[原创]2012年高考一轮复习课时作业单元能力测试卷10B
2012年高考数学一轮复习 单元能力测试卷10B
第十章 单元能力测试卷(B 版)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．如右图所示，是一个正方体的表面展开图，A 、B 、C 均为棱的中点，D 是顶点，则在正方体中，异面直线AB 和CD 的夹角的余弦值为( )A.25B.35 C.105 D.55答案 C解析 把展开图复原为正方体后示意图如右图所示，∠EGF 为AB 和CD 所成的角，F 为正方体一棱的中点．∴EF ＝GF ＝52，EG ＝ 2. ∴cos ∠EGF ＝105. 2．空间四点A 、B 、C 、D 满足|AB →|＝3，|BC →|＝7，|CD →|＝11，|DA →|＝9，则AC →·BD →的取值( )A ．只有一个B ．有两个C ．有四个D ．有无穷多个答案 A解析 注意到32＋112＝72＋92＝130，由于AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，则|DA →2|＝DA →2＝(AB →＋BC →＋CD →)2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2(AB →·BC →＋BC →·CD →＋CD →·AB →) ＝AB →2－BC →2＋CD →2＋2(BC →2＋AB →·BC →＋BC →·CD →＋CD →·AB →) ＝AB →2－BC →2＋CD →2＋2(AB →＋BC →)·(BC →＋CD →)．即2AC →·BD →＝AD →2＋BC →2－AB →2－CD →2＝0，所以AC →·BD →只有一个值0，故选A.3．在半径为10 cm 的球面上有A 、B 、C 三点，且AB ＝8 3 cm ，∠ACB ＝60°，则球心O 到平面ABC 的距离为( )A ．2 cmB ．4 cmC ．6 cmD ．8 cm 答案 C解析 设平面ABC 对应的小圆圆心为M ，即三角形ABC 的外接圆的圆心，设小圆的半径为r ，根据正弦定理有2r ＝AB sin ∠ACB ＝83sin60°， ∴r ＝8 cm.根据球体的性质OM ⊥平面ABC ，即球心O 到平面ABC 的距离d ＝OM ，且三角形OCM 为直角三角形，所以d ＝R 2－r 2＝d ＝102－82，∴d ＝6 cm.∴选C.4．已知直线m 、n 、l 和平面α、β、γ，下列条件中，能推出α∥β的是( ) A ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n B ．m ⊥α，m ⊥βC ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥βD ．α⊥γ，β⊥γ 答案 B解析 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行． 本题也可以通过反例否定错误选项，从而筛选出正确结论． 例如，对于A ，如果α∩β＝l ，m ∥l ，n ∥l ， 那么α与β不平行，对于选项C ，当α与β相交时，存在直线m⊂α、n⊂α，使得m∥β，n∥β，从而可排除C.对于选项D，设α、β为正方体相邻两个侧面，γ为底面，则满足α⊥γ，β⊥γ，但α与β不平行，从而可剔除D.5．如右图所示，正四棱锥P－ABCD的底面积为3，体积为22，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 C解析连结AC、BD交于点O，连结OE，易得OE∥PA.∴所求角为∠BEO.由所给条件易得OB＝62，OE＝12PA＝22，BE＝2，∴cos∠OEB＝12，∴∠OEB＝60°，选C.6．已知平面α⊥平面β，m是α内一条直线，n是β内一条直线，且m⊥n，那么，①m⊥β；②n⊥α；③m⊥β或n⊥α；④m⊥β且n⊥α.这四个结论中，不正确．．．的三个是( ) A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④答案 B解析对于结论③，可用反证法证明其正确性．假设m⊥β和n⊥α都不成立，因为m⊥n，根据三垂线定理的逆定理，m垂直于n在α上的射影．由于m和n不可能都与α、β的交线平行，不妨设n与α、β的交线不平行，从而n与它在α上的射影相交，故m⊥β.这与假设矛盾，故m⊥β或n⊥α.7．正三棱锥P－ABC中，M、N是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN垂直于侧面PBC，则棱锥的侧面积与底面积的比为( )A ．1∶2B.2∶ 3 C.3∶2 D.6∶1 答案 D解析 如右图所示，∵M 、N 为正三棱锥的侧棱PB 、PC 之中点，∴MN ∥BC ，AM ＝AN . 设MN 的中点为F ，连结AF ，连结PF 并延长交BC 于E ， 连结AE ，则E 为BC 的中点．∵平面AMN ⊥侧面PBC ，而MN ＝平面AMN ∩平面PBC ， ∴AF ⊥PE .又F 为PE 之中点， ∴PA ＝AE .设底面边长为a ，斜高为h ′. 则S 侧＝12×3a ·h ′，S 底＝34a 2.又PB ＝PA ＝AE ＝32a ，BE ＝12a ， ∴h ′＝PE ＝PB 2－BE 2＝22a . ∴S 侧S 底＝12×3a ·h ′34a 2＝12×3a ×22a34a 2＝6∶1. 8．位于北纬x 度的A 、B 两地经度相差90°，且A 、B 两地间的球面距离为π3R (R 为地球半径)，那么x 等于( )A ．30B ．45C ．60D ．75 答案 B解析 记球心为点O ，依题意得∠AOB ＝π3，OA ＝OB ＝R ，因此AB ＝R .又A 、B 两地经度相差90°，因此A 、B 两地所在的纬线圈的半径是22R ，x ＝45，选B. 9．ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，点P 在线段A 1C 1上运动，异面直线BP 与AD 1所成角为θ，则θ的取值X 围是( )A ．0<θ<π2B ．0<θ≤π2C ．0<θ<π3D ．0<θ≤π3 答案 D解析 因为AD 1∥BC 1，所以BP 与AD 1所成的角θ＝∠C 1BP ，因为P 在A 1C 1上运动，所以0<θ≤π3，故选D. 10．如右图所示的多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD 的点A 作截面AB 1C 1D 1而截得的，且B 1B ＝D 1D .已知截面AB 1C 1D 1与底面ABCD 成30°的二面角，AB ＝1，则这个多面体的体积为( )A.62B.63 C.64D.66答案 D解析 将多面体补形，补成一个高为CC 1 的正四棱柱，则V 棱柱＝2V 多． 又∵截面与底面成30°， ∴∠C 1AC ＝30°.在Rt △ACC 1中，AC ＝2， ∴C 1C ＝2tan30°＝33×2＝63. ∴V 柱＝S ABCD ·CC 1＝63. ∴V 多＝12V 柱＝66.11．半径为4的球面上有A ，B ，C ，D 四点，且满足AB →·AC →＝0，AD →·AC →＝0，AB →·AD →＝0，则△ABC ，△ACD ，△ADB 面积之和S △ABC ＋S △ACD ＋S △ADB 的最大值为( )A ．8B ．16C ．32D ．64 答案 C解析 设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ， 则S △ABC ＋S △ACD ＋S △ADB ＝12(ab ＋ac ＋bc )≤12(a 2＋b 22＋a 2＋c 22＋b 2＋c 22) ＝12(a 2＋b 2＋c 2) ＝12×4R 2＝12×4×42＝32， 当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”．12．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150° B．45° C ．60° D．120° 答案 C解析 由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2，∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，〈CA →，BD →〉＝120°，∴二面角的大小为60°，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知△ABC 的顶点坐标为A (1,1,1)、B (2,2,2)、C (3,2,4)，则△ABC 的面积是________． 答案62解析AB →＝(1,1,1)，AC →＝(2,1,3)， cos 〈AB →，AC →〉＝63·14＝427，∴sin A ＝77. 因为S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin A ＝123·14·77＝62.14．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为1，点P 在线段BD 1上，当∠APC 最大时，三棱锥P －ABC 的体积为________．答案118解析 以B 为坐标原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴建立空间直角坐标系，设BP →＝λBD 1→，可得P (λ，λ，λ)，再由cos ∠APC ＝AP →·CP→|AP →||CP →|可求得当λ＝13时，∠APC 最大，故V P －ABC ＝13×12×1×1×13＝118.15．已知四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F 则EF →＝________.答案3a ＋3b －5c解析EF →＝EA →＋AB →＋BF →，又EF →＝EC →＋CD →＋DF →，两式相加，得 2EF →＝(EA →＋EC →)＋AB →＋CD →＋(BF →＋DF →)， 因为E 是AC 中点，故EA →＋EC →＝0， 同理BF →＋DF →＝0，所以2EF →＝AB →＋CD →＝(a －2c )＋(5a ＋6b －8c )＝6a ＋6b －10c ， ∴EF →＝3a ＋3b －5c16．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E 、F 、分别为PA 、PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BF 与直线AF 异面 ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面PAD . 其中正确的有______个． 答案 2解析 将几何体展开拼成几何体(如图)，因为E 、F 分别为PA 、PD 的中点，所以EF ∥AD ∥BC ，即直线BE 与CF 共面，①错；因为B ∉平面PAD ，E ∈平面PAD ，E ∉AF ，所以BE 与AF 是异面直线，②正确；因为EF ∥AD ∥BC ，EF⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ，③正确；平面PAD 与平面BCE 不一定垂直，④错．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如右图所示，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PB 与底面所成的角是30°，∠BAD ＝90°.AB ∥CD ，AD ＝CD ＝a ，AB ＝2a .(1)若AE ⊥PB 于E ，求证：DE ⊥PB . (2)求异面直线AE 与BC 的夹角的余弦．解析 (1)以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． ∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PBA 是PB 与底面ABCD 所成的角． ∵∠PBA ＝30°，∴PA ＝233a .A (0,0,0)，B (2a,0,0)，D (0，a,0)，P (0,0，233a )， AD →＝(0，a,0)，PB →＝(2a,0，－233a )． ∵AD →·PB →＝(0，a,0)·(2a,0，－233a )＝0，∴PB →⊥AD →.又PB →⊥AE →， ∴PB ⊥平面ADE ，∴PB ⊥DE . (2)过E 作EF ⊥AB 于F ，AE ＝a ，EF ＝32a ，AF ＝12a ，E (12a,0，32a )， ∴AE →＝(12a,0，32a )．又C (a ，a,0)，∴BC →＝(－a ，a,0)．