2015-2016学年河南省驻马店市高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年河南省驻马店市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年河南省驻马店市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．ln（a﹣b）＞0 D．3a﹣b＜1【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】不等式的解法及应用．【分析】不妨令a=2，b=1，带入各个选项检验，可得结论．【解答】解：不妨令a=2，b=1，可得选项A正确，而选项B、C、D都不正确，故选：A．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，运用了特殊值代入法，属于基础题．2．一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为，则t=2时，此木块在水平方向的瞬时速度为（）A．2 B．1 C． D．【考点】导数的几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】先求函数的导函数，然后根据导数的几何意义可知将t=2代入导函数可得t=2时，此木块在水平方向的瞬时速度．【解答】解：∵，∴s'=t，当t=2时，v=s'=2．∴此木块在水平方向的瞬时速度为2．故选A．【点评】本题比较容易，考查导数的物理意义，同时考查了运算能力，属基础题．3．下列命题：（1）函数y=+x（x＜0）的值域是（﹣∞，﹣2]；（2）函数y=x2+2+最小值是2；（3）若a，b同号且a≠b，则+≥2．其中正确的命题是（）A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（2）（3） D．（1）（3）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】利用基本不等式求最值说明（1）正确；利用“对勾函数”的单调性求得函数y=x2+2+的最小值说明（2）错误；由基本不等式求最值结合复合命题的真值表说明（3）正确．【解答】解：对于（1），∵x＜0，∴=﹣（﹣x+）．即函数y=+x（x＜0）的值域是（﹣∞，﹣2]．命题（1）正确；对于（2），令t=x2+2≥2．∴y=x2+2+=在[2，+∞）上为增函数，∴．命题（2）错误；对于（3），∵a，b同号，∴，则+≥．∵a≠b，∴+＞2．由复合命题的真值表可知，+≥2．命题③正确．∴正确的命题是（1）（3）．故选：D．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a8=8，S8=36，则数列{}的前100项和为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a8=8，S8=36，∴，解得，∴a n=1+（n﹣1）=n．∴==．∴数列{}的前100项和=+…+=1﹣=．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．给出如下四个命题：①命题p：∃x0∈R，x+x0﹣1＜0，则非p：∀x∉R，x2+x﹣1≥0；②命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的否命题为“若x＜2且y＜3，则x+y＜5”；③四个实数a，b，c，d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad=bc；④在△ABC中，“A＞45°”是“sinA＞”的充分不必要条件其中正确的命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】整体思想；定义法；简易逻辑．【分析】①根据含有量词的命题的否定进行判断．②根据否命题的定义进行判断，③由等比数列的性质，实数a、b、c、d依次成等比数列⇒ad=bc，反之，举出反例，判断即可；进而可判断其正确与否；④根据充分不必要条件进行判断．【解答】解：①命题p：∃x0∈R，x+x0﹣1＜0，则非p：∀x∉R，x2+x﹣1≥0；正确，故①正确，②命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的否命题为“若x＜2或y＜3，则x+y＜5”；故②错误，③由等比数列的性质，实数a、b、c、d依次成等比数列⇒ad=bc，反之，若a=0，c=0，ad=bc=0，但实数a、b、c、d不符合等比数列的定义，故四个实数a、b、c、d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad=bc，正确；故③正确，④若A=150°＞45°，则sinA=＜，即“A＞45°”不是“”的充分条件，错误；故④错误，故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，涉及复合命题真假的判断、四种命题、充分必要条件的判断等知识点，是基础类型的题目，难度不大．6．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是（）A．15km B．30km C．15 km D．15km【考点】正弦定理的应用；余弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】如图所示，设灯塔位于A处，船开始的位置为B，航行45海里后处C处，根据题意算出∠BAC和∠BAC的大小，在△ABC中利用正弦定理计算出AC长，可得该时刻船与灯塔的距离．【解答】解：设灯塔位于A处，船开始的位置为B，航行45km后处C处，如图所示∠DBC=60°，∠ABD=30°，BC=45∴∠ABC=60°﹣30°=30°，∠BAC=180°﹣60°=120°．△ABC中，由正弦定理，可得AC===15（km）．即船与灯塔的距离是15（km）．故选：A【点评】本题给出实际应用问题，求某个时刻船与灯塔之间的距离．着重考查了利用正弦定理解三角形及其应用的知识，属于基础题．7．抛物线y=x2被直线y=x+4截得的线段的长度是（）A．B．2C．D．6【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】联立抛物线与直线方程，求出交点坐标，代入两点之间距离公式，可得答案．【解答】解：由得：或，即抛物线y=x2与直线y=x+4交点坐标为A（﹣2，2），B（4，8），故抛物线y=x2被直线y=x+4截得的线段AB的长度|AB|==6，故选：D．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的位置关系，两点之间的距离公式，难度中档．8．已知x，y满足不等式组若当且仅当时，z=ax+y（a＞0）取得最大值，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，+∞）C．（0，）D．（，+∞）【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=ax+y（a＞0）得y=﹣ax+z（a＞0）直线y=﹣ax+z（a＞0）是斜率为﹣a＜0，y轴上的截距为z的直线，要使（3，0）是目标函数z=ax+y（a＞0）取最大值的唯一的最优解，则满足﹣a＜k AB=﹣，解得a＞．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，要熟练掌握目标函数的几何意义．9．已知三角形△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（）A．18 B．21 C．24 D．15【考点】数列与三角函数的综合．【专题】综合题．【分析】设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b=b﹣c=2，a=c+4，b=c+2，因为sinA=，所以A=60°或120°．若A=60°，因为三条边不相等，则必有角大于A，矛盾，故A=120°．由余弦定理能求出三边长，从而得到这个三角形的周长．【解答】解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b=b﹣c=2，a=c+4，b=c+2，∵sinA=，∴A=60°或120°．若A=60°，因为三条边不相等，则必有角大于A，矛盾，故A=120°．cosA====﹣．∴c=3，∴b=c+2=5，a=c+4=7．∴这个三角形的周长=3+5+7=15．故选D．【点评】本题考查三角形的周长的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．解题是要认真审题，注意余弦定理的合理运用．10．已知m、n、s、t为正数，m+n=2，=9其中m、n是常数，且s+t最小值是，满足条件的点（m，n）是椭圆=1一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（）A．x﹣2y+1=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2x+y﹣3=0 D．x+2y﹣3=0【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】由题设知（）（s+t）=n+m+≥=，满足时取最小值，由此得到m=n=1．设以（1，1）为中点的弦交椭圆=1于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点从坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入x2+2y2=4，得，①﹣②，得2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，k=，由此能求出此弦所在的直线方程．【解答】解：∵sm、n、s、t为正数，m+n=2，=9，s+t最小值是，∴（）（s+t）的最小值为4∴（）（s+t）=n+m+≥=，满足时取最小值，此时最小值为=2+2=4，得：mn=1，又：m+n=2，所以，m=n=1．设以（1，1）为中点的弦交椭圆=1于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点从坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入x2+2y2=4，得，①﹣②，得2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，∴k=，∴此弦所在的直线方程为，即x+2y﹣3=0．故选D．【点评】本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意均值不等式和点差法的合理运用．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F1作x轴的垂线交双曲线于A、B两点，若双曲线右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心离的取值范围为（）A．（2，+∞）B．（1，2）C．（，+∞）D．（1，）【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】作出图形如图，由右顶点M在以AB为直径的圆的内部，得|MF|＜|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2﹣e﹣2＞0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：由于双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），则直线AB方程为：x=﹣c，其中c=，因此，设A（﹣c，y0），B（﹣c，﹣y0），∴，解之得y0=，得|AF|=，∵双曲线的右顶点M（a，0）在以AB为直径的圆内部∴|MF|＜|AF|，即a+c＜，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＜0两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＞0，解之得e＞2（舍负）故选：A【点评】本题给出以双曲线通径为直径的圆，当左焦点在此圆内时求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．12．已知f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＞f′（x）对于x∈R恒成立（e为自然对数的底），则（）A．e2013•f（2014）＞e2014•f（2013）B．e2013•f（2014）=e2014•f（2013）C．e2013•f（2014）＜e2014•f（2013）D．e2013•f（2014）与e2014•f（2013）大小不确定【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】根据选项的特点，令g（x）=，对其进行求导，根据已知条件f（x）＞f′（x），可以判断g（x）的单调性，从而可判定选项的正确与否．【解答】解：f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＞f′（x），令g（x）=，g′（x）==，∵f（x）＞f'（x），∴g′（x）＜0，g（x）是R上的减函数，∴g（2014）＜g（2013），∴，∴e2013•f（2014）＜e2014•f（2013），故选C．【点评】此题主要考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是构造函数g（x）=，同时考查了分析问题的能力，是一道好题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．已知函数f（x）=x﹣4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x+y ﹣4=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】在填空题或选择题中，导数题考查的知识点一般是切线问题．【解答】解：函数f（x）=x﹣4lnx，所以函数f′（x）=1﹣，切线的斜率为：﹣3，切点为：（1，1）所以切线方程为：3x+y﹣4=0故答案为：3x+y﹣4=0【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．14．已知实数，m，18成等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为或2．【考点】椭圆的简单性质；等比数列的通项公式；双曲线的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】运用等比数列的中项的性质，可得m，讨论m=3，m=﹣3，由椭圆和双曲线，即可得到a，b，c，可得离心率．【解答】解：实数，m，18成等比数列，可得m2=×18=9，解得m=±3，当m=3时，+y2=1，a=，b=1，c==，即有e==；当m=﹣3时，y2﹣=1，a=1，b=，c==2，即有e==2．故答案为：或2．【点评】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，同时考查等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于中档题．15．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是丙．【考点】进行简单的合情推理．【专题】计算题．【分析】这是一个简单的合情推理题，我们根据“四位歌手的话只有两句是对的”，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，则假设成立的方法解决问题．【解答】解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，不符合题意．故答案为：丙．【点评】本小题情境通俗易懂，主要考查逻辑思维和推理能力，难度不大．16．设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f′（x），f′（x）在区间（a，b）的导函数f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为凸函数，已知f（x）=x4﹣mx3﹣x2，若当实数m满足|m|≤2，函数f（x）在（a，b）上为凸函数，则b﹣a的最大值是2．【考点】导数的运算．【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】利用函数总为“凸函数”，即f″（x）＜0恒成立，转化为不等式恒成立问题，讨论解不等式即可．【解答】解：由函数得，f″（x）=x2﹣mx﹣3，当|m|≤2时，f″（x）=x2﹣mx﹣3＜0恒成立⇔当|m|≤2时，mx＞x2﹣3恒成立．当x=0时，f″（x）=﹣3＜0显然成立．当x＞0，，∵m的最小值是﹣2．∴．从而解得0＜x＜1；当x＜0，，∵m的最大值是2，∴，从而解得﹣1＜x＜0．综上可得﹣1＜x＜1，从而（b﹣a）max=1﹣（﹣1）=2，故答案为：2．【点评】本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义），考查知识迁移与转化能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知命题p：“∀x＞﹣1，a≤x+恒成立”；，命题q：“函数f（x）=x3+ax2+2ax+1在R上存在极大值和极小值”，若命题“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别求出p，q为真时的a的范围，根据命题“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，得到p，q一真一假，从而求出a的范围即可．【解答】解；关于命题p：“∀x＞﹣1，a≤x+恒成立”，令g（x）=x+=x+1+﹣1≥1，当且仅当x=0时“=”成立，∴a≤1；关于命题q：“函数f（x）=x3+ax2+2ax+1在R上存在极大值和极小值”，即f′（x）=x2+2ax+2a与x轴有2个交点，∴△=4a2﹣8a＞0，解得：a＞2或a＜0，若命题“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，则p，q一真一假，p真q假时：，解得：0≤a≤1，p假q真时：，解得：a＞2，综上，a∈[0，1]∪（2，+∞）．【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查函数的单调性问题，考查复合命题的判断，是一道中档题．18．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2csinA．（Ⅰ）确定角C的大小；（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】余弦定理的应用；正弦定理．【专题】计算题．【分析】（1）通过正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C．（2）先利用面积公式求得ab的值，进而利用余弦定理求得a2+b2﹣ab，最后联立变形求得a+b的值．【解答】解：（1）由及正弦定理得：，∵sinA≠0，∴在锐角△ABC中，．（2）∵，，由面积公式得，即ab=6①由余弦定理得，即a2+b2﹣ab=7②由②变形得（a+b）2=25，故a+b=5．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．对于这两个定理的基本公式和变形公式应熟练记忆，并能灵活运用．19．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AD=AB=CD=1，PD⊥面ABCD，PD=，E是PC的中点（1）证明：BE∥面PAD；（2）求二面角E﹣BD﹣C的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．【专题】计算题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）取PD的中点F，连结EF、AF，利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理，证出四边形ABEF为平行四边形，得BE∥AF，再利用线面平行的判定定理即可证出BE∥面PAD；（2）分别以DA、DB、DP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系．可得B、C、P、E各点的坐标，从而算出向量、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方程算出=（1，﹣1，）为平面BDE的一个法向量，结合平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1），利用空间向量的夹角公式即可算出二面角E﹣BD﹣C的大小．【解答】解：（1）取PD的中点F，连结EF、AF，∵E为PC中点，∴EF∥CD，且EF=，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，∴EF∥AB，EF=AB，四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF，∵BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD．（2）分别以DA、DB、DP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示可得B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，），E（0，1，）∴=（1，1，0），=（﹣1，0，）设=（x，y，z）为平面BDE的一个法向量，则取x=1，得y=﹣1，z=，=（1，﹣1，）∵平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1），∴cos＜，＞==，可得＜，＞=45°因此，二面角E﹣BD﹣C的大小为45°．【点评】本题在四棱锥中证明线面平行，并且求二面角的大小．着重考查了线面平行判定定理、利用空间向量的方法研究平面与平面所成角大小等知识，属于中档题．20．已知数列{a n}的前n项和为S n=﹣n2+2kn（k∈N+），且S n的最大值为4．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用二次函数的性质可知时，S n有最大值4，求出k，再利用数列中a n与S n关系：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1解决．（2）由（1）知，利用错位相消法求和．【解答】解：（1）由条件知时，S n有最大值4，所以﹣k2+2k•k=4k=2，k=﹣2（舍去）由条件知当n=1时，a1=S1=3当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=5﹣2n经验证n=1时也符合a n=5﹣2n故数列{a n}的通项公式为a n=5﹣2n（n∈N+）（2）由（1）知设数列{b n}的前项和为T n，，两式相减得=所以，【点评】本题考查算了通项公式求解，错位相消法数列求和，考查数列中a n与S n关系的应用和计算能力．21．已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；转化思想．【分析】（1）先求出其导函数，再让其导函数大于0对应区间为增区间，小于0对应区间为减区间即可．（注意是在定义域内找单调区间．）（2）已知条件可以转化为a≥lnx﹣x﹣恒成立，对不等式右边构造函数，利用其导函数求出函数的最大值即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=lnx+1，（2分）令f′（x）＜0得：0＜x＜，∴f（x）的单调递减区间是（0，）（4分）令f'（x）＞0得：，∴f（x）的单调递增区间是（6分）（2）g′（x）=3x2+2ax﹣1，由题意2xlnx≤3x2+2ax+1∵x＞0，∴a≥lnx﹣x﹣恒成立①（9分）设h（x）=lnx﹣﹣，则h′（x）=﹣=﹣令h′（x）=0得：x=1，x=﹣（舍去）当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h'（x）＜0∴当x=1时，h（x）有最大值﹣2（12分）若①恒成立，则a≥﹣2，即a的取值范围是[﹣2，+∞）．（13分）【点评】本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及利用导数研究函数的单调性．这类题目是高考的常考题．22．已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．【专题】综合题．【分析】（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，由此能求出椭圆的方程．（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．【解答】解：（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，解得：a2=3，b=1，∴椭圆的方程为．（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①，设C（x1，y1），D（x2，y2），则而y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0），当且仅当CE⊥DE时，则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③将②代入③整理得k=，经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E．【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．。
河南省驻马店市2017-2018学年高二第二学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年河南省驻马店市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，60分驻马店市2014-2015学年度第二学期期终考试高二数学（文科）试题1．设集合A={2，lnx}，B={x，y}，若A∩B={0}，则y的值为（）A． 0 B． 1 C． e D．2．在复平面内，复数z=的共轭复数的虚部为（）A． B．﹣ C．i D．﹣i3．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A． 0.852 B． 0.8192 C． 0.75 D． 0.84．过点P（0，﹣2）的双曲线C的一个焦点与抛物线x2=﹣16y的焦点相同，则双曲线C的标准方程是（）A． B． C． D．5．在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A． 22 B． 23 C． 24 D． 256．下列结论正确的是（）A．若向量∥，则存在唯一实数λ使=λB．“若θ=，则cosθ=”的否为“若θ≠，则cosθ≠”C．已知向量、为非零向量，则“、的夹角为钝角”的充要条件是“＜0”D．若p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞07．设函数f（x）=sin（wx+）+sin（wx﹣）（w＞0）的最小正周期为π，则（）A． f（x）在（0，）上单调递增 B． f（x）在（0，）上单调递减C． f（x）在（0，）上单调递增 D． f（x）在（0，）上单调递减8．执行如图所示的程序框图，输出的T=（）A． 29 B． 44 C． 52 D． 629．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A． B． C． 4 D． 810．平行四边形ABCD中，=（1，0），=（2，2），则等于（）A． 4 B．﹣4 C． 2 D．﹣211．已知不等式组表示的平面区域为D，点O（0，0），A（1，0）．若点M是D 上的动点，则的最小值是（）A． B． C． D．12．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论：甲：f（3）=1；乙：函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数；丙：函数f（x）关于直线x=4对称；丁：若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[0，6]上所有根之和为4．其中正确的是（）A．甲、乙、丁 B．乙、丙 C．甲、乙、丙 D．甲、丙二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3a9=2a52，a2=2，则a1= ．14．曲线y=x3+x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．15．已知函数f（x）=，则f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于．16．设F1、F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，与直线y=b相切的⊙F2交椭圆于点E，且E是直线EF1与⊙F2的切点，则椭圆的离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共70分17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知=，（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若a=6，求b+c的取值范围．18．一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：学生 A1 A2 A3 A4 A5数学 89 91 93 95 97物理 87 89 89 92 93（1）要在这五名学生中选2名参加一项活动，求选中的同学中至少有一人的物理成绩高于90分的概率．（2）根据上表数据，用变量y与x的相关系数和散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱，如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关关系，请说明理由．参考公式：相关系数r=回归直线的方程：=，其中=，，是与x i对应的回归估计值．参考数据：=93，=90，=40，=24，=30，≈6.32，≈4.90．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．20．