概率论3-概率的性质
概率论与数理统计03-第三节-条件概率与全概率公式
第三节 条件概率与全概率公式先由一个简单的例子引入条件概率的概念.内容分布图示★ 概念引入★ 条件概率的定义 ★ 例1 ★ 例2★ 乘法公式★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 全概率公式 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9★ 贝叶斯公式 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12★ 例13 ★ 例14★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-4内容要点：一、 条件概率的概念在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件A 发生的条件下,求事件B 发生的条件概率,记作)|(A B P .定义1 设B A ,是两个事件, 且0)(>A P , 则称)()()|(A P AB P A B P = (1) 为在事件A 发生的条件下,事件B 的条件概率.相应地，把)(B P 称为无条件概率。
一般地，)|(A B P )(B P ≠.注: 1. 用维恩图表达(1)式.若事件A 已发生,则为使B 也发生,试验结果必须是既在A 中又在B 中的样本点,即此点必属于AB .因已知A 已发生,故A 成为计算条件概率)|(A B P 新的样本空间.2. 计算条件概率有两种方法:a) 在缩减的样本空间A 中求事件B 的概率，就得到)|(A B P ；b) 在样本空间S 中，先求事件)(AB P 和)(A P ，再按定义计算)|(A B P 。
二、乘法公式由条件概率的定义立即得到:)0)(()|()()(>=A P A B P A P AB P (2)注意到BA AB =, 及B A ,的对称性可得到:)0)(()|()()(>=B P B A P B P AB P (3)(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用它们可计算两个事件同时发生的概率.三、全概率公式全概率公式是概率论中的一个基本公式。
它使一个复杂事件的概率计算问题，可化为在不同情况或不同原因或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题。
概率论复习知识点总结
? P( Ai B) ?
P(Ai )P( B Ai ) ?
n
P(Ai )P( B Ai )
P(Ai )P( B Ai ) ? P(B)
,i
? 1,2,?
,n
i?1
?例1.16，1.17，作业：三、14，15
第1章要点
七、事件的相互独立性
P(AB)= P(A)P(B)
?注意几对概念的区别： ?互不相容与互逆 ?互不相容与相互独立 ?相互独立与两两相互独立 ?作业：一、8；二、8，9； 三、17，19
P(A∪B) = P(A) + P(B)–P(AB)．
例1.4；作业: 一、4，11 ； 二、3，5，6
第1章要点
四、古典概型与几何概型 ?古典概型概率计算公式：
P( A) ? 事件A中所包含样本点的个数 ? k
? 中所有样本点的个数 n
作业：三、6，8
第1章要点
五、条件概率与乘法公式 ?若P(A)>0
p
p(1? p)
np
np(1 ? p)
?
?
( a ? b) 2 (b ? a )2 12
θ
θ2
μ
σ2
第4章要点
四、协方差及相关系数 ?定义式：Cov( X,Y) ? E[(X ? EX)(Y ? EY)]
? XY ?
Cov( X ,Y) ( D( X ) ? 0, D(Y ) ? 0) D( X ) D(Y)
第1章要点
二、事件运算满足的定律 ?事件的运算性质和集合的运算性质相同，设 A，B，C为 事件，则有 ?交换律：A? B ? B ? A, AB ? BA ?结合律：( A ? B ) ? C ? A ? (B ? C ), ( AB)C ? A(BC ) ?分配律：( A ? B)C ? ( AC) ? (BC ),
概率的基本概念与性质
概率的基本概念与性质概率是数学中一个非常重要的概念，在我们日常生活和各个学科中都有广泛的应用。
本文将介绍概率的基本概念和其性质，以帮助读者对概率有更深入的了解。
一、概率的概念概率是描述事件发生可能性的数值，通常用一个介于0到1之间的数表示。
0表示不可能事件，1表示必然事件。
在概率理论中，把某个随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间Ω，包含于样本空间Ω的每一个结果称为样本点。
设A是样本空间Ω中的一个事件，则A的概率P(A)是指事件A发生的可能性大小。
二、概率的性质1. 非负性：对于任意事件A，概率值P(A)大于等于0。
2. 规范性：对于样本空间Ω，其概率值为1，即P(Ω)=1。
3. 容斥性：对于两个事件A和B，概率值的和可以表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
