4、任意角的正弦函数,余弦函数
北师大版必修四 4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
复习回顾
知识点四 特殊角的三角函数值
x
0 64
3
2 5
2 36
7
6
4
3
3
2
5
3
11
6
2
y sin x 0
1 2
2 31
22
3 2
1 2
0
1 3 22
1 3
2
1 2
0
y cos x 1
32 22
1 2
0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
1 2
记作cosα,即cosα=u
复习回顾
知识点一 任意角的正弦函数和余弦函数的定义
（二）终边定义法
对于角 α 终边上任意一点 P(x,y)，用 r （r 表示点 P 到原点的距离，则
x2 y2）
y P(x,y)
y 叫做角α的正弦函数，记作sinα，
r
即 sinα=
y r
=
y x2 y2
α
O
A.1
B.0
√C.2
解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.
∴|ssiinn αα|－|ccooss αα|＝ssiinn αα－－cocos sαα＝2.
D.－2
3.已知角α的终边在直线y＝2x上，求sin α＋cos α的值.
复习回顾
知识点一 任意角的正弦函数和余弦函数的定义
（一）单位圆定义法
y
如图，对于任意角α，使角α的顶点
与原点重合，始边与x轴非ห้องสมุดไป่ตู้半轴重合，
终边与单位圆交于点P(u,v), 那么： P(u,v)
任意角的正余弦函数定义
正弦函数奇偶性和对称性
奇偶性
正弦函数是奇函数，即满足$sin(-x) = -sin(x)$。
对称性
正弦函数图像关于原点对称，即如果点$(x, y)$在正弦函数图像上，那么点$(-x, -y)$也在图像上。此外，正弦函 数还具有轴对称性，其对称轴为$x = kpi + frac{pi}{2}$（k为整数）。
弦函数，是正切函数的基础定义。
正余弦函数相互转化方法
要点一
正弦函数转化为余弦函数
$sintheta = cos(frac{pi}{2} - theta)$。这个公式可以将正 弦函数转化为余弦函数，通过角度的变换实现两种函数的 转化。
要点二
余弦函数转化为正弦函数
$costheta = sin(frac{pi}{2} - theta)$。同样地，这个公 式可以将余弦函数转化为正弦函数，也是通过角度的变换 实现转化。
当$r > 0$时，$alpha$是第一或第二象限的角；当$r < 0$时，$alpha$是第三或第四象限的角；当$r = 0$时， $alpha$是轴线角。
在平面直角坐标系中，任意角$alpha$可以表示为 $(cosalpha, sinalpha)$，其中$cosalpha$和$sinalpha$ 分别是角的余弦值和正弦值。
在波动现象中，正余弦函数是波动方程的基本解，用 于描述波的传播和干涉等。
在其他领域应用
信号处理
正余弦函数在信号处理中用于表 示周期性信号，如正弦波和余弦 波，以及进行频谱分析等。
电气工程
在电气工程中，正余弦函数用于 描述交流电的电压和电流变化规 律，以及进行电路分析等。
4.1 任意角的正弦函数和余弦函数的定义
P
图6
y
（2）求出角 的终边与单位圆的交点坐标；
（3）求出角 的正弦、余弦函数值。
解： （2）由于 ,点P在第四象限，
4
M
o
1
4
P
所以点P的坐标为( 2 , 2 )
图6
22
（3）根据任意角的三角函数定义，易得sin( ) 2 ,cos( ) 2 .
y sin x y cos x
正弦、余弦函数的定义告诉我们，三角函数在各象限
内的符号，取决于u, v的符号，当点P在第一、二象限
时，纵坐标 y＞0；点P在第三、四象限时，纵坐标 y＜0。所以，正弦函数值对于第一、二象限角是正的，
对于第三、四象限角是负的。 同样地，余弦函数值 在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的。
o
x
sin y
r
2m 5m
25
5 （2）当
m＜0时，r
op
5m
cos x m 5 .
r 5m 5
sin y 2m 2 5
r 5m 5
cos x m 5 .
