第二轮专题研究抽象函数原创

专题研究之一（抽象函数解法研究）北海七中 林秀雅抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。

由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。

一、利用函数的概念，整体换元例1：（1）若函数f (1+x )的定义域是[0，1]，则函数f (x -1)的定义域是________.（2）已知f (3x -1)=7x 2+2x -1,则f (x )=_________________.（3）已知函数f (x )的值域是[-1，1],则函数y =f (x +2)的值域是__________.析：此类题目考查函数的基本概念，如果能正确理解函数的概念，就能轻松求解。

在函数y =f (x )中，x 是自变量，y 是函数值，法则f 是描述括号中的变量（可以是自变量x ，也可以是一个代数式如x +1、1-x 等；当是代数式时，自变量仍是x ）和y 的函数关系。

（1）题设中的两个函数有相同的法则，但f 后面括号内的变量不同，若求f (x -1)的定义域即自变量x 的范围，根据f同，有相同的范围；于是函数f (1+x )和f (x -1)中，括号内变量解：令函数f (1+x )中的1+x =t ， ∵x ∈[0,1] ∴1+x =t ∈[1,2]，令函数f (x -1)中的x -1=m ，则m 和t 的范围一致，∵x -1=m ∈[1,2] ∴x ∈[2,3][2，3].（2y 的关系，而所求函数f (x )中f (3x -1)中解：令函数f (3x -1)中的3x -1=t ，则31+=t x ，于是有 94920971312)31(7)(22++=-+⋅++=t t t t t f 故949207)(2++=x x x f（3）由上述（1）可知，函数f (x )中f (x +2)中的值域仍是[-1，1]。

二、利用抽象关系式，巧妙赋值例2：设函数f (x )的定义域是(-∞,+∞),满足条件：①存在x 1≠x 2，使得f (x 1)≠f (x 2)；②对任何x 和y ，f (x +y )=f (x )•f (y )成立；求：（1）f (0)； （2）对任意值x ，判断f (x )值的正负。

析：若令x =0，y =0推导f (0)，会得到f (0)=f (0)2，f (0)=0 或f (0)=1，但是由条件式可猜测：指数函数y =a x 满足关系式，应有f (0)=1；利用题设①判定，有如下解法：解：（1）令y =0代入f (x +y )=f (x )•f (y )， 则f (x )=f (x )•f (0)，∴f (x )=0或f (0)=1若f (x )=0，则对任意x 1≠x 2，有f (x 1)=f (x 2)，这与题设矛盾 ∴f (0)=1（2）令y =x ≠0，则又由上述（1）知f (x ) ≠0，∴f (2x )=[f (x )]2>0，即f (x )>0；故对任意x ，f (x )>0例3：已知函数f (x )对任意实数x ,y 均有f (xy )=f (x )•f (y )，且f (-1)=1, 当0≤x <1时，f (x )[)1,0∈，(1)判断f (x )的奇偶性； （2）判断f (x )在[)+∞,0上的单调性，并给出证明.析：判断函数的奇偶性联想函数奇偶性的判定式：f (x )±f (-x )=0；判断单调性应构造出定义式f (x 1)-f (x 2)或)()(21x f x f ，分别比较它们与0或1的大小关系进而用定义判定。

另外，由题设抽象关系式猜测：f (x )为幂函数y=x 2.（1）令y =-1，则f (-x )=f (x )•f (-1)∵f (-1)=1, ∴f (-x )=f (x ),f (x )为偶函数。

（2）设0≤x 1<x 2 则 1021<≤x x 得：1)(021<≤x x f 又由f (x 1)=f (221x x x ⋅)=f (21x x )•f (x 2) 得：1)()()(02121<=≤x x f x f x f 即：f(x 1)<f(x 2)故函数f (x )在[)+∞,0为增函数。

三、利用抽象关系式，灵活构造例4：已知函数f (x ),g (x )均为{x |x ≠0}上的奇函数，F (x )=af (x )+bg (x )+2在(0, +∞)上的最大值为5，则在(-∞,0)上的最小值是________.析：由题设可知：F (x )为非奇非偶函数，而af (x )+bg (x )为奇函数，故可利用af (x )+bg (x )构造奇函数，进而用奇函数的对称性求最值。

解：设h(x )=F (x )-2=af (x )+bg (x )，则h (x )的定义域为{x |x ≠0}，由题设F (x )在(0, +∞)上的最大值为5知：h (x )在(0, +∞)上最大值为3；又h (-x )=af (-x )+bg (-x )=-af (x )-bg (x )=-h (x )知h (x )为奇函数，所以h (x ) 在(-∞,0)上有最小值-3，即F (x ) 在(-∞,0)上有最小值-1。

