2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等(二)
2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等(四)
2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等（四）1．已知：BD为⊙O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，点C为⊙O上一点，且AB＝AC，连接BC交AD于点E，连接AC．（1）如图1，求证：∠ABF＝∠ABC；（2）如图2，点H为⊙O内部一点，连接OH，CH，若∠OHC＝∠HCA＝90°时，求证：CH＝DA；（3）在（2）的条件下，若OH＝6，⊙O的半径为10，求CE的长．2．如图，点A、B、C、D是直径为AB的⊙O上的四个点，CD＝BC，AC与BD交于点E．（1）求证：DC2＝CE•AC；（2）若AE＝2EC，求之值；（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，若S △ACH＝9，求EC之长．3．如图1所示，以点M（﹣1，0）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A，B，C，D，与⊙M相切于点H的直线EF交x轴于点E（﹣5，0），交y轴于点F（0，）．（1）求⊙M的半径r；（2）如图2所示，连接CH，弦HQ交x轴于点P，若cos∠QHC＝，求的值；（3）如图3所示，点P为⊙M上的一个动点，连接PE，PF，求PF+PE的最小值．4．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝4，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．5．如图所示，已知P是直线y＝﹣x+4上位于第一象限内的动点，P′是点P关于x轴的对称点．（1）设P点坐标是（x，y），△OPP′的面积为S，写出S关于x的函数关系式；（2）设⊙O′为△OPP′的外接圆，当直线AB和⊙O′相切于点P′时，求△OPP′的外接圆半径R的值．（3）求△OPP′周长C的最小值．6．已知：△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交CA的延长线于点D，连接OB．（1）如图1，求证：∠DAB＝∠DBC；（2）如图2，过点D作DM⊥AB于点M，连接AO，交BC于点N，BM＝AM+AD，求证：BN＝CN；（3）如图3，在（2）的条件下，点E为⊙O上一点，过点E的切线交DB的延长线于点P，连接CE，交AO的延长线于点Q，连接PQ，点F为AN上一点，连接CF，若∠DCF+∠CDB＝90°，tan∠ECF＝2，，PQ+OQ＝6，求CF的长．7．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，且∠MAC＝∠ABC．（1）求证：MN是⊙O的切线．（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC 于点F．①求证：FD＝FG．②若BC＝3，AB＝5，试求AE的长．8．如图1，在正方形ABCD中，AB＝10，点O，E在边CD上，且CE＝2，DO＝3，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD的延长线于点F．（1）AG＝；（2）如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转α（0°＜α＜180°），点O的对应点为O'，点F的对应点为F'，设M为半圆O'上一点．①当点F'落在AD边上时，求点M与线段BC之间的最短距离；②当半圆O'交BC于P，R两点时，若的长为π，求此时半圆O'与正方形ABCD重叠部分的面积；③当半圆O'与正方形ABCD的边相切时，设切点为N，直接写出tan∠END的值．9．如图，AB为⊙O的直径，D是的中点，BC与AD，OD分别交于点E，F．（1）求证：OD∥AC；（2）求证：DC2＝DE•DA；（3）若⊙O的直径AB＝10，AC＝6，求BF的长．10．如图，AB是⊙O的直径，点C、E位于⊙O上AB两侧．在BA的延长线上取点D，使∠ACD＝∠B．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）当BC＝EC时，求证：AC2＝AE•AD；（3）在（2）的条件下，若BC＝4，AD：AE＝5：9，求⊙O的半径．参考答案1．解：（1）∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠D+∠ABD＝90°，∵FB是⊙O的切线，∴∠FBD＝90°，∴∠FBA+∠ABD＝90°，∴∠FBA＝∠D，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝∠D，∴∠ABF＝∠ABC；（2）如图2，连接OC，∵∠OHC＝∠HCA＝90°，∴AC∥OH，∴∠ACO＝∠COH，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC+∠CBO＝∠ACB+∠OCB，即∠ABD＝∠ACO，∴∠ABD＝∠COH，∵∠H＝∠BAD＝90°，∴△ABD∽△HOC，∴＝＝2，∴CH＝DA；（3）由（2）知，△ABD∽△HOC，∴＝2，∵OH＝6，⊙O的半径为10，∴AB＝2OH＝12，BD＝20，∴AD＝＝16，在△ABF与△ABE中，，∴△ABF≌△ABE，∴BF＝BE，AF＝AE，∵∠FBD＝∠BAD＝90°，∴AB2＝AF•AD，∴AF＝＝9，∴AE＝AF＝9，∴DE＝7，BE＝＝15，∵AD，BC交于E，∴AE•DE＝BE•CE，∴CE＝＝＝．2．解：（1）如图1，∵CD＝BC，∴，∴∠BDC＝∠DAC，∵∠DCE＝∠ACD，∴△CDE∽△CAD，∴，∴CD2＝CE•AC；（2）设CE＝x，∵AE＝2CE，∴AE＝2x，∴AC＝AE+CE＝3x，由（1）知，CD2＝CE•AC，∴CD2＝x×3x＝3x2，∴CD＝x，∴BC＝CD＝x，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，根据勾股定理得，AB＝＝2x，∴OA＝OB＝AB＝x，∴OB＝OC＝BC，∴△BOC是等边三角形，∵，∴OC⊥BE，∴OF＝OB＝x，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°＝∠OFB，∴OF∥AD，∵OA＝OB，∴AD＝2OE＝x，∴＝＝1；（3）由（2）知，△BOC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∵CH是⊙O的切线，∴∠OCH＝90°，∴∠CHO＝30°，∴OH＝2OC，∵OH＝OB+BH＝OC+BH，∴OB＝BH，∴OA＝OB＝BH，∴S △ACH＝3S△BOC＝9，∴S △BOC＝3，∵S △BOC＝OB2＝×（x）2＝3，∴x＝﹣2（舍）或x＝2，∴EC＝2．3．解：（1）如图1，连接MH，∵E（﹣5，0），F（0，﹣），M（﹣1，0），∴OE＝5，OF＝，EM＝4，∴在Rt△OEF中，tan∠OEF＝＝，∴∠OEF＝30°，∵EF是⊙M的切线，∴∠EHM＝90°，∴sin∠MEH＝sin30°＝，∴MH＝ME＝2，即r＝2；（2）如图2，连接DQ、CQ，MH．∵∠QHC＝∠QDC，∠CPH＝∠QPD，∴△PCH∽△PQD，∴，由（1）可知，∠HEM＝30°，∴∠EMH＝60°，∵MC＝MH＝2，∴△CMH为等边三角形，∴CH＝2，∵CD是⊙M的直径，∴∠CQD＝90°，CD＝4，∴在Rt△CDQ中，cos∠QHC＝cos∠QDC＝，∴QD＝CD＝3，∴；（3）连MP，取CM的点G，连接PG，则MP＝2，G（﹣2，0），∴MG＝CM＝1，∴，又∵∠PMG＝∠EMP，∴△MPG∽△MEP，∴，∴PG＝PE，∴PF+PE＝PF+PG，当F，P，G三点共线时，PF+PG最小，连接FG，即PF+PE有最小值＝FG，在Rt△OGF中，OG＝2，OF＝，∴FG＝＝＝．∴PF+PE的最小值为．4．（1）证明：连接OC，如图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°，∵OD⊥BC，∴CD＝BD，即OD垂直平分BC，∴EC＝EB，在△OCE和△OBE中，∴△OCE≌△OBE（SSS），∴∠OBE＝∠OCE＝90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切；（2）解：设⊙O的半径为x，则OD＝OF﹣DF＝x﹣2，OB＝x，在Rt△OBD中，BD＝BC＝2，∵OD2+BD2＝OB2，∴（x﹣2）2+（2）2＝x2，解得x＝4，∴OD＝2，OB＝4，∴∠OBD＝30°，∴∠BOD＝60°，∴OE＝2OB＝8，∴EF＝OE﹣OF＝8﹣4＝4．（3）∵∠BOE＝60°，∠OBE＝90°，∴在Rt△OBE中，BE＝OB＝4，∴S阴影＝S四边形OBEC﹣S扇形OBC＝2××4×4﹣，＝16﹣．5．解：（1）∵P（x，y），∴S＝xy＝x（﹣x+4）＝x2+4x．（2）∵⊙O′为△OPP′的外接圆，直线AB和00外切于P．∴PO'⊥AB．在△APO'和△AOB中，∠PAO'＝∠OAB，∠APO'＝∠AOB＝90°，∴△APO'∽△AOB，∴，即PO'＝AP，在Rt△OBO'和Rt△PBO'中，OO'＝PO'，BO'＝BO，∴Rt△OBO'≌Rt△PBO'（HL），∴PB＝OB＝4．∵AB＝＝＝4，∴PO'＝AP＝（AB﹣PB）＝（4﹣4）＝2﹣2，即R的值是2﹣2．（3）如图．作∠BAC＝∠BAO，并作OD⊥AC于D．交AB于P，∵∠BAC＝∠BAO，∠AOB＝∠ODA＝90°，∴△ABO∽△APD，∴，由y＝﹣x+4上得OA＝8，OB＝4，∵∠BPO＝∠APD＝∠OBP，∴OP＝OB＝4．设PD＝a，则AD＝2a．在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2，∴（a+4）2+4a2＝64，解得a﹣2.4（a＝﹣4舍去），即PD＝2.4．∴△OPP'周长C的最小值＝2OD＝2（OP+PD）＝2×（4+2.4）＝12.8．6．解：（1）如图1，延长BO交⊙O于G，连接CG，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∴∠DBC+∠CBG＝90°，∵BG为⊙O的直径，∴∠BCG＝90°，∴∠CBG+∠G＝90°，∴∠DBC＝∠G，∵四边形ABGC为⊙O的内接四边形，∴∠DAB＝∠G，∴∠DAB＝∠DBC；（2）如图2，在MB上截取一点H，使AM＝MH，连接DH，∴DM垂直平分AH，∴DH＝AD，∴∠DHA＝∠DAH，∵BM＝AM+AD，BM＝MH+BH，∴AD＝BH，∴DH＝BH，∴∠HDB＝∠HBD，∴∠DHA＝∠HDB+∠HBD＝2∠HBD，由（1）知∠DAB＝∠DBC，∴∠DHA＝∠DAB＝∠DBC，∴∠DBC＝2∠HBD，∵∠DBC＝∠HBD+∠ABC，∴∠HBD＝∠ABC，∠DBC＝2∠ABC，∴∠DAB＝2∠ABC，∵∠DAB＝∠ABC+∠C，∴∠ABC＝∠C，∴AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，∵点O也在BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC，∴BN＝CN；（3）如图3，延长CF交BD于M，延长BO交CQ于G，连接OE，∵∠DCF+∠CDB＝90°，∴∠DMC＝90°，∵∠OBD＝90°，∴∠DMC＝∠OBD，∴CF∥OB，∴∠BGE＝∠ECF，∠CFN＝∠BON，∴tan∠BGE＝tan∠ECF＝2，由（2）知OA垂直平分BC，∴∠CNF＝∠BNO＝90°，BN＝CN，∴△CFN≌△BON（AAS），∴CF＝BO，ON＝FN，设CF＝BO＝r，ON＝FN＝a，则OE＝r，∵，∴OQ＝2a，∵CF∥OB，∴△QGO∽△QCF，∴，即，∴OG＝r，过点O作OE′⊥BG，交PE于E′，∴OE′＝OG•tan∠BGE＝r＝OE，∴点E′与点E重合，∴∠EOG＝90°，∴∠BOE＝90°，∵PB和PE是圆O的切线，∴∠OBP＝∠OEP＝∠BOE＝90°，OB＝OE＝r，∴四边形OBPE为正方形，∴∠BOE＝90°，PE＝OB＝r，∴∠BCE＝∠BOE═45°，∴△NQC为等腰直角三角形，∴NC＝NQ＝3a，∴BC＝2NC＝6a，在Rt△CFN中，CF＝＝a，∵PQ⊥OQ，∴PQ∥BC，∴∠PQE＝∠BCG，∵PE∥BG，∴∠PEQ＝∠BGC，∴△PQE∽△BCG，∴，即，解得：PQ＝4a，∵PQ+OQ＝6，∴4a+2a＝6，解得：a＝∴CF═×＝10．7．（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°；∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90°，即MA⊥AB，∴MN是⊙O的切线；（2）①证明：∵D是弧AC的中点，∴∠DBC＝∠ABD，∵AB是直径，∴∠CBG+∠CGB＝90°，∵DE⊥AB，∴∠FDG+∠ABD＝90°，∵∠DBC＝∠ABD，∴∠FDG＝∠CGB＝∠FGD，∴FD＝FG；②解：连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．∵∠DBC＝∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB，∴DE＝DH，在Rt△BDE与Rt△BDH中，，∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL），∴BE＝BH，∵D是弧AC的中点，∴AD＝DC，在Rt△ADE与Rt△CDH中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL）．∴AE＝CH．∴BE＝AB﹣AE＝BC+CH＝BH，即5﹣AE＝3+AE，∴AE＝1．8．解：（1）连接OG，如图1，∵正方形ABCD中，AB＝10，∴AD＝CD＝AB＝10，∠ADC＝90°，∵CE＝2，DO＝3，∴OG＝OE＝CD﹣CE﹣OD＝10﹣2﹣3＝5，∴DG＝，∴AG＝AD﹣DG＝10﹣4＝6，故答案为：6；（2）①如图2，过点O'作O'H⊥BC于点H，交半圆O'于点M，反向延长HO′交AD 于点Q，则∠QHC＝90°，根据三点共线及垂线段最短可得此时点M到BC的距离最短，∵∠C＝∠D＝∠QHC＝90°，∴四边形QHCD是矩形，∴HQ＝CD＝10，HQ∥CD．∵点O′是EF′的中点，点Q是DF′的中点，∵DE＝8，∴，∴O'H＝6，∵CE＝2，DO＝3，∴OE＝10﹣2﹣3＝5，即半圆的半径为5，∴MH＝1，即点M到BC的最短距离为1；②由①可知半圆O的半径为5，如图3，设∠PO'R的度数为β，由题意得，的长为＝，∴∠PO'R＝60°，∴∠F'O'P+∠EO'R＝120°，∴，∵O'R＝PO'，∴△O'RP是等边三角形，∴，∴此时半圆O'与正方形ABCD重叠部分的面积为；③当半圆O'与正方形ABCD的边BC相切时，如图4，过点D作DH⊥NE，与NE的延长线交于点H，作EG⊥O′N于点G，则NG＝CE＝2，O′N＝O′E＝5，∴O′G＝5﹣2＝3，∴CN＝GE＝，∴，NE＝，∵，∴，∴NH＝，∴tan∠END＝；当半圆O'与正方形ABCD的边AB相切时，如图5，此时N与F′重合，则EF′⊥AB，∵AB∥CD，∴EF′⊥CD，∴tan∠END＝，综上，tan∠END＝．9．解：（1）因为点D是弧BC的中点，所以∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，而∠BOD＝2∠BAD，所以∠CAB＝∠BOD，所以DO∥AC；（2）∵D是的中点，∴∠CAD＝∠DCB，∴△DCE∽△DAC，∴CD2＝DE•DA；（3）∵AB为⊙O的直径∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，BC＝.＝8，∵OD∥AC，∴△BOF∽△BAC，∴，即＝，∴BF＝4．即BF的长为4．10．（1）证明：连接OC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠ACO+∠B＝90°，又∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD+∠ACO＝90°，∴∠DCO＝90°，∴DC是⊙O的切线；（2）解：连接BE．∵BC＝EC，∴＝，∴∠CAB＝∠CBE，∵四边形CAEB内接于圆，∴∠CBE+∠CAE＝180°，又∵∠CAD+∠CAB＝180°，∴∠CAD＝∠CAE，又∵∠ACD＝∠B，∠B＝∠AEC，∴∠ACD＝∠AEC，∴△ACD∽△AEC，∴．∴AC2＝AE•AD；（3）解：设AD＝5k，AE＝9k，则AC＝3k，∵△ACD∽△AEC，∴＝，∴＝，∴CD＝，∵∠D＝∠D，∠ACD＝∠CBD，∴△DCA∽△DBC，∴CD2＝DA•DB，∵DB＝，∴AB＝﹣5k，∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴（3k）2+（4）2＝（）2，整理得：81k4+684k2﹣320＝0，∴（9k2+80）（9k2﹣4）＝0，∴k2＝，∵k＞0，∴k＝，∴AB＝10，∴⊙O的半径为5．。
2021年九年级数学中考复习专题之圆的综合(考察切线证明、长度、面积、动点问题等)(含答案)
2021年九年级数学中考复习专题之圆的综合（考察切线证明、长度、面积、动点问题等）1．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N．（1）求证：∠ADC＝∠ABD；（2）求证：AD2＝AM•AB；（3）若AM＝，sin∠ABD＝，求线段BN的长．2．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．3．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若＝，且OC＝4，求PA的长和tan D的值．4．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE、AE、CD，若∠AEC＝∠ODC．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）若AB＝5，BC＝4，求线段CD的长．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE（1）求证：△ABC∽△CBD；（2）求证：直线DE是⊙O的切线．6．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）若AE＝6，CD＝5，求OF的长．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．8．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判断△ABC的形状： ；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝3，∠B＝30°．①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）10．如图，△ABC中，∠C＝90°，点G是线段AC上的一动点（点G不与A、C重合），以AG为直径的⊙O交AB于点D，直线EF垂直平分BD，垂足为F，EF交BC于点E，连结DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若cos A＝，AB＝8，AG＝2，求BE的长；（3）若cos A＝，AB＝8，直接写出线段BE的取值范围．答案1．（1）证明：连接OD，∵直线CD切⊙O于点D，∴∠CDO＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∵OB＝OD，∴∠3＝∠4，∴∠ADC＝∠ABD；（2）证明：∵AM⊥CD，∴∠AMD＝∠ADB＝90°，∵∠1＝∠4，∴△ADM∽△ABD，∴，∴AD2＝AM•AB；（3）解：∵sin∠ABD＝，∴sin∠1＝，∵AM＝，∴AD＝6，∴AB＝10，∴BD＝＝8，∵BN⊥CD，∴∠BND＝90°，∴∠DBN+∠BDN＝∠1+∠BDN＝90°，∴∠DBN＝∠1，∴sin∠NBD＝，∴DN＝，∴BN＝＝．2．解：（1）∵⊙M经过O、A、B三点，且∠AOB＝90°，∴AB为直径∵点A为（，0），点B为（0，﹣），∴OA＝，OB＝，∴AB＝＝2，∴⊙M的半径为：；（2）∵∠COD＝∠CBO，∠COD＝∠CBA，∴∠CBO＝∠CBA，即BD平分∠ABO；（3）如图，过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA 于点F，即AE是切线，∵在Rt△AOB中，tan∠OAB＝＝＝，∴∠OAB＝30°，∴∠ABO＝90°﹣∠OAB＝60°，∴∠ABC＝∠OBC＝∠ABO＝30°，∴OC＝OB•tan30°＝×＝，∴AC＝OA﹣OC＝，∴∠ACE＝∠ABC+∠OAB＝60°，∴∠EAC＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴AE＝AC＝，∴AF＝AE＝，EF＝AE＝，∴OF＝OA﹣AF＝，∴点E的坐标为：（，）．3．（1）证明：连接OB，则OA＝OB，∵OP⊥AB，∴AC＝BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA＝PB，在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）∴∠PBO＝∠PAO，PB＝PA，∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO＝90°，∴∠PAO＝90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；（2）连接BE，∵＝，且OC＝4，∴AC＝6，∴AB＝12，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO＝＝2，∴AE＝2OA＝4，OB＝OA＝2，在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2＝OC•PC，解得：PC＝9，∴OP＝PC+OC＝13，在Rt△APO中，由勾股定理得：AP＝＝3，∴PB＝PA＝3，∵AC＝BC，OA＝OE，∴OC＝BE，OC∥BE，∴BE＝2OC＝8，BE∥OP，∴△DBE∽△DPO，∴，即，解得：BD＝，在Rt△OBD中，tan∠D＝＝＝．（补充方法：可以证明△DBE∽△DAB，可得＝＝＝，由此解决问题，可以简单一些）4．（1）证明：连接OC，∵∠CEA＝∠CBA，∠AEC＝∠ODC，∴∠CBA＝∠ODC，又∵∠CFD＝∠BFO，∴∠DCB＝∠BOF，∵CO＝BO，∴∠OCF＝∠B，∵∠B+∠BOF＝90°，∴∠OCF+∠DCB＝90°，∴直线CD为⊙O的切线；（2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DCO＝∠ACB，又∵∠D＝∠B∴△OCD∽△ACB，∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝3，∴＝，即＝，解得；DC＝．5．（1）证明：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BDC，又∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC；（2）连结DO，如图，∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，∴DE＝CE＝BE，∴∠EDC＝∠ECD，又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，而∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切．6．（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A，∴∠EAC＝∠ABC，∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCE是平行四边形；（2）解：如图，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD与点N，M，∵AE是⊙O的切线，由切割线定理得，AE2＝EC•DE，∵AE＝6，CD＝5，∴62＝CE（CE+5），解得：CE＝4，（已舍去负数），∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠ADC，∴＝，∴AC＝BD，∴AB＝AC＝BD＝CE＝4，又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC，设OF＝x，OH＝Y，FH＝z，∵AB＝4，BC＝6，CD＝5，∴BF＝BC﹣FH＝3﹣z，DF＝CF＝BC+FH＝3+z，易得△OFH∽△DFM∽△BFN，∴，，即，①②，①+②得：，①÷②得：，解得，∵x2＝y2+z2，∴，∴x＝，∴OF＝．7．（1）证明：连接OD，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．（2）解：连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，∴∠BAC＝45°，∵OA＝OE，∴∠AOE＝90°，∵⊙O的半径为4，∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8 ，∴S阴影＝4π﹣8．8．证明：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）在PC上截取PD＝AP，如图1，又∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°．又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP＝CD，又∵PD＝AP，∴CP＝BP+AP；（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．∵S△APB＝AB•PE，S△ABC＝AB•CF，∴S四边形APBC＝AB•（PE+CF），当点P为的中点时，PE+CF＝PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB＝，∴S四边形APBC＝×2×＝．9．解：（1）直线BC与⊙O相切；连结OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC．又∵直线BC过半径OD的外端，∴直线BC与⊙O相切．（2）设OA＝OD＝r，在Rt△BDO中，∠B＝30°，∴OB＝2r，在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝6，∴3r＝6，解得r＝2．（3）在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴∠BOD＝60°．∴．∵∠B＝30°，OD⊥BC，∴OB＝2OD，∴AB＝3OD，∵AB＝2AC＝6，∴OD＝2，BD＝2S △BOD＝×OD•BD＝2，∴所求图形面积为．10．（1）证明：连接OD，如图，∵△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵直线EF垂直平分BD，∴ED＝EB，∴∠B＝∠EDB，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∴∠ODA+∠EDB＝90°，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接GD，∵AG为直径，∴∠ADG＝90°，∵cos A＝，∴∠A＝60°，∴∠AGD＝30°，∴AD＝AG＝，∵AB＝8，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣＝7，∵直线EF垂直平分BD，∴BF＝BD＝，在Rt△BEF中，∠B＝30°，∴EF＝BF＝，∴BE＝2EF＝7；（3）解：∵cos A＝，∴∠A＝60°，∴∠B＝30°，∴AC＝AB＝4，由（2）得AD＝AG，BF ＝（AB﹣AD）＝4﹣AG，在Rt△BEF中，∠B＝30°，∴EF＝BF，∴BE＝2EF＝BF＝（4﹣AG）＝8﹣AG，∵0＜AG＜AC，即0＜AG＜4，∴6＜BE＜8．。
数学中考复习专题之圆的综合(考察切线证明、长度、面积、动点问题等)(二)
2021年数学九年级中考复习专题之圆的综合（考察切线证明、长度、面积、动点问题等）（二）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F，连接AD与EF相交于点G．（1）求证：AD平分∠CAB；（2）若OH⊥AD于点H，FH平分∠AFE，DG＝1．①试判断DF与DH的数量关系，并说明理由；②求⊙O的半径．2．问题背景：如图①，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE＝CD，从而得出结论：AC+BC＝CD．简单应用：（1）在图①中，若AC＝，BC＝2，则CD＝．（2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙上，＝，若AB＝13，BC＝12，求CD的长．拓展规律：（3）如图④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝m，BC＝n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）（4）如图⑤，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P为AB的中点，若点E满足AE＝AC，CE＝CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是．3．如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD∥AB，连接AC、AD、OD，其中AC＝CD，过点B的切线交CD的延长线于E．（1）求证：DA平分∠CDO；（2）若AB＝12，求图中阴影部分的周长之和（参考数据：π＝3.1，＝1.4，＝1.7）．4．如图，在△ABC中，D为AC上一点，且CD＝CB，以BC为直径作⊙O，交BD于点E，连接CE，过D作DF⊥AB于点F，∠BCD＝2∠ABD．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠A＝60°，DF＝，求⊙O的直径BC的长．5．如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD 翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC（1）求CD的长；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE•GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．6．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6．P是底边BC上的一个动点（P与B、C不重合），以P为圆心，PB为半径的⊙P与射线BA交于点D，射线PD交射线CA 于点E．（1）若点E在线段CA的延长线上，设BP＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．（2）当BP＝2时，试说明射线CA与⊙P是否相切．（3）连接PA，若S△APE＝S△ABC，求BP的长．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．（1）求证：MH为⊙O的切线．（2）若MH＝，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．8．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路．9．如图，在射线BA，BC，AD，CD围成的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，O是射线BD上一点，⊙O与BA，BC都相切，与BO的延长线交于点M．过M作EF ⊥BD交线段BA（或射线AD）于点E，交线段BC（或射线CD）于点F．以EF为边作矩形EFGH，点G，H分别在围成菱形的另外两条射线上．（1）求证：BO＝2OM．（2）设EF＞HE，当矩形EFGH的面积为24时，求⊙O的半径．（3）当HE或HG与⊙O相切时，求出所有满足条件的BO的长．10．如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB＝∠DCO＝90°，O为AB的中点．（1）求证：∠B＝∠ACD．（2）已知点E在AB上，且BC2＝AB•BE．（i）若tan∠ACD＝，BC＝10，求CE的长；（ii）试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．参考答案1．解：（1）如图，连接OD，∵⊙O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠CAD＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠BAD，∴AD平分∠CAB．（2）①DF＝DH，理由如下：∵FH平分∠AFE，∴∠AFH＝∠EFH，又∠DFG＝∠EAD＝∠HAF，∴∠DFG＝∠EAD＝∠HAF，∴∠DFG+∠GFH＝∠HAF+∠HFA，即∠DFH＝∠DHF，∴DF＝DH．