《中学代数研究》(第二次作业)论述题[提交]
中学代数研究作业绵阳师范学院
中学代数研究作业绵阳师范学院第⼀章数与数系⾃然数系和01、⽤⾃然数的序数理论证明：（1）743=+ （2） 1243=?2、把2n个互不相等的⾃然数排成⼀个n 级⽅阵，取每⾏数的最⼤数，得n 个数，设其中最⼩的⼀个是x ；再取每列数的最⼩数，⼜得n 个数，设其中最⼤的⼀个是y .试⽐较y x 与的⼤⼩. 3、考察下列等式 2+3+4=1+8 5+6+7+8+9=8+27 10+11+12+13+14+15+16=27+64试猜想⼀个⼀般公式，并加以证明.4、证明：在n n 22? （N n ∈）个相等的⼩⽅格组为的棋盘上，任意挖去⼀个⼩⽅格后，总可以⽤由这样3个⼩⽅格构成的L 形块恰好铺满.5、证明：可以把⾃然数1，2，3，n ， )3(≥n围成⼀圈，使每相邻两数之差不超过2. 6、已知 1)2()1(==f f)()1()2(n f n f n f ++=+ ,2,1=n求证对任何N n m ∈,，有)1()1()()()1(+++=++m f n f m f n f m n f7、设 12)(+=n n f[]??=-==,,3,2,)1(13)( n n g f n n g求证12)(1-=+n n g .+=++=++=)),,1(,()1,1(),2,()1,1(,1),1(n m f m f n m f m f m f n n f求证：1）2),2(+=n n f 2）22),3(+=n n f 3）22),4(2-=+n n f整数环 1、已知d c p b a p --10,10，求证 bc ad p -.2、设2不整除a ，求证 812-a .3、设Z b a ∈,，求证 233b a -的充要条件2ba -.4、已知nk a 10= ，N n ∈，{}0?∈N k ，求证：)9)(7)(3)(1(++++a a a a 的末三位数是189. 5、证明：前n 个⾃然数的和的个位数码不能是2，4，7，9. 6、已知1)2()1(==f f)()1()2(n f n f n f ++=+ ,2,1=n求证当4)(3n f n 时，.7、证明从1，2，， 100⾥任意取出的51个数中，⾄少有两个数，其中的⼀个是另⼀个的倍数. 有理数域1、把下列分数可以化成怎样的循环⼩数，并且指出循环节长：1）；661 2）9252； 3）；46083 4）10014.2、把下列⼩数可以化成分数 1）0．。
(完整版)中学代数研究(张奠宙版)重要概念考点
《中学代数研究》期末复习资料第一章数与数系1.按照与实体分离的程度不同，数系循着以下历史途径扩展：自然数→正有理数→简单的代数无理数→零与负有理数→复数→严格的实数系2.数的逻辑扩展自然数添加负数和零整数系作分式域有理数系作柯西序列等价类实数系作2次代数扩张复数系3.自然数集是一个无限集，这是人们在数学上第一次遇到的最简单、最直观的无限集.自然数公理系统利用“后继”描述了这种无限性。
4.P8——P10，定理1——6的证明4.为什么要引入“0”作为自然数？答：首先，尽早引入0，有利于学生对自然数的理解；其次，数0对于数的扩展来说十分重要；最后，从集合论的角度看，把0作为自然数比较合理。
5.数系通常包括：整数系、有理数系、实数系、复数系。
【注意：顺序不可颠倒】6.数学归纳法是不是公理？答：是。
数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。
不是。
它只是一种证明方法。
因为数学归纳法是证明与自然数有关的命题，而不是完全归纳法，它的基础是自然数列的性质而不是逻辑公理。
7.复数不能规定大小的含义是什么？答：数学上所谓大小的定义，是在实数轴右边的比左边的大，而复数要引入虚数轴，在平面上表示。
8.证明任何一个有理数的平方都不等于5？证明：假设存在，设这个有理数是m/n那么m、n互质那么5n²=m²显然m是5的倍数设m=5t即n²=5t²所以n也必然是5的倍数那么m/n至少有5这个质因数，这与m、n互质矛盾9.（略看）所有不是整数的有理数集是数环吗？是数域吗？还是既非数环又非数域？为什么？答：不是整数的有理集不是数环，任何数域都包含有理数域Q，所以不是数域第二章式、代数式、不等式1.P59，例112.学好数学和掌握好符号的运用有关吗？答：理性思维的基本品质之一是善于使用符号语言。
我们强调数学学习的重要性，原因之一是在与数学能够培养学生熟练地使用形式符号进行推理的能力，并由此提高理性思维的品质和素养。
中学代数研究与教学(部分习题答案)
