初中数学青岛版九年级下册高效课堂资料专题六一元二次方程应用学案1

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九年级数学下册《一元二次方程的应用》教案(一) 新人教版

《一元二次方程的应用》教案（一）一、素质教育目标（－）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题．（二）能力训练点：通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力．（三）德育渗透点：通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性．二、教学重点、难点1．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题．2．教学难点：根据数与数字关系找等量关系．三、教学步骤（一）明确目标初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决．但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用——有关数字方面的问题．（二）整体感知：本小节是“一元一次方程的应用”的继续和发展．由于能用一元一次方程（或一次方程组）解的应用题，一般都可以用算术方法解，而需用一元二次方程来解的应用题，一般说是不能用算术方法来解的，所以，讲解本小节可以使学生认识到用代数方法解应用题的优越性与必要性．从列方程解应用题的方法来说，列出的一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程、解方程、判断根是否适合题意、作出正确的答案．列出一元二次方程解应用问题，其应用相当广泛，如在几何、物理及其他学科中都有大量问题存在；其数量关系也比可以用一元一次方程解决的问题复杂的多．通过本节课的学习，渗透设未知数、列方程的代数方法，领略知识从实践中来到实践中去．例1是已知两个连续奇数求这两个数的问题，讲清这个问题的关键是搞清楚“两连续奇数”的意义，能用代数式分别表示出两个连续奇数，问题就可以解决，启发学生用不同的方法去解，并加以对比，从而开拓思路．（三）重点、难点的学习和目标完成过程1．复习提问（1）列方程解应用问题的步骤？①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答．（2）两个连续奇数的表示方法是，2n+1，2n-1；2n-1，2n-3；……（n表示整数）．2．例1 两个连续奇数的积是323，求这两个数．分析：（1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，（2）设元（几种设法）．设较小的奇数为x，则另一奇数为x+2，设较小的奇数为x-1，则另一奇数为x+1；设较小的奇数为2x-1，则另一个奇数2x+1．以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法．解法（一）设较小奇数为x，另一个为x+2，据题意，得x（x+2）=323．整理后，得x2+2x-323=0．解这个方程，得x1=17，x2=-19．由x=17得x+2=19，由x=-19得x+2=-17，答：这两个奇数是17，19或者-19，-17．解法（二）设较小的奇数为x-1，则较大的奇数为x+1．据题意，得（x-1）（x+1）=323．整理后，得x2=324．解这个方程，得x1=18，x2=-18．当x=18时，18-1=17，18+1=19．当x=-18时，-18-1=-19，-18+1=-17．答：两个奇数分别为17，19；或者-19，-17．解法（三）设较小的奇数为2x-1，则另一个奇数为2x+1．据题意，得（2x-1）（2x+1）=323．整理后，得4x2= 324．解得，2x=18，或2x=-18．当2x=18时，2x-1=18-1=17；2x+1=18+1=19．当2x=-18时，2x-1=-18-1=-19；2x+1=-18+1=-17答：两个奇数分别为17，19；-19，-17．引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题：1．三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗？2．解题中的x出现了负值，为什么不舍去？答：奇数、偶数是在整数范围内讨论，而整数包括正整数、零、负整数．3．选出三种方法中最简单的一种．练习1．两个连续整数的积是210，求这两个数．2．三个连续奇数的和是321，求这三个数．3．已知两个数的和是12，积为23，求这两个数．学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的思想方法．例2 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数．分析：数与数字的关系是：两位数=十位数字×10+个位数字．三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字．解：设个位数字为x，则十位数字为x-2，这个两位数是10（x-2）+x．据题意，得10（x-2）+x=3x（x-2），整理，得3x2-17x+20=0，当x=4时，x-2=2，10（x-2）+x=24．答：这个两位数是24．以上分析，解答，教师引导，板书，学生回答，体会，评价．注意：在求得解之后，要进行实际题意的检验．练习1 有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．（35，53）2．一个两位数，其两位数字的差为5，把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积为976，求这个两位数．教师引导，启发，学生笔答，板书，评价，体会．（四）总结，扩展1．列一元二次方程解应用题，步骤与以前列方程解应用题一样，其中审题是解决问题的基础，找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答案提供有利的条件．方程的解必须进行实际题意的检验．2．奇数的表示方法为 2n+1，2n-1，……（n为整数）偶数的表示方法是2n（n是整数），连续奇数（偶数）中，较大的与较小的差为2，偶数、奇数可以是正数，也可以是负数．数与数字的关系两位数=（十位数字×10）+个位数字．三位数=（百位数字×100）+（十位数字×10）+个位数字．……3．通过本节课内容的比较、鉴别、分析、综合，进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途．四、布置作业教材P.42中A1、2、五、课后记从列方程解应用题的方法来说，列出的一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程、解方程、判断根是否适合题意、作出正确的答案．列出一元二次方程解应用问题，其应用相当广泛，如在几何、物理及其他学科中都有大量问题存在；其数量关系也比可以用一元一次方程解决的问题复杂的多．通过本节课的学习，渗透设未知数、列方程的代数方法，领略知识从实践中来到实践中去．。

