2013-2014学年度高二第二学期理科数学期末统考模拟试题(一)(教师版)
河北省石家庄市2013-2014学年高二下学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
2013-2014学年河北省石家庄市高二（下）期末数学试卷（理科）一.选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知a是实数，i是虚数单位，是纯虚数，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣2．（5分）用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的3．（5分）若i为虚数单位，复数z=2﹣i，则+=（）A．2+i B．2+i C．2+i D．2+3i 4．（5分）某人上班途中要经过三个有红绿灯的路口，设遇到红灯的事件相互独立，且概率的值为（）A．B．3C．5D．6．（5分）已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率（）A．B．C．D．7．（5分）设（x﹣）6的展开式中x3的系数为a，二项式系数为b，则的值为（）A．B．C．16 D．48．（5分）甲，乙，丙，丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关试验，并用回归分析方两变量有更强的线性相关性的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁9．（5分）某城市有3个演习点同时进行消防演习，现将4个消防队分配到这3个演习点，若每个演习点至少安排1个消防队，则不同的分配方案种数位（）A．12 B．36 C．72 D．10810．（5分）用数学归纳法证明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）A．（k+1）2+2k2B．（k+1）2+k2C．（k+1）2D．11．（5分）函数f（x）=（x2﹣2x）e x（e为自然数的底数）的图象大致是（）12．（5分）已知x＞0，由不等式x+≥2=2，x+=≥3=3，…，可以推出结论：x+≥n+1（n∈N*），则a=（）A．2n B．3n C．n2D．n n二.填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若（x+m）9=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9，且a0﹣a1+a2﹣a3+…+a8﹣a9=39，则实数m的值为_________．14．（5分）曲线y=x2﹣1与直线x+y=1围成的图形的面积为_________．15．（5分）甲、乙两名选手进行围棋比赛，甲选手获胜的概率为，乙选手获胜的概率为，有如下两种方案，方案一：三局两胜；方案二：五局三胜．对于乙选手，获胜概率最大的是方案_________．16．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣a（a∈R），若存在x0，使f（x）在x=x0处取得极值，且f（x0）=0，则a的值为_________．三.解答题（共5小题，共70分）17．（12分）甲乙两个班级均为40人，进行一门考试后，按学生考试成绩及格与不及格进行统计，甲班及格人数为36人，乙班及格人数为24人．（Ⅰ）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（Ⅱ）试判断能否有99.5%的把握认为“考试成绩与班级有关”？参考公式：K2=；n=a+b+c+d18．（12分）某次考试中，从甲、乙两个班各随机抽取10名学生的成绩进行统计分析，学生成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．（Ⅰ）从每班抽取的学生中各随机抽取一人，求至少有一人及格的概率（Ⅱ）从甲班10人中随机抽取一人，乙班10人中随机抽取两人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望．19．（12分）设数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n2﹣2na n+2，n∈N*．（Ⅰ）求出a2，a3，a4的值，并猜想数列{a n}的通项公式（不需证明）；（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，试求使得2n＞S n成立的最小正整数n，并给出证明．20．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a＜0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[0，1]，函数g（x）=x3+x2[f′（x）+m]在区间（t，2）上总不是单调函数，其中f′（x）为f（x）的导函数，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2，其中e是自然对数的底数，f′（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数g（x）=x2+a与函数f（x）的图象在区间[﹣1，2]上恰有两个不同的交点，求实数a的取值范围．四.选考题（请考生在22-24题三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）[选修4-1几何证明选讲]22．（10分）如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S=AD•AE，求∠BAC的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知圆C1的参数方程为（φw为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ=4sin（θ+）．（Ⅰ）将圆C1的参数方程化为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标系方程；（Ⅱ）圆C1，C2是否相交？请说明理由．[选修4-5：不等式选讲]24．设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M．（Ⅰ）求集合M；（Ⅱ）若a，b∈M，求证：ab+1＞a+b．石家庄市2013～2014学年度第二学期期末考试试卷高二数学（理科答案）6分（Ⅱ）222()80(4241636)9.6()()()()40402060n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===++++⨯⨯⨯ 由2(7.879)0.005P K ≥≈，所以有99.5%的把握认为“成绩与班级有关系”. …………………12分18. 解：(Ⅰ)由茎叶图可知：甲班有4人及格，乙班有5人及格，设事件“从每班10名同学中各抽取一人，至少有一人及格”为事件A ．则653()101010P A ⨯==⨯，所以7()1()10P A P A =-=．…………4分(Ⅱ)由题意可知X 的所有可能取值为0，1,2,3．…………5分2521062(0)1015C P X C ⨯===⨯；25221010465519(1)101045C P X C C ⨯⨯⨯==+=⨯⨯； 25221010645516(2)101045C P X C C ⨯⨯⨯==+=⨯⨯；2521044(3)1045C P X C ⨯===⨯．…………9分 所以X 的分布列为X 0123P 21519451645445因此219164()012315454545E X =⨯+⨯+⨯+⨯=19. 解 (Ⅰ)a 2＝5，a 3＝7，a 4＝9，猜想a n ＝2n ＋1. …………4分(Ⅱ)S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n ，…………6分使得2n n S >成立的最小正整数n ＝6. …………7分下证：n ≥6(n ∈N *)时都有2n >n 2＋2n .①n ＝6时，26>62＋2×6，即64>48成立；…………8分②假设n ＝k (k ≥6，k ∈N *)时，2k >k 2＋2k 成立，那么2k ＋1＝2·2k >2(k 2＋2k )＝k 2＋2k ＋k 2＋2k >k 2＋2k ＋3＋2k ＝(k ＋1)2＋2(k ＋1)，即n ＝k ＋1时，不等式成立；由①、②可得，对于所有的n ≥6(n ∈N *)都有2n >n 2＋2n 成立． …………12分20．解 (Ⅰ)根据题意知，(1)()(0)a x f x x x-'=>，…………2分 当0a <时，()f x 的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]． …………4分(Ⅱ)∵(2)12af '=-=，∴2a =-， ∴()2ln 23f x x x ＝－＋－.∴32()(2)2g x x m x x =++-，∴2()3(24)2g x x m x '=++-.…………6分∵()g x 在区间(),2t 上总不是单调函数，且(0)2g '=-， ∴()0(2)0g t g '<⎧⎨'>⎩…………8分由题意知：对于任意的[]0,1t ∈，()0g t '<恒成立，∴(0)(1)0(2)g g g '<⎧⎪'<⎨⎪'>⎩∴92m -<<21．解：(Ⅰ)由已知得1()(1)e (0)x f x f f x -=-+， 令1x ＝，得(1)(1)(0)1f f f ''=-+，即()01f ＝.…………2分又()(1)0ef f '＝，所以(1)e f '=. 从而21()e 2xf x x x =-+.…………4分(Ⅱ)由()()f x g x ＝得e xa x ＝－.令()e xh x x ＝－，则()e 1xh x '＝－.…………6分由()0h x '＝得0x ＝.所以当(1,0)x ∈－时，()0h x '<； 当()0,2x ∈时，()0h x '>. ∴()h x 在(－1,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增．…………8分 又()01h ＝，1(1)1eh -=+，()22e 2h ＝－ 且()(1)2h h <－．…………10分∴两个图像恰有两个不同的交点时，实数a 的取值范围是1(1,1]e+.…………12分 22．解析：（Ⅰ）证明：由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD.故△ABE ∽△ADC. …………5分（Ⅱ）因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AE ＝ADAC，即AB·AC＝AD·AE.又S ＝12AB·ACsin ∠BAC ，且S ＝12AD·AE，故AB·ACsin ∠BAC ＝AD·AE.则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90°. …………10分23．坐标系与参数方程（I ）由2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩可得224x y +=，由4sin()3πρθ=+得24(sin cos cos sin )33ππρρθθ=+，即222x y y +=+，整理得22((1)4x y +-=5分（II ）圆1C 表示圆心在原点，半径为2的圆，圆2C 2的圆，又圆2C 的圆心在圆1C 上，由几何性质可知，两圆相交．…………10分 24．不等式选讲 解 （Ⅰ）由|21|1x <－得1211x <<－－，解得01x <<. 所以{}|01M x x <<＝．…………5分（Ⅱ）由(Ⅰ)和a b M ∈，可知01a <<,01b <<. 所以(1)()(1)(1)0ab a b a b >＋－＋＝－－. 故1ab a b >＋＋.…………10分。
河南省南阳市2013-2014学年高二下学期期末质量评估数学理试题 扫描版含答案
2014年春期南阳市期末质量检测高二数学（理科）答案一、选择题（共12个小题，每小题5分）1—5 BADCA 6—10 BBDDC 11—12 DA二、填空题（共4小题，每题5分） 13.2π 14. q 15. (][),16 2.-∞-+∞ 16. ①③三、解答题17. 解：（1）2532150330m m m m m m ⎧==-⎧--=⇒⎨⎨≠-+≠⎩⎩或 ∴Z 是实数时，m=5.……………………………………（5分）（2）222150303260m m m m m m m ⎧--≠⎪+≠⇒==-⎨⎪--=⎩或 3m ∴=当，=12Z i -；当2m =-时，=7Z i - ……………………………………（10分）18. 解：（1）由抽样调查阅读莫言作品在50篇以上的概率为111812131510795050100+++++=+ ，据此估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率为79100P = ………………（6分） (2)非常了解 一般了解 合计 男生30 20 50 女生25 25 50 合计55 45 100根据列表数据得 ()2210030252025 1.010 1.32350505545K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯， 所以，没有75%的把握人物对莫言作品的了解程度与性别有关.…………（12分）19. 解：假设存在一次函数()()0g x kx b k =+≠，使得 ()()12311n n a a a a g n a -++++=-对2n ≥的一切自然数都成立，则当n=2时有，()()1221a g a =-，又()1211,1,222a a g ==+∴=即22kb +=……①. 当n=3时有，()()12331a a g a +=-，又1221111,1,1,223a a a ==+=++()33g ∴=，即33k b +=……②，由①②可得1,0k b ==，所以猜想：()g x x =，…………………………（5分） 下面用数学归纳法加以证明：（1）当n=2时，已经得到证明；……………………………………（6分）（2）假设当n=k （2,k k N ≥∈）时，结论成立，即存在()g k k =，使得()()12311k k a a a a g k a -++++=-对2k ≥的一切自然数都成立，则当1n k =+时，()1231231+k k k a a a a a a a a a -++++=++++ ()()=11k k k k a a k a k -+=+-，……………………（8分） 又11111112311k k a a k k k +=+++++=+++，111k k a a k -∴=-+， ()()()1231111111k k k a a a a k a k k a k ++⎛⎫∴++++=+--=+- ⎪+⎝⎭， ∴当1n k =+时，命题成立.………………………………………………（11分） 由（1）（2）知，对一切n ，（2,n n N *≥∈）有()g n n =，使得()()12311n n a a a a g n a -++++=-都成立.…………………………（12分） 20. 解：（1）()2212'1a a f x x x -=+-，依题意有：()'20f =，即21104a a -+-= 解得：32a = 检验：当32a =时，()()()2222122332'1=x x x x f x x x x x ---+=+-= 此时：函数()f x 在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，满足在2x =时取得极值 综上：32a = ……………………………………（6分） （2）依题意：()0f x ≥对任意[)1,+x ∈∞恒成立等价转化为()min 0f x ≥在[)1,+x ∈∞恒成立的必要条件是(1)0f ≥ ，即220a -≥，所以1a ≤………………（8分）因为()()()()()2222211221212'1x a x x ax a a a f x x x x x ----+--=+-== 令()'0f x =得：121x a =-，21x = …………………………………………（10分）1a ≤∴211a -≤，此时，函数()'0f x ≥在[)1,+∞恒成立，则()f x 在[)1,+∞单调递增，于是()()min =1220f x f a =-≥，解得：1a ≤，此时：1a ≤综上所述：实数a 的取值范围是1a ≤ …………………………………………………（12分）.21. 解：（1）设“选出的3种商品中至少有一种是日用类商品”为事件A ，则方法一：()1221345454393742C C C C C P A C ++==; 方法二：()353937142C P A C =-=. 即选出的3种商品中至少有一种是日用类商品的概率为3742.……………………（6分） （2）ξ的可能取值为0,,2,3x x x ，则()111101112228P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2131131228P x C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭， ()22311321228P x C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()111132228P x ξ==⨯⨯=， ∴ ξ的分布列为 ξ 0 x 2x 3x P 18 3838 18故13313=02388882E x x x x ξ⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 根据题意，得31802x ≤，解得120x ≤， 即x 至多为120元时，此促销方案使商场不会亏本。
2013-2014学年高二下学期期末考试数学(理)试题
2013-2014学年第二学期期末考试高二年级数学理科试题一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1. 已知{}{}{}1,2,3,0,1,3,4,1,2a b R ∈-∈∈，则方程()()222x a y b R -++=所表示的不同的圆的个数有( )A. 34224⨯⨯=B. 34214⨯+⨯=C. ()34214+⨯=D. 3429++=2. 乒乓球运动员10人，其中男女运动员各5人，从这10名运动员中选出4人进行男女混合双打比赛，选法种数为( )A. ()225AB. ()225C C. ()22254C A ⋅ D. ()22252C A ⋅ 3. ()()()34211...1n x x x +++++++的展开式中3x 的系数是( ) A. 33n C + B. 321n C ++ C. 321n C +- D. 32n C +4. 参数方程2221121t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）化为普通方程为( ) A. 221x y += B. 221x y +=去掉()0,1点C. 221x y +=去掉()1,0点D. 221x y +=去掉()1,0-点5. 从标有1，2,3，…，9的9张纸片中任取2张，数字之积为偶数的概率为( ) A. 12 B. 718 C. 1318 D. 11186. 在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为( ) A. 35 B. 25 C. 110 D. 597. 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是( )A. 0.665B. 0.56C. 0.24D. 0.2858. 用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是( )A. 48B. 36C. 28D. 209. 在一次试验中，测得(),x y 的四组值分别是()()()()1,2,2,3,3,4,4,5A B C D ,则y 与x 之间的回归直线方程为( )A. 1y x =+B. 2y x =+C. 21y x =+D. 1y x =-10. 在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为( )A. sin 2ρθ=B. cos 2ρθ=C. 4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D. 4sin 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭11. 甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表1S ,2S ,3S 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有( )A. 312S S S >>B. 213S S S >>C. 123S S S >>D. 231S S S >>12. 已知ξ的分布列如下：并且23ηξ=+，则方差D η=( ) A. 17936 B. 14336 C. 29972 D. 22772二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某射手射击所得环数ξ的分布列如下已知ξ的期望8.9E ξ=，则y 的值为 .14. 若直线y x b =+与曲线cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，且22ππθ-≤≤）有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是 .15. 设()21221012211...x a a x a x a x -=++++，则1011a a += .16. 曲线的极坐标方程为1tan cos ρθθ=⋅，则曲线的直角坐标方程为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）求()()2111x x ++的展开式中1x 的系数 18.（本小题满分12分）为了调查胃病是否与生活规律有关，某地540名40岁以上的人的调查结果如下：根据以上数据比较这两种情况，40岁以上的人患胃病与生活规律有关吗？（提示：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++）19.（本小题满分12分）有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）共有多少种放法？