函数定义域的类型和求法
求函数的定义域和值域的方法
③
∵ ∴
即函数的值域是{ y| yR且y1}（此法亦称分离常数法）
④当x>0，∴ = ，
当x<0时， =－
∴值域是 [2，+ ).（此法也称为配方法）
函数 的图像为：
2．二次函数比区间上的值域(最值)：
例2求下列函数的最大值、最小值与值域：
① ；
② ；③ ；④ ；
解：∵ ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
解：如图，设AB=2x，则AD= =
∴y=2x + x2=— x2+Lx
由2x＞0
＞0 得0＜x＜
∴所求的函数为y=— x2+Lx（0＜x＜ ）
22X
A 2222222 B
2x 2X
D
2X
求 函数值域的几种常见方法
1．直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；
（2）已知函数f（x）的定义域为〔1，4〕，求函数y=f（x+m）—f（x—m）（m＞0）的定义域。
解：（1）要使函数有意义，须满足：ax—3≥0
∴（ⅰ）当a＞0时原函数的定义域为｛x︱x≥ ｝
（ⅱ）当a＜0时原函数的定义域为｛x︱x≤ ｝
（ⅲ）当a=0时ax—3≥0的解集为空集，即原函数的定义域为空集
（2）是已知f〔g（x）〕的定义域，求f（x）的定义域。其解法是：已知f〔g（x）〕的定义域为〔a，b〕，求f（x）的定义域的方法为：由a≤x≤b，求g（x）的值域，即得f（x）的定义域。
（3）是（1）的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。
（4）与（2）相似。
解：（1）令-2≤X2—1≤2得-1≤X2≤3，即0≤X2≤3，从而- ≤x≤
函数定义域值域求法(全十一种)
创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧≠-+≥--②①8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。
③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。
故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。
例2 求函数2x161x sin y -+=的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧>-≥②①0x 160x sin 2由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③由②解得4x 4<<-④由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。
（2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。
例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。
解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。
（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
函数的定义域和求法讲解
函数一、函数的定义域及求法1、分式的分母≠0；偶次方根的被开方数≥0；2、对数函数的真数＞0；对数函数的底数＞0且≠1；3、正切函数：x ≠kπ+ π/2 ,k∈Z；余切函数：x ≠kπ,k∈Z ；4、一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R；5、定义域的相关求法：利用函数的图象（或数轴）法；利用其反函数的值域法；6、复合函数定义域的求法：推理、取交集及分类讨论．[例题]：1、求下列函数的定义域3、已知函数y=lg(mx2-4mx+m+3)的定义域为R，求实数m的取值范围．[解析]：[利用复合函数的定义域进行分类讨论]当m=0时，则mx2-4mx+m+3=3，→ 原函数的定义域为R；当m≠0时，则mx2-4mx+m+3＞0，①m＜0时，显然原函数定义域不为R；②m＞0，且△＝(-4m)2-4m(m+3)<0 时，即０＜m＜１，原函数定义域为R，所以当m∈[0,1) 时，原函数定义域为R．4、求函数y=log2x + 1 (x≥4) 的反函数的定义域．[解析]：［求原函数的值域］由题意可知，即求原函数的值域，∵x≥4,∴log2x≥2∴y≥3所以函数y=log2x + 1 (x≥4) 的反函数的定义域是[3，+∞)．5、函数f(2x)的定义域是[-1，1]，求f(log2x)的定义域．