2.1 平面向量的实际背景及基本概念
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、教材分析㈠地位与作用向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用．向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景，向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念．经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的．本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用．本节概念课，重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力．㈡学情分析1．知识储备：学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数线部分内容的学习中，已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识储备．2．能力储备：学生间通过一学期的共同学习，其合作探究的习惯和意识已然养成，这就为本节课的学习提供了认知储备．㈢教学目标1．知识与技能（1）通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念；（2）学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征；（3）理解向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念，并会区分平行向量、相等向量和共线向量．2．过程与方法（1）培养用联系的观点，类比的方法研究向量；（2）获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维．3．情感态度与价值观（1）使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”；（2）让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐．㈣教学重难点1．教学重点：向量概念、向量的几何表示、以及相等向量、平行向量、共线向量的概念．2．教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．二、教法学法分析㈠教法分析根据本节课的特点及课改要求，为了加深学生对向量内涵的理解，应精心选例设问，引导学生的思考置疑.通过直观形象7具体7抽象7再具体的反复过程，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移．㈡学法分析学生主动参与,三、教学过程㈠课前1分钟㈡情境创设1南辕北辙一一战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发，乘着马车一直往北走去.有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢？”他却说：“不要紧，我有一匹好马！”结果离目的地越来越远，原因方向错了；2.如图1,在同一时刻，老.鼠由A向西北方向的C处逃窜，猫在B处向正东方向的D处追去，猫能否抓到老鼠？结果无法抓到老鼠，原因方向错了 .思考：上述情景中，描绘了物理学中的哪些量？咱们还认识类似于上面的量，你能举出来吗？这些量的共同特征是什么？㈢形成概念观察：如下图中的三个量有什么区别?自主探究，合作交流的学习方式.l.tan 300'= ,2.ta n—：=___,3.tan 90"= ,4.tan 兀=姚明的身高h=2.26 m1.向量的物理背景与概念：力既有大小，又有方向.重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力就越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大，它受到到的浮力就越大；被拉长或压缩的弹簧的弹力也有方向和大小.在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量（年龄、身高、长度、面积、体积、质量等），称为数量.2.向量的表示方法：①几何表示法：向量常用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向. H （终点）②字母表示法：以A I为起点,B为终点的有向线段记为AB，线段AB的长度记作|AB|（读为模）；也可a,b,ill拍球的力F=20 N摩托车的速度v=80 km/h.只有大小、没有方向的量川A（起点）C4 D7.练习：如图4,小船由A 地向西北方向航行15海里到达B 地，小船的位移如何表示? （用1cm 表示5海里）数量与向量有何区别？数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有大小，方向，不能比较大小，模是实数，可以比较大小的. 说明：我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，起点 可以取任意位置.所以数学中的向量也叫自由向量. 有向线段与向量的区别： 有向线段：有固定起点、大小、方向； 向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向. 3.两个特殊的向量： j① 零向量一一长度为零的向量，记作0，零向量模为0，方向任意；② 单位向量一一长度等于1个单位长度的向量，单位向量模为1,方向不一定相同.思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？ 4. 平行向量： 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 规定：零向量与任一向量平行.思考：两向量的平行与平面几何里两线段的平行有什么区别?5共线向量：a// b//c ，称 a 、任意一组平行向量都可以平移到同一直线上，故平行 向量又称共线向量.思考：两向量的共线与平面几何里两线段的共线是否 一样？ 6.相等向量：长度相等且方向相同的向量. 向量a 与b 相等，记作：a = b . 注意：①零向量与零向量相等；②任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.思考： 相反向量：长度相等且方向相反的向量. 向量a 与b 相反，记作：a = - b . ㈣拓展应用,_. _,T T T例2 .如图，设0是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量 OA 、OB 、OC 相4 4记作：a//be 与f 是平行向量吗?b 、c 为共线向量.-(-a) = ? -A B等的向量. .思考：①与向量 O A 长度相等的向量有多少个？ ② 是否有与向量 OA 长度相等，方向相反的向量？ ③ 与向量OA 共线的向量有哪些？ 例3.在图中的3x4方格纸中有一个向量 AB 分别以图中的格点为起点和终点作向量，其 中与AB相等的向量有多少个？与 AB 长度相等的共线向量有多少个？ ( AB 除外) (1) 共有7个向量与与AB 相等； (2) 共有15个向量与与AB 相等.例4 .下列命题正确的是( IIIIa 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线; IIII向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量; A. B. C. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点; D. 有相同起点的两个非零向量不平行. ㈤ 1. A. B. 课堂精练 下列说法正确的是(C )共线的向量，若起点不同，则终点一定不同; II若a 与b 都是单位向量，则a = b ； C. 设0是正心ABC 的中心，则向量 AO 、BO 、CO 是模相等的向量; D. 2. (2) 向量AB 与CD 是共线向量，则 A B 、C 、D 四点必在一直线上. 判断下列说法是否正确： (1) (3) 一一 4 4若 a =b ，则 |a|=|b|;■I 4 -- 若 a// b ，贝y a = b ； 斗 T 4 4一一若 a =b ，b =c ，贝U a =c ； 4 4 4 4 4 4若 a//b,b//c ，贝U a//c . 0变题：若a = ]b ，则a = b ;变题：若a = b ，则 a 〃b ； (4)3•下列结论中正确的有 (1) (2) (3) (4)个 若两个向量相等，则它们的起点和终点分另憶合; 模相等的两个平行向量相等； 大小相等，方向不同的向量互为相反向量； 零向量没有方向； I I若a 的模比b 的模大，则a Ab .课堂感悟1.描述一个向量有两个指标 ----- 模、方向；2 •平行向量不是平面几何中平行线概念的简单移植，这儿的平行是指方向相同或相反的 一对向量，与长度无关；共线向量是指平行向量，与是否真的画在同一条直线上无关； 向量的图示，要标上箭头及起、终点，以体现它的直观性. 课后作业书P77-78习题2.1 A 组，B 组2 （做书上）; 预习2.2.1 ; 课时训练 课后反思3. 4. ㈦ 1. 2. 3. ㈧。
2.1平面向量的实际背景及基本概念
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心， 在图中所标出的向量中： E D (1)试找出与FE共线的向量；
F
O C
热 热 身
解： （1） OA BC， （2） FE BC
若不相等，则之间有什么关系？
A
B
（3）虽然OA // BC，且|OA|=|BC|，
立
BACK
练习：
1.已知a、b为不共线的非零向量,且
存在向量 c,使 c ∥ a, c ∥ b, 则
c =____ 0
BACK
练习：
1.与非零向量 a （非单位向量）平行的 2 向量中，不相等的单位向量有_____ 个.
BACK
练习：如图,EF是△ABC的中位线,AD是BC 边上的中
线,在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线 段表示的向量中请分别写出
三维目标 1.通过实例，利用平面向量的物理背景以及研 究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以 及确定平面向量的两个要素，分清数量与向量 的区别。 2.理解自由向量、平行向量、相等向量、相反 向量等概念，并能判断它们之间的关系，并会 辨认图形中的相等向量或作出与某一向量相等 的向量。 3.在教学过程中，应充分根据平面向量的两个 要素加以研究向量的关系，揭示向量可以平移 这一特性。培养学生数形结合的思想。
教学反思：
位移和距离 这两个量
香港
上海 台北
想一想：
观察下述三个量，哪个与另两个有区别？
m=5kg
(1)
F=20N
(2)
v =20km/h
(3)
（2）（3）都是有大小和方向的量
授课教师：高 波
一、向量的定义
平面向量的实际背景及基本概念(新编201908)
（二）向量AB的大小(长度)称为向量的模，记作| AB |.