青岛版九年级数学下册二次函数的图象与一元二次方程教案

《二次函数的图象与一元二次方程》教案教学目标知识与技能1．抛物线与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标的求法．2．运用二次函数的图像求一元二次方程的解，理解二次函数与一元二次方程的联系．3．会用二次函数的图像求一元二次方程的近似根，并进一步发展估算能力．数学思考与问题解决经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数的联系，尝试自主探索并解决问题．情感与态度在经历和体验数学发现的过程中，提高思维品质，在勇于创新的过程中树立学好数学的自信心．教学重、难点重点：理解二次函数与一元二次方程之间的联系，能够运用二次函数及其图像、性质解决实际问题．难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点．教学设计一、创设问题情境，引入新课[师]我们学习了一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程kx ＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解．现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题．二、自主探究1．出示题目：(1)解方程x2-x-2=0．(2)画出二次函数y=x2-x-2的图像．2．出示如下问题：(1)二次函数y=x2-x-2的图像与x轴交点的横坐标是什么？它与方程x2-x-2=0的根有什么关系？(2)如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么它的根和二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交点的横坐标有什么关系？教师参与学生活动，本次活动教师应重点关注学生：(1)能否发现二次函数与对应一元二次方程的关系，并类比到一般形式；(2)是否积极参与到数学活动中．3．教师总结板书：如果一元二次方程20ax bx c ++=有实根，那么二次函数2y ax bx c =++ 的图象与x 轴没有公共点，且公共点的横坐标是这个一元二次方程的实根；反之，如果二次函数20ax bx c ++=的图象与x 轴有公共点，那么公共点的横坐标就是一元二次方程2y ax bx c =++的实根.三、合作交流例1求方程x 2-2x -6=0的较小根的近似值(精确到0．1)．教师应关注：(1)学生是否有意识地反思探索的过程，获得分析问题的经验；⑵学生是否积极地参与到数学活动中来；(3)学生是否理解了求方程近似解的方法．例2利用二次函数的图象讨论一元二次方程2230x x -+=的根.四、达标拓展1．二次函数y =x 2+x -6的图像与x 轴交点的横坐标是( )A ．2和-3B ．-2．和3C ．2和3D ．-2和-32．二次函数y =x 2+x -6，当y <0时，自变量x 取值范围是_________．3．若抛物线y =-x 2-7x +c 与x 轴无交点，则c 的取值范围是_________．五、课堂小结二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程近似值的求法．。

初三数学解一元二次方程的教学案例

初三数学解一元二次方程的教学案例一、引言在初三数学教学中，解一元二次方程是一个重要的内容，也是学生温故知新、巩固基础的阶段。

本篇文章将以一个教学案例的形式，详细介绍解一元二次方程的教学过程和方法。

通过本案例，旨在帮助学生掌握解一元二次方程的基本方法与技巧，提高解题能力。

二、教学目标1. 理解一元二次方程的定义和基本特征；2. 能够正确列写一元二次方程，并解得正确的解；3. 运用一元二次方程解决实际问题；4. 提高学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。

三、教学准备1. 教师准备：- PPT演示文稿，包括一元二次方程的定义、性质和解题方法等；- 教学案例及相关练习题；- 板书工具、彩笔等。

2. 学生准备：- 数学课本和练习册；- 笔、铅笔、橡皮擦等。

四、教学过程（一）导入教师可以通过提问和小组讨论等方式，引导学生回顾一元二次方程的定义和基本性质，激发学生的学习兴趣。

（二）示范与讲解1. 通过PPT演示，介绍一元二次方程的定义和基本形式，强调方程中的未知数、常数项和系数等概念；2. 详细解释如何将实际问题转化为一元二次方程，并列举一些典型的实际问题；3. 讲解解一元二次方程的一般方法，包括因式分解法、配方法和求根公式等。

（三）示例演练1. 给出一个简单的一元二次方程，引导学生使用因式分解法解题；2. 分组练习，让学生互相交流和分享解题思路，并讲解解题过程和答案；3. 难度递增，逐步引导学生解决更复杂的一元二次方程，如有理系数、非整数根等。

（四）拓展应用1. 以教材中的实际问题为例，引导学生将问题转化为一元二次方程，并解决问题；2. 给学生一些实际生活中的问题，让他们自行列方程并解题，培养学生的应用能力。

（五）归纳总结教师与学生一起总结一元二次方程的解题方法和注意事项，强调解题时要注意整个解的过程，并指导学生如何验证解的正确性。

（六）课堂作业布置相关的练习题，并在下节课检查学生的答案，收集他们的问题和困惑。

青岛版数学九年级下册5.6《二次函数的图象与一元二次方程》教学设计

青岛版数学九年级下册5.6《二次函数的图象与一元二次方程》教学设计一. 教材分析青岛版数学九年级下册5.6《二次函数的图象与一元二次方程》这一节主要让学生理解二次函数的图象与一元二次方程之间的关系。

教材通过引入二次函数的图象，让学生观察图象与方程的对应关系，从而引导学生探究一元二次方程的解与二次函数图象的交点之间的关系。

教材内容由浅入深，让学生在探究中掌握二次函数的图象与一元二次方程的解法。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的基本知识，对一元二次方程的解法也有一定的了解。

但学生对二次函数的图象与一元二次方程之间的关系尚不清晰，需要通过实例分析，引导学生探究二者之间的关系，提高学生的解决问题的能力。

三. 教学目标1.理解二次函数的图象与一元二次方程之间的关系。

2.学会利用二次函数的图象解决一元二次方程的问题。

3.提高学生分析问题、解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的图象与一元二次方程之间的关系。

2.难点：如何利用二次函数的图象解决一元二次方程的问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法和小组合作法进行教学。

通过设置问题，引导学生观察、分析二次函数的图象与一元二次方程之间的关系；通过案例分析，让学生学会利用二次函数的图象解决实际问题；通过小组合作，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和问题。

2.准备教学PPT，展示二次函数的图象和一元二次方程的解法。

3.准备纸笔，供学生绘图和记录使用。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：二次函数的图象与一元二次方程。

例如，抛物线y=x^2与x轴相交于A、B两点，求A、B两点的坐标。

2.呈现（15分钟）呈现相关的案例，让学生观察二次函数的图象与一元二次方程的解法。

例如，案例1：已知二次函数y=x2-4，求解方程x2-4=0的解。

案例2：已知二次函数y=x2+4，求解方程x2+4=0的解。

青岛版数学九年级下册5.6《二次函数的图象与一元二次方程》教学设计1

青岛版数学九年级下册5.6《二次函数的图象与一元二次方程》教学设计1一. 教材分析青岛版数学九年级下册5.6《二次函数的图象与一元二次方程》是本节课的主要内容。

这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的图象和一元二次方程的解法的基础上进行教学的。

教材通过实例引导学生探究二次函数的图象与一元二次方程的解法之间的关系，使学生理解二次函数的图象可以用来解决一元二次方程的求解问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的图象和一元二次方程的解法。

