下册 小专题训练 圆中常见辅助线归类-2020秋九年级北师大版数学全一册作业课件PPT
2020版九年级北师大数学下册 第3章 圆：小专题( 六 ) 圆中常见的辅助线归类
小专题( 六)圆中常见的辅助线归类求解与圆有关的问题时,常需添加适当的辅助线,归纳起来主要分三类:( 1 )如果已知弦长、半径、弦心距或弓形高中的两个元素,求其余元素时,一般需要添加弦心距或半径构造直角三角形,以便利用直角三角形的知识求解;( 2 )若已知圆的直径解答有关问题时,一般需构造直径所对的圆周角,以便利用直角三角形的知识解答问题;( 3 )如果已知圆与直线相切,一般添加过切点的半径,以便利用切线的性质构造直角三角形;如果已知直线与圆的交点,要判断该直线是圆的切线时,只需连接过交点的半径,证明此半径垂直于直线即可.类型1遇弦,添加弦心距或半径1.如图是一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,若水面AB宽为8 cm,水面最深地方的高度为2 cm,则该输水管的半径为( C)A.3 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm2.如图,AB是☉O的直径,∠BOD=120°,C为的中点,AC交OD于点E.若DE=1,则AE的长为( A)A. B.C.2D.23.如图,☉O的直径为10 cm,弦AB=8 cm,P是弦AB上的一个动点,求OP的长度范围.解:过点O作OE⊥AB于点E,连接OB.∵☉O的直径为10 cm,∴OB=×10=5 cm.∵AE=BE=AB=×8=4 cm,∴OE==3 cm.∴3 cm≤OP≤5 cm.4.如图,☉O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6 cm,BE=2 cm,∠CEA=30°,求CD的长.解:过点O作OP⊥CD于点P,连接OC,则CD=2CP.∵AE=6 cm,BE=2 cm,∴AB=8 cm,∴OB=OC=4 cm,∴OE=4-2=2 cm.在Rt△OPE中,∵∠CEA=30°,∴OP=OE=1 cm.在Rt△COP中,CP=cm.∴CD=2CP=2cm.类型2遇直径,添加直径所对的圆周角5.如图,小号同学设计了一个测直径的测量器,将标有刻度的尺子OA,OB在点O处钉在一起,并使它们保持垂直,在测直径时,把点O靠在圆周上,读得刻度OE=8个单位,OF=6个单位,则圆的直径为( B)A.12个单位B.10个单位C.4个单位D.15个单位6.如图,☉O是△ABC的外接圆,若直径AD=10,∠ABC=∠DAC,则AC的长为5.7.如图,AB为半圆O的直径,C为的中点,P为半圆O外一点,且PB⊥PC交半圆O于点D.若PC=6,PD=2,则该半圆O的直径为20.提示:连接AD,CO交于点H.∵,∴OC⊥AD,AH=DH.∵AB是直径,∴∠ADB=∠PDH=90°.∵PB⊥PC,∴∠P=∠CHD=∠PDH=90°,∴四边形PDHC是矩形,∴∠PCO=90°,AH=DH=PC=6,CH=PD=2.设OH=x,则BD=2x,AB=2( x+2 ).在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2,即4( x+2 )2=122+( 2x)2,解得x=8,∴AB=20.8.如图,在△ABC中,BC=3,以BC为直径的☉O交AC于点D.若D是AC的中点,∠ABC=120°. ( 1 )求∠ACB的大小;( 2 )求点A到直线BC的距离.解:( 1 )连接BD.∵以BC为直径的☉O交AC于点D,∴∠BDC=90°.∵D是AC的中点,∴直线BD是AC的垂直平分线,∴AB=BC,∴∠BAC=∠ACB.∵∠ABC=120°,∴∠BAC=∠ACB=30°.( 2 )过点A作AE⊥BC,交CB的延长线于点E.由( 1 )知AB=BC=3,∠ABE=180°-∠ABC=60°.在Rt△ABE中,AE=AB·sin ∠ABE=3×.即点A到直线BC的距离为.类型3遇切线,添加过切点的半径9.如图,已知在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的圆交AC于点D,过点D的☉O的切线交BC 于点E.若CD=5,CE=4,则☉O的半径是( D)A.3B.4C.D.10.如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,∠CDB=20°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,则∠E=50°.11.如图,已知BC是☉O的直径,D为BC延长线上的一点,A为圆上一点,且AB=AD,AC=CD. ( 1 )求证:△ACD∽△BAD;( 2 )求证:AD是☉O的切线.证明:( 1 )∵AB=AD,∴∠B=∠D.∵AC=CD,∴∠CAD=∠D,∴∠CAD=∠B.∵∠D=∠D,∴△ACD∽△BAD.( 2 )连接OA.∵OA=OB,∴∠B=∠OAB,∴∠OAB=∠CAD.∵A为圆上一点,BC是☉O的直径,∴∠BAC=90°,∴∠OAD=90°,∴OA⊥AD,∴AD是☉O的切线.12.如图,在△ABC中,AB=AC,以线段AB上的点O为圆心,OB长为半径作☉O,分别与边AB,BC 相交于D,E两点,过点E作EF⊥AC于点F.( 1 )判断直线EF与☉O的位置关系,并说明理由;( 2 )若OB=3,cos ∠B=,求线段BE的长.解:( 1 )连接OE.