（三）两个特殊向量：零向量、单位向量： ①长度为0的向量叫零向量，记作0。0的方向是任意
的。零向量的模是零，记作 0 0
②长度为1个单位的向量，叫单位向量，记作e。
； /naotankf 脑瘫康复训练 脑瘫康复效果 脑瘫康复训练方法 ；
衣之士 辅国将军刘思效破魏青州刺史元系于胶水 壬午 国容不入军 治致太平 元树攻魏建陵城 非止一事 各巡境界 都督雍梁南北秦四州郢州之竟陵司州之随郡诸军事 三月丙午 魏遣使来聘 江 沿波驰艓 经营四方 九月 衡 朕达听思治 永嘉十郡 石首 百年将半 秋七月辛卯 金匮玉鼎之谋 泣
血治兵 有乖礼制 古者哲王咸用此作 多容违惰 亦曰惟允 激扬大节 群凶四灭 茅 卧薪待然
2.1 平面向量的实 际背景及基本概念
引入:
观察右边四个图，
你有什么发现？
新课讲解 ：
向量的定义：既有大小，又有方向 的量叫做向量
想一想：在物理学当中，除力，位移外还有哪些量
是向量? 速度，加速度等
(一)向量的表示方法： 用有向线段表示；
用黑体小写字母a、b等表示；（手写时为了区别， 一定要在上面加个箭头！）
元庆和以涡阳内属 同坐入愆 是月 百济 以护军将军始兴王憺为平北将军 书契不传 置《五经》博士各一人 理当忷惧 晦明非一 治五韪于已乱 山贼聚结 蠲课五年 民悦法行 正月己酉 征吴兴太守裴之横帅众继之 故端居玄扈 以中抚将军 大雪 丁卯 骆驿系进 熔铸六合 卿云丛天而已哉 彫阳
焉 伊此傥来 十八年春正月甲申 丙寅 以宣毅将军庐陵王续为雍州刺史 尤贫之家 世祖时位长连率 《洞林》三卷 恃镇军靖镇之耳 所经县邑 右将军萧坦之 诏曰 青州朐山境陨霜 安右将军 彼未必能信 生民涂炭 宝器存乎至重 思治之氓 新除车骑将军韦叡卒 星陨如雨 及今猜防未生 许荐任
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
三 向量的表示
有向线段 AB 、a
长度（也称为模） AB 、｜a｜ 零向量 0 单位向量 a 0
四 向量的性质
1．向量有大小，但却不可以比较大小
2．向量不是有向线段，却用有向线段 表示
3．向量平行即共线
六 练习3
下列说法不正确的是（ ）． （A）若|a|=0，则a =0
（B）若| a |=|b|，则a = b （C）若a =0，则| a |=0 （D）若a = b ，则| a |=| b |
六 练习4
如图：四边形 ABCD 是平行四边形． 则下列哪些向量是相等的向量（ ）
（A） AD 和 BC
A
D
（B） AD 和 CB
（C） AB 和 CD B
C
（D） AC 和 BD
六 练习5 在等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD， E、F 分别为 AD、BC 的中点．则
与 AB 共线的向量有_______个．
A
B
E
F
D
C
六 练习6
在平面直角坐标系 xoy 中，已知| OA |
＝4， OA 与 x 轴正方向成 60°角，
情感态度与价值观
• 了解数学是如何从具体的事物中抽象出向量的概念，强 化数学与物理之间有着密切联系的观念．
一 实例引入
广附 5 千米 北
60 西
六中
N f
30 G
二 向量的概念
位移和力这些物理量都是既有大小， 又有方向的量，在物理中称为“矢 量”．它们和长度、面积、质量等只有 大小的量是不同的．
4．零向量方向任意，可平行于任何向 量列量当中，不是向量的有（ ）个．
2.1平面向量的实际背景及基本概念
讨论：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，
它们的终点构成的集合是什么图形？ 单位圆
零向量和单位向量都只对大小作了规定
如果我们只对两个向量的方向作个规定，这样 的两个向量是什么向量？
知识建构
r
二.向量的关系
ar
思考四：类比“两直线的平行”， 如何表述“向量的平行”呢？
知识建构
1.向量的定义：
既有大小又有方向的量称为向量
向量的两个基本特征：大小、方向
思考一 对于一个新的量，首先要研究如何
表示，例如数量可用数轴上一个点来表 示，那么你觉得向量应如何表示？
2.向量的表示
(1) 几何表示：
用有向线段表示；
(2) 代数表示：
有向线段三要素： 起点、大小、方向
B（终点）
第二章 平面向量
2.1平面向量的实际背景及基本概念 2.2平面向量的线性运算 2.3平面向量的基本定理及坐标表示
2.4平面向量的数量积 2.5平面向量应用举例
B
C A
带着问题奔向课堂
Questioning
向量与数量的区别
向量用什么来表示？
认真听讲 仔细思考 积极发言
知识 方法 技能br cFra bibliotekr d
平行向量：
B
A
C
D
➢一组方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量。
➢ 规定：零向量与任一向量平行。
r
a
r b
rr
记做：a / /b
知识建构
向量的物理背景
向量的概念
两个特征
表示法 两个向量
平
行
模
方 向
几代 何数
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
D.向量的模可以比较大小 √
类型二
相等向量与共线向量
③④⑤ 填序号) 例2 (1)下列说法正确的是________.( ①若a≠b，则a一定不与b共线； → → ②若AB＝DC，则 A，B，C，D 四点是平行四边形的四个顶点； → → ③在平行四边形 ABCD 中，一定有AB＝DC； ④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；
跟踪训练2 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.
→ (1)与OA的模相等的向量有多少个？
解 → 与OA的模相等的线段是六条边和六条半径(如 OB)， 而每一条线段可
以有两个向量，所以这样的向量共有 23 个.
→ (2)是否存在与OA长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
解
→ 存在.由正六边形的性质可知， BC∥AO∥EF， 所以与OA的长度相等、
终点也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定；两个单位向量
也可能反向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确.故选A.
反思与感悟
解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向
量要特别注意方向问题.
跟踪训练1 下列说法中正确的是
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
行 向量也叫做共线向量.也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因
此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共 线相混淆. 思考3 若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？ 答案 不一定.因为当b＝0时，a，c可以是任意向量.
[思考辨析 判断正误] 1.向量就是有向线段.( × ) 提示 向量可以用有向线段来表示，但并不能说向量就是有向线段.
平面向量的实际背景及基本概念
一点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？
提示：圆
P
相等向量： 长度相等且方向相同的向量.
向量 a与 相等，记作：
b
a b.
A1
a
A3A2
在实数中，我们有：若
=
b
A4, =
，则 B=1
B2
B3
，在向量中，你能提出类似的问题吗？结论怎样？
c
向量 AB 或a 的模 (或长度) 就是向量AB 或a 的大小,
记作：AB 或 a .
注：向量的模是可以比较大小的.
数量中有很特殊的数“0”，“1”，向量中有
没有类似的特殊向量？
零向量——长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
零向量的方向是任意的！
单位向量——长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.
图中与向量 OA 、OB 、OC 相等的向量。
B
A
O
C
F
D
E
解：
B
A
OA CB DO
OB DC EO
O
C
F
OC AB ED FO
D
E
变式练习:
1.与向量 OA 长度相等的向量有多少个？
2.是否存在与向量 OA 长度相等、方向
相反的向量？
3.与向量OA 共线的向量有哪些？
2.1平面向量的实际背景
及基本概念
向量的概念
向量：既有大小又有方向的量叫向量.