②设HG＝x，则DH＝DF＝1+x，∵OH⊥AD，∴AD＝2DH＝2（1+x），∵∠DFG＝∠DAF，∠FDG＝∠FDG，∴△DFG∽△DAF，∴，∴，∴x＝1，∵DF＝2，AD＝4，∵AF为直径，∴∠ADF＝90°，∴AF＝∴⊙O的半径为．2．解：（1）由题意知：AC+BC＝CD，∴+2＝CD，∴CD＝3；（2）连接AC、BD、AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵，∴AD＝BD，将△BCD绕点D顺时针旋转90°到△AED处，如图③，∴∠EAD＝∠DBC，∵∠DBC+∠DAC＝180°，∴∠EAD+∠DAC＝180°，∴E、A、C三点共线，∵AB＝13，BC＝12，∴由勾股定理可求得：AC＝5，∵BC＝AE，∴CE＝AE+AC＝17，∵∠EDA＝∠CDB，∴∠EDA+∠ADC＝∠CDB+∠ADC，即∠EDC＝∠ADB＝90°，∵CD＝ED，∴△EDC是等腰直角三角形，∴CE＝CD，∴CD＝；（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，连接D1A，D1B，D1C，如图④由（2）的证明过程可知：AC+BC＝D 1C，∴D1C＝，又∵D1D是⊙O的直径，∴∠DCD1＝90°，∵AC＝m，BC＝n，∴由勾股定理可求得：AB2＝m2+n2，∴D1D2＝AB2＝m2+n2，∵D1C2+CD2＝D1D2，∴CD2＝m2+n2﹣＝，∵m＜n，∴CD＝；（4）当点E在直线AC的左侧时，如图⑤，连接CQ，PC，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，点P是AB的中点，∴AP＝CP，∠APC＝90°，又∵CA＝CE，点Q是AE的中点，∴∠CQA＝90°，设AC＝a，∵AE＝AC，∴AE＝a，∴AQ＝AE＝，由勾股定理可求得：CQ＝a，由（2）的证明过程可知：AQ+CQ＝PQ，∴PQ＝a+a，∴PQ＝AC；当点E在直线AC的右侧时，如图⑥，连接CQ、CP，同理可知：∠AQC＝∠APC＝90°，设AC＝a，∴AQ＝AE＝，由勾股定理可求得：CQ＝a，由（3）的结论可知：PQ＝（CQ﹣AQ），∴PQ＝AC．综上所述，线段PQ与AC的数量关系是PQ＝AC或PQ＝AC．3．证明：（1）∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠BAD，又∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠BAD，∴∠ADO＝∠CDA，∴DA平分∠CDO．（2）如图，连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA，又∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠BAD，∴∠CDA＝∠BAD＝∠CAD，∴＝＝，又∵∠AOB＝180°，∴∠DOB＝60°，∵OD＝OB，∴△DOB是等边三角形，∴BD＝OB＝AB＝6，∵＝，∴AC＝BD＝6，∵BE切⊙O于B，∴BE⊥AB，∴∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝30°，∵CD∥AB，∴BE⊥CE，∴DE＝BD＝3，BE＝BD×cos∠DBE＝6×＝3，∴的长＝＝2π，∴图中阴影部分周长之和为2＝4π+9+3＝4×3.1+9+3×1.7＝26.5．4．（1）证明：∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB，∵BC是⊙O的直径，∴∠CEB＝90°，∴∠CBD+∠BCE＝∠CDB+∠DCE，∴∠BCE＝∠DCE，即∠BCD＝2∠BCE，∵∠BCD＝2∠ABD，∴∠ABD＝∠BCE，∴∠CBD+∠ABD＝∠CBD+∠BCE＝90°，∴CB⊥AB，∵CB为直径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝60°，DF＝，∴在Rt△AFD中，AF＝＝＝1，AD＝2，∵DF⊥AB，CB⊥AB，∴DF∥BC，∴∠ADF＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴△ADF∽△ACB，∴＝，设BC＝x，则＝，解得x＝4+6．∴BC＝4+6．5．（1）解：如图，连接OC，∵沿CD翻折后，点A与圆心O重合，∴OM＝OA＝×2＝1，CD⊥OA，∵OC＝2，∴CD＝2CM＝2＝2＝2；（2）证明：∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝CD＝，∠CMP＝∠OMC＝90°，∴PC＝＝＝2，∵OC＝2，PO＝2+2＝4，∴PC2+OC2＝（2）2+22＝16＝PO2，∴∠PCO＝90°，∴PC是⊙O的切线；（3）解：GE•GF是定值，证明如下，连接GO并延长，交⊙O于点H，连接HF∵点G为的中点∴∠GOE＝90°，∵∠HFG＝90°，且∠OGE＝∠FGH∴△OGE∽△FGH∴＝∴GE•GF＝OG•GH＝2×4＝8．6．解：（1）过A作AF⊥BC于F，过P作PH⊥AB于H，∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C＝30°，∵PB＝PD，∴∠PDB＝∠B＝30°，CF＝AC•cos30°＝6×＝3，∴∠ADE＝30°，∴∠DAE＝∠CPE＝60°，∴∠CEP＝90°，∴CE＝AC+AE＝6+y，∴PC＝＝，∵BC＝6，∴PB+CP＝x+＝6，∴y＝﹣x+3，∵BD＝2BH＝x＜6，∴x＜2，∴x的取值范围是0＜x＜2；（2）∵BP＝2，∴CP＝4，∴PE＝PC＝2＝PB，∴射线CA与⊙P相切；（3）当D点在线段BA上时，连接AP，∵S △ABC＝BC•AF＝××3＝9，∵S△APE＝AE•PE＝y•×（6+y）＝S△ABC＝，解得：y＝，代入y＝﹣x+3得x＝4﹣．当D点BA延长线上时，PC＝EC＝（6﹣y），∴PB+CP＝x+（6﹣y）＝6，∴y＝x﹣3，∵∠PEC＝90°，∴PE＝＝＝（6﹣y），∴S△APE＝AE•PE＝y•（6﹣y）＝S△ABC＝，解得y＝或，代入y＝x﹣3得x＝3或5．综上可得，BP的长为4﹣或3或5．7．解：（1）连接OH、OM，∵H是AC的中点，O是BC的中点，∴OH是△ABC的中位线，∴OH∥AB，∴∠COH＝∠ABC，∠MOH＝∠OMB，又∵OB＝OM，∴∠OMB＝∠MBO，∴∠COH＝∠MOH，在△COH与△MOH中，，∴△COH≌△MOH（SAS），∴∠HCO＝∠HMO＝90°，∴MH是⊙O的切线；（2）∵MH、AC是⊙O的切线，∴HC＝MH＝，∴AC＝2HC＝3，∵tan∠ABC＝，∴＝，∴BC＝4，∴⊙O的半径为2；（3）连接OA、CN、ON，OA与CN相交于点I，∵AC与AN都是⊙O的切线，∴AC＝AN，AO平分∠CAD，∴AO⊥CN，∵AC＝3，OC＝2，∴由勾股定理可求得：AO＝，∵AC•OC＝AO•CI，∴CI＝，∴由垂径定理可求得：CN＝，设OE＝x，由勾股定理可得：CN2﹣CE2＝ON2﹣OE2，∴﹣（2+x）2＝4﹣x2，∴x＝，∴OE＝，由勾股定理可求得：EN＝，∴由垂径定理可知：NQ＝2EN＝．另解：先证明：△AOC∽△CNE，∴，由勾股定理可知：OA2＝4+9＝13，∴OA＝，在△AOC中，CI⊥OA，CI×OA＝2×3，∴CI＝，∴CN＝，∴＝，∴NE＝，∴NQ＝2EN＝．8．（1）证明：∵ED与⊙O相切于D，∴OD⊥DE，∵F为弦AC中点，∴OD⊥AC，∴AC∥DE．（2）解：作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD．首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE＝AE•DM，只要求出DM即可．（方法二：证明△ADE的面积等于四边形ACDE的面积的一半）∵AC∥DE，AE＝AO，∴OF＝DF，∵AF⊥DO，∴AD＝AO，∴AD＝AO＝OD，∴△ADO是等边三角形，同理△CDO也是等边三角形，∴∠CDO＝∠DOA＝60°，AE＝CD＝AD＝AO＝DO＝a，∴AO∥CD，又AE＝CD，∴四边形ACDE是平行四边形，易知DM＝a，∴平行四边形ACDE面积＝a2．9．解：（1）如图1所示：设⊙O切AB于点P，连接OP，则∠OPB＝90°．∵四边形ABCD为菱形，∴∠ABD＝∠ABC＝30°．∴OB＝2OP．∵OP＝OM，∴BO＝2OP＝2OM．（2）如图2所示：设GH交BD于点N，连接AC，交BD于点Q．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∴BD＝2BQ＝2AB•cos∠ABQ＝AB＝18．设⊙O的半径为r，则OB＝2r，MB＝3r．∵EF＞HE，∴点E，F，G，H均在菱形的边上．①如图2所示，当点E在AB上时．在Rt△BEM中，EM＝BM•tan∠EBM＝r．由对称性得：EF＝2EM＝2r，ND＝BM＝3r．∴MN＝18﹣6r．∴S 矩形EFGH＝EF•MN＝2r（18﹣6r）＝24．解得：r1＝1，r2＝2．当r＝1时，EF＜HE，∴r＝1时，不合题意舍当r＝2时，EF＞HE，∴⊙O的半径为2．∴BM＝3r＝6．如图3所示：当点E在AD边上时．BM＝3r，则MD＝18﹣3r．MN＝18﹣2（18﹣3r）＝6r﹣18，EF＝2EM＝2×（18﹣3r）∴S 矩形EFGH＝EF•MN＝•（18﹣3r）（6r﹣18）＝24．解得：r＝4或5（舍弃），综上所述，⊙O的半径为2或4．（3）解设GH交BD于点N，⊙O的半径为r，则BO＝2r．当点E在边BA上时，显然不存在HE或HG与⊙O相切．①如图4所示，点E在AD上时．∵HE与⊙O相切，∴ME＝r，DM＝r．∴3r+r＝18．解得：r＝9﹣3．∴OB＝18﹣6．②如图5所示；由图形的对称性得：ON＝OM，BN＝DM．∴OB＝BD＝9．③如图6所示．∵HG与⊙O相切时，MN＝2r．∵BN+MN＝BM＝3r．∴BN＝r．∴DM＝FM＝GN＝BN＝r．∴D与O重合．∴BO＝BD＝18．④如图7所示：∵HE与⊙O相切，∴EM＝r，DM＝r．∴3r﹣r＝18．∴r＝9+3．∴OB＝2r＝18+6．综上所述，当HE或GH与⊙O相切时，OB的长为18﹣6或9或18或18+6．10．解：（1）∵∠ACB＝∠DCO＝90°，∴∠ACB﹣∠ACO＝∠DCO﹣∠ACO，即∠ACD＝∠OCB，又∵点O是AB的中点，∴OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠ACD＝∠B，（2）（i）∵BC2＝AB•BE，∴＝，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBE，∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∵∠ACD＝∠B，∴tan∠ACD＝tan∠B＝，设BE＝4x，CE＝3x，由勾股定理可知：BE2+CE2＝BC2，∴（4x）2+（3x）2＝100，∴解得x＝2，∴CE＝6；（ii）过点A作AF⊥CD于点F，∵∠CEB＝90°，∴∠B+∠ECB＝90°，∵∠ACE+∠ECB＝90°，∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝∠ACE，∴CA平分∠DCE，∵AF⊥CE，AE⊥CE，∴AF＝AE，∴直线CD与⊙A相切．。
2021年数学九年级中考复习专题之圆压轴综合(考察证明、长度与面积、动点问题等)(二)
2021年数学九年级中考复习专题之圆压轴综合
（考察证明、长度与面积、动点问题等）（二）
1．如图1，在直角坐标系中，直线l与x、y轴分别交于点A（2，0）、B（0，）两点，∠BAO的角平分线交y轴于点D．点C为直线l上一点，以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一点E．
（1）求出⊙G的半径r，并直接写出点C的坐标；
（2）如图2，若点F为⊙G上的一点，连接AF，且满足∠FEA＝45°，请求出EF的长？
2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在AB上，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）求证：∠BDE＝∠ADP；
（3）设DE＝x，DF＝y．请求出y关于x的函数解析式．
3．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任意一点（不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）求∠APC和∠BPC的度数试；
（2）探究PA、PB、PM之间的关系；
（3）若PA＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积．
4．如图1，已知A、B、D、E是⊙O上四点，⊙O的直径BE＝2，∠BAD＝60°．A为的中点，延长BA到点P．使BA＝AP，连接PE．
（1）求线段BD的长；
（2）求证：直线PE是⊙O的切线．
（3）如图2，连PO交⊙O于点F，延长交⊙O于另一点C，连EF、EC，求tan∠ECF的值．。
最新2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等(一)
2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等（一）1．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC 的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是线段BC上一点，以O为圆心，OC为半径作⊙O，AB与⊙O相切于点F，直线AO交⊙O于点E，D．（1）求证：AO是△CAB的角平分线；（2）若tan∠D＝，求的值；（3）如图2，在（2）条件下，连接CF交AD于点G，⊙O的半径为3，求CF的长．3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△PBD∽△DCA；（3）当AB＝2，AC＝4时，直接写出线段PB的长．4．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D 是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD•AO＝AM•AP．（1）连接OP，证明：△ADM∽△APO；（2）证明：PD是⊙O的切线；（3）若AD＝12，AM＝MC，求PB和DM的值．5．如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，交y轴于点A，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，连接BD分别交y轴和AC于E、F两点，连接AB．（1）求证：AB＝AD；（2）若BF＝4，DF＝6，求线段CD的长；（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．6．如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，①求证：PE＝PF．②若DF＝EF，求∠BAC的度数．7．如图，AB是半圆O的直径，AC是半圆内一条弦，点D是的中点，DB交AC于点G，过点A作半圆的切线与BD的延长线交于点M，连接AD．点E是AB上的一动点，DE与AC相交于点F．（1）求证：MD＝GD；（2）填空：①当∠DEA＝时，AF＝FG；②若∠ABD＝30°，当∠DEA＝时，四边形DEBC是菱形．8．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：AB•AC＝2R•h；（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．9．如图示，AB是⊙O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦AD平分∠BAF，过点D作DE⊥AF交射线AF于点AF．（1）求证：DE与⊙O相切：（2）若AE＝8，AB＝10，求DE长；（3）若AB＝10，AF长记为x，EF长记为y，求y与x之间的函数关系式，并求出AF •EF的最大值．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD相交于点F，AC是⊙O的直径，延长CB到点E，连接AE，∠BAE＝∠ADB，AN⊥BD，CM⊥BD，垂足分别为点N、M．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）试探究DM与BN的数量关系并证明；（3）若BD＝BC，MN＝2DM，当AE＝时，求OF的长．参考答案1．解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α，（2）如图1，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，又∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵＝，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）①如图2，连接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠BEC＝∠FAD，又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE＝DA，∴∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠DAE＝45°，②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，∵∠AED＝45°，∴∠AED＝∠FAC，∵∠FED＝∠FAD，∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，∴∠AEG＝∠CAD，∵∠EGA＝∠ADC＝90°，∴△EGA∽△ADC，∴，∵在Rt△ABG中，AB＝8，∠ABG＝45°，∴AG＝，在Rt△ADE中，AE＝AD，∴，∴，在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，∴x＝，∴ED＝AD＝，∴CE＝CD+DE＝，∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∴EM＝CE＝，∴DM＝DE﹣EM＝，∵∠FDM＝45°，∴FM＝DM＝，∴S△DEF＝DE•FM＝．2．（1）证明：连接OF，∵AB与⊙O相切于点F，∴OF⊥AB，∵∠ACB＝90°，OC＝OF，∴∠OAF＝∠OAC，即AO是△ABC的角平分线；（2）如图2，连接CE，∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°，∴∠ECO+∠OCD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ECO＝90°，∴∠ACE＝∠OCD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ACE＝∠ODC，∵∠CAE＝∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴，∵tan∠D＝，∴，∴；（3）由（2）可知：＝，∴设AE＝x，AC＝2x，∵△ACE∽△ADC，∴，∴AC2＝AE•AD，∴（2x）2＝x（x+6），解得：x＝2或x＝0（不合题意，舍去），∴AE＝2，AC＝4，∴AO＝AE+OE＝2+3＝5，如图3，连接CF交AD于点G，∵AC，AF是⊙O的切线，∴AC＝AF，∠CAO＝∠OAF，∴CF⊥AO，∴∠ACO＝∠CGO＝90°，∵∠COG＝∠AOC，∴△CGO∽△ACO，∴，∴OC2＝OG•OA，∴OG＝，∴CG＝＝＝，∴CF＝2CG＝．3．解：（1）连接OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠BAC＝45°∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝2×45°＝90°，∵PD∥BC，∴∠DOC＝∠PDO＝90°∴OD⊥PD，∵OD为⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；（2）∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC，∵∠PBD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠ACD，∴△PBD∽△DCA；（3）∵△ABC为直角三角形，∴BC2＝AB2+AC2＝22+42＝20，∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，在Rt△DBC中，DB2+DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝20，∴DC＝DB＝，∵△PBD∽△DCA，∴，则PB＝＝＝．4．（1）证明：连接OD、OP、CD．∵AD•AO＝AM•AP，∴，∠A＝∠A，∴△ADM∽△APO．（2）证明：∵△ADM∽△APO，∴∠ADM＝∠APO，∴MD∥PO，∴∠DOP＝∠MDO，∠POC＝∠DMO，∵OD＝OM，∴∠DMO＝∠MDO，∴∠DOP＝∠POC，∵OP＝OP，OD＝OC，∴△ODP≌△OCP（SAS），∴∠ODP＝∠OCP，∵BC⊥AC，∴∠OCP＝90°，∴OD⊥AP，∴PD是⊙O的切线．（3）解：连接CD．由（1）可知：PC＝PD，∵AM＝MC，∴AM＝2MO＝2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，∴R2+122＝9R2，∴R＝3，∴OD＝3，MC＝6，∵，∴，∴AP＝18，∴DP＝AP﹣AD＝18﹣12＝6，∵O是MC的中点，∴，∴点P是BC的中点，∴PB＝CP＝DP＝6，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠CDM＝90°，在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝12，MC＝6，∴BM＝＝＝6，∵△BCM∽△CDM，∴，即，∴DM＝2．5．（1）证明：∵OA⊥BC，且OA过圆心点P，∴OB＝OC，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴AB＝AC，∵以AC为直角边作等腰Rt△ACD，∴AD＝AC，∴AB＝AD；（2）如图1，过点A作AM⊥BD于M，由（1）知，AB＝AD，∴DM＝BD，∵BF＝4，DF＝6，∴BD＝10，∴DM＝5，∵∠AMD＝90°＝∠DAF，∠ADM＝∠FDA，∴△ADM∽△FDA，∴，∴，∴AD＝，在等腰直角三角形ADC中，CD＝AD＝2；（3）的值是不发生变化，理由：如图2，过点D作DH⊥y轴于H，作DQ⊥x轴于Q，∴∠AHD＝90°＝∠COA，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∵∠CAD＝90°，∴∠CAO+∠DAH＝90°，∴∠ADH＝∠CAO，∵AD＝AC，∴△ADH≌△ACO（AAS），∴DH＝AO，AH＝OC，∵∠OHD＝∠QOH＝∠OQD＝90°，∴四边形OQDH是矩形，DH＝OQ，DQ＝OH，又∵HO＝AH+AO＝OC+DH＝OB+DH＝OB+OQ＝BQ，∴DQ＝BQ，∴△DBQ为等腰直角三角形，∴∠DEH＝∠BEO＝45°，∴sin∠DEH＝，∴＝，∴，∴．6．（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，∴∠AOE＝60°，OE＝OA＝，AE＝EB＝OE＝，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠C＝60°，∵OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，∵OF＝FC，∴BF⊥AC，∵AE＝EB，∴EF＝AB＝．（2）①证明：过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．∵∠FGA＝∠ABC＝90°，∴FG∥BC，∴△OFH∽△OCB，∴＝＝，同理＝，∴FH＝OE，∵OE⊥AB．FH⊥AB，∴OE∥FH，∴四边形OEHF是平行四边形，∴PE＝PF．②∵OE∥FG∥BC，∴＝＝1，∴EG＝GB，∴EF＝FB，∵DF＝EF，∴DF＝BF，∵DO＝OB，∴FO⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°．7．证明：（1）如图，连接BC．∵D是的中点，∴∠DAC＝∠ABD，∵MA是半圆O的切线，∴MA⊥AB，∵AB是半圆O的直径，∴AD⊥DB，∴∠ADM＝90°，∴∠M+∠MAD＝∠MAD+∠BAD＝90°，∴∠M＝∠BAD＝∠DAC+∠BAG＝∠ABD+∠BAG＝∠AGD，∴AG＝AM，∵AD⊥MG，∴MD＝GD；（2）①若AF＝FG，∵∠ADG＝90°，∴AF＝FG＝DF，∴∠DAF＝∠ADF，∴∠ADF＝∠ABD，∵∠ADF+∠EDB＝90°，∴∠ABD+∠EDB＝90°，∴∠DEA＝90°，故答案为：90°；②若四边形DEBC是菱形，∴∠DBA＝∠DBC＝30°，DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝30°+30°＝60°，故答案为：60°．8．解：（1）如图1，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，又∵OD是半径，∴OD⊥BC，∵MN∥BC，∴OD⊥MN，∴MN是⊙O的切线；（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于H，连接BH，∵AH是直径，∴∠ABH＝90°＝∠AFC，又∵∠AHB＝∠ACF，∴△ACF∽△AHB，∴，∴AB•AC＝AF•AH＝2R•h；（3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝α，∴＝，∴BD＝CD，∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，∴DQ＝DP，∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），∴BQ＝CP，∵DQ＝DP，AD＝AD，∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），∴AQ＝AP，∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，∵cos∠BAD＝，∴AD＝，∴＝＝2cosα．9．（1）证明：连接OD，如图1所示：∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAF，∴∠OAD＝∠FAD，∴∠ODA＝∠FAD，∴OD∥AF，∵DE⊥AF，∴DE⊥OD，又∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切：（2）解：连接BD，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AF，∴∠AED＝90°＝∠ADB，又∵∠EAD＝∠DAB，∴△AED∽△ADB，∴AD：AB＝AE：AD，∴AD2＝AB×AE＝10×8＝80，在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝＝4；（3）连接DF，过点D作DG⊥AB于G，如图3所示：在△AED和△AGD中，，∴△AED≌△AGD（AAS），∴AE＝AG，DE＝DG，∵∠FAD＝∠DAB，∴＝，∴DF＝DB，在Rt△DEF和Rt△DGB中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGB（HL），∴EF＝BG，∴AB＝AG+BG＝AF+EF＝AF+EF+EF＝AF+2EF，即：x+2y＝10，∴y＝﹣x+5，∴AF•EF＝﹣x2+5x＝﹣（x﹣5）2+，∴AF•EF有最大值，当x＝5时，AF•EF的最大值为．10．（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ADB+∠BDC＝90°，∵∠BAC＝∠BDC，∠BAE＝∠ADB，∴∠BAE+∠BAC＝90°，即∠CAE＝90°，∴AE⊥AC，AE是⊙O的切线；（2）解：DM＝BN，理由如下：∵AN⊥BD，CM⊥BD，∠ADC＝90°，∴∠AND＝∠ANB＝∠DMC＝∠ADC＝90°，∴∠ADN+∠MDC＝∠MCD+∠MDC＝90°，∴∠ADN＝∠MCD，∴△DMC∽△AND，∴＝，∵∠ABN＝∠ACD，∠ANB＝∠ADC＝90°，∴△ADC∽△ANB，∴＝，即＝，∴＝，∴DM＝BN；（3）解：由（2）知DM＝BN，则BM＝DN，设DM＝BN＝a，∵MN＝2DM，BD＝BC，∴MN＝2a，BM＝DN＝3a，BD＝BC＝4a，∵∠BMC＝90°，∴CM＝＝＝a，∵AC是⊙O的直径，AN⊥BD，∴∠ABC＝∠AND＝90°，∵∠ADB＝∠ACB，∴△ADN∽△ACB，∴＝＝＝，设AN＝3b，AB＝4b（b＞0），∵∠ANB＝∠ABC＝90°，BN＝a，∴AN 2+BN 2＝AB 2，即（3b ）2+a 2＝（4b ）2，解得：b ＝a ， ∴AN ＝a ，AB ＝a ， ∵BC ＝4a ，∴AC ＝＝＝a ， ∴cos ∠ACB ＝cos ∠ADB ＝cos ∠EAB ＝＝＝， ∵AE ＝，∴AB ＝AE ×cos ∠EAB ＝×＝＝a ， ∴a ＝， ∴AC ＝， ∴OC ＝AC ＝，∵∠ANF ＝∠CMF ＝90°，∠AFM ＝∠MFC ，∴△ANF ∽△CMF ，∴＝＝＝， ∴CF ＝AC ＝，∴OF ＝CF ﹣OC ＝﹣＝．1、最困难的事就是认识自己。
2021年数学九年级中考复习专题之圆的综合(考察切线证明、长度、面积、动点问题等)(五)
