高一数学必修5数列通项公式求解方法
2.6.1数列通项公式的求法
类型七：an 1 qan f (n)型
4 1 2 n 1 (06 )数列an 的前n项和为S n 满足S n an 2 3 3 3 (n N )，求数列an 的通项公式 同除以4 n 1，转化 4 1 n1 2 分析：由S n an 2 a1 2 为什么类型呢？ 3 3 3
2
数列通项公式求法
常用数学思想：
1．化归思想；2. 换元思想； 3. 方程思想
3
类型一 ：已知数列的前几项，求通项公式 （观察法）
求下列数列的一个通项公式:
(1)1, 1, 1, 1, （2），， ， ， （3），，， ， 4， 3 5 9,17 33 0 3 8 15 2 2 10 17 26 37 (5) , 1, , , , ， 3 7 9 11 13 (7)5,55,555 ,5555 , 2 4 6 8 10 （4） , , , , , 3 15 35 63 99 1 1 1 (6)1, 0, , 0, , 0, － , 0, 3 5 7
①an1 an f (n)型
分析：由已知易得 an 1 an
2n
a2 a1 2, a3 a2 2 2, a4 a3 2 3,, an an1 2(n 1 ）
上面各式相加得an a1 2[1 2 3 (n 1)] n(n 1),
an 的前n项和为Sn满足Sn an 2n 1(n N )， 例：数列 求数列an 的通项公式
3 解析：由S n an 2n 1 a1 , 且S n1 an1 2n 3， 2 1 1 两式相减整理得an1 an 1 a n 1 2 (a n 2) 2 2
最新高一数列通项公式常见求法
数列通项公式的常见求法一、公式法高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。
1、等差数列公式例1、已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10，求数列{a n }的通项公式。
解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩ 解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =-2、等比数列公式例2、设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+，求{}n a 的通项公式。
解：设q 为等比数列{}n a 的公比，则由21322,4224a a a q q ==+=+得，即220q q --=，解得21q q ==-或（舍去），因此 2.q =所以{}n a 的通项为1*222().n n n a n N -=⋅=∈3、通用公式若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n nn n ΛΛΛΛΛ 求解。
一般先求出11S a =，若计算出的n a 中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。
例3、已知数列}{n a 的前n 项和12-=n S n ，求}{n a 的通项公式。
解：011==s a ，当2≥n 时12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n由于1a 不适合于此等式 。
∴⎩⎨⎧≥-==)2(12)1(0n n n a n二、当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：n a 和1+n a 的关系时，我们可以根据具体情况采用下列方法：1、累加法一般地，对于形如)(1n f a a n n +=+类型的通项公式，且)()2()1(n f f f +++Λ的和比较好求，我们可以采用此方法来求n a 。
数列求通项公式归纳总结
数列求通项公式归纳总结数列是数学中常见的概念，在各个领域都有着广泛的应用。
通过观察数列的规律并找出通项公式，可以使我们更好地理解数列的性质，进而解决更复杂的问题。
本文将对数列求通项公式的方法进行归纳总结。
一、等差数列求通项公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n - 1)d其中，n为正整数。
二、等比数列求通项公式等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a1，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式可以表示为：an = a1 * r^(n-1)其中，n为正整数。
三、斐波那契数列求通项公式斐波那契数列是指数列中第一项为1，第二项为1，之后每一项都等于前两项之和的数列。
设斐波那契数列的第n项为Fn，则斐波那契数列的通项公式可以表示为：Fn = ( (1 + sqrt(5))^n - (1 - sqrt(5))^n ) / (2^n * sqrt(5))其中，sqrt(5)表示5的开平方。
四、完全平方数列求通项公式完全平方数列是指数列中每一项都是一个完全平方数的数列。
设完全平方数列的第n项为an，则完全平方数列的通项公式可以表示为：an = n^2其中，n为正整数。
五、特殊数列求通项公式除了常见的等差数列、等比数列、斐波那契数列和完全平方数列，还有许多特殊的数列。