4. 加法性：对于两个互斥事件A和B（即事件A和B不可能同时发生），概率值的和可以表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)。
5. 频率解释：概率可以通过重复试验的频率来估计。
当试验重复次数趋于无穷大时，某个事件发生的频率将接近其概率值。
三、计算概率的方法1. 古典概率：适用于每一个样本点发生的可能性相等的情况。
即P(A)=事件A包含的样本点数/样本空间Ω中的样本点数。
2. 几何概率：适用于具有几何结构的问题。
概率可以通过几何图形的面积、长度或体积来计算。
3. 统计概率：通过统计数据来计算概率，具体包括频率概率和条件概率。
四、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。
条件概率可以通过求解P(A∩B)/P(B)得到。
五、独立事件两个事件A和B是独立的，当且仅当事件A的发生不依赖于事件B的发生。
对于独立事件，乘法公式可以表示为P(A∩B)=P(A)P(B)。
六、贝叶斯定理贝叶斯定理是用来计算反向概率，即在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
概率论 第03讲
实际中还有下面一类问题， 实际中还有下面一类问题，是 已知结果求原因” “已知结果求原因” 例8 某人从任一箱中任意摸 出一球，发现是红球, 出一球，发现是红球,求该 球是取自1号箱的概率. 球是取自1号箱的概率. 1红4白 红 白
（先分析后求解） 先分析后求解）
1
2
3
这一类问题在实际中更为常见， 这一类问题在实际中更为常见，它所求的是 条件概率，即已知结果发生的条件下， 条件概率，即已知结果发生的条件下，求某原因 发生可能性的大小. 发生可能性的大小
球取自i号箱 解：记 Bi={球取自 号箱 球取自 号箱}, i=1,2,3; A ={取得红球 取得红球} 取得红球 求P(B1|A) 1红4白 红 白
?
1
3
2
3
P(B1A) = P(B1 | A) = P( A)
运用全概率公式 计算P(A) 计算
P(B1)P( A| B1)
∑P(B )P(A｜B )
请问：如图的两个事件是独立的吗？ 请问：如图的两个事件是独立的吗？ 假设 P(A) ≠0， P(B) ≠0 ，
A
B
由于 P(AB) ≠ P(A)P(B) 故 A、B不独立
互不相容， 即: 若A、B互不相容，且P(A)>0, P(B)>0, 互不相容 不独立. 则A与B不独立 与 不独立 反之， 独立， 反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0, 与 独立 不是互不相容的 则A 、B不是互不相容的. 不是互不相容
B3 B1 A B4 B2 B7 B5 B6 B8
定义
为试验S的样本空间 的样本空间， 设 Ω 为试验 的样本空间，B1,…Bn为S 的一组事件。 的一组事件。若
概率的基本概念与性质
概率的基本概念与性质概率，是数学中一个重要的概念，用来描述随机事件发生的可能性大小。
它在各个领域都有广泛的应用，如统计学、经济学、物理学等。
本文将介绍概率的基本概念和性质，帮助读者更好地理解概率论的基础知识。
1. 概率的定义和表示方法概率是描述事物发生可能性的一个数值，通常用介于0和1之间的实数表示。
概率可以使用分数、小数或百分比来表示。
以事件A发生的概率为例，可以用P(A)或Pr(A)来表示。
2. 概率的性质(1) 非负性：对于任何事件A，其概率P(A)都大于等于0，即P(A)≥0。
(2) 可加性：对于任意的不相容事件（互斥事件）A和B，它们的概率可以相加，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
(3) 规范性：对于一定发生或一定不发生的事件，其概率分别为1和0，即P(S) = 1和P(∅) = 0，其中S代表样本空间，∅代表不可能事件。
3. 概率的计算方法(1) 古典概型：指的是所有可能的结果都是等可能发生的情况。
在古典概型中，事件A的概率等于事件A包含的有利结果数目与样本空间的大小之比，即P(A) = 有利结果数目 / 样本空间大小。
(2) 几何概型：指的是通过对空间的测量来计算概率。
例如，在计算一个点在一个平均分布的正方形区域中的概率时，可以用该点所在区域的面积与整个区域的面积之比。
(3) 统计概率：是通过观察和统计数据来计算概率。
统计概率常用于实际问题，根据大量数据的分析和推断得出概率值。
4. 概率的性质与公式(1) 加法规则：对于任意两个事件A和B，其概率可以通过加法规则计算，即P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
其中P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率。
(2) 乘法规则：对于相互独立的两个事件A和B，其概率可以通过乘法规则计算，即P(A∩B) = P(A) × P(B)。
注意，乘法规则只适用于独立事件。
(3) 条件概率：指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，表示为P(A|B)。
概率与概率分布
概率与概率分布概率是数学中的一个重要概念，它描述了事件发生的可能性。