2021年数学九年级中考复习专题之圆的综合（考察切线证明、长度、面积、动点问题等）（五）1．如图，⊙O是△ABC外接圆，AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB于点H，DE与AC相交于点G，DE、BC的延长线交于点F，P是GF的中点，连接PC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是1，＝，∠ABC＝45°，求OH的长．2．如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB＝∠ADB．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似；（3）已知AF＝4，CF＝2．在（2）条件下，求AE的长．3．阅读资料：小明是一个爱动脑筋的好学生，他在学习了有关圆的切线性质后，意犹未尽，又查阅到了与圆的切线相关的一个问题：如图1，已知PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，延长BA交切线PC与P，连接AC、BC、OC．因为PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，所以∠OCP＝∠ACB＝90°，所以∠1＝∠2．又因为∠B＝∠1，所以∠B＝∠2．在△PAC与△PCB中，又因为：∠P＝∠P，所以△PAC∽△PCB，所以＝，即PC2＝PA•PB．问题拓展：（Ⅰ）如果PB不经过⊙O的圆心O（如图2）等式PC2＝PA•PB，还成立吗？请证明你的结论；综合应用：（Ⅱ）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，PC是⊙O的切线，C是切点，BA的延长线交PC于点P；（1）当AB＝PA，且PC＝12时，求PA的值；（2）D是BC的中点，PD交AC于点E．求证：＝．4．在平面直角坐标系xOy中，点M（，），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M．使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴，y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM．点P是上的动点．（1）写出∠AMB的度数；（2）点Q在射线OP上，且OP•OQ＝20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E．①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S．求S与t的函数关系式及S的取值范围．5．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC＝∠B，AD为⊙O 的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：AG2＝AF•AB；（3）若⊙O的直径为10，AC＝2，AB＝4，求△AFG的面积．6．如图，在⊙O中，直径AB平分弦CD，AB与CD相交于点E，连接AC、BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA＝∠B．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若AC＝4，tan∠ACD＝，求⊙O的半径．7．如图①，已知等腰梯形ABCD的周长为48，面积为S，AB∥CD，∠ADC＝60°，设AB＝3x．（1）用x表示AD和CD；（2）用x表示S，并求S的最大值；（3）如图②，当S取最大值时，等腰梯形ABCD的四个顶点都在⊙O上，点E和点F 分别是AB和CD的中点，求⊙O的半径R的值．8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC＝∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若∠PBC＝22.5°，⊙O的半径R＝2，求劣弧AC的长度．9．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，扇形纸片DOE的顶点O 与边AB的中点重合，OD交BC于点F，OE经过点C，且∠DOE＝∠B．（1）证明△COF是等腰三角形，并求出CF的长；（2）将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转，OD，OE与边AC分别交于点M，N（如图2），当CM的长是多少时，△OMN与△BCO相似？10．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上，∠AEF ＝90°，AE＝EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．（1）试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；（2）求证：∠ACF＝90°；（3）连接AF，过A、E、F三点作圆，如图2，若EC＝4，∠CEF＝15°，求的长．参考答案1．解：（1）如图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠FCG＝90°，∵P是GF的中点，∴PC＝PF＝PG，∴∠PCG＝∠PGC，∵∠PGC＝∠HGA，DE⊥AB∴∠A+∠HGA＝90°，∴∠A+∠PGC＝90°，∵∠A＝∠ACO，∴∠ACO+∠HGA＝90°，∴∠PCO＝90°，∴PC是⊙O的切线；（2）如图2，连接OE，交AC于点M，∵AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB，∴，∵＝，∴，∴OE⊥AC，∴∠OMA＝90°，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠AOM＝45°，∵AO＝1，∴OM＝，∵＝，∴AC＝DE，OH＝OM，∴OH＝OM＝．2．（1）证明：如图1，连接CD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ADB+∠EDC＝90°，∵∠BAC＝∠EDC，∠EAB＝∠ADB，∴∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝90°，∴EA是⊙O的切线．（2）证明：如图2，连接BC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠CBA＝∠ABC＝90°∵B是EF的中点，∴在RT△EAF中，AB＝BF，∴∠BAC＝∠AFE，∴△EAF∽△CBA．（3）解：∵△EAF∽△CBA，∴＝，∵AF＝4，CF＝2．∴AC＝6，EF＝2AB，∴＝，解得AB＝2．∴EF＝4，∴AE＝＝＝4，3．解：（Ⅰ）当PB不经过⊙O的圆心O时，等式PC2＝PA•PB仍然成立．证法一：如图2﹣1，连接PO并延长交⊙O于点D，E，连接BD、AE，∴∠B＝∠E，∠BPD＝∠APE，∴△PBD∽△PEA，∴，即PA•PB＝PD•PE，由图1知，PC2＝PD•PE，∴PC2＝PA•PB．证法二：如图2﹣2，过点C作⊙O的直径CD，连接AD，BC，AC，∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥CD，∴∠CAD＝∠PCD＝90°，即∠1+∠2＝90°，∠D+∠1＝90°，∴∠D＝∠2．∵∠D＝∠B，∴∠B＝∠2，∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA，所以，即PC2＝PA•PB．（Ⅱ）由（1）得，PC2＝PA•PB，PC＝12，AB＝PA，∴PC2＝PA•PB＝PA（PA+AB）＝2PA2，∴2PA2＝144，∴PA＝±6（负值无意义，舍去）．∴PA＝6．（2）证法一：过点A作AF∥BC，交PD于点F，∴＝，＝．∵D为BC的中点，∴BD＝CD，∴＝，∴＝．∵PC2＝PA•PB，∴＝＝＝，即＝．证法二：过点A作AG∥DP，交BC于点G，∴＝，＝．∵D为BC的中点，∴BD＝CD，∴＝，∴＝．∵PC2＝PA•PB，∴＝＝＝，即＝．4．解：（1）过点M作MH⊥OD于点H，∵点M（，），∴OH＝MH＝，∴∠MOD＝45°，∵∠AOD＝90°，∴∠AOM＝45°，∵OM＝AM，∴∠OAM＝∠AOM＝45°，∴∠AMO＝90°，∴∠AMB＝90°；（2）①∵OH＝MH＝，MH⊥OD，∴OM＝＝2，OD＝2OH＝2，∴OB＝4，∵动点P与点B重合时，OP•OQ＝20，∴OQ＝5，∵∠OQE＝90°，∠POE＝45°，∴OE＝5，∴E点坐标为（5，0）②∵OD＝2，Q的纵坐标为t，∴S＝．如图2，当动点P与B点重合时，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F点，∵OP＝4，OP•OQ＝20，∴OQ＝5，∵∠OFC＝90°，∠QOD＝45°，∴t＝QF＝，此时S＝；如图3，当动点P与A点重合时，Q点在y轴上，∴OP＝2，∵OP•OQ＝20，∴t＝OQ＝5，此时S＝；∴S的取值范围为5≤S≤10．5．（1）PA与⊙O相切．理由：连接CD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠D+∠CAD＝90°，∵∠B＝∠D，∠PAC＝∠B，∴∠PAC＝∠D，∴∠PAC+∠CAD＝90°，即DA⊥PA，∵点A在圆上，∴PA与⊙O相切．（2）证明：如图2，连接BG，∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，∴＝，∴∠AGF＝∠ABG，∵∠GAF＝∠BAG，∴△AGF∽△ABG，∴AG：AB＝AF：AG，∴AG2＝AF•AB；（3）解：如图3，连接BD，∵AD是直径，∴∠ABD＝90°，∵AG2＝AF•AB，AG＝AC＝2，AB＝4，∴AF＝＝，∵CG⊥AD，∴∠AEF＝∠ABD＝90°，∵∠EAF＝∠BAD，∴△AEF∽△ABD，∴，即，解得：AE＝2，∴EF＝＝1，∵EG＝＝4，∴FG＝EG﹣EF＝4﹣1＝3，∴S△AFG＝FG•AE＝×3×2＝3．6．（1）证明：连接CO，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∵OB＝CO，∴∠B＝∠OCB，∵∠FCA＝∠B，∴∠BCO＝∠ACF，∴∠OCA+∠ACF＝90°，即∠OCF＝90°，∴CF是⊙O的切线；（2）解：∵直径AB平分弦CD，∴AB⊥DC，∴＝，∵AC＝4，tan∠ACD＝，∴tan∠B＝tan∠ACD＝＝，∴＝，∴BC＝8，∴在Rt△ABC中，AB＝＝＝4，则⊙O的半径为：2．7．解：（1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如图①，则四边形AHGB为矩形，∴HG＝AB＝3x，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴AD＝BC，DH＝CG，在Rt△ADH中，设DH＝t，∵∠ADC＝60°，∴∠DAH＝30°，∴AD＝2t，AH＝t，∴BC＝2t，CG＝t，∵等腰梯形ABCD的周长为48，∴3x+2t+t+3x+t+2t＝48，解得t＝8﹣x，∴AD＝2（8﹣x）＝16﹣2x，CD＝8﹣x+3x+8﹣x＝16+x；（2）S＝（AB+CD）•AH＝（3x+16+x）•（8﹣x）＝﹣2x2+8x+64，∵S＝﹣2（x﹣2）2+72，∴当x＝2时，S有最大值72；（3）连结OA、OD，如图②，当x＝2时，AB＝6，CD＝16+2＝18，等腰梯形的高为×（8﹣2）＝6，则AE＝3，DF＝9，∵点E和点F分别是AB和CD的中点，∴直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴，∴EF垂直平分AB和CD，EF为等腰梯形ABCD的高，即EF＝6，∴等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上，设OE＝a，则OF＝6﹣a，在Rt△AOE中，∵OE2+AE2＝OA2，∴a2+32＝R2，在Rt△ODF中，∵OF2+DF2＝OD2，∴（6﹣a）2+92＝R2，∴a2+32＝（6﹣a）2+92，解得a＝5，∴R2＝（5）2+32＝84，∴R＝2．8．解：（1）∵∠PBC＝∠D，∠PBC＝∠C，∴∠C＝∠D，∴CB∥PD；（2）连结OC，OD．∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴＝，∵∠PBC＝∠DCB＝22.5°，∴∠BOC＝∠BOD＝2∠C＝45°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝135°，∴劣弧AC的长为：＝．9．解：（1）∵∠ACB＝90°，点O是AB的中点，∴OC＝0B＝OA＝5．∴∠OCB＝∠B，∠ACO＝∠A．∵∠DOE＝∠B，∴∠FOC＝∠OCF．∴FC＝FO．∴△COF是等腰三角形．过点F作FH⊥OC，垂足为H，如图1，∵FC＝FO，FH⊥OC，∴CH＝OH＝，∠CHF＝90°．∵∠HCF＝∠B，∠CHF＝∠BCA＝90°，∴△CHF∽△BCA．∴＝．∵CH＝，AB＝10，BC＝6，∴CF＝．∴CF的长为．（2）①若△OMN∽△BCO，如图2，则有∠NMO＝∠OCB．∵∠OCB＝∠B，∴∠NMO＝∠B．∵∠A＝∠A，∴△AOM∽△ACB．∴＝．∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝8．∵AO＝5，AC＝8，AB＝10，∴AM＝．∴CM＝AC﹣AM＝．②若△OMN∽△BOC，如图3，则有∠MNO＝∠OCB．∵∠OCB＝∠B，∴∠MNO＝∠B．∵∠ACO＝∠A，∴△CON∽△ACB．∴＝＝．∵BC＝6，AB＝10，AC＝8，CO＝5，∴ON＝，CN＝．过点M作MG⊥ON，垂足为G，如图3，∵∠MNO＝∠B，∠MON＝∠B，∴∠MNO＝∠MON．∴MN＝MO．∵MG⊥ON，即∠MGN＝90°，∴NG＝OG＝．∵∠MNG＝∠B，∠MGN＝∠ACB＝90°，∴△MGN∽△ACB．∴＝．∵GN＝，BC＝6，AB＝10，∴MN＝．∴CM＝CN﹣MN＝﹣＝．∴当CM的长是或时，△OMN与△BCO相似．10．解：（1）BE＝FH．证明：∵∠AEF＝90°，∠ABC＝90°，∴∠HEF+∠AEB＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠HEF＝∠BAE，在△ABE和△EHF中，，∴△ABE≌△EHF（AAS）∴BE＝FH．（2）由（1）得BE＝FH，AB＝EH，∵BC＝AB，∴BE＝CH，∴CH＝FH，∴∠HCF＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∴∠ACF＝180°﹣∠HCF﹣∠ACB＝90°．（3）由（2）知∠HCF＝45°，∴CF＝FH．∠CME＝∠HCF﹣∠CEF＝45°﹣15°＝30°．如图2，过点C作CP⊥EF于P，则CP＝CF＝FH．∵∠CEP＝∠FEH，∠CPE＝∠FHE＝90°，∴△CPE∽△FHE．∴，即，∴EF＝4．∵△AEF为等腰直角三角形，∴AF＝8．取AF中点O，连接OE，则OE＝OA＝4，∠AOE＝90°，∴的弧长为：＝2π．方法二：连OC，则∠COF＝2∠CEF＝2*15度＝30度，易知三角形AEF为等腰直角三角形，由∠EOF＝90度，推出角EOC＝60度，三角形OCE为等边三角形，推出半径OE＝EC＝4即可；。
2021年数学九年级中考复习专题之圆压轴综合(考察证明、长度与面积、动点问题等)(五)
2021年数学九年级中考复习专题之圆压轴综合（考察证明、长度与面积、动点问题等）（五）1．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、C两点，与BC边交于点E，点D 为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F．AB＝BF，CF＝4，DF＝．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径r；（3）设点P是BA延长线上的一个动点，连接DP交CF于点M，交弧AC于点N（N与A、C不重合）．试问DM•DN是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是．请说明理由．2．如图，AB是⊙O的直径，且AB＝4，C是⊙O上一点，D是的中点，过点D作⊙O的切线与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD．（1）求证：AF⊥EF；（2）填空：①当BE＝时，点C是AF的中点；②当∠E＝时，四边形OBDC是菱形．3．如图1，直线l与圆O相交于A，B两点，AC是圆O的直径，D是圆上一点．DE⊥l于点E，连接AD，且AD平分∠CAE．（1）求证：DE是圆O的切线．（2）若DE＝3，AE＝，求圆O的半径．（3）如图2，在（2）的条件下，点P是弧AB上一点，连接PC，PD，PB，问：线段PC、PD、PB之间存在什么数量关系？请说明理由．4．【问题情境】如图1，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，连接BE、CE．求证：．（说明：S表示面积）请以“问题情境”为基础，继续下面的探究【探究应用1】如图2，以平行四边形ABCD的边AD为直径作⊙O，⊙O与BC边相切于点H，与BD相交于点M．若AD＝6，BD＝y，AM＝x，试求y与x之间的函数关系式．【探究应用2】如图3，在图1的基础上，点F在CD上，连接AF、BF，AF与CE相交于点G，若AF＝CE，求证：BG平分∠AGC．【迁移拓展】如图4，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝2：1，过D分别作DG⊥AF于G，DH⊥CE于H，请直接写出DG：DH的值．5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且tan∠ABC＝2；（1）利用尺规过点A作⊙O的切线AD（点D在直线AB右侧），且AD＝AB，连接OD交AC于点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）条件下，①求证：OD∥BC；②连接BD交⊙O于点F，求证：DE•OD＝DF•BD．6．如图1，△ABC为⊙O的内接三角形，AD为⊙O的直径，AD与BC相交于点F，DE为⊙O 的切线，交AC的延长线于E（1）求证：∠E＝∠B；（2）如图2，若∠CFD＝3∠DAE，求证：AC＝BC；（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作AG⊥BC于点G，AG的延长线交BD于点H，点H为BD的中点若CE＝1，求FG的长．7．如图1，已知△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D．（1）⊙O的半径为．（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）如图2，作⊙O的直径AE，连接DE交BC于点F，连接AF，求AF的长．8．如图，AB为⊙O的直径，点D是⊙O上一动点，过点B作⊙O的切线，连接AD并延长，交过点B的切线于点C，点E是BC的中点，连接DE，OD（1）求证：DE是⊙O切线；（2）当∠A＝度时，四边形OBED为正方形；（3）连接OE交⊙O于点F，连接DF，若OA＝2，BC＝时，四边形ADFO为菱形．9．已知点A 、B 在⊙O 上，∠AOB ＝90°，OA ＝， （1）点P 是优弧上的一个动点，求∠APB 的度数；（2）如图①，当tan ∠OAP ＝﹣1时，求证：∠APO ＝∠BPO ；（3）如图②，当点P 运动到优弧的中点时，点Q 在上移动（点Q 不与点P 、B 重合），若△QPA 的面积为S 1，△QPB 的面积为S 2，求S 1+S 2的取值范围．10．如图1，等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，过点A ，C 的圆交AB 于点D ，交BC于点E ，连结DE（1）若AD ＝7，BD ＝1，分别求DE ，CE 的长（2）如图2，连结CD ，若CE ＝3，△ACD 的面积为10，求tan ∠BCD（3）如图3，在圆上取点P 使得∠PCD ＝∠BCD （点P 与点E 不重合），连结PD ，且点D 是△CPF 的内心①请你画出△CPF ，说明画图过程并求∠CDF 的度数②设PC ＝a ，PF ＝b ，PD ＝c ，若（a ﹣c ）（b ﹣c ）＝8，求△CPF 的内切圆半径长．参考答案1．（1）证明：如图1，连接OA，OD，∵D为为CE的下半圆弧的中点，EC为⊙O直径，∴＝，∴∠EOD＝∠COD＝×180°＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵BA＝BF，∴∠BAF＝∠BFA＝∠DFO，∴∠BAF+∠OAD＝∠DFO+∠ODA＝90°，∴OA⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，由（1）知，∠EOD＝90°，在Rt△OFD中，OD＝r，OF＝4﹣r，DF＝，∴r2+（4﹣r）2＝（）2，解得，r1＝1（舍去），r2＝3，∴⊙O半径为3；（3）如图2，连接CN，CD，在Rt△OCD中，OC＝OD＝r＝3，DC＝＝3，∵＝，∴∠ECD＝∠DNC，又∵∠CDN＝∠CDN，∴△DCM∽△DNC，∴＝，∴DM•DN＝DC2，∵DC2＝（3）2＝18，∴DM•DN为定值，该定值为18．2．解：（1）连接OD，BD，BC，∵ED为⊙O的切线，∴OD⊥EF，∵D是的中点，∴OD⊥BC，∴EF∥BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠AFE＝90°，∴AF⊥EF；（2）①当BE＝4时，由（1）知，BC∥EF，当AB＝BE时，AC＝CF，∴当BE＝4时，点C是AF的中点，故答案为：4；②当∠E＝30°时，四边形OBDC是菱形．如图，∵EF是⊙O的切线，∴∠ODE＝∠F＝90°，∴∠DOE＝∠COA＝60°，∵OD＝OB＝OC＝OA，∴△ODB，△AOC为等边三角形，∴∠COA＝∠DOB＝60°，∴∠COD＝60°，∴△COD为等边三角形，∴OB＝BD＝OD＝CD＝OC，∴四边形OBDC是菱形；故答案为：①4；②30°．3．（1）证明：如图，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠CAE，∴∠OAD＝∠DAE，∴∠ODA＝∠DAE．∴DO∥AB，∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，∵OD是半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图1，连结CD，∵∠AED＝90°，DE＝3，AE＝，∴AD＝＝2，∵AC是⊙O直径，∴∠ADC＝90°，而∠AED＝90°，又∵∠CAD＝∠DAE，∴△ACD∽△ADE，∴，∴，解得AC＝4．∴⊙O的半径2；（3）解：PC＝PD+PB，理由如下：连接PB、DB，在CP上截取PB＝PF，连接BF、BC，∵，DE＝3，∴，∴∠DAE＝60°，由（2）可知∠CAD＝60°，∴∠CAB＝60°，∴∠CPB＝∠CAB＝60°，∴△PBF为等边三角形，∴PB＝BF，∠PFB＝60°，∴∠DPB＝∠DPC+∠BPC＝60°+60°＝120°，∠CFB＝120°，在△PBD和△FBC中，，∴△PBD≌△FBC（AAS），∴CF＝DP，∴PC＝PF+CF＝PD+PB．4．【问题情境】证明：作EF⊥BC于F，如图1所示：则S△BCE ＝BC×EF，S平行四边形ABCD＝BC×EF，∴．【探究应用1】解：连接OH，如图2所示：∵⊙O与BC边相切于点H，∴OH⊥BC，OH＝AD＝3，∴平行四边形ABCD的面积＝AD×OH＝6×3＝18，∵AD是⊙O的直径，∴∠AMD＝90°，∴AM⊥BD，∴△ABD的面积＝BD×AM＝平行四边形的面积＝9，即xy＝9，∴y与x之间的函数关系式y＝；【探究应用2】证明：作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N，如图3所示：同图1得：△ABF的面积＝△BCE的面积＝平行四边形ABCD的面积，∴AF×BM＝CE×BN，∵AF＝CE，∴BM＝BN，∴BG平分∠AGC．【迁移拓展】解：作AP⊥BC于P，EQ⊥BC于Q，如图4所示：∵平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，∴∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°，设AB＝4x，则BC＝3x，∴BP＝AB＝2x，BQ＝BE，AP＝BP＝2x，∵E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝2：1，∴BE＝2x，BF＝2x，∴BQ＝x，∴EQ＝x，PF＝4x，QF＝3x，QC＝4x，由勾股定理得：AF＝＝2x，CE＝＝x，连接DF、DE，则△CDE的面积＝△ADF的面积＝平行四边形ABCD的面积，∴AF×DG＝CE×DH，∴DG：DH＝CE：AF＝x：2x＝：2．5．解：（1）作图所示，（2）∵AB为⊙O直径，且点C在⊙O上，AD＝AB ∴tan∠AOD＝2，∵∠C＝90°∵tan∠ABC＝2，∴tan∠AOD＝tan∠ABC∴∠AOD＝∠ABC∴OD∥BC；②连接AF∵OD∥BC，且∠C＝90°∴∠AED＝90°∵∠ADO＝∠ADE∴△ADO∽△ADE，∴即AD2＝DO•DE，∵AB为⊙O直径，且点F在⊙O上即∠AFB＝90°，∵∠BAD＝90°且∠ADB＝∠ADF∴△ABD∽△FAD，∴即AD2＝BD•DF，即DO•DE＝BD•DF．6．（1）证明：如图1，连接BD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，即∠ABC+∠CBD＝90°，∵AD为⊙O的直径，DE为⊙O的切线，∴∠ADE＝90°，即∠DAE+∠E＝90°，∵∠CBD＝∠DAE，∴∠E＝∠B；（2）证明：如图2，连接OB、OC，∵∠CFD＝3∠DAE，∠CFD＝∠ACF+∠DAE，∴∠ACF＝2∠DAE，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC＝∠OCA＝∠OCB，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OBC＝∠OAC，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∴∠CBA＝∠CAB，∴AC＝BC；（3）如图3，作OM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接CD，∵OM⊥BC，∴BM＝CM，∵AG∥OM∥DN，OA＝OD，∴GM＝MN，∵GH∥DN，BH＝HD，∴BG＝GN，设MG＝MN＝a，则BG＝GN＝2a，∴CG＝4a，BC＝6a，由（2）得，AC＝BC＝6a，∴AG＝＝2a，tan∠BAG＝＝，∵∠HBG＝∠BAG，∴＝，∴AG＝5GH，∵DN＝2GH，∵AG∥DN，∴＝＝，同理可得，AC＝CD，CD＝CE，∴CB＝CA＝5，∴GN＝BC＝，∴GF＝GN＝．7．（1）解：如图1，连接OB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ACB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴OA＝AB＝4，故答案为：4；（2）证明：如图1，连接OC，∵AB＝AC，∴＝，∴∠AOC＝∠AOB＝60°，∴△AOC为等边三角形，∴四边形OBAC为菱形，∴OC∥BD，∵CD⊥AB，∴CD⊥OC，即CD是⊙O的切线；（3）解：如图2，连接BE，∵＝，∴OA⊥BC于H，∵∠ABC＝30°，∴AH＝AB＝2，由勾股定理得，BH＝＝2，∴BC＝2BH＝4，在Rt△BDC中，∠ABC＝30°，∴CD＝BC＝2，∵AE是⊙O的直径，∴∠EBA＝90°，∴BE＝AB•tan∠BAE＝4，∵∠DBE＝∠BDC＝90°，∴CD∥BE，∴＝＝2，∠DAC＝180°﹣∠BAC＝60°，∴DA＝AC＝AB，∴＝，∴AF∥CD，∴＝＝，即＝，解得，AF＝．8．（1）证明：连接BD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵在Rt△BDC中，点E是BC的中点，∴DE＝BE＝CE＝BC，∴∠DBE＝∠BDE，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠DBE+∠OBD＝∠BDE+∠ODB，即∠OBE＝∠ODE，∵BC是⊙O的切线，∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O切线；（2）解：当∠A＝45°时，四边形OBED是正方形，理由如下：∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A＝45°，∴∠AOD＝90°，∴∠BOD＝90°，由（1）得：∠OBE＝∠ODE＝90°，∴四边形OBED是矩形，又∵OB＝OD，∴四边形OBED为正方形；故答案为：45°；（3）解：∵四边形ADFO为菱形，∴OA＝AD，∵OA＝OD，∴OA＝OD＝AD，∴△AOD是等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠ABC＝90°，AB＝2OA＝4，∴BC＝AB＝4；故答案为：4．9．（1）解：∵∠AOB＝90°，∴∠APB＝∠AOB＝45°，（2）证明：过点O作OC⊥PA于C，在CA上截取CD＝OC，如图①所示：∵，∴，即AC＝OC，∵CD＝OC，∴AD＝AC﹣CD＝（+1）OC﹣OC＝OC∵∠OCD＝90°，OC＝CD，∴OD＝OC，∠CDO＝45°，∴AD＝OD，∴∠A＝∠DOA，∵∠A+∠DOA＝∠CDO＝45°，∴∠A＝22.5°，∵OP＝OA，∴∠APO＝∠A＝22.5°，∵∠APB＝45°，∴∠BPO＝∠APB﹣∠APO＝22.5°，∴∠APO＝∠BPO；（3）解：连接AB，连接PO并延长交AB于E，则PE⊥AB，把△PBQ沿着PQ翻折得△PB′Q，如图②所示：则PB′＝PB＝PA，∠PQB＝∠PQB′，S2＝S△QPB＝S△QB'P，∵∠AQP＝∠ABP，∠ABP＝∠PAB，∴∠AQP＝∠PAB，∵四边形PABQ内接于⊙O，∴∠PAB+∠PQB＝180°，∴∠AQP+∠PQB′＝180°，∴点A、Q、B′三点共线，∵S1+S2＝S△QPA+S△QB'P＝S△PAB'，∴S1+S2＞0当且仅当PA⊥PB′时，S1+S2有最大值，在Rt△PAE中，AE＝1，PE＝，PA2＝AE2+PE2＝4+2，∴，∴0＜S 1+S 2≤．10．解：（1）由图可知：设BC ＝x ．在Rt △ABC 中，AC ＝BC ．由勾股定理得： AC 2+BC 2＝AB 2，∵AB ＝AD +BD ，AD ＝7，BD ＝1，∴x 2+x 2＝82，解得：x ＝．∵⊙O 内接四边形，∠ACD ＝90°，∴∠ADE ＝90°，∴∠EDB ＝90°，∵∠B ＝45°，∴△BDE 是等腰直角三角形．∴DE ＝DB ，又∵DB ＝1，∴DE ＝1，又∵CE＝BC﹣BE，∴CE＝．（2）如图所示：在△DCB中过点D作DM⊥BE，设BE＝y，则DM＝y，又∵CE＝3，∴BC＝3+y，∵S＝S ACD+S DCB，△ACB∴解得：y＝2或y＝﹣11（舍去）．∴EM＝1，CM＝CE+ME＝1+3＝4，又∵∠BCD＝∠MCD，∴tan∠BCD＝tan∠MCD，在Rt△DCM中，tan∠MCD＝＝，∴tan∠BCD＝．（3）①如下图所示：作∠DPF＝∠DPC，使PF与BC的延长线相交于点F，连接DF，OD，OC．由（1）可知，ED⊥AB，∴∠EDC+∠CDO+∠ODA＝90°，又∵在⊙O中，∠COD与∠CAD是弦CD对的圆心角与圆周角，∴∠COD＝2∠CAD，又∵∠CAD＝45°，∴∠COD＝90°，又∵OC＝OD，∴∠CDO＝45°，∴∠EDC+∠ODA＝45°，∴∠CDE+∠BDF＝45°，又∵∠CDF＝∠CDE+∠EDB+∠BDF＝90°+45°＝135°，即∠CDF的度数为135°．②如下图所示过点D分别作DK⊥PC，DM⊥CF，DN⊥PF于直线PC，CF和PF于点K，M，N三点，设△PCF内切圆的半径为m，则DN＝m，∵点D是△PCF的内心，∴DM＝DN＝DK，又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC＝180°，∠FDC＝45°，∴∠DCF+∠CFD＝45°，又∵DC，DF分别是∠PCF和∠PFC的角平分线，∴∠PCF＝2∠DCF，∠PFC＝2∠DFC，∴∠PCF+∠PFC＝90°，∴∠CPF＝90°．在四边形PKDN中，∠PND＝∠NPK＝∠PKD＝90°，∴四边形PKDN是矩形，又∵KD＝ND，∴四边形PKDN 是正方形．又∵∠MBD ＝∠BDM ＝45°，∠BDM ＝∠KDP ，∴∠KDP ＝45°．∵PC ＝a ，PF ＝b ，PD ＝c ，∴PN ＝PK ＝， ∴NF ＝，CK ＝，又∵CK ＝CM ，FM ＝FN ，CF ＝CM +FM ， ∴CF ＝，又∵S △PCF ＝S △PDF +S △PDC +S △DCF ， ∴c ）×， 化简得：ab ＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅰ）， 又∵若（a ﹣c ）（b ﹣c ）＝8 化简得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）， 将（Ⅰ）代入（Ⅱ）得：c 2＝8，解得：，或（舍去）， ∴m ＝，即△CPF 的内切圆半径长为2．。
2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等【含答案】