设AE →与BC 的夹角是θ，则 cos θ＝AE →·BC →|AE →|·|BC →|＝－24，∴异面直线AE 与BC 的夹角的余弦是24. 18．(本小题满分12分)如右图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA ＝CB ＝a ，∠BCA ＝90°，AA 1＝2a ，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点．(1)求BN 的长； (2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .解析 以C 为原点建立空间直角坐标系． (1)B (0，a,0)，N (a,0，a )， |BN →|＝a －02＋0－a2＋a －02＝3a .(2)A 1(a,0,2a )，C (0,0,0)，B 1(0，a,2a )，∴BA 1→＝(a ，－a,2a )，CB 1→＝(0，a,2a )，BA 1→·CB 1→＝a ·0＋(－a )·a ＋2a ·2a ＝3a 2， |BA 1→|＝a －02＋0－a2＋2a －02＝6a ， |CB 1→|＝0－02＋a －02＋2a －02＝5a ，∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝36×5＝3010.(3)C 1(0,0,2a )，M (a 2，a 2，2a )，C 1M →＝(a 2，a 2，0)，A 1B →＝(－a ，a ，－2a )，∴A 1B →·C 1M →＝(－a )·a 2＋a ·a 2＋(－2a )·0＝0，∴A 1B →⊥C 1M →，∴A 1B ⊥C 1M .19．(本小题满分12分)已知M 、N 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱B 1C 1和B 1B 的中点．(1)求MN 与A 1C 1所成角的大小； (2)求MN 与平面ACC 1A 1所成角的大小．解析 (1)设正方体的棱长为1，建立直角坐标系D －xyz (如图)．则A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，M (12，1,1)，N (1,1，12)．∴MN →＝(12，0，－12)，A 1C 1→＝(－1,1,0)．∴cos 〈MN →，A 1C 1→〉＝MN →·A 1C 1→|MN →||A 1C 1→|＝－1222×2＝－12，∴〈MN →，A 1C 1→〉＝120°.而异面直线所成角在(0,90°]内，∴MN 与A 1C 1成60°角．(2)设平面ACC 1A 1的法向量n ＝(1，α，β)，则n ⊥AA 1→，(1，α，β)·(0,0,1)＝0，∴β＝0，又n ⊥AC →.∴(1，α，β)·(－1,1,0)＝0，∴a ＝1， ∴n ＝(1,1,0)，∴cos 〈n ，MN →〉＝n ·MN →|n ||MN →|＝12，∴〈n ，MN →〉＝60°， ∴MN 与面ACC 1A 1成30°角．20．(本小题满分12分)如右图所示，已知四棱锥P —ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝2，点M 、N 分别在棱PD 、PC 上，且PN →＝12NC →，PM ＝MD .(1)求证：PC ⊥AM ；(3)求二面角B —AN —M 的大小．解析 (1)证明：因为四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，故建立如右图所示的空间直角坐标系A —xyz ，又PA ＝AD ＝2，则有P (0,0,2)，D (0,2,0)，∴M (0,1,1)，C (2,2,0)， ∴PC →＝(2,2，－2)，AM →＝(0,1,1)， ∵PC →·AM →＝0＋2－2＝0，∴PC ⊥AM .(2)证明：设N (x ，y ，z )，∵PN →＝12NC →，则有x －0＝12(2－x )，∴x ＝23.同理可得y ＝23，z ＝43.即N (23，23，43)．由PC →·AN →＝43＋43－83＝0，∴PC ⊥AN .又∵PC ⊥AM ，AM ∩AN ＝A ，∴PC ⊥平面AMN .(3)解：连接BN ，设平面BAN 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎨⎧n ·AB→＝2x ＝0，n ·AN →＝23x ＋23y ＋43z ＝0，取n ＝(0，－2,1)．而PC →＝(2,2，－2)为平面AMN 的法向量． ∴cos 〈n ，PC →〉＝n ·PC →|n |·|PC →|＝－4－25·12＝－155.结合图形可知，所求二面角B —AN —M 的大小为π－arccos155. 21．(本小题满分12分)(2010·某某卷，文)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝2，点E 是棱PB 的中点．(2)若AD ＝1，求二面角B －EC －D 的平面角的余弦值．解析 (1)如图，由PA ⊥底面ABCD ，得PA ⊥AB .又PA ＝AB ，故△PAB 为等腰直角三角形，而点E 是棱PB 的中点，所以AE ⊥PB .由题意知BC ⊥AB, 又AB 是PB 在平面ABCD 内的射影，由三垂线定理得BC ⊥PB ，从而BC ⊥平面PAB ，故BC ⊥AE .因为AE ⊥PB ，AE ⊥BC ，所以AE ⊥平面PBC .(2)由(1)知BC ⊥平面PAB ，又AD ∥BC ，得AD ⊥平面PAB ，故AD ⊥AE .在Rt △PAB 中，PA ＝AB ＝2，AE ＝12PB ＝12PA 2＋AB 2＝1.从而在Rt △DAE 中，DE ＝AE 2＋AD 2＝ 2.在Rt △CBE 中，CE ＝BE 2＋BC 2＝ 2.又CD ＝2，所以△CED 为等边三角形．取CE 的中点F ，连接DF ，则DF ⊥CE .因为BE ＝BC ＝1，且BC ⊥BE ，则△EBC 为等腰直角三角形，连接BF ，则BF ⊥CE ，所以∠BFD 为二面角B －EC －D 的平面角．连接BD ，在△BFD 中，DF ＝CD ·sin π3＝62，BF ＝12CE ＝22，BD ＝BC 2＋CD 2＝ 3.所以cos BFD ＝DF 2＋BF 2－BD 22·DF ·BF ＝－33.故二面角B －EC －D 的平面角的余弦值为－33. 22．(本小题满分12分)如图所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是以∠C 为直角的等腰直角三角形，AC ＝BC ＝CC 1＝2，M ，N 分别在棱CC 1，A 1B 1上，N 是A 1B 1的中点．(1)若M 是CC 1的中点，求异面直线AN 与BM 所成的角；(2)若点C 关于平面ABM 的对称点恰好在平面ABB 1A 1上，试确定M 点在CC 1上的位置． 解析 (1)以CB 、CA 、CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (0，－2,0)，B (2,0,0)，C 1(0,0,2)，A 1(0，－2,2)，B 1(2,0,2)，由于N 是A 1B 1的中点，M 是CC 1的中点，所以M (0,0,1)，N (1，－1,2)，于是AN →＝(1,1,2)，BM →＝(－2,0,1)，因此cos 〈AN →，BM →〉＝06×5＝0，所以异面直线AN 与BM 所成的角等于90°.(2)设M (0,0，z )(0<z ≤2)，由于点C 关于平面ABM 的对称点恰好在平面ABB 1A 1上， 取AB 的中点D ，连接CD 、DN 、MD ，易知CD ⊥AB ，ND ⊥AB ，所以AB ⊥平面C 1NDC ，而AB ⊂平面ABM ，所以平面ABM ⊥平面C 1NDC ，又平面ABM ∩平面C 1NDC ＝DM ，过C 作CH ⊥DM ，则CH ⊥平面ABM ，延长CH 至P ，使PH ＝CH ， 则点P 就是点C 关于平面ABM 的对称点，所以P 点在平面C 1NDC 中，又P 点恰好在平面ABB 1A 1上，所以P 点应该在直线ND 上． 由于D (1，－1,0)，所以MD →＝(1，－1，－z )，而点H 在线段MD 上，所以设MH →＝λ·MD →＝(λ，－λ，－λz )，则CH →＝CM →＋MH →＝(λ，－λ，z －λz )，故CP →＝2CH →＝(2λ，－2λ，2z －2λz )，所以P (2λ，－2λ，2z －2λz )， 于是DP →＝(2λ－1，－2λ＋1,2z －2λz )，而DN →＝(0,0,2)，由于P 点应该在直线ND 上，且DC ＝DP ，所以⎩⎨⎧2λ－1＝0，－2λ＋1＝0，|2z －2λz |＝2，得z ＝2，所以当点C 关于平面ABM 的对称点恰好在平面ABB 1A 1上时，CM ＝ 2.。
2012届高考物理总复习课时训练卷(附参考答案)
2012届高考物理总复习课时训练卷（附参考答案）1．在跳高运动的发展史上，其中有以下四种不同的过杆姿势，如图所示，则在跳高运动员消耗相同能量的条件下，能越过最高横杆的过杆姿势为()解析：运动员经过助跑后，跳起过杆时，其重心升高，在四种过杆姿势中背越式相对于杆的重心位置最低，所以在消耗相同能量的条件下，该种过杆姿势能越过更高的横杆．选项D正确．答案：D2．如图所示，一质量均匀的不可伸长的绳索重为G，A、B两端固定在天花板上，今在最低点C施加一竖直向下的力将绳索拉至D点，在此过程中绳索AB的重心位置将()A．逐渐升高B．逐渐降低C．先降低后升高D．始终不变解析：由题意知外力对绳索做正功，机械能增加，重心升高，故选A. 答案：A3．(2010年福建龙岩)体育比赛中的“3m跳板跳水”的运动过程可简化为：质量为m的运动员走上跳板，跳板被压缩到最低点C，跳板又将运动员竖直向上弹到最高点A，然后运动员做自由落体运动，竖直落入水中，跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设水对他的阻力大小恒为F，他在水中减速下降高度为h，而后逐渐浮出水面，则下列说法正确的是(g为当地的重力加速度)()A．运动员从C点到A点运动过程中处于超重状态B．运动员从C点开始到落水之前机械能守恒C．运动员从入水至速度减为零的过程中机械能减少了(F－mg)h D．运动员从入水至速度减为零的过程中机械能减少了Fh解析：运动员从C点到A点的运动过程，跳板对运动员的弹力先是大于重力，后小于重力，最后弹力为零，故运动员先处于超重状态，后处于失重状态，A错误；运动员从C点开始到落水之前，除重力做功外，跳板弹力对运动员做功，运动员机械能增加，B错误；运动员从入水至速度减为零的过程中，除重力(或弹力)以外的力对运动员所做的功等于其机械能的变化量，故C错误，D正确．答案：D4．如图所示，一轻弹簧左端与物体A相连，右端与物体B相连．开始时，A、B均在粗糙水平面上不动，弹簧处于原长状态．在物体B上作用一水平向右的恒力F，使物体A、B向右运动．在此过程中，下列说法中正确的为()A．合外力对物体A所做的功等于物体A的动能增量B．外力F做的功与摩擦力对物体B做的功之和等于物体B的动能增量C．外力F做的功及摩擦力对物体A和B做功的代数和等于物体A和B 的动能增量及弹簧弹性势能增量之和D．外力F做的功加上摩擦力对物体B做的功等于物体B的动能增量与弹簧弹性势能增量之和解析：由动能定理可知，合外力对物体A所做的功等于物体A的动能增量，合外力对B做的功等于物体B动能的增量，而合外力对B所做的功等于外力F做的功、摩擦力对B做的功和弹簧弹力对B做的功之和，选项A正确，B错误；物体B克服弹簧弹力做的功应大于弹簧的弹性势能的增加量，所以外力F做的功及摩擦力对物体A和B做功的代数和应大于物体B的动能增量及弹簧弹性势能增量之和，选项D错误；取整体为研究对象，由功能关系可以判断，外力F做的功及摩擦力对物体A和B做功的代数和等于系统的机械能的增量，选项C正确．答案：AC5．(2010年福建古田一中)如图所示，把小车放在光滑的水平桌面上，用轻绳跨过定滑轮使之与盛有砂子的小桶相连，已知小车的质量为M，小桶与砂子的总质量为m，把小车从静止状态释放后，在小桶下落竖直高度为h的过程中，若不计滑轮及空气的阻力，下列说法中正确的是()A．绳拉车的力始终为mgB．当M远远大于m时，才可以认为绳拉车的力为mgC．小车获得的动能为mghD．小车获得的动能为Mmgh/(M＋m)解析：整体在小桶和砂子重力mg作用下做加速运动，只有在M远远大于m时，才可以认为绳拉车的力为mg，选项A错误，B正确；由能的转化与守恒定律可知，小桶和砂子减少的重力势能mgh转化为整体的动能，所以小车获得的动能为Mmgh/(M＋m)，选项C错误，D正确．答案：BD6．(2010年东营第一中学)如图所示，跳水运动员最后踏板的过程可以简化为下述模型：运动员从高处落到处于自然状态的跳板(A位置)上，随跳板一同向下运动到最低点(B位置)．