如图所示，椭圆C：+=1（a＞b＞0），其中e=，焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为，且=λ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=．（1）当k=e时，求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间和极值；（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数k的值．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在极坐标系中，设圆C1：ρ=4cosθ与直线l：θ=（ρ∈R）交于A，B两点．（Ⅰ）求以AB为直径的圆C2的极坐标方程；（Ⅱ）在圆C1任取一点M，在圆C2上任取一点N，求|MN|的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若当x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．2014-2015学年河南省驻马店市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，60分驻马店市2014-2015学年度第二学期期终考试高二数学（文科）试题1．设集合A={2，lnx}，B={x，y}，若A∩B={0}，则y的值为（）A． 0 B． 1 C． e D．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据给出的集合A与集合B，且A∩B={0}，说明A中的lnx=0，由此求出x=1，则集合B中只有y=0．解答：解：由A={2，lnx}，B={x，y}，若A∩B={0}，说明元素0即在A当中，又在B当中，显然lnx=0，则x=1，所以y=0．故选A．点评：本题考查了交集及其运算，考查了集合中元素的特性，是基础的会考题型．2．在复平面内，复数z=的共轭复数的虚部为（）A． B．﹣ C．i D．﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数代数形式的除法运算化简复数z，求出其共轭复数，则答案可求．解答：解：∵z==，∴，∴复数z=的共轭复数的虚部为．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A． 0.852 B． 0.8192 C． 0.75 D． 0.8考点：模拟方法估计概率．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示种射击4次至少击中3次的有多少组，可以通过列举得到共多少组随机数，根据概率公式，得到结果．解答：解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：7527 0293 9857 0347 4373 8636 9647 46986233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共15组随机数，∴所求概率为0.75．故选：C．点评：本题考查模拟方法估计概率、随机数的含义与应用，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．4．过点P（0，﹣2）的双曲线C的一个焦点与抛物线x2=﹣16y的焦点相同，则双曲线C的标准方程是（）A． B． C． D．考点：抛物线的标准方程；双曲线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可求双曲线C的一个焦点坐标，从而可求c及焦点位置，然后根据双曲线过点P（0，﹣2）代入可求a，b的关系，联立方程可求a，b，即可解答：解：∵抛物线x2=﹣16y的焦点为（0，﹣4）∴双曲线C的一个焦点坐标为（0，﹣4），由题意可设双曲线C的标准方程为（a＞0，b＞0）∵过点P（0，﹣2）∴∴a=2，b=2∴双曲线C的标准方程是故选C点评：本题主要考查了由双曲线的性质求解双曲线方程，考查了基本运算5．在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A． 22 B． 23 C． 24 D． 25考点：等差数列的性质．分析：根据等差数列的性质，我们可将a k=a1+a2+a3+…+a7，转化为a k=7a4，又由首项a1=0，公差d≠0，我们易得a k=7a4=21d，进而求出k值．解答：解：∵数列{a n}为等差数列且首项a1=0，公差d≠0，又∵a k=（k﹣1）d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d故k=22故选A点评：本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据a4是数列前7项的平均项（中间项）将a k=a1+a2+a3+…+a7，化为a k=7a4，是解答本题的关键．6．下列结论正确的是（）A．若向量∥，则存在唯一实数λ使=λB．“若θ=，则cosθ=”的否为“若θ≠，则cosθ≠”C．已知向量、为非零向量，则“、的夹角为钝角”的充要条件是“＜0” D．若p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：根据向量共线定理判断A，条件否定，结论否定，可判断B，向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“•＜0，且向量，不共线”可判断C；p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≤0，可判断D．解答：解：若向量∥，≠，则存在唯一的实数λ使=λ，故A不正确；条件否定，结论否定，可知B正确；已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“•＜0，且向量，不共线”，故不C正确；若p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≤0，故D不正确．故选：B．点评：本题考查的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．7．设函数f（x）=sin（wx+）+sin（wx﹣）（w＞0）的最小正周期为π，则（）A． f（x）在（0，）上单调递增 B． f（x）在（0，）上单调递减C． f（x）在（0，）上单调递增 D． f（x）在（0，）上单调递减考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用两角和与两角差的正弦可化简得f（x）=﹣sinwx，依题意知w=2，利用正弦函数的单调性可得答案．解答：解：∵f（x）=sin（wx+）+sin（wx﹣）=﹣sinwx+coswx﹣sinwx﹣coswx=﹣sinwx，又f（x）的最小正周期为π，w＞0，∴w=2．∴f（x）=﹣sin2x，∵y=sin2x在[﹣，]上单调递增，∴f（x）=﹣sin2x在[﹣，]上单调递减，∴f（x）在（0，）上单调递减，故选：B．点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查两角和与两角差的正弦及正弦函数的单调性与周期性，属于中档题．8．执行如图所示的程序框图，输出的T=（）A． 29 B． 44 C． 52 D． 62考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T，n的值，当S=12，n=4，T=29时，满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．解答：解：执行程序框图，有S=3，n=1，T=2，不满足条件T＞2S，S=6，n=2，T=8不满足条件T＞2S，S=9，n=3，T=17不满足条件T＞2S，S=12，n=4，T=29满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．故选：A．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查．9．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A． B． C． 4 D． 8考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由题意求出菱形的边长，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，求出正四棱锥侧面积，即可求解．解答：解：一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，所以菱形的边长为：1，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，底面边长为1，侧棱长为：，所以几何体的表面积为：=4．故选C．点评：本题是基础题，考查三视图推出几何体的判断，几何体的表面积的求法，注意视图的应用．10．平行四边形ABCD中，=（1，0），=（2，2），则等于（）A． 4 B．﹣4 C． 2 D．﹣2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则和数量积的运算即可得出．解答：解：如图所示：由向量的加减可得：=（1，2）；====（0，2），∴==（1，2）•（0，2）=0+4=4．故选A．点评：熟练掌握向量的运算法则和数量积的运算是解题的关键．11．已知不等式组表示的平面区域为D，点O（0，0），A（1，0）．若点M是D 上的动点，则的最小值是（）A． B． C． D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：利用向量的数量积将条件进行转化，利用数形结合进行求解即可得到结论．解答：解：设z=，则z==||•=||•cos∠A0M，∵O（0，0），A（1，0）．∴||=1，∴z=||•cos∠A0M=cos∠A0M，作出不等式组对应的平面区域如图：要使cos∠A0M，则∠A0M最大，即当M在C处时，∠A0M最大，由得，即C（1，3），则|AC|=，则cos∠A0M==，故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用向量的数量积将条件进行转化是解决本题的关键．12．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论：甲：f（3）=1；乙：函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数；丙：函数f（x）关于直线x=4对称；丁：若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[0，6]上所有根之和为4．其中正确的是（）A．甲、乙、丁 B．乙、丙 C．甲、乙、丙 D．甲、丙考点：的真假判断与应用；进行简单的合情推理．专题：函数的性质及应用．分析：对于甲：取x=1，得f（3）=﹣f（1）=1；乙：由f（x﹣4）=f（﹣x）得f（x﹣2）=f（﹣x﹣2），即f（x）关于直线x=﹣2对称，结合奇函数在对称区间上单调性相同，可得f（x）在[﹣2，2]上为增函数，利用函数f（x）关于直线x=﹣2对称，可得函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数；丙：根据已知可得（4，0）点是函数图象的一个对称中心；丁：若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[0，6]上有2个根，利用对称性得两根的和为2×2=4，故可得结论．解答：解：取x=1，得f（1﹣4）=﹣f（1）=﹣log2（1+1）=﹣1，所以f（3）=﹣f（1）=1，故甲的结论正确；定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），则f（x﹣4）=f（﹣x），∴f（x﹣2）=f（﹣x﹣2），∴函数f（x）关于直线x=﹣2对称，又∵奇函数f（x），x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1）为增函数，∴x∈[﹣2，2]时，函数为单调增函数，∵函数f（x）关于直线x=﹣2对称，∴函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数，故乙正确；∵f（x﹣4）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x），即f（x﹣4）=f（x+4）又由f（x）为奇函数f（x﹣4）=﹣f（4﹣x），即f（x+4）=﹣f（4﹣x），即函数的图象关于（4，0）点对称，故丙的结论错误；若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[0，6]上有2个根，两根的和为：2×2=4，所以所有根之和为4．故丁正确．其中正确的是：甲，乙，丁．故选A．点评：本题考查函数的性质，考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、对称性等基础知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3a9=2a52，a2=2，则a1= ．考点：等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由a3a9=2a52，结合等比数列的性质可求q，然后由可求解答：解：∵a3a9=2a52，由等比数列的性质可知，∴•a5∵a n＞0∴q=∵a2=2∴=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用，属于基础试题14．曲线y=x3+x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．考点：导数的几何意义；直线的点斜式方程．专题：计算题．分析：先对函数进行求导，求出在x=1处的导数值即为切线的斜率值，从而写出切线方程，然后求出切线方程与两坐标轴的交点可得三角形面积．解答：解：∵y=x3+x，∴y'=x2+1∴f'（1）=2在点（1，）处的切线为：y=2x﹣与坐标轴的交点为：（0，），（，0）S=，故答案为：．点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点处的导数值等于该点的切线的斜率．属基础题．15．已知函数f（x）=，则f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于﹣3或1 ．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：利用分段函数的意义即可得出．解答：解：∵f（1）=lg1=0，f（a）+f（1）=0，∴f（a）=0．当a＞0时，由上面可知a=1；当a≤0时，f（a）=a+3=0，解得a=﹣3，符号条件．综上可知：a=﹣3或1．故答案为﹣3或1．点评：本题考查了分段函数的求值和分类讨论的思想方法，属于基础题．16．设F1、F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，与直线y=b相切的⊙F2交椭圆于点E，且E是直线EF1与⊙F2的切点，则椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：作出图形，根据椭圆的定义，可得到EF1+EF2=2a，依题意+==4c2，再由⊙F2与直线y=b相切，可得EF2=b，从而有（2a﹣b）2+b2=4c2，整理即可求得椭圆的离心率．解答：解：依题意，作图如右：∵EF1⊥EF2，⊙F2交椭圆于点E，∴EF1+EF2=2a，+==（2c）2=4c2．①又⊙F2与直线y=b相切，∴EF2=b，②∴EF1=2a﹣b，③将②③代入①得：（2a﹣b）2+b2=4c2，∴4a2+2b2﹣4ab=4c2，∴2（a2﹣c2）=b（2a﹣b），即2b2=b（2a﹣b），∵b≠0，∴3b=2a，∴4a2=9b2=9（a2﹣c2），∴5a2=9c2，即e2==，∴e==．点评：本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆的定义，考查直线与圆相切，考查方程思想与数形结合思想的运用，属于难题．三、解答题：本大题共5小题，共70分17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知=，（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若a=6，求b+c的取值范围．考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理把原等式转化为关于A的等式，求得tanA的值，进而求得A．（Ⅱ）先根据三角形三边的关系求得b+c的一个范围，进而利用余弦定理求得b+c的关系式，利用基本不等式求得b+c的范围，最后取交集即可．解答：解：（Ⅰ）由正弦定理知==，∴sinA=cosA，即tanA=，∵0＜A＜π，∴A=．（Ⅱ）由已知：b＞0，c＞0，b+c＞a=6，由余弦定理得36=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2﹣（b+c）2=（b+c）2，（当且仅当b=c时取等号），∴（b+c）2≤4×36，又b+c＞6，∴6＜b+c≤12，即b+c的取值范围是（6，12]．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．结合了基本不等式知识的考查，综合性较强．18．一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：学生 A1 A2 A3 A4 A5数学 89 91 93 95 97物理 87 89 89 92 93（1）要在这五名学生中选2名参加一项活动，求选中的同学中至少有一人的物理成绩高于90分的概率．（2）根据上表数据，用变量y与x的相关系数和散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱，如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关关系，请说明理由．参考公式：相关系数r=回归直线的方程：=，其中=，，是与x i对应的回归估计值．参考数据：=93，=90，=40，=24，=30，≈6.32，≈4.90．考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：（1）用列举法可得从5名学生中任取2名学生的所有情况和其中至少有一人物理成绩高于90（分）的情况包含的事件数目，由古典概型公式，计算可得答案．（2）把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图；根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．解答：解：（1）从5名学生中任取2名学生的所有情况为：（A4，A5）、（A4，A1）、（A4，A2）、（A4，A3）、（A5，A1）、（A5，A2）、（A5，A3）、（A1，A2）、（A1，A3）、（A2，A3）共种情10况．其中至少有一人物理成绩高于90（分）的情况有：（A4，A5）、（A4，A1）、（A4，A2）、（A4，A3）、（A5，A1）、（A5，A2）、（A5，A3）共7种情况，故上述抽取的5人中选2人，选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于9（0分）的概率P=（2）可求得：=（89+91+93+95+97）=93，=（87+89+89+92+93）=90，=40，=24，=30，r==≈≈0.97，可以看出，物理成绩与数学成绩高度正相关，散点图如图所示．设回归直线的方程：=，则==0.75，=20.25，故y关于x的线性回归方程是：=0.75x+20.25点评：本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理能力和应用意识．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由已知得AC⊥PD，AC⊥BD，由此能证明平面EAC⊥平面PBD．（Ⅱ）由已知得PD∥OE，取AD中点H，连结BH，由此利用，能求出三棱锥P﹣EAD的体积．解答：（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．而AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，∴PD∥OE，∵O是BD中点，∴E是PB中点．取AD中点H，连结BH，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，．∴==．点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．如图所示，椭圆C：+=1（a＞b＞0），其中e=，焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为，且=λ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；（II）运用向量共线的知识，设出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，计算得到A，B的横坐标，即可得到所求值．解答：解：（I）由条件可知，c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，椭圆的标准方程是．（II）由，可知A，B，M三点共线，设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若直线AB⊥x轴，则x1=x2=4，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣4）．由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．①由①的判别式△=322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）=144（1﹣4k2）＞0，解得，，由，可得，即有．将代入方程①，得7x2﹣8x﹣8=0，则x1=，x2=．又因为，，，所以，所以λ=．点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=．（1）当k=e时，求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间和极值；（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数k的值．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）把k=e代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的符号得到函数的单调区间，进一步求得函数的极值；（2）求出函数h（x）的导函数，当k≤0时，由函数的单调性结合h（1）=0，可知h（x）≥0不恒成立，当k＞0时，由函数的单调性求出函数h（x）的最小值，由最小值大于等于0求得k的值．解答：解：（1）注意到函数f（x）的定义域为（0，+∞），∴h（x）=lnx﹣，当k=e时，∴h（x）=lnx﹣，∴h′（x）=﹣=，若0＜x＜e，则h′（x）＜0；若x＞e，则h′（x）＞0．∴h（x）是（0，e）上的减函数，是（e，+∞）上的增函数，故h（x）min=h（e）=2﹣e，故函数h（x）的减区间为（0，e），增区间为（e，+∞），极小值为2﹣e，无极大值．（2）由（1）知，h′（x）=﹣=，当k≤0时，h′（x）＞0对x＞0恒成立，∴h（x）是（0，+∞）上的增函数，注意到h（1）=0，∴0＜x＜1时，h（x）＜0不合题意．当k＞0时，若0＜x＜k，h′（x）＜0；若x＞k，h′（x）＞0．∴h（x）是（0，k）上的减函数，是（k，+∞）上的增函数，故只需h（x）min=h（k）=lnk﹣k+1≥0．令u（x）=lnx﹣x+1（x＞0），∴u′（x）=﹣1=当0＜x＜1时，u′（x）＞0；当x＞1时，u′（x）＜0．∴u（x）是（0，1）上的增函数，是（1，+∞）上的减函数．故u（x）≤u（1）=0当且仅当x=1时等号成立．∴当且仅当k=1时，h（x）≥0成立，即k=1为所求．点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法和函数构造法，训练了利用函数的导函数判断函数的单调性，训练了利用导数求函数的最值，是有一定难度题目【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：（I）欲证DE∥AB，连接BD，因为D为的中点及E为BC的中点，可得DE⊥BC，因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；（II）欲证AC•BC=2AD•CD，转化为AD•CD=AC•CE，再转化成比例式=．最后只须证明△DAC∽△ECD即可．解答：证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（5分）（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，因此2AD•CD=AC•BC．…（10分）点评：本题考查了直径所对的圆周角为直角及与圆有关的比例线段的知识．解题时，乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得出．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在极坐标系中，设圆C1：ρ=4cosθ与直线l：θ=（ρ∈R）交于A，B两点．（Ⅰ）求以AB为直径的圆C2的极坐标方程；（Ⅱ）在圆C1任取一点M，在圆C2上任取一点N，求|MN|的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）圆C1：ρ=4cosθ化为ρ2=4ρcosθ，利用即可得出圆C1的直角坐标方程．由直线l：θ=（ρ∈R）可得直线l的倾斜角为，又经过原点，即可得出直角坐标方程．联立解得A，B坐标，即可得出圆的方程．再将其化为极坐标方程即可．（II）利用|MN|max=|C1C2|+r1+r2即可得出．解答：解：（Ⅰ）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意得圆C1：ρ=4cosθ化为ρ2=4ρcosθ，∴圆C1的直角坐标方程 x2+y2﹣4x=0．直线l的直角坐标方程 y=x．由，解得或．∴A（0，0），B（2，2）．从而圆C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，即x2+y2=2x+2y．将其化为极坐标方程为：ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．（Ⅱ）∵，∴|MN|max=|C1C2|+r1+r2=+2+=2+2．点评：本题考查了参数方程化为直角坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程互化、两圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若当x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=﹣1时，不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1，对x的取值范围分类讨论，去掉上式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取其并集即可；（Ⅱ）依题意知，|x﹣a|≤x+7，由此得a≥﹣7且a≤2x+7，当x∈[0，3]时，易求2x+7的最小值，从而可得a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣1时，不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1．当x≤﹣3时，不等式化为﹣（x+1）+（x+3）≤1，不等式不成立；当﹣3＜x＜﹣1时，不等式化为﹣（x+1）﹣（x+3）≤1，解得﹣≤x＜﹣1；当x≥﹣1时，不等式化为（x+1）﹣（x+3）≤1，不等式必成立．综上，不等式的解集为[﹣，+∞）．…（5分）（Ⅱ）当x∈[0，3]时，f（x）≤4即|x﹣a|≤x+7，由此得a≥﹣7且a≤2x+7．当x∈[0，3]时，2x+7的最小值为7，所以a的取值范围是[﹣7，7]．…（10分）点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．。
2015—2016学年第二学期高二数学(文科)试卷
2015—2016学年第二学期期中试卷高二数学（文科）注意事项：⑴答题前考生务必将自己的姓名和学号写在答题卡和答题页规定的位置上。
⑵答选择题时，必须使用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