在现实生活和各个学科领域中，概率都有着广泛的应用。
而概率分布则是概率理论的基础，用于描述不同事件发生的概率分布情况。
本文将介绍概率的定义，概率的性质以及概率分布的类型和应用。
一、概率的定义与性质1.1 概率的定义概率是指某个事件在特定条件下发生的可能性。
它通常用一个介于0和1之间的数值来表示，其中0代表不可能发生的事件，而1代表必然发生的事件。
概率的计算方法可以通过实验观察、理论推导或者数据统计等方式得到。
1.2 概率的性质概率具有以下几个重要的性质：1) 非负性：概率的值始终是非负的，即概率不会为负数。
2) 正则性：所有可能事件的概率之和等于1，即P(Ω) = 1，其中Ω代表样本空间。
3) 可列可加性：对于任意一组互不相容的事件Ai（i = 1,2,...,n），它们的概率之和等于各个事件概率的和，即P(A1∪A2∪...∪An) =P(A1)+ P(A2)+ ...+ P(An)。
二、概率分布的概念与类型2.1 概率分布的概念概率分布是用于描述随机变量可能取值的概率情况的函数或表格。
随机变量是实验结果的函数，它的取值是根据概率分布来确定的。
2.2 常见的概率分布类型2.2.1 离散概率分布离散概率分布是指随机变量的取值只能是离散的、有限或可数个的情况。
常见的离散概率分布有：1) 伯努利分布：描述了只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果。
2) 二项分布：用于描述重复n次、每次试验只有两个可能结果的情况。
3) 泊松分布：适用于描述单位时间或单位面积内随机事件发生次数的概率分布。
2.2.2 连续概率分布连续概率分布是指随机变量的取值可以是连续的、无限多个的情况。
常见的连续概率分布有：1) 均匀分布：描述在一个区间内每个取值出现的可能性相等的概率分布。
2) 正态分布：也称为高斯分布，是最常见的连续概率分布之一，广泛应用于各个领域。
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)
《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk knk kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P （v ）)(1)(A P A P -=（逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
概率的定义和基本性质(二)
概率的定义和基本性质（二）引言概述：概率是概率论研究的基本概念，也是统计学中重要的概念之一。
它用来描述事件发生的可能性大小，并在统计推断和决策制定中起着关键作用。
本文将进一步介绍概率的定义和基本性质，以帮助读者更好地理解和应用概率理论。
正文内容：一、概率的定义1. 频率定义：概率是基于大量实验的观察结果，通过事件发生的频率来估计其发生的可能性。
2. 古典定义：概率是基于等可能性假设，通过事件发生的总数与样本空间的大小之比来估计其发生的可能性。
3. 主观定义：概率是基于个人主观判断和经验，通过主观分配可能性大小来估计事件发生的可能性。
二、概率的基本性质1. 非负性：概率值始终大于等于0，表示事件发生的可能性不会是负数。
2. 零和性：对于必然事件，其概率值为1，表示该事件一定会发生。
3. 互斥性：对于两个互斥事件，其概率值之和为1，表示这两个事件有且只能发生一个。
4. 加法法则：对于两个不互斥事件，其概率值之和为两个事件发生概率之和减去两个事件同时发生的概率。
5. 乘法法则：对于两个独立事件，其概率值之积为两个事件发生概率之积。
三、条件概率和独立性1. 条件概率：给定一个条件下，事件发生的概率。
表示为P(A|B)，表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
2. 乘法法则的条件形式：根据条件概率定义，可以将乘法法则扩展为条件形式。
3. 独立性：表示两个事件的发生与否相互独立，即一个事件的发生不受另一个事件的影响。
4. 独立性的判定：根据条件概率和乘法法则，可以通过计算条件概率来判断事件之间的独立性。
四、事件的关系与运算1. 事件的包含与不包含关系：一个事件发生必然导致其包含事件的发生，而不包含事件的发生则不一定导致该事件的发生。
2. 事件的并与交运算：事件的并运算表示多个事件中至少有一个事件发生的情况，交运算表示多个事件同时发生的情况。
3. 事件的补运算：事件的补运算表示不发生该事件的情况。
4. 事件的差运算：事件的差运算表示一个事件发生，而另一个事件不发生的情况。
实用工程数学3 概率论
第三章 概率论
目录
3.1 随机事件与பைடு நூலகம்率
3.2 概率的性质与计算
3.3 随机变量及分布
3.4 数学期望与方差
3.5 应用与实践
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3.1 随机事件与概率
概率论主要研究随机现象的统计规律性． 确定性现象：在一定条件下必然发生或必然不发生的现象 随机现象：在一定的条件下,可能发生也可能不发生的现象. 概率论就是专门研究和描述随机现象及其规律的数学理论.
