高中数学 课时达标检测(十五)直线与平面、平面与平面垂直的性质(习题课)新人教A版必修2
人教版必修2《直线与平面、平面与平面垂直的判定及其性质》知识点 练习 答案
直线与平面、平面与平面垂直的判定及其性质一、知识点： 1、直线与平面垂直： ⑴空间中两直线垂直⎩⎨⎧异面垂直相交垂直⑵直线与平面垂直定义：如果直线l 与平面α内任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直；记作α⊥l ，l 叫α的垂线，α叫l 的垂面； 垂线上任意一点M 到垂足P 之间的线段长度叫点M 到平面α的距离； ⑶如果α⊥l ，则l 与α内任意一条直线都垂直；⑷ ①直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；简称为“线线垂直⇒线面垂直”；用数学符号表示为：P ，n ，m ，n m =⊂⊂ ααm ，l ⊥n l ⊥（5个条件，特别是相交不能丢）⇒α⊥l ；②直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行； 用数学符号表示为：αα⊥⊥，b a a ⇒∥b ； 2、平面与平面垂直：⑴二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形；这条直线叫二面角的棱；这两个半平面叫二面角的面；记作二面角Q l P l ----或βα ⑵二面角的求法①作：在棱l 上任取一点O ，分别向两个半平面作棱l 的垂线OM ，ON ，则 MON ∠就是所求的二面角平面角； ②找：已经作好，把它找出来即可；⑶两个平面垂直定义：当两个平面相交，所成二面角平面角为90时，就说这两个平面互相垂直；⑷①两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；简称为“线面垂直⇒面面垂直”； 用数学符号表示为：，a α⊂⇒⊥βa βα⊥；②两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直；简称为“面面垂直⇒线面垂直”； 用数学符号表示为：l ，，=⊥βαβα ，a α⊂l a ⊥（4个条件，缺一不可）⇒β⊥a3、求角：①直线与直线所成的角[]900，∈θ；②直线与平面所成的角：直线和它在平面内的射所成的角[]900，∈θ；③平面与平面所成的角（二面角）[]1800，∈θ4、求距离：①点到直线的距离:从一点作直线的垂线,该点到垂足间的线段长度.②点到平面的距离：从一点向平面作垂线，该点到垂足间的线段长度。
高三数学 直线、平面垂直的判定及其性质练习题(含答案)
直线、平面垂直的判定及其性质建议用时：45分钟一、选择题1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥αC[A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．] 2．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()A[A选项中，因为CD⊥平面AMB，所以CD⊥AB；B选项中，AB与CD 成60°角；C选项中，AB与CD成45°角；D选项中，AB与CD夹角的正切值为 2.]3．(2019·东北三省三校联考)在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且P A＝AB＝2，则直线PB与平面P AC所成角为()A.π6 B.π4 C.π3 D.π2A[连接BD，交AC于点O.因为P A⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，BD⊥P A.又因为P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC，故BO⊥平面P AC.连接OP，则∠BPO即为直线PB与平面P AC所成角．又因为P A＝AB＝2，所以PB＝22，BO＝ 2.所以sin∠BPO＝BOPB＝12，所以∠BPO＝π6.故选A.]4．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则() A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥ACC[如图．∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错；∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1)∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错．] 5．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABCD[∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD⊂平面ADC，CD⊂平面ADC，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.]二、填空题6．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，若该长方体的体积为82，则直线AC1与平面BB1C1C所成的角为．30°[连接BC1(图略)，由AB⊥平面BB1C1C知∠AC1B就是直线AC1与平面BB1C1C所成的角．由2×2×AA1＝82得AA1＝22，∴BC1＝BC2＋CC21＝23，在Rt△AC1B中，tan∠AC1B＝ABBC1＝223＝33，∴∠AC1B＝30°.]7．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则点A1到平面AB1D1的距离是．23[如图，△AB1D1中，AB1＝AD1＝5，B1D1＝2，∴△AB 1D 1的边B 1D 1上的高为(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝322，∴S △AB 1D 1＝12×2×322＝32，设A 1到平面AB 1D 1的距离为h ；则有S △AB 1D 1×h ＝S △A 1B 1D 1×AA 1， 即32h ＝12×2，解得h ＝23.]8．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有 ．(填写所有正确命题的编号)②③④ [对于①，α，β可以平行，可以相交也可以不垂直，故错误． 对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l ⊂α，n ∥l ，又m ⊥α，所以m ⊥l ，所以m ⊥n ，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m ⊂α，所以m ，β没有公共点，由线面平行的定义可知m ∥β，故正确．对于④，因为m ∥n ，所以m 与α所成的角和n 与α所成的角相等．因为α∥β，所以n 与α所成的角和n 与β所成的角相等，所以m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，故正确．]三、解答题9．(2018·北京高考)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.[证明](1)因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面P AD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面P AD.所以AB⊥PD.又因为P A⊥PD，所以PD⊥平面P AB.因为PD⊂平面PCD，所以平面P AB⊥平面PCD.(3)取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形，所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.10．(2019·太原模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC上的一点，AB＝AC，且AD⊥BC.(1)求证：A1C∥平面AB1D；(2)若AB＝BC＝AA1＝2，求点A1到平面AB1D的距离．[解](1)证明：如图，连接BA1，交AB1于点E，再连接DE，据直棱柱性质知，四边形ABB1A1为平行四边形，E为AB1的中点，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D是BC的中点，∴DE∥A1C，又DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2)如图，在平面BCC1B1中，过点B作BF⊥B1D，垂足为F，∵D是BC中点，∴点C到平面AB1D与点B到平面AB1D距离相等，∵A1C∥平面AB1D，∴点A1到平面AB1D的距离等于点C到平面AB1D的距离，∴BF长为所求，在Rt△B1BD中，BD＝1，BB1＝2，B1D＝5，∴BF＝25＝255，∴点A1到平面AB1D的距离为255.1．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部A[连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．]2．(2019·唐山模拟)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是()①②③④A．①②B．②④C．①③D．②③B[对于①，易证AB与CE所成角为45°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于②，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，则AB⊥平面CDE；对于③，易证AB与CE所成角为60°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于④，易证ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE.故选B.] 3．如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是．①②③[由BC⊥AC，BC⊥P A可得BC⊥平面P AC，又AF⊂平面P AC，所以AF⊥BC，又AF⊥PC，则AF⊥平面PBC，从而AF⊥PB，AF⊥BC，故①③正确；由PB⊥AF，PB⊥AE可得PB⊥平面AEF，从而PB⊥EF，故②正确；若AE⊥平面PBC，则由AF⊥平面PBC知AE∥AF与已知矛盾，故④错误．] 4．(2019·西宁模拟)已知三棱柱ABC-A1B1C1，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，又知BA1⊥AC1.(1)求证：AC1⊥平面A1BC；(2)求点C到平面A1AB的距离．[解](1)证明：∠BCA＝90°得BC⊥AC，因为A1D⊥平面ABC，所以A1D⊥BC，A1D∩AC＝D，所以BC⊥平面A1ACC1，所以BC⊥AC1.因为BA1⊥AC1，BA1∩BC＝B，所以AC1⊥平面A1BC.(2)作DE⊥AB于点E，连接A1E，作DF⊥A1E于点F.因为A1D⊥平面ABC，所以A1D⊥AB，DE⊥AB，DE∩A1D＝D，所以AB⊥平面A1DE，又DF⊂平面A1DE，所以AB⊥DF，由DF⊥A1E，A1E∩AB＝E，所以DF⊥平面A1AB，由(1)及已知得DE＝22，A1D＝3，Rt△A1DE中，DF ＝A 1D ·DE A 1E ＝217， 因为D 是AC 中点，所以C 到面A 1AB 距离2217.1．(2019·衡阳模拟)如图，在四面体ABCD 中，AD ⊥BD ，截面PQMN 是矩形，则下列结论不一定正确的是( )A ．平面BDC ⊥平面ADCB ．AC ∥平面PQMNC ．平面ABD ⊥平面ADCD ．AD ⊥平面BDCD [由PQ ∥MN ，MN ⊂平面ADC ，PQ ⊄平面ADC ，得PQ ∥平面ADC ，又PQ⊂平面ABC，平面ABC∩平面ADC＝AC，∴PQ∥AC，同理QM∥BD，因为PQ⊥QM，∴AC⊥BD，又BD⊥AD，AC∩AD＝A，∴BD⊥平面ADC，∴平面BDC⊥平面ADC，平面ABD⊥平面ADC，∴A和C选项均正确；由PQ∥AC，得AC∥平面PQMN，∴B选项正确．∵不能得到AD⊥DC或AD⊥BC，∴不能得到AD⊥平面BDC，故选项D 不一定正确．故选D.]2．(2019·泉州模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是AB，AA1的中点，且A1M⊥B1N.(1)求证：B1N⊥A1C；(2)求M到平面A1B1C的距离．[解](1)证明：如图，连接CM.在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CM .在△ABC 中，AC ＝BC ，AM ＝BM ，所以CM ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，所以CM ⊥平面ABB 1A 1.因为B 1N ⊂平面ABB 1A 1，所以CM ⊥B 1N .又A 1M ⊥B 1N ，A 1M ∩CM ＝M ，所以B 1N ⊥平面A 1CM .因为A 1C ⊂平面A 1CM ，所以B 1N ⊥A 1C .(2)法一：连接B 1M .在矩形ABB 1A 1中，因为A 1M ⊥B 1N ，所以∠AA 1M ＝∠A 1B 1N .所以tan ∠AA 1M ＝tan ∠A 1B 1N ，即AM AA 1＝A 1N A 1B 1. 因为△ABC 是边长为2的正三角形，M ，N 分别是AB ，AA 1的中点，所以AM ＝1，CM ＝3，A 1B 1＝2.设AA 1＝x ，则A 1N ＝x 2.所以1x ＝x 22，解得x ＝2.从而S △A 1B 1M ＝12S 正方形ABB 1A 1＝2，A 1C ＝B 1C ＝2 2.在△A 1CB 1中，cos ∠A 1CB 1＝A 1C 2＋B 1C 2－A 1B 212A 1C ·B 1C ＝34，所以sin ∠A 1CB 1＝74，所以S △A 1B 1C ＝12A 1C ·B 1C ·sin ∠A 1CB 1＝7.设点M 到平面A 1B 1C 的距离为d ，由V 三棱锥M -A 1B 1C ＝V 三棱锥C -A 1B 1M ，得13S △A 1B 1C ·d ＝13S △A 1B 1M ·CM ，所以d ＝S △A 1B 1M ·CM S △A 1B 1C ＝2217，即点M 到平面A 1B 1C 的距离为2217. 法二：在矩形ABB 1A 1中，因为A 1M ⊥B 1N ，所以∠AA 1M ＝∠A 1B 1N ，所以tan ∠AA 1M ＝tan ∠A 1B 1N ，即AM AA 1＝A 1N A 1B 1. 因为△ABC 是边长为2的正三角形，M ，N 分别是AB ，AA 1的中点， 所以AM ＝1，CM ＝3，A 1B 1＝2.设AA 1＝x ，则A 1N ＝x 2，所以1x ＝x22，解得x ＝2.如图，取A 1B 1的中点D ，连接MD ，CD ，过M 作MO ⊥CD 于O .在正方形ABB 1A 1中，易知A 1B 1⊥MD ，由(1)可得CM ⊥A 1B 1，又CM ∩MD ＝M ，所以A 1B 1⊥平面CDM .因为MO ⊂平面CDM ，所以A 1B 1⊥MO .又MO ⊥CD ，A 1B 1∩CD ＝D ，所以MO ⊥平面A 1B 1C ，即线段MO 的长就是点M 到平面A 1B 1C 的距离．由(1)可得CM⊥MD，又MD＝2，所以由勾股定理，得CD＝CM2＋MD2＝7.S△CMD＝12·CD·MO＝12·CM·MD，即12×7×MO＝12×3×2，解得MO＝2217，故点M到平面A1B1C的距离为221 7.。