对于运动员从开始与跳板接触到运动至最低点的过程，下列说法中正确的是()A．运动员到达最低点时，其所受外力的合力为零B．在这个过程中，运动员的动能一直在减小C．在这个过程中，跳板的弹性势能一直在增加D．在这个过程中，运动员所受重力对他做的功小于跳板的作用力对他做的功解析：A位置运动员只受重力，向下运动所受到跳板给他的支持力越来越大，运动员先加速后减速；动能先增大后减小，B位置速度为0，但向上的合力最大，由动能定理可知，D对．答案：CD7．(2010年辽宁沈阳)如图所示甲、乙两种粗糙面不同的传送带．倾斜于水平地面放置．以同样恒定速率v向上运动．现将一质量为m的小物体(视为质点)轻轻放在A处，小物体在甲传送带上到达B处时恰好达到传送带的速率v；在乙传送带上到达离B竖直高度为h的C处时达到传送带的速率v.已知B处离地面高度为H，则在物体从A到B的运动过程中()A．两种传送带对小物体做功相等B．将小物体传送到B处，两种传送带消耗的电能相等C．两种传送带与小物体之间的动摩擦因数不同D．将小物体传送到B处，两种系统产生的热量相等解析：A→B，由动能定理，W－MgH＝12mv2，A对；动摩擦因数μ明显不同；A→B摩擦力做功一样，但甲一直产生热量，而乙中只有AC 段产生热量，所以产生热量不同，再由能量守恒则消耗的电能不等．答案：AC8．(2010年安徽安庆二模)如图所示有三个斜面1、2、3，斜面1与2底边相同，斜面2和3高度相同，同一物体与三个斜面的动摩擦因数相同，当他们分别沿三个斜面从顶端由静止下滑到底端时，下列说法正确的是()A．沿2、3斜面运动的时间t2>t3B．沿1、2斜面运动过程中克服摩擦力做功W1C．沿1、3斜面运动过程中物体损失的机械能ΔE1>ΔE3D．物块在三种情况下到达底端的动能Ek1>Ek2>Ek3解析：设2、3高度为h，倾角为θ，a＝gsinθ－μgcosθ，所以hsinθ＝12at2t＝2hasinθ＝2hg sinθ－μcosθ sinθ，所以t21、2底边为l，则W＝μmgcosθ•lcosθ＝μmgl，所以W1＝W2；W＝μmgcosθ•hsinθ＝μmghcotθ，所以W2答案：D9．如图所示，一个小环沿竖直放置的光滑圆环轨道做圆周运动．小环从最高点A(初速度为零)滑到最低点B的过程中，小环线速度大小的平方v2随下落高度h的变化图象可能是图中的()解析：考虑环下降过程中受到的各个力的做功情况，重力做正功，圆环对小环的支持力始终与小环运动方向垂直，不做功，由动能定理ΔEk ＝12mv2＝mgh，v2与h的关系为线性关系，又因h＝0时，v也为零．所以图象过原点，只有B符合条件，选B.答案：B10．当今流行一种“蹦极”运动，如图所示，距河面45m高的桥上A点系弹性绳，另一端系住重50kg男孩的脚，弹性绳原长AB为15m，设男孩从桥面自由下坠直至紧靠水面的C点，末速度为0.假定整个过程中，弹性绳遵循胡克定律，绳的质量、空气阻力忽略不计，男孩视为质点．弹性势能可用公式：Ep＝kx22(k为弹性绳的劲度系数，x为弹性绳的形变长度)计算．(g＝10m/s2)则：(1)男孩在最低点时，绳具有的弹性势能为多大？绳的劲度系数又为多大？(2)在整个运动过程中，男孩的最大速度又为多大？解析：男孩从桥面自由下落到紧靠水面的C点的过程中，重力势能的减少量对应弹性势能的增加量，男孩速度最大时，应为加速度为零的位置．(1)由功能转化关系可知，mgh＝Ep，Ep＝50×10×45J＝2.25×104J又Ep＝12kx2，x＝45m－15m＝30m所以k＝2Epx2＝2×2.25×104302N/m＝50N/m.(2)男孩加速度为零时，mg＝kx′，得x′＝10m，由能的转化和守恒定律得：mg(hAB＋x′)＝12kx′2＋12mv2m，所以vm＝20m/s.答案：(1)2.25×104J50N/m(2)20m/s11．(2010年江苏无锡)如图所示，质量m＝1kg的物块从h＝0.8m高处沿光滑斜面滑下，到达底部时通过光滑圆弧BC滑至水平传送带CD上，CD部分长L＝2m．传送带在皮带轮带动下以v＝4m/s的速度逆时针传动，物块与传送带间动摩擦因数μ＝0.3.求：(1)物块滑到C、D两点时的速度大小各为多少？(2)物块从C滑到D的过程中，皮带对物块做多少功？(3)物块从C滑到D的过程中，因摩擦产生的热量是多少？解析：(1)由机械能守恒定律mgh＝12mv21解得物块到达C点的速度v1＝2gh＝4m/s物块在皮带上滑动的加速度a＝μg＝3m/s2由运动学公式－2aL＝v22－v21解得物块到达D点的速度v2＝v21－2aL＝2m/s(2)皮带对物块做功W＝－μmgL＝－6J(3)物块从C滑到D的时间t1＝v2－v1－a＝23s 物块与皮带相对滑动距离s1＝vt1＋L物块在皮带上滑动的过程中产生的热量Q＝μmgs1得Q＝14J答案：(1)4m/s2m/s(2)－6J(3)14J。
2012年高考数学一轮复习全册课时训练及各单元检测试卷[全套]
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解析 A＝{x|－a≤x≤a}，根据题意可知 1≤a＜2. 10．设集合 A＝{－1,0,1}，集合 B＝{0,1,2,3}，定义 A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}， 则 A*B 中元素的个数为________． 答案 10 解析 由题知，A∩B＝{0,1}，A∪B{－1,0,1,2,3}，所以满足题意的实数对有(0，－1)，
［精品］2012 年高考数学一轮复习全册课时训练及各单元检测试卷解析版［全套］
(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，共 10 个，即 A*B 中的元素 有 10 个． 11．设集合 A、B 都是 U＝{1,2,3,4}的子集，已知(∁UA)∩(∁UB)＝{2}，(∁UA)∩B＝{1}， 且 A∩B＝∅，则 A＝________. 答案 {3,4}
2x－1>0 2x－1<0 或 1－|x|<0 1－|x|>0
)
1 B．x>1 或－1<x< 2 1 D．x<－1 或 x> 2
1 1 x>2 x<2 ∴ 或 x>1或x<－1 －1<x<1 1 ∴x>1 或－1<x< ，故选 B. 2 7．(2011· 徐州质检)已知集合 M＝{x|x2－2008x－2009>0}，N＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若 M ∪N＝R，M∩N＝(2009,2010]，则( A．a＝2009，b＝－2010 C．a＝2009，b＝2010 答案 D 解析 化简得 M＝{x|x<－1 或 x>2009}， 由 M∪N＝R，M∩N＝(2009,2010]可知 N＝{x|－1≤x≤2010}，即－1,2010 是方程 x2＋ ax＋b＝0 的两个根． 所以 b＝－1×2010＝－2010，－a＝－1＋2010，即 a＝－2009. 8．已知不等式 ax2＋bx＋2>0 的解集为{x|－1<x<2}，则不等式 2x2＋bx＋a<0 的解集为 ( ) 1 A．{x|－1<x< } 2 C．{x|－2<x<1} 答案 A 解析 由题意知 x＝－1，x＝2 是方程 ax2＋bx＋2＝0 的根． 1 B．{x|x<－1 或 x> } 2 D．{x|x<－2 或 x>1} ) B．a＝－2009，b＝2010 D．a＝－2009，b＝－2010
2012届高考语文一轮综合复习测试(作文)
2012届高考语文一轮综合复习测试（5）一、阅读下面的材料，按要求作文与梦想相伴，能使荒漠上升起一片绿色，空白处填充一片色彩，孤独时呈现一片活力。
与梦想相伴，大地就会多一分生机，生命就会多一分鲜活，心灵也就会多一分慰藉。
与梦想相伴，前程会更加光明。
你对“与梦想相伴”有什么体会、经历或见解呢？请以“与梦想相伴”为标题，写一篇文章，文体自选，不少于800字。
[写作提示] “梦想”是指美好的理想。
“与梦想相伴”一要谈论树立美好理想对于人生的意义，二要阐述人一旦树立了美好理想，就要时时刻刻用这种“梦想”与精神追求来要求自己，鞭策自己，激励自己，使自己永远朝着美好的目标前进。
二、阅读下面的文字，根据要求写一篇不少于800字的作文人们总想到远方去旅行，远方似乎有身边找不到的东西，不仅仅是自然风光、人文胜地……更多的是一种梦想，一种精神归宿，一种灵魂里涌动的向往。
生活中近的是现实，远的才是诗。
所以远方总像一簇圣火，在人们心中燃烧。
于是，我们总是期盼远方，充满放飞心灵的渴望。
要求：选择一个角度构思作文，自主确定立意，确定文体(诗歌除外)，拟定标题；不要脱离材料内容或超出材料含义范围作文，不要套作，不得抄袭。
[写作提示] 这是一道新材料作文试题，给出的材料是富有文采、富含哲理的一段话。
认真阅读这段材料，整体把握其思想态度，特别要抓住“远方、梦想、归宿、放飞心灵”等关键词语，仔细揣摩其内涵，并加以归纳整合。
作文立意可以是为理想而奋斗，永不言弃；可以是摒弃一切世俗杂念，淡泊名利，让心灵永远恬淡宁静；可以是为了实现自己的人生目标，敢于冲破一切传统观念，放飞心灵，开拓创新，铸就人生新辉煌……三、阅读下面的文字，根据要求作文季羡林先生是当代著名的思想家和文学家。
有一次，季羡林做客央视“百家讲坛”，当主持人请教他，青年人如何才能拥有丰厚的文化积淀和美德修养时，季羡林先生回答说：“在这个问题上，我不知道是否有捷径可走。
以我之见，学会聆听当是最好的选择。
2012届高考语文第一轮课时综合复习题10
(本欄目內容，在學生用書中以活頁形式分冊裝訂！)一、(2011·泰安一模)閱讀下麵的文字，完成後面的題目。
戴車匠□汪曾祺戴車匠是東街一景。
車匠是一種很古老的行業了。
中國什麼時候開始有車匠，無可考。
想來這是很久遠的事了。
所謂車匠，就是在木制的車床上用旋刀車旋小件圓形木器的那種人。
從我記事的時候，全城似只有這一個車匠，一家車匠店。
車匠店離草巷口不遠，坐南朝北。
左鄰是侯家銀匠店，右鄰是楊家香店。
戴家車匠店夾在兩家之間。
門面很小，只有一間。
地勢卻頗高。
跨進門檻，得上五層臺階。
因此車匠店有點像個小戲臺(戴車匠就好像在臺演戲)。
店裏正面是一堵板壁。
板壁上有一副一尺多長、四寸來寬的小小的朱紅對子，寫的是：室雅何須大，花香不在多。
不知這是哪位讀書人的手筆。
但是看來戴車匠很喜歡這副對子。
板壁後面，是住家。
前面，是作坊。
作坊靠西牆，放著兩張車床。
這所謂車床和現代的鐵制車床是完全不同的。
就像一張狹長的小床，木制的，有一個四框，當中有一個車軸，軸上安小塊木料，軸下有皮條，皮條釘在踏板上，雙腳上下踏動踏板，皮條牽動車軸，木料來回轉動，車匠坐在坐板上，兩手執定旋刀，車旋成器，這就是中國的古式的車床，——其原理倒是和鐵制車床是一樣的。
靠裏的車床是一張大的，那還是戴車匠的父親留下的。
老一輩人打東西不怕費料，總是超過需要的粗壯。
這張老車床用了兩代人，坐板已經磨得很光潤，所有的榫頭都還是牢牢實實的，沒有一點活動。
戴車匠嫌它過於笨重，就自己另打了一張新的。
除了做特別沉重的東西，一般都使用外邊較小的這一張。
戴車匠起得很早。
在別家店鋪才卸下鋪板的時候，戴車匠已經吃了早飯，選好了材料，看看圖樣，坐到車床的坐板上了。
一個人走進他的工作，是叫人感動的。
他這就和這張床子成了一體，一刻不停地做起活來了。
看到戴車匠坐在床子上，讓人想起古人說的：“百工居於肆，以成其器。
”中國的工匠，都是很勤快的。
好吃懶做的工匠，大概沒有，——很少。
車匠的木料都是堅實細緻的，檀木——白檀，紫檀，紅木，黃楊，棗木，梨木，最次的也是榆木的。
2012年高考数学一轮复习单元能力测试卷3
D.lim f ( x) ＝ 5 x→１
答案 D
解析 当 x≠１时， lim (2 x＋3) ＝5≠2，故 A、 C错误．故选 D. x→１
m
1
10．设函数 f ( x) ＝ x ＋ ax 的导数 f ′（x) ＝ 2x＋ 1，则数列 f n
n∈ ( N* ) 的前 n 项和
() n
A. n－1
n＋ 1 B. n
19． ( 本题满分 12 分 ) 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是 0.8 π r 2 分，其中 r 是瓶子的半径，单位是 cm，已知每出售 1 mL饮料，制造商可获利 0.2 分， 且制造商制作的瓶子的最大半径为 6 cm.
试求出瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大或最小．
而
m f ′（x) ＝x－ x，即
m≤
x2
在
(
1 2
，＋∞
)
上恒成立，即
三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
)
17． ( 本题满分 10 分 ) 设函数 f ( x) ＝ax3＋ bx＋ c( a≠0) 为奇函数，其图象在点 (1 ， f (1))
处的切线与直线 x－ 6y－ 7＝ 0 垂直，导函数 f ′（x) 的最小值为－ 12.
