2016中考王中考命题研究数学综合专题闯关：专题五函数的实际应用与决策
专题05二次函数的实际应用(含解析)2023年秋人教版数学九年级上册期中专题复习
专题05 二次函数的实际应用图形问题1．某校九年级数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的专题探究；一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的框，在实际使用中，如果竖档越多，窗框承重就越大，如果窗框面积越大，采光效果就越好．小组讨论后，同学们做了以下试验：请根据以上图案回答下列问题：(1)在图案①中，如果铝合金材料总长度（图中所有黑线的长度和）为，当为，窗框的面积是______；(2)在图案②中，如果铝合金材料总长度为，试探究长为多少时，窗框的面积最大，最大为多少？(3)经过不断的试验，他们发现：总长度一定时，竖档越多，窗框的最大面积越小，试验证：当总长还是时，对于图案③的最大面积，图案④不能达到这个面积．2．工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，6m AB 1m ABCD 2m 6m AB ABCD 6m ABCDEF AB DE ∥AB DE 3AB =1AF BC ==，．，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？3．某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米．(1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；(2)当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．图形运动问题4．如图（单位：cm ），等腰直角以2cm/s 的速度沿直线l 向正方形移动，直到与重合，当运动时间为x s 时，与正方形重叠部分的面积为y cm 2，下列图象中能反映y 与x 的函数关系的是（ ）90A B ∠=∠=︒135C F ∠=∠=︒MH H G GN MH MNGH ABC V AB AC =:3:4AF BF =G H F AB AC BC BCDE BE IJ MN CD ∥∥∥BF x =BE y =y x x x EFG V EF BC EFG V ABCD． ．． ．．如图，一个边长为的菱形，过点作直线沿线段向右平移，直至经过点时停止，在平移的过程中，若菱形在直线部分面积为，则与直线之间的函数图象大致为（ ）A ． ． ．．的边长为，点O 为正方形的中心，出发沿运动，连接的运动速度为260︒A l AB ⊥AB l y y l 2cm BC 2cm/s．．．．销售利润问题．某公司经销一种绿茶，每千克成本为元，市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系如图所示，设这种绿茶在(1)求y与x的函数关系式；(2)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于得2000元的销售利润，销售单价应定为多少元？(3)求销售单价为多少时销售利润最大？最大为多少元？8．某公司生产的某种时令商品每件成本为投球问题水平距离竖直高度(1)根据题意，填空：________________；(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离与竖直高度水平距离竖直高度①根据上述数据，求抛物线解析式；增长率问题(m)x 0123(m)y 0 3.567.5=a x /mx 02461112/m y 2.38 2.62 2.7 2.62 1.721.4213．据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（ ）A． B ． C ． D ． 14．某厂家2022年2月份生产口罩产量为180万只，4月份生产口罩的产量为461万只，设从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（ ）A ．B ．C ．D ．15．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是，降价后的价格为元，原价为元，则y 与之间的函数关系式为（ ）A ．B ．C ．D ．16．目前，随着新冠病毒毒力减弱，国家对新冠疫情防控的政策更加科学化，人们对新冠病毒的认识更加理性．佩戴口罩可以阻断传播途径，在一定程度上能够有效防止感染新型冠状病毒肺炎．某药品销售店将购进一批A 、B 两种类型口罩进行销售，A 型口罩进价m 元每盒，B 型口罩进价30元每盒，若各购进m 盒，成本为1375元．(1)求A 型口罩的进价为多少元？(2)设两种口罩的售价均为x 元，当A 型口罩售价为30元时，可销售60盒，售价每提高1元，少销售5盒；B 型口罩的销量y （盒）与售价x 之间的关系为；若B 型口罩的销售量不低于A 型口罩的销售量的10倍，该药品销售店如何定价？才能使两种口罩的利润总和最高．17．重庆潼南某一蔬菜种植基地种植的一种蔬菜，它的成本是每千克元，售价是每千克元，年销量为万千克多吃绿色蔬菜有利于身体健康，因而绿色蔬菜倍受欢迎，十分畅销．为了获得更好的销量，保证人民的身体健康，基地准备拿出一定的资金作绿色开发，根据经验，若每年投入绿色开发的资金万元，该种蔬菜的年销量将是原年销量的倍，它们的关系如下表：GDP GDP y GDP x y x ()2.412y x =+()22.41y x =-()22.41y x =+()()2.4 2.41 2.41y x x =++++()21801461x -=()21801461x +=()24611180x -=()24611180x +=x y a x ()12y a x =-()21y a x =-()21y a x =-()21y a x =-3005y x =-2310．X m参考答案：，，米，四边形是平行四边形，又，90A B ∠=∠=︒Q AF BC ∴P 1AF BC ==Q ∴ABCF 90A B ∠=∠=︒Q重叠部分为三角形，面积如图，当时，重叠部分为梯形，面积∴图象为两段二次函数图象，第一段开口向上，第二段开口向下，函数的最大值为纵观各选项，只有C 选项符合．y =510x <≤12y =⨯，图象开口向上的抛物线的一部分；②当时，如图，③当时，如图，故选：．【点睛】此题考查了动点图象问题，涉及到解直角三角形等知识，解题的关键是不同取值范围内，图象和图形的对应关系，进而求解．6．D21332y x x x =⨯=12x <≤()1133132y x =⨯⨯+-=23x <≤()23323322y x =⨯--=-A∴，由题得，，∴，∵，由题得，∴．故选D ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象的应用，求出分段函数的解析式是解题的关键．PE AD ⊥cm BQ t =cm AE PE t ==2cm QE AB ==cm BP BQ t ==212s t =（3）根据，即可作答．【详解】（1）解：设y 与x 的函数关系式为：，把，代入解析式得：，解得，∴y 与x 的函数关系式为；（2）根据题意，得；当时，，解得：，，∵这种商品的销售价不得高于90元/千克，∴，∴应将销售价定为70元/千克；（3），∵，∴当销售单价时，销售利润w 的值最大，最大值为2450元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，属于常考题型，正确理解题意、得出二次函数的关系式是解题的关键．8．(1)(2)第18天的日销售利润最大为450元(3)，1500元【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式，故可利用待定系数法可求解；（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围，进而求解即可．()222340120002852450w x x x =-+-=--+()0y kx b k =+≠()50,140()80,80501408080k b k b +=⎧⎨+=⎩2240k b =-⎧⎨=⎩2240y x =-+()()()250502240234012000w x y x x x x =-⋅=--+=-+-2000w =22340120002000x x -+-=170x =2100x =70x =()222340120002852450w x x x =-+-=--+20-<85x =296m x =-+1a =②不能．当时，，该运动员第一次发球能过网，故答案为：不能；（2）判断：没有出界．第二次发球：，令，则，，解得舍，，，该运动员此次发球没有出界．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题关键是正确求出函数解析式．13．C【分析】根据平均每个季度增长的百分率为，第二季度季度总值约为元，第三季度总值为元，则函数解析式即可求得．【详解】解：根据题意得：关于的函数表达式是：，故选：C ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．14．B【分析】利用4月份该厂家口罩产量月份该厂家口罩产量从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：根据题意得，故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9x =()20.0294 2.7 2.2 2.24y =--+=<∴20.02(5) 2.88y x =--+0y =20.02(4) 2.880x --+=17(x =-)217x =21718x =<Q ∴GDP x GDP ()2.41x +GDP ()22.41x +y x ()22.41y x =+2=(1⨯+2)()21801461x +=。
中考数学 第三编 综合专题闯关篇 题型二 解答题重难点
专题二函数的实际应用与决策专题命题规律纵观河北8年中考，函数的实际应用是河北每年中考必考内容，常考类型有：1.一次函数的实际应用(带有决策性问题)(2016年24题，2011年24题，2009年25题)；2.二次函数的实际应用(带有决策性问题)(2013年25题)；3.一次函数与二次函数结合的实际应用问题(最优问题)(2012年24题；2010年26题)．主要是考查学生将实际问题转化为数学问题的能力(分值10分左右，难度中上等)．解题策略从实际问题中建立函数模型，运用相关知识解决问题．此类问题综合性较强，一般结合方程(组)、一元二次方程、不等式以及统计知识来解决，对学生的综合能力要求较高．2017预测预计2017年河北中考对函数的实际应用，仍然会加大力度考查，难度不低，要求在复习中有针对性训练，分层提高．,中考重难点突破)一次函数的实际应用【经典导例】【例1】(2016邯郸二十三模拟)山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投入市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%.A、B两种型号车的进货和销售价格如下表：A型车B型车进货价格(元) 1 100 1 400销售价格(元) 今年的销售价格 2 000(1)今年A型车每辆售价多少元？(用列方程的方法解答)(2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？【解析】(1)根据卖出的数量相同作为等量关系列方程；(2)建立获利的函数关系式，然后用一次函数的性质回答问题．【学生解答】(1)设今年A型车每辆售价为x元，则去年每辆售价为(x＋400)元．由题意，得50 000x＋400＝50 000（1－20%）x.解得x＝1 600.经检验，x＝1 600是所列方程的根．答：今年A型车每辆售价为1 600元．(2)设车行新进A型车m辆，则B型车为(60－m)辆，获利y元．由题意，得y＝(1 600－1 100)m＋(2 000－1 400)(60－m)，即y＝－100m＋36 000.∵B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍．∴60－m≤2m.∴m≥20.由y 与m的关系式可知，－100＜0，y的值随m的值增大而减小．∴当m＝20时，获利最大，∴60－m＝60－20＝40(辆)．即当新进A型车20辆，B型车40辆时获利最大．【方法指导】弄清题意，建立相应数学模型是关键．1．(2015河北中考)水平放置的容器内原有210 mm高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升 4 mm，每放入一个小球水面就上升 3 mm，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y mm .(1)只放入大球，且个数为x 大，求y 与x 大的函数关系式；(不必写出x 大的取值范围) (2)仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x 小． ①求y 与x 小的函数关系式；(不必写出x 小的取值范围) ②限定水面高不超过260 mm ，最多能放入几个小球？解：(1)容器中原来的水高210 mm ，加上放入大球后升高的高度就是容器中变化后的水面的高度．根据题意得y ＝4x 大＋210；(2)①先求得放入6个大球后水的高度，然后加上放入小球后水升高的高度即可．放入6个大球后水的高度是y ＝4×6＋210＝234(mm )．∴y＝3x 小＋234；②根据水面高度不超过260 mm ，即小于或等于260mm ，列不等式求得x 小的范围，在这个范围内取最大整数值即可．依据题意，得3x 小＋234≤260，解得x 小≤823.∵x 小为自然数，∴x 小的最大整数值为8.答：限定水面高不超过260 mm ，最多能放入8个小球．2．(2016沧州九中模拟)为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A 、B 两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A 、B 两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A 、B 两村的运费如下表：目的地车型 A 村(元/辆) B 村(元/辆)大货车 800 900 小货车 400 600(1)这15(2)现安排其中10辆货车前往A 村，其余货车前往B 村，设前往A 村的大货车为x 辆，前往A 、B 两村总费用为y 元，试求出y 与x 的函数解析式；(3)在(2)的条件下，若运往A 村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．解：(1)大货车为8辆，小货车为7辆； (2)y ＝100x ＋9 400 ；(3)由题意，得12x ＋8(10－x)≥100，解得x≥5，又∵x 不会超过大货车的总辆数8，∴5≤x ≤8.由y ＝100x ＋9 400知，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝5时，y 取最小值，y 最小＝100×5＋9 400＝9 900(元)，∴总运费最少的货车调配方案为：前往A 村的大货车5辆，小货车5辆，前往B 村的大货车3辆，小货车2辆，最少总费用为9 900元．3．(2016保定八中二模)甲乙两人匀速从同一地点到 1 500 m 处的图书馆看书，甲出发5 min 后，乙以50 m /min 的速度沿同一路线行走．设甲乙两人相距s(m )，甲行走的时间为t(min )，s 关于t 的函数图象的一部分如图所示．(1)求甲行走的速度；(2)在坐标系中，补画s 关于t 函数图象的其余部分； (3)甲乙两人何时相距360 m?解：(1)甲行走的速度：150÷5＝30(m /min )； (2)补画的图象如图所示(C 点的横坐标为50)；(3)乙追上甲用的时间150÷(50－30)＝7.5(min )，此时t ＝5＋7.5＝12.5(min )．设直线AB 解析式为s ＝kt＋b(12.5≤t≤35)．∵A(12.5，0)，B(35，450)在直线AB 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝12.5k ＋b ，450＝35k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝20，b ＝－250.∴s ＝20t －250.当s ＝360时，20t －250＝360，解得t ＝30.5.设直线BC 的解析式为s ＝mt ＋n(35<t≤50)．∵点B(35，450)，C(50，0)在直线BC 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝50m ＋n ，450＝35m ＋n.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－30，n ＝1 500.∴s ＝－30t ＋1 500.当s ＝360时，－30t ＋1 500＝360，解得t ＝38，∴当甲行走30.5 min 或38 min 时，甲、乙两人相距360 m .4．(2016邢台模拟)某商业公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量 m(件)与时间t(天)的关系如下表：时间t(天) 1 3 10 20 21 22 40 日销售量 m(件) 98 94 80 60 61 62 80未来40天关系式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14t ＋25（1≤t≤20，t 为整数），－12t ＋40（21≤t≤40，t 为整数）.