第Ⅰ卷一、 选择题（本小题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个 选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1． 计算（5-5i ）+（-2-i ）-（3+4i ）=（ ）A -2iB -2C 10D -10i2． 在复平面内，复数2(1)对应的点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3． 在一次实验中，测得(),x y的四组值分别是()1,2A ，()2,3B ，()3,4C ，()4,5D ，则y 与x 之间的回归直线方程为（ ）A y=2x+1B y=x+2C y=x+1D y=x-14．下面对相关系数r 描述正确的是（ ）A r ＞0表明两个变量负相关B r ＞1表明两个变量正相关C ︱r ︱越接近于0，两个变量相关关系越弱D r 只能大于零5. 有一段演绎推理：“直线平行于平面,则这条直线平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线⊂a 平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论是错误的，这是因为( )A 推理形式错误B 大前提错误C 小前提错误D 非以上错误 6．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°时，反设正确的是（ ）A 假设三内角都大于60°B 假设三内角至多有两个大于60°C 假设三内角至多有一个大于 60°D 假设三内角都不大于 60° 7． 设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ）A (3，π45)B (23-，π45)C (23，π43)D (-3，π43)8. 曲线的极坐标方程为θρsin 4=化成直角坐标方程为( )A 4)2(22=-+y xB 4)2(22=++y xC 4)2(22=+-y xD 4)2(22=++y x 9．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A. 16B.2524C. 34D.111210. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 ( ) A 31 B 30 C 25 D 6111. 已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ） A 1=ρB θρcos =C θρcos 1= D θρcos 1-=12． 对于任意的两个实数对（a , b ）和(c, d),规定（a , b ）＝(c, d)当且仅当a ＝c,b ＝d; 运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若)0,5(),()2,1(=⊗q p则=⊕),()2,1(q p ( )A )2,0(B )0,4(C )0,2(D )4,0(-输入xIf x ≤50 Theny = 0.5 * x Else y = 25 + 0.6*(x -50) End If 输出y第二部分（非选择题、共90分）二、填空题（共4小题、每题5分）13．复数1,1z i=+ 则z =___________. 14. 在同一平面直角坐标系中，直线21x y -=变成直线42='-'y x 的伸缩变换是____________________；15. 已知直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ-=，点A 的极坐标为74A π⎛⎫⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 16．观察下列等式：1－1122= 1－1111123434+-=+1－1111111123456456+-+-=++…………据此规律，第n 个等式可为_____________________ _____ _.三、解答题（共6小题，总分70分，解答写出文字说明、演算步骤或证明过程）17.（本小题10分）:0,a >>已知 18．（本小题12分）实数m 取什么值时，复数z=(m 2+m-12)+(m 2-3m)i 是（1）虚数？（2）实数？（3）纯虚数？ 19．（本小题12分）已知数列{n a }的前n 项和为S n ，31=a ,满足)N (261*+∈-=n a S n n ， （1）求432,,a a a 的值；（2）猜想n a 的表达式。
河南省驻马店市19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)
河南省驻马店市19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在等差数列{a n}中，a2=2，a3=4，则a10=()A. 18B. 14C. 16D. 122.命题“∀x∈(0,1),x2−x<0”的否定是()A. ∃x0∉(0,1),x02−x0≥0B. ∃x0∈(0,1),x02−x0≥0C. ∀x0∉(0,1),x02−x0<0D. ∀x0∈(0,1),x02−x0≥03.曲线x225+y29=1与x225−k+y29−k=1(k<9)有()A. 相等的长轴与短轴B. 相等的离心率C. 相同的焦点D. 相同的形状4.若a<0<b，则下列不等式恒成立的是()A. 1a >1bB. −a>bC. a2>b2D. a3<b35.若A(m+1,n−1,3)，B(2m,n，m−2n)，C(m+3,n−3,9)三点共线，则m+n的值为()A. −2B. −1C. 1D. 06.关于x的不等式mx2+2mx−1<0恒成立的一个充分不必要条件是()A. −1<m<−12B. −1<m≤0 C. −2<m<1 D. −3<m<−127.△ABC中，内角A、B、C的对边a、b、c依次成等比数列，且B=π3，则△ABC的形状为()A. 等边三角形B. 直角边不相等的直角三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形8.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别是DD1，AB的中点，则异面直线A1E与FC所成角的余弦值是()A. √55B. 35C. 45D.√10 109.已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过F且与抛物线交于A、B两点，若|AB|=5，则AB中点的横坐标为()A. 52B. 2 C. 32D. 110.设直线x−3y+m=0(m≠0)与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P(m,0)满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是()A. √52B. 32C. 52D. √5+111.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1=1，AB⊥AC，点E为棱AA1的中点，则点C1到平面B1EC的距离等于()A. 12B. √22C. √63D. 112.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用a n表示解下n(n≤9,n∈N∗)个圆环所需的移动最少次数，{a n}满足a1=1，且，则解下4个圆环所需的最少移动次数为()A. 7B. 10C. 12D. 22二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{y≥2xy≥−2xx+y≤2，则z=−x+y的最大值为_________．14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.a=15，b=10，A=60°，则sinB=______．15.己知x>0，y>0，且2x +1y=1，若x+2y⩾m2+2m恒成立，则实数m的取值范围________．16.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0),F2(c,0)，若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为_________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知a，b，c分别为△ABC三内角A，B，C的对边，且满足b+ccosA=c+acosC．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)若△ABC的面积为√3，求△ABC的周长的最小值．18.已知数列{a n}满足a1=1，na n+1−(n+1)a n=1+2+3+⋯+n，n∈N∗．}是等差数列；(1)求证：数列{a nn(2)若b n=1，求数列{b n}的前n项和为S n．a n19.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E为PD中点．(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求直线PC与平面ACE所成角的正弦值．20.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l:y=x−1过点F且与C交于A,B两点．(1)求抛物线C的标准方程及|AB|；(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程．21.如图，AD//BC且AD=2BC，AD⊥CD，EG//AD且EG=AD，CD//FG且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，DA=DC=DG=2．(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN//平面CDE；(2)求二面角E−BC−F的正弦值；22.已知点P是圆M:(x−1)2+y2=8上的动点，定点N(−1,0)，线段PN的垂直平分线交PM于点Q．(Ⅰ)求点Q的轨迹E的方程；(Ⅱ)过点N作两条斜率之积为−1的直线l1，l2，l1，l2分别与轨迹E交于A，B和C，D，记得到2的四边形ACBD的面积为S，求S的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查等差数列的通项公式的应用，属于容易题．解：设等差数列的公差为d，则d=a3−a2=2,所以a10=a3+7d=4+7×2=18.故选A．2.答案：B解析：本题考查全称命题的否定，属于基础题.根据全称命题的否定规律直接给出结果即可．解：全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈(0,1),x2−x<0”的否定是∃x0∈(0,1),x02−x0≥0．故选B．3.答案：C解析：本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断出正确选项．解：对于曲线x225+y29=1，a=5，b=3，c=√25−9=4，焦点坐标为(±4,0)，离心率e=45．曲线x225−k +y29−k=1，a=√25−k，b=√9−k，c=√25−k−9−k=4，焦点坐标为(±4,0)，e=√25−k．∴当k≠0时，两个曲线的焦点相同，而长、短轴和离心率均不相同，两个椭圆形状也不相同;当k =0时两个曲线的方程相同，则焦点、长、短轴、离心率和形状均相同． 综上所述，两个曲线的焦点一定相同． 故选C ．4.答案：D解析：本题主要考查不等关系的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，属于基础题． 根据不等式的性质和不等式关系进行判断即可． 解：因为a <0<b ，对于A ，1a <0,1b >0，则1a <1b ，故A 错误；对于B ，当a =−1，b =2时，−a =1<b ，故B 错误； 对于C ，当a =−1，b =2时，a 2=1<4=b 2，故C 错误； 对于D ，a 3<0，b 3>0，所以a 3<b 3，故D 正确； 故选D ．5.答案：D解析：本题以点为载体，考查三点共线，解题的关键是求向量的坐标，利用向量共线的条件求解，属于基础题．根据点A ，B ，C 的坐标，分别求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用三点共线，可建立方程组，从而可求m +n 的值．解：由题意，∵A(m +1,n −1,3)，B (2m,n ，m −2n)，C( m +3，n −3，9) ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −1,1,m −2n −3)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,6) ∵A(m +1,n −1,3)，B (2m,n ，m −2n)，C( m +3，n −3，9)三点共线，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC⃗⃗⃗⃗⃗ ∴(m −1,1，m −2n −3)=λ(2，−2，6)∴{m −1=2λ 1=−2λ m −2n −3=6λ∴{m=0n=0∴m+n=0故选D．6.答案：A解析：本题考查了不等式的解法、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．关于x的不等式mx2+2mx−1<0恒成立，m=0时，可得：−1<0，m≠0时，可得：{m<0Δ=4m2+4m<0，解得m范围，再结合选项寻找充分不必要条件即可．解：关于x的不等式mx2+2mx−1<0恒成立，m=0时，可得：−1<0，恒成立，,m≠0时，可得：{m<0Δ=4m2+4m<0解得−1<m<0，综上可得：−1<m≤0．∴关于x的不等式mx2+2mx−1<0恒成立的一个充分不必要条件是−1<m<−1．2故选：A．7.答案：A解析：由于a，b，c成等比数列，可得b2=ac．再利用余弦定理可得：b2=a2+c2−2ac⋅cos60°，即可得出a=c.进而判断出．本题考查了等比数列的性质、余弦定理、等边三角形的判定，属于基本知识的考查．解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac．由余弦定理可得：b2=a2+c2−2ac⋅cos60°，∴ac=a2+c2−ac，解得a=c．又∠B =60°，∴△ABC 为等边三角形． 故选A ．8.答案：C解析：本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，是基础的计算题．以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，分别求出A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由两向量所成角的余弦值求异面直线A 1E 与FC 所成角的余弦值． 解：如图，以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则A 1 (2,0，2)，E(0,0，1)，C(0,2，0)，F(2,1，0)， ∴A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,−1)，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,0)， 则cos <A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF⃗⃗⃗⃗⃗ >=A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF⃗⃗⃗⃗⃗ |A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×√5=−45．∴异面直线A 1E 与FC 所成角的余弦值是45． 故选：C ．9.答案：C解析：解：∵抛物线y 2=4x ，∴P =2， 设经过点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点， 其横坐标分别为x 1，x 2，利用抛物线定义，AB 中点横坐标为x 0=12(x 1+x 2)=12(|AB|−P)=12(5−2)=32． 故选：C ．先根据抛物线方程求出p 的值，再由抛物线的性质可得到答案．本题主要考查了抛物线的性质．属中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．10.答案：A解析：先求出A ，B 的坐标，可得AB 中点坐标为(ma 29b 2−a 2,3mb 29b 2−a 2)，利用点P(m,0)满足|PA|=|PB|，可得3mb 29b 2−a 2−0ma 29b 2−a 2−m=−3，从而可求双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． 解：由双曲线的方程可知，渐近线为y =±ba x ，分别与x −3y +m =0(m ≠0)联立，解得A(−ama−3b ,−bma−3b )，B(−ama+3b ,bma+3b )， ∴AB 中点坐标为(ma 29b 2−a 2,3mb 29b 2−a 2)， ∵点P(m,0)满足|PA|=|PB|， ∴3mb 29b 2−a 2−0ma 29b 2−a 2−m=−3，∴a =2b ， ∴c =√5b ， ∴e =ca =√52． 故选：A ．11.答案：C解析：本题考查点到平面的距离的求法，考查利用空间向量解决点到面的距离问题，是中档题． 以A 为原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C 1到平面B 1EC 的距离．解：∵在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AC =AA 1=1，AB ⊥AC ，∴以A 为原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， ∵点E 为棱AA 1的中点，∴C 1(0,1，1)，B 1(1,0，1)，E(0,0，12)，C(0,1，0)， EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，12)，EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，12)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−12)， 设平面B 1EC 的法向量n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +12z =0n⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y −12z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−1,−2)， ∴点C 1到平面B 1EC 的距离为：d =|EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√6=√63． 故选：C ．12.答案：A解析：本题考查数列递推关系，属于基础题．本题可根据递推式逐步计算，但要注意n 的奇偶性，代入不能搞错．解：由题意，可知：a 2=2a 1−1=2×1−1=1，a 3=2a 2+2=2×1+2=4，a 4=2a 3−1=2×4−1=7．故选：A ．13.答案：6解析：本题主要考查了线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．解：作出不等式组对应的平面区域如图，由z =−x +y 得y =x +z ，平移直线y =x +z ，由图象可知当直线y =x +z 经过点A 时，直线y =x +z 的截距最大，此时z 最大．由{y =−2x x +y =2，得{x =−2y =4，即A (−2,4)， 代入目标函数z =−x +y 得z =−(−2)+4=6．即目标函数z =2x +y 的最大值为6．故答案为6．14.答案：√33解析：解：∵a =15，b =10，A =60°，∴sinB =bsinA a=10×√3215=√33． 故答案为：√33． 由已知利用正弦定理即可求值得解．本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．15.答案：[−4,2]解析：此题主要考查了基本不等式的性质，以及一元二次不等式的解法的运用，属于中档题，考查了函数的恒成立问题m ≤f(x)恒成立⇔m ≤f(x)的最小值(m ≥f(x)恒成立⇔m ≥f(x)的最大值)． 由2x +1y =1，可得x +2y =(x +2y)(2x +1y )展开，利用基本不等式可求x +2y 得最小值，而x +2y >m 2+2m 恒成立⇔m 2+2m <(x +2y)min ，据此求出m 的取值范围即可．解：由2x +1y =1，得x +2y =(x +2y)(2x +1y )=4+x y +4y 4≥4+2√x y ⋅4y x =8，而x +2y ≥m 2+2m 恒成立⇔m 2+2m ≤(x +2y)min ，所以m 2+2m ≤8恒成立，即m 2+2m −8≤0恒成立，解得−4≤m ≤2．故答案为：[−4,2]．16.答案：(√2−1,1)解析：本题主要考查了椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，属于基础题．通过椭圆的定义以及焦点三角形的性质得到a ，b ，c 的关系式的转换，进而得到离心率的范围， 解：在△PF 1F 2中，由正弦定理得，则由已知得|P1F2|a =|P1F1|c，即a|PF1|=c|PF2|，设点(x0,y0)由焦点半径公式，得|PF1|=a+ex0，|PF2|=a−ex0，则a(a+ex0)=c(a−ex0)，解得x0=a(a−c)e(−a+c)=a(e−1)e(e+1)，由椭圆的几何性质知x0>−a则a(e−1)e(e+1)>−a，整理得e2+2e−1>0，解得e<−√2−1或e>√2−1，又e∈(0,1)，故椭圆的离心率e∈(√2−1,1)，故答案为(√2−1,1)．17.答案：解：(Ⅰ)由正弦定理得：sinB+sinCcosA=sinC+sinAcosC，又sinB=sin(A+C)=sinCcosA+sinAcosC，∴2cosA=1，A为△ABC内角，∴A=π3；(Ⅱ)在△ABC中S△ABC=12bcsinA=√3，∴bc=4，由余弦定理：a2=b2+c2−2bccosA=b2+c2−bc，周长a+b+c=√b2+c2−4+b+c≥√2bc−4+2√bc=6，当且仅当b=c=2时等号成立，故△ABC的周长的最小值为6．解析：本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．(Ⅰ)由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得2cosA=1，结合A为△ABC内角，即可得解A的值．(Ⅱ)由已知利用三角形面积公式可求bc=4，由余弦定理，基本不等式即可求得△ABC的周长的最小值．18.答案：解：(1)证明：数列{a n}满足a1=1，na n+1−(n+1)a n=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2，n∈N∗，则a n+1n+1−a nn=12(常数)，n∈N∗．则数列{a nn }是以1为首项，12为公差的等差数列．(2)由(1)得a nn =1+12(n−1)=n+12，n∈N∗，所以a n=n(n+1)2，n∈N∗，所以b n=1an =2n(n+1)=2(1n−1n+1)，所以S n=b1+b2+⋯+b n=2(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=2(1−1n+1)，=2nn+1．解析：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．(1)根据数列的递推关系式整理得到a n+1 n+1−a nn=12(常数)，n∈N∗即可证明．(2)利用裂项相消法求出数列的和．19.答案：证明：(1)∵底面ABCD为正方形，∴BC⊥AB，又BC⊥PB，∴BC⊥平面PAB，∴BC ⊥PA ，同理可证CD ⊥PA ，∵BC ∩CD =C ，∴PA ⊥平面ABCD ．解：(2)分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)，C(2,2，0)，E(0,1，1)，P(0,0，2)，设m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)为平面AEC 的一个法向量， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =y +z =0m⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0，取x =1， 得m⃗⃗⃗ =(1,−1,1)， ∵CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,2)， 设PC 与平面ACE 所成角为θ，∴sinθ=|cos <m ⃗⃗⃗ ,CP ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3⋅23=12， ∴直线PC 与平面ACE 所成角的正弦值为12．解析：(1)推导出BC ⊥AB ，BC ⊥PB ，BC ⊥平面PAB ，BC ⊥PA ，同理可证CD ⊥PA ，由此能证明PA ⊥平面ABCD ．(2)分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PC 与平面ACE 所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F(p2,0)，把F(p 2,0)代入直线l:y =x −1中，解得p =2，所以抛物线C 的标准方程为y 2=4x ．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，联立{y =x −1y 2=4x，整理得：x 2−6x +1=0， 则 x 1+x 2=6所以|AB|=x 1+x 2+p =6+2=8.(2)由(1)可得 x 1+x 2=6，y 1+y 2=4所以AB 的中点坐标为D(3,2)，则直线AB 的垂直平分线方程为y −2=−(x −3)，即y =−x +5，设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则{y 0=−x 0+5(x 0+1)2=(x 0−3)2+(y 0−2)2+16， 解得：{x 0=3y 0=2或{x 0=11y 0=−6， 因此，所求圆的方程为(x −3)2+(y −2)2=16或(x −11)2+(y +6)2=144．解析：本题考查直线与抛物线的综合问题。
2015-2016学年河南省信阳市高二(上)期末数学试卷(文科)解析版
2015-2016学年河南省信阳市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2015秋•信阳期末）若集合A={1，9}，B={﹣1，x2}，则“x=3”是“A∩B={9}”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（5分）（2015秋•信阳期末）把1011011（2）转化成十进制数为（）A．88 B．89 C．90 D．913．（5分）（2015秋•信阳期末）若函数f（x）满足f（x）=x2lnx+3xf′（1）﹣1，则f′（1）等于（）A．﹣ B．﹣C．﹣1 D．14．（5分）（2015秋•信阳期末）抛物线y=x2上一点M到焦点的距离为4，则点M的纵坐标为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）（2015秋•信阳期末）若函数f（x）=ax3﹣2x2在x=﹣1时取得极值，则f（1）等于（）A．﹣B．﹣C．0 D．6．（5分）（2015秋•信阳期末）为了了解学生平均每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观，某校从高一年级1000名学生中随机抽取100名进行了调查，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），据此估计高一年级每天零花钱在[6，14）内的学生数为（）A．780 B．680 C．648 D．4607．（5分）（2015秋•信阳期末）“辗转相除法”的算法思路如右图所示．记R（a\b）为a除以b所得的余数（a，b∈N*），执行程序框图，若输入a，b分别为243，45，则输出b的值为（）A．0 B．1 C．9 D．188．（5分）（2015秋•信阳期末）已知函数f（x）=2x2+ax﹣2b，若a，b都是区间[0，4]内的数，则使f（1）＜0的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）（2015秋•信阳期末）已知函数f（x）=x﹣alnx在区间（0，2]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（0，） B．（0，2）C．（，+∞）D．[2，+∞）10．（5分）（2015秋•信阳期末）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品由表中数据，求的线性回归方程=﹣2x+10.6，则表中m的值为（）A．4.2 B．4.4 C．4.6 D．4.711．（5分）（2015秋•信阳期末）曲线f（x）=在点（0，f（0））处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x﹣y+2=0 D．x+y+2=012．（5分）（2015秋•信阳期末）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，左、右交点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且满足|OP|=|OF2|（O为坐标原点），则|PF1|：|PF2|等于（）A．：1 B．：1 C．2：1 D．：2二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置13．（5分）（2015秋•信阳期末）命题p：“存在n0∈N，使得2n＞2016”的否定￢p是．14．（5分）（2015秋•信阳期末）函数f（x）=x3﹣x2+3在区间[﹣1，1]上的最小值为．15．（5分）（2015秋•信阳期末）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，其中m∈（0，1，2，3，4，5，6，7，8，9），则甲的平均数不小于乙的平均数的概率为．16．（5分）（2015秋•信阳期末）直线y=x﹣4与抛物线y2=2x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线l做垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为．三、解答题：本大题共6个小题，共70分。
2015-2016学年河南省驻马店市七年级上学期期末数学试卷(带解析)