对于这些特殊的数列，求通项公式的方法也不尽相同，需要根据具体的规律进行归纳总结。
总结：数列求通项公式是数学中的一个重要内容，有着广泛的应用价值。
通过观察数列的规律并应用相应的方法，可以找到数列的通项公式，从而解决更加复杂的问题。
本文对等差数列、等比数列、斐波那契数列、完全平方数列以及特殊数列的求通项公式进行了归纳总结。
希望读者能够通过本文的介绍，掌握数列求通项公式的方法，并能够运用于实际问题的解决中。
求数列通项公式方法
求数列通项公式方法求数列的通项公式是数学中常见的一种问题。
通项公式是指可以用一个公式来表示数列中的每一项。
它允许我们通过简单的计算就能够得到数列中的任意一项的数值，而不必逐个计算每一项。
本文将介绍几种常见的方法来求解数列的通项公式。
一、直接法直接法是最简单、最直接的方法。
当数列的前几项具有明显的规律时，可以通过观察和猜测来得到数列的通项公式。
例如，对于简单的等差数列，可以通过观察差值的规律来得到通项公式。
而对于等比数列，则可以通过观察比值的规律来得到通项公式。
此外，还可以通过对数列前几项进行数学运算，如加减乘除、乘方、开方等，来得到数列的通项公式。
二、递推法递推法是一种通过已知项来推导下一项的方法。
递推法适用于数列的每一项都可以通过前面若干项来求得的情况。
我们可以观察数列的前几项，找到数列项与前面项之间的关系，然后利用这个关系来求得下一项。
通过递推法得到的关系式，可以通过数学归纳法进行证明，从而得到数列的通项公式。
三、代数法代数法是一种通过代数运算来求解数列的通项公式的方法。
该方法适用于数列的每一项都可以用一个代数式来表示的情况。
我们可以假设数列的通项公式为特定形式的代数式，然后通过已知项的数值计算来确定代数式中的参数。
一般情况下，参数的个数与已知项的个数相等。
通过求解这个参数的方程组，可以得到数列的通项公式。
代数法更加灵活，可以应用于各种类型的数列，如等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
四、差分法差分法是一种通过计算数列的差分来求解数列的通项公式的方法。
差分法适用于数列的每一项与前面若干项之间的差分性质具有明显规律的情况。
我们可以计算数列的差分，即相邻项之间的差值，然后继续计算差分的差分，直到得到一个恒定的差值。
这个恒定的差值就是数列通项公式中的一个系数。
通过这种方法，我们可以得到数列的通项公式中的参数，并且可以验证其正确性。
综上所述，求解数列的通项公式是一项重要的数学问题。
不同的数列可能需要不同的方法来求解其通项公式。
高中数列通项求解技巧
高中数列通项求解技巧在高中数学中，数列通项求解是一个非常重要的技巧。
通项公式可以帮助我们求解数列中的任意一项，进而计算出数列的各种性质和特征。
以下是一些高中数列通项求解的技巧和方法。
一、等差数列的通项求解等差数列是最常见的数列之一。
其特点是两项之间的差是常数，可以通过知道数列的首项和公差来求解通项。
1. 公式方法设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an，那么等差数列的通项公式为：an = a + (n−1)d这个公式非常简单，通过这个公式可以直接求解出等差数列的任意一项。
2. 递推方法利用等差数列的递推关系可以求解通项。
代表方法是利用前项和后项之间的关系，即两项之和等于它们的平均值。
例如，设第n项为an，那么有：an = (an−1 + an+1)/2通过这个递推公式，可以通过已知的数列部分项来求解出新的数列项。
二、等比数列的通项求解等比数列也是非常常见的数列。
其特点是两项之间的比是常数，可以通过知道数列的首项和公比来求解通项。
1. 公式方法设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，那么等比数列的通项公式为：an = ar^(n−1)通过这个公式可以直接求解出等比数列的任意一项。
2. 递推方法利用等比数列的递推关系可以求解通项。
与等差数列类似，等比数列的递推关系是利用前项和后项之间的关系。
设第n项为an，那么有：an = (an−1) * r通过这个递推公式，可以通过已知的数列部分项来求解出新的数列项。
三、特殊数列的通项求解除了等差数列和等比数列，还有一些特殊的数列，其通项求解方法可能需要一些特殊技巧。
1. 斐波那契数列斐波那契数列是一个非常有趣的数列，其定义是每一项等于前两项之和。
即：a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 + an−2 (n≥3)可以通过递归的方式求解斐波那契数列的通项，但是递归方法效率较低。
更好的方法是使用通项公式：an = (1/√5) * ((1+√5)/2)^n −(1/√5) * ((1−√5)/2)^n2. 平方数列平方数列是一个特殊的数列，每一项都是一个完全平方数。
求数列通项公式的各种方法
求数列通项公式的各种方法
1、数列通项公式的求法
正确求解数列通项公式需要正确使用正确的数学方法，一般有以下几
种方法：
(1)数值计算法
数值计算法是运用一定的运算规则进行计算，可以求出数列通项公式。
运用的计算规则可以是把数列值转化到一个函数中求解，也可以是求出数
列中一组值的和，从而求出数列的一般项的系数。
(2)函数拟合法
函数拟合法是一种采用曲线拟合的方法来求解数列通项公式，它通过
将数列中的数据拟合到其中一种函数形式上来求出数列的通项公式。