r 5m 5
例3求证：当且仅当不等式组
sin 0, cos 0.①
22
32
32
y
5
3
x
o
A
B
图7
例2如图8角 终边与单位圆交于 p (u, v,) p '(x0, y0为)
终边上不同于P的任意一点，试用x0 , y0表示 的正弦和
余弦。解：过 p, p '分别作 PH x轴
y
p '(x0 , y0 )
任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数--参考教案
5.3《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》教案授课题目任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数授课课时3课型讲授教学目标1.知识与能力（1）能够运用公式求解任意角的三角函数值；（2）掌握三角函数的表达式；（3）正确判断任意角的三角函数值的符号.2. 过程与方法观察、分析知识形成的过程，归纳、抽象、概括知识的概念，提升寻找数学规律的能力.3. 情感、态度与价值观（1）感知数学知识与实际生活的普遍联系；（2）享受积极交流的课堂气氛，增强学习的兴趣和勇于创新的精神.教学重难点重点：任意角的三角函数值；难点：三角函数值的符号.第1课时教学过程教学活动学生活动设计思路复习引入在初中，我们在直角△ABC中，我们定义了锐角α的正弦、余弦和正切，如图1所示.正弦：asincαα∠==的对边斜边；图1余弦：cos b c αα∠==的邻边斜边；正切：tan a b ααα∠==∠的对边的邻边.现在我们将一个锐角α放入平面直角坐标系中，使得顶点与原点重合， 始边与x 轴的非负半轴重合，如图2所示.已知点(,)P x y 是锐角α终边上的任意一点，点P 与原点O 的距离(0)OP r r =>，你能利用锐角三角函数的定义计算出锐角α所对应的三角函数值吗？分析 过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为x ，线段MP 的长度为y .在Rt OMP ∆中，根据勾股定理可得，222r x y =+，即220r x y =+>.MP sin y OP r α==；OM cos xOP r α==； MP tan yOM xα==.一、探究新知在弧度制下，我们已将α的范围扩展到了全体实数.一般地，如图3所示，当α为任意角时，点结合老师给出的问题，积极主动的思考，得出初步结论.激发学生好奇心，增强学习热情，更主动参与到课堂学习过程中.图2(,)P x y 的α终边上异于原点的任意一点，点P 到原点的距离为22r x y =+.我们仍然将α的正弦、余弦、正切分别定义如下.sin y r α=，cos x r α=，tan (0)yx xα=≠ 注意：当的α终边不在y 轴上时，tan α才有意义.对于每一个确定的α，其正弦、余弦及正切都分别对应一个确定的比 值，因此，正弦、余弦及正切都是以α为自变量的函数，分别叫作正弦函 数、余弦函数及正切函数.我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常记为： 正弦函数 y=sin x ，x R ∈； 余弦函数 cos y x =，x R ∈； 正切函数 y=tan x ，()2x k k Z ππ≠+∈.二、例题讲解例 1.如图3所示，已知角α的终边经过点(3,4)P -， 求 sin α，cos α，tan α的值.理解记忆相关概念和结论在理解的基础上熟练写出相关函数表达式和定义域直观展示知识点，让学生在理解的基础上记忆概念图2解 由已知有，x =3,y =-4,则，()234 5.r =+-=２于是4 ,5ysin r α==-3,5x cos r α==43y tan x α==-.三、巩固练习已知角α的终边分别经过以下各点，求sin cos tan .ααα，和.（1）P(-8，6)； （2）P(5，12)； （3）P （-1，2）.认真读题，积极思考，掌握解题的基本思路认真思考、完成相关题目展示问题解决的基本步骤，培养学生分析解决问题能力加深对定义和公式的理解和记忆图3一般地，α为任意角，(,)P x y 为α终边上异于原点的任意一点，点P 与原点O 的距离OP r =，因为0r >，由定义可知，正弦值的符号与点P 的纵坐标y 的符号相同； 余弦值的符号与点P 的横坐标x 的符号相同； 正切值的符号与点P 的纵坐标与横坐标的比值yx的符号相同. 请同学们将点P 的坐标与各象限角正弦值、余弦值和正切值的正负号列表.为了便于记忆，我们将 ， ， 的正负号标在各象限内，如图4所示.二、例题分析例1确定下列各值的符号.（1）() 210sin -︒； （2）17 12cos π; （3） 760tan ︒. 解 （1）因为-210°是第二象限角，所以() 2100sin -︒>. （2）由1751212πππ=+， 可看出π＜π+5π12＜π+6π12=3π2是第三象限的角， 所以 17012cos π<. （3）因为760402360︒=︒+⨯︒，可知760°的角与400的角终边相同，是第一象限的角，理解并熟记各象限角正弦值、余弦值和正切值的正负号认真读题，积极思考，了解知识运用的一般过程在理解的基础上记忆概念展示问题解决的基本方法，培养学生分析解决问题能力图4第3课时教学过程教学活动学生活动设计思路提出问题如图5所示，两个三角板上有几个特殊的锐角：30°，45°，60°.初中已研究了它们对应的正弦值、余弦值和正切值.现将角的范围进行了推广，已经在平面直角坐标系中研究了各象限角的正弦值、余弦值和正切值的符号分布规律.对于在平面直角坐标系中不属于任何象限的特殊角，如0°，90°，180°，270°等，它们的正弦值、余弦值和正切值又是多少？以180°为例，试求出它的正弦值、余弦值和正切值. 结合老师给出的问题，积极主动的思考，得出初步结论.激发学生好奇心，增强学习热情，更主动参与到课堂学习过程中.图5图6分析 在平面直角坐标系中，180°角的终边正好与x 轴的负半轴重合，如图6所示.以坐标原点为圆心、半径为单位长度的圆(简称单位圆)与x 轴交于点(1,0)P -，于是有1x =-，0y =，1γ=.根据任意角的正弦、余弦和正切的定义可知，sin 1800yr ︒==； cos 1801xr ︒==-；tan 1800yx︒==.一、探究新知一般地，取单位圆与坐标轴的交点就可以得到0°，90°，180°和270°等特殊角的正弦值、余弦值和正切值，如下表所示表中360°角与0°角的终边相同，对应的三角函数值也相同.二、例题讲解例1 求︒-︒+︒-︒270sin 7180tan 290sin 4180sin 5的值.解 ︒-︒+︒-︒270sin 7180tan 290sin 4180sin 5=5×0－4×1＋2×0－7×（－1）=3。
陕西省西安交大阳光中学高中数学 第一章 任意角的正弦
目标