第一章 数与式
第一节 数系的扩展
1.举例说明数集扩充的原则和方法？ 以 四元数{1.i.j.k} 为例 方法：添加元素的方法（二元 →四元）有两种：
(1).把新的元素加入到已经建立的数系中而得到。（添加元素法） (2).用近代数学观点，在原有数系的基础上理论性的构造一个集
合，再对此集合通过定义关系 运算 划分等价类来建立新数系， 然后证明新数系的一真子集与原数系同构。（构造法） 原则： (1).二元 ⊂ 四元 (2).四元数满足加法交换律 还有乘法减法等性质，而不破坏二元 数的元素间的关系及运算。 (3).二元数满足代数封闭性，故其 n 次方程有 n 个根。而在四元 数中，n 次方程有无穷多个根，故不满足代数封闭性。 (4).四元数是二元数的所有具有上述三个性质的扩展的唯一最小 扩展。因为数集到数集的扩充是有一定条件的。如：四元数是 由二元数舍去乘法交换律扩充得到的。而目前尚未找到通过破 坏二元数的其它性质得到新的数集，故四元数是二元数的最小 扩充。
≠空集，求实数 a 的范围。
解：∵A∩B≠空集,则对立面 A∩B=空集
⎧y = x2 + ax + 2
联立方程组
⎨ ⎩
y
=
x
+
1(0
<
x
≤
2)
整理得:x+1=x²+ax+2，要让此方程无解则△≥0 若以为 x 主元方程可化为：x²+(a-1)x+1=0 既△＝（a-1）²-4≤0 ∴a＜3 ∴ A∩B≠空集时实数 a 的范围为 a≥3.
∴ 3 +x-1=0 或 3 x+x²+x+1=0
x ∴ 1 =1- 3
中学代数问题要点Word版
《中学代数研究》问题要点（内容与要求）第一章 数与数系§1.1 数系的历史发展1、 数系的扩展过程：（1）人类对于数的认识历史的整理N 非零 →{}C R Q Q Q →→→⋃→++0（2）由公理系统逻辑整理 C R Q Z N →→→→（3）中小学数系扩展的过程：{}CR Q Q N N −−→−−−−→−−−−→−⋃−−−→−−→−+添虚数添无理数添负有理数添正分数添算术数集非零002、数系扩展的方法：（1）添加元素法（2）构造法3、中小学数系扩展的方法：在中小学数学课程中，考虑到中小学生的心理特点和接受能力，采用近代数学观点：添加元素并强调运算的方法进行。
4、 新“数”获得承认的主要原因：算法是否合理，即运算的无矛盾性§1.2 自然数系和01、 关于自然数的序数理论（1）自然数的公理系统（2）自然数运算的定义与性质（3）了解自然数系的序结构2、数学归纳法的逻辑依据是自然数（皮亚诺）公理五——归纳公理，数学归纳法是自然数的序数理论合理性的保证。
3、数学归纳法的语言模式4、中小学数系教学建议（1）不用公理化方法构造数系；（2）整数的算术运算系统中存在大量的数论难题。
§1.3 从自然数系到整数环1、 负数的引入（1） 公理化方法引入（2） 中学有关教学顺序：具有相反意义的量——运算法则——顺序————绝对值的（几何、代数）意义2、 整数在生活中的应用。
§1.4 有理数系1、 有理数的意义——成比例的数就是合理的即为有理数，——不成比例的数就是无理的即为无理数。
2、 有理数的三种定义（无本质区别）（1）将单位1平均分为若干分，表示这样的一份或几份的数，称为分数。
（2）分数是两个整数相除所得的商。
（小学定义）（3）分数是一对整数之比，)0( q q p （有些形式化的定义）两点注意：a的意义（2）为什么分数的分母不能为零？（1）b3、了解分数的形式化定义4、了解Q是域5、了解有理数系的性质§1.5 实数系1、了解什么是不可公度？2、了解无理数的三种定义3、证明无理数的方法——反证法证明有理数的方法——写成分数形式或者证明是循环小数。
《中学数学教学研究》2022-2023期末试题及答案
《中学数学教学研究》2022-2023期末试题及答案
一、填空题I本题共20分，每个空2分）
1．依据学生数学认知结构的变化，数学学习过程可分为________、________、________、________四个阶段。
2．数学概念的教学过程一般分成____、________和________这几个阶段。
3．影响数学课程设置的主要因素包括：________、____和________。
二、简述题（本题共60分，每小题12分）
4．简述数学形象思维的功能。
6．简述说课要注意的问题。
7．简述开展教育科学研究中进行教学调查时应注意的问题。
8．简述数学的教育价值。
三、综合题（本题20分）
9．论述数学新课程提倡的发展性学生评价的内涵和特点。
试题答案及评分标准
一、填空题（本题共20分，每个空2分）