绝密★启用前2015-2016学年河南省驻马店市七年级上学期期末数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：121分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、（2015秋•驻马店期末）如图是某月的日历，在此日历上用一个正方形圈出9个数（如6、7、8、13、14、15、20、21、22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为32，则这9个数的和为（ ）A ．144B ．153C ．198D ．2162、（2015秋•驻马店期末）某商店在甲批发市场以每包m 元的价格进了40包茶叶，又在乙批发市场以每包n 元（m ＞n ）的价格进了同样的60包茶叶，如果商家以每包元的价格卖出这种茶叶，卖完后，这家商店（ ）A ．盈利了B ．亏损了C ．不赢不亏D ．盈亏不能确定3、（2015秋•驻马店期末）若关于x 的方程2x+a ﹣4=0的解是x=﹣2，则a 的值等于（） A ．﹣8 B ．0 C ．2 D ．84、（2015秋•驻马店期末）一个立体图形由4个相同的正方体组成，如果从左面看到的图形如图所示，那么这个立体图形不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5、（2015秋•驻马店期末）如图，点M 、N 是线段AB 的三等分点，则下列说法错误的是（ ）A ．AM=MN=NB=AB B ．点M 是线段AN 的中点C ．点N 是线段AB 的中点D ．AN=BM6、（2015•绵阳）福布斯2015年全球富豪榜出炉，中国上榜人数仅次于美国，其中王健林以242亿美元的财富雄踞中国内地富豪榜榜首，这一数据用科学记数法可表示为（ ） A ．0.242×1010美元 B ．0.242×1011美元 C ．2.42×1010美元 D ．2.42×1011美元7、（2015秋•驻马店期末）把如图所示的平面图形绕直线L 旋转一周，得到的立体图形是（ ）A ．圆柱B ．圆锥C ．球D ．棱锥A．﹣的系数是﹣2B．﹣πab2的系数是﹣1，次数是4C．是多项式D．x3﹣xy﹣1的常数项是19、（2015秋•驻马店期末）下列各数中，最小的是（）A．﹣0.1 B．0 C．﹣2 D．|﹣3|10、（2011•晋江市质检）﹣的倒数等于（）A． B．﹣ C． D．﹣第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、（2013•红河州）下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，如图所示，按此规律排列下去，第20个图形中有 个实心圆．12、（2015秋•驻马店期末）点A 、B 、C 在同一条数轴上，其中点A 、B 表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC 等于 ．13、（2015秋•驻马店期末）在如图所示的运算流程中，若输出的数y=5，则输入的数x= ．14、（2015秋•驻马店期末）某项工作甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，若甲先干一天，然后，甲、乙合作完成此项工作，若设甲一共做了x 天，乙工作的天数为 ，由此可列出方程 ．（写过程）15、（2015秋•驻马店期末）如图，将长方形纸片的一角作折叠，使顶点A 落在A′处，EF 为折痕，若EA′恰好平分∠FEB ，则∠FEB 的度数是 ．16、在点O 北偏西60°的某处有一点A ，在点O 南偏西20°的某处有一点B ，则∠AOB的度数是_____________17、（2015秋•驻马店期末）对单项式“0.6a”可以解释为：一件商品原价为a 元，若按原价的6折出售，这件商品现在的售价是0.6a 元，请你对“0.6a”再赋予一个含义： ．18、（2015秋•驻马店期末）若∠α=59°21′36″，这∠α的补角为 ．19、（2015秋•驻马店期末）计算一个式子，计算器上显示的结果是1.596594，将这个数结果精确到0.01是 ．20、（2015秋•驻马店期末）计算：（﹣2）3﹣|﹣5|= ．三、计算题（题型注释）21、（2015秋•驻马店期末）（1）﹣22﹣（﹣2）2+24÷（﹣2）×﹣32（2）（×（﹣3）﹣+7）÷﹣23×（﹣2）2×（﹣1）2017．四、解答题（题型注释）22、（2015秋•驻马店期末）某市自2015年1月1日起对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：已知2016年10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；2016年9月份老李家交电费157元． （1）表中a 的值为 ；（2）求老李家2016年9月份的用电量；（3）若2016年8月份老李家用电的平均电价为0.7元/度，求老李家2016年8月份的用电量．23、（2015秋•驻马店期末）把一副三角板的直角顶点O 重叠在一起．（1）问题发现：如图①，当OB 平分∠COD 时，∠AOD+∠BOC 的度数是 ； （2）拓展探究：如图②，当OB 不平分∠COD 时，∠AOD+∠BOC 的度数是多少？ （3）问题解决：当∠BOC 的余角的4倍等于∠AOD 时，求∠BOC 的度数．24、（2015秋•驻马店期末）七年级进行法律知识竞赛，共有30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分．（1）小红同学参加了竞赛，成绩是90分，请问小红在竞赛中答对了多少道题？ （2）小明也参加了竞赛，考完后他说：“这次竞赛我一定能拿到100分．”请问小明有没有可能拿到100分？试用方程的知识来说明理由．25、（2015秋•驻马店期末）如图，O 为直线AB 上一点，OD 平分∠AOC ，∠DOE=90°．（1）请你数一数，图中有 个小于平角的角；（2）若∠AOC=50°，则∠COE 的度数= ，∠BOE 的度数= ； （3）猜想：OE 是否平分∠BOC ？请通过计算说明你猜想的结论．26、（2015秋•驻马店期末）如图是一个正方体盒子的表面展开图，该正方体六个面上分别标有不同的数字，且相对两个面上的数字互为相反数．（1）把﹣16，9，16，﹣5，﹣9，5分别填入图中的六个小正方形中；（2）若某相对两个面上的数字分别为和﹣5，求x 的值．27、（2015秋•驻马店期末）化简求值．3x 2y ﹣[2xy 2﹣6（xy ﹣x 2y ）+4xy]﹣2xy ，其中3（x+2）2+|y ﹣1|=0．参考答案1、A2、A3、D4、B5、C6、C7、B8、C9、C10、D11、4212、2或613、9，1014、x﹣1，x+=1．15、120°17、练习本每本0.6元，某人买了a本，共付款0.6a．18、120°38′24″19、1.6020、﹣1321、（1）13；（2）115．22、（1）0.6；（2）老李家2016年9月份的用电量为260度；（3）老李家2016年8月份的用电量为560度．23、（1）180°；（2）180°；（3）60°．24、（1）小红在竞赛中答对了25道题；（2）解得y=．因为y不能是分数，所以小明没有可能拿到100分．25、（1）9；（2）65°，65°；（3）OE平分∠BOC．见解析26、（1）见解析；（2）x=227、4【解析】1、试题分析：设圈出的数字中最小的为x，则最大数为x+16，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，进而确定出9个数字，求出之和即可．解：设圈出的数字中最小的为x，则最大数为x+16，根据题意得：x+x+16=32，移项合并得：2x=16，解得：x=8，所以9个数之和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．考点：一元一次方程的应用．2、试题分析：根据题意列出商店在甲批发市场茶叶的利润，以及商店在乙批发市场茶叶的利润，将两利润相加表示出总利润，根据m大于n判断出其结果大于0，可得出这家商店盈利了．解：根据题意列得：在甲批发市场茶叶的利润为40（﹣m）=20（m+n）﹣40m=20n ﹣20m；在乙批发市场茶叶的利润为60（﹣n）=30（m+n）﹣60n=30m﹣30n，∴该商店的总利润为20n﹣20m+30m﹣30n=10m﹣10n=10（m﹣n），∵m＞n，∴m﹣n＞0，即10（m﹣n）＞0，则这家商店盈利了．故选A考点：整式的加减．3、试题分析：把x=﹣2代入方程即可得到一个关于a的方程，解方程即可求解．解：把x=﹣2代入方程得：﹣4+a﹣4=0，解得：a=8．故选D．考点：一元一次方程的解．4、试题分析：分别根据各个选项中的组合体确定其左视图的形状，从而确定正确的选项．解：观察四个选项发现A、C、D三个选项中的组合体的左侧有两个立方体，右侧有一个立方体，与题干中的图形一致，B选项中左侧有一个立方体，右侧有两立方体，故B错误，故选B．考点：由三视图判断几何体．5、试题分析：利用线段三等分点定义判断即可得到结果．解：如图，点M、N是线段AB的三等分点，则AM=MN=NB=AB，M为AN的中点，AN=BM．故选C．考点：两点间的距离．6、试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将242亿用科学记数法表示为：2.42×1010．故选：C．考点：科学记数法—表示较大的数．7、试题分析：根据直角三角形绕直角边旋转是圆锥，可得答案．解：直角三角形绕直角边旋转是圆锥，故B正确；考点：点、线、面、体．8、试题分析：根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数可得A错误；根据一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数可得B错误；根据多项式的定义可得C正确，根据多项式中常数项的定义可得D错误．解：A、﹣的系数是﹣，故A错误；B、﹣πab2的系数是﹣π，次数是3，故B错误；C、是多项式，故C正确；D、x3﹣xy﹣1的常数项是﹣1，故D错误．故选C．考点：单项式；多项式．9、试题分析：在数轴上表示出各数，根据数轴的特点进行解答即可．解：如图所示，，由图可知四个数中﹣2最小．故选C．考点：有理数大小比较．10、试题分析：根据倒数的定义可知．解：﹣的倒数等于﹣．故选D．考点：倒数．11、试题分析：根据图形中实心圆的数量变化，得出变化规律，进而求出即可．解：∵第1个图形中有4个实心圆，第2个图形中有6个实心圆，第3个图形中有8个实心圆，…∴第n个图形中有2（n+1）个实心圆，∴第20个图形中有2×（20+1）=42个实心圆．故答案为：42．考点：规律型：图形的变化类．12、试题分析：分情况讨论A，B，C三点的位置关系，即点C在线段AB内，点C在线段AB外．2或6解：此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，所以要分两种情况计算．点A、B表示的数分别为﹣3、1，AB=4．第一种情况：在AB外，第二种情况：在AB内，AC=4﹣2=2．故答案为2或6．考点：两点间的距离；数轴．13、试题分析：由运算流程可以得出有两种情况，当输入的x为偶数时就有y=x，当输入的x为奇数就有y=（x+1），把y=5分别代入解析式就可以求出x的值而得出结论．解：由题意，得当输入的数x是偶数时，则y=x，当输入的x为奇数时，则y=（x+1）．当y=5时，∴5=x或5=（x+1）．∴x=10或9故答案为：9，10考点：一元一次方程的应用；代数式求值．14、试题分析：合作的天数减1即可确定乙工作的天数，利用总的工作量为1列出方程即可．解：若甲先干一天，然后，甲、乙合作完成此项工作，若设甲一共做了x天，乙工作的天数为（x﹣1），根据题意得：x+=1，故答案为：x﹣1，x+=1．考点：由实际问题抽象出一元一次方程．15、试题分析：根据将长方形纸片的一角作折叠，使顶点A落在A′处，EF为折痕，若EA′恰好平分∠FEB，可以求得∠FEA和∠FEA′、∠BEA′之间的关系，从而可以得到∠FEB的度数．解：∵将长方形纸片的一角作折叠，使顶点A落在A′处，EF为折痕，∴∠FEA=∠FEA′，∵EA′恰好平分∠FEB，∴∠FE A′=∠BEA′，∴∠FEA′=∠BEA′=∠FEA，∵∠FEA+∠FEA′+∠BEA′=180°，∴∠FEA′=∠BEA′=∠FEA=60°，∴∠FEB=120°．故答案为：120°．考点：角的计算；翻折变换（折叠问题）．16、试题分析：直接利用方向角定义得出∠AOB=180°﹣60°﹣20°，进而得出答案．解：如图所示：∵点O北偏西60°的某处有一点A，在点O南偏西20°的某处有一点B，∴∠AOB=180°﹣60°﹣20°=100°．故答案为：100°．考点：方向角．17、试题分析：根据单价乘以数量等于销售额，可得答案．解：对“0.6a”再赋予一个含义：练习本每本0.6元，某人买了a本，共付款0.6a，故答案为：练习本每本0.6元，某人买了a本，共付款0.6a．考点：代数式．18、试题分析：根据补角的概念进行计算即可．解：∵∠α=59°21′36″，∴180°﹣∠α=120°38′24″，故答案为：120°38′24″．考点：余角和补角；度分秒的换算．19、试题分析：根据精确到哪位，就是对它后边的一位进行四舍五入即可得出答案．解：1.596594这个数结果精确到0.01是1.60；故答案为：1.60．考点：近似数和有效数字．20、试题分析：首先根据有理数的乘方的运算方法，求出（﹣2）3的值是﹣8；然后根据负数的绝对值是它的相反数，可得|﹣5|=5；最后用﹣8减去5，求出算式的值是多少即可．解：（﹣2）3﹣|﹣5|=﹣8﹣5=﹣13故答案为：﹣13．考点：有理数的乘方；绝对值．21、试题分析：（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果；（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．解：（1）原式=﹣4﹣4﹣6+27=13；（2）原式=（﹣﹣+7）×12﹣8××（﹣1）=﹣9﹣10+84+50=115．考点：有理数的混合运算．22、试题分析：（1）根据阶梯电价收费标准以及老李家用电200度，交电费120元，可得200a=120，解方程即可；（2）设老李家2016年9月份的用电量为x度．首先判断240＜x＜400．再根据2016年9月份老李家交电费157元列出方程，求解即可；（3）首先由0.7＞0.65，得出老李家2016年8月份的用电量超过400度．再设老李家2016年8月份的用电量为y度，根据2016年8月份老李家用电的平均电价为0.7元/度列出方程，求解即可．解：（1）∵老李家用电200度，交电费120元，∴200a=120，解得a=0.6．故答案为0.6；（2）设老李家2016年9月份的用电量为x度．∵240×0.6=144（元），240×0.6+160×0.65=248（元），144＜157＜248，∴老李家2016年9月份的用电量超过240度，但不超过400度．由题意得，240×0.6+0.65（x﹣240）=157，解得x=260．答：老李家2016年9月份的用电量为260度；（3）∵0.7＞0.65，∴老李家2016年8月份的用电量超过400度．设老李家2016年8月份的用电量为y度，由题意得240×0.6+160×0.65+0.9（y﹣400）=0.7y，解得y=560．答：老李家2016年8月份的用电量为560度．考点：一元一次方程的应用．23、试题分析：（1）先根据OB平分∠COD得出∠BOC及∠AOC的度数，进而可得出结论；（2）根据直角三角板的性质得出∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠BOD+∠BOC=90°进而可得出结论；（3）根据（1）、（2）的结论可知∠AOD+∠BOC=180°，故可得出∠AOD=180°﹣∠BOC，根据∠BOC的余角的4倍等于∠AOD即可得出结论．解：（1）∵OB平分∠COD，∴∠BOC=∠BOD=45°．∵∠AOC+∠BOC=45°，∴∠AOC=45°，∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC=45°+90°+45°=180°．故答案为：180°；（2）∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC=90°+90°=180°；（3）∵由（1）、（2）得，∠AOD+∠BOC=180°，∴∠AOD=180°﹣∠BOC．∵∠AOD=4（90°﹣∠BOC），∴180°﹣∠BOC=4（90°﹣∠BOC），∴∠BOC=60°．考点：余角和补角；角平分线的定义．24、试题分析：（1）设小红在竞赛中答对了x道题，根据七年级进行法律知识竞赛，共有30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分，及小红成绩是90分，可列方程求解；（2）如果小明的得分是100分，设他答对了y道题，根据题意列出方程4y﹣2（30﹣y）=100，解方程求出y的值即可判断．解：（1）设小红在竞赛中答对了x道题，根据题意得4x﹣2（30﹣x）=90，解得x=25．答：小红在竞赛中答对了25道题；（2）如果小明的得分是100分，设他答对了y道题，根据题意得4y﹣2（30﹣y）=100，解得y=．因为y不能是分数，所以小明没有可能拿到100分．考点：一元一次方程的应用．25、试题分析：（1）写出所有的角，即可判断；（2）首先求得∠COD和∠AOD的度数，然后根据∠COE=∠DOE﹣∠COD即可求得∠COE的度数；根据∠BOE=180°﹣∠AOD﹣∠DOE求得∠BOE的度数；（3）设∠AOC=2α，与（2）相同即可求得∠COE和∠BOE的度数，即可判断．解：（1）图中的角有：∠AOD，∠AOC，∠AOE，∠DOC，∠DOE，∠DOB，∠COE，∠COB，∠EOB共有9个．故答案是：9；（2）∵OD平分∠AOC，∴∠COD=∠AOD=∠AOC=×50°=25°，∴∠COE=∠DOE﹣∠COD=90°﹣25°=65°，∠BOE=180°﹣∠AOD﹣∠DOE=180°﹣25°﹣90°=65°；故答案是：65°，65°；（3）结论：OE平分∠BOC．理由：设∠AOC=2α，∵OD平分∠AOC，∠AOC=2α，∴∠AOD=∠COD=∠AOC=α，又∵∠DOE=90°∴∠COE=∠DOE﹣∠COD=90°﹣α．又∵∠BOE=180°﹣∠DOE﹣∠AOD=180°﹣90°﹣α=90°﹣α，∴∠COE=∠BOE，即OE平分∠BOC．考点：角的计算；角平分线的定义．26、试题分析：（1）根据正方体展开图中两面之间有一个面是对面，可得答案；（2）根据对面上的数互为相反数，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案．解：（1）如图：（2）由某相对两个面上的数字分别为和﹣5，得+（﹣5）=0．解得x=2．考点：正方体相对两个面上的文字；解一元一次方程．27、试题分析：原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．解：原式=3x2y﹣2xy2+6xy﹣3x2y﹣4xy﹣2xy=﹣2xy2，∵3（x+2）2+|y﹣1|=0，∴x=﹣2，y=1，则原式=4．考点：整式的加减—化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．。
2015—2016学年第二学期高二数学(文科)试卷
2015—2016学年第二学期期中试卷高二数学（文科）注意事项：⑴答题前考生务必将自己的姓名和学号写在答题卡和答题页规定的位置上。
⑵答选择题时，必须使用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
第Ⅰ卷一、 选择题（本小题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个 选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1． 计算（5-5i ）+（-2-i ）-（3+4i ）=（ ）A -2iB -2C 10D -10i2． 在复平面内，复数2(1)对应的点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3． 在一次实验中，测得(),x y的四组值分别是()1,2A ，()2,3B ，()3,4C ，()4,5D ，则y 与x 之间的回归直线方程为（ ）A y=2x+1B y=x+2C y=x+1D y=x-14．下面对相关系数r 描述正确的是（ ）A r ＞0表明两个变量负相关B r ＞1表明两个变量正相关C ︱r ︱越接近于0，两个变量相关关系越弱D r 只能大于零5. 有一段演绎推理：“直线平行于平面,则这条直线平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线⊂a 平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论是错误的，这是因为( )A 推理形式错误B 大前提错误C 小前提错误D 非以上错误 6．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°时，反设正确的是（ ）A 假设三内角都大于60°B 假设三内角至多有两个大于60°C 假设三内角至多有一个大于 60°D 假设三内角都不大于 60° 7． 设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ）A (3，π45)B (23-，π45)C (23，π43)D (-3，π43)8. 曲线的极坐标方程为θρsin 4=化成直角坐标方程为( )A 4)2(22=-+y xB 4)2(22=++y xC 4)2(22=+-y xD 4)2(22=++y x 9．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A. 16B.2524C. 34D.111210. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 ( ) A 31 B 30 C 25 D 6111. 已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ） A 1=ρB θρcos =C θρcos 1= D θρcos 1-=12． 对于任意的两个实数对（a , b ）和(c, d),规定（a , b ）＝(c, d)当且仅当a ＝c,b ＝d; 运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若)0,5(),()2,1(=⊗q p则=⊕),()2,1(q p ( )A )2,0(B )0,4(C )0,2(D )4,0(-输入xIf x ≤50 Theny = 0.5 * x Else y = 25 + 0.6*(x -50) End If 输出y第二部分（非选择题、共90分）二、填空题（共4小题、每题5分）13．复数1,1z i=+ 则z =___________. 14. 在同一平面直角坐标系中，直线21x y -=变成直线42='-'y x 的伸缩变换是____________________；15. 已知直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ-=，点A 的极坐标为74A π⎛⎫⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 16．观察下列等式：1－1122= 1－1111123434+-=+1－1111111123456456+-+-=++…………据此规律，第n 个等式可为_____________________ _____ _.三、解答题（共6小题，总分70分，解答写出文字说明、演算步骤或证明过程）17.（本小题10分）:0,a >>已知 18．（本小题12分）实数m 取什么值时，复数z=(m 2+m-12)+(m 2-3m)i 是（1）虚数？（2）实数？（3）纯虚数？ 19．（本小题12分）已知数列{n a }的前n 项和为S n ，31=a ,满足)N (261*+∈-=n a S n n ， （1）求432,,a a a 的值；（2）猜想n a 的表达式。
2016-2017学年河南省驻马店市高二(下)期末数学试卷(文科)
2016-2017学年河南省驻马店市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若复数z满足z（1﹣i）2=|1﹣i|2，则z=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i2．（5分）若f（x）=sinα﹣cosx，则f′（α）等于（）A．cosαB．sinα C．sinα+cosαD．2sinα3．（5分）若双曲线﹣y2=1的左焦点在抛物线y2=2px（p＞0）的准线上，则p的值为（）A．B．3 C．2 D．64．（5分）已知p：成立，q：函数f（x）=﹣（a﹣1）x（a＞1且a≠2）是减函数，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（）A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提错误D．使用了“三段论”，但小前提错误6．（5分）如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.5D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨7．（5分）复数z满足zi=3+4i，若复数对应的点为M，则点M到直线3x﹣y+1=0的距离为（）A．B．C．D．8．（5分）若x1，x2，x3∈（0，+∞），则3个数，，的值（）A．至多有一个不大于1 B．至少有一个不大于1C．都大于1 D．都小于19．（5分）如果把一个多边形的所有边中的任意一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形，平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸16边形的对角线条数为（）A．65 B．96 C．104 D．11210．（5分）函数f（x）=x﹣sinx（x∈R）的部分图象是（）A．B． C．D．11．（5分）已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥FB，设∠ABF=θ且，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．（2，+∞）12．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足，则下列不等式中，一定成立的是（）A．f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1 B．f（1）+1＜f（4）＜f（9）﹣1 C．f（5）+2＜f（4）＜f（1）﹣1 D．f（1）﹣1＜f（4）＜f（5）+2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）如图是“平面向量的数量积”的知识结构图，若要加入“投影”，则应该是在的下位．14．（5分）若直线y=kx与曲线y=x﹣e x相切，则k=．15．（5分）五一假期间，小明参加由某电视台推出的大型户外竞技类活动，该活动共有四关，若四关都闯过，则闯关成功，否则落水失败，小明闯过一至四关的概率依次是，，，，则小明闯关失败的概率为．16．（5分）定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），若方程f′（x）=0无解，f[f（x）﹣2017x]=2017，当g（x）=sinx﹣cosx﹣kx在[﹣]上与f（x）在R上的单调性相同时，则实数k的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知命题p：方程+=1表示双曲线，命题q：∃x∈R，mx2+2mx+2m﹣1≤0．（Ⅰ）若命题q为真，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若p∨q为真，￢q为真，求实数m的取值范围．18．（12分）设非等腰△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，用分析法证明：=．19．（12分）“共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式．某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：（Ⅰ）根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）若得分不低于80分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认可”，请根据此样本完成此2×2列联表，并据此样本分析是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；（Ⅲ）若从此样本中的A城市和B城市各抽取1人，则在此2人中恰有一人认可的条件下，此人来自B城市的概率是多少？附：参考数据：（参考公式：）20．（12分）已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，设离心率为e，且满足，其中O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（0，1）的直线l与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣e）（lnx﹣1）（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若不同的两点A（m，f（m）），B（n，f（n））满足：lnm•lnn﹣ln（m•n）+2=0，试判定点P（e，f（e））是否在以线段AB为直径的圆上？请说明理由．四、解答题（共1小题，满分5分）22．（5分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，并且|PA|•|PB|=28，求tanα的值．五、解答题（共1小题，满分5分）23．（5分）已知f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）+|2x﹣7|≥6的解集；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣|x﹣5|的值域为A，且[﹣1，2]⊆A，求a的取值范围．2016-2017学年河南省驻马店市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：由z（1﹣i）2=|1﹣i|2，得z=，故选：C．2．f'（x）=sinx，f'（α）=sinα．故选B．3．解：双曲线﹣y2=1的左焦点：（﹣3，0），双曲线﹣y2=1的左焦点在抛物线y2=2px（p＞0）的准线上：可得：，解得p=6．故选：D．4．解：p：成立，可得0＜a﹣2≤2，解得2＜a≤4．q：函数f（x）=﹣（a﹣1）x（a＞1且a≠2）是减函数，∴a﹣1＞1，解得a＞2．则p是q的充分不必要条件，故选：A．5．解：大前提是特指命题，而小前提是全称命题有理数包含有限小数，无限不循环小数，以及整数，大前提是错误的，∴得到的结论是错误的，∴在以上三段论推理中，大前提错误故选：C．6．解：根据题意，依次分析选项：对于A、样本数据中：==4.5，则=0.7×4.5+0.35=3.5，即线性回归直线一定过点（4.5，3.5），故A正确；对于B、线性回归方程=0.7x+0.35中，0.7＞0，即产品的生产能耗与产量呈正相关，故B正确；对于C、由A可得：=3.5，即==3.5，解可得t=3，故C错误；对于D、线性回归方程=0.7x+0.35，A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨，故D正确；故选：C．7．解：由zi=3+4i，得z===4﹣3i，∴=4+3i．∴对应的点为M（4，3），∴所求距离为d==．故选：D．8．解：设x1≤x2≤x3，则≤1，≤1，≥1．故选：B．9．解：可以通过列表归纳分析得到；16边形有2+3+4+…+14==104条对角线．故选：C．10．解：函数f（x）=x﹣sinx（x∈R）是奇函数，排除选项C，x=时，f（）=•﹣sin=，函数图象对应点在x轴的下方，故选：D．11．解：如图所示，设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′．∵AF⊥FB，∴四边形AFBF′为矩形．因此|AB=|FF′|=2c．则|AF|=2csinθ，|BF|=2ccosθ．∵|AF′|﹣|AF|=2a．∴2ccosθ﹣2csinθ=2a．即c（cosθ﹣sinθ）=a，则e===，∵，∴∈（，），则cos（）∈（0，），cos（）∈（0，），则=，即e＞，故双曲线离心率的取值范围是，故选：C．12．解：∵，∴f′（x）＜，令g（x）=f（x）﹣，则g′（x）=f′（x）﹣＜0，∴g（x）在（0，+∞）上是减函数，∴g（9）＜g（4）＜g（1），即f（9）﹣3＜f（4）﹣2＜f（1）﹣1，∴f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：“平面向量的数量积的投影”是数量积的几何意义，故在知识结构图中，“平面向量数量积的投影应该放在是“数量积”的关系后面，即它的下位；故答案为：几何意义．