直线与平面垂直的性质课时作业(附答案)
直线与平面垂直的性质课时作业（附答案）课时提升作业(十) 直线与平面垂直的性质一、选择题(每小题3分，共18分) 1.已知直线l1，l2与平面α，有下列说法：①若l1∥α，l1∥l2，则l2∥α；②l1 α，l2∩α=A，则l1与l2为异面直线；③若l1⊥α，l2⊥α，则l1∥l2；④若l1⊥l2，l1∥α，则l2∥α. 其中正确的个数有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【解析】选B.①错，因为l2还可能在α内.②错，当A∈l1时，l1∩l2=A.③对，是线面垂直的性质定理.④错，l2与α的位置关系不确定. 2.(2014•松原高一检测)BC是Rt△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，PD⊥BC于点D，连接AD，则图中共有直角三角形的个数是( ) A.8 B.7 C.6 D.5 【解析】选A.因为AP⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，又PD⊥BC于D，PD∩PA=P，所以BC⊥平面PAD，AD 平面PAD，所以BC⊥AD. 又BC是Rt△ABC的斜边，所以∠BAC为直角. 所以图中的直角三角形有：△ABC，△PAC，△PAB，△PAD，△PDC，△PDB，△ADC，△ADB.3.在空间中，下列说法正确的有( ) ①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一平面的两条直线互相平行；④两条异面直线不可能垂直于同一平面. A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选B.由公理4知①正确，由线面垂直的性质定理知④正确.对于②，空间中垂直于同一条直线的两条直线相交、平行、异面都有可能.对③中的两条平行于同一个平面的直线，其位置关系不确定. 4.(2013•广东高考)设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列说法中正确的是( ) A.若l∥α，l∥β，则α∥β B.若l⊥α，l⊥β，则α∥β C.若l⊥α，l∥β，则α∥β D.若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解析】选B.对于选项A，两个平面α，β平行于同一条直线，不能确定两平面平行还是相交(若两平面相交能确定与交线平行)；对于选项B，垂直于同一条直线的两个平面平行(直线是公垂线)；对于选项C，能推出两个平面相交且两个平面垂直；对于选项D，l∥β，l⊥β，l β都可能. 5.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么( ) A.PA=PB>PC B.PA=PB<PC C.PA=PB=PC D.PA≠PB≠PC 【解析】选C. 因为△ABC为直角三角形，M为斜边AB的中点，所以MA=MB=MC，因为PM垂直于△ABC所在平面，所以Rt△PMA≌Rt△PMB≌Rt△PMC，所以PA=PB=PC . 【变式训练】已知直线PG⊥平面α于G，直线EF α，且PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG的关系是( ) A.PE>PG>PF B.PG>PF>PEC.PE>PF>PGD.PF>PE>PG 【解析】选C.在Rt△PFE中，PE>PF；在Rt△PFG中，PF>PG，所以PE>PF>PG. 6.(2014•吉安高二检测)如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α.垂足分别为B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的( ) A.AC⊥β B.AC⊥EF C.AC与BD在β内的射影在同一条直线上 D.AC 与α，β所成的角相等【解析】选D.对于A.若AC⊥β，EF β，则AC⊥EF. 又AB⊥α，EF α，则AB⊥EF，AB⊥α，CD⊥α，所以AB∥CD，故ABDC确定一个平面，又AC∩AB=A，所以EF⊥平面ABDC，BD 平面ABDC，所以EF⊥BD.同理B也能推出BD⊥EF.对于选项C.由于AC与BD在β内的射影在同一条直线上，所以平面ABDC与平面β垂直，又因为EF⊥AB，所以EF⊥平面ABDC，所以EF⊥BD.对于D，若AC∥EF，则AC与α，β所成的角也相等，但不能推出BD⊥EF. 二、填空题(每小题4分，共12分) 7.(2014•无锡高二检测)已知直线m 平面α，直线n 平面α，m∩n=M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，则直线a，b的位置关系是________. 【解析】因为直线a⊥m，a⊥n，直线m 平面α，直线n 平面α，m∩n=M，所以a⊥α.同理可证直线b⊥α，所以a∥b. 答案：a∥b 8.若三个平面两两垂直，它们交于一点A，空间一点C1到三个平面的距离分别为5，6，7，则AC1的长为________. 【解析】如图构造长方体，可知长方体的长、宽、高分别为7，6，5，AC1为体对角线，所以AC1= = . 答案： 9.AB是�O的直径，点C是�O上的动点(点C不与A，B重合)，过动点C的直线VC垂直于�O所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点，则下列结论中正确的是________(填写正确结论的序号). (1)直线DE∥平面ABC. (2)直线DE⊥平面VBC. (3)DE⊥VB. (4)DE⊥AB. 【解析】因为AB是�O的直径，点C是�O上的动点(点C不与A，B重合)，所以AC⊥BC，因为VC垂直于�O所在的平面，所以AC⊥VC，又BC∩VC=C，所以AC⊥平面VBC. 因为D，E分别是VA，VC的中点，所以DE∥AC，又DE⊈平面ABC，AC 平面ABC，所以DE∥平面ABC，DE⊥平面VBC，DE⊥VB， DE与AB所成的角为∠BAC是锐角，故DE⊥AB不成立. 由以上分析可知(1)(2)(3)正确. 答案：(1)(2)(3)三、解答题(每小题10分，共20分) 10.(2014•开封高一检测)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°. (1)求证：AB⊥A1C. (2)若AB=CB=2，A1C= ，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积. 【解析】(1)如图，取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B. 因为CA=CB，所以OC⊥AB. 由于AB=AA1，∠BAA1=60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C. 又A1C 平面OA1C，故AB⊥A1C. (2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC=OA1= . 又A1C= ，则A1C2=OC2+O ，故OA1⊥OC. 因为OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，所以OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高. 又△ABC的面积S△ABC= ，故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×OA1= × =3. 11.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA1= ，D是A1B1的中点. (1)求证：C1D⊥平面A1B. (2)当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论. 【解析】(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以A1C1=B1C1=1，且∠A1C1B1=90°. 又D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1. 因为AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，所以AA1⊥C1D，又AA1∩A1B1=A1，所以C1D⊥平面A1B. (2)作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求. 证明：因为C1D⊥平面AA1B1B，AB1 平面AA1B1B，所以C1D⊥AB1. 又AB1⊥DF，DF∩C1D=D，所以AB1⊥平面C1DF. 【变式训练】如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB. 【证明】因为SA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以SA⊥BC，又因为BC⊥AB，SA∩AB=A，所以BC⊥平面SAB，又AE 平面SAB，所以BC⊥AE. 因为SC⊥平面AEFG，所以SC⊥AE. 又BC∩SC=C，所以AE⊥平面SBC，所以AE⊥SB. 一、选择题(每小题4分，共16分) 1.已知直线l⊥平面α，直线m 平面β.有下面四个说法：①α∥β l⊥m；②α⊥β l∥m；③l∥m α⊥β；④l⊥m α∥β. 其中正确的说法是( ) A.①② B.①③C.②④D.③④ 【解析】选B.l⊥α，α∥β，所以l⊥β.又因为m β，所以l⊥m.①正确.l∥m，l⊥α，所以m⊥α，又因为m β，所以α⊥β，③正确. 2.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB 的大小( ) A.变大 B.变小 C.不变 D.有时变大有时变小【解析】选C.由于BC⊥CA，l⊥平面ABC，所以BC⊥l，即BC⊥AP，又因为AP∩AC=A，故BC⊥平面ACP，所以BC⊥CP，即∠PCB=90°. 3.(2014•蚌埠高一检测)线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为5，7，则AB的中点到α的距离为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【解题指南】利用线面垂直的性质求解. 【解析】选C.设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质知AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1=5，BB1=7，MM1为其中位线，所以MM1= =6. 4.(2014•洛阳高一检测)PO垂直于△ABC所在平面α，垂足为O，若点P到△ABC的三边的距离相等，且点O在△ABC内部，则点O是△ABC的( ) A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心【解析】选D.如图所示，因为PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB.又因为PD⊥AB，PO∩PD=P，所以AB⊥平面POD，所以AB⊥OD.同理，OE⊥BC，OF⊥AC. 又因为PD=PE=PF，所以OD=OE=OF. 所以O为△ABC 的内心. 二、填空题(每小题5分，共10分) 5.(2014•合肥高一检测)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1，AB上的点，若∠B1MN=90°，则∠C1MN=________. 【解析】因为B1C1⊥平面ABB1A1，所以B1C1⊥MN.又∠B1MN是直角，所以MN⊥B1M.又B1C1∩B1M=B1，所以MN⊥平面B1C1M. 所以MN⊥C1M，所以∠C1MN=90°. 答案：90° 6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP与BD1垂直，则动点P的轨迹为________. 【解析】如图，先找到一个平面总是保持与BD1垂直，连接AC，AB1，B1C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有BD1⊥面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，根据平面的基本性质得：点P的轨迹为面ACB1与面BCC1B1的交线段CB1. 答案：线段CB1 【变式训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A的中点，M是AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则N满足什么条件时，有MN⊥A1C1. 【解析】连接EG，EM，GM，BD，因为正方形AA1D1D中，E，G分别为AD，A1D1的中点，所以EG∥AA1. 因为AA1⊥平面A1B1C1D1，所以EG⊥平面A1B1C1D1. 因为A1C1 平面A1B1C1D1，所以A1C1⊥EG. 因为在△ABD中，EM是中位线，所以EM∥BD. 因为BB1∥DD1且BB1=DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1∥BD. 所以EM∥B1D1. 因为正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，所以A1C1⊥EM. 因为EM∩EG=E，EM，EG 平面EGM，所以A1C1⊥平面EGM. 因此，当点N在EG上时，直线MN 平面EGM，有MN⊥A1C1成立. 三、解答题(每小题12分，共24分) 7.(2014•宿迁高二检测)如图，在三棱锥P-ABC 中，点E，F分别是棱PC，AC的中点. (1)求证：PA∥平面BEF. (2)若平面PAB⊥平面ABC，PB⊥BC，求证：BC⊥PA. 【解题指南】(1)根据三角形中位线的性质，可得EF∥PA，再利用线面平行的判定定理，可证PA∥平面BEF. (2)作PO⊥AB，垂足为O，根据平面PAB⊥平面ABC，可得PO⊥平面ABC，所以PO⊥BC，利用PB⊥BC，可得BC⊥平面PAB，从而可得结论. 【证明】(1)因为点E，F分别是棱PC，AC 的中点，所以EF∥PA，因为PA⊈平面BEF，EF 平面BEF，所以PA∥平面BEF. (2)作PO⊥AB，垂足为O，因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥BC，因为PB⊥BC，PO∩PB=P，所以BC⊥平面PAB，因为PA 平面PAB，所以BC⊥PA. 【变式训练】如图，已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC. 【证明】过P作PO⊥平面ABC于O，连接OA，OB，OC.因为BC 平面ABC，所以PO⊥BC. 又因为PA⊥BC，PA∩PO=P，所以BC⊥平面PAO. 又因为OA 平面PAO，所以BC⊥OA. 同理，可证AB⊥OC. 所以O是△ABC的垂心.所以OB⊥AC. 又因为PO⊥AC，OB∩PO=O，所以AC⊥平面PBO. 又PB 平面PBO，所以PB⊥AC. 8.(2014•山东高考)如图，四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC= AD，E，F 分别为线段AD，PC的中点. (1)求证：AP∥平面BEF. (2)求证：BE⊥平面PAC. 【解题指南】(1)本题考查线面平行的证法，可利用线线平行来证明线面平行. (2)本题考查了线面垂直的判定，在平面PAC中找两条相交直线与BE垂直即可. 【证明】(1)连接AC交BE于点O，连接OF，不妨设AB=BC=1，则AD=2，又因为E为AD的中点，所以AE=1，所以AE=BC，因为AB=BC，AD∥BC，所以四边形ABCE为菱形，因为O，F分别为AC，PC的中点，所以OF∥AP，又因为OF 平面BEF，AP⊈平面BEF，所以AP∥平面BEF. (2)因为AP⊥平面PCD，CD 平面PCD，所以AP⊥CD，因为BC∥ED，BC=ED，所以四边形BCDE为平行四边形，所以BE∥CD，所以BE⊥PA，又因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC，又因为PA∩AC=A，PA，AC 平面PAC，所以BE⊥平面PAC. 【变式训练】在△ABC中，∠BAC=60°，P是△ABC所在平面外一点，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=90°. (1)求证：PB⊥面PAC. (2)若H是△ABC的重心，求证：PH⊥面ABC. 【证明】(1)如图，由题设易得AB=AC，因为∠BAC=60°，所以△ABC为等边三角形，所以AB=BC. 因为PA=PB=PC，所以△PAB≌△PBC，所以∠BPC=∠APB=90°，即PB⊥PC. 又PB⊥PA，PA∩PC=P，所以PB⊥面PAC. (2)取BC中点D，因为PB=PC，所以PD⊥BC. 同理可得AD⊥BC，所以BC⊥面PAD. 因为AD是△ABC的边BC上的中线，所以△ABC的重心H在AD上，所以BC⊥PH，同理可得AB⊥PH. 又AB∩BC=B，所以PH⊥面ABC.。