1．输入阶段相互作用阶段操作阶段输出阶段
2．引入理解运用
3．社会因素数学因素学生因素
二、简述题（本题共60分，每小题12分）
4．简述数学形象思维的功能。
答：数学形象思维有如下的功能：
第一，数学形象思维以形象的形式反映数学规律，从而提供数学问题生动而形象的整体显
示。
因此，易于把握整体。
（4分）
第二，数学创造性往往从对形象的思维受到启发，以形象思维为先导。
从古到今，形象思
维给数学猜想、数学方法的提出以及数学创造都带来了活力。
（4分）。
西南大学《中学代数研究》复习思考题及答案
西南⼤学《中学代数研究》复习思考题及答案（0772）《中学代数研究》复习思考题⼀、填空题：1、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿直接保证了数学归纳法的合理性，所以也可以把数学归纳法当作公理来看待。
2、⽆理数的定义除了⽆穷⼩数说之外，还有＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿。
3、为了加深对⼀些基本不等式的数学本质的理解，在证明及其教学中应强调不等式的＿＿＿＿＿＿＿＿。
4、⽬前⽐较⼴泛使⽤的函数概念有三种定义，分别是＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿。
5、在普通⾼中数学课程标准中（实验稿），对数列内容的处理突出了＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的思想。
6、算法体现了数学的＿＿＿＿＿＿＿思想。
⼆、简述题1、试说明有理数集是⼀个可数集。
2、设A 是半序集，且定义了加法及乘法运算，试说明序关系“ ”满⾜什么条件才是⼤⼩关系？3、试说明复数为什么不能⽐较⼤⼩？4、请写出均值不等式、柯西不等式、排序不等式的⼀般形式，并给出它们的⼆维⼏何解释。
5、⽅程的本质是什么？6、古希腊作图三⼤问题是什么？⼈们是怎样证明其为不可能解的，解决这些问题的基本思想⽅法是什么？7、任意给⼀个有限数列，能否找出它的通项？8、试述孙⼦定理及其解法原则，并举例说明该原则在其它数学理论知识中的体现。
9、数学概念教学的基本⽅式有哪些？请以函数概念的教学为例给以说明，并阐明其基本做法及特征。
10、进⼊21世纪之后，我国新颁布的《⾼中数学课程标准（实验稿）》为什么要把“算法”列⼊必修课？三、证明题1、假设⾃然数的加法交换律、结合律成⽴，试⽤⽪亚诺公理体系证明：⾃然数的乘法满⾜对加法的分配律，即对任意⾃然数N c b a ,,,有()bc ac c b a +=+ 。
2、证明任何⼀个有理数的平⽅都不等于5。
3、证明e 不是有理数。
4、设a 、b 、c 为正数且各不相等，求证b a +2+c b +2+a c +2?c b a ++9 5、x x x n 21，，，∈+R ，求++x x x x 322221x x x x x x x n 2112n n 2+++≥+ ｎ－１四、计算题1、求⽅程3=++xyz y xz z xy 的整数解。
中学代数研究
第一节 函数的发展及其科学价值
运动、变量与曲线的数学描述，催生了函数思想， 并把函数概念和方法置于整个数学的中心第一位。
微积分研究对象是函数，几何图形则成为函数的图 形。世界万物之间的联系与变化都有可能以各种不同 的函数作为它们的数学模型。
在人类历史上，很早就研究过方程，但是都没有形 成函数的思想。函数概念是在资本主义文明萌芽时期 的16至17世纪才逐渐产生。
x 的取值范围叫做函数的定义域，与x的值对应的 y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
这种描述性的定义，是函数的传统定义。它建立在 变量的基础上，强调了变化，而描述变化，正是函数 最重要的特性。上世纪50年代的中学数学教材中的函 数定义就是这样的。
2020/1/7
函数定义的变量说，是对函数的一个宏观的、整体 的把握，不能放弃，却也不能不发展。
但是，两个集合间的关系不一定是两个集合间的函数。
2020/1/7
函数和关系虽然都是刻画关于两个集合元之间的联 系的，但是有区别的。
函数的定义域是某个集合的整体，而不能是这个集 合的一部分，而关系则不然；
在函数的定义中，对于任意给的x ∈ X，则存在唯 一的y与之对应，而在关系的定义中，却可以有多于一 个的元与之对应，所以说函数是一种特殊的关系。
并将函数和方程、曲线联系起来，为微积分教学提 供评弹，为描摹现实世界提供数学模型。
