高二数学寒假作业模块综合测评(2)文新人教A版必修5

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人教版高二数学必修5练习模块综合评价(二) Word版含答案

模块综合评价(二)(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．下列命题中正确的是( )．若，，是等差数列，则，，是等比数列．若，，是等比数列，则，，是等差数列．若，，是等差数列，则，，是等比数列．若，，是等比数列，则，，是等差数列解析：＝－，＝－，因为，，成等差数列，所以－＝－，所以－＝－，即＝.答案：．在△中，＝°，＝°，＝，则边的长为( )．．．解析：由正弦定理：)＝)，所以＝)＝＝.答案：．设为等比数列{}的前项和，已知＝－，＝－，则公比＝( )．．．．解析：两式相减得，＝－，＝，所以＝＝.答案：．在等差数列{}中，首项＝，公差≠，若＝＋＋…＋，则的值为( )．．．．解析：由＝＋＋…＋得(－)＝＝⇒＝.答案：．不等式(－)＞的解集是( )．(，) ．(，＋∞)．(－∞，) ．(－∞，)∪(，＋∞)解析：由(－)＞，得(－)＜，所以＜＜.答案：．若三条线段的长分别为、、，则用这三条线段( )．能组成直角三角形．能组成锐角三角形．能组成钝角三角形．不能组成三角形解析：由余弦定理：设最大角为，则＝＝－＜，所以为钝角．答案：．对于实数，规定[]表示不大于的最大整数，那么不等式[]－[]＋＜成立的的取值范围是( )．[，]．[，) ．[，]解析：由[]－[]＋＜，得＜[]＜，又[]表示不大于的最大整数，所以≤＜.答案：．已知数列{}满足＝，＝－(＞)，则的值为( )．．－．－．解析：因为＝，＝－＝，＝－＝－，＝(－)－＝，＝－＝－.答案：．若变量，满足则＝＋的最大值是( )。

高二数学人教A必修5模块综合检测Word版含解析(2)

所以 △ABC 是锐角三角形 .
10.(2019 山东潍坊四县联考 ,10)已知数列 { an} 中 ,a1= 2,nan+1= (n+ 1) an+ 2,n∈ N* ,则 a11= (
)
A.36
B.38
C.40
D.42
答案 :D
解析 :因为 nan+ 1= (n+ 1)an+ 2,n∈ N* ,
所以在等式的两边同时除以 n(n+ 1),
得 = 2.
所以 + 2
.所以 a11= 42.故选 D.
11.(2019 陕西高考 ,10)设 f(x)= ln x,0<ap
C.p=r<q
)
A. -6(1- 3- 10)
B. (1-3-10)
C.3(1 -3- 10)
D.3(1 + 3-10)
答案 :C
解析 :由 3an+1+a n= 0,得 =-.
所以 { an} 是以 q=- 为公比的等比数列 .
所以 a1=a 2·=- ×(-3)= 4.
所以 = S10= 3(1-3-10),故选 C.
C.39
答案 :C
D.52
解析 :因为 5,x,y,z,21 构成等差数列 ,所以 y 是 x,z 的等差中项 ,也是 5,21 的等差中项 ,所以
x+z= 2y,5+ 21= 2y,所以 y= 13,x+z= 26,所以 x+y+z= 39.

高中数学人教a版高二必修五章末综合测评2有答案

章末综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A ．1，12，13，14，… B ．－1,2，－3,4，… C ．－1，－12，－14，－18，… D ．1, 2， 3，…，n【解析】 A 为递减数列，B 为摆动数列，D 为有穷数列．【答案】 C2．已知数列{a n }是首项a 1＝4，公比q ≠1的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则公比q 等于( )A.12B ．－1C ．－2D ．2 【解析】由已知，2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，所以q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1，因为q ≠1，所以q ＝－1.【答案】 B3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A ．33个B ．65个C ．66个D ．129个【解析】设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{a n }．则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝2.∴a n －1＝1·2n －1 ，a n ＝2n －1＋1，a 7＝65. 【答案】 B4．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列 {b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项B ．第12项C ．第13项D ．第6项【解析】 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项．【答案】 C5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a ≠0)，则{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列【解析】 ∵S n ＝a n －1(a ≠0)， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，n ＝1，(a －1)a n －1，n ≥2，当a ＝1时，a n ＝0，数列{a n }是一个常数列，也是等差数列；当a ≠1时，数列{a n }是一个等比数列．【答案】 C6．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A ．90B ．100C ．145D ．190 【解析】设公差为d ， ∴(1＋d )2＝1×(1＋4d )， ∵d ≠0，∴d ＝2，从而S 10＝100. 【答案】 B7．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．7【解析】 S 4－S 2＝a 3＋a 4＝20－4＝16， ∴a 3＋a 4－S 2＝(a 3－a 1)＋(a 4－a 2) ＝4d ＝16－4＝12， ∴d ＝3. 【答案】 B8．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3＝( )A ．2B ．4C ．5 D.52【解析】依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n ＝2，数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项，2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4.【答案】 B9．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 【解析】 ∵2a n ＋1－2a n ＝1， ∴a n ＋1－a n ＝12，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列， ∴a 101＝2＋12(101－1)＝52. 【答案】 D10．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图1所示：图1则第七个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29 D ．30【解析】法一 ∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，a 5＝15，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，∴a 6－a 5＝6，a 6＝21，a 7－a 6＝7，a 7＝28. 法二由图可知第n 个三角形数为n (n ＋1)2， ∴a 7＝7×82＝28.【答案】 B11．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n－1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ3n 为等差数列的实数λ＝( )A ．2B ．5C ．－12 D.12【解析】 a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n ，则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27， ∵b 1＋b 3＝2b 2， ∴λ＝－12. 【答案】 C12．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )A ．S 17B ．S 18C ．S 19D ．S 20 【解析】 ∵a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|， ∴a 11＋a 10>0.S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10·(a 11＋a 10)>0.S 19＝19(a 1＋a 19)2＝192·2a 10<0.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为________．【解析】由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝100[(a 1＋b 1)＋(a 100＋b 100)]2＝50×(25＋75＋100)＝10 000. 【答案】 10 00014．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a 5＝________. 【导学号：05920082】【解析】由a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，得a n －a n －1＝n ，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，把各式相加，得a 5－a 1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a 5＝14＋a 1＝14＋1＝15. 【答案】 1515．首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．【解析】设a 1＝－24，公差为d ，∴a 10＝－24＋9d >0且a 9＝－24＋8d ≤0，∴83<d ≤3. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤83，316．已知公差不为零的正项等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，若a 5＝10，则S 5＝________.【解析】设{a n }的公差为d ，则d ≠0. 由lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，得2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4，∴a 22＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d 2＝a 1d .又d ≠0，故d ＝a 1，a 5＝5a 1＝10，d ＝a 1＝2， S 5＝5a 1＋5×42×d ＝30. 【答案】 30三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．【解】设该数列的公差为d ，前n 项和为S n .由已知可得 2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )，所以a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n2.18．(本小题满分12分)(2016·唐山模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．【解】 (1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)·S n ＋2n (n ∈N *)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8. (2)证明：∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)S n －1＋2(n －1)，② ①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2， ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2. ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0. ∴S n －1＋2≠0，∴S n ＋2S n －1＋2＝2.即{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．19．(本小题满分12分)(2015·北京高考)已知等差数列{a n}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.(1)求{a n}的通项公式；(2)设等比数列{b n}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？【解】(1)设等差数列{a n}的公差为d.因为a4－a3＝2，所以d＝2.又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.所以a n＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n＝1,2，…)．(2)设等比数列{b n}的公比为q.因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，所以q＝2，b1＝4.所以b6＝4×26－1＝128.由128＝2n＋2得n＝63，所以b6与数列{a n}的第63项相等．20．(本小题满分12分)已知首项都是1的两个数列{a n}，{b n}(b n≠0，n∈N*)，满足a n b n＋1－a n＋1b n＋2b n＋1b n＝0. 【导学号：05920083】(1)令c n＝a nb n，求数列{c n}的通项公式；(2)若b n＝3n－1，求数列{a n}的前n项和S n.【解】(1)因为a n b n＋1－a n＋1b n＋2b n＋1b n＝0，b n≠0(n∈N*)，所以a n＋1b n＋1－a nb n＝2，即c n＋1－c n＝2.所以数列{c n}是以首项c1＝1，公差d＝2的等差数列，故c n＝2n－1.(2)由b n＝3n－1知a n＝c n b n＝(2n－1)3n－1，于是数列{a n}的前n项和S n＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，3S n＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n.相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)3n ，所以S n ＝(n －1)3n ＋1.21．(本小题满分12分)(2015·四川高考)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11 000成立的n 的最小值．【解】 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有 a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以q ＝2. 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．故a n ＝2n . (2)由(1)得1a n＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n . 由|T n －1|<11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1<11 000，即2n >1 000.因为29＝512<1 000<1 024＝210，所以n ≥10. 于是使|T n －1|<11 000成立的n 的最小值为10.22．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n (n ＋1)2，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n b n ，求T n .【解】 (1)由题意知(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知b n ＝a n (n ＋1)2＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n ·(n ＋1)．因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)，可得当n 为偶数时， T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n ) ＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n2(4＋2n )2＝n (n ＋2)2，当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝(n －1)(n ＋1)2－n (n ＋1)＝－(n ＋1)22.所以T n＝⎩⎨⎧－(n ＋1)22，n 为奇数，n (n ＋2)2，n 为偶数.。