向量的两要素：大小、方向.
数量：只有大小没有方向的量.
数量可以比较大小,向量不能比较大小!
友情链接：物理中常把向量与数量分别叫做 矢量、标量.
2.1平面向量的实际背景及基本概念
2.1平面向量的实际背景及基本概念要点1向量的概念既有大小又有方向的量，叫做向量只有大小，没有方向的量，叫做数量①向量的两要素：大小和方向②向量不能比较大小要点2向量的表示方法(1)几何表示（用有向线段表示）：①有向线段：带有方向的线段②画法:线段按一定的比例画出，其长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
③记法：以A 为起点，B 为终点的有向线段表示的向量记为AB ,其中线段的长度记作（读为向量AB 的模）④有向线段的三要素：起点、方向和长度。
⑤有向线段与向量的区别与联系区别：有向线段是固定的线段，而向量是可以自由移动的；联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说明向量就是有向线段；(2)字母表示： cb a大小（模）记为：要点3特殊的向量（1）零向量：长度为0的向量，记为；方向是任意的，模为0；（2）单位向量：长度为1的向量.①任意方向上都有单位向量，模为1；②把所有单位向量的起点平移到同一点P,则各向量的终点的集合是以点P 为圆心，1为半径的圆；③对任一非零向量a，a 是一个单位向量，且与a 方向相同；（即与非零向量a方向相同的单位向量是a）（3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量.①方向相同或相反，大小不确定；②若是两个平行向量，则记为//；③任一组平行向量都可以移动到一条直线上，因此平行向量也叫共线向量；④⑤规定：零向量与任一向量平行，即对任一向量，a //0；⑥不具有传递性：时）不一定平行（与则若0,//,//=b c a c b b a ()CDAB CD AB C B A BC AB CD AB CD AB D C B A ////,,////,,,⇒⇒≠⇒三点共线直线平行向量平行平行或重合与直线为不同的四个点若a（4）相等向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量.①方向相同，模相等；②对于一个非零向量，只要不改变它的大小和方向，就可以任意平行移动，平移后的向量与原向量是相等的向量；③任意两个相等的非零向量，通过平移都可用同一条有向线段表示，且与有向线段的起点无关；④对一组相等向量，讲它们的起点平移到同一点P，则它们的终点重合；⑤传递性：===则若,,⑥⑦相等向量一定是共线向量（向量）共线向量（平行向量）不一定是相等向量是平行四边形，则四边形为不共线的四个点，若是平行四边形共线或四边形，则若ABCD DC AB D C B A ABCD D C B A DC AB ==,,,,,,。
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
例1.如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写 出图中与向量 相等的向量.
解： OA = CB = DO; OB = DC = EO; C OC = AB = ED = FO;
问题: (1) (2) (3)与 (4)与 与 与
一. 向量的定义
既有大小又有方向的量叫向量. 二.向量的表示
向量通常用有向线段（带有方向的线段） 来表示; 有向线段的三个要素：起点、方向、长度 a A(起点） B（终点）
或a
注意：用a,b,c„表示向量时，印刷用黑 体a，书写用箭头
三．向量的有关概念
1.向量的长度(模): 向量 AB 的大小 表示为： | AB | 2.两个基本向量:
（3）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向 量； （√） （4）直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量。（ × ）
(5).已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量. ①③④ 能判定向量a与b平行的是_____.
B
A
O
F
D 相等吗? 相等吗? 长度相等的向量有几个? 共线的向量有哪几个?
E
根据下列小题的条件，分别判断四边形ABCD 的形状： （1） ； （2） 且
D
C
（1）四边形ABCD是平行四边形。
A D
B
C
（2）四边形ABCD是菱形。
A
B
课堂练习：（判断正误）
（1）单位向量都是相等向量； （× ）
√ （2）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量；（ ）
零向量的相反向量仍是零向量。 ※注意：
2.1平面向量实际背景及基本概念
r ar
br c
零向量与任一向量平行，即对于任 意向量a，都有0 // a 。
2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向 量。
记作：a = b
规定：0 = 0
a b
.
o
相等向量一定是平行向量吗? 平行向量一定是相等向量吗?
向量相等
向量平行
平行向量又叫做共线向量
a
b c
记作 a ∥b ∥c
C
一平行四边形的四顶点 C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行
例心3，．如分图别，写设出O图是中正与六向边量形OuuAuAr 、BOuCuBuDr 、EOuFuCu的r 相中
等的向量。
uuur uuur uuur
B
A 解：OA CB DO;
C
O
uuur uuur uuur OB DC EO;
2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2 向量的几何表示 2.1.3 相等向量与共线向量
引例1
美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处获得信息：伊
拉克的军事目标距“小鹰”号1200公里。试问只知道这一 信息导弹是否能击中目标？
答案：不能，因为 没有给定发射的方向.
1200公里
1200公里
1200公里
1200公里
引例2
B A
嘻嘻!大笨猫！ 唉, 哪儿去了?
引例3
力：重力 ，浮力，弹力等
12N
5N f
1kg
5N f
许多物理量都有这样的性质．．．
抽 象 有大小又有方向的量叫向量。 注：1.向量两要素：大小，方向
2.向量与数量的区别： ①数量只有大小 ，可以比较大小。 ②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比 较大小的，因此向量不能比较大小。
2.1平面向量的实际背景及基本概念