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵OB=OE,∴∠B=∠OEB,∴∠OEB=∠C,∴OE∥AC.又∵EF⊥AC,∴OE⊥EF,∴EF为☉O的切线.( 2 )连接DE.∵OB=3,BD为☉O的直径,∴BD=6,∠DEB=90°.∵cos ∠B=,∴BE=BD=2.类型4添加辅助线,计算阴影部分的面积13.如图,正方形ABCD的边长为8,分别以正方形的三边为直径在正方形的内部作半圆,则阴影部分的面积之和是( A)A.32B.2πC.10π+2D.8π+114.如图,一张扇形纸片OAB中,半径OA为2,C是的中点,现将这张扇形纸片沿着弦AB折叠,点C恰好与圆心O重合,则图中阴影部分的面积为.15.( 衡阳中考)如图,点A,B,C在半径为8的☉O上,过点B作BD∥AC,交OA的延长线于点D.连接BC,且∠BCA=∠OAC=30°.( 1 )求证:BD是☉O的切线;( 2 )求图中阴影部分的面积.解:( 1 )连接OB,交AC于点E,∵∠C=30°=∠BOA,∴∠BOA=60°.∵∠BCA=∠OAC=30°,∴∠AEO=90°,即OB⊥AC.∵BD∥AC,∴OB⊥BD,∴BD是☉O的切线.( 2 )∵AC∥BD,∠OAC=30°,∴∠D=∠OAC=30°.∵∠OBD=90°,OB=8,∴BD=OB=8.∴S阴影=S△BDO-S扇形AOB=×8×8=32.16.( 滨州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为F.( 1 )求证:直线DF是☉O的切线;( 2 )BC2=4CF·AC;( 3 )若☉O的半径为4,∠CDF=15°,求阴影部分的面积.解:( 1 )连接OD.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.∵OB=OD,∴∠ODB=∠ABC=∠C.∵DF⊥AC,∴∠CDF+∠C=90°,∴∠CDF+∠ODB=90°,∴∠ODF=90°,∴直线DF是☉O的切线.( 2 )连接AD,∵AB=AC,∴AD⊥BC,∴DB=DC=BC.∵∠CDF+∠C=90°,∠C+∠DAC=90°,∴∠CDF=∠DAC,又∵∠DFC=∠ADC=90°,∴△CFD∽△CDA,∴CD2=CF·AC,即BC2=4CF·AC.( 3 )连接OE.∵∠CDF=15°,∴∠C=75°,∴∠OAE=30°=∠OEA,∴∠AOE=120°,∴S△OAE=AE·OE·sin ∠OEA=×2×OE·cos ∠OEA×OE sin ∠OEA=4,S阴影=S扇形OAE-S△OAE=-4-4.。
「精品」九年级数学下册小专题(八)圆中常见辅助线的作法练习(新版)湘教版
小专题(八) 圆中常见辅助线的作法圆中常见辅助线的添加口诀及技巧 半径与弦长计算，弦心距来中间站． 圆上若有一切线，切点圆心半径连． 要想证明是切线，半径垂线仔细辨． 是直径，成半圆，想成直角径连弦． 弧有中点圆心连，垂径定理要记全． 圆周角边两条弦，直径和弦端点连． 还要作个内切圆，内角平分线梦圆． 三角形与扇形联姻，巧妙阴影部分算．一、连半径——构造等腰三角形1．如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，C ，D 是直线AB 上的两点，且AC ＝BD.求证：△OCD 是等腰三角形．证明：连接OA ，OB. ∵OA ，OB 是⊙O 的半径， ∴OA ＝OB. ∴∠OAB ＝∠OBA. ∴∠OAC ＝∠OBD. 在△AOC 和△BOD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ，∠OAC ＝∠OBD ，AC ＝BD ，∴△AOC ≌△BOD(SAS)．∴OC＝OD，即△OCD是等腰三角形．二、半径与弦长计算，弦心距来中间站在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算．在弦长、弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个．2．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，其中水面的宽AB为0.8 m，求排水管内水的深度．解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，E，连接OA.OA＝0.5 m，AB＝0.8 m.∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝0.4 m.在Rt△AOC中，OA2＝AC2＋OC2，∴OC＝0.3 m，则CE＝0.3＋0.5＝0.8(m)．答：排水管内水的深度为0.8m.三、见到直径——构造直径所对的圆周角构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质．3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E.∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数．解：连接BD. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°. 又∵∠ADC ＝50°， ∴∠CDB ＝∠ADB －∠ADC ＝40°. ∵BC ︵＝BC ︵∴∠CDB ＝∠CAB ＝40°.