一般
来说，采用函数拟合法求解数列的通项公式，需要先建立一种准确的函数
模型，然后通过拟合得到数列的通项公式。
(3)递推法
递推法是一种利用给出的数列中的两项或几项来求出数列中剩余的项，从而求出数列的通项公式的方法。
这种方法的原理是：当给出数列中的两
项或几项时，如果能够找到他们之间的关系或规律，就可以利用这种规律
来求出其他的项，最终求出数列的通项公式。
(4)特殊数列通项公式
特殊数列通项公式是一种将给出数列中的几项拆分开来，再套用一些
特殊的数列通项公式，从而求出数列的通项公式的方法。
常见的特殊数列
通项公式有等差数列的通项公式、等比数列的通项公式和其他一些特殊数列的通项公式。
数列通项公式的求法(最全)
非等差等比数列通 项公式的求法
构造法
构造法是一种常用 的数列通项公式求 法
构造法通过观察数 列的规律找出通项 公式
构造法需要一定的 数学基础和逻辑思 维能力
构造法可以应用于 非等差等比数列的 通项公式求法
数学归纳法
添加标题
定义：一种证明数学命题的方法通过证明一个命题对某个初始值成立并且假设对某个值 成立时可以推出对下一个值也成立从而证明命题对所有值都成立。
. 计算数列相邻项之间的差值得到差数列。 b. 观察差数列的规律寻找通项公式。 c. 验证通项公式的正确性。
适用范围：逐差法适用于等比数列、等差数列等有规律的数列。
单击此处输入你的项正文文字是您思想的提炼言简意赅的阐述观点。
注意事项：在使用逐差法时需要注意差数列的规律避免遗漏或错误。
单击此处输入你的项正文文字是您思想的提炼言简意赅的阐述观点。
步骤： . 确定数列的通项公式的一般形式 b. 确定数列的起始项和公差或 公比 c. 代入通项公式建立方程组 d. 求解方程组得到待定系数的值
. 确定数列的通项公式的一般形式 b. 确定数列的起始项和公差或公比 c. 代入通项公式建立方程组 d. 求解方程组得到待定系数的值
应用：适用于求解非等差等比数列的通项公式 单击此处输入你的项正文文字是您思想的提炼,言简的阐述观点。
公式中的1表示首项d表示公差
公式法的适用范围：已知首项 和公差的等差数列
累加法
累加法原理：通过累加数列的前n项和得到通项公式 累加法公式：n=Sn-S(n-1)其中Sn为前n项和 累加法应用：适用于已知数列的前n项和求通项公式 累加法示例：例如已知数列{1,3,5,7,9}的前n项和为Sn=n^2则通项公式为n=2n-1
高中数学必修5用构造法求数列的通项公式
用结构法求数列的通项公式在高中数学教材中，有好多已知等差数列的首项、公比或公差 (或许经过计算能够求出数列的首项 ,公比 ),来求数列的通项公式。
但实质上有些数列其实不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式 ,要求出数列的通项公式。
而这些题目常常能够用结构法，依据递推公式结构出一个新数列，进而间接地求出原数列的通项公式。
关于不一样的递推公式，我们自然能够采纳不一样的方法结构不一样的种类的新数列。
下边给出几种我们常有的结构新数列的方法：一．利用倒数关系结构数列。
比如：数列 { a n } 中，若 a12,114(n N ), 求a n an 1an设b n 1 , 则b n 1b n+4,a n即 b n 1b n＝４，{b n｝是等差数列。
能够经过等差数列的通项公式求出b n,然再求后数列{ a n}的通项。
练习： 1)数列 { a n } 中， a n≠0，且知足a111N ), 求a n , a n11, (n23a nn}中， a11, a n 2a n n通项公式。
2)数列 { a1a n, 求a 2n}中 , a11, a n0,且a n2a n a n 1a n1 0(nn3)数列 { a2, n N ), 求 a .二．结构形如 b n a n2的数列。
例：正数数列 { a n } 中，若 a15, a n 12a n24(n N ), 求a n解：设 b n a n 2 , 则b n1bn4,即b n1b n4数列 { b n } 是等差数列，公差是4， b1225 a1b n25(n 1)( 4)294n即 a n 24n29a n294n , (1n7, n N )练习：已知正数数列 { a n } 中， a1 2, a n 2 a n 1 (n2, n N ) ,求数列 { a n } 的通项公式。
三．结构形如 b n lg a n的数列。
例：正数数列 { a} 中，若 a =10,且lg a n lg a n 1 , (n2, n N ), 求a .n11n2解：由题意得：lg a n1，可设 b n lg a n，lg a n 12即b n1,bn 12b n是等比数列，公比为1， b1 lg 10 12b n 1 (1) n 1(1)n 1 ,(n N) .22(1) n 1 , a n( 1 )n 1即 lg a n10 22练习：（选自 2002 年高考上海卷）数列 { a n } 中，若 a1=3, a n 1a n2 ,n 是正整数，求数列 { a n } 的通项公式。
核心素养高中数列通项公式解题技巧
核心素养高中数列通项公式解题技巧数列通项公式是指数列中第n项与n的关系式，用来求解数列中任意一项的特定数值。
在高中数学中，学习数列通项公式解题的技巧可以帮助我们更好地理解和应用数列。
以下是一些核心素养高中数列通项公式解题技巧：1.观察找规律：对于已知的数列，观察数列中各项之间的关系，尽可能找出规律。
