山东大学考研真题-量子力学
1995年山东大学考研高量真题
山东大学1995级硕士研究生 《高等量子力学》试题1996年1月14日1)全试题共五大题,每题20分,满分100分; 考试时间3小时,试题与答卷一起上交。
● 一、处于外电场中的带电谐振子,其哈米顿算符为:,212222x e x m mPH εω-+=其中x e H iS ε-= 是薛定鄂绘景中的相互作用哈米顿。
(1)求出相互作用绘景中相互作用哈米顿量的表示; (2)在相互作用绘景时间演变算符满足的方程为: ),()(),(o I Ii o I t t U t H t t U dtd i =,设初条件为0)0,0(=I U , 计算出相互作用会景中的时间演变算符. ●二、设βα,分别表示自旋为21的粒子在z 轴上投影分别为 21±的波函数。
（1） 求证 角动量算符z J J ,2的共同本征态是mj mj m j m j j m j -+-+=βα)!()!()!2(,，已知)(2)(2βααβαββα∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=i J J y x 只需证明满足关系1)1()1(±±-+=±jm m m j j jm J 。
（2）设z '与z 轴成θ角，角动量本征态jm 在z 轴上投影为 m ，求jm 在z '轴上投影也为 m 的几率。
●三、量子散射是在一定边界条件下求解含时薛定薛定鄂方程)()(t H t ti φφ=∂∂ ，式中μ2,200PH H H H i =+=。
方程的解也可以用格林函数表示。
格林函数满足方程是)()(][00t t t t G H ti '-='--∂∂δ。
在坐标表象给出这个方程的形式，并求出格林函数。
●四、考虑全同玻色子系统（设自旋为0），N 个玻色子系统的基态用>0|φ表示。
取单粒子完备系波函数为xK i eVx⋅=1)(ψ,由此可以构造出场算符。
定义坐标空间粒子的密度算符为)(ˆ)(ˆ)(x x xψψρ+= （1） 求)(xρ在基态上的平均值，（2）在x 处找到粒子，同时在x'处也找到粒子的几率为二粒子关联函数，其表示式为>''<++00|)()()()(|φψψψψφx x x x，计算二粒子关联函数。
山东大学2003博士入学高量试题(A)
1山 东 大 学二OO 三年招收博士学位研究生入学考试试题报考专业 物理类各专业 考试科目 高等量子力学1)全试题共五大题,满分100分; 试题后有数学公式备查。
【一】质量为m 做一维运动粒子的哈密顿算符是mP 22=H ，在0=t 时坐标表象中的波函数是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=2e xp )0,(21x x απαψ。
⑴求空间发生平移l 时，该粒子在动量表象中的波函数； ⑵计算空间平移后的态中坐标算符的不确定值22xx x -=∆。
【二】对于全同玻色子系统，用m j m j a a ,,,+表示单粒子角动量算符z J J ,2本征态m j ,(量子数为m j ,)的单粒子产生、消灭算符。
⑴求证全同粒子系统的总角动量算符z J J ,±表示为∑+±±±-+=mj m j m j a a m m j j ,,1,)1()1( J ∑+=mj jm jm Z a a m , J 。
⑵证明角动量算符代数成立，如证明[]±±±=J J J ,Z ,其他关系也可以类似方法得到。
【三】设一原子系统总角动量为J ，相应的磁矩为 /J B g μ-=μ,这里g 是朗德因子,B μ是玻尔磁子。
设0=t 时原子处于轨道角动量本征态m j ,,在0>t 后置于恒定外磁场n B B t =)(中,系统的哈米顿算符是B H ⋅=μ-。
磁场的方向n 位于xy 平面内，与坐标轴x 夹角为ϕ。
⑴计算角动量算符)(t J ，⑵计算系统t 时刻系统的状态)(t ψ，进而给出态矢)(t ψ含有角动量算符J n n ⋅=J 本征值为 m 的几率。
【四】谐振子相干态等价的表示如下∑+--==+nnn z zaz a n z z 0)ˆ(!e 0e e 222121∑-=nn z n n z !e 221⑴求相干态在动量表象中的波函数。
⑵求动量表象相中干态t 时刻的波函数。
山东大学627物理学基础专业课考研真题(2014-2019年)
以梦为马 不负韶华
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安徽师范大学自命题专业课考研真题（原版试题）
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m