[解析]：由题意可知2-1≤2x≤21→f(x)定义域为[1/2，2] → 1/2≤log2x≤2→ √￣2≤x≤4．所以f(log2x)的定义域是[√￣2,4]．二、函数的值域及求法1、一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R；2、二次函数的值域：当a＞0时，y≥-△/4a ，当a＜0时，y≤-△/4a ；3、反比例函数的值域：y≠0 ；4、指数函数的值域为（0，+∞）；对数函数的值域为R；5、正弦、余弦函数的值域为[-1，1]（即有界性）；正切余切函数的值域为R；6、值域的相关求法：配方法；零点讨论法；函数图象法；利用求反函数的定义域法；换元法；利用函数的单调性和有界性法；分离变量法．[例题]：：求下列函数的值域[解析]：1、[利用求反函数的定义域求值域]先求其反函数：f-1(x)=(3x+1)/(x-2) ，其中x≠2，由其反函数的定义域，可得原函数的值域是y∈{y∈R|y≠2} 2、[利用反比例函数的值域不等于0]由题意可得，因此，原函数的值域为[1/2,+∞)4、[利用分离变量法和换元法]设法2x＝t，其中t＞0，则原函数可化为y=(t+1)/(t-1) → t=(y+1)/(y-1) ＞０∴y>1或y<-15、[利用零点讨论法]由题意可知函数有3个零点-3，1，2，①当x<-3 时，y=-(x-1)-(x+3)-(x-2)=-3x ∴y>9②当-3≤x<1 时，y=-(x-1)+(x+3)-(x-2)=-x+6 ∴5<y≤9③当1≤x<2 时，y=(x-1)+(x+3)-(x-2)=x+4 ∴5≤y<6④当x ≥2时，y=(x-1)+(x+3)+(x-2)=3x ∴y≥6综合前面四种情况可得，原函数的值域是[5,+∞)6、[利用函数的有界性]三、函数的单调性及应用1、A为函数f(x)定义域内某一区间，2、单调性的判定：作差f(x1)-f(x2)判定；根据函数图象判定；3、复合函数的单调性的判定：f(x),g(x) 同增、同减，f(g(x)) 为增函数，f(x),g(x)一增、一减，f(g(x)) 为减函数．[例题]：2、设a＞0且a≠1，试求函数y=log a(4+3x-x2)的单调递增区间．[解析]：[利用复合函数的单调性的判定]由题意可得原函数的定义域是（－１，４），设u=4+3x-x2，其对称轴是x=3/2 ，所以函数u=4+3x-x2，在区间（－１，3/2 ]上单调递增；在区间[3/2 ，4）上单调递减．①a＞１时，y=log a u 在其定义域内为增函数，由x↑→u↑→y↑ ，得函数u=4+3x-x2的单调递增区间（－１，3/2 ]，即为函数y=log a(4+3x-x2) 的单调递增区间．②０＜a＜１时，y=log a u 在其定义域内为减函数，由x↑→u↓→y↑ ，得函数u=4+3x-x2的单调递减区间[3/2 ，4），即为函数y=log a(4+3x-x2)的单调递增区间．3、已知y=log a(2-ax) 在[0，1]上是x 的减函数，求a的取值范围。
函数的定义域和常见求解方法
函数的定义域和常见求解方法一、函数的定义域在一般的函数定义中，常见的定义域包括实数、有理数和整数等。
例如，函数$f(x)=\sqrt{x}$的定义域为非负实数集合即$[0,+\infty)$，因为负数的平方根是没有意义的。
又如，函数$g(x)=\dfrac{1}{x}$的定义域为除0以外的所有实数，即$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，因为0不能作为除数。
当给定一个复合函数时，可以通过多个函数的定义域的交集得到整个函数的定义域。
例如，对于函数$h(x)=\sqrt{\log(x)}$，先看到内层函数$\log(x)$的定义域是正实数，而外层函数$\sqrt{x}$的定义域是非负实数。
所以整个函数$h(x)$的定义域即正实数集合$[0,+\infty)$。
二、常见的求解方法1.方程求解法方程求解法是指通过解方程的方式求解函数的取值范围。
常见的方程求解法包括代数法和计算法。
代数法是通过对方程进行变形或利用数学性质来求解，而计算法是通过运算符和数值的计算来求解。
举例来说，对于函数$f(x)=\dfrac{1}{(x-3)^2}$，要求函数的定义域，需要解方程$(x-3)^2\neq 0$。
通过解这个方程，可以得到$x \neq 3$，即函数的定义域为整个实数集合除去32.不等式求解法不等式求解法是通过对不等式进行变形或运算，得出函数的定义域。
常见的不等式求解法包括分段法和绝对值法。
对于分段函数，可以对每一段函数的定义域进行求解，然后将这些定义域的并集作为整个函数的定义域。
对于函数$f(x) = \sqrt{a-x}$，当$a>x$时，根式内部大于等于0，所以函数的定义域为$(-\infty, a]$。