高中数学模块综合检测2(含解析)新人教A版选择性必修第二册-新人教A版高二选择性必修第二册数学试题

模块综合检测(二)(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f (x )＝ln x 2x ，则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝( ) A ．－2－ln 2B ．－2＋ln 2C ．2－ln 2D ．2＋ln 2A [由题意，函数f (x )＝ln x 2x ，则f ′(x )＝1x ·2x －(2x )′ln x (2x )2＝2x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12ln x 2x ，则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2＋ln 22×12＝－2－ln 2，故选A.] 2．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( )A ．±2B ．±4C ．2D ．4C [∵T 13＝4T 9，∴a 1a 2…a 9a 10a 11a 12a 13＝4a 1a 2…a 9，∴a 10a 11a 12a 13＝4.又∵a 10·a 13＝a 11·a 12＝a 8·a 15，∴(a 8·a 15)2＝4，∴a 8a 15＝±2.又∵{a n }为递减数列，∴q >0，∴a 8a 15＝2.]3．已知公差不为0的等差数列{a n }的前23项的和等于前8项的和．若a 8＋a k ＝0，则k ＝( )A ．22B ．23C ．24D ．25C [等差数列的前n 项和S n 可看做关于n 的二次函数(图象过原点)．由S 23＝S 8，得S n 的图象关于n ＝312对称，所以S 15＝S 16，即a 16＝0，所以a 8＋a 24＝2a 16＝0，所以k ＝24.]4．已知函数f (x )＝(x ＋a )e x 的图象在x ＝1和x ＝－1处的切线相互垂直，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2A [因为f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x ，所以f ′(1)＝(a ＋2)e ，f ′(－1)＝a e －1＝a e ，由题意有f (1)f ′(－1)＝－1，所以a ＝－1，选A.]5．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10＝( )A ．15B ．19C ．21D ．30B [由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列可得S 22＝S 1·S 4，又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )，化简得3d 2＝2a 2d ，又d ≠0，∴a 2＝3，d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a 10＝19.]6．若函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－2，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(2，＋∞)D [因为函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，所以函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在斜率为2的切线，故k ＝f ′(x )＝a －1x ＝2有解，所以a ＝2＋1x ，x ＞0有解，因为y ＝2＋1x ，x ＞0的值域为(2，＋∞)．所以a ∈(2，＋∞)．]7．已知等差数列{}a n 的前n 项为S n ，且a 1＋a 5＝－14，S 9＝－27，则使得S n 取最小值时的n 为( )A ．1B ．6C ．7D ．6或7B [由等差数列{a n }的性质，可得a 1＋a 5＝2a 3＝－14⇒a 3＝－7，又S 9＝9(a 1＋a 9)2＝－27⇒a 1＋a 9＝－6⇒a 5＝－3，所以d ＝a 5－a 35－3＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－7＋(n －3)×2＝2n －13，令a n ≤0⇒2n －13≤0，解得n ≤132，所以数列的前6项为负数，从第7项开始为正数，所以使得S n 取最小值时的n 为6，故选B.]8．若方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )A ．4B ．6C ．4.5D ．8A [设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x 2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2. 令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴当x ＝8时，S (x )取得最小值．∴h ＝25682＝4.]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设数列{}a n 是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1＞0，且S 6＝S 9，则( )A ．d <0B ．a 8＝0C ．S 5＞S 6D ．S 7或S 8为S n 的最大值ABD [根据题意可得a 7＋a 8＋a 9＝0⇒3a 8＝0⇒a 8＝0，∵数列{}a n 是等差数列，a 1＞0，∴公差d <0，所以数列{}a n 是单调递减数列，对于A 、B ，d <0，a 8＝0，显然成立；对于C ，由a 6>0，则S 5<S 6，故C 不正确；对于D ，由a 8＝0，则S 7＝S 8，又数列为递减数列，则S 7或S 8为S n 的最大值，故D 正确．故选ABD.]10．如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是( )A ．f (x )在(－2，－1)上是增函数B ．当x ＝－1时，f (x )取得极小值C ．f (x )在(－1，2)上是增函数，在(2，4)上是减函数D ．当x ＝3时，f (x )取得极小值BC [根据图象知当x ∈(－2，－1)，x ∈(2，4)时，f ′(x )＜0，函数单调递减；当x ∈(－1，2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数单调递增．故A 错误；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，B 正确；C 正确；当x ＝3时，f (x )不是取得极小值，D 错误．故选BC.]11．已知等比数列{}a n 的公比q ＝－23，等差数列{}b n 的首项b 1＝12，若a 9>b 9且a 10>b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9a 10<0B ．a 9>a 10C ．b 10>0D ．b 9>b 10AD [∵等比数列{}a n 的公比q ＝－23，∴a 9和a 10异号，∴a 9a 10<0 ，故A 正确；但不能确定a 9和a 10的大小关系，故B 不正确；∵a 9和a 10异号，且a 9>b 9且a 10>b 10，∴b 9和b 10中至少有一个数是负数，又∵b 1＝12>0 ，∴d <0，∴b 9>b 10 ，故D 正确，∴b 10一定是负数，即b 10<0 ，故C 不正确. 故选AD.]12．已知函数f (x )＝x ln x ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是( )A ．x 2f (x 1)＜x 1f (x 2)B ．x 1＋f (x 1)＜x 2＋f (x 2)C ．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0 D ．当ln x ＞－1时，x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)AD [设g (x )＝f (x )x ＝ln x ，函数单调递增，则g (x 2)＞g (x 1)，即f (x 2)x 2＞f (x 1)x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，A 正确；设h (x )＝f (x )＋x ∴h ′(x )＝ln x ＋2不是恒大于零，B 错误；f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1不是恒小于零，C 错误；ln x ＞－1，故f ′(x )＝ln x ＋1＞0，函数单调递增．故(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))＝x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)－x 2f (x 1)－x 1f (x 2)＞0，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 2f (x 1)＋x 1f (x 2)．f (x 2)x 2＝ln x 2＞f (x 1)x 1＝ln x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)，D 正确．故选AD.]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋1＝11－a n(n ∈N *)，a 1＝2，则S 50＝________. 25[因为a n ＋1＝11－a n (n ∈N *)，a 1＝2，所以a 2＝11－a 1＝－1，a 3＝11－a 2＝12，a 4＝11－a 3＝2，∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，且前三项和S 3＝2－1＋12＝32， ∴S 50＝16S 3＋2－1＝25.]14．将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则s 的最小值是________． 3233[设AD ＝x (0<x <1)，则DE ＝AD ＝x ，∴梯形的周长为x＋2(1－x )＋1＝3－x .又S △ADE ＝34x 2，∴梯形的面积为34－34x 2，∴s ＝433×x 2－6x ＋91－x 2(0<x <1)，则s ′＝－833×(3x －1)(x －3)(1－x 2)2. 令s ′＝0，解得x ＝13.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，s ′<0，s 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，s ′>0，s 为增函数．故当x ＝13时，s 取得极小值，也是最小值，此时s 的最小值为3233.]15．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.32[由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2相减可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，同除以a 2可得2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1.因为q >0，所以q ＝32.]16．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＞0时，xf ′(x )＞f (x )，若f (2)＝0，则2f (3)________3f (2)(填“＞”“＜”)不等式x ·f (x )＞0的解集为________．(本题第一空2分，第二空3分)＞ (－2，0)∪(2，＋∞)[由题意，令g (x )＝f (x )x ，∵x ＞0时，g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2＞0.∴g (x )在(0，＋∞)单调递增，∵f (x )x 在(0，＋∞)上单调递增，∴f (3)3＞f (2)2即2f (3)＞3f (2)．又∵f (－x )＝f (x )，∴g (－x )＝－g (x )，则g (x )是奇函数，且g (x )在(－∞，0)上递增，又g (2)＝f (2)2＝0，∴当0＜x ＜2时，g (x )＜0，当x ＞2时，g (x )＞0；根据函数的奇偶性，可得当－2＜x ＜0时，g (x )＞0，当x ＜－2时，g (x )＜0. ∴不等式x ·f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜0或x ＞2}．]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在等差数列{}a n 中，已知a 1＝1，a 3＝－5.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}a n 的前k 项和S k ＝－25，求k 的值．[解](1)由题意，设等差数列{}a n 的公差为d ，则a n ＝a 1＋()n －1d ，因为a 1＝1，a 3＝－5，可得1＋2d ＝－5，解得d ＝－3，所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝1＋()n －1×()－3＝4－3n .(2)由(1)可知a n ＝4－3n ，所以S n ＝n [1＋(4－3n )]2＝－32n 2＋52n ，又由S k ＝－25，可得－32k 2＋52k ＝－25，即3k 2－5k －50＝0，解得k ＝5或k ＝－103，又因为k ∈N *，所以k ＝5.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2.(1)求f (x )的单调区间；(2)函数g (x )＝23x 3－16(x ＞0)，求证：a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．[解](1)f ′(x )＝a x ＋x (x ＞0)，若a ≥0，则f ′(x )＞0，f (x )在 (0，＋∞)上单调递增；若a ＜0，令f ′(x )＝0，解得x ＝±－a ，由f ′(x )＝(x －－a )(x ＋－a )x ＞0，得x ＞－a ，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜－a .从而f (x )的单调递增区间为(－a ，＋∞)，单调递减区间为(0，－a )． (2)证明：令φ(x )＝f (x )－g (x )，当a ＝1时，φ(x )＝ln x ＋12x 2－23x 3＋16(x ＞0)，则φ′(x )＝1x ＋x －2x 2＝1＋x 2－2x 3x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x. 令φ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0，φ(x )单调递增；当x ＞1时，φ′(x )＜0，φ(x )单调递减．∴当x ＝1时，φ(x )取得最大值φ(1)＝12－23＋16＝0，∴φ(x )≤0，即f (x )≤g (x )．故a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．19．(本小题满分12分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}b n 满足b n ＝log 3a n ＋1，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .[解](1)由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，2S n －1＝3a n －1－1()n ≥2.两式相减并整理得，a n ＝3a n －1()n ≥2.令n ＝1，由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，a 1＝1.故{}a n 是以1为首项，公比为3的等比数列，因此a n ＝3n －1()n ∈N ＋.(2)由b n ＝log 3a n ＋1，结合a n ＝3n －1得，b n ＝n .则1b n b n ＋1＝1n ()n ＋1＝1n －1n ＋1 故T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1. 20．(本小题满分12分)某旅游景点预计2019年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 35－2x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，160x (x ∈N *，且7≤x ≤12).(1)写出2019年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：万人)与x 的函数关系式；(2)问2019年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？[解](1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x )＝－3x 2＋40x ，验证x ＝1也满足此式，所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)．(2)第x 个月旅游消费总额(单位：万元)为g (x )＝⎩⎨⎧ (－3x 2＋40x )(35－2x )(x ∈N *，且1≤x ≤6)，(－3x 2＋40x )·160x (x ∈N *，且7≤x ≤12)，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6x 3－185x 2＋1 400x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，－480x ＋6 400(x ∈N *，且7≤x ≤12). (i)当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去)．当1≤x ＜5时，g ′(x )＞0，当5＜x ≤6时，g ′(x )＜0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125.(ii)当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数，∴当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3 040.综上，2019年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列．(1)求数列{a n b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解](1)∵a n ＝3n －1，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9.∵在等差数列{b n }中，b 1＋b 2＋b 3＝15，∴3b 2＝15，则b 2＝5.设等差数列{b n }的公差为d ，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2.∵b n >0，∴d ＝－10应舍去，∴d ＝2，∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1.故a n b n＝(2n＋1)·3n－1.(2)由(1)知T n＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①3T n＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②①－②，得－2T n＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×3n ＝3＋2×(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)×3n＝3＋2×3－3n1－3－(2n＋1)×3n＝3n－(2n＋1)×3n＝－2n·3n.∴T n＝n·3n.22．(本小题满分12分)设函数f (x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f (x)的极值点；(2)若关于x的方程f (x)＝a有3个不同实根，某某数a的取值X围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立，某某数k的取值X围．[解](1)f ′(x)＝3(x2－2)，令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝ 2.当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f ′(x)＞0，当x∈(－2，2) 时，f ′(x)＜0，因此x1＝－2，x2＝2分别为f (x)的极大值点、极小值点．(2)由(1)的分析可知y＝f (x)图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y＝a 与y＝f (x)的图象有3个不同交点需5－42＝f (2)＜a＜f (－2)＝5＋4 2.则方程f (x)＝a有3个不同实根时，所某某数a的取值X围为(5－42，5＋42)．(3)法一：f (x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝－3，所以所求k的取值X围是为(－∞，－3]．法二：直线y＝k(x－1)过定点(1，0)且f (1)＝0，曲线f (x)在点(1，0)处切线斜率f ′(1)＝－3，由(2)中图知要使x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.故实数k的取值X围为(－∞，－3]．。