直线、平面垂直的判定及其性质课时作业
课时作业48直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则“l∥m”是“α⊥β”的()A．充要条件B．必要条件C．充分条件D．既不充分又不必要条件解析：若l∥m，则m⊥平面α，由面面垂直的判定定理可知α⊥β，反过来，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，又因为m⊂β，所以l与m 可能平行，异面或相交，所以“l∥m”是“α⊥β”的充分条件，故选C.答案：C2．已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，直线m ⊂平面α，直线n⊥平面β，给出命题：①n⊥m⇒α∥β；②n∥m⇒α⊥β；③α∥β⇒n⊥m；④α⊥β⇒n∥m.其中正确命题为() A．①③B．②③C．②④D．①④解析：由直线n⊥面β，n∥m⇒m⊥面β，又因为直线m⊂平面α，所以α⊥β，②对，由题意，再结合α∥β⇒n⊥α⇒n⊥m，③对，故选B.答案：B3．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β()A．不存在B．有且只有一对C ．有且只有两对D ．有无数对解析：过直线a 的平面α有无数个，当平面α与直线b 平行时，两直线的公垂线与b 确定的平面β⊥α，当平面α与b 相交时，过交点作平面α的垂线与b 确定的平面β⊥α.故选D.答案：D4．如图所示，b ，c 在平面α内，a ∩c ＝B ，b ∩c ＝A ，且a ⊥b ，a ⊥c ，b ⊥c ，若C ∈a ，D ∈b (C ，D 均异于A ，B )，则△ACD 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：因为a ⊥b ，b ⊥c ，a ∩c ＝B ，所以b ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AC ，故△ACD 为直角三角形．答案：B5．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为( )A.12 B ．1C.32 D ．2解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可以得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋(2)2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt△DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66.由面积相等得66×x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22x ，得x ＝12. 答案：A6．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S —ABC 的体积为( ) A.33B.233C.433D.533解析：如图所示，由题意知，在棱锥S —ABC 中，△SAC ，△SBC 都是等腰直角三角形，其中AB ＝2，SC ＝4，SA ＝AC ＝SB ＝BC ＝2 2.取SC 的中点D ，易证SC 垂直于面ABD ，因此棱锥S —ABC 的体积为两个棱锥S —ABD 和C —ABD 的体积和，所以棱锥S —ABC 的体积V ＝13SC ·S △ADB ＝13×4×3＝43 3.答案：C二、填空题7．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为________．解析：设BD 与AC 交于点O ，连接D 1O ，∵BB 1∥DD 1，∴DD 1与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1成的角．∵AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，DD 1∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面DD 1B ，平面DD 1B ∩平面ACD 1＝OD 1，∴DD 1在平面ACD 1内的射影落在OD 1上，故∠DD 1O 为直线DD 1与平面ACD 1所成的角，设正方体的棱长为1，则DD 1＝1，DO ＝22，D 1O ＝62，∴cos ∠DD 1O ＝DD 1D 1O ＝63， ∴BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为63. 答案：638．假设平面α∩平面β＝EF ，AB ⊥α，CD ⊥β，垂足分别为B ，D ，如果增加一个条件，就能推出BD ⊥EF ，现有下面四个条件：①AC ⊥α；②AC 与α，β所成的角相等；③AC 与BD 在β内的射影在同一条直线上；④AC ∥EF .其中能成为增加条件的是________．(把你认为正确的条件序号都填上)解析：如果AB 与CD 在一个平面内，可以推出EF 垂直于该平面，又BD 在该平面内，所以BD ⊥EF .故要证BD ⊥EF ，只需AB ，CD 在一个平面内即可，只有①③能保证这一条件．答案：①③9．如图，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上．点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．解析：点P 到直线CC 1的距离等于点P 在面ABCD 上的射影到点C 的距离，点P 在面ABCD 内的射影落在线段DE 上设为P ′，问题等价求为P ′C 的最小值，当P ′C ⊥DE 时，P ′C 的长度最小，此时P ′C ＝2×122＋1＝255. 答案：255三、解答题10．(2014·湖北卷)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，DD 1，BB 1，A 1B 1，A 1D 1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.解：(1)连接AD1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN ⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，P ，Q 分别为线段AB ，CD 的中点，EP ⊥平面ABCD .(1)求证：DP ⊥平面EPC .(1)问在EP 上是否存在点F 使平面AFD ⊥平面BFC ？若存在，求出FP AP 的值．解：(1)因为EP ⊥平面ABCD ，所以EP ⊥DP ，又四边形ABCD 为矩形，AB ＝2BC ，P ，Q 为AB ，CD 的中点，所以PQ ⊥DC ，且PQ ＝12DC ，所以DP ⊥PC .因为EP ∩PC ＝P ，所以DP ⊥平面EPC .(2)如图，假设存在F 使平面AFD ⊥平面BFC ，因为AD ∥BC ，AD ⊄平面BFC ，BC ⊂平面BFC ，所以AD ∥平面BFC ，所以AD 平行于平面AFD 与平面BFC 的交线l .因为EP ⊥平面ABCD ，所以EP⊥AD，而AD⊥AB，AB∩EP＝P，所以AD⊥平面F AB，所以l⊥平面F AB，所以∠AFB为平面AFD与平面BFC所成二面角的平面角．因为P是AB的中点，且FP⊥AB，所以当∠AFB＝90°时，FP＝AP，所以当FP＝AP，即FPAP＝1时，平面AFD⊥平面BFC.1．如右图，在三棱锥P—ABC中，点E，F分别是棱PC，AC的中点．(1)求证：P A∥平面BEF；(2)若平面P AB⊥平面ABC，PB⊥BC，求证：BC⊥P A.解：(1)在△P AC中，E、F分别是PC、AC的中点，所以P A∥EF，又P A⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，所以P A∥平面BEF.(2)在平面P AB内过点P作PD⊥AB，垂足为D.因为平面P AB⊥平面ABC，平面P AB∩平面ABC＝AB，PD⊂平面P AB，所以PD⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以PD⊥BC，又PB⊥BC，PD∩PB＝P，PD⊂平面P AB，PB⊂平面P AB，所以BC⊥平面P AB，又P A⊂平面P AB，所以BC⊥P A.2．(2014·广东卷)如图所示，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，EF∥CD，交PD于点E.(1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D—AF—E的余弦值．解：(1)证明：PD⊥平面ABCD，PD⊂面PCD，∴平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，AD ⊂平面ABCD ，AD ⊥CD ，∴AD ⊥平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，∴CF ⊥AD ，又AF ⊥PC ，∴CF ⊥AF ， AD ，AF ⊂平面ADF ，AD ∩AF ＝A ，∴CF ⊥平面ADF .(2)解法1：过E 作EG ∥CF 交DF 于G ，∵CF ⊥平面ADF ， ∴EG ⊥平面ADF ，过G 作GH ⊥AF 于H ，连EH ，则∠EHG 为二面角D —AF —E 的平面角，设CD ＝2，∵∠DPC ＝30°，∴∠CDF ＝30°，从而CF ＝12CD ＝1，CP ＝4，∵EF ∥ DC ，∴DE DP ＝CF CP ，即DE 23＝122， ∴DE ＝32，还易求得EF ＝32，DF ＝3，从而EG ＝DE ·EF DF ＝32·323＝34，易得AE ＝192，AF ＝7，EF ＝32，∴EH ＝AE ·EF AF ＝192·327＝31947， 故HG ＝(31947)2－(34)2＝6347， ∴cos ∠EHG ＝GH EH ＝6347·47319＝25719. 解法2：分别以DP ，DC ，DA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设DC ＝2，则A (0,0,2)，C (0,2,0)，P (23，0,0)，设CF→＝λCP →，则F (23λ，2－2λ，0)，DF →⊥CF →，可得λ＝14，从而F (32，32，0)，易得E (32，0,0)，取面ADF 的一个法向量为n 1＝12CP →＝(3，－1,0)，设面AEF 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，利用n 2·AE →＝0，且n 2·AF→＝0，得n 2可以是(4,0，3)，从而所求二面角的余弦值为n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝432×19＝25719.。
直线与平面平行及垂直的判断及性质习题及答案
1直线、平面平行的判定及其性质(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1.给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为()A.3B.2C.1D.02.设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是()A.若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βB.若m∥α，m∥n，则n∥αC.若m∥α，n∥α，则m∥nD.若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β3.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB.若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC.若α⊥β，m⊥β，则m∥αD.若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β4.平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()A.AB∥CDB.AD∥CBC.AB与CD相交D.A，B，C，D四点共面5.设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()A.m∥β且l1∥αB.m∥l1且n∥l2C.m∥β且n∥βD.m∥β且n∥l2二、填空题(每小题6分，共24分)6.过长方体ABCD—A1B1C1D1的任意两条棱的中点作直线，其中能够与平面ACC1A1平行的直线有条.7.已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P 的直线n与α、β分别交于B、D且P A＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为.8.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a 3，过 P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝ .9.如图所示，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件 时，有MN ∥平面B 1BDD 1.三、解答题(共41分)10.(13分)如图所示，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，求证：AE ∥平面DCF .11.(14分)如图所示，已知P 、Q 是单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1BA 和面ABCD 的中心.求证：PQ ∥平面BCC 1B 1.12.