1.掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义；
2.会用三角函数线表示任意角三角函数的值；
掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号
重点
求任意角三角函数的值
2．三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
①正弦值 对于第一、二象限为_______对于第三、四象限_______；
②余弦值 对于第一、四象限为_______对于第二、三象限为_______；
③正切值 对于第一、三象限为_______对于第二、四象限为________．
作业
反思
板书
设计
二次备课
难点
任意角所在象限的判断及三角函数值正负判定
自
主
学
习
1.设点P是 角终边上任意一点，坐标为 ， ，用
（1）比值叫做 的正弦，记作 ，即 =；
（2）比值叫做 的余弦，记作 ，即 =；
（3）比值叫做 的正切，记作 ，即 =.
其中， 和 的定义域分别是_____________；而 的定义域是_________.除上述情况外，对于确定的值 ，比值 、 、 分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、是以角 为自变量，一比值为函数值的函数，分别叫做角 的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数统称为____________．
例2. 取什么值时， 有意义.（分 析：三角函数的定义域）
三、三角函数值在各象限的符号
例3 确下列三角函数的符号：
（1） ； （2） ； （3）
达
任意角的正弦函数、余弦函数的定义
周期性
总结词
正弦函数和余弦函数都是周期函数，这意味 着它们的图像会重复出现。
详细描述
周期函数的定义是，如果存在一个非零常数 $T$，使得对于定义域内的所有$x$，都有 $f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$是周期函数， $T$是它的周期。对于正弦函数和余弦函数， 它们的周期是$2pi$。这意味着无论角度是 多少，正弦和余弦函数的值都会在一定的周 期内重复。
04
在$0^circ$到 $360^circ$之间，余弦 函数在$0^circ$、 $180^circ$处取得最大 值1和最小值-1。
正弦函数与余弦函数的比较
正弦函数和余弦函数有许多相似之处，如它们 都是周期函数，其值域也都为$[-1,1]$。
然而，它们在图像上呈现出不同的形态。正弦 函数的图像呈现正弦波的形状，而余弦函数的 图像呈现余弦波的形状。
正弦函数的周期性
正弦函数具有周期性，其周期 为2π。
在一个周期内，正弦函数呈 现出波形变化的特点，即随 着角度的增加，正弦值在-1
和1之间循环变化。
正弦函数的周期性是三角函数 的一个重要性质，在解决实际
问题中具有广泛的应用。
02
任意角的余弦函数定义
定义
1
任意角α的余弦函数定义为：cosα = x/r，其中x 是余弦函数在单位圆上对应的横坐标，r是单位圆 的半径。
乘积公式
总结词
乘积公式是正弦函数和余弦函数之间的另一种重要关 系，用于将两个角的正弦或余弦值的乘积转换为其他 角度的正弦或余弦值。
详细描述
乘积公式是三角函数中另一个重要的公式，它表示两个 角的正弦或余弦值的乘积可以通过已知的两个角的三角 函数值计算出来。具体来说，对于任意角α和β，有： sin α cos β=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]；cos α cos β=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]；sin α sin β=1/2[cos(αβ)-cos(α+β)]。这些公式在解决实际问题时也非常有用， 例如在信号处理和振动分析等领域。
必修四任意角的三角函数(附规范标准答案)
任意角的三角函数(一)[学习目标] 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等．知识点一 三角函数的概念1．利用单位圆定义任意角的三角函数如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：(1)y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ；(2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0)．对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r，cosα＝x r ，tan α＝yx.思考 角α三角函数值的大小与角α终边上的点P 离原点距离的远近有关吗？答案 角α的三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关． 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．思考三角函数在各象限的符号由什么决定？答案三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．知识点三诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(α＋k·2π)＝sin α，cos(α＋k·2π)＝cos α，tan(α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z.题型一三角函数定义的应用例1 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝1010x，求sin θ，tan θ.解由题意知r＝|OP|＝x2＋9，由三角函数定义得cos θ＝xr＝xx2＋9.又∵cos θ＝1010x，∴xx2＋9＝1010x.∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1,3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x＝－1时，P(－1,3)，此时sin θ＝3－12＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.跟踪训练1 (1)已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值； (2)已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α，tan α的值．解 (1)r ＝－4a2＋3a2＝5|a |.