高二数学寒假作业(人教A版必修五)正弦定理和余弦定理word版含答案

高二数学寒假作业（人教A 版必修五）正弦定理和余弦定理(时间：40分钟)一、选择题1．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，且a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°解析 sin B ＝b sin A a ＝43sin30°4＝32，又因为b >a ，所以∠B 有二解，所以∠B ＝60°或120°。

故选D 。

答案 D2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b ＝( )A.53B.107C.57D.5214解析因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，所以sin C ＝sin[180°－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos45°＋35sin45°＝7210。

由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210³sin45°＝57。

故选C 。

答案 C3．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2D ．1解析由题意可得12AB ²BC ²sin B ＝12，又AB ＝1，BC ＝2，所以sin B ＝22，所以B ＝45°或B ＝135°。

当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ²BC ²cos B ＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去。

人教版A版高中数学高二版必修5模块综合检测

模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式－x 2＋5x ＋14≤0的解集为( ) A ．{x |x ≥7或x ≤2} B ．{x |2≤x ≤7} C ．{x |x ≥7或x ≤－2}D ．{x |－2≤x ≤7}解析：选C.－x 2＋5x ＋14≤0⇒x 2－5x －14≥0⇒(x －7)·(x ＋2)≥0⇒x ≥7或x ≤－2. 2．在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为( ) A ．5 2 B ．5 3 C ．2 5D ．3 5解析：选A.依题意，知三角形的最大边为b .由于A ＝30°，根据正弦定理，得b sin B ＝a sin A ，所以b ＝a sin B sin A ＝5sin 135°sin 30°＝5 2.3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋3，若a n ＝2 017，则n ＝( ) A ．667 B ．668 C ．669D ．673解析：选D.因为a n ＋1＝a n ＋3，所以a n ＋1－a n ＝3，所以{a n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －2. 因为a n ＝2 017，所以n ＝673. 4．下列命题中，一定正确的是( ) A ．若a >b 且1a >1b ，则a >0，b <0B ．若a >b ，b ≠0，则ab >1C ．若a >b 且a ＋c >b ＋d ，则c >dD ．若a >b 且ac >bd ，则c >d解析：选A.A 正确，若ab >0，则a >b 与1a >1b 不能同时成立；B 错，如取a ＝1，b ＝－1时，有ab ＝－1<1；C 错，如a ＝5，b ＝1，c ＝1，d ＝2时，有a ＋c >b ＋d ，c <d ；D 错，取a＝－1，b ＝－2，则a >b ，令c ＝－3，d ＝－1，有ac >bd ，c <d .5．已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1·a 9＝16，则a 2·a 5·a 8的值为( ) A ．16 B ．32 C ．48D ．64解析：选D.由等比数列的性质可得， a 1·a 9＝a 25＝16. 因为a n ＞0，所以a 5＝4，所以a 2·a 5·a 8＝a 35＝64，故选D. 6.函数y ＝ x 2＋mx ＋m2对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m >2B ．m <2C ．m <0或m >2D ．0≤m ≤2 解析：选D.Δ＝m 2－4×m2＝m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63D ．64解析：选C.易知等比数列的公比不为－1，由等比数列的性质得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，即3，12，S 6－15成等比数列，则3(S 6－15)＝144，所以S 6＝63.8.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )A. 2B. 3C.32D ．2解析：选C.因为A 、B 、C 依次成等差数列，所以B ＝π3，又因为a sin A ＝b sin B ⇒sin A ＝12⇒A ＝π6(因为a 0，y >0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为( )A ．16B ．15C ．8D ．4解析：选A. 因为1x ＋9y ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y . 因为x >0，y >0，所以y x ＋9xy≥2y x ·9xy＝6. 当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时取等号．又因为1x ＋9y ＝1，所以x ＝4，y ＝12.所以当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.10．若平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，y －2≤0，y ≥k （x ＋1）的面积为3，则实数k 的值为( )A.13 B.12 C.45D.32解析：选B . 由平面区域Ω的面积为3，可得0<k <2.所以可作可行域如图所示．又因为A (－1，0)，C (0，2)，B ⎝⎛⎭⎫2k －1，2，所以S △ABC ＝12×|BC |×2＝12×⎝⎛⎭⎫2k －1×2＝3. 所以k ＝12.11．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0，当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax ＋y 取得最大值，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－23，35 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－35∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞C.⎝⎛⎭⎫－35，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫35，＋∞ 解析：选C. 直线3x －5y ＋6＝0和直线2x ＋3y －15＝0的斜率分别为k 1＝35，k 2＝－23，且两直线的交点坐标为(3，3)，作出可行域如图所示，当且仅当直线z ＝ax ＋y 经过点(3，3)时，z 取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的斜率－a 满足－23<－a <35，解得－35<a <23，故选C.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ，B ，C 成等差数列，2a ，2b ，2c 成等比数列，则cos A cos B ＝( )A.14 B.16 C.12D.23解析：选A. 由已知得2B ＝A ＋C ，又A ＋C ＋B ＝π，故B ＝π3.又4b 2＝4ac ，则b 2＝ac ，所以由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cosπ3＝ac ，即(a －c )2＝0，故a ＝c ，所以△ABC 是等边三角形，则cos A cos B ＝cos π3×cos π3＝14.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，c ＝2a ，则cos B 的值为________．解析：因为a ，b ，c 成等比数列且c ＝2a ，所以b 2＝ac ＝2a 2，所以b ＝2a ，c ＝2a ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3a 24a 2＝34.答案：3414．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，则b ＝________．解析：由sin A cos C ＝3cos A sin C 得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3·b 2＋c 2－a 22bc ·c ，则a 2＋b 2－c 2＝3(b 2＋c 2－a 2)，a 2－c 2＝b 22，又a 2－c 2＝2b ，则有b 22＝2b ，故b ＝4. 答案：415．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，且t ＝2＋x －14y ，则当t 取最大值时x 的值为________．解析：因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，所以t ＝2＋x －14y ＝2＋1－y －14y ≤3－2y ×14y＝2， (当且仅当y ＝14y ，即y ＝12时取等号)所以x ＝1－y ＝12.答案：1216．若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为“调和数列”，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 3x 18的最大值是________．解析：因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为“调和数列”，所以x n ＋1－x n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，即数列{x n }为等差数列，由x 1＋x 2＋…＋x 20＝200得20⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 202＝20（x 3＋x 18）2＝200，即x 3＋x 18＝20，易知x 3、x 18都为正数时，x 3x 18有最大值，所以x 3x 18≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋x 1822＝100(当且仅当x 3＝x 18时等号成立)，即x 3x 18的最大值为100.答案：100三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 7＝49，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝（a n ＋1）·2n －1n，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，7a 1＋7×62d ＝49，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *)，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)得b n ＝（a n ＋1）·2n －1n ＝（2n －1＋1）·2n －1n ＝2n ，所以T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2(n ∈N *)．18．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.19．(本小题满分12分)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥|2x －3|.(1)画出点(x ，y )所在平面区域；(2)设a >－1，在(1)所求的区域内，求函数z ＝y －ax 的最大值和最小值．解：(1)已知不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥2x －3，2x －3≥0或 ⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥3－2x ，2x －3<0.从而得点(x ，y )所在的平面区域为图中所示的阴影部分(含边界)．其中AB ：y ＝2x －5；BC ：x ＋y ＝4；CD ：y ＝－2x ＋1；DA ：x ＋y ＝1.(2)z 表示直线l ：y －ax ＝z 在y 轴上的截距，且直线l 与(1)中所求区域有公共点．因为a >－1，所以当直线l 过顶点C 时，z 最大．因为C 点的坐标为(－3，7)．所以z 的最大值为7＋3a .如果－1<a ≤2，那么当直线l 过顶点A (2，－1)时，z 最小，最小值为－1－2a . 如果a >2，那么当直线l 过顶点B (3，1)时，z 最小，最小值为1－3a .20．(本小题满分12分)(2015·高考浙江卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1nb n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)．由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n .整理得b n ＋1n ＋1＝b n n ，所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)由(1)知a n b n ＝n ·2n ，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1. 故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a ＋b c ＝cos （A ＋C ）cos C.(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2，求使△ABC 面积最大时，a ，b 的值．解：(1)因为cos(A ＋C )＝cos(π－B )＝－cos B ，由题意及正弦定理，得2sin A ＋sin B sin C ＝－cos B cos C，即2sin A cos C ＝－(sin B cos C ＋cos B sin C )＝－sin(B ＋C )＝－sin A . 因为A ∈(0，π)，所以sin A >0.所以cos C ＝－12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.(2)因为由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以4＝a 2＋b 2－2ab ·⎝⎛⎭⎫－12，即4＝a 2＋b 2＋ab . 所以4＝a 2＋b 2＋ab ≥2ab ＋ab ＝3ab .所以4≥3ab ，ab ≤43(当且仅当a ＝b 时等号成立)．因为S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ，所以当a ＝b 时△ABC 面积最大为33，此时a ＝b ＝233. 故当a ＝b ＝233时，△ABC 的面积最大为33.22．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )满足f (－2)＝0，且2x ≤f (x )≤x 2＋42对一切实数x 都成立．(1)求f (2)的值； (2)求f (x )的解析式；(3)设b n ＝1f （n ），数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n >4n3（n ＋3）.解：(1)因为2x ≤f (x )≤x 2＋42对一切实数x 都成立，所以4≤f (2)≤4，所以f (2)＝4. (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．因为f (－2)＝0，f (2)＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝4，4a －2b ＋c ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2－4a .因为ax 2＋bx ＋c ≥2x ，即ax 2－x ＋2－4a ≥0恒成立，所以a >0，Δ＝1－4a (2－4a )≤0，得(4a －1)2≤0，所以a ＝14，c ＝2－4a ＝1，故f (x )＝x 24＋x ＋1.(3)证明：因为b n ＝1f （n ）＝4（n ＋2）2>4（n ＋2）（n ＋3）＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2－1n ＋3，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n >4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫13－14＋⎝⎛⎭⎫14－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2－1n ＋3 ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1n ＋3＝4 n 3(n ＋3).。