但是，对于如何将二次函数的图象与一元二次方程的解法有机地结合起来，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作，探究二次函数的图象与一元二次方程的解法之间的关系。

三. 教学目标1.理解二次函数的图象与一元二次方程的解法之间的关系。

2.学会通过二次函数的图象来解决一元二次方程的求解问题。

3.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的图象与一元二次方程的解法之间的关系。

2.难点：如何运用二次函数的图象来解决一元二次方程的求解问题。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实际操作，探究二次函数的图象与一元二次方程的解法之间的关系。

同时，运用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT。

2.准备一些实际问题，用于引导学生运用二次函数的图象来解决一元二次方程的求解问题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何通过二次函数的图象来解决一元二次方程的求解问题。

2.呈现（10分钟）呈现相关的教学PPT，引导学生学习二次函数的图象与一元二次方程的解法之间的关系。

3.操练（10分钟）学生分组进行实际操作，运用二次函数的图象来解决一元二次方程的求解问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（5分钟）学生汇报自己的操作成果，其他学生和教师进行评价，巩固所学知识。

九年级数学《一元二次方程》教案(5篇)

九年级数学《一元二次方程》教案（5篇）元二次方程教案篇一教学目标掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。

重点、难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。

教学过程：一、情境创设一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？二、探索活动活动一观察在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。

活动二观察与探索如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:（1)图象与x轴的交点的坐标为A（，），B(，）（2）当x=时，函数值y=0。

（3）求方程x2-x-6=0的解。

（4）方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？活动三猜想和归纳（1）你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。

（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。

三、例题分析例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。

(1)y=x2-10x+25(2)y=3x2-4x+2(3)y=-2x2+3x-1例2.已知二次函数y=mx2+x-1（1）当m为何值时，图象与x轴有两个交点（2）当m为何值时，图象与x轴有一个交点？（3）当m为何值时，图象与x轴无交点？四、拓展练习1、如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。

（1）请写出方程ax2+bx+c=0的根（2）列举一个二次函数，使其图象与x轴交于(1,0)和(4,0)，且适合这个图象。

九年级数学一元二次方程教案5篇最新

九年级数学一元二次方程教案5篇最新一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。

今天小编在这里整理了一些，我们一起来看看吧!九年级数学一元二次方程教案1教学目标1。

知识与技能了解一元二次方程及有关概念;掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程;掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法;应用熟练掌握以上知识解决问题。