π
1
12．函数 f ( x) ＝ sin x＋ 2xf ′（3 ) ， f ′（x) 为 f ( x) 的导函数，令 a＝－ 2， b＝log 32，则
下列关系正确的是 (
)
A．f ( a)> f ( b)
C．f ( a) ＝ f ( b)
答案 A
B． f ( a)< f ( b) D． f (| a|)< f ( b)
2012高考数学(文)一轮复习课时作业(北师大版)：第1章第1课时集合的概念与运算
第1章第1课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．已知会合 U＝ { x|0≤ x≤ 6， x∈Z } ， A＝{1,3,6} ， B＝ {1,4,5} ，则 A∩ (?U B)＝ () A ．{1}B． {3,6}C．{4,5}D． {1,3,4,5,6}分析：已知 U ＝ {0,1,2,3,4,5,6} ，所以 ?U B＝ {0,2,3,6} ，则 A∩ (?U B)＝ {3,6} ，应选 B.答案：B2．设全集为R，会合2) M＝ { x|y＝ 2x＋ 1} ，N＝ { y|y＝－ x } ，则 (A．M? N B．N? MC．N＝ M D． M∩ N＝ {( －1，－ 1)}分析：从代表元素下手，认识会合的意义，M 为一次函数的定义域，N 为二次函数的值域，化简判断， M＝R， N＝(－∞， 0]，即 N? M，应选 B.答案：B3．已知会合 M＝ {1 ， a2} ， P＝ { － a，－ 1} ，若 M∪ P 有三个元素，则M∩P 等于 ()A ．{0,1}B． {0 ，－ 1}C．{0}D．{ －1}分析：依据题意只好a2＝－ a，解得 a＝ 0 或 a＝－ 1，查验知只好a＝ 0，此时 M∩ P＝ {0} ．应选 C.答案：C4．已知会合 A＝ { －1,1} ，B＝ { x|ax＋ 1＝ 0} ，若 B? A，则实数 a 的全部可能取值的会合为 ()A．{－1}B． {1}C．{ － 1,1}D． { － 1,0,1}分析：当 a＝ 0 时， B＝ ?，知足 B? A；当 a≠ 0 时， x＝－1，令－1＝ 1 或－1＝－ 1，得 a＝－ 1 或 a a a a＝1，应选 D.答案： D5．(2009 ·西卷江 )已知全集 U ＝ A∪ B 中有 m 个元素，(?U A)∪ (?U B)中有 n 个元素．若 A∩ B 非空，则 A∩ B 的元素个数为()A ．mn B． m＋ nC．n－ m D． m－ n分析：∵ (?U A)∪ (?U B)中有 n 个元素，如右图所示暗影部分，又∵ U＝A∪B中有m个元素，故A∩ B 中有 m－ n 个元素．答案： D6．如下图的韦恩图中， A、 B 是非空会合，定义A* B 表示暗影部分的会合．若x， y∈R， A＝ { x|y ＝2x－ x2} ， B＝ { y|y＝ 3x， x＞ 0} ，则 A* B 为 ()A ．{ x|0＜ x＜ 2} C．{ x|0≤ x≤1 或 x≥ 2}B． { x|1＜ x≤D． { x|0≤ x≤2}1 或 x＞2}分析：A＝ { x|0≤x≤ 2} ，B＝{ y|y＞ 1} ，A∩ B＝ { x|1＜ x≤ 2} ，A∪ B＝ { x|x≥ 0} ，由图可得A* B＝?A∪B(A∩ B)＝{ x|0≤ x≤1 或 x＞ 2} ，应选 D.答案：D二、填空题7．已知会合A＝ {0,2 ， a2} ， B＝ {1 ， a} ，若 A∪B＝ {0,1,2,4} ，则实数a 的值为 ________．分析：若 a＝4，则 a2＝ 16?(A∪ B)，所以 a＝ 4 不切合要求，若a2＝ 4，则 a＝±2，又－ 2?(A∪ B)，∴a＝ 2.答案： 28．已知会合 A＝ { x|x≤1} ， B＝ { x|x≥a} ，且 A∪ B＝R，则实数 a 的取值范围是 ________．分析：∵ A＝ { x|x≤ 1} ， B＝ { x|x≥ a} ，且 A∪ B＝R，如图，故当 a≤ 1 时，命题建立．答案： a≤ 19．已知会合 A 知足条件：当p∈ A 时，总有－ 1∈ A(p≠ 0 且 p≠－ 1)，已知 2∈ A，则会合 A 中全部p＋ 1元素的积等于 ________．分析：依题意， 2∈ A，所以－1＝－1∈ A，进而－ 1＝－3∈ A，－ 1＝ 2∈ A，故 A 中只有2，2＋ 13－1＋12－3＋ 132－1，－3三个元素，它们的积为2×－1×－3＝ 1.3232答案：1三、解答题10．设 A＝ {2 ，－ 1， x2－ x＋ 1} ，B＝ {2 y，－ 4， x＋ 4} ， C＝{ － 1,7} ，且 A∩ B＝ C，求 x、 y 的值．分析：∵A∩ B＝C＝{ －1,7} ，∴必有 7∈ A,7∈ B，－ 1∈ B.即有 x2－ x＋1＝ 7? x＝－ 2 或 x＝3.①当 x＝－ 2 时， x＋ 4＝ 2，又 2∈ A，∴ 2∈A∩ B，但 2?C，∴不知足A∩B＝ C，∴ x＝－ 2 不切合题意．②当 x＝ 3 时， x＋4＝ 7，1∴ 2y＝－ 1? y＝－.1所以， x＝ 3， y＝－2.11．会合 A＝ { x|－ 2≤ x≤ 5} ， B＝ { x|m＋ 1≤ x≤ 2m－1} ．(1)若 B? A，务实数m 的取值范围；(2)当 x∈Z时，求 A 的非空真子集的个数．分析：(1)当 m＋ 1＞ 2m－ 1，即 m＜ 2 时， B＝ ?知足 B? A.当 m＋ 1≤ 2m－ 1，即 m≥ 2 时，要使B? A 建立，m＋ 1≥－ 2需，可得 2≤m≤ 3，2m－ 1≤5综上， m≤ 3 时有 B? A.(2)当 x∈Z时， A＝ { － 2，－ 1,0,1,2,3,4,5} ，812．已知R 为实数集，会合A＝ { x|x2－3x＋ 2≤ 0} ，若 B∪ (?R A)＝R， B∩ (?R A) ＝{ x|0＜ x＜1 或 2＜ x ＜3} ，求会合 B.分析：∵ A＝ { x|1≤ x≤ 2} ，∴?R A＝ { x|x＜ 1 或 x＞2} ．又 B∪ (?R A)＝R， A∪ (?R A)＝R，可得 A? B.而 B∩ (?R A)＝{ x|0＜ x＜ 1 或 2＜ x＜ 3} ，∴ { x|0＜ x＜ 1 或 2＜ x＜ 3} ? B.借助于数轴可得B＝A∪ { x|0＜ x＜ 1 或 2＜ x＜ 3} ＝ { x|0＜x＜ 3} ．。
[原创]2012年高考一轮复习课时作业单元能力测试卷8
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第八章 单元能力测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( ) A ．a ＋b ＝1 B ．a －b ＝1 C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0答案 D2．若直线2x －y ＋c ＝0按向量a ＝(1，－1)平移后与圆x 2＋y 2＝5相切，则c 的值为( ) A ．8或－2 B ．6或－4 C ．4或－6D ．2或－8答案 A解析 直线2x －y ＋c ＝0按a ＝(1，－1)平移后得到2x －y ＋c －3＝0，此直线与圆x 2＋y 2＝5相切，∴r ＝|c －3|5＝5，∴|c －3|＝5，∴c －3＝±5 ∴c ＝8或c ＝－2.3．点P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25内弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0答案 A解析 圆心C (1,0)，则直线AB 是过P 且与CP 垂直的直线，因此直线AB 的方程为x －y －3＝0.4．设直线l ：2x ＋y －1＝0，将l 绕其上一点P 逆时针方向旋转3π4得一新直线l ′，如图，则直线l ′的倾斜角为( )A ．arctan3B ．π－arctan3C ．arctan 13D ．π－arctan 13答案 A解析 设l 的倾斜角为α，则tan α＝－2，tan(α＋3π4)＝tan α－11＋tan α＝－2－11－2＝3.∴直线l ′的倾斜角为arctan3.5．经过A (2，－1)和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝2 C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝ 2 D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝4 答案 A解析 注意到A 点在直线x ＋y ＝1上，从而圆心是直线y ＝－2x 与直线x ＋y ＝1在A 处的垂线y ＋1＝x －2的交点，解得圆心为(1，－2)．再求得半径为2，故选A.6．若P (2，－1)为圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ，(0≤θ≤2π)的某弦的中点，则该弦所在直线的方程是( )A ．x －y －3＝0B ．x ＋2y ＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0答案 A解析 圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ，的圆心坐标为(1,0)，于是弦所在直线的斜率为1.7．已知点B (2，0)，点O 为坐标原点且点A 在圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上，则OA →与OB →的夹角θ的最大值与最小值分别是( )A.π4，0B.5π12，π4C.5π12，π12D.π2，5π12答案 C解析 如右图所示，过原点O 作圆C 的两条切线OA 1、OA 2，由OC ＝2＝2CA 1且CA 1⊥OA 1，得∠A 1OC ＝∠A 2OC ＝30°.又∠BOC ＝45°，∴∠A 1OB ＝45°－30°＝15°，∠A 2OB ＝45°＋30°＝75°.故向量OA →与OB →的夹角θ的最大值为5π12，最小值为π12.8．设数列{a n }是首项为m ，公比为q (q ≠1)的等比数列，S n 是它的前n 项的和，对任意的n ∈N *，点⎝⎛⎭⎫a n ，S 2nS n( ) A ．在直线mx ＋qy －q ＝0上B ．在直线qx －my ＋m ＝0上C ．在直线qx ＋my －q ＝0上D ．不一定在一条直线上 答案 B解析 ∵S 2n S n ＝S n (1＋q n)S n ＝1＋q n ＝1＋a n ·q m ，即q ·a n －m ·S 2nS n＋m ＝0，∴点⎝⎛⎭⎫a n ，S 2nS n在直线qx －my ＋m ＝0上． 9．已知点M (a ，b )在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，确定的平面区域内，则点N (a ＋b ，a －b )到坐标原点的最大距离为( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8答案 B解析a 2＋b 2的最大值为2，|ON |＝2(a 2＋b 2)的最大值为22，选B.10．函数y ＝f (x )的图象是圆心在原点的单位圆在Ⅰ、Ⅲ象限内的两段圆弧，如图，则不等式f (x )<f (－x )＋2x 的解集为( )A ．(－1，－22)∪(0，22) B ．(－1，－22)∪(22，1) C ．(－22，0)∪(0，22) D ．(－22，0)∪(22，1) 答案 D11．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为原点，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．2或－2D.6或－ 6答案 C解析 结合图形，设C 为AB 中点，则|OA →＋OB →|＝2|OC →|，|OA →－OB →|＝|AB →|，即2|OC →|＝|AB→|，当直线x ＋y ＝a 过(2,0)，(0,2)时或过(0，－2)，(－2,0)时恰好有2|OC →|＝|AB →|成立，即|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|成立．此时，实数a ＝2或a ＝－2.12．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离为1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6)C ．(4,6]D ．[4,6]答案 A解析 ∵圆心到直线的距离为5，∴只有4<r <6时，圆上才有两点到直线的距离为1. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．过点P (1,2)且在坐标轴上截距相等的直线方程为________． 答案 x ＋y －3＝0或2x －y ＝0解析 由题意可知直线的斜率必存在，当直线在坐标轴上的截距都为0时，可得该直线2x －y ＝0；当直线在坐标轴上的截距相等且都为a (a ≠0)时，令x a ＋ya＝1.∵该直线过点P (1,2)， ∴1a ＋2a＝1，故a ＝3.∴该直线方程为x ＋y －3＝0. 14．已知a ＝(6,2)，b ＝(－4，12)，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l的一般方程是______________．答案 2x －3y －9＝0解析 由已知可得a ＋2b ＝(－2,3)，则直线l 的斜率为23，则直线l 的方程为2x －3y －9＝0.15．在坐标平面内，与点A (1,3)的距离为2，且与点B (3,1)的距离为32的直线共有________条．答案 116．已知直线x sin α＋y cos α＋1＝0(α∈R)，给出以下四个命题： ①直线的倾斜角为α；②不论α为何值，直线不过原点； ③不论α如何变化，直线总和定圆相切；④当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形面积小于1. 其中正确命题的序号是________． 答案 ②③解析 ∵α∈R ，直线的倾斜角范围为[0，π)，∴①错；∵O (0,0)不适合x sin α＋y cos α＋1＝0，∴②对； ∵O (0,0)到直线x sin α＋y cos α＋1＝0的距离 d ＝|0＋0＋1|sin 2α＋cos 2α＝1，∴该直线和单位圆x 2＋y 2＝1相切，∴③对；∵直线x sin α＋y cos α＋1＝0和坐标轴围成的三角形的面积S ＝12·|1cos α|·|1sin α|＝|1sin2α|≥1，∴④错．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知点P (2，－1)，求： (1)过P 点与原点距离为2的直线方程；(2)过P 点与原点距离最大的直线方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P 点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，说明理由． 思路点拨 充分运用点到直线的距离公式．解析 过P 点斜率为k 的直线方程可设为y ＋1＝k (x －2)即kx －y －2k －1＝0 (1)原点到直线的距离为2，故 |－2k －1|1＋k 2＝2，解之得k ＝34.直线方程为3x －4y －10＝0.又直线x ＝2距离原点也为2，且过点(2，－1)，所以直线方程为3x －4y －10＝0或x ＝2. (2)原点到直线的距离d ＝|－2k －1|1＋k 2，整理得(d 2－4)k 2－4k ＋d 2－1＝0. ①若d 2－4＝0，则k ＝34；②若d 2－4≠0，由Δ＝16－4(d 2－4)(d 2－1)≥0，得0≤d ≤5，所以d 的最大值为5，此时k ＝2，直线方程为2x －y －5＝0.(3)因为原点到直线x ＝2的距离为2，又由(2)知0≤d ≤5，故过点P 且与原点距离为6的直线不存在．18．(本小题满分12分)已知直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25.(1)求证：直线l 与圆C 总相交；(2)求出相交的弦长的最小值及相应的m 值．分析 (1)证直线与圆相交有三法：一、圆心到直线的距离小于圆半径；二、直线与圆的方程组有两解；三、直线总过圆内的点．比较三法，选择计算量小的．(2)圆是确定的，弦长最小，则弦心距最大，可计算，可借已知几何知识．解析 (1)将l 的方程变形为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －7＝0x ＋y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1，即直线l 过定点(3,1)．∵(3－1)2＋(1－2)2<25，∴点(3,1)在圆C 内，于是直线l 与圆C 总相交．(2)当圆心(1,2)和定点(3,1)的连线l 1与l 垂直时，弦长最短． ∵kl 1＝－12，k l ＝－2m ＋1m ＋1，∴－2m ＋1m ＋1＝2∴m ＝－34.此时最短的弦长为225－5＝4 5.19．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切． (1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 满足P A ，PO ，PB 成等比数列，求P A →·PB →的取值范围．解析 (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2.得圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 1<x 2.由x 2＝4即得A (－2,0)，B (2,0)． 设P (x ，y )，由|P A |、|PO |、|PB |成等比数列，得 (x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2， 即x 2－y 2＝2.P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y ) ＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4x 2－y 2＝2.由此得y 2<1.