[精品]新人教A版必修五高中数学模块综合测评2和答案

模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列1,3,7,15，…的通项a n可能是( )A．2n B．2n＋1C．2n－1 D．2n－1【解析】取n＝1时，a1＝1，排除A、B，取n＝2时，a2＝3，排除D.【答案】 C2．不等式x2－2x－5>2x的解集是( )A．{x|x≤－1或x≥5}B．{x|x<－1或x>5}C．{x|1<x<5}D．{x|－1≤x≤5}【解析】不等式化为x2－4x－5>0，所以(x－5)(x＋1)>0，所以x<－1或x>5.【答案】 B3．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于( )A．16 B．32C．64 D．256【解析】∵{a n}是等比数列且由题意得a1·a19＝16＝a210(a n>0)，∴a8·a10·a12＝a310＝64.【答案】 C4．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【解析】5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.12B.32 C ．1D.34【解析】 ∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理得sin A ＝3sin B sin A ，∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12，故选 A.【答案】 A6．等比数列{a n }前n 项的积为T n ，若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17，T 25中也是常数的项是( )A ．T 10B ．T 13C ．T 17D ．T 25【解析】由等比数列的性质得a 3a 6a 18＝a 6a 10a 11＝a 8a 9a 10＝a 39，而T 17＝a 179，故T 17为常数．【答案】 C7．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3【解析】由题意：A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知：a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3. 【答案】 A8．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】远望巍巍塔七层，说明该数列共有7项，即n ＝7.红光点点倍加增，说明该数列是公比为2的等比数列．共灯三百八十一，说明7项之和S 7＝381.请问尖头几盏灯，就是求塔顶几盏灯，即求首项a 1. 代入公式S n ＝a 1－q n1－q，即381＝a 1－271－2，∴a 1＝381127＝3.∴此塔顶有3盏灯．【答案】 B9．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，则yx的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,1] C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0的相关区域如图中的阴影部分所示．yx表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率，由图可知，yx的取值范围为(1，＋∞)．【答案】 C10．在△ABC 中，若c ＝2b cos A ，则此三角形必是( ) A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．有一角为30°的直角三角形【解析】由正弦定理得sin C ＝2cos A sin B ， ∴sin (A ＋B )＝2cos A sin B ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，所以sin (A －B )＝0. 又因为－π<A －B <π，所以A －B ＝0，即A ＝B . 【答案】 A11．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2 【解析】 ∵x >1， ∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋x －＋3x －1＝x －2＋x －＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2.【答案】 A12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于( ) A.32B.3－1 C ．2D ．2－ 3【解析】由BC →·BA →＝12，得ac cos B ＝12，∴2ac cos B ＝1.又由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－1， ∴a 2－b 2＋c 2＝1， ∴tan B ＝2－31＝2－ 3.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式 2x ＋by ＋1>0表示的平面区域内，则b 的取值范围是______. 【导学号：05920089】【解析】点P (1，－2)关于原点的对称点为点P ′(－1，2)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2×1－2b ＋1>0，－2＋2b ＋1>0，解得12<b <32.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3214．(2015·江苏高考)设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．【解析】由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝n －＋n2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1， ∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式， ∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)．∴1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴S 10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1－111＝2011.【答案】 201115．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ， ∴a 2－b 2＝c 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴A ＝60°.∵在△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)， ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.【答案】316．若1a <1b<0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 2；⑤a 2>b 2；⑥2a >2b .其中正确的不等式的序号为______．【解析】 ∵1a <1b<0，∴b <a <0，故③错；又b <a <0，可得|a |<|b |，a 20，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．【解】 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ， ∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >0，3＋d <0，∴－247<d <－3.(2)∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7>0，a 7<0，∴a 6>0，又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大．18．(本小题满分12分)已知α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值．【解】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝－a ，αβ＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－α＋β，b ＝αβ2，∵0≤α≤1,1≤β≤2，∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2.∴⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ≤－1，0≤b ≤1，建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如下图所示．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率．取B (－1,0)，C (－3,1)，则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32. 故b －3a －1的最大值是32，最小值是12. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，试求当△ABC 的面积取最大值时，△ABC 的形状. 【导学号：05920090】【解】 (1)∵(2b －c )cos A －a cos C ＝0，由余弦定理得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab＝0，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)由(1)得b 2＋c 2－bc ＝3及b 2＋c 2≥2bc 得bc ≤3.当且仅当b ＝c ＝3时取等号．∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3×32＝334. 从而当△ABC 的面积最大时，a ＝b ＝c ＝ 3.∴当△ABC 的面积取最大值时△ABC 为等边三角形．20．(本小题满分12分)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R .(1)求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0. 【解】 (1)∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立．①当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；②当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[x －(1－a )]<0.∵0≤a ≤1，∴①当1－a >a ，即0≤a <12时， a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解； ③当1－a <a ，即12<a ≤1时， 1－a <x <a .综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为(a,1－a )；当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12<a ≤1时，原不等式的解集为(1－a ，a )． 21．(本小题满分12分)若数列{a n }满足a 2n ＋1－a 2n ＝d ，其中d 为常数，则称数列{a n }为等方差数列．已知等方差数列{a n }满足a n >0，a 1＝1，a 5＝3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和．【解】 (1)由a 21＝1，a 25＝9，得a 25－a 21＝4d ，∴d ＝2.a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∵a n >0，∴a n ＝2n －1.数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝(2n －1)12n ，设S n ＝1·12＋3·122＋5·123＋…＋(2n －1)·12n ，①12S n ＝1·122＋3·123＋5·124＋…＋(2n －1)· 12n ＋1，② ①－②，得12S n ＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －(2n －1)·12n ＋1 ＝12＋2·14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－(2n －1)·12n ＋1，即S n ＝3－2n ＋32n ，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和为3－2n ＋32n . 22．(本小题满分12分)如图1所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛5千米的E 港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号)图1【解】轮船从点C 到点B 用时80分钟，从点B 到点E 用时20分钟，而船始终匀速航行，由此可见，BC ＝4EB .设EB ＝x ，则BC ＝4x ，由已知得∠BAE ＝30°，在△AEC 中，由正弦定理得EC sin ∠EAC ＝AEsin C ，即sin C ＝AE sin ∠EAC EC ＝5sin 150°5x ＝12x，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝ABsin C，即AB ＝BC sin C sin 120°＝4x ×12x sin 120°＝43＝433. 在△ABE 中，由余弦定理得 BE 2＝AE 2＋AB 2－2AE ·AB cos 30°＝25＋163－2×5×433×32＝313，所以BE ＝313(千米)．故轮船的速度为v ＝313÷2060＝93(千米/时)．。

2020高中数学人教A必修5模块综合测评2 Word版含解析

模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列1,3,7,15，…的通项a n可能是( )A．2n B．2n＋1C．2n－1 D．2n－1【解析】取n＝1时，a1＝1，排除A、B，取n＝2时，a2＝3，排除D.【答案】 C2．不等式x2－2x－5>2x的解集是( )A．{x|x≤－1或x≥5}B．{x|x<－1或x>5}C．{x|1<x<5}D．{x|－1≤x≤5}【解析】不等式化为x2－4x－5>0，所以(x－5)(x＋1)>0，所以x<－1或x>5.【答案】 B3．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于( )A．16 B．32C．64 D．256【解析】∵{a n}是等比数列且由题意得a1·a19＝16＝a210(a n>0)，∴a8·a10·a12＝a310＝64.【答案】 C4．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【解析】5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.12B.32 C ．1D.34【解析】 ∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理得sin A ＝3sin B sin A ， ∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12，故选 A.【答案】 A6．等比数列{a n }前n 项的积为T n ，若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17，T 25中也是常数的项是( )A ．T 10B ．T 13C ．T 17D ．T 25【解析】由等比数列的性质得a 3a 6a 18＝a 6a 10a 11＝a 8a 9a 10＝a 39，而T 17＝a 179，故T 17为常数．【答案】 C7．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3【解析】由题意：A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知：a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3. 【答案】 A8．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】远望巍巍塔七层，说明该数列共有7项，即n ＝7.红光点点倍加增，说明该数列是公比为2的等比数列．共灯三百八十一，说明7项之和S 7＝381.请问尖头几盏灯，就是求塔顶几盏灯，即求首项a 1.代入公式S n ＝a 11－q n 1－q ，即381＝a 11－271－2，∴a 1＝381127＝3.∴此塔顶有3盏灯．【答案】 B9．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，则y x 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0的相关区域如图中的阴影部分所示． y x 表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率，由图可知，y x 的取值范围为(1，＋∞)．【答案】 C10．在△ABC 中，若c ＝2b cos A ，则此三角形必是( ) A ．等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形D ．有一角为30°的直角三角形【解析】由正弦定理得sin C ＝2cos A sin B ， ∴sin (A ＋B )＝2cos A sin B ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B ，即sin A cos B－cos A sin B＝0，所以sin (A－B)＝0.又因为－π<A－B<π，所以A－B＝0，即A＝B.【答案】 A11．函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值是( )A．23＋2 B．23－2 C．2 3 D．2【解析】∵x>1，∴x－1>0.∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－1＋3x－1＝x－12＋2x－1＋3x－1＝x－1＋3x－1＋2≥23＋2. 【答案】 A12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且tan B＝2－3a2－b2＋c2，BC→·BA→＝12，则tan B等于( )A.32B.3－1C ．2D ．2－ 3【解析】由BC →·BA →＝12，得ac cos B ＝12，∴2ac cos B ＝1.又由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－1， ∴a 2－b 2＋c 2＝1， ∴tan B ＝2－31＝2－ 3.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x ＋by ＋1>0表示的平面区域内，则b 的取值范围是______. 【导学号：05920089】【解析】点P (1，－2)关于原点的对称点为点P ′(－1，2)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2×1－2b ＋1>0，－2＋2b ＋1>0，解得12<b <32.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3214．(2015·江苏高考)设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．【解析】由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝n －12＋n2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n 2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式， ∴a n ＝n 2＋n 2(n ∈N *)．∴1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴S 10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝2011.【答案】 201115．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sinA －sinB )＝(c －b )sinC ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ， ∴a 2－b 2＝c 2－bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴A ＝60°.∵在△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)， ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.【答案】316．若1a <1b<0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 2；⑤a 2>b 2；⑥2a >2b .其中正确的不等式的序号为______．【解析】 ∵1a <1b<0，∴b <a <0，故③错；又b <a <0，可得|a |<|b |，a 20，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．【解】 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ， ∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >0，3＋d <0， ∴－247<d <－3.(2)∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7>0，a 7<0， ∴a 6>0，又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大．18．(本小题满分12分)已知α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值．【解】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝－a ，αβ＝2b ，∴⎩⎨⎧a ＝－α＋β，b ＝αβ2，∵0≤α≤1,1≤β≤2， ∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ≤－1，0≤b ≤1，建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如下图所示．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率．取B (－1,0)，C (－3,1)，则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32. 故b －3a －1的最大值是32，最小值是12. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，试求当△ABC 的面积取最大值时，△ABC 的形状. 【导学号：05920090】【解】 (1)∵(2b －c )cos A －a cos C ＝0，由余弦定理得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝0，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π， ∴A ＝π3.(2)由(1)得b 2＋c 2－bc ＝3及b 2＋c 2≥2bc 得bc ≤3. 当且仅当b ＝c ＝3时取等号． ∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3×32＝334.从而当△ABC 的面积最大时，a ＝b ＝c ＝ 3.∴当△ABC 的面积取最大值时△ABC 为等边三角形．20．(本小题满分12分)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.【解】 (1)∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立． ①当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；②当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[x －(1－a )]<0.∵0≤a ≤1，∴①当1－a >a ，即0≤a <12时， a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解； ③当1－a <a ，即12<a ≤1时， 1－a <x <a .综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为(a,1－a )；当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12<a ≤1时，原不等式的解集为(1－a ，a )． 21．(本小题满分12分)若数列{a n }满足a 2n ＋1－a 2n ＝d ，其中d 为常数，则称数列{a n }为等方差数列．已知等方差数列{a n }满足a n >0，a 1＝1，a 5＝3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和．【解】 (1)由a 21＝1，a 25＝9，得a 25－a 21＝4d ，∴d ＝2.a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∵a n >0，∴a n ＝2n －1.数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝(2n －1)12n ，设S n ＝1·12＋3·122＋5·123＋…＋(2n －1)·12n ，① 12S n ＝1·122＋3·123＋5·124＋…＋(2n －1)· 12n ＋1，② ①－②，得12S n ＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －(2n －1)·12n ＋1 ＝12＋2·14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－(2n －1)·12n ＋1，即S n ＝3－2n ＋32n ，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和为3－2n ＋32n .。