例如，如果数列中相邻两项之差是一个固定的数，那么这个数列可能是等差数列，可以用形如an = an-1 + d的通项公式表示。
2.列方程求解：对于一些复杂的数列问题，可以列出一些方程进行求解。
例如，对于一些递推关系式，可以列出n项与n-1项的关系式，并解方程求解。
3.多项式求解：对于一些复杂的数列，可以写出数列的前几项，然后根据这些已知条件建立多项式方程，利用方程求解出后续项。
例如，斐波那契数列就是一个可以通过多项式求解的数列。
4.将数列转化为数学函数：有时候，数列可以转化为某个数学函数来表示，通过函数的性质求解。
例如，等差数列的通项公式就可以转化为线性函数，通过函数的性质求解。
5.利用数列性质：数列通项公式解题还可以利用数列的一些性质，如等差数列和等比数列的性质，来求解特定的数值。
例如，利用等差数列的和公式和等比数列的通项公式，可以求解数列的和或某一项的值。
拓展：除了基本的数列通项公式解题技巧以外，高中数学还有一些拓展的应用，如倒序区间数列、二次递推数列等。
对于这些特殊类型的数列，可以根据其特点进行分析和求解。
同时，还可以通过数学建模等综合应用解决实际问题中的数列问题。
所以，在学习数列通项公式解题技巧的基础上，拓展应用能够更好地理解和应用数列知识。
数列求通项公式方法总结
数列求通项公式方法总结数列是数学中的一种常见概念，它在很多应用领域中发挥着重要作用。
数列的通项公式是指能够通过一个公式来表示数列的每一项的方法。
在数学中，求解数列的通项公式是一种重要的技巧和思维训练。
本文将总结一些常见的数列求通项公式的方法。
方法一：递推法递推法是数列求解的一种常见方法。
它基于数列中每一项与前一项之间的关系，通过逐项递推来找到通项公式。
例如，考虑一个等差数列 2，5，8，11，14......，我们可以observe 最终一项与前一项之间的关系，即 +3。
因此，我们可以推断出该数列的通项公式为 2+3(n-1)，其中 n 为项数。
通过递推法，我们可以求解出许多常见的数列。
方法二：代数法代数法是一种通过代数方程来表示数列通项的方法。
对于一些特殊的数列，我们可以通过数学运算和等式推导来找到通项公式。
例如，考虑一个等比数列 2，4，8，16，32......，我们可以发现每一项与前一项之间的关系都是乘以2。
因此，我们可以写出等式an = a(n-1) * 2，其中 a(n-1) 表示前一项。
通过解这个等式，我们可以得到通项公式 an = 2^(n-1)。
方法三：配方法配方法是一种通过把数列分解成两个已知数列的和或差的方法，从而找到通项公式的方法。
这种方法常用于一些复杂的数列。
例如，考虑一个斐波那契数列 1，1，2，3，5，8......，我们可以发现每一项都是前两项之和。
通过设定两个已知数列 a(n) 和b(n)，满足 a(1) = a(2) = 1，b(1) = 2，b(2) = 3，并通过递推求解出 a(n) = a(n-1) + a(n-2) 和 b(n) = b(n-1) + b(n-2)。
因此，我们可以得到数列通项公式 F(n) = a(n) + b(n)。
方法四：生成函数法生成函数法是一种利用生成函数来表示数列的方法。
生成函数是一个形式化的工具，用于处理数列和序列的问题。
例如，考虑一个斐波那契数列 1，1，2，3，5，8......，我们可以将该数列转变为一个生成函数来表示。
数列通项公式常用求法及构造法
数列通项公式常用求法及构造法数列通项公式是指将数列中的每一项用一个公式来表示的方法，可以根据数列的规律和性质来确定。
通项公式的确定可以有常用求法和构造法两种方法。
常用求法包括找规律、列方程和用递推式三种方法。
1.找规律法：通过观察数列中的数字之间的规律性质，总结出一般规律，并将其转化为代数表达式。
这种方法适用于数列有简单规律的情况。
例一：已知数列的前四项依次为1、3、6、10，求数列的通项公式。
观察可得：数列的第n项是由前一项加上n-1得到的，即第n项为n-1加上前一项。
因此，可以得出通项公式：a_n=a_(n-1)+(n-1)。
2.列方程法：根据已知的前n项的数值，列出方程，然后解方程得到通项公式。
例二：数列的前四项依次为1、4、9、16，求数列的通项公式。
将数列的第n项用a_n表示，则有：a_1=1a_2=4a_3=9a_4=16根据观察可得：数列的通项公式应该是平方函数，即a_n=n^2、通过验证可以发现，对于任意正整数n，都满足该公式。
3.用递推式法：通过已知的前n项与通项之间的关系，构造递推关系式，然后解递推关系式得到通项公式。
例三：数列的前四项依次为1、2、4、8，求数列的通项公式。
将数列的第n项用a_n表示，则有：a_1=1a_2=2a_3=4a_4=8观察可得：数列的通项公式应该是指数函数，即a_n=2^(n-1)。
通过验证可以发现，对于任意正整数n，都满足该公式。
构造法是另一种确定数列通项公式的方法，其思路是通过构造一个满足数列性质的函数，并验证其是否满足数列的每一项。
例四：数列的前四项依次为1、3、6、10，求数列的通项公式。
观察可得：数列的前差为1、2、3，即数列的二次差为1、1、根据已知数列的前四项可构造一个二次函数：a_n = an^2 + bn + c。
代入a_1=1、a_2=3、a_3=6，得到以下方程组：a_1=a+b+c=1a_2=4a+2b+c=3a_3=9a+3b+c=6解方程组可得到a=1，b=0，c=0。
数列通项公式的求法(较全)-精选.