3.图像法图像法是通过观察函数的图像来确定函数的定义域。
对于一元函数，可以通过绘制函数的图像来判断函数在何种区间内有定义。
例如，为了求解函数$f(x) = \sqrt{x^2-4}$的定义域，可以考虑到根式内部的取值不能小于0。
函数定义域值域求法(全十一种)
文档大全
实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。
8种求定义域的方法
8种求定义域的方法定义域是指一个函数中所有可能输入的集合。
具体来说，定义域是指函数中的自变量可以取得的所有值。
在数学中，求定义域是解决一个函数的自变量的取值范围的问题。
下面是八种常见的方法来求定义域。
方法1：显式定义对于一些函数，定义域可以通过其显式定义来确定。
例如，对于函数f(x)=1/x，定义域可以通过注意到除数不能为零来确定，即x不能为0。
因此，定义域就是除去0之后的实数集合：R\{0}。
方法2：关系定义有些函数的定义域可以通过直接观察定义函数的关系来确定。
例如，对于函数f(x)=√(2x-1)，注意到根号内的表达式必须大于等于零，即2x-1≥0。
解这个不等式可以得到定义域为x≥1/2方法3：对数函数对于对数函数，定义域必须满足底数必须大于零且不等于1，并且实数必须大于零。
例如，对于函数f(x) = log₂(x + 3)，定义域为x + 3 > 0，即x > -3方法4：分式函数对于分式函数，定义域必须使分母不等于零。
例如，对于函数f(x)=1/(x-2)，定义域为x≠2方法5：根式函数对于根式函数，定义域必须使根号内的表达式大于等于零。
例如，对于函数f(x)=∛(x-4)，根号内的表达式必须大于等于零，即x-4≥0，解不等式可得x≥4、因此，定义域为x≥4方法6：三角函数对于三角函数，定义域是实数的所有值，因为三角函数在整个数轴上都有定义。
例如，对于函数f(x) = sin(x)，定义域为所有实数：(-∞, ∞)。
方法7：反三角函数对于反三角函数，定义域必须使其定义范围内的表达式满足相应的条件。
例如，对于函数f(x) = arcsin(x)，由于反正弦函数的定义域是[-1, 1]，因此定义域必须满足-1 ≤ x ≤ 1方法8：参数化定义对于一些函数，可以通过将函数参数化来求取定义域。
例如，对于函数f(x)=√(x²-1)，我们可以通过取x²-1≥0来求取定义域。
函数的定义域和值域
1 函数的定义域和值域要点梳理1．常见基本初等函数的定义域(1)函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)、y ＝sin x 、y ＝cos x 的定义域是R(2) y ＝log a x 的定义域是{x |x ＞0}或(0，＋∞)，y ＝tan x 的定义域是{x |x ≠kπ＋π2，k ∈Z }． 求定义域方法：①分式中的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0；④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.2．基本初等函数的值域(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a ＞0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≥4ac －b 24a ；当a ＜0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≤4ac －b 24a .(3)y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}．(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R .(6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]．(7)y ＝tan x 的值域是R .求值域方法：(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 均为常数，且a ≠0)的函数常用换元法求值域，形如y ＝ax ＋a －bx 2的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常数法：形如y ＝cx ＋d ax ＋b(a ≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法，(7)导数法，(8)利用基本不等式典型例题求函数的定义域例1、函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为________． 例2、函数f (x )＝x 22－x－lg(x －1)的定义域是________． 例3、函数f (x )＝2x ＋12x 2－x －1的定义域是________． 求函数的值域例4、求下列函数的值域．(1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])； (2)y ＝1－x 21＋x 2； (3)y ＝x ＋4x(x ＜0)；(4)f (x )＝x －1－2x (5)y ＝log 3x ＋log x 3－1(x ＞1)．例5、若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围。