● 条件概率 【定义1】 在同一随机试验中,事件 已经发生的条件下,事 件 发生的概率称为事件 的条件概率,记作 . 【注意】 仍是在一定条件下 发生的概率,只是它的条件 除原来的以外,又增加了新的条件—— 已经发生.
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3.2 概率的性质与运算
【例4 】有圆形零件100个,其中有92个直径合格,有95个光 洁度合格,两个指标都合格的有87个.从这100个零件中任意抽取 一件,如果此零件光洁度合格,求该零件直径合格的概率.
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3.1 随机事件与概率
转动转盘的次数 n 落在“铅笔”的次数 m
落在“铅笔”的频率 m n
100 150 200 500 800 1000 68 111 136 345 546 692
【解】（1）0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.692； （2）落在“铅笔”的频率将会接近 0.692； （3）获得铅笔的概率约是0.69．
指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．
下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)计算下列频率并填表：
转动转盘的次数 n
100 150 200 500 800 1000
概率论与数理统计3-3节随机变量的独立性,条件分布
解 (1) 因为
可得
p( x, y) d x d y 1,
p( x, y) d x d y
0 0 Cy(1 x ) d y d x
1
x
x2 C C (1 x ) d x 1 C 24. 0 2 24 24y(1 x), 0 x 1,0 y x. 故 p( x, y) 其它. 0, 当 0 x 1 时,
P( X xi ,Y y j ) P( X xi ) P(Y y j )
则称X和Y相互独立.
例1 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2 ) (1,3 ) ( 2,1) ( 2, 2 ) ( 2, 3 )
pij
1 6
1 9
1 18
1 3
(1) 求与 应满足的条件 ; (2) 若 X 与 Y 相互独立, 求 与 的值.
x ， y
试判断X 与Y 是否相互独立？
解： X 的边缘分布函数为
FX x lim F x， y
y
1 x y lim 2 arctan arctan y 5 2 10 2
1 x arctan 2 5
x ，
Y 的边缘分布函数为
FY y lim F x， y
x
1 x y lim 2 arctan arctan x 5 2 10 2
用分布函数表示,即
设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
F ( x, y) FX ( x)FY ( y)
概率论与数理统计第三章章节总结
概率论与数理统计第三章章节总结
概率论与数理统计的第三章主要介绍了随机变量及其分布、随机变量的离散概率和连续概率、期望和方差的计算、贝叶斯统计学等内容。
以下是本章的总结:
1. 随机变量及其分布
第三章第一小节介绍了随机变量的定义和性质,并介绍了离散型和连续型随机变量的区别。
然后,章节第二小节介绍了随机变量的分布,其中包括概率分布、密度函数、期望和方差的计算方法。
这些内容对于理解随机变量的分布非常重要。
2. 随机变量的离散概率和连续概率
第三章第三小节介绍了随机变量的离散概率和连续概率。
离散概率讨论的是离散型随机变量在某一范围内的取值概率,而连续概率讨论的是连续型随机变量在某一区间内的概率。
这些概念对于理解随机变量的性质和分布非常重要。
3. 期望和方差的计算
第三章第四小节介绍了期望和方差的计算方法。
期望是指一个随机变量的平均值,可以通过计算各个取值的概率和总和来实现。
方差是指一个随机变量在各个取值之间的差异,可以通过计算各个取值的差值和总和来实现。
这些内容对于计算随机变量的期望和方差非常重要。
4. 贝叶斯统计学
第三章第五小节介绍了贝叶斯统计学的原理和应用。
贝叶斯统计
学可以用来预测未来事件的概率,也可以用于概率模型的建模和优化。
这些内容对于实际应用非常有帮助。
综上所述,概率论与数理统计的第三章主要介绍了随机变量的分布、离散概率和连续概率、期望和方差的计算、贝叶斯统计学等内容,是学习概率论和统计学的重要基础。
概率的基本性质教案
概率的基本性质教案一、教学目标1. 让学生理解概率的定义和基本性质。