若a >0，则r ＝5a ，α是第二象限角，则 sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a－4a ＝－34，若a <0，则r ＝－5a ，α是第四象限角，则 sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.(2)因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点． 则r ＝a 2＋3a2＝2|a |(a ≠0)．若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a2a ＝12，tan α＝3a a＝3.若a <0，则α为第三象限，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3a a＝3.题型二 三角函数值符号的判断 例2 判断下列三角函数值的符号： (1)sin 3，cos 4，tan 5； (2)sin(cos θ)(θ为第二象限角)． 解 (1)∵π2<3<π<4<3π2<5<2π，∴3,4,5分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵θ是第二象限角， ∴－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0.跟踪训练2 若sin θ<0且tan θ<0，则θ是第 象限的角． 答案 四解析 ∵sin θ<0，∴θ是第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上的角，又tan θ<0，∴θ是第四象限的角．题型三 诱导公式一的应用 例3 求下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. 解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64.(2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.跟踪训练3 求下列各式的值：(1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.解 (1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32；(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.利用任意角的三角函数的定义求值，忽略对参数的讨论而致错例4 已知角α的终边上有一点P (24k,7k )，k ≠0，求sin α，cos α，tan α的值． 错解 令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝24k 2＋7k 2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724.错因分析 点P (24k,7k )中参数k 只告诉了k ≠0，而没有告诉k 的符号，需分k >0与k <0讨论，而上述解法错在默认为k >0. 正解 当k >0时，令x ＝24k ，y ＝7k ， 则有r ＝24k2＋7k 2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724. 当k <0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝－25k ， ∴sin α＝y r ＝－725，cos α＝xr ＝－2425，tan α＝y x ＝724.1．cos(－11π6)等于( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 2．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－2 3．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于( ) A.12 B ．－12 C ．－32 D.324．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α＝ .5．已知角α的终边经过点P (2，－3)，求α的三个函数值．一、选择题1．若sin θcos θ>0，则θ在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限D ．第二、四象限2．sin(－1 380°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.323．设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( ) A.25 B.25或－25 C ．－25D ．与a 有关 4．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限5．已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π6 D.11π6 6．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．5 二、填空题7．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角．8．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为 ． 9．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝ .10．函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x 的值域是 ．三、解答题11．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．12．求下列各式的值．(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)； (2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°.当堂检测答案1．答案 C解析 cos(－116π)＝cos(－2π＋π6)＝cos π6＝32.2．答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2. 3．答案 A解析 ∵2sin 30°＝1，－2cos 30°＝－3，∴r ＝2，∴cos α＝12.4．