高中数学人教A版必修五模块综合测评2 Word版含答案

模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列1,3,7,15，…的通项a n 可能是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1D ．2n －1【解析】取n ＝1时，a 1＝1，排除A 、B ，取n ＝2时，a 2＝3，排除D. 【答案】 C2．不等式x 2－2x －5>2x 的解集是( ) A ．{x |x ≤－1或x ≥5} B ．{x |x <－1或x >5} C ．{x |1<x <5} D ．{x |－1≤x ≤5}【解析】不等式化为x 2－4x －5>0，所以(x －5)(x ＋1)>0，所以x <－1或x >5. 【答案】 B3．在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 10·a 12等于( )A ．16B ．32C ．64D ．256【解析】 ∵{a n }是等比数列且由题意得a 1·a 19＝16＝a 210(a n >0)，∴a 8·a 10·a 12＝a 310＝64.【答案】 C4．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x2＋1>1(x∈R)【解析】5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac＝3，且a＝3b sin A，则△ABC的面积等于()A.12 B.32C．1 D.3 4【解析】∵a＝3b sin A，∴由正弦定理得sin A＝3sin B sin A，∴sin B＝1 3.∵ac＝3，∴△ABC的面积S＝12ac sin B＝12×3×13＝12，故选 A.【答案】 A6．等比数列{a n}前n项的积为T n，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是()A．T10B．T13C．T17D．T25【解析】由等比数列的性质得a3a6a18＝a6a10a11＝a8a9a10＝a39，而T17＝a179，故T17为常数．【答案】 C7．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3【解析】由题意：A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知：a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3. 【答案】 A8．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】远望巍巍塔七层，说明该数列共有7项，即n ＝7.红光点点倍加增，说明该数列是公比为2的等比数列．共灯三百八十一，说明7项之和S 7＝381.请问尖头几盏灯，就是求塔顶几盏灯，即求首项a 1. 代入公式S n ＝a 1(1－q n )1－q ，即381＝a 1(1－27)1－2，∴a 1＝381127＝3. ∴此塔顶有3盏灯．【答案】 B9．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0，则yx 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0的相关区域如图中的阴影部分所示． y x 表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率，由图可知，y x 的取值范围为(1，＋∞)．【答案】 C10．在△ABC 中，若c ＝2b cos A ，则此三角形必是( ) A ．等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形D ．有一角为30°的直角三角形【解析】由正弦定理得sin C ＝2cos A sin B ， ∴sin (A ＋B )＝2cos A sin B ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，所以sin (A －B )＝0. 又因为－π<A －B <π，所以A －B ＝0，即A ＝B . 【答案】 A11．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2 【解析】 ∵x >1， ∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2 ≥23＋2. 【答案】 A12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2，BC →·BA→＝12，则tan B 等于( ) A.32 B.3－1 C ．2D ．2－ 3【解析】由BC →·BA→＝12，得ac cos B ＝12，∴2ac cos B ＝1.又由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－1， ∴a 2－b 2＋c 2＝1， ∴tan B ＝2－31＝2－ 3. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x ＋by ＋1>0表示的平面区域内，则b 的取值范围是______. 【导学号：05920089】【解析】点P (1，－2)关于原点的对称点为点P ′(－1，2)．由题意知⎩⎨⎧2×1－2b ＋1>0，－2＋2b ＋1>0，解得12<b <32. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3214．(2015·江苏高考)设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．【解析】由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1， ∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)． ∵当n ＝1时也满足此式， ∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)． ∴1a n ＝2n 2＋n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴S 10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝2011. 【答案】 201115．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ， ∴a 2－b 2＝c 2－bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ， ∴A ＝60°.∵在△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)， ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.【答案】 316．若1a <1b <0，已知下列不等式： ①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 2； ⑤a 2>b 2；⑥2a >2b .其中正确的不等式的序号为______．【解析】 ∵1a <1b <0， ∴b <a <0，故③错；又b <a <0，可得|a |<|b |，a 20，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．【解】 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ， ∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎨⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎨⎧24＋7d >0，3＋d <0， ∴－247<d <－3. (2)∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎨⎧ a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0， ∴⎩⎨⎧a 6＋a 7>0，a 7<0，∴a 6>0，又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大．18．(本小题满分12分)已知α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值．【解】 ∵⎩⎨⎧α＋β＝－a ，αβ＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－(α＋β)，b ＝αβ2，∵0≤α≤1,1≤β≤2， ∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2. ∴⎩⎨⎧－3≤a ≤－1，0≤b ≤1，建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如下图所示．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率．取B (－1,0)，C (－3,1)，则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32.故b －3a －1的最大值是32，最小值是12. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，试求当△ABC 的面积取最大值时，△ABC 的形状. 【导学号：05920090】【解】 (1)∵(2b －c )cos A －a cos C ＝0，由余弦定理得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝0，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵0<A <π， ∴A ＝π3.(2)由(1)得b 2＋c 2－bc ＝3及b 2＋c 2≥2bc 得bc ≤3. 当且仅当b ＝c ＝3时取等号． ∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3×32＝334. 从而当△ABC 的面积最大时，a ＝b ＝c ＝ 3.∴当△ABC 的面积取最大值时△ABC 为等边三角形．20．(本小题满分12分)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.【解】 (1)∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立． ①当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立； ②当a ≠0时，则⎩⎨⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[x －(1－a )]<0. ∵0≤a ≤1， ∴①当1－a >a ，即0≤a <12时， a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解；③当1－a <a ，即12<a ≤1时， 1－a <x <a .综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为(a,1－a )；当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12<a ≤1时，原不等式的解集为(1－a ，a )．21．(本小题满分12分)若数列{a n }满足a 2n ＋1－a 2n ＝d ，其中d 为常数，则称数列{a n }为等方差数列．已知等方差数列{a n }满足a n >0，a 1＝1，a 5＝3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和．【解】 (1)由a 21＝1，a 25＝9，得a 25－a 21＝4d ，∴d ＝2.a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∵a n >0， ∴a n ＝2n －1.数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝(2n －1)12n ，设S n ＝1·12＋3·122＋5·123＋…＋(2n －1)·12n ，① 12S n ＝1·122＋3·123＋5·124＋…＋(2n －1)· 12n ＋1，② ①－②，得12S n ＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －(2n －1)·12n ＋1 ＝12＋2·14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－(2n －1)·12n ＋1，即S n ＝3－2n ＋32n ，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和为3－2n ＋32n . 22．(本小题满分12分)如图1所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛5千米的E 港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号)图1【解】轮船从点C 到点B 用时80分钟，从点B 到点E 用时20分钟，而船始终匀速航行，由此可见，BC ＝4EB .设EB ＝x ，则BC ＝4x ，由已知得∠BAE ＝30°，在△AEC 中，由正弦定理得EC sin ∠EAC＝AE sin C ，即sin C ＝AE sin ∠EAC EC＝5sin 150°5x ＝12x ，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC＝AB sin C ，即AB＝BC sin Csin 120°＝4x×12xsin 120°＝43＝433.在△ABE中，由余弦定理得BE2＝AE2＋AB2－2AE·AB cos 30°＝25＋163－2×5×433×32＝313，所以BE＝313(千米)．故轮船的速度为v＝313÷2060＝93(千米/时)．。