14．解：设切点为（m，n），y=x﹣e x的导数为y′=1﹣e x，可得切线的斜率k=1﹣e m，且n=km，n=m﹣e m，解得m=1，k=1﹣e，故答案为：1﹣e．15．解：根据题意，设小明闯关失败为事件A，其对立事件为小明闯关成功，又由小明闯过一至四关的概率依次是，，，，则P（）=×××=，则P（A）=1﹣P（）=1﹣=；故答案为：．16．解：若方程f'（x）=0无解，则f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，所以f（x）为R上的单调函数，∀x∈R都有f[f（x）﹣2017x]=2017，则f（x）﹣2017x为定值，设t=f（x）﹣2017x，则f（x）=t+2017x，易知f（x）为R上的增函数，∵g（x）=sinx﹣cosx﹣kx，∴g′（x）=cosx+sinx﹣k=sin（x+）﹣k，又g（x）与f（x）的单调性相同，∴g（x）在R上单调递增，则当x∈[﹣，]，g'（x）≥0恒成立，当x∈[﹣，]时，x+∈[﹣，]，sin（x+）∈[﹣，1]，sin（x+）∈[﹣1，]，此时k≤﹣1，故答案为（﹣∞，﹣1]．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（Ⅰ）∵命题q为真，当m＞0时，△=4m2﹣4m（2m﹣1）≥0，∴0≤m≤1，故0＜m≤1；当m=0时，﹣1≤0，符合题意；当m＜0时，∃x∈R，mx2+2mx+2m﹣1≤0成立．综上，m≤1；（Ⅱ）若命题p为真，则（m+6）（m﹣7）＜0，即﹣7＜m＜6．∵若p∨q为真，￢q为真，∴p为真命题，q为假命题．∴，解得1＜m＜7．∴实数m的取值范围是（1，7）．18．证明：要证明：=，只要证明=，只要证明（a+c﹣2b）（a﹣b+c）=3（a﹣b）（c﹣b），只要证明（a+c﹣b）2﹣b（a+c﹣b）=3（ac+b2﹣bc﹣ab），只要证明b2=a2+c2﹣ac，只要证明，只要证明B=60°，只要证明A、B、C成等差数列，故结论成立．19．解：（Ⅰ）A城市评分的平均值小于B城市评分的平均值；…（2分）A城市评分的方差大于B城市评分的方差；…（4分）（Ⅱ）2×2列联表…（6分）…（7分）所以没有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；…（8分）（Ⅲ）设事件M：恰有一人认可；事件N：来自B城市的人认可；事件M包含的基本事件数为5×10+15×10=200，…（10分）事件M∩N包含的基本事件数为15×10=150，则所求的条件概率…（12分）20．解：（Ⅰ）设椭圆的焦半距为c，则|OF|=c，|OA|=a，|AF|=a﹣c．所以，其中，又b2=3=a2﹣c2，联立解得a=2，c=1．所以椭圆C的方程是．（Ⅱ）由题意直线不能与x轴垂直，否则将无法构成三角形．当直线l与x轴不垂直时，设其斜率为k，那么l的方程为y=kx+1．联立l与椭圆C的方程，消去y，得（4k2+3）x2+8kx﹣8=0．于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是△=（8k）2+32（4k2+3），这显然大于0．设点M（x1，y1），N（x2，y2）．由根与系数的关系得，．所以，又O到l的距离．所以△OMN的面积；令t=4k2+3≥3，那么，当且仅当t=3时取等．所以△OMN面积的最大值是．21．解：（Ⅰ）函数的定义域是（0，+∞），对于f′（x）=lnx﹣=0，当0＜x＜e时，lnx＜1，﹣＜﹣1，∴f′（x）=lnx﹣＜0，当x＞e时，lnx＞1，﹣＞﹣1，∴f′（x）=lnx﹣＞0，即f（x）在（0，e）递减，在（e，+∞）递增，=f（e）=0，无极大值；∴（x）极小值（Ⅱ）若m=e，则（1﹣lnm）（1﹣lnn）=0，与条件（1﹣lnm）（1﹣lnn）=﹣1不符，从而m≠e，同理可得n≠e，从而m≠n，由上可得点A、B、P两两不重合，•=（m﹣e，f（m））•（n﹣e，f（n））=（m﹣e）（n﹣e）+（m﹣e）（n﹣e）（lnm﹣1）（lnn﹣1）=（m﹣e）（n﹣e）（lnmlnn﹣lnmn+2）=0，故⊥，点A、B、P可构成直角三角形，故P（e，f（e））在以线段AB为直径的圆上．四、解答题（共1小题，满分5分）22．解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ=．可得ρ2sin2θ=4ρcosθ，可得直角坐标方程：y2=4x．（II）直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），代入：y2=4x．化为：t2sin2α+（2sinα﹣4cosα）t﹣7=0，∴t1t2=．∴|PA|•|PB|=|t1t2|=28=，可得sinα=．∴或．∴tanα=．五、解答题（共1小题，满分5分）23．解：（Ⅰ）a=2时，不等式即为|x﹣2|+|2x﹣7|≥6，当x≤1时，不等式可化为﹣（x﹣2）﹣（2x﹣7）≥6，解得：x≤1，当1＜x＜时，不等式可化为（x﹣2）﹣（2x﹣7）≥6，无解，当x≥时，不等式可化为（x﹣1）+（2x﹣5）≥6，解得：x≥5，综上，不等式的解集是{x|x≤1或x≥5}；（Ⅱ）∵||x﹣a|﹣|x﹣5||≤|x﹣a﹣（x﹣5）|=|a﹣5|，∴f（x）﹣|x﹣5|=|x﹣a|﹣|x﹣5|∈[﹣|a﹣5|，|a﹣5|]，∵[﹣1，2]⊆A，故，解得：a≤3或a≥7，故a的范围是（﹣∞，3]∪[7，+∞）．。
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17 p 1 =4+ ，∴ p ，x2=y，∴m2=4，m=±2 …………5 分 4 2 2 1 1 1 (2)依题可设 PQ 的方程为 l ：y=kx+ ，与 x2=y 联立，消去 x，得 y2-( +k2)y+ =0， 4 2 16 1 ∴y1+y2= +k2，而|PQ|= y1+y2+p=1+k2，k2=5-1=4，k=±2 …………10 分 2 1 1 ∴直线 l 的方程为 y=2x+ 或 y= -2x+ ， 4 4
5 2
B．
3 2
C．
3 5 2
D．
2 3
9.数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a1 1 ， an 1 3S n （ n 1 ） ，则 a6 A． 3 4
4
B． 3 4 1
4
C． 4
4
D． 4 1
4
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 a , b , c ，若 a ，b ，c 成等差数列， B 60 °， △ABC的面积为 则 b 等于 A． 2 B． 1 3 C． 2 D． 2 3
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
2
一、选择题：(本大题共 12 个小题，每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ）
1.已 知 命 题 p : x R,2 x 1 0, 则p 是 A． x R,2 x 1 0
2
B． x R,2 x 1 0
1
m
x2 的 准 线 方 程 为
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A． x
1 4m
2015-2016学年河南省洛阳市高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．若函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．[0，]D．[0，）2．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．6﹣x﹣的最大值是2C．的最小值是2 D．当x∈（0，π）时，sinx+≥43．设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为，命题q：函数y=cosx的图象关于点（π，0）中心对称，则下列判断正确的是（）A．p为真B．q为真C．p∧q为假D．p∨q为真4．“2＜m＜6”是“方程（6﹣m）x2+（m﹣2）y2=﹣m2+8m﹣12表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知定义在R上的函数f（x）=e x+x2﹣x+sinx，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是（）A．y=x+1 B．y=x+2 C．y=﹣x+1 D．y=﹣x+26．各项都是正数的等比数列{a n}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为（）A．B．C．﹣D．或7．已知F是双曲线﹣=1的右焦点，点P的坐标为（3，1），点A在双曲线上，则|AP|+|AF|的最小值为（）A．+4 B．﹣4 C．﹣2D．+28．设双曲线的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．2 C．D．9．若x，y满足不等式组，且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，则a=（）A．B．0 C．D．110．已知直线y=kx+1，当k变化时，此直线被椭圆+y2=1截得的最大弦长是（）A．4 B．C．D．11．设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则cos∠PF1F2=（）A．B．C．D．12．若函数f（x）=x2+ax+在[，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[0，]C．[，+∞）D．[9，+∞）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．若函数f（x）=x3﹣6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是．14．在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=．15．已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．16．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C 于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知p：2a≤x≤a2+1，q：x2﹣3（a+1）x+6a+2≤0，若p是q的充分条件，求实数a取值范围．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．19．已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n}的第2项、第3项、第4项．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}对任意n∈N*均有++…+=a n+1成立，求c1+c2+c3+…+c2015的值．20．已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且•=2，其中O为原点．（1）求抛物线E的方程；（2）点C坐标为（0，﹣2），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k22﹣2k2为定值．21．已知函数f（x）=x2﹣ln．（1）求函数f（x）在[，e2]上的最大值和最小值；（2）证明：当x∈（1，+∞）时，函数g（x）=x3+x2的图象在y=f（x）的图象上方．22．设F1，F2分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设A，B两点都在以P（﹣2，0）为圆心的同一圆上，求E的方程．2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．若函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．[0，]D．[0，）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】问题转化为mx2+4mx+3≠0恒成立，通过讨论m的范围，结合二次函数的性质判断即可．【解答】解：若函数f（x）=的定义域为R，则mx2+4mx+3≠0恒成立，m=0时，成立，m≠0时，△=16m2﹣12m＜0，解得：0＜m＜，综上，0≤m＜，故选：D．2．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．6﹣x﹣的最大值是2C．的最小值是2 D．当x∈（0，π）时，sinx+≥4【考点】基本不等式．【分析】由基本不等式的规律，逐个选项验证可得．【解答】解：选项A，lgx可能为负值，故lgx+≥2错误；选项B，6﹣x﹣=6﹣（x+），而x+=4，或x+≤﹣2=﹣4，故6﹣（x+）≤2或6﹣（x+）≥10，故B错误；选项C，==+≥2，当且仅当=即=1时取等号，此时x2=﹣3，故等号取不到，故＞2，取不到2，故错误；选项D，当x∈（0，π）时，sinx＞0，由基本不等式可得sinx+≥2=4，故正确．故选：D3．设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为，命题q：函数y=cosx的图象关于点（π，0）中心对称，则下列判断正确的是（）A．p为真B．q为真C．p∧q为假D．p∨q为真【考点】复合命题的真假．【分析】由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项．【解答】解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题p是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题；结合复合命题的判断规则知：p∧q为假命题，p∨q为是假命题；故选：C．4．“2＜m＜6”是“方程（6﹣m）x2+（m﹣2）y2=﹣m2+8m﹣12表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出方程表示椭圆的充要条件：分母都大于0且不等；求出m的范围；利用充要条件的定义判断前者是后者的什么条件．【解答】解：（6﹣m）x2+（m﹣2）y2=﹣m2+8m﹣12=（m﹣2）（6﹣m）表示椭圆的充要条件是：，解得2＜m＜6但m≠4；当2＜m＜6推不出2＜m＜6但m≠4；2＜m＜6但m≠4成立时能推出2＜m＜6；故2＜m＜6是方程表示椭圆的必要不充分条件．故选：B．5．已知定义在R上的函数f（x）=e x+x2﹣x+sinx，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是（）A．y=x+1 B．y=x+2 C．y=﹣x+1 D．y=﹣x+2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=0时的导数，然后由直线方程的斜截式得答案．【解答】解：由f（x）=e x+x2﹣x+sinx，得f′（x）=e x+2x﹣1+cosx，∴f（0）=1，f′（0）=1，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是y=x+1，故选：A．6．各项都是正数的等比数列{a n}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为（）A．B．C．﹣D．或【考点】等差数列的性质；等比数列的性质．【分析】由a2，a3，a1成等差数列可得a1、a2、a3的关系，结合等比数列的通项公式即可求出q，而由等比数列的性质可得=q，故本题得解．【解答】解：设{a n}的公比为q（q＞0），由a3=a2+a1，得q2﹣q﹣1=0，解得q=．∴=q=．故选B．7．已知F是双曲线﹣=1的右焦点，点P的坐标为（3，1），点A在双曲线上，则|AP|+|AF|的最小值为（）A．+4 B．﹣4 C．﹣2D．+2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的左焦点为F'，求出双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义可得|AP|+|AF|=|AP|+|AF'|﹣2，考虑A在左支上运动到与P，F'共线时，取得最小值，即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A在双曲线的左支上，双曲线﹣=1的a=，b=2，c=3，设双曲线的左焦点为F'，即有F （3，0），F'（﹣3，0），由双曲线的定义可得|AF'|﹣|AF|=2a=2，即有|AP|+|AF|=|AP|+|AF'|﹣2，当A 在左支上运动到P ，A ，F'共线时，|AP|+|AF'|取得最小值|PF'|==，则有|AP|+|AF|的最小值为﹣2．故选：C ．8．设双曲线的渐近线与抛物线y=x 2+1相切，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．B ．2C ．D ．【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a 和b 的关系，从而推断出a 和c 的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax 2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b 2﹣4a 2=0，即，故选择C ．9．若x ，y 满足不等式组，且z=2x+y 的最大值是最小值的3倍，则a=（ ）A ．B ．0C ．D ．1【考点】简单线性规划的应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大最小值，再列方程求出a 即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域， 其中A （a ，2﹣a ），B （a ，a ），当直线z=2x+y过点（1，1）时，z最大是3，当直线z=2x+y过点B时，z最小是3a，∴3=3×3a，∴a=．故选A．10．已知直线y=kx+1，当k变化时，此直线被椭圆+y2=1截得的最大弦长是（）A．4 B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cosθ，sinθ），利用三角函数即可得到结论．【解答】解：直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cosθ，sinθ）∴|PQ|2=（2cosθ）2+（sinθ﹣1）2=﹣3sin2θ﹣2sinθ+5，∴当sinθ=﹣时，|PQ|2ma x=，∴直线被椭圆+y2=1截得的最大弦长|PQ|ma x=．故选：B．11．设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则cos∠PF1F2=（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义知m﹣n=2a，由△PF1F2为直角三角形，知m2+n2=4c2，由双曲线的离心率为5，c=5a，由此能求出结果．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则由双曲线的定义知m﹣n=2a，①∵△PF1F2为直角三角形，∴m2+n2=4c2，②∵双曲线的离心率为5，∴，即c=5a，把①和②联立方程组，解得mn=2b2=2（c2﹣a2）=48a2，解方程组，得m=8a，n=6a，∴cos∠PF1F2====．故选C．12．若函数f（x）=x2+ax+在[，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[0，]C．[，+∞）D．[9，+∞）【考点】二次函数的性质．【分析】函数f（x）=x2+ax+在[，+∞）上是增函数，则其导函数在[，+∞）上是非负值，又因导函数为递增函数，只需最小值非负即可．【解答】解：f（x）=x2+ax+在[，+∞）上是增函数，∴f'（x）=2x+a﹣在[，+∞）上是非负值，∵f'（x）=2x+a﹣在[，+∞）上递增，∴f'（）=﹣9+a≥0，∴a≥．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．若函数f（x）=x3﹣6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】由题意知，f′（0）＜0，f′（1）＞0，解不等式组求得实数b的取值范围．【解答】解：由题意得，函数f（x）=x3﹣6bx+3b 的导数为f′（x）=3x2﹣6b 在（0，1）内有零点，且f′（0）＜0，f′（1）＞0．即﹣6b＜0，且（3﹣6b）＞0．∴0＜b＜，故答案为：．14．在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=4．【考点】解三角形．【分析】根据a=2，b+c=7，cosB=﹣，利用余弦定理可得，即可求得b的值．【解答】解：由题意，∵a=2，b+c=7，cosB=﹣，∴∴b=4故答案为：415．已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．【考点】数列递推式；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由累加法求出a n=33+n2﹣n，所以，设f（n）=，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．【解答】解：a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2[1+2+…+（n﹣1）]+33=33+n2﹣n所以设f（n）=，令f′（n）=，则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+，所以当n=5或6时f（n）有最小值．又因为，，所以的最小值为16．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C 于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于不存在．【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．【分析】由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．利用根与系数的关系可得y1+y2=4m，利用中点坐标公式可得=2m，x0=my0﹣1=2m2﹣1．Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．再利用两点间的距离公式即可得出m及k，再代入△判断是否成立即可．【解答】解：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．∴y1+y2=4m，∴=2m，∴x0=my0﹣1=2m2﹣1．∴Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．∵|QF|=2，∴，化为m2=1，解得m=±1，不满足△＞0．故满足条件的直线l不存在．故答案为不存在．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知p：2a≤x≤a2+1，q：x2﹣3（a+1）x+6a+2≤0，若p是q的充分条件，求实数a取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】设A={x|2a≤x≤a2+1}，B={x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]≤0}，由于p是q 的充分条件，可得A⊆B．（1）当a≥时，此时B={x|2≤x≤3a+1}，可得．（2）当a＜时，B={x|3a+1≤x≤2}，可得．【解答】解：x2﹣3（a+1）x+6a+2≤0，化为（x﹣2）[x﹣（3a+1）]≤0，设A={x|2a≤x≤a2+1}，B={x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]≤0}，∵p是q的充分条件，∴A⊆B．（1）当a≥时，B={x|2≤x≤3a+1}，∴，解得1≤a≤3．（2）当a＜时，B={x|3a+1≤x≤2}，∴，解得a=﹣1．∴实数a取值范围是{a|1≤a≤3，或a=﹣1}．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【考点】解三角形．【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，有正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC•（sinA﹣cosA﹣1）=0，又，sinC≠0，所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，所以A=；（2）S△AB C=bcsinA=，所以bc=4，a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，即有，解得b=c=2．19．已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n}的第2项、第3项、第4项．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}对任意n∈N*均有++…+=a n+1成立，求c1+c2+c3+…+c2015的值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过a1=1，进而表示出b2=a2=1+d、b3=a5=1+4d、b4=a14=1+13d，利用=b2b4计算可知d=2，从而a n=2n﹣1，进而可知等比数列{b n}的公比q=3，计算即得结论；（2）通过++…+=a n+1与++…+=a n作差，整理可知c n=2•3n﹣1，进而可知数列{c n}的通项公式，利用等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】解：（1）依题意，b2=a2=1+d，b3=a5=1+4d，b4=a14=1+13d，∵=b2b4，∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得：d=2或d=0（舍），∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∵等比数列{b n}的公比q====3，∴b n=3•3n﹣2=3n﹣1；（2）∵++…+=a n+1，∴当n≥2时，++…+=a n，两式相减得：=a n+1﹣a n=2，∴c n=2b n=2•3n﹣1，又∵c1=a2b1=3不满足上式，∴c n=，∴c1+c2+c3+…+c2015=3+=3﹣3+32015=32015．20．已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且•=2，其中O为原点．（1）求抛物线E的方程；（2）点C坐标为（0，﹣2），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k22﹣2k2为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）将直线与抛物线联立，消去y，得到关于x的方程，得到两根之和、两根之积，设出A、B的坐标，代入到•=2中，化简表达式，再将上述两根之和两根之积代入得到p，从而求出抛物线标准方程．（2）先利用点A，B，C的坐标求出直线CA、CB的斜率，再根据抛物线方程轮化参数y1，y2，得到k和x的关系式，将上一问中的两根之和两根之积代入，化简表达式得到常数即可．【解答】（1）解：将y=kx+2代入x2=2py，得x2﹣2pkx﹣4p=0，其中△=4p2k2+16p＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2pk，x1x2=﹣4p，∴===﹣4p+4，由已知，﹣4p+4=2，解得p=，∴抛物线E的方程为x2=y．（2）证明：由（1）知x1+x2=k，x1x2=﹣2，===x1﹣x2，同理k2=x2﹣x1，∴=2（x1﹣x2）2﹣2（x1+x2）2=﹣8x1x2=16．21．已知函数f（x）=x2﹣ln．（1）求函数f（x）在[，e2]上的最大值和最小值；（2）证明：当x∈（1，+∞）时，函数g（x）=x3+x2的图象在y=f（x）的图象上方．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值和最大值即可；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x），求出函数的导数，得到函数的单调性，从而证出结论．【解答】解：（1）f′（x）=2x+，∵x≥，∴f′（x）＞0，f（x）在[，e2]上递增，∴f （x ）最小值=f （）=﹣1，f （x ）最大值=f （e 2）=e 4+2；（2）证明：令F （x ）=g （x ）﹣f （x ）=x 3﹣x 2﹣lnx ，则F ′（x ）=，令h （x ）=2x 3﹣x 2﹣1，∵x ＞1，∴h ′（x ）=2x （3x ﹣1）＞0，h （x ）在（1，+∞）递增，h （x ）＞h （1）=0，∴x ∈（1，+∞）时，F ′（x ）＞0，∴F （x ）在（1，+∞）递增，F （x ）＞F （1）=＞0，即g （x ）＞f （x ），∴x ∈（1，+∞）时，函数g （x ）的图象在y=f （x ）图象的上方．22．设F 1，F 2分别是椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列．（1）求E 的离心率；（2）设A ，B 两点都在以P （﹣2，0）为圆心的同一圆上，求E 的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列，可得2|AB|=|AF 2|+|BF 2|，利用椭圆定义可得|AB|=a ．设l ：x=y ﹣c ，代入椭圆C 的方程，整理得（a 2+b 2）y 2﹣2b 2cy ﹣b 4=0（*），利用韦达定理化简可得a=b ，从而可证b=c ； （2）设AB 的中点为N （x 0，y 0），运用中点坐标公式，可得N 的坐标，根据|PA|=|PB|知PM 为AB 的中垂线，可得k PN =﹣1，从而可求b=6，进而可求椭圆E 的方程．【解答】解：（1）∵|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列，∴2|AB|=|AF 2|+|BF 2|，由椭圆定义可得，|AB|+|AF 2|+|BF 2|=4a ，∴|AB|=a ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），F 1（﹣c ，0），l ：x=y ﹣c ，代入椭圆C 的方程，整理得（a 2+b 2）y 2﹣2b 2cy ﹣b 4=0，（*）则|AB|2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=2（y1﹣y2）2=2[（y1+y2）2﹣4y1y2] =2[（）2+]=•2a2，化简得a=b，故b=c．所以椭圆的离心率e==；（2）设AB的中点为N（x0，y0），由（1）可得，x0==﹣c=c﹣c=﹣c，y0=x0+c=c，由|PA|=|PB|，可得k PN=﹣1，即=﹣1，化简为c=c﹣2，解得c=6，a=6，b=6．即有椭圆的方程为+=1．2016年7月6日。