（2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？（3）恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？（4）恰有两个盒不放球，有多少种放法？20.（本小题满分12分） 点P 在椭圆221169x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离. 21.（本小题满分12分）已知直线l 经过点()1,1P ，倾斜角6πα=（1）写出直线l 的参数方程.（2）设l 与圆224x y +=相交于两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.22.（本小题满分12分）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：从第一个顾客开始办理业务时计时.（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X 表示至第2分钟末已办理业务的顾客人数，求X 的分布列∏数学期望. 河北峰峰春光中学2013-2014学年第二学期期末考试高二数学(理科)答案一． ADBDC DACAB BA二．0.4 ]1,2(-- 0 2x y =17. 解：解法一：先变形，再部分展开，确定系数.252232423(1)(1)(1)(1)(12)(133)x x x x x x x x x +-=--=-+-+-．所以3x 是由第一个括号内的1与第二括号内的3x -的相乘和第一个括号内的22x -与第二个括号内的3x -相乘后再相加而得到，故3x 的系数为1(1)(2)(3)5⨯-+-⨯-=．18. 解：由公式得 2 540(6020026020) 32022080460k ⨯⨯-⨯ = ⨯⨯⨯ 2540(120005200)24969609.6382590720000259072⨯-==≈． 9.6387.879>∵，∴我们有99.5%的把握认为40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易患胃病.19. 解：（1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有：44256=种．（2）为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2，1，1的三组，有24C 种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可.由分步乘法计数原理，共有放法：12124432144C C C A =···种．（3）“恰有一个盒内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此，“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事.故也有144种放法.（4）先从四个盒子中任意拿走两个有24C 种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为（3，1），（2，2）两类.第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有3142C C ·种放法；第二类：有24C 种放法.因此共有31342414C C C +=·种.由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有：241484C =·种． 20. 解：设(4cos ,3sin )P θθ，则12cos 12sin 245d θθ--=即d =，当cos()14πθ+=-时，max12(25d=；当cos()14πθ+=时，min12(25d=.21.解：（1）直线的参数方程为1cos61sin6x ty tππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即1112xy t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（2）把直线1112 xy t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+yx得2221(1)(1)4,1)2022t t t+++=+-=122t t=-，则点P到,A B两点的距离之积为222.。
重庆市2013-2014学年高二下学期期末考试数学(理)试卷_有答案
2014年春高二下期末数学理测试卷一、选择题（1）已知i 为虚数单位，则1||ii+=（A （B ）2 （C （D ）12（2）7(1)x +的展开式中2x 的系数是（A ）21 （B ）28 （C ）35 （D ）42（3）因为指数函数(01)xy a a a =>≠且是增函数，而1()2x y =是指数函数，所以1()2xy =是增函数，以上推理错误的是（A ）大前提 （B ）小前提 （C ）推理形式 （D ）以上都错 （4）设随机变量2~(1,)N ξσ，若(01)0.3P ξ<<=，则(2)P ξ<= （A ）0.2 （B ）0.7 （C ）0.8 （D ）0.5（5）甲船在早6点至12点之间的任意时刻出发，则它早于8点出发的概率为 （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）27（6）在2014年3月15日，我市物价部门对本市的5家商场的某种商品一天的销售量及价格进行调查，5家商场的价格x 元与销售量y 件之间的一组数据如下表。
由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性关系，其线性回归方程为$ 3.2y x a =-+，则a 的值为（A ） （B ） （C ） （D ） （7）设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为则ξ的期望为（A ）12（B ）1+ （C ） （D ）11（8）已知函数()f x 在R 满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（A ）21y x =- （B ）y x = （C ）32y x =- （D ）23y x =-+（9）用红、黄、蓝三种颜色去涂题（9）图中标号为1，2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂的颜色不同，且“3、5、7”号数字涂色相同，则符合条件的所有涂法种数为 （A ）96 （B ）108 （C ）196 （D ）432 （10）已知函数2()ln f x x a x =+，若对任意两个不等的正数1212,()x x x x >，都有1212()()2()f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（A ）12a >（B ）12a ≥ （C ）0a > （D ）2a > 二、填空题（11）曲线sin y x =在点(3π处切线的斜率为_______； （12）已知复数1Z i =+，则2Z Z-=__________； （13）2个女生与2个男生排成一排合影，则恰有一个女生站在两男生之间的排列种数为___；（14）若对于任意实数x ，有55015(2)(2)x a a x a x =+-++-L ，则1350a a a a ++-=___；（15）对于大于1的自然数m 的三次幂可以用奇数进行以下方式的“分裂”：3325⎧⎨⎩，373911⎧⎪⎨⎪⎩，3131541719⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，…仿此，若3m 的“分裂”中有一个数是135，则m 的值为_____.三、解答题（16）（本小题满分13分）已知二项式(nx 展开式中第二项的系数2a 与第三项的系数3a 满足：3290a a +=. (Ⅰ)求n 的值；（Ⅱ）记展开式中二项式系数最大的项为()f x ，求(4)f 的值.（17）（本小题满分13分）用数字0、1、3、4、5、8组成没有重复数字的四位数. (Ⅰ)可以组成多少个不同的四位偶数？（Ⅱ）可以组成多少个不同的能被5整除的四位数？（18）（本小题满分13分）甲袋和乙袋装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中有m 个球，乙袋中有2m 个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为15，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P . (Ⅰ)若10m =，从甲袋中红球的个数； （Ⅱ）设15P =，若从甲、乙两袋中各自有放回地模球，从甲袋中模1次，从乙袋中摸2次，每次摸出1个球，设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和数学期望. (19) (本小题满分12分）数列{}n a 满足：11a =，22*121,2n nn n n n a a a n N a a n++=+∈+-(Ⅰ)写出234,,a a a ，猜想通项公式n a ，用数学归纳法证明你的猜想；2*1(1),2n a n N <+∈L(20) (本小题满分12分） 已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a R =-++∈. (Ⅰ)当1a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.(21) (本小题满分12分）已知函数2(2),0(),0x x ax e x f x bx x ⎧->=⎨≤⎩，()ln g x c x b =+，其中0b <，且x =()y f x =的极值点.(Ⅰ)求实数a 的值，并确定实数m 的取值范围，使得函数()()x f x m ϕ=-有两个零点；（Ⅱ）是否存在这样的直线l ，同时满足：①l 是曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线；②l 与曲线()y g x =相切于点00(,)P x y ，10[,]x e e -∈？若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由.2014年重庆高二下数学理科参考答案一、选择1~5 AAACA 6~10 DCABB（10）提示：12121122()()2()()2()2f x f x x x f x x f x x ->-⇔->-即2()()2ln 2g x f x x x a x x =-=+-在(0,)+∞上单增，即()220ag x x x'=+-≥恒成立，也就是222a x x ≥-+恒成立，2max (22)a x x ∴≥-+12a ∴≥，故选B 二、填空 （11）12（12）2i - （13）8 （14）89 （15）12 （15）提示：补充{311，31用掉1个奇数，32用掉2个奇数，依此类推，3m 用掉m 个奇数，而135是第68个奇数，则1268m +++≥L 且12168m +++-<L ，12m ∴= 三、解答(16)解：（Ⅰ）12(2)n a C =⋅-，223(2)n a C =⋅-，2212329(2)9(2)2200n n a a C C n n +=⋅-+⋅-=-=，10n =或0n =（舍）（Ⅱ）由(Ⅰ)得，二项式系数最大项为第六项，则55510()(2)f x C =⋅-，5551010(4)(2)22522f C =⋅-=-⨯(17)解：（Ⅰ）偶数个数有131********C A C A ⋅-⋅= （Ⅱ）被5整除的四位数有132254108C A A ⋅-=（18）解：（Ⅰ）红球个数为11025⨯= （Ⅱ）3464(0)()5125P ξ===，1231448(1)()()55125P C ξ===，2231412(2)()()55125P C ξ===， 311(0)()5125P ξ=== 分布列为()01231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（19）解：（Ⅰ）2342,3,4a a a ===，猜想n a n =证明：①当1n =时，11a =，猜想成立；②假设当*()n k k N =∈时猜想成立，即k a k =那么，2212112k k k k a k k k k+⋅+=+=++-，所以当1n k =+时猜想也成立 由①②可知猜想对任意*n N ∈都成立，即n a n =21(1)2n +<+L1122n n n ++<=+，则2(1)(2)1(12)(1)22222n n n n n n n n +++<++++=+=<+L L（20）解：（Ⅰ）2(1)(2)()(21)ax x f x ax a x x --'=-++=，当1a =时，(1)(2)()x x f x x--'=当01x <<时，()0f x '>，()f x 单增；当12x <<时，()0f x '<，()f x 单减；当2x >时，()0f x '>，()f x 单增（Ⅱ）即max max ()()f x g x <，而2()(1)1g x x =--在(0,2]上的最大值为(2)0g =，∴max ()0f x <，即()0f x <在(0,2]上恒成立，2211(21)2ln 0(2)2ln 22ax a x x x x a x x -++<⇔-<-∵(0,2]x ∈，∴21202x x -<，22ln 122x xa x x -∴>-恒成立令22ln ()122x x h x x x -=-，则221(2)(2ln 2)2()1(2)2x x x h x x x ---'=-， 11202ln 22(ln 1)022x x x x x x -≤--=--<且，∴()0h x '≥即()h x 在(0,2]上单调递增，∴(2)ln 21a h >=-（21）解：（Ⅰ）当0x >时，2()(222)xf x x x ax a e '=+--，由题知0f '=，∴1a =，于是2()(2)x f x x e '=-，∴()f x在上单减，在)+∞上单增，(2f =-又0b <，∴()f x 在R 上的图象大致为()()x f x m ϕ=-有两个零点即直线y m =与函数()y f x =的图象有两个交点，由图知，(2m >-（Ⅱ）2(2)0,(2)2f f e '==，∴l 的方程为22(2)y e x =-，()cg x x'=，∴()y g x =在点00(,)x y 处的切线方程为000ln ()c y c x b x x x --=-，即为00ln cy x c c x b x =-++由题可得202024ln ce x e c c x b⎧=⎪⎨⎪-=-++⎩，则222200002,22ln 4c e x b e x e x x e ==-- 令0000()ln 2h x x x x =--，则000()1ln 1ln h x x x '=--=-，0()h x ∴在1[,1)e -上单增，在(1,]e 上单减12()2h e e-=-，()2h e =-，(1)1h =-，0()[2,1]h x ∴∈--，22[4,2]b e e ∴∈--。
2013-2014学年河南省郑州市高二(下)期末数学试卷(理科)
2013-2014学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.若复数z满足z=1-2i，则z的虚部为（）A.-2iB.2iC.-2D.2【答案】C【解析】解：∵z=1-2i，∴z=1-2i虚部为-2，故选C．由复数的定义可得．该题考查复数的基本概念，属基础题．2.下列求导运算错误的是（）A.x′=1B.（log2x）′=ln2C.（e x）′=e xD.（sinx）′=cosx【答案】B【解析】解：A．（x）′=1，∴A正确．B．（log2x）′=，∴B不正确．C．（e x）′=e x，∴C正确．D．（sinx）′=cosx，∴D正确．故选：B．根据导数的运算公式和运算法则进行判断即可．此题考查了求导的运算．要求学生掌握求导法则，锻炼了学生的计算能力，是一道基础题．3.用数学归纳法证明不等式（1+2+3+…+n）（1+++…+）≥n2+n-1成立，初始值n0至少应取（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：n=1时，左边=1，右边=1；n=2时，左边=，右边=5，n=3时，左边=11，右边=11；n=4时，左边=，右边=19，∴初始值n0至少应取3．故选：C．将n代入计算，即可得出结论．本题主要考查数学归纳法，起始值的验证，求解的关键是发现左边的规律，从而解决问题．4.利用回归分析的方法研究两个具有线性相关关系的变量时，下列说法中表述错误的是（）A.相关系数r满足|r|≤1，而且|r|越接近1，变量间的相关程度越大，|r|越接近0，变量间的相关程度越小B.可以用R2来刻画回归效果，对于已获取的样本数据，R2越小，模型的拟合效果越好C.如果残差点比较均匀地落在含有x轴的水平的带状区域内，那么选用的模型比较合适；这样的带状区域越窄，回归方程的预报精度越高D.不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值【答案】B【解析】解：相关系数r是用来衡量两个变量之间线性相关关系的方法，当r=0时，表示两变量间无线性相关关系，当0＜|r|＜1时，表示两变量存在一定程度的线性相关．且|r|越接近1，两变量间线性关系越大．故A正确；由R2计算公式可知，R2越小，说明残差平方和越大，则模型拟合效果越差．故B错误；由残差图的定义可C正确；在利用样本数据得到回归方程的过程中，不可避免的会产生各种误差，因此用回归方程得到的预报值只能是实际值的近似值．故D正确．故选：B利用由r、R2、残差图的意义以及利用回归方程进行预报的特点进行分析．部分内容属于了解内容，所以只要记住了r、R2、残差图等的相关概念及性质就可以正确解答．5.给出如图所示函数图象其中可能为函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图象是（）A.①②B.②④C.①③D.③④【答案】C【解析】解：假设f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）恒成立，即a（-x）3+b（-x）2-cx+d=ax3+bx2+cx+d恒成立，即-ax3+bx2-cx+d=ax3+bx2+cx+d恒成立，∴-a=a，b=b，-c=c，d=d，∴a=0，c=0，与已知a≠0矛盾，∴f（x）不可能是偶函数．事实上，因为f′（x）=3ax2+2bx+c，当a＞0，△=4b2-12ac≤0，d＞0时，图象可能是①，当a＞0，c＜0，d=0，且△=4b2-12ac＞0时，图象可能是③．故选C据图分析，②③④三个图反映出了函数的奇偶性，所以可先看其奇偶性，从函数解析式来判断，不可能是偶函数，所以排除②、④，则答案只能是C．这种识图选式（解析式）的问题，若按常规思路，对函数f（x）的性质一一研究，逐个判断，可能就很费时间，所以一般是由图入手，根据图象所反映出来的不同于其它图象的特征对函数式进行分析研究，结合排除法，可能就容易一些．6.设曲线y=x3与直线y=x所围成的封闭区域的面积为S，则下列等式成立的是（）A.S=（x3-x）dxB.S=（x-x3）dxC.S=|x3-x|dxD.S=2（x-x3）dx【答案】D【解析】解：∵曲线y=x3和曲线y=x的交点为A（1，1）、原点O和B（-1，-1）∴由定积分的几何意义，可得所求图形的面积为S=2．故选：D．作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数x3-x在区间[0，1]上的定积分的值的2倍，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．7.设f（x）=x2-2x-4lnx，则f（x）的增区间为（）A.（0，+∞）B.（2，+∞）C.（-∞，-1）D.（∞，-1）和（2，+∞）【答案】B【解析】解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）==，令f′（x）＞0得，x＞2，∴函数f（x）的单调增区间为（2，+∞）．故选：B．求了函数f（x）的导数，f′（x），令f′（x）＞0，求x的取值范围，再求出与定义域的交集，即为函数的增区间．本题是一道利用导数，求函数的单调区间的导数题，在求单调区间时一定不要忘记考虑定义域．属于基础题．现已求得如表数据的回归方程+中值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（）A.84分钟B.94分钟C.102分钟D.112分钟【答案】C【解析】解：由表中数据得：=20，=30，又值为0.9，故=30-0.9×20=12，∴y=0.9x+12．将x=100代入回归直线方程，得y=0.9×100+12=102（分钟）．∴预测加工100个零件需要102分钟．故选：C．求出样本数据的中心坐标（，），代入回归直线方程，求出，得到回归直线方程，然后求解加工100个零件所需要的加工时间．本题考查线性回归方程的求法和应用，解题的关键是正确应用最小二乘法求出线性回归方程的系数的运算，再一点就是代入样本中心点可以求出字母a的值，是一个中档题目．9.停车站划出一排10个停车位置，今有6辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（）A.种B.2C.6D.7【答案】D【解析】解：由题意知有6辆汽车需要停放，若要使4个空位连在一起则可以把三个空车位看成是一个元素，这个元素与另外6辆车共有7个元素进行全排列，共有A77种结果，故选：D．有6辆汽车需要停放，若要使4个空位连在一起则可以把三个空车位看成是一个元素，这个元素与另外6辆车共有7个元素进行全排列，写出排列数，得到结果本题考查排列组合的实际应用，解题的关键是三个相连的车位看做一个元素，再同其他的车进行全排列，车是有区别的．10.若（x-）n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中x2的系数为（）A.-210B.56C.-56D.210【答案】C【解析】解：∵（x-）n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，∴=，n=8，故通项公式为T r+1=•（-1）r•x8-2r，令8-2r=2，求得r=3，故该展开式中x2的系数为-=-56，故选：C．由条件可得=，求得n=8，在通项公式中，令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2的系数本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．