，-2）． 只要将 y=x2的图象向下 平移 2个单位，就可以得到
y=x2-2的图象．
抛物线y=ax2+c有如下特点：
（1）当a>0时，开口向上 当a<0时，开口向下 （2）对称轴是 y 轴 （3）顶点坐标是（0，c)
(1)二次函数 y=x2+1的
图象与二次函数 y=x2 的图
象有什么关系？它是轴对称 图形吗？它的开口方向、对 称轴和顶点坐标分别是什么？ 作图看一看．
y 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y= x2+1
y= x2
-3 -2 -1 O
1 2 3 x
答：二次函数 y=x2+1的
图象与 y=x2的图象形状相 同，开口方向、对称轴也都 相同，但顶点坐标不同，
华师版九年级数学下册教学课件(HS) 第26章 二次函数 二次函数y=ax2的图象与性质
y
O
x
5.若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）.
（1）则a的值是
；2
（2）对称轴是
，y轴开口
. 向上
（3）顶点坐标是
（，0顶,0）点是抛物线上的最 值 .
小
抛物线在x轴的 方（上除顶点外）.
(4) 若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0, 则y1 y>2.
. 减小
y
O
x
y x
O
3、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k的取值范围
是
.
k>1
4、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
y 3x2
y 3x 2 y 1 x2 3
y 1 x2 3
开口方向 向上 向下 向上 向下
对称轴 y轴 y轴 y轴 y轴
顶点 （0,0） （0,0） （0,0） （0,0）
4.5
2 0.5
0 0.5 2 4.5 8 ···
思考1：从二次函数 关系？
y x2
y 1 x2 , y x开2 ,口y大小2与x2a的大小有什么
2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
-4
-2
2
4
当a>0时，a越大，开口越小.
练一练：在同一直角坐标系中，画出函数
的y 图象1．x2 , y 2x2
讲授新课
一 二次函数y=ax2的图象
典例精析
例1 画出二次函数y=x2的图象. 1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应 值：
x
…
-3
九年级数学下册第五章二次函数的图象与性质二次函数y=ax2(a≠0)的图像和性质课件新版苏科版
当x=0 时,y最小值=0 当x=0 时,y 最大值=0
要点解读:
知2－讲
①判断二次函数的增减性的技巧:从抛物线的对称轴分开,自左
向右看,“上坡路”就是y随x的增大而增大,“下坡路”就是y
随x 的增大而减小.
②在二次函数y=ax(2a≠0)中,a的正负性决定开口方向, |a|决定开
口的大小．|a|越大,抛物线开口越小,反之,|a|越小,抛物线开口
的值要在坐标原点(0,0)的左右两边对称选取,
③连线时,按照自变量由小到大(或由大到小)的顺序,并且用光滑
的曲线顺次连接,初始点和末端点处要注意适当“向外延伸”,
切忌用线段连接或漏点、跨点连接
注意:
知1－讲
(1)由表格可知,在画y= 12x2的图像时,我们可以先描出
(03)连线:按自变量由小到大(或由大到小)的顺序,依次用平 滑的曲线连接各点.
知1－讲
2. 抛物线 二次函数y=ax2的图像是一条抛物线,抛物线的顶点在原 点、对称轴是y 轴. 当a＞ 0 时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点； 当a＜ 0 时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点.
特别提醒:
知2－讲
解:由抛物线的开口方向,知a＞0,b＞0,c＜0,d＜0,由抛 物线的开口大小,知|a|＞|b|,|c|＞|d|,因此a＞b,c＜d. ∴ a＞ b＞d＞c.