常见数列通项公式的求法公式：1、定义法若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 中即可.例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式.练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何*n N ∈都有1234127,0,,,,6954n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.2、累加法形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时，()11n n a a f n --=-，()122n n a a f n ---=-，L()322a a f -=，()211a a f -=，以上()1n -个等式累加得()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+++L1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+++L（3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和；③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 满足11322,.n n n a a n a a +=++=且求练习2：已知数列{}n a 中，111,32n n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.练习3：已知数列{}n a 满足11211,,2n n a a a n n+==++求求{}n a 的通项公式.3、累乘法形如()1n n a f n a +=()1a 已知型的的递推公式均可用累乘法求通项公式.给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 依次取1,2,3，……，1n -,可得到下面1n -个式子：()()()()23412311,2,3,,1.n n a a a af f f f n a a a a -====-L 利用公式()23411231,0,n n n n a a a aa a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈L 可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-L例3、已知数列{}n a 满足11,2,31n n n na a a a n +==+求.练习1：数列{}n a 中已知1121,n n a n a a n++==, 求{}n a 的通项公式.练习2:设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0n n n n n a na a a +++-+=，求{}n a 的通项公式. 4、 奇偶分析法(1)对于形如()1n n a a f n ++=型的递推公式求通项公式①当()1n n a a d d ++=为常数时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.②当()f n 为n 的函数时，由()1n n a a f n ++=，()11n n a a f n -+=-两式相减，得到()()+111n n a a f n f n --=--，分奇偶项来求通项.例4、数列{}n a 满足111,4n n a a a +=+=，求{}n a 的通项公式. 练习：数列{}n a 满足116,6n n a a a +=+=-，求{}n a 的通项公式.例5、数列{}n a 满足110,2n n a a a n +=+=，求{}n a 的通项公式.练习1: 数列{}n a 满足111,1n n a a a n +=-+=-，求{}n a 的通项公式.练习2：数列{}n a 满足112,31n n a a a n +=+=-，求{}n a 的通项公式. (2)对于形如()1n n a a f n +⋅=型的递推公式求通项公式①当()1n n a a d d +⋅=为常数时，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.②当()f n 为n 的函数时，由()1n n a a f n +⋅=，()11n n a a f n -⋅=-两式相除，得到()()+111n n f n a a f n -=-，分奇偶项来求通项. 例6、已知数列{}n a 满足112,4n n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式.练习：已知数列{}n a 满足112,23n n a a a +=⋅=-，求{}n a 的通项公式. 例7、已知数列{}n a 满足1113,2nn n a a a +⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，求{}n a 的通项公式.练习1: 数列{}n a 满足112,3n n n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式.练习2：数列{}n a 满足111,2n n n a a a +=⋅=，求{}n a 的通项公式. 5、待定系数法（构造法）若给出条件直接求n a 较难,可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列,从而根据等差或者等比数列的定义求出通项.常见的有: (1)()1,n n a pa q p q +=+为常数(){}1,n n n a t p a t a t +⇒+=++构造为等比数列. (2)()11111,n pn n nn n n n a a a pa tp t p t p p+++++=+−−−−−−→=+两边同时除以为常数 (3)()()11111,,,1n pn n nn n n na a p a pa tq t p q t q q q +++++=+−−−−−−→=+两边同时除以为常数再参考类型(4)()1,,n n a pa qn r p q r +=++是常数⇒ ()()11n n a n p a n λμλμ++++=++ (5)21+n n n a pa qa ++=(){}2111t ,t n n n n n n a ta p a a a a ++++⇒-=--构造等比数列 例8、已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .练习：已数列{}n a 中，11a =且111,____.2n n n a a a +=+=则例9、已知数列{}n a 中，1113,33n n n a a a ++==+, 求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 中，113,22n n n a a a -=-=+，则=n a ．练习2：已知数列{}n a 中，112,3433n n n a a a +==+⋅, 求{}n a 的通项公式.例10、已知数列{}n a 满足11162,1,n n n a a a ++=+=求.n a练习1：设数列{n a }满足n n n a a a 23,111+==+，则=n a ． 练习2：已知数列{}n a 中，111511,632n n n a a a ++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，求n a .