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1997山东大学物理考博真题
1山 东 大 学一九九七年招收博士学位研究生入学考试试题● 一、处于外电场中的带电谐振子,其哈米顿算符为:,212222x e x m m P H ε-ω+= 其中x e H iS ε-= 是薛定鄂绘景中的相互作用哈米顿。
(1)求出相互作用绘景中相互作用哈米顿量的表示; (2)在相互作用绘景时间演变算符满足的方程为:),()(),(o I I i o I t t U t H t t U dtdi = ,设初条件为0)0,0(=IU , 计算出相互作用会景中的时间演变算符.● 二、量子散射是在一定边界条件下求解含时薛定额方程，其边界条件是,)(|)(|>φ−−−→−∞→>ψt t t 式中ψ()t 〉是散射解，φ()t 〉为自由平面波解。
设相互作用哈米顿是H Si,在相互作用绘景中求解散射薛定鄂方程，并证明当t =0时就是定态散射的李普曼－许文格方程，计算时为防止发散，引入绝热近似，即设相互作用哈米顿为+→εε=o ,iH /t e i SH 。
● 三、量子力学中的二次量子化方法，引入粒子的产生与消灭算符以及相应的场算符表示态与力学量。
考虑全同玻色子系统,基态波函数用>φ|表示,定义关联函数为>φψ'ψ'ψψφ<++|)()()()(|x x x x,表示在x 处找到粒子同时在x '处也找到粒子的几率。
由此定义出发计算二粒子关联函数。
● 四、设算符)2,1(,=+r ra r a 是二维各向同性谐振子消灭与产生算符,满足对易关系:[].,,0,,rs s a r a s a r a s a r a δ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=令一矢量算符J的三个分量分别是2.2211213,211222,2112211⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=a a a a J a a a a i J a a a a J(1)求证矢量算符J的三个分量满足通常角动量算符的对易关系;(2)把矢量算符J看成角动量算符,用m j j ),1(+表示2J 与z J 的 本征值(这里取 =1),直接由上面定义出发求证∞=,2,.....,1,20,j 2321. (3)求证z J J ,2的共同本征态可表示成>-+-+++>=0|)!()!()2()1(|m j m j m j a m j a jm 这里0是基态,只要证明满足关系:.1,|)1)((,|>±+±>=±m j m j m j m j J五、一阶球张量算符在空间转动下的变换行为与球函数类似.设m ψ是角动量算符z J 的本征值 m 的本征态,即有本征方程m m z m J ψ=ψ ,对其进行空间转动变换,得到m e e m z z iJ iJ ψ=ψ'ϑ-ϕ- //.求算符zJ ',成立本征关系m m z m J ψ'=ψ'' . 附:公式备查⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ββββββ-βββββ-β=αβγγ+ααγ-αγγγ-α-βα-γ+α-2cos 2cos2sin 22sin 2cos 2sin 2cos 2cos2sin 22sincos 2sin 2cos )(2)(2)()(22)()1(i i i i i i i i e e ee e e e eD ;⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ββ-β=αβγβγ+αγ-αγ-αγ+ε-2)(21)(21)(21)(21)2/1(cos 2sin 2sin 2cos)(i i i i e eee D ;>±±-+>=±1|)1()1(|jm m m j j jm J ;⎰⎰ωπ='-δπ='-δ'-ω'-⋅-d e t t K d e x x t t i x x K i )()(321)(,)2(1)( ;3山东大学1997物理类博士入学高等量子力学试题答案● 一、处于外电场中的带电谐振子,其哈米顿算符为:H m P m x e x =+-1212222Ã,ωε其中S 会景中相互作用哈米顿为H e x S i=-ε (1)求出相互作用会景中相互作用哈米顿量的表示; (2)在相互作用会景中时间演变算符满足的方程为: i ddtU t t H t U t t I o i I I o(,)()(,)=,设初条件为U I (,)000=, 计算出相互作用会景中的时间演变算符. 