11.现将甲乙丙丁4个不同的小球放入A、B、C三个盒子中，要求每个盒子至少放1个小球，且小球甲不能放在A盒中，则不同的放法有（）A.12种B.24种C.36种D.72种【答案】B【解析】解：从4个球种选出2个组成复合元素，再把3个元素（包含一个复合元素）放入3个不同的盒子中有=36种，小球甲放在A盒中，其它三个球可以分为两类，第一类，3个球任意放入3个盒子中，有=6，第二类，从剩下的3个球种选出2个组成复合元素，再把2个元素（包含一个复合元素）放入B，C两个不同的盒子中有=6，利用间接法，故每个盒子至少放1个小球，且小球甲不能放在A盒中，则不同的放法有36-6-6=24．故选：B．利用间接法，先排甲乙丙丁4个不同的小球放入A、B、C三个盒子中，要求每个盒子至少放1个小球的不同放法，再排除小球甲放在A盒中的不同放法，本题主要考查了排列组合混合问题，先选后排是关键．12.已知f（x）=2xlnx，g（x）=-x2+ax-3，对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围是（）A.（-∞，4]B.（-∞，5]C.[6，+∞）D.[4，+∞）【答案】A【解析】解：f（x）≥g（x）即2xlnx≥-x2+ax-3，整理得a≤2lnx+x+，令h（x）=2lnx+x+（x＞0），则h′（x）==，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）递减；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）递增，∴h（x）min=h（1）=4，∵f（x）≥g（x）恒成立，∴a≤4，故选A．f（x）≥g（x）可整理为a≤2lnx+x+，令h（x）=2lnx+x+（x＞0），则问题转化为h（x）min≥a，利用导数易求h（x）min．该题考查函数恒成立问题，考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知P为函数y=f（x）的图象上一点，点P的横坐标是2，若在点P处的切线方程是y=x+1，则f′（2）= ______ ．【答案】1【解析】解：∵函数y=f（x）在点P处的切线方程是y=x+1，∴f′（x）=1，∵点P的横坐标是2，∴f′（2）=1．故答案为：1．利用导数的几何意义，即可得出结论．本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．14.设随机变量X的分布列P（X=k）=ak（k=1，2，3，4），则P（X＞）= ______ ．【答案】0.9【解析】解：由题意根据离散型随机变量的概率分布列的性质可得a+2a+3a+4a=1，解得a=0.1．∴P（X＞）=1-P（X=1）=1-0.1=0.9，故答案为：0.9．由题意根据离散型随机变量的概率分布列的性质可得a+2a+3a+4a=1，由此解得a的值．再根据P（X＞）=1-P（X=1）运算求得结果．本题主要考查离散型随机变量的概率分布列的性质的应用，属于中档题．15.下列说法中正确的是______ ．①若散点图所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；②已知随机变量ɛ服从正态分布N（2，a2），且P（ξ＜4）=0.9，则P（0＜ξ＜2）=0.4；③dx=dx=；④E（2ξ+3）=2E（ξ+3）；D（2ξ+3）=2D（ξ）+3．【答案】②③【解析】解：（1）将两个变量相对应的数据表示的数对在直角坐标系中用点表示出来，就是散点图．如果散点图所有点都在一条直线附近，可以用一个一次函数近似地表示它们的关系，用方程为的直线拟合散点图中的点，与散点图中的点最接近的直线回归直线．故①不正确；（2）已知随机变量ɛ服从正态分布N（2，a2），∵P（ξ＜4）=＜=P＜，且P（ξ＜4）=0.9，∴P＜=0.9．则P（0＜ξ＜2）=＜＜=＜＜=＜＜=＜=0.9-0.5=0.4，即P（0＜ξ＜2）=0.4，故选项②正确；（3）dx表示曲线、x轴在x=-1，x=0间围成的图形的面积，dx表示曲线、x轴在x=0，x=1间围成的图形的面积，而曲线即圆x2+y2=1在y≥0时的部分，故所求面积为圆的四分之一，即S=，故选项③正确；（4）E（2ξ+3）=2E（ξ）+3；D（2ξ+3）=4D（ξ）．故④不正确．故答案为②③．本题①运用散点图的概念判断命题真假；②利用正太分布的规律计算概率大小；③用定积分公式求值；④运用均值和方差地计算规律进行判断．本题考查了回归直线的概念、正太分布的概率、定积分求面积、均值和方差的变化特征．本题有一定的计算量，综合性较强，属于中档题．16.所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数．如：6=1+2+3；28=1+2+4+7+14；496=1+2+4+8+16+31+62+124+248．已经证明：若2n-1是质数，则2n-1（2n-1）是完全数，n∈N*．请写出一个四位完全数______ ；又6=2×3，所以6的所有正约数之和可表示为（1+2）•（1+3）；28=22×7，所以28的所有正约数之和可表示为（1+2+22）•（1+7）；按此规律，请写出所给的四位数的所有正约数之和可表示为______ ．（请参照6与28的形式给出）【答案】8128；（1+2+22+23+24+25+26）•（1+127）【解析】解：若2n-1是质数，则2n-1（2n-1）是完全数，令n=7可得一个四位完全数为64×127=8128．由题意可令8128=26×（27-1）=26×127，其所有正约数之和为（1+2+22+23+24+25+26）•（1+127），故答案为：8128，（1+2+22+23+24+25+26）•（1+127）根据已知中若2n-1是质数，则2n-1（2n-1）是完全数，令n=7可得一个四位完全数，进而根据已知中6的所有正约数之和及28的所有正约数之和的表达形式得到8128的所有正约数之和．本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.已知z是复数，，均为实数（i为虚数单位）．（1）求z；（2）如果复数（z-ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）设z=x+yi（x、y∈R），…（1分）∵z+2i=x+（y+2）i，由题意得y=-2．…（3分）∵为实数，可得x=4，∴z=4-2i．…（6分）（2）∵（z-ai）2=（-a2-4a+12）-8（a+2）i，对应点在第一象限，…′（8分）可知＞＞，即：＞＜，…（10分）解得＜＜＜，∴-6＜a＜-2，即实数a的取值范围是（-6，-2）．…（12分）【解析】（1）设z=x+yi（x、y∈R），根据z+2i=x+（y+2）i为实数可得y的值．再由为实数，可得x的值，从而求得z．（2）由题意可知＞＞，由此求得a的范围．本题主要考查复数的代数表示及其几何意义，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．18.若将函数f（x）=x5+7x4表示为f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，…a5为实数．（Ⅰ）求a4的值；（Ⅱ）求（x-）6展开式中二项式系数最大的项．【答案】解：（Ⅰ）由题意可得a5=1，7=a4+a5•，∴a4=2．（Ⅱ）由于（x-）6=展开式中二项式系数最大的项为第四项，即T4=•（-2）3•x-3=-160x-3．【解析】（Ⅰ）由题意可得a5=1，7=a4+a5•，由此求得a4的值．（Ⅱ）由于（x-）6=展开式中二项式系数最大的项为第四项，再根据通项公式求得结果．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．19.若对任意a，b，c∈R+，且a2+b2+c2=1，求证：a+b+c≤2．【答案】解：原不等式等价于（a+b+c）2≤4…（2分）即证a2+b2+2c2+2ab+2ac+2bc≤4…（4分）即证c2+2ab+2ac+2bc≤3…（6分）又c2+2ab+2ac+2bc≤c2+a2+b2+（a）2+（b）2+c2=3成立，当且仅当a=b=时，等号成立．…（11分）所以a+b+c≤2…（12分）【解析】利用分析法证明不等式，对不等式两边平方，通过已知条件以及基本不等式证明即可．本题考查不等式的证明，分析法证明方法的应用，考查分析问题解决问题的能力．20.在一次数学测验后，学习委员小明对选做题的选题情况进行了统计，如表：（单位：人）（Ⅰ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知学习委员小明和两名数学科代表三人都在选做《不等式选讲》的同学中．求在这名班级学习委员被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率；（Ⅱ）在统计结果中，如果把《几何证明选讲》和《坐标系与参数方程》称为几何类，把《不等式选讲》称为代数类，我们可以得到如下2×2列联表：（单位：人）据此判断是否有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关？下面临界值表仅供参考：参考公式：K2=．【答案】解：（Ⅰ）由题可知在选做“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学．令事件A为“这名班级学习委员被抽到”；事件B为“两名数学科代表被抽到”，则P（A∩B）=，P（A）=（4分）所以P（B|A）====．…..（6分）（Ⅱ）由表中数据得K2的观测值k==≈4.582＞3.841．所以，据此统计有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关【解析】（Ⅰ）令事件A为“这名学委被抽取到”；事件B为“两名数学科代表被抽到”，利用条件概率求得两名数学科代表也被选中的概率，或利用古典概型概率公式求解；（Ⅱ）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到百分数．本题考查条件概率、独立性检验的应用，考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进行比较，本题是一个基础题．21.某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．【答案】解：（1）由茎叶图得到所有的数据从小到大排，8.6出现次数最多，∴众数：8.6；中位数：8.75；（2）设A i表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则（3）ξ的可能取值为0、1、2、3.；；，ξ的分布列为七彩教育网所以Eξ=．另解：ξ的可能取值为0、1、2、3．则～，，．ξ的分布列为所以Eξ=．【解析】（1）根据所给的茎叶图看出16个数据，找出众数和中位数，中位数需要按照从小到大的顺序排列得到结论．（2）由题意知本题是一个古典概型，至多有1人是“极幸福”包括有一个人是极幸福和有零个人是极幸福，根据古典概型公式得到结果．（3）由于从该社区任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”学生的人数，得到变量的可能取值是0、1、2、3，结合变量对应的事件，算出概率，写出分布列和期望．本题是一个统计综合题，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，题目分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题，考查最基本的知识点．22.已知函数f（x）=ax2+x-xlnx（a＞0），g（x）=1-（a＞0）（Ⅰ）若函数满足f（1）=2，求g（x）的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当＜m＜n＜1时，试比较与的大小．【答案】解：（Ⅰ）函数满足f（1）=2，则a+1=2得，a=1，∴g（x）=1-，′，令g′（x）＞0得x＞1，g′（x）＜0得0＜x＜1，∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，∴g（x）min=g（1）=0．（Ⅱ）f′（x）=2ax-lnx，（x＞0）①令f′（x）≥0得，设h（x）=，则h′（x）=，∴h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，∴h（x）max=h（e）=，∴当a时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．②令f′（x）≤0得2a≤，由上知h（x）=在（0，+∞）上没有最小值，∴f（x）在定义域内不可能单调递减，综合①②得a的取值范围为[，+∞）．（Ⅲ）由（Ⅰ）知g（x）=1-在（0，1]上递减，＜＜＜时，g（m）＞g（n），即＜，而＜＜＜时，-1＜lnn＜0，∴1+lnn＞0，∴＞．【解析】（Ⅰ）利用条件f（1）=2求出a的值，再求出g（x）的导数，利用导数来求出g（x）的单调区间，从而求出g（x）的最小值；（Ⅱ）函数f（x）在定义域内单调必然满足：f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立；把a 表示成x的函数，再求出该函数的最值，从而求出a的取值范围；（Ⅲ）借用（Ⅰ）中得出g（x）的单调性，证明不等式．本题考查了导数的综合应用，求单调区间，求最值，利用单调性证明不等式．是一道导数的综合题．属于中档题．。
【解析】陕西省咸阳市2013-2014学年高二下学期期末质量检测理科数学纯Word版含解析
第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．若x+yi=1+2xi （x ，y ∈R ），则x ﹣y 等于（ ） A ．0 B ．﹣1 C ．1 D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：∵x+yi=1+2xi （x ，y ∈R ），∴⎩⎨⎧==xy x 21，解得x=1，y=2，则x-y=-1．故选：B ．考点：复数相等．2．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ=5”表示的试验结果是（ ）A ．第5次击中目标B ．第5次未击中目标C ．前4次均未击中目标D ．第4次击中目标 【答案】C 【解析】试题分析：由题意知：击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，得出ξ=5表示前4次均未击中目标．故选：C ． 考点：随机事件．3．下列式子成立的是（ ）A ．P （A|B ）=P （B|A ） B ．0＜P （B|A ）＜1C ．P （AB ）=P （A ）•P （B|A ）D ．P （A ∩B|A ）=P （B ） 【答案】C 【解析】试题分析：由于P （AB ）是全体事件中，A 、B 同时发生的概率。
所以是A 、B 同时发生的事件数量÷全体事件数量；P(A|B)是发生了B 事件后，再发生A 事件的概率，所以是A 、B 同时发生的事件数量÷B 事件发生的数量；同理P(B|A)是发生了A 事件后，再发生B 事件的概率。
所以是A 、B 同时发生的事件数量÷A 事件发生的数量． 由)()()(A P AB P A B P =得)()()(A P A B P AB P =，而)()()(B P AB P B A P =知A 不正确，C 正确；当P （B ）为零时知0)(=A B P ，所以B 也不正确；P （A ∩B|A ）的含义应是事件Ａ与事件B|A 同时发生，所以应有 P （A ∩B|A ）=P （B|A ），故Ｄ不正确；故选Ｃ．考点：条件概率．4．⎰-+22)cos 1(ππdx x 等于（ ）A ．πB ．2C ．π﹣2D ．π+2 【答案】D 【解析】试题分析：⎰-+22)cos 1(ππdx x 2))2sin(2()2sin 2()sin (22+=-+--+=+=-πππππππx x ，故选Ｄ．考点：定积分．5．在10)3(-x 的展开式中，x 6的系数是（ ）A ．﹣27610CB ．27410C C ．﹣9610CD ．9410C 【答案】D 【解析】试题分析：在 10)3(-x 的展开式中通项为 rr r r x C T -+-=10101)3(,考点：二项式定理及二项式系数的性质.6．曲线f （x ）=x 3+x ﹣2在p 0处的切线平行于直线y=4x ﹣1，则p 0的坐标为（ ） A ．（1，0） B ．（2，8） C ．（1，0）或（﹣1，﹣4） D ．（2，8）或（﹣1，﹣4） 【答案】C 【解析】试题分析：由y=x 3+x-2，得y ′=3x 2+1，∵切线平行于直线y=4x-1，∴3x 2+1=4，解之得x=±1，当x=1时，y=0；当x=-1时，y=-4．∴切点P 0的坐标为（1，0）和（-1，-4），故选B ．考点：导数的几何意义7．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数（m+ni ）（n ﹣mi ）为实数的概率为（ ） A ．31 B ．41 C ．61 D ．121 【答案】C 【解析】8．学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学和生物6门不同的课程，若第一节不排语文且第六节排生物，则不同的排法共有（ ）A ．96种B ． 120种C ．216种D ．240种 【答案】A【解析】试题分析：因为生物课时固定的，语文不排在第一节，那么语文的排法有14A ，其它课任意排，不同的排法共有4414A A ⋅=96种．故选A ．考点：１．分步计数原理；２．排列与组合．x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如下表：根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y 与平均气温x 之间线性回归方程y=x+a 的系数．则预测平均气温为﹣8℃时该商品销售额为（ ）A ．34.6万元B ．35.6万元C ．36.6万元D ．37.6万元 【答案】A 【解析】 试题分析： 25430272320,446532=+++=-=----=y x∴这组数据的样本中心点是（-4，25）∵4.2^-=b ，∴y=-2.4x+a ，把样本中心点代入得a=34.6∴线性回归方程是y=-2.4x+15.4 当x=-8时，y=34.6，故选A ． 考点：线性回归方程．10．设f′（x ）是函数f （x ）的导函数，y=f′（x ）的图象如图所示，则y=f （x ）的图象最有可能的是（ ）【答案】C 【解析】试题分析：由f ′（x ）的图象可得，在（-∞，0）上，f ′（x ）＞0，f （x ）是增函数．在（0，2）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数．在（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数．故选C．考点：导数研究函数的单调性第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）11．李明同学衣服上有左、右两个口袋，左口袋有15张不同的英语单词卡片，右口袋有20张不同的英语单词卡片，从这两个口袋任取一张，共有 _________ 种不同的取法． 【答案】35． 【解析】试题分析：由已知可分两类进行，第一类从左口袋有取一张有15张不同取法，第二类从右口袋有取一张有20张不同取法，根据分类计数原理，共有15+20=35种．故答案为：35．考点：排列与组合及分类计数原理.12．若函数f （x ）=xlnx 在x 0处的函数值与导数值之和等于1，则x 0的值等于 _________ ． 【答案】１． 【解析】则由1)()(00='+x f x f 即1+lnx 0+xlnx 0=1，得（x 0+1）lnx 0=0，解得x 0=1或x 0=-1（舍去），故x 0=1，故应填入：1. 考点：导数的运算. 13．观察下列等式 1=1 2+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49 …照此规律，第n 个等式为 _________ ． 【答案】2)12()23()1(-=-++++n n n n【解析】试题分析：根据题意，第一个式子的左边是1，只有1个数，其中1=2×1-1，第二个式子的左边是从2开始的3个数的和，其中3=2×2-1； 第三个式子的左边是从3开始的5个数的和，其中5=2×3-1； 第四个式子的左边是从4开始的7个数的和，其中7=2×4-1；以此类推，第n 个式子的左边是从n 开始的（2n-1）个数的和，右边是求和的结果； 所以第n 个等式为：2)12()23()1(-=-++++n n n n .考点：归纳推理.14．（2009•聊城一模）由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn=nm”类比得到“•=•”；②“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（+）•=•+•”；③“t≠0，mt=nt⇒m=n”类比得到“≠0，•=•⇒=”；④“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“|•|=||•||”．以上类比得到的正确结论的序号是 _________ （写出所有正确结论的序号）．【答案】①②．【解析】试题分析：由向量的数量积运算的交换律和分配律可知①②正确∵入①②．考点：１．向量数量积运算性质；2．类比推理．三、解答题（题型注释）15．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图．将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育”．16．设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．（1）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？（2）从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？【答案】（1）70种；（2）59种．【解析】试题分析：（1）由题意可分三步完成，第一步选国画有5种，第二步选油画有2种，第三步选水彩画有7种，根据分步计数原理，问题得以解决．（2）由题意可分三类，第一类，选国画和油画，第二类，选国画和水彩画，第三类，选油画和水彩画，根据分类计数原理，问题得以解决．