2. 培养学生运用概率知识解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过合作、探究的方式，发现概率的基本性质，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
二、教学内容1. 概率的定义：随机事件A发生的可能性。
2. 概率的基本性质：a. 概率的取值范围：0≤P(A)≤1b. 概率的和性：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)（A、B互斥）c. 概率的乘性：P(A∩B)=P(A)×P(B|A)三、教学重点与难点1. 教学重点：概率的定义，概率的基本性质。
2. 教学难点：概率的和性、乘性原理的理解与应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生发现概率的基本性质。
2. 运用案例分析，让学生体会概率在实际生活中的应用。
3. 组织小组讨论，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
五、教学步骤1. 引入：通过抛硬币、抽签等实例，让学生感受概率的在生活中无处不在。
2. 讲解概率的定义：随机事件A发生的可能性，用0到1之间的数表示。
3. 探究概率的基本性质：a. 引导学生发现概率的取值范围：0≤P(A)≤1b. 讲解概率的和性：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)（A、B互斥）c. 讲解概率的乘性：P(A∩B)=P(A)×P(B|A)4. 运用案例分析，让学生体会概率的基本性质在实际生活中的应用。
5. 组织小组讨论，让学生发现生活中存在的概率现象，并运用概率的基本性质进行分析。
教案结束。
六、教学活动1. 课堂练习：让学生运用概率的基本性质，解决一些简单的实际问题，如：抛硬币、抽签等。
2. 课后作业：布置一些有关概率的基本性质的应用题，让学生巩固所学知识。
七、教学反思1. 教师应反思教学过程中的得失，及时调整教学方法，以便更有效地引导学生掌握概率的基本性质。
2. 关注学生在学习过程中的反馈，针对学生的实际情况进行辅导，提高学生的学习效果。
概率的基本概念与性质
概率的基本概念与性质概率是数学中一种重要的概念，用于描述事件发生的可能性大小。
它在统计学、自然科学、社会科学等领域得到广泛应用。
本文将介绍概率的基本概念、性质以及其在现实生活中的应用。
一、概率的基本概念概率是事件发生可能性的度量，其取值范围在0到1之间。
如果事件不可能发生，则概率为0；如果事件肯定发生，则概率为1。
对于某一随机事件E，其概率用P(E)表示。
二、概率的性质1. 非负性：概率值始终大于等于0，即P(E) ≥ 0。
2. 规范性：对于必然事件S（样本空间），其概率为1，即P(S) = 1。
3. 加法性：对于互不相容的事件E1、E2，它们的和事件E1∪E2的概率等于各事件概率的和，即P(E1∪E2) = P(E1) + P(E2)。
三、概率的计算方法1. 古典概型：当每个基本事件发生的可能性相等时，可以应用古典概率计算方法。
例如，投掷一个均匀的骰子，出现每个点数的概率都是1/6。
2. 几何概型：当事件的发生概率与空间的几何形状相关时，可以应用几何概率计算方法。
例如，在一个正方形面积为1的均匀分布区域中，某个事件发生的概率可以通过事件占据的面积计算。
3. 统计概型：当无法使用古典或几何概率计算方法时，可以应用统计概率计算方法。
通过实验或观察数据，统计概率通过频率计算事件发生的可能性。
四、概率的应用1. 风险评估：概率可以用于评估风险的大小，帮助人们做出决策。
例如，在投资时，可以利用概率计算预期收益和风险。
2. 假设检验：在统计学中，概率被用于验证假设的合理性。
通过比较观察到的数据与期望结果之间的差异，可以计算出概率值判断假设是否成立。
3. 数据预测：概率可以应用于预测模型，帮助预测未来事件的发生概率。
例如，天气预报就是通过统计概率模型进行天气预测的。
总结：概率作为数学中的基本概念，用于描述事件发生的可能性大小。
它具有非负性、规范性和加法性等性质。
在实践中，可以根据古典概型、几何概型或统计概型来计算概率。
概率论性质的证明
《概率论与数理统计》课程设计学院：计算机科学与技术学院班级：1003103姓名：曲直学号：1100300405摘要：概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科，概率论是其重要组成部分，而概率的性质又是概率中最基本的东西，本文将逐一证明概率的七条性质。