练习3：已知数列{}n a ()n N *∈的满足：111113,432,,7n n n a k a a n k k R --⎛⎫=-=-≥≠∈ ⎪⎝⎭（1）判断数列47n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是否成等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式.例11、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +==+, 求{}n a 的通项公式.练习1：数列{}n a 中已知112,32n n a a a n +==-+, 求{}n a 的通项公式.练习2：数列{}n a 中已知2112,322n n a a a n n +==+-+, 求{}n a 的通项公式.例12、已知数列{}n a 中，()12125,2,2+33n n n a a a a a n --===≥，求求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 中，12+2+1211,2,+33n n n a a a a a ===，求求{}n a 的通项公式.练习2：在数列{}n a 中，11a =，235a =，2n a +=135n a ++23n a ，令1n n n b a a +=- 。
高一数列求通项公式方法总结
高一数列求通项公式方法总结
求通项公式是数学中一个重要的内容，是分析等差数列的有效方法，也
是中学数学课堂中经常使用的解题技巧。
下面给出求通项公式的方法总结。
1. 首先，分析数列的公差d和首项a，即
d=a2-a1 a=a1
2. 接着，如果想求n项的值，得到公式 an=a1+(n-1)d
3. 最后，有了三个变量a,d,n，可以求出通项公式，an=a+(n-1)d
以上就是求通项公式的方法总结，从最简单的根据首项和公差求解，再
到运用通项公式的方法，可以说求通项公式是等差数列分析的基础，是必须
掌握的知识点。
在使用通项公式解题时，我们要注意两点：
1. 首先，一定要正确判断是等差数列，否则通项公式是求不出来的；
2. 其次，通项公式可以用来求解等差数列的通项，也可以用来计算一组的和，比如求前n项和。
总之，求解通项公式是一种重要的数学方法。
从最简单的初等数学入门，到深入学习中学数学，都会用到通项公式，需要我们不断练习，才能熟练掌
握这些技巧。
数列求通项公式方法总结
数列求通项公式方法总结数列是数学中的重要概念，它在数学领域的各个分支都有广泛的应用。
对于一个数列而言，求解其通项公式是一个非常重要的问题。
通项公式能够帮助我们快速计算数列中任意一项的值，有效地简化计算过程。
本文将总结几种常见的数列求通项公式的方法。
一、等差数列的通项公式等差数列是最常见的数列之一，其特点是数列中每一项与前一项之间的差值都是相等的。
求解等差数列的通项公式可以利用等差数列的性质——任意一项与首项的差值等于项数与公差的乘积。
具体方法如下：1. 已知首项与公差，求通项公式：对于等差数列{an}，首项为a1，公差为d。
我们可以根据等差数列的性质推导出通项公式如下：an = a1 + (n - 1) * d。
2. 已知前两项，求通项公式：对于等差数列{an}，已知a1和a2。
我们可以利用a1和a2的值推导出通项公式如下：an = a1 + (n - 1) * (a2 - a1)。
二、等比数列的通项公式等比数列是指数列中每一项与前一项之间的比值都是相等的数列。
求解等比数列的通项公式可以利用等比数列的性质——任意一项与首项的比值等于项数与公比的幂次方。
具体方法如下：1. 已知首项与公比，求通项公式：对于等比数列{an}，首项为a1，公比为r。
我们可以根据等比数列的性质推导出通项公式如下：an = a1 * r^(n - 1)。
2. 已知前两项，求通项公式：对于等比数列{an}，已知a1和a2。
我们可以利用a1和a2的值推导出通项公式如下：an = a1 * (a2 / a1)^(n - 1)。
三、其他常见数列的通项公式除了等差数列和等比数列，还有一些其他常见的数列，它们的通项公式可以利用数列的性质进行推导。
1. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和。
其通项公式可以通过迭代的方法得到：当n大于等于3时，an = a(n-1) + a(n-2)，其中，a1 = 1，a2 = 1。
数列通项公式的五种求法
an+1 2n+1
-
an 2n
=
3 2
，说
明
数
列{
an 2n
}是等差数列，再直接利用等差数列
的通项公式求出 an 2n
=1+（n-1）
3 2
，进而求出数列{an}的通项公式。
五、构造等差或等比或 an+1=pan+q 或 an+1=pan+f（n） 例 6：已 知 数 列{an}满 足 a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）求 数 列{an} 的通项公式。
大家能有帮助。
≥ 一 、利 用 通 项 公 式 定 义
an=
S1（n=1） Sn-sn-1（n≥2）
例 1：若 Sn 和 Tn 分 别 表 示 数 列{an}和{bn}的 前 n 项 和 ，对 任
意正整数 an=-2（n+1），Tn-3Sn=4n。 求数列{bn}的通项公式；
解：∵an=-2（n+1） ∴a1=-4 d=-2 Sn＝－n2－3n
133 XUEZHOUKAN
＝2 3（1－3n－1） ＋（n-1）＋3 1－3
＝3n－3＋n＋1＋3
＝3n＋n－1
所以
an＝
an an－1
·an－1 an－2
·…
…·a3 a2
·a2＝［n（n－1）…
…4×3］a2=
n！ 2
a2
③
由 an=a1+2a2+3a3+……+（n－1）an－1（n≥2）， 取 n=2 得 a2=a1+
解 ：∵an+1=2an+1（n∈N*）， ∴an+1+1=2（an+1）， ∴{an+1}是以 a1+1=2 为首项，2 为公比的等比数列。 ∴an+1=2n 即 an=22-1（n∈N*）。 在上述的文章中，我用讲解例题的方式为读者介绍了五
高中数学必修五数列通项公式常见求法
求数列通项公式的方法1. 叠加法)(1n f a a n n +=+，且)()2()1(n f f f +++ 比较好求.【例题】数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈．若则32b =-，1012b =，则8a = .★练习 已知数列{}n a 满足11211,2n n a a a n n+==++，求数列{}n a 的通项公式. 2. 叠乘法 n n a n f a )(1=+，且)()2()1(n f f f ⋅⋅⋅ 比较好求.【例题】在数列｛n a ｝中，1a =1, （n +1)·1+n a =n ·n a ，则{}n a 的通项公式为 。
★练习 在数列｛n a ｝中,1a =1, 1+n a =2n ·n a ，则{}n a 的通项公式为 。
3. 待定系数法（1）a n =qa n -1 +p (q 、p 为常数，q ≠1且p ≠0)，可化为a n +λ=q (a n -1 +λ）。
构造出一个以q 为公比的等比数列{a n +λ}，然后化简用待定系数法求λ,从而求出n a .(2)对于1()(n n a qa f n q +=+其中为常数)这种形式，一般我们讨论两种情况:①当f (n )为多项式时，可化为()()11+n n a g n q a g n +++=⎡⎤⎣⎦的形式来求通项,其中g （n )是f (n ）的齐次式.【例题】设数列{}n a 中，111,321n n a a a n +==++，求{}n a 的通项公式。