高二数学高中数学模块测试2 新人教A版必修5

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．等差数列{a n }各项都是负数，且a 32＋a 82＋2a 3a 8＝9，则它的前10项和S 10＝( ) A ．－11 B ．－9 C ．－15 D ．－13[答案] C[解析] ∵a 33＋a 82＋2a 3a 8＝9，∴a 3＋a 8＝±3； ∵{a n }各项均为负数．∴a 3＋a 8＝－3， ∴S 10＝10a 1＋a 102＝5(a 3＋a 8)＝－15.2．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )[答案] C[解析] 由f (x )>0的解集为{x |－2<x <1}知，f (x )开口向下，对称轴在y 轴左侧，又y ＝f (－x )与y ＝f (x )图象关于y 轴对称．∴f (－x )图象开口向下，对称轴在y 轴右侧，故选C.3．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落在区域A 内的概率为( )A.13B.23 C.19 D.29[答案] D[解析] 区域Ω为图中△OCD .区域A 为图中△OBE ，易知B (4,0)、E (4,2)、C (6,0)、D (0,6)，由几何概型知，所求概率P ＝S △OBE S △OCD ＝12×4×212×6×6＝418＝29.4．已知集合A ＝{t |t 2－4≤0}，对于满足集合A 的所有实数t ，则使不等式x 2＋tx －t >2x －1恒成立的x 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)∪(－∞，－1)B ．(3，＋∞)∪(－∞，1)C ．(－∞，－1)D ．(3，＋∞)[答案] A[解析] A ＝{t |－2≤t ≤2}，设f (t )＝(x －1)t ＋x 2－2x ＋1，由条件知f (t )在[－2,2]上恒为正值．∴⎩⎪⎨⎪⎧f －2>0f2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0x 2－1>0，∴x >3或x <－1.5．已知数列{a n }，满足a n ＋1＝11－a n ，若a 1＝12，则a 2012＝( ) A.12 B ．2 C ．－1 D ．1[答案] B[解析] 易知a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝2，∴数列{a n }的周期为3，而2012＝670×3＋2，∴a 2012＝a 2＝2.[点评] 数列是特殊的函数，如果数列{a n }对任意n ∈N ，满足a n ＋T ＝a n (T ∈N *)，则T 为{a n }的周期．6．设O 为坐标原点，点A (1,1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥01≤x ≤21≤y ≤2，则OA →·OB→取得最小值时，点B 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个[答案] B[解析] 根据题意作出满足不等式组的可行域，如图阴影部分所示．∵OA →·OB →＝(1,1)·(x ，y )＝x ＋y ，令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z ，z 的几何意义是斜率为－1的直线l 在y 轴上的截距，由可行域可知，当直线l 过点(1,2)或点(2,1)时，z 最小，从而所求的点B 有两个．7．在公差为4的正项等差数列中，a 3与2的算术平均数等于S 3与2的几何平均数，其中S 3表示此数列的前三项和，则a 10为( )A ．38B ．40C ．42D ．44[答案] A[解析] 由条件知a 3＝a 1＋8，S 3＝3a 1＋12， ∴a 1＋8＋22＝23a 1＋12，解得a 1＝2.∴a 10＝2＋9×4＝38.8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0y ≤－kx ＋4k(k >1)所表示的平面区域为D ，若D 的面积为S ，则kSk －1的最小值为( )A ．30B ．32C ．34D ．36[答案] B[解析] 作出可行域如图中△OAB ，其面积S ＝12×4×4k ＝8k .∴kS k －1＝8k 2k －1＝8k 2－8＋8k －1＝8(k ＋1)＋8k －1，＝8(k －1)＋8k －1＋16≥32，等号在8(k －1)＝8k －1，即k ＝2时成立． ∴k ＝2时，取最小值32.9．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)对称，则4a ＋1b的最小值是( )A ．4B ．6C ．8D ．9[答案] D[解析] 由条件知圆心(－1,2)在直线上，∴a ＋b ＝1，∴4a ＋1b ＝4a ＋b a ＋a ＋b b ＝5＋4ba＋a b≥5＋24b a ·a b ＝9，等号在4b a ＝ab，即a ＝2b 时成立．∵a ＋b ＝1，∴a ＝23，b ＝13，故在a ＝23，b ＝13时，4a ＋1b取到最小值9.10．设a 、b 、c 是一个长方体的长、宽、高，且a ＋b －c ＝1，已知此长方体对角线长为1，且b >a ，则高c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1C ．(0,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 [答案] D[解析] 由a ＋b ＝1＋c 得，a 2＋b 2＋2ab ＝c 2＋2c ＋1 ∵a 2＋b 2>2ab ，a 2＋b 2＋c 2＝1， ∴2(1－c 2)>c 2＋2c ＋1 ∴－1<c <13，∵c >0，∴0<c <13.11．钝角△ABC 的三边长为连续自然数，则这三边长为( ) A ．1,2,3 B ．2,3,4 C ．3,4,5 D ．4,5,6[答案] B[解析] 令三边长为n ，n ＋1，n ＋2(n ∈N ＋)，且边长为n ＋2的边所对的角为θ，则cos θ＝n 2＋n ＋12－n ＋222n n ＋1<0，∴－1<n <3，∵n ∈N ＋，∴n ＝1或2.∵三角形任意两边之和大于第三边，∴n ＝2， ∴三边为2,3,4.12．已知A (3,0)，O 是坐标原点，点P (x ，y )的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0x －3y ＋2≥0y >0，则OA →·OP →|OP →|的取值范围为( )A ．(－3，322]B ．[1，322]C ．[－2，322]D ．[－3,2][答案] A[解析] 作出可行域如图(其中不包括线段OC )．将原式化简可得：OA →·OP →|OP →|＝|OA →| |OP →|cos ∠AOP|O P →|＝3cos ∠AOP . 由图知π4≤∠AOP <π，所以－1<cos ∠AOP ≤22，故－3<OA →·OP →|OP →|≤322.二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 5＝b 5,2a 5－a 2a 8＝0，则b 3＋b 7＝________. [答案] 4[解析] ∵2a 5－a 2a 8＝2a 5－a 52＝0，a n ≠0，∴a 5＝2， ∴b 3＋b 7＝2b 5＝2a 5＝4.14．(2011·四川资阳模拟)在△ABC 中，∠A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则∠C ＝________.[答案]π4[解析]由正弦定理得3sinπ3＝6sin C ，∴sin C ＝22，∵AB <BC ，∴C <A ，∴C ＝π4.15．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0x ＋3y －3≥0y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞[解析] 作出可行域如图(包括边界)当直线z ＝ax ＋y 经过A 点，位于直线l 1与x ＋2y －3＝0之间时，z 仅在点A (3,0)处取得最大值，∴－a <－12，∴a >12.16．已知a 、b 、c 分别为△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________.[答案]π6[解析] 由m ⊥n 得，3cos A －sin A ＝0，∴tan A ＝3，∴A ＝π3，由正弦定理a cos B ＋b cos A ＝c sin C 可变形为 sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C .∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(A ＋B )＝sin C ，∴sin C ＝sin 2C ， ∴sin C ＝1，∴C ＝π2，∴B ＝π－π3－π2＝π6.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，cos B ＝35，且AB →·BC→＝－21.(1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .[解析] (1)AB →·BC →＝|A B →|·|B C →|·cos〈AB →·BC →〉＝|A B →|·|B C →|·cos(π－B )＝－35|A B →|·|B C →|＝－21，∴|A B →|·|B C →|＝35，又∵sin B ＝45，∴S △ABC ＝12|A B →|·|B C →|·sin B＝12×35×45＝14. (2)由(1)知ac ＝35，又a ＝7，∴c ＝5又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝49＋25－2×7×5×35＝32，∴b ＝4 2.由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即4245＝5sin C ，∴sin C ＝22，又∵a >c ，∴C ∈(0，π2)，∴C ＝π4.18．(本小题满分12分)把正整数按下表排列：(1)求200在表中的位置(在第几行第几列)；(2)求表中主对角线上的数列：1、3、7、13、21、…的通项公式． [解析] 把表中的各数按下列方式分组： (1)，(2,3,4)，(5,6,7,8,9)，…，(1)由于第n 组含有2n －1个数，所以第n 组的最后一个数是1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2. 因为不等式n 2≥200的最小整数解为n ＝15，这就是说，200在第15组中，由于142＝196，所以第15组中的第一个数是197，这样200就是第15组中的第4个数．所以200在表中从上至下的第4行，从左至右的第15列上．(2)设表中主对角线上的数列为{a n }，即1,3,7,13,21，…，则易知a n ＋1＝(a n ＋2n )即a n ＋1－a n ＝2n .∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝[2(n －1)＋2(n －2)＋…＋2×1]＋1 ＝2×n n －12＋1＝n 2－n ＋1.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋3x －a(x ≠a ，a 为非零常数)．(1)解不等式f (x )<x ；(2)设x >a 时，f (x )有最小值为6，求a 的值．[解析] (1)f (x )<x ，即x 2＋3x －a<x ，化为(ax ＋3)(x －a )<0.当a >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3a (x －a )<0，－3a<x <a ；当a <0时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3a (x －a )>0，x >－3a或x <a .(2)设t ＝x －a ，则x ＝t ＋a (t >0)，∴f (x )＝t ＋a2＋3t＝t ＋a 2＋3t＋2a≥2t ·a 2＋3t＋2a ＝2a 2＋3＋2a ，当且仅当t ＝a 2＋3t，即t ＝a 2＋3时，f (x )有最小值2a 2＋3＋2a ，依题意2a 2＋3＋2a＝6，解得a ＝1.20．(本小题满分12分)和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数．[解析] 由题意，设这三个数分别是aq ，a ，aq ，且q ≠1，则a q＋a ＋aq ＝114① 令这个等差数列的公差为d ，则a ＝a q＋(4－1)·d . 则d ＝13(a －a q)，又有aq ＝a q ＋24×13×⎝⎛⎭⎪⎫a －a q ②由②得(q －1)(q －7)＝0，∵q ≠1，∴q ＝7 代入①得a ＝14，则所求三数为2,14,98.21．(本小题满分12分)(2011·山东文，17)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab.(1)求sin C sin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．[解析] (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R 知cos A －2cos C cos B ＝2·2R sin C －2R sin A2R sin B，即cos A sin B －2cos C sin B ＝2cos B sin C －cos B sin A ，即sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )，又由A ＋B ＋C ＝π知，sin C ＝2sin A ，所以sin C sin A ＝2.(2)由(1)知sin Csin A＝2，∴c ＝2a ，则由余弦定理得b 2＝a 2＋(2a )2－2·a ·2a cos B ＝4a 2∴b ＝2a ，∴a ＋2a ＋2a ＝5，∴a ＝1，∴b ＝2.22．(本小题满分14分)预算用不超过2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？[解析] 设桌、椅分别买x 、y 张，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ≤y ，y≤1.5x ，50x ＋20y ≤2000.(x ，y ∈N *)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ≤yy ≤1.5x 5x ＋2y ≤200目标函数为z ＝x ＋y .满足以上不等式组所表示的可行区域是右图中以A 、B 、O 为顶点的三角形区域E (包括边界和内部)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 5x ＋2y ＝200得，x ＝y ＝2007，即A (2007，2007)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1.5x5x ＋2y ＝200得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，即B (25，752)．将z ＝x ＋y 变形为y ＝－x ＋z ，这表示斜率为－1、y 轴上的截距为z 的平行直线系．当直线x ＋y ＝z 经过可行域内点B (25，752)时，z 取最大值，但x ∈Z ，y ∈Z ，故y ＝37.∴买桌子25张，椅子37张是最优选择．。

人教版数学高二版必修5模块综合检测(2)