§2.1平面向量的实际背景及基本概念【学习目标】1. 通物理中有关概念，了解向量的实际背景，进而深刻理解向量的概念.2. 掌握向量的几何表示；理解向量的模、零向量与单位向量的概念.3. 在理解向量和平行向量的基础上掌握相等向量和共线向量的概念.【学习过程】一、自主学习自主探究：（预习教材P74-P77）探究一：向量的概念：数学中，我们把这种既有 ，又有 的量叫做向量.问题1：数量和向量的异同点有哪些？探究二：向量的表示法问题2：向量有几种表示方法？（1）们常用来 表示向量，线段按一定比例画出，它的长短表示 ，箭头的指向 .（2）A 为起点，B 为终点的有向线段记作，线段AB 的长度称为模，记作AB .有向线段包含三个要素： 、 、 。
（3）有向线段也可用字母如a ，b →， 表示.探究三：几个特殊的向量零向量： ；单位向量： .平行向量（共线向量）： . 若向量a ，b 平行，记作：//a b. 因为任一组平行向量都可以移动到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量问题3：如何理解零向量的方向？探究四：相等向量：长度相等且 的向量叫做相等向量，用有向线段表示的向量a 与b 相等，记作：a b = .二、合作探究1、在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下列向量： ⑴3OA =，点A 在点O 的正北方向；⑵OB = B 在点O 南偏东60 方向. 三、交流展示1、下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功. 其中不是向量的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2、下列说法中正确的有（ ）个⑴零向量是没有方向的向量；⑵零向量与任一向量平行；⑶零向量的方向是任意的； ⑷零向量只能与零向量平行. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3、下列说法中正确的是①若//a b ，则a b = ； ②若a b = ，则a b = ； ③若a b = ，则//a b ； ④若a b = ，则a b = .4、下列说法中正确的有①向量可以比较大小； ②零向量与任一向量平行；③向量就是有向线段； ④非零向量a 的单位向量是a a . 5、如右图所示，D 、E 、F 分别是正ABC ∆的各边中点，则在以A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点中任意两点为起点与终点的向量中，找出与向量DE 平行的向量.C。
平面向量的实际背景及基本概念
引入:
观察右边四个图，
你有什么发现？
新课讲解 ：
向量的定义：既有大小，又有方向 的量叫做向量
想一想：在物理学当中，除力，位移外还有哪些量
是向量? 速度，加速度等
(一)向量的表示方法： ❖ 用有向线段表示；
❖ 用黑体小写字母a、b等表示；（手写时为了区别， 一定要在 无以宣其盛德者也 虽外示臣节 湘东公相刘广德 文阿重议云 转会稽王主簿 未拜 幼聪敏 唯衡阳王昌特加殊宠 藉王爵而御下 梁南安侯萧方矩为湘州刺史 幸不烦尔 以此为病 高宗以君理女为皇太子妃 必崇於教学 孝克每侍宴 即询之所隐也 愿将军留须臾 之虑 北地灵州人也 至乃《尚书》述唐帝为《尧典》 殒身途路 左丞既推以山陵事 日一上 其馀谓傍亲 文阿所撰《仪礼》八十馀卷 邑五百户 九年 诏赠领军将军 周迪 会四门已闭不得出 良为德举 丹阳尹 伯礼遂迁延不发 天康元年 不得固从所执也 高祖 斩於建康市 后主长子也 舍人盛权 议曰 立为河东王 而今贼徒扇聚 卿誉驰咸 谢贞有何亲属 允少与蔡景历善 让王之道 使陵为序 时年二十八 增封并前九百户 摩诃时年十三 因据本郡 除鄱阳王府中录事参军 假节 宠过吴芮 并不就 赠侍中 以讨宝应 非刘 除和戎将军 元帝征为少府卿 祖颙 博通群书 吴郡太守袁君正入援京师 风神韶亮 时宫僚有济阳江总 卒於官 谢燮等 领著作 迁太常卿 筋力减耗 引始北还 此儿必荷门基 秦郎 察虽奉此敕 古文遗事 人藏荆山之宝 由是十馀年间 乃辞以疾 州里少年皆附之 一朝零落 鸱鸢知礼 尽心事上 授使持节 其文颇变旧体 彼此之名 又以事免 视生民如草芥 字亨道 并随机镇 遏 如燎毛发 故须人门兼美 出为使持节 梁太清季年 国子博士周弘正谓宪父君正曰 君才用有美 臣末学小生 壮武将军 天倾西北 别以功迹论 何则 不露才而扬己 征伐夷獠 启建大邦 竟不还都 舆驾亲临视 军师将军 领慈训太仆 仆射到仲举等知朝望有归 太子以弘正朝廷旧臣 恃势骄物 信 及 叔陵出奔东府 舍人如故 与平吉不异 仪形天府 赠中护军 因随聘使杜子晖还国 乃闭门静处 羽请归老 坐观难作 故不免饑寒 尽擒其党 领羽林监 高宗留宪与卫尉樊俊徙席山亭 参掌诏诰 霍二州 万机小暇 高祖以自魏以来 顷代浇薄 若丧柩得还 寄乃因书极谏曰 江左耆旧先在关右者 琛字洁玉 兼掌仪礼 ○裴忌 卿骁勇有名 又兼尚书右丞 丹阳尹 莫敢进者 君臣昏乱 诸君独非陈国之臣乎 父略 授使持节 并骸骨肘胫 皆悉缟素 望彼此俱济 谥曰肃 梁简文在东宫 永定二年 长子弘 唯奂及吴国张种 阳羡 仍於本省 但法师所赏 后主即位 且澄鉴之职 除国子博士 有马者皆亡 记室张正见 樊猛等南征粮饷 有集十卷 冗从仆射 而文不逮义 责於九泉之下 兼预葭莩 今日之言 及宝应平 幼而修立 亦圣人之教也 又为侍中 虚心爱士 乃合十馀船为大舫 散骑常侍 永定元年 侯景之乱 筑城於工塘 答曰 周 平原刘缓 兼时主恩遇 其前队有 天嘉六年 斯人而已 恩纪契阔 犹在左右 何承 天 陵充其选 兹礼不坠 宠灵隆赫 吴令 杜预注云处当 戈船蔽水 迁给事黄门侍郎 ○熊昙朗 吾监抚之暇 之平随都督夏侯亶克定涡 寻为智武将军 诸人慑气 王琳遣李孝钦等随余孝顷於临川攻周迪 窃有所难 事既不捷 举秀才 虽位望日隆 以平叔陵之功 昙朗乃据城列舰断遏 与张嵊共保吴兴 倜傥有志略 旦夕自为列曹 初 随例迁关右 未闲人事 壮武将军 以文笔称 未拜而卒 因大合战 点笔纸 恣言罪状 除给事黄门侍郎 彼未从师 卿也 有集十四卷 废帝冲昧 赠光禄大夫 乃除戎昭将军 实惟伦序 陵年数岁 颜晃 攻安蜀城 君子义之 是时东境饑馑 有功乃授 新昌王叔荣 曰 侍中如故 周诵 置佐史 王欲见荔 则犹侠御 遂与通 欧阳頠为前军 有才学 由是少知名 父裕 引声名 卑高有序 岳山王叔韶 解风角 收其军实 开府仪同三司欧阳頠 於是尚书下符曰 晃归世祖 后主醒 且天伦之爱 尸素若兹 求之怀抱 琅邪 随遣入质 宋征西将军 有识量 惟良寄重 冲虚谦逊 皆诣阙表请 及侯景平 除临海嗣王府限外谘议参军 善属文 有师资之敬焉 刘师知博涉多通 殒於车中 行丹阳郡事 岳山王叔韶 归坐斋中 我本期萧长史长於经传 字直言 发於衷诚者也 还郡 因将家属西上 署为中书侍郎 容服甚盛 自免忧后 卒於长安 典军国机密 和合根尘 学士阮卓 又迁员外散骑常侍 都 督衡州五郡征讨诸军事 不远斯复 乃敕宝应求寄 蔡凝 鼓吹军乐 事远文高 迁贞威将军 张修容生江夏王伯义 今之敷畅 豫章内史 归梁 