初中数学证明三角形全等方法总结

初中数学证明三角形全等方法总结
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在证明线段或角相等时，解题的关键往往是根据条件找到两个可能全等的三角形，再证明这两个三角形全等，最后得出结论.
利用全等三角形的性质可以证明分别属于两个三角形中的线段或角相等．
下面介绍证明三角形全等的几种方法，供同学们参考．
一、利用公共角证明全等
【例题1】如图1，已知AB ＝AC, AE ＝AF，BF 交CE 于点O.
图1
求证: ∠ABF ＝∠ACE.
分析：要证明∠ABF＝∠ACE，只需证明△BOE≌△COF 或△ABF≌△ACE. 而由图形可知∠A 是公共角，又由已知条件AB ＝AC, AE＝AF, 所以△ABF≌△ACE（SAS），于是问题获证．
证明：略.
二、利用对顶角证明全等
【例题2】如图2，点B、E、F、D 在同一条直线上，AB ＝CD，BE ＝DF，AE ＝CF，连接AC 交BD 于点O．
图2
求证：AO ＝CO．
分析：要证明AO＝CO，只需证明△AOE≌△COF或△AOB≌△COD 即可．根据现有条件都无法直接证明．而由已知条件AB ＝CD，BE ＝DF, AE ＝CF 可直接证明△ABE≌△CDF，则有∠AEB＝∠CFD，进而有∠AEO＝∠CFO，再利用对顶角相等即可证明△AOE≌△COF（AAS）于是问题获证．
证明：略.
三、利用公共边证明全等
【例题3】如图3，已知AB ＝CD，AC ＝BD．
图3
求证：∠B ＝∠C．
分析：设AC 与BD 交于点O，此时∠B 与∠C 分别在△AOB 和△DOC 中，而用现有的已知条件是不可能直接证明这两个三角形全等的，需添加辅助线来构造另一对全等三角形．此时可以连接AD，那么AD 是△ABD 和△DCA 的公共边，这样可以证明△ABD≌△DCA（SSS），从而可证明∠B ＝∠C，于是问题获证．
证明：略.
四、利用相等线段中的公共部分证明全等
【例题4】如图4，点E、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF ＝CE.
图4
求证：BE∥DF.
分析：要证明BE∥DF, 只需证明∠BEC ＝∠DFA，此时可以转换为证明∠AEB ＝∠CFD, 进而证明△AEB≌△CFD（SAS）. 而AE = AF - EF , CF = CE - EF , 故AE = CF .
证明：
∵ 在平行四边形ABCD 中，
∴ AB∥CD，AB = CD，
∴ ∠BAE = ∠DCF，
∵ AE = AF - EF , CF = CE - EF , AF ＝CE，
∴ AE = CF，
∴ △AEB ≌ △CFD（SAS），
∴ ∠AEB ＝∠CFD,
∴ ∠BEC ＝180° - ∠AEB = 180° - ∠CFD = ∠DFA，
∴ BE∥DF.
五、利用等角中的公共部分证明全等
【例题5】如图5，已知∠E ＝30°，AB ＝AD，AC ＝AE，∠BAE＝∠DAC．
图5
求：∠C 的度数．
分析：已知∠E ＝30°，要求∠C，可考虑证明△ABC≌△ADE , 由∠BAE ＝∠DAC , 结合图形可知∠BAC ＝∠DAE，于是问题获解．
证明：
∵ ∠BAE＝∠DAC，
∴ ∠BAE + ∠EAC = ∠DAC + ∠EAC，
∴ ∠BAC ＝∠DAE，
∵ AB ＝AD，AC ＝AE，
∴ △ABC ≌ △ADE（SAS）,
∴ ∠C = ∠E = 30° .
六、利用互余或互补角的性质证明全等
【例题6】如图6，已知∠DCE ＝90°，∠DAC ＝90°，BE⊥AC 于点B, 且DC ＝EC, 能否找出与AB + AD 相等的线段，并说明理由．
图6
分析：由于AC ＝AB + BC，可以猜想AC ＝AB + AD，或BE ＝AB + AD，此时只需证明AD ＝BC 即可．而事实上，用同角的余角相等可得到∠DCA ＝∠E，从而证明△ADC ≌ △BCE，问题获证．
注意考点：同角或等角的余角相等.
证明：
∵ BE⊥AC，
∴ ∠EBC = 90°，
∵ ∠DCA + ∠ACE = ∠DCE = 90°，∠E + ∠ACE = 90°，
∴ ∠DCA ＝∠E，
∵ ∠DAC = ∠EBC = 90°，DC ＝EC,
∴ △ADC ≌ △BCE（AAS），
∴ AC = BE , AD = BC，
∴ AB + AD = AB + BC = AC = BE .
七、利用角平分线的性质构造全等三角形证明全等
考点：角平分线上的点到角两边的距离相等
【例题7】如图7，点P 是∠ABC 的平分线BN 上一点，PE 垂直AB 所在的直线与E , PF 垂直BC 所在的直线于F, ∠PAB + ∠PCB = 180°.
图7
求证：PA = PC.
证明：
∵ BN 是∠EBC 的角平分线，PE⊥BA，PF⊥BC，
∴ ∠PEA = ∠PFC = 90°，PE = PF ,
∵ ∠PAB + ∠PAE = ∠PAB + ∠PCB = 180°，
∴ ∠PAE = ∠PCF，
∴ △PAE ≌ △PCF，
∴ PA = PC.
八、利用截长补短法构造全等三角形证明全等
所谓截长法是指在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段，而补短法是指延长较短的线段等于较长的线段，通过截长补短可以把分散的条件相对集中起来，以便构造全等三角形。

【例题8】如图8，在△ABC 中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.
图8 - 1
求证：AB = AC + CD.
分析：从结论分析，“截长” 或“补短” 都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE = CD，
图8 - 2
来证明△ADB ≌ △ADE（AAS）.
或在AB上截取AF = AC，来证明△ADF ≌ △ADC（SAS）,
图8 - 3
AB = AF + FB = AF + FD = AC + CD .
证明：略.
九、利用“一线三等角” 模型构造全等三角形证明全等
所谓“一线三等角” 是指一条直线上有三个相等角，如果有一组边对应相等则可以构造全等三角形.
类型一：直角三角形中的“一线三等角” 模型
【例题9】如图9，在△ABC 中，∠B = 90°，CD⊥AC，过点D 作DE⊥BC 交BC 延长线于点E，且AC = CD ，
图9
求证：△ABC ≌ △CED.
证明：
∵ DE⊥BC，CD⊥AC，
∴ ∠DEC = 90°，∠ACD = 90°，
∵ ∠A + ∠ACB = 90°，∠ACB + ∠DCE = 180° - ∠ACD = 90°，
∴ ∠A = ∠DCE，
∵ ∠B = ∠E = 90°，AC = CD , ∠A = ∠DCE，
∴ △ABC ≌ △CED（AAS）.
类型二：等腰三角形中底边上的“一线三等角” 模型
【例题10】如图10，在△ABC 中，AB = AC，点D、E 分别在AB、BC 上，作∠DEF = ∠B，射线EF 交线段AC 于点F，若DE = EF,
图10
求证：△DBE ≌ △ECF.
证明：
∵ AB = AC ,
∴ ∠B = ∠C，
∵ ∠BED = 180° - ∠DEF - ∠FEC，∠CFE = 180° - ∠C - ∠FEC，又∵ ∠DEF = ∠B = ∠C，
∴ ∠BED= ∠CFE，
∵ DE = EF，∠B = ∠C，∠BED = ∠CFE，
∴ △DBE ≌ △ECF（AAS）.。