所以P A →·PB →的取值范围为[－2,0)．20．(本小题满分12分)电视台为某个广告公司特约播放两套片集．其中片集甲每集播映时间为20 min ，插播广告时间为1 min ，电视观众为60万，片集乙每集播映时间为10 min ，插播广告时间为1 min ，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有6 min 广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86 min 的节目时间．电视台每周应播映两套片集各多少，才能获得最高的收视率？解析 设片集甲播映x 集，片集乙播映y 集，于是就可将问题中的文字语言转换为下列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，21x ＋11y ≤86.其中x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N.要使收视率最高，则只要z ＝60x ＋20y 最大即可．接下来，将上面的不等式组转化为图形，由图可知，当x ＝2，y ＝4时，z ＝60x ＋20y 取得最大值200万．故电视台每周片集甲和片集乙分别播映2集和4集，其收视率最高．21．(本小题满分12分)已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形P ACB 面积的最小值？解析 解法一 如图，∵点P 在直线3x ＋4y ＋8＝0上，∴可设P (x ，－2－34x )，C 点坐标(1,1)，S 四边形P ACB ＝2S △P AC ＝2×12×|AP |×|AC |＝|AP |×|AC |＝|AP |.∵|AP |2＝|PC |2－|AC |2＝|PC |2－1.∴当|PC |最小时，|AP |最小，四边形P ACB 的面积最小． ∵|PC |2＝(1－x )2＋(1＋2＋34x )2＝2516x 2＋52x ＋10＝(54x ＋1)2＋9，∴|PC |min ＝3，∴四边形P ACB 面积的最小值为2 2.解法二 由解法一可知，需求|PC |的最小值，即求C 到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离． ∵C (1,1)，∴|PC |＝|3＋4＋8|5＝3， ∴S 四边形P ACB ＝2 2.22．(本小题满分12分)已知定点A (0,1)、B (0，－1)、C (1,0)，动点P 满足AP →·BP →＝k |PC →|2. (1)求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线； (2)当k ＝2时，求|2AP →＋BP →|的最大值和最小值．解析 (1)设动点的坐标为P (x ，y )，则AP →＝(x ，y －1)，BP →＝(x ，y ＋1)，CP →＝(x －1，y )． ∵AP →·BP →＝k |PC →|2，∴x 2＋y 2－1＝k [(x －1)2＋y 2]， (1－k )x 2＋(1－k )y 2＋2kx －k －1＝0.若k ＝1，则方程为x ＝1，表示过点(1,0)平行于y 轴的直线．若k ≠1，则方程化为(x ＋k 1－k )2＋y 2＝(11－k )2，表示以(k k －1，0)为圆心，以⎪⎪⎪⎪11－k 为半径的圆．(2)当k ＝2时，方程化为(x －2)2＋y 2＝1.∵2AP →＋BP →＝2(x ，y －1)＋(x ，y ＋1)＝(3x,3y －1)，∴|2AP →＋BP →|＝9x 2＋9y 2－6y ＋1. 又x 2＋y 2＝4x －3，∴|2AP →＋BP →|＝36x －6y －26. ∵(x －2)2＋y 2＝1， ∴令x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ.36x －6y －26＝36cos θ－6sin θ＋46＝637cos(θ＋φ)＋46 ∵637cos(θ＋φ)＋46∈[46－637，46＋637]， ∴|2AP →＋BP →|的最大值为46＋637＝3＋37， 最小值为46－637＝37－3.。
2012年高考第一轮课时复习题9
廊坊八中2012年高考一轮复习课时作业课时作业9 两类动力学问题超重和失重时间：45分钟满分：100分一、选择题(8×8′＝64′)1．一种巨型娱乐器械可以让人体验超重和失重的感觉．一个可乘十多个人的环形座舱套在竖直柱子上，由升降机运送上几十米的高处，然后让座舱自由下落．下落一定高度后，制动系统启动，座舱做减速运动，到地面时刚好停下．下列判断正确的是() A．座舱在自由下落的过程中人处于超重状态B．座舱在自由下落的过程中人处于失重状态C．座舱在减速运动的过程中人处于失重状态D．座舱在减速运动的过程中人处于超重状态答案：BD图12．一物体放置在倾角为θ的斜面上，斜面固定于加速上升的电梯中，加速度为a，如图1所示，在物体始终相对于斜面静止的条件下，下列说法中正确的是() A．当θ一定时，a越大，斜面对物体的正压力越小B．当θ一定时，a越大，斜面对物体的摩擦力越大C．当a一定时，θ越大，斜面对物体的正压力越小D．当a一定时，θ越大，斜面对物体的摩擦力越小图2解析：选物体为研究对象．受力情况如图2所示，建立坐标系，注意因为物体始终相对于斜面静止，所以F f是静摩擦力，加速度向上，所以静摩擦力F f沿斜面向上．竖直方向上F Ncosθ－mg＝ma，也可写成F fsinθ－mg＝ma.则θ一定时，a越大，F N越大，F f越大；a一定时，θ越大，F N越小，F f越大．答案：BC3．在升降机中，一人站在磅秤上，发现自己的体重减轻了20%，则他自己的下列判断可能正确的是(g取10 m/s2)()A．升降机以8 m/s2的加速度加速上升B．升降机以2 m/s2的加速度加速下降C．升降机以2 m/s2的加速度减速上升D．升降机以8 m/s2的加速度减速下降解析：由于磅秤示数减小，故人受到的支持力为重力的80%，由牛顿第二定律，有mg －0.8mg＝ma得a＝2 m/s2，方向竖直向下，B、C对．答案：BC4．如图3甲所示，某人正通过定滑轮将质量为m的货物提升到高处．滑轮的质量和摩擦均不计，货物获得的加速度a与绳子对货物竖直向上的拉力T之间的函数关系如图3乙所示．由图可以判断()图3A．图线与纵轴的交点M的值a M＝－gB．图线与横轴的交点N的值T N＝mgC．图线的斜率等于物体的质量mD．图线的斜率等于物体质量的倒数1 m解析：由牛顿第二定律，有T－mg＝ma，故得a＝Tm－g，当T＝0时，a＝－g，A对；当a＝0时，T＝mg，B对；图线的斜率k＝1m，D对．答案：ABD图45．如图4所示，质量为m的物体用细绳拴住放在水平粗糙传送带上，物体距传送带左端的距离为L，稳定时绳与水平方向的夹角为θ，当传送带分别以v1、v2的速度作逆时针转动时(v1<v2)，绳中的拉力分别为F1、F2；若剪断细绳时，物体到达左端的时间分别为t1、t2则下列说法正确的是()A．F1<F2B．F1＝F2C．t1一定大于t2D．t1可能等于t2解析：皮带以不同的速度运动，物体所受的滑动摩擦力相等，物体仍处于静止状态．故F1＝F2.物体在两种不同速度下运动时有可能先加速再匀速，也可能一直加速，故t1可能等于t2答案：BD图56．如图5所示为杂技“顶杆”表演，一人站在地上，肩上扛一质量为M的竖直竹竿，当竿上一质量为m的人以加速度a加速下滑时，竿对“底人”的压力大小为() A．(M＋m)g－maB．(M＋m)g＋maC．(M＋m)gD．(M－m)g解析：考查牛顿第二定律的应用，超重、失重概念．将杆和人看成一个整体，当人以加速度a加速下滑时，人处于失重状态，失重量为ma，因此系统对支持物的压力会比重力小ma，因此竿对人的压力为(M＋m)g－ma，A项正确．本题难度中等．答案：A7．用同种材料制成倾角为30°的斜面和长水平面，斜面长2.4 m且固定，一小物块从斜面顶端以沿斜面向下的初速度v0开始自由下滑，当v0＝2 m/s时，经过0.8 s后小物块停在斜面上．多次改变v 0的大小，记录下小物块从开始运动到最终停下的时间t ，作出t －v 0图象，如图6所示，则下列说法中正确的是(g ＝10 m/s 2)( )图6A ．小物块在斜面上运动时加速度大小为2.5 m/s 2B ．小物块在斜面上运动时加速度大小为0.4 m/s 2C ．小物块与该种材料间的动摩擦因数为32D ．由图可推断若小物块初速度继续增大，小物块的运动时间也随速度均匀增大 解析： 从图象可知加速度为a ＝v 0t ＝2.5 m/s 2，所以A 正确，B 错误；根据牛顿第二定律有ma ＝μmg cos θ－mg sin θ，得到μ＝32，C 正确；随着初速度增大，小物块会滑到水平面上，规律将不再符合图象中的正比关系，所以D 错误．答案：AC图78．(2009·广东单科)某人在地面上用弹簧秤称得其体重为490 N ．他将弹簧秤移至电梯内称其体重，t 0至t 3时间段内，弹簧秤的示数如图7所示，电梯运行的v －t 图可能是(取电梯向上运动的方向为正)( )解析：由图可知，t 0～t 1，弹簧秤示数小于人的体重，电梯处于失重状态，加速度方向为竖直向下，有两种运动状态：加速下降或减速上升；t 1～t 2，弹簧秤示数等于人的体重，电梯处于平衡状态，即匀速直线运动或静止；t 2～t 3，电梯处于超重状态，加速度方向为竖直向上，有两种运动状态：加速上升或减速下降，故选项A 、D 正确．答案：AD二、计算题(3×12′＝36′)9．(2011·山东泰安检测)小球在流体中运动时，它将受到流体阻碍运动的粘滞阻力．实验发现当小球相对流体的速度不太大时，粘滞阻力F ＝6πηv r ，式中r 为小球的半径，v 为小球相对流体运动的速度，η为粘滞系数，由液体的种类和温度而定．现将一个半径r ＝1.00 mm 的钢球，放入常温下的甘油中，让它下落，已知钢球的密度ρ＝8.5×103 kg/m 3常温下甘油的密度ρ0＝1.3×103 kg/m 3，甘油的粘滞系数η＝0.80(g 取10 m/s 2)．(1)钢球从静止释放后，在甘油中作什么性质的运动？ (2)当钢球的加速度a ＝g /2时，它的速度多大？ (3)钢球在甘油中下落的最大速度v m ＝？解析：(1)钢球在甘油中运动过程中，开始时做加速运动，随着速度的增加钢球受的粘滞阻力增加，而导致钢球受的合外力减小，所以加速度减小，最终加速度为零，钢球匀速运动．(2)钢球向下运动时受浮力：F 浮＝ρ0gV 球粘滞阻力F 和重力mg ，由牛顿第二定律得：mg －F 浮－F ＝ma即：ρV 球g －ρ0V 球g －6πηv r ＝ρV 球·g 2代入数值解得：v ＝8.2×10－3 m/s (3)钢球达最大速度时加速度为零则： ρV 球g －ρ0V 球g －6πηv m r ＝0 代入数值解得：v m ＝2×10－2 m/s.答案：(1)加速度变小的加速运动，最终匀速 (2)8.2×10－3 m/s (3)2×10－2 m/s10．直升机沿水平方向匀速飞往水源取水灭火，悬挂着m ＝500 kg 空箱的悬索与竖直方向的夹角θ1＝45°.直升机取水后飞往火场，加速度沿水平方向，大小稳定在a ＝1.5 m/s 2时，悬索与竖直方向的夹角θ2＝14°，如图8所示．如果空气阻力大小不变，且忽略悬索的质量，试求水箱中水的质量M .(取重力加速度g ＝10 m/s 2；sin14°≈0.242；cos14°≈0.970)图8解析：设悬索对水箱的拉力为T ，水箱受到的阻力为f .直升机取水时，水箱受力平衡． 水平方向：T 1sin θ1－f ＝0① 竖直方向：T 1cos θ1－mg ＝0② 联立①②解得f ＝mg tan θ1③直升机返回，以水箱为研究对象，在水平方向、竖直方向应用牛顿第二定律，由平衡方程得T 2sin θ2－f ＝(m ＋M )a ④ T 2cos θ2－(m ＋M )g ＝0⑤联立④⑤，代入数据解得水箱中水的质量M ＝4.5×103 kg 答案：M ＝4.5×103 kg11．(2009·江苏高考)航模兴趣小组设计出一架遥控飞行器，其质量m ＝2 kg ，动力系统提供的恒定升力F ＝28 N ．试飞时，飞行器从地面由静止开始竖直上升．设飞行器飞行时所受的阻力大小不变，g 取10 m/s 2.(1)第一次试飞，飞行器飞行t 1＝8 s 时到达高度H ＝64 m ．求飞行器所受阻力f 的大小； (2)第二次试飞，飞行器飞行t 2＝6 s 时遥控器出现故障，飞行器立即失去升力．求飞行器能达到的最大高度h ；(3)为了使飞行器不致坠落到地面，求飞行器从开始下落到恢复升力的最长时间t 3. 解析：(1)第一次飞行中，设加速度为a 1 匀加速运动H ＝12a 1t 12由牛顿第二定律F －mg －f ＝ma 1 解得f ＝4 N(2)第二次飞行中，设失去升力时的速度为v 1，上升的高度为s 1匀加速运动s 1＝12a 1t 22设失去升力后加速度为a 2，上升的高度为s 2 由牛顿第二定律mg ＋f ＝ma 2 v 1＝a 1t 2 s 2＝v 122a 2解得h ＝s 1＋s 2＝42 m(3)设失去升力下降阶段加速度为a 3；恢复升力后加速度为a 4，恢复升力时速度为v 3 由牛顿第二定律mg －f ＝ma 3 F ＋f －mg ＝ma 4 且v 322a 3＋v 322a 4＝h v 3＝a 3t 3 解得t 3＝322s(或2.1 s)答案：(1)f ＝4 N (2)h ＝42 m (3)t 3＝2.1 s。
2012年高考数学一轮复习 10B-8课时作业
课时作业(五十八)一、选择题1．如图所示，ABCD －EFGH 为边长等于1的正方体，若点P 在正方体的内部且满足AP →＝34AB→＋12AD →＋23AE →.则点P 到直线AB 的距离为( )A.56 B.18112 C.306D.56答案 A解析 建立空间坐标系，则B (0,1,0)，D (－1,0,0)，A (0,0,0)，E (0,0,1)． AP →＝34AB →＋12AD →＋23AE →＝(－12，34，23)，P 点到AB 的距离为－122＋232＝56. 2．如图，二面角α－AB －β的大小为60°，PQ ⊂平面α，∠PQB ＝45°，若PQ ＝4，则点P 到平面β的距离为( )A ．2 3 B. 6 C ．2 6 D ．3 2答案 B解析 过P 向平面β引垂线，垂足为M ，则PM 为P 到β的距离，过M 向AB 引垂线MN ，连结PN .则PN ⊥AB ，∴∠PNM 为α—AB —β的平面角，在Rt△PQN中，∠PQN＝45°，∴PN＝22，在Rt△PMN中，∠PNM＝60°，∴PM＝ 6.3．(2011·湖北八校)如图，正方体A1B1C1D1—ABCD中，O1是上底面A1B1C1D1的中点，若正方体的棱长为2，则O1到平面ABC1D1的距离为( )A.12B.24C.22D.24答案 C解析过A1点作A1E⊥AD1，有为垂足，则A1E＝2，即为点A1到平面ABC1D1的距离．又∵O1为A1C1的中点，∴O1点到平面ABC1D1的距离为22.4．(09·湖北)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中∠ACB＝90°，∠ACC1＝60°，∠BCC1＝45°，侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于( )A.12B.22C.32D.33答案 A解析设C1在底面ABC上的射影为H，连接C1H，作C1D⊥AC于D，连接HD，作C1E⊥BC于E，连接HE，又∠ACB＝90°，则易知四边形HDCE为矩形．在Rt△C1DC中，C1D＝32，在Rt△C1EC中，CE＝22，所以DH＝CE＝22，则C1H＝322－222＝12，故选A.5．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若E、F分别是BC、DD1的中点，则B1到平面ABF的距离为( )A.33B.55C.53D.255答案 D解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,1)，B 1(1,1,0)，设F (0,0，12)，E (12，1,1)，B (1,1,1)AB →＝(0,1,0)，B 1E →＝(－12，0,1)，AF →＝(－1,0，－12)．∵AF →·B 1E →＝(－1,0，－12)·(－12，0,1)＝0，∴AF →⊥B 1E →，又AB →⊥B 1E →，∴B 1E →⊥平面ABF ，平面ABF 的法向量为B 1E →＝(－12，0,1)，AB 1→＝(0,1，－1)．B 1到平面ABF 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB 1→·B 1E →B 1E →＝255. 6．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB A ′B ′等于( )A ．2 1B ．3 1C ．3 2D ．4 3答案 A解析 在Rt △ABB ′中，AB ′＝AB ·sin π4＝22AB .在Rt △ABA ′中，AA ′＝AB ·sin π6＝12AB .在Rt △AA ′B ′中，A ′B ′＝AB ′2－AA ′2＝12AB .∴AB A ′B ′＝2：1. 二、填空题7．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1.若二面角C －AB －C 1的大小为60°，则点C 1到直线AB 的距离为________．答案3解析 如图，作CD ⊥AB ，连结C 1D ，则∠C 1DC 就是二面角C 1－AB －C 的平面角，即∠C 1DC ＝60°，在Rt △C 1CD 中，CD ＝32，则C 1D ·cos60°＝32得C 1D ＝3，即C 1到直线AB 的距离为 3. 8．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，若AB ＝1，则点C 到平面A 1BD 的距离为________．答案33解析 由对称性，点C 到平面A 1BD 的距离等于点A 到平面A 1BD 的距离，后得等于13AC 1＝33.评析 这个快法是“距离化归”；也可用“体积法”；这两个方法都是“几何法”．本题也可以用“向量法”求解．三、解答题9．(2011·苏北四市)已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝2，A 1在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知BA 1⊥AC 1.