解：(1)计算相互作用绘景中算符的方法很多,如可以用产生消灭算符表示坐标算符等,这里采用另外一种方法.由//)(t o iH e SF t o iH e t I F -=给出关系//000],[)(t iH S t iH I I I e tF e i H F t F t i -+=∂∂∂∂这里薛定额绘景中算符与时间无关,因此给出dX dt P m dP dtm X I II==-ω2 用普通解微分方程的方法解之,利用t =0时相互作用绘景与薛定额绘景算符相等的条件确定常数,给出X X t Pm t P P t m X t I I =+=-c o s ()s in (),cos ()s i n(),ωωωωωω 解:(2)利用上面求出的相互作用绘景中的坐标算符,给出相互作用哈米顿量,利用相互作用绘景中时间演变算符满足的方程,给出),()s i n ()c o s (),(),(00o I I i I I t t U t m P t X e t t U H t t U dtdi ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-==ωωωε利用初条件 U I (,),001=解出相互作用绘景时间演变算符为U t e Xt P m t P m I i e (,)sin ()c o s()/022=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪εωωωωω● 二、量子散射是在一定边界条件下求解含时薛定额方程，其边界条件是 ψφ()(),t t t →∞−→−−式中ψ()t 〉是散射解，φ()t 〉为4自由平面波解。
山东大学 量子力学考研辅导(1)
n(r), n1,2,
包含时间在内的定态波函数为
n(r,t)eiE nt n(r)
5
含时Schrödinger方程 的一般解为
(r, t) CneiEnt n (r) n1
即 一般解可以写为定态解的叠加。
其中 C n 为任意常数。如果已知初条件
(r,t0) (r) 则常数 Cn 不再是任意的，它由(r) 唯一地确定：
8
6. 在δ函数势场 V(x)A (xa)中，定态波函数
(x) 在xa点连续，但'(x)在xa点不连续：
(a)(a)2 2A(a)
7. 波函数为( x)的一维运动粒子的动量几率分布
函数为
2
几率流W 密(p度) 为(p)2(21 )12 eip x (x)dx
j 2i*(x)ddx(x)(x)ddx*(x)
a 2a 0
n1,3,5, n2,4,6,
| x|a | x|a
V (x)
I II III I
a 1(x) 0 a
x
5. 势能为V(x) 2x2/2的一维谐振子定态能量和波
函数为 Enn1 2, n0,1,2,
n(x )N n e 2x22H n( x ),N n 12 2 nn !
n(x)具有确定的宇称 (1) n 。
2 (x) Bex , x a
(4)
注意：同一个束缚态波函数的不同部分由不同
区域分别求解并通过边界条件联系起来
由连续条件 1(a) 2(a)与 '1 (a) '2 (a)得
16
Asin ka Bea
(5)
Ak cos ka Bea (6) 以上两式相比得
k c tan ka
(7)
山东大学数学分析考研真题2000-2019
2001年山东大学数学分析真题一、填空题1．220cos 21lim sin x x x x→-=+______。
2．2!lim n n n n n→-∞=______。
3．设u ＝xln （xy ），则22u x∂=∂______。
4．积分220x x =⎰______。
5．交换积分次序2120d (,)d x x x f x y y -=⎰⎰______。
6．积分(3,4)(0,1)d d x x y y -+=⎰______。
7．幂级数1(1)n n n n x ∞=+∑的和函数为______。
8．设f （x ）＝arctanx ，则f （2n ＋1）（0）______。
二、1．叙述函数f （x ）在[a ，b] 上一致连续和不一致连续的ε－δ型语言。
2．计算定积分20d x e x +∞-⎰。
3．叙述并证明连续函数的中间值定理。