2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等1．如图，四边形ABCD是矩形，连接AC，E是AC上一点，⊙O经过点C、D、E，分别与AD、BC相交于点F、G，连接ED、EF、EG，延长GE交AD于点H．（1）求证△HEF∽△DEC；（2）若AB＝6，BC＝9，①当△HEF是等腰三角形时，求CE的长；②当⊙O与AB相切时，则CE的长为 ．2．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB 相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B＝，求⊙O的半径；（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF．（1）求线段AE的长；（2）若AB﹣BO＝2，求tan∠AFC的值；（3）若△DEF与△AEB相似，求EF的值．4．如图，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D，连接AD，且∠DAE＝∠ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与⊙O相切于点B．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）连接AB交OP于点F，求证：△FAD∽△DAE；（3）若tan∠OAF＝，求的值．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度数；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．6．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，以AB为直径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，证明r2＝AD•OE；（3）若DE＝4，sin C＝，求AD之长．7．如图，在∠DAM内部做Rt△ABC，AB平分∠DAM，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点N为BC的中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F 由A点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作⊙O．（1）判断△AEF的形状为 ，并判断AD与⊙O的位置关系为 ；（2）求t为何值时，EN与⊙O相切？求出此时⊙O的半径，并比较半径与劣弧长度的大小；（3）直接写出△AEF的内心运动的路径长为 ；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）（4）直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为 ．（参考数据：sin37°＝，tan37°＝，tan74°≈，sin74°≈，cos74°≈）8．如图，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO 的延长线于点M，CM交⊙O于点D．（1）求证：AM＝AC；（2）填空：①若AC＝3，MC＝ ；②连接BM，当∠AMB的度数为 时，四边形AMBC是菱形．9．如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x 轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：ME是⊙P的切线；（3）设N（x，y）是抛物线上的一个动点（不与C、G重合）．当∠CNG≤30°时，请求出点N的横坐标的取值范围．10．问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：（请把下面的过程填写完整）如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有又∵∠PCD＝∠ △ ∽△ ∴∴PD＝BP∴AP+BP＝AP+PD∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 ．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为 ．（请在图3中添加相应的辅助线）（3）拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P 是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．答案1．（1）证明：如图1，∵四边形CDFE是⊙O的内接四边形，∴∠DFE+∠DCE＝180°，∵∠DFE+∠EFH＝180°，∴∠EFH＝∠DCE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DHE＝∠BGE，∵四边形DEGC是⊙O的内接四边形，∴∠BGE＝∠CDE，∴∠CDE＝∠DHE，∴△HEF∽△DEC；（2）解：①由（1）知：△HEF∽△DEC，∴，i）当HF＝EF时，∵，∴EC＝DC，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，∴CE＝DC＝6；ii）当HE＝EF时，∵，∴DE＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠CDE＝∠ECD+∠CAD＝90°，∴∠ADE＝∠EAD，∴AE＝ED＝EC，Rt△ADC中，AD＝BC＝9，DC＝6，∴AC＝＝3，∴CE＝AC＝；iii）当HE＝HF时，∵，∴DE＝DC＝6，如图2，连接DG，交AC于M，∵∠DCG＝90°，∴DG是⊙O的直径，∵DE＝DC，∴DG是EC的垂直平分线，即EC⊥DM，EC＝2CM，cos∠DCM＝，即，∴CM＝，∴CE＝2CM＝，综上，CE的长为6或或；②如图3，设AB与⊙O相切的切点为N，连接NO并延长交CD于P，连接OC，过O作OK⊥AC于K，∴PN⊥AB，∴PN⊥CD，∴PD＝CP＝CD＝3，设⊙O的半径为r，则OC＝ON＝r，OP＝9﹣r，Rt△COP中，由勾股定理得：OC2＝OP2+CP2，∴r2＝32+（9﹣r）2，解得：r＝5，∴OP＝4，ON＝OC＝5，∵PN＝9，NL＝PL＝4.5，∴OL＝4.5﹣4＝0.5，∵AD∥PN∥BC，DP＝PC，∴AN＝BN＝3，AL＝CL＝，∵∠ALN＝∠OLK，∴sin∠ALN＝sin∠OLK＝，即，OK＝，由勾股定理得：CK＝＝＝，∴CE＝2CK＝．故答案为：．2．解：（1）如图，连接OD，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°，∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD，∴△ACO≌△ADO（SSS），∴∠ADO＝∠ACO＝90°，又∵OC是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）∵tan B＝＝，∴设AC＝4x，BC＝3x，∵AC2+BC2＝AB2，∴16x2+9x2＝100，∴x＝2，∴BC＝6，∵AC＝AD＝8，AB＝10，∴BD＝2，∵OB2＝OD2+BD2，∴（6﹣OC）2＝OC2+4，∴OC＝，故⊙O的半径为；（3）AF＝CE+BD，理由如下：连接OD，DE，由（1）可知：△ACO≌△ADO，∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD，又∵CO＝DO，OE＝OE，∴△COE≌△DOE（SAS），∴∠OCE＝∠ODE，∵OC＝OE＝OD，∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，∴∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE，∵点F是AB中点，∠ACB＝90°，∴CF＝BF＝AF，∴∠FCB＝∠FBC，∴∠DFE＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣2∠OCE，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF＝CE，∴AF＝BF＝DF+BD＝CE+BD．3．解：（1）∵点A（0，4），∴AO＝4，∵AD是⊙Q的直径，∴∠AEB＝∠AED＝90°，∴∠AEB＝∠AOB＝90°，∵BA垂直平分CD，∴BC＝BD∴∠ABO＝∠ABE在△ABE和△ABO中，，∴△ABE≌△ABO（AAS）∴AE＝AO＝4；（2）设BO＝x，则AB＝x+2，在Rt△ABO中，由AO2+OB2＝AB2得：42+x2＝（x+2）2，解得：x＝3，∴OB＝BE＝3，AB＝5，∵∠EAB+∠ABE＝90°，∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠EAB＝∠ACB，∵∠BFA＝∠AFC，∴△BFA∽△AFC∴＝＝，设EF＝x，则AF＝4+x，BF＝（4+x），∵在Rt△BEF中，BE2+EF2＝BF2，∴32+x2＝[（4+x）]2，解得：x＝，即EF＝，∴tan∠AFC＝＝＝；（3）①当△DEF∽△AEB时，∠BAE＝∠FDE，∴∠ADE＝∠FDE，∴BD垂直平分AF，∴EF＝AE＝4；②当△DEF∽△BEA时，∠ABE＝∠FDE，∴AB∥DF，∴∠ADF＝∠CAB＝90°，∴DF相切⊙Q，∴∠DAE＝∠FDE，设⊙Q交y轴于点G，连接DG，作FH⊥DG于H，如图所示：则∠FDH＝∠DAG，四边形OGHF是矩形，∴OG＝FH，∵△ABE≌△ABO，∴∠OAB＝∠EAB，∵AB⊥AD，∴∠DAE＝∠CAO，∵∠CAO＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DAG＝∠FDE＝∠FDH，∴AG＝AE＝4，∴EF＝FH＝OG＝AO+AG＝4+4＝8，综上所述，若△DEF与△AEB相似，EF的值为4或8．4．解：（1）∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵∠DAE＝∠ACE，∴∠DAC+∠DAE＝90°，即∠CAE＝90°，∴AP是⊙O的切线；（2）连接DB，如图1，∵PA和PB都是切线，∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB，PO⊥AB，∵PD＝PD，∴△DPA≌△DPB（SAS），∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD，∵∠ACD＝∠ABD，又∠DAE＝∠ACE，∴∠DAF＝∠DAE，∵AC是直径，∴∠ADE＝∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠AFD＝90°，∴△FAD∽△DAE；（3）∵∠AFO＝∠OAP＝90°，∠AOF＝∠POA，∴△AOF∽△POA，∴，∴，∴PA＝2AO＝AC，∵∠AFD＝∠CAE＝90°，∠DAF＝∠ABD＝∠ACE，∴△AFD∽△CAE，∴，∴，∵，不妨设OF＝x，则AF＝2x，∴，∴，∴，∴．5．解：（1）如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2＝EF2，∴EA2+CF2＝EF2，∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH，即S△ABC＝S矩形BGKH，∴S△ABC＝S矩形BGKH，∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，∴S△BGM＝S四边形COMH，S△BMH＝S四边形AGMO，∵S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，∴S△BMH：S△BGM＝8：9，∵BM平分∠GBH，∴BG：BH＝9：8，设BG＝9k，BH＝8k，∴CH＝3+k，∵AG＝3，∴AE＝3，∴CF＝（k+3），EF＝（8k﹣3），∵EA2+CF2＝EF2，∴+＝，整理得：7k2﹣6k﹣1＝0，解得：k1＝﹣（舍去），k2＝1．∴AB＝12，∴AO＝AB＝6，∴⊙O的半径为6．6．（1）证明：连接OD、BD，∵AB为圆O的直径，∴∠BDA＝90°，∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°，∵E为BC的中点，∴DE＝BC＝BE，∴∠EBD＝∠EDB，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∵∠EBD+∠DBO＝90°，∴∠EDB+∠ODB＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：如图，连接BD．由（1）知，∠ODE＝∠ADB＝90°，BD⊥AC．∵E是BC的中点，O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴OE⊥BD．∴OE∥AC，又∵∠1＝∠A，∴∠A＝∠2．即在△ADB与△ODE中，∠ADB＝∠ODE，∠A＝∠2，∴△ADB∽△ODE．∴＝，即＝．∴r2＝AD•OE；（3）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵点E为BC的中点，∴BC＝2DE＝8，∵sin C＝，∴设AB＝3x，AC＝5x，根据勾股定理得：（3x）2+82＝（5x）2，解得x＝2．由切割线定理可知：82＝（10﹣AD）×10，解得，AD＝3.6．7．解：（1）过点E作EH⊥AF于H，连接OA、OE、OH，如图1所示：∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝＝6，设运动时间为t，则AE＝5t，AF＝8t，∵∠AHE＝∠ACB＝90°，∠EAH＝∠BAC，∴△EAH∽△BAC，∴＝，即：＝，∴AH＝4t，∴FH＝AF﹣AH＝8t﹣4t＝4t，∴AH＝FH，∵EH⊥AF，∴△AEF是等腰三角形，∴E为的中点，∠EAF＝∠EFA，∵AH＝FH，∴OH⊥AC，∴E、H、O三点共线，∴∠OAF+∠AOE＝90°，∵AB平分∠DAM，∴∠DAE＝∠EAF＝∠EFA，∵∠AOE＝2∠EFA，∴∠AOE＝∠DAE+∠EAF＝∠DAF，∴∠DAF+∠OAF＝90°＝∠DAO，即OA⊥AD，∵OA为⊙O的半径，∴AD与⊙O相切；故答案为：等腰三角形，相切；（2）连接OA、OF、OE，OE于AC交于H，如图2所示：由（1）知：EH⊥AC，∵EN与⊙O相切，∴∠OEN＝90°，∵∠ACB＝90°，∴四边形EHCN为矩形，∴EH＝NC，在Rt△AHE中，EH＝＝＝3t，∴NC＝3t，∵点N为BC的中点，∴BC＝2NC＝6t，∵BC＝6，∴6t＝6，∴t＝1，∴AH＝4，EH＝3，设⊙O的半径为x，则OH＝x﹣3，在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA2＝OH2+AH2，即x2＝（x﹣3）2+42，解得：x＝，∴⊙O的半径为，∴OH＝，∴tan∠AOH＝＝，∴∠AOH＝74°，∵∠AOH＝60°时，△AOE是等边三角形，AE＝OA，74°＞60°，∴AE＞OA，∴劣弧长度的大于半径；（3）当点E运动到B点时，t＝10÷5＝2，∴AF＝2×8＝16，AE＝EF＝AB＝10，此时△AEF的内心记为G，当A、E、F重合时，内心为A点，∴△AEF的内心运动的路径长为AG，作GP⊥AE于P，GQ⊥EF于Q，连接AG、GF，则CG＝PG＝NQ，如图3所示：S△AEF＝AF•BC＝×16×6＝48，设CG＝PG＝NQ＝a，则S△AEF＝S△AGF+S△AEB+S△FEG＝AF•CG+AE•PG+EF•NQ＝×（16+10+10）a＝48，解得：a＝，在Rt△AGC中，AC2+CG2＝AG2，即82+（）2＝AG，∴AG＝，故答案为：；（4）分别讨论两种极限位置，①当EN与⊙O相切时，由（2）知，t＝1；②当N在⊙O上，即ON为⊙O的半径，连接OA、ON、OE，OE交AC于H，过点O作OK⊥BC于K，如图4所示：则四边形OKCH为矩形，OA＝OE＝ON，∴OH＝CK，AH＝4t，EH＝3t，设⊙O的半径为x，则在Rt△AOH中，AH2+OH2＝OA2，即（4t）2+（x﹣3t）2＝x2，解得：x＝t，∴OH＝CK＝t﹣3t＝t，在Rt△OKN中，OK2+KN2＝ON2，即（8﹣4t）2+（3+t）2＝（t）2，解得：t＝，∴线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为：1＜t≤，故答案为：1＜t≤．8．（1）证明：连接OA，如图1：∵AM是⊙O的切线，∴∠OAM＝90°，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝120°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOM＝60°，∴∠M＝30°，∴∠OCA＝∠M，∴AM＝AC；（2）解：①作AG⊥CM于G，如图2：∵∠OCA＝30°，AC＝3，∴AG＝AC＝，∴CG＝AG＝，则MC＝2CG＝3；故答案为：3．②当∠AMB的度数为60°时，四边形AMBC是菱形；理由如下：连接OA，作OB'⊥BM于B'，如图3：则∠OB'M＝∠OAM＝90°，由（1）得：AM＝AC，∠OCA＝∠AMO＝30°，∠MAC＝180°﹣∠AMC﹣∠OCA＝120°，∵∠AMB＝60°，∴∠MAC+∠AMB＝180°，∴AC∥BM，∴∠BMO＝∠OCA＝30°，∴∠AMO＝∠BMO，在△OB'M和△OAM中，∴△OB'M≌△OAM（AAS），∴OB'＝OA＝OB，B'M＝AM，∴B'与B重合，∴BM＝AM＝AC，又∵AC∥BM，∴四边形AMBC是平行四边形，∵AM＝AC，∴四边形AMBC是菱形．故答案为：60°．9．解：（1）解：如图甲，连接PE、PB，设PC＝n，∵正方形CDEF的面积为1，∴CD＝CF＝1，根据圆和正方形的轴对称性知：OP＝PC＝n，∴BC＝2PC＝2n，∵而PB＝PE，∴PB2＝BC2+PC2＝4n2+n2＝5n2，PE2＝PF2+EF2＝（n+1）2+1，∴5n2＝（n+1）2+1，解得：n＝1或n＝﹣（舍去），∴BC＝OC＝2，∴B点坐标为（2，2）；∴A（0，2），C（2，0），∵A，C在抛物线上，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x+2；（2）∵正方形CDEF的面积为1，∴CF＝1，∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣x+2与x轴交于点C，点G，∴x1＝2，x2＝4，∴点G（4，0）∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣x+2＝（x﹣3）2﹣，∴抛物线的对称轴为x＝3，即EF所在直线，∵C与G关于直线x＝3对称，∴CF＝FG＝1，∴MF＝FG＝，在Rt△PEF与Rt△EMF中，∵＝，∴，且∠EFM＝∠EFP，∴△PEF∽△EMF，∴∠EPF＝∠FEM，∴∠PEM＝∠PEF+∠FEM＝∠PEF+∠EPF＝90°，∴ME是⊙P的切线（3）如图，以CG为边在x轴上方作等边三角形ICG，以I为圆心，IC为半径作圆，当点N是抛物线点C左侧一点，连接NG，交⊙I于点H，连接CH，CN，∵∠CHG＝∠CIG＝30°，∠CHG＝∠CNG+∠NCH，∴∠CNG＜30°，同理当点N在抛物线点G左侧一点，可得∠CNG＜30°，∴当∠CNG≤30°时，则x＜2或x＞4．10．解：（1）如图1，连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，∵AC＝9，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝，AF＝，∴DF＝CF﹣CD＝3﹣＝2，∴AD＝＝∴AP+BP的最小值为；故答案为：；（2）如图2，在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，∵AB＝8，PB＝4，BF＝2，∴＝＝，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴＝＝，∴PF＝AP∴AP+PC＝PF+PC，∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，∴CF＝＝＝2，∴，AP+PC的值最小值为2，故答案为：2；（3）如图3，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，∴＝＝，且∠AOP＝∠AOP∴△AOP∽△POF∴＝＝，∴PF＝2AP∴2PA+PB＝PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM∴OM＝4，FM＝4∴MB＝OM+OB＝4+3＝7∴FB＝＝∴2PA+PB的最小值为．。
数学人教版九年级上册与圆有关的证明与计算中考综合复习
圆的证明与计算中考专题复习圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，对部分学生是难点，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。
一、圆的切线证明1、判断一条直线是圆的切线的方法有三种：①直线与圆只有一个交点；②圆心到直线的距离等于半径；（即证d=r）③切线的判定定理，即：经过圆心的线段，并且的直线是圆的切线。
（即证垂直）2、证切线常见的辅助线添法即证法：①若切不点明确，则作②若切点明确，则连例1、如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．(1) 求证：AC平分∠DAB；例2、如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；二、圆的证明与计算的几大几何理论依据：1、圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用半径相等.(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系 以及中点等等. 用来计算弦长和半径。
(3)弧、弦、圆心角之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. 用来计算圆心角或者圆周角。
(4)圆周角性质定理及其推论: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. 其中一个重要应用就是圆的直径所对的圆周角等于90度，90度圆周角所对应的的弦是直径。
(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等及全等。
2、圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.基础训练：一、垂径定理的应用，圆心角和弧以及圆周角的转换例1、如图，在⊙O 中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=cm 32，（1）求∠BAC 的度数； （2）求⊙O 的周长例2、已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．三、解题思想与方法计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理、三角形全等、三角形相似等知识相结合，形式复杂，无规律性。
最新2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等(三)
2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等（三）1．已知：四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD，∠BAD+2∠ACB＝180°．（1）如图1，求证：点A为弧BD的中点；（2）如图2，点E为弦BD上一点，延长BA至点F，使得AF＝AB，连接FE交AD于点P，过点P作PH⊥AF于点H，AF＝2AH+AP，求证：AH：AB＝PE：BE；（3）在（2）的条件下，如图3，连接AE，并延长AE交⊙O于点M，连接CM，并延长CM交AD的延长线于点N，连接FD，∠MND＝∠MED，DF＝12﹒sin∠ACB，MN ＝，求AH的长．2．在平面直角坐标系xOy中，有不重合的两个点Q（x1，y1）与P（x2，y2）．若Q，P 为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x轴或y轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点Q与点P之间的“折距”，记做D PQ．特别地，当PQ与某条坐标轴平行（或重合）时，线段PQ的长即点Q与点P之间的“折距”．例如，在图1中，点P（1，﹣1），点Q（3，﹣2），此时点Q与点P之间的“折距”D PQ＝3．（1）①已知O为坐标原点，点A（3，﹣2），B（﹣1，0），则D AO＝，D BO＝．②点C在直线y＝﹣x+4上，请你求出D CO的最小值．（2）点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点F是直线y＝3x+6上以动点．请你直接写出点E与点F之间“折距”D EF的最小值．3．如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tan F＝，BC＝5，求DM 的值．4．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交O于点D，过点D作DE⊥AC，分别交AC，AB的延长线于点E，F．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）填空：①当∠BAC的度数为时，四边形ACDO为菱形；②若⊙O的半径为，AC＝3CE，则BC的长为．5．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2＝EH•EA；（3）若⊙O的半径为，sin A＝，求BH的长．6．如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O 的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝3，CE＝2，①求的值；②若点G为AE上一点，求OG+EG最小值．7．已知，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，连接CP．（1）如图1，若∠PCB＝∠A．①求证：直线PC是⊙O的切线；②若CP＝CA，OA＝2，求CP的长；（2）如图2，若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，MN•MC＝9，求BM的值．8．解决问题：（1）如图①，半径为4的⊙O外有一点P，且PO＝7，点A在⊙O上，则PA的最大值和最小值分别是和．（2）如图②，扇形AOB的半径为4，∠AOB＝45°，P为弧AB上一点，分别在OA 边找点E，在OB边上找一点F，使得△PEF周长的最小，请在图②中确定点E、F的位置并直接写出△PEF周长的最小值；拓展应用（3）如图③，正方形ABCD的边长为4；E是CD上一点（不与D、C重合），CF ⊥BE于F，P在BE上，且PF＝CF，M、N分别是AB、AC上动点，求△PMN周长的最小值．9．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（3，4），P为线段OA上一动点，过O，P，B三点的圆交x轴正半轴于点C，连结AB，PC，BC，设OP＝m．（1）求证：当P与A重合时，四边形POCB是矩形．（2）连结PB，求tan∠BPC的值．（3）记该圆的圆心为M，连结OM，BM，当四边形POMB中有一组对边平行时，求所有满足条件的m的值．（4）作点O关于PC的对称点O'，在点P的整个运动过程中，当点O'落在△APB的内部（含边界）时，请写出m的取值范围．10．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，连接OC交⊙O于点D，连接BD并延长交线段AC于点E，∠CDE＝∠CAD．（1）求证：CD2＝AC•EC；（2）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（3）若AE＝EC，求tan B的值．参考答案1．（1）证明：连接OA、OB、OD，∵∠BAD+2∠ACB＝180°，∠BAD+∠BCD＝180°，∴2∠ACB＝∠BCD，即∠ACB＝∠ACD，∵∠AOD＝2∠ACD，∠AOB＝2ACB，∴∠AOD＝∠AOB，∴，即点A为弧AB的中点；（2）在HF上截取点Q，使HQ＝AH，连接PQ、AE，∵PH⊥AF，∴PH是AQ的垂直平分线，∴PA＝PQ，∴∠PAQ＝∠PQA，AH＝HQ，∴QF＝AF﹣AQ＝AF﹣2AH，又∵PQ＝AP＝AF﹣2AH，∴PQ＝QF，∴∠F＝∠FPQ＝PQA＝PAQ，∵，∴∠ABD＝∠ADB＝PAQ，∴∠F＝∠ABD，∴EB＝EF，∵AB＝AF，∴EA⊥BF，∵FH⊥BF，∴∠EAF＝∠PHF＝90°，∴EA∥PH，∴＝，又∵AF＝AB，EF＝BE，∴＝；（3）连接MD、MB，∵，，∴∠AMB＝∠AMD，∠MBD＝∠MAD，∴∠MED＝∠AMB+∠MBD，∠MDN＝∠AMD+∠MAD，∴∠MED＝∠MDN，∵∠MED＝∠MND，∴∠MDN＝∠MND，∴MD＝MN＝，∵，∴AB＝AD，∵AB＝AF，∴AD＝AF，∴∠ADF＝∠AFD，由（1）知∠ABD＝∠BDA，∴∠BDF＝∠ADF+∠ADB＝（∠ADF+∠AFD+∠ABD+∠BDA）＝×180°＝90°，∴DF＝12•sin∠ACB＝12•sin∠ABD＝12×，∴BF＝12，∴AF＝AB＝6，由（2）知∠MAB＝∠MAF＝90°，∴MB为直径，∴∠MDB＝90°，∴∠MDB+∠BDF＝180°，∴M、D、F共线，∵，∴∠ABD＝∠AMD，∴sin∠ABD＝sin∠AMD，∴＝，即＝，∴DF1＝，DF2＝﹣10（舍去），∴BD＝＝，∵∠BMD+∠BAD＝180°，∠PAH+∠BAD＝180°，∴∠BMD＝∠PAH，∴tan∠BMD＝＝＝＝tan∠PAH，tan∠PFH＝tan∠EBA＝＝，设PH＝24k，则AH＝7k，FH＝32k，∴32k+7k＝6，∴k＝，∴AH＝7k＝．2．解：（1）①D AO＝|3﹣0|+|﹣2﹣0|＝5，同理D BO＝1，故答案为：5，1；②设点C（m，4﹣m），则D CO＝|m|+|m﹣4|，当0≤m≤4时，D CO最小，最小值为4；（2）如图2，过点E分别作x、y轴的平行线交直线y＝﹣x+4于F1、F2，则EF1是“折距”D EF的最小值，即求EF1的最小值即可，当点E在y轴左侧于平行于直线y＝﹣x+4的直线相切时，EF1最小，如图3，将直线y＝﹣x+4向右平移与圆相切于点E，平移后的直线与x轴交于点G，连接OE，设原直线与x、y轴交于点M、N，则点M、N的坐标分别为（﹣2，0）、点N（0，6），则MN＝2，则△MON∽△GEO，则，即，则GO＝，EF1＝MG＝2﹣＝．3．解：（1）连接OE，则∠OCE＝∠OEC＝α，∵FE＝FG，∴∠FGE＝∠FEG＝β，∵H是AB的中点，∴CH⊥AB，∴∠GCH+∠CGH＝α+β＝90°，∴∠FEO＝∠FEG+∠CEO＝α+β＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）∵CH⊥AB，∴＝∴∠CBA＝∠CEB，∵EF∥BC，∴∠CBA＝∠F，故∠F＝∠CEB，∴∠FBE＝∠GBE，∴△FEB∽△EGB，∴BE2＝BG•BF；（3）如图2，过点F作FR⊥CE于点R，设∠CBA＝∠CEB＝∠GFE＝γ，则tanγ＝，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCG＝β，故△BCG为等腰三角形，则BG＝BC＝5，在Rt△BCH中，BC＝5，tan∠CBH＝tanγ＝，则sinγ＝，cosγ＝，CH ＝BC sinγ＝5×＝3，同理HB＝4；设圆的半径为r，则OB2＝OH2+BH2，即r2＝（r﹣3）2+（4）2，解得：r＝；GH＝BG﹣BH＝5﹣4＝，tan∠GCH＝＝＝，则cos∠GCH＝，则tan∠CGH＝3＝tanβ，则cosβ＝，连接DE，则∠CED＝90°，在Rt△CDE中cos∠GCH＝＝＝，解得：CE＝，在△FEG中，cosβ＝＝＝，解得：FG＝；∵FH＝FG+GH＝，∴HM＝FH tan∠F＝×＝；∵CM＝HM+CH＝，∴MD＝CM﹣CD＝CM﹣2r＝．4．解：（1）如图，连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠EAF，∴∠DAE＝∠DAO，∴∠DAE＝∠ADO，∴OD∥AE，∵AE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）①当∠BAC的度数为60°时，四边形ACDO为菱形；∵∠BAC＝60°，∴∠AOD＝120°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，∴∠CAD＝30°，连接CD，∵OD∥AE，∴，∴∠OAD＝∠ADC＝30°，∴∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD，∵AD＝AD，∴△ACD≌△AOD（ASA），∴AC＝AO，∴AC＝AO＝CD＝OD，∴四边形ACDO为菱形；故答案为：60°；②设OD与BC交于G，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵DE⊥AC，∴四边形CEDG是矩形，∴DG＝CE，∠DGC＝90°，∴CG＝BG，又∵AO＝BO，∴OG＝AC，∵AC＝3CE，∴OG＝AC＝CE，∴OD＝CE＝，∴CE＝1，∴AC＝3，OD＝∵AB＝2×OD＝5，∴BC＝＝＝4，故答案为：4．5．（1）证明：如图1中，∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，∴∠ODB＝∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD＝90°，∴∠ODB+∠DBF＝90°，∴∠ABC+∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线；（2）证明：连接AC，如图2所示：∵OF⊥BC，∴＝，∴∠CAE＝∠ECB，∵∠CEA＝∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴＝，∴CE2＝EH•EA；（3）解：连接BE，如图3所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵⊙O的半径为，sin∠BAE＝，∴AB＝5，BE＝AB•sin∠BAE＝5×＝3，∴EA＝＝4，∵＝，∴BE＝CE＝3，∵CE2＝EH•EA，∴EH＝，∴在Rt△BEH中，BH＝＝＝．6．（1）证明：连接OE∵OA＝OE∴∠OAE＝∠OEA∵AE平分∠BAF∴∠OAE＝∠EAF∴∠OEA＝∠EAF∴OE∥AD∵ED⊥AF∴∠D＝90°∴∠OED＝180°﹣∠D＝90°∴OE⊥DE∴DE是⊙O的切线（2）解：①连接BE∵AB是⊙O直径∴∠AEB＝90°∴∠BEA＝∠D＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°∵BC是⊙O的切线∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝90°∴∠BAE＝∠CBE∵∠DAE＝∠BAE∴∠DAE＝∠CBE∴△ADE∽△BEC∴∵DE＝3，CE＝2∴②过点E作EH⊥AB于H，过点G作GP∥AB交EH于P，过点P作PQ∥OG交AB 于Q∴EP⊥PG，四边形OGPQ是平行四边形∴∠EPG＝90°，PQ＝OG∵∴设BC＝2x，AE＝3x∴AC＝AE+CE＝3x+2∵∠BEC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C∴△BEC∽△ABC∴∴BC2＝AC•CE即（2x）2＝2（3x+2）解得：x1＝2，x2＝﹣（舍去）∴BC＝4，AE＝6，AC＝8∴sin∠BAC＝，∴∠BAC＝30°∴∠EGP＝∠BAC＝30°∴PE＝EG∴OG+EG＝PQ+PE∴当E、P、Q在同一直线上（即H、Q重合）时，PQ+PE＝EH最短∵EH＝AE＝3∴OG+EG的最小值为37．（1）①证明：如图1中，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠PCB＝∠A，∴∠ACO＝∠PCB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．②∵CP＝CA，∴∠P＝∠A，∴∠COB＝2∠A＝2∠P，∵∠OCP＝90°，∴∠P＝30°，∵OC＝OA＝2，∴OP＝2OC＝4，∴．（2）解：如图2中，连接MA．∵点M是弧AB的中点，∴＝，∴∠ACM＝∠BAM，∵∠AMC＝∠AMN，∴△AMC∽△NMA，∴，∴AM2＝MC•MN，∵MC•MN＝9，∴AM＝3，∴BM＝AM＝3．8．解：（1）如图①，∵圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在过圆心的直线OP上，此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离．∴PA的最大值＝PA2＝PO+OA2＝7+4＝11，PA的最小值＝PA1＝PO﹣OA1＝7﹣4＝3，故答案为11和3；（2）如图②，以O为圆心，OA为半径，画弧AC和弧BD，作点P关于直线OA的对称点P1，作点P关于直线OB的对称点P2，连接P1、P2，与OA、OB分别交于点E、F，点E、F即为所求．连接OP1、OP2、OP、PE、PF，由对称知识可知，∠AOP1＝∠AOP，∠BOP2＝∠BOP，PE＝P1E，PF＝P2F∴∠AOP1+∠BOP2＝∠AOP+∠BOP＝∠AOB＝45°∠P1OP2＝45°+45°＝90°，∴△P1OP2为等腰直角三角形，∴P1P2＝，△PEF周长＝PE+PF+EF＝P1E+P2F+EF＝P1P2＝，此时△PEF周长最小．故答案为4；（3）作点P关于直线AB的对称P1，连接AP1、BP1，作点P关于直线AC的对称P2，连接P1、P2，与AB、AC分别交于点M、N．由对称知识可知，PM＝P1M，PN＝P2N，△PMN周长＝PM+PN+MN＝PM1+P2N+MN ＝P1P2，此时，△PMN周长最小＝P1P2．由对称性可知，∠BAP1＝∠BAP，∠EAP2＝∠EAP，AP1＝AP＝AP2，∴∠BAP1+∠EAP2＝∠BAP+∠EAP＝∠BAC＝45°∠P1AP2＝45°+45°＝90°，∴△P1AP2为等腰直角三角形，∴△PMN周长最小值P 1P2＝，当AP最短时，周长最小．连接DF．∵CF⊥BE，且PF＝CF，∴∠PCF＝45°，∵∠ACD＝45°，∴∠PCF＝∠ACD，∠PCA＝∠FCD又，∴在△APC与△DFC中，，∠PCA＝∠FCD∴△APC∽△DFC，∴＝，∴∵∠BFC＝90°，取BC中点O．∴点F在以BC为直径的圆上运动，当D、F、O三点在同一直线上时，DF最短．DF ＝DO﹣FO＝＝＝，∴AP最小值为∴此时，△PMN周长最小值P 1P2＝＝＝＝．9．解：（1）∵∠COA＝90°∴PC是直径，∴∠PBC＝90°∵A（0，4）B（3，4）∴AB⊥y轴∴当A与P重合时，∠OPB＝90°∴四边形POCB是矩形（2）连结OB，（如图1）∴∠BPC＝∠BOC∵AB∥OC∴∠ABO＝∠BOC∴∠BPC＝∠BOC＝∠ABO∴tan∠BPC＝tan∠ABO＝（3）∵PC为直径∴M为PC中点①如图2，当OP∥BM时，延长BM交x轴于点N ∵OP∥BM∴BN⊥OC于N∴ON＝NC，四边形OABN是矩形∴NC＝ON＝AB＝3，BN＝OA＝4设⊙M半径为r，则BM＝CM＝PM＝r∴MN＝BN﹣BM＝4﹣r∴（4﹣r）2+32＝r2解得：r＝∴MN＝4﹣∵M、N分别为PC、OC中点∴m＝OP＝2MN＝②如图3，当OM∥PB时，∠BOM＝∠PBO∵∠PBO＝∠PCO，∠PCO＝∠MOC∴∠OBM＝∠BOM＝∠MOC＝∠MCO在△BOM与△COM中∴△BOM≌△COM（AAS）∴OC＝OB＝＝5∵AP＝4﹣m∴BP2＝AP2+AB2＝（4﹣m）2+32∵∠ABO＝∠BOC＝∠BPC，∠BAO＝∠PBC＝90°∴△ABO∽△BPC∴∴PC2＝BP2＝[（4﹣m）2+32]又PC2＝OP2+OC2＝m2+52∴[（4﹣m）2+32]＝m2+52解得：m＝或m＝10（舍去）综上所述，m＝或m＝（4）∵点O与点O'关于直线对称∴∠PO'C＝∠POC＝90°，即点O'在圆上当O'与O重合时，得m＝0当O'落在AB上时，则m2＝4+（4﹣m）2，得m＝当O'与点B重合时，得m＝∴0≤m≤或m＝10．（1）证明：∵∠CDE＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，∴，∴CD2＝CA•CE；（2）AC与⊙O相切，证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD+∠B＝90°，∵OB ＝OD ，∴∠B ＝∠ODB ，∵∠ODB ＝∠CDE ，∠CDE ＝∠CAD ，∴∠B ＝∠CAD ，∴∠BAC ＝∠BAD +∠CAD ＝∠B +∠BAD ＝90°，∴BA ⊥AC ，∴AC 与⊙O 相切；（3）解：∵AE ＝EC ，∴CD 2＝CA •CE ＝（AE +CE ）•CE ＝2CE 2，∴CD ＝CE ，∵△CDE ∽△CAD ，∴，∵∠ADE ＝180°﹣∠ADB ＝90°，∠B ＝∠CAD ，∴tan B ＝tan ∠CAD ＝．1、最困难的事就是认识自己。
