大学物理分子动力学课件-能量均分与麦氏分布

•对于理想气体而言，分子间的作用力忽略不计，分 子与分子间的势能为 0。
•由于只考虑常温状态，分子内的原子间的距离可认 为不变，则分子内原子与原子间的势能也可不计。
分子的平均能量为 ε = 分子平均动能
i kT
2
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4、理想气体的内能
1.分子的平均动能为: i kT
2
2.如果系统有N个气体分子:
1、什么是自由度
自由度是描写物体运动时所需的独立坐标的个数。
3
所谓独立坐标数是指描写物体位置所需的最少的坐 标数。
例如：物体做一维直线运动，只需一个坐标，则自由
度数为1。
x
轮船在海平面上行 驶，要描写轮船的位 置至少需要两维坐标， 即经度和纬度，则自 由度为 2。
4
飞机在天空中飞翔，要 描写飞机的空间位置至 少需要三维坐标，则自 由度为 3。 问题1：质点以半径 r 做圆周运动自由度是多 少？
2
r kT 3.761021 J
0.3mol的该气体内能为
E 5 RT 5 0.38.31 273 1701J
2
2
15
2-4、麦克斯韦速率分布函数
一. 解决粒子集体行为的统计方法 1.伽耳顿板演示 1) 实验装置
x x x
x
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单个分子速率不可预知，大量分子的速率分布遵 循统计规律，是确定的，这个规律也叫麦克斯韦速率 分布律。
1、速率分布函数
按统计假设，各种速率下的分子都存在，用某一速率 区间内分子数占总分子数的百分比，表示分子按速率 的分布规律。
1.将速率从 0→ ∞ 按等间隔分割成很多相等的速率 区间。
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2.总分子数为N， 在v v v区间内的 分子数为N 例如速率间隔取100m/s ,
0 100m/s 的分子数为N 1 出现的概率为 N 1 / N
N N v
o v
v
18
100 200 m/s 的分子数为 N2 出现的概率为 N 2 / N
任一速率区间内分子出现的概率为
N i / N 则可了解分子按速率分布的情况。
N N v
o v
v
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3.概率 N i / N 与
对于理想气体在常温下，分子 内各原子间的距离认为不变，只 有平动自由度、转动自由度。
7
2、能量按自由度均分
在气体分子的运动中，由于分子间的激烈碰撞（几 亿次/秒），使平动动能与转动动能不断转换，
平动动能
转动动能
使平动动能与转动动能达到相同，即每个转动自由度 上也平均分配了kT/2能量。
由此可知，分子有 i 个自由度，其平均动能就有i 份 kT/2 的能量。
分子平均动能
i kT
2
8
1.单原子分子气体
例如：氦气（He）、氖气（Ne）、氩气（Ar）等为 单原子分子气体。其模型可用一个质点来代替。
平动自由度
t=3
转动自由度
r=0
总自由度
i=t+r=3+0=3
2.双原子分子气体
例如：氢气（H2）、氧气（O2）、氮气（N2）等为 双原子分子气体。其模型可用两个刚性质点模型来代

问题2：
但对于火车在轨道上行驶
时自由度是多少呢？
5
1. 一个质点，描写它的空间位置， z
需要 3 个平移（动）自由度，
t 3
2.两个刚性质点
o
P(x, y,z)
y
描写其质心位置需3个平动自
由度， t=3
描写其取向还需3个转动自 由度，α、β、γ
但是由于α、β、γ不是独立 的受到
xz

P(x, y, z)
2
由于分子运动在哪个方向都不占优势，因此，在 y、z
方向上也都平均分配 了 kT / 2 的能量。
1 2
m0
v
2 y

1 2
m 0 vz2

1 2
kT
气体分子在每个运动方向上分配了kT/2的能量，这种平 均能量在各方向上均匀分布的情况，称为能量按自由度 均分原理。
注意：上述计算中我们假定分子是刚性小球而得出来的。
少？
解：由
P

1 3
nm0 v2

1 3

v2
v2
3P

31.0102 1.013105 1.24102
495m / s
再由 v2 3RT 得

3RT
v2

3 8.31 4952
273

28g
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平均平动动能和转动动能
t

3 kT 2

3 1.381023 273 5.651021 J
第七章
8.3能量均分原理与 麦克斯韦速率分布
1
§2-3.能量按自由度均分原理
由分子平均平动动能与 温度的关系
t

1 2
m0
v
2

1 2
m0 (vx2

v
2 y

vz2 )
3 kT 2
v
2 x

v
2 y

v
2 z
3 2
m 0 vx2

3 2
kT
1 2
m 0 vx2

1 2
kT
即在 x 方向上平均分配了 kT / 2 的能量。
温度发生改变ΔT=T2－T1时，理想气体的内能变化为：
E

i 2
R(T2
T1)

i
2
RT
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例1：已知在 273k，1.0×10－2大气压时，容器内装有
双原子分子理想气体，其密度为 ρ=1.24 ×10－2kg/m3。
求（1）方均根速率，（2）气体的摩尔质量,(3)平均平
动动能和转动动能是多少？(4)0.3mol的该气体内能是多


y
cos2 cos2 cos2 1 x
的限制，转动自由度只有两个， r=2
6
2.两个刚性质点总自由度数
i t r 32 5
3.三个或三个以上的刚性质点
z

P(x, y, z)


y
需3个平动自由度和3个转动自由度。
平动自由度 t=3
x
转动自由度
r=3
总自由度
i=t+r=6
替。 平动自由度
t=3
转动自由度
r=2
总自由度
i=t+r=3பைடு நூலகம்2=5
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3.多原子分子气体
例如：二氧化碳气体（CO2）、水蒸气（H2O）、甲烷 气体（CH4）等为多原子分子气体。其模型可用多个刚 性质点来代替。
平动自由度
t=3
转动自由度
r=3
总自由度
i=t+r=3+3=6
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3、气体分子的内能
E=分子的动能 + 分子与分子间的势能 +分子中原子与原子间的势能
E i NkT i NR T N i RT
2
2 NA
NA 2
3.质量为m的气体能量为：
气体内能 E m i RT N i RT i RT
2
NA 2
2
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由此可得理想气体的内能为：
单原子分子 双原子分子
E 3 RT
2
E 5 RT
2
多原子分子 E 3 RT