三、本题任选两题1．设f （x ，y ）处处具有连续的一阶偏导数，且f （1，0）＝f （－1，0），试证在单位圆上存在两点（x 1，y 1）和（x 2，y 2），满足下列两式：x i f y ′（x i ，y i ）－y i f x ′（x i ，y i ）＝0，i ＝1，22．设f （x ）在[0，＋∞] 上连续且f ≥0，如果f （x ）f （y ）f （z ）≤x 2yf （z ）＋y 2zf （x ）＋z 2xf （y ） 求证：520()d 2a f x x a ≤⎰3．设f （x ）在（0，＋∞）上连续可微，且()lim 0x f x x →+∞= 求证：存在序列{x n }使得x n →＋∞且f′（x n ）→0。
2005年山东大学数学分析真题10．f （x ）对一切b 在[0，b]上可积，且lim ()2x f x →+∞=证明 00lim ()d 2t tx t t e f x x -→=⎰11．证明：2101d 16x x x π=-⎰2015年山东大学数学分析真题2016年山东大学数学分析真题2017年山东大学数学分析真题2018年山东大学数学分析真题2019年山东大学数学分析真题。
山东大学2024硕士研究生招生考试初试试题(哲学合辑)
山东大学2024硕士研究生招生考试初试试题科目名称：802西方哲学史
一、概念与命题解释
1.原子论
2.唯实论
3.四假象说
4.真观念
5.扬弃（黑格尔）
二、简答题
1.亚里士多德的十范畴
2.简述中世纪科学、哲学、神学之间的区别和联系
3.斯宾诺莎自由与必然的关系
三、论述题
1.从柏拉图对巴门尼德的批判出发结合哲学史讨论真理与非真理之间的关系。
2.以实体发展为主线讨论从笛卡尔到康德近代哲学的发展历程。
科目名称：612中国古代哲学史
一、名词解释
1.三表
2.劳心劳力
3.人副天数
4.太极图说
5.理一分殊
二、简答题
1.简述孔子之“仁”展示的特征及意义
2.简述韩非的“循名责实”说
三、论述
1.魏晋名教与自然之争及其意义。
2.陆王的心性论、修养论、境界追求，及其重要影响。
科目名称：633宗教学综合
一、名词解释
1.绝地天通
2.佛性
3.全真教
4.东西教大分裂
5.安拉
6.逾越节
7.白莲教
8.顺世论
二、简答题
1简述不真空论。
2.简述保罗在基督教中的作用。
3.简述弥赛亚信仰的作用。
三、论述题
1.论述儒释道三教交互的模式是什么？
2.论述宗教的起源。
《山东大学数学分析2007-2017年考研真题及答案解析》
目录Ⅰ历年考研真题试卷 (2)山东大学2007年招收硕士学位研究生入学考试试题 (2)山东大学2009年招收硕士学位研究生入学考试试题 (3)山东大学2010年招收硕士学位研究生入学考试试题 (5)山东大学2011年招收硕士学位研究生入学考试试题 (6)山东大学2012年招收硕士学位研究生入学考试试题 (7)山东大学2014年招收硕士学位研究生入学考试试题 (8)山东大学2015年招收硕士学位研究生入学考试试题 (10)山东大学2016年招收硕士学位研究生入学考试试题 (12)山东大学2017年招收硕士学位研究生入学考试试题 (14)Ⅱ历年考研真题试卷答案解析 (16)山东大学2007年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (16)山东大学2009年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (22)山东大学2010年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (29)山东大学2011年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (34)山东大学2012年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (39)山东大学2014年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (46)山东大学2015年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (52)山东大学2016年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (59)山东大学2017年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (68)Ⅰ历年考研真题试卷山东大学2007年招收硕士学位研究生入学考试试题科目代码：651科目名称：数学分析（答案必须写在答卷纸上，写在试卷上无效）1.求()sin 0lim cot xx x →2.求222222222222(),: 1.Vx y z x y z dxdydz V a b c a b c ++++=⎰⎰⎰3.求211.n n n x ∞-=∑()0,1x ∈4.证明：20lim sin 0.n n xdx π→∞=⎰5.()()0,()f a f b f x ''==有二阶导数，证明：存在,ξ满足24()()().()f f b f a b a ξ''≥--6.22220(,)0,0.x y f x y x y +≠=+≠⎩，证明：(,)f x y 在（0，0）连续，有有界偏导数,x y f f ''在（0，0）不可微。