试题解析：（1）分三步完成，第一步选国画有5种，第二步选油画有2种，第三步选水彩画有7种，根据分步计数原理得，共有5×2×7=70种．（2）分三类，第一类，选国画和油画共有5×2=10种，第二类，选国画和水彩画共有5×7=35种，第三类，选油画和水彩画共有2×7=14种，根据分类计数原理共有10+25+14=59种．考点：分类和分步计数原理．17．我们已经学过了等差数列，你是否想到过有没有等和数列呢？（1）类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；（2）探索等和数列{a n}的奇数项与偶数项各有什么特点？并加以说明．【答案】（1）等和数列的定义是：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列；（2）等和数列的奇数项相等，偶数项也相等．【解析】试题分析：（1）类比等差数列的定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，类比可得出等和数列的定义；（2）由等和数列的定义，得出等和数列的性质是什么．试题解析：（1）等差数列的定义是：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列；由此类比，得出等和数列的定义是：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等和数列；（2）由（1）知，a n +a n+1=a n+1+a n+2，∴a n =a n+2； ∴等和数列的奇数项相等，偶数项也相等． 考点：类比推理． 18．设函数f （x ）=x 3﹣21x 2﹣2x ﹣32． （1）求函数f （x ）的单调递增、递减区间；（2）当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）＜m 恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）f （x ）的单调增区间为（﹣∞，﹣32]和[1，+∞），单调减区间为[﹣32，1]; （2）m ＞274． 【解析】 试题分析：（1）首先应求导数，利用导数的为正或为负，解对应不等式可得函数的单调增（减）区间；（2）由不等式恒成立问题可通过分离参数等价转化成f （x ）max ＜m,求函数f （x ）的最大值即可．试题解析：（1）f′（x ）=3x 2﹣x ﹣2=0，得x=1，﹣32． 在（﹣∞，﹣32）和[1，+∞）上f′（x ）＞0，f （x ）为增函数； 在（﹣32，1）上f′（x ）＜0，f （x ）为减函数． 所以所求f （x ）的单调增区间为（﹣∞，﹣32]和[1，+∞），单调减区间为[﹣32，1]．（2）由（1）知，当x ∈[﹣1，﹣32]时，f′（x ）＞0，[﹣32，1]时，f′（x ）＜0∴f （x ）≤f（﹣32）=274．∵当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）＜m 恒成立， ∴m ＞274． 考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.不等式的恒成立问题． 19．已知函数f （x ）=bx ax+2在x=1处取得极值2． （1）求函数f （x ）的表达式；（2）当m 满足什么条件时，函数f （x ）在区间（m ，2m+1）上单调递增？ 【答案】（1）f （x ）=214x x+；（2）m ∈（﹣1，0]． 【解析】试题分析：（1）由已知可得2)1(,0)1(=='f f ，可得关于a ，b 的二元方程组,解此方程组可求得a ，b 的值．（2）先利用导数求出f （x ）的增区间，由条件可知（m ，2m+1）为f （x ）增区间的子集，从而可求得m 所满足的条件．试题解析：（1）因为f′（x ）=222)()2()(b x x ax b x a +-+，而函数f （x ）=b x ax+2在x=1处取得极值2，所以⎩⎨⎧=='2)1(0)1(f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+2102)1(baa b a ，解得⎩⎨⎧==14b a ． 故f （x ）=214xx+即为所求． （2）由（1）知f′（x ）=222222)1()1)(1(4)1(8)1(4x x x x x x ++--=+-+，令f′（x ）＞0，得﹣1＜x＜1，∴f （x ）的单调增区间为[﹣1，1]．由已知得⎪⎩⎪⎨⎧+<≤+-≥121121m m m m ，解得﹣1＜m≤0．故当m ∈（﹣1，0]时，函数f （x ）在区间（m ，2m+1）上单调递增． 考点：１．函数的极值概念；2．利用导数研究函数的单调性．20．红队队员甲、乙与蓝队队员A 、B 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 各比一盘．已知甲胜A ，乙胜B 的概率分别为0.6、0.5．假设各盘比赛结果相互独立． （1）求红队至少一名队员获胜的概率；（2）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列．【解析】乙不胜的事件，P （D ）=0.6，P （E ）=0.5，由此能求出红队至少有一人获胜的概率． （2）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列． 试题解析：（1）设甲获胜的事件为D ，乙获胜的事件为E ，∵P （D ）=0.6，P （E ）=0.5，∴P （D ）=0.4，P （E ）=0.5， 红队至少有一人获胜的概率为： P=P （D E ）+P （D E ）+P （DE ）=0.6×0.5+0.4×0.5+0.6×0.5=0.8．（2）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，又由（1）知E D ，D E ，D E ，DE 两两互斥，且各盘比赛的结果相互独立， ∴P （ξ=0）=P （E D ）=0.4×0.5=0.2，P （ξ=1）=P （D E ）+P （D E ）=0.6×0.5+0.4×0.5=0.5，P （ξ=2）=0.6×0.5=0.3，21．形状如图所示的三个游戏盘中（图（1）是正方形，M 、N 分别是所在边中点，图（2）是半径分别为2和4的两个同心圆，O 为圆心，图（3）是正六边形，点P 为其中心）各有一个玻璃小球，依次水平摇动三个游戏盘，当小球静止后，就完成了一局游戏．（Ⅰ）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？（Ⅱ）用随机变量ξ表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件个数与小球没有停在阴影部分的事件个数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 【答案】（I ）1；（II ）分布列为 ∴数学期望E ξ=1×192+3×192=96．【解析】试题分析：（I ）先根据几何概型的概率公式得到在三个图形中，小球停在阴影部分的概率，因为三个小球是否停在阴影部分相互之间没有关系，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．（II ）根据一次游戏结束小球停在阴影部分的事件数可能是0，1，2，3，得到ξ的可能取值是1，3，当变量等于3时，表示三个小球都在阴影部分或三个小球都不在阴影部分，这两种情况是互斥的，得到概率，分布列和期望． 试题解析：（I ）“一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分”分别记为事件A 1、A 2、A 3，由题意知，A 1、A 2、A 3互相独立，且P （A 1）=21，P （A 2）=16316)416(41=-⨯ππ，P （A 3）=61． ∴P （A 1 A 2 A 3）=P （A 1）P （A 2） P （A 3）=6116321⨯⨯=641；（II ）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的事件数可能是0，1，2，3，相应的小球没有停在阴影部分的事件数可能取值为3，2，1，0，所以ξ可能的取值为1，3，则 P （ξ=3）=P （A 1 A 2 A 3）+P （321A A A ）=641+)611()1631()211(-⨯-⨯-=19265 P （ξ=1）=1﹣19265=192127∴数学期望E ξ=1×192+3×192=96． 考点：１．几何概型的概率公式；2．相互独立事件同时发生的概率；3.离散型随机变量的分布列和数学期望．。
2014人教版高二理科数学下学期期末考试(附答案)
2014人教版高二理科数学下学期期末考试（本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分．答题时间120分钟， 满分120分．）第Ⅰ卷（选择题，共48分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数31iz i-=-等于 （ ） A ．i 21+ B ．i 21- C ．i +2 D ．i -2 2．如果复数)2)(1(i bi ++是纯虚数，则biib ++132的值为 （ ）A ．2B ．5C ．5D ．15 3．已知函数1-=x y ，则它的导函数是 （ ）A ．121/-=x y B ．)1(21/--=x x y C ．112/--=x x y D ．)1(21/---=x x y 4．=+⎰-dx ex x)(cos 0π （ ）A ．1e π-- B ．1e π-+ C ．eπ-- D ．1eππ--5．如图，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对6．曲线221x y -=经过伸缩变换T 得到曲线'2'21169x y -=，那么直线210x y -+=经过伸缩变换T 得到的直线方程为 （ ）A ．''2360x y -+=B ．''4610x y -+=C ．''38120x y -+= D ．''3810x y -+=7．圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是 （ ）A 4(5,)3π--B (5,)3π-C (5,)3πD 5(5,)3π- 8．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为 （ ）A cos 2ρθ=B sin 2ρθ=C 4sin()3πρθ=+D 4sin()3πρθ=-9．设随即变量ξ服从正态分布)1,0(N ，p P =>)1(ξ，则)01(<<-ξP 等于 （ ）A ．p 21 B ．p -1 C ．p 21- D ．p -2110．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序C B ,实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有 （ ） A ．24种 B ．96种 C ．120种 D ．144种11．某盏吊灯上并联着3个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是7.0 则在这段时间内吊灯能照明的概率是 （ ）A ．343.0B ．833.0C ．973.0D ．029.112．已知)(x f 是定义在),0(+∞上的非负可导函数，且满足()0)(/≤+x f x xf ，对任意正数b a ,，若b a <，则必有 （ ）A )()(a bf b af ≤B )()(b af a bf ≤C )()(b f a af ≤D )()(a f b bf ≤第Ⅱ卷（非选择题，共72分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．函数y =的最大值是 ． 14．由曲线2x y =，x y =，x y 3=所围成的图形面积为 ． 15．二项式10)211(x -的展开式中含51x的项的系数是 ．16．已知函数[]2,2,)(23-∈+++=x c bx ax x x f 表示过原点的曲线，且在1±=x 处的切线的倾斜角均为π43，有以下命题： ①)(x f 的解析式为[]2,2,4)(3-∈-=x x x x f ； ②)(x f 的极值点有且只有一个； ③)(x f 的最大值与最小值之和等于零； 其中正确命题的序号为_ ．三、解答题：本大题共6小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分8分）设函数=)(x f lg(|3||7|)x x ++-a -．（1）当1=a 时，解关于x 的不等式0)(>x f ； （2）如果R x ∈∀，0)(>x f ，求a 的取值范围．18．（本小题满分10分）设()n n n f n-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=11，其中n 为正整数．（1）求)1(f ，)2(f ，)3(f 的值；（2）猜想满足不等式0)(<n f 的正整数n 的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．19．（本小题满分10分）经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,3A ，倾斜角为α的直线l ，与曲线C ：⎩⎨⎧==θθsin 5cos 5y x （θ为参数）相交于C B ,两点．（1）写出直线l 的参数方程，并求当6πα=时弦BC 的长；（2）当A 恰为BC 的中点时，求直线BC 的方程； （3）当8=BC 时，求直线BC 的方程； （4）当α变化时，求弦BC 的中点的轨迹方程．20．（本小题满分9分）设在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片，标号分别记为y x ,，设随机变量x y x -+-=2ξ． （1）写出y x ,的可能取值，并求随机变量ξ的最大值； （2）求事件“ξ取得最大值”的概率； （3）求ξ的分布列和数学期望与方差．21．（本小题满分9分）如图，已知⊙1O 与⊙2O 外 切于点P ，AB 是两圆的外公切线，A ，B 为切 点，AB 与21O O 的延长线相交于点C ，延长AP 交⊙2O 于 点D ，点E 在AD 延长线上． （1）求证：ABP ∆是直角三角形；（2）若AE AP AC AB ⋅=⋅，试判断AC 与EC 能否一定垂直？并说明理由． （3）在（2）的条件下，若4=AP ，49=PD ，求ACEC的值．22．（本小题满分10分）已知函数c bx x ax x f -+=44ln )()0(>x 在1=x 处取得极值c --3，其中c b a ,,为常数．（1）求b a ,的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式02)(2≥+c x f 恒成立，求c 的取值范围．（注意：本页不交，答案写到答题纸上）参考答案及评分标准一、选择题（每小题4分，共48分）1．C 2．B 3．B 4．A 5．D 6．C 7．A 8．A 9．D 10．B 11．C 12．A 二、填空题（每小题4分，共16 分） 13．5 14．313 15．863- 16．①③ 三、解答题（共6小题，共56分）17．解：（1）当1a =时，原不等式可变为|3||7|10x x ++->，可得其解集为{|3,7}.x x x <->或 ………………4分（2）因|3||7|3(7)|10x x x x ++-≥+--=｜对任意x R ∈都成立． ∴lg(|3||7|)lg101x x ++-≥=对任何x R ∈都成立．∵lg(|3||7|)x x a ++->解集为R ．∴1a <…………………………8分18．解：（1）2717)3(,21)2(,1)1(-===f f f ………………3分 （2）猜想：0)11()(,3<-+=≥n n n f n n………………4分证明：①当3=n 时，02717)3(<-=f 成立 ………………5分②假设当k n =),3(*N n n ∈≥时猜想正确，即()011<-⎪⎭⎫⎝⎛+=k k k f k∴k k k<⎪⎭⎫⎝⎛+11 由于)111()11()111()111(1111+++<++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++k k k k k k k k 11)111(+<++=++<k k kk k k ………………8分 ∴1)111(1+<+++k k k ，即()0)1(11111<+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++k k k f k 成立由①②可知，对0)11()(,3<-+=≥n n n f n n成立 ………………10分 19．解：（1）l 的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=ααsin 23cos 3t y t x （t 为参数）． …………1分曲线C 化为：2522=+y x ，将直线参数方程的y x ,代入，得0455)sin cos 2(32=-+-t t αα ∵055)sin cos 2(92>++=∆αα恒成立， ………………3分 ∴方程必有相异两实根21,t t ，且)sin cos 2(321αα+=+t t ，45521-=t t ． ∴55)sin cos 2(94)(22122121++=--=-=ααt t t t t t BC∴当6πα=时，33633721+=BC ． ………………5分 （2）由A 为BC 中点，可知0)sin cos 2(321=+=+ααt t ，∴2tan -=α，故直线BC 的方程为01524=++y x ． ………………7分 （3）∵8=BC ，得855)sin cos 2(92=++=ααBC∴0cos 3cos sin 42=+ααα, ∴0cos =α或43tan -=α 故直线BC 的方程为3=x 或01543=++y x ………………9分（4）∵BC 中点对应参数221t t t +=)sin cos 2(23αα+= ∴⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=ααααααsin )sin cos 2(2323cos )sin cos 2(233y x （ 参数α[)π,0∈ ），消去α，得弦BC 的中点的轨迹方程为1645)43()23(22=+++y x ；轨迹是以)43,23(--为圆心，453为半径的圆． ………………10分20．解：（1）y x ,的可能取值都为1，2，3．2,12≤-≤-x y x ，∴3≤ξ，∴当3,1==y x 或1,3==y x 时，ξ取最大值3． ………………3分 （2）有放回地先后抽得两张卡片的所有情况的种数933=⨯=n ，∴92)3(==ξP ……………………………4分 （3）ξ的所有取值为0，1，2，3，当0=ξ时，只有2,2==y x 这1种情况，∴91)0(==ξP ； 当1=ξ时，只有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x ， 共4种情况，∴94)1(==ξP ； 当2=ξ时，只有2,32,1====y x y x 或这2种情况，∴92)2(==ξP ； 当3=ξ时，92)3(==ξP ； ………………7分 ∴ 随机变量ξ的分布列为：∴ 数学期望993929190=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE方差98)9143(92)9142(94)9141(92)9140(912222=-+-+-+-=ξD ………9分21．解：（1）证明：过点P 作两圆公切线PN 交AB 于N ，由切线长定理得NB NA NP ==，∴PAB ∆为直角三角形 ………………3分（2）EC AC ⊥证明：∵AE AP AC AB ⋅=⋅， ∴ACAEAP AB =，又EAC PAB ∠=∠， ∴PAB ∆∽CAE ∆∴,900=∠=∠APB ECA 即EC AC ⊥． ……………6分 （3）由切割线定理，AD AP AB ⋅=2，∴,3,5==PB AB AC EC PA PB :4:3:== ∴43=AC EC ． ………………9分 22．解：（1）)4ln 4()(3/b a x a x x f ++=，0)1(='f ，∴04=+b a ，又c f --=3)1(，∴3,12-==b a ； ………………5分 （2）x x x f ln 48)(3/=（)0>x∴由0)(/=x f 得1=x ，当10<<x 时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减； 当1>x 时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；∴)(x f 单调递减区间为)1,0(，单调递增区间为),1(+∞ ……9分 （3）由（2）可知，1=x 时，)(x f 取极小值也是最小值c f --=3)1(， 依题意，只需0232≥+--c c ，解得23≥c 或1-≤c ………………10分。
郑州市2013-2104学年下学期期末高二数学理科试题及答案(优.选)