8种求定义域的方法
8种求定义域的方法在数学领域中，关于定义域的求解方法有许多种。
下面将介绍其中的八种方法。
方法一：根据函数公式求取定义域。
对于一些简单的函数，可以通过函数的公式直接求取定义域。
例如对于一个分式函数，如f(x)=1/(x-2)，由于分母不能为0，所以定义域为{x，x≠2}。
方法二：分析函数的基本性质。
有些函数拥有特定的性质，根据这些性质可以求得函数的定义域。
例如对于多项式函数，常数函数和指数函数，它们都定义在实数域上，因此定义域为实数集。
方法三：考虑函数中的根。
对于包含根的函数，定义域不能使这些根使得函数的值出现未定义的情况。
例如对于开方函数f(x)=√(x-3)，由于根号下的值不能为负，所以定义域为{x，x≥3}。
方法四：考虑函数的分段定义。
对于分段定义的函数，需要分别考虑每个分段的定义域。
例如对于函数f(x)=，x，分段定义为{x当x>=0时；-x当x<0时}，因此定义域为实数集。
方法五：考虑函数的限制条件。
有时函数在定义域上有一些限制条件。
例如对于对数函数f(x) =ln(x)，由于对数函数只对正数有定义，所以定义域为{x ， x > 0}。
方法六：考虑函数的参数限制。
对于含有参数的函数，需要考虑参数的限制条件。
例如对于双曲正弦函数f(x) = sinh(x)，由于双曲正弦函数对所有实数都有定义，所以定义域为实数集。
方法七：考虑函数的复合性质。
对于复合函数，需要分析组成函数的定义域。
例如对于函数f(g(x))，需要保证g(x)的定义域是f(x)的定义域。
例如对于函数f(g(x)) = 1/x，如果g(x) = sin(x) + 2，由于sin(x)的定义域为实数集，所以g(x)的定义域与f(x)的定义域保持一致。
方法八：考虑函数的图像。
对于一些函数，通过画出函数的图像可以直观地确定定义域。
例如对于一个二次函数f(x)=x^2+1，通过函数的图像我们可以看到函数的定义域为实数集。
第1讲函数的定义域
第1讲：求函数定义域的方法一、含分式的函数分析：在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。
例1 （易）求函数f(x)=232-+x 的定义域;例2 （易）求函数f(x)=211x x -+的定义域．二、 含偶次根式的函数分析：注意（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的术语和符号，注意区间的开闭情况.例1 （易）x x x f +-=1)(的定义域为（ ）A ：{}1≤x xB ：{}0≥x xC ；{}01≤≥x x x 或D ：{}10≤≤x x 例2（易）(2011年模拟) 函数29)(x x f -=的定义域；例3（易）(2008年全国) 函数x x x x f +-=)1()(的定义域为（ ） A:{}0≥x x B: {}1≥x x C: {}1≥x x {}0⋃ D: {}10≤≤x x 例4（中）求函数y ＝3-ax （a 为不等于0的常数）的定义域。
三、 对数式的函数分析：对数式真数大于零，当底数含有未知数x 时，底数为大于零且不等于1的数。
例1（易）（2010年高考广东卷文科2）函数)1lg()(-=x x f 的定义域是 （ ）A.),2(+∞B. ),1(+∞C. ),1[+∞D. ),2[+∞例2（中）函数y =的定义域为 ．（用区间表示）。
例3（中）函数)13(log )(2-=x x x f 的定义域是 。
四、 复合型函数分机：注意函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集，通过列不等式组来实现.例1（易） 求函数y ＝23-x ＋30323--x x ）（的定义域．例2（中）22)2lg()(x xx x x f -+-+=的定义域。
例3（中）求函数1)2lg(1)(2-+-=x x x f 的定义域。
函数定义域的类型
函数定义域的类型及解法