量子力学考研2021量子力学导论考研真题解析
量子力学考研2021量子力学导论考研真题解析一、考研真题解析0粒子在势场（，）中运动，试用不确定关系估计基态能量。
[中国科学院2006研]【解题思路】利用不确定关系求解哈密顿量的最小值问题。
【解析】根据不确定原理有即因为所以只需要求解出的最小值就可以估计基态的能量。
令由得出所以基态能量为【知识储备】若[F，G]＝0，则算符F和G有共同的本征函数系；其逆定理也成立。
对易算符的性质：在F和G的共同本征函数系中测量F和G，都有确定值。
若[F，G]≠0，则有不确定关系或经常使用的关系式21设粒子所处的外场均匀但与时间有关，即，与坐标r无关，试将体系的含时薛定谔方程分离变量，求方程解的一般形式，并取，以一维情况为例说明V（t）的影响是什么。
[中国科学院2006研]【解题思路】理解记忆含时薛定谔方程和定态薛定谔方程，以及分离变量法在求解薛定谔方程时的应用。
【解析】根据含时薛定谔方程令带入可得即上式左边是关于时间t的函数，右边是关于坐标r的函数，因此令它们等于常数s，得和所以对于令所以因此当时，相对于一维自由平面波函数，使得波函数是自由平面波随时间做改变的形式。
【知识储备】 薛定谔方程：波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出当U （r →，t ）与t 无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑，y （r →）满足定态薛定谔方程此方程即是能量算符的本征方程。
其中，整个定态波函数的形式为一般情况下，若所求解能量的本征值是不连续的，则最后的波函数写成各个能量定态波函数的求和形式；如果能量是连续值，则相应的写成积分形式。
【拓展发散】当粒子所处的外场与时间和位置坐标都有关，即，可以利用题解相同的方式去探索波函数的具体形式，并且和定态以及只与时间有关的两种情形相比较，得出在这些不同情况下相应的势场函数的具体形式变化对波函数的影响。
22设U为幺正算符，若存在两个厄米算符A和B，使U＝A＋iB，试证：（1）A2＋B2＝1，且；（2）进一步再证明U可以表示成，H为厄米算符。
山东大学 量子力学考研辅导(5)
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7.7 两个质量为 的粒子处于边长为 a b c 的
立方体盒中,粒子间的相互作用势 V A(r1 r2 )
可视为微扰。在下列条件下，用一级微扰方 法计算体系的最低能量； (1)粒子非全同；
(2)零自旋的全同粒子；
(3)自旋为 ½ 的全同粒子，并处于总自旋 S 1
n1 , n2 , n3 1,2,3,
两个粒子都处于基态 111 态，其能级和波函数 可以表示为
E (0)
2 2 1 1 1 2 2 2 a b c
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(0)
111(r1 ) 111(r2 )
x1 y1 z1 x2 y2 z2 8 sin sin sin sin sin sin (in ) abc a b c a b c (out ) 0
1 由自旋 ms 引起二重简并 2 3 能量是 容纳 2 个粒子。 2
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2）第一激发态 | 100 , | 010 , | 001 1 由自旋 ms 引起六重简并 2 5 能量是 2 容纳 6 个粒子。
3）第二激发态
| 110 , | 011 , | 101 , | 200 , | 020 , | 002 1 由自旋 ms 引起十二重简并 2 7 能量是 2 容纳 12 个粒子。 2+6+12=20 个粒子。
1 II [ 1 ( x1 ) 2 ( x2 ) 1 ( x2 ) 2 ( x1 )] | 00 2
7
对应的能量为
A ˆ 2 3 2 5 2 2 3 2 EII E1 E2 S A 2 2 2 2a 4
简并度为
f 1