2020/1/7
第二节 函数的三种定义
1.函数的变量说定义：一般地，假设在一个变化 过程中有两个变量 x 与 y，如果变量 y 随着 x 的变 化而变化，那么就说 x 是自变量，y是因变量，也称 y 是 x 的函数。
对数的发明在于简化计算。过去，中学数学教材中 以能够简化大数字的乘法作为引入对数的主要原因。 现在由于计算机和计算机的普遍使用，对数的这种计 算功能几乎完全废弃。
《中学数学研究》试题及答案
我是郑州大学现代远程教育学院的本科学员，2015秋数学教育专业，2016年秋季需要考试三科，还有两天准备时间，请需要的同胞们赶紧下载宝贝。
《中学数学研究》课程试卷（含答案）答案第一部分一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C A B C B D C A 第二部分一、填空题题号 1 2 3 4 5答案-1 24 2i -3<x<-1或-1/2<x<3 18/5二、解答题1.)52)(3(15622234+-++=+-+-x x x x x x x x2. 用最值法，求得：[0,1].3. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=⇒⎩⎨⎧=-=+⇒==210221022102210227lg ,lg )3(22v u v u v u v u v y u x 或令 ⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==⇒+-+-+210221022102210210101010y x y x 或4. 312S 30C 30B ABC ＝，＝，＝︒︒5.x=253±时，y 取得最小值是-1.三、证明题1证明：sd b x a sc dcx b ax s -=-∴++=)(,.,0,,,,为有理数，矛盾否则为无理数，为有理数，x sd b a sc x d c b a s =-=-∴ ∴.bc ad dbs c a =⇒== 2.证明：∵a+b+c=0,∴a+b=-c∴ 33333)()()(3c c b a b a ab b a -=-=+=+++ ∴abc b a ab c b a 3)(3333=+-=++3. 提示：)(AC 222BC AB AB AC BC AB AB +=⇔⋅=-延长AB 至D ，使BD ＝BC ，则△ABC ∽ACD 4. 提示：BPCAPCCPB APB APC APB S S S S S S =⇒=⇒=DC BD BC EF FBAFEC AE //⇒=⇒.BC。
(0775)《中学几何研究》作业二答案
（0775）《中学几何研究》作业二答案一、填空题：1．公理化方法，一般由原始概念的列举、定义的叙述、公理的列举 及 定理的叙述和证明 四部分组成。
2．罗氏几何的平行公理为过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线相平行。
3．已知ABC ∆的内切圆半径为r ，三边长分别为,,a b c ，则ABC S ∆=2a b c r ++⋅。
4．复数i z re θ=，该复数的三角形式为(cos sin )z r i θθ=+。
5．设线段AB 沿向量v 平移得到线段CD ，该变换可记为()T v AB CD −−−→。
6．三角形外一点在三角形外接圆上的充要条件是该点在三角形三边所在直线上的射影（垂足）共线。
7．到两定点距离的平方和为常量的点的轨迹（假设存在）为一圆，该圆称为定和幂圆。
8．尺规作图的作图公理为已知圆心和半径作圆；已知两点可作一条直线；已知两圆、两直线、圆与直线相交可作交点。
9．与两相交直线距离相等的点的轨迹是分别平分两已知直线交角的互相垂直的两条直线。
二、证明：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中，最长的等于其余两条之和。
证明：设ABC 是等边三角形，D 是其外接圆上任一点。
若D 与ABC ∆三顶点重合，命题显然。
若D 异于ABC ∆的三顶点，如图，则必有AD BD CD =+，这是因为由托勒密定理有AD BC AB CD AC BD ⋅=⋅+⋅，则()AD BC BC CD BD ⋅=+，即 AD BD CD =+。
第二题图三、轨迹问题（只证完备性和纯粹性，不必讨论）：设一点与一定圆的距离等于圆半径，则该点的轨迹为该圆中心和一个半径加倍的同心圆的并。
假设：点P 与定圆()O r 距离PA r =半径。