(1)求证：AC 1⊥A 1C ；(2)求CC 1到平面A 1AB 的距离； (3)求二面角A －A 1B －C 的大小．解析 解法一 (1)∵A 1D ⊥平面ABC ，∴平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，又BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面AA 1C 1C ，∴BC ⊥AC 1，又∵BA 1⊥AC 1，BA 1∩BC ＝B ，∴AC 1⊥平面A 1BC ，又∵A 1C ⊂平面A 1BC ，∴AC 1⊥A 1C .(2)因为AC 1⊥A 1C ，所以四边形AA 1C 1C 为菱形，故AA 1＝AC ＝2，CC 1∥平面A 1AB ，又D 为AC 的中点，知∠A 1AC ＝60°.取AA 1的中点F ，则AA 1⊥平面BCF ，从而平面A 1AB ⊥平面BCF ，过C 作CH ⊥BF 于H ，则CH ⊥平面A 1AB ，在Rt △BCF 中，BC ＝2，CF ＝3，故CH ＝2217，即CC 1到平面A 1AB 的距离为CH ＝2217.(3)过H 作HG ⊥A 1B 于G ，连结CG ，则CG ⊥A 1B ，从而∠CGH 为二面角A －A 1B －C 的平面角，在Rt △A 1BC 中，A 1C ＝BC ＝2，所以CG ＝2，在Rt △CGH 中，sin CGH ＝CH CG ＝427，故二面角A －A 1B －C 的大小为arcsin427.解法二 (1)如图，取AB 的中点E ，连结DE ，则DE ∥BC ，因为BC ⊥AC ，所以DE ⊥AC ，又A 1D ⊥平面ABC ，以DE ，DC ，DA 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，C (0,1,0)，B (2,1,0)，A 1(0,0，t )，C 1(0,2，t )(t >0)，AC 1→＝(0,3，t )，BA 1→＝(－2，－1，t )，CB →＝(2,0,0)，由AC 1→·CB →＝0，知AC 1⊥CB ，又BA 1⊥AC 1，从而AC 1⊥平面A 1BC .所以AC 1⊥A 1C .(2)由AC 1→·BA 1→＝－3＋t 2＝0，得t ＝ 3.设平面A 1AB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，AA 1→＝(0,1，3)，AB →＝(2,2,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AA 1→＝y ＋3z ＝0n ·AB →＝2x ＋2y ＝0，设z ＝1，则n ＝(3，－3，1)，所以点C 1到平面A 1AB 的距离d ＝|AC 1→·n ||n |＝2217.(3)设平面A 1BC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，CA 1→＝(0，－1，3)，CB →＝(2,0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ·CA 1→＝－y ＋3z ＝0m ·CB →＝2x ＝0，设z ＝1，则m ＝(0，3，1)，故cos<m ，n >＝－77，根据法向量的方向，可知二面角A －A 1B －C 的大小为arccos77. 10．如图所示，四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝CD ＝2AB ＝2，M 为PC 的中点．求：(1)BM 与AD 所成的角；(2)BM 与平面PBD 所成角的正弦值； (3)C 点到平面PBD 的距离； (4)二面角C －BD －P 的余弦值．解析 以A 点为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，则B (1,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，M (1,1,1)．(1)∵cos<BM →，AD →>＝BM →·AD →|BM →||AD →|＝0，1，1·0，2，02·2＝22，故BM 与AD 所成的角为45°.(2)设平面PBD 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·BD →＝(x ，y ，z )·(－1,2,0)＝－x ＋2y ＝0，∴x ＝2y .n ·PD →＝(x ，y ，z )·(0,2，－2)＝2y －2z ＝0，∴z ＝y .取y ＝1，则n ＝(2,1,1)， ∴cos<BM →，n >＝BM →·n |BM →||n |＝0，1，1·2，1，12·6＝33. 设BM 与平面PBD 所成的角为θ，则sin θ＝cos<BM →，n >＝33即为所求．(3)C 点到平面PBD 的距离d ＝|n ·BC →|n ||＝|2，1，1·1，2，0|2，1，1||＝236.(4)由于平面PBD 的一个法向量n ＝(2,1,1)，平面BCD 的一个法向量为AP →＝(0,0,2)，而cos<AP →，n >＝AP →·n |AP →|·|n |＝0，0，2·2，1，12·6＝66.显然二面角C －BD －P 的平面角为钝角，故所求角的余弦值为－66. 评析 本题既可以用空间向量方法求解，也可以用传统几何方法求解，而用空间向量方法求解要简单一些．11．如右图所示，已知：ABCD 为边长是4的正方形，E 、F 分别为AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC ＝2，求B 点到平面EFG 的距离．答案21111解法一 连结BF 、BG ，S △BEF ＝12BE ·FA ＝12·2·2＝2，又E 、F 分别为AB 、AD 中点，∴EF ＝12BD ＝2 2.CH ＝34AC .∴GH ＝GC 2＋CH 2＝22＋34·422＝22，S △GEF ＝12·22·22＝211 V B —EFG ＝13·211·h ＝2311h ， V G —BEF ＝13·2·2 ∴h ＝21111. 解法二 ∵E 、F 分别为AB 、AD 的中点， ∴EF ∥BD∴B 到平面GEF 的距离为BD 上任一点到平面GEF 的距离．BD ⊥AC 交于O ，EF ∥BD ， ∴EF ⊥AC ，又GC ⊥平面ABCD .EF ⊂平面ABCD . ∴EF ⊥GC ，EF ⊂平面GEF ，∴面GEF ⊥平面GCH ，过O 点作OO ′⊥HG ，则OO ′⊥平面GEF ，OO ′为O 到平面GCH 的距离，即B 到面GEF 的距离．OH ＝14AC ＝2，由解法一知GH ＝22，由△HOO ′∽△HCG 得OH GH ＝OO ′GC，OO ′＝21111. 解法三 如图建立空间直角坐标系D —xyz 则F (2,0,0)，E (4,2,0)，B (4,4,0)，G (0,4,2)∴FE →＝(2,2,0)， FG →＝(－2,4,2)， BE →＝(0，－2,0)设平面GFE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE →＝0n ·FG→即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0－x ＋2y ＋z ＝0取x ＝1，y ＝－1，z ＝3，∴n ＝(1，－1,3) ∴点B 到平面FEG 的距离为 d ＝|n ·BE →||n |＝211＝21111评析 求点到平面距离是重点，其方法有：①直接作出点到面的垂线段，再计算②平行转移法．即通过线面平行，转化其它点到平面的距离．③体积法．④利用向量．12．已知：正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点．(1)求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； (2)求点D 1到平面B 1EF 的距离．(1)证明 建立如右图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (22，22，0)，E (22，2，0)， F (2，22，0)，D 1(0,0,4)， B 1(22，22，4)．EF →＝(－2，2，0)，DB →＝(22，22，0)，DD 1→＝(0,0,4)，∴EF →·DB →＝0，EF →·DD 1→＝0. ∴EF ⊥DB ，EF ⊥DD 1，DD 1∩BD ＝D ， ∴EF ⊥平面BDD 1B 1.又EF ⊂平面B 1EF ，∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. (2)解析 由(1)知D 1B 1→＝(22，22，0)，EF →＝(－2，2，0)，B 1E →＝(0，－2，－4)设平面B 1EF 的法向量为n ，且n ＝(x ，y ，z ) 则n ⊥EF →，n ⊥B 1E →即n ·EF →＝(x ，y ，z )·(－2，2，0)＝－2x ＋2y ＝0，n ·B 1E →＝(x ，y ，z )·(0，－2，－4)＝－2y －4z ＝0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝－24， ∴n ＝(1,1，－24)，∴D 1到平面B 1EF 的距离d ＝|D 1B 1→·n ||n |＝|22＋22|12＋12＋－242＝161717.13．如图，四棱柱P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PB ⊥BC ，PD ⊥CD ，且PA ＝2，E 为PD 的中点．(1)求证：PA ⊥平面ABCD ； (2)求二面角E －AC －D 的大小；(3)在线段BC 上是否存在点F ，使得点E 到平面PAF 的距离为255？若存在，确定点F 的位置；若不存在，请说明理由．解析 解法一 (1)∵底面ABCD 为正方形，∴BC ⊥AB ，又BC ⊥PB ，∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PA ，同理CD ⊥PA .∴PA ⊥平面ABCD .(2)设M 为AD 的中点，连结EM . 又E 为PD 的中点． 可得EM ∥PA . 从而EM ⊥底面ABCD .过M 作AC 的垂线MN ，垂足为N ，连结EN . 由三垂线定理知EN ⊥AC .∴∠ENM 为二面角E －AC －D 的平面角． 在Rt △EMN 中，可求得EM ＝1，MN ＝22， ∴tan ENM ＝EM MN＝ 2∴二面角E －AC －D 的大小为arctan 2 (3)由E 为PD 的中点可知，要使得点E 到平面PAF 的距离为255，即要求点D 到平面PAF 的距离为455.过D 作AF 的垂线DG ，垂足为G ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴平面PAF ⊥平面ABCD .∴DG ⊥平面PAF ，即DG 为点D 到平面PAF 的距离．∴DG ＝455. ∴AG ＝255. 设BF ＝x ，由△ABF 与△DGA 相似可得AB BF ＝DG GA .∴2x＝2，即x ＝1. ∴在线段BC 上存在点F ，且F 为BC 的中点，使得点E 到平面PAF 的距离为255. 解法二 (1)同解法一：(2)建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .则A (0,0,0)，C (2,2,0)，E (0,1,1)．设m ＝(x ，y ，z )为平面AEC 的一个法向量．则m ⊥AE →，m ⊥AC →.又AE →＝(0,1,1)，AC →＝(2,2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋z ＝0，2x ＋2y ＝0. 令x ＝1，则y ＝－1，z ＝1，得m ＝(1，－1,1)．又AP →＝(0,0,2)是平面ACD 的一个法向量．设二面角E －AC －D 的大小为θ，则cos θ＝cos(mAP →)＝m ·AP →|m |·|AP →|＝23·2＝33. ∴二面角E －AC －D 的大小为arccos 33. (3)设F (2，t,0)(0≤t ≤2)，n ＝(a ，b ，c )为平面PAF 的一个法向量，则n ⊥AP →，n ⊥AF →.又AP →＝(0,0,2)，AF →＝(2，t,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2c ＝0，2a ＋tb ＝0.令a ＝1，则b ＝－2，c ＝0.得n ＝(t ，－2,0)．又AE →＝(0,1,1)∴点E 到平面PAF 的距离为|AE →·n ||n |＝2t 2＋4. ∴2t 2＋4＝255，解得t ＝1，即F (2,1,0)．∴在线段BC 上存在点F ，且F 为BC 的中点，使得点E 到平面PAF 的距离为255.。
2012年高考数学一轮复习 10B-6课时作业
课时作业(五十六)一、选择题1．已知AB →＝(2,4,5)，CD →＝(3，x ，y )，若AB →∥CD →，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152答案 D解析∵AB →∥CD →，∴32＝x 4＝y 5，∴x ＝6，y ＝152.2．已知A (1,0,0)、B (0,1,0)、C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A ．(33，33，－33) B ．(33，－33，33) C ．(－33，33，33) D ．(－33，－33，－33) 答案 D解析AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1) 设平面ABC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0－x ＋z ＝0令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,1,1)单位法向量为：±n |n |＝±(33，33，33)．3．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1,4)确定的平面上，则a 等于( )A ．16B ．4C ．2D ．8 答案 A解析PA →＝(－1，－3,2)，PB →＝(6，－1,4)．根据共面向量定理，设PC →＝xPA →＋yPB →(x 、y ∈R)，则(2a －1，a ＋1,2)＝x (－1，－3,2)＋y (6，－1,4) ＝(－x ＋6y ，－3x －y,2x ＋4y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝－x ＋6y ，a ＋1＝－3x －y ，2＝2x ＋4y ，解得x ＝－7，y ＝4，a ＝16.4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM ( )A ．是AC 和MN 的公垂线B ．垂直于AC ，但不垂直于MN C ．垂直于MN ，但不垂直于ACD ．与AC 、MC 都不垂直 答案 A解析 建立空间直角坐标系，通过向量运算可得．5．(2011·某某某某)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在A 1D 、AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则( )A ．EF 至多与A 1D 、AC 之一垂直B ．EF 是A 1D ，AC 的公垂线 C ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面 答案 B解析 设AB ＝1，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E (13，0，13)，F (23，13，0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，A 1D →＝(－1,0，－1)，AC →＝(－1,1,0)，EF →＝(13，13，－13)，BD 1→＝(－1，－1，1)，EF→＝－13BD 1→，A 1D →·EF →＝AC →·EF →＝0，从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .6．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A.337，－157，4B.407，－157，4C.407，－2,4 D ．4，407，－15 答案 B解析∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC →＝(3,1,4)，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －1＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.二、填空题7．设平面α与向量a ＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b ＝(2,3,1)垂直，则平面α与β位置关系是________．答案 垂直解析 由已知a ，b 分别是平面α，β的法向量． ∵a ·b ＝－2＋6－4＝0， ∴a ⊥b ，∴α⊥β.8．若|a |＝17，b ＝(1,2，－2)，c ＝(2,3,6)，且a ⊥b ，a ⊥c ，则a ＝________. 答案 (－185，2，15)或(185，－2，－15)解析 设a ＝(x ，y ，z )， ∵a ⊥b ，∴x ＋2y －2z ＝0.① ∵a ⊥c ，∴2x ＋3y ＋6z ＝0.② ∵|a |＝17.∴x 2＋y 2＋z 2＝17.③ ∴联立①②得x ＝－18z ，y ＝10z ， 代入③得425z 2＝17，z ＝±15.∴a ＝(－185，2，15)或(185，－2，－15)．9．设a ＝(1,2,0)，b ＝(1,0,1)，则“c ＝(23，－13，－23)”是“c ⊥a ，c ⊥b 且c 为单位向量”的________．(将正确的序号填上)．①充要条件 ②充分不必要条件 ③必要不充分条件④既非充分条件也非必要条件 答案②解析 当c ＝(23，－13，－23)时，c ⊥a ，c ⊥b 且c 为单位向量，反之则不成立．