答案 －43解析 ∵cos α＝332＋y 2＝35，∴32＋y 2＝5，∴y 2＝16，∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43. 5．解 因为x ＝2，y ＝－3， 所以r ＝22＋－32＝13.于是sin α＝y r＝－313＝－31313，cos α＝x r＝213＝21313，tan α＝y x ＝－32.课时精练答案一、选择题 1．答案 B 2．答案 D解析 sin(－1 380°)＝sin(－360°×4＋60°)＝sin 60°＝32.3．答案 C 解析 ∵a <0，∴r ＝－4a2＋3a 2＝5|a |＝－5a ，∴cos α＝x r ＝45，sin α＝yr ＝－35，∴2sin α＋cos α＝－25.4．答案 D解析 ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限， 又sin x －cos x <0，∴角x 的终边在第四象限．故选D. 5．答案 D解析 ∵sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12.∴角α的终边在第四象限，且tan α＝cos 2π3sin 2π3＝－33， ∴角α的最小正角为2π－π6＝11π6. 6．答案 A解析 ∵r ＝b 2＋16，cos α＝－b r ＝－b b 2＋16＝－35. ∴b ＝3.二、填空题7．答案 一或二解析 要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角．8．答案 －2<a ≤3解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.9．答案 2解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m .∵|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10.∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.10．答案 {－4,0,2}解析 由sin x ≠0，cos x ≠0知x 的终边不能落在坐标轴上，当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，sin x cos x >0，y ＝0；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，sin x cos x <0，y ＝2；当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0， sin x cos x >0，y ＝－4；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，sin x cos x <0，y ＝2，故函数y ＝|sin x |cos x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域为{－4,0,2}． 三、解答题11．解 当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P (1,2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5， 得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2； 当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q (－1，－2)，由r ＝|OQ |＝－12＋－22＝5， 得sin α＝－25＝－255， cos α＝－15＝－55， tan α＝2.12．解 (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0°＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32.。
北师大版高中数学必修4单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
课内练习
已知sinθ＜0且cosθ＞0,确定θ角的象限。
复习小结
1.任意角的正弦、余弦函数的定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆
交于点P(u，v)，则sin v,cos u
2.三角函数都是以角为自变量,以单位 圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数.
任意角的正弦函数、余 弦函数的定义
复习引入
锐角的正弦、余弦函数的定义：
斜边
对边
邻边
对边
邻边
sin _斜__边__;cos _斜__边__;
引入新知下面我们在Fra bibliotek角坐标系中，利用单位圆来进 一步研究锐角 的正弦函数、余弦函数
当点P(u,v) 就是 的终边与单位圆的交点时,
锐角三角函数会有什么结果？
得。
正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。
最小正周期在图象上的意义 ：
最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。
例题讲解
例1、求 5 的正弦、余弦。
3
y
易知
5
3
的终边与单位圆
的交点为 P(1 , 3 )
22
α M x(1,0)
O
x
P (1, 3) 22
sin 3
2 cos 1
sin 3 13, cos 2 13
13
13
变式1、设角
中 a 0 ，则 sin
的 终53 边。过点P(4a,
3a)
,其
变式2.若角 的终边过点 Pa，8，且 cos 3 ，
则a ____6____。
5
确定下列各三角函值的符号： ⑴ cos250°;⑵ sin(-π/4); ⑶ sin(-672°); ⑷ cos3π;
任意角的正弦、余弦函数的定义
y
记作xrsi叫n叫α做做，角角即αα的s的in余α正=弦弦，，ry；
y
记记作r作xytc叫aons做αα，角,即即αc的otsa正αn=α切= ，rx；xy
P
r yA
m
x
xl O
它们只依赖于α的大小，与点P在α终边上的位置无关。
终边相同的角，三角函数值分别相等。
角α的其他三种函数：
角α的正割：
sec
如果两个角的终边相同，那么这两个角的
？ 同一三角函数值有何关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
其中 k z
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为
求 0到2 或0到360 角的三角函数值 .