根据以上提供的条件解决下列问题：(1)认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数的知识分别确定1≤t≤20，21≤t ≤40时，满足这些数据的m(件)与t(天)之间的关系式；(2)请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？(3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润(a ＜4)给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t(天)的增大而增大，求a 的最小值．解：(1)m ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t ＋100（1≤t≤20），t ＋40（21≤t≤40）；(2)当t ＝15时，利润最大，为612.5元； (3)a 的最小值是2.5.二次函数的实际应用【经典导例】【例2】(2016石家庄四十二中模拟)天猫网某店铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是健脑的佳品，它的成本价为20元/kg ，经市场调查发现，该产品每天销售利润w(元)与销售价x(元/kg )有如下关系：w ＝ax 2＋bx －1 600，当销售价为22元/kg 时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元/kg 时，每天的销售利润为168元．(1)求该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg )的关系式； (2)当销售价定为24元/kg ，该产品每天的销售利润为多少元？(3)如果该店铺的负责人想要在销售价不超过32元的情况下每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？(4)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg ，此店铺每天获得的最大利润为多少元？【解析】(1)根据题意可求出y 与x 的二次函数关系式；(2)将x ＝24代入w ＝－2x 2＋120x －1 600中计算所得利润；(3)将w ＝150带入w ＝－2x 2＋120x －1 600＝150中计算出定价；(4)由二次函数解析式可知w ＝－2x 2＋120x －1 600＝－2(x －30)2＋200，所以当x ＝29时利润最大．【学生解答】(1)已知w ＝ax 2＋bx －1 600，且有当销售价为22元时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元时，每天的销售利润为168元．所以有：72＝a ×222＋b×22－1 600，168＝a×262＋b×26－1 600.解得a ＝－2，b ＝120.∴该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg )的关系式为w ＝－2x 2＋120x －1 600；(2)当x ＝24时，有w ＝－2×242＋120×24－1 600＝128.∴当销售价定为24元/kg 时，该产品每天的销售利润为128元；(3)当w ＝150时，有w ＝－2x 2＋120x －1 600＝150.解得x 1＝25，x 2＝35.∵x≤32，∴x ＝25.∴定价为25元/kg ；(4)w ＝－2x 2＋120x －1 600＝－2(x －30)2＋200.又∵物价部门规定这种产品的销售价不高于29元/kg ，∴当x ＝29元时，利润最大，为w ＝－2(29－30)2＋200＝198(元)．【方法指导】正确建立二次函数模型，利用配方法和二次函数的性质结合自变量的取值范围，求出最佳方案．5．(2013河北中考)某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q 量化考核司机的工作业绩．Q ＝W ＋100，而W 的大小与运输次数n 及平均速度x(km /h )有关(不考虑其他因素)，W 由两部分的和组成：一部分与x 的平方成正比，另一部分与x 的n 倍成正比．试行中得到了表中的数据．次数n 2 1 速度x 40 60 指数Q 420100(1)用含x 和n 的式子表示Q ；(2)当x ＝70，Q ＝450时，求n 的值； (3)若n ＝3，要使Q 最大，确定x 的值；(4)设n ＝2，x ＝40，能否在n 增加m%(m ＞0)同时x 减少m%的情况下，而Q 的值仍为420，若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．[参考公式：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的顶点坐标是(－b 2a ，4ac －b 24a)]解：(1)设W ＝k 1x 2＋k 2nx ，∴Q ＝k 1x 2＋k 2nx ＋100.由表中数据，得⎩⎪⎨⎪⎧420＝402k ＋2×40k 2＋100，100＝602k 1＋1×60k 2＋100.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－110，k 2＝6.∴Q ＝－110x 2 ＋6nx ＋100； (2)由题意，得450＝－110×702＋6×70n＋100，∴n ＝2；(3)当n ＝3时，Q ＝－110x 2 ＋18x ＋100.由a ＝－110<0可知，要使Q 最大， x ＝－182×⎝ ⎛⎭⎪⎫－110＝90；(4)由题意得，420＝－110[40(1－m%)]2＋6×2(1＋m%)×40(1－m%)＋100, 即2(m%)2－m%＝0，解得m%＝12或m%＝0(舍去), ∴m ＝50.6．(2016青岛中考)某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价为25元/件时，每天的销售量是250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式； (2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？ (3)商场的营销部结合上述情况，提出了A 、B 两种营销方案： 方案A ：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案B ：每件文具的利润不低于25元且不高于29元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．解：(1)w ＝(x －20)[250－10(x －25)]＝－10(x －20)(x －50)＝－10x 2＋700x －10 000；(2)∵w＝－10x 2＋700x －10 000＝－10(x －35)2＋2 250，∴当x ＝35时，w 取得最大值2 250，即销售单价为35元时，每天销售利润最大，最大利润为2 250元；(3)∵w＝－10(x －35)2＋2 250，∴函数图象是以x ＝35为对称轴且开口向下的抛物线．∴对于方案A ，20＜x≤30，此时图象在对称轴左侧(如图)，w 随x 的增大而增大，∴x ＝30时，w 取得最大值2 000.∴当采用方案A 时，销售单价为30元可获得最大利润为2 000元；对于方案B ，45≤x ＜49，此时图象位于对称轴右侧(如图)，∴w 随x 的增大而减小，故当x ＝45时，w 取到最大值1 250，∴当采用方案B 时，销售单价为45元可获得最大利润为1 250元，两者比较，方案A 的最大利润更高．7．(2016张家口一模)某企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，调查发现，国内市场的日销售量y 1(吨)与时间t(t 为整数，单位：天)的关系如图①所示的抛物线的一部分，而国外市场的日销售量y 2(吨)与时间t(t 为整数，单位：天)的关系如图②所示.(1)求y 1与时间t 的函数关系式及自变量t 的取值范围，并直接写出y 2与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围；(2)设国内、国外市场的日销售总量为y 吨，直接写出y 与时间t 的函数关系式，当销售第几天时，国内、外市场的日销售总量最早达到75吨？(3)判断上市第几天国内、国外市场的日销售总量y 最大，并求出此时的最大值．解：(1)设y 1＝at 2＋bt ，把点(30，0)和(20，40)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧900a ＋30b ＝0，400a ＋20b ＝40.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝6.∴y 1＝－15t 2＋6t(0≤t≤30，t 为整数)．设y 2＝kt ＋b ，当0≤t<20时，y 2＝2t ，当20≤t≤30时，⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝40，30k ＋b ＝0.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧2t （0≤t<20，且t 为整数），－4t ＋120（20≤t≤30为整数）； (2)由y ＝y 1＋y 2，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15t 2＋8t （0≤t<20，且t 为整数），－15t 2＋2t ＋120（20≤t≤30，且t 为整数）.由图象可知，销售20天，y ＝80, ∴y＝75时，t ＜20, 即－15t 2＋8t ＝75时，t 2－40t ＋25×15＝0，t 1＝15，t 2＝25>20(舍)．即销售第15天时，国内、外市场的日销售总量最早达到75吨；(3)当0≤t＜20时，y ＝－15t 2＋8t ＝－ 15(t －20)2＋80.∵t 为整数， ∴当t ＝19时，y 最大值为79.8吨．当20≤t≤30时，y ＝－15t 2＋2t ＋120＝－15(t －5)2＋125.∵当t ＝20时，y 随t 的增大而减小，∴当t ＝20时，y 的最大值为80吨．综上所述，上市后第20天国内、外市场日销售总量y 值最大，最大值为80吨．一次、二次函数综合应用【经典导例】【例3】(2016唐山九中二模)某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y 1(元)与国内销售数量x(千件)的关系为：y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧15x ＋90（0＜x≤2），－5x ＋130（2≤x＜6）.若在国外销售，平均每件产品的利润y 2(元)与国外的销售数量t(千件)的关系为：y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧100（0＜t≤2），－5t ＋110（2≤t＜6）.(1)用x 的代数式表示t 为：t ＝________；当0＜x≤4时，y 2与x 的函数关系式为：y 2＝________；当4≤x ＜________时，y 2＝100；(2)求每年该公司销售这种健身产品的总利润w(千元)与国内的销售数量x(千件)的函数关系式，并指出x 的取值范围．【学生解答】(1)6－x ；5x ＋80；6；(2)当0＜x≤2时，w ＝(15x ＋90)x ＋(5x ＋80)(6－x)＝10x 2＋40x ＋480；当2＜x≤4时，w ＝(－5x ＋130)x ＋(5x ＋80)(6－x)＝－10x 2＋80x ＋480；当4＜x ＜6时，w ＝(－5x ＋130)x＋100(6－x)＝－5x 2＋30x ＋600.w ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2＋40x ＋480（0＜x≤2），－10x 2＋80x ＋480（2＜x≤4），－5x 2＋30x ＋600（4＜x ＜6）.8．(2012河北中考)某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计)，这些薄板的形状均为正方形，边长(单位：cm )在5～50之间．每张薄板的成本价(单位：元)与它的面积(单位：cm 2)成正比例．每张薄板的出厂价(单位：元)由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．薄板的边长(cm ) 20 30 出厂价(元/张) 50 70(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；(2)已知出厂一张边长为40 cm 的薄板，获得的利润是26元．(利润＝出厂价－成本价) ①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式；②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？[参考公式：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的顶点坐标是(－b 2a ，4ac －b 24a)]解：(1)设一张薄板的边长为x cm ，它的出厂价为y 元，基础价为n 元，浮动价为kx 元，则y ＝kx ＋n.由表格中的数据得⎩⎪⎨⎪⎧50＝20k ＋n ，70＝30k ＋n.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，n ＝10.∴y ＝2x ＋10；(2)①设一张薄板的利润为P 元，它的成本价为mx 2元，由题意得P ＝y －mx 2＝2x ＋10－mx 2.将x ＝40，P ＝26代入P ＝2x ＋10－mx 2中，得26＝2×40＋10－m×402.解得m ＝125.∴P ＝－125x 2＋2x ＋10；②∵a ＝－125<0，∴当x ＝－b 2a ＝－22×（－125）＝25(在5～50之间)时，P 最大值＝4ac －b24a＝4×（－125）×10－224×（－125）＝35.即出厂一张边长为25 cm 的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元．9．(2016梅州中考)九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价(元/件) 100 110 120 130 … 月销量(件) 200 180 160 140 …(1)请用含x 的式子表示：①销售该运动服每件的利润是________元；②月销量是________件；(直接写出结果)(2)设销售该运动服的月利润为y 元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ 解：(1)(x －60)；(－2x ＋400)；(2)由题意得，y ＝(x －60)(－2x ＋400)＝－2x 2＋520x －24 000＝－2(x －130)2＋9 800.当x ＝130时，y 有最大值9 800.答：售价为130元，当月的利润最大，最大利润是9 800元．10．(2016保定十七中二模)某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元．为按时完成任务，该企业招收了新工人．设新工人李明第x 天生产的粽子数量为y 只，y 与x 满足如下关系：⎩⎪⎨⎪⎧54x ，（0≤x≤5）30x ＋120.（5<x≤15）(1)李明第几天生产的粽子数量为420只？(2)如图，设第x 天每只粽子的成本是p 元，p 与x 之间的关系可用图中的函数图形来刻画．若李明第x 天创造的利润为w 元，求 w 关于x 的函数解析式，并求出第几天的利润最大，最大利润时多少元？(利润＝出厂价－成本)解：(1)设李明第n 天生产的粽子数量为420只，根据题意，得30n ＋120＝420，解得n ＝10. 答：李明第10天生产的粽子数量为420只；(2)由图象可知，当0≤x≤9时，p ＝4.1；当9≤x≤15时，设p ＝kx ＋b(k ≠0)，把点(9，4.1)，(15，4.7)代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧9k ＋b ＝4.1，15k ＋b －4.7.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.1，b ＝3.2.∴p ＝0.1x ＋3.2.①0≤x ≤5时，w ＝(6－4.1)×54x＝102.6x ，当x ＝5时，w 最大＝513(元)；②5<x≤9时，w ＝(6－4.1)×(30x＋120)＝57x ＋228，∵x 是整数，∴当x ＝9时，w 最大＝741(元)；③9<x≤15时，w ＝(6－0.1x －3.2)×(30x＋120)＝－3x 2＋72x ＋336＝－3(x －12)2＋768.∵－3<0，∴当x ＝12时，w 最大＝768(元)．综上所述，w 与x 之间的函数解析式为w ＝⎩⎪⎨⎪⎧102.6x （0≤x≤5），57x ＋228（5<x≤9），－3（x －12）2＋768（9<x≤15）.第12天的利润最大，最大值是768元．。
(完整版)2019-2020年中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题五函数的实际应用与决策试题
