第七章 第七节 立体几何中的向量方法(理)

第七章 第七节 立体几何中的向量方法（理）

1.在正方体111111 ( ) A ．AC B ．BD C ．A 1D D ．A 1A

解析：如图所示，易证BD ⊥平面AA 1C 1C ，又CE ⊂平面ACC 1A 1，∴BD ⊥CE .

答案：B

2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ， M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝

2a 3

， 则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是 ( )

A ．相交

B ．平行

C ．垂直

D ．不能确定 解析：∵正方体棱长为a ，A 1M ＝AN ＝

2a 3

， ∴MB ＝231A B

，CN ＝23

CA ，

∴MN ＝MB ＋BC ＋CN ＝231A B ＋BC

＋23CA

＝23(11A B ＋1B B

)＋BC ＋23

(CD ＋DA ) ＝231B B

＋13

11B C . 又∵CD

是平面B 1BCC 1的法向量，

且MN ·CD ＝(231B B ＋1311B C )·CD ＝0， ∴MN ⊥CD

，

∴MN ∥平面B 1BCC 1. 答案 B

3.(2010·陕西八校模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin

〈CM ，1D N

〉的值为 ( )

A.19

B.49 5

C.29 5

D.23

解析：设正方体棱长为2，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建

立空间直角坐标系，可知CM ＝(2，－2,1)，1D N

＝(2,2，－1)， cos 〈CM ，1D N 〉＝－19，

sin 〈CM ，1D N 〉＝459

.

答案：B

4．(2009·上海高考)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝BC ＝AB ＝2，AB ⊥BC ，求二面角B 1－A 1C —C 1的大小．

解：如图，建立空间直角坐标系．

则A (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(2,0,2)，B 1(0,0,2)，C 1(0,2,2)， 设AC 的中点为M ， ∵BM ⊥AC ，BM ⊥CC 1. ∴BM ⊥平面A 1C 1C ，

即BM

＝(1,1,0)是平面A 1C 1C 的一个法向量．

设平面A 1B 1C 的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )．

1A C ＝(－2,2，－2)，1A B

＝(－2,0,0)，

∴111120,2220,

n A B x n A C x y z ⎧=-=⎪⎨=-+-=⎪⎩ 令z ＝1，解得x ＝0，y ＝1. ∴n ＝(0,1,1)，

设法向量n 与BM

的夹角为φ，二面角B 1－A 1C －C 1

的大小为θ，显然θ为锐角．

∵cos θ＝|cos φ|＝n BM n BM

＝12，解得θ＝π

3.

∴二面角B 1－A 1C －C 1的大小为π

3.

5.如图，P －ABCD 1111 其中AB ＝2，P A ＝

6. (1)求证：P A ⊥B 1D 1；

(2)求平面P AD 与平面BDD 1B 1所成锐二面角的余弦值． 解：以D 1为原点，D 1A 1所在直线为x 轴，D 1C 1所在直 线为y 轴，D 1D 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 则D 1(0,0,0)，A 1(2,0,0)，B 1(2,2,0)，C 1(0,2,0)， D (0,0,2)，A (2,0,2)，B (2,2,2)，C (0,2,2)， P (1,1,4)．

(1)证明：∵AP ＝(－1,1,2)，11D B

＝(2,2,0)， ∴AP ·11D B ＝－2＋2＋0＝0，

∴P A ⊥B 1D 1.

(2)平面BDD 1B 1的法向量为AC

＝(－2,2,0)． DA

＝(2,0,0)， OP

＝(1,1,2)．

设平面P AD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DA ，n ⊥DP

.

∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝0，x ＋y ＋2z ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝0，y ＝－2z ，

取n ＝(0，－2,1)， 设所求锐二面角为θ，则

cos θ＝n AC n AC

＝

|0－4＋0|22×5＝10

5. 6．(2010·广州调研)如图，已知等腰直角三角形RBC ， 其中∠RBC ＝90°，RB ＝BC ＝2.点A 、D 分别是 RB 、

RC

的中点，现将△

RAD 沿着边AD 折起到 △P AD 位置，使P A ⊥AB ，连结PB 、PC . (1)求证：BC ⊥PB ；

(2)求二面角A －CD －P 的平面角的余弦值． 解：(1)证明：点A 、D 分别是RB 、RC 的中点， ∴AD ∥BC ，AD ＝1

2

BC ，

∴∠P AD ＝∠RAD ＝∠RBC ＝90°， ∴P A ⊥AD ，∴P A ⊥BC ， ∵BC ⊥AB ，P A ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面P AB .

∵PB ⊂平面P AB ，∴BC ⊥PB .

(2)法一：取RD 的中点F ，连结AF 、PF . ∵RA ＝AD ＝1， ∴AF ⊥RC .

∵AP ⊥AR ，AP ⊥AD ， ∴AP ⊥平面RBC . ∵RC ⊂平面RBC ， ∴RC ⊥AP . ∵AF ∩AP ＝A ， ∴RC ⊥平面P AF . ∵PF ⊂平面P AF ， ∴RC ⊥PF .

∴∠AFP 是二面角A －CD －P 的平面角． 在Rt △RAD 中，AF ＝12RD ＝12RA 2＋AD 2＝22，

在Rt △P AF 中，PF ＝P A 2＋AF 2＝62

， cos ∠AFP ＝AF PF ＝2

262

＝3

3

.

∴二面角A －CD －P 的平面角的余弦值是

33. 法二：建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz . 则D (－1,0,0)，C (－2,1,0)， P (0,0,1)．

∴DC ＝(－1,1,0)，DP

＝(1,0,1)，

设平面PCD 的法向量为n

＝

(x ，y ，z )，则：