任意角的三角函数
复习回顾
c
Oa
在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P
b
sin c
b
a
cos c
M
b
tan a
新课 导入
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
b
Oa M y
x
新课 导入
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
其中:
OM a
sin MP b
OP r
MP b OP r a2 b2
解：r= b2 16
cosα=
x r
b 3 b2 16 5
解得b=3.
探究： 三角函数值在各象限的符号
P(x,y)
sin y
r
o
x
cot
x y
cos x
r sec r
单位圆与任意角的正弦、余弦函数的定义
永丰中学 陈保进
在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P
c a
O bM
a
sin c
b
cos c
a
tan b
新知学习
下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来进一步研
究锐角 的正弦函数、余弦函数.
sin MP v,
OP
cos OM u,
OP
y P(u, v)
答案：③④
探究点一 利用周期求值 例 1 求下列角的三角函数值．
(1)cos(－11005500o°)；(2)cos139π；(3)sin(－341π)．
解 (1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°， ∴－1 050°的角与 30°的角终边相同， ∴cos(－1 050°)＝cos 30°＝ 23；
OM1 x
能否推广到任意角？
任意角的三角函数定义： P(u,v) y
如图，设α是一个任意 角，它的终边与单位圆 交于点P(u,v)，那么：
MO
sinα=v，v叫作α的正弦函数
1x
纵坐标
cosα=u，u叫作α的余弦函数
横坐标
用x,y表示自变量，因变量，则有：
正弦函数：y sin x 余弦函数： y cos x
的正弦、余弦和正切值 .
例4.已知角 终边上一点P(1,m), cos 5 ，求 sin
5
变式.已知sinθ＜0且cosθ＞0,确定θ角的象限.
变式.已知角的终边上一点P3a,4aaR且a 0，
求角的sin, cos, tan的值.
随堂练习
1. 若角 的终边过点 Pa，8 ，且 cos 3 ，
果成立，能否说明120°是正弦函数y=sinx,x∈R
(完整版)三角函数公式大全
三角函数公式一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦函数：r y =αsin 余弦函数：r x =αcos 正切函数：x y=αtan 余切函数：y x =αcot 正割函数：xr=αsec 余割函数：y r =αcsc 二、同角三角函数的基本关系式六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。
”倒数关系：1csc sin =⋅x x ，1sec cos =⋅x x ，1cot tan =⋅x x 。
商数关系：x x x cos sin tan =，xxx sin cos cot =。
平方关系：1cos sin 22=+x x ，x x 22sec tan 1=+，x x 22csc cot 1=+。
积的关系：sinx=tanx·cosx cosx=sinx·cotx tanx=sinx·secxcotx=cosx·cscx secx=tanx·cscx cscx=secx·cotx三、诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）＝sinα cos （2kπ＋α）＝cosαtan （2kπ＋α）＝tanα cot （2kπ＋α）＝cotα (其中k ∈Z)公式二：设α为任意角，π＋α的三角函数的值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）＝－sinα cos （π＋α）＝－cosα tan （π＋α）＝tanα cot （π＋α）＝cotα公式三：任意角α与－α的三角函数值之间的关系：sin （－α）＝－sinα cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tanα cot （－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π－α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）＝sinα cos （π－α）＝－cosα tan （π－α）＝－tanα cot （π－α）＝－cotα 公式五：απ-2与α的三角函数值之间的关系：sin （απ-2）＝cosα cos （απ-2）＝sinα tan （απ-2）＝cotα cot （απ-2）＝tanα公式六：απ+2与α的三角函数值之间的关系：sin （απ+2）＝cosα cos （απ+2）＝－sinα tan （απ+2）＝－cotα cot （απ+2）＝－tanα公式七：απ-23与α的三角函数值之间的关系： sin （απ-23）＝－cosα cos （απ-23）＝－sinαtan （απ-23）＝cotα cot （απ-23）＝tanα公式八：απ+23与α的三角函数值之间的关系：sin （απ+23）＝－cosα cos （απ+23）＝sinαtan （απ+23）＝－cotα cot （απ+23）＝－tanα公式九：利用公式一和公式三可以得到2π－α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）＝－sinα cos （2π－α）＝cosα tan （2π－α）＝－tanα cot （2π－α）＝－cotα⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。