求证：点P 的轨迹是点O 和圆(2)O r .证明：（1）完备性 设P 在圆()O r 内部，则由假设0OP OA PA =-=，即点重合于圆心O 。
若P 在()O r 外部，则2OP OA AP r r r =+=+=，因此P 在圆(2)O r 上。
《中学代数研究》各种试卷及评卷标准
铜仁学院2009级数学本科（1）（2）班《中学代数研究》期末考试卷（A ）一，填空题：每题4分，共40分1、方程的解是1123=-+-x x ,_______2、方程()()()110011lg +=++x x x 的解是_______3、函数的值域是21x x y -=_______4、方程6arcsin arccos π=-x x 的解是_______5、设=⨯=+=+n n n n a a a a 则通项,23,011_______6、方程的解是123512=-+x x x _______7,的取值范围是则满足若y x y x f y x y x 32),(,1818,22-==+ _______8,已知数列{n a }的前n 项之和n S 满足11log 2+=+n S n ,则通项n a =_______ 9，函数的值域是x x y +-=1 _______10,关于x 的不等式的解是)0(222>+>-a a x x a _______班级________________姓名二、解答题（每题10分，共70分 ） 1把分式()()4232148249-++-x x x x x 展开为部分分式2，设0,,,为定值，且c c y x R y x =+∈+<2≤c ，求的最小值。
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 113 ，⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+x y xy x x 100lg 8lg 268)(lg 42解方程组4，方程()()[)的取值范围。
上有唯一解，求在m x m x x 3,003log 3log 2=---+-5，已知数列｛n a ｝的前三项与数列｛n b ｝的前三项对应相同，且都成立，数列对任意的*-∈=+++N n n a a a a n n 822213221 ｛b 1+n n b -｝是等差数列。
,（1），求数列｛n a ｝与｛n b ｝的通项公式；（2），是否存在()()请说明理由。
中学数学教学研究-记分作业二
中学数学教学研究-记分作业二中学数学教学研究作业2作业要求：1）字迹工整；2）结合具体问题论述，既要有基本观点和原理，又要有自己的认识和体会；1.试论述布鲁纳的主要教学思想和研究原理以及给我们的启示。
提示：该题目涉及第四章的内容。
答：1959年XXX召开会议，讨论如何改进中小学数理学科的教育。
XXX是这次大会的主席，他在著名的大会总结报告《教育的过程》中系统地阐述了自己的教学思想，主要包括以下几个方面。
1.教育在智育方面的目标是传授知识和发展智力XXX提出：我们也许可以将追求优异成绩作为教育的一般目标，但是，应该弄清楚追求优异成绩这个说法指的是什么意思。
它在这里指的是，不仅要教育成绩优良的学生，而且要帮助每个学生获得最好的智力发展。
XXX将“帮助每个学生获得最好的智力发展”列为教育的一般目标，具有非常重要的意义。
2.要让学生研究学科知识的基本结构XXX认为：学生对所学资料的承受一定是有限的。
怎样才能使这类有限的承受在他们以后一生的思想中有代价？对这个问题的回答是：不论我们选教甚么学科，务必使学生了解该学科的基本结构。
所谓学科的基本结构，是指学科的基本原理，是把每门学科的事实、零散的知识联系起来的基本概念、基本公式、基本法例。
例如：初中“解二元一次方程组”解二元一次方程的两种方法，一是代入消元法，二是加减消元法。
两种解二元一次方程基本方法解题的本质是“消元”，是将二元一次方程转化为己学过的一元一次方程问题。
XXX认为：将学科基本结构作为教学的中心内容，让学生掌握学科的基本结构有以下好处：（1）懂得基本原理可以使得学科更加容易了解。
因为抓住了基本原理，就能够按照这个原理去了解许多特殊的征象和事实。
2）掌握基本结构有助于知识的记忆。
因为没有形成结构的知识，很快就会遗忘。
降低遗忘率的好方法，就是根据基本原理来组织论据；需要时只要借助这些基本原理来推断论据，就可将一件事实重新回忆起来。
3）掌握基本原理有助于研究的迁移。
【西大2017版】[0772]《中学代数研究》网上作业题及答案