知2－讲
巧题妙解: 如图5.2-3,当x=1 时,四个函数值分别等于二次项系数, ∴ 直 线 x=1 与 四 条 抛 物 线 的 交 点 从 上 到 下 依 次 为
第5章 二次函数
5.2 二次函数的图像和性质
5.2.1 二次函数y=ax2(a≠0)的图像和性质
1 课时讲解 二次函数y=ax2 的图像的画法
华东师大版九年级数学下册26.2.3二次函数 的图像与性质(二) 课件
解：因为当x＝2时，二次函数y＝a(x－h)2有最大值，
所以函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝2，
所以当x＞2时，y随x的增大而减小．
10．[2021·衡阳期末]在函数y＝2(x＋1)2的图象上有三
点A(1，y1)，B(－3，y2)，C(－2，y3)，则y1，y2，
y3的大小关系是( A )
A．y1＝y2＞y3
象左右平移|h| 个单位得到.抛物线y=a(x-h)²的顶点是
（h,0）,对称轴是x=h.
方法点拨
平移规律：左加右减，横变纵不变.
1. “ 左 加 ” 表 示 当 h ＜ 0 时 ， 函 数 y=a(x － h)2 可 变 形 为
y=a(x+|h|)2 ，其图象可以由函数 y=ax2 的图象向左平移|h|
点坐标为(h，0)，函数最大值为0，因为当2≤x≤5时，与其对应
的函数值y的最大值为－1，所以h不能取2～5(含2与5)之间的
数．当h<2时，函数在x＝2处取最大值－1，把(2，－1)代入y
＝－(x－h)2，解得h＝1或h＝3(不合题意，舍去)；当h>5时，
函数在x＝5处取最大值－1，把(5，－1)代入y＝－(x－h)2，解
得h＝6或h＝4(不合题意，舍去)．综上可知，h的值为1或6.
【答案】 B
12．如图，抛物线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于
点B，且OB＝OA.
(1)求抛物线对应的函数表达式；
解：由题意得A(－1，0)．
因为OB＝OA，所以B(0，－1)．
将B(0，－1)的坐标代入y＝a(x＋1)2，得a＝－1，
左
________个单位得到．
2-2. 抛物线y=2(x－4)2的顶点坐标为________；对称
所以函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝2，
所以当x＞2时，y随x的增大而减小．
10．[2021·衡阳期末]在函数y＝2(x＋1)2的图象上有三
点A(1，y1)，B(－3，y2)，C(－2，y3)，则y1，y2，
y3的大小关系是( A )
A．y1＝y2＞y3
象左右平移|h| 个单位得到.抛物线y=a(x-h)²的顶点是
（h,0）,对称轴是x=h.
方法点拨
平移规律：左加右减，横变纵不变.
1. “ 左 加 ” 表 示 当 h ＜ 0 时 ， 函 数 y=a(x － h)2 可 变 形 为
y=a(x+|h|)2 ，其图象可以由函数 y=ax2 的图象向左平移|h|
点坐标为(h，0)，函数最大值为0，因为当2≤x≤5时，与其对应
的函数值y的最大值为－1，所以h不能取2～5(含2与5)之间的
数．当h<2时，函数在x＝2处取最大值－1，把(2，－1)代入y
＝－(x－h)2，解得h＝1或h＝3(不合题意，舍去)；当h>5时，
函数在x＝5处取最大值－1，把(5，－1)代入y＝－(x－h)2，解
得h＝6或h＝4(不合题意，舍去)．综上可知，h的值为1或6.
【答案】 B
12．如图，抛物线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于
点B，且OB＝OA.
(1)求抛物线对应的函数表达式；
解：由题意得A(－1，0)．
因为OB＝OA，所以B(0，－1)．
将B(0，－1)的坐标代入y＝a(x＋1)2，得a＝－1，
左
________个单位得到．
2-2. 抛物线y=2(x－4)2的顶点坐标为________；对称
北师版九年级数学下册课件 第二章 二次函数 第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质
练一练 1.函数y=4x2的图象的开口 向上,对称轴是 y轴 ,顶点是 (0,0) ;2.函数y=－3x2的源自象的开口 向下 抛物线的最_高___点
,对称轴是 y轴
,顶点是_(_0_,0_)_ 顶点是
3.函数y= 3 x2的图象的开口向上 ,对称轴是 y轴 ,顶点是向下 ; 顶点是抛物线的最__低__点.