2019-2020年中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题五函数的实际应用与决策试题命题规律纵观怀化7年中考，函数的实际应用是怀化每年中考必考内容，常考类型有：1.一次函数的实际应用(带有决策性问题)；2.二次函数的实际应用(带有决策性问题)；3.一次函数与二次函数结合的实际应用问题(最优问题)．主要是考查学生将实际问题转化为数学问题的能力(难度中上等)．命题预测预计2017年怀化中考对函数的实际应用，仍然会加大力度考查，难度不低，要求在复习中有针对性训练，分层提高.,中考重难点突破)一次函数的实际应用【例1】(2016鹤城模拟)山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投入市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%.A、B两种型号车的进货和销售价格如下表：A型车B型车进货价格(元) 1 100 1 400销售价格(元) 今年的销售价格 2 000(1)今年A(2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？【解析】(1)根据卖出的数量相同作为等量关系列方程；(2)建立获利的函数关系式，然后用一次函数的性质回答问题．【学生解答】解：(1)设今年A型车每辆售价x元，则去年每辆售价(x＋400)元．由题意，得50 000x＋400＝50 000（1－20%）x.解得x＝1 600.经检验，x＝1 600是所列方程的根．答：今年A型车每辆售价为1 600元；(2)设车行新进A型车a辆，则B型车为(60－a)辆，获利y元．由题意，得y＝(1 600－1 100)a＋(2 000－1 400)(60－a)，即y＝－100a＋36 000.∵B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍．∴60－a≤2a.∴a≥20.由y与a的关系式可知，－100<0，y的值随a的值增大而减小．∴a＝20时，y的值最大，∴60－a＝60－20＝40(辆)，∴当车行新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最多．【点拨】弄清题意建立相应数学模型是关键．1．(2016孝感中考)孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B 种树木1棵，共需380元．(1)求A种，B种树木每棵各多少元？(2)因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素)，实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．解：(1)设A种，B种树木每棵分别为a元，b元，则⎩⎪⎨⎪⎧2a＋5b＝600，3a＋b＝380，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝100，b＝80.答：A种，B种树木每棵分别为100元，80元；(2)设购买A种树木为x棵，则购买B种树木为(100－x)棵，则x≥3(100－x)，∴x≥75.设实际付款总金额为y 元，则y ＝0.9[100x ＋80(100－x)]＝18x ＋7 200.∵18>0，y 随x 的增大而增大，∴x ＝75时，y 最小．即x ＝75，y 最小值＝18×75＋7 200＝8 550(元).100－x ＝100－75＝25.∴当购买A 种树木75棵，B 种树木25棵时，所需费用最少，最少费用为8 550元．2．(2015芷江模拟)一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y 1 km ，出租车离甲地的距离为y 2 km ，两车行驶的时间为x h ，y 1，y 2关于x 的函数图象如图所示：(1)根据图象，直接写出y 1、y 2关于x 的函数关系式；(2)若两车之间的距离为s km ，请写出s 关于x 的函数关系式；(3)甲、乙两地间有A 、B 两个加油站，相距200 km ，若客车进入A 加油站时，出租车恰好进入B 加油站，求A 加油站离甲地的距离．解：(1)y 1＝60x(0≤x≤10)，y 2＝－100x ＋600(0≤x≤6)；(2)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧－160x ＋600（0≤x≤154），160x －600（154<x≤6），60x （6<x≤10）；(3)由题意得s ＝200，①当0≤x≤154时，－160x ＋600＝200.∴x＝52，∴y 1＝60x ＝150(km )．②当154<x ≤6时，160x －600＝200.∴x＝5.∴y 1＝60x ＝300(km )．③当6<x≤10时，60x>360(舍去)．即A 加油站离甲地的距离为150 km 或300 km .二次函数的实际应用【例2】(2016沅陵模拟)天猫网某店铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是健脑的佳品，它的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该产品每天销售利润w(元)与销售价x(元/kg )有如下关系：w ＝ax 2＋bx －1 600，当销售价为22元/kg 时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元/kg 时，每天的销售利润为168元．(1)求该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg )的关系式；(2)当销售价定为每千克24元时，该产品每天的销售利润为多少元？(3)如果该店铺的负责人想要在销售价不超过32元的情况下每天获得150元的销售利润，求销售价应定为每千克多少元？(4)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克29元，此店铺每天获得的最大利润为多少元？【解析】(1)根据题意可求出y 与x 的二次函数关系式；(2)将x ＝24代入w ＝－2x 2＋120x －1 600中计算所得利润；(3)将w ＝150带入w ＝－2x 2＋120x －1 600中计算出定价；(4)由二次函数解析式可知w ＝－2x 2＋120x －1 600＝－2(x －30)2＋200，所以当x ＝29时利润最大．【学生解答】解：(1)已知w ＝ax 2＋bx －1 600，且有当销售价为22元时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元时，每天的销售利润为168元．所以有：72＝a ×222＋b×22－1 600，168＝a×262＋b×26－1 600.解得a ＝－2，b ＝120.∴该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/千克)的关系式为w ＝－2x 2＋120x －1 600；(2)当x ＝24时，有w ＝－2×242＋120×24－1 600＝128.∴当销售价定为每千克24元时，该产品每天的销售利润为128元；(3)当w ＝150时，有w ＝－2x 2＋120x －1 600＝150.解得x 1＝25，x 2＝35.∵x≤32，∴x ＝25.∴定价为每千克25元；(4)w ＝－2x 2＋120x －1 600＝－2(x －30)2＋200.又∵物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克29元，∴当x ＝29元时，利润最大，为w ＝－2(29－30)2＋200＝198(元)．【点拨】正确建立二次函数模型，利用配方法和二次函数的性质结合自变量的取值范围，求出最佳方案．3．(2016龙岩中考)某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x 天(x 为正整数)销售的相关信息，如表所示：销售量n(件) n ＝50－x销售单价 m(元/件)当1≤x≤20时，m ＝20＋12x当21≤x≤30时，m ＝10＋420x (1)(2)求网店销售该商品30天里所获利润y(元)关于x(天)的函数关系式；(3)这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)当1≤x≤20时，将m ＝25代入m ＝20＋12x ，解得x ＝10；当21≤x≤30时，25＝10＋420x，解得x ＝28.∴第10天或第28天时该商品单价为25元/件；(2)当1≤x≤20时，y ＝(m －10)n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫20＋12x －10(50－x)，即y ＝－12x 2＋15x ＋500；当21≤x≤30时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋420x －10(50－x)＝21 000x －420，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋15x ＋500（1≤x≤20），21 000x－420（21≤x≤30）； (3)当1≤x≤20时，y ＝－12x 2＋15x ＋500＝－12(x －15)2＋1 2252，∵a ＝－12<0，∴当x ＝15时，y 最大＝1 2252；当21≤x≤30时，由y ＝21 000x－420可知，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝21时，y 最大＝580元．∵580<1 2252，∴第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元． 一次、二次函数综合应用【例3】(2015黄冈中考)某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y 1(元)与国内销售数量x(千件)的关系为：y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧15x ＋90（0<x≤2），－5x ＋130（2≤x<6）. 若在国外销售，平均每件产品的利润y 2(元)与国外的销售数量t(千件)的关系为：y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧100（0<t≤2），－5t ＋110（2≤t<6）. (1)用x 的代数式表示t 为：t ＝________；当0<x<4时，y 2与x 的函数关系式为：y 2＝________；当4≤x<________时，y 2＝100；(2)求每年该公司销售这种健身产品的总利润w(千元)与国内的销售数量x(千件)的函数关系式，并指出x 的取值范围．【学生解答】解：(1)6－x ；5x ＋80；6；(2)当0<x≤2时，w ＝(15x ＋90)x ＋(5x ＋80)(6－x)＝10x 2＋40x ＋480；当2<x≤4时，w ＝(－5x ＋130)x ＋(5x ＋80)(6－x)＝－10x 2＋80x ＋480；当4<x<6时，w ＝(－5x ＋130)x ＋100(6－x)＝－5x 2＋30x ＋600.综上，w ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2＋40x ＋480（0<x≤2），－10x 2＋80x ＋480（2<x≤4），－5x 2＋30x ＋600（4<x<6）.4．(2015辰溪模拟)某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元．经市场调研发现：甲种产品的销售单价定在35元到70元之间较为合理，设甲种产品的销售单价为x(元)，年销售量为y(万件)，当35≤x<50时，y 与x 之间的函数关系式为y ＝20－0.2x ；当50≤x≤70时，y 与x 的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价在25元(含)到45元(含)之间，且年销售量稳定在10万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元．(1)当50≤x≤70时，求出甲种产品的年销售量y(万件)与x(元)之间的函数关系式．(2)若公司第一年的年销售利润(年销售利润＝年销售收入－生产成本)为W(万元)，那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？(3)第二年公司可重新对产品进行定价，在(2)的条件下，并要求甲种产品的销售单价x(元)在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利(总盈利＝两年的年销售利润之和－投资成本)不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m(元)的范围．解：(1)y与x的函数关系式为y＝15－0.1x；(2)依题意知：25≤90－x≤45，即45≤x≤65.①当45≤x<50时，W＝(20－0.2x)(x－30)＋10(90－x－20)＝－0.2x2＋16x＋100＝－0.2(x－40)2＋420.由函数图象性质知，当x＝45时，W最大值为415万元；②当50≤x≤65时，W＝(15－0.1x)(x－30)＋10(90－x－20)＝－0.1x2＋8x＋250＝－0.1(x－40)2＋410.由函数图象性质知，当x＝50时，W最大值为400万元．综上所述，当x＝45时，即甲、乙两种产品定价均为45元时，第一年年销售利润最大，最大年销售利润为415万元；(3)30≤m≤40.5．(2016随州中考)九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90，且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y(单位：元/件)，每天的销售量为p(单位：件)，每天的销售利润为w(单位：元)．时间x(天) 1 30 60 90每天销售量p(件) 198 140 80 20(1)求出w与x的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5 600元？请直接写出结果．解：(1)当0≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的关系式为y＝kx＋b，则⎩⎪⎨⎪⎧b＝0，50k＋b＝90，∴⎩⎪⎨⎪⎧k＝1，b＝40，∴y＝x＋40，∴y与x的函数关系式为y＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋40（0≤x≤50，且x为整数），90（50<x≤90且x为整数）.设p与x之间的关系式为p＝mx＋n(m、n为常数，且m≠0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧60m＋n＝80，30m＋n＝140，∴⎩⎪⎨⎪⎧m＝－2，n＝200，∴p＝－2x＋200(0≤x≤90，且x为整数)．当0≤x≤50时，w ＝(y－30)·p＝(x＋40－30)(－2x＋200)＝－2x2＋180x＋2 000，当50<x≤90时，w＝(90－30)·(－2x＋200)＝－120x＋12 000.综上所述，w＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x2＋180x＋2 000（0≤x≤50，且x为整数），－120x＋12 000（50<x≤90，且x为整数）；(2)当0≤x≤50时，w＝－2x2＋180x＋2 000＝－2(x－45)2＋6 050.∵a＝－2<0且0≤x≤50，∴x＝45时，w最大＝6 050(元)．当50＜x≤90时，w＝－120x＋12 000.∵k＝－120<0，∴w随x增大而减小，∴x＝50时，w最大＝6 000(元)．∵6 050>6 000，∴x＝45时，w最大＝6 050(元)．即销售第45天时，当天获得的利润最大，最大利润是6 050元；(3)24天．命题规律1.动态问题为怀化中考的常考点，近7年共考查5次，对动点问题的考查都会结合几何图形的综合考查，且大都是以解答题形式出现．2．考查类型：(1)几何图形中的动点问题；(2)一次函数中的动点问题；(3)二次函数中的动点问题．命题预测 预计2017年怀化中考对动态变化问题仍会考查，且图形中的动点问题为重点考查对象，注意解决此类问题常会用到分类讨论思想和数形结合思想，并且一次函数中的动点问题难度会有所降低. 【例1】(2013怀化中考)如图，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)．动点P 从点A 出发，沿y 轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P 的直线l ：y ＝－x ＋b 也随之移动，设移动时间为t 秒．(1)当t ＝3时，求l 的解析式；(2)若点M ，N 位于l 的异侧，确定t 的取值范围；(3)直接写出t 为何值时，点M 关于l 的对称点落在坐标轴上．【解析】(1)，(2)求出直线与y 轴的交点，以及P 点坐标与t 之间的关系，用对应的点的坐标代入解析式，即可求出答案；(3)过点M 作l 的垂线，求出直线与坐标轴的交点，然后再来计算即可．【学生解答】解：(1)直线y ＝－x ＋b 交y 轴于点P(0，b)，由题意，得b>0，t ≥0，b ＝1＋t ，当t ＝3时，b ＝4.∴y＝－x ＋4；(2)当直线y ＝－x ＋b 过M(3，2)时，2＝－3＋b ，解得b ＝5，∵5＝1＋t ，∴t ＝4.当直线y ＝－x ＋b 过N(4，4)时，4＝－4＋b ，解得b ＝8.∵8＝1＋t ，∴t ＝7.∴当点M ，N 位于l 的异侧时，4<t<7；(3)t ＝1时，落在y 轴上；t ＝2时，落在x 轴上．【点拨】k 、b 对一次函数图象y ＝kx ＋b 的影响：①当k>0时，y 随x 的增大而增大，当k<0时，y 随x 的增大而减小；②k 决定着一次函数图象的倾斜程度，|k|越大，其图象与x 轴的夹角就越大；③b 决定着直线与y 轴的交点，当b 大于0时，交点在y 轴正半轴；当b 小于0时，交点在y 轴负半轴；④直线y ＝kx ＋b 可以看作由直线y ＝kx 平移|b|个单位长度得到(当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移)；⑤直线y ＝k 1x ＋b 1、y ＝k 2x ＋b 2的几种位置关系：平行：k 1＝k 2，b 1≠b 2；重合：k 1＝k 2，b 1＝b 2；关于y 轴对称：k 1＋k 2＝0，b 1＝b 2；关于x 轴对称：k 1＋k 2＝0，b 1＋b 2＝0；垂直：k 1k 2＝－1.1．