函数的定义域 函数的定义域是函数三要素之一，是指函数式中自变量的取值范围。高考 中考查函数的定义域的题目多以选择题或填空题的形式出现，有时也出现在 大题中作为其中一问。以考查对数和根号两个知识点居多。求函数的定义域 的基本方法有以下几种： 1、常规类型：已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式 有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况： 1、整式函数的定义域为一切实数； 2、分式中的分母不为零； 3、偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 4、指数式、对数式的底数大于零且不等于一，对数式的真数大于零
[ 5, 1] [1, 5]
（2）已知 f[g(x)]定义域，求f(x)的定义域 其解法是：已知f[g(x)]定义域是[a,b]求f(x)的定义域的方法是由a ≤x≤b,求g(x)的值域，即为所求f(x)的定义域。
例2、已知f(2x+1)的定义域为[1,2],求f(x)的定义域。
解:由1 x 2 2 2 x 4 3 2x 1 5 即函数f ( x)的定义域为[3,5]
练习:已知函数f ( x)= kx 7 的定义域为R, 求实数k的取值范围. 2 kx 4kx 3
3 [0, ) 4
4、参数型 对于含参数的函数，求定义域时，必须对参数分类讨论。
例6：若函数y f ( x)的定义域为[0,1], 则g ( x) f ( x a) f ( x a)(其中a 0)的定义域为 _________
由x2项的系数是m，所以应分m 0或m 0进行讨论
函数定义域的类型和求法
函数定义域的类型和求法一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧≠-+≥--②①08|3x |015x 2x 2由①解得 3x -≤或5x ≥。
③ 由②解得 5x ≠或11x -≠④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。
故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。
例2 求函数2x 161x sin y -+=的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧>-≥②①0x 160x sin 2由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③由②解得4x 4<<-④ 由③和④求公共部分，得π≤<π-≤<-x 0x 4或故函数的定义域为]0(]4(ππ--，，评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。
其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。
例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。
解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。
（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
函数定义域的一般求法
函数定义域的一般求法
函数定义域是指一种函数在允许运算结果中所有可能取值的集合，简称function domain。
归纳起来，定义域的求法有三种：以定义式求定义域、以图形求定义域、以表示式求定义域。
首先，以定义式求定义域的话，先要确定要求的函数的实在定义式上的取值范围，然后以此计算出它的定义域，这最容易理解。
比如，如果给定函数定义式为f(x)=x-2，这里我们可以看出f(x)只能取大
于-2的值，于是函数定义域就是大于-2的所有实数。
再者，以图形求定义域，即根据函数图像中定义域范围内所有可能取值，就可以得出函数定义域。
比如，如果函数图像中，定义域为x∈[2,7]，那么函数定义域就是[2,7]中所有实数。
最后，以表示式求定义域，即根据表达式中函数的取值条件，就可以求出函数定义域。
比如，如果给定表达式为f(x)=x2+2，可以
看出表达式中函数没有任何取值条件，所以函数定义域就是所有实数。
总之，函数定义域可以通过定义式、图像、表达式等来求得，其中定义式求法最容易理解，而表示式求法最常用。
从定义式或图像得出函数定义域，需要仔细分析函数图像，并认真观察它的定义式，只有把这些要素都理解透彻，才能更好地求出函数定义域。
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函数定义域值域求法(全十一种)