2。

过程与方法(1)通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型。

•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念。

(2)结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等。

(3)通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程。

九年级数学一元二次方程教案2【主体知识归纳】1.整式方程方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程.2.一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程.3.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项.4.直接开平方法形如x2=a(a≥0)的方程，因为x是a的平方根，所以x=± ，即x1= ，x2=- .这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.5.配方法将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)化成(x+ )2= 的形式后，当b2-4ac≥0时，用直接开平方法求出它的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步骤是：(1)将方程的两边都除以二次项的系数，把方程的二次项系数化成1;(2)将常数项移到方程右边;(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方;(4)当右边是非负数时，用直接开平方法求出方程的根.6.公式法用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x= (b2-4ac≥0)，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.【基础知识讲解】1.一元二次方程的概念包涵三个条件：(1)整式方程;(2)方程中只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2”.一元二次方程的概念中“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”是对化成一般形式之后而言的.例如，判断方程2x2+2x-1=2x2是否是一元二次方程?应先整理方程，得2x-1=0，所以此方程不是一元二次方程.2.在求二次项、一次项和常数项时，要先整理方程，把方程化成一般形式，即ax2+bx+c=0，再确定所求.方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时，才是一元二次方程，例如a=0，b≠0时，它就是一元一次方程，因此，如果明确指出ax2+bx+c=0是一元二次方程，那么就一定包括a≠0这个条件.3.直接开平方法适用于解化为x2=a形式的方程，当a≥0时，方程有实数解;当a0时，方程没有实数解.4.配方法是先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解;如果右边是负数时，方程无实数解.5.求根公式是针对一元二次方程的一般形式来说的，使用求根公式时，必须先把方程化成一般形式，才能正确地确定各项系数，在应用公式之前，先计算出b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，代入公式求出方程的根;当b2-4ac0时，方程没有实数根，这时就不必再代入公式了.【例题精讲】例1：指出下列方程中哪些是一元二次方程：(1)5x2+6=3x(2x+1);(2)8x2=x;(3)y3-y-1=0;(4)4x2-3y=0;(5)-x2=0;(6)x(5x-1)=x(x+3)+4x2.剖析：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对方程进行整理，化成一般形式，然后再根据条件：①整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数为2.只有当这三个条件缺一不可时，才能判断为一元二次方程.解：(1)去括号，得5x2+6=6x2+3x，移项、合并同类项，得x2+3x-6=0，∴此方程是一元二次方程.(2)移项，得8x2-x=0，∴此方程是一元二次方程.(3)因为未知数的最高次数是3，∴此方程不是一元二次方程.(4)∵方程中含有两个未知数，∴它不是一元二次方程.(5)∵a=-1≠0，∴它是一元二次方程.(6)整理，得4x=0∴它不是一元二次方程.例2：写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项：(1)2x2=3x+5;(2)(x+1)(x-1)=1;(3)(x+2)2-4=0.剖析：虽然该题没有要求把方程化成一般形式，但在做题时，也要先把方程化成一般形式.因为方程的.二次项系数、一次项系数及常数项是在方程为一般形式下的，所以必须先整理方程.解：(1)整理，得2x2-3x-5=0.二次项系数是2，一次项系数是-3，常数项是-5.(2)整理，得x2-2=0.二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是-2.(3)整理，得x2+4x=0.二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0.例3:关于x的整式方程(m-1)x2+(2m-1)x+4=0是一元二次方程吗?剖析：要判别原方程是否是一元二次方程，易想到用定义，满足条件：(1)整式方程;(2)方程中只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.原方程显然满足(1)、(2).由于不知m是怎样的实数，所以不一定满足(3).因此，需分类探讨.解：当m-1≠0，即m≠1时，原方程是一元二次方程.当m-1=0，即m=1时，原方程是x+4=0是一元一次方程.说明：在移项、合并同类项时，易出现符号错误，需格外小心，要认真区别题目要求是指出方程的各项还是各项系数.特别要小心当某项的系数为负数时，指出各项时千万不要丢负号.例4:用直接开平方法解下列方程：(1)3x2-27=0;(2)(3x-5)2-7=0.解：(1)3x2-27=0，3x2=27，x2=9，∴x=± ，即x=3或x=-3.∴x1=3，x2=-3.(2)(3x-5)2-7=0，(3x-5)2=7，∴3x-5=± ，即3x-5= 或3x-5=- .∴x1= ，x2= .例5：用配方法解方程2x2+7x-4=0.剖析：此题考查对配方法的掌握情况.配方法最关键的步骤是：(1)将二次项系数化为1;(2)将常数项与二次项、一次项分开在等式两边;(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可化为(x+a)2=k的形式，然后用开平方法求解.解：把方程的各项都除以2，得x2+ x-2=0.移项，得x2+ x=2.配方，得x2+ x+( )2=2+( )2= ，即(x+ )2= .解这个方程，得x+ =± ，x+ =± .即x1= ，x2=-4.说明：配方法是一种重要的数学方法，除了用来解一元二次方程外，还在判断数的正、负，代数式变形、恒等式的证明中有着广泛的应用，例如证明不论x为何实数，代数式2x2-4x+3的值恒大于零，可以做如下的变形：2x2-4x+3=2x2-4x+2+1=2(x-1)2+1.例6：用公式法解下列方程：(1)2x2+7x=4;(2)x2-1=2 x.解：(1)方程可变形为2x2+7x-4=0.∵a=2，b=7，c=-4，b2-4ac=72-4×2×(-4)=810，∴x= .∴x1= ，x2=-4.(2)方程可变形为x2-2 x-1=0.∵a=1，b=-2 ，c=-1，b2-4ac=(-2 )2-4×1×(-1)=160.∴x= .∴x1= +2，x2= -2.说明：在用公式法解方程时，一定要先把方程化成一般形式.例7：一元二次方程(m-1)x2+3m2x+(m2+3m-4)=0有一根为零，求m的值及另一根.解：因为方程有一根为零，所以它的常数项m2+3m-4=0，解得m1=1，m2=-4，又因为此方程是一元二次方程，所以m-1≠0，即m≠1，所以m=-4.把m=-4代入方程，得-5x2+48x=0，解得：x1=0，x2=9.6，所以方程的另一根为9.6.说明：方程有一根为零时，常数项必须为零;求解字母系数的一元二次方程的问题中，二次项系数的字母必须保证二次项系数不等于零，这是解此类问题的先决条件.【同步达纲练习】1.选择题(1)下列方程中是一元二次方程的是( )A. =0B. =0C.x2+2xy+1=0D.5x=3x-1(2)下列方程不是一元二次方程的是( )A. x2=1B.0.01x2+0.2x-0.1=0C. x2-3x=0D. x2-x= (x2+1)(3)方程3x2-4=-2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )A.3，-4，-2B.3，2，-4C.3，-2，-4D.2，-2，0(4)一元二次方程2x2-(a+1)x=x(x-1)-1的二次项系数为1，一次项系数为-1，则a的值为( )A.-1B.1C.-2D.2(5)若方程(m2-1)x2+x+m=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( )A.m≠0B.m≠1C.m≠1且m≠-1D.m≠1或m≠-1(6)方程x(x+1)=0的根为( )A.0B.-1C.0，-1D.0，1(7)方程3x2-75=0的解是( )A.x=5B.x=-5C.x=±5D.无实数根(8)方程(x-5)2=6的两个根是( )A.x1=x2=5+B.x1=x2=-5+C.x1=-5+ ，x2=-5-D.x1=5+ ，x2=5-(9)若代数式x2-6x+5的值等于12，那么x的值为( )A.1或5B.7或-1C.-1或-5D.-7或1(10)关于x的方程3x2-2(3m-1)x+2m=15有一个根为-2，则m 的值等于( )A.2B.-C.-2D.2.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项：(1)4x+1=9x2; (2)(x+1)(x-3)=2x-3;(3)(x+3)(x-3)=2(x-3)2; (4) y2- y= y2- y+ .3.当m满足什么条件时，方程(m+1)x2-4mx+4m-2=0是一元二次方程?当x=0时，求m的值.4.用直接开平方法解下列方程：(1)x2= ;(2)x2=1.96;(3)3x2-48=0;(4)4x2-1=0;(5)(x-1)2=144;(6)(6x-7)2-9=0.5.用配方法解下列方程：(1)x2+12x=0; (2)x2+12x+15=0 (3)x2-7x+2=0;(4)9x2+6x-1=0; (5)5x2-2=-x; (6)3x2-4x=2.6.用公式法解下列方程：(1)x2-2x+1=0; (2)x(x+8)=16; (3)x2- x=2; (4)0.8x2+x=0.3;(5)4x2-1=0; (6)x2=7x; (7)3x2+1=2 x; (8)12x2+7x+1=0.7.(1)当x为何值时，代数式2x2+7x-1与4x+1的值相等?(2)当x为何值时，代数式2x2+7x-1与x2-19的值互为相反数?8.已知a，b，c均为实数，且+|b+1|+(c+3)2=0，解方程ax2+bx+c=0.9.已知a+b+c=0.求证：1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根.10.用配方法证明：(1)3y2-6y+11的值恒大于零;(2)-10x2-7x-4的值恒小于零.11.证明：关于x的方程(a2-8a+20)x2+2ax+1=0，不论a为何实数，该方程都是一元二次方程.九年级数学一元二次方程教案3教学目标1. 了解整式方程和一元二次方程的概念;2. 知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。