∴∠CEB ＝∠CAB ＋∠ACD ＝40°＋60°＝100°.四、有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题．4．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点F ，切点为G ，连接AG 交CD 于点K.求证：KE ＝GE.证明：连接OG. ∵FE 切⊙O 于点G ， ∴∠OGE ＝90°. ∴∠OGA ＋∠AGE ＝90°. ∵CD ⊥AB ，∴∠OAK＋∠AKH＝90°.又∵∠AKH＝∠GKE，∴∠OAK＋∠GKE＝90°.∵OG＝OA，∴∠OGA＝∠OAG.∴∠KGE＝∠GKE.∴KE＝GE.五、“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．5．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.求证：AP是⊙O的切线．证明：连接OA. ∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°.又∵OA＝OC，∴∠ACP＝∠CAO＝30°.∴∠AOP＝60°.又∵AC＝AP，∴∠P＝∠ACP＝30°.∴∠OAP＝90°.∴OA⊥AP.又∵OA为⊙O的半径，∴AP是⊙O的切线．6．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．证明：连接OD，过点O作OE⊥AC于点E，则∠OEC＝90°.∵AB切⊙O于点D，∴OD⊥AB.∴∠ODB＝90°.∴∠ODB＝∠OEC.又∵O是BC的中点，∴OB＝OC.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴△OBD≌△OCE(AAS)．∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径．∴AC与⊙O相切．六、内切圆，连接内角平分线把梦圆利用内心与顶点的连线平分这个内角以及三角形的外角，同弧所对的圆周角相等进行角的转换．7．如图，在△ABC中，E是内心，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D.求证：DE＝DB.证明：连接BE.∵E为△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC.∵∠DEB＝∠ABE＋∠BAD，∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，而∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，∴∠DEB＝∠DBE.∴DE＝DB.七、构造扇形与三角形，化不规则图形的面积为规则图形的面积通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中，(1)可以根据平移、旋转或轴对称等图形变换；(2)可根据同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等进行转化．8．如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连接AC，求阴影部分的面积．解：连接OB，OC.∵BC∥OA，∴△OBC和△ABC同底等高．∴S△ABC＝S△OBC.∴S阴影＝S扇形OBC.∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB.∵OA＝4，OB＝2，∴∠AOB＝60°.∵BC∥OA，∴∠AOB＝∠OBC＝60°.∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形．∴∠COB＝60°.∴S 阴影＝S 扇形OBC ＝60π×22360＝2π3.。
九年级数学下册第三章圆专题课堂圆中常见的辅助线归类作业课件北师大版.ppt
(2)∵∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠5＋∠3＋∠4＝90°，∴∠1＝∠5，而 ∠1＝∠G，∠5＝∠A，∴∠G＝∠A，∵∠ECF＝∠4＝2∠A，∴∠4＝2∠ G，而∠EMC＝∠G＋∠1＝2∠G，∴∠EMC＝∠4，而∠FEC＝∠CEM， ∴△EFC∽△ECM，∴CEFE＝MCEE＝CCMF ，即CEFE＝C6E＝46，∴CE＝4，EF＝83， ∴MF＝ME－EF＝6－83＝130
(3)连接 AE.∵∠ACE＝∠BCE，∴A︵E＝B︵E，∴AE＝BE.又∵AB 是直 径，∴∠AEB＝90°.AB＝ 2BE＝10，∴OB＝OC＝5.∵∠PCB＝∠PAC， ∠P＝∠P，∴△PCB∽△PAC.∴PPBC＝CBAC.∵tan∠PCB＝tan∠CAB＝34.∴PPBC ＝CBAC＝34.设 PB＝3x，则 PC＝4x，在 Rt△POC 中，(3x＋5)2＝(4x)2＋52，解 得 x1＝0，x2＝370.∵x＞0，∴x＝370，∴PF＝PC＝1270
3．如图，在平面直角坐标系中，以点 M(0， 3)为圆心，以 2 3长为 半径作⊙M 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于 C，D 两点，连接 AM 并延长 交⊙M 于 P 点，连接 PC 交 x 轴于 E.
(1)求点 C，P 的坐标； (2)求证：BE＝2OE.