2021年数学中考复习专题之圆的综合(考察 切线证明、长度、面积、动点问题等)(含答案)
2021年数学中考复习专题之圆的综合（考察切线证明、长度、面积、动点问题等）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F，连接AD与EF相交于点G．（1）求证：AD平分∠CAB；（2）若OH⊥AD于点H，FH平分∠AFE，DG＝1．①试判断DF与DH的数量关系，并说明理由；②求⊙O的半径．2．问题背景：如图①，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE＝CD，从而得出结论：AC+BC＝CD．简单应用：（1）在图①中，若AC＝，BC＝2，则CD＝．（2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙上，＝，若AB＝13，BC＝12，求CD的长．拓展规律：（3）如图④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝m，BC＝n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）（4）如图⑤，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P为AB的中点，若点E满足AE＝AC，CE＝CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是．3．如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD∥AB，连接AC、AD、OD，其中AC＝CD，过点B的切线交CD的延长线于E．（1）求证：DA平分∠CDO；（2）若AB＝12，求图中阴影部分的周长之和（参考数据：π＝3.1，＝1.4，＝1.7）．4．如图，在△ABC中，D为AC上一点，且CD＝CB，以BC为直径作⊙O，交BD于点E，连接CE，过D作DF⊥AB于点F，∠BCD＝2∠ABD．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠A＝60°，DF＝，求⊙O的直径BC的长．5．如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD 翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC（1）求CD的长；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE•GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．6．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6．P是底边BC上的一个动点（P与B、C不重合），以P为圆心，PB为半径的⊙P与射线BA交于点D，射线PD交射线CA 于点E．（1）若点E在线段CA的延长线上，设BP＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．（2）当BP＝2时，试说明射线CA与⊙P是否相切．（3）连接PA，若S△APE＝S△ABC，求BP的长．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．（1）求证：MH为⊙O的切线．（2）若MH＝，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．8．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路．9．如图，在射线BA，BC，AD，CD围成的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，O是射线BD上一点，⊙O与BA，BC都相切，与BO的延长线交于点M．过M作EF ⊥BD交线段BA（或射线AD）于点E，交线段BC（或射线CD）于点F．以EF为边作矩形EFGH，点G，H分别在围成菱形的另外两条射线上．（1）求证：BO＝2OM．（2）设EF＞HE，当矩形EFGH的面积为24时，求⊙O的半径．（3）当HE或HG与⊙O相切时，求出所有满足条件的BO的长．10．如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB＝∠DCO＝90°，O为AB的中点．（1）求证：∠B＝∠ACD．（2）已知点E在AB上，且BC2＝AB•BE．（i）若tan∠ACD＝，BC＝10，求CE的长；（ii）试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．答案1．解：（1）如图，连接OD，∵⊙O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠CAD＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠BAD，∴AD平分∠CAB．（2）①DF＝DH，理由如下：∵FH平分∠AFE，∴∠AFH＝∠EFH，又∠DFG＝∠EAD＝∠HAF，∴∠DFG＝∠EAD＝∠HAF，∴∠DFG+∠GFH＝∠HAF+∠HFA，即∠DFH＝∠DHF，∴DF＝DH．②设HG＝x，则DH＝DF＝1+x，∵OH⊥AD，∴AD＝2DH＝2（1+x），∵∠DFG＝∠DAF，∠FDG＝∠FDG，∴△DFG∽△DAF，∴，∴，∴x＝1，∵DF＝2，AD＝4，∵AF为直径，∴∠ADF＝90°，∴AF＝∴⊙O的半径为．2．解：（1）由题意知：AC+BC＝CD，∴+2＝CD，∴CD＝3；（2）连接AC、BD、AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵，∴AD＝BD，将△BCD绕点D顺时针旋转90°到△AED处，如图③，∴∠EAD＝∠DBC，∵∠DBC+∠DAC＝180°，∴∠EAD+∠DAC＝180°，∴E、A、C三点共线，∵AB＝13，BC＝12，∴由勾股定理可求得：AC＝5，∵BC＝AE，∴CE＝AE+AC＝17，∵∠EDA＝∠CDB，∴∠EDA+∠ADC＝∠CDB+∠ADC，即∠EDC＝∠ADB＝90°，∵CD＝ED，∴△EDC是等腰直角三角形，∴CE＝CD，∴CD＝；（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，连接D1A，D1B，D1C，如图④由（2）的证明过程可知：AC+BC＝D 1C，∴D1C＝，又∵D1D是⊙O的直径，∴∠DCD1＝90°，∵AC＝m，BC＝n，∴由勾股定理可求得：AB2＝m2+n2，∴D1D2＝AB2＝m2+n2，∵D1C2+CD2＝D1D2，∴CD2＝m2+n2﹣＝，∵m＜n，∴CD＝；（4）当点E在直线AC的左侧时，如图⑤，连接CQ，PC，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，点P是AB的中点，∴AP＝CP，∠APC＝90°，又∵CA＝CE，点Q是AE的中点，∴∠CQA＝90°，设AC＝a，∵AE＝AC，∴AE＝a，∴AQ＝AE＝，由勾股定理可求得：CQ＝a，由（2）的证明过程可知：AQ+CQ＝PQ，∴PQ＝a+a，∴PQ＝AC；当点E在直线AC的右侧时，如图⑥，连接CQ、CP，同理可知：∠AQC＝∠APC＝90°，设AC＝a，∴AQ＝AE＝，由勾股定理可求得：CQ＝a，由（3）的结论可知：PQ＝（CQ﹣AQ），∴PQ＝AC．综上所述，线段PQ与AC的数量关系是PQ＝AC或PQ＝AC．3．证明：（1）∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠BAD，又∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠BAD，∴∠ADO＝∠CDA，∴DA平分∠CDO．（2）如图，连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA，又∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠BAD，∴∠CDA＝∠BAD＝∠CAD，∴＝＝，又∵∠AOB＝180°，∴∠DOB＝60°，∵OD＝OB，∴△DOB是等边三角形，∴BD＝OB＝AB＝6，∵＝，∴AC＝BD＝6，∵BE切⊙O于B，∴BE⊥AB，∴∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝30°，∵CD∥AB，∴BE⊥CE，∴DE＝BD＝3，BE＝BD×cos∠DBE＝6×＝3，∴的长＝＝2π，∴图中阴影部分周长之和为2＝4π+9+3＝4×3.1+9+3×1.7＝26.5．4．（1）证明：∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB，∵BC是⊙O的直径，∴∠CEB＝90°，∴∠CBD+∠BCE＝∠CDB+∠DCE，∴∠BCE＝∠DCE，即∠BCD＝2∠BCE，∵∠BCD＝2∠ABD，∴∠ABD＝∠BCE，∴∠CBD+∠ABD＝∠CBD+∠BCE＝90°，∴CB⊥AB，∵CB为直径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝60°，DF＝，∴在Rt△AFD中，AF＝＝＝1，AD＝2，∵DF⊥AB，CB⊥AB，∴DF∥BC，∴∠ADF＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴△ADF∽△ACB，∴＝，设BC＝x，则＝，解得x＝4+6．∴BC＝4+6．5．（1）解：如图，连接OC，∵沿CD翻折后，点A与圆心O重合，∴OM＝OA＝×2＝1，CD⊥OA，∵OC＝2，∴CD＝2CM＝2＝2＝2；（2）证明：∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝CD＝，∠CMP＝∠OMC＝90°，∴PC＝＝＝2，∵OC＝2，PO＝2+2＝4，∴PC2+OC2＝（2）2+22＝16＝PO2，∴∠PCO＝90°，∴PC是⊙O的切线；（3）解：GE•GF是定值，证明如下，连接GO并延长，交⊙O于点H，连接HF∵点G为的中点∴∠GOE＝90°，∵∠HFG＝90°，且∠OGE＝∠FGH∴△OGE∽△FGH∴＝∴GE•GF＝OG•GH＝2×4＝8．6．解：（1）过A作AF⊥BC于F，过P作PH⊥AB于H，∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C＝30°，∵PB＝PD，∴∠PDB＝∠B＝30°，CF＝AC•cos30°＝6×＝3，∴∠ADE＝30°，∴∠DAE＝∠CPE＝60°，∴∠CEP＝90°，∴CE＝AC+AE＝6+y，∴PC＝＝，∵BC＝6，∴PB+CP＝x+＝6，∴y＝﹣x+3，∵BD＝2BH＝x＜6，∴x＜2，∴x的取值范围是0＜x＜2；（2）∵BP＝2，∴CP＝4，∴PE＝PC＝2＝PB，∴射线CA与⊙P相切；（3）当D点在线段BA上时，连接AP，∵S △ABC＝BC•AF＝××3＝9，∵S△APE＝AE•PE＝y•×（6+y）＝S△ABC＝，解得：y＝，代入y＝﹣x+3得x＝4﹣．当D点BA延长线上时，PC＝EC＝（6﹣y），∴PB+CP＝x+（6﹣y）＝6，∴y＝x﹣3，∵∠PEC＝90°，∴PE＝＝＝（6﹣y），∴S△APE＝AE•PE＝y•（6﹣y）＝S△ABC＝，解得y＝或，代入y＝x﹣3得x＝3或5．综上可得，BP的长为4﹣或3或5．7．解：（1）连接OH、OM，∵H是AC的中点，O是BC的中点，∴OH是△ABC的中位线，∴OH∥AB，∴∠COH＝∠ABC，∠MOH＝∠OMB，又∵OB＝OM，∴∠OMB＝∠MBO，∴∠COH＝∠MOH，在△COH与△MOH中，，∴△COH≌△MOH（SAS），∴∠HCO＝∠HMO＝90°，∴MH是⊙O的切线；（2）∵MH、AC是⊙O的切线，∴HC＝MH＝，∴AC＝2HC＝3，∵tan∠ABC＝，∴＝，∴BC＝4，∴⊙O的半径为2；（3）连接OA、CN、ON，OA与CN相交于点I，∵AC与AN都是⊙O的切线，∴AC＝AN，AO平分∠CAD，∴AO⊥CN，∵AC＝3，OC＝2，∴由勾股定理可求得：AO＝，∵AC•OC＝AO•CI，∴CI＝，∴由垂径定理可求得：CN＝，设OE＝x，由勾股定理可得：CN2﹣CE2＝ON2﹣OE2，∴﹣（2+x）2＝4﹣x2，∴x＝，∴OE＝，由勾股定理可求得：EN＝，∴由垂径定理可知：NQ＝2EN＝．另解：先证明：△AOC∽△CNE，∴，由勾股定理可知：OA2＝4+9＝13，∴OA＝，在△AOC中，CI⊥OA，CI×OA＝2×3，∴CI＝，∴CN＝，∴＝，∴NE＝，∴NQ＝2EN＝．8．（1）证明：∵ED与⊙O相切于D，∴OD⊥DE，∵F为弦AC中点，∴OD⊥AC，∴AC∥DE．（2）解：作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD．首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE＝AE•DM，只要求出DM即可．（方法二：证明△ADE的面积等于四边形ACDE的面积的一半）∵AC∥DE，AE＝AO，∴OF＝DF，∵AF⊥DO，∴AD＝AO，∴AD＝AO＝OD，∴△ADO是等边三角形，同理△CDO也是等边三角形，∴∠CDO＝∠DOA＝60°，AE＝CD＝AD＝AO＝DO＝a，∴AO∥CD，又AE＝CD，∴四边形ACDE是平行四边形，易知DM＝a，∴平行四边形ACDE面积＝a2．9．解：（1）如图1所示：设⊙O切AB于点P，连接OP，则∠OPB＝90°．∵四边形ABCD为菱形，∴∠ABD＝∠ABC＝30°．∴OB＝2OP．∵OP＝OM，∴BO＝2OP＝2OM．（2）如图2所示：设GH交BD于点N，连接AC，交BD于点Q．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∴BD＝2BQ＝2AB•cos∠ABQ＝AB＝18．设⊙O的半径为r，则OB＝2r，MB＝3r．∵EF＞HE，∴点E，F，G，H均在菱形的边上．①如图2所示，当点E在AB上时．在Rt△BEM中，EM＝BM•tan∠EBM＝r．由对称性得：EF＝2EM＝2r，ND＝BM＝3r．∴MN＝18﹣6r．∴S 矩形EFGH＝EF•MN＝2r（18﹣6r）＝24．解得：r1＝1，r2＝2．当r＝1时，EF＜HE，∴r＝1时，不合题意舍当r＝2时，EF＞HE，∴⊙O的半径为2．∴BM＝3r＝6．如图3所示：当点E在AD边上时．BM＝3r，则MD＝18﹣3r．MN＝18﹣2（18﹣3r）＝6r﹣18，EF＝2EM＝2×（18﹣3r）∴S 矩形EFGH＝EF•MN＝•（18﹣3r）（6r﹣18）＝24．解得：r＝4或5（舍弃），综上所述，⊙O的半径为2或4．（3）解设GH交BD于点N，⊙O的半径为r，则BO＝2r．当点E在边BA上时，显然不存在HE或HG与⊙O相切．①如图4所示，点E在AD上时．∵HE与⊙O相切，∴ME＝r，DM＝r．∴3r+r＝18．解得：r＝9﹣3．∴OB＝18﹣6．②如图5所示；由图形的对称性得：ON＝OM，BN＝DM．∴OB＝BD＝9．③如图6所示．∵HG与⊙O相切时，MN＝2r．∵BN+MN＝BM＝3r．∴BN＝r．∴DM＝FM＝GN＝BN＝r．∴D与O重合．∴BO＝BD＝18．④如图7所示：∵HE与⊙O相切，∴EM＝r，DM＝r．∴3r﹣r＝18．∴r＝9+3．∴OB＝2r＝18+6．综上所述，当HE或GH与⊙O相切时，OB的长为18﹣6或9或18或18+6．10．解：（1）∵∠ACB＝∠DCO＝90°，∴∠ACB﹣∠ACO＝∠DCO﹣∠ACO，即∠ACD＝∠OCB，又∵点O是AB的中点，∴OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠ACD＝∠B，（2）（i）∵BC2＝AB•BE，∴＝，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBE，∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∵∠ACD＝∠B，∴tan∠ACD＝tan∠B＝，设BE＝4x，CE＝3x，由勾股定理可知：BE2+CE2＝BC2，∴（4x）2+（3x）2＝100，∴解得x＝2，∴CE＝6；（ii）过点A作AF⊥CD于点F，∵∠CEB＝90°，∴∠B+∠ECB＝90°，∵∠ACE+∠ECB＝90°，∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝∠ACE，∴CA平分∠DCE，∵AF⊥CE，AE⊥CE，∴AF＝AE，∴直线CD与⊙A相切．。
2021年九年级数学中考复习专题：圆的综合(考查切线证明、长度计算等)(三)
中考复习专题：圆的综合（考察切线证明、长度计算等）1．如图所示，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，弦BC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD．（1）求直径AB的长．（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．2．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，CD切⊙O于点C，AE⊥CD于点E （1）求证：AC平分∠DAE；（2）若AB＝6，BD＝2，求CE的长．3．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE＝CE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F．（1）求证：CD∥BF；（2）若⊙O的半径为6，∠A＝35°，求的长．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边AC上一点，以O为圆心，以OA为半径的圆分别交AB、AC于点E、D，在BC的延长线上取点F，使得BF＝EF．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，求证：DG＝DA；（3）若∠A＝30°，且图中阴影部分的面积等于2，求⊙O的半径的长．5．如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E．（1）求证：AB＝AC；（2）求证：DE为⊙O的切线．6．如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D 作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求DE的长．7．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD 交BA的延长线于点E．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BD的弦心距OF＝1，∠ABD＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）8．已知，如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，过D作DE⊥BD 交AB于E，经过B，D，E三点作⊙O．（1）求证：AC与⊙O相切．（2）若AD＝15，AE＝9，求⊙O的半径．9．如图，⊙O是△ABC外接圆，AC是直径，OF∥AB，过点B⊙O的切线相交于点D，与OF的延长线交点E．（1）求证：△ABD∽△BCD；（2）若∠C＝30°，求证：△OED是等腰三角形；（3）若⊙O的半径为3，cos D＝，求OF的长．10．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD 于点D．（1）求证：AE平分∠DAC，（2）若AB＝6，∠ABE＝60°，求①AD的长，②图中阴影部分的面积．11．△ABC内接于⊙O，点D在BC上，连接AD、BO，AD＝AC．（1）如图1，求证：∠DAC＝2∠ABO；（2）如图2，点E在弧BC上，连接AE交BC于点F，∠CAE＝3∠DAE，连接BE，DE，若∠EDC＝∠EBC+60°，求∠DEA的度数：（3）如图3，在（2）的条件下，若tan∠ACB＝2，AE＝2+1，求半径BO的长．12．如图1，△ABC内接于⊙O，连接AO，延长AO交BC于点D，AD⊥BC．（1）求证：AB＝AC；（2）如图2，在⊙O上取一点E，连接BE、CE，过点A作AF⊥BE于点F，求证：EF+CE ＝BF；（3）如图3在（2）的条件下，在BE上取一点G，连接AG、CG，若∠AGB+∠ABC ＝90°，∠AGC＝∠BGC，AG＝6，BG＝5，求EF的长．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为BC边上一点，以OC为半径的圆O，交AB于D点，且AD＝AC．延长DO交圆O于E点，连接AE．（1）求证：DE⊥AB；（2）若DB＝4、BC＝8，求AE的长．14．如图，AB是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C的点，且DE2＝DB •DA，延长AE至F，使得AE＝EF，设BF＝5，cos∠BED＝．（1）求证：△DEB∽△DAE；（2）求DA，DE的长；（3）若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长．15．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B 重合），过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，于D、E两点，在射线l上取点F，使FC＝FD．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）当点E是的中点时，①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；②若＝，且AB＝20，求OP的长．参考答案1．解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝30°，∴AB＝2AC，∵AB2＝AC2+BC2，∴AB2＝AB2+62，∴AB＝4．（2）连接OD．∵AB＝4，∴OA＝OD＝2，∵CD平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ACD＝45°，∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，∴S△AOD＝OA•OD＝•2•2＝6，∴S扇形△AOD＝•π•OD2＝•π•（2）2＝3π，∴阴影部分的面积＝S扇形△AOD﹣S△AOD＝3π﹣6．2．（1）证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∵∠AEC＝90°，∴∠OCD＝∠AEC，∴AE∥OC，∴∠EAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠EAC＝∠OAC，∴AC平分∠DAE．（2）作CF⊥AB于F．在Rt△OCD中，∵OC＝3，OD＝5，∴CD＝4，∵•OC•CD＝•OD•CF，∴CF＝，∵AC平分∠DAE，CE⊥AE，CF⊥AD，∴CE＝CF＝．3．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，DE＝CE，∴AB⊥CD，∵BF是⊙O的切线，∴AB⊥BF，∴CD∥BF；（2）解：连接OD、OC，∵∠A＝35°，∴∠BOD＝2∠A＝70°，∴∠COD＝2∠BOD＝140°，∴的长＝＝．4．解：（1）连接OE，∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO，∵BF＝EF，∴∠B＝∠BEF，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠AEO+∠BEF＝90°，∴∠OEG＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）∵∠AED＝90°，∠A＝30°，∴ED＝AD，∵∠A+∠B＝90°，∴∠B＝∠BEF＝60°，∵∠BEF+∠DEG＝90°，∴∠DEG＝30°，∵∠ADE+∠A＝90°，∴∠ADE＝60°，∵∠ADE＝∠EGD+∠DEG，∴∠DGE＝30°，∴∠DEG＝∠DGE，∴DG＝DE，∴DG＝DA；（3）∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∵∠A＝30°，∴∠EOD＝60°，∴∠EGO＝30°，∵阴影部分的面积＝×r×r﹣＝2﹣π．解得：r2＝4，即r＝2，即⊙O的半径的长为2．5．证明：（1）连接AD；∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．又∵DC＝BD，∴AD是BC的中垂线．∴AB＝AC．（2）连接OD；∵OA＝OB，CD＝BD，∴OD∥AC．∴∠0DE＝∠CED．又∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°．∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．6．证明：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O切线．（2）过点O作OF⊥AC于点F，∴AF＝CF＝3，∴OF＝＝4．∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四边形OFED是矩形，∴DE＝OF＝4．7．（1）证明：连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODC＝∠ABC＝90°，即OD⊥CD，∵点D在⊙O上，∴CD为⊙O的切线；（2）在Rt△OBF中，∵∠ABD＝30°，OF＝1，∴∠BOF＝60°，OB＝2，BF＝，∵OF⊥BD，∴BD＝2BF＝2，∠BOD＝2∠BOF＝120°，∴S阴影＝S扇形OBD﹣S△BOD＝＝．8．（1）证明：连接OD，如图所示：∵OD＝OB，∴∠1＝∠2，又∵BD平分∠ABC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴OD∥BC，而∠C＝90°，∴OD⊥AD，∴AC与⊙O相切于D点；（2）解：∵OD⊥AD，∴在RT△OAD中，OA2＝OD2+AD2，又∵AD＝15，AE＝9，设半径为r，∴（r+9）2＝152+r2，解方程得，r＝8，即⊙O的半径为8．9．解：（1）如图1，连接BO，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∴∠OBA+∠ABD＝90°，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠CBO+∠OBA＝90°，∴∠ABD＝∠CBO，∵OB＝OC，∴∠CBO＝∠C，∴∠ABD＝∠C，又∵∠D＝∠D，∴△ABD∽△BCD；（2）证明：∵∠C＝30°，OE∥AB，∠ABC＝90°，∴∠BAO＝60°＝∠BOA＝∠BOE，由（1）知OB⊥DE，∠EBO＝∠DBO＝90°，又∵OB＝OB，∴△BOE≌△BOD（ASA），∴OE＝OD，∴△OED是等腰三角形；（3）∵OE∥AB，CO＝AO，∴CF＝BF，∴OF是△ABC中位线，∴OF＝AB，又∵在Rt△OBD中，cos∠D＝＝，设BD＝4x，则OD＝5x，由勾股定理（5x）2＝（4x）2+32，解得，x＝1（取正值），∴DB＝4，OD＝5，如图2，过点B作BM⊥OA于M，则∠OMB＝∠OBD＝90°，又∵∠BOM＝∠DOB，∴△OBM∽△ODB，∴＝＝，∴＝＝，∴BM＝，OM＝，∴AM＝，∴AB＝＝，∴OF＝AB＝．10．证明：（1）如图，连接OE，∵DC为切线，∴OE⊥CD，且AD⊥CD，∴OE∥AD，∴∠DAE＝∠AEO，∵OE＝OA，∴∠AEO＝∠EAO，∴∠DAE＝∠EAO，即AE平分∠DAC；（2）①∵∠ABE＝60°，∠AEB＝90°，∴∠EAB＝30°，∠AOE＝120°∴BE＝AB＝3，AE＝BE＝3∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠BAE＝30°，且∠D＝90°∴DE＝AE＝，AD＝DE＝，②∵OA＝OB＝BE＝3，∴S扇形AOE＝π•OA2＝3π，S△AOE＝S△ABE＝×AE•BE＝，∴S阴影＝S扇形AOE﹣S△AOE＝3π﹣11．解：（1）连接OA，∵OA＝OB，∴∠ABO＝（180°﹣∠AOB），∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠C，∴∠DAC＝180°﹣2∠C，∵∠AOB＝2∠C，∴∠DAC＝180°﹣∠AOB，∴∠AOB＝180°﹣∠DAC，∴∠ABO＝（180°﹣∠AOB）＝[180°﹣（180°﹣∠DAC）]＝，即∠DAC＝2∠ABO；（2）如图2，过点A作AH⊥BC于H，∵∠CAE＝3∠DAE，∴∠CAD＝4∠DAE，∵AD＝AC，AH⊥BC，∴∠DAH＝∠CAH＝2∠DAE，∠ADH+∠DAH＝90°，∴∠ADH+2∠DAE＝90°，∵∠EDC＝∠EBC+60°，∠EBC＝∠EAC，∴∠EDC＝∠EAC+60°＝∠DAE+60°，∵∠AED+∠DAE+∠ADH+∠EDC＝180°，∴∠DEA+∠DAE+∠DAE+60°+∠ADH＝180°，∴∠DEA+90°+60°＝180°，∴∠DEA＝30°，（3）如图3，过点D作DG⊥AE交AH的延长线于点G，连接GC，OE，CE，过点B 作BN⊥AE于N，∵∠CAD＝4∠DAE，AD＝AC，AH⊥DC，∴∠DAH＝∠CAH＝2∠DAE，AH是CD的中垂线，∴∠DAE＝∠FAH，∵DG⊥AE，∠DAE＝∠FAH，∴∠ADG＝∠AGD，∴AD＝AG，且∠DAE＝∠FAH，AE＝AE，∴△ADE≌△AGE（SAS）∴∠AED＝∠AEG＝30°，DE＝EG，∴∠DEG＝60°，∴△DEG是等边三角形，∴DG＝EG＝DE，∠DGE＝60°，∵AH是CD的中垂线，∴DG＝GC，∴DG＝GC＝EG，∴点D，点G，点E在以点G为圆心，DG为半径的圆上，∴∠DCE＝∠DCE＝30°，∴∠BAE＝∠BCE＝30°，∴∠BOE＝60°，且BO＝OE，∴△BOE是等边三角形，∴BE＝BO，∵∠BAE＝30°，BN⊥AE，∴AN＝BN∵∠ACB＝∠AEB，∴tan∠ACB＝tan∠AEB＝2＝，∴EN＝BN，∵AE＝EN+AN，∴2+1＝BN+BN，∴BN＝2，∴EN＝1，∴BE＝＝＝，∴BO＝．12．证明：（1）∵AD⊥BC，AD过圆心O，∴BD＝CD，且AD⊥BC，∴AB＝AC；（2）如图2，在BF上截取FH＝EF，连接AE，AH，∵AF⊥EH，EF＝FH，∴AH＝AE，∴∠AHE＝∠AEH，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ACB＝∠AEH，∴∠AEH＝∠AHE＝∠ABC＝∠ACB，∴∠BAC＝∠HAE，∴∠BAH＝∠CAE，且AH＝AE，AB＝AC，∴△ABH≌△ACE（SAS）∴BH＝CE，∴BF＝EF+CE；（3）如图3，延长CG交⊙O于M，交AB于K，过点A作AP⊥CM于P，过点B作BN⊥CM于N，连接AE，AM，MB，∵∠AGB+∠ABC＝90°，∴∠AGB＝90°﹣∠ABC，∴∠AGB＝2∠BAC，∵∠AGC＝∠BGC，∴∠BGM＝∠AGM＝∠AGB，∴∠BGM＝∠AGM＝∠BAC，且∠BAC＝∠BMC，∴∠BMG＝∠BGM，∴BM＝BG＝5，∵∠AMC＝∠ABC，∠AGM＝∠BAC，∴∠GAM＝∠ACB，∴∠AMG＝∠MAG，∴MG＝AG＝6，∵BM＝BG，BN⊥MG，∴MN＝NG＝3，∴BN＝＝＝4，∵∠BMG＝∠AGM，∴BM∥AG，∴＝，∵AP∥BN，∴＝，∴AP＝，∴PG＝＝，∴PN＝PG﹣NG＝，且∴PK＝，KN＝，∴AK＝＝，BK＝＝，∴AB＝AK+BK＝，∵AF2＝AG2﹣GF2，AF2＝AB2﹣BF2，∴AG2﹣GF2＝AB2﹣（5+GF）2，∴GF＝，∴BF＝，∵MP＝MG﹣PG＝，∴MK＝，∵∠AMC＝∠ABC，∠MAB＝∠BCM，∴△MAK∽△BCK，∴，∴CK＝，∴GC﹣KC﹣KG＝，∵∠BMC＝∠BEC，∠BGM＝∠CGE，∠BGM＝∠BMG，∴∠CGE＝∠CEG，∴CG＝CE＝，∵EF+CE＝BF，∴EF＝BF﹣CE＝＝．13．（1）证明：连接AO．∵AD＝AC，AO＝AO，OD＝OC，∴△AOD≌△AOC（SSS），∴∠ADO＝∠ACO＝90°，∴DE⊥AB．（2）解：设OD＝OC＝x，在Rt△OBD中，∵OB2＝BD2+OD2，∴（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，设AD＝AC＝y，在Rt△ACB中，∵AB2＝AC2+BC2，∴（y+4）2＝y2+82，∴y＝6，在Rt△ADE中，AE＝＝＝6．14．解：（1）∵DE2＝DB•DA，∴＝，又∵∠D＝∠D，∴△DEB∽△DAE．（2）∵△DEB∽△DAE，∴∠DEB＝∠DAE＝α，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，又AE＝EF，∴AB＝BF＝5，∴∠BFE＝∠BAE＝α，则BF⊥ED交于点H，∵cos∠BED＝，则BE＝3，AE＝4∴＝＝，即：＝＝，解得：BD＝，DE＝，则AD＝AB+BD＝，ED＝．（3）由点F在B、E、M三点确定的圆上，则BF是该圆的直径，连接MF，∵BF⊥ED，∠BMF＝90°，∴∠MFB＝∠D＝β，在△BED中，过点B作HB⊥ED于点H，设HD＝x，则EH＝﹣x，则9﹣（﹣x）2＝（）2﹣x2，解得：x＝，则cosβ＝＝，则sinβ＝，MB＝BF sinβ＝5×＝，DM＝BD﹣MB＝．15．证明：（1）连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵PF⊥AB，∴∠BPD＝90°，∴∠OBC+∠BDP＝90°，∵FC＝FD∴∠FCD＝∠FDC∵∠FDC＝∠BDP∴∠OCB+∠FCD＝90°∴OC⊥FC∴FC是⊙O的切线；（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵点E是的中点，∴∠BOE＝∠COE＝60°，∵OB＝OE＝OC∴△BOE，△OCE均为等边三角形，∴OB＝BE＝CE＝OC∴四边形BOCE是菱形；②∵，∴设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝202，解得k＝4，∴AC＝12，BC＝16，∵点E是的中点，∴OE⊥BC，BH＝CH＝8，∴S△OBE＝OE×BH＝OB×PE，即10×8＝10PE，解得：PE＝8，由勾股定理得OP＝＝＝6．。