2013—2014学年下期期末学业水平测试高中二年级 数学（理科） 参考答案一、选择题1．C ；2．B ；3．C ；4．B ；5．C ；6．D ；7．B ；8．C ；9．D ；10．C ； 11．B ；12． A. 二、填空题13．1；14． 0.9； 15 ②③ ；16． 23456(1222222)(1127)++++++⋅+. 三、解答题2z i x +=），18．454551,7,a a a C ==+………………4分4 2.a =…………..6分 664222()()a x x x x -=-展开式中二项式系数最大的项为第四项，………………10分 33323346(2)()160.T C x x x --=-=-.………………12分19. 解： 原不等式等价于2() 4.a b ++≤………………2分即证222224,a b c ab +++++≤………………4分即证223,c ab +++≤………………6分又222222222))3c ab c a b c c +++≤++++++=成立，a b ==当且仅当.………11分所以() 2.a b ++≤………………12分20. 解析：（Ⅰ）由题可知在选做“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学．…2分令事件A 为“这名班级学习委员被抽到”；事件B 为“两名数学科代表被抽到”，则P (A ∩B)=33318C C ，P (A)=217318C C . ………………4分所以P (B|A)=P (A ∩B)P (A)=33217C C =217×16 =1136. …………..6分 （Ⅱ）由表中数据得K 2的观测值k =42×(16×12－8×6)224×18×20×22=25255≈4.582>3.841. 所以，据此统计有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关．..12分21.31212412331616121.140C C C P C C =+=（Ⅰ）………………4分 （Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3,则1~(3,)4B ξ，因此3313()()()44kk k P k C ξ-==.…3分有6427)43()0(3===ξP ；6427)43(41)1(213===C P ξ；………………5分 64943)41()2(223===C P ξ；641)41()3(3===ξP .………………7分ξ的分布列为：ξ123P64276427 649 641 所以ξE =75.0413=⨯． ………………12分 22. 函数满足(1)2,f =则 1.a =……………………1分 由原式得1ln ()1,x g x x +=-2ln (),xg x x'=可得()g x 在(0,1]上递减，在[1,)+∞上递增，所以min ()(1)0.g x g ==…………….4分（Ⅱ）()2ln ,(0).f x ax x x '=->令()0f x '≥得ln 2xa x≥， 设ln (),x h x x =则max 1()()h x h e e ==， 所以12a e ≥时，函数()f x 在(0,)+∞单调递增. ………………6分110,()2ln ,(0)()2,2a g x ax x x g x a e x'<<=->=-当时111()0,,(0,),()0(,),()0.222g x x x g x x g x a a a '''==∈<∈+∞>故12x a =时取得极小值即最小值，而当102a e <<时，11()1ln 0,()022g f x a a'=-<=必有根，()f x 必有极值，在定义域上不单调，所以12a e≥……………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）知1+ln ()1xg x x=-在(0,1]上递减， 11m n e <<<时，1ln 1ln ()()m ng m g n m n ++><即. 而11m n e <<<时1ln 1ln 0,1ln 0.1ln m m m m n n+-<<∴+>∴>+………………12分最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成word 文本 --------------------- 方便更改。
陕西省西安市一中2013-2014学年高二下学期期末考试理科数学试卷(带解析)
陕西省西安市一中2013-2014学年高二下学期期末考试理科数学试卷（带解析）1．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1人完成这项工作，一共有多少种选法？（ ） A ．5 B ．4 C ．9 D ．20 【答案】C 【解析】试题分析：完成一项用方法一有5种，用方法二有4种，因此共有4+5=9种. 考点：分类加法计数原理.2．从6名班委中选出2人分别担任正、副班长，一共有多少种选法？（ ） A ．11 B ．12 C ．30 D ．36 【答案】C 【解析】试题分析：第一步从6人中选一人担任正班长，有6种情况；第二步从剩余5人中选一人担任副班长，有5种情况，有分步乘法计数原理得有3056=⨯ 考点：步乘法计数原理. 3．若（x －12x）n的展开式中第3项的二项式系数是15，则n 的值为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】A 【解析】试题分析：第三项的二项式系数为152=n C ，即()1521=-n n ，解之得6=n考点：二项式系数的应用.4．291()2x x-的展开式中的常数项是（ ） A ．84 B ．2116 C ．164 D ．2116-【答案】B 【解析】试题分析：()r rr rrr r x C xx C T 318992912121--+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,由0318=-r ，解6=r ，因此常数项为162121669=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C . 考点：二项式定理的应用.5．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个球，以X 表示取出球的最大号码. 则X 所有可能取值的个数是（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C 【解析】试题分析：随机变量X 的可能取值为6,5,4,3取值个数为4.考点：离散型随机变量的取值.6．抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率为（ ） A ．13 B ．14 C ．16 D ．12【答案】D 【解析】试题分析：抛掷一枚骰子，共会出现6,5,4,3,2,1共有6中情况，点数不超过4有3,2,1共3种情况，因此2163==P . 考点：古典概型的应用. 7．．若随机变量X 的分布列如下表，且EX=6.3， 则表中a 的值为（ ）A.5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】C 【解析】试题分析：由11.05.0=++b 得4.0=b ，()3.64.091.05.04=⨯+⨯+⨯=a X E ，解7=a 考点：离散型随机变量的期望.8．设服从二项分布(,)B n p 的随机变量X 的期望和方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数,n p 的值为（ ）A ．4,0.6n p ==B ．6,0.4n p ==C ．8,0.3n p ==D ．24,0.1n p == 【答案】B 【解析】试题分析：由二项分布的期望和方差得()⎩⎨⎧=-=44.114.2p np np ，解的⎩⎨⎧==64.0n p考点：二项分布的期望和方差.9．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求得y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，那么 表中t 的值为（ ）A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5 【答案】A 【解析】 试题分析：5.446543=+++=x ,41145.445.2+=+++=t t y ,回归直线过样本点的中心，因此有35.05.47.0411+⨯=+t ，解得3=t . 考点：回归直线方程的应用.10．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，采用独立性检验的方法计算得27.8K ≈，则根据这一数据参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 【答案】D 【解析】试题分析：由于8.72≈K ，由表可知()01.0635.68.7=≥P ,因此有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”. 考点：独立性检验的应用.11．把一枚硬币任意抛掷三次，事件A ＝“至少一次出现反面”，事件B ＝“恰有一次出现正面”，则P （B|A ）＝________. 【答案】73 【解析】试题分析：事件A 发生有（正，正，反）（正，反，反）（正，反，正）（反，正，反）（反，正，正）（反，反，正）（反，反，反）共有7种，事件AB 发生有（正，反，反）（反，正，反）（反，反，正）有3种， 因此()()()73|==A n AB n A B P . 考点：条件概率的应用.12．设（x 1-）21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则1221a a a +++的值为________．【答案】1 【解析】试题分析：令1=x 得212100a a a a ++++= ，令0=x 得01a =-，代入得12121=+++a a a考点：赋值法求值.13．设随机变量Y 的分布列为P （Y ＝k ）＝15k（k ＝1,2,3,4,5），则P （12<Y<52）等于_________. 【答案】51【解析】试题分析：由分布列得()1511==Y P ，()1522==Y P ，因此()()51153212521===+==⎪⎭⎫ ⎝⎛<<Y P Y P Y P考点：随机变量的概率.14．在一组样本数据112212(,),(,),,(,)(2,,,,)n n n x y x y x y n x x x ≥不全相等的散点图中，若所有样本点(,)(1,2,,)i i x y i n =都在直线112y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为_______.【答案】1 【解析】试题分析：由于所有的样本数据()i i y x ,()n i ,,2,1 =都在直线121+=x y 上数据样本的相关系数为1考点：样本数据的相关系数.15．.变量X 的概率分布列如右表，其中,,a b c 成等差数列，若1()3E X =，则()D X =_________.【答案】95 【解析】试题分析：由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⨯+-+==++31021c b a c a b c b a ，解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===213161c b a ，因此()95213113131061311222=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--=X D .考点：离散型随机变量的方差.16．（本题满分10分） 从5名男医生、4名女医生中选出3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有多少种？ 【答案】70 【解析】 试题分析：（1）排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关，如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同，才是不同的组合；（2）排列、组合的综合问题关键是看准是排列还是组合，复杂的问题往往是先选后排，有时是排中带选，选中带排；（3）对于排列组合的综合题，常采用先组合（选出元素），再排列（将选出的这些元素按要求进行排序）试题解析：第一类，男医生1人，女医生2人，有302415=C C 种，第二类，男医生2人，女医生1人，有401425=C C 种，因此共有30+40=70.考点：排列组合的综合应用.17．已知随机变量X 的分布列如图：（1）求a ；（2）求(4)P X ≥和(25).P X ≤< 【答案】（1）52=a ；（2）()514=≥X P ，()5452=<≤X P 【解析】试题分析：（1）离散型随机变量的分布列具有如下性质：一是n i P i ,3,2,1,0 =≥，二是∑==ni i P 11；（2）欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每一个值时的概率，在写出ξ的分布列之后，要及时检查所有的概率之和是否为1，用来判断所求概率是否正确；（3）掌握两点分布和超几何分布的分布列试题解析：解：（1） 由概率和为1求得25a =； （2） 1(4)(4)(5)5P X P X P X ≥==+==，4(25)(2)(3)(4).5P X P X P X P X ≤<==+=+==考点：离散型随机变量及其分布列的应用18．袋中装有4个白棋子、3个黑棋子，从袋中随机地取棋子，设取到一个白棋子得2分，取到一个黑棋子得1分，从袋中任取4个棋子. （1）求得分X 的分布列； （2）求得分大于6的概率.【答案】（1）（2）3513=P 【解析】 试题分析：（1）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（2）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（3）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算. 试题解析：解：（1）X 的取值为5、6、7、8.1343474(5)35C C P X C ===，22434718(6)35C C P X C ===， 31434712(7)35C C P X C ===，44471(8)35C P X C ===.X 的分布列为（2）根据X 的分布列，可得到得分大于6的概率为13(6)(7)(8).35P X P X P X >==+==考点：（1）随机变量的分布列；（2）求随机变量的概率19．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23. 记甲击中目标的次数为X ，乙击中目标的次数为Y 求X 的分布列；求X 和Y 的数学期望. 【答案】（1）（2）()223=⨯=X E 【解析】 试题分析：（1）数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，二项分布的期望和方差：若()p n B ,~ξ，则()()()p np D np E -==1,ξξ；（2）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（3）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（4）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算. 试题解析：解：X 的取值为0、1、2、3，⎪⎭⎫ ⎝⎛21,3~B XX 分布列为：331()(),0,1,2,3.k P X k C k ===因为⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛32,3~,21,3~Y B X 故()23213=⨯=X E ，()2323=⨯=Y E . 考点：（1）求离散型随机变量的分布列；（2）求离散型随机变量的数学期望.20．最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财，提出了三种方案：第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万块钱全部用来买股票. 据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%（只有这两种可能），且获利与亏损的概率均为12. 第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万块钱全部用来买基金. 据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，也可能损失10%，还可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，15，15.第三种方案：李师傅妻子认为：投入股市、基金均有风险，应该将10万块钱全部存入银行一年，现在存款年利率为4%，存款利息税率为5%.针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方法，并说明理由. 【答案】议李师傅家选择方案二投资较为合理 【解析】 试题分析：（1）数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，二项分布的期望和方差：若()p n B ,~ξ，则()()()p np D np E -==1,ξξ，样本方差反映了所有样本数据与样本的平均值的偏离程度，用它可以刻画样本数据的稳定性；（2）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（3）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（4）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算. 试题解析：第一种方案：设收益为X 万元，则其分布列为：()X E =1（万元）第二种方案：设收益为Y 万元，则其分布列为：()Y E =1（万元）第三种方案：收益Z=10⨯4%⨯（1-5%）=0.38（万元），故()()Z Y E X E >= 应在方案一、二中选择，又()X D =9，()Y D =1.6，知()()Y D X D >，说明虽然方案一、二平均收益相同，但方案二更稳妥. 所以建议李师傅家选择方案二投资较为合理. 考点：（1）求随机变量的分布列；（2）求随机变量的均值和方差.。
2013--2014学年(下)期末考试卷高二数学(理科)
2013--2014学年（下）期末考试卷高二数学（理科）满分：150分 考试时间：120分钟2014.6一、选择题 (本大题共10小题，每题5分，合计50分)1．在复平面上，复数(2i)i z =-+的对应点所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.下列函数中，与函数y =有相同定义域的是( ) A . ()xf x e = B.1()f x x=C. ()||f x x =D. ()ln f x x = 3.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）4．若集合2{|20}A x x x =--<，{|2}B x x a =-<<， 则“A B ≠∅”的充要条件是( )A ． 2a >-B ．2a ≤-C ．1a >-D ．1a ≥-5.曲线y 2=x 与直线y = x 所围成的图形的面积为( )A.B.C. D.6.设二次函数在区间[0,1]上单调递减，且，则实数m.的取值范围是( )A. (,0]B. [2,)C. (,0][2,)D.[0,2]7.定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧⊗=⎨>⎩，则函数xx f 21)(⊗=具有如下性质（ ）A ．最大值为1 B, 最小值为1C. 在区间()0,∞-上单调递减D. 在区间()+∞,0上单调递增8．设0>a ，若关于x 的不等式51≥-+x ax 在）∞+∈,1(x 恒成立， 则a 的最小值为( ) A ． 16B ． 9C ．4D ． 29．有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等sA ．sssB ．C ．D ．待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是( )A ．12B ．14C ．124D ．114410．定义在R 上的函数()f x 及其导函数()f x ' 的图象都是连续不断的曲线，且对于实数,()a b a b < 有()0,()0f a f b ''><．现给出如下结论：①00[,],(=0x a b f x ∃∈）；②00[,],(()x a b f x f b ∃∈>）；③00[,],(()x a b f x f a ∀∈≥）；④00[,],(()()()x a b f a f b f x a b '∃∈->-）. 其中结论正确的个数是( )A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4：定义在R 上的函数f （x ）及其导函数f ′（x ）的图象都是连续不断的曲线，且对于实数a ，b （a ＜b ），有f'（a ）＞0，f ′（b ）＜0，说明在区间（a ，b ）内存在x 0，使f ′（x 0）=0，所以函数f （x ）在区间（a ，b ）内有极大值点，同时说明函数在区间[a ，b]内至少有一个增区间和一个减区间．由上面的分析可知，函数f （x ）在区间[a ，b]上不一定有零点，故①不正确；因为函数在区间（a ，b ）内有极大值点，与实数b 在同一个减区间内的极大值点的横坐标就是存在的一个x 0，所以②正确；函数f （x ）在区间[a ，b]的两个端点处的函数值无法判断大小，若f （b ）＞f （a ），取x 0=a ，则③不正确； 当f （a ）＞f （b ），且x 0是极大值点的横坐标时结论④正确． 故选B ．二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．()2321d xx -+=⎰ .12. 若随机变量2~(,)X N μσ，则()P X μ≤=________. 13．523)1(xx +展开式的常数项是 ． 14.设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图像关于直线21=x 对称，则 .______________)5()4()3()2()1(=++++f f f f f 15．对于非空实数集A ，记*{,}A y x A y x =∀∈≥．设非空实数集合P M ⊆，若1>m 时，则P m ∉． 现给出以下命题：①对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有**M P ⊆； ②对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有*M P ⋂≠∅； ③对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有*M P ⋂=∅；④对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必存在常数a ，使得对任意的*b M ∈，恒有*a b P +∈，其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）解：由A*={y|∀x ∈A ，y ≥x}．可知：数集A*是数集A 的所有上界组成的集合． ①分别用A max 、A min 表示集合A 的所有元素（数）的最大值、最小值． 由M ⊆P 及A*的定义可知：M max ≤ M* min ，P max ≤P* min ，M* min ≤P max ，∴M* min ≤P* min，∴必有P *⊆M *．故①正确．②若设M=（-∞，1）=P ，满足M ⊆P ，而M *=[1，+∞），此时M *∩P=∅，故②不正确． ③若设M=（-∞，1]=P ，满足M ⊆P ，而P *=[1，+∞），此时M ∩P *={1}≠∅． ④由①可知：对于M ⊆P ，必有P*⊆M*；取a= P* min -M* min，则对于任意的b ∈M*，必恒有a+b ∈P*． 故正确命题是①④．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. (本题满分13分)设实数,a b 满足29a b +=． （Ⅰ）若93b a -+<，求a 的取值范围；（Ⅱ）若,0a b >，且2z a b =，求z 的最大值．17. (本题满分13分) 在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点M 的极坐标为(,)4π，曲线C 的参数方程为1c os ,(s i n x y ααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数）． （Ⅰ）求直线OM 的直角坐标方程；（Ⅱ）求点M 到曲线C 上的点的距离的最小值．18.( 本题满分13分) 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (Ⅰ) 求a 的值； (Ⅱ) 若该商品的成本为3元/千克, 试确定销售价格x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．19. (本题满分13分) 某商场“五.一”期间举行有奖促销活动，顾客只要在商店购物满200元就能得到一次摸奖机会.摸奖规则是：在盒子内预先放有6个形状和大小相同的球，其中两个球标号是0，三个球标号是20，还有一个球标号是40.顾客依次从盒子里摸球，每次摸一个球（不放回），若累计摸到两个标号为0的球就停止摸球，否则将盒子内球摸完才停止.奖金数为摸出球的标号之和（单位：元），已知某顾客得到一次摸奖机会. （Ⅰ）求该顾客摸两次球被停止的概率；（Ⅱ）设ξ（元）为该顾客摸球停止时所得的奖金数，求ξ的分布列及数学期望E ξ.20. (本题满分14分)已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ． (Ⅰ)求函数g (x )的解析式；(Ⅱ)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|；(Ⅲ)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．21. （本题满分14分）已知函数()f x ={321ln 1x x bx c x a x x -+++<≥，，的图象过坐标原点O ，且在点))1(,1(--f 处的切线的斜率是-5。