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题： （1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
向下平移1个单位. （2）函数y=-x2+1，当x >0 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 =0 ，其图象与y轴的交点坐标 是 1 ，与x轴的交点坐标是 (0,1) .
例2 已知 y (k 2)xk2 k4 是二次函数，且当x＞0时，y随x 增大而增大，则k= 2 .
分析： y (k 2)xk2 k4 是二次函数，即二次项的系数
不为0，x的指数等于2.
又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.
因此，
k2 k 4 2 k 2＞0
解得 k=2
x
··· －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5
···
···
4.5
2
0.5 0 0.5 2 4.5
···
描点，连线.
y x2 8 6
4 2
－4
－2
y 2x2
2
4
观察思考
问题1 二次函数y=2x2的图象是什么形状？ 二次函数y=2x2的图象是一条抛物线， 并且抛物线开口向上. 问题2 图象的对称轴是什么？
与y=ax2的关 系
平移规律： c正向上； c负向下.
27.2.2.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质课件ppt
解： a 1 0 2 开口方向：向上。
b 2 2 1 2a 2 2 1 2 4 3 ( 2) 2 4ac b 2 y 1 1 4a 4 2 顶点坐标：（2，1） 对称轴： x
（1） y 2x2 - 12x 13
1 2 y x - 2x 3 2
你知道吗?
1 2 怎样把 y x - 2x 3 2 1 2 改写成 y (x 2) 1 呢？ 2
用配方法
1 2 y= x -2x+3 2 解：
1 2 y x - 2x 3 2 1 2 (x - 4x 6) 2 1 2 2 2 x 4x (2) (2) 6 2 1 2 (x 2) 2 2 1 2 ( x 2) 1 2
解： a 1 0 2 开口方向：向上。
b 2 2 1 2a 2 2 1 2 4 3 ( 2) 2 4ac b 2 y 1 1 4a 4 2 顶点坐标：（2，1） 对称轴： x
（1） y 2x2 - 12x 13
1 2 y x - 2x 3 2
对称轴：x=2; 顶点坐标:(2,1).
∴开口方向：向上; 对称轴：x=3; 顶点坐标:(3,5).
你能把 y ax bx c
2
改写成 y a(x h) k 吗？
2
用配方法
你知道吗?
y ax2 bx c b c a(x x ) a a 2 2 2 b b b c a x x a 2a 2a a
当x<h时, y随着x的增大而增大。 当x>h时， y随着x的增大而减小。
b 2 2 1 2a 2 2 1 2 4 3 ( 2) 2 4ac b 2 y 1 1 4a 4 2 顶点坐标：（2，1） 对称轴： x
（1） y 2x2 - 12x 13
1 2 y x - 2x 3 2
你知道吗?
1 2 怎样把 y x - 2x 3 2 1 2 改写成 y (x 2) 1 呢？ 2
用配方法
1 2 y= x -2x+3 2 解：
1 2 y x - 2x 3 2 1 2 (x - 4x 6) 2 1 2 2 2 x 4x (2) (2) 6 2 1 2 (x 2) 2 2 1 2 ( x 2) 1 2
解： a 1 0 2 开口方向：向上。
b 2 2 1 2a 2 2 1 2 4 3 ( 2) 2 4ac b 2 y 1 1 4a 4 2 顶点坐标：（2，1） 对称轴： x
（1） y 2x2 - 12x 13
1 2 y x - 2x 3 2
对称轴：x=2; 顶点坐标:(2,1).
∴开口方向：向上; 对称轴：x=3; 顶点坐标:(3,5).
你能把 y ax bx c
2
改写成 y a(x h) k 吗？
2
用配方法
你知道吗?
y ax2 bx c b c a(x x ) a a 2 2 2 b b b c a x x a 2a 2a a
当x<h时, y随着x的增大而增大。 当x>h时， y随着x的增大而减小。