![【西大2017版】[0772]《中学代数研究》网上作业题及答案](https://img.taocdn.com/s3/m/5c3792745acfa1c7aa00cc80.png)
[0772]《中学代数研究》第一批次作业[填空题]1、在代数发展史中，根据代数所研究的数学对象的不同，可将代数分为--------------与----------------。
2、中国传统的中学代数体系，主要内容有：------------,--------------,-------------,--------------,----------------。
3、在中学代数教学中，应提倡的一个基本原则是：在注意形式化的同时，加强代数知识的-----------------.4、布尔巴基学派认为数学有三种基本的结构：-------------,----------------,--------------。
5、自然数公理系统直接地保证了------------------的合理性。
6、自然数有两种属性，一是----------属性，一是-------------属性。
7、有理数集是一个可数集，就是说它能与自然数集建立----------------关系。
8、任意两个不同的有理数之间，均存在一个有理数，这说明有理数集具有………………。
9、无理数有三种不同的定义方法：-----------------------，--------------------,---------------------。
10、复数的欧拉公式是-------------------。
参考答案：1、古典代数，近世代数2、数和数系，方程，函数，不等式，数列3、直观理解4、代数结构，序结构，拓扑结构5、数学归纳法6、基数，序数7、一一对应8、稠密性9、无穷小数说，康托的基本序列说，戴德金分割说10、欧拉公式[论述题]1、复数不能比较大小的含义是什么？2、证明任何一个有理数的平方都不等于5？参考答案：1、复数集尽管按照字典排序法可构成一个序集，但这个序关系不能同时满足加法保序性和乘法保序性。
在这个意义上说，复数不能比较大小。
2、1253762549146.doc第三批次作业[论述题]1、字母表示数可分为哪几层含义？2、给出均值不等式、柯西不等式二维形式的几何解释？参考答案：1、字母表示数可以分为以下的四个层次： 1）、用文字泛指某个数集中的一个数；2）专指特定的数；3）、作为变量；4）作为不定元参与数学运算。
西南大学中学代数研究一至四次作业答案(全)
中学代数研究第一次作业简答题答案：1、请举例解释有理数集虽然是稠密的，但不具有完备性（或连续性）。
答：一个数集是完备的是指，对于任意该数集的序列，如果有极限存在，则该极限一定属于该数集。
但对有理数列，它的极限为e不是有理数，故有理数集具有不完备性。
2、怎样科学的描述无理数幂。
答：用有理数区间套等来描述。
第一次作业填空题答案1、在代数发展史中，根据代数所研究的数学对象的不同，可将代数分为古典代数与近世代数。
2、中国传统的中学代数体系，主要内容有：数和数系,方程,函数,不等式, 数列。
3、在中学代数教学中，应提倡的一个基本原则是：在注意形式化的同时，加强代数知识的直观理解.4、布尔巴基学派认为数学有三种基本的结构：代数结构,序结构,拓扑结构。
5、自然数公理系统直接地保证了数学归纳法的合理性。
6、自然数有两种属性，一是基数属性，一是序数属性。
7、有理数集是一个可数集，就是说它能与自然数集建立一一对应关系。
8、任意两个不同的有理数之间，均存在一个有理数，这说明有理数集具有稠密性。
9、无理数有三种不同的定义方法：无穷小数说，康托的基本序列说，戴德金分割说。
10、复数的棣莫弗公式是。
第二次作业答案1、证明与的和是无理数。
证（反证法）假如与的和是一个有理数a，即，则。
因为全体有理数成为一个域，对减法运算封闭，所以差仍是有理数。
此与是无理数矛盾，所以与的和是无理数。
2、证明任何一个有理数的平方都不等于5？孙子定理：设是个两两互素的正整数，是任意给定的整数，那么一元同余式组必有一解，且解数为1。
孙子定理的解法原则或证明是通过先构造“单因子构件”，然后凑出结果所要求得的构件。
这一原则在插值理论、算子理论中都有体现。
比如拉格朗日插值理论就体现了这一原则。
3、试用柯西不等式求平面上一点到一直线的距离公式答：设平面上有点，一直线为的距离公式。
由柯西不等式，有因为,故有，第三次作业答案1、方程的定义是什么？并说出这样定义的好处？答：方程的定义是：方程是为了求未知数，在未知数与书籍数之间建立的一种等式关系。
中学代数研究(张奠宙版)重要概念考点