性质1：对任一事件A，有0<=P（A）<=1；证：由于任何事件A包含的基本事件数不超过基本事件的总数，故性质1成立；性质2：P（S）=1；证：由于必然事件S包含一切基本事件，故性质2成立；性质3：若A,B互不相容，则P(A+B)=P(A)+P(B);证：设S={e1,e2,e3,…e n},A={e i1,e i2,e i3,…e ir}，B={e k1,e k2,e k3,…e ki} 由于A,B相斥，故它们不包含相同的基本事件，故A+B={e i1,e i2,e i3,…e ir，e k1,e k2,e k3,…e ki}，由公式P(A)=A包含的事件数/基本事件总数得P(A+B)=r+s/n=r/n+t/n=P(A)+P(B)性质3不难推广到任意的n个事件的情况，即若A1，A2，A3，…A n是互不相容的，则，P(A1+A2+A3+…+A n)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+…P(A n).性质4：P(A^)=1-P(A)证：因A与A^互不相容，由性质3得P(A+A^)=P(A)+P(A^)，又A+A^=S，故P(A+A^)=1，代入上式得P(A^)=1-P(A)性质5：P(O)=0;证：在P(A ^)=1-P(A)中，令A=S ，则A^=O ，于是 P(O)=1-P(S)=0;性质6：若ACB ，则P(A)<=P(B)且P(B-A)=P(B)-P(A) 证：因为ACB ，故B=A+(B-A)，其中A 与B-A 互斥， P(B)=P(A)+P(B-A),故得P(B-A)=P(B)-P(A)，因为P （B-A ）>=0，故由上式得 P(A)<=P(B).推论：设A,B 为任意两事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB)性质7：对任二事件A,B 有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) 证：因为AUB=A+(B-A),A 与B-A 是互斥，故P(AUB)=P(A)+P(B-A)=P(A)+P(B)-P(AB)又P(AB)>=0,故P(AUB)<=P(A)+P(B).性质7可以推广到任意n 个事件上去，当n=3时，有 P(A 1UA 2UA 3)=P(A 1)+P(A 2)+P(A 3)-P(A 1A 2)-P(A 1A 3)-P(A 1A 3)+P(A 1A 2A 3)一般地，设A 1，A 2，…An 为n 个事件，则P(A 1UA 2U …UA n )= P(Ai)n i=1- P(AiAj)1≤i <j ≤n + P (AiAjAk )1≤i <j <k≤n +…+(-1)n-1P(A 1A 2A 3…An).由数学归纳法不难证明当n=2时显然成立；假设当n=k 时上式成立，即P(A 1UA 2U …UA k )= P(Ai)k i=1- P(AiAj)1≤i <j ≤k + P (AiAjAk )1≤i <j <k≤k +…+(-1)k-1P(A 1A 2A 3…A k )则当n=k+1时，P(A 1UA 2U …UA k UA k+1)=P(A 1UA 2U …UA k )+P(A k+1)-P((A 1UA 2U …UA k )A k+1)= P(Ai)k i=1- P(AiAj)1≤i <j ≤k + P (AiAjAk )1≤i <j <k≤k +…+(-1)k-1P(A 1A 2A 3…A k )故n=k+1时成立，所以原命题成立，得证。
概率的性质和加法公式
即 P(A B) P(A) P(B) P(AB) ．
由此可以证明，概率的加法公式可以推广到有限个事件的和的情形．下面给出三个事件的和的概率加法公式： P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC)
概率的基本概念
解法 2 设 A {其中至少有 1 件次品}，则 A {3 件全是合格品}，由古典概型可知，
所以
P( A) C345 0.724 0 ， C350
P(A) 1 P( A) 1 0.724 0 0.276 0 。
显然，解法 2 比解法 1 的计算更简便。
概率的基本概念
P(A) P(A1 A2 A3 ) P(A1) P(A2 ) P(A3 ) ，
P( A1)
C15 C425 C350
0.252 5 ， P( A2 )
C52 C145 C350
0.023 0 ， P( A3 )
C35 C350
0.000 5 。
所以
P(A) 0.252 5 0.023 0 0.000 5 0.276 0 。
P() 1， P() 0 。 性质 3（完全可加性） 设事件 A，B 是互不相容的，则