青岛版数学九年级下册《5.6 二次函数的图象与一元二次方程》教学设计

青岛版数学九年级下册《5.6 二次函数的图象与一元二次方程》教学设计一. 教材分析青岛版数学九年级下册《5.6 二次函数的图象与一元二次方程》这一节的内容是在学生已经掌握了二次函数的图象特征和一元二次方程的解法的基础上进行讲解的。

教材通过具体的例子引导学生理解二次函数的图象与一元二次方程之间的关系，使得学生能够将所学知识应用于解决实际问题。

教材内容由浅入深，循序渐进，既注重了知识的巩固，又注重了学生的能力培养。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的图象和一元二次方程的概念、解法等都有了一定的了解。

但是，学生对二次函数的图象与一元二次方程之间的关系可能还不是很清晰，对于如何将图象转化为方程，以及如何通过图象来判断一元二次方程的解的情况可能还存在着一定的困难。

因此，在教学过程中，需要教师通过具体的例子，引导学生去发现、总结二次函数的图象与一元二次方程之间的关系。

三. 教学目标1.理解二次函数的图象与一元二次方程之间的关系。

2.能够通过二次函数的图象来判断一元二次方程的解的情况。

3.能够运用二次函数的图象与一元二次方程的知识来解决实际问题。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的图象与一元二次方程之间的关系。

2.难点：如何通过二次函数的图象来判断一元二次方程的解的情况。

五. 教学方法采用讲授法、引导发现法、实践操作法、问题驱动法等教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳等思维活动，发现二次函数的图象与一元二次方程之间的关系，培养学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、黑板、粉笔等。

2.准备一些具体的例子，用于引导学生发现二次函数的图象与一元二次方程之间的关系。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的例子，引导学生回顾二次函数的图象特征和一元二次方程的解法。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT或者黑板，呈现一些二次函数的图象，让学生观察并思考：这些图象与一元二次方程之间有什么关系？3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选择一个图象，尝试将其转化为相应的一元二次方程，并通过解方程来验证图象与方程之间的关系。

初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料4.7 一元二次方程的应用(1)学案

初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料4.7 一元二次方程的应用学案第一课时班级姓名组别等级【学习目标】1.通过例1和例2的探究，能根据面积问题中的等量关系列出一元二次方程，进一步体会数学的建模思想.2.通过解决一元二次方程实际问题中的面积类问题，能根据问题的实际意义，检验方程的解是否合理.3.通过本节课的学习，会利用一元二次方程解决简单的面积类问题，进一步养成应用数学的意识和分析问题、解决问题的能力.【学习过程】一、自主学习（一）自学指导独立思考下面题目，找出问题中的已知量、未知量和等量关系，把其中的一个未知量用x表示并根据等量关系，列出方程.1.如图,有一块长为40cm、宽为30cm的矩形铁片，在它的四角各截去一个全等的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子.如果这个盒子的底面积等于原来矩形铁片面积的一半，那么盒子的高是多少？思考：这个问题中的等量关系是 .解:设盒子的高是 xcm , 则截去的四个小正方形的边长均为xcm ，盒子的底面边长分别为 cm 和 cm，由题意，得整理方程，得解这个方程，得检验：所以，盒子的高为 cm.（二）自学检测请同学们根据自学情况认真独立完成以下练习.做题要细心、规范.从一块正方形木板上锯掉2cm宽的矩形木条，剩余矩形木板的面积是48cm2,求原正方形木板的面积.（三）我的疑惑：二、合作探究将自主学习和自学检测中疑难问题进行交流，并总结列一元二次方程解应用题的步骤.发言要求：起立讨论、声音洪亮、言简意赅、明确清晰.先独立思考以下探究题，记录自己的疑惑，然后组内交流解题思路，最后个人整理解题过程.探究：将一根长为64cm 的铁丝剪成两段，再将每段分别围成正方形（如图），如果两个正方形的面积的和等于160cm 2,求两个正方形的边长.三、训练环节认真独立完成以下练习.要求书写认真，步骤规范，成绩计入小组量化.1.有一块矩形的草坪，长比宽多4m,草坪四周有一条宽2m 的小路环绕，已知小路的面积与草坪的面积相等，求草坪的长与宽.2.邻居张老汉养了一群鸡，现在要建一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．请同学计算一下鸡场的长和宽各多少米？四、自我反思一节课的学习，你收获了什么？可以是有关知识的学习、方法的总结你认为本节课所学的知识中，哪些是你在检测训练过程中容易出错的？请你总结在下面.1.我的收获：2.我的易错点：64cm。

初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料教案： 4.7一元二次方程的应用 (1)

初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料初三数学课程教案授课题目一元二次方程的应用（1）授课类型新授课教学目标1.通过对一元二次方程的进一步理解，找到实际问题中等量关系从而求解实际问题。

重点重点：实际问题中的等量关系如何找难点难点：根据等量关系设未知数列方程教学过程温故知新解应用题步骤：1．审题；2．设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种；3．找等量关系列方程；4．解方程；5．判断解是否符合题意；6．写出正确的解课内探究案1、循环问题(※中考热点考点)(a) 传播问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人可传染人数共传染人数第0轮 1（传染源） 1 第1轮 x x+1 第2轮 x(x+1) 1+x+ x(x+1) 列方程 1+x+ x(x+1)=121 解方程，得X1=10，X2=-12 X2=-12不符合题意，所以原方程的解是x=10答：每轮传染中平均一个人传染了10个人。