例5：已知函数f (x )满足；对任意R y x ∈,都有f (x +y )=f (x )+f (y ) 且f (1)≠0，则f (2005)=_______.析：利用题设，令y =1可构造出f (x +1)=f (x )+f (1)一个递推关系式，利用这个递推关系，只需再求出f (1)即可求具体的函数值。

解：在f (x +y )=f (x )+f (y )中，令x =0，y =0可得f (0)=0；再令x =0,y =1可得：f (1)=f (0)+f (1)即f (1)=0或f (1)=1∵f (1)≠0 ∴f (1)=1在条件式中，令x =n ，y=1则得递推关系式：f (n +1)-f (n )=1∴数列{f (n )}是首项为1，公差为1 的等差数列； ∴f (2005)=2005四、利用直观图象，数形结合例6：已知f (x )是R 上的奇函数，在区间),0(+∞上是增函数，又f (-3)=0，那么xf (x )<0的解集是（ ） A 、{x |-3<x <0或x >3} B 、{x |xC 、{x |x <-3或0<x <3D 、{x |-3<x ∵f (3)=f (-3)=0，而xf (x )<0 ∴x 与f (x )异号，由图象可知，-3<x <0 故选D 。

五、归纳、猜想例7：是否存在这样的函数f (x )，使下列3个条件：（1）)(0)(*N n n f ∈>；（2）),)(()()(*212121N n n n f n f n n f ∈⋅=+；（3）f (2)=4；同时成立？若存在，求出f (x )的解析式；若不存在，试说明理由。

析：解决探索性问题应先假设存在，再利用题设推导；这里应用归纳猜想的知识可知：函数为指数函数y=2x ，再用数学归纳法证明。

解：假设存在，由条件（1）、（2）、（3）得： f (2)=f (1)•f (1)=[f (1)]2=4又∵f (1)>0 ∴f (1)=2 ∴f (3)=f (2+1)=f (2)•f (1)=23 f (4)=f (3+1)=f (3)•f (1)=24由此猜想：f (x )=2x （x ∈N *）下面用数学归纳法证明：①当x =1时，猜想显然成立；②假设当x =k 时命题成立，即f (k )=2k那么当x =k +1时，f (k +1)=f (k )•f (1)=2k •2=2k +1由①、②知猜想成立；综上所述，存在函数f (x )=2x 对x ∈N *成立。

六、利用模型函数，类比联想例8：如果f (x +y )=f (x )•f (y ),且f (1)=2，则)2003()2004()5()6()3()4()1()2(f f f f f f f f ++++ 的值为_________。

析：由f (x +y )=f (x )•f (y )的关系式，类比联想指数函数y =a x 的性质知：解：令f (x )=2x ，满足题设，则 )2003()2004()5()6()3()4()1()2(f f f f f f f f ++++ =2004 例9：已知f (x )是定义在R 上的函数，f (1)=1，且对任意R x ∈都有f (x +5)≥f (x )+5，f (x +1)≤f (x )+1，若g (x )=f (x )+1-x ，，则g (2005)=_____.y 3析：当满足题设的f (x )难于求出时，可利用特殊值法化一般为特殊求解。

解：由f (x +5)≥f (x )+5得：1)5()()5(≥-+-+xx x f x f 同理得：1)1()()1(≤-+-+xx x f x f ，联想斜率公式，取 k =1，结合f (1)=1 联想到函数f (x )=x 满足，故g (x )=1，则g (2005)=1七、利用函数性质 ，化归转化例10、已知函数y =f (x )在定义域[-1,1]上既是奇函数又是减函数，若f (1-a )+f (1-a 2)<0，求实数a 的取值范围。

析：由题设知应利用函数和奇偶性和单调性脱去法则f ，然后求关于a 的不等式。

解：由已知得：f (1-a )<-f (1-a 2)∵f (x )为奇函数 ∴f (1-a )<f (a 2-1)又由f (x )为减函数知：1012202011111111222<≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-≤-≤-≤-≤-a a a a a a a a所以所求a 的取值范围为}10|{<≤a a八、利用函数对称性的结论结论1：设函数f (x)的定义域为R ，且f (a+x )=f (b-x )，则函数f (x )的图象关于直线 2b a x +=对称；特别地，当f (a+x )=f (a-x )时，f(x)的图象关于x=a 对称（自身对称）。

结论2：对于定义在R 上的函数y=f(x)，函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线2a b x -=对称（相互对称）。

例11、已知函数y =f (x )满足f (x +2)=f (2-x )；若方程f (x )=0有三个不同的实根，则这三个根的和为______。

析：由题设条件和结论1可知：y =f (x )关于直线x =2对称，所以方程的根也关于直线x =2对称。