P(A B) P(A) P(B) 。
概率的基本概念
概率的性质和加法公式
1.1 概率的基本性质
推论 1 互为对立事件的概率之和为 1，即 P(A) P( A) 1 或 P( A) 1 P(A) 。
推论 2 若 B A，则 P(B A) P(B) P(A) 。
概率论与数理统计
概率的基本概念
概率的性质和加法公式
1.1 概率的基本性质
概率论三要素
概率论三要素概率论是数学的一个重要分支，研究随机现象的规律性和不确定性。
在概率论的研究中，有三个基本要素，即随机试验、样本空间和事件。
一、随机试验随机试验是指具有以下特点的试验：1) 在相同条件下可以重复进行；2) 试验结果不确定，事先无法确定结果。
随机试验的例子有：抛硬币、掷骰子、抽签等。
这些试验都具有随机性，即每次进行试验的结果都是不确定的。
二、样本空间样本空间是指随机试验所有可能结果的集合。
样本空间用大写字母S表示。
样本空间的例子有：抛硬币的样本空间为{正面，反面}，掷骰子的样本空间为{1,2,3,4,5,6}，抽签的样本空间为抽到的不同球的集合。
三、事件事件是样本空间的一个子集，表示随机试验中我们感兴趣的某种结果。
事件的例子有：抛硬币出现正面的事件为{正面}，掷骰子出现偶数的事件为{2,4,6}，抽签抽到红球的事件为{红球}。
在概率论中，我们通过定义事件的概率来描述事件发生的可能性。
事件的概率可以用数值来表示，数值的范围在0到1之间。
事件的概率可以通过以下公式计算：概率 = 事件发生的次数 / 总的可能次数。
概率的性质包括：1) 概率非负性，即概率不会小于0；2) 事件的全集概率为1，即样本空间中的所有事件发生的总和等于1；3) 互斥事件的概率加法公式，即两个互斥事件的概率之和等于它们的并集的概率。
在概率论中，还有一些重要的概念和定理，如条件概率、独立事件、贝叶斯定理等。
这些概念和定理都是基于概率论的三个基本要素而建立起来的。
它们在实际问题中有着广泛的应用，如统计学、金融、生物学等领域。
概率论的三个基本要素包括随机试验、样本空间和事件。
通过定义事件的概率，我们可以描述事件发生的可能性。
概率论在解决不确定性问题和预测未来事件方面有着重要的作用。
同时，概率论也是其他学科的基础，对于深入理解和应用其他学科的方法和技巧具有重要意义。
概率的性质与计算
1 f (t)
T
t
O
T
(c)
图1-11 实数直线上概率的几种定义举例
可以发现事件{x = x1}的概率为零，这同样说明了 “事件发生概率为零并不意味着这件事不能发生”.
此外， P{x1 x x2}
x 2 f (x)dx
x1
一般不为零，这与公理IIIa是否矛盾？
例4 放射性物质，从t = 0时刻开始观测，观测到 第一个辐射粒子的时刻t. 这一过程定义了一个随 机试验，试定义在(0, t0]时间内有一个辐射粒子出 现的概率
[P( A1 A2 ) P( A1 An ) P( A2 A3 ) P( An-1 An )]
(1)n1 P( A1 A2 An )
n
(1)l1 P( Ak1 Ak2 Akl )
l 1 1k1k2 kl
例8 保险业务中为获得理赔，需进行体检 以建立医学档案。如果发生误检的概率为 0.0010，发生记录错误的概率为0.0009，在 复核中发生错误的概率为0.0012，检查及记 录均发生错误的概率为0.0002，检查及复核 均发生错误的概率为0.0003，检查、记录及 复核均发生错误的概率为0.0001，试求至少 发生一种错误的概率 ？
P(P1) ?
P(C1) ? P(E1 C1) ? P(E1 P1) ?
P1
E1
Hale Waihona Puke P2P1E2
P2
P1
E3
P2
图1-12 样本空间树形图及概率
概率
CCCCCC223131
0.07 0.13 0.06 0.05 0.07 0.02
CCCCCC223131
0.07 0.14 00..0078 0.11 0.03
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例 1.3.3 掷两颗骰子，至少有一颗骰子的点数大于 3 的概率是多少？
例 1.3.3 掷两颗骰子，至少有一颗骰子的点数大 于3的概率是多少？ 解: 设 A=“掷两颗骰子，至少有一颗骰子的点数大于 3”， Ai 为事件“第i颗骰子的点数大于3”，i=1,2. 则 A= A1∪A2. P(A1)=P(A2)=1/2. P(A1A2)=1/4. P(A1 ∪ A2)= P(A1)+P(A2)- P(A1A2) =1/2+1/2-1/4=3/4
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(AB).