《中学代数研究》期末复习资料第一章数与数系1.按照与实体分离的程度不同，数系循着以下历史途径扩展：自然数→正有理数→简单的代数无理数→零与负有理数→复数→严格的实数系2.数的逻辑扩展自然数添加负数和零整数系作分式域有理数系作柯西序列等价类实数系作2次代数扩张复数系3.自然数集是一个无限集，这是人们在数学上第一次遇到的最简单、最直观的无限集.自然数公理系统利用“后继”描述了这种无限性。
4.P8——P10，定理1——6的证明4.为什么要引入“0”作为自然数？答：首先，尽早引入0，有利于学生对自然数的理解；其次，数0对于数的扩展来说十分重要；最后，从集合论的角度看，把0作为自然数比较合理。
5.数系通常包括：整数系、有理数系、实数系、复数系。
【注意：顺序不可颠倒】6.数学归纳法是不是公理？答：是。
数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。
不是。
它只是一种证明方法。
因为数学归纳法是证明与自然数有关的命题，而不是完全归纳法，它的基础是自然数列的性质而不是逻辑公理。
7.复数不能规定大小的含义是什么？答：数学上所谓大小的定义，是在实数轴右边的比左边的大，而复数要引入虚数轴，在平面上表示。
8.证明任何一个有理数的平方都不等于5？证明：假设存在，设这个有理数是m/n那么m、n互质那么5n²=m²显然m是5的倍数设m=5t即n²=5t²所以n也必然是5的倍数那么m/n至少有5这个质因数，这与m、n互质矛盾9.（略看）所有不是整数的有理数集是数环吗？是数域吗？还是既非数环又非数域？为什么？答：不是整数的有理集不是数环，任何数域都包含有理数域Q，所以不是数域第二章式、代数式、不等式1.P59，例112.学好数学和掌握好符号的运用有关吗？答：理性思维的基本品质之一是善于使用符号语言。
我们强调数学学习的重要性，原因之一是在与数学能够培养学生熟练地使用形式符号进行推理的能力，并由此提高理性思维的品质和素养。
最新国家开放大学电大《中学数学教学研究》期末题库及答案
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《中学数学教学研究》题库及答案一一、填空题（本题共20分，每个空2分）1．“奇数”这个数学概念的内涵和外延分别是_______2．中学数学教学研究这门学科具有________、_______等特点。
3．义务教育阶段数学课程的内容由_______、_______、_______、_______四个领域构成。
二、简述题（本题共60分，每小题12分）4．简述创造性思维所具有的特点。
5．简述奥苏伯尔有意义学习的基本观点。
6．简述“好”的数学问题的特征。
7．简述现代数学课程的教学观。
8．简述开展数学教学研究的意义。
三、综合题（本题20分）9．论述新数学课程提倡的发展性学生评价的内涵和特点。
试题答案及评分标准（供参考）一、填空题（本题共20分，每个空2分）1．不能被2整除的整数形如2n+l的整数（其中n为整数）2．综合性实践性理论性发展性3．数与代数空间与图形统计与概率实践与综合应用二、筒述题（本题共60分，每小题12分）4．答：(1)新颖、独特且有意义的思维活动；“新颖”是指前所未有，除旧立新；“独特”是指不同寻常，别出心裁；“有意义”是指具有社会或个人的价值。
(2)思维加想象是创造性思维的两个重要成分；(3)在创造性思维过程中，新形象和新假设的产生有突然性，常被称为“灵感”；(4)分析思维和直觉思维的统一；人的思维方式有两种：一是分析思维，即遵循严密的逻辑规则，逐步推导，最后获得符合逻辑的正确答案或结论；二是具有快速性、直接性和跳跃性，看不出推导过程的直觉思维。
《中学代数研究》第2章--式、代数式,不等式
有理分式的定义域：在已知数域内，任意一组使 的分母不为0的自变数值。
P ( x, y , Q ( x, y ,
, z) , z)
1 1 1 1 化简： a a b a c a d b b a b c b d c c a c b c d d d a d b d c
2015/12/21
数学教学中，常常见到：先讲例子，然后引出文字 的定义，最后说它的记号是什么。 既然符号是一种语言，具有深刻的含义，就应该及 早出现，讲清意义, 多加使用，尽量练习，有时甚至先 介绍符号，逐一加以解释，往往可以收到“事半功倍” 的效果。 今天的计算机时代里，控制计算机的语言恰恰是“符 号语言”。程序语言归根结底是一种特定的符号语言。 数学学得好，多半计算机学得好。 把数学符号仅仅帮助记号，而不把它作为语言教学， 是不对的。 符号语言的运用是数学的特征之一，学会使用符号 语言表述丰富的思想，并用以指挥计算机进行操作，是 人类理性思维发展的必备基础。