任意角的正弦函数、余弦函数的定义
α
※
预 习 案
※
它的终边上任意异于原点的一点 P1 ( u1 , v1 ), 则 OP1 那么:⑴ 正弦 sin = __________。
O
P1 （
x M M′
⑵ 余弦 cos = __________ 。 4.当角α 的终边分别在第一、二、三、四象限时，正弦函数值、余弦函数值 的正负号： 象限 三角函数
sin
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
cos
神木中学 352 高效课堂导学案
年级：高一 科目：数学
课型:概念课
主备人:孟利平
授课时间:2013 年
月
日 星期
编号：
班级：
组别：
姓名： ●预习自测●
教师评价：
1、阅读教材 14 页例 1、仿此完成：在直角坐标系的单位圆中， =
角 ；（2）求出角 的终边与单位圆的交点坐标；
5 （1）画出 6
2、阅读教材 15 页例 2、仿此完成：教材 21 页习题 1—4 A 组 1 题（1） （2）
探究点一：利用三角函数的定义求三角函数的值
例 1、在直角坐标系的单位圆中， = ※ 终边与单位圆的交点坐标；
2 （1）画出角 ；（2）求出角 的 3
探 究 案
※
例 2、已知角 终边上一点 P(3,4) ，求角 的正弦函数值、余弦函数值。
年级：高一 科目：数学
课型:概念课
主备人:孟利平
授课时间:2013 年
月
日 星期
编号：
班级：
组别：
姓名：
教师评价：
课
正弦函数和余弦函数的定义教案
1.4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式1.4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义（必修4 第一章三角函数）《正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式》教案一、教学目标1：知识与技能观察正弦、余弦函数图像得到正弦函数、余弦函数的性质，并灵活应用性质解题。
培养分析、探索、类比和数形结合等数学思想方法在解决问题中的能力。
2:过程与方法理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念。
通过初中知识的回顾，探索新知，会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性及诱导公式。
通过借助单位圆讨论正弦函数、余弦函数的过程，感悟数形结合思想方法是学习数学的重要思想方法之一。
3:情感态度与价值观由锐角的正,余弦函数推广到任意鱼的正,余弦函数的过程中,体会特殊与一般的关系,形成一种辩证统一的思想;通过单位圆的学习,建立数形结合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题,解决问题的能力。
一二、学情分析初中运算以具体数字为主，运算量小；高中以字母为主，更加抽象(也更接近数学的本质)，并且引入对字母的分类讨论，对学生的发散思维能力提出了很高要求,教师讲的太多，会导致学生产生依赖心理，时间一长，会形成恶性循环；教师讲的太多，往往拔苗助长，适得其反；让学生积极动脑思考，过程虽然慢一些，但可以培养学生捕捉问题的敏捷性，对以后的数学学习非常有利，可谓“磨刀不误砍柴工”。
教师要从各方面引导学习数学要深入下去，不能浅尝辄止，半途而废，要适时鼓励学生，给学生以学好数学的勇气和信心。
鼓励学生不要怕出错，大胆尝试，大胆地写，给学生敢写、敢做树立自信心。
在初中学生已经学习过三步作图法（列表，描点、连线）——“描点作图”法，在第一册学生已经掌握了函数的有关对应的知识和概念,同时已经具备了一定的自学能力,这在我们今天学校用“五点法”作图提供了基础，让学生动手作出函数y＝sinx和y=cosx的图象，学生不会感到困难。
积极地鼓励学生自主的去完成作业。
遇到有疑问的问题积极的解决。
任意角的正弦、余弦函数
合作探究4
G9A1
当堂检测
检1 已知角 的终边经过点 P0 (3,4)，求角 的正弦、余 弦和正切值 .
解:由已知可得
OP0 (3) 2 (4) 2 5
M0
y
M
O
Px, y
P0 3,4
x
于是， sin y y | MP | M 0 P0 4 ; 1 OP OP0 5 OM 0 x OM 3 cos x ; 1 OP OP0 5
口诀：正弦上为正，余弦右为正，
讨论、交流
（一）讨论目标： 通过讨论每位同学要掌握任意角三角函数的定义，并能应 用其解决相关的问题。 (二)重点讨论的问题： 合作3（2）、 合作4 提示：1 合作探究3(2) 注意结合三角函数值的符号取舍；
2 合作4注意结合三角函数值在各个象限内的符号 分类讨论。 (三)讨论要求：（认真讨论！有效讨论！） 讨论声音不要过大，以免影响其他组讨论。小 组内强帮弱，“兵教兵”；组内集体讨论，集中解 决疑难问题 。每位同学在中做好勾画记录并且总结 好解题方法以及规律，以便展示和质疑。
例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，
角 为第三象限角.