(14分)如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，E 1，F 分别是棱AD ，AA 1，AB 的中点.求证：直线EE 1∥平面FCC 1.答案1.C2.D3.D4.D5.B6. 127. 24或2458.223a 9. M ∈线段HF10. 证明 方法一 由于AB ∥CD ，BE ∥CF ，故平面ABE ∥平面DCF .而直线AE 在平面ABE 内，根据线面平行的定义，知AE ∥平面DCF .方法二 如图所示，过点E 作直线EG ∥BC 交CF 于点G ，连接DG ，由于BE ∥CF ，故四边形BEGC 为平行四边形，从而EG 綊BC .又四边形ABCD 为矩形，故AD 綊BC .所以AD 綊EG .所以四边形AEGD 为平行四边形，所以AE ∥DG .由线面平行的判定定理，得AE ∥平面DCF .11. 证明 方法一 如图①取B 1B 中点E ，BC 中点F ，连接PE 、QF 、EF ，∵△A 1B 1B 中，P 、E 分别是A 1B 、B 1B 的中点，∴PE 綊12A 1B 1. 同理QF 綊12AB . 又A 1B 1綊AB ，∴PE 綊QF .∴四边形PEFQ 是平行四边形.∴PQ ∥EF .又PQ ⊄平面BCC 1B 1，EF ⊂平面BCC 1B 1，∴PQ ∥平面BCC 1B 1.方法二 如图②，连接AB 1，B 1C ，∵△AB 1C 中，P 、Q 分别是AB 1、AC 的中点，∴PQ ∥B 1C .又PQ ⊄平面BCC 1B 1，B 1C ⊂平面BCC 1B 1，∴PQ ∥平面BCC 1B 1.12. 证明在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，FF1，则四边形FCC1F1是平行四边形.因为AB＝2CD，且AB∥CD，所以CD綊A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1∥A1D，又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点，所EE1∥A1D，所以CF1∥EE1，又为EE1⊄平面FCC1，CF1⊂平面FCC1，所以直线EE1∥平面FCC1.2直线、平面垂直的判定及其性质(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中不正确的是（）A.若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB.若m∥n，m⊥α，则n⊥αC.若m⊥α，m⊥β，则α∥βD.若m⊥α，m⊂β，则α⊥β2.若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.A.0个B.1个C.2个D.3个其中正确的命题有()3.已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，那么使m∥α成立的一个充分条件是()A.m∥β，α∥βB.m⊥β，α⊥βC.m⊥n，n⊥α，m⊄αD.m上有不同的两个点到α的距离相等4.已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.其中真命题的序号是()A.①④B.②③C.②④D.①③5.设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中正确的是()A.若a∥α，b∥α，则a∥bB.若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βC.若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βD.若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b二、填空题(每小题6分，共24分)6.已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，l⊄α，则l⊥α.其中正确命题的序号是.7.设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.上面命题中，真命题的序号为(写出所有真命题的序号).8．如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．9．a、b表示直线，α、β、γ表示平面．①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；②若a⊂α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a⊥b；④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线；⑤若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β.上述五个命题中，正确命题的序号是________．三、解答题(共41分)10.(13分)若P为△ABC所在平面外一点，且P A⊥平面ABC，平面P AC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.11．(14分)(2010·江苏)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.(1)求证：PC⊥BC；(2)求点A到平面PBC的距离．12.(14分)(2010·南京二模)如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝BC＝1，A1B＝ 2.(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；(2)如果D为AB中点，求证：BC1∥平面A1CD.答案1.A2.C3.C4.B5.C6.②③7. ①②8.①②③9.②⑤.10. 证明∵平面P AC⊥平面PBC，作AD⊥PC垂足为D，根据平面与平面垂直的性质定理知：AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，则BC⊥AD，又P A⊥平面ABC，则BC⊥P A，∴BC⊥平面P AC.∴BC⊥AC.11. (1)证明∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD.又PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD.而PC⊂平面PCD，∴PC⊥BC.(2)解如图，过点A作BC的平行线交CD的延长线于E，过点E作PC的垂线，垂足为F，则有AE∥平面PBC，∴点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离．∵BC⊥平面PCD，∴EF⊥BC.又EF⊥PC，BC∩PC＝C，∴EF⊥平面PBC.EF即为E到平面PBC的距离．又∵AE∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCE为平行四边形．∴CE＝AB＝2.PD＝CD＝1，PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PD⊥CD，∠PCD＝45°.∴EF＝2，即点A到平面PBC的距离为 2.12. 证明(1)因为∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝1，所以△A1AC为等边三角形.所以A1C＝1.因为BC＝1，A1B＝2，所以A1C2＋BC2＝A1B2.所以∠A1CB＝90°，即A1C⊥BC.因为BC⊥A1A，BC⊥A1C，AA1∩A1C＝A1，所以BC⊥平面ACC1A1.因为BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面ACC1A1.(2)连接AC1交A1C于点O，连接OD.因为ACC1A1为平行四边形，所以O为AC1的中点.因为D为AB的中点，所以OD∥BC1.因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.。
人教版数学高一课时作业 直线与平面垂直的判定
2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定一、选择题1．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在2．线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为() A．30° B．45°C．60° D．120°3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC.BD的关系是()A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如图所示，P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数是()A．4 B．3 C．2 D．15．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点，现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.那么，在四面体A－EFH中必有()A．HG⊥△AEF所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．AH⊥△EFH所在平面6．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.63 B.265 C.155 D.105二、填空题7．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝________.9．已知△ABC的三条边长分别是5,12,13，点P到A，B，C三点的距离都等于7，则点P 到平面ABC的距离为________．10．如图所示，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．三、解答题11．如图，AB为⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN ⊥平面PBM .(2)若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB .12．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面P AB .答案精析1．B 2.C 3.C4．A [∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥AC ，P A ⊥AB ，P A ⊥BC .又∵BC ⊥AC ，AC ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC ，∴直角三角形有△P AB.△P AC.△ABC.△PBC .]5．D [∵AD ⊥DF ，AB ⊥BE ，∴AH ⊥HF ，AH ⊥HE .又∵EH ∩FH ＝H ，∴AH ⊥面EFH .] 6．D [如下图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，连接A 1C 1，与B 1D 1交于O 点，连接OB ，由已知A 1B 1C 1D 1是正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1.又∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，OC 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴OC 1⊥BB 1.而BB 1∩B 1D 1＝B 1， ∴OC 1⊥平面BB 1D 1D .∴OB 是BC 1在平面BB 1D 1D 内的射影． ∴∠C 1BO 是BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角． 在正方形A 1B 1C 1D 1中， OC 1＝12A 1C 1＝12×22＋22＝ 2.在矩形BB 1C 1C 中，BC 1＝BC 2＋CC 21＝4＋1＝ 5. ∴sin ∠C 1BO ＝OC 1BC 1＝25＝105.]7．A 1C 1⊥B 1C 1解析 如图所示，连接B 1C .由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C .因此，要得AB 1⊥BC 1，则需BC 1⊥平面AB 1C ，即只需AC ⊥BC 1即可．由直三棱柱可知，只要满足AC ⊥BC 即可．而A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC ，故只要满足A 1C 1⊥B 1C 1即可．8．90°解析 ∵B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，MN ⊂平面ABB 1A 1，∴B 1C 1⊥MN .又∵MN ⊥B 1M ，B 1M ∩B 1C 1＝B 1，∴MN ⊥平面C 1B 1M ，∴MN ⊥C 1M ，即∠C 1MN ＝90°.9.332解析 由点P 到△ABC 三个顶点的距离相等可知，P 在面ABC 上的投影为△ABC 的外心． 又∵△ABC 为直角三角形，∴其外心是斜边的中点，即P 在面ABC 上的投影是△ABC 斜边的中点D ，如图．∴点P 到平面ABC 的距离为PD ＝72－⎝⎛⎭⎫1322＝32 3.10．①②③解析 ∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .又∵AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，∴AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB .又∵AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ，∴PB ⊥平面AEF ，∴PB ⊥EF .故①②③正确． 11．证明 (1)∵AB 为⊙O 的直径， ∴AM ⊥BM .又P A ⊥平面ABM ，∴P A ⊥BM . 又∵P A ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面P AM . 又AN ⊂平面P AM ，∴BM ⊥AN . 又AN ⊥PM ，且BM ∩PM ＝M ， ∴AN ⊥平面PBM .(2)由(1)知AN ⊥平面PBM ， PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB . 又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ， ∴PB ⊥平面ANQ .又NQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥NQ .12．(1)证明 ∵AB ⊥平面P AD ，PH ⊂平面P AD ， ∴AB ⊥PH .又∵PH ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ， ∴PH ⊥平面ABCD .(2)解 ∵PH ⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点，PH ＝1，∴点E 到平面ABCD 的距离h ＝12PH＝12. 又∵AB ∥CD ，AB ⊥AD ，∴AD ⊥CD ，∴S △BFC ＝12·CF ·AD ＝12×1×2＝22，∴V E －BCF ＝13S △BCF ·h ＝13×22×12＝212.(3)证明 如图，取P A 的中点G ，连接GE ，DG .∵DA ＝DP ，∴DG ⊥P A .∵AB ⊥平面P AD ，DG ⊂平面P AD ，∴AB ⊥DG . 又∵AB ∩P A ＝A ，∴DG ⊥平面P AB .∵GE ∥AB ，GE ＝12AB ，DF ∥AB ，DF ＝12AB ，∴GE ∥FD ，GE ＝FD ， ∴四边形DFEG 为平行四边形， ∴DG ∥EF ，∴EF ⊥平面P AB .。