如图，直线y ＝－43x ＋8与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，动点P 从A 点出发，以每秒2个单位的速度沿AO 方向向点O 匀速运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒1个单位的速度沿BA 方向向点A 匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t(s )(0<t≤3)．(1)写出A ，B 两点的坐标；(2)设△AQP 的面积为S ，试求出S 与t 之间的函数关系式，并求出当t 为何值时，△AQP 的面积最大？(3)当t 为何值时，以点A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABO 相似？直接写出此时点Q 的坐标．解：(1)点A(6，0)，B(0，8)；(2)S △AQP ＝－45(t 2－10t)＝－45(t －5)2＋20，∵－45<0，0<t ≤3，∴当t ＝3时，S △AQP 最大，S △AQP 最大＝－45(3－5)2＋20＝845；(3)若∠APQ＝90°，则cos ∠OAB ＝AP AQ ，∴2t 10－t ＝610，解得t ＝3013，若∠AQP＝90°，则cos ∠OAB ＝AQ AP ，∴10－t 2t ＝610，解得t ＝5011，∵0<t ≤3，∴t ＝5011不合题意，舍去，∴t 的值为3013，此时，OP ＝6－2×3013＝1813.PQ ＝AP·tan ∠OAB ＝(2×3013)×86＝8013，∴点Q 的坐标为(1813，8013)．综上所述，t ＝3013 s 时，以点A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABO 相似，此时点Q 的坐标为(1813，8013)． 二次函数中的动点问题【例2】(2011怀化中考)如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位的速度运动t(t>0)秒，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点O 和点P ，已知矩形ABCD 的三个顶点为A(1，0)，B(1，－5)，D(4，0)．(1)求c ，b ；(用含t 的代数式表示)(2)当4<t<5时，设抛物线分别与线段AB 、CD 交于点M 、N.①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，S ＝218； (3)在矩形ABCD 的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t 的取值范围． 【解析】(1)由抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点O 和点P ，将点O 与点P 的坐标代入方程即可求得c ，b ；(2)①当x ＝1时，y ＝1－t ，求得点M 的坐标，则可求得∠AMP 的度数；②由S ＝S 四边形AMNP －S △PAM ＝S △DPN ＋S 梯形NDAM －S △PAM ，即可求得关于t 的二次函数，列方程即可求得t 的值；(3)根据图形，即可直接求得答案，分别分析左边有4，3，2，1，0个好点时，t 的取值范围．【学生解答】解：(1)把x ＝0，y ＝0代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得c ＝0，再把x ＝t ，y ＝0代入y ＝x 2＋bx ，得t 2＋bt ＝0，∵t>0，∴b ＝－t ；(2)①不变，∵抛物线的解析式为：y ＝x 2－tx ，且点M 的横坐标为1，∴当x ＝1时，y ＝1－t ，M(1，1－t)，∴AM ＝|1－t|＝t －1，∵OP ＝t ，∴AP ＝t －1，∴AM ＝AP ，∵∠PAM ＝90°，∴∠AMP ＝45°；②S＝S 四边形AMNP －S △PAM ＝S △DPN ＋S 梯形DNMA －S △PAM ＝12(t －4)(4t －16)＋12[(4t －16)＋(t －1)]×3－12(t －1)(t －1)＝32t 2－152t ＋6.解32t 2－152t ＋6＝218，得t 1＝12，t 2＝92，∵4<t<5，∴t 1＝12(舍去)，∴t ＝92；(3)t 的取值范围为72<t<113.①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解；②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方：则有－4<y 2<－3，－2<y 3<－1，即－4<4－2t<－3，－2<9－3t<－1，72<t<4且103<t<113，解得72<t<113；③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解；④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解；⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方，无解；综上所述，t 的取值范围是72<t<113.2．(2015襄阳中考)边长为2的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边OA 的中点，连接CD ，点E 在第一象限，且DE⊥DC，DE ＝DC ，以直线AB 为对称轴的抛物线过C ，E 两点．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 从点C 出发，沿射线CB 以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒．过点P 作PF⊥CD 于点F.当t 为何值时，以点P ，F ，D 为顶点的三角形与△COD 相似？(3)点M 为直线AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M ，N ，使得以点M ，N ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)过点E 作EG⊥x 轴于点G.∵四边形OABC 是边长为2的正方形，D 是OA 的中点，∴OA ＝OC ＝2，OD ＝1，∠AOC ＝∠DGE＝90°，∵∠CDE ＝90°，∴∠ODC ＋∠GDE＝90°，又∵∠ODC＋∠OCD＝90°，∴∠OCD ＝∠GDE.∵DC＝DE ，∴△ODC ≌△GED.∴EG ＝OD ＝1，DG ＝OC ＝2.∴点E 的坐标为(3，1)．又∵抛物线的对称轴为直线AB ，即直线x ＝2，∴可设抛物线的表达式为y ＝a(x －2)2＋k.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋k ＝2，a ＋k ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，k ＝23，∴抛物线的表达式为y ＝13(x －2)2＋23；(2)①若△DFP∽△COD，则∠PDF＝∠DCO.∴PD∥OC.∴∠PDO＝∠OCP＝∠AOC＝90°，∴四边形PDOC 为矩形．∴PC＝OD ＝1，∴t ＝1；②若△PFD∽△COD，则∠DPF＝∠DCO，PD CD ＝DF OD.∴∠PCF ＝90°－∠DCO＝90°－∠DPF＝∠PDF.∴PC＝PD.∴DF＝12CD.∵CD 2＝OD 2＋OC 2＝22＋12＝5，∴CD ＝5，∴DF ＝125，∵PD CD＝DF OD ，∴PC ＝PD ＝52×5＝52.∴t ＝52.∴当t 等于1或52时，以点P ，F ，D 为顶点的三角形与△COD 相似；(3)存在，满足条件的点有三组，坐标分别为M 1(2，1)，N 1(4，2)；M 2(2，3)，N 2(0，2)；M 3(2，13)，N 3(2，23)．3．(2016随州中考)已知抛物线y ＝a(x ＋3)(x －1)(a≠0)，与x 轴从左至右依次相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，经过点A 的直线y ＝－3x ＋b 与抛物线的另一个交点为D.(1)若点D 的横坐标为2，求抛物线的函数表达式；(2)若在第三象限内的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标；(3)在(1)的条件下，设点E 是线段AD 上的一点(不含端点)，连接BE.一动点Q 从点B 出发，沿线段BE 以每秒1个单位的速度运动到点E ，再沿线段ED 以每秒233个单位的速度运动到点D 后停止，问当点E 的坐标是多少时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少？解：(1)y ＝－3x 2－23x ＋33；(2)P ⎝⎛⎭⎪⎫－4，－153或(－6，－77)； (3)E(1，－43)．几何图形中的动点问题【例3】如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，OA 在x 轴正半轴上，菱形的边长为6，∠AOC ＝60°.动点P 以每秒1个单位长度的速度从点O 出发沿x 轴正半轴的路线运动，动点Q 以相同的速度从点C 同时出发沿路线CB －BA 运动．当点Q 到达点A 后，两点同时停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t(s )，△CPQ 的面积为S.(1)求点C 的坐标；(2)当t 为何值时，PC ⊥AB ？请说明理由；(3)①当点Q 在AB 边上时，求S 与t 之间的函数关系式；②当t 为何值时，点Q 落在直线PC 上？为什么？【解析】(1)过点C 作CD⊥OA，交x 轴于点D.就可以求出OD 的值，由勾股定理就可以求出CD 的值，进而求出结论；(2)当PC⊥AB 时，由菱形的性质就可以求出∠OPC ＝30°，就可以求出∠PCO＝90°，由直角三角形的性质就可以求出OP 的值，就可以得出结论；(3)①过点Q 作QE ⊥OA ，交x 轴于点E ，过点A 作AF⊥OC 于F ，就可以求出QE 的值，由四边形OAQC 的面积＋△APQ 的面积－△OPC 的面积就可以求出结论；②根据①的表达式，当S ＝0时，求出t 的值即可．【学生解答】解：(1)如解图①，过点C 作CD⊥OA，交x 轴于点D.∴∠CDO＝90°，∵∠AOC ＝60°，∴∠DCO ＝30°，∴OD ＝12OC ，∵OC ＝6，∴OD ＝3.在Rt △ODC 中，由勾股定理，得CD ＝3 3.∴C 点坐标为(3，33)；(2)当t ＝12 s 时，PC ⊥AB.理由：∵四边形OABC 是菱形，∴OC ∥AB ，∴∠PAB ＝∠AOC＝60°，∵PC ⊥AB ，∴∠AGP ＝90°，∴∠GPA ＝30°，∵OC ∥AB ，∴∠PCO ＝∠AGP，∴∠PCO ＝90°，∴OP ＝2OC ，∴OP ＝12.∴t＝12÷1＝12 s ．∴当t ＝12 s 时，PC ⊥AB ；(3)如解图②，①当Q 点在BA 上时，6≤t ≤12，过点Q 作QE⊥OA，交x 轴于点E ，过点A 作AF⊥OC 于F ，∴∠AFO ＝∠AEQ ＝90°，∴AQ ＝12－t ，AP ＝t －6，AF ＝3OC ＝33，∴QE ＝AQ·sin 60°＝32(12－t)，∵S ＝S梯形OAQC ＋S △AQP －S △POC ，∴S ＝12[(12－t)＋6]×33＋12(t －6)×32(12－t)－12t ×33，∴S ＝－34t 2＋332t ＋93；②∵点Q 落在直线PC 上，∴S ＝0，∴－34t 2＋332t ＋93＝0，∴t 1＝3＋35，t 2＝3－35<0(舍去)．∴当t ＝(3＋35)s 时，点Q 落在直线PC 上．【点拨】动态问题中求图形面积(S)与时间(t)的基本步骤：1.设动点运动的时间为t ；2.找到并标出动点的运动路线，并找到动点运动过程中的转折点(即从某一条边运动到另一条边的时刻)，再以此转折点为分类指标进行分类讨论，求出每个运动轨迹上的图形面积S 与t 之间的函数关系式；3.图形面积S 与时间t 之间的函数关系式的求解分为两种情况：(1)若所求图形的某些边在动点的运动轨迹上，且图形是规则的(如三角形、矩形、正方形、圆)，则可直接求解：①若所求图形为三角形，则用含t 的代数式表示出三角形的底，再用勾股定理、三角形相似、线段成比例等知识求出高，从而得出图形面积与时间t 之间的关系；②若所求图形为矩形、正方形，则用含t 的代数式表示出其边长，用面积公式即可求出图形面积与时间t 之间的关系；③若所求图形为圆，则用含t 的代数式表示出其半径，用圆的面积公式即可得出图形面积与时间t 之间的关系；(2)若所求图形的边都不在动点的运动轨迹上，则需利用割补法将所求图形转化为边在动点运动轨迹上的图形(可以是三角形、矩形、正方形、圆，也可以是几个图形的面积和差)，再利用(1)中的方法进行求解．4．(2015辽宁中考)如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AC 上，且CD>DA ，DA ＝2，点P 、Q 同时从D 点出发，以相同的速度分别沿射线DC 、射线DA 运动．过点Q 作AC 的垂线段QR ，使QR ＝PQ ，连接PR.当点Q 到达A 时，点P 、Q 同时停止运动．设PQ ＝x ，△PQR 和△ABC 重合部分的面积为S.S 关于x 的函数图象如图2所示．(其中0<x≤87，87<x ≤m 时，函数的表达式不同)(1)n 的值为__3249__； (2)求S 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围．解：当0<x≤87时，S ＝12x 2，由题意知，当点R 落在AB 上时(如图①)，RQ ＝87，此时QA ＝2－x 2＝2－12×87＝107，tan A ＝RQ QA ＝45，当点Q 到达A 时，2－x 2＝0，x ＝4，当87<x ≤4时(如图②)，设RP 、RQ 与AB 分别相交于点E ，F ，作EG⊥AC，垂足为G ，设EG ＝y ，∵tan A ＝EG GA ＝FQ QA ，∴GA ＝EG tan A ＝5y 4，FQ ＝QA·tan A ＝45(2－x 2)，∵PA ＝PG ＋G A ＝PD ＋DA ，即y ＋5y 4＝x 2＋2，∴y ＝49(x 2＋2)，∴S ＝S △EPA －S △FQA ＝12(x 2＋2)·49(x 2＋2)－12(2－x 2)·45(2－x 2)＝－245x 2＋5645x －3245，∴S ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2（0<x ≤87），－245x 2＋5645x －3245（87<x≤4）.5．(2015绵阳中考)如图，在边长为2的正方形ABCD 中，G 是AD 延长线上的一点，且DG ＝AD ，动点M 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G 的路线向G 点匀速运动(M 不与A 、G 重合)，设运动时间为t 秒．连接BM 并延长交AG 于N. (1)是否存在点M ，使△ABM 为等腰三角形？若存在，分析点M 的位置；若不存在，请说明理由；(2)当点N 在AD 边上时，若BN⊥HN，NH 交∠CDG 的平分线于H ，求证：BN ＝NH ；(3)过点M 分别作AB 、AD 的垂线，垂足分别为点E ，F ，矩形AEMF 与△ACG 重叠部分的面积为S ，求S 的最大值．解：(1)当点M 为AC 中点时，有AM ＝BM ，则△ABM 为等腰三角形；当点M 与点C 重合时，AB ＝BM ，则△ABM 为等腰三角形，当点M 在AC 上且AM ＝2时，AM ＝AB ，则△ABM 为等腰三角形，当点M 为CG 的中点时，AM ＝BM ，则△ABM 为等腰三角形；(2)在AB 上取点K ，使AK ＝AN ，连接KN.∵AB＝AD ，BK ＝AB －AK ，ND ＝AD －AN ，∴BK ＝DN.又DH 平分直角∠CDG，∴∠CDH ＝45°，∴∠NDH ＝90°＋45°＝135°，∵∠BKN ＝180°－∠AKN＝135°.∴∠BKN ＝∠NDH.∵在Rt △ABN 中，∠ABN ＋∠ANB＝90°，又BN⊥NH，即∠BNH＝90°，∴∠ANB ＋∠DNH＝180°－∠BNH ＝180°－90°＝90°.∴∠ABN ＝∠DNH.∴△BNK≌△NHD(ASA )，∴BN ＝NH ；(3)①当M 在AC 上时，即0<t≤22时，易知：△AMF 为等腰直角三角形．∵AM＝t ，∴AF ＝FM ＝22t.∴S ＝12AF ·FM ＝12·22t ·22t ＝14t 2.当M 在CG 上时，即22<t<42时，设EM 与CA 交于点J ，CM ＝t －AC ＝t －22，MG ＝42－t.∵AD ＝DG ，∠ADC ＝∠CDG，CD ＝CD ，∴△ACD ≌△GCD(SAS )，∴∠ACD ＝∠GCD＝45°，∴∠ACM ＝∠ACD＋∠GCD＝90°.∴∠G ＝90°－∠GCD＝90°－45°＝45°.∴△MFG 为等腰直角三角形．∴FG＝MG·cos 45°＝(42－t)·22＝4－22t.∴S ＝S △ACG －S △CMJ －S △FMG ＝12×4×2－12×CM ×CM －12×FG ×FG ＝4－12·(t －22)2－12(4－22t)2＝－34t 2＋42t －8.∴S＝⎩⎪⎨⎪⎧14t 2（0<t≤22）－34t 2＋42t －8（22<t<42）.②在0<t≤22范围内，当t ＝22时，S 的最大值为14×(22)2＝2，在22<t<42范围内，S ＝－34(t －832)2＋83，当t ＝832时，S 的最大值为83.∵83>2，∴当t ＝83 2 s 时，S 的最大值为83.。
初三函数与方程的综合应用
初三函数与方程的综合应用在初中数学学习中，函数与方程是重要的数学概念。
函数是一种关系，它将一个自变量映射到一个唯一的因变量上。
方程是含有未知数的等式。