河南省周口市2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年河南省周口市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设a，b∈R，那么“＞1”是“a＞b＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9=5π，则cos（a2+a8）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．3．在△ABC中，已知sinAcosA=sinBcosB，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，则△ABC 的面积为（）A．B．1 C．D．25．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）A．1升B．升C．升D．升6．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=﹣2 C．x=1 D．x=47．若a=20.5，b=logπ3，c=ln，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b8．若直线ax+by﹣1=0（其中a＞0且b＞0）平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣1=0的周长，则+的最小值为（）A．16 B．8 C．4 D．29．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 10．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）11．已知点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心（内心﹣﹣角平分线交点且满足到三角形各边距离相等），若S=S+S成立，则双曲线的离心率为（）A．B．C．4 D．212．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a x•g（x）（a＞0，且a≠1），，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为．14．已知x，y满足，记z=2x﹣y的最大值为m，则函数y=a x﹣1+m（a＞0且a≠1）的图象所过定点坐标为．15．过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．16．已知f（x）=x3﹣3x，过A（1，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，命题q：双曲线：﹣=1的离心率e∈（1，2）（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题．求实数a的取值范围．18．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且sinB=，cos∠ADC=﹣．（Ⅰ）求sin∠BAD的值；（Ⅱ）求AC边的长．19．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n，a n，成等差数列．（1）证明数列{a n}是等比数列；（2）若b n=log2a n+3，求数列{}的前n项和T n．20．投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f（n）表示前n年的纯利润总和（f（n）=前n年的总收入一前n年的总支出一投资额）．（1）该厂从第几年开始盈利？（2）若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以10万元出售该厂，问哪种方案更合算？21．已知椭圆的两个焦点为F1、F2，离心率为，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足|AF1|+|AF2|=4，O为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）证明：△OAB的面积为定值．22．已知函数f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；（Ⅱ）在（I）的条件下，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若x＞1时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年河南省周口市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设a，b∈R，那么“＞1”是“a＞b＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】不等式的解法及应用．【分析】a＞b＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a ＞b＞0，由充要条件的定义可得答案．【解答】解：由不等式的性质，a＞b＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a＞b＞0．故是a＞b＞0的必要不充分条件．故选B．【点评】本题为充要条件的判断，正确利用不等式的性质是解决问题的关键，属基础题．2．已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9=5π，则cos（a2+a8）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的性质和三角函数的诱导公式即可求出．【解答】解：∵{a n}为等差数列，∴a1+a9=2a5，∵a1+a5+a9=5π，∴3a5=5π，∴a5=，∴cos（a2+a8）=cos（2a5）=cos=﹣故选A．【点评】本题考查了等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质和三角函数的诱导公式是解题的关键．3．在△ABC中，已知sinAcosA=sinBcosB，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题；解三角形．【分析】利用二倍角的正弦公式与诱导公式即可判断该△ABC的形状．【解答】解：∵在△ABC中，sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，又sin2B=sin（π﹣2B），∴2A=2B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．故选：D．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的正弦公式与诱导公式的应用，属于中档题．4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，则△ABC 的面积为（）A．B．1 C．D．2【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由已知及余弦定理可求cosA，从而可求sinA的值，结合已知由三角形面积公式即可得解．【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，∴由余弦定理可得：cosA===，又0＜A＜π，∴可得A=60°，sinA=，∵bc=4，∴S△ABC=bcsinA==．故选：C．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，解题时要注意角范围的讨论，属于基本知识的考查．5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）A．1升B．升C．升D．升【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项公式即可求出第5节的容积．【解答】解：设竹子自上而下各节的容积分别为：a1，a2，…，a9，且为等差数列，根据题意得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，即4a1+6d=3①，3a1+21d=4②，②×4﹣①×3得：66d=7，解得d=，把d=代入①得：a1=，则a5=+（5﹣1）=．故选B【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道中档题．6．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=﹣2 C．x=1 D．x=4【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的右焦点坐标，即为抛物线的焦点，可得p=4，进而得到抛物线的准线方程．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右焦点为（2，0），则抛物线y2=2px的焦点为（2，0），即有=2，即p=4，则抛物线y2=8x的准线方程为x=﹣2．故选：B．【点评】本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的求法，属于基础题．7．若a=20.5，b=logπ3，c=ln，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=20.5，＞1，0＜b=logπ3＜1，c=ln＜0，∴a＞b＞c．故选：C．【点评】本题考查了对数函数的单调性，属于基础题．8．若直线ax+by﹣1=0（其中a＞0且b＞0）平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣1=0的周长，则+的最小值为（）A．16 B．8 C．4 D．2【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】求出圆心坐标代入直线方程得到a，b的关系2a+b=1，将+乘以2a+b展开，利用基本不等式，检验等号能否取得，求出函数的最小值．【解答】解：∵直线平分圆的周长，∴直线过圆心．∵圆心坐标为（2，1），∴2a+b=1，又a＞0且b＞0，∴+=（+）（2a+b）=4++=8，当且仅当b=2a时取等号，+的最小值为8．故选：B．【点评】本题考查直线平分圆时直线过圆心、考查利用基本不等式求函数的最值需注意：一正、二定、三相等．9．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；解三角形．【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．故选：B．【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．10．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数零点的判断条件，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=lnx﹣，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，∴f（2）f（3）＜0，在区间（2，3）内函数f（x）存在零点，故选：B【点评】本题主要考查方程根的存在性，利用函数零点的条件判断零点所在的区间是解决本题的关键．11．已知点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心（内心﹣﹣角平分线交点且满足到三角形各边距离相等），若S=S+S成立，则双曲线的离心率为（）A．B．C．4 D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设△PF1F2的内切圆的半径为r．利用I为△PF1F2的内心，S=S+S成立，可得．再利用双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2a，即可得出a，c的关系，利用离心率计算公式即可．【解答】解：设△PF1F2的内切圆的半径为r．∵I为△PF 1F2的内心，S=S+S成立，∴化为．又|PF1|﹣|PF2|=2a，∴，∴．故选C．【点评】熟练掌握双曲线的定义域性质、三角形内切圆的性质、三角形的面积计算公式等是解题的关键．12．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a x•g（x）（a＞0，且a≠1），，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】简单复合函数的导数；数列的函数特性．【专题】计算题；压轴题．【分析】由f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）可得单调递增，从而可得a＞1，结合，可求a．利用等比数列的求和公式可求，从而可求【解答】解：∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），∴f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，∴，从而可得单调递增，从而可得a＞1，∵，∴a=2．故=2+22+…+2n=．∴2n+1＞64，即n+1＞6，n＞5，n∈N*．∴n=6．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数的符合判断指数函数的单调性，等比数列的求和公式的求解，解题的关键是根据已知构造函数单调递增．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的截距式方程．【专题】计算题．【分析】欲求在点x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率得到直线方程，最后令即可求得在x轴上的截距．从而问题解决．【解答】解：∵f（x）=x3+4x+5，∴f'（x）=3x2+4，当x=1时，y'=7得切线的斜率为7，所以k=7；所以曲线在点（1，10）处的切线方程为：y﹣10=7×（x﹣1），令y=0得x=．故答案为：．【点评】本小题主要考查直线的斜率、直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．14．已知x，y满足，记z=2x﹣y的最大值为m，则函数y=a x﹣1+m（a＞0且a≠1）的图象所过定点坐标为（1，3）．【考点】简单线性规划．【专题】作图题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数求出m，再由函数的图象平移求得函数y=a x﹣1+m（a＞0且a≠1）的图象所过定点坐标．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（2，2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2×2﹣2=2．即m=2，∴函数y=a x﹣1+m=a x﹣1+2，∵y=a x或定点（0，1），∴y=a x﹣1+2过定点为（1，3）．故答案为：（1，3）．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了函数图象的平移，是中档题．15．过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C的离心率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，∵M是线段AB的中点，∴=1，=1，∵直线AB的方程是y=﹣（x﹣1）+1，∴y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即，∴a=b，∴=b，∴e==．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．16．已知f（x）=x3﹣3x，过A（1，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，则m的取值范围是（﹣3，﹣2）．【考点】导数的几何意义．【分析】先对函数f（x）求导，得到函数f（x）的两个极值点和一个拐点，得到函数f（x）的大致图形再分析可得答案．【解答】解：已知点（1，m）在直线x=1上；由f'（x）=3x2﹣3=0得两个极值点x=±1；由f''（x）=6x=0；得一个拐点x=0；在（﹣∞，0）f（x）上凸，在（0，+∞）f（x）下凸；切线只能在凸性曲线段的外侧取得，在拐点x=0处有一条上凸和下凸部分的公共切线L其斜率k=f'（0）=﹣3，方程为：y=﹣3x；L与直线x=1的交点为（1，﹣3）设过点（1，m）的直线为l当m＞﹣2时，l与函数f（x）上凸部分相切且有两条切线，l与下凸部分只能相交；当m＜﹣3时，l与f（x）下凸部分相切且有两条切线，l与上凸部分只能相交；当﹣3＜m＜﹣2时，l与f（x）下凸部分相切且有两条切线，l与上凸部分也相切但只有一条，共3条；其中，当m=﹣3时下凸部分的切线之一与上凸部分的切线重合，共有2条所以m的取值范围是﹣3＜m＜﹣2故答案为：（﹣3，﹣2）【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于该点的切线的斜率．属难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，命题q：双曲线：﹣=1的离心率e∈（1，2）（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题．求实数a的取值范围．【考点】双曲线的简单性质；复合命题的真假．【专题】计算题；分类讨论；判别式法；简易逻辑．【分析】（1）通过讨论a的范围，得到不等式组，解出即可；（2）分别求出p，q真时的a 的范围，再根据p真q假或p假q真得到a的范围．【解答】解：（1）由题意ax2﹣x+a＞0对任意x∈R恒成立，当a=0时，不符题意，舍去；当a≠0时，则解得：a＞2．∴实数a的取值范围是a＞2；（2）由双曲线：﹣=1的离心率e∈（1，2），∴e2=．∵离心率e∈（1，2），∴1＜＜4．∴0＜a＜15．∴a的取值范围为（0，15）．p真q假时，a≥15，p假p真时，则0＜a≤2，综上，0＜a≤2或a≥15．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查对数函数、双曲线的性质，是一道基础题．18．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且sinB=，cos∠ADC=﹣．（Ⅰ）求sin∠BAD的值；（Ⅱ）求AC边的长．【考点】解三角形．【专题】综合题；解三角形．【分析】（Ⅰ）根据sinB=，cos∠ADC=﹣，利用平方关系，可得sinB、sin∠ADC的值，利用sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B），即可求得结论；（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，求BD=，故DC=15，在△ADC中，由余弦定理，可求AC的长．【解答】解：（Ⅰ）由题意，因为sinB=，所以cosB=…又cos∠ADC=﹣，所以sin∠ADC=…所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=×﹣（﹣）×=…（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，得，解得BD=…故DC=15，从而在△ADC中，由余弦定理，得AC2=9+225﹣2×3×15×（﹣）=，所以AC=…【点评】本题考查差角的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题．19．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n，a n，成等差数列．（1）证明数列{a n}是等比数列；（2）若b n=log2a n+3，求数列{}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意得2a n=S n+，易求，当n≥2时，S n=2a n﹣，S n﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），由递推式可得结论；（2）由（1）可求=2n﹣2，从而可得b n，进而有=，利用裂项相消法可得T n；【解答】解：（1）证明：由S n，a n，成等差数列，知2a n=S n+，当n=1时，有，∴，当n≥2时，S n=2a n﹣，S n﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1，由于{a n}为正项数列，∴a n﹣1≠0，于是有=2（n≥2），∴数列{a n}从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2，∴数列{a n}是以为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）知==2n﹣2，∴b n=log2a n+3==n+1，∴==，∴T n=（）+（）+…+（）==．【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和，裂项相消法是高考考查的重点内容，应熟练掌握．20．投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f（n）表示前n年的纯利润总和（f（n）=前n年的总收入一前n年的总支出一投资额）．（1）该厂从第几年开始盈利？（2）若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以10万元出售该厂，问哪种方案更合算？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；等差数列与等比数列．【分析】（1）根据第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，可知每年的支出构成一个等差数列，故n年的总支出函数关系可用数列的求和公式得到；再根据f（n）=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额，可得前n年的纯利润总和f（n）关于n的函数关系式；令f（n）＞0，并解不等式，即可求得该厂从第几年开始盈利；（2）对两种决策进行具体的比较，以数据来确定那一种方案较好．【解答】解：（1）由题意，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，可知每年的支出构成一个等差数列，用g（n）表示前n年的总支出，∴g（n）=12n+×4=2n2+10n（n∈N*）…∵f（n）=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额∴f（n）=50n﹣（2n2+10n）﹣72=﹣2n2+40n﹣72．…由f（n）＞0，即﹣2n2+40n﹣72＞0，解得2＜n＜18．…由n∈N*知，从第三年开始盈利．…（2）方案①：年平均纯利润为=40﹣2（n+）≤16，当且仅当n=6时等号成立．…故方案①共获利6×16+48=144（万元），此时n=6．…方案②：f（n）=﹣2（n﹣10）2+128．当n=10时，[f（n）]max=128．故方案②共获利128+10=138（万元）．…比较两种方案，选择方案①更合算．…【点评】本题以实际问题为载体，考查数列模型的构建，考查解一元二次不等式，同时考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．21．已知椭圆的两个焦点为F1、F2，离心率为，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足|AF1|+|AF2|=4，O为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）证明：△OAB的面积为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由椭圆的离心率，结合椭圆的定义及隐含条件求得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设出直线AB的方程为y=kx+m，再设A（x1，y1），B（x2，y2），联直线方程和椭圆方程，由根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，结合，得到A，B的横坐标的乘积再由y1y2=（kx1+m）（kx2+m）求得A，B的纵坐标的乘积，最后把△OAB 的面积转化为含有k，m的代数式可得为定值．【解答】解：（1）由椭圆的离心率为，可得，即a=，又2a=|AF1|+|AF2|=，∴a=，c=2，∴b2=4，∴椭圆方程为：；（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，再设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，，∵，∴，∴，又y1y2=（kx1+m）（kx2+m）===．∴，∴﹣（m2﹣4）=m2﹣8k2，即4k2+2=m2，设原点到直线AB的距离为d，则====，∴当直线斜率不存在时，有A（），B（），d=2，S△OAB=．即△OAB的面积为定值2．【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．22．已知函数f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；（Ⅱ）在（I）的条件下，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若x＞1时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（I）求出函数的导数，求得切线的斜率，由题意可得斜率为0，可得a=3：（II）求出导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；（Ⅲ）运用参数分离，可得a＜在x＞1时恒成立，令h（x）=1+x2﹣lnx，求得导数，判断函数的单调性，运用单调性即可求得a的取值范围．【解答】解：（I）f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．定义域为（0，+∞），导数．依题意，f′（1）=0．所以f′（1）=3﹣a=0，解得a=3；（II）a=3时，f（x）=lnx+x2﹣3x，定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x﹣3=，当0＜x＜或x＞1时，f′（x）＞0，当＜x＜1时，f′（x）＜0，故f（x）的单调递增区间为（0，），（1，+∞），单调递减区间为（，1）；（III）由f（x）＞0，得a＜在x＞1时恒成立，令g（x）=，则g′（x）=，令h（x）=1+x2﹣lnx，则h′（x）=2x﹣=，所以h（x）在（1，+∞）为增函数，h（x）＞h（1）=2＞0．故g'（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）为增函数，即有g（x）＞g（1）=1，所以a≤1，即实数a的取值范围为（﹣∞，1]．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，主要考查导数的几何意义，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，运用参数分离和正确求导是解题的关键．2016年2月27日。
河南省驻马店地区数学高二上学期文数期末考试试卷