类似问题还有树枝开叉等。

2、平均率问题（※中考热点考点）最后产值、基数、平均增长率或降低率、增长或降低次数的基本关系：M=a(1±x)n n为增长或降低次数 M为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率平均率和时间相关，必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长或降低率。

由上可得，一元二次方程解应用题的步骤是.3.将减少20千克。

现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？4、面积问题（中考常考）例3:如图12—1，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多宽?1.从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．问每次倒出溶液的升数？作业主要教学内容【变式拓展】1.某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，，求月平均增长率.【课堂小结】1. 知识方面：2. 数学思想方法：《课内达标题》总分10分得分 .1（10分）已知a、b、c为三角形三边长，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等试判断此三角形形状，说明理由.教学小结。

初中数学青岛版九年级下册高效课堂资料5.6二次函数的图象与一元二次方程学案

初中数学青岛版九年级下册高效课堂资料5.6 二次函数的图象与一元二次方程学案学习目标1.能根据二次函数c bx ax y ++=2的系数，判断它的图象与x 轴的交点个数.2.探索二次函数c bx ax y ++=2的图象与一元二次方程的关系，体会方程与函数之间的联系，感受数学的整体性．3.通过交流、归纳等过程，体会转化和数形结合的思想方法，并在数学活动中体验成功的喜悦.学习过程一、自主学习(一)自学指导自学课本46-47页“观察与思考”的内容，完成以下表格.22(二)自学检测请同学们根据自学情况,独立完成下列题目，注意做题一定要细心. 1.抛物线y=3x 2＋5x 与两坐标轴交点的个数为（） A ．3个B ．2个C ．1个D ．无2.判断下列二次函数的图象与x 轴是否有公共点，如果有，有几个？（1）2114y x x =-+-；（2）22y x x =++；（3）234y x x =--二、合作探究先独立思考以下探究题，记录自己的疑惑，然后组内交流解题思路，最后个人整理解题过程.探究：已知抛物线228y x x =--（1）试说明该抛物线与x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x 轴的两个交点分别为A,B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积三、当堂训练认真独立完成以下练习，要求书写认真，步骤规范，成绩计入小组量化. 1.抛物线y=a （x －2）（x ＋5）与x 轴的交点坐标为． 2.抛物线y=2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个交点，则m=．3.二次函数y=kx 2＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围．4.抛物线 y =2x 2－3x －5 与y 轴交于点，与x 轴交于点 . 5.一元二次方程 3x 2+x －10=0的两个根是x 1=－2 ，x 2=35，那么二次函数 y = 3x 2+x －10与x 轴的交点坐标是 .6.已知函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++=的根的情况是（）A ．无实数根B ．有两个相等实数根C ．有两个异号实数根D ．有两个同号不等实数四、自我反思一节课的学习，你收获了什么？可以是有关知识的学习、方法的总结,你认为本节课所学的知识中，哪些是你在检测训练过程中容易出错的？请你总结在下面.。

初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料县中学4.7一元二次方程的应用(1)学案

初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料4.2用配方法解一元二次方程（2）教案【学习目标】1.能根据题意找出正确的等量关系.2.能正确的列出一元二次方程解决实际问题.3、通过一题多解使学生体会列方程的实质，培养灵活处理问题的能力.【学习重难点】能正确的列出一元二次方程解决实际问题.【学习过程】前面我们学习过了一元一次方程、分式方程，并能用它们来解决现实生活与生产中的许多问题，同样，我们也可以用一元二次方程来解决一些问题。

想一想，列方程解应用题的关键是什么？一、自主学习例1.如图，将一根为64cm的铁丝剪成两段，再将每段分别围成正方形，如果两个正方形的面积的和等于160平方厘米，求两个正方形的边长。

分析：这个问题中的等量关系是：解：总结：列一元二次方程解应用题的一般步骤：二合作交流例二、.某花圃用花盆培育某种花卉，经市场调查发现，出售一盆花的盈利与该盆中花的棵数有关。

当每盆栽种3棵时，平均每棵盈利3元。

以同样的栽培条件，每盆增加1棵，平均每棵盈利将减少0.5元。

要使每盆的盈利增加10元，每盆应当种植该花卉多少棵？三.对应练习1.天全村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室。

要求长宽的比为3:1,。

在温室内，沿前后两侧内墙各留3m宽的空地放置工具，其他两侧内墙各留1 m的通道。

当矩形温室的长与宽多少时，蔬菜种植区的面积是300平方米？2.矩形ABCD 的边AB=200cm,O 为AB 的中点，OE ⊥AB 交CD 于点E.质点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 向点B 运动；另一质点Q 同时从点O 出发，以3cm/s 的速度沿OE 向点E 运动。

经过多少秒时，⊿OPQ 的面积为1800平方厘米？四|课堂小结：通过本节学习，你有哪些收获和体会？五、当堂检测1. 两个实数的和是10，积是-75，求这两个数.2. 如图，道路AB 与BC 分别是东西方向和南北方向，AB ＝1000m.某日晨练，小莹从点A 出发，以每分钟150m 的速度向东跑；同时小亮从点B 出发，以每分钟200m 的速度向北跑，二人出发后经过几分钟，他们之间的直线距离仍然是10002m ？A。