本文将讨论初三函数与方程的综合应用，探索如何在实际问题中运用函数与方程进行解决。
一、函数与图像的应用函数与图像的关系密不可分。
图像是函数的可视化表达，通过图像可以帮助我们更好地理解函数的特性。
举个例子，假设我们要解决以下问题：问题：一个物体从高度为H的地方自由落下，经过t秒后落地，求物体落地时的速度。
解决这个问题的第一步是建立函数模型。
我们知道自由落体的速度与时间的关系是v = g * t，其中g是重力加速度。
我们可以将这个关系表示为函数v(t)。
接下来，我们可以绘制函数v(t)的图像。
横轴表示时间t，纵轴表示速度v。
通过观察图像，我们可以读取出物体落地时的速度。
二、方程的应用方程在实际问题中的应用也非常广泛。
方程可以用来表示等式关系，通过求解方程，我们可以获得未知数的值。
下面我们来看一个例子：问题：一辆汽车以恒定的速度行驶，4小时行驶了240公里，求汽车的速度。
解决这个问题的第一步是建立方程。
假设汽车的速度为v，根据速度的定义，速度v等于汽车行驶的距离d除以时间t，我们可以得到方程v = d / t。
根据题目信息，d = 240公里，t = 4小时，将这些值代入方程，我们可以得到v = 240 / 4 = 60公里/小时。
所以汽车的速度为60公里/小时。
三、函数与方程在实际问题中的综合应用在实际问题中，函数与方程经常同时出现，需要综合运用才能解决问题。
下面我们以一个综合应用的例子来说明：问题：矩形花坛周长为16米，长宽的比是3:1，求矩形花坛的面积。
解决这个问题的第一步是建立函数和方程。
假设矩形花坛的长为l，宽为w，则根据周长的定义，周长等于两倍的长加两倍的宽，我们可以得到方程2l + 2w = 16。
又已知长宽的比是3:1，我们可以得到l/w = 3/1，将这个比值转化为方程，得到l = 3w。
中考数学专题：函数的实际应用
题库函数的实际应用1.某长途汽车站规定,乘客可以免费携带一定质量的行李,若超过该质量则需购买行李票,且行李票y(元)与行李质量x(千克)间的一次函数关系式为y=kx－5(k≠0),现知贝贝带了60千克的行李,交了行李费5元．(1)若京京带了84千克的行李,则该交行李费多少元？(2)旅客最多可免费携带多少千克的行李？∴京京该交行李费9元；∴旅客最多可免费携带30千克行李．答:京京该交行李费9元,旅客最多可免费携带30千克行李．2.做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺,每个店铺在同一段时间内都能售出A、B两种款式的服装合计30件,并且每售出一件A款式和B款式服装,甲店铺获利润分别为30元和35 元,乙店铺获利润分别为26元和36元．某日,王老板进A款式服装36件,B款式服装24件,并将这批服装分配给两个店铺各30件．(1)怎样将这60件服装分配给两个店铺,能使两个店铺在销售完这批服装后所获利润相同？（2）怎样分配这60件服装能保证在甲店铺获利润不小于950元的前提下,王老板获利的总利润最大？最大的总利润是多少？解:(1)设A款式服装分配到甲店铺为x件,则分配到乙店铺为(36－x)件；B款式分配到甲店铺为(30－x)件,分配到乙店铺为(x－6)件,根据题意得:30x＋35×(30－x)=26×(36－x)＋36(x－6), 解得x=22．所以36－x=14(件),30－x=8(件),x－6=16(件),故A款式服装分配到甲店铺为22件,则分配到乙店铺为14件；B款式分配到甲店铺为8件,分配到乙店铺为16件,能使两个店铺在销售完这批服装后所获利润相同；（2）设总利润为w元,根据题意得: 30x＋35×(30－x)≥950,解得x≤20,解得6≤x≤20．w=30x＋35×(30－x)＋26×(36－x)＋36(x－6) =5x＋1770,∵k=5＞0,∴w随x的增大而增大,∴当x=20时,w有最大值1870．∴A款式服装分配给甲、乙两店铺分别为20件和16件,B款式服装分配给甲、乙两店铺分别为10件和14件,最大的总利润是1870元．3.某厂家在甲、乙两家商场销售同一商品所获利润分别为y甲,y乙(单位:元),y甲,y乙与销售数量x(单位:件)的函数关系如图所示,请根据图象解决下列问题:(1)分别求出y甲,y乙与x的函数关系式；（2）现厂家分配该商品给甲、乙两商场共计1200件,当甲、乙商场售完这批商品,厂家可获得总利润的1080元,问厂家如何分配这批商品？第3题图解:(1)设y 甲=kx (k ≠0),y 乙=mx ＋n ,将(600,480)代入y 甲=kx , 480=600k ,解得k =0.8,∴y 甲与x 的函数关系式为y 甲=0.8x ；当0≤x ≤200时,将(0,0)、(200,400)代入y 乙=mx ＋n 中,得0200400n m n =⎧⎨+=⎩, 解得20m n =⎧⎨=⎩, ∴此时y 乙=2x ；当200≤x 时,将(200,400)、(600,480)代入y 乙=mx ＋n 中,200400600480m n m n +=⎧⎨+=⎩,解得0.2360m n =⎧⎨=⎩, ∴此时y 乙=0.2x ＋360．∴y 乙与x 的函数关系式为2(0200)0.2360(200)x x y x x ⎧=⎨+⎩乙≤≤≥; （2）设分配给乙商场x 件,则分配给甲商场(1200－x )件,当0≤x≤200时,有0.8×(1200－x)＋2x=1080, 解得x=100, 此时1200－x=1100；当x≥200时,有0.8×(1200－x)＋0.2x＋360=1080, 解得x=400, 此时1200－x=800．答:厂家分配该商品给甲商场1100件乙商场100件或甲商场800件乙商场400件时,厂家可获得总利润的1080元．4.如图①,在A,B两地之间有汽车站C站,客车由A地驶往C站,货车由B地驶往A地．两车同时出发,匀速行驶．图②是客车、货车离C站的路程y1,y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图象．(1)求A,B两地的距离；(2)求两小时后,货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；(3)客、货两车何时相遇？相遇处离C站的路程是多少千米？第4题图解:(1)由题意和图象可得,A,B两地的距离为360＋60=420(千米)；5.如图①,长为120km的某段线路AB上有甲、乙两车,分别从南站A和北站B同时出发相向而行,到达B,A后立刻返回到出发站停止,速度均为40km/h,设甲车,乙车据南站A的路程分别为y甲,y 乙(km)行驶时间为t(h)．(2)分别写出0≤t ≤3及3＜t ≤6时,y乙与时间t 之间的函数关系式；(3)在图②中补画y 乙与t 之间的函数图象,并观察图象得出在整个行驶过程中两车相遇的次数．第5题图解:(1)120,3,6；【解法提示】由题意可和函数图象可得,a =120,b =120÷40=3,c =2×3=6.(2)当0≤t ≤3时,设y乙与时间t 之间的函数关系式为: y 乙=kt ＋b ,12030b k b =⎧⎨+=⎩得40120k b =-⎧⎨=⎩, 即当0≤t ≤3时,y乙与时间t 之间的函数关系式为:y 乙=－40t ＋120；当3＜t ≤6时,设y 乙与时间t 之间的函数关系式为:y 乙=mt ＋n ,联立306120m n m n +=⎧⎨+=⎩,解得40120m n =⎧⎨=-⎩,即当3＜t≤6时,y乙与时间t之间的函数关系式为:y乙=40t－120；(3)y乙与t之间的函数图象如解图所示,由图象可知,整个行驶过程中两车相遇次数为2．第5题解图6.某企业是一家专门生产季节性产品的企业,经过调研预测,它一年中获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y=－n2＋14n－24．(1)若利润为21万元,求n的值；(2)哪一个月能够获得最大利润,最大利润是多少？(3)当产品无利润时,企业会自动停产,企业停产是哪几个月份？解:(1)由题意得:－n2＋14n－24=21,解得n=5或n=9；(2)y=－n2＋14n－24=－(n－7)2＋25,∵－1＜0,∴开口向下,y有最大值,即n=7时,y取最大值25,故7月能够获得最大利润,最大利润是25万；(3))∵y=－n2＋14n－24=－(n－2)(n－12),当y=0时,n=2或者n=12．又∵图象开口向下,∴当n=1时,y＜0,当n=2时,y=0,当n=12时,y=0,则该企业一年中应停产的月份是1月、2月、12月．7.我市某镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为:每投入x万元,可获得利润开发该特产的销售,其规划方案为:在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资,在实施规划5年的前两年中,每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路,两年修成,通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中,该特产既在本地销售,也在外地销售．在外地销售的投资收益为:每投入x(1)若不进行开发,求5年所获利润的最大值是多少？(2)若按规划实施,求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少？(3)根据(1)、(2)该方案是否具有实施价值？∴当x=60时,所获利润最大,最大值为41万元,∴若不进行开发,5年所获利润的最大值是:41×5=205(万元)；(2)前两年:0≤x≤50,此时因为P随x的增大而增大,所以x=50时,P值最大,即这两年的获利最大为:后三年:设每年获利y,设当地投资额为a,则外地投资额为100－a,=－a2＋60a＋165=－(a－30)2＋1065,∴当a=30时,y最大且为1065,∴这三年的获利最大为1065×3=3195(万元),∴5年所获利润(扣除修路后)的最大值是:80＋3195－50×2=3175(万元)；(3)有很大的实施价值．规划后5年总利润为3175万元,不实施规划方案仅为205万元,故具有很大的实施价值．解:(1)8000；当a=16时且x=100时,w乙=90×100－1000=8000(元).答:当x=400时,w甲最大,最大值是16000；=(26－a)x,而15≤a≤25,∴w乙－y甲＞0,∵15≤a≤25,而x=400时,w甲最大值=16000(元),∴选择在乙地销售才能使该公司所获年利润最大．9.某高新企业员工的工资由基础工资、绩效工资和工龄工资三部分组成,其中工龄工资的制定充分了考虑员工对企业发展的贡献,同时提高员工的积极性,控制员工的流动率,对具有中职以上学历员工制定如下的工龄工资方案．Ⅰ．工龄工资分为社会工龄工资和企业工龄工资；Ⅱ．社会工龄=参加本企业工作时年龄－18,企业工龄=现年年龄－参加本企业工作时年龄；Ⅲ．当年工作时间计入当年工龄；Ⅳ．社会工龄工资y1(元/月)与社会工龄x(年)之间的函数关系式如图①所示,企业工龄工资y2(元/月)与企业工龄x(年)之间的函数关系如图②所示．请解决以下问题(1)求出y1、y2与工龄x之间的函数关系式；(2)现年28岁的高级技工小张从18岁起一直实行同样工龄工资制度的外地某企业工作,为了方便照顾老人与小孩,今年小张回乡应聘到该企业,试计算第一年工龄工资每月下降多少元？(3)已经在该企业工作超过3年的李工程师今年48岁,试求出他的工资最高每月多少元？第9题图解:(1)设y1与x之间的函数关系式为y1=kx,由题意,得100=10k,解得k=10,∴y1=10x(x≥0,x为整数),当0≤x≤3时,y2与x之间的函数关系式为y2=k2x,由题意,得60=3k 2．∴k 2=20,∴y 2=20x ,当3＜x ≤32时,设y 2=a (x －23)2＋860,由题意,得698=a (32－23)2＋860,解得a =－2,∴y 2=－2(x －23)2＋860,当32＜x ≤42时,由图象,得y 2=698．∴y 2=()()220132238604()32)6983342(x x x x x x x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩--+≤≤≤≤，为整数，为整≤数，为整数≤;(2)小张在原厂的社会工龄为:18－18=0年,企业工龄为:28－28=10年,y 1=0,y 2=522,∴在小张在原厂的工龄工资为:0＋522=522(元),当小张回家乡到后进该企业,小张的社会工龄为:28－18=10年,企业工龄为:28－28=0年∴小张的工龄工资为；y 1＋y 2=10×10＋20×0=100∴小张的第一年工龄工资每月下降了:522－100=422(元), 答:第一年每月工龄工资下降422元；(3)依题知要李程师的总工龄为:48－18=30,设李工程师的工龄工资为y ,在本企业工作x 年,由题意,得3＜x ≤30∴y =y 1＋y 2=10(30－x )＋[－2(x －23)2＋860]=－2(x －20.5)2＋942.5,∵a=－2＜0,∴抛物线开口向下,对称轴是x=20.5,∵x为整数,∴当x=20或21时,y最大,且最大值为942,∴李工程师的工龄工资最高为942元/月．10.进入夏季后某款空调供不应求,厂家加班生产并销售,在第一个产销期的12天中,为提高产量,从第5天开始增加了工时生产成本,每台空调的成本P(元)与时间x(天)的关系如表:已知每天生产的空调数量y(台)与时间x(天)近似满足函数关系y=2x＋16,每台空调的出售价格为1400元．请解答下列问题:(1)设厂家的日销售利润为W元,求W(元)与时间x(天)的函数关系式；(2)确定该厂哪一天获得最大利润,最大利润是多少？(3)设厂家在第一个产销期,获得最大利润时的成本为P1,日生产量为y1．现计划从第13天开始,按每台成本P1元,每台生产y1台进行生产并完全售出,但由于机器损耗等原因,实际平均每台空调的成本比统计增加了a%,使得厂家10天的销售利润与原计划的8天的销售利润持平,求a的值．解:(1)当0＜x≤5时,W=y(1400－P)=(2x＋16)(1400－400)=2000x＋16000；当5＜x≤12时,W=y(1400－P)=(2x＋16)[1400－(40x＋20)]=－80x2＋1760x＋19200；(2)当0＜x≤5时,W=2000x＋16000,∵2000＞0,W随x的增大而增大,∴当x=5时,W有最大值为26000元；当5＜x≤12时,W=－80x2＋1760x＋19200=－80(x－11)2＋28880,∴当x=11时,W有最大值28880元,综上,第11天的利润最大,最大利润是28880元；(3)y1=2×11＋16=38(件),P1=40×11＋200=640(元),由题意得:[1400－640(1＋a%)]×38×10=28880×8,解得a=23.75,∴a的值为23.75．11.自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后,我省与欧洲各国经贸往来日益频繁,某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品,经调查,用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍,一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．(1)求一件A,B型商品的进价分别为多少元？(2)若该欧洲客商购进A,B型商品共250件进行试销,其中A型商品的件数不大于B型的件数,且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件,B型商品的售价为220元/件,且全部售出．设购进A型商品m件,求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式,并写出m的取值范围；(3)在(2)的条件下,欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品,就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元,求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．解:(1)设一件B型商品的进价为x元,则一件A型商品的进价为(x＋10)元．经检验x=150是分式方程的解,答:一件B型商品的进价为150元,则一件A型商品的进价为160元；(2)因为客商购进A型商品m件,所以客商购进B型商品(250－m)件．由题意:v=80m＋70(250－m)=10m＋17500,∵80≤m≤250－m,∴80≤m≤125；(3)设利润为w元,则w=(80－a)m＋70(250－m)=(10－a)m＋17500,①当10－a＞0时,w随m的增大而增大,所以m=125时,最大利润为(18750－125a)元．②当10－a=0时,最大利润为17500元．③当10－a＜0时,w随m的增大而减小,所以m=80时,最大利润为(18300－80a)元．12.为确保广大居民家庭基本用水需求的同时鼓励家庭节约用水,对居民家庭每户每月用水量采用分档递增收费的方式,每户每月用水量不超过基本用水量的部分享受基本价格,超出基本用水量的部分实行超价收费．为对基本用水量进行决策,随机抽查2000户居民家庭每户每月用水量的数据,整理绘制出下面的统计表:(1)为确保70%的居民家庭每户每月的基本用水量需求,那么每户每月的基本用水量最低应确定为多少立方米？(2)若将(1)中确定的基本用水量及其以内的部分按每立方米1.8元交费,超过基本用水量的部分按每立方米2.5元交费．设x表示每户每月用水量(单位:m3),y表示每户每月应交水费(单位:元),求y与x的函数关系式；(3)某户家庭每月交水费是80.9元,请按以上收费方式计算该家庭当月用水量是多少立方米？解:(1)200＋160＋180＋220＋240＋210＋190=1400(户), 2000×70%=1400(户),∴基本用水量最低应确定为多38m 3；答:为确保70%的居民家庭每户每月的基本用水量需求,那么每户每月的基本用水量最低应确定为38立方米．