河南省驻马店地区数学高二上学期文数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，点P为抛物线上一点，且，垂足为A ，若直线AF的斜率为，则|PF|等于（）A .B . 4C .D . 82. （2分）设M是椭圆上的一点，为焦点，且，则的面积为（）A .B .C .D . 163. （2分）命题P1：若函数在上为减函数，则；命题p2：是f （x)=tanx为增函数的必要不充分条件；命题p3：“a为常数，，”的否定是“a 为变量，”. 以上三个命题中，真命题的个数是（）A . 3B . 2C . 1D . 04. （2分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞3”是“x＞5”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是（）A . p∧¬qB . p∧qC . ¬p∧¬qD . ¬p∧q5. （2分） (2019高三上·番禺月考) 已知各项均为正数的数列的前项和为，满足，且，，恰好构成等比数列的前三项，则（）．A . 1B . 3C . 5D . 76. （2分）荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A叶上，则跳四次之后停在A 叶上的概率是（）A .B .C .D .7. （2分）设函数，的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（注：e为自然对数的底数）（）A .B .C .D .8. （2分）在，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若内角A、B、C依次成等差数列，且不等式的解集为，则（）A .B .C .D .9. （2分）等比数列中,,前n项和为,若数列也为等比数列,则等于（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高二下·科尔沁期末) 已知直线y=3x+1与曲线y=ax3+3相切,则a的值为（）A . 1B . ±1C . -1D . -211. （2分）过椭圆的右焦点F2作倾斜角为弦AB，则|AB︳为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二下·绵阳期中) 已知函数y=f（x）（x∈R）的图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式（x﹣1）f′（x）＜0的解集为（）A . （﹣∞，）∪（1，2）B . （﹣1，1）∪（1，3）C . （﹣1，）∪（3，+∞）D . （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·钦州期末) 椭圆的焦点坐标为和，则的值为________．14. （1分） (2018高二下·辽源月考) 在区间上随机取一个数x，则的概率为________15. （1分） (2019高二上·余姚期中) 已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则 ________．16. （1分）写出，，，，…的通项公式：________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2016高二下·芒市期中) 已知双曲线C：（a＞0，b＞0）过点A（1，0），且离心率为（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．18. （10分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别是为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染.2015年8月某日某省x个监测点数据统计如表：空气污染指数[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（单位：μg/m3）监测点个数1540y10（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（2）在空气污染指数分别为50﹣100和150﹣200的监测点中，用分层抽样的方法抽取5个监测点，从中任意选取2个监测点，事件A“两个都为良”发生的概率是多少？19. （10分） (2017高三上·连城开学考) 设函数f（x）=（1）令N（x）=（1+x）2﹣1+ln（1+x），判断并证明N（x）在（﹣1，+∞）上的单调性，并求N（0）；（2）求f（x）在定义域上的最小值；（3）是否存在实数m，n满足0≤m＜n，使得f（x）在区间[m，n]上的值域也为[m，n]？（参考公式：[ln（1+x）′]= ）20. （10分） (2017高一下·禅城期中) 在等比数列{an}中，a2=3，a5=81．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）设bn=log3an ，求数列{bn}的前n项和Sn ．21. （10分）(2018·孝义模拟) 已知抛物线的焦点为，为轴上的点.（1）当时，过点作直线与相切，求切线的方程；（2）存在过点且倾斜角互补的两条直线，，若，与分别交于，和，四点，且与的面积相等，求实数的取值范围.22. （10分）(2017·商丘模拟) 已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．（Ⅰ）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+ ，若g（x）有极大值点x1 ，求证：＞a．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、。
河南省驻马店地区高二上学期期末数学试卷(文科)
河南省驻马店地区高二上学期期末数学试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知等比数列满足，则（）A . 64B . 81C . 128D . 2432. （2分） (2016高一下·锦屏期末) 已知等差数列{an}中，a7+a9=16，则a8的值是（）A . 16B . 8C . 7D . 43. （2分） (2016高二上·会宁期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac=3，且a=3bsinA，则△ABC的面积等于（）A .B .C . 1D .4. （2分） (2016高二上·宜春期中) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2﹣a2= bc，且b= a，则下列关系一定不成立的是（）A . a=cB . b=cC . 2a=cD . a2+b2=c25. （2分） (2016高二下·宜春期末) 若不等式|x+ |＞|a﹣2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a 的取值范围是（）A . 2＜a＜3B . 1＜a＜2C . 1＜a＜3D . 1＜a＜46. （2分） (2018高二下·定远期末) 已知集合，若，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）若命题p：a>0，q：方程表示双曲线，则p是q的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分） (2015高二上·葫芦岛期末) 已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A . 5B . 8C . ﹣1D . +29. （2分） (2016高二上·张家界期中) 若一个椭圆的内接正方形有两边分别经过它的两个焦点，则此椭圆的离心率为（）A .B .C .D .10. （2分）过原点的直线与双曲线（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D . 211. （2分）已知点是抛物线的焦点，点在该抛物线上，且点的横坐标是2，则（）A . 2B . 3C . 4D . 512. （2分） (2016高二下·静海开学考) 如果椭圆的两焦点为F1（﹣1，0）和F2（1，0），P是椭圆上的一点，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列，那么椭圆的方程是（）A . =1B . =1C . =1D . =1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·南宁期末) 已知等差数列的前项和为，________；14. （1分）设命题p：若|x|＞2，则x＜﹣2或x＞2．那么p的逆否命题为________．15. （1分） (2016高二上·桂林开学考) 设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2 ，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是________．16. （1分） (2016高二上·济南期中) 已知a＞1，b＞1，且ab+2=2（a+b），则ab的最小值为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高三上·南充期末) 已知，其中A，B，C是△ABC 的内角．（1）当时，求的值；（2）若，当取最大值是，求B的大小及BC边的长．18. （10分） (2016高一上·双鸭山期中) 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0．（1）若方程有两个正根，求m的取值范围．（2）若方程有两根，其中一根在区间（﹣1，0）内，另一根在区间（1，3）内，求m的取值范围．19. （10分） (2015高三上·廊坊期末) 设{an}是公差大于零的等差数列，已知a1=3，a3=a22﹣27．（1）求{an}的通项公式；（2）设{bn}是以函数y=4sin2πx的最小正周期为首项，以2为公比的等比数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．20. （5分）已知实数x、y满足约束条件（a∈R），目标函数z=x+3y只有当时取得最大值，求a的取值范围．21. （15分） (2016高一下·衡水期末) 已知如图：四边形ABCD是矩形，BC⊥平面ABE，且AE=2 ，EB=BC=2，点F为CE上一点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求三棱锥A﹣DBE的体积；（3）求二面角D﹣BE﹣A的大小．22. （10分） (2018高二上·唐县期中) 已知为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有 .（1）求椭圆的标准方程；（2）圆是以，为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点，若，求的值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
河南省驻马店市高二数学上学期期末试卷 文(含解析)
2015-2016学年河南省驻马店市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．ln（a﹣b）＞0 D．3a﹣b＜12．给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中不正确的命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．13．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞24．已知x，y满足不等式组，则z=2x+y的最大值与最小值的比值为（）A．B．C．D．25．a、b、c＞0，“lna、lnb、lnc成等差数列”是“2a、2b、2c成等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知f（x）=x2+sin（+x），f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）A．B．C．D．7．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．48．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．39．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C． D．﹣210．若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形11．过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点M，若点M在以AB为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e的取值范围为（）A．B．C．（2，+∞）D．（1，2）12．函数在[﹣2，3]上的最大值为2，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，0] D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．已知函数f（x）=x﹣4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A= ．15．已知等差数列{a n}的前n项和为S n=（a+1）n2+a，某三角形三边为a2，a3，a4，则该三角的面积为．16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为正常数，，则动点P的轨迹为椭圆；②双曲线与椭圆有相同的焦点；③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点A（5，0）及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为．其中真命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．如图，跳伞塔CD高4，在塔顶测得地面上两点A，B的俯角分别是30°，40°，又测得∠ADB=30°，求AB两地的距离．18．已知集合，又A∩B={x|x2+ax+b＜0}，求a+b等于多少？19．设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1≠0，2a n﹣a1=S1•S n，n∈N*（Ⅰ）求a1，a2，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和．20．已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．21．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率．22．已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年河南省驻马店市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．ln（a﹣b）＞0 D．3a﹣b＜1【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】不等式的解法及应用．【分析】不妨令a=2，b=1，带入各个选项检验，可得结论．【解答】解：不妨令a=2，b=1，可得选项A正确，而选项B、C、D都不正确，故选：A．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，运用了特殊值代入法，属于基础题．2．给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中不正确的命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】命题的否定；正弦函数的单调性．【专题】阅读型．【分析】①若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q均为假命题；②根据命题写出其否命题时，只须对条件与结论都要否定即得；③根据由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论即可；④在△ABC中，根据大边对大角及正弦定理即可进行判断．【解答】解：①若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q均为假命题；故错；②根据命题写出其否命题时，只须对条件与结论都要否定即得，故命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；正确；③根据由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论：“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1；故错；④在△ABC中，根据大边对大角及正弦定理即可得：“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．故正确．其中不正确的命题的个数是：2．故选C．【点评】本题考查的是复合命题的真假问题、命题的否定、正弦函数的单调性等．属于基础题．3．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题．【分析】题目中条件：“函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决．【解答】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．若f（x）有极大值和极小值，则△=4a2﹣12（a+6）＞0，从而有a＞6或a＜﹣3，故选C．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，导数的引入，为研究高次函数的极值与最值带来了方便．4．已知x，y满足不等式组，则z=2x+y的最大值与最小值的比值为（）A．B．C．D．2【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合．【分析】本题处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最值，即可求解比值．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：当直线z=2x+y过A（2，2）时，Z取得最大值6．当直线z=2x+y过B（1，1）时，Z取得最小值3，故z=2x+y的最大值与最小值的比值为：2．故选D．【点评】本题考查的知识点是线性规划，考查画不等式组表示的可行域，考查数形结合求目标函数的最值．5．a、b、c＞0，“lna、lnb、lnc成等差数列”是“2a、2b、2c成等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】等比关系的确定．【专题】计算题．【分析】从三个数字成等差数列入手，整理出a，b，c之间的关系，两个条件所对应的关系不同，这两者不能互相推出．【解答】解：lna、lnb、lnc成等差数列∴2lnb=lna+lnc∴b2=ac当2b=a+c时，2a、2b、2c成等比数列，这两个条件不能互相推出，∴是既不充分又不必要故选D．【点评】本题考查都不关系的确定，本题解题的关键是根据等比关系和等差关系写出字母之间的关系，看两个条件之间能不能互相推出．6．已知f（x）=x2+sin（+x），f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】本题可用排除法，由题意得函数f′（x）为奇函数，故A、D错误；又=﹣1＜0，故C错误；即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=x2+sin（+x），∴f′（x）=x+cos（）=x﹣sinx．∴函数f′（x）为奇函数，故A、D错误；又=﹣1＜0，故C错误；故选B．【点评】本题主要考查利用函数的性质判断函数的图象知识，可从函数的奇偶性、单调性、周期性、特殊点等方面进行判断逐一排除，属于中档题．7．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】等差数列；基本不等式；等比数列．【分析】首先由等差数列和等比数列的性质可得a+b=x+y，cd=xy，然后利用均值不等式求解即可．【解答】解：∵x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y，cd=xy，∴．当且仅当x=y时取“=”，故选D．【点评】本题在应用等差数列和等比数列的性质的同时，还用到了均值不等式，是一道综合性题目．8．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴lga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2•…•a8）=4lg10=4．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题．9．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C． D．﹣2【考点】导数的几何意义．【分析】（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1，求出未知数a．【解答】解：∵y=∴y′=﹣∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣∵切线与直线ax+y+1=0垂直∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2故选D．【点评】函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率，过点P的切线方程为：y﹣y0=f′（x0）（x﹣x0）10．若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【考点】余弦定理．【专题】三角函数的求值；解三角形．【分析】对（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc化简整理得b2﹣bc+c2=a2，代入余弦定理中求得cosA，进而求得A=60°，又由sinA=2sinBcosC，则=2cosC，即=2•，化简可得b=c，结合A=60°，进而可判断三角形的形状．【解答】解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc∴[（b+c）+a][（b+c）﹣a]=3bc∴（b+c）2﹣a2=3bc，b2﹣bc+c2=a2，根据余弦定理有a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2﹣bc+c2=a2=b2+c2﹣2bccosA即bc=2bccosA即cosA=，∴A=60°又由sinA=2sinBcosC，则=2cosC，即=2•，化简可得，b2=c2，即b=c，∴△ABC是等边三角形．故选B．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用．要熟练记忆余弦定理的公式及其变形公式．11．过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点M，若点M在以AB为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e的取值范围为（）A．B．C．（2，+∞）D．（1，2）【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设双曲线方程为﹣=1，作出图形如图，由左顶点M在以AB为直径的圆的内部，得|MF|＜|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2﹣e﹣2＞0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：设双曲线方程为﹣=1，a＞b＞0则直线AB方程为：x=c，其中c=因此，设A（c，y0），B（c，﹣y0），∴﹣=1，解之得y0=，得|AF|=，∵双曲线的左焦点M（﹣a，0）在以AB为直径的圆内部∴|MF|＜|AF|，即a+c＜，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＜0两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＞0，解之得e＞2（舍负）故选：C【点评】本题给出以双曲线通径为直径的圆，当左焦点在此圆内时求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．12．函数在[﹣2，3]上的最大值为2，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，0] D．【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】当x∈[﹣2，0]上的最大值为2；欲使得函数在[﹣2，3]上的最大值为2，则当x=3时，e3a的值必须小于等于2，从而解得a的范围．【解答】解：由题意，当x≤0时，f（x）=2x3+3x2+1，可得f′（x）=6x2+6x，解得函数在[﹣1，0]上导数为负，函数为减函数，在[﹣∞，﹣1]上导数为正，函数为增函数，故函数在[﹣2，0]上的最大值为f（﹣1）=2；又有x∈（0，3]时，f（x）=e ax，为增函数，故要使函数在[﹣2，2]上的最大值为2，则当x=3时，e3a的值必须小于等于2，即e3a≤2，解得a∈（﹣∞，ln2]．故选：D．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数最值的应用的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．已知函数f（x）=x﹣4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x+y ﹣4=0 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】在填空题或选择题中，导数题考查的知识点一般是切线问题．【解答】解：函数f（x）=x﹣4lnx，所以函数f′（x）=1﹣，切线的斜率为：﹣3，切点为：（1，1）所以切线方程为：3x+y﹣4=0故答案为：3x+y﹣4=0【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A= 30°．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．【解答】解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b，代入得a2﹣b2=bc=6b2，即a2=7b2，∴由余弦定理得：cosA===，∵A为三角形的内角，∴A=30°．故答案为：30°【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．15．已知等差数列{a n}的前n项和为S n=（a+1）n2+a，某三角形三边为a2，a3，a4，则该三角的面积为．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意求得数列的前两项，得到公差，结合等差数列的前n项和是常数项为0的n 的一次或二次函数求得a，得到具体的首项和公差，求得a2，a3，a4的值，再由海伦公式求面积．【解答】解：令n=1，得到a1=S1=2a+1，令n=2，得到a1+a2=S2=5a1+4，∴a2=3a+3，故公差d=（3a+3）﹣（2a+1）=a+2，又由等差数列{a n}的前n项和为S n=（a+1）n2+a，得到a=0，∴等差数列的首项a1=1，公差d=2，∴a2=3，a3=5，a3=7，设P=，则三角的面积为S==．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，训练了利用三角形三边求三角形面积的方法，是中档题．16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为正常数，，则动点P的轨迹为椭圆；②双曲线与椭圆有相同的焦点；③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点A（5，0）及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为．其中真命题的序号为②③④．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】①根据椭圆的定义，当k＞|AB|时是椭圆；②正确，双曲线与椭圆有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为（±，0）；③方程2x2﹣5x+2=0的两根为或2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④由双曲线的第二定义可知：点的轨迹是双曲线．【解答】解：①根据椭圆的定义，当k＞|AB|时是椭圆，∴①不正确；②正确，双曲线与椭圆有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为（±，0）；③方程2x2﹣5x+2=0的两根为或2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，∴③正确④由双曲线的第二定义可知：点的轨迹是双曲线，且a=4，b=3，c=5．故答案为：②③④．【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，同时考查了椭圆、双曲线与抛物线的性质，考查的知识点较多，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．如图，跳伞塔CD高4，在塔顶测得地面上两点A，B的俯角分别是30°，40°，又测得∠ADB=30°，求AB两地的距离．【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；解三角形．【分析】先确定AD，BD的长，再利用余弦定理，即可求得AB的长．【解答】解：∵∠BCD=90°﹣45°=45°，∴在Rt△BCD中，BD=4×tan45°=4，又∵∠ACD=90°﹣30°=60°，∴在Rt△ACD中，AD=4×tan60°=4在△ABD中，AB==4．【点评】本题考查解三角形的实际应用，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．18．已知集合，又A∩B={x|x2+ax+b＜0}，求a+b等于多少？【考点】对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算；指数型复合函数的性质及应用．【专题】计算题．【分析】先根据指数函数、对数函数的性质，将A，B化简，得出A∩B，再根据一元二次不等式与一元二次方程的关系求出a，b．得出a+b．【解答】解：由题意，A∩B=（﹣1，2）方程x2+ax+b=0的两个根为﹣1和2，由韦达定理则a=﹣1，b=﹣2，∴a+b=﹣3【点评】本题考查了指数函数、对数函数的单调性，集合的基本运算，一元二次不等式与一元二次方程的关系．19．设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1≠0，2a n﹣a1=S1•S n，n∈N*（Ⅰ）求a1，a2，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）令n=1和2，代入所给的式子求得a1和a2，当n≥2时再令n=n﹣1得到2a n﹣1=S n﹣1，两个式子相减得a n=2a n﹣1，判断出此数列为等比数列，进而求出通项公式；﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）求出na n=n•2n﹣1，再由错位相减法求出此数列的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）令n=1，得2a1﹣a1=，即，∵a1≠0，∴a1=1，令n=2，得2a2﹣1=1•（1+a2），解得a2=2，当n≥2时，由2a n﹣1=S n得，2a n﹣1﹣1=S n﹣1，两式相减得2a n﹣2a n﹣1=a n，即a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n=2n﹣1，即数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，na n=n•2n﹣1，设数列{na n}的前n项和为T n，则T n=1+2×2+3×22+…+n×2n﹣1，①2T n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，②①﹣②得，﹣T n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n=2n﹣1﹣n•2n，∴T n=1+（n﹣1）2n．【点评】本题考查了数列a n与S n之间的转化，以及由错位相减法求出数列的前n项和的应用．20．已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】（1）若“p且q”是真命题，则p，q同时为真命题，建立条件关系，即可求m的取值范围；（2）根据q是s的必要不充分条件，建立条件关系，即可求t的取值范围．【解答】解：（1）若p为真：…解得m≤﹣1或m≥3…若q为真：则…解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…若“p且q”是真命题，则…解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…（2）若s为真，则（m﹣t）（m﹣t﹣1）＜0，即t＜m＜t+1…由q是s的必要不充分条件，则可得{m|t＜m＜t+1}⊊{m|﹣4＜m＜﹣2或m＞4}…即或t≥4…解得﹣4≤t≤﹣3或t≥4…【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用数轴是解决本题的关键，考查学生的推理能力．21．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）设出椭圆的方程，将已知点代入椭圆的方程及利用椭圆的离心率公式得到关于椭圆的三个参数的等式，解方程组求出a，b，c的值，代入椭圆方程即可．（Ⅱ）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，消去x得到关于y的二次方程，利用韦达定理得到关于两个交点的坐标的关系，将直线OP，PQ，OQ的斜率用坐标表示，据已知三个斜率成等比数列，列出方程，将韦达定理得到的等式代入，求出k的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），则e==，a2﹣b2=c2， +=1，解得a=2，b=1，可得椭圆方程为+y2=1；（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，则△=64k2b2﹣16（1+4k2b2）（b2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，且x1+x2=﹣，x1x2=．故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以•=k2，即k2+=k2，即+m2=0，又m≠0，所以k2=，即k=±．即有直线l的斜率为±．【点评】求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在．22．已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；转化思想．【分析】（1）先求出其导函数，再让其导函数大于0对应区间为增区间，小于0对应区间为减区间即可．（注意是在定义域内找单调区间．）（2）已知条件可以转化为a≥lnx﹣x﹣恒成立，对不等式右边构造函数，利用其导函数求出函数的最大值即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=lnx+1，令f′（x）＜0得：0＜x＜，∴f（x）的单调递减区间是（0，）令f'（x）＞0得：，∴f（x）的单调递增区间是（2）g′（x）=3x2+2ax﹣1，由题意2xlnx≤3x2+2ax+1∵x＞0，∴a≥lnx﹣x﹣恒成立①设h（x）=lnx﹣﹣，则h′（x）=﹣=﹣令h′（x）=0得：x=1，x=﹣（舍去）当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h'（x）＜0∴当x=1时，h（x）有最大值﹣2若①恒成立，则a≥﹣2，即a的取值范围是[﹣2，+∞）．【点评】本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及利用导数研究函数的单调性．这类题目是高考的常考题．。