初中数学青岛版九年级下册高效课堂资料专题六一元二次方程的解法及性质学案

初中数学青岛版九年级下册高效课堂资料专题六一元一次方程的揭发及性质学案班级姓名组别等级【复习目标】1.能根据具体一元二次方程的特征灵活选择方程的解法，体会解决问题策略的多样性.2.能利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况.3.熟记一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数之间的关系，并会解决有关根的问题.4.通过复习发展自己的数感和运算能力，并养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯. 【复习过程】一、自主复习（一）复习指导根据下面的题纲自主复习有关的基础知识快速记忆，构建知识体系，为后面的训练作好准备.1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且二次项的系数不为0，这样的整式方程叫一元二次方程．它的一般形式是ax 2＋bx+c=0(a ≠0）注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式.2.一元二次方程的解法直接开平方法；配方法；公式法：一元二次方程求根公式；因式分解法3.根的判别式一元二次方程根的情况：当b 2－4ac>0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根；b 2－4ac=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根；b 2－4ac<0⇔一元二次方程没有实数根.4.一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程ax 2＋bx+c=0(a ≠0）的两个根分别是x 1,x 2，则x 1+x 2= ,x 1·x 2=（二）复习检测要求:自主学习完成后,独立完成复习检测题.完成后,组长组织本组同学统一答案，个人自己批阅，用红笔改错,不明白的求助于小组其他成员.1.下列方程中，关于x 的一元二次方程是( )A.()()2121x x +=+B.21120x x +-= C. D.2.关于的一元二次方程有实数根，则( ) A.＜0 B.＞0 C.≥0 D.≤03.(2009潍坊) 若x 1 ，x 2 是方程x 2 －6x+k －1=0的两个根，且221224x x +=，则k 的值为（）A.8B. 7C.6D.54.(2009成都) 若关于x 的方程kx 2－2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A.k ＞－1B. k ＞－1且k ≠0C. k ＜1D. k ＜1且k ≠05.已知一元二次方程x 2+2x －8=0的一根是2，则另一个根是______________.6.(2009泰安) 若关于x 的方程－x 2 +（2k+1）x+2－k 2=0有实数根，则k 的取值范围是_______ 二、合作探究组内交流自学环节中存在的疑惑，组长掌握组内的情况，记录组内没能解决的问题，准备班内解决.发言要求：言简意赅、明确清晰.下面的探究题，先独立完成，然后小组内交流，准备充分的小组准备班内展示.探究一(2009鄂州)关于x 的方程kx 2+(k+2)x+4k =0有两个不相等的实数根， 1.求k 的取值范围；2.是否存在实数k 使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在求出k 的值；不存在说明理由. 探究二:解方程x 2-︱x ︱-2=0解：当x ≥0时，原方程化为x 2-x-2=0，解得：x 1=2，x 2=-1(不合题意，舍去)；当x ＜0时，原方程化为x 2+ x-2=0，解得：x 1=1，(不合题意，舍去)x 2=-2；∴原方程的根是x 1=2，x 2=-2.请参照例题解方程x 2-︱x-1｜-1=0.我的疑惑：_______________________________________________________________________ 三、梯度训练必做题：认真规范独立地完成训练题目，全部完成后对桌互相交换批阅，成绩计入小组量化.1.用配方法解方程x 2-2x-1=0时，配方后所得的方程为（）A. （x+1）2=0B.(x-1)2=0C.(x+1)2=2D.(x-1)2=22.一元二次方程x(x-2)=2-x 的根是（）A ． -1 B.2 C.1和2 D.-1和23.（2015•达州）方程（m ﹣2）x 2=0有两个实数根，则m 的取值范围（）且A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法判断选做题：1、已知关于x 的方程()0112=--+x k kx ，下列说法正确的是（）.A.当0=k 时，方程无解B.当1=k 时，方程有一个实数解C.当1-=k 时，方程有两个相等的实数解D.当0≠k 时，方程总有两个不相等的实数解2、关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p 的值是（） A ．4 B ．0或2 C ．1 D ．－13、已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12x x ，，且2212x x +=24，则k 的值是（）A ．8B ．7-C ．6D ．5 4、关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（） A ．6 B ．7C ．8D ．9 5、关于x 的一元二次方程2620x x k -+=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）.A.92k ≤B.92k <C. 92k ≥D. 92k >6、（2011•潍坊）关于x 的方程x2+2kx+k ﹣1=0的根的情况描述正确的是（）A 、k 为任何实数，方程都没有实数根B 、k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫C 、k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D 、根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种四、自我反思一节课的学习，你肯定有很多收获，请将你本节课的收获用思维导图的形式呈现出来.。

初中数学青岛版九年级下册《56二次函数与一元二次方程》导学案

初中数学青岛版九年级下册《56二次函数与一元二次方程》
导学案
5.6二次函数与一元二次方程（导学案）
【学习目标】
1.理解二次函数的图象与一元二次方程的关系.
2.会用图象法求一元二次方程的近似解，并会求出抛物线与坐标轴的公共点的坐标.
【学习重点】用图象法解一元二次方程.
【学习难点】用图象法求一元二次方程的近似解.
【学习过程】
活动一：
观察抛物线y=_2-2_-3 ，
思考下面的问题：
（1）抛物线与_轴有几个公共点？交点的坐标分别是什么？
（2）当函数y=_2-2_-3的函数值是0时，_取什么值？
（3）一元二次方程_2-2_-3=0有没有根？如果有根，解方程求出的根是什么？（4）一元二次方程_2-2_-3=0的根和抛物线y=_2-2_-3与_ 轴的公共点的横坐标有什么关系？
（5）你能猜想一元二次方程a_2+b_+c=0的实数根和
抛物线y=a_2+b_+c与_轴公共点的横坐标的关系吗？
结论：抛物线y=a_2+b_+c与_轴点的坐标，恰为一元二次方程a_2+b_+c=0
的 .。

一元二次方程的应用学案

青岛版九年级上册数学第四章一元二次方程的应用（第1课时）导学案一．学习内容课本149—151页二．学习目标1. 学会利用一元二次方程解决图形面积类问题和市场营销类问题；2．能根据问题的实际意义，检验方程的解是否合理；3 . 经历将实际问题转化为数学问题的过程，体会一元二次方程在生活中的应用。