实用标准高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例 1求函数 y x 22x15| x 3 |8的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足x 22x150①| x 3 |8 0②由①解得x3或 x 5 。
③由②解得x5或 x11④③和④求交集得x3且 x11或x>5。
故所求函数的定义域为{ x | x 3且x11}{ x | x5} 。
例 2求函数 y sin x1的定义域。
16x 2解：要使函数有意义，则必须满足sin x0①16x 20②由①解得2k x2k，k Z③由②解得 4 x4④由③和④求公共部分，得4x或 0x故函数的定义域为(4， ](0， ]评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（ 1）已知f (x )的定义域，求f [ g(x )]的定义域。
（ 2）其解法是：已知 f (x) 的定义域是［a，b］求 f [g(x)] 的定义域是解a g(x) b ，即为所求的定义域。
例 3已知 f (x) 的定义域为［－2， 2］，求f ( x 21) 的定义域。
解：令 2 x21 2 ，得 1 x2 3 ，即0 x 23，因此0| x | 3 ，从而3 x 3 ，故函数的定义域是{ x | 3 x3} 。
（ 2）已知f [g( x)]的定义域，求f(x) 的定义域。
其解法是：已知 f [g(x )] 的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由a x b，求g(x) 的值域，即所求f(x) 的定义域。
例 4已知 f (2x1) 的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。
解：因为 1 x2，22x4，32x 1 5 。
即函数 f(x) 的定义域是{ x | 3x5} 。
函数定义域的求法
一、函数定义域（一）、求函数定义域的类型： ⑴已知解析式求函数的定义域；⑵已知原函数的定义域求复合函数的定义域； ⑶已知复合函数的定义域求原函数的定义域； ⑷已知复合函数f [φ﹙x ﹚]的定义域求另一复合函数f[h ﹙x ﹚]的定义域；⑸求实际问题或几何问题中的定义域； ⑹已知函数的定义域求参数的取值范围； ⑺求抽象函数的定义域； （二）、分解类型（1）：①若f(x)为整式，其定义域为实数集R ；②若f(x)为分式，其定义域为使分母不为0的实数集合；③若f(x)为偶次根式，其定义域为使被开方数是非负数的实数集合；④若f(x)为奇次根式，其定义域为实数集； ⑤若f(x)是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑥若f(x)是初等函数类型，其定义域是是初等函数有意义的实数集合；说明：初等函数有：一次函数；正比例函数；反比例函数；二次函数；指数函数；对数函数；幂函数；⑦f(x) ＝x 0的定义域是﹛x │x ∈R ，且x ≠0﹜ 例题求下列函数的定义域： 1、y ＝3－12x2、y ＝1x －23、y ＝ 3x ＋24、y ＝ x ＋1 ＋ 12－x5、y ＝﹙x ＋3﹚│x │－x6、y ＝ x 2－3 ＋ 5－x 27、y ＝ x －1x ＋1＋ 6－x －x 28、y ＝ x 2－3x ＋2│x │－x9、y ＝ x ＋2＋1x 2－x －610、y ＝x 0·x 2＋2x │x ＋1│－2＜归纳总结＞如何根据函数解析式求定义域： ①列出使解析式有意义的所有式子（往往是一个不等式组）；②解这个不等式组；③把不等式组的解表示成集合（或者区间）的形式作为函数的定义域； （二）、分解类型（2）：说明：已知f(x)的定义域为A ，求f [φ﹙x ﹚]的定义域，其实质是已知φ﹙x ﹚的取值范围为A ，求出x 的取值范围。
已知原函数的定义域求复合函数的定义域的步骤：①将φ﹙x ﹚放入f(x)的定义域之内，即φ﹙x ﹚∈A ； ②解不等式φ﹙x ﹚∈A ，求x 的范围；如：已知f(x)定义域为[1，2 ]，求f(2x －1)定义域，只需解不等式1≤2x －1≤2； ③结论 例题：1、已知f(x)的定义域为[0，1]，求f(2x ＋1)的定义域；2、已知y ＝f(x)的定义域为[0，2]，求下列函数的定义域：⑴f(x 2) ； ⑵f(│2x －1│) ；⑶f( x －2)3、已知函数f(x)的定义域是[0，2]， 求函数g(x) ＝f ﹙x 2﹚x －1的定义域。
【求函数的定义域的基本方法有以下几种】求函数的定义域方法
【求函数的定义域的基本方法有以下几种】求函数的定义域方法求函数的定义域的基本方法有以下几种：1、已知整数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义自变量的取值范围。