P(A∪B) ≤ P(A) + P(B)
推论 (1) 对任意三个事件A、B、C, 有
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) (2) 对任意n个事件A1, A2, …, An, 有
P( Ak ) P( Ak )
k 1 k 1
n
n
1 i j n
P( A A ) P( A A A )
i j 1 i j k n i j k
(1)
n 1
P( A1 A2 An )
P(A∪B∪C) ≤ P(A) + P(B) + P(C),…
（3）若P(AB)=1/8。
P( B A) P( B A) P( B) P( AB) 1 / 2 1 / 8 3 / 8
课堂练习
1. P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A ∪ B)=0.6， 求P(A-B).
2. P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P(Ω-AB)
由概率性质3得:
P( A) P( A0 ) P( A1 ) P( A2 ) 0.5837 0.3394 0.0702 0.9933
性质4. 对事件A与B , 若A B, 则 (1) P(A-B) = P(A)-P(B);
(2)
P(A) P(B).
性质5. 对任一事件A, 则 0≤P(A)≤1 . 性质6. 对任意两个事件A与B, 则
§1.3 概率的性质
性质1. 对任一事件A, 有
P( A ) 1 P( A)
性质2. 不可能事件的概率为0, 即
P ( ) 0
性质3. 对任意n个互斥事件A1, A2, …, An, 有
P( Ak ) P( Ak )
k 1 k 1
n
n
例1.3.1 抛两枚硬币，至少出现一个正面的概率是多少? 解: 设A表示事件 “至少出现一个正面” . 抛两枚硬币共有2*2=4个等可能的基本结果： 1 P( B ) 1 P( B) ， 1 (T,T) 0.9688 。 （H,H）,(H,T)， (T,H) 2
最多有2件不合格品”, 则
A = A0∪A1∪A2 用古典方法可算得诸Ak的概率为:
10 k C5k C95 P( Ak ) , 10 C100
k 0,1,, 5
故
10 C50C95 P( A0 ) 10 0.5837 C100 1 9 C5 C95 P( A1 ) 10 0.3394 C100 8 C52C95 P( A2 ) 10 0.0702 C100
补例： AB =φ，P(A) = 0.6，P(A ∪ B) = 0.8，
求B的逆事件的概率。
解: 由P(A ∪ B) = P(A)+P(B)-P(AB) = P(A) + P(B) 得：P(B) = P(A ∪ B)-P(A) = 0.8-0.6 = 0.2， 所以，P(B ) = 1-0.2 = 0.8 思考 在以上条件下，P(A-B) =？
解
(1) P(AB) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B) = 0.1, 所以 P(A-B) = P(A) - P(AB) = 0.3
(2) P(Ω-AB) = 1 - P(AB) = 1- [P(A) - P(A-B)]
= 1- 0.7 + 0. = 0.63. P(A) = P(B) = P(C) = 1/4，P(AB) = 0，P(AC) = P(BC) = 1/6，求A、B、C都不出现的概率. 4. A、B都出现的概率与A、B都不出现的概率相等， P(A) = p，求P(B). 解 (3) P( A B C )=P( A B C) =1-P(A ∪ B ∪ C)=7/12
5
故
P(A)=3/4 =1- 1/4=3/4
思考：如果抛五枚硬币,至少出现一个正面的概率是多 少？
例1.3.2 一批产品总共100件, 其中有5件不合格品, 现 从中随机抽出10件, 其中最多有2件不合格品的概 率是多少? 解: 设Ak表示事件 “抽出10件中恰有k件不合格
品”, k=0, 1, …, 5. 设A 表示事件 “抽出10件中
例 1.3.4 设 P(A)=1/3, P(B)=1/2. 计算 B 发生但 A 不发 生的概率。
（1）若事件A与事件B互不相容,
P( B A) P( B) 1 / 2
（2）若AB,
P( B A)P (P B A( B )) 1/ 2
P( B A) P( B A) P( B) P( A) 1 / 2 1 / 3 1 / 6
(4) P(AB)=P( A B )=P( A B)
=1-P(A ∪ B)
=1-P(A)-P(B)+P(AB), 所以, P(B) = 1-P(A) = 1-p
课外作业: Page 32 Ex 2，4，6，7，8，10