最新2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等(四)
2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等（四）1．已知：BD为⊙O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，点C为⊙O上一点，且AB＝AC，连接BC交AD于点E，连接AC．（1）如图1，求证：∠ABF＝∠ABC；（2）如图2，点H为⊙O内部一点，连接OH，CH，若∠OHC＝∠HCA＝90°时，求证：CH＝DA；（3）在（2）的条件下，若OH＝6，⊙O的半径为10，求CE的长．2．如图，点A、B、C、D是直径为AB的⊙O上的四个点，CD＝BC，AC与BD交于点E．（1）求证：DC2＝CE•AC；（2）若AE＝2EC，求之值；（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，若S △ACH＝9，求EC之长．3．如图1所示，以点M（﹣1，0）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A，B，C，D，与⊙M相切于点H的直线EF交x轴于点E（﹣5，0），交y轴于点F（0，）．（1）求⊙M的半径r；（2）如图2所示，连接CH，弦HQ交x轴于点P，若cos∠QHC＝，求的值；（3）如图3所示，点P为⊙M上的一个动点，连接PE，PF，求PF+PE的最小值．4．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝4，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．5．如图所示，已知P是直线y＝﹣x+4上位于第一象限内的动点，P′是点P关于x轴的对称点．（1）设P点坐标是（x，y），△OPP′的面积为S，写出S关于x的函数关系式；（2）设⊙O′为△OPP′的外接圆，当直线AB和⊙O′相切于点P′时，求△OPP′的外接圆半径R的值．（3）求△OPP′周长C的最小值．6．已知：△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交CA的延长线于点D，连接OB．（1）如图1，求证：∠DAB＝∠DBC；（2）如图2，过点D作DM⊥AB于点M，连接AO，交BC于点N，BM＝AM+AD，求证：BN＝CN；（3）如图3，在（2）的条件下，点E为⊙O上一点，过点E的切线交DB的延长线于点P，连接CE，交AO的延长线于点Q，连接PQ，点F为AN上一点，连接CF，若∠DCF+∠CDB＝90°，tan∠ECF＝2，，PQ+OQ＝6，求CF的长．7．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，且∠MAC＝∠ABC．（1）求证：MN是⊙O的切线．（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC 于点F．①求证：FD＝FG．②若BC＝3，AB＝5，试求AE的长．8．如图1，在正方形ABCD中，AB＝10，点O，E在边CD上，且CE＝2，DO＝3，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD的延长线于点F．（1）AG＝；（2）如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转α（0°＜α＜180°），点O的对应点为O'，点F的对应点为F'，设M为半圆O'上一点．①当点F'落在AD边上时，求点M与线段BC之间的最短距离；②当半圆O'交BC于P，R两点时，若的长为π，求此时半圆O'与正方形ABCD重叠部分的面积；③当半圆O'与正方形ABCD的边相切时，设切点为N，直接写出tan∠END的值．9．如图，AB为⊙O的直径，D是的中点，BC与AD，OD分别交于点E，F．（1）求证：OD∥AC；（2）求证：DC2＝DE•DA；（3）若⊙O的直径AB＝10，AC＝6，求BF的长．10．如图，AB是⊙O的直径，点C、E位于⊙O上AB两侧．在BA的延长线上取点D，使∠ACD＝∠B．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）当BC＝EC时，求证：AC2＝AE•AD；（3）在（2）的条件下，若BC＝4，AD：AE＝5：9，求⊙O的半径．参考答案1．解：（1）∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠D+∠ABD＝90°，∵FB是⊙O的切线，∴∠FBD＝90°，∴∠FBA+∠ABD＝90°，∴∠FBA＝∠D，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝∠D，∴∠ABF＝∠ABC；（2）如图2，连接OC，∵∠OHC＝∠HCA＝90°，∴AC∥OH，∴∠ACO＝∠COH，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC+∠CBO＝∠ACB+∠OCB，即∠ABD＝∠ACO，∴∠ABD＝∠COH，∵∠H＝∠BAD＝90°，∴△ABD∽△HOC，∴＝＝2，∴CH＝DA；（3）由（2）知，△ABD∽△HOC，∴＝2，∵OH＝6，⊙O的半径为10，∴AB＝2OH＝12，BD＝20，∴AD＝＝16，在△ABF与△ABE中，，∴△ABF≌△ABE，∴BF＝BE，AF＝AE，∵∠FBD＝∠BAD＝90°，∴AB2＝AF•AD，∴AF＝＝9，∴AE＝AF＝9，∴DE＝7，BE＝＝15，∵AD，BC交于E，∴AE•DE＝BE•CE，∴CE＝＝＝．2．解：（1）如图1，∵CD＝BC，∴，∴∠BDC＝∠DAC，∵∠DCE＝∠ACD，∴△CDE∽△CAD，∴，∴CD2＝CE•AC；（2）设CE＝x，∵AE＝2CE，∴AE＝2x，∴AC＝AE+CE＝3x，由（1）知，CD2＝CE•AC，∴CD2＝x×3x＝3x2，∴CD＝x，∴BC＝CD＝x，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，根据勾股定理得，AB＝＝2x，∴OA＝OB＝AB＝x，∴OB＝OC＝BC，∴△BOC是等边三角形，∵，∴OC⊥BE，∴OF＝OB＝x，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°＝∠OFB，∴OF∥AD，∵OA＝OB，∴AD＝2OE＝x，∴＝＝1；（3）由（2）知，△BOC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∵CH是⊙O的切线，∴∠OCH＝90°，∴∠CHO＝30°，∴OH＝2OC，∵OH＝OB+BH＝OC+BH，∴OB＝BH，∴OA＝OB＝BH，∴S △ACH＝3S△BOC＝9，∴S △BOC＝3，∵S △BOC＝OB2＝×（x）2＝3，∴x＝﹣2（舍）或x＝2，∴EC＝2．3．解：（1）如图1，连接MH，∵E（﹣5，0），F（0，﹣），M（﹣1，0），∴OE＝5，OF＝，EM＝4，∴在Rt△OEF中，tan∠OEF＝＝，∴∠OEF＝30°，∵EF是⊙M的切线，∴∠EHM＝90°，∴sin∠MEH＝sin30°＝，∴MH＝ME＝2，即r＝2；（2）如图2，连接DQ、CQ，MH．∵∠QHC＝∠QDC，∠CPH＝∠QPD，∴△PCH∽△PQD，∴，由（1）可知，∠HEM＝30°，∴∠EMH＝60°，∵MC＝MH＝2，∴△CMH为等边三角形，∴CH＝2，∵CD是⊙M的直径，∴∠CQD＝90°，CD＝4，∴在Rt△CDQ中，cos∠QHC＝cos∠QDC＝，∴QD＝CD＝3，∴；（3）连MP，取CM的点G，连接PG，则MP＝2，G（﹣2，0），∴MG＝CM＝1，∴，又∵∠PMG＝∠EMP，∴△MPG∽△MEP，∴，∴PG＝PE，∴PF+PE＝PF+PG，当F，P，G三点共线时，PF+PG最小，连接FG，即PF+PE有最小值＝FG，在Rt△OGF中，OG＝2，OF＝，∴FG＝＝＝．∴PF+PE的最小值为．4．（1）证明：连接OC，如图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°，∵OD⊥BC，∴CD＝BD，即OD垂直平分BC，∴EC＝EB，在△OCE和△OBE中，∴△OCE≌△OBE（SSS），∴∠OBE＝∠OCE＝90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切；（2）解：设⊙O的半径为x，则OD＝OF﹣DF＝x﹣2，OB＝x，在Rt△OBD中，BD＝BC＝2，∵OD2+BD2＝OB2，∴（x﹣2）2+（2）2＝x2，解得x＝4，∴OD＝2，OB＝4，∴∠OBD＝30°，∴∠BOD＝60°，∴OE＝2OB＝8，∴EF＝OE﹣OF＝8﹣4＝4．（3）∵∠BOE＝60°，∠OBE＝90°，∴在Rt△OBE中，BE＝OB＝4，∴S阴影＝S四边形OBEC﹣S扇形OBC＝2××4×4﹣，＝16﹣．5．解：（1）∵P（x，y），∴S＝xy＝x（﹣x+4）＝x2+4x．（2）∵⊙O′为△OPP′的外接圆，直线AB和00外切于P．∴PO'⊥AB．在△APO'和△AOB中，∠PAO'＝∠OAB，∠APO'＝∠AOB＝90°，∴△APO'∽△AOB，∴，即PO'＝AP，在Rt△OBO'和Rt△PBO'中，OO'＝PO'，BO'＝BO，∴Rt△OBO'≌Rt△PBO'（HL），∴PB＝OB＝4．∵AB＝＝＝4，∴PO'＝AP＝（AB﹣PB）＝（4﹣4）＝2﹣2，即R的值是2﹣2．（3）如图．作∠BAC＝∠BAO，并作OD⊥AC于D．交AB于P，∵∠BAC＝∠BAO，∠AOB＝∠ODA＝90°，∴△ABO∽△APD，∴，由y＝﹣x+4上得OA＝8，OB＝4，∵∠BPO＝∠APD＝∠OBP，∴OP＝OB＝4．设PD＝a，则AD＝2a．在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2，∴（a+4）2+4a2＝64，解得a﹣2.4（a＝﹣4舍去），即PD＝2.4．∴△OPP'周长C的最小值＝2OD＝2（OP+PD）＝2×（4+2.4）＝12.8．6．解：（1）如图1，延长BO交⊙O于G，连接CG，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∴∠DBC+∠CBG＝90°，∵BG为⊙O的直径，∴∠BCG＝90°，∴∠CBG+∠G＝90°，∴∠DBC＝∠G，∵四边形ABGC为⊙O的内接四边形，∴∠DAB＝∠G，∴∠DAB＝∠DBC；（2）如图2，在MB上截取一点H，使AM＝MH，连接DH，∴DM垂直平分AH，∴DH＝AD，∴∠DHA＝∠DAH，∵BM＝AM+AD，BM＝MH+BH，∴AD＝BH，∴DH＝BH，∴∠HDB＝∠HBD，∴∠DHA＝∠HDB+∠HBD＝2∠HBD，由（1）知∠DAB＝∠DBC，∴∠DHA＝∠DAB＝∠DBC，∴∠DBC＝2∠HBD，∵∠DBC＝∠HBD+∠ABC，∴∠HBD＝∠ABC，∠DBC＝2∠ABC，∴∠DAB＝2∠ABC，∵∠DAB＝∠ABC+∠C，∴∠ABC＝∠C，∴AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，∵点O也在BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC，∴BN＝CN；（3）如图3，延长CF交BD于M，延长BO交CQ于G，连接OE，∵∠DCF+∠CDB＝90°，∴∠DMC＝90°，∵∠OBD＝90°，∴∠DMC＝∠OBD，∴CF∥OB，∴∠BGE＝∠ECF，∠CFN＝∠BON，∴tan∠BGE＝tan∠ECF＝2，由（2）知OA垂直平分BC，∴∠CNF＝∠BNO＝90°，BN＝CN，∴△CFN≌△BON（AAS），∴CF＝BO，ON＝FN，设CF＝BO＝r，ON＝FN＝a，则OE＝r，∵，∴OQ＝2a，∵CF∥OB，∴△QGO∽△QCF，∴，即，∴OG＝r，过点O作OE′⊥BG，交PE于E′，∴OE′＝OG•tan∠BGE＝r＝OE，∴点E′与点E重合，∴∠EOG＝90°，∴∠BOE＝90°，∵PB和PE是圆O的切线，∴∠OBP＝∠OEP＝∠BOE＝90°，OB＝OE＝r，∴四边形OBPE为正方形，∴∠BOE＝90°，PE＝OB＝r，∴∠BCE＝∠BOE═45°，∴△NQC为等腰直角三角形，∴NC＝NQ＝3a，∴BC＝2NC＝6a，在Rt△CFN中，CF＝＝a，∵PQ⊥OQ，∴PQ∥BC，∴∠PQE＝∠BCG，∵PE∥BG，∴∠PEQ＝∠BGC，∴△PQE∽△BCG，∴，即，解得：PQ＝4a，∵PQ+OQ＝6，∴4a+2a＝6，解得：a＝∴CF═×＝10．7．（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°；∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90°，即MA⊥AB，∴MN是⊙O的切线；（2）①证明：∵D是弧AC的中点，∴∠DBC＝∠ABD，∵AB是直径，∴∠CBG+∠CGB＝90°，∵DE⊥AB，∴∠FDG+∠ABD＝90°，∵∠DBC＝∠ABD，∴∠FDG＝∠CGB＝∠FGD，∴FD＝FG；②解：连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．∵∠DBC＝∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB，∴DE＝DH，在Rt△BDE与Rt△BDH中，，∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL），∴BE＝BH，∵D是弧AC的中点，∴AD＝DC，在Rt△ADE与Rt△CDH中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL）．∴AE＝CH．∴BE＝AB﹣AE＝BC+CH＝BH，即5﹣AE＝3+AE，∴AE＝1．8．解：（1）连接OG，如图1，∵正方形ABCD中，AB＝10，∴AD＝CD＝AB＝10，∠ADC＝90°，∵CE＝2，DO＝3，∴OG＝OE＝CD﹣CE﹣OD＝10﹣2﹣3＝5，∴DG＝，∴AG＝AD﹣DG＝10﹣4＝6，故答案为：6；（2）①如图2，过点O'作O'H⊥BC于点H，交半圆O'于点M，反向延长HO′交AD 于点Q，则∠QHC＝90°，根据三点共线及垂线段最短可得此时点M到BC的距离最短，∵∠C＝∠D＝∠QHC＝90°，∴四边形QHCD是矩形，∴HQ＝CD＝10，HQ∥CD．∵点O′是EF′的中点，点Q是DF′的中点，∵DE＝8，∴，∴O'H＝6，∵CE＝2，DO＝3，∴OE＝10﹣2﹣3＝5，即半圆的半径为5，∴MH＝1，即点M到BC的最短距离为1；②由①可知半圆O的半径为5，如图3，设∠PO'R的度数为β，由题意得，的长为＝，∴∠PO'R＝60°，∴∠F'O'P+∠EO'R＝120°，∴，∵O'R＝PO'，∴△O'RP是等边三角形，∴，∴此时半圆O'与正方形ABCD重叠部分的面积为；③当半圆O'与正方形ABCD的边BC相切时，如图4，过点D作DH⊥NE，与NE的延长线交于点H，作EG⊥O′N于点G，则NG＝CE＝2，O′N＝O′E＝5，∴O′G＝5﹣2＝3，∴CN＝GE＝，∴，NE＝，∵，∴，∴NH＝，∴tan∠END＝；当半圆O'与正方形ABCD的边AB相切时，如图5，此时N与F′重合，则EF′⊥AB，∵AB∥CD，∴EF′⊥CD，∴tan∠END＝，综上，tan∠END＝．9．解：（1）因为点D是弧BC的中点，所以∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，而∠BOD＝2∠BAD，所以∠CAB＝∠BOD，所以DO∥AC；（2）∵D是的中点，∴∠CAD＝∠DCB，∴△DCE∽△DAC，∴CD2＝DE•DA；（3）∵AB为⊙O的直径∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，BC＝.＝8，∵OD∥AC，∴△BOF∽△BAC，∴，即＝，∴BF＝4．即BF的长为4．10．（1）证明：连接OC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠ACO+∠B＝90°，又∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD+∠ACO＝90°，∴∠DCO＝90°，∴DC是⊙O的切线；（2）解：连接BE．∵BC＝EC，∴＝，∴∠CAB＝∠CBE，∵四边形CAEB内接于圆，∴∠CBE+∠CAE＝180°，又∵∠CAD+∠CAB＝180°，∴∠CAD＝∠CAE，又∵∠ACD＝∠B，∠B＝∠AEC，∴∠ACD＝∠AEC，∴△ACD∽△AEC，∴．∴AC2＝AE•AD；（3）解：设AD＝5k，AE＝9k，则AC＝3k，∵△ACD∽△AEC，∴＝，∴＝，∴CD＝，∵∠D＝∠D，∠ACD＝∠CBD，∴△DCA∽△DBC，∴CD2＝DA•DB，∵DB＝，∴AB＝﹣5k，∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴（3k）2+（4）2＝（）2，整理得：81k4+684k2﹣320＝0，∴（9k2+80）（9k2﹣4）＝0，∴k2＝，∵k＞0，∴k＝，∴AB＝10，∴⊙O的半径为5．1、最困难的事就是认识自己。
2021年数学九年级中考复习专题之圆压轴综合(考察证明、长度与面积、动点问题等)(含答案)
2021年数学九年级中考复习专题之圆压轴综合（考察证明、长度与面积、动点问题等）1．如图，⊙O的半径为2，OB＝4，OB交⊙O于点D，点C是⊙O上一动点，以BC为边向下作等边△ABC．（1）当点C运动到∠COD＝60°时，①求证：BC与⊙O相切；②试判断点A是否在⊙O上，并说明理由．（2）设△ABC的面积为S，求S的取值范围．2．如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧的中点，连结AD并延长，与过C点的直线交于P，OD与BC相交于点E．（1）求证：OE＝AC；（2）连接CD，若∠PCD＝∠PAC，试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．（3）在（2）的条件下，当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．3．如图，AC为⊙O的直径，DA为⊙O的切线，AB为弦，连接DB，DC，DC交AB于点E，交⊙O于点F，连接BF，BC，且DA＝DB．（1）求证：DB为⊙O的切线；（2）若∠ADC＝3∠BDC，求证：BC2＝BF•DC；（3）在（2）的条件下，若CE＝4，求DE的长．4．在扇形AOB中，∠AOB＝75°，半径OA＝12，点P为AO上任一点（不与A、O重合）．（1）如图1，Q是OB上一点，若OP＝OQ，求证：BP＝AQ．（2）如图2，将扇形沿BP折叠，得到O的对称点O'．①若点O'落在上，求的长．②当BO'与扇形AOB所在的圆相切时，求折痕的长．（注：本题结果不取近似值）5．如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA延长线上一点，点E在圆上且满足PE2＝PA•PC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D．（1）求证：△PAE∽△PEC；（2）求证：PE为⊙O的切线；（3）若∠B＝30°，AP＝AC，求证：DO＝DP．6．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，过CD的延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F，切点为点G，连接AG交CD于点K．（1）求证：△EKG是等腰三角形；（2）若KG2＝KD•GE，求证：AC∥EF；（3）在（2）的条件下，若tan E＝，AK＝2，求FG的长．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为4的正方形ABCD的中心在原点O处，且AB∥x轴，点P在正方形ABCD的边上，点P从点A处沿A→B→C→D→A→B→…匀速运动，以点P为圆心，以1为半径长画圆，在运动过程中：（1）当⊙P第1次与x轴相切时，则圆心P的坐标为 ；（直接写出结果）（2）当圆心P的运动路程为2019时，判断⊙P与y轴的位置关系，并说明理由；（3）当⊙P第一次回到出发的位置时，即⊙P运动一周，求⊙P运动一周覆盖平面的区域的面积．8．（1）如图1，A是⊙O上一动点，P是⊙O外一点，在图中作出PA最小时的点A．（2）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以点C为圆心的⊙C的半径是3.6，Q是⊙C上一动点，在线段AB上确定点P的位置，使PQ的长最小，并求出其最小值．（3）如图3，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，试探究四边形ADCF的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．9．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，且，过点O作直径DE⊥AC，垂足为点P，过点B的直线交AC的延长线和DE的延长线于点F、G．（1）求线段AP、CB的长；（2）若OG＝9，求证：FG是⊙O的切线．（3）在（2）的条件下，求cos∠BFC的值．10．阅读下列材料：如图1，圆的概念：在平面内，线段PA绕它固定的一个端点P旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．就是说，到某个定点等于定长的所有点在同一个圆上，圆心在P（a，b），半径为r的圆的方程可以写为：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，如：圆心在P（2，1），半径为5的圆方程为：（x﹣2）2+（y+1）2＝25．（1）填空：以B（﹣1，﹣2）为圆心，为半径的圆的方程为 ．（2）根据以上材料解决下列问题：如图2，以B（﹣3，0）为圆心的圆与y轴相切于原点，C是⊙B上一点，连接OC，作BD⊥OC垂足为D，延长BD交y轴于点E，已知sin∠AOC＝．①连接EC，证明EC是⊙B的切线；②在BE上是否存在一点P，使PB＝PC＝PE＝PO？若存在，求P点坐标，并写出以P为圆心，以PB为半径的⊙P的方程；若不存在，说明理由．答案1．（1）①证明：连接CD，∵OC＝OD，∠COD＝60°，∴△OCD为等边三角形，∴CD＝OC＝2，∵OB＝4，∴CD为OB边的中线且OB＝2CD，△OCB为直角三角形，∠OCB＝90°，∴OC⊥CB，∴BC与⊙O相切；②解：点A在⊙O上；连接OA，∵∠OCB＝90°，∠COD＝60°，∴∠CBO＝30°∵△ABC为等边三角形，∴∠CBA＝60°，BC＝BA，∴∠CBO＝∠ABO，在△CBO与△ABO中，，∴△CBO≌△ABO（SAS），∴OA＝OC，∴点A在⊙O上；（2）解：当点C与点D重合时，△ABC面积最小，S△ABC＝2×2×sin60°＝，当点C运动至AO的延长线时，△ABC的面积最大，S△ABC＝×6×6×sin60°＝9，∴．2．（1）证明：∵AB为直径∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，又∵D为中点，∴OD⊥BC，OD∥AC，又∵O为AB中点，∴OE＝AC；（2）解：PC为⊙O的切线，理由：连接CO，DC，∵CO＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠BCD＝∠BAD，∠PCD＝∠PAC，∴∠OCB+∠BCD+∠PCD＝∠OBC+∠BAD+∠PAC，∴∠OCP＝∠OBC+∠BAC，又∵AB为⊙O的直径，∴∠OBC+∠BAC＝90°，∴∠OCP＝90°，即PC为⊙O的切线；（3）解：由（1）可知，OE＝3，BE＝4，DE＝2，在Rt△BED和Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝2，AD＝4，∵点D是劣弧的中点，∴CD＝2，∵∠P是△PCD和△PAC的公共角，由∠PCD＝∠PAC，则△PCD∽△PAC，∴＝，∴PC2＝PD•AP，即＝，∴PC＝PD，∴（PD）2＝PD（4+PD），解得：PD＝5，∴PC＝×5＝15．3．（1）证明：如图，连接OD、OB，∵DA是⊙O的切线，∴DA⊥OA，∴∠DAO＝90°，在△DAO和△DBO中，∴△DAO≌△DBO（SAS）∴∠DAO＝∠DBO＝90°，∴DB为⊙O的切线；（2）证明：∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∵DA＝DB，OA＝OB，∴OD垂直平分线段AB，∴OD∥BC，∴∠ODC＝∠BCD，∵△DAO≌△DBO，∴∠ODA＝∠ODB，∵∠ADC＝3∠BDC，∴∠ODC＝∠BDC＝∠BCD，∴BC＝BD，如图，延长DB到点G，∵BD为⊙O的切线，∴∠CBG+∠CBO＝90°，又∠OBC＝∠OCB，∴∠CBG+∠BCA＝90°，又∠BAC+∠BCA＝90°，∠BFC＝∠BAC．∴∠CBG＝∠BFC，即∠DBC＝∠DFB，∴△DBF∽△DCB，∴，∠DBF＝∠BCD＝∠BDF，∴BF＝DF，∴BD2＝DF•DC，∴BC2＝BF•DC；（3）解：如图，设AB与OD交于点H，OH＝a，∵OH∥BC，AO＝OC，∴BC＝2a，∴BC＝DB＝DA＝2a，∵∠AHD＝∠DAO＝90°，∠ADO＝∠ADO，∴△DAH∽△DOA，∴＝，∴DA2＝DH•DO，设DH＝x，则（2a）2＝x•（x+a），整理得，x2+ax﹣4a2＝0．解得，x1＝a，x2＝a（舍去），即DH＝a，∵DO∥BC，∴＝＝，∵CE＝4，∴DE＝﹣1．4．（1）证明：∵BO＝AO，∠O＝∠O，OP＝OQ，∴△BOP≌△AOQ（SAS）．∴BP＝AQ．（2）解：①如图1，点O'落在上，连接OO'，∵将扇形沿BP折叠，得到O的对称点O'，∴OB＝O'B，∵OB＝OO'，∴△BOO'是等边三角形，∴∠O'OB＝60°．∵∠AOB＝75°，∴∠AOO'＝15°．∴的长为．②BO'与扇形AOB所在的圆相切时，如图2所示，∴∠OBO'＝90°．∴∠OBP＝45°．过点O作OC⊥BP于点C，∵OA＝OB＝12，∠COB＝∠OBP＝45°，∴．又∵∠AOB＝75°，∠COB＝45°，∴∠POC＝30°，∴．∴．∴折痕的长为．5．解：（1）∵PE2＝PA•PC，∴，∵∠APE＝∠EPC，∴△PAE～△PEC；（2）如图，连接BE，∴∠OBE＝∠OEB，∵∠OBE＝∠PCE，∴∠OEB＝∠PCE，∵△PAE～△PEC，∴∠PEA＝∠PCE，∴∠PEA＝∠OEB，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∴∠OEB+∠OEA＝90°，∴∠PEA+∠OEA＝90°，∴∠OEP＝90°，∵点E在⊙O上，∴PE是⊙O的切线；（3）如图，过点O作OM⊥AC于M，∴，∵BC⊥AC，∴OM∥BC，∵∠ABC＝30°，∴∠AOM＝30°，∴OM＝AM＝AC，∵，∴，∵PC＝AC+AP＝2AP+AP＝3AP，∴PE2＝PA×PC＝PA×3PA，∴，∴OM＝PE，∵∠PED＝∠OMD＝90°，∠ODM＝∠PDE，∴△ODM≌△PDE（AAS），∴DO＝DP．6．（1）证明：如图1，连接OG，∵EG为⊙O的切线，∴∠KGE+∠OGA＝90°．∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG＝90°．又∵OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG．∴∠KGE＝∠AKH＝∠GKE，∴KE＝GE．∴△EKG是等腰三角形．（2）证明：如图2，连接GD，∵KG2＝KD•GE，∴．又∵∠KGE＝∠GKE，∴△GKD∽△EGK．∴∠E＝∠AGD．又∠C＝∠AGD，∴∠E＝∠C．∴AC∥EF．（3）解：如图3，连接OG，OC，由tan E＝tan∠ACH＝，可设AH＝3t，CH＝4t，则AC＝5t．∵KE＝GE，AC∥EF，∴CK＝AC＝5t，∴HK＝CK﹣CH＝t．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2＝AK2，即，解得t＝2或t＝﹣2（不合题意，舍去）．∴AH＝6，CH＝8．设⊙O的半径为r，在Rt△OCH中，OC＝r，OH＝r﹣6，CH＝8，由勾股定理得OH2+CH2＝OC2，即（r﹣6）2+82＝r2，解得r＝．∵EF为⊙O的切线，∴△OGF为直角三角形．在Rt△OGF中，OG＝r＝，∵tan∠OFG＝tan∠CAH＝，∴FG＝．7．解：（1）当⊙P第1次与x轴相切时，圆心P在正方形的BC边上，且点P到x轴的距离为1，∴圆心P的坐标为（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）；（2）⊙P与y轴相切，理由：∵正方形ABCD的边长为4，∴⊙P运动一周时，圆心P的运动路程为4×4＝16，∵，∴⊙P运动了126周多，圆心P在AB上，且AP＝3，∴圆心P的坐标为（﹣1，2），∴圆心P到y轴的距离d＝1，∵⊙P的半径r＝1，∴d＝r，∴⊙P与y轴相切；（3）S＝1×4×4﹣1×1×4+×4＝16﹣4+π＝12+π，∴⊙P运动一周覆盖平面的区域的面积为12+π．8．解：（1）连接线段OP交⊙C于A，点A即为所求，如图1所示；（2）过C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，这时PQ最短．理由：分别在线段AB，⊙C上任取点P'，点Q'，连接P'，Q'，CQ'，如图2，由于CP⊥AB，根据垂线段最短，CP≤CQ'+P'Q'，∴CO+PQ≤CQ'+P'Q'，又∵CQ＝CQ'，∴PQ＜P'Q'，即PQ最短．在Rt△ABC中，，∴，∴PQ＝CP﹣CQ＝6.8﹣3.6＝1.2，这时．当P在点B左侧3.6米处时，PQ长最短是1.2．（3）△ACF的面积有最大和最小值．如图3，取AB的中点G，连接FG，DE．∵∠EAF＝90°，，∴∵AB＝6，AG＝GB，∴AC＝GB＝3，又∵AD＝9，∴，∴，∵∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，∴∠FAG＝∠EAD，∴△FAG～△EAD，∴，∵DE＝3，∴FG＝1，∴点F在以G为圆心1为半径的圆上运动，连接AC，则△ACD的面积＝过G作GH⊥AC于H，交⊙G于F1，GH反向延长线交⊙G于F2，①当F在F1时，△ACF面积最小．理由：由（2）知，当F在F1时，F1H最短，这时△ACF的边AC上的高最小，所以△ACF面积有最小值，在Rt△ABC中，，∴，在Rt△ACH中，，∴，∴△ACF面积有最小值是；∴四边形ADCF面积最小值是；②当F在F2时，F2H最大理由：在⊙G上任取异于点F2的点P，作PM⊥AC于M，作GN⊥PM于N，连接PG，则四边形GHMN是矩形，∴GH＝MN，在Rt△GNP中，∠NGF2＝90°，∴PG＞PN，又∵F2G＝PG，∴F2G+GH＞PN+MN，即F2H＞PM，∴F2H是△ACF的边AC上的最大高，∴面积有最大值，∵∴△ACF面积有最大值是；∴四边形ADCF面积最大值是综上所述，四边形ADCF面积最大值是，最小值是．9．解：（1）∵DE是⊙O的直径，且DE⊥AC，∴AP＝PC＝AC∵AC＝4，∴AP＝2又∵OA＝3，∴OP＝1又AB是⊙O的直径，∴O为AB的中点，∴OP＝21 BC，∴BC＝2OP＝2．（2）∵，，∴∵∠BOG＝∠POA，∴△BOG∽△POA，∴∠OBG＝∠OPA＝90°又∵AB是直径，∴FG是⊙O的切线．（3）由（2）知∠ABF＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，∴∠F＝∠ABC，∴cos∠BFC＝cos∠ABC＝．10．解：（1）以B（﹣1，﹣2）为圆心，为半径的圆的方程为：（x+1）2+（y+2）2＝2；故答案为：（x+1）2+（y+2）2＝2．（2）①证明：∵BD⊥OC，∴CD＝OD，∴BE垂直平分OC，∴EO＝EC，∴∠EOC＝∠ECO，∵BO＝BC，∴∠BOC＝∠BCO，∴∠EOC+∠BOC＝∠ECO+∠BCO，∴∠BOE＝∠BCE＝90°，∴BC⊥CE，∴EC是⊙B的切线；②存在，∵∠BOE＝∠BCE＝90°，∴点C和点O都在以BE为直径的圆上，∴当P点为BE的中点时，满足PB＝PC＝PE＝PO，∵B点坐标为（﹣3，0），∴OB＝3，∵∠AOC+∠DOE＝90°，∠DOE+∠BEO＝90°，∴∠BEO＝∠AOC，∴，在Rt△BOE中，，∴，∴BE＝5，∴，∴E点坐标为（0，4），∴线段AB的中点P的坐标为，∴以为圆心，以为半径的⊙P的方程为．。