三、解答题10．棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在一点P 使B 1D ⊥平面PAC?解析 以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系设存在点P (0,0，z )，AP →＝(－a,0，z )，AC →＝(－a ，a,0)，DB 1→＝(a ，a ，a )． ∵B 1D ⊥平面PAC ， ∴DB 1→·AP →＝0，DB 1→·AC →＝0. ∴－a 2＋az ＝0.∴z ＝a ，即点P 与D 1重合．∴存在一点P ，即点P 与D 1重合时，DB 1⊥平面PAC .11．(2011·某某质检)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点，试在棱CC 1上求一点P ，使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .解析 如图所示，以D 为原点，直线DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，CP ＝a ，则P (0,1，a )、A 1(1,0,1)、B 1(1,1,1)、E (12，1,0)、C 1(0,1,1)，∴A 1B 1→＝(0,1,0)，A 1P →＝(－1,1，a －1)， DE →＝(12，1,0)，DC 1→＝(0,1,1)．设平面A 1B 1P 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1B 1→＝0，n 1·A 1P →＝0即⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝0，－x 1＋y 1＋a －1z 1＝0.令z 1＝1，得x 1＝a －1， ∴n 1＝(a －1,0,1)．设平面C 1DE 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·DE →＝0，n 2·DC 1→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋y 2＝0，y 2＋z 2＝0.令x 2＝－2，y 2＝1，z 2＝－1，∴n 2＝(－2,1，－1)． ∵面A 1B 1P ⊥面C 1DE ，∴n 1·n 2＝0⇒－2(a －1)－1＝0，得a ＝12.∴当P 为C 1C 的中点时，平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .12．已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，2AB ＝2AD ＝CD ，侧面PAD 是正三角形且垂直于底面ABCD ，E 是PC 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PCD ；(2)在PB 上是否存在一点F ，使AF ∥平面BDE?解析 (1)证明 以AD 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB ＝AD ＝2，则有B (1,2,0)，C (－1,4,0)，D (－1,0,0)，P (0,0，3)，E (－12，2，32)， ∴BE →＝(－32，0，32)，PC →＝(－1,4，－3)，CD →＝(0，－4,0)，∴BE →·PC →＝(－32，0，32)·(－1,4，－3)＝0，BE →·CD →＝(－32，0，32)·(0，－4,0)＝0.即BE ⊥PC ，BE ⊥CD .又PC ∩CD ＝C ，∴BE ⊥平面PCD .(2)解析 设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵n ⊥BE →，n ⊥DE →，∴n ·BE →＝0，n ·DE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－32x ＋32z ＝012x ＋2y ＋32z ＝0，令y ＝－1，则x ＝1，z ＝ 3.∴平面BDE 的一个法向量为(1，－1，3)． 取PB 中点F ，则有F (12，1，32)．又A (1,0,0)，∴AF →＝(－12，1，32)，∵AF →·n ＝(－12，1，32)·(1，－1，3)＝－12－1＋32＝0，∴AF →⊥n .又n 是平面BDE 的法向量，且AF ⊄平面BDE ， ∴AF ∥平面BDE .故存在PB 中点F 使AF ∥平面BDE .13．(2010·卷，理)如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE ⊥AC ，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE .解析 (1)设AC 与BD 交于点G ，因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以AF ∥平面BDE .(2)因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，且CE ⊥AC ，所以CE ⊥平面ABCD .如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C －xyz .则C (0,0,0)，A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，E (0,0,1)，F (22，22，1)．所以C F →＝(22，22，1)，B E →＝(0，－2，1)，D E →＝(－2，0,1)．所以C F →·B E →＝0－1＋1＝0，C F →·D E →＝－1＋0＋1＝0.所以CF ⊥BE ，CF ⊥DE ，所以CF ⊥平面BDE .。
2012年高考数学一轮复习 4-专题1课时作业
4专题1课时作业一、选择题1．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项之和为( )A ．2n－1 B ．n ·2n－n C ．2n ＋1－n D ．2n ＋1－n －2答案 D解析 记a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1∴S n ＝2·2n－12－1－n ＝2n ＋1－2－n2．数列{a n }、{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为( ) A.13B.512 C.12D.712 答案 B 解析b n ＝1a n ＝1n ＋1n ＋2＝1n ＋1－1n ＋2S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋111－112＝12－112＝512 3．已知等差数列公差为d ，且a n ≠0，d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1可化简为( )A.nd a 1a 1＋nd B.na 1a 1＋ndC.da 1a 1＋ndD.n ＋1a 1[a 1＋n ＋1d ]答案 B 解析∵1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)∴原式＝1d (1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1)＝1d (1a 1－1a n ＋1)＝na 1·a n ＋1，选B4．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2008的值为( )A.20052006B.20062007 C.20072008D.20082009答案 D解析 直线与x 轴交于(2n，0)，与y 轴交于(0，2n ＋1)， ∴S n ＝12·2n ·2n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴原式＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12008－12009)＝1－12009＝20082009二、填空题5．(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝____________. 答案 5050 解析 原式＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝100×100＋12＝50506．S n ＝122－1＋142－1＋…＋12n 2－1＝________. 答案n2n ＋1 解析 通项a n ＝12n 2－1＝12n －12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)∴S n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋17．(2010·《高考调研》原创题)某医院近30天每天因患甲型H1N1流感而入院就诊的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且满足a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，则该医院30天内因患甲型H1N1流感而入院就诊的人数共有________．答案 255解析 当n 为偶数时，由题易得a n ＋2－a n ＝2，此时为等差数列；当n 为奇数时，a n ＋2－a n＝0，此时为常数列，所以该医院30天内因患甲型H1N1流感而入院就诊的人数总和为S 30＝15＋15×2＋15×142×2＝255.三、解答题8．(2010·某某卷，文)已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n . 解析 (1)因为{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列，所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21.S n ＝19n ＋n n －12·(－2)＝－n 2＋20n .(2)由题意知b n －a n ＝3n －1，所以b n ＝3n －1＋a n ＝3n －1－2n ＋21.T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n－12.9．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n q 2，(q ≠0) 求和：1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n.解 由题意得1a 2n －1＝1a 1q 2－2n ，1a 2n ＝1a 2q 2－2n，于是1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝(1a 1＋1a 3＋…＋1a 2n －1)＋(1a 2＋1a 4＋…＋1a 2n )＝1a 1(1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2)＋1a 2(1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2)＝32(1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q2n －2)．当q ＝1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32(1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2)＝32n ，当q ≠1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32(1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2)＝32(1－q －2n1－q －2)＝32[q 2n－1q 2n －2q 2－1]． 故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n＝⎩⎪⎨⎪⎧32n ， q ＝132[q 2n－1q 2n －2q 2－1]， q ≠1.10．数列{a n }的前n 项和为S n ＝10n －n 2，求数列{|a n |}的前n 项和． 解析 易求得a n ＝－2n ＋11(n ∈N *)． 令a n ≥0，得n ≤5；令a n ＜0，得n ≥6. 记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，则： (1)当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝10n －n 2. (2)当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5－a 6－a 7－…－a n＝2(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝2S 5－S n ＝n 2－10n ＋50.综上，得T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10nn ≤5时；n 2－10n ＋50n ≥6时.11．已知数列{a n }为等比数列．T n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋a n ，且T 1＝1，T 2＝4(1)求{a n }的通项公式． (2)求{T n }的通项公式． 解析 (1)T 1＝a 1＝1T 2＝2a 1＋a 2＝2＋a 2＝4，∴a 2＝2∴等比数列{a n }的公比q ＝a 2a 1＝2 ∴a n ＝2n －1(2)解法一：T n ＝n ＋(n －1)·2＋(n －2)·22＋…＋1·2n －1①2T n ＝n ·2＋(n －1)22＋(n －2)23＋…＋1·2n② ②－①得T n ＝－n ＋2＋22＋…＋2n －1＋2n＝－n ＋21－2n1－2＝－n ＋2n ＋1－2＝2n ＋1－n －2解法二：设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ∴S n ＝1＋2＋…＋2n －1＝2n－1∴T n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ＝a 1＋(a 1＋a 2)＋…＋(a 1＋a 2＋…＋a n )＝S 1＋S 2＋…＋S n ＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1) ＝(2＋22＋ (2))－n ＝21－2n1－2－n＝2n ＋1－n －212．设数列{a n }是公差大于0的等差数列，a 3，a 5分别是方程x 2－14x ＋45＝0的两个实根． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n ＋12n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)因为方程x 2－14x ＋45＝0的两个根分别为5、9，所以由题意可知a 3＝5，a 5＝9，所以d ＝2，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1.(2)由(1)可知，b n ＝a n ＋12n ＋1＝n ·12n ，∴T n ＝1×12＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ·12n ①，∴12T n ＝1×122＋2×123＋…＋(n －1)×12n ＋n ·12n ＋1②， ①－②得，12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －1＋12n －n ·12n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，所以T n ＝2－n ＋22n .13．已知数列{a n }的首项a 1＝23，a n ＋1＝2a na n ＋1，n ＝1,2，….(1)证明：数列{1a n－1}是等比数列；(2)求数列{n a n}的前n 项和S n . 解 (1)∵a n ＋1＝2a n a n ＋1，∴1a n ＋1＝a n ＋12a n ＝12＋12·1a n ，∴1a n ＋1－1＝12(1a n －1)，又a 1＝23，∴1a 1－1＝12.∴数列{1a n －1}是以12为首项，12为公比的等比数列． (2)由(1)知1a n －1＝12·12n －1＝12n ，即1a n ＝12n ＋1，∴n a n ＝n2n ＋n .设T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n .①则12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1.② ①－②得12T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1＝121－12n1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1， ∴T n ＝2－12n －1－n 2n ，又1＋2＋3＋…＋n ＝nn ＋12，∴数列{n a n }的前n 项和S n ＝2－2＋n 2n ＋n n ＋12＝n 2＋n ＋42－n ＋22n .。
2012年高考数学一轮复习 10A-4课时作业