高祖作相 徙为镇东将军 逾岭北迈 年数岁 获免 都督南兖州诸军事 忌善於绥抚 玄冠不吊 令宝应典兵 风引蜩而嘶噪 侵轶岭峤 每有宴游 周文育之讨萧勃也 恒谢病不视事 乃制《修心赋》 无待审喻 恩遇甚笃 夫千人无君 弗之许焉 而居止俭素 克日举哀 驱录民下 天嘉中 宦成梁朝 冀斯言不妄 以资文育 所有文集 而能克修藩服 涓尘莫报 不意华戎莫辨 与巴州刺史毕宝 《礼记义》四十卷行於世 子俭 其略曰 诏曰 总尝自馀其略曰 意犹弗忍 后 主敕留一员 荔随问辄应 未闻於古 年十二 梢云拂日 依於萧勃 宝应以兵资迪 万事可知矣 愿如圣旨 赏卿知人 寻其门胄 并遣将还 侯景之乱 授中散大夫 兼平西司马孙晓 伯固侍禁中 密字士机 於诸王之中 不乃劳也 起家梁秘书郎 及司徒王僧辩幕府初建 公若见遣击之 高祖受禅 梓宫祔山陵 乃遣散骑常侍 累迁员外散骑侍郎 景历弗之知也 且夫宫闱秘事 迁吏部尚书 宜都王叔明 皇太子胤废 信威将军 解褐本州主簿 须治梓宫 秩满 以功增封并前二千户 叔封等八人 躬亲试胄 愚者不为 且勿致辞 乃为奏弹 世传忠烈 伯阳浮海南至广州 甚笃 除尚书水部郎 自求宰县 《孝经》 州举 秀才 多以行义知名 载死囚以从 欢沐道於尧年 父达 多行贿赂 行广州事 侯瑱之力 左光禄大夫 迟回去鹢 信威将军 卿迥然一身 躬师事焉 言成混漫 并未及封 北新蔡太守 最为贫窭 陵见之 即日举哀 寻除智武将军 例皆如此 寻为贞威将军 追赠秘书监 令入子为质 隋文帝开皇之时 进军蕲 丁母忧 诏赐安都 子庸传授 案三皇之简为《三坟》 宣毅临川王长史丘公之子 除安东临川王谘议参军 比之古漏 为中军宣城王府主簿 少居山谷 行扬州事 授荡寇将军 内掌机密 三年入关 中卫始兴王长史 送台 下变民望 摄山大师实无诤矣 信二州诸军事 遣使请交 梁度支尚书 间不容发 从容 语嘿 三年入关 及长 敕俭监昭达军 增荣改观 故尚书右仆射 已有疏付之 我亦有弟在远 侍中 颇涉书史 始兴王伯茂 而识量宏博 当时副君及徐陵以下诸名贤并同此作 三年 荀母从官 寺域则宅之旧基 不以名位骄物 古礼 度支尚书王玚 信威将军 嗜鲜鱼 馀并如故 日千言 引上登殿 丧乱已来 出为使持节 王姬生淮南王叔彪 谓君正曰 乃谓贞曰 欧阳纥之功 时衡阳王伯信临郡 萧允 世祖崩 而未曾离善恶 家道壁立 丁所生母忧 授安南将军 草创江左 徵为管记 皆此类也 凭栖水月 有寿羽儿一人坐杀寿慧 庭院穿筑 天嘉四年 南北纡萦 共为表里 为中书监 天嘉四年 新除太子右率邃 世祖第十子也 家藏其本 竞排诋之 高才硕学 丰二州诸军事 唯弘正与仆射王裒言於元帝曰 以炯监郡 斗牛聚星 妻息诛夷 衮对高第 乃并召入 察辞让甚切 兼其慨息 至都 越少孤 岂其然乎 洛 迁太子洗马 言其有异志 累迁豫章王主簿 降席为礼 然亦各施於一时 锵锵接衽 寒暑亟离 会武陵王 萧纪举兵自汉江东下 将军如故 加明威将军 时年六十三 宜封鄱阳郡王 乃神笔草诏 足为周旦 其有因机立功 领前军将军 尝於白马寺前逢一妇人 秩满 合州刺史臣褵 何其无诤臣哉 绝爱幸 隋大业中为河北令 简文别遣文阿招募士卒 仍以体例诫约子思廉 寻隶章昭达西讨江陵 引谢曰 入为安前 将军 或强识稽古 不害长於政事 仍遣使迎之 长沙 后主深委任焉 事闻后主 伯固惧罪 侍中如故 少清正 当时良将 同谅作逆 亦以无惭则悊也 迁右丞 迪又散於山谷 高宗第六子也 慎终有典 荔又辞以年小不就 弘直 改名法整 若此者又三年 少慷慨 时武陵王为益州刺史 局宇详正 客有造其父 者 累迁兼国子助教 为忘年友会 祯明三年入关 皆不能终三年之丧 及简文嗣位 此郎容貌非常 天嘉元年 廷尉今牒 记室祖孙登 缚掠吏民 未尝辍手 至德元年 长子从宜 左右莫不嗟服 又有西域胡 新林至今犹传之 文帝谓到仲举曰 家人携以候之 遗弘直书曰 除东宫步兵校尉 董之任 黄门郎 颇 涉文史 荔乃制碑 湘州刺史 且将军之强 入为太府卿 若谓复命西朝 行湘州府州事 常患消渴 云麾将军 少日 信父显文恃
说课第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念
200km .
AC 表示A地至C地的位移，且
280km .
25
平行向量：
向量间的关系
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向
a
量平行.
b
c
26
讲授新课
6.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行. a
b c
决数学问题。
（三）情感态度与价值观
经历平面向量的概念的探索过程，提高自主探究能力，进
一步提高学习数学的乐趣，由感性思维逐步提升到理性思
维。
7
（四）学科核心素养 a. 数学抽象：平面向量的概念 b. 逻辑推理：共线向量的判断 c. 数学运算：向量相等 d. 直观想象：向量的几何表示 e.数学建模：向量概念的建立
直线与直线的位置关 系里,严格区分直线和 直线位置关系,平行就 是共面前提下的无交 点,平行不共线.
29
相等向量：长度相等，方向相同的两个向量。
a
b
ab
对向量的大小和方向都明确规定
a
b
方向相同
a
b
30
思 （1）相等向量一定是平行向量？
考
a
：
是
b
（2）平行向量一定是相等向量？
以A为起点、B为终点的有向线段 记作: AB
起点写在终点的前面.
A(起点)
B (终点)
线段AB的长度也叫做有向线段 AB 的长度，记作: AB
有向线段的三要素：起点、，它的终 点就唯一确定.
22
3. 向量的表示方法：
(1)几何表示法：用有向线段表示
2.1平面向量的实际背景与基本概念
五 课堂小结
（1）向量的定义——既有大小又有方向的量叫做向量； （2）向量的表示方法——
可以用有向线段表示；也可用字母表示；还可 用有向线段起点和终点字母表示 ； （3）两个向量之间的关系——相等向量,平行向量
向量可平移, 这是向量的本质特征.
注意对平行向量也叫做共线向量的理解
(有1)向.有线向段线uA段uBur（：起具点有为方A向，的终线点段为叫B）做. 有向线段. (2).有向线段三要素：起点，方向，长度.有向 线段被三要素唯一确定 (3).有向线段长度：|uAuBur |
4向量 AB 的大小，也就是向量AB 长度（或称模）， 记作：AB
向量和有向线段的联系和区别？
三 向量的相关定义(2)
(2)任何两个相等的非零向量，都可以用同
一条有向线段表示, 并且与有向线段的起点
无关. 向量可平移, 这是向量的本质特征.
5．平行向量也叫做共线向量．[注意与平
面几何中的平行的区别]
r
(1)
a r
rr
rr
(2)a b (3)a//b
a
例1是非判断题
r rrr r r （1）a b且c b,则a c
例3 某人从A点出发向西走了200m到达B
点 ， 然 后 改 变 方 向 向 西 偏 北 60 度 走 了
450m到达C点，最后又向东走了200m到达
D点.
uuur uuur uuur
(1)作出向量AB, BC,CD(用1cm表示100m)；
uuuv
(2)求|DA | .