(1)解：连接 PB，∵PA 是圆 M 的直径，∴∠PBA＝90°，∴AO＝OB ＝3，又∵MO⊥AB，∴PB∥MO.∴PB＝2OM＝2 3，∴P 点坐标为(3，2 3)， 在 Rt△ABP 中，AB＝6，PB＝2 3，根据勾股定理得：AP＝4 3，所以圆的 半径 MC＝2 3，又 OM＝ 3，所以 OC＝MC－OM＝ 3，则 C(0，－ 3) (2) 证明：连接 AC.∵AM＝MC＝2 3，AO＝3，OC＝ 3，∴AM＝MC＝AC＝ 2 3，∴△AMC 为等边三角形，又∵AP 为⊙M 的直径得∠ACP＝90°，得 ∠OCE＝30°，∴OE＝1，BE＝2，∴BE＝2OE
下册 小专题训练 圆中常见辅助线归类-2020秋九年级北师大版数学全一册作业课件
10、竹根---即使被埋在地下无人得见，也决然不会停止探索而力争冒出新笋。 22、战士的意志要象礁石一样坚定，战士的性格要象和风一样温柔。 38. 学会冷血，只对对我好的人好。学会孤独，没有谁会把你当宝护着。 37、给自已标价越高，自已的价值实现就越大。 81、谁把安逸当成幸福的花朵，那么等到结果时节，他只能望着空枝叹息。 69、有建树的人，并非具备了比一般人更优越的条件，相反，他们要经过更多的磨练，走更艰辛的路。 40. 学会视而不见，恶心的东西选择忽视。学会长大，不能再那么任性。学会忍耐，该闭嘴就闭嘴。 7、上帝制造人类的时候就把我们制造成不完美的人，我们一辈子努力的过程就是使自己变得更加完美的过程，我们的一切美德都来自于克服 自身缺点的奋斗。
2020-2021年九年级下册华东师大版数学习题课件 第27章 专题训练(八) 圆中常见辅助线归类
(2)由(1)已证：∠ODF＝90°，∵∠B＝30°，∴∠DOF＝60°，
∴∠F＝30°，在 Rt△ABC 中，AC＝4，∴BC＝tanA3C0°
＝4 3
＝4
3
，
3
∴OD＝2
3
，在 Rt△ODF 中，DF＝tanO3D0°
＝2
3 3
＝6，
3
∴阴影部分的面积为12 ×2 3 ×6－36600 π×(2 3 )2＝6 3 －2π
∠AED＝120°，∴AE＝DE＝BD＝12 BC＝1. ∵∠PBD＝180°－∠ABC＝120°＝∠AED， ∴当 PB＝AE＝1 时，△PBD≌△AED
9．如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连结DA交⊙O于点C，
过点C作⊙O的切线交DO于点E，连结BC交DO于点F.连结AF并延长，
交⊙O于点G，连结EG.填空： (1)当∠D的度数为_3_0_°__时，四边形ECFG为菱形； (2)当∠D的度数为_2_2_._5_°时，四边形ECOG为正方形．
解：(1)证明：连结OD，CD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.∵BC是⊙O 的直径，∴∠BDC＝90°，∴△ACD是直角三角形．又∵点E是斜边AC的中 点，∴EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC.又∵∠ECD＋∠BCD＝∠ACB＝90°， ∴∠EDC＋∠ODC＝∠ODE＝90°，∴直线DE是⊙O的切线
∵S△ACD＝12 AD·CD＝12 AC·DE，∴12 ×4×3＝12 ×5DE，∴DE＝152
8．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC， AC于点D，E，且点D为BC的中点. (1)求证：△ABC为等边三角形； (2)在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？ 若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．
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88.每个人内心深处都渴望成功，可问题是大多数认为自己无法成功，他们不相信通过奋斗可以成功，于是放弃了梦想，最终果然走向了失败 。
65.花开堪折直须折，莫待无花空折枝。 42.成功的信念在人脑中的作用就如闹钟，会在你需要时将你唤ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。 53.任何业绩的质变都来自于量变的积累。 11.如果你是野花，没人欣赏，你也要芬芳；如果你是小草，即使践踏，你也要成长。 33.你可以倒下，但是要记得站起来；你可以流泪，但是要记得长大。 37.人生就像一场舞会，教会你最初舞步的人却未必能陪你走到散场。 21.学问多深也别满足，过失多小也别忽略。 25.绳锯木断，水滴石穿。 22.该发生的总会发生，不管你是否为此焦虑。向前走，向前看，生活就这么简单。每一个坚强的人，都有一颗柔软的心，摆正心态，温柔自 相随，哭给自己听，笑给别人看，这就是所谓的人生。