(2)设x 表示每户每月用水量(单位:m 3),y 表示每户每月应交水费(单位:元),当0≤x ≤38时,y =1.8x ；当x ＞38时,y =1.8×38＋2.5(x －38)=2.5x －26.6．综上所述:y 与x 的函数关系式为y = 1.8(038)2.526.6(38)x x x x ⎧⎨-⎩≤≤＞；(3)∵1.8×38=68.4(元),68.4＜80.9,∴该家庭当月用水量超出38立方米,当y =2.5x －26.6=80.9时,x =43,答:该家庭当月用水量是43立方米．13.为了推动“龙江经济带”建设,我省某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类,促进经济发展．2017年春,预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷(三种蔬菜的种植面积均为整数),青椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍,经预算,种植西红柿的利润可达1万元/公顷,青椒1.5万元/公顷,马铃薯2万元/公顷,设种植西红柿x 公顷,总利润为y 万元．(1)求总利润y (万元)与种植西红柿的面积x (公顷)之间的关系式；(2)若预计总利润不低于180万元,西红柿的种植面积不低于8公顷,有多少种种植方案？冬季同时建造A、B两种类型的温室大棚,开辟新的经济增长点,经测算,投资A种类型的大棚5万元/个,B种类型的大棚8万元/个,请直接写出有哪几种建造方案？解:(1)由题意y=x＋1.5×2x＋2(100－3x)=－2x＋200；(2)由题意－2x＋200≥180,解得x≤10,∵x≥8,∴8≤x≤10,∵x为整数,∴x=8,9,10．∴有3种种植方案,方案一:种植西红柿8公顷、马铃薯76公顷、青椒16公顷, 方案二:种植西红柿9公顷、马铃薯73公顷、青椒18公顷, 方案三:种植西红柿10公顷、马铃薯70公顷、青椒20公顷；(3)∵y=－2x＋200,－2＜0,∴x=8时,利润最大,最大利润为184万元,设投资A种类型的大棚a个,B种类型的大棚b个,∴5a＋8b≤23,∴a=1,b=1或2,a=2,b=1,a=3,b=1,∴可以投资A种类型的大棚1个,B种类型的大棚1个,或投资A种类型的大棚1个,B种类型的大棚2个,或投资A种类型的大棚2个,B种类型的大棚1个,或投资A种类型的大棚3个,B种类型的大棚1个．14. 嘉淇同学大学毕业后借助低息贷款创业,他向银行贷款30000元,分12个月还清贷款,月利率是0.2%,银行规定的还款方式为“等额本金法”,即每月除归还等额的本金为30000÷12=2500元外,还需要归还本月还款前的本金的利息,下面是还款的部分明细．第1个月,由于本月还款前的本金是30000元,则本月应归还的利息为30000×0.2%=60元,本月应归还的本息和为2500＋60=2560元；第2个月,由于本月还款前的本金是27500元,则本月应归还的利息为27500×0.2%=55元,本月应归还的本息和为2500＋55=2555元；…根据上述信息,则(1)在空格处直接填写结果:(2)设第x个月应归还的利息是y元,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围；(3)嘉淇将创业获利的2515元用于还款,则恰好可以用于还清第几个月的本息和？解:(1)20000,40；【解法提示】由题意可得,第5个月还款前的本金为:30000－2500×4=20000(元),第5个月应归还的利息为:20000×0.2%=40(元).(2)由题意可得,y=[3000－2500(x－1)]×0.2%=65－5x,即y关于x的函数关系式是y=65－5x(1≤x≤12,x取正整数)；(3)当本息和恰好为2515时,利息为2500－2515=15(元),则15=65－5x,解得x=10,即嘉淇将创业获利的2515元用于还款,则恰好可以用于还清第10个月的本息和．15.某手机店销售一部A型手机比销售一部B型手机获得的利润多50元,销售相同数量的A型手机和B型手机获得的利润分别为3000元和2000元．(1)求每部A型手机和B型手机的销售利润分别为多少元？(2)该商店计划一次购进两种型号的手机共110部,其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍．设购进B型手机n部,这110部手机的销售总利润为y元．①求y关于n的函数关系式；②该手机店购进A型、B型手机各多少部,才能使销售总利润最大？(3)实际进货时,厂家对B型手机出厂价下调m(30＜m＜100)元,且限定商店最多购进B型手机80台．若商店保持两种手机的售价不变,请你根据以上信息及(2)中的条件,设计出使这110部手机销售总利润最大的进货方案．解:(1)设每部A型手机的销售利润为x元,每部B型手机的销售利润为y元,答:每部A型手机的销售利润为150元,每部B型手机的销售利润为100元；(2)①设购进B型手机n部,则购进A型手机(110－n)部,则y=150(110－n)＋100n=－50n＋16500,②∵－50＜0,∴y随n的增大而减小,最大值为－50×37＋16500=14650(元),答:购进A型手机73部、B型手机37部时,才能使销售总利润最大；(3)根据题意,得:y=150(110－n)＋(100＋m)n=(m－50)n＋16500,①当30＜m＜50时,y随n的增大而减小,∴当n=37时,y取得最大值,即购进A型手机73部、B型手机37部时销售总利润最大；②当m=50时,m－50=0,y=16500,大利润；③当50＜m＜100时,y随n的增大而增大,∴当n=80时,y取得最大值,即购进A型手机30部、B型手机80部时销售总利润最大．16.某装修公司为陶博会布置展厅,为了达到最佳装修效果,需用甲、乙两种型号的瓷砖．经计算,甲种型号瓷砖需用180块,乙种型号瓷砖需用120块,甲种型号瓷砖规格为800mm×400mm,乙种型号瓷砖规格为300mm×500mm,市场上只有同种花色的标准瓷砖,规格为1000mm×1000mm．一块标准瓷砖尽可能多的加工出甲、乙两种型号的瓷砖,公司共设计了三种加工方案(见下表)．(如图是方案二的加工示意图)第16题图解:(1)4,0；【解法提示】由题意可得,a =4,b =0.(2)由题意可得,x ＋2y =180,得y =90－0.5x ,即y 与x 之间的函数关系式为y =90－0.5x ,z 与x 之间的函数关(3)由题意可得,解得0≤x ≤30,∴当x =30时,W 取得最小值,此时W =75,y =75,z =0,此时按三种加工方案各加工30块、75块、0块．17.某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系,种植花卉的利润y2与投资量x的平方成正比例关系,并得到了表格中的数据．(1)分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木,设他投入种植花卉金额m万元,种植花卉和树木共获利利润W万元,直接写出W关于m的函数关系式,并求他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？(3)若该专业户想获利不低于22万,在(2)的条件下,求投资种植花卉的金额m的范围．解:(1)设y1=kx,由表格数据可知,函数y1=kx的图象过(2,4),∴4=k•2,解得k=2,故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x(x≥0)；∵设y2=ax2,由表格数据可知,函数y2=ax2的图象过(2,2),(2)因为种植花卉m万元(0≤m≤8),则投入种植树木(8－m)万元,∵a=0.5＞0,0≤m≤8,∴当m=2时,w的最小值是14,∴当m＞2时,w随m的增大而增大,∵0≤m≤8,∴当m=8时,w的最大值是32,答:他至少获得14万元利润,他能获取的最大利润是32万元．解得m=－2(舍)或m=6,故:6≤m≤8．18.某商业集团新建一小车停车场,经测算,此停车场每天需固定支出的费用(设施维修费、车辆管理人员工资等)为800元．为制定合理的收费标准,该集团对一段时间每天小车停放辆次与每辆次小车的收费情况进行了调查,发现每辆次小车的停车费不超过5元时,每天来此处停放的小车为1440辆；当每辆次小车的停车费超过5元时,每增加1元,到此处停放的小车就减少120辆次．为便于结算,规定每辆次小车的停车费x(元)只取整数,用y(元)表示此停车场的日净收入,且要求日净收入不低于2512元．(日净收入=每天共收取的停车费一每天的固定支出) (1)当x≤5时,写出y与x之间的关系式,并说明每辆小车的停车费最少不低于多少元；(2)当x＞5时,写出y与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围)；(3)该集团要求此停车场既要吸引客户,使每天小车停放的辆次较多,又要有较大的日净收入．按此要求,每辆次小车的停车费应定为多少元？此时日净收入是多少？解:(1)由题意得:y=1440x－800∵1440x－800≥2512,∴x≥2.3∵x取整数,∴x最小取3,即每辆次小车的停车费最少不低于3元．(2)由题意得:y=[1440－120(x－5)]x－800,即y=－120x2＋2040x－800；(3)当x≤5时,停车1440辆次,最大日净收入y=1440×5－800=6400(元)当x＞5时,y=－120x2＋2040x－800=－120(x2－17x)－800∴x取8或9,显然,x取8时,小车停放辆次较多,此时最大日净收入为y=－由上得,每辆次小车的停车费应定为8元,此时的日净收入为7840元．19.某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动,在活动中他们参与了某种水果的销售工作．已知该水果的进价为8元/千克,下面是他们在活动结束后的对话．小丽:如果以10元/千克的价格销售,那么每天可售出300千克．小强:如果每千克的利润为3元,那么每天可售出250千克．小红:如果以13元/千克的价格销售,那么每天可获取利润750元．【利润=(销售价－进价)×销售量】(1)请根据他们的对话填写下表:(2)请你根据表格中的信息判断每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间存在怎样的函数关系．并求y(千克)与x(元)(x＞0)的函数关系式；(3)设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元,求W与x的函数关系式．当销售单价为何值时,每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？解:(1)300,250,150；【解法提示】∵以11元/千克的价格销售,可售出250千克,∴每涨一元就少50千克,∴以13元/千克的价格销售,那么每天售出150千克．(2)y是x的一次函数．设y=kx＋b,∵x=10,y=300；x=11,y=250,∴1030011250k bk b+=⎧⎨+=⎩,解得50800kb=-⎧⎨=⎩,∴y=－50x＋800,经检验:x=13,y=150也适合上述关系式,∴y=－50x＋800；(3)W=(x－8)y=(x－8)(－50x＋800)=－50(x－12)2＋800,∵a=－50＜0,∴当x=12时,W的最大值为800,即当销售单价为12元时,每天可获得的利润最大,最大利润是800元．20.某公司准备销售甲、乙两种材料中的一种,设年销售量为x(单位:吨)(x≤6),若销售甲种材料,每吨成本为10万元,每吨售价y (单位:万元)与x的函数关系是:y=－x＋30,设年利润为W甲(单位:解:(1)64；(2)60；(3)由题意得:W甲=x(－x＋30)－10x=－x2＋20x；所以W甲与x的函数关系式为:W甲=－x2＋20x；∵W甲=－x2＋20x=－(x－10)2＋100,∵W甲是x的二次函数,a=－1＜0,∴当x≤6时,W甲随x的增大而增大,∴当x=6时,W甲最大,最大值=－62＋20×6=84；(4)R4＜R8＜R10．【解法提示】由题意可得:W乙=－2x2＋20x＋ax=－2x2＋(20＋a)x．当x=5时,W甲=75,W乙=50＋5a,当75＞50＋5a,即a＜5时,W甲＞W,所以当1≤a＜5时,选择销售甲种材料；当75=50＋5a,即a=5时,W甲=W乙,所以当a=5时,销售甲、乙均可；当75＜50＋5a,即a＞5时,W甲=W乙,所以当5＜a≤10时,选择销售乙种材料；∵m的值分别为4,8,10,∴R4＜R8＜R10．。
中考数学核心考点强化突破函数的实际应用问题含解析
中考数学核心考点强化突破：函数的实际应用问题类型1 方案与最值问题1．江南农场收割小麦,已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷,2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．(1)每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？(2)大型收割机每小时费用为300元,小型收割机每小时费用为200元,两种型号的收割机一共有10台,要求2小时完成8公顷小麦的收割任务,且总费用不超过5400元,有几种方案？请指出费用最低的一种方案,并求出相应的费用．解析：(1)设每台大型收割机1小时收割小麦x 公顷,每台小型收割机1小时收割小麦y 公顷,根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝1.42x ＋5y ＝2.5,解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.5y ＝0.3.答：略． (2)设大型收割机有m 台,总费用为w 元,则小型收割机有(10－m)台,根据题意得：w ＝300×2m＋200×2(10－m)＝200m ＋4000.∵2小时完成8公顷小麦的收割任务,且总费用不超过5400元,∴⎩⎪⎨⎪⎧2×0.5m＋2×0.3（10－m ）≥8200m ＋4000≤5400解得：5≤m≤7,∴有三种不同方案．∵w＝200m ＋4000中,200＞0,∴w 值随m 值的增大而增大,∴当m ＝5时,总费用取最小值,最小值为5000元．答：有三种方案,当大型收割机和小型收割机各5台时,总费用最低,最低费用为5000元．2．某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m ．设饲养室长为x(m ),占地面积为y(m 2)．(1)如图1,问饲养室长x 为多少时,占地面积y 最大？(2)如图2,现要求在图中所示位置留2 m 宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大,小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2 m 就行了．”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确．解：(1)∵y ＝x ·50－x 2＝－12(x －25)2＋6252,∴当x ＝25时,占地面积最大,即饲养室长x 为25 m 时,占地面积y 最大；(2)∵y ＝x ·50－（x －2）2＝－12(x －26)2＋338,∴当x ＝26时,占地面积最大,即饲养室长x 为26 m 时,占地面积y 最大；∵26－25＝1≠2,∴小敏的说法不正确．3．(2017·河南)学校“百变魔方”社团准备购买A,B 两种魔方,已知购买2个A 种魔方和6个B 种魔方共需130元,购买3个A 种魔方和4个B 种魔方所需款数相同．(1)求这两种魔方的单价；(2)结合社员们的需求,社团决定购买A,B 两种魔方共100个(其中A 种魔方不超过50个)．某商店有两种优惠活动,如图所示．请根据以上信息,说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．解：(1)设A 种魔方的单价为x 元/个,B 种魔方的单价为y 元/个,根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6y ＝1303x ＝4y ,解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20y ＝15. 答：A 种魔方的单价为20元/个,B 种魔方的单价为15元/个．(2)设购进A 种魔方m 个(0≤m≤50),总价格为w 元,则购进B 种魔方(100－m)个,根据题意得：w 活动一＝20m×0.8＋15(100－m)×0.4＝10m ＋600；w 活动二＝20m ＋15(100－m －m)＝－10m ＋1500.当w 活动一＜w 活动二时,有10m ＋600＜－10m ＋1500,解得：m ＜45；当w 活动一＝w 活动二时,解得：m ＝45；当w 活动一＞w 活动二时,解得：45＜m≤50.综上所述：当45＜m≤50时,选择活动一购买魔方更实惠；当m ＝45时,选择两种活动费用相同；当m ＞45时,选择活动二购买魔方更实惠．类型2 建立函数模型问题4．小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图1),完全开启后,水流路线呈抛物线,把手端点A,出水口B 和落水点C 恰好在同一直线上,点A 至出水管BD 的距离为12 c m ,洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示,现用高10.2 cm 的圆柱型水杯去接水,若水流所在抛物线经过点D 和杯子上底面中心E,则点E 到洗手盆内侧的距离EH 为__24－82__cm .解：建立如图的直角坐标系,过A作AG⊥OC于G,交BD于Q,过M作MP⊥AG于P,由题可得,AQ＝12,PQ ＝MD＝6,故AP＝6,AG＝36,∴Rt△APM中,MP＝8,故DQ＝8＝OG,∴BQ＝12－8＝4,由BQ∥CG可得,△ABQ∽△ACG,∴BQCG＝AQAG,即4CG＝1236,∴CG＝12,OC＝12＋8＝20,∴C(20,0),又∵水流所在抛物线经过点D(0,24)和B(12,24),∴可设抛物线为y＝ax2＋bx＋24,把C(20,0),B(12,24)代入抛物线,可得抛物线为y＝－320x2＋95x＋24,又∵点E的纵坐标为10.2,∴令y＝10.2,则10.2＝－320x2＋95x＋24,解得x1＝6＋82,x2＝6－82(舍去),∴点E的横坐标为6＋82,又∵ON＝30,∴EH＝30－(6＋82)＝24－8 2.5．湖州素有鱼米之乡之称,某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势,一次性收购了20000 kg淡水鱼,计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同,放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元(总成本＝放养总费用＋收购成本)．(1)设每天的放养费用是a万元,收购成本为b万元,求a和b的值；(2)设这批淡水鱼放养t 天后的质量为m(kg ),销售单价为y 元/ kg .根据以往经验可知：m 与t 的函数关系为m ＝⎩⎪⎨⎪⎧20000（0≤t≤50）100t ＋15000（50＜t≤100）；y 与t 的函数关系如图所示． ①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时,y 与t 的函数关系式；②设将这批淡水鱼放养t 天后一次性出售所得利润为W 元,求当t 为何值时,W 最大？并求出最大值．(利润＝销售总额－总成本)解：(1)由题意,得：⎩⎪⎨⎪⎧10a ＋b ＝30.420a ＋b ＝30.8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.04b ＝30. (2)①当0≤t≤50时,设y 与t 的函数解析式为y ＝k 1t ＋n 1,将(0,15)、(50,25)代入,可求得y 与t 的函数解析式为：y ＝15t ＋15；当50＜t≤100时,设y 与t 的函数解析式为y ＝k 2t ＋n 2,将点(50,25)、(100,20)代入,可求得y 与t 的函数解析式为：y ＝－110t ＋30；②由题意,当0≤t≤50时,W ＝20000(15t ＋15)－(400t ＋300000)＝3600t,∵3600＞0,∴当t ＝50时,W 最大＝180000(元)；当50＜t≤100时,W ＝(100t ＋15000)(－110t ＋30)－(400t ＋300000)＝－10(t －55)2＋180250,∵－10＜0,∴当t ＝55时,W 最大＝180250(元)．综上所述,放养55天时,W 最大,最大值为180250元．。