一般有以下几种情况：● 可分中的分母不为零；● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；● 约等于指数式的底数大于零且不等于一；● 对数式的底数大于零且不是等于一，真数大于零。
●正切函数●余切函数当以上几个方面有两个或两个同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。
例1（2000上海）函数分析：对数式的真数大于零。
解：依题意知：的定义域为。
即解之，得∴函数的定义域为点评：对数式的真数为已包含，本来需要综合考虑分母，但由于的情况，因此不再列出。
2、代入刻划法求抽象函数的定义域。
已知的定义域为，求的定义域。
的定义域，可由解出x的范围，即为例2 若表达式的定义域为，则的定义域为。
分析：由函数的定义域为可知：；所以中有。
解：依题意知：解之，得∴的定义域为点评：对数式的真数为，本来需要考虑的情况，因此不再列出。
，但由于已包含3、应用题中的除了要使解析式有意义外，还需考虑实际上的有效范围。
实际上的有效范围，即实际风险问题要有意义，一般来说有一般而言几中常见情况：（1）面积问题中，要考虑部分的面积小于整体的面积；（2）销售问题中，要考虑发售日只能是自然数，价格不能小于0也不能大于题设中规定的值（有的题没有规定）；（3）生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只能是整数，增长率要满足用户题设；（4）路程问题中，要注意路程的范围。
例3、(2004上海)2某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y(单位：m) 的矩形. 上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm . 问x 、y 分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?分析：总面积为。
又，∴的取值范围是，由于。
，于是，即解：由题意得xy+x =8,∴y=2=(0于是, 框架用料长度为l=2x+2y+2()=(+)x+≥4.当(+)x=, 即x=8－4时等号成立.此时, x≈2.343,y=2≈2.828.故当x 为2.343m,y 为2.828m 时, 用料最省.点评：在实际应用、物理、自然科学等问题中常常涉及到反映两个变量印证函数关系的问题，通过建立整数关系式，利用函数的性质来解决问题，这是函数知识嵌入式的常识一个重要方面，也是高考常考的一个选择题。
求函数的定义域方法
求函数的定义域方法求函数的定义域是在数学中经常遇到的问题，定义域是指函数所能接受的输入值的范围。
确定函数的定义域需要根据函数的性质和条件进行分析和推导。
本文将介绍几种常见的方法来求函数的定义域。
一、有理函数的定义域求解方法：有理函数是指由多项式函数与多项式函数的商所构成的函数。
对于有理函数来说，定义域包括所有使得分母不等于零的实数，因为分母等于零会导致函数的值无定义。
因此，我们可以通过求解分母不等于零的条件来确定有理函数的定义域。
例如，对于函数f(x) = (x + 2)/(x - 1)，我们需要求解分母不等于零的条件：x - 1 ≠ 0。
解得x ≠ 1，所以函数的定义域为R - {1}，即除去1的所有实数。
二、根式函数的定义域求解方法：根式函数是指由开方运算构成的函数。
对于根式函数来说，由于不能对负数开方，所以要使函数的值有定义，被开方的数必须大于等于零。
例如，对于函数g(x) = √(x - 2)，我们需要求解x - 2 ≥ 0。
解得x ≥ 2，所以函数的定义域为[x ≥ 2]。
三、指数函数和对数函数的定义域求解方法：指数函数和对数函数是指以底数为常数的指数和对数所构成的函数。
对于指数函数来说，底数必须大于零且不能等于1，因为底数为1时函数的值无定义。
对于对数函数来说，底数必须大于零且不能等于1，且对数的真数必须大于零，因为对数的真数小于等于零时函数的值无定义。
例如，对于函数h(x) = 2^x，底数2大于零且不等于1，所以函数的定义域为R。
对于函数i(x) = log(x + 3)，底数为10大于零且不等于1，且x + 3大于零，所以函数的定义域为(-3, +∞)。
四、三角函数和反三角函数的定义域求解方法：三角函数和反三角函数是指以角度或弧度为自变量的函数。
对于三角函数来说，角度或弧度的取值范围是整个实数集。
对于反三角函数来说，其定义域要根据函数的性质和条件进行分析。
例如，对于函数j(x) = sin(x)，x可以取任意实数，所以函数的定义域为R。
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例1求函数 y