【高二数学试题精选】直线与平面垂直的性质课时作业(附答案)
直线与平面垂直的性质课时作业（附答案）
5 时提升作业(十)
直线与平面垂直的性质
一、选择题(每小题3分，共18分)
1已知直线l1，l2与平面α，有下列说法
①若l1∥α，l1∥l2，则l2∥α；②l1 α，l2∩α=A，则l1与l2为异面直线；③若l1⊥α，l2⊥α，则l1∥l2；④若l1⊥l2，l1∥α，则l2∥α
其中正确的个数有( )
A0个B1个c2个D3个
【解析】选B①错，因为l2还可能在α内②错，当A∈l1时，l1∩l2=A③对，是线面垂直的性质定理④错，l2与α的位置关系不确定
2(A1B1c1的体积
【解析】(1)如图，
取AB的中点，连接c，A1，A1B
因为cA=cB，所以c⊥AB
由于AB=AA1，∠BAA1=60°，故△AA1B为等边三角形，
所以A1⊥AB
因为c∩A1=，所以AB⊥平面A1c
又A1c 平面A1c，故AB⊥A1c
(2)由题设知△ABc与△AA1B都是边长为2的等边三角形，
所以c=A1=
又A1c= ，则A1c2=c2+ ，故A1⊥c
因为c∩AB=，所以A1⊥平面ABc，所以A1为三棱柱ABc-A1B1c1的高
又△ABc的面积S△ABc= ，故三棱柱ABc-A1B1c1的体积。
2020版高中数学课时作业15直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质新人教A版必修2
课时作业15 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质基础巩固1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行 D.不确定解析：因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m，故选C.答案：C2．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α；③若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.其中正确命题的个数为 ( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，m还可能在α内或m∥α或m与α斜交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.答案：B3．如图1，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是( )图1A ．PE ⊥ACB ．PE ⊥BCC ．平面PBE ⊥平面ABCD D ．平面PBE ⊥平面PAD解析：因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD .又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PE ⊥平面ABCD ，所以PE ⊥AC ，PE ⊥BC ，所以A 、B 成立；又PE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面ABCD ，所以C 成立；若平面PBE ⊥平面PAD ，则AD ⊥平面PBE ，必有AD ⊥BE ，此关系不一定成立，故选D.答案：D4．如图2，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°，F 是AC 的中点，E 是PC 上的点，且EF ⊥BC ，则PE EC＝________．图2解析：在三棱锥P －ABC 中， 因为PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°， 所以AB ⊥平面APC .因为EF ⊂平面PAC ，所以EF ⊥AB ， 因为EF ⊥BC ，BC ∩AB ＝B ， 所以EF ⊥底面ABC ，所以PA ∥EF ， 因为F 是AC 的中点，E 是PC 上的点， 所以E 是PC 的中点，所以PE EC＝1. 答案：15．若α⊥β，α∩β＝l ，点P ∈α，P ∉l ，则下列命题中正确的为________．(只填序号)①过P 垂直于l 的平面垂直于β； ②过P 垂直于l 的直线垂直于β； ③过P 垂直于α的直线平行于β； ④过P 垂直于β的直线在α内．解析：由α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，P∉l知：在①中，由面面垂直的判定定理得：过P垂直于l的平面垂直于β，故①正确；在②中，过P垂直于l的直线有可能垂直于α，但不垂直于β，故②错误；在③中，由线面平行的判定定理得过P垂直于α的直线平行于β，故③正确；在④中，由面面垂直的性质定理得过P垂直于β的直线在α内，故④正确．答案：①③④能力提升1．如图3，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在( )图3A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上 D.△ABC的内部解析：因为BC1⊥AC，AB⊥AC，BC1∩AB＝B，所以AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABC1.又平面ABC∩平面ABC1＝AB，所以过点C1再作C1H⊥平面ABC，则H∈AB，即点C1在平面ABC上的射影H在直线AB上．答案：A2．如图4，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )图4A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FH解析：因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.答案：B图53．如图5所示，三棱锥PABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是( )A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点解析：∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．答案：D4．如图6，四面体PABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________．图6解析：取AB的中点E，连接PE，EC(图略)．∵∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6， ∴AB ＝10，∴CE ＝5.∵PA ＝PB ＝13，E 是AB 的中点， ∴PE ⊥AB ，PE ＝12. ∵平面PAB ⊥平面ABC ， 平面PAB ∩平面ABC ＝AB ， ∴PE ⊥平面ABC . ∵CE ⊂平面ABC ， ∴PE ⊥CE .在Rt △PEC 中，PC ＝PE 2＋CE 2＝13. 答案：135．(2019年湖北武汉模拟)如图7，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将△ADE ，△CDF 分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于点A ′.图7(1)求证：平面A ′DE ⊥平面A ′EF ； (2)求三棱锥A ′DEF 的体积．解：(1)证明：折叠前，AD ⊥AE ，CD ⊥CF . 折叠后，A ′D ⊥A ′E ，A ′D ⊥A ′F .又∵A ′E ∩A ′F ＝A ′，∴A ′D ⊥平面A ′EF . ∵A ′D ⊂平面A ′DE ，∴平面A ′DE ⊥平面A ′EF . (2)∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点， ∴AE ＝BE ＝BF ＝1，EF ＝ 2. 折叠后，A ′E ＝A ′F ＝1，∴A ′E 2＋A ′F 2＝EF 2，∴A ′E ⊥A ′F ， ∴S △A ′EF ＝12A ′E ×A ′F ＝12×1×1＝12.由(1)知，A ′D ⊥平面A ′EF ，∴V A ′DEF ＝V D A ′EF ＝13S △A ′EF ·A ′D＝13×12×2＝13.图86．在斜三棱柱A 1B 1C 1ABC (侧棱与底面不垂直)中，底面是等腰三角形，AB ＝AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC .若D 是BC 的中点．(1)求证：AD ⊥CC 1；(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM ＝MA 1，求证：截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C .证明： (1)因为AB ＝AC ，D 是BC 的中点， 所以AD ⊥BC ，因为底面ABC ⊥侧面BB 1C 1C ， 所以AD ⊥侧面BB 1C 1C ，所以AD ⊥CC 1. (2)如图9，取BC 1的中点E ， 连接ME ，DE . 因为D 为BC 的中点，图9所以DE ∥CC 1，DE ＝12CC 1.因为AA 1∥CC 1，AA 1＝CC 1，且M 为AA 1的中点，所以AM ∥CC 1且AM ＝12CC 1.所以DE ∥AM ，DE ＝AM ，所以四边形ADEM 是平行四边形，所以EM ∥AD . 因为AD ⊥平面BB 1C 1C ， 所以EM ⊥平面BB 1C 1C . 又EM ⊂截面MBC 1，所以截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C .拓展要求如图10①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图10②中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1BCDE .图10(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1BCDE 的体积为362，求a 的值．解：(1)证明：在图10①中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC .即在图10②中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ， 从而BE ⊥平面A 1OC ，又易得CD ∥BE ， 所以CD ⊥平面A 1OC .(2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)得A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE ， 即A 1O 是四棱锥A 1BCDE 的高．由图①知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2从而四棱锥A 1BCDE 的体积为V ＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3，由26a 3＝362，得a ＝6.。
高中数学必修：直线与平面垂直的判定课后课时精练
讨论环节
教师可以组织学生进行课堂讨论，针对作业中的疑难问题进行深入探讨，以加 深学生的理解和记忆。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
下次课程内容预告
预告内容
下次课程将学习直线与平面平行的判定定理及其性质，学生应提前预习相关内容 。
预习要求
学生应了解直线与平面平行的基本概念和性质，尝试推导判定定理，并思考如何 将其应用于实际问题中。
简答题规范答题步骤
明确简答题的答题步骤和规范 ，如先写出已知条件、再写出 求证内容、最后给出证明过程 等。
通过练习典型简答题，逐步熟 悉和掌握规范的答题步骤和表 达方式。
强调证明过程的严谨性和逻辑 性，避免出现漏洞或矛盾。
知识点综合运用
通过综合运用直线与 平面垂直的相关知识 点，解决复杂的数学 问题。
高中数学必修：直线与平 面垂直的判定课后课时精
练
汇报人：XX 20XX-01-30
目录
• 课程回顾与重点梳理 • 基础知识巩固练习 • 拓展提高：难度递进式题目解析 • 实战演练：模拟考试环境进行自测 • 课后作业布置与要求
01
课程回顾与重点梳理
直线与平面垂直定义及性质
定义
如果直线$l$与平面$alpha$内的 任意一条直线都垂直，我们就说 直线$l$与平面$alpha$互相垂直 。
易错点二
易错点三
在证明过程中，逻辑不严密，跳步或 者漏写关键步骤，导致证明不完整或 者错误。
在运用判定定理时，忽略了定理中的 关键条件，如“相交直线”、“平行 直线”等。
02
基础知识巩固练习
填空题专项训练
熟练掌握直线与平面垂直的定义和性质，能 够准确判断直线与平面的位置关系。
高中数学人教版必修2课时达标检测(十五) 直线与平面、平面与平面垂直的性质(习题课) Word版含解析
课时达标检测（十五）直线与平面、平面与平面垂直的性质（习题课）一、选择题．已知，，为两两垂直的三条异面直线，过作平面α与直线垂直，则直线与平面α的关系是( )．∥α．∥α或⊂α．⊂α或与α不平行．⊂α答案：.如图所示，在正四面体-中，，，分别是，，的中点，下面四个结论不成立的是( ) ．∥平面．⊥平面．平面⊥平面．平面⊥平面答案：．已知直线，，平面α，β，给出下列命题：①若⊥α，⊥β，则α⊥β；②若∥α，∥β，则α∥β；③若⊥α，∥β，则α⊥β；④若异面直线，互相垂直，则存在过的平面与垂直．其中正确的命题是( )．②③．①③．②④．③④答案：.如图，在△中，∠＝°，直线过点且垂直于平面，动点∈，当点逐渐远离点时，∠的大小( )．变大．变小．不变．有时变大有时变小答案：.如图，在四面体-中，若＝，＝，是的中点，则下面结论正确的是( )．平面⊥平面．平面⊥平面．平面⊥平面，且平面⊥平面．平面⊥平面，且平面⊥平面答案：二、填空题．α，β是两个不同的平面，，是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①⊥；②α⊥β；③⊥β；④⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：.答案：若①③④，则②(或若②③④，则①)．如图所示，沿直角三角形的中位线将平面折起，使得平面⊥平面，得到四棱锥-.则平面与平面的关系是．答案：平面⊥平面.如图所示，平面⊥平面，∠＝°，＝，△是正三角形，则二面角--的平面角的正切值为．答案：三、解答题.如图几何体中，四边形为矩形，＝＝，＝＝＝＝，＝，∥，为的中点，为线段上的一点，且＝.()证明：∥平面；()证明：平面⊥平面；()求三棱锥-的体积.解：()证明：连接交于点，则为的中点，连接，因为点为的中点，所以为△的中位线，所以∥.∵⊄平面，⊂平面，∴∥平面.()证明：连接.∵＝＝＝，为的中点，∴⊥.∵＝，∴＝.∵∥，四边形为矩形，∴∥，又＝，∴为平行四边形，∴＝＝，∴△为正三角形，∴⊥.∵∩＝，∴⊥平面.。
高中数学 课时达标检测(十五)直线与平面、平面与平面垂直的性质(习题课)新人教A版必修2