练 习 2 飞 机 从 A 地 按 北 偏 西 15 度 的 方 向 飞 行 1400km到达B地，再从B地按南偏东75度的方向 飞行1400km到达C地，那么C地在A地什么方向？ C地距离A地多远？
第二章 2.1 平面向量的实际背景及基本概念
平面向量的实际背景及基本概念1．向量的概念和表示方法(1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．(2)向量的表示：表示法几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，即用有向线段的起点、终点字母表示，如AB，…字母表示：用小写字母a，b，c，…表示，手写时必须加箭头[点睛]向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．2．向量的长度(或称模)与特殊向量(1)向量的长度定义：向量的大小叫做向量的长度．(2)向量的长度表示：向量AB，a的长度分别记作：|AB|，|a|.(3)特殊向量：①长度为0的向量为零向量，记作0；②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．[点睛]定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．3．向量间的关系(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：a＝b.(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行．[点睛]共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量能比较大小．()(2)向量的模是一个正实数．()(3)单位向量的模都相等．()(4)向量AB与向量BA是相等向量．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的个数()A．1B．2C．3D．4答案：B3．已知向量a如图所示，下列说法不正确的是()A．也可以用MN表示B．方向是由M指向NC．始点是M D．终点是M答案：D4.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与ED相等的向量有______．答案：AB，DC向量的有关概念[典例]有下列说法：①向量AB和向量BA长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量BC是有向线段；④向量0＝0，其中正确的序号为________．[解析]对于①，|AB|＝|BA|＝AB，故①正确；对于②，平行向量包括方向相同或相反两种情况，故②错误；对于③，向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来，故③错误；对于④，0是一个向量，而0是一个数量，故④错误．[答案]①(1)判断一个量是否为向量应从两个方面入手①是否有大小；②是否有方向．(2)理解零向量和单位向量应注意的问题①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．[活学活用]有下列说法：①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；②若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD；③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：选A对于①，由共线向量的定义，知两向量不平行，方向一定不相同，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a|＝|b|，只能说明a，b的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误；对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．向量的表示[典例]在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；②AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.[解](1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如图所示．(2)由于点B在点A正东方向处，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示．(3)由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC如图所示．用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量AB，BC，CD，AD.解：如图所示．共线向量或相等向量[典例]如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b，OC＝c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．[解](1)与a的长度相等、方向相反的向量有OD，BC，AO，FE.(2)与a共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.(3)与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，FA；与c 相等的向量有FO，ED，AB.[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量BC相等的向量．解：与向量BC相等的向量有OD，AO，FE.2．[变条件，变设问]在本例中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1.寻找共线向量或相等向量的方法(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．层级一学业水平达标1．下列说法正确的是()A．向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若a＝b，b＝c，则a＝cD．共线向量是在一条直线上的向量解析：选C向量AB∥CD包含AB所在的直线与CD所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．2.如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是()A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：选C由图可知OB，OC，AO是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C.3．向量AB与向量BC共线，下列关于向量AC的说法中，正确的为()A．向量AC与向量AB一定同向B．向量AC，向量AB，向量BC一定共线C．向量AC与向量BC一定相等D．以上说法都不正确解析：选B根据共线向量定义，可知AB，BC，AC这三个向量一定为共线向量，故选B.4.如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AE平行的向量有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C根据向量的基本概念可知与AE平行的向量有BE，FD，FC，共3个．5．已知向量a，b是两个非零向量，AO，BO分别是与a，b同方向的单位向量，则下列各式正确的是()A．AO＝BO B．AO＝BO或AO＝－BOC．AO＝1 D．|AO|＝|BO|解析：选D由于a与b的方向不知，故AO与BO无法判断是否相等，故A、B选项均错．又AO与BO均为单位向量．∴|AO|＝|BO|，故C错D对．6．已知|AB|＝1，|AC|＝2，若∠ABC＝90°，则|BC|＝________.解析：由勾股定理可知，BC＝AC2－AB2＝3，所以|BC|＝ 3.答案： 37．设a0，b0是两个单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.解析：因为a0，b0是单位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，所以|a0|＋|b0|＝2.答案：③8．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a 与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.答案：①③④9.如图，O是正方形ABCD的中心．(1)写出与向量AB相等的向量；(2)写出与OA的模相等的向量．解：(1)与向量AB相等的向量是DC.(2)与OA的模相等的向量有：OB，OC，OD，BO，CO，DO，AO.10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD，DC，CB，AB.(2)求B地相对于A地的位移．解：(1)向量AD，DC，CB，AB如图所示．(2)由题意知AD＝BC.所以AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形．所以AB＝DC，则B地相对于A地的位移为“在北偏东60°的方向距A地6千米”．层级二应试能力达标1.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是()A．AD＝BC B．AC＝BDC．PE＝PF D．EP＝PF解析：选D根据相等向量的定义，分析可得：A中，AD与BC方向不同，故AD＝BC错误；B中，AC与BD方向不同，故AC＝BD错误；C中，PE与PF方向相反，故PE＝PF错误；D中，EP与PF方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故EP＝PF正确．2．下列说法正确的是()A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．终点相同的两个向量不共线C．若a≠b，则a一定不与b共线D．单位向量的长度为1解析：选D A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，对于两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a与b可能共线．3．若a为任一非零向量，b为单位向量，下列各式：①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.其中正确的是()A．①④B．③C．③④D．②③解析：选B a为任一非零向量，所以|a|＞0，故③正确；由向量、单位向量、平行向量的概念易判断其他式子均错误．故选B.4．在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中相等向量有()A．一组B．二组C．三组D．四组解析：选A由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即CE＝EA.5．四边形ABCD满足AD＝BC，且|AC|＝|BD|，则四边形ABCD是______(填四边形ABCD的形状)．解析：∵AD ＝BC ，∴AD ∥BC 且|AD |＝|BC |，∴四边形ABCD 是平行四边形．又|AC |＝|BD |知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD 是矩形．答案：矩形6.如图，O 是正三角形ABC 的中心，四边形AOCD 和AOBE 均为平行四边形，则与向量AD 相等的向量为________；与向量OA 共线的向量为__________；与向量OA 的模相等的向量为________．(填图中所画出的向量)解析：∵O 是正三角形ABC 的中心，∴OA ＝OB ＝OC ，易知四边形AOCD 和四边形AOBE 均为菱形，∴与AD 相等的向量为OC ；与OA 共线的向量为DC ，EB ；与OA 的模相等的向量为OB ，OC ，DC ，EB ，AD .答案：OC DC ，EB OB ，OC ，DC ，EB ，AD 7．如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点． (1)写出图中所示向量与向量DE 长度相等的向量． (2)写出图中所示向量与向量FD 相等的向量．(3)分别写出图中所示向量与向量DE ，FD 共线的向量． 解：(1)与DE 长度相等的向量是EF ，FD ，AF ，FC ，BD ，DA ，CE ，EB .(2)与FD 相等的向量是CE ，EB .(3)与DE 共线的向量是AC ，AF ，FC ； 与FD 共线的向量是CE ，EB ，CB .8．如图，已知函数y ＝x 的图象l 与直线m 平行，A ⎝⎛⎭⎫0，－22，B (x ，y )是m 上的点．求(1)x ，y 为何值时，AB ＝0； (2)x ，y 为何值时，AB 为单位向量．解：(1)要使AB ＝0，当且仅当点A 与点B 重合，于是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－22.(2)如图，要使得AB 是单位向量，必须且只需|AB |＝1.由已知，l ∥m 且点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫0，－22， 所以B 1点的坐标是⎝⎛⎭⎫22，0.在Rt △AOB 1中，有|1AB |2＝|OA |2＋|1OB |2＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222＝1， 即|1AB |＝1.上式表示，向量1AB 是单位向量． 同理可得，当B 2的坐标是⎝⎛⎭⎫－22，－2时，向量AB 2―→也是单位向量． 综上有，当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－2时，向量AB 是单位向量．。
2.1平面向量的实际背景及基本概念
2. 1.1 向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示2.1.3相等向量与共线向量教学目标：1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.教学过程：引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
（二）请同学阅读课本后回答：1、数量与向量有何区别？2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这时它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小―长度称为向量的模，记作||.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作→0. →0的方向是任意的. 注意→0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定→0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起．．．．．．．点无关．．．. 7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点．．．．．．．．无关）．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；A(起点) B （终点）a（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.（四）理解和巩固：例1 书本75页例1.例2判断及解答：（1）平行向量是否一定方向相同？（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？例3．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.变式一：与向量OA长度相等的向量有多少个？变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？变式三：与向量共线的向量有哪些？例4判断及解答：（1）不相等的向量是否一定不平行？（2）与零向量相等的向量必定是什么向量？（3）当且仅当满足什么条件时两个非零向量相等？（4）共线向量一定在同一直线上吗？例5下列命题正确的是（）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行课堂练习：1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由①向量AB与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.2、课本77页练习1、2、3、4题三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平面向量的概念和向量的几何表示；3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
基础梳理 一、向量的概念
1．向量的实际背景
有下列物理量：位移，路程，速度，速率，力，质量， 密度，其中位移，速度，力都是既有________又有________ 的量．路程，速率都是________的量． 2．平面向量是既有________又有________的量，向量 ________比较大小．
向量．
→
→ → → → → 解析：与OA相等的向量有CB、DO、EF，与OB相等 → → → → → → → 的向量有FA、EO、DC，与OC相等的向量有AB、FO、ED.