初三数学上册综合算式专项练习题函数的应用与象的绘制
初三数学上册综合算式专项练习题函数的应用与象的绘制初三数学上册综合算式专项练习题：函数的应用与象的绘制函数的应用在数学中起着重要的作用，它们帮助我们解决各种实际问题。
在初三数学上册中，有许多综合算式专项练习题涉及到函数的应用与象的绘制。
通过解决这些问题，我们可以更好地理解和应用函数的概念。
本文将针对初三数学上册综合算式专项练习题中的函数的应用与象的绘制进行探讨，并给出详细的解题思路。
一、题目一已知函数f(x)的解析式为f(x) = 2x + 3，求f(4)的值。
解析：根据题目中给出的函数f(x) = 2x + 3，我们需要求解f(4)的值。
将x替换为4，得到f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11。
所以f(4)的值为11。
二、题目二已知函数g(x)的定义域为[-2,5]，对应的值域为[-4,7]，求g(x) = 3的解。
（要求写出解的个数和解的范围）解析：根据题目中给出的函数g(x)的定义域为[-2,5]，对应的值域为[-4,7]，我们需要求解g(x) = 3的解。
由于函数g(x)在定义域内的取值范围为[-4,7]，所以解的范围应该在[-4,7]内。
首先，我们可以得到g(x) = 3的解存在于定义域内，即-2 ≤ x ≤ 5。
接下来，我们需要确定解的个数。
由于函数g(x)是一个线性函数，对于一个给定的y值，只有一个对应的x值。
因此，g(x) = 3的解只有一个。
综上所述，函数g(x) = 3的解存在于[-2,5]范围内，且解的个数为1。
三、题目三已知函数h(x)的图像如下，请写出函数h(x)的解析式。
(注：图像为上方有一个抛物线开口向下，顶点在坐标原点的图形)解析：根据题目中给出的函数h(x)的图像为一个向下开口的抛物线，并且顶点在坐标原点，我们需要写出函数h(x)的解析式。
根据抛物线的特点，我们可以推断出函数h(x)的解析式为h(x) =ax^2，其中a为抛物线的开口方向和形状的参数。
中考专题--利用函数与不等式解方案设计与决策型问题
利用函数与不等式解方案设计与决策型问题一、从一道例题的解答看方案设计与决策型问题引例：恩发建筑公司从上海某厂购得挖机4台，从北京某厂购得挖机10台。
现在决定运往重庆分公司8台，其余都运往汉口分公司；从上海运往汉口、重庆的运费分别是300元/台、500元/台，从北京运往汉口、重庆的运费分别是400元/台、800元/台 。
（1）若总运费为8400元，上海运往汉口应多少台？解:(1）设上海运往汉口应x 台，则400(6-x)+ 300x + 800(x+4) + 500(4-x) = 8400解得:x=4因此，若总运费为8400元， 上海运往汉口应4台。
（2）若总运费少于8400元，有哪几种调运方案？解:（2）由题意知：200x+7600＜8400解得:x ＜ 4∵x 为非负整数∴x=0、1、2或3∴若要求总运费不超过 8400元，共有4种调运方案。
如下表：（3）求出总运费最低的调运方案，总运费是多少？设总运费为y 元，由题意知：y= 200x+7600∵200＞0 ∴x=0时y 最小，为7600元。
调运方案如下: 北京到汉口6台，北京到重庆4台，上海到重庆4台.二、方案设计与决策型问题的基本解题方法方案设计型问题是指应用数学基础知识建模的方法，来按题目所呈现的要求进行计算，论证，选择，判断，设计的一种数学试题。
纵观近年来各地的中考试题，涉及方案设计与应用的试题大量涌现，它在考查学生数学创新应用能力方面可谓独树一帜，新颖别致。
其类型有利用不等式（组）进行方案设计，利用概率与统计进行方案设计，利用函数知识进行方案设计，利用几何知识进行方案设计。
其中以利用函数与不等式解决的方案设计问题为最多。
利用函数与不等式解决的方案设计问题的基本方法是：（1）根据题意建立一次函数关系式；（2）根据实际意义建立关于自变量的不等式组，求函数自变量的取值范围；（3）根据函数自变量的取值范围，确定符合条件的设计方案；（4）利用一次函数的性质求最大值或最小值，确定最优化方案。
中考重点函数方程的综合应用
中考重点函数方程的综合应用函数方程是中考数学中的一个重点内容，也是综合应用题中常见的类型之一。
在解决函数方程问题时，我们需要灵活运用函数的性质和方程的特点，合理选择解题方法，以达到快速解题的目的。
本文将从几个常见的函数方程类型出发，介绍其综合应用题的解题思路和方法。
一、线性函数方程的综合应用线性函数方程是函数方程中最简单的一种类型，其一般形式为f(x)= ax + b。
我们通过解决线性函数方程的综合应用题，可以巩固和应用函数的性质，提高对函数方程的理解和灵活运用能力。
例题1：一种合成肥料的使用规定，每次使用100千克。
某种植物需要总量为540千克的这种合成肥料。
用y表示这种合成肥料的总费用(单位：元)，用x表示合成肥料的使用次数，则y = 3x + 40。
求出合成肥料的总费用与使用次数的关系，并计算使用6次合成肥料的总费用。
解析：根据题意可知，每使用一次合成肥料，费用就会增加3元。
因此，y与x的关系是线性的，可以表示为y = 3x + 40。
要求使用6次合成肥料的总费用，只需将x取6代入方程中计算即可：y = 3 * 6 + 40 = 58。
因此，使用6次合成肥料的总费用为58元。
例题2：小明在学校门口开了一家餐馆。
餐馆的菜单上写着，每份火锅需要150克鱼肉和250克蔬菜。
已知小明购买了a份鱼肉和b份蔬菜，每份鱼肉的价格为5元，每份蔬菜的价格为3元。
用x表示鱼肉的总费用(单位：元)，用y表示蔬菜的总费用(单位：元)，求出鱼肉和蔬菜的总费用与购买份数的关系，并计算购买了2份鱼肉和3份蔬菜时的总费用。
解析：已知每份鱼肉的价格为5元，每份蔬菜的价格为3元，通过计算可知，购买a份鱼肉的总费用为x = 5a元，购买b份蔬菜的总费用为y = 3b元。
要求购买了2份鱼肉和3份蔬菜时的总费用，只需将a取2，b取3代入方程中计算即可：x = 5 * 2 = 10，y = 3 * 3 = 9。
因此，购买了2份鱼肉和3份蔬菜时的总费用为10 + 9 = 19元。
中考数学总复习讲义课件：核心素养专题五 函数应用型问题
【拓展】 (5)设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 x 个单位长 度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 y 个单位长度．若这 两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离 y 不超过 60 个单位长 度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离 x 的取值范围是 0＜ _x__≤_1_2__或__4__8_≤__x_≤_7__2_．(直接写出结果)
(2)当 0≤x≤30 时，w＝2.4x－(x＋1)＝1.4x－1； 当 30≤x≤70 时，w＝(－0.01x＋2.7)x－(x＋1)＝－0.01x2＋1.7x－1； 当 70≤x≤100 时，w＝2x－(x＋1)＝x－1； (3)当 0≤x≤30 时，w′＝1.4x－1－0.3x＝1.1x－1，当 x＝30 时，w′的最大值为 32， 不合题意； 当 30≤x≤70 时，w′＝－0.01x2＋1.7x－1－0.3x＝－0.01x2＋1.4x－1＝－0.01(x－ 70)2＋48，当 x＝70 时，w′的最大值为 48，不合题意； 当 70≤x≤100 时，w′＝x－1－0.3x＝0.7x－1，当 x＝100 时，w′的最大值为 69， 此时 0.7x－1≥55，解得 x≥80. 答：为确保合作社所获利润不低于 55 万元，产量至少要达到 80 吨．
跟踪训练 1.某通讯运营商的手机上网流量资费标准推出了三种优惠方案： 方案 A：按流量计费，0.1 元/M； 方案 B：20 元流量套餐包月，包含 500 M 流量，如果超过 500 M，超过部分另外 计费(见图象)，如果用到 1 000 M 时，超过 1 000 M 的流量不再收费； 方案 C：120 元包月，无限制使用． 用 x 表示每月上网流量(单位：M)，y 表示每月的流量费用(单位：元)，方案 B 和 方案 C 对应的 y 关于 x 的函数图象如图 5 所示，请解决以下问题： (1)写出方案 A 的函数表达式，并在图中画出其图象；
中考命题研究数学(河北)综合专题闯关：专题五函数的实际应用与决策(练习无答案)
专题五函数的实际应用与决策专题命题规律纵观河北8年中考，函数的实际应用是河北每年中考必考内容，常考类型有：1.一次函数的实际应用(带有决策性问题)(2011年24题，2009年25题)；2.二次函数的实际应用(带有决策性问题)(2013年25题，2008年25题)；3.一次函数与二次函数结合的实际应用问题(最优问题)(2012年24题；2010年26题)．主要是考查学生将实际问题转化为数学问题的能力(分值10分左右，难度中上等)．解题策略从实际问题中建立函数模型，运用相关知识解决问题．此类问题综合性较强，一般结合方程(组)、一元二次方程、不等式以及统计知识来解决，对学生的综合能力要求较高．2016预测预计2016年河北中考对函数的实际应用，仍然会加大力度考查，难度不低，要求在复习中有针对性训练，分层提高．,中考重难点突破)一次函数的实际应用【经典导例】【例1】(2015邯郸模拟)山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投入市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%.A、B两种型号车的进货和销售价格如下表：A型车B型车进货价格(元) 1100 1400销售价格(元) 今年的销售价格2000(1)今年A型车每辆售价多少元？(用列方程的方法解答)(2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？【解析】(1)根据卖出的数量相同作为等量关系列方程；(2)建立获利的函数关系式，然后用一次函数的性质回答问题．【学生解答】【方法指导】弄清题意建立相应数学模型是关键．1．(2015遂宁中考)四川省第十二届运动会将于2015年8月18日在我市隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务．为此，学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费．另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人．(1)分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1(元)和y2(元)与参演男生人数x之间的函数关系式；(2)问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由．2．(2015沧州模拟)一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的函数图像如图所示：(1)根据图像，直接写出y1、y2关于x的函数关系式；(2)若两车之间的距离为s千米，请写出s关于x的函数关系式；(3)甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200千米，若客车进入A加油站时，出租车恰好进入B加油站，求A加油站离甲地的距离．二次函数的实际应用【经典导例】【例2】(2015邯郸模拟)天猫网某店铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是健脑的佳品，它的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该产品每天销售利润w(元)与销售价x(元/千克)有如下关系：w＝ax2＋bx－1600，当销售价为22元时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元时，每天的销售利润为168元．(1)求该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/千克)的关系式；(2)当销售价定位每千克24元时，该产品每天的销售利润为多少元？(3)如果该店铺的负责人想要在销售价不超过32元的情况下每天获得150元的销售利润，求销售价应定为每千克多少元？(4)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克29元，此店铺每天获得的最大利润为多少元？【解析】(1)根据题意可求出y与x的二次函数关系式；(2)将x＝24代入w＝－2x2＋120x－1600中计算所得利润；(3)将w＝150带入w＝－2x2＋120x－1600＝150中计算出定价；(4)由二次函数解析式可知w＝－2x2＋120x－1600＝－2(x－30)2＋200，所以当x＝29时利润最大．【学生解答】【方法指导】正确建立二次函数模型，利用配方法和二次函数的性质结合自变量的取值范围，求出最佳方案．1．(2015青岛中考)某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每件文具的利润不低于25元且不高于29元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．一次、二次函数综合应用 【经典导例】【例3】(2015黄冈中考)某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y 1(元)与国内销售数量x(千件)的关系为：y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧15x ＋90（0＜x ≤2），－5x ＋130（2≤x ＜6）.若在国外销售，平均每件产品的利润y 2(元)与国外的销售数量t(千件)的关系为：y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧100（0＜t ≤2），－5t ＋110（2≤t ＜6）.(1)用x 的代数式表示t 为：t ＝________；当0＜x ≤4时，y 2与x 的函数关系式为：y 2＝________；当4≤x ＜________时，y 2＝100；(2)求每年该公司销售这种健身产品的总利润w(千元)与国内的销售数量x(千件)的函数关系式，并指出x 的取值范围．【学生解答】1．(2015义乌中考)受国内外复杂多变的经济环境影响，去年1至7月，原材料价格一路攀升，义乌市某服装厂每件衣服原材料的成本y 1(元)与月份x(1≤x ≤7，且x 为整数)之间的函数关系如下表：月份x 1 2 3 4 5 6 7 成本y 1(元/件)565860626466688至12月，随着经济环境的好转，原材料价格的涨势趋缓，每件原材料成本y 2(元)与月份x 的函数关系式为y2＝x＋62(8≤x≤12，且x为整数)．(1)请观察表格中的数据，用学过的函数相关知识求y1与x的函数关系式；(2)若去年该衣服每件的出厂价为100元，生产每件衣服的其他成本为8元，该衣服在1至7月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p1＝0.1x＋1.1(1≤x≤7，且x为整数)；8至12月的销售量p2(万件)与月份x满足关系式p2＝－0.1x＋3(8≤x≤12，且x为整数)，该厂去年哪个月利润最大？并求出最大利润．2．(2015沧州二模)某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元．经市场调研发现：甲种产品的销售单价定在35元到70元之间较为合理，设甲种产品的销售单价为x(元)，年销售量为y(万件)，当35≤x＜50时，y与x 之间的函数关系式为y＝20－0.2x；当50≤x≤70时，y与x的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价在25元(含)到45元(含)之间，且年销售量稳定在10万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元．(1)当50≤x≤70时，求出甲种产品的年销售量y(万件)与x(元)之间的函数关系式．(2)若公司第一年的年销售利润(年销售利润＝年销售收入－生产成本)为W(万元)，那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？(3)第二年公司可重新对产品进行定价，在(2)的条件下，并要求甲种产品的销售单价x(元)在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利(总盈利＝两年的年销售利润之和－投资成本)不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m(元)的范围．。