课时达标检测（十五）直线与平面、平面与平面垂直的性质（习题课）一、选择题1．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n 与平面α的关系是( )A．n∥αB．n∥α或n⊂αC．n⊂α或n与α不平行D．n⊂α答案：A2.如图所示，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC答案：C3．已知直线m，n，平面α，β，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直．其中正确的命题是( )A．②③B．①③C．②④D．③④答案：D4.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小( )A．变大B．变小C．不变D．有时变大有时变小答案：C5.如图，在四面体DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下面结论正确的是( )A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE答案：C二、填空题6．α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.答案：若①③④，则②(或若②③④，则①)7．如图所示，沿直角三角形ABC 的中位线DE 将平面ADE 折起，使得平面ADE ⊥平面BCDE ，得到四棱锥A BCDE .则平面ABC 与平面ACD 的关系是________．答案：平面ABC ⊥平面ACD8.如图所示，平面ABC ⊥平面ABD ，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，△ABD是正三角形，则二面角C BD A 的平面角的正切值为________． 答案：233三、解答题9.如图几何体中，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3BC ＝6，BF ＝CF ＝AE ＝DE ＝2，EF ＝4，EF ∥AB ，G 为FC 的中点，M 为线段CD 上的一点，且CM ＝2.(1)证明：AF ∥平面BDG ；(2)证明：平面BGM ⊥平面BFC ；(3)求三棱锥F BMC 的体积V .解：(1)证明：连接AC 交BD 于O 点，则O 为AC 的中点，连接OG ，因为点G 为CF 的中点，所以OG 为△AFC 的中位线，所以OG ∥AF .∵AF ⊄平面BDG ，OG ⊂平面BDG ，∴AF ∥平面BDG .(2)证明：连接FM .∵BF ＝CF ＝BC ＝2，G 为CF 的中点，∴BG ⊥CF .∵CM ＝2，∴DM ＝4.∵EF ∥AB ，四边形ABCD 为矩形，∴EF ∥DM ，又EF ＝4，∴EFMD 为平行四边形，∴FM ＝ED ＝2，∴△FCM 为正三角形，∴MG ⊥CF .∵MG ∩BG ＝G ，∴CF ⊥平面BGM .∵CF ⊂平面BFC ，∴平面BGM ⊥平面BFC .(3)V F BMC ＝V F BMG ＋V C BMG ＝13×S △BMG ×FC ＝13×S △BMG ×2， ∵GM ＝BG ＝3，BM ＝22，∴S △BMG ＝12×22×1＝2， ∴V F BMC ＝23×S △BMG ＝223.10.如图，AE C 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为A C 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，FB ＝5a .(1)证明：EB ⊥FD ；(2)求点B 到平面FED 的距离．解：(1)证明：∵FC ⊥平面BED ，BE ⊂平面BED ，∴EB ⊥FC .又点E 为A C 的中点，B 为直径AC 的中点，∴EB ⊥BC .又∵FC ∩BC ＝C ，∴EB ⊥平面FBD .∵FD ⊂平面FBD ，∴EB ⊥FD .(2)如图，在平面BEC 内过C 作CH ⊥ED ，连接FH .则由FC ⊥平面BED 知，ED ⊥平面FCH .∵Rt △DHC ∽Rt △DBE ，∴DC DE ＝CH BE.在Rt △DBE 中，DE ＝BE 2＋BD 2＝BE 2＋BC 2＝5a ，∴CH ＝DC ·BE DE ＝a ·a 5a ＝55a .∵FB ＝5a ，BC ＝a ，∴FC ＝2a .在平面FCH 内过C 作CK ⊥FH ，则CK ⊥平面FED . ∵FH 2＝FC 2＋CH 2＝4a 2＋a 25＝215a 2，∴FH ＝1055a .∴CK ＝FC ·CH FH ＝2a ·55a1055a＝22121a .∵C 是BD 的中点，∴B 到平面FED 的距离为2CK ＝42121a .。
2021_2022学年高中数学课时分层作业15直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质(含解析)新人
课时分层作业(十五) 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质(建议用时：45分钟)[根底达标练]一、选择题1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，那么这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行B [由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．] 2．m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出以下命题：①⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥αm ⊥n⇒n ∥α；②⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥βn ⊥β⇒m ∥n ；③⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αm ⊥β⇒α∥β；④⎩⎪⎨⎪⎧m ⊂αn ⊂βα∥β⇒m ∥n .其中正确命题的序号是( )A ．②③ B．③④ C ．①② D．①②③④A [①中n ，α可能平行或n 在平面α内；②③正确；④两直线m ，n 平行或异面，应选A.]3．如下图，设平面α∩平面β＝PQ ，EG ⊥平面α，FH ⊥平面α，垂足分别为G ，H .为使PQ ⊥GH ，那么需增加的一个条件是( )A ．EF ⊥平面αB ．EF ⊥平面βC ．PQ ⊥GED ．PQ ⊥FHB [因为EG ⊥平面α，PQ ⊂平面α，所以EG ⊥PQ .假设EF ⊥平面β，那么由PQ ⊂平面β，得EF ⊥PQ .又EG 与EF 为相交直线，所以PQ ⊥平面EFHG ，所以PQ ⊥GH ，应选B.]4．平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，那么以下四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥mB ．AC ⊥mC．AB∥βD．AC⊥βD[如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m，AB∥l⇒AB∥β. 应选D.]5．平面α、β、γ，那么以下命题中正确的选项是( )A．α⊥β，β⊥γ，那么α∥γB．α∥β，β⊥γ，那么α⊥γC．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，那么a⊥bD．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，那么b⊥αB[A中α，γ可以相交； C中如图：a与b不一定垂直； D中b仅垂直于α的一条直线a，不能判定b⊥α.]二、填空题6．AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如下图，且AF＝DE，AD＝6，那么EF＝________.6 [因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6.]7．直线m⊂平面α，直线n⊂平面α，m∩n＝M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，那么直线a，b的位置关系是________．a∥b[因为直线a⊥m，a⊥n，直线m⊂平面α，直线n⊂平面α，m∩n＝M，所以a⊥α，同理可证直线b⊥α.所以a∥b.]8．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，那么AD与平面BCD所成的角是________．45°[如图，过A作AO⊥BD于O点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，那么∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD ＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.]三、解答题9．如图，PA⊥正方形ABCD所在平面，经过A且垂直于PC的平面分别交PB，PC，PD于E，F，G，求证：AE⊥PB.[证明] 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC.又ABCD是正方形，所以AB⊥BC.因为AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB.因为AE⊂面PAB，所以BC⊥AE.由PC⊥平面AEFG，得PC⊥AE，因为PC∩BC＝C，所以AE⊥平面PBC.因为PB⊂平面PBC，所以AE⊥PB.10．如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，求CD的长．[解] 连接BC. ∵α⊥β，α∩β＝AB，BD⊥AB，∴BD⊥平面α.∵BC⊂α，∴ BD⊥BC，在Rt△BAC中，BC＝AC2＋AB2＝32＋42＝5，在Rt△DBC中，CD＝BC2＋BD2＝52＋122＝13，∴CD长为13 cm.[能力提升练]1．如下图，三棱锥PABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，那么动点C运动形成的图形是( )A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点D[∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC⊂平面PAC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆，除去A和B两点，应选D.]2．如下图，两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．假设CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，那么线段MN的长等于________．6 [取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝ 2. 因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，所以MN＝MG2＋NG2＝ 6.]。
高中数学必修2课后限时训练15 直线与平面垂直的判定
高中数学必修2课后限时训练15直线与平面垂直的判定一、选择题1．下列命题中，正确的有()①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．A．2个B．3个C．4个D．5个答案：C解析：②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立．2．在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的面的个数是()A．1 B．2C．3 D．6答案：B解析：仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直．3．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于()A．40° B．50°C．90° D．150°答案：B解析：根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.4．给出下列三个命题：①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直．其中正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3答案：C解析：①中三条直线不一定存在两条直线相交，因此直线不一定与平面垂直；②中直线与平面所成角必为直角，因此直线与平面垂直；③根据射影定义知正确．故选C.5．如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直答案：C解析：因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC，又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD 的位置关系是垂直但不相交．6．(09·四川文)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论正确的是()A．PB⊥ADB．平面P AB⊥平面PBCC．直线BC∥平面P AED．直线PD与平面ABC所成的角为45°答案：D解析：设AB长为1，由P A＝2AB得P A＝2，又ABCDEF 是正六边形，所以AD 长也为2，又P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥AD ，所以△P AD 为直角三角形．∵P A ＝AD ，∴∠PDA ＝45°，∴PD 与平面ABC 所成的角为45°，故选D.二、填空题7．空间四边形ABCD 的四条边相等，则对角线AC 与BD 的位置关系为________．答案：垂直解析：取AC 中点E ，连BE 、DE .由AB ＝BC 得AC ⊥BE .同理AC ⊥DE ，所以AC ⊥面BED .因此，AC ⊥BD .8．已知P A 垂直于平行四边形ABCD 所在的平面，若PC ⊥BD ，则平行四边形ABCD 一定是________．答案：菱形解析：由于P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD .又PC ⊥BD ，且PC ⊂平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，PC ∩P A ＝P ，所以BD ⊥平面P AC .又AC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥AC .又四边形ABCD 是平行四边形，所以四边形ABCD 是菱形．9．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为________．答案：π3解析：设三棱柱的高为h ，则34×(3)2×h ＝94，解得h ＝ 3.设三棱柱中底面ABC 的中心为Q ，则PQ ＝3，AQ ＝23×32×3＝1.在Rt △APQ 中，∠P AQ 为直线P A 与平面ABC 所成的角，且tan ∠P AQ ＝3，所以∠P AQ ＝π3. 三、解答题10．如图所示，已知P A 垂直于⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过点A 作AE ⊥PC 于点E .求证：AE ⊥平面PBC .证明：∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥BC .又∵AB 是⊙O 的直径，∴BC ⊥AC .而P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC .又∵AE ⊂平面P AC ，∴BC ⊥AE .又∵PC ⊥AE ，且PC ∩BC ＝C ，∴AE ⊥平面PBC .[点评] 利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤是：①在这个平面内找两条直线，使它和已知直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交直线；③根据判定定理得出结论．11．S 为直角△ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC .D 为斜边AC 的中点，(1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若直角边BA ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC .证明：(1)D 是Rt △ABC 斜边AC 的中点⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫⇒BD ＝AD SB ＝SA SD ＝SD ⇒△SDB ≌△SDA ⇒∠SDA ＝∠SDB ⎭⎪⎬⎪⎫ SA ＝SC D 是AC 的中点⇒SD ⊥AC ⇒SD ⊥BD SD ⊥AC ，BD ∩AC ＝D ⇒SD ⊥平面ABC .⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫(2)BA ＝BCD 是AC 的中点⇒BD ⊥AC BD ⊥SD (已证)SD ∩AC ＝D ⇒BD ⊥平面SAC . 12．如图所示，在矩形ABCD 中，AB＝33，BC ＝3，沿对角线BD 将△BCD 折起，使点C 移到C ′点，且C ′点在平面ABD 上的射影O 恰在AB 上．(1)求证：BC ′⊥平面AC ′D ；(2)求直线AB 与平面BC ′D 所成角的正弦值．解析：(1)证明：∵点C ′在平面ABD 上的射影O 在AB 上，∴C ′O ⊥平面ABD ，∴C ′O ⊥DA .又∵DA ⊥AB ，AB ∩C ′O ＝O ，∴DA ⊥平面ABC ′，∴DA ⊥BC ′.又∵BC ⊥CD ，∴BC ′⊥C ′D .∵DA ∩C ′D ＝D ，∴BC ′⊥平面AC ′D .(2)如图所示，过A 作AE ⊥C ′D ，垂足为E .∵BC ′⊥平面AC ′D ，∴BC ′⊥AE .又∵BC ′∩C ′D ＝C ′，∴AE ⊥平面BC ′D .连接BE ，则BE 是AB 在平面BC ′D 上的射影，故∠ABE 就是直线AB 与平面BC ′D 所成的角．∵DA ⊥AB ，DA ⊥BC ′，∴DA ⊥平面ABC ′，∴DA ⊥AC ′. 在Rt △AC ′B 中，AC ′＝AB 2－BC 2＝3 2.在Rt △BC ′D 中，C ′D ＝CD ＝3 3. 在Rt △C ′AD 中，由面积关系，得AE ＝AC ′·AD C ′D ＝32×333＝ 6. ∴在Rt △AEB 中，sin ∠ABE ＝AE AB ＝633＝23， 即直线AB 与平面BC ′D 所成角的正弦值为23.。
高中数学-直线、平面垂直的判定及其性质练习
高中数学-直线、平面垂直的判定及其性质练习(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(·济南模拟)在空间中,l,m,n,a,b表示直线,α表示平面,则下列命题正确的是( )A.若l∥α,m⊥l,则m⊥αB.若l⊥m,m⊥n,则m∥nC.若a⊥α,a⊥b,则b∥αD.若l⊥α,l∥a,则a⊥α【解析】选D.对于A,m与α位置关系不确定,故A错,对于B,当l与m,m与n为异面垂直时,m与n可能异面或相交,故B错,对于C,也可能b⊂α,故C错,对于D,由线面垂直的定义可知正确.2.若m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是( )A.若m⊂β,α⊥β,则m⊥αB.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥βC.若m⊥β,m∥α,则α⊥βD.若α⊥γ,α⊥β,则β⊥γ【解析】选C.两平面垂直并不能得到一个平面内的任一直线都与另一平面垂直,故A为假命题;以三棱柱的侧面和侧棱为例知B为假命题;若α⊥γ,α⊥β,则β与γ相交,或β∥γ,故D为假命题;若m∥α,则α中必存在直线l与m平行,又m⊥β,所以l⊥β,故α⊥β,故选C.3.已知平面α与平面β相交,直线m⊥α,则( )A.β内必存在直线与m平行,且存在直线与m垂直B.β内不一定存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直C.β内不一定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直D.β内必存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直【解析】选C.如图,在平面β内的直线若与α,β的交线a平行,则有m与之垂直.但却不一定在β内有与m平行的直线,只有当α⊥β时才存在.【误区警示】本题易由于空间想象不全,漏掉情况而误选.4.如图,在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论不成立的是( )A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAED.平面PDE⊥平面ABC【解析】选D.因BC∥DF,DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,所以BC∥平面PDF,A成立;易证BC⊥平面PAE,BC∥DF,所以结论B,C均成立;点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心,不在中位线DE上,故结论D不成立.【加固训练】如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD.则在三棱锥A-BCD 中,下列命题正确的是( )A.AD⊥平面BCDB.AB⊥平面BCDC.平面BCD⊥平面ABCD.平面ADC⊥平面ABC【解析】选D.在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,所以BD⊥CD,又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB,又AD⊥AB,AD∩CD=D,故AB⊥平面ADC,从而平面ABC⊥平面ADC.5.(·泉州模拟)如图所示,AB是☉O的直径,VA垂直于☉O所在的平面,点C是圆周上不同于A,B的任意一点,M,N分别为VA,VC的中点,则下列结论正确的是( )A.MN∥ABB.MN与BC所成的角为45°C.OC⊥平面VACD.平面VAC⊥平面VBC【解题提示】根据题设条件逐个结论验证,作出判断.【解析】选D.对于A,MN与AB异面,故A错,对于B,可证BC⊥平面VAC,故BC⊥MN,所以所成的角为90°,因此B错;对于C,OC与AC不垂直,所以OC不可能垂直平面VAC,故C错;对于D,由于BC⊥AC,因为VA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以VA ⊥BC,因为AC∩VA=A,所以BC⊥平面VAC,BC⊂平面VBC,所以平面VAC⊥平面VBC,故D正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图所示,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是(填序号).①平面ABC⊥平面ABD;②平面ABC⊥平面BCD;③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.【解析】由AB=CB,AD=CD,E为AC中点,知AC⊥DE,AC⊥BE,又DE∩BE=E,从而AC ⊥平面BDE,故③正确.答案:③【误区警示】本题易由于只凭主观观察而不进行严格推理论证而误选.7.(·马鞍山模拟)已知不同直线m,n与不同平面α,β,给出下列三个命题:①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α,则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是个.【解析】①平行于同一平面的两直线不一定平行,所以①错误.②根据线面垂直的性质可知②正确.③根据面面垂直的性质和判断定理可知③正确,所以真命题的个数是2个.答案:28.如图所示,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,下列说法正确的是(填上所有正确的序号).①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC;②不论D折至何位置都有MN⊥AE;③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB.【解析】取AE的中点F,连接MF,NF,则MF∥DE,NF∥AB∥CE,从而平面MFN∥平面DEC,故MN∥平面DEC,①正确;又AE⊥MF,AE⊥NF,所以AE⊥平面MFN,从而AE ⊥MN,②正确;又MN与AB是异面直线,则③错误.答案:①②三、解答题(每小题10分,共20分)9. (·芜湖模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD,M,N分别是PA,BC的中点,且PD=AD=1.(1)求证:MN∥平面PCD.(2)求证:平面PAC⊥平面PBD.【证明】(1)取AD中点E,连接ME,NE,由已知M,N分别是PA,BC的中点,所以ME ∥PD,NE∥CD,又ME,NE⊂平面MNE,ME∩NE=E,所以平面MNE∥平面PCD,所以MN∥平面PCD.(2)因为四边形ABCD为正方形,所以AC⊥BD,又PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AC,所以AC⊥平面PBD,所以平面PAC⊥平面PBD.10.如图1,已知ABCD为平行四边形,∠A=60°,AF=2FB,AB=6,点E在CD上,EF∥BC,BD⊥AD,BD与EF相交于N.现将四边形ADEF沿EF折起,折后如图2,满足平面ABCD⊥平面BCEF.(1)求证:BD⊥EF.(2)求三棱锥D-NBF的体积.【解析】(1)由BD⊥AD,EF∥BC,得BN⊥EF,DN⊥EF,由BN交DN于N,所以EF⊥平面DNB,所以EF⊥BD.(2)由EF⊥BD,EF∥BC,则BD⊥BC,因为平面ABCD⊥平面BCEF,所以BD⊥平面BCEF,所以D到平面BNF的距离等于BD,所以V D-BNF=S△BNF·BD=,即所求三棱锥的体积为.【加固训练】(·太原模拟)在边长为5的菱形ABCD中,AC=8.现沿对角线BD把△ABD折起,折起后使∠ADC的余弦值为.(1)求证:平面ABD⊥平面CBD.(2)若M是AB的中点,求三棱锥A-MCD的体积.【解析】(1)在菱形ABCD中,记AC,BD的交点为O,AD=5,OA=4,所以OD=3,翻折后变成三棱锥A-BCD,在△ACD中,AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos∠ADC=25+25-2×5×5×=32,在△AOC中,OA2+OC2=32=AC2,所以∠AOC=90°,即AO⊥OC,又AO⊥BD,OC∩BD=O,所以AO⊥平面BCD,又AO⊂平面ABD,所以平面ABD⊥平面CBD.(2)因为M是AB的中点,所以A,B到平面MCD的距离相等,所以V A-MCD=V B-MCD=V A-BCD= S△BCD·AO=8.(20分钟40分)1.(5分)(·芜湖模拟)如图,在正四棱锥S-ABCD中,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN上运动时,下列四个结论:①EP⊥AC;②EP∥BD;③EP∥面SBD;④EP⊥面SAC中恒成立的为( )A.①③B.③④C.①②D.②③④【解析】选A.①由正四棱锥S-ABCD,可得SO⊥底面ABCD,AC⊥BD,所以SO⊥AC.因为SO∩BD=O,所以AC⊥平面SBD,因为E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,所以EM ∥BD,MN∥SD,而EM∩MN=M,所以平面EMN∥平面SBD,所以AC⊥平面EMN,所以AC ⊥EP.故正确.②由异面直线的定义可知:EP与BD是异面直线,不可能EP∥BD,因此不正确;③由①可知:平面EMN∥平面SBD,所以EP∥平面SBD,因此正确.④由①同理可得:EM⊥平面SAC,若EP⊥平面SAC,则EP∥EM,与EP∩EM=E相矛盾,因此当P与M不重合时,EP与平面SAC不垂直,即不正确.综上可知选A.2.(5分)(·沈阳模拟)点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列命题:①三棱锥A-D1PC的体积不变;②A1P∥平面ACD1;③DP⊥BC1;④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是.【解题提示】根据题设条件逐个验证命题的真伪,从而作出判断.【解析】连接BD交AC于O,连接DC1交D1C于O1,连接OO1,则OO1∥BC1,所以BC1∥平面AD1C,动点P到平面AD1C的距离不变,所以三棱锥P-AD1C的体积不变.又=,所以①正确.因为平面A1C1B∥平面AD1C,A1P⊂平面A1C1B,所以A1P∥平面ACD1,②正确.由于当点P在B点时,DB不垂直于BC1即DP不垂直BC1,故③不正确;由于DB1⊥D1C,DB1⊥AD1,D1C∩AD1=D1,所以DB1⊥平面AD1C.DB1⊂平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面ACD1,④正确.答案:①②④3.(5分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF= 时,CF⊥平面B1DF.【解析】由题意易知B1D⊥平面ACC1A1,所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥DF即可.令CF⊥DF,设AF=x,则A1F=3a-x.由Rt △CAF ∽Rt △FA 1D,得=,即=,整理得x 2-3ax+2a 2=0,解得x=a 或x=2a. 答案:a 或2a4.(12分)(·烟台模拟)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB=AC=1,AA 1=2,E,F 分别是棱B 1C 1,B 1B 的中点,H 在棱CC 1上,且AB ⊥AH.(1)求证:AB ⊥平面AA 1C 1C. (2)求三棱锥A 1-B 1EF 的体积.【解析】(1)因为在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1⊥平面ABC, 所以AA 1⊥AB.又因为AB ⊥AH,AA 1∩AH=A,所以AB ⊥平面AA 1C 1C. (2)由(1)知:∠B 1A 1C 1=90°,因为AB=AC=1,所以111A B C S V =×1×1=.因为E,F 分别是棱B 1C 1,B 1B 的中点,BB 1=2. 所以11A B E S V =111A B C S V =,B 1F=1.又因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1,所以1111A B EF F A B E V V --==11A B E S V ·B 1F=××1=,所以三棱锥A 1-B 1EF 的体积为.5.(13分)(能力挑战题)如图,已知几何体的底面ABCD 为正方形,AC ∩DB=N,PD ⊥平面ABCD,EC ∥PD,PD=CD=2EC=2.(1)以AD为正视方向,求该几何体正视图的面积.(2)求异面直线AC与PE所成角的余弦值.(3)平面PBD与平面PBE是否垂直?若垂直,请加以证明;若不垂直,请说明理由. 【解析】(1)几何体正视图面积即直角梯形PDCE的面积,所以S=×(1+2)×2=3.(2)取PD中点F,连接FC,FA,则CF∥PE,所以∠FCA为异面直线AC与PE所成角,因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥DC,所以AF=CF=,又AC=2,所以在△FCA中cos∠FCA==,即异面直线AC与PE所成角的余弦值为.(3)平面PBD⊥平面PBE,证明如下:取PB中点M,连接EM,MN,则MN∥PD且MN=PD,又EC∥PD且EC=PD,所以MN∥EC且MN=EC,所以MNCE为平行四边形,所以EM∥CN,因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥CN,又在正方形ABCD中CN⊥BD,PD∩BD=D,所以CN⊥平面PBD,所以EM⊥平面PBD,因为EM⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面PBD.。