x 2x 15 的定义域。 | x 3 | 8
2
解:要使函数有意义,则必须满足
x 2x 15 0 | x 3 | 8 0
2
① ②
③
由①解得x≤-3或x≥5
由②解得x≠5或x≠-11 ④ 由③和④求交集得x≤-3且x≠-11或x>5 故所求函数的定义域为{x| x≤-3且x≠-11}∪{x|x>5}。
练习 求函数的定义域 1 2 o （1）f ( x ) x 1 ( x 4) ; 2 x
(-2,-1]∪[1,2)
x2 ( 2)f ( x ) l g 4 x ; (2≤x<4且x≠3 x3 ( 3)f ( x ) l g1 ( 2x 1) ;
2பைடு நூலகம்
（1/2,1]
m 0 2 (6m ) 4m( m 8) 0
例3 已知函数 y mx 6mx m 8 的定义域为R求实数m的取值范围。 分析：函数的定义域为R，表明mx2-6mx+8+m≥0，使 一切x∈R都成立，由x2项的系数是m，所以应分m=0或 m≠0进行讨论。 解：当m=0时，函数的定义域为R； 当m≠0时，mx2-6mx+8+m≥0是二次不等式,其对一切实 数x都成立的充要条件是
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
3 0k 4
3 综上k的取值范围是 0 k 4
四.实际问题型:函数的定义域除满足解析式外, 要注意问 题的实际意义对自变量的限制,须要加倍注意,并形成意识。 例5 将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x 的函数的解析式，并求函数的定义域。
0 | x | 3，从而 3 x 3
3 x 3}
故函数的定义域是 {x |
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定 义域的方法是：由a≤x≤b，求g(x)的值域，即所求f(x)的 定义域。 例2 已知f(2x+1)的定义域为［1,2］,求f(x)的定义域。 解：因为1≤x≤2, 2≤2x≤4, 3≤2x+1≤5. 即函数f(x)的定义域是{x|3≤x≤5}。 (3)已知f(2x-1)的定义域是[0,1],求f(3x)的定义域。 解:因为0≤x≤1,0≤2x≤2,-1≤2x-1≤1. 所以函数f(3x)的定义域是-1≤3x≤1即 {x|-1/3≤x≤1/3}。
X≥1/10,且x≠1）
(4)g( x )
l gx 1 . x1
二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方 法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另 一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 (1)已知f(x)的定义域,求f[g(x)]的定义域。 其解法是:已知f(x)的定义域是[a,b]求f[g(x)]的定义域 是解a≤g(x)≤b,即为所求的定义域。 例1 已知f(x)的定义域为[－2,2],求f(x2-1)的定义域。 解：令-2≤x2-1≤2，得-1≤x2≤3，即0≤x2≤3， 因此
2
0 m 1
综上可知0≤m≤1。 注:不少同学容易忽略m=0的情况,希望通过此 例解决问题。
例4 已知函数
kx 7 f (x) 2 kx 4kx 3
的定义域是R，求实数k的取值范围。 解:要使函数有意义,则必须kx2+4kx+3≠0恒成立, 因为f(x)的定义域为R,即kx2+4kx+3=0无实数根 ①当k≠0时，△=16k2-4×3k<0恒成立， 解得
函数定义域的类型和求法
一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析 式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此 不等式(或组)即得原函数的定义域。 求函数定义域注意以下几点：
1.当函数是整式时例如 f ( x) x x 1 那么函数的定 义域是实数集R。 2.如果函数中含有分式,那么函数的分母必须不为零。 3.如果函数中含有偶次根式,那么根号内的式子必须 不小于零。 4.零的零次幂没有意义,即f(x)=x0，x≠0。 5.对数的真数必须大于零。 6.对数的底数满足大于零且不等于1。
1 解:设矩形一边为x,则另一边长为 (a 2x )于是可得矩形面积 2 1 1 1
x 0 a x 0 0x 1 (a 2x ) 0 a 2x 0 2 2 1 a 2 故所求函数的解析式为y x ax ,定义域为(0, ) 2 2
由问题的实际意义，知函数的定义域应满足
y x (a 2x ) ax x x ax 2 2 2
2
2