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2015-2016学年河南省驻马店市高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．ln（a﹣b）＞0 D．3a﹣b＜12．给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中不正确的命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．13．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞24．已知x，y满足不等式组，则z=2x+y的最大值与最小值的比值为（）A．B．C．D．25．a、b、c＞0，“lna、lnb、lnc成等差数列”是“2a、2b、2c成等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知f （x ）=x 2+sin （+x ），f ′（x ）为f （x ）的导函数，则f ′（x ）的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则的最小值是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．48．等比数列{a n }中，a 4=2，a 5=5，则数列{lga n }的前8项和等于（ ） A ．6 B ．5C ．4D ．39．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（ ）A ．2B ．C ．D ．﹣210．若（a+b+c ）（b+c ﹣a ）=3bc ，且sinA=2sinBcosC ，那么△ABC 是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形11．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点M ，若点M 在以AB 为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．（2，+∞）D ．（1，2）12．函数在[﹣2，3]上的最大值为2，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，0]D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．已知函数f（x）=x﹣4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=．15．已知等差数列{a n}的前n项和为S n=（a+1）n2+a，某三角形三边为a2，a3，a4，则该三角的面积为．16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为正常数，，则动点P的轨迹为椭圆；②双曲线与椭圆有相同的焦点；③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点A（5，0）及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为．其中真命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．如图，跳伞塔CD高4，在塔顶测得地面上两点A，B的俯角分别是30°，40°，又测得∠ADB=30°，求AB两地的距离．18．已知集合，又A∩B={x|x2+ax+b＜0}，求a+b等于多少？19．设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1≠0，2a n﹣a1=S1•S n，n∈N*（Ⅰ）求a1，a2，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和．20．已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．21．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率．22．已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年河南省驻马店市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．ln（a﹣b）＞0 D．3a﹣b＜1【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】不等式的解法及应用．【分析】不妨令a=2，b=1，带入各个选项检验，可得结论．【解答】解：不妨令a=2，b=1，可得选项A正确，而选项B、C、D都不正确，故选：A．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，运用了特殊值代入法，属于基础题．2．给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中不正确的命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】命题的否定；正弦函数的单调性．【专题】阅读型．【分析】①若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q均为假命题；②根据命题写出其否命题时，只须对条件与结论都要否定即得；③根据由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论即可；④在△ABC中，根据大边对大角及正弦定理即可进行判断．【解答】解：①若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q均为假命题；故错；②根据命题写出其否命题时，只须对条件与结论都要否定即得，故命题“若a ＞b ，则2a ＞2b ﹣1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b ﹣1”；正确；③根据由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论：“∀x ∈R ，x 2+1≥1”的否定是“∃x ∈R ，x 2+1＜1；故错；④在△ABC 中，根据大边对大角及正弦定理即可得：“A ＞B ”是“sinA ＞sinB ”的充要条件．故正确． 其中不正确 的命题的个数是：2． 故选C ．【点评】本题考查的是复合命题的真假问题、命题的否定、正弦函数的单调性等．属于基础题．3．已知函数f （x ）=x 3+ax 2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．﹣1＜a ＜2B ．﹣3＜a ＜6C ．a ＜﹣3或a ＞6D ．a ＜﹣1或a ＞2【考点】利用导数研究函数的极值． 【专题】计算题．【分析】题目中条件：“函数f （x ）=x 3+ax 2+（a+6）x+1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决． 【解答】解：由于f （x ）=x 3+ax 2+（a+6）x+1， 有f ′（x ）=3x 2+2ax+（a+6）． 若f （x ）有极大值和极小值， 则△=4a 2﹣12（a+6）＞0， 从而有a ＞6或a ＜﹣3， 故选C ．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，导数的引入，为研究高次函数的极值与最值带来了方便．4．已知x ，y 满足不等式组，则z=2x+y 的最大值与最小值的比值为（ ）A ．B ．C ．D ．2【考点】简单线性规划． 【专题】计算题；数形结合．【分析】本题处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最值，即可求解比值．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：当直线z=2x+y过A（2，2）时，Z取得最大值6．当直线z=2x+y过B（1，1）时，Z取得最小值3，故z=2x+y的最大值与最小值的比值为：2．故选D．【点评】本题考查的知识点是线性规划，考查画不等式组表示的可行域，考查数形结合求目标函数的最值．5．a、b、c＞0，“lna、lnb、lnc成等差数列”是“2a、2b、2c成等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】等比关系的确定．【专题】计算题．【分析】从三个数字成等差数列入手，整理出a，b，c之间的关系，两个条件所对应的关系不同，这两者不能互相推出．【解答】解：lna、lnb、lnc成等差数列∴2lnb=lna+lnc∴b2=ac当2b=a+c时，2a、2b、2c成等比数列，这两个条件不能互相推出，∴是既不充分又不必要故选D．【点评】本题考查都不关系的确定，本题解题的关键是根据等比关系和等差关系写出字母之间的关系，看两个条件之间能不能互相推出．6．已知f（x）=x2+sin（+x），f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】本题可用排除法，由题意得函数f′（x）为奇函数，故A、D错误；又=﹣1＜0，故C错误；即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=x2+sin（+x），∴f′（x）=x+cos（）=x﹣sinx．∴函数f′（x）为奇函数，故A、D错误；又=﹣1＜0，故C错误；故选B．【点评】本题主要考查利用函数的性质判断函数的图象知识，可从函数的奇偶性、单调性、周期性、特殊点等方面进行判断逐一排除，属于中档题．7．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】等差数列；基本不等式；等比数列．【分析】首先由等差数列和等比数列的性质可得a+b=x+y，cd=xy，然后利用均值不等式求解即可．【解答】解：∵x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y，cd=xy，∴．当且仅当x=y时取“=”，故选D．【点评】本题在应用等差数列和等比数列的性质的同时，还用到了均值不等式，是一道综合性题目．8．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴lga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2•…•a8）=4lg10=4．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题．9．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C． D．﹣2【考点】导数的几何意义．【分析】（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1，求出未知数a．【解答】解：∵y=∴y′=﹣∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣∵切线与直线ax+y+1=0垂直∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2故选D．【点评】函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率，过点P的切线方程为：y﹣y0=f′（x0）（x﹣x0）10．若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【考点】余弦定理．【专题】三角函数的求值；解三角形．【分析】对（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc化简整理得b2﹣bc+c2=a2，代入余弦定理中求得cosA，进而求得A=60°，又由sinA=2sinBcosC，则=2cosC，即=2•，化简可得b=c，结合A=60°，进而可判断三角形的形状．【解答】解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc∴[（b+c）+a][（b+c）﹣a]=3bc∴（b+c）2﹣a2=3bc，b2﹣bc+c2=a2，根据余弦定理有a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2﹣bc+c2=a2=b2+c2﹣2bccosA即bc=2bccosA即cosA=，∴A=60°又由sinA=2sinBcosC，则=2cosC，即=2•，化简可得，b2=c2，即b=c，∴△ABC是等边三角形．故选B．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用．要熟练记忆余弦定理的公式及其变形公式．11．过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点M，若点M在以AB为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e的取值范围为（）A．B．C．（2，+∞）D．（1，2）【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设双曲线方程为﹣=1，作出图形如图，由左顶点M在以AB为直径的圆的内部，得|MF|＜|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2﹣e ﹣2＞0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：设双曲线方程为﹣=1，a＞b＞0则直线AB方程为：x=c，其中c=因此，设A（c，y0），B（c，﹣y0），∴﹣=1，解之得y0=，得|AF|=，∵双曲线的左焦点M（﹣a，0）在以AB为直径的圆内部∴|MF|＜|AF|，即a+c＜，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＜0两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＞0，解之得e＞2（舍负）故选：C【点评】本题给出以双曲线通径为直径的圆，当左焦点在此圆内时求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．12．函数在[﹣2，3]上的最大值为2，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，0]D．【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】当x∈[﹣2，0]上的最大值为2；欲使得函数在[﹣2，3]上的最大值为2，则当x=3时，e3a的值必须小于等于2，从而解得a的范围．【解答】解：由题意，当x≤0时，f（x）=2x3+3x2+1，可得f′（x）=6x2+6x，解得函数在[﹣1，0]上导数为负，函数为减函数，在[﹣∞，﹣1]上导数为正，函数为增函数，故函数在[﹣2，0]上的最大值为f（﹣1）=2；又有x∈（0，3]时，f（x）=e ax，为增函数，故要使函数在[﹣2，2]上的最大值为2，则当x=3时，e3a的值必须小于等于2，即e3a≤2，解得a∈（﹣∞，ln2]．故选：D．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数最值的应用的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．已知函数f（x）=x﹣4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x+y﹣4=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】在填空题或选择题中，导数题考查的知识点一般是切线问题．【解答】解：函数f（x）=x﹣4lnx，所以函数f′（x）=1﹣，切线的斜率为：﹣3，切点为：（1，1）所以切线方程为：3x+y﹣4=0故答案为：3x+y﹣4=0【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A= 30°．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．【解答】解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b，代入得a2﹣b2=bc=6b2，即a2=7b2，∴由余弦定理得：cosA===，∵A为三角形的内角，∴A=30°．故答案为：30°【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．15．已知等差数列{a n}的前n项和为S n=（a+1）n2+a，某三角形三边为a2，a3，a4，则该三角的面积为．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意求得数列的前两项，得到公差，结合等差数列的前n项和是常数项为0的n的一次或二次函数求得a，得到具体的首项和公差，求得a2，a3，a4的值，再由海伦公式求面积．【解答】解：令n=1，得到a1=S1=2a+1，令n=2，得到a1+a2=S2=5a1+4，∴a2=3a+3，故公差d=（3a+3）﹣（2a+1）=a+2，又由等差数列{a n}的前n项和为S n=（a+1）n2+a，得到a=0，∴等差数列的首项a1=1，公差d=2，∴a2=3，a3=5，a3=7，设P=，则三角的面积为S==．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，训练了利用三角形三边求三角形面积的方法，是中档题．16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为正常数，，则动点P的轨迹为椭圆；②双曲线与椭圆有相同的焦点；③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点A（5，0）及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为．其中真命题的序号为②③④．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】①根据椭圆的定义，当k＞|AB|时是椭圆；②正确，双曲线与椭圆有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为（±，0）；③方程2x2﹣5x+2=0的两根为或2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④由双曲线的第二定义可知：点的轨迹是双曲线．【解答】解：①根据椭圆的定义，当k＞|AB|时是椭圆，∴①不正确；②正确，双曲线与椭圆有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为（±，0）；③方程2x2﹣5x+2=0的两根为或2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，∴③正确④由双曲线的第二定义可知：点的轨迹是双曲线，且a=4，b=3，c=5．故答案为：②③④．【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，同时考查了椭圆、双曲线与抛物线的性质，考查的知识点较多，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．如图，跳伞塔CD高4，在塔顶测得地面上两点A，B的俯角分别是30°，40°，又测得∠ADB=30°，求AB两地的距离．【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；解三角形．【分析】先确定AD，BD的长，再利用余弦定理，即可求得AB的长．【解答】解：∵∠BCD=90°﹣45°=45°，∴在Rt△BCD中，BD=4×tan45°=4，又∵∠ACD=90°﹣30°=60°，∴在Rt△ACD中，AD=4×tan60°=4在△ABD中，AB==4．【点评】本题考查解三角形的实际应用，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．18．已知集合，又A∩B={x|x2+ax+b＜0}，求a+b等于多少？【考点】对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算；指数型复合函数的性质及应用．【专题】计算题．【分析】先根据指数函数、对数函数的性质，将A，B化简，得出A∩B，再根据一元二次不等式与一元二次方程的关系求出a，b．得出a+b．【解答】解：由题意，A∩B=（﹣1，2）方程x2+ax+b=0的两个根为﹣1和2，由韦达定理则a=﹣1，b=﹣2，∴a+b=﹣3【点评】本题考查了指数函数、对数函数的单调性，集合的基本运算，一元二次不等式与一元二次方程的关系．19．设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1≠0，2a n﹣a1=S1•S n，n∈N*（Ⅰ）求a1，a2，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和． 【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）令n=1和2，代入所给的式子求得a 1和a 2，当n ≥2时再令n=n ﹣1得到2a n ﹣1﹣1=S n﹣1，两个式子相减得a n =2a n ﹣1，判断出此数列为等比数列，进而求出通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出na n =n •2n ﹣1，再由错位相减法求出此数列的前n 项和．【解答】解：（Ⅰ）令n=1，得2a 1﹣a 1=，即，∵a 1≠0，∴a 1=1，令n=2，得2a 2﹣1=1•（1+a 2），解得a 2=2， 当n ≥2时，由2a n ﹣1=S n 得，2a n ﹣1﹣1=S n ﹣1， 两式相减得2a n ﹣2a n ﹣1=a n ，即a n =2a n ﹣1， ∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴a n =2n ﹣1，即数列{a n }的通项公式a n =2n ﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，na n =n •2n ﹣1，设数列{na n }的前n 项和为T n ， 则T n =1+2×2+3×22+…+n ×2n ﹣1，① 2T n =1×2+2×22+3×23+…+n ×2n ，② ①﹣②得，﹣T n =1+2+22+…+2n ﹣1﹣n •2n =2n ﹣1﹣n •2n ， ∴T n =1+（n ﹣1）2n ．【点评】本题考查了数列a n 与S n 之间的转化，以及由错位相减法求出数列的前n 项和的应用．20．已知命题p ：“存在”，命题q ：“曲线表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题s ：“曲线表示双曲线”（1）若“p 且q ”是真命题，求m 的取值范围； （2）若q 是s 的必要不充分条件，求t 的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假． 【专题】简易逻辑．【分析】（1）若“p 且q ”是真命题，则p ，q 同时为真命题，建立条件关系，即可求m 的取值范围；（2）根据q是s的必要不充分条件，建立条件关系，即可求t的取值范围．【解答】解：（1）若p为真：…解得m≤﹣1或m≥3…若q为真：则…解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…若“p且q”是真命题，则…解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…（2）若s为真，则（m﹣t）（m﹣t﹣1）＜0，即t＜m＜t+1…由q是s的必要不充分条件，则可得{m|t＜m＜t+1}⊊{m|﹣4＜m＜﹣2或m＞4}…即或t≥4…解得﹣4≤t≤﹣3或t≥4…【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用数轴是解决本题的关键，考查学生的推理能力．21．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）设出椭圆的方程，将已知点代入椭圆的方程及利用椭圆的离心率公式得到关于椭圆的三个参数的等式，解方程组求出a，b，c的值，代入椭圆方程即可．（Ⅱ）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，消去x得到关于y的二次方程，利用韦达定理得到关于两个交点的坐标的关系，将直线OP，PQ，OQ的斜率用坐标表示，据已知三个斜率成等比数列，列出方程，将韦达定理得到的等式代入，求出k的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），则e==，a2﹣b2=c2，+=1，解得a=2，b=1，可得椭圆方程为+y2=1；（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，则△=64k2b2﹣16（1+4k2b2）（b2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，且x1+x2=﹣，x1x2=．故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以•=k2，即k2+=k2，即+m2=0，又m≠0，所以k2=，即k=±．即有直线l的斜率为±．【点评】求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在．22．已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．第21页（共21页）（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）对任意x ∈（0，+∞），2f （x ）≤g ′（x ）+2恒成立，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；转化思想．【分析】（1）先求出其导函数，再让其导函数大于0对应区间为增区间，小于0对应区间为减区间即可．（注意是在定义域内找单调区间．）（2）已知条件可以转化为a ≥lnx ﹣x ﹣恒成立，对不等式右边构造函数，利用其导函数求出函数的最大值即可求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）f ′（x ）=lnx+1，令f ′（x ）＜0得：0＜x ＜，∴f （x ）的单调递减区间是（0，）令f'（x ）＞0得：，∴f （x ）的单调递增区间是 （2）g ′（x ）=3x 2+2ax ﹣1，由题意2xlnx ≤3x 2+2ax+1∵x ＞0，∴a ≥lnx ﹣x ﹣恒成立 ①设h （x ）=lnx ﹣﹣，则h ′（x ）=﹣=﹣令h ′（x ）=0得：x=1，x=﹣（舍去）当0＜x ＜1时，h ′（x ）＞0；当x ＞1时，h'（x ）＜0∴当x=1时，h （x ）有最大值﹣2若①恒成立，则a ≥﹣2，即a 的取值范围是[﹣2，+∞）．【点评】本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及利用导数研究函数的单调性．这类题目是高考的常考题．。