下学期高二期末考试数学(理)(附答案)
包头一中2013—2014学年度第二学期期末考试高二年级理科数学试题一、选择题（共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上．）1．设,,,a b c R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是（ ） A.0ad bc -= B.0ac bd -= C.0ac bd += D.0ad bc +=2 ）A ．iB ．i -C iD i3.已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ）。
A.1=ρ B. θρcos = C. θρcos 1-= D. θρcos 1= 4. 已知过曲线{()3cos 4sin x y θθπθθ≤≤==为参数，0上一点P 和原点O 的直线PO 的倾斜角为4π，则P 点坐标是( )A.（3，4）B.1212(,)55--C.(-3，-4)D.1212(,)555.已知使函数y ＝x 3＋ax 2－43a 的导数为0的x 值也使y 值为0，则常数a 的值为( )A ．0B ．±3C ．0或±3D ．非以上答案6.已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ，0.847. ()5a x x R x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于( )A.-1B.12C.1D.2 8.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )A.70种B. 80种C. 100种D.140种9.已知nx x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+313展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．710.抛掷一枚均匀的骰子所得的样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，令事件A ＝{2，3，5}，B ＝{1，2，4，5，6}，则P(A|B)等于( ) A.25 B.12 C.35D.4511.方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=21y t t x （t 为参数）表示的曲线是（ ）。
2013---2014学年度高二第二学期数学期末试卷(理科)
2013---2014学年度高二第二学期数学期末试卷（理科）选择题：1、有6名同学，如果甲必须站在乙的右边，不同站法总数是… ( )(A )6621A (B ) 66A (C )266A (D ) 4425A A2.(1－2x )5(2＋x )的展开式中x 3的项的系数是( )A ．120B ．－120C ．100D ．－1003. 复平面内，复数113-i（i 是虚数单位）对应的点在( )（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限4.根据如下样本数据得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ）A.0,0>>b aB.0,0<>b aC.0,0><b aD.0.0<<b a5．黑白两种颜色的正六边形地面砖如图的规律拼成若干个图案，则第2011个图案中，白色地面砖的块数是 ( )A ．8046B ．8042C ．4024D ．60336.以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有个数为…（ ） (A )6 （B ）8 （C ）12 （D ）30 7．若复数z 满足(3－4i )z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为( )A ．－4B ．－45C ．4 D.458．某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示)，则新生婴儿的体重(单位：kg)在[3.2，4.0)的人数是( )．A ．30B ．40C ．50D ．558.9.从6种小麦品种中选出4种，分别种植在不同土质的4块土地上进行试验，已知1号，2号小麦品种不能在试验田甲这块地上种植，则不同的种植方法有（ ） A.180 B.220 C.240 D.26010、若n n n x a x a x a a x x 2222102)1(++++=++ ，则0242n a a a a ++++ =（ ）(A )n 2 (B ) n 2＋1 (C ))13(21-n (D ))13(21+n11.已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求f (x )dx 的值，结果是( ) A.16＋π2B ．ΠC ．1D ．0 12.三次函数x ax x f +=3)(在),(+∞-∞∈x 内是增函数，则（ ） (A) a >0(B) a <0 (C) a =1(D) a =31二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
一中学13—14学年下学期高二期末联考数学(理)(附答案)
高二过程性检测理科数学试题本试卷共4页，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．填空和解答题直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、本题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的选项． 1．23log 9log 4⨯=A ．14 B ．12C ．2D ．42．函数)2sin(sin )(x x x f -=π的最小正周期为A ．πB ．23π C ．2πD ．2π 3. 下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是 A ．x y -=B ．xy -=11C ．x y 12=D ．122++-=x x y4．函数2()21log f x x x =-+的零点所在区间是A ．11(,)84B ．11(,)42C ．1(,1)2D ．（1，2）5．{}{}211,,log 1,A x x x R B x x x R =-≥∈=>∈，则“x A ∈”是“x B ∈”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件6.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为A. π6B. π3C. π6 或 5π6D. π3 或 2π37．已知3153-⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ，2153-⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ，2134-⎪⎭⎫⎝⎛=c ，则a,b,c 三个数的大小关系是A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<8.已知函数)(),(,cos 2)(,sin 2)(x g x f m x x x g x x f 与直线=== 的图象分别交M 、N 两点，则|MN |的最大值为A. 3B. 4C. D ．29．设函数()sin cos =+f x x x x 的图像在点()(),t f t 处切线的斜率为k ， 则函数()=k g t 的部分图像为10． 已知()f x 是R 上的偶函数，若将()f x 的图象向右平移一个单位，则得到一个奇函数的图象，若()21f =-则()()()()1232013f f f f +++⋅⋅⋅+=A ．1B ．0C ．1-D ．1005.5-第II 卷(非选择题，共100分)二．填空题：本题共5小题，每小题5分，计25分；直接将结果填在题中的横线上。
2013-2014下学期期末考试高二数学(理科)(含答案)
2013-2014下学期期末考试高二数学（理科）（含答案） 注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。
如果需改动，且橡皮擦干净，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设全集U=R ，集合A={x|0≤x ≤2}，B={y|1≤y ≤3}，则(CUA)∪B=（D ） 集合 A.(2,3] B.(-∞,1]∪(2,+∞) C.[1,2) D.(-∞,0)∪[1,+∞) (2)若复数(1+ai)2（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a=( A )复数 A ．±1 B ．-1 C ．0 D ．1(3)已知=(3,-2), =(1,0),向量λ+与-2垂直，则实数λ的值为（ C ）向量A ．-16B ．16C ．-17D ．17(4)下列命题错误的是( B )A ．命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x ≠1，则x2-3x+2≠0”B ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题;C ．命题p ：∃ x0∈R,使得x02+x0+1<0，则┌p ：∀x ∈R,都有x2+x+1≥0D ．“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件(5)某老师有同样的数学教辅书2本，同样的物理教辅书3本，从中取出4本赠送给4名同学，每名同学1本，则不同的赠送方法共有（ B ）排列组合 （A ）4种 (B) 10种 (C) 18种 (D)20种(6) 已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1,12a3,2a2成等差数列，则a9+a10a7+a8=（C ）A.1+ 2B. 1- 2C. 3+2 2 D .3-2 2(7)若sin(π2+x)+sin(π+x)=13，则sinx ·cosx 的值为( A ）A ． 49B ．-49C．-89D ． 89(8)若实数x,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x+3y-3≥02x-y-3≤0x-my+1≥0,且x+y 的最大值为9，则实数m=（B ）教育网A. 2B. 1C. -1D. -2(9) 阅读如右图所示的程序框图，则输出的结果是（C ） A. －10 B. 0 C. 10 D. 20 (10)如图，曲线段OC 是函数y=x 的图象的一部分，直线的方程为y=x-2,阴影部分记作区域E ，现向正方形ABCD 内随 机投一点，则落入区域E 中的概率为（ C ）几何概率 A.524 B.34 C.13 D.12(11)定义域为R 的偶函数f(x) 满足对∀x ∈R,有f (x)=-2x2+12x-18，若函数y=f(x)-loga(x+1)在(0,+∞)上至少有三个零点，则a 的取值范围为（ A ）函数零点对称 A.(0,33) B. (0,22) C. (0,55) D. (0,66) （12）设函数f(x)=2x-cosx,{an}是公差为π8 的等差数列，f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)=5π，则[f(a3)]2-a1a5=（ ） A.0 B.π216 C.π28 D 、13π216第II 卷本卷包括必考题与选考题两部分。
2013年高二下册数学理科期末试题带参考答案
精心整理2013年高二下册数学理科期末试题带参考答案以下是为大家整理的关于《2013年高二下册数学理科期末试题带参考答案》的文章，供大家学习参考！一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给1A ．B 23A ．B 4．5．已知为锐角三角形，若角终边上一点的坐标为（），则= 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．与的大小有关6．给出下列四个命题：①已知函数则的图像关于直线对称；②平面内的动点到点和到直线的距离相等，则点的轨迹是抛物线；③若向量满足则与的夹角为钝角；○4A．7A．B8.（）A．9.已知函数，设且函数的零点在区间或内，则的值为（）A．B．C．D．10.在函数的图像与轴所围成的图形中，直线从点向右平行移动至，在移动过程中扫过平面图形（图中阴影部分）的面积为，则关于的函数的图像可表示为（）第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.111239 1314.15.（1）（坐标系与参数方程选做题）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并取相等的长度单位建立极坐标系，若直线与曲线(为参数)相交于两点，则线段长度为_________.（2）（不等式选做题）若存在实数，使不等式成立,则实数的取值范围为_________.四、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（1（217.4种-5.(1)(2)18.（本小题满分12分）如图所示，在边长为3的等边中，点分别是边上的点，且满足现将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结.（1）求证：；（2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分12分）已知数列具有性质：○1为整数；○2对于任意的正整数当为偶数时，（1（220.(1)(2)21.（本小题满分14分）已知函数，，设（1）求函数的单调区间；（2）若以函数图像上任一点为切点的切线斜率为恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，对任意的，且，已知存在使得，求证：参考答案1-5CDBBC6-10CACBD（917（10（1218、解：（1）等边三角形ABC的边长为3，且，在中，，由余弦定理得，，折叠后有（3分）二面角为直二面角，平面平面又平面平面，平面，平面（5分）（2）假设在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为由（1）证明，可知，，以为坐标原点，以射线分别为轴，轴，轴的正半轴，建立空（719○1当为偶数时，此时（4分）○1当为奇数时，此时综合上述，可得的值为或（6分）（2），，（7分）又由定义可知，，（9分）综上可知，当时，都有（12分）（221、解：（1）由题意可知（1分）○1当时，在上恒成立的增区间为○2当时，令得；令得的增区间为减区间为综合上述可得：当，增区间为；当时，增区间为减区间为（4分）。
浙江省宁波市2013-2014学年高二下学期期末考试数学理
【试卷综评】本次数学期末考试注重对数学基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查 ；突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力等方面的考察 在基础知识上进行了综合和创新 ， 着力体现概念性、思辨性和应用的广泛性，试题考察较为全面， 一方面突出了重点知识重点考察 ，另一方面突出数学知识本身的数学思想的考察 ，均是在基本概念和易混知识上进行了考察 ，对概念的完备性考查有较高的要求 ，有效的检测了学生的理性思维水平， 既要运算，又考察了学生对知识的运用能力的考察 ，对学生的综合能力要求较多， 同时在知识交汇点处设置考题 ，考查了学生知识的全面性 综合运用能力 ，需要学生有较高的悟性和对数学本质有较为深刻的认识， 有效的体现出试题的层次和梯度 。
选择题部分 (共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合22{|20},{|l g (1)}A x x x B x y o x =-≤==-,则A B = （ ） A ．{|12}x x ≤<B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x <≤D ．{|12}x x ≤≤【知识点】一元二次不等式的解法；对数函数的定义域；交集. 【答案解析】C 解析 ：解：由题意可解得：{}|02A x x =＃，{}|1B x x =>，则A B = {|12}x x <≤.故选：C.【思路点拨】解出两个集合再求交集即可.2.已知,a b R ∈,若a b >,则下列不等式成立的是 （ ）A ．lg lg a b >B ．0.50.5ab> C ．1122a b > D > 【知识点】函数的单调性；比较大小.【答案解析】D 解析 ：解：当a ，b 中至少有一个负值时，对数式与开偶次方的根式无意义，故排除A 、C ；而0.5x y =是R 上的减函数，故B 错；因为y 是R 上的增函数，故D 正确. 故选:D.【思路点拨】借助于对数式与开偶次方的根式成立的条件排除A 、C ；再利用函数的单调性进行判断即可.3.已知,a b R ∈,则“222a b ab+≤-”是“0,b 0a ><且”的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充要条件C0£，即0ab <；所以“0,b 0a ><且” 能推出“0ab <”成立，而“0ab <”推不出“0,b 0a ><且”，所以“222a b ab+≤-”是“0,b 0a ><且”的必要不充分条件.故选：A.【思路点拨】看两命题“222a b ab+≤-”与“0,b 0a ><且”是否能够互相推出，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．4.已知m l 、是空间中两条不同直线,αβ、是两个不同平面,且,m l αβ⊥⊂,给出下列命题： ①若//αβ，则m l ⊥； ②若αβ⊥，则//m l ; ③若m l ⊥，则//αβ； ④若//m l ，则αβ⊥其中正确命题的个数是 （ ）A . 1 B . 2 C ．3 D ．4 【知识点】线面、面面位置关系的判断. 【答案解析】B 解析 ：解：对于A ∵ //αβ，m a ^∴m b ^，又∵l b Ì，∴m l ⊥，∴A 正确． 对于B ∵αβ⊥,,m l αβ⊥⊂则m 与l 的位置关系是平行、相交、异面，故B 错误. 对于C ∵m l ⊥，,m l αβ⊥⊂则,αβ的位置关系是平行或相交，故C 错误. 对于D ∵//m l ，,m l αβ⊥⊂则αβ⊥.故D 正确故选.：B.【思路点拨】利用直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断，成立的证明，不成立的可举出反例． 5.将函数()2sin(2)4f x x π=+的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),所得图象关于直线4x π=对称,则ϕ的最小值为（ ） A ．34π B ．12π C ．38π D ． 18π6.下列四个图中,函数10ln 11x y x +=+的图象可能是 （ ）【知识点】函数的性质与识图能力; 函数的图象．【答案解析】C 解析 ：解：当x ＞0时，y ＜0，排除A 、B 两项； 当-2＜x ＜-1时，y ＞0，排除D 项． 故选：C ．【思路点拨】根据四个选择项判断函数值的符号即可选择正确选项．7.已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ,过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为H ,若2F H 与双曲线C 的交点M 恰为2F H 的中点,则双曲线C 的离心率为 ( ) A B ． C ．