2015/12/21
1631年，英国数学家使用“×”表示乘法， 1998年莱布尼兹用“•”表示乘法。1659年，瑞士人 雷恩引入除法的记号“÷”。1557年英国数学家首先 使用等号，但到17世纪晚期才普遍使用。 1693年英国数学家写出的方程的形式和现代的方 程符号非常一致。 至于指数、 对数、 方根、 绝对值、 阶乘等等 符号，都先后在欧洲出现。经过几百年的磨合，也随 着19世纪末、20世纪初国际交往的扩大，终于有了比 较统一的国际通用的数学符号。 中国普遍使用国际通用数学符号相当晚。满清政 府推行“中学为体，西学为用”的政策，在符号使用 上拒绝和国际接轨。
中学数学研究(代数部分)习题库
习题1.求适合{}1,2{1,2,3,4,5}A ⊆⊆的一切集合A ，以及他们基数的和。
解：:{1,2}{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}{1,2,3,4,5}A 它们的基数和为：2333444528+++++++=。
习题2.用自然数序数理论证明：（1）347+=，（2）3412⋅=证： （1）3433(33)(32)((32))((31))(((31)))(((4)))((5))(6)7''''''+=+=+=+=+''''''''''''=+=+====（2）313⋅=Q又3231313336'⋅=⋅=⋅+=+= 3332323639'⋅=⋅=⋅+=+=34333339312'∴⋅=⋅=⋅+=+=习题3.对任何自然数a ，证明：（1）2a a a ⋅=+，（2）2()a a a a ⋅=++证：有定3中的（1），1a a ⋅=，由（2），211a a a a a a '⋅=⋅=⋅+=+；同理，322()a a a a a a a '⋅=⋅=⋅+=++。
证毕 习题4.设,m n N ∈，求证： （1）()m n m n ''''+=+ （2）()m n m n m ''⋅=⋅+ （3）()m n m m n n '''''⋅=+⋅+ 证：（1）Q m n n m ''+=+（交换律）∴()()m n n m n m ''''''+=+=+（性质（2））又n m m n ''''+=+（交换律）∴()m n m n ''''+=+；（2）()()m n m n m m n m '''⋅=⋅+=⋅+；（3）()()()()()m n m n m m n m m n m n m m n n m m n n '''''''''''⋅=⋅+=+⋅=+⋅+''''=+⋅+=+⋅+ 证毕习题5.证明()a b c a c b c -⋅=⋅-⋅ 证：设,a b x x N -=∈，则a x b =+原式变为证x c a c b c ⋅=⋅-⋅，即a c x c b c ⋅=⋅+⋅ 由乘法对加法的分配律()a c x b c x c b c ⋅=+⋅=⋅+⋅∴原式x c a c b c ⋅=⋅-⋅成立，即()a b c a c b c -⋅=⋅-⋅成立。
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《中学代数研究》第二次作业
论述题：
1、复数不能比较大小的含义是什么？
答：复数集尽管按照字典排序法可构成一个序集，但这个序关系不能同时满足加法保序性和乘法保序性。
在这个意义上说，复数不能比较大小。
2、 证明任何一个有理数的平方都不等于5？
证明：因为有理数可用
n m [其中1),(=n m ]表示. 假设52=⎪⎭
⎫ ⎝⎛n m ，则522=n m ，即225n m =， 所以2m 是5的倍数，因此m 应是5的倍数，
令k m 5=，
所以225)5(n k =，即22255k n =，225k n =，
所以2n 是5的倍数，因此n 也是5的倍数，
由此可得：n m ,都是5的倍数，这与1),(=n m 矛盾.
故命题“任何一个有理数的平方都不等于5”成立.
3、试用柯西不等式求平面上点),(00y x P 到直线0=++c By Ax 的距离公式。
答：由柯西不等式，有
[][][]2002
00202022)()()()()()()(By Ax By Ax y y B x x A y y x x B A +-+=-+-≥-+-+因为0,22>+-=+B A C By Ax 且,故有，22002020)(B A C
By Ax y y x x +++≥-+-）（.。