模块综合检测（二）(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝2，A ＝45°，则B 等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．30°或150° 解析：选B 由正弦定理得2sin 45°＝2sin B，解得sin B ＝12. ∵a >b ，∴A >B ，∴B ＝30°.2．若0<x <32，则y ＝x (3－2x )的最大值是( ) A.916B.94 C ．2D.98 解析：选D ∵0<x <32，∴32－x >0. ∴y ＝x (3－2x )＝2·x ⎝⎛⎭⎫32－x ≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32－x 22＝98，当且仅当x ＝32－x ，即x ＝34时取“＝”， ∴函数y ＝x (3－2x )的最大值为98. 3．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( )A ．37B ．36C ．20D ．19 解析：选A a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37，故选A. 4．已知不等式x 2－2x －3<0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第4项为( )A ．3B ．－1C ．2D ．3或－1解析：选D ∵x 2－2x －3<0，∴－1<x <3. ∴a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3或a 1＝2，a 2＝1，a 3＝0，a 4＝－1.5．下列命题正确的是( )A ．若ac >bc ，则a >bB ．若a 2>b 2，则a >bC ．若1a >1b，则a b ；对于B ，a 2>b 2⇒|a |>|b |，a ，b 大小不确定；对于C ，不清楚ab 的正负，不能随意将不等式两边同时乘ab 且不等式不变号；对于D ，由于a ≥0，b ≥0，由平方法可知将a 2)，n ＝22－x 2(x <0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m ≤n 解析：选A ∵a >2，x <0，∴m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4， n ＝22－x 2<22＝4，∴m >n ，故选A.7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2≤0，3x ＋y －6≥0，y ≤3，则z ＝－2x ＋y 的最小值为( )A ．－7B ．－6C ．－1D ．2 解析：选A 可行域如图，平移直线y ＝2x ＋z 过点(5,3)时，z 取得最小值－7，故选A.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( ) A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]解析：选A 当x >0时，f (x )≥x 2可化为－x ＋2≥x 2，解得0<x ≤1；当x ≤0时，f (x )≥x 2可化为x ＋2≥x 2，解得－1≤x ≤0，故不等式f (x )≥x 2的解集为{x |－1≤x ≤1}，即x ∈[－1,1]，故选A.9．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦值是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边长是( ) A.20 B.21 C.22 D.61解析：选B 设长为4,5的两边的夹角为θ，由2x 2＋3x －2＝0得x ＝12或x ＝－2(舍)，所以cos θ＝12，所以第三边长为 42＋52－2×4×5×12＝21. 10．已知不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为∅，则( )A ．a <0，Δ>0B ．a <0，Δ≤0C ．a >0，Δ≤0D ．a >0，Δ>0解析：选C 由二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象知，当a >0，Δ≤0时，对任意实数x ，都有y ≥0，由此知a >0，Δ≤0时，ax 2＋bx ＋c <0的解集为∅.11．已知关于x 的不等式x ＋1x ＋a<2的解集为P .若1∉P ，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0]∪[1，＋∞) B ．[－1,0]C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－1,0]解析：选B 1∉P 有两种情形，一种是1＋11＋a≥2，另一种是x ＝1使分母为0，即1＋a ＝0，解得－1≤a ≤0.12．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列一定成立的是( )A ．若a 3>0，则a 2 015<0B ．若a 4>0，则a 2 014<0C ．若a 3>0，则S 2 015>0D ．若a 4>0，则S 2 014>0解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，对于A ，若a 3>0，则a 1q 2>0，所以a 1>0，所以a 2 015＝a 1q 2 014>0，所以A 不正确；对于B ，若a 4>0，则a 1q 3>0，所以a 1q >0，所以a 2 014＝a 1q 2 013>0，所以B 不正确；对于C ，若a 3>0，则a 1q 2>0，所以a 1>0，所以当q ＝1时，S 2 015>0，当q ≠1时，S 2 015＝a 1(1－q 2 015)1－q，又1－q 与1－q 2 015同号，所以C 正确．故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中的横线上)13．在△ABC 中，cos A ＝513，sin B ＝35，a ＝20，则b 的值为________．解析：由题意，得sin A ＝1213，所以b ＝a sin A ·sin B ＝201213×35＝13. 答案：1314．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且S 3＝8，S 6＝7，则a 4＋a 5＋…＋a 9＝________. 解析：根据等比数列的性质，知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即8,7－8，S 9－7成等比数列，所以(－1)2＝8(S 9－7)，解得S 9＝718. 所以a 4＋a 5＋…＋a 9＝S 9－S 3＝718－8＝－78. 答案：－7815．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a <7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________.解析：画出线性目标函数所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x ＝a ＋b ＝13.答案：1316．如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．解析：连接BD .∵BC ＝CD ＝2，∠C ＝120°，∴∠CBD ＝∠BDC ＝30°.∵∠ABC ＝120°，∠CBD ＝30°，∴∠ABD ＝90°，∴AB ⊥BD .在△BCD 中，由正弦定理得BD ＝BC sin 30°·sin 120°＝2 3. ∴S四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12·AB ·BD ＋12BC ·CD ·sin 120°＝12×4×23＋12×2×2×32＝5 3. 答案：5 3三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数y ＝x ＋2x 2＋x ＋1(x >－2)． (1)求1y 的取值范围．(2)当x 为何值时，y 取得最大值？解：(1)设x ＋2＝t ，则x ＝t －2，t >0(x >－2)，故1y ＝x 2＋x ＋1x ＋2＝(t －2)2＋(t －2)＋1t ＝t 2－3t ＋3t ＝t ＋3t －3≥23－3， ∴1y 的取值范围为[23－3，＋∞)．(2)由题意知y >0，故欲使y 最大，必有1y 最小，此时t ＝3t ，t ＝3，x ＝3－2，y ＝23＋33， ∴当x ＝3－2时，y 最大，最大值为23＋33. 18．(本小题满分12分)已知△ABC 的周长为2＋1，且sin B ＋sin C ＝2sin A .(1)求边BC 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin A ，求角A 的大小．解：(1)由正弦定理，得AC ＋AB ＝2BC .∵AB ＋BC ＋AC ＝2＋1， ∴2BC ＋BC ＝2＋1，BC ＝1.(2)∵S △ABC ＝12AC ·AB ·sin A ＝16sin A ， ∴AC ·AB ＝13. 又AC ＋AB ＝2，由余弦定理，得cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB＝(AC ＋AB )2－2AC ·AB －BC 22AC ·AB＝2－23－123＝12， ∴A ＝60°.19．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的所有项均为正数，首项a 1＝1，且a 4,3a 3，a 5成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n ＋1－λa n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n －1(n ∈N *)，求实数λ的值．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由条件可知q 3,3q 2，q 4成等差数列，∴6q 2＝q 3＋q 4，解得q ＝－3或q ＝2.∵q >0，∴q ＝2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)记b n ＝a n ＋1－λa n ，则b n ＝2n －λ·2n －1＝(2－λ)2n －1，若λ＝2，则b n ＝0，S n ＝0，不符合条件；若λ≠2，则b n ＋1b n＝2，数列{b n }为首项为2－λ，公比为2的等比数列，此时S n ＝(2－λ)1－2(1－2n )＝(2－λ)(2n －1)， ∵S n ＝2n －1(n ∈N *)，∴λ＝1.20．(本小题满分12分)航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10 000 m ，速度为180 km/h ，飞机在A处先看到山顶的俯角为15°，经过420 s 的水平飞行后到达B 处，又看到山顶的俯角为45°，如图，求山顶的海拔高度．(取2≈1.4，3≈1.7)解：如图，过C 作CD ⊥AB 的延长线于D .∵A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝180 000×4203 600＝21 000(m)． ∵在△ABC 中，BC sin A ＝AB sin ∠ACB， ∴BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)． ∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC sin ∠CBD ＝BC ×sin 45°＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)≈10 500(1.7－1)＝7 350(m)．因此，山顶的海拔高度约为10 000－7 350＝2 650(m)．21．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝－log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，∴q 2＝19. 由条件可知q >0，故q ＝13. 由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，∴a 1＝13. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n . (2)∵a n ＝13n ， ∴b n ＝－log 313n ＝2n ，从而1b n b n ＋1＝14n (n ＋1)＝14⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝n4(n ＋1). 22．(本小题满分12分)某商场经过市场调查分析后得知：预计2015年从开始的前n 个月内对某种商品需求的累计数f (n )＝190n (n ＋2)(18－n )，n ＝1,2,3，…，12(单位：万件)． (1)在这一年内，哪几个月需求量将超过1.3万件？(2)若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销(即供大于求)，每月初至少要投放多少件商品？(精确到件)解：(1)设第n 个月的月需求量为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (1)，n ＝1，f (n )－f (n －1)，2≤n ≤12，因为f (n )＝190n (n ＋2)(18－n )，所以a 1＝f (1)＝1730<1.3，当n ≥2时，a n ＝f (n )－f (n －1)＝190(－3n 2＋35n ＋19)，令a n >1.3，即－3n 2＋35n ＋19>117，解得143<n <7，因为n ∈N ，所以n ＝5,6，即这一年的5,6两个月的需求量超过1.3万件．(2)设每月初等量投放商品a 万件，要使商品不脱销，对于第n 个月来说，不仅有本月投放市场的a 万件商品，还有前几个月未销售完的商品．所以，na －f (n )≥0对n ＝1,2，…，12恒成立，则a ≥f (n )n ＝(n ＋2)(18－n )90，又因为(n ＋2)(18－n )90≤190⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n ＋2)＋(18－n )22，所以a ≥109，即每月初至少要投放11 112件商品，才能保证全年不脱销.。

人教A版高中数学必修五高二上学期寒假作业(二).docx

2015高二数学寒假作业（二）一、单项选择1、下列各组向量中不平行的是（）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b aB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g2、已知直线的向量参数方程为(x ，y ，z )＝(5，0，3)＋t (0，3，0)，当21=t 时，则对应直线上的点的坐标是( )A ．(5，0，3)B ．)23,0,25(C ．)3,23,5(D ．)3,23,25(3、AB 为过椭圆22a x +22by =1中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值是（）A.b 2B.abC.acD.bc4、函数f （x ）=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是（） A ．ab=0 B ．a+b=0 C ．a=b D ．a 2+b 2=05、若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为（）A ．)()(x g x f >B ．)()(x g x f =C ．)()(x g x f <D ．随x 值变化而变化 6、设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( ) A ．63 B ．64 C ．127 D ．128 二、填空7、在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为 . 8、若+∈R b a ,，则b a 11+与ba +1的大小关系是．9、已知0()1,0x x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，, 则不等式3)2(≤+x f 的解集___ _ ____.10、下列命题中_________为真命题．①“A∩B=A”成立的必要条件是“A B”； ②“若x 2+y 2=0，则x ，y 全为0”的否命题； ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题。

上学期高二数学(文)寒假作业_04(人教a版必修5综合测试)