直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质限时训练-人教A版高中数学必修2练习
2．3．3 直线与平面垂直的性质 2．3．4 平面与平面垂直的性质课时练习‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选B 对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．2．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是( )A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β解析：选D 选项A缺少了条件：l⊂α；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全条件．3．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1( )A．平行B．共面C．垂直D．不垂直解析：选C 如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD.∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C.4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FH解析：选B 因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α⊥β，m⊥β，m⊂/ α，则m∥α；④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.其中正确命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B 根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.6．如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，∴CO⊥平面ABD.∵OD⊂平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．所以图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．答案：67.如图，直二面角α－l－β中，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．解析：如图，连接BC，∵二角面α－l－β为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，∴AC⊥β.又BC⊂β，∴AC⊥BC，∴BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，∴CD＝BC2－BD2＝ 2.答案： 28．已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列说法：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β＝m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中正确的说法序号是________(注：把你认为正确的说法的序号都填上)．解析：①错，垂直于交线，不一定垂直平面；②对；③错，凡是平面内垂直于m的射影的直线，m都与它们垂直；④对．答案：②④9.如图，三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.10.如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求直线EC与平面ABE所成角正弦值．解：(1)证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM.∵四边形ACDE 是正方形，∴AM ⊥CE . 又BC ∩CE ＝C ，∴AM ⊥平面EBC . (2)取AB 的中点F ，连接CF ，EF .∵EA ⊥AC ，平面ACDE ⊥平面ABC ，平面ACDE ∩平面ABC ＝AC ， ∴EA ⊥平面ABC ，∴EA ⊥CF . 又AC ＝BC ，∴CF ⊥AB . ∵EA ∩AB ＝A ， ∴CF ⊥平面AEB ，∴∠CEF 即为直线EC 与平面ABE 所成的角． 在Rt △CFE 中，CF ＝2，FE ＝6， tan ∠CEF ＝26＝33. ∴直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为12.‖层级二‖………………|应试能力达标|1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行解析：选B 圆柱的母线垂直于圆柱的底面，所作的垂线也垂直于底面，由线面垂直的性质定理可知，二者平行．2．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面解析：选D A 项，α，β可能相交，故错误；B 项，直线m ，n 的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C 项，若m ⊂α，α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥β，故错误；D 项，假设m ，n 垂直于同一平面，则必有m ∥n ，所以原命题正确，故D 项正确．3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( ) A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n B ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n C ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β D ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β解析：选D A中m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中m，n可能为异面直线；C 中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．4．在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为( )A．2 3 B．27C．4 3 D．47解析：选B 连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×32＝23，所以PM的最小值为27.5．设两个平面α，β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提条件，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中，正确命题的个数为________．解析：①②作为前提条件，③作为结论构成的命题正确，过l作一平面与β交于l′，则l∥l′，所以l′⊥α，故α⊥β；①③作为前提条件，②作为结论构成的命题错，这时可能有l⊂β；②③作为前提条件，①作为结论构成的命题错，这时l与α的各种位置关系都可能存在．答案：16.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为________．解析：取BC的中点为F，连接EF，DF，易知∠EDF为直线DE与平面ABCD所成的角，tan ∠EDF＝15＝55.答案：5 57．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．解析：设平面外的点为A，面内的点为B，过点A作面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.答案：1或无数8．如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.证明：设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC.∵PC＝CD＝a，PD＝2a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又EO⊂平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD.。
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课时达标检测（十五）直线与平面、平面与平面垂直的性质（习题
课）
一、选择题
1．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n 与平面α的关系是( )
A．n∥αB．n∥α或n⊂α
C．n⊂α或n与α不平行D．n⊂α
答案：A
2.如图所示，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA
的中点，下面四个结论不成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
答案：C
3．已知直线m，n，平面α，β，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直．
其中正确的命题是( )
A．②③B．①③
C．②④D．③④
答案：D
4.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平
面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小( )
A．变大
B．变小
C．不变
D．有时变大有时变小
答案：C
5.如图，在四面体DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，
则下面结论正确的是( )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDE
D ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE
答案：C
二、填空题
6．α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.
答案：若①③④，则②(或若②③④，则①)
7．如图所示，沿直角三角形ABC 的中位线DE 将平面ADE 折起，使得平面ADE ⊥平面BCDE ，得到四棱锥A BCDE .则平面ABC 与平面ACD 的关系是________．
答案：平面ABC ⊥平面ACD
8.如图所示，平面ABC ⊥平面ABD ，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，△ABD
是
正三角形，则二面角C BD A 的平面角的正切值为________． 答案：233
三、解答题
9.如图几何体中，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3BC ＝6，BF ＝CF ＝
AE ＝DE ＝2，EF ＝4，EF ∥AB ，G 为FC 的中点，M 为线段CD 上的一点，
且CM ＝2.
(1)证明：AF ∥平面BDG ；
(2)证明：平面BGM ⊥平面BFC ；
(3)求三棱锥F BMC 的体积V .
解：(1)证明：连接AC 交BD 于O 点，则O 为AC 的中点，连接OG ，因为点G 为CF 的中点，所以OG 为△AFC 的中位线，所以OG ∥AF .
∵AF ⊄平面BDG ，OG ⊂平面BDG ，
∴AF ∥平面BDG .
(2)证明：连接FM .
∵BF ＝CF ＝BC ＝2，G 为CF 的中点，∴BG ⊥CF .
∵CM ＝2，∴DM ＝4.
∵EF ∥AB ，四边形ABCD 为矩形，
∴EF ∥DM ，又EF ＝4，∴EFMD 为平行四边形，
∴FM ＝ED ＝2，∴△FCM 为正三角形，∴MG ⊥CF .
∵MG ∩BG ＝G ，∴CF ⊥平面BGM .
∵CF ⊂平面BFC ，
∴平面BGM ⊥平面BFC .
(3)V F BMC ＝V F BMG ＋V C BMG ＝13
×S △BMG ×FC ＝13
×S △BMG ×2， ∵GM ＝BG ＝3，BM ＝22，
∴S △BMG ＝12×22×1＝2， ∴V F BMC ＝23×S △BMG ＝223.
10.如图，AE C 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为A C 的中
点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，FB ＝5a .
(1)证明：EB ⊥FD ；
(2)求点B 到平面FED 的距离．
解：(1)证明：∵FC ⊥平面BED ，BE ⊂平面BED ，
∴EB ⊥FC .
又点E 为A C 的中点，B 为直径AC 的中点，
∴EB ⊥BC .
又∵FC ∩BC ＝C ，∴EB ⊥平面FBD .
∵FD ⊂平面FBD ，∴EB ⊥FD .
(2)如图，在平面BEC 内过C 作CH ⊥ED ，连接FH .则由FC ⊥平面BED 知，ED ⊥平面FCH .
∵Rt △DHC ∽Rt △DBE ，
∴DC DE ＝CH BE
.
在Rt △DBE 中，DE ＝BE 2＋BD 2
＝BE 2＋BC 2＝5a ，
∴CH ＝DC ·BE DE ＝a ·a 5a ＝55a .
∵FB ＝5a ，BC ＝a ，∴FC ＝2a .
在平面FCH 内过C 作CK ⊥FH ，则CK ⊥平面FED . ∵FH 2＝FC 2＋CH 2＝4a 2＋a 25＝215a 2
，
∴FH ＝105
5a .
∴CK ＝FC ·CH FH ＝2a ·55a
1055a
＝221
21a .
∵C 是BD 的中点，
∴B 到平面FED 的距离为2CK ＝421
21a .。