2021年数学九年级中考复习专题之圆的综合(考察切线证明、长度、面积、动点问题等)(一)
2021年数学九年级中考复习专题之圆的综合（考察切线证明、长度、面积、动点问题等）（一）1．如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8．（1）求⊙O的半径；（2）点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．2．已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在半径OA上（不与点O，A重合）．（1）如图1，若∠COA＝60°，∠CDO＝70°，求∠ACD的度数．（2）如图2，点E在线段OD上（不与O，D重合），CD、CE的延长线分别交⊙O 于点F、G，连接BF，BG，点P是CO的延长线与BF的交点，若CD＝1，BG＝2，∠OCD＝∠OBG，∠CFP＝∠CPF，求CG的长．3．如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，C在⊙O上，AC＝BC，AD＝CD （1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求△ABC的面积．4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB＝8．（1）利用尺规，作∠CAB的平分线，交⊙O于点D；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，连接CD，OD，若AC＝CD，求∠B的度数；（3）在（2）的条件下，OD交BC于点E，求由线段ED，BE，所围成区域的面积．（其中表示劣弧，结果保留π和根号）5．（1）如图1，在菱形ABCD中，CE＝CF，求证：AE＝AF．（2）如图2，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，∠OPA＝40°，求∠ABC的度数．6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E．（1）若AC＝5，BC＝13，求⊙O的半径；（2）过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠F＝2∠B，求证：四边形ACEF是菱形．7．如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．（1）求证：∠ACD＝∠B；（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；①求tan∠CFE的值；②若AC＝3，BC＝4，求CE的长．8．如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB＝15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）若DH＝6﹣3，求EF和半径OA的长．9．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，＝，点D在边BC上，AE∥BC，AE＝BD．（1）求证：AD＝CE；（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG＝AD，求证：四边形AGCE 是平行四边形．10．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若BF＝2，DF＝，求⊙O的半径．参考答案1．解：（1）连接AO，如右图1所示，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，∴AG＝＝4，∵OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G，∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，∴（3k）2+42＝（5k）2，解得，k＝1或k＝﹣1（舍去），∴5k＝5，即⊙O的半径是5；（2）如图2所示，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S阴影＝S弓形CBM，连接OM，则∠MOD＝60°，∴∠MOC＝120°，过点M作MN⊥CD于点N，∴MN＝MO•sin60°＝5×，∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC＝＝，即图中阴影部分的面积是：．2．解：（1）∵OA＝OC，∠COA＝60°，∴△ACO为等边三角形，∴∠CAD＝60°，又∵∠CDO＝70°，∴∠ACD＝∠CDO﹣∠CAD＝10°．（2）连接AG，延长CP交BG于点Q，交⊙O于点H，令CG交BF于点R，如图所示．在△COD和△BOQ中，，∴△COD≌△BOQ（ASA），∴BQ＝CD＝1，∠CDO＝∠BQO．∵BG＝2，∴OQ⊥BG，∴∠CQG＝90°．∵∠CGQ+∠GCQ+∠CQG＝180°，∠RCP+∠CPR+∠CRP＝180°，∠CGQ＝∠CFP＝∠CPF，∴∠CRP＝∠CQG＝90°，∵∠CFP＝∠CPF，∴∠FCG＝∠HCG，∴＝．∵∠OCD＝∠OBG，∠FCG＝∠FBG，∴∠ABF＝∠GCH，∴＝．∵∠CDO＝∠BQO＝90°，∴，∴点G为中点，∴△AGB、△OQB为等腰直角三角形．∵BQ＝1，∴OQ＝BQ＝1，OB＝BQ＝．在Rt△CGQ中，GQ＝1，CQ＝CO+OQ＝+1，∴CG＝＝．3．解：（1）连接OC．∵AC＝BC，AD＝CD，OB＝OC，∴∠A＝∠B＝∠1＝∠2．∵∠ACO＝∠DCO+∠2，∴∠ACO＝∠DCO+∠1＝∠BCD，又∵BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴∠ACO＝90°，又C在⊙O上，∴AC是⊙O的切线；（2）由题意可得△DCO是等腰三角形，∵∠CDO＝∠A+∠2，∠DOC＝∠B+∠1，∴∠CDO＝∠DOC，即△DCO是等边三角形．∴∠A＝∠B＝∠1＝∠2＝30°，CD＝AD＝2，在直角△BCD中，BC＝＝＝2．又AC＝BC，∴AC＝2．作CE⊥AB于点E．在直角△BEC中，∠B＝30°，∴CE＝BC＝，∴S △ABC＝AB•CE＝×6×＝3．4．解：（1）如图1所示，AP即为所求的∠CAB的平分线；（2）如图2所示：∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC，又∵∠ADC＝∠B，∴∠CAD＝∠B，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB＝∠B，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴3∠B＝90°，∴∠B＝30°；（3）由（2）得：∠CAD＝∠BAD，∠DAB＝30°，又∵∠DOB＝2∠DAB，∴∠BOD＝60°，∴∠OEB＝90°，在Rt△OEB中，OB＝AB＝4，∴OE＝OB＝2，∴BE＝＝＝2，∴△OEB的面积＝OE•BE＝×2×2＝2，扇形BOD的面积＝＝，∴线段ED，BE，所围成区域的面积＝﹣2．5．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D∵CE＝CF，∴BE＝DF在△ABE与△ADF中，，∴△ABE≌△ADF．∴AE＝AF；（2）∵AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，∴∠PAO＝90°．又∵∠OPA＝40°，∴∠POA＝50°，∴∠ABC＝∠POA＝25°．6．（1）解：连接OE，设圆O半径为r，在Rt△ABC中，BC＝13，AC＝5，根据勾股定理得：AB＝＝12，∵BC与圆O相切，∴OE⊥BC，∴∠OEB＝∠BAC＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BOE∽△BCA，∴＝，即＝，解得：r＝；（2）∵＝，∠F＝2∠B，∴∠AOE＝2∠F＝4∠B，∵∠AOE＝∠OEB+∠B，∴∠B＝30°，∠F＝60°，∵EF⊥AD，∴∠EMB＝∠CAB＝90°，∴∠MEB＝∠F＝60°，CA∥EF，∴CB∥AF，∴四边形ACEF为平行四边形，∵∠CAB＝90°，OA为半径，∴CA为圆O的切线，∵BC为圆O的切线，∴CA＝CE，∴平行四边形ACEF为菱形．7．（1）证明：如图1中，连接OC．∵OA＝OC，∴∠1＝∠2，∵CD是⊙O切线，∴OC⊥CD，∴∠DCO＝90°，∴∠3+∠2＝90°，∵AB是直径，∴∠1+∠B＝90°，∴∠3＝∠B．（2）解：①∵∠CEF＝∠ECD+∠CDE，∠CFE＝∠B+∠FDB，∵∠CDE＝∠FDB，∠ECD＝∠B，∴∠CEF＝∠CFE，∵∠ECF＝90°，∴∠CEF＝∠CFE＝45°，∴tan∠CFE＝tan45°＝1．②在RT△ABC中，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵∠CDA＝∠BDC，∠DCA＝∠B，∴△DCA∽△DBC，∴＝＝＝，∵∠CDE＝∠BDF，∠DCE＝∠B，∴△DCE∽△DBF，∴＝＝，设EC＝CF＝x，∴＝，∴x＝．∴CE＝．8．解：（1）连接OB，∵OA＝OB＝OC，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB＝OC，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵∠FAD＝15°，∴∠BOF＝30°，∴∠AOF＝∠BOF＝30°，∴OF⊥AB，∵CD∥OF，∴CD⊥AD，∵AD∥OC，∴OC⊥CD，∴CD是半圆O的切线；（2）∵BC∥OA，∴∠DBC＝∠EAO＝60°，∴BD＝BC＝AB，∴AE＝AD，∵EF∥DH，∴△AEF∽△ADH，∴，∵DH＝6﹣3，∴EF＝2﹣，∵OF＝OA，∴OE＝OA﹣（2﹣），∵∠AOE＝30°，∴＝＝，解得：OA＝2．9．证明：（1）在⊙O中，∵＝，∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB，∴∠B＝∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴AD＝CE；（2）连接AO并延长，交边BC于点H，∵＝，OA为半径，∴AH⊥BC，∴BH＝CH，∵AD＝AG，∴DH＝HG，∴BH﹣DH＝CH﹣GH，即BD＝CG，∵BD＝AE，∴CG＝AE，∵CG∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形．10．（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD，∴∠BOD＝∠A，∵∠AED＝∠ABC，∴∠BOD+∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；（2）解法一：连接BD，过D作DH⊥BF于H，延长DO交⊙O于G，连接BG，则∠G＝∠DCB，∵∠G+∠GDB＝90°，∵DE与⊙O相切，∴∠GDB+∠BDE＝90°，∴∠G＝∠BDE，∴∠BDE＝∠BCD，∵∠AED＝∠ABC，∴∠AFC＝∠DBF，而∠AFC＝∠ABC+∠BCD，∠DBF＝∠AED+∠BDE，∵∠AFC＝∠DFB，∴△FDB是等腰三角形，∴FH＝BH＝BF＝1，则FH＝1，∴HD＝＝3，在Rt△ODH中，OH2+DH2＝OD2，即（OD﹣1）2+32＝OD2，∴OD＝5，∴⊙O的半径是5．解法二：连接BD，OD，∵∠A＝2∠BCD，∴∠BOD＝∠BDF，∵∠OBD＝∠DBF，∴△BOD∽△BDF，∴＝＝，∵OB＝OD，∴BD＝DF＝，∴OD＝＝＝5．。
2021年数学九年级中考复习专题之圆的综合(考察切线证明、长度、面积、动点问题等)(三)
2021年数学九年级中考复习专题之圆的综合（考察切线证明、长度、面积、动点问题等）（三）1．如图，半圆O的直径AB＝4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P 点在上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．发现：的长与的长之和为定值l，求l：思考：点M与AB的最大距离为，此时点P，A间的距离为；点M与AB的最小距离为，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为；探究：当半圆M与AB相切时，求的长．（注：结果保留π，cos35°＝，cos55°＝）2．如图，OA，OD是⊙O半径，过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）如果D点是BC的中点，⊙O的半径为3cm，求的长度（结果保留π）3．如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A＝∠EBC．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG•BA＝48，FG＝，DF＝2BF，求AH的值．4．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知圆的半径R＝5，EF＝3，求DF的长．5．五边形ABCDE中，∠EAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC，且满足以点B为圆心，AB长为半径的圆弧AC与边DE相切于点F，连接BE，BD．（1）如图1，求∠EBD的度数；（2）如图2，连接AC，分别与BE，BD相交于点G，H，若AB＝1，∠DBC＝15°，求AG•HC的值．6．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．7．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF＝ED．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若OF：OB＝1：3，⊙O的半径R＝3，求的值．8．阅读资料：如图1，在平面之间坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2＝|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2，所以A，B两点间的距离为AB＝．我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xoy 中，A（x，y）为圆上任意一点，则A到原点的距离的平方为OA2＝|x﹣0|2+|y﹣0|2，当⊙O的半径为r时，⊙O的方程可写为：x2+y2＝r2．问题拓展：如果圆心坐标为P（a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为．综合应用：如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使tan∠POA＝，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．①证明AB是⊙P的切线；②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以Q为圆心，以OQ为半径的⊙Q的方程；若不存在，说明理由．9．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC＝4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD 上取点F，使DF＝CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ＝3x．（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．（3）在点P的整个运动过程中，①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O外的一点，AM是⊙O的直径，∠PAC＝∠ABC（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为的中点，且∠DCF＝∠P，求证：＝＝．参考答案1．解：发现：如图1，连接OP、OQ，∵AB＝4，∴OP＝OQ＝2，∵PQ＝2，∴△OPQ是等边三角形，∴∠POQ＝60°，∴＝＝，又∵半圆O的长为：π×4＝2π，∴+＝2π﹣π＝，∴l＝π；思考：如图2，过点M作MC⊥AB于点C，连接OM，∵OP＝2，PM＝1，∴由勾股定理可知：OM＝，当C与O重合时，M 与AB的距离最大，最大值为，连接AP，此时，OM⊥AB，∴∠AOP＝60°，∵OA＝OP，∴△AOP是等边三角形，∴AP＝2，如图3，当Q与B重合时，连接DM，OM，∵∠MOQ＝30°，∴MC＝OM＝，此时，M与AB的距离最小，最小值为，设此时半圆M与AB交于点D，DM＝MB＝1，∵∠ABP＝60°，∴△DMB是等边三角形，∴∠DMB＝60°，∴扇形DMB的面积为：＝，△DMB的面积为：MC•DB＝××1＝，∴半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为：﹣；探究：当半圆M与AB相切时，此时，MC＝1，如图4，当点C在线段OA上时，在Rt△OCM中，由勾股定理可求得：OC＝，∴cos∠AOM＝＝，∴∠AOM＝35°，∵∠POM＝30°，∴∠AOP＝∠AOM﹣∠POM＝5°，∴＝＝，当点C在线段OB上时，此时，∠BOM＝35°，∵∠POM＝30°，∴∠AOP＝180°﹣∠POM﹣∠BOM＝115°∴＝＝，综上所述，当半圆M与AB相切时，的长为或．2．（1）证明：∵AC是⊙O切线，∴OA⊥AC，∴∠OAC＝90°，∵CO平分∠AOD，∴∠AOC＝∠COD，在△AOC和△DOC中，，∴△AOC≌△DOC，∴∠ODC＝∠OAC＝90°，∴OD⊥CD，∴直线CD是⊙O的切线．（2）∵OD⊥BC，DC＝DB，∴OC＝OB，∴∠OCD＝∠B＝∠ACO，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠B＝30°，∠DOE＝60°，∴的长＝＝π．3．（1）证明：连接CD，∵BD是直径，∴∠BCD＝90°，即∠D+∠CBD＝90°，∵∠A＝∠D，∠A＝∠EBC，∴∠CBD+∠EBC＝90°，∴BE⊥BD，∴BE是⊙O切线．（2）解：∵CG∥EB，∴∠BCG＝∠EBC，∴∠A＝∠BCG，∵∠CBG＝∠ABC∴△ABC∽△CBG，∴＝，即BC2＝BG•BA＝48，∴BC＝4，∵CG∥EB，∴CF⊥BD，∴△BFC∽△BCD，∴BC2＝BF•BD，∵DF＝2BF，∴BF＝4，在RT△BCF中，CF＝＝4，∴CG＝CF+FG＝5，在RT△BFG中，BG＝＝3，∵BG•BA＝48，∴即AG＝5，∴CG＝AG，∴∠A＝∠ACG＝∠BCG，∠CFH＝∠CFB＝90°，∴∠CHF＝∠CBF，∴CH＝CB＝4，∵△ABC∽△CBG，∴＝，∴AC＝＝，∴AH＝AC﹣CH＝．4．（1）证明：连结OA、OD，如图，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠D+∠DFO＝90°，∵AC＝FC，∴∠CAF＝∠CFA，∵∠CFA＝∠DFO，∴∠CAF＝∠DFO，而OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODF，∴∠OAD+∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵圆的半径R＝5，EF＝3，∴OF＝2，在Rt△ODF中，∵OD＝5，OF＝2，∴DF＝＝．5．解：（1）如图1，连接BF，∵DE与⊙B相切于点F，∴BF⊥DE，在R t△BAE与R t△BFE中，，∴R t△BAE≌R t△BFE，∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4，∵∠ABC＝90°，∴∠2+∠3＝45°，即∠EBD＝45°；（2）如图2，连接BF并延长交CD的延长线于P，∵∠4＝15°，由（1）知，∠3＝∠4＝15°，∴∠1＝∠2＝30°，∠CBP＝30°，∵∠EAB＝∠PCB＝90°，AB＝1，∴AE＝，BE＝，在△ABE与△CBP中，，∴△ABE≌△CBP，∴PB＝BE＝，∴PF＝，∵∠P＝60°，∴DF＝2﹣，∴CD＝DF＝2﹣，∵∠EAG＝∠DCH＝45°，∠AGE＝∠BDC＝75°，∴△AEG∽△CHD，∴，∴AG•CH＝CD•AE，∴AG•CH＝CD•AE＝（2﹣）•＝．6．证明：（1）如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO＝CO，∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC＝FE，OE＝OC，∴∠FEC＝∠FCE，∠0EC＝∠0CE，∵∠ACB＝90°，即：∠0CE+∠FCE＝90°，∴∠0EC+∠FEC＝90°，即：∠FEO＝90°，∴FE为⊙O的切线；（2）如图2，∵⊙O的半径为3，∴AO＝CO＝EO＝3，∵∠EAC＝60°，OA＝OE，∴∠EOA＝60°，∴∠COD＝∠EOA＝60°，∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3，∴CD＝，∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，CD＝，AC＝6，∴AD＝．7．（1）证明：连结OD，如图，∵EF＝ED，∴∠EFD＝∠EDF，∵∠EFD＝∠CFO，∴∠CFO＝∠EDF，∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO＝90°，而OC＝OD，∴∠OCF＝∠ODF，∴∠ODC+∠EDF＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵OF：OB＝1：3，∴OF＝1，BF＝2，设BE＝x，则DE＝EF＝x+2，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＝∠BDE，而∠ADO＝∠A，∴∠BDE＝∠A，而∠BED＝∠DAE，∴△EBD∽△EDA，∴＝＝，即＝＝，∴x＝2，∴＝＝．8．解：问题拓展：设A（x，y）为⊙P上任意一点，∵P（a，b），半径为r，∴AP2＝（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2．故答案为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；综合应用：①∵PO＝PA，PD⊥OA，∴∠OPD＝∠APD．在△POB和△PAB中，，∴△POB≌△PAB，∴∠POB＝∠PAB．∵⊙P与x轴相切于原点O，∴∠POB＝90°，∴∠PAB＝90°，∴AB是⊙P的切线；②存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q．当点Q在线段BP中点时，∵∠POB＝∠PAB＝90°，∴QO＝QP＝BQ＝AQ．此时点Q到四点O，P，A，B距离都相等．∵∠POB＝90°，OA⊥PB，∴∠OBP＝90°﹣∠DOB＝∠POA，∴tan∠OBP＝＝tan∠POA＝．∵P点坐标为（0，6），∴OP＝6，OB＝OP＝8．过点Q作QH⊥OB于H，如图3，则有∠QHB＝∠POB＝90°，∴QH∥PO，∴△BHQ∽△BOP，∴＝＝＝，∴QH＝OP＝3，BH＝OB＝4，∴OH＝8﹣4＝4，∴点Q的坐标为（4，3），∴OQ＝＝5，∴以Q为圆心，以OQ为半径的⊙Q的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25．9．解：（1）在Rt△ABQ中，∵AQ：AB＝3：4，AQ＝3x，∴AB＝4x，∴BQ＝5x，∵OD⊥m，m⊥l，∴OD∥l，∵OB＝OQ，∴＝2x，∴CD＝2x，∴FD＝＝3x；（2）∵AP＝AQ＝3x，PC＝4，∴CQ＝6x+4，作OM⊥AQ于点M（如图1），∴OM∥AB，∵⊙O是△ABQ的外接圆，∠BAQ＝90°，∴点O是BQ的中点，∴QM＝AM＝x∴OD＝MC＝，∴OE＝BQ＝，∴ED＝2x+4，S矩形DEGF＝DF•DE＝3x（2x+4）＝90，解得：x1＝﹣5（舍去），x2＝3，∴AP＝3x＝9；（3）①若矩形DEGF是正方形，则ED＝DF，I．点P在A点的右侧时（如图1）∴2x+4＝3x，解得：x＝4，∴AP＝3x＝12；II．点P在A点的左侧时，当点C在Q右侧，0＜x＜时（如图2），∵ED＝4﹣7x，DF＝3x，∴4﹣7x＝3x，解得：x＝，∴AP＝；当≤x＜时（如图3），∵ED＝4﹣7x，DF＝3x，∴4﹣7x＝3x，解得：x＝（舍去），当点C在Q的左侧时，即x≥（如图4），DE＝7x﹣4，DF＝3x，∴7x﹣4＝3x，解得：x＝1，∴AP＝3，综上所述：当AP为12或或3时，矩形DEGF是正方形；②连接NQ，由点O到BN的弦心距为l，得NQ＝2，当点N在AB的左侧时（如图5），过点B作BM⊥EG于点M，∵GM＝x，BM＝x，∴∠GBM＝45°，∴BM∥AQ，∴AI＝AB＝4x，∴IQ＝x，∴NQ＝＝2，∴x＝2，∴AP＝6；当点N在AB的右侧时（如图6），过点B作BJ⊥GE于点J，∵GJ＝x，BJ＝4x，∴tan∠GBJ＝，∴AI＝16x，∴QI＝19x，∴NQ＝＝2，∴x＝，∴AP＝，综上所述：AP的长为6或．10．证明：（1）连接CM，∵∠PAC＝∠ABC，∠M＝∠ABC，∴∠PAC＝∠M，∵AM是直径，∴∠M+∠MAC＝90°，∴∠PAC+∠MAC＝90°，即：∠MAP＝90°，∴MA⊥AP，∴MA⊥AP，∴PA是⊙O的切线；（2）连接AE，∵M为中点，AM为⊙O的直径，∴AM⊥BC，∵AM⊥AP，∴AP∥BC，∴△ADP∽△CDB，∴＝，∵AP∥BC，∴∠P＝∠CBD，∵∠CBD＝∠CAE，∴∠P＝∠DCF，∴∠DCF＝∠CAE，∵∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴＝，∴＝＝．。
2021年数学九年级中考复习专题之圆压轴综合(考察证明、长度与面积、动点问题等)(二)
2021年数学九年级中考复习专题之圆压轴综合（考察证明、长度与面积、动点问题等）（二）1．如图1，在直角坐标系中，直线l与x、y轴分别交于点A（2，0）、B（0，）两点，∠BAO的角平分线交y轴于点D．点C为直线l上一点，以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一点E．（1）求出⊙G的半径r，并直接写出点C的坐标；（2）如图2，若点F为⊙G上的一点，连接AF，且满足∠FEA＝45°，请求出EF的长？2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在AB上，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）求证：∠BDE＝∠ADP；（3）设DE＝x，DF＝y．请求出y关于x的函数解析式．3．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任意一点（不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．（1）求∠APC和∠BPC的度数试；（2）探究PA、PB、PM之间的关系；（3）若PA＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积．4．如图1，已知A、B、D、E是⊙O上四点，⊙O的直径BE＝2，∠BAD＝60°．A为的中点，延长BA到点P．使BA＝AP，连接PE．（1）求线段BD的长；（2）求证：直线PE是⊙O的切线．（3）如图2，连PO交⊙O于点F，延长交⊙O于另一点C，连EF、EC，求tan∠ECF的值．5．如图所示，线段AC是⊙O的直径，过A点作直线BF交⊙O于A、B两点，过A点作∠FAC 的角平分线交⊙O于D，过D作AF的垂线交AF于E．（1）证明DE是⊙O的切线；（2）证明AD2＝2AE•OA；（3）若⊙O的直径为10，DE+AE＝4，求AB．6．如图1，△ABC内接于⊙O，过C作射线CP与BA的延长线交于点P，∠B＝∠ACP．（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）若PC＝4，PA＝2，求AB的长；（3）如图2，D是BC的中点，PD与AC交于点E，求证：．7．定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．如矩形OBCD中，点C为O，B两点的勾股点，已知OD＝4，在DC上取点E，DE＝8．（1）如果点E是O，B两点的勾股点（点E不在点C），试求OB的长；（2）如果OB＝12，分别以OB，OD为坐标轴建立如图2的直角坐标系，在x轴上取点F （5，0）．在线段DC上取点P，过点P的直线l∥y轴，交x轴于点Q．设DP＝t．①当点P在DE之间，以EF为直径的圆与直线l相切，试求t的值；②当直线l上恰好有2点是E，F两点的勾股点时，试求相应t的取值范围．8．如图，AB是⊙O的直径，点P是圆上不与点A，B重合的动点，连接AP并延长到点D，使AP＝DP，点C是BD的中点，连接OP，OC，PC（1）求证：∠A＝∠D；（2）填空：①若AB＝10cm，当AP＝cm时，四边形AOCP是菱形；②当四边形OBCP是正方形时，∠DPC＝°．9．如图①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．动点P以6cm/s的速度在矩形ABCD的边上沿A→D 的方向匀速运动，动点Q在矩形ABCD的边上沿A→B→C的方向匀速运动．P、Q两点同时出发，当点P到达终点D时，点Q立即停止运动．设运动的时间为t（s），△PDQ的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图②所示．（1）AB＝cm，点Q的运动速度为cm/s；（2）在点P、Q出发的同时，点O也从CD的中点出发，以4cm/s的速度沿CD的垂直平分线向左匀速运动，以点O为圆心的⊙O始终与边AD、BC相切，当点P到达终点D时，运动同时停止．①当点O在QD上时，求t的值；②当PQ与⊙O有公共点时，求t的取值范围．10．定义：已知点O是三角形的边上的一点（顶点除外），若它到三角形一条边的距离等于它到三角形的一个顶点的距离，则我们把点O叫做该三角形的等距点．（1）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，O在斜边AB上，且点O是△ABC 的等距点，试求BO的长．（2）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，点P在边AB上，AP＝2BP，D为AC中点，且∠CPD ＝90°．①求证：△CPD的外接圆圆心是△ABC的等距点；②求tan∠PDC的值．参考答案1．解：（1）连接GD，EC．∵∠OAB的角平分线交y轴于点D，∴∠GAD＝∠DAO，∵GD＝GA，∴∠GDA＝∠GAD，∴∠GDA＝∠DAO，∴GD∥OA，∴∠BDG＝∠BOA＝90°，∵GD为半径，∴y轴是⊙G的切线；∵A（2，0），B（0，），∴OA＝2，OB＝，在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB＝＝＝设半径GD＝r，则BG＝﹣r，∵GD∥OA，∴△BDG∽△BOA，∴＝，∴r＝2（﹣r），∴r＝，∵AC是直径，∴∠AEC＝∠AOB＝90°，∴EC∥OB，∴＝＝，∴＝＝，∴EC＝2，AE＝，∴OE＝2﹣＝，∴C的坐标为（，2）；（2）过点A作AH⊥EF于H，连接CE、CF，∵AC是直径，∴AC＝2×＝∴∠AEC＝∠AFC＝90°∵∠FEA＝45°∴∠FCA＝45°∴在Rt△ACF中，由勾股定理可知：AF＝CF＝，设OE＝a∴AE＝2﹣a∵CE∥OB∴△ACE∽△ABO∴＝，∴＝，∴CE＝2，∵CE2+AE2＝AC2，∴22+（2﹣a）2＝∴a＝或a＝（不合题意，舍去）∴AE＝∴在Rt△AEH中，由勾股定理可得，AH＝EH＝，∴在Rt△AEH中，由勾股定理可知：FH2＝AF2﹣AH2＝（）2﹣（）2＝2，∴FH＝，∴EF＝EH+FH＝．