作业范围:必修5综合测试姓名:_______ 学校:_______ 班级:_________ 时间: 100分钟分值:120分第Ⅰ卷一、选择题(本卷共14小题，每小题4分，共56分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设()ln f x x =，0a b <<，若p f =，2q f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，[]()()2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（）A ．q r p =D ．p r q =>】【百强校】2016-2017学年山东鄄城县一中高二探究部月考二数学试卷【答案】B 【解析】考点：对数函数，基本不等式. 【题型】选择题【难度】较易2．若变量x ，y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =-的最小值等于（）A ．52-B ．2-C ．32-D ．2】【百强校】2016-2017学年山东鄄城县一中高二探究部月考二数学试卷【答案】A考点：线性规划. 【题型】选择题【难度】较易3．数列{}n a ，{}n b 满足1n n a b =，(1)(2)n a n n =++，则{}n b 的前10项之和为（） A ．14 B ．712 C ．34 D ．512】【百强校】2016-2017学年山东菏泽单县五中高二理上月考一数学试卷【答案】D【解析】1=n n b a ，()()21++=n n a n ，()()2111211+-+=++=∴n n n n b n ，n b ∴的前10项和为12512121121111...51414131312110=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=S ，故选D.考点：数列的裂项法求和. 【题型】选择题【难度】较易4．等差数列{}n a 中，已知113a =，254a a +=，33n a =，则n 为（） A ．50 B ．49 C ．48 D ．47】【百强校】2016-2017学年山东菏泽单县五中高二理上月考一数学试卷【答案】A考点：等差数列的通项公式. 【题型】选择题【难度】较易5．ABC ∆中，1,30a b A ===，则B 等于（）A ．60B ．60或120C ．30或150D ． 120 】【百强校】2016-2017学年山东菏泽单县五中高二理上月考一数学试卷【答案】B 【解析】由正弦定理BbA a sin sin =得，23sin sin ==a A b B ，又a b >，所以A B >,所以︒=60B 或︒120,故选B.考点：正弦定理解三角形. 【题型】选择题【难度】较易6．已知a b >，则下列不等式中恒成立的是（） A ．ln ln a b > B ．11a b <C ．2a ab > D ．222a b ab +> 】【百强校】2017届山东寿光现代中学高三实验班月考数学（理）试卷【答案】D考点：不等式性质. 【题型】选择题【难度】较易7．若不等式222424mx mx x x +-<+对任意实数x 均成立，则实数m 的取值范围是（） A.(,2)[2,)-∞-+∞ B.(2,2)- C. (2,2]- D.(,2]-∞】2016-2017学年辽宁大连第二十高级中学高二10月月考数学试卷【答案】C考点：一元二次不等式的解法. 【题型】选择题【难度】一般8．若等差数列{}n a 的前7项和721S =，且21a =-，则6a =（） A.5 B.6 C.7 D.8 】【百强校】2017届江西师大附中高三10月月考数学（文）试卷【答案】C 【解析】()2127717=+=a a S ，解得67162=+=+a a a a ，76=∴a ，故选C. 考点：等差数列性质．【题型】选择题【难度】较易9．设π3ln ,)76(,26151===c b a , 则（）A ．c a b <<=<，所以c b a <<，故选B.考点：比较大小．【题型】选择题【难度】较易10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，，若22cos sin sin sin B A C B =，则（）A ．a ，b ，成等差数列BC ．2a ，2b ，2c 成等差数列D ．2a ，2b ，2c 成等比数列】【百强校】2016-2017学年山东鄄城县一中高二探究部月考二数学试卷【答案】C考点：正余弦定理，等差数列. 【题型】选择题【难度】一般11．已知数列{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S 等于（） A ．35 B ．33 C ．31 D ．29】【百强校】2016-2017学年山东鄄城县一中高二探究部月考二数学试卷【答案】C考点：等比数列求和求通项. 【题型】选择题【难度】一般12．在△ABC 中，2a =，3b =，1sin 2A =，则cos B 的值是（）A B ．35 C ．45D ．±】【百强校】2016-2017学年山东鄄城县一中高二探究部月考二数学试卷【答案】D【解析】由正弦定理B b A a s in s in =得，432213s in s in =⨯==a A b B ，a b > ，︒=>∴30A B ，即47431sin 1cos 22±=⎪⎭⎫⎝⎛-±=-±=B B ，故选D. 考点：正弦定理. 【题型】选择题【难度】一般13．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若12,sin sin sin 2c a b B a A a C =-=，则cos B 等于（） A ．34 B ．23 C ．13 D ．12】【百强校】2017届江西师大附中高三10月月考数学（文）试卷【答案】A【解析】由正弦定理得ac a b 2122=-，又a c 2=，222a b =∴，222222242cos 24a c b a a a B ac a +-+-∴==34=，故选A.考点：正弦定理解三角形．【题型】选择题【难度】一般14．设12a =，数列{}1n a +是以3为公比的等比数列，则4a =（） A ．80 B ．81 C ．54 D ．53】【百强校】2016-2017学年山东鄄城县一中高二探究部月考二数学试卷【答案】A考点：等比数列的项. 【题型】选择题【难度】一般第II 卷二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 15．不等式2320x x -+-≥的解集是_________.】【百强校】2016-2017学年山西怀仁县一中高一上月考一数学试卷【答案】[]1,2【解析】不等式2320x x -+-≥，即2320x x -+≤，解得12x ≤≤.故应填[]1,2.考点：一元二次不等式的解法. 【题型】填空题【难度】较易16．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知，则a = . 】【百强校】2016-2017学年广东湛江一中高二上大考一数学（理）试卷考点：正弦定理，余弦定理．【题型】填空题【难度】较易17．不等式01452≥--x x 的解集为________. 】2016-2017学年山东桓台二中高二9月月考数学试卷【答案】(][)+∞-∞-,72,【解析】()()25140,720,2x x x x x --≥∴-+≥∴≤-或7x ≥，则不等式的解集为：(][)+∞-∞-,72, . 考点：一元二次不等式解法. 【题型】填空题【难度】较易18．设数列{}{},n n a b 都是等差数列．若a 1＋b 1＝7,a 3＋b 3＝21,则a 5＋b 5＝________．】2016-2017学年湖南岳阳县一中高二10月月考数学（理）试卷【答案】35【解析】由等差数列性质可知1531535533112,22235a a a b b b a b a b a b +=+=∴+=+--=. 考点：等差数列的性质. 【题型】填空题【难度】较易19．在ABC ∆中，4,5,6a b c ===，则sin 2sin AC= . 】【百强校】2017届江西南昌市新课标高三一轮复习训练五数学试卷【答案】【解析】根据余弦定理，有2536163cos 0,sin 25644A A +-==>==⋅⋅，sin 22sin cos A A A ==1cos ,sin 8C C ==sin 21sin AC=. 考点：解三角形、余弦定理．【题型】填空题【难度】一般20．△ABC 中，若222a b c bc =+-，则A ＝ .】2016-2017学年新疆库尔勒四中高二上学期分班考试数学（文）试卷【答案】3π考点：余弦定理的应用. 【题型】填空题【难度】较易三、解答题（本题共4个小题，共40分） 21.（本小题满分9分）已知数列{}n a 满足13a =，()133n n n a a n *--=∈N ，数列{}n b 满足3nn na b =. （1）证明数列{}n b 是等差数列并求数列{}n b 的项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S . （2）求数列}{n a 的前n 项和n S .】2016-2017学年辽宁大连第二十高级中学高二10月月考数学试卷【答案】（1）23n n b +=（2）()23334n n n S +-=考点：数列递推式，等差数列的通项公式，数列的求和. 【题型】解答题【难度】一般22．（本小题满分9分）已知函数()211f x x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，（1）当2a =时，解关于x 的不等式0)(≤x f ；（2）若0>a ，解关于x 的不等式0)(≤x f .】2016-2017学年辽宁大连第二十高级中学高二10月月考数学试卷【答案】（1）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）当10<<a 时解集为当1>a 时解集为当1=a 时解集为{1}考点：一元二次不等式解法及分类讨论. 【题型】解答题【难度】一般23．（本小题满分11分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为，，，已知向量2(cos ,2cos 1)2Cm B =-，(,2)n c b a =-且0m n ⋅=．（1）求角C 的大小；（2）若6a b +=，c =，求△ABC 的面积．】【百强校】2017届河南息县一高中高三上月考一数学（文）试卷【答案】（1）3C π=（2）32【解析】（1）∵2(cos ,2cos1)(cos ,cos )2Cm B B C =-=，(,2)n c b a =-，0m n ⋅=，∴cos (2)cos 0c B b a C +-=，∴sin cos (sin 2sin )cos 0C B B A C +-=，即sin 2sin cos A A C =，又∵sin 0A ≠，∴1cos 2C =，又∵(0,)C π∈，∴3C π=．（2）∵2222cos c a b ab C =+-，∴22()3a b ab c +-=，即36312ab -=，∴8ab =，∴1sin 2ABC S ab C ∆== 考点：解三角形．【题型】解答题【难度】一般24．（本小题满分11分）已知数列{}n a 中，()111,3nn n a a a n a *+==∈+N .（1）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列, 并求{}n a 的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足()312n n n n n b a =-⋅⋅,数列{}n b 的前项和为n T ,若不等式()112n n n n T λ--<+对一切n *∈N 恒成立, 求λ的取值范围.】【百强校】2016届湖南省高考冲刺卷（理）（三）数学卷【答案】（1）231n n a =-（2）()2,3- 【解析】考点：等比数列定义，错位相减法求和，不等式恒成立.【题型】解答题【难度】一般。

人教A版高中数学必修五高二上学期寒假作业(二).docx

高中数学学习材料唐玲出品2015高二数学寒假作业（二）一、单项选择1、下列各组向量中不平行的是（）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b aB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g2、已知直线的向量参数方程为(x ，y ，z )＝(5，0，3)＋t (0，3，0)，当21=t 时，则对应直线上的点的坐标是( )A ．(5，0，3)B ．)23,0,25(C ．)3,23,5(D ．)3,23,25(3、AB 为过椭圆22a x +22by =1中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值是（）A.b 2B.abC.acD.bc4、函数f （x ）=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是（） A ．ab=0 B ．a+b=0 C ．a=b D ．a 2+b 2=05、若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为（）A ．)()(x g x f >B ．)()(x g x f =C ．)()(x g x f <D ．随x 值变化而变化 6、设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( ) A ．63 B ．64 C ．127 D ．128 二、填空7、在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为 . 8、若+∈R b a ,，则b a 11+与ba +1的大小关系是． 9、已知0()1,0x x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，, 则不等式3)2(≤+x f 的解集___ _ ____.10、下列命题中_________为真命题．①“A∩B=A”成立的必要条件是“A B”； ②“若x 2+y 2=0，则x ，y 全为0”的否命题； ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题。

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必修5模块综合测评(二)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A ．2 5 B. 5 C ．25或 5
D ．3 5
2．当0<a (1－a )b
B ．(1＋a )a >(1＋b )b
C ．(1－a )b
>(1－a )b
2
D ．(1－a )a
>(1－b )b
3．已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．a <－7或a >24 B ．a ＝7或a ＝24 C ．－7<a <24
D ．－24<a <7
4．数列1,3,7,15，…的通项公式a n 等于( ) A ．2n
B ．2n
＋1 C ．2n －1
D ．2n
－1
5．△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为3
2，那么b ＝( )
A.
1＋3
2 B ．1＋ 3
C.2＋3
2
D ．2＋ 3
6．若数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N *
)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝100，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)的值为( ) A ．102 B ．101 C ．100
D ．99
7．在△ABC 中，角A 、B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )
A ．a ＞b
B ．a ＜b
C ．a ＝b
D ．a 与b 的大小关系不能确定
8．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，x －y ≥0，
2x －y －2≤0，
则z ＝3x －2y 的最大值为( )
A ．0
B ．2
C ．4
D ．6
9．函数f (x )＝1x
ln(x 2－3x ＋2＋－x 2
－3x ＋4)的定义域为( )
A ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
B ．(－4,0)∪(0,1)
C ．[－4,0)∪(0,1]
D ．[－4,0)∪(0,1)
10．已知x ≥52，则f (x )＝x 2
－4x ＋5
2x －4有( )
A ．最小值5
4
B ．最大值5
4
C ．最小值1
D ．最大值1
11．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6.则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 的前
5 项和为( ) A.15
8或5 B.31
16或5 C.
3116
D.158
12．已知各项均为正数的等差数列{a n }的前20项和为100，那么a 3·a 18的最大值是( )
A ．50
B ．25
C ．100
D ．220
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则sin A 的值是________． 14．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________. 15．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站________处．
16．已知关于x 的不等式(a 2
－4)x 2
＋(a ＋2)x －1≥0的解集为空集，则实数a 的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且2sin A ＝3cos A .
(1)若a 2
－c 2
＝b 2
－mbc ，求实数m 的值； (2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值．
18．(本小题满分12分)数列{a n }中，a 1＝13，前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1(n ∈N *
)．
(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；
(2)若S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值．
19．(本小题满分12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2＋(a－1)x－a>0}，B＝{x|(x＋
a)(x＋b)>0(a≠b)}，M＝{x|x2－2x－3≤0}．
(1)若∁U B＝M，求a，b的值；
(2)若－1<b<a<1，求A∩B；
(3)若－3<a<－1，且a2－1∈∁U A，求实数a的取值范围．
20．(本小题满分12分)某人有楼房一幢，室内面积共180 m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大客房每间面积为18 m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间15 m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1 000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？
21．(本小题满分12分)森林失火，火势以每分钟100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防员前去，在失火5分钟到达现场开始救火，已知消防员在现场平均每人每分钟可灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用平均每人每分钟125元，所消耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而每烧毁1 m2的森林损失费为60元，设消防队派x名消防队员前去救火，从到现场把火完全扑灭共用n分钟．
(1)求出x与n的关系式；
(2)求x为何值时，才能使总损失最少．
22．(本小题满分14分)已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5＋a7＝26.{a n}的前n项和为S n.
(1)求a n及S n；
(2)令b n＝1
a n2－1
(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和T n.。

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