2 D ．3 【知识点】双曲线的标准方程;双曲线的简单性质的应用. 【答案解析】A 解析 ：解：由题意可知，一渐近线方程为 b y x a=，则F 2H 的方程为 y-0=k （x-c ），代入渐近线方程b y x a =可得H 的坐标为2 a abc c（，），故F 2H 的中点M 2,22a c ab c c 骣琪+琪琪琪琪桫22224a b b c=2=，8.如图所示,O 为ABC ∆的外接圆圆心,10,4AB AC ==,BAC ∠为钝角,M 是边BC 的中点,则AM AO ⋅= （ ）A ．21 B．29 C ．25 D ．40 【知识点】向量数量积的运算;数形结合;数量积的定义. 【答案解析】B 解析 ：解：（如图）AO AD AO AE AO ???由数量积的定义可得AD AO |AD ||AO |cos AD AO?＜，＞， 而|AO|cos AD AO |AD|= ＜，＞，故2AD AO |AD |25?= ； 同理可得2AE AO |AE |4?= , 故AM AO AD AO AE AO 29\???.故选:B.【思路点拨】取AB 、AC 的中点D 、E ，可知OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，所求AM AO AD AO AE AO ??? ，由数量积的定义结合图象可得2AD AO |AD |? , 2AE AO |AE |? ，代值即可．9.已知定义在R 上的函数()f x 满足:()[)[)()()222,0,1,22,1,0,x x f x f x f x x x ⎧+∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩且，()252x g x x +=+,则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为 ( ) A ．8-B ． 7-C ．6-D ．0【知识点】函数的零点与方程根的关系．【答案解析】B 解析 ：解：∵()[)[)()()222,0,1,22,1,0,x x f x f x f x x x ⎧+∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩且∴[)[)22,0,1(2)2,1,0x x f x x x ìÎï--=í-?ïî又()g x =x 2=（）由图象可得：方程()()f x g x =在区间[-5，1]上的实根有3个，12x 3x =-，满足235x 4x --＜＜，满足3230x 1x x 4+=-＜＜，；∴方程()()f x g x =在区间[-5，1]上的所有实根之和为-7．故选：B ．【思路点拨】将方程根的问题转化为函数图象的交点问题，由图象读出即可． 10.对数列{}n a ,如果*12,,,,k k N R λλλ∃∈∈ 及1122,n k n k n k k n a a a a λλλ++-+-=+++ 使成立,*n N ∈其中,则称{}n a 为k 阶递归数列．给出下列三个结论： ①若{}n a 是等比数列,则{}n a 为1阶递归数列； ②若{}n a 是等差数列,则{}n a 为2阶递归数列；③若数列{}n a 的通项公式为a n =n 2,则{}n a 为3阶递归数列．其中正确结论的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【知识点】k 阶递归数列的定义; 数列的性质和应用; 复合命题的真假． 【答案解析】D 解析 ：解：①∵{}n a 是等比数列，∴1n 1a a n q -=，n 1n a qa +=， ∴k 1q l $==，，使n k n k 1a qa ++-=成立，∴{}n a 为1阶递归数列，故①成立；②∵{}n a 是等差数列，∴n 1a a n 1d =+-（），∴12k 221l l $===-，，，使n 21n k 12n a a a l l ++-+-=+成立，∴{}n a 为2阶递归数列，故②成立；③∵若数列{a n }的通项公式为2n a n =，∴123k 3331l l l $===-=，，，，使n 31n k 12n k 23a aa al l l ++-+-+-=++成立，∴{}n a 为3阶递归数列，故③成立．故选D ．【思路点拨】利用等差数列、等比数列和数列{}n a 的通项公式为2n a n =的性质，根据k 阶递归数列的定义，逐个进行判断，能够求出结果．非选择题部分 (共100分)二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若24612a a a ++=,则7S 的值是 ． 【知识点】等差数列的性质；等差数列的前n 项和．【答案解析】28解析 ：解：由等差数列{}n a 的性质可得：24612a a a ++=,44a =,47a 7428==?． 【思路点拨】由等差数列{}n a 的性质可得：44a =,再利用其前n 项和公式即可得出． 12.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 .正视图俯视图(第12题图)13.过点(4,2)P 作圆224x y +=的两条切线,切点分别为,A B ,O 为坐标原点,则OAB ∆的外接圆方程是 ． 【知识点】圆的标准方程的求法. 【答案解析】()()22215x y -+-=解析 ：解：由题意知，OA ⊥PA ，BO ⊥PB ，∴四边形AOBP 有一组对角都等于90°，∴四边形AOBP 的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP ，OP 的中点为（2，1），OP =方程为()()22215x y -+-=，∴△AOB 外接圆的方程为()()22215x y -+-=，故答案为：()()22215x y -+-=.【思路点拨】由题意知OA ⊥PA ，BO ⊥PB ，四边形AOBP 的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP ，△AOB 外接圆就是四边形AOBP 的外接圆．14.设0cos 420a =,函数,0,()log ,0,x a a x f x x x ⎧<=⎨≥⎩,则211()(log )46f f +的值等于 ．【知识点】分段函数求值；换底公式.【答案解析】8解析 ：解：因为0cos 420a =12=，所以1211()log 244f ==，又因为21log 06<，所以221log log 66211(log )()2662f ===，故211()(log )26846f f +=+=.故答案为：8.【思路点拨】在分段函数中分别求值再相加即可.15.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x 所表示的平面区域为D ,若直线k kx y3-=与平面区域D 有公共点,≥-≥-≤+011y y x y x 的平面区域如图示：故答案为1,03轾-犏犏臌．【思路点拨】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x 的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=kx-3k 中，求出y=kx-3k 对应的k 的端点值即可．【典型总结】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域;②求出可行域各个角点的坐标;③将坐标逐一代入目标函数④验证，求出最优解．16.如果关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(,)a b 和11(,)b a,那么称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式2cos 220x θ-⋅+<与不等式224sin 210x x θ+⋅+<为对偶不等式,且(,)2πθπ∈,则cos θ=_______________.【知识点】一元二次方程与一元二次不等式的相互转化关系；方程的根与系数的关系. 【答案解析】-解析 ：解：不等式2cos 220x θ-⋅+<的解集为(,)a b ，由题意24sin 210x x q +?=的两整理可得，ab 2a b112sin2a bq q ìïïï+íïï+=-ïî＝＝sin2q q =-，即tan 2q =∵(,)2πθπ∈，∴()2,2q p p Î，552,36p p q q \=\=.cos θ=- 故答案为：-【思路点拨】根据对偶不等式的定义，以及不等式的解集和方程之间的关系，即可得到结论．17.已知不等式组22021x x a a x a ⎧-+-<⎨+>⎩的整数解恰好有两个,求a 的取值范围是 ．【知识点】分类讨论的思想方法；恰有两个整数解的意义；一元二次不等式的解法.【答案解析】(]1,2解析 ：解：不等式组22021x x a a x a ⎧-+-<⎨+>⎩等价于()()1012x a x a x a ì轾---<ï臌íï>-î(1) 当1a a <-，即12a <时可得112a x ax aì<<-ïí>-ïî， ① 当112a a -<-时，即0a <，原不等式组无解；② 当121a a a ??时，即103a ＃，不等式组的解为121a x a -<<-，而长度为 ()()11120,3a a a 轾---=?犏犏臌，不满足题意，舍去； ③ 当12a a -<时，即13a >，又因为12a <，故1132a <<，不等式组的解为1a x a <<-，而长度为11120,3a a a 骣琪--=-?琪桫，不满足题意，舍去； （2）当1a a ?时，即12a ³，故121a a -<-，不等式组的解为1a x a -<<，而长度为 (1)21a a a --=-，原不等式组的整数解恰好有两个，所以1213a <-?，即12a <?.综上所述：a 的取值范围是12a <?. 故答案为：(]1,2.【思路点拨】由原不等式组转化为()()1012x a x a x a ì轾---<ï臌íï>-î后，对a 进行分类讨论即可. 三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分14分)已知函数()2sin sin ,63f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）在ABC ∆中,若角ABBCC f 求满足锐角,21)62(C ,4A =+=ππ的值. 【知识点】诱导公式；最小正周期；正弦定理. 【答案解析】（I ）p （II解析 ：解：（I ）因为()2sin sin 63f x x x p p 骣骣琪琪=-+琪琪桫桫=2sin()sin[()]626x x p p p=-+- 2sin()cos()sin 2,663x x x p pp 骣琪=--=-琪桫………………………5分 所以函数()f x 的最小正周期为22pp =， （Ⅱ）由(I)得，()sin[2()]sin ,26263c c f C p p p+=+-=由已知，1sin 2C =，又角C 为锐角，所以6C p= ……………11分有正弦定理得πsinsin 4πsin sin 6BC A AB C ==== ……………14分 【思路点拨】（I ）先把原函数式化简整理得()sin 2,3f x x p骣琪=-琪桫再利用公式即可；（Ⅱ）先解出()sin 26c f C p +=，进而可得C 的值，再利用正弦定理可求的结果.19.(本题满分14分)在如图所示的空间几何体中,平面⊥ACD 平面ABC ,ACD ∆与ACB ∆ 均是边长为2的等边三角形,2=BE ,直线BE 和平面ABC 所成的角为︒60,且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上． （I ）求证://DE 平面ABC ；（II ）求二面角A BC E --的余弦值．【知识点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．取AC中点O，⊥平面ABC，……………3分平面ABC……………7分∴cosFGEGF?=．即二面角ABCE--的余弦值为．…………14分…………14分件推导出DO⊥平面ABC，能证明DE∥平面ABC．20.(本题满分14分)数列{}n a是公比为2的等比数列,且21a-是1a与31a+的等比中项,前n项和为nS;数列{}n b是等差数列,1b= 8,其前n项和n T满足1n nT n bλ+=⋅(λ为常数,且λ≠1)．（I）求数列{}n a的通项公式及λ的值；（II）比较1231111nT T T T++++与12nS的大小．【知识点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【答案解析】（I ）n a =12n骣琪琪桫；λ＝12（II ）123111112n n S T T T T +++?< 解析 ：解：（Ⅰ）由题意，可得22131a a 1a -=+（）（）， 即2111111a a 1a 24-=+（）（），解之得a ∴数列{a n }的通项公式为n a =12n骣琪琪桫，又∵1n n T n b λ+=⋅，∴ 12232T b T b l l ìïíïî＝＝，即()()8816282d d d l l ì+ïí++ïî＝＝，解得d l ìïíïîd l ＝1＝0，∵l 为常数，且1l ¹，∴λ＝（Ⅱ）由（Ⅰ）知：n S 1=-12n骣琪琪桫，n S =112n +琪琪．又2n T 4n 4n =+，211114n 4n 41n n ==-++（） 1231111111111111[1]142231414n T T T T n n n \+++?=-+-+?-=-++（）（）（）（）＜ 123111112n n S T T T T \+++?<． 【思路点拨】（I ）根据21a -是1a 与31a +的等比中项，建立关于1a 的方程，解出a 从而得出数列{}n a 的通项公式．再由1n n T nb λ+=⋅建立关于{}n b 的公差d 与l 的方程组，解之即可得到实数λ的值；（II ）由（I ）的结论，利用等比数列的求和公式算出n S 的表达式，从而得到12n S -112n +骣琪琪桫．由等差数列的通项与求和公式算出{}n b 的前n 项和2n T 4n 4n =+，利用裂项求和的方法算出结果，再将两式加以比较，即可得到所求的大小关系．21.(本题满分15分)函数()log (3)(0,1)a f x x a a a =->≠且,当(,)P x y 是函数()y f x =图象上的点时,(,)Q x a y --是函数()y g x =图象上的点. （I ）求函数()y g x =的解析式；（II ）当[3,4]x a a ∈++时,恒有()()1f x g x -≤,试确定a 的取值范围.【知识点】相关点法；一元二次不等式的解法；分类讨论的思想方法；不等式恒成立的问题;函数的单调性.【答案解析】（1）log ay =ax 21- (x ＞2a ) （2）(0,1) 解析 ：解：（Ⅰ）设P (x 0,y 0)是y =f (x )图象上点，Q （x ,y ）,则⎩⎨⎧-=-=00y y ax x ，∴⎩⎨⎧-=+=yy a x x 00 ∴log (3)y a x a a =+－－，log a y \=a x 21- (x ＞2a ) ----- 5分（2） 令]4)25[(log )]3)(2[(log )()()(22a a x a x a x x g x f x a a --=--=-=ϕ由⎩⎨⎧>->-,03,02a x a x 得a x 3>，由题意知a a 33>+，故23<a ，从而53(3)(2)022a a a +-=->， 故函数225()()24a a x x f =--在区间]4,3[++a a 上单调递增 ------------------8分（1）若10<<a ，则)(x ϕ在区间]4,3[++a a 上单调递减，所以)(x ϕ在区间]4,3[++a a 上的最大值为)992(log )3(2+-=+a a a a ϕ．在区间]4,3[++a a 上不等式1)(≤x f 恒成立，等价于不等式1)992(log 2≤+-a a a 成立， 从而a a a ≥+-9922，解得275+≥a 或275-≤a ． 结合10<<a 得10<<a ． ------------------------------------11分（2）若231<<a ，则)(x ϕ在区间]4,3[++a a 上单调递增， 所以)(x ϕ在区间]4,3[++a a 上的最大值为)16122(log )4(2+-=+a a a a ϕ. 在区间]4,3[++a a 上不等式1)(≤x ϕ恒成立， 等价于不等式1)16122(log 2≤+-a a a 成立，从而a a a ≤+-161222，即0161322≤+-a a ，解得4411344113+≤≤-a ． 易知2344113>-，所以不符合． -----------------------14分 综上可知：a 的取值范围为(0,1)． ----------------------------15分【思路点拨】（1）利用相关点法找到P (x 0,y 0)与Q （x ,y ）坐标直间的关系，代入函数()y f x =的解析式即可；（2）令()()()x f x g x f =-，然后判断出)(x ϕ在区间]4,3[++a a 上单调递增，再利用分类讨论求出a 的取值范围即可.22.(本题满分15分)如图,F 1、F 2C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点,直线l ：x ＝－1将线段F 1F 2分成两段,其长度之比为1 : 3.设A 、B 是椭圆C 上的两个动点,线段AB 的中垂线与椭圆C 交于P 、Q 两点,线段AB（I ）求椭圆C 的方程；（II ）求22F P F Q ⋅的取值范围．【知识点】椭圆方程的求法；向量的数量积的取值范围的求法；直线与圆锥曲线的综合问题．【答案解析】(Ⅰ) 22184x y +=(Ⅱ) 125[4)58-，解析 ：解：(Ⅰ) 设F 2(c ，0)，则1113c c -=+,所以2c = 因为离心率e ， 所以a ＝所以椭圆C 的方程为22184x y +=． ………… 6分(Ⅱ) 当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为x ＝－1，此时P(22-，0)、Q(22,0)224F P F Q ⋅=-．当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k ，M (－1，m ) (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由 221122221,841,84x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得 (x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)1212y y x x -⋅-＝0， (第22题图)则 －1＋2mk ＝0， 故k ＝12m． ………… 8分 此时，直线PQ 斜率为m k 21-=，PQ 的直线方程为)1(2+-=-x m m y ． 即m mx y --=2．联立⎪⎩⎪⎨⎧=+--=148222y x m mx y 消去y ，整理得 2222(81)8280m x m x m +++-=． 所以2122881m x x m +=-+，21222881m x x m -=+．………… 10分 于是22F P F Q ⋅1212(2)(2)x x y y =--+1212122()1(2m m)(2m m)x x x x x x =-+++++ 221212(14)(22)()4m x x m x x m =++-+++． 令t 1=+又1t ＜＜综上，2F P 【思路点拨】（Ⅰ）设2(0)F c ，，则1113c c -=+, 离心率e ，由此能求椭圆的方程．（Ⅱ）当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为x ＝－1，224F P F Q ⋅=-．当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k ，M (－1，m ) (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．利用点差法求出PQ 的直线方程为y=-2mx-m ．联立⎪⎩⎪⎨⎧=+--=148222y x m mx y ，得： 2222(81)8280m x m x m +++-=．由此能求出22F P F Q ⋅的取值范围.。
2013-2014高二数学期末质量检测(必修2+选修1-1)
2013-2014学年度高二年级期末教学质量检测模拟卷第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“0x >”是0>”成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24x y =的焦点坐标是（ ） A ．(1,0) B ．(0,1) C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．圆8)3()3(22=-+-y x 与直线3460x y ++=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定 4．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．若l ∥α，l ∥β，则//αβ B ．若//l α，l ⊥β，则α⊥β C ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥β D ．若α⊥β, //l α，则l ⊥β 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是（ ）A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 6．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为（ ） A ．2πBC．2 D ．4π7．已知椭圆2215x y m+=的离心率5e =，则m 的值为（ ）A ．3 B．3CD ．253或3 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， 直线1C B 与1D C 所成角为（ ）A ．030B ．045C ．060A1A 俯视图9题图9．一个体积为 则这个三棱柱的左视图的面积为（ ）A ．36B ．8C ．38D ．1210．已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( ）A.B.C. 3D. 511.设圆的方程为()()22134x y -++=，过点()1,1--作圆的切线，则切线方程为 （ )A ．1x =-B ．1x =-或1y =-C ．10y +=D ．1x y +=或0x y -= 12.有下列四个命题○1命题“同位角相等,两直线平行”的逆否命题为：“两直线不平行,同位角不相等”. ○2 “1=x ”是“2430x x -+=”的充分必要条件. ○3若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题. ○4对于命题p ：0x R ∃∈，200220x x ++≤, 则⌝p ：x R ∀∈，2220x x ++>. 其中正确是 ( )A.○1○2B.○2○3C.○1○4D.○3○4二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分13．若直线x +a y+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a =14．z 轴上一点M 到点(1,0,2)A 与(1,3,1)B -的距离相等，则M 的坐标为 15．设M 是圆012222=+--+y x y x 上的点，则M 到直线34220x y +-=的最长距离是 ，最短距离是16．已知点()()2,1,3,2P Q -，直线l 过点(0,1)M -且与线段．．PQ 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是__________；三、解答题:本大题共6小题，满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。