2．解：（1）设直线AB的函数解析式为y＝kx+4，将点B（4，0）代入y＝kx+4，得：4k+4＝0，解得：k＝﹣1，则直线AB的函数解析式为y＝﹣x+4；（2）由已知得：OB＝OC，∠BOD＝∠COD＝90°，又∵OD＝OD，∴△BOD≌△COD（SAS），∴∠BDO＝∠CDO，∵∠CDO＝∠ADP，∴∠BDE＝∠ADP；（3）如图2，连结PE，∵∠ADP是△DPE的一个外角，∴∠ADP＝∠DEP+∠DPE，∵∠BDE是△ABD的一个外角，∴∠BDE＝∠ABD+∠OAB，∵∠ADP＝∠BDE，∠DEP＝∠ABD，∴∠DPE＝∠OAB，∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°，∴∠DPE＝45°，∴∠DFE＝∠DPE＝45°，∵DF是⊙Q的直径，∴∠DEF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DF＝DE，即y＝x．3．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∵，，∴∠APC＝∠ABC＝60°，∠BPC＝∠BAC＝60°；（2）∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M＝180°，∠PCM＝∠BPC＝60°，∴∠M＝180°﹣∠BPM＝180°﹣（∠APC+∠BPC）＝180°﹣120°＝60°，∴∠M＝∠BPC＝60°，∴∠PCM﹣∠PCA＝∠ACB﹣∠PCA，即∠ACM＝∠BCP，又∵BC＝AC，∴△ACM≌△BCP（AAS），∴AM＝BP，∵PM＝PA+AM，∴PM＝PA+PB；（3）∵△ACM≌△BCP，∴CM＝CP，又∵∠M＝60°，∴△PCM为等边三角形，∴CM＝CP＝PM＝1+2＝3，如图，过点P作PH⊥CM于H，在Rt△PMH中，∠MPH＝30°，∴PH＝，＝（PB+CM）×PH＝（2+3）×＝．∴S梯形PBCM4．解：（1）如图1，连接DE，∵BE是直径，∴∠BDE＝90°，∵，∴∠BED＝∠BAD＝60°，在Rt△BDE中，sin∠BED＝，∴BD＝2×＝3；（2）∵A为的中点，∴，∴AB＝AE，∵BE为⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠ABE＝45°，∵BA＝PA，∴AE垂直平分BP，∴EP＝EB，∴∠P＝∠ABE＝45°，∴∠PEB＝90°，∴PE是⊙O的切线；（3）由（2）知，EP＝EB＝2，∵OE＝BE＝，∴在Rt△OPE中，OP＝＝，∴PF＝PO﹣OF＝﹣，∵OF＝OE，∴∠OFE＝∠OEF，∵CF为⊙O直径，∴∠FEC＝90°，∴∠C+∠OFE＝90°，又∵∠FEP+∠OEF＝90°，∴∠C＝∠FEP，又∵∠FPE＝∠EPC，∴△FPE∽△EPC，∴＝＝＝，∴在Rt△CFE中，tan∠ECF＝＝．5．（1）证明：连接OD，∴DE为⊙O切线；（2）证明：连接CD．∵AC为⊙O的直径，DE⊥AF∴∠ADC＝90°，∠DEA＝90°，∴∠ADC＝∠AED，∴在△ACD和△ADE中，∠DAC＝∠EAD，∠ADC＝∠AED，∴△ACD∽△ADE，∴．∴AD2＝AE•AC．∵AC＝2OA，∴AD2＝2AE•OA；（3）解：过点O作OM⊥AB于点M，则四边形ODEM为矩形，设DE＝OM＝x，则AE＝4﹣x，∴AM＝5﹣（4﹣x）＝1+x，在Rt△AMO中，OA2＝AM2+OM2，即：（1+x）2+x2＝52解得：x1＝3，x2＝﹣4（舍去）．∴AM＝4．∵OM⊥AB，由垂径定理得：AB＝2AM＝8．6．（1）证明：如图1，连结OA、OC，则OA＝OC．∴∠OAC＝∠OCA．∴∠AOC+2∠OCA＝180°．由圆周角定理，得∠AOC＝2∠B．∴2∠B+2∠OCA＝180°．∴∠B+∠OCA＝90°．∵∠B＝∠ACP．∴∠ACP+∠OCA＝90°，即∠OCP＝90°．∴CP是⊙O的切线；（2）∵∠B＝∠ACP，∠ACP＝∠CPB，∴△APC∽△CPB．∴＝，∴PB＝＝＝8．∴AB＝PB﹣PA＝8﹣2＝6；（3）如图2，延长ED至F，使DF＝ED，连结BF，易得△BDF≌△CDE，∴BF＝CE，∠CED＝∠F．∴BF∥EC，∴＝＝．由（2）得，PB＝，∴＝，∴．7．解：（1）如图1，连接OE，BE，若点E是O，B两点的勾股点，则∠OEB＝90°，∴∠OED+∠CEB＝90°，∵∠OED+∠DOE＝90°，∴∠DOE＝∠CEB，又∵∠C＝∠ODE，∴△BCE∽△EDO，∴＝，即＝，∴CE＝2，∴OB＝DE＝8+2＝10；（2）①如图2﹣1，设以EF为直径的圆的圆心为Q，与直线l的切点为M，直线l与OB 的交点为H，连接QM，则∠FME＝90°，QM⊥PH，∴∠HMF+∠PME＝90°，∵∠PME+∠PEM＝90°，∴∠HMF＝∠PEM，又∵∠MHF＝∠EPM＝90°，∴△MHF∽△EPM，∴＝，∵QM⊥PH，l∥y轴，∴HF∥MQ∥PE，∴＝，∵FQ＝QE，∴HM＝MP＝2，又∵DP＝OH＝t，DE＝8，OF＝5，∴HF＝5﹣t，PE＝8﹣t，∴＝，解得，t1＝4，t2＝9（点P在DE之间，舍去），∴t＝4；②如图2﹣2，当直线l在⊙Q的右侧与⊙Q相切时，由①知△MHF∽△EPM，∴＝，此时，HM＝MP＝2，HF＝t﹣5，PE＝t﹣8，∴＝，解得，t1＝4，t2＝9，∴当t＝4或9时直线l与⊙Q相切，∵点E，F以及直线l上的点均可为直角三角形的直角顶点，∴当直线l上恰好有2点是E，F两点的勾股点时，相应t的取值范围为0≤t＜4或t＝5或t＝8或9＜t≤12．8．（1）证明：如图，连接PB，∵AB是⊙O的直径，∴BP⊥AD，∵AP＝PD，∴BP是线段AD的垂直平分线，∴BA＝BD，∴∠A＝∠D；（2）解：①∵AP＝PD，BC＝DC，∴，∵AB是⊙O的直径，∴，∴OA＝PC，∴四边形AOCP是平行四边形，∴当时，平行四边形AOCP是菱形，故答案为：5；②当四边形OBCP是正方形时，∠POB＝90°，∵OA＝OP，∴∠OPA＝∠A＝45°＝POB，∴PC∥AO，∴∠DPC＝∠A＝45°，故答案为：45．9．解：（1）设点Q的运动速度为acm/s，则由图②可看出，当运动时间为5s时，△PDQ有最大面积450，即此时点Q到达点B处，∵AP＝6t，＝（60﹣6×5）×5a＝450，∴S△PDQ∴a＝6，∴AB＝5a＝30，故答案为：30，6；（2）①如图1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时，QC＝AB+BC﹣6t＝90﹣6t，OF＝4t，∵OF∥QC且点F是DC的中点，∴OF＝QC，即4t＝（90﹣6t），解得，t＝；②设AB，CD的中点分别为E，F，⊙O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作QH⊥AD 于H，如图2﹣1，当⊙O第一次与PQ相切于点M时，∵AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，∴HP＝QH＝AB＝30，∴△QHP是等腰直角三角形，∵CG＝DN＝OF＝4t，∴QM＝QG＝90﹣4t﹣6t＝90﹣10t，PM＝PN＝60﹣4t﹣6t＝60﹣10t，∴QP＝QM+MP＝150﹣20t，∵QP＝QH，∴150﹣20t＝30，∴t＝；如图2﹣2，当⊙O第二次与PQ相切于点M时，∵AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，∴HP＝QH＝AB＝30，∴△QHP是等腰直角三角形，∵CG＝DN＝OF＝4t，∴QM＝QG＝4t﹣（90﹣6t）＝10t﹣90，PM＝PN＝4t﹣（60﹣6t）＝10t﹣60，∴QP＝QM+MP＝20t﹣150，∵QP＝QH，∴20t﹣150＝30，∴t＝，综上所述，当PQ与⊙O有公共点时，t的取值范围为：≤t≤．10．解：（1）CB＝4，AC＝3，则AB＝5，①当OH⊥BC时，只有OH＝OA一种情况，设OB＝x，则OH＝OA＝5﹣x，则sin B＝＝＝，解得：x＝；②当OH′⊥AC时，同理可得：OH′＝OB，解得：x＝，综上，OB＝或；（2）①设△CPD的外接圆圆心为点O，连接OP、OB，则OD＝OP＝OC，设圆的半径为R，AP＝2BP＝2a，则AD＝2R，OD＝R，则，故PD∥OB，故∠BOP＝∠DPO，∠COB＝∠ODP，而∠ODP＝∠OPD，∴∠POB＝∠COB，而BO＝BO，OP＝OC，∴△BCO≌△BPO（SAS），∴∠BPO＝90°，即OP⊥AB，且OP＝OC，故：△CPD的外接圆圆心是△ABC的等距点；②∵△BCO≌△BPO（SAS），∴BC＝BP＝a，而AB＝3a，AC＝4R，故（3a）2＝（4R）2+a2，解得：a＝，tan∠PDC＝tan∠COB＝＝＝＝．。
2021年数学九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等(五)
2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等（五）1．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A、B重合）的任一点，点C、D为⊙O 上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．（1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；（2）若的长为π，求“回旋角”∠CPD的度数；（3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+13，直接写出AP 的长．2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG＝EK，EG的延长线交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接DG，若AC∥EF时．①求证：△KGD∽△KEG；②若cos C＝，AK＝，求BF的长．3．如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，点E是AB的中点，连接CE交⊙O于点F，连接AF并延长交BC于点H．（1）若连接AO，试判断四边形AECO的形状，并说明理由；（2）求证：AH是⊙O的切线；（3）若AB＝6，CH＝2，则AH的长为．4．如图，AB是⊙O的直径，且AB＝4，点C，D，E均在⊙O上（不与A，B重合），EA 的延长线交DC的延长线于点F，过点A作⊙O的切线AG交DF于点G，连接AC，AD，DE，DB．（1）求证：∠DAG＝∠FCA．（2）填空：①当DB＝，△ACG是等腰直角三角形；②当DB＝，四边形ODCA是平行四边形．5．如图，△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，E为弧BD上一点，连接AD、DE、AE，交BD于点F．（1）若∠CAD＝∠AED，求证：AC为⊙O的切线；（2）若DE2＝EF•EA，求证：AE平分∠BAD；（3）在（2）的条件下，若AD＝4，DF＝2，求⊙O的半径．6．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BD于点F，交⊙O于点D，AC与BD交于点G，点E为OC的延长线上一点，且∠OEB＝∠ACD．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）求证：CD2＝CG•CA；（3）若⊙O的半径为，BG的长为，求tan∠CAB．7．如图1，已知AB是⊙O的直径，点D是弧AB上一点，AD的延长线交⊙O的切线BM 于点C，点E为BC的中点，（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如图2，若DC＝4，tan A＝，延长OD交切线BM于点H，求DH的值；（3）如图3，若AB＝8，点F是弧AB的中点，当点D在弧AB上运动时，过F作FG ⊥AD于G，连接BG，求BG的最小值．8．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是弦BC上动点（不与端点重合），过点P作PE ⊥AB于点E，延长EP交弧BC于点F，交过点C的切线于点D．（1）求证：△DCP是等腰三角形；（2）若OA＝6，∠CBA＝30°．①当OE＝EB时，求DC的长；②若以点B，O，C，F为顶点的四边形是菱形，求的长．9．定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．理解：（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为；证明：（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD 和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．10．已知：四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，AB＝AD（1）如图1，求证：CA平分∠BCD；（2）如图2，连接BD交AC于点E，若BD为⊙O直径，求证：tan∠CAD＝；（3）如图3，在（2）的条件下，点F为BC中点，连接AF并延长交⊙O于G，若FG ＝2，tan∠GAD＝，求DE的长．参考答案1．解：∠CPD是直径AB的“回旋角”，理由：∵∠CPD＝∠BPC＝60°，∴∠APD＝180°﹣∠CPD﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠BPC＝∠APD，∴∠CPD是直径AB的“回旋角”；（2）如图1，∵AB＝26，∴OC＝OD＝OA＝13，设∠COD＝n°，∵的长为π，∴，∴n＝45，∴∠COD＝45°，作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE，∴∠BPC＝∠OPE，∵∠CPD为直径AB的“回旋角”，∴∠APD＝∠BPC，∴∠OPE＝∠APD，∵∠APD+∠CPD+∠BPC＝180°，∴∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，∴点D，P，E三点共线，∴∠CED＝∠COD＝22.5°，∴∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠APD＝∠BPC＝67.5°，∴∠CPD＝45°，即：“回旋角”∠CPD的度数为45°，（3）①当点P在半径OA上时，如图2，过点C作CF⊥AB交⊙O于F，连接PF，∴PF＝PC，同（2）的方法得，点D，P，F在同一条直线上，∵直径AB的“回旋角”为120°，∴∠APD＝∠BPC＝30°，∴∠CPF＝60°，∴△PCF是等边三角形，∴∠CFD＝60°，连接OC，OD，∴∠COD＝120°，过点O作OG⊥CD于G，∴CD＝2DG，∠DOG＝∠COD＝60°，∴DG＝OD sin∠DOG＝13×sin60°＝，∴CD＝13，∵△PCD的周长为24+13，∴PD+PC＝24，∵PC＝PF，∴PD+PF＝DF＝24，过O作OH⊥DF于H，∴DH＝DF＝12，在Rt△OHD中，OH＝＝5，在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，∴OP＝10，∴AP＝OA﹣OP＝3；②当点P在半径OB上时，同①的方法得，BP＝3，∴AP＝AB﹣BP＝23，即：满足条件的AP的长为3或23．2．解：（1）如图，连接OG．∵EG＝EK，∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，又OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG＝90°，∴∠KGE+∠OGA＝90°，∴EF是⊙O的切线．（2）①∵AC∥EF，∴∠E＝∠C，又∠C＝∠AGD，∴∠E＝∠AGD，又∠DKG＝∠GKE，∴△KGD∽△KEG；②连接OG，∵，AK＝，设，∴CH＝4k，AC＝5k，则AH＝3k∵KE＝GE，AC∥EF，∴CK＝AC＝5k，∴HK＝CK﹣CH＝k．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2＝AK2，即，解得k＝1，∴CH＝4，AC＝5，则AH＝3，设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OC＝R，OH＝R﹣3k，CH＝4k，由勾股定理得：OH2+CH2＝OC2，即（R﹣3）2+42＝R2，∴，在Rt△OGF中，，∴，∴．3．（1）解：连接AO，四边形AECO是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD．∵E是AB的中点，∴AE＝AB．∵CD是⊙O的直径，∴OC＝CD．∴AE∥OC，AE＝OC．∴四边形AECO为平行四边形．（2）证明：由（1）得，四边形AECO为平行四边形，∴AO∥EC∴∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC．∵OF＝OC∴∠OCF＝∠OFC．∴∠AOD＝∠AOF．∵在△AOD和△AOF中，AO＝AO，∠AOD＝∠AOF，OD＝OF ∴△AOD≌△AOF（SAS）．∴∠ADO＝∠AFO．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADO＝90°．∴∠AFO＝90°，即AH⊥OF．∵点F在⊙O上，∴AH是⊙O的切线．（3）∵CD为⊙O的直径，∠ADC＝∠BCD＝90°，∴AD，BC为⊙O的切线，又∵AH是⊙O的切线，∴CH＝FH，AD＝AF，设BH＝x，∵CH＝2，∴BC＝2+x，∴BC＝AD＝AF＝2+x，∴AH＝AF+FH＝4+x，在Rt△ABH中，∵AB2+BH2＝AH2，∴62+x2＝（4+x）2，解得x＝．∴．故答案为：．4．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∵AG是⊙O的切线，∴∠OAG＝90°，即∠DAG+∠DAB＝90°，∴∠DBA＝∠DAG，∵四边形ACDB是⊙O的内接四边形，∴∠DCA+∠DBA＝180°，又∵∠DCA+∠FCA＝180°，∴∠FCA＝∠DBA，∴∠DAG＝∠FCA；（2）解：①如图1所示：∵△ACG是等腰直角三角形，∴CG＝AG，AG⊥CG，∴∠CAG＝∠GCA＝45°，∵AG是⊙O的切线，∴∠CBA＝∠CDA＝∠CAG＝45°，∴点D与点C重合，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴BD＝AB＝×4＝2，故答案为：2；②如图2所示：连接OC，∵四边形ODCA是平行四边形，∵OA＝OD，∴平行四边形ODCA是菱形，∴OC＝OA＝AC，∴△OAC是等边三角形，∴∠BAD＝∠OAC＝×60°＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴DB＝AB＝×4＝2，故答案为：2．5．证明：（1）∵AB是直径，∴∠BDA＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∵∠CAD＝∠AED，∠AED＝∠ABD，∴∠CAD＝∠ABD，∴∠CAD+∠DAB＝90°，∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC，且AO是半径，∴AC为⊙O的切线；（2）∵DE2＝EF•EA，∴，且∠DEF＝∠DEA，∴△DEF∽△AED，∴∠EDF＝∠DAE，∵∠EDF＝∠BAE，∴∠BAE＝∠DAE，∴AE平分∠BAD；（3）如图，过点F作FH⊥AB，垂足为H，∵AE平分∠BAD，FH⊥AB，∠BDA＝90°，∴DF＝FH＝2，∵S△ABF＝AB×FH＝×BF×AD，∴2AB＝4BF，∴AB＝2BF，在Rt△ABD中，AB2＝BD2+AD2，∴（2BF）2＝（2+BF）2+16，∴BF＝，BF＝﹣2（不合题意舍去）∴AB＝，∴⊙O的半径为．6．解：（1）∵∠OEB＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD，∴∠OEB＝∠ABD，∵OF⊥BD，∴∠BFE＝90°，∴∠OEB+∠EBF＝90°，∴∠ABD+∠EBF＝90°，即∠OBE＝90°，∴BE⊥OB，∴BE是⊙O的切线；（2）连接AD，∵OF⊥BD，∴＝，∴∠DAC＝∠CDB，∵∠DCG＝∠ACD，∴△DCG∽△ACD，∴＝，∴CD2＝AC•CG；（3）∵OA＝OB，∴∠CAO＝∠ACO，∵∠CDB＝∠CAO，∴∠ACO＝∠CDB，而∠CFD＝∠GFC，∴△CDF∽△GCF，∴＝，又∵∠CDB＝∠CAB，∠DCA＝∠DBA，∴△DCG∽△ABG，∴＝，∴＝，∵r＝，BG＝，∴AB＝2r＝5，∴tan∠CAB＝tan∠ACO＝＝＝．7．（1）证明：如图，连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∵BM是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∵点E是BC的中点，∴DE＝BC＝BE＝CE，∴∠EDB＝∠EBD，又∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB+∠EDB＝∠OBD+∠EBD＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接BD，∵∠A+∠ABD＝∠ABD+∠CBD＝90°，∴∠A＝∠CBD，∵DC＝4，tan A＝，∴tan∠CBD＝tan A＝，∴BD＝8，∴BC＝＝4，∴DE＝，∴AB＝，∴BO＝OD＝4，又∵DE是⊙O的切线，∴∠HDE＝90°，∴tan∠DHE＝＝，设DH＝x，则，∴BH＝2x，在Rt△BOH中，OB2+BH2＝OH2，即，解得：x＝或x＝0（舍去），∴DH＝；（3）解：如图3，连接BF，取AF中点N，构造圆N，连接NG，∵FG⊥AD于点G，∴当点D在弧AB上运动时，点G在圆N上运动，∴当点N、G、B三点共线时，BG有最小值，∵AB＝8，点F是弧AB的中点，∴∠AFB＝90°，AF＝BF＝，∴NG＝NF＝，BN ＝＝＝2，∴BG＝BN﹣NG＝2．8．（1）证明：连接OC，如图1，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，即∠OCB+∠BCD＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵PE⊥AB，∴∠B+∠BPE＝90°，∵∠BPE＝∠DPC，∴∠OCB+∠DPC＝90°，∴∠DPC＝∠BCD，∴DC＝DP，∴△DCP是等腰三角形；（2）解：①连接AC，如图2，∵AB是⊙O的直径，AB＝2AO＝12，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝6，BC＝AC＝6，Rt△PEB中，∵OE＝BE＝3，∠ABC＝30°，∴PE＝BE＝，PB＝2 PE＝2，∴CP＝BC﹣PB＝6 ﹣2 ＝4，∵∠DCP＝∠CPD＝∠EPB＝60°，∴△PCD为等边三角形，∴DC＝CP＝4 ；②连接OF，如图3所示：，∵四边形OCFB是菱形，∴OB＝OC＝CF＝BF，OF⊥BC，∠BOF＝∠COF，∵∠CBA＝30°，∴∠BOF＝∠COF＝60°，∴的长＝＝2π．9．（1）解：∵四边形ABCD是对余四边形，∴∠A+∠C＝90°或∠A+∠C＝360°﹣90°＝270°，故答案为：90°或270°；（2）证明：∵MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，∴∠BAM+∠BCN＝90°，即∠BAD+∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是对余四边形；（3）解：线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD2，理由如下：∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝30°，∵AB＝BC，∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图3所示：∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，∴△BFD是等边三角形，∴BF＝BD＝DF，∵∠ADC＝30°，∴∠ADB+∠BDC＝30°，∴∠BFA+∠ADB＝30°，∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°，∴∠AFD+∠ADF＝90°，∴∠FAD＝90°，∴AD2+AF2＝DF2，∴AD2+CD2＝BD2．10．（1）证明：∵AB＝AD，∴＝，∴∠ACB＝∠ACD，∴CA平分∠BCD；（2）证明：如图2，过点D作AC的平行线交BC延长线于Q，∵＝，∴∠CAD＝∠CBD，∵BD为直径，∴∠BCD＝90°，∴tan∠CAD＝tan∠CBD＝，∵DQ∥AC∴∠Q＝∠ACB，∠ACD＝∠CDQ，由（1）得∠ACB＝∠ACD，∴∠Q＝∠CDQ，∴CD＝CQ，∵CE∥DQ，∴DE：EB＝CQ：BC，即DE：EB＝CD：CB，∴tan∠CAD＝；（3）如图3，过点D、B分别作DH⊥AG于H，BN⊥AG于N，过O作OM⊥AG于M，∵tan∠GAD＝，∴设AH＝3k，DH＝4k，∵∠BAN+∠NAD＝90°，∠NAD+∠ADH＝90°，∴∠BAN＝∠ADH，又∵∠BNA＝∠AHD＝90°，AB＝AD，∴△ADH≌△BAN（AAS），∴BN＝AH＝3k，AN＝DH＝4k，∵DH∥OM∥BN，且OB＝OD，∴MH＝MN，NH＝AN﹣AH＝k，∵OM⊥AG，∴MA＝MG，∴AH＝NG＝3k，∴FN＝3k﹣2，连接CG，过点C作CP∥AB，则∠ABF＝∠PCF，∠BAF＝∠P，又BF＝CF，∴△ABF≌△PCF（AAS），∴FA＝FP，∵＝，∴∠BAF＝∠GCB，∴∠GCF＝∠P，∴△FCG∽△FPC，∴CF2＝FG•FP，CF＝BF，即BN2+FN2＝FG•FA，∴（3k）2+（3k﹣2）2＝2（4k+3k﹣2），解得k＝1 或k＝（∵FN＞0∴舍去），∴在Rt△AHD中，AH＝3，DH＝4，∴AD＝＝5，∴BD＝AB＝5，∴BF2＝BN2+FN2＝（3k）2+（3k﹣2）2＝10，∴BF＝，∴BC＝2，∴在Rt△BCD中，CD ＝＝，∴tan∠CBD＝＝＝，∴DE＝BD＝．。
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2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：
考察证明、长度与面积、动点问题等（二）
1．如图，四边形ABCD是矩形，连接AC，E是AC上一点，⊙O经过点C、D、E，分别与AD、BC相交于点F、G，连接ED、EF、EG，延长GE交AD于点H．
（1）求证△HEF∽△DEC；
（2）若AB＝6，BC＝9，
①当△HEF是等腰三角形时，求CE的长；
②当⊙O与AB相切时，则CE的长为．
2．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，tan B＝，求⊙O的半径；
（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD 为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF．
（1）求线段AE的长；
（2）若AB﹣BO＝2，求tan∠AFC的值；
（3）若△DEF与△AEB相似，求EF的值．
4．如图，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D，连接AD，且∠DAE＝∠ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与⊙O相切于点B．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）连接AB交OP于点F，求证：△FAD∽△DAE；
（3）若tan∠OAF＝，求的值．
5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为直径，AC 和BD 交于点E ，AB ＝BC ．
（1）求∠ADB 的度数；
（2）过B 作AD 的平行线，交AC 于F ，试判断线段EA ，CF ，EF 之间满足的等量关系，并说明理由；
（3）在（2）条件下过E ，F 分别作AB ，BC 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接GH ，交BO 于M ，若AG ＝3，S 四边形AGMO ：S 四边形CHMO ＝8：9，求⊙O 的半径．
6．如图，在Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，以AB 为直径的圆交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连接DE ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）设⊙O 的半径为r ，证明r 2＝
AD •OE ； （3）若DE ＝4，sin C ＝，求AD 之长．
7．如图，在∠DAM 内部做Rt △ABC ，AB 平分∠DAM ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，点N 为
BC 的中点，动点E 由A 点出发，沿AB 运动，速度为每秒5个单位，动点F 由A 点出发，
沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F 作⊙O．
（1）判断△AEF的形状为，并判断AD与⊙O的位置关系为；
（2）求t为何值时，EN与⊙O相切？求出此时⊙O的半径，并比较半径与劣弧长度的大小；
（3）直接写出△AEF的内心运动的路径长为；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）
（4）直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为．
（参考数据：sin37°＝，tan37°＝，tan74°≈，sin74°≈，cos74°≈）
8．如图，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D．
（1）求证：AM＝AC；
（2）填空：①若AC＝3，MC＝；
②连接BM，当∠AMB的度数为时，四边形AMBC是菱形．
9．如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y 轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心
在x轴上），抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：ME是⊙P的切线；
（3）设N（x，y）是抛物线上的一个动点（不与C、G重合）．当∠CNG≤30°时，请求出点N的横坐标的取值范围．
10．问题提出：
如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+ BP的最小值
（1）尝试解决：
为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：（请把下面的过程填写完整）
如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有
又∵∠PCD＝∠
△∽△
∴
∴PD＝BP
∴AP+BP＝AP+PD
∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．
（2）自主探索：
如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为．（请在图3中添加相应的辅助线）
（3）拓展延伸：
如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．
参考答案
1．（1）证明：如图1，∵四边形CDFE是⊙O的内接四边形，
∴∠DFE+∠DCE＝180°，
∵∠DFE+∠EFH＝180°，
∴∠EFH＝∠DCE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DHE＝∠BGE，
∵四边形DEGC是⊙O的内接四边形，
∴∠BGE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠DHE，
∴△HEF∽△DEC；
（2）解：①由（1）知：△HEF∽△DEC，∴，
i）当HF＝EF时，
∵，
∴EC＝DC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，
∴CE＝DC＝6；
ii）当HE＝EF时，
∵，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠CDE＝∠ECD+∠CAD＝90°，
∴∠ADE＝∠EAD，
∴AE＝ED＝EC，
Rt△ADC中，AD＝BC＝9，DC＝6，
∴AC＝＝3，
∴CE＝AC＝；
iii）当HE＝HF时，
∵，
∴DE＝DC＝6，
如图2，连接DG，交AC于M，
∵∠DCG＝90°，
∴DG是⊙O的直径，
∵DE＝DC，
∴DG是EC的垂直平分线，即EC⊥DM，EC＝2CM，
cos∠DCM＝，即，
∴CM＝，
∴CE＝2CM＝，
综上，CE的长为6或或；
②如图3，设AB与⊙O相切的切点为N，连接NO并延长交CD于P，连接OC，过O作OK ⊥AC于K，。