中考命题研究数学(贵阳)：专题五函数的实际应用与决策
专题五函数的实际应用与决策专题命题规律纵观贵阳5年中考，函数的实际应用是贵阳中考常考内容，常考类型有：1.一次函数的实际应用(带有决策性问题)；2.二次函数的实际应用(带有决策性问题)；3.一次函数与二次函数结合的实际应用问题(最优问题)．主要是考查学生将实际问题转化为数学问题的能力．解题策略从实际问题中建立函数模型，运用相关知识解决问题．此类问题综合性较强，一般结合方程(组)、一元二次方程、不等式以及统计知识来解决，对学生的综合能力要求较高．2016预测预计2016年贵阳中考对函数的实际应用，仍然会加大力度考查，难度不低，要求在复习中有针对性训练，分层提高．,中考重难点突破)一次函数的实际应用【经典导例】【例1】(2015贵阳模拟)山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投入市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%.(1)今年A型车每辆售价多少元？(用列方程的方法解答)(2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？A、B两种型号车的进货和销售价格如下表：A型车B型车进货价格(元) 1100 1400销售价格(元) 今年的销售价格2000【解析】(1)根据卖出的数量相同作为等量关系列方程；(2)建立获利的函数关系式，然后用一次函数的性质回答问题．【学生解答】【方法指导】弄清题意建立相应数学模型是关键．(2015遂宁中考)四川省第十二届运动会将于2015年8月18日在我市隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务．为此，学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费．另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人．(1)分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1(元)和y2(元)与参演男生人数x之间的函数关系式；(2)问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由．二次函数的实际应用【经典导例】【例2】(2015贵阳模拟)天猫网某店铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是健脑的佳品，它的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该产品每天销售利润w(元)与销售价x(元/千克)有如下关系：w＝ax2＋bx－1600，当销售价为22元时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元时，每天的销售利润为168元．(1)求该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/千克)的关系式；(2)当销售价定位每千克24元时，该产品每天的销售利润为多少元？(3)如果该店铺的负责人想要在销售价不超过32元的情况下每天获得150元的销售利润，求销售价应定为每千克多少元？(4)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克29元，此店铺每天获得的最大利润为多少元？【解析】(1)根据题意可求出y与x的二次函数关系式；(2)将x＝24代入w＝－2x2＋120x－1600中计算所得利润；(3)将w＝150带入w＝－2x2＋120x－1600＝150中计算出定价；(4)由二次函数解析式可知w＝－2x2＋120x－1600＝－2(x－30)2＋200，所以当x＝29时利润最大．【学生解答】【方法指导】正确建立二次函数模型，利用配方法和二次函数的性质结合自变量的取值范围，求出最佳方案．(2015青岛中考)某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价为25元/件时，每天的销售量是250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1)写出商场销售这种文具每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每件文具的利润不低于25元且不高于29元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．一次、二次函数综合应用【经典导例】【例3】(2015黄冈中考)某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y 1(元)与国内销售数量x(千件)的关系为：y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧15x ＋90（0＜x ≤2），－5x ＋130（2≤x ＜6）.若在国外销售，平均每件产品的利润y 2(元)与国外的销售数量t(千件)的关系为：y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧100（0＜t ≤2），－5t ＋110（2≤t ＜6）.(1)用x 的代数式表示t 为：t ＝________；当0＜x ≤4时，y 2与x 的函数关系式为：y 2＝________；当4≤x ＜________时，y 2＝100；(2)求每年该公司销售这种健身产品的总利润w(千元)与国内的销售数量x(千件)的函数关系式，并指出x 的取值范围．【学生解答】1．(2015义乌中考)受国内外复杂多变的经济环境影响，去年1至7月，原材料价格一路攀升，义乌市某服装厂每件衣服原材料的成本y 1(元)与月份x(1≤x ≤7，且x 为整数)之间的函数关系如下表：月份x 1 2 3 4 5 6 7 成本y 1(元/件)565860626466688至12月，随着经济环境的好转，原材料价格的涨势趋缓，每件原材料成本y 2(元)与月份x 的函数关系式为y 2＝x ＋62(8≤x ≤12，且x 为整数)．(1)请观察表格中的数据，用学过的函数相关知识求y 1与x 的函数关系式；(2)若去年该衣服每件的出厂价为100元，生产每件衣服的其他成本为8元，该衣服在1至7月的销售量p 1(万件)与月份x 满足关系式p 1＝0.1x ＋1.1(1≤x ≤7，且x 为整数)；8至12月的销售量p 2(万件)与月份x 满足关系式p 2＝－0.1x＋3(8≤x≤12，且x为整数)，该厂去年哪个月利润最大？并求出最大利润．2．(2015贵阳模拟)某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元．经市场调研发现：甲种产品的销售单价定在35元到70元之间较为合理，设甲种产品的销售单价为x(元)，年销售量为y(万件)，当35≤x＜50时，y与x之间的函数关系式为y＝20－0.2x；当50≤x≤70时，y与x的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价在25元(含)到45元(含)之间，且年销售量稳定在10万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元．(1)当50≤x≤70时，求出甲种产品的年销售量y(万件)与x(元)之间的函数关系式．(2)若公司第一年的年销售利润(年销售利润＝年销售收入－生产成本)为W(万元)，那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？(3)第二年公司可重新对产品进行定价，在(2)的条件下，并要求甲种产品的销售单价x(元)在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利(总盈利＝两年的年销售利润之和－投资成本)不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m(元)的范围．。
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专题五函数的实际应用与决策
专题命题规律
纵观河北8年中考，函数的实际应用是河北每年中考必考内容，常考类型有：1.一次函数的实际应用(带有决策性问题)(2011年24题，2009年25题)；2.二次函数的实际应用(带有决策性问题)(2013年25题，2008年25题)；
3.一次函数与二次函数结合的实际应用问题(最优问题)(2012年24题；2010年26题)．主要是考查学生将实际问题转化为数学问题的能力(分值10分左右，难度中上等)．
解题策略
从实际问题中建立函数模型，运用相关知识解决问题．此类问题综合性较强，一般结合方程(组)、一元二次方程、不等式以及统计知识来解决，对学生的综合能力要求较高．
2016预测
预计2016年河北中考对函数的实际应用，仍然会加大力度考查，难度不低，要求在复习中有针对性训练，分层提高．
,中考重难点突破)
一次函数的实际应用
【经典导例】
【例1】(2015邯郸模拟)山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投入市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%.
A、B两种型号车的进货和销售价格如下表：
(1)今年A型车每辆售价多少元？(用列方程的方法解答)
(2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
【解析】(1)根据卖出的数量相同作为等量关系列方程；(2)建立获利的函数关系式，然后用一次函数的性质回答问题．
【学生解答】
【方法指导】弄清题意建立相应数学模型是关键．
1．(2015遂宁中考)四川省第十二届运动会将于2015年8月18日在我市隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务．为此，学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件
是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费．另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人．
(1)分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1(元)和y2(元)与参演男生人数x之间的函数关系式；
(2)问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由．
2．(2015沧州模拟)一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的函数图像如图所示：
(1)根据图像，直接写出y1、y2关于x的函数关系式；
(2)若两车之间的距离为s千米，请写出s关于x的函数关系式；
(3)甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200千米，若客车进入A加油站时，出租车恰好进入B加油站，求A加油站离甲地的距离．
二次函数的实际应用
【经典导例】
【例2】(2015邯郸模拟)天猫网某店铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是健脑的佳品，它的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该产品每天销售利润w(元)与销售价x(元/千克)有如下关系：w＝ax2＋bx－1600，当销售价为22元时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元时，每天的销售利润为168元．
(1)求该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/千克)的关系式；
(2)当销售价定位每千克24元时，该产品每天的销售利润为多少元？
(3)如果该店铺的负责人想要在销售价不超过32元的情况下每天获得150元的销售利润，求销售价应定为每千克多少元？
(4)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克29元，此店铺每天获得的最大利润为多少元？
【解析】(1)根据题意可求出y与x的二次函数关系式；(2)将x＝24代入w＝－2x2＋120x－1600中计算所得利润；(3)将w＝150带入w＝－2x2＋120x－1600＝150中计算出定价；(4)由二次函数解析式可知w＝－2x2＋120x－1600＝－2(x－30)2＋200，所以当x＝29时利润最大．
【学生解答】
【方法指导】正确建立二次函数模型，利用配方法和二次函数的性质结合自变量的取值范围，求出最佳方案．
1．(2015青岛中考)某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？
(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每件文具的利润不低于25元且不高于29元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
一次、二次函数综合应用
【经典导例】
【例3】(2015黄冈中考)某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1(元)与国内销售数量x(千件)的关系为：
y 1＝⎩
⎪⎨⎪⎧15x ＋90（0＜x ≤2），－5x ＋130（2≤x ＜6）.
若在国外销售，平均每件产品的利润y 2(元)与国外的销售数量t(千件)的关系为：
y 2＝⎩
⎪⎨⎪⎧100（0＜t ≤2），－5t ＋110（2≤t ＜6）.
(1)用x 的代数式表示t 为：t ＝________；当0＜x ≤4时，y 2与x 的函数关系式为：y 2＝________；当4≤x ＜________时，y 2＝100；
(2)求每年该公司销售这种健身产品的总利润w(千元)与国内的销售数量x(千件)的函数关系式，并指出x 的取值范围．
【学生解答】
1．(2015义乌中考)受国内外复杂多变的经济环境影响，去年1至7月，原材料价格一路攀升，义乌市某服装厂每件衣服原材料的成本y 1(元)与月份x(1≤x ≤7，且x 为整数)之间的函数关系如下表：
8至12月，随着经济环境的好转，原材料价格的涨势趋缓，每件原材料成本y 2(元)与月份x 的函数关系式为
y 2＝x ＋62(8≤x ≤12，且x 为整数)．
(1)请观察表格中的数据，用学过的函数相关知识求y 1与x 的函数关系式；
(2)若去年该衣服每件的出厂价为100元，生产每件衣服的其他成本为8元，该衣服在1至7月的销售量p 1(万件)与月份x 满足关系式p 1＝0.1x ＋1.1(1≤x ≤7，且x 为整数)；8至12月的销售量p 2(万件)与月份x 满足关系式p 2＝－0.1x ＋3(8≤x ≤12，且x 为整数)，该厂去年哪个月利润最大？并求出最大利润．
2．(2015沧州二模)某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元．经市场调研发现：甲种产品的销售单价定在35元到70元之间较为合理，设甲种产品的销售单价为x(元)，年销售量为y(万件)，当35≤x ＜50时，y 与x 之间的函数关系式为y ＝20－0.2x ；当50≤x ≤70时，y 与x 的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价在25元
(含)到45元(含)之间，且年销售量稳定在10万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元．
(1)当50≤x≤70时，求出甲种产品的年销售量y(万件)与x(元)之间的函数关系式．
(2)若公司第一年的年销售利润(年销售利润＝年销售收入－生产成本)为W(万元)，那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？
(3)第二年公司可重新对产品进行定价，在(2)的条件下，并要求甲种产品的销售单价x(元)在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利(总盈利＝两年的年销售利润之和－投资成本)不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m(元)的范围．。