课时作业(五十)一、选择题1．已知不同直线m、n及不重合平面P、Q，给出下列结论：①m⊂P，n⊂Q，m⊥n⇒P⊥Q②m⊂P，n⊂Q，m∥n⇒P∥Q③m⊂P，n⊂P，m∥n⇒P∥Q④m⊥P，n⊥Q，m⊥n⇒P⊥Q其中的假命题有( )A．1个B．2个C．3个 D．4个答案 C解析①为假命题，m不一定与平面Q垂直，所以平面P与Q不一定垂直．命题②与③为假命题，②中两平面可以相交，③没有任何实质意义．只有④是真命题，因为两平面的垂线所成的角与两平面所成的角相等或互补．2．命题p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，则必有α∥γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A．命题“p且q”为真 B．命题“p或q”为假C．命题“p且q”为真 D．命题“綈p或非q”为假答案 B解析据题意可知对于命题p，显然与一平面都垂直的两平面的位置关系是平行或相交，如将一本书打开，每一X纸所在平面都与桌面垂直，但这些平面相交，即命题p是假命题；对命题q，只需使平面α内的两点连线与平面β平行，使第三点与这两点的连线与平面β的交点为线段的中点即可满足条件，故命题q是假命题；A.由于p和q都是假命题，因此命题：“p且q”应为假命题；B.由于p和q都是假命题，故“p或q”应为假命题．故B正确；C错误；D.由于p和q都是假命题，故非p和非q都是真命题，从而“非p或非q”为真命题，故D是错误的．3．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点，现在沿着AE 和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在四面体A－EFH中必有( )A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．AG⊥△EFH所在平面答案 A解析∵AD⊥DF，AB⊥BE∵B、C、D重合记为H∴AH⊥HF，AH⊥HE∴AH⊥面EFH.4．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；②若m∥α，α⊥β，则m⊥β；③若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α；④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β.则其中正确命题的序号为________．答案①③④解析①③④正确．②中，可能有m∥β，故②不正确．5．若平面α，β，满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题为( ) A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面βC．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P垂直于直线l的直线在平面α内答案 D解析根据面面垂直的性质定理，得选项B、C正确．对于A，由于过点P垂直于平面α的直线必平行于β内垂直于交线的直线，因此平行于平面β.因此A正确．6．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段答案 A解析BD1⊥平面AB1C.7．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H 必在( )A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部答案 A解析∵CA⊥AB，CA⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴CA⊥平面ABC1.∴平面ABC⊥平面ABC1.∴过C1作垂直于平面ABC的直线在平面ABC1内，∴H∈AB.二、解答题8．(09·某某)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)答案(1)(2)解析(1)α内两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，正确．(2)平面α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l平行于α，正确．(3)如图，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，但不一定有α⊥β，错误．(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直，而该命题缺少“相交”两字，故为假命题．综上所述，真命题的序号为(1)(2)．9．如图所示，PA ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC . 其中正确结论的序号是________． 答案①②③解析 由题意知PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC . 又AC ⊥BC ，PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC .∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，∴AF ⊥平面PBC ， ∴AF ⊥PB ，AF ⊥BC .又AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ， ∴PB ⊥平面AEF .∴PB ⊥EF .故①②③正确． 三、解答题10．四面体ABCD 中，AC ＝BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且EF ＝22AC ，∠BDC ＝90°. 求证：BD ⊥平面ACD .证明 如图所示，取CD 的中点G ，连结EG 、FG 、EF . ∵E 、F 分别为AD 、BC 的中点， ∴EG 綊12AC ，FG 綊12BD .又AC ＝BD ，∴FG ＝12AC .∴在△EFG 中，EG 2＋FG 2＝12AC 2＝EF 2.∴EG ⊥FG .∴BD ⊥AC .又∠BDC ＝90°，即BD ⊥CD ，AC ∩CD ＝C ， ∴BD ⊥平面ACD .11．如右图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F分别是AB 、PB 的中点．(Ⅰ)求证：EF ⊥CD ；(Ⅱ)在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论． 解析 (Ⅰ)证法一：∵AE ＝EB ，PF ＝FB ， ∴EF ∥AP .∵ABCD 为正方形，∴AD ⊥DC ，又∵PD ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥CD (三垂线定理)， ∴EF ⊥CD .证法二：取BD 的中点O ，连结FO 、OE . ∵AE ＝EB ，∴OE ∥AD . 又∴AD ⊥CD ∴OE ⊥CD . ∵FP ＝FB ，∴OF ∥PD . ∵PD ⊥底面ABCD ， ∴FO ⊥底面ABCD ， ∵EF ⊥CD (三垂线定理)． (Ⅱ)答：G 是AD 的中点． 方法一：取PC 的中点H ，连结DH . ∵PD ＝DC ，∴DH ⊥PC .又∵BC ⊥平面PDC ，∴BC ⊥DH ，∴DH ⊥平面PCB .取DA 中点G ，连结GF 、FH . ∵HF 綊12BC 綊DG ，∴四边形DGFH 为平行四边形， ∴DH ∥GF ，∴GF ⊥平面PCB .方法二：取AD 中点G ，连结PG 、GB 、GF .∵△PGD ≌△BGA ，∴PG ＝GB . 又∵F 为PB 中点，∴GF ⊥PB .连结GO ，∵FO ⊥底面ABCD ，OG ⊥AD ，∴FG ⊥AD ，∴FG ⊥BC ， ∴FG ⊥平面PBC .12．(2010·东城区)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥DC ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)证明CD ⊥AE ： (2)证明PD ⊥平面ABE ； (3)求二面角A －PD －C 的大小．答案 (1)证明：在四棱锥P －ABCD 中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC . 而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2)证明：由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA . ∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，所以AE ⊥平面PCD . 而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，PD 在底面ABCD 内的射影是AD ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥PD . 又∵AB ∩AE ＝A ，综上得PD ⊥平面ABE .(3)解法一：过点A 作AM ⊥PD ，垂足为M ，连结EM ，由(2)知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则EM ⊥PD .因此∠AME 是二面角A －PD －C 的平面角． 由已知，得∠CAD ＝30°，设AC ＝a ，可得PA ＝a ，AD ＝233a ，PD ＝213a ，AE ＝22a . 在Rt △ADP 中，∵AM ⊥PD ，∴AM ·PD ＝PA ·AD ，则AM ＝PA ·ADPD＝a ·233a 213a ＝277a .在Rt △AEM 中，sin ∠AME ＝AE AM ＝144. 所以二面角A －PD －C 的大小是arcsin144. 解法二：由题设PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ACD ，交线为AD . 过点C 作CF ⊥AD ，垂足为F ，故CF ⊥平面PAD ，过点F 作FM ⊥PD ，垂足为M ，连结CM ，故CM ⊥PD ，因此∠CMF 是二面角A －PD －C 的平面角．由已知，可得∠CAD ＝30°，设AC ＝a ，可得PA ＝a ，AD ＝233a ，PD ＝213a ，CF ＝12a ，FD ＝36a . ∵△FMD ～△PAD ，∴FM PA ＝FD PD. 于是，FM ＝FD ·PA PD ＝36a ·a213a ＝714a .在Rt △CMF 中，tan ∠CMF ＝CF FM ＝12a 714a＝7. 所以二面角A －PD －C 的大小是arctan 7.13．(2011·某某八校)如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，△ACD 是正三角形，AD ＝DE ＝2AB ，且F 是CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE . 证明 (1)取CE 中点P ，连结FP 、BP ， ∵F 为CD 的中点， ∴FP ∥DE ，且FP ＝12DE .又AB ∥DE ，且AB ＝12DE ，∴AB ∥FP ，且AB ＝FP ，∴ABPF 为平行四边形，∴AF ∥BP . 又∵AF ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ， ∴AF ∥平面BCE .(2)∵△ACD 为正三角形，∴AF ⊥CD . ∵AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ， ∴DE ⊥平面ACD . 又AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF .又AF ⊥CD ，CD ∩DE ＝D ， ∴AF ⊥平面CDE .又BP ∥AF ，∴BP ⊥平面CDE . 又∵BP ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .14．(2010·卷，文)如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE . 解析 (1)设AC 与BD 交于点G .因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形，所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)连结FG.因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC，又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF. 所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.15．(2011·海淀区)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC ＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA，又CD⊥AC，PA∩AC＝A，故CD⊥平面PAC，AE⊂平面PAC，故CD⊥AE.(2)∵PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，故PA＝AC.∵E是PC的中点，故AE⊥PC.由(1)知CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD，故AE⊥PD.易知BA⊥PD，故PD⊥平面ABE.。
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第十章单元能力测试卷(B版)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)
1．如右图所示，是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为( )A. B.
C. D.
答案 C
解析把展开图复原为正方体后示意图如右图所示，EGF为AB和CD所成的角，F为正方体一棱的中点．EF＝GF＝，EG＝.
cos∠EGF＝.
2．空间四点A、B、C、D满足||＝3，||＝7，||＝11，||＝9，则·的取值( )A．只有一个
B．有两个
C．有四个
D．有无穷多个
答案 A
解析注意到32＋112＝72＋92＝130，由于＋＋＋＝0，则|2|＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)
＝2－2＋2＋2(2＋·＋·＋·)
＝2－2＋2＋2(＋)·(＋)．
即2·＝2＋2－2－2＝0，所以·只有一个值0，故选A.
3．在半径为10 cm的球面上有A、B、C三点，且AB＝8 cm，ACB＝60°，则球心O到平面ABC 的距离为( )
A．2 cm B．4 cm
C．6 cm D．8 cm
答案 C
解析设平面ABC对应的小圆圆心为M，即三角形ABC的外接圆的圆心，设小圆的半径为r，根据正弦定理有2r＝＝， r＝8 cm.
根据球体的性质OM平面ABC，即球心O到平面ABC的距离d＝OM，且三角形OCM为直角三角形，所以d＝＝d＝，d＝6 cm.选C.
4．已知直线m、n、l和平面α、β、γ，下列条件中，能推出αβ的是( )
A．mα，nβ，mn
B．mα，mβ
C．mα，nα，mβ，nβ
D．αγ，βγ
答案 B
解析如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行．
本题也可以通过反例否定错误选项，从而筛选出正确结论．
例如，对于A，如果α∩β＝l，ml，nl，
那么α与β不平行，对于选项C，
当α与β相交时，存在直线mα、nα，
使得mβ，nβ，从而可排除C.
对于选项D，设α、β为正方体相邻两个侧面，γ为底面，
则满足αγ，βγ，但α与β不平行，从而可剔除D.
5．如右图所示，正四棱锥P－ABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE 所成的角为( )A. B.
C. D.
答案 C
解析连结AC、BD交于点O，连结OE，易得OEPA.∴所求角为BEO.
由所给条件易得OB＝，OE＝PA＝，BE＝，cos∠OEB＝，OEB＝60°，选C.
6．已知平面α平面β，m是α内一条直线，n是β内一条直线，且mn，那么，m⊥β；n⊥α；m⊥β或nα；m⊥β且nα.这四个结论中，不正确的三个是( )
A．B．
C．D．
答案 B
解析对于结论，
可用反证法证明其正确性．
假设mβ和nα都不成立，
因为mn，根据三垂线定理的逆定理，m垂直于n在α上的射影．
由于m和n不可能都与α、β的交线平行，不妨设n与α、β的交线不平行，
从而n与它在α上的射影相交，
故mβ.这与假设矛盾，故mβ或nα.
7．正三棱锥P－ABC中，M、N是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN垂直于侧面PBC，则棱锥的侧面积与底面积的比为( )
A．1 B.∶
C.∶2
D.∶1
答案 D
解析如右图所示，M、N为正三棱锥的侧棱PB、PC之中点，MN∥BC，AM＝AN.
设MN的中点为F，连结AF，连结PF并延长交BC于E，
连结AE，则E为BC的中点．
平面AMN侧面PBC，而MN＝平面AMN∩平面PBC，
AF⊥PE.又F为PE之中点，
PA＝AE.
设底面边长为a，斜高为h′.
则S侧＝×3a·h′，S底＝a2.
又PB＝PA＝AE＝a，BE＝a，
h′＝PE＝＝a.
＝＝＝1.
8．位于北纬x度的A、B两地经度相差90°，且A、B两地间的球面距离为R(R为地球半径)，那么x等于( )
A．30 B．45
C．60 D．75
答案 B
解析记球心为点O，依题意得AOB＝，OA＝OB＝R，因此AB＝R.又A、B两地经度相差90°，因此A、B两地所在的纬线圈的半径是R，x＝45，选B.
9．ABCD－A1B1C1D1为正方体，点P在线段A1C1上运动，异面直线BP与AD1所成角为θ，则θ的取值范围是( )
A．0<θ< B．0<θ≤
C．0<θ< D．0<θ≤
答案 D
解析因为AD1BC1，所以BP与AD1所成的角θ＝C1BP，因为P在A1C1上运动，所以0<θ≤，故选D.
10．如右图所示的多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD的点A作截面AB。