北京市西城区2013-2014学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
北京市西城区2013-2014学年下学期高二年级期末考试数学试卷（理科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 复数31i i-等于（ ）A.1122i + B.1122i -C. 1122i -+ D. 1122i -- 2. 3244A C -＝（ ）A. 6B. 12C. 18D. 203. 计算定积分2xdx ⎰＝（ ）A. 2B. 1C. 4D. －24. 已知从A 口袋中摸出一个球是红球的概率为13，从B 口袋中摸出一个球是红球的概率为25。
现从两个口袋中各摸出一个球，那么这两个球中没有红球的概率是（ ） A.215B.25C.715D.355. 从0，1，2，3中选取三个不同的数字组成一个三位数，则不同的三位数有（ ） A. 24个B. 20个C. 18个D. 15个6. 如果用反证法证明“数列{}n a 的各项均小于2”，那么应假设（ ） A. 数列{}n a 的各项均大于2B. 数列{}n a 的各项均大于或等于2C. 数列{}n a 中存在一项,2k k a a >D. 数列{}n a 中存在一项k a ，2k a ≥7. 已知100件产品中有97件正品和3件次品，现从中任意抽出3件产品进行检查，则恰好抽出2件次品的抽法种数是（ ）A. 21398C CB. 21398A AC. 21397C CD. 21397A A8. 由直线2,,033x x y ππ===与曲线sin y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A. 1B.12C.2D.9. 若5个人站成一排，且要求甲必须站在乙、丙两人之间，则不同的排法有（ ） A. 80种B. 40种C. 36种D. 20种10. 函数32()=-+f x ax bx cx 的图象如图所示，且()f x 在0=x x 与1=x 处取得极值，给出下列判断：①0>c ；②(1)(1)0+->f f ；③函数()'=y f x 在区间(0,)+∞上是增函数。
湖南省衡南县2013至2014高二下学期期末考试数学理科试题
满分：150分 时量：120分钟说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卷指定位置上.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合{}{}32,log ,,,M a N a b ==若{}1=⋂N M ,则=⋃N M （ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1,3C ．{}0,2,3D ．{}1,2,32．已知1z i=,则复数z = ( )A ．-1+iB ．1-iC ．-iD ．i 3．sin d x x ππ-⎰的值为( )A ．0B ．1C ．2πD ． 2 4.设某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．24πB ．32πC ．52πD ．96π5.下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． B ．“1x =-” 是“2560x x --=”的必要不充分条件. C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.D ．命题“x ∃∈R 使得210x x ++<”的否定是：“x ∀∈R 均有210x x ++<”．6．已知2014220140122014(12)x a a x a x a x -=++++，则0122014a a a a ++++=（ ）A.22014B. 32013C. 1D. -17．若)(x f 是R 上周期为5的奇函数，且满足,2)2(,1)1(==f f 则)4()3(f f -=（ ）A ．-1B ．1C ．-2D ．28.设变量x ，y 满足约束条件0024236x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，则43z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（ ）A.221169x y -= B ．22134x y -= C ．221916x y -= D ．22143x y -= 10．设等比数列}{n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-.给出下列结论：① 01q <<； ② 9910110a a ⋅->；③ 100T 的值是n T 中最大的；④ 使1n T >成立的最大自然数n 等于198. 其中正确的结论是（ ）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）11．(几何证明选讲)如图,圆O 的半径为1,A 、B 、C 是圆周上的三点,满足30ABC ∠=︒,过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ,则PA =__________.12．（坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
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2013-2014学年度高二第二学期期末统考模拟试题（一）1．已知复数Z=11i+，则Z 在复平面上对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】试题分析：11111(1)(1)22i z i i i i -===-++-，其对应的点11(,)22-落在第四象限。
故选D 。
2．如果随机变量§~N （—2，2σ），且P （—3≤§≤—1）=0.4，则P （§≥—1）=( ) A.0.7 B.0.6 C.0.3 D.0.2【答案】C 【解析】试题分析：由§~N （—2，2σ）知：正态曲线的对称轴是2x =-，则1(31)(1)(3)0.32P P P ξξξ--≤≤-≥-=≤-==。
故选C 。
3．用反证法证明“若a ，b ，c<3，则a ，b ，c 中至少有一个小于1”时，“假设”应为( )A.假设a ，b ，c 至少有一个大于1B.假设a ，b ，c 都大于1C.假设a ，b ，c 至少有两个大于1D.假设a ，b ，c 都不小于1【答案】D 【解析】试题分析：“a ，b ，c 中至少有一个小于1”的反面是“假设a ，b ，c 都不小于1”，故选D 。
4．曲线y=x 2e 在点（4，2e ）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.922e B. 42e C.22e D.2e 【答案】D 【解析】试题分析：2'2x e y =，24'|2x e y ==，切线为22(4)2e y e x -=-，化为222e y x e =-，切线与坐标轴的交点为2(0,),(2,0)e -，则所围成的三角形的面积为22122S e e =⋅=。
故选D 。
5．函数f （x ）=3x 3+2x －3x —4在[0,2]上的最小值是( )A.—173 B.— 103C.-4D.—1【答案】A 【解析】试题分析：2'()23f x x x =+-，令2'()230f x x x =+-=得：31x =-或，求得 极值171)3=-f(，函数值100)4,(2)3f =-=-f(，所以，函数在[0,2]上的最小值为—173。
故选A 。
6．甲乙丙三位同学独立的解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为12、13、14，则有人能够解决这个问题的概率为( )A.1312 B.34 C.14 D.124【答案】B 【解析】试题分析：此题没有被解答的概率为1111(1)(1)(1)2344---=，故能够将此题解答出的概率为13144-=。
故选D 。
7．用1，2，3三个数字组成一个四位数字，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数共有( )A.18个B.9个C.12个D.24个【答案】A 【解析】试题分析：由题意知，本题需要分步计数1，2，3中必有某一个数字重复使用2次．第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法．故共可组成3×3×2=18个不同的四位数．故选C8．甲同学参加一次英语口语考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的5道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2道题才算合格。
则甲合格的概率为( )A .512 B.12 C.23 D.56【答案】B 【解析】试题分析：甲要合格，则可以是答对2道或者3道，数目为12355560C C C +=，总的数目为310120C =。
故选B 。
9．下列两个变量之间是相关关系的是( D )A. 圆的面积与半径B. 球的体积与半径C. 角度与它的正弦值D. 一个考生的数学成绩与物理成绩10．一个物体的位移s (米)和与时间t (秒)的关系为242s t t =-+，则该物体在4秒末的瞬时速度是（ C ） A ．12米/秒 B ．8米/秒 C ．6米/秒 D ．8米/秒【答案】C 解答：解：∵一个物体的位移s （米）和与时间t （秒）的关系为s=4-2t+t 2， ∴s′=2t -2∴该物体在4秒末的瞬时速度是s′|x=4=2×4-2=6故选C ． 11．函数()ln f x x x =，则 （ ）A.在(0,)∞上递增；B.在(0,)∞上递减；C.在1(0,)e 上递增； D.在1(0,)e上递减 【答案】D 解答：由()ln 1f x x '=+得：当ln 10x +≥即1x e≥时，()ln f x x x =单调递增， 由ln 10x +≤即10<x e≤时，()ln f x x x =单调递减，故选D 。
12．4)21(x -展开式中含x 项的系数( )A ．32B 。
4C 。
-8D 。
-32【答案】C 解答：解：（1-2x ）4展开式的通项为T R+1=（-2）r C 4r x r令r=1得展开式中含x 项的系数为-2C 41=-8故选C13．A,B,C,D,E 五人站成一排，如果A,B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同排法种数有（ ） A.60种 B.48种 C.36种 D.24种【答案】D 【解析】分析：根据题意，A 、B 必须相邻且B 在A 的右边，视A 、B 为一个元素，且只有一种排法；将A 、B 与其他3个元素，共4个元素排列，由乘法计数原理可得答案．解答：解：根据题意，A 、B 必须相邻且B 在A 的右边，视A 、B 为一个元素，且只有一种排法； 将A 、B 与其他3个元素，共4个元素排列，即A 44=24，则符合条件的排法有1×24=24种；故选D ． 14．()22sin cos d x x x ππ-+⎰的值为 ( )A ．0B ．2C ．4D ．4π【答案】B 【解析】分析：求出原函数，依定义代入上下限的值，求出即可 解答：解：()22sin cos d x x x ππ-+⎰=（-cosx+sinx ）22ππ-═1+1=2故答案为B15．若x ＞4，则函数xx y －＋＝－41（ ） A ．有最大值—6 B ．有最小值6 C ．有最大值—2D ．有最小值2【答案】A 【解析】本题主要考查的是均值不等式。
由条件可知x x y －＋＝－414414-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=x x 。
因为()24142414=--≥-+-x x x x ，所以642-=--≤y ，应选A 。
16．复数1i等于（ A ） A.-i B.i C.1 D.-1 17．在5(23)x -的展开式中，各项系数的和为 【答案】1-18．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形“，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为（n≥２），其余每个数是它下一行左右相邻两个数的和，如：．．．．．．，则第7行第4个数（从左往右数）为1140.19．袋中有3个白球2个黑球共5个小球，现从袋中每次取一个小球，每个小球被抽到的可能性均相同，不放回地抽取两次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次扔抽到白球的概率是＿＿＿【答案】12【解析】试题分析：记事件A 为“第一次取到白球”，事件B 为“第二次取到白球”，则事件AB 为“两次都取到白球”，依题意知3()5P A =， 326()5525P AB =⨯=，所以，在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是3110(|)325P B A ==．20．已知（1-2x ）8=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 8x 8,则2a +4a +6a +8a =＿＿ ＿用数字回答）【答案】3280【解析】试题分析：解：当x=1时，a 0+a 1+a 2+…+a 8=（1-2）8=1①当x=-1时，a 0-a 1+a 2+…+a 8=（1+2）8=6561②当0x =时，01a =③ 上面①+②-2③得：2（2a +4a +6a +8a =）=6560，则2a +4a +6a +8a =3280 21.抛物线21y x =-，直线2,0x y ==所围成的图形的面积【答案】解：由210x -=，得抛物线与轴的交点坐标是(1,0)-和(1,0)，所求图形分成两块，分别用定积分表示面积1211|1|d S x x -=-⎰，2221(1)d S x x =-⎰.……………………………………………4分故面积12221211|1|d (1)d S S S x x x x -=+=-+-⎰⎰=122211(1)d (1)d x x x x --+-⎰⎰=331211()()33x x x x --+-=11818112(1)33333-+-+---=……………………12分22．已知函数36y x ax =-+的一个单调增区间为(1)+，∞，求a 的值及函数的其他单调区间. 【答案】解：23y x a '=-……………………………………………2分∵函数的一个递增区间为(1)+，∞，1∴是方程0y '=的一个根2310a ⨯-=∴，3a =．………………5分 ∴233y x '=-．由2330x ->得1x >或1x <-，(1)--，∴∞是函数的一个递增区间……………………………………………9分 由2330x -<得11x -<<． (11)-，∴是函数的一个递减区间…………………10分 综上所述，a 的值为3，函数的递增区间为(1)--，∞和(1)+，∞， 递减区间为(11)-，……………………………………………12分 23.围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。
（Ⅰ）将总费用y 表示为x 的函数（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
【答案】解：（1）设矩形的另一边长为a m………………………………………………1分 则()3603602252180218045-+=⋅+-+=a x a x x y ，……………………4分 由已知xa=360,得a=x360,…………………………………………………………5分 所以y=225x+)0(3603602x x- …………6分 (II)108003602252360225,022=⨯≥+∴x x x ………………8分 104403603602252≥-+=∴x x y .当且仅当225x=x2360时，等号成立. ……10分即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小最小总费用是10440元. ………………………12分 24．【答案】25．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处, 小球将自由下落.小球在下落过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A 袋或B 袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是（Ⅰ）求小球落入A 袋中的概率()P A （Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球,记X 为落入A 袋中小球的个数,试求X=3的概率和X 的数学期望EX .【答案】解（1）记小球落入B 袋的概率为P （B ），则P(A)+P(B)=1由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或一直向右下落，小球将落入B 袋，所以()41212133=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=B P ,()43411=-=∴A P .（Ⅱ）由题意，3~(4,),4X B 所以有33143127(3)()()4464P X C ===， 3434EX ∴=⨯= 26．已知复数Z=a+bi （a ，b εR ），且2a —（i —1）a+3b+2i=0（I ）求复数Z （II ）若Z+mz ∈R,求实数m 的值.【答案】（I ）22z i =-（II ）8m =【解析】试题分析：解：⑴由题意230,20,a ab a ⎧++=⎨-+=⎩解之得2,2,a b =⎧⎨=-⎩所以22z i=-为所求. ⑵由⑴得(1)2222224R m m m i z i i z i ++=-+=-+∈-， 所以204m-=，即8m =为所求.（I ）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？（II ）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由附：【答案】（I ）12412.5025P ==,21950P =（II ）有关系【解析】试题分析：解：⑴随机抽查这个班的一名学生，共有50种不同的抽查方法，其中积极参加班级工作的学生有18＋6＝24人，即有24种不同的抽法， 由古典概型的计算公式可得抽到积极参加班级工作的学生的概率是12412.5025P == 同理可得，抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的概率是21950P =. ⑵由2K 统计量的计算公式得：2250(181967)11.53824262525K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， 由于11.53810.828>，所以有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系”． 28．已知22c +23c +24c +…+2n c =38c （n ∈N ）（I ）求n 的值（II ）求二项式 2)3n的一次项【答案】（I ）7n =（II ）3478280T C x x =-⨯=-【解析】试题分析：解：⑴由题意，222332318n n C C C C C ++++== ，所以7n =为所求. ⑵由⑴得2157362177(2)(2)r r r rrrr r T C xxC x---+=⋅⋅-⋅=-，令21516r-=，解得3r =， 所以所求一次项为3478280T C x x =-⨯=-.29．设F （x ）=3a 2x +2bx+c ，若a+b+c=0，且F （0）>0，F （1）>0.求证：a>0，且—2<ba<—1. 解析：证明：由题意(1)322()0f a b c a c a b c a c =++=-+++=->，又(0)0f c =>，所以0a c >>.注意到0a b c +=-<，又0a >，所以10b a +<，即1ba<-， 又(1)322()20f a b c a b a b c a b =++=++++=+>，0a >，所以20ba+>，即2b a >-.综上：0a >，且21ba-<<- 30．某射手每次射击击中目标的概率均为23，且每次射击的结果互不影响（I ）假设这名射手射击3次，求至少2次击中目标的概率（II ）假设这名射手射击3次，每次击中目标10分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有两次连续击中目标，而另外一次未击中目标，则额外加5分；若3次全部击中，则额外加10分。