★练习 设数列{}n a 中,2111,2n n a a a n n +==++，求{}n a 的通项公式。
②当f (n )为指数幂即递推公式为1(n n n a qa r p q r p +=+⋅、、为常数),可两边同时除以1n p +化为11n n n n a a q r p p p p++=⋅+的形式，可以求出数列n n a p ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，从而求出n a . 【例题】设数列{}n a 中，111,42n n n a a a +==+，求{}n a 的通项公式。
数列通项公式的六种求法
例 1. 等差数列 an 是递减数列，且 a2 a3 a4 =48， a2 a3 a4 =12，则数列的通项
公式是（ ）
(A) an 2n 12 (B) an 2n 4 (C) an 2n 12 (D) an 2n 10
解析：设等差数列的公差位
d，由已知
(a3 3a3
d) a3 12
数列通项公式的六种求法
数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较 难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数 列通项公式的六种常用方法。
一、 直接法
如果已知数列为等差（或等比）数列，可直接根据等差（或等比）数列的通项公式，求
得 a1 ，d（或 q），从而直接写出通项公式。
解析：由题意， bn1 an2 an3 ，又 an 是等比数列，公比为 q
∴ bn1
bn
an2 an3 an1 an2
q ，故数列
bn
是等比数列， b1 a2 a3 a1q a1q 2 q(q 1) ，
∴ bn q(q 1) q n1 q n (q 1)
二、 归纳法
∴
a2
cos
6
， a3
cos
22 3 ，…， an
cos
2 n1
3
总之，求数列的通项公式，就是将已知数列转化成等差（或等比）数列，从而利用等差 （或等比）数列的通项公式求其通项。
-5-
解析：由 an1 an n 得 an1 an n ，所以
an an1 n 1， an1 an2 n 2 ，…， a2 a1 1 ，
将以上各式相加得： an a1 (n 1) (n 2) 1，又 a1 3
数列通项公式方法大全很经典【范本模板】
1，数列通项公式的十种求法：(1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯,12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232nn n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+,则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2nn a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nn n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式.（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解:由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式.变式：已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，,求数列{}n a 的通项公式。
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JIUZHOU EDUCATION Tel ；5098155高一数学必修5数列通项公式求解方法类型一、型或)()(11n g a a n f a a nn n n ==-+-对策：利用迭加或迭乘方法，即：112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- 或112211a a a a a a a a n n n nn ⋅⋅⋅⋅=---例1、（2006年山东高）已知数列｛n a ｝中，211=a ，n n a a n -+12，点（）在直线y=x 上，其中n=1,2,3….(Ⅰ)令{}是等比数列；求证数列n n n n b a a b ,11--=+(Ⅱ)求数列{}的通项；n a解析：（I ）∵n n a a n -+12，点（）在直线y=x 上∴n a a n n =-+12 ①∴121-=--n a a n n ② ①－②得： 13211=+--+n n n a a a ∴)1(21111--=---+n n n n a a a a 又11--=+n n n a a b∴121-=n n b b而1212+=a a 得432=a ∴数列{nb }是以首项为431121-=--=a a b ，公比为21的等比数列（II ）由（I ）得12143-⎪⎭⎫⎝⎛-=n n b ，∴1121431-+⎪⎭⎫⎝⎛-=--n n n a a 即1121431-+⎪⎭⎫⎝⎛-=-n n n a a由：112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- 21214312143121431032+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-=-- n n =223-+n n类型二、型)(n n a f S = 对策：巧用⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n a a n n n例2、（2007年福建高考）数列{a n }的前N 项和为S n ，a 1=1，a n +1=2S n (n ∈N*).求数列{a n }的通项a n 。
解析：（I ）∵a n +1=2S n ,, ∴S n+1-S n =2S n , ∴nn S S 1+=3. 又∵S 1＝a 1=1,∴数列｛S n ｝是首项为1、公比为3的等比数列，S n =3n-1(n ∈N*). ∴当n ≥2时，a n -2S n -1=2·3n -2(n ≥2),∴a n =.2,3·2112≥⎪⎩⎪⎨⎧=-n n n ，类型三、型)0(1≠+=-pq q pa a n n 对策：等价转化为：)1(11-+=-+-p q a p p q a n n 从而化为等比数列{1-+p q a n }，并且该数列以11-+p q a 为首项，公比为p例3、（2006年福建高考理）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式.JIUZHOU EDUCATION Tel ；5098155解：*121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+ {}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列12.n n a ∴+= 即 2*21().n a n N =-∈变式1：型)0(1≠+=-pqr rq pa a n n n对策：（1）若p=q ，则化为r qa qa n n nn +=--11，从而化为以qa 1为首项，公差等于r 的等差数列{nn qa }（2）若p ≠q ，则化为r qa qp qa n n nn +⋅=--11，进而转化为类型三求通项例4、已知数列{n a }满足.2)2(241*1=∈≥+=-a N n n a a n n n ，且，求及n a . 