三．学习重点会列一元二次方程解有关图形面积和市场营销类的应用题.四．学习难点探究每个问题中的等量关系.五．学习探究过程（一）复旧导新1.以前学习了列什么样的方程解应用题？2.列方程解应用题的步骤是？关键是什么？（二）学习探究下面我们从身边熟悉的物品和图形开启探究之旅第一类型：图形面积类问题例1：将一根长为64m的铁丝剪成两段，再将两段分别围成正方形，如果两个正方形的面积的和等于160cm2，求两个正方形的边长。

活动设计：问题1：本题中的已知量和未知量是什么？问题2：本题中的等量关系是什么？问题3：你打算怎么设未知数？根据你设的未知数列出方程。

图形面积类问题对应练习：某居民小区要在一块一边靠墙（墙长13m）的空地上建一个矩形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），（1）用x的代数式表示花园的面积；（2）当x为何值时，花园的面积是42m2本环节注意事项：1.解方程要迅速且准确；2.必须检验方程的根是否符合题意，进行合理的取舍。

第二类型：市场营销类问题例题2：某花圃用花盆培育某种花，经市场调查发现，出售一盆花的盈利与该盆中花的棵数有关。

当每盆栽种3棵时，平均每棵盈利3元，以同样的栽培条件，每盆增加1棵，平均每棵盈利将减少0.5元，要使每盆的盈利达到10元，每盆应当种植该种花卉多少棵？请同学们独立思考：1.本题中的等量关系是什么？2.你认为要用代数式准确的表示出等量关系中的各个量，本题中的关键语句是哪句？3. 你打算怎么设未知数？能根据你设的未知数列出方程吗？解：设_______________________________，则每盆栽种花卉__________棵，平均每棵盈利_________元.根据题意，列方程得：整理得：解方程得：（请自己将解题过程补充完整）本环节小结：同类题型中所含的等量关系可表示为：__________________________________________温馨提示：以上关系式请同学们牢记，今后的学习和复习中将经常运用该关系式解决问题。

一元二次方程的解法教学案[青岛版初三九年级]

3.2一元二次方程的解法教学案一、教学目标知识与技能：1．掌握用配方法解数字系数的一元二次方程．2．使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。

3．在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能。

过程与方法：在具体的解方程中理解配方法的实质，探求其规律性。

感情态度与价值观：在共同探究问题中学会学习，树立自信心。

二、教学重点1、使学生掌握配方法，解一元二次方程。

三、教学难点1、把一元二次方程转化为q p x =+2)(四、教学过程（一）复习练习：1、解下列方程，并说明解法的依据：（1）2321x -= （2）()2160x +-= （3） ()2210x --= 教师点评：通过复习提问，指出这三个方程都可以转化为以下两个类型：()()()2200x b b x a b b =≥-=≥和根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果b < 0，方程就没有实数解。

如()212x -=-1、请说出完全平方公式。

()()22222222x a x ax a x a x ax a+=++-=-+。

（二）教学过程活动一：自主探究，合作交流试一试：1、解下列方程：2x ＋2x ＝5；（2）2x －4x ＋3＝0.思考:能否经过适当变形，将它们转化为()2= a 的形式，应用直接开方法求解？解:（1）原方程化为2x ＋2x ＋1＝6，（方程两边同时加上1）_____________________,_____________________,_____________________.（2）原方程化为2x －4x ＋4＝－3＋4 （方程两边同时加上4）_____________________,_____________________,_____________________.活动二：探索新知归纳：上面，我们把方程2x －4x ＋3＝0变形为()22x -＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。

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初中数学青岛版九年级下册高效课堂资料
专题七一元二次方程的应用学案
班级姓名组别等级
【复习目标】
1.掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤.
2.能根据实际问题情境，恰当设未知数，列出一元二次方程并求解.
3.能根据具体问题的实际意义，检验所得的结果是否合理.
4.通过复习进一步体会建模思想与转化思想在数学上的广泛应用.
【复习过程】
一、自主复习
（一）复习指导
根据下面的题纲自主回顾有关的基础知识，构建知识体系，为后面的训练作好准备.
知识网络
一元二次方程的应用⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪⎩
几何面积型数字变化型增长率型市场经济型其他
（二）复习检测
要求:自主学习完成后,独立完成复习检测题.完成后,组长组织本组同学统一答案，个人自己批阅，用红笔改错,不明白的求助于小组其他成员.
1.某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．144（1-x）2= 100 B.100(1-x)2=144 C.144(1+x)2=100 D.100(1+x)2=144
2. 我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业迅猛发展，2014年增速位居全国第一，若2015年的快递业务量达到4,5亿件，设2014年与2015年这两年的年平均增长率为x，则下列方程正确的是( ).
A.1.4(1+x)=4.5
B.1.4(1+2x)=4.5
C.1.4(1+x)2=4.5
D.1.4(1+x)+1.4(1+x)2=4.5
3.某商场服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？.
解：设每件童装应降价x元，根据题意得：
二、合作探究
下面的探究题，先独立完成，然后小组内交流，准备充分的小组准备班内展示.
探究一.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
探究二.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1，在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三册内墙各保留1m宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2.
我的疑惑：__________________________________________________________
三、梯度训练
必做题：认真规范独立地完成训练题目，全部完成后对桌互相交换批阅，成绩计入小组量化.
1.某养殖专业户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为
2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.
（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为__________________万元.
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.
2.如图所示，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再
砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN 最长可利用
25m ），现在已备足可以砌50m 长的墙的材料，试设计一种砌
法，使矩形花园的面积为300m 2
.
3.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应安原售价的几折出售？
选做题：
1.某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年的盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为___________万元.
2.某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是__________.
3.等腰三角形的底和腰是方程2
680x x -+=的两根，则这个三角形的周长为___________.
4.如图所示，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB ，BC 各为多少米？
5.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？
6.学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元.
（1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.
四、自我反思
一节课的学习，你肯定有很多收获，请将你本节课的收获用思维导图的形式呈现出来.。