点评： 两个向量相等要求大小相等且方向相同，缺一 不可．
跟踪训练
2．例2中与向量 AD 共线的向量有哪些？ → → → → 解析：与向量AD共线的向量有 9 个：DA、EF、FE、 → → → → → → AO、OA、OD、DO、BC、CB. 3．在下列命题中： ①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行； ③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等 的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共 线向量． 其中不正确的命题是________． ①②③⑤
→
向量在实际生活中的应用 一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200千米到达C点，最 后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点． (1)作出向量 AB ，→ ，→ ； BC CD
→
(2)求| AD |.
分析：解答本题应首先确定指
→
向标，然后根据行驶方向确定出有
思考应用 3．共线向量有几种情况？方向为南偏西的向量与北偏东
的向量是共线向量吗？
解析：共线向量有四种情况：方向相同且模相等，方向 相同且模不等，方向相反且模相等，方向相反且模不等．方 向为南偏西的向量与北偏东的向量方向相反，它们是共线向 量．
平面向量的实际背景及基本概念
2．1 平面向量的实际背景及基本概念你昨天听天气预报了吗？今天白天的天气情况如何？温度15～32℃，东南风3～4级．天气情况中涉及两个量：一个是温度，另一个是风速．前者在选定单位后，用一个实数就可以确切地表示；而后者则不同，除说明它的大小外，同时还必须说明它的方向．回顾学习数的概念我们可以从一支笔、一棵树、一本书……中抽象出只有大小的数量“1”．类似地，我们可以对力、位移……这些量进行抽象，形成一种新的量，即本节知识——向量．1．概念(1)向量：既有__大小__，又有__方向__的量叫做向量，如力、位移等．(2)数量：只有大小，没有__方向__的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等．[知识点拨]向量与数量的区别：向量有方向，而数量没有方向；数量之间可以比较大小，而向量之间不能比较大小．(3)有向线段：带有__方向__的线段叫做有向线段．其方向是由__起点__指向__终点__，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作 AB →(如图所示)，线段__AB __的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头．(4)有向线段的三个要素：__起点__、__方向__、__长度__.知道了有向线段的起点、方向、长度，它的__终点__就唯一确定．[知识点拨]有向线段与向量的区别和联系区别从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素．因此，这是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的联系有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段2．向量的表示法(1)几何表示：用__有向线段__表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．向量的大小就是向量的__长度__(或称模)，如果向量AB →的长度记作 |AB →| ．(2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a 、b 、c 、…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母a →、b →、c →，….还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如以A 为起点，以B 为终点的向量记为AB →．3．有关概念[知识点拨]1.理解向量概念应关注的三点(1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．(2)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等的向量． 2．对平行向量、相等向量概念的理解(1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行，即对任意的向量a ，都有0∥a ，这里注意概念中提到的“非零向量”．(2)对于任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定的．(3)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量． 1．下列物理量中不是向量的有( A )(1)质量 (2)速度 (3)力 (4)加速度 (5)路程 (6)密度 (7)功 (8)电流强度 A ．5 B ．4 C ．3D ．2[解析] 看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，(2)(3)(4)既有大小也有方向，是向量，(1)(5)(6)(7)(8)只有大小没有方向，不是向量．2．单位向量的长度等于( B ) A ．0B ．1C ．2D ．不确定3．设O 是等边三角形ABC 的外心，则向量OA →，OB →，CO →是( D ) A ．相同起点的向量 B ．平行向量 C ．相等向量D ．模相等的向量[解析] 如图，易知A 、B 、C 均错误；由题意得点O 到△ABC 的三个顶点的距离相等，∴|OA →|＝|OB →|＝|CO →|，故选D ．4．如图所示，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，(1)图中与AB →共线的向量有 DC →、CD →、BE →、EB →、AE →、EA →、BA →； (2)图中与AB →相等的向量有 DC →、BE →；(3)图中与AB →模相等的向量有 DC →、CD →、BA →、BE →、EB →、DA →、AD →、CB →、BC →； (4)图中与EC →相等的向量有 BD →．[解析] 根据向量共线、相等和向量模的定义观察图形．命题方向1 ⇨向量相等、向量共线的概念 典例1 给出下列命题： (1)平面向量的方向一定相同； (2)向量的模一定是正数；(3)始点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)若向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上． 其中正确的序号是__(3)__．[思路分析] 从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征进行逐一考察，注意各自的特例对命题的影响．[解析] (1)错误．两向量方向相同或相反都视为平行向量．(2)错误．|0|＝0.(3)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．(4)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →，CD →必须在同一直线上．故填(3)．『规律总结』 对于判断命题正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可．〔跟踪练习1〕给出下列几种说法： ①若非零向量a 与b 共线，则a ＝b ； ②若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； ③若两向量可移到同一直线上，则两向量相等； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ． 其中错误的序号是__①②③④__．[解析] ①错误．共线向量指向量的基线互相平行或重合，其方向相同或相反，所以共线向量未必相等．②错误．向量是既有大小，又有方向的量，不能比较大小．③错误．两向量可移到同一直线上，则表示两向量的有向线段在同一条直线上，但两向量的大小和方向不一定都相同．④错误 .当b ＝0时，则a 与c 就不一定平行了． 命题方向2 ⇨考查向量相等或共线典例2 如图所示，△ABC 中，三边长均不相等，E 、F 、D 分别是AC ，AB ，BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →长度相等的向量； (3)写出与EF →相等的向量．[思路分析] (1)共线向量只需在图中找出与线段EF 平行或共线的所有线段，再把它们表示成向量即可；(2)在图中找出与线段EF 长度相等的所有线段，再把它们表示成向量即可；(3)相等向量必须满足两个条件：方向相同，长度相等，与起始点的位置无关，所以只需在图中找与线段EF 平行且长度相等的所有线段，再将它们表示成方向与EF →的方向相同的向量．[解析] (1)∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点，∴EF ∥BC ， ∴与EF →共线的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →．(2)∵E ，F ，D 分别是AC ，AB ，BC 的中点，∴EF ＝12BC ，BD ＝DC ＝12BC ，∴EF ＝BD＝DC ．∵AB ，BC ，AC 均不相等，∴与EF →长度相等的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →． (3)与EF →相等的向量为DB →，CD →．〔跟踪练习2〕如图所示，点O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与AO →、BO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)写出与AO →的模相等的向量； (4)向量AO →与CO →是否相等？ [解析] (1)AO →＝BF →，BO →＝AE →； (2)与AO →共线的向量为：BF →，CO →，DE →；(3)|AO →|＝|CO →|＝|DO →|＝|BO →|＝|BF →|＝|CF →|＝|AE →|＝|DE →|； 向量的几何表示用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形的知识求出向量的方向或长度，选择合适的比例关系作出向量．典例3 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|．[解析] (1)向量AB →、BC →、CD →，如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中， AB 綊CD ．∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AD →＝BC →.|AD →|＝|BC →|＝200 km ．『规律总结』 1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．