解析： ∵ n n n a a 241+=- ∴122211+⋅=--n n nn a a 令n2n n a b =，则)1(211+=+-n n b b∴{n b +1}是以首项为21211=+=a b ，公比为2的等比数列∴n n b 21=+ ∴n n a 212n=+得数列{n a }的通项公式为nnn a 222-=变式2：型)0(1≠++=-pq r qn pa a n n对策：等价转化为：)(1y xn a p y xn a n n ++=++-，再化为y p xn p pa y xn a n n )1()1(1-+-+=++-，对照系数，解出x ，y ，进而转化为类型三例5、题见例1（2006山东高考文科）解析：∵n n a a n -+12，点（）在直线y=x 上 ∴n a a n n =-+12 ① 令)(21)1(1y nx a y n x a n n ++=++++，可化为：0221=+++-+y x xn a a n n 与①比较系数得21=-=y x ， ∴ ①可化为：)2(212)1(1+-=++-+n a n a n n∴nn na n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-=+--213)21()21(211∴223-+=n a n n变式3、rqa pa a n n n +=+1型 对策：取倒数后得pq a pr a nn +⋅=+111，化为类型三例6、已知数列{n a }满足a 1=1，6331+=+n n n a a a ，求n aJIUZHOU EDUCATION Tel ；5098155解析：由6331+=+n n n a a a ，得11211+⋅=+nn a a 即：)11(2111+=++nn a a ，以下请读者解决。
变式4：型)0(1>=-p pa a r n n若p=1，则等式两边取常用对数或自然对数，化为：1lg lg -=n n a r a ，得到首项为1lg a ，公比为r 的等比数列{n a lg }，所以n a lg =11lg a r n -，得11-=n r n a a若p ≠1，则等式两边取以p 为底的对数得：1lg lg 1+=-n p n p a r a ，转为类型三求通项。
例7、（06年石家庄模拟）若数列{n a }中，31=a 且)(21为正整数n a a n n =+，则数列的通项公式为解析：∵21n n a a =+及31=a 知3≥n a ，两边取对常用对数得：n n a a lg 2lg 1=+∴{n a lg }是以首项为3lg lg 1=a ，公比为2的等比数列。
∴3lg 2lg 1-=n n a ∴123-=n n a变式5、型)0(11≠=+++pq a qa pa a n n n n 对策： 两端除以n n a a 1+得：qa pa n n=++111（1）若1-=p ，则构成以首项为11a ，公差为q -的等差数列{na 1}；例8、（07保定摸底）已知数列{n a }满足2,11≥=n a 时，n n n n a a a a 112--=-，求通项公式n a 。
解：∵n n n n a a a a 112--=-∴2111=--n na a ，∴数列{na 1}是以首项111=a ，公差为2的等差数列∴12)1(211-=-+=n n a n∴121-=n a n（2）若1-≠p ，转化为类型三求解。
变式6：型)0(11≠+=-+pq qa pa a n n n对策：等价转化为)(11-++=+n n n n xa a y xa a ，利用与11-++=n n n qa pa a 恒等求出x,y 得到一等比数列}{1n n xa a ++，得nn xa a ++1=f(n)，进而化为变式2类型例9、题见例1（2006山东高考文科）解析：∵n n a a n -+12，点（）在直线y=x 上∴n a a n n =-+12 ①∴121-=--n a a n n ② ①－②得： 13211=+--+n n n a a a ∴)1(21111--=---+n n n n a a a a ∴数列{11---n n a a }是以首项为43112-=--a a ，公比为21的等比数列 以下同例1（II ）求通项n aJIUZHOU EDUCATION Tel ；5098155类型四、奇偶项型对策一：求出奇数项（或偶数项）的递推关系，再对应以上方法求解。
例10（2005年高考北）设数列{n a }的首项411≠=a a ，且⎪⎩⎪⎨⎧+=+为奇数为偶数n a n a a n n n ,41,211，求n a解：若n 为偶数，则8121)41(2121111+=+==--+n n n n a a a a 即81211212+=-+n n a a∴)41(21)41(21)41(214113221212-⎪⎭⎫⎝⎛==-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=---+a a a a nn n n ∴)41(2141112-⎪⎭⎫⎝⎛=-+a a nn ∴41)41(2112+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+a a nn 若n 为奇数，则41214111+=+=-+n n n a a a 即4121222+=-n n a a ，∴)21(21)21(21)21(212121422222-⎪⎭⎫⎝⎛==-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=----a a a a n n n n∴21)2141(2112+-+⎪⎭⎫⎝⎛=-a a n n⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=--为奇数为偶数n a n a a n n n ,41)41(21,21)41(212112对策二：型)0(1≠=⋅+pq pq a a n n n ，这种类型一般可转化为{12-n a }与{n a 2}是等差或等比数列。
例11、在数列{n a }中，n n n n a ，a a a 求，2111==+ 解：由nn n a a 21=+，得1212+++=n n n a a 两式相除得：22=+nn a a ，∴{12-n a }与{n a 2}均为公比为2的等比数列，易求得：⎪⎩⎪⎨⎧=-为偶数为奇数，n n a nn n 2212,2类型五、周期型例12、（2005年高考湖南卷）已知数列{n a }满足=∈+-==+20*111)(1330a ，N n a a a a n n 则，（ ）A ．0B ．3-C ．3D ．23略解：由1330111+-==+n n a a a a ，，得03313343112==-=+-=a a a a a ，，，因此数列是以3为周期的数列，所以3220-==a a ，选BJIUZHOU EDUCATION Tel ；5098155数列通项公式的求法一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目． 例1等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d ， ∴d a =1………………………………① ∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d ∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=】点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。