证明： 因为①式sin 0 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上； 又因为②式 tan 0 成立，所以角 的终边可能位于 第一或第三象限.
sin 0 tan 0
的终边
y
说 明
的横坐标。
P ( x, y )
x
A(1,0)
o （1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点
（2）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系， 三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
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a的终边
P(x,y ) O
y
x
思考：对于确定的角 ，这三个比值是否会随点 P 在 的终边 上的位置的改变而改变呢？ 显然，我们可以将点取在使线段 OP 的长 r 1 的特殊位置上， 这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：
sin MP b; OP cos OM a; OP
教 学 设 计
设计教师 题 年月 日
二．解疑合探 1.把锐角α 安装（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始 边与 x 轴非负半轴重合）在直角坐标系中，在角α 终边上任取一 点 P，作 PM⊥x 轴于 M，构造一个 RtΔ OMP，则∠ MOP=α （锐角） ， 设 P（x,y） （x＞0、y＞0） ，α 的临边 OM =x、对边 MP=y，斜边长 |OP∣=r. 根据锐角三角函数定义用 x、y、r 列出锐角α 的正弦、余 弦、正切三个比值，并补充对应列出三个倒数比值：
y
补充修改
任意角的正弦、余弦函数的定义及周期
掌握任意角的正弦、余弦函数的定义及周期
1.知识目标 教 学 目 标
2.能力目标
通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思 想的理解，拓展思维空间。 通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养 合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。
3.德育目标
· P(x,y) O M （图 2） x
sinα=
y 斜边 r
对边
=
，conα=
x 斜边 r
邻边
=
，
重点：任意角三角函数的定义. 难点：正弦、余弦函数的定义域. 教学流程： （包括：1、设疑自探；2、解疑合探；3、质疑再探；4、运用拓展） 一、 设疑自探 （情景 1）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的 正弦、余弦函数.锐角的三角函数分别是怎样定义的？ (情景 2）我们已经把角推广到了任意角，那么锐角的三角函数概 念也能推广到任意角吗？ 1.理解和掌握任意角的正弦、余弦函数的定义，并能根据终边上点 的坐标求正弦、余弦函数值； 2.掌握正弦、余弦函数在各象限的符号，能根据角的终边位置或角 的大小确定正弦、余弦函数值的符号； 阅读课本，思考以下四个问题 （1）复习初中锐角三角函数定义问：sinα = ， cosα = （2）将锐角α 放到直角坐标系中，其正弦、余弦函数又是怎样的 呢？ （3）类比初中三角函数的定义，利用单位圆可否把锐角三角函数 推广到任意角的三角函数呢？ （4）当角α 的终边分别在第一、第二、第三、第四象 限时，角的正、余弦函数的函数值的符号分别是什么？ （5）什么是周期函数？什么是函数的最小正周期？ 补充修改
补充修改 三、质疑再探 对于以上内容，你还有什么疑问，请提出来大家一起探讨。
补充修改
四．运用拓展
5 的正弦、余弦和正切值。 3 例 2：角α 的终边经过点 P（－3，-4） ，求α 的正弦，余弦及正切 值.
例 1：求
——小结与作业 2. 能判断三角函数值的正、负吗？试试看！ 引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r＞0,三角函数值的 符号决定于 x、y 值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识 记口诀： 3.终边相同的角的余弦函数值相等。 即 sin(2k x) sin x, k Z .cos(2k x) cos x, k Z . 周期函数的严格定义：一般地，对于函数 f ( x) ，如果存在非零常 数 T ,对定义域内的任意一个 x 值， 都有 f ( x T ) f ( x) ， 则称 f ( x) 为周期函数， T 为它的一个周期。 学生自我总结 作业：P23 习题 1.2A 组 1,2,3
如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P( x, y) ,那 么: （1） y 叫做 的正弦,记做 sin ,即 sin y ； （2） x 叫做 的余弦,记做 cos ,即 cos x ； 注意:当α 是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边， 斜边所在） ；当α 不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然 有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点 P( x, y) ，从而 就必然能够最终算出三角函数值.
课后反思：