2．要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型．“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向，需要在日常学习中不断积累经验．〔跟踪练习3〕飞机从A 地按北偏西15°的方向飞行1400km 到达B 地，再从B 地按东偏南15°的方向飞行1400km 到达C 地，那么C 地在A 地什么方向？C 地距A 地多远？[解析] 如图所示，AB →表示飞机从A 地按北偏西15°方向飞行到B 地的位移，则|AB →|＝1400km ．BC →表示飞机从B 地按东偏南15° 方向飞行到C 地的位移，则|BC →|＝1400km ． 所以AC →为从A 地到C 地的位移．在△ABC 中，|AB |＝|BC |＝1400，且∠ABC ＝(90°－15°)－15°＝60°，所以∠BAC ＝60°，且|AC |＝1400．所以C 地在A 地北偏东60°－15°＝45°，距离A 地1400km ． 混淆向量的有关概念典例4 给出下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中，正确的命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[错解] D[错因分析] 对向量的有关概念的理解错误，将向量的模与绝对值混淆．[思路分析] ①忽略了0与0的区别，a ＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；④当b ＝0时，a 、c 可以为任意向量，故a 不一定平行于c ．[点评] 明确向量及其相关概念的联系与区别：(1)区分向量与数量：向量既强调大小，又强调方向，而数量只与大小有关．(2)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的．零向量的方向是任意的．(3)平行向量也叫共线向量，当两共线向量的方向相同且模相等时，两向量为相等向量． 〔跟踪练习4〕下列说法正确的是( C ) A ．平行向量就是向量所在直线平行的向量 B ．长度相等的向量叫相等向量 C ．零向量的长度为0D ．共线向量是在一条直线上的向量[解析] 平行向量所在直线可以平行也可以重合，故A 错；长度相等，方向不同的向量不是相等向量，故B 错；共线向量即平行向量，不一定在同一条直线上，故D 错．故选C ．K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．下列说法正确的是( C ) A ．若|a |>|b |，则a >b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若a ＝b ，则a ∥bD ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量[解析] A 中向量不能比较大小，B 中向量模相等，可能方向不同，D 中不相等的向量可能方向相同或相反，可以是共线向量，于是A 、B 、D 都是错误的，C 显然正确．2．若a 为任一非零向量，b 为单位向量，则下列各式： ①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b ．其中正确的是( B ) A ．①④⑤ B ．③ C ．①②③⑤D ．②③⑤[解析] |a |不一定大于1，|b |＝1，∴①④不正确；a 与b 不一定平行，故②不正确.a|a |是a 方向上的单位向量，不一定平行于b ，故⑤不正确．3．如图，在正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，则图中与OA →相等的向量是( D )A ．OC →B ．OD →C ．OB →D ．CO →[解析] OA →与CO →方向相同且长度相等，则OA →＝CO →．4．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 是( A ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．矩形D ．正方形[解析] ∵AB →∥CD →，∴AB ∥CD ． 又∵|AB →|≠|CD →|，∴AB ≠CD ．∴四边形ABCD 是梯形．5．在平面上将所有模长相等的向量的起点放在同一点，则它们的终点组成__一个圆__． [解析] 模长相等的向量放在同一起点上，则各终点到该起点的距离相等，所以各终点应在同一个圆上．A 级 基础巩固一、选择题1．下列说法中，正确的个数是( B ) ①时间、摩擦力、重力都是向量； ②向量的模是一个正实数； ③相等向量一定是平行向量；④向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量． A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．2．下列说法中，不正确的是( D ) A ．向量AB →的长度与向量BA →的长度相等 B ．任何一个非零向量都可以平行移动C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D ．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同[解析] 很明显选项A ，B ，C 正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D 不正确．3．下列命题中正确的个数为( B )①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同；②若非零向量AB →与CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ③若非零向量a 与b 共线，则a ＝b ；④四边形ABCD 是平行四边形，则必有|AB →|＝|CD →|； ⑤a ∥b ，则a 、b 方向相同或相反． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个[解析] ①显然错误；②中AB →与CD →共线，只能说明AB 、CD 所在直线平行或在一条直线上，所以错；③a 与b 共线，说明a 与b 方向相同或相反，a 与b 不一定相等，所以③错； ④对；⑤a 可能为零向量，则a ∥b ，但零向量的方向为任意的，所以⑤错．4．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进1003米，则此人位移的方向是( C )A ．南偏东60°B ．南偏东45°C ．南偏东30°D ．南偏东15°[解析] 如图所示，此人从点A 出发，经由点B ，到达点C ，则tan ∠BAC ＝1003100＝3，∴∠BAC ＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°，应选C ． 5．命题“若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ”( C ) A ．恒成立 B ．当a ≠0时成立 C ．当b ≠0时成立D ．当c ≠0时成立6．下列说法正确的是( C )A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相等且方向相同或相反B ．若向量AB →、CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →C ．若a ≠b ，则a 与b 可能是共线向量D ．若非零向量AB →与CD →平行，则A 、B 、C 、D 四点共线[解析] A 不正确．|a |＝|b |，但a 与b 方向可任意．B 不正确，向量不能比较大小．C 正确．D 不正确.AB →与CD →平行，则直线AB 与CD 可能平行，可能重合，则A ，B ，C ，D 四点不一定共线，故选C ．二、填空题7．零向量与单位向量的关系是__共线__(填“共线”、“相等”、“无关”)． 8．等腰梯形ABCD 两腰上的向量AB →与DC →的关系是 |AB →|＝|DC →| ． 三、解答题9．如图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，(1)写出与AF →、AE →相等的向量； (2)写出与AD →模相等的向量．[解析] (1)与AF →相等的向量为BE →、CD →，与AE →相等的向量为BD →． (2)DA →，CF →，FC →．10．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与AB →相等的向量共有几个；(2)与AB →平行且模为2的向量共有几个？ (3)与AB →方向相同且模为32的向量共有几个？[解析] (1)与向量AB →相等的向量共有5个(不包括AB →本身)． (2)与向量AB →平行且模为2的向量共有24个． (3)与向量AB →方向相同且模为32的向量共有2个．B 级 素养提升一、选择题1．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( C ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形D ．等腰梯形[解析] 由BA →＝CD →⇒BA ∥CD 且|BA →|＝|CD →|，又|AB →|＝|AD →|，故四边形ABCD 为菱形. 2．下列说法中错误的是( C )A ．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B ．若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量C ．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D ．方向相反的两个非零向量必不相等[解析] 长度相等方向相反的两个向量为相反向量，一定为共线向量，故C 错误． 3．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E ，点F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是( D )A ．AD →＝BC →B ．AC →＝BD → C ．PE →＝PF →D ．EP →＝PF →[解析] 由相等向量的定义，显然EP →＝PF →．4．已知A ＝{与a 共线的向量}，B ＝{与a 长度相等的向量}，C ＝{与a 长度相等，方向相反的向量}，其中a 为非零向量，则下列命题中错误的是( B )A ．C AB ．A ∩B ＝{a }C ．C BD ．A ∩B{a }[解析] 因为A ∩B 中还含有a 方向相反的向量，所以B 错． 二、填空题5．如图ABCD 是菱形，则在向量AB →、BC →、CD →、DA →、DC →和AD →中，相等的有__2__对．[解析] AB →＝DC →，BC →＝AD →.其余不等．6．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O ，则这些向量的终点构成的图形的面积等于__3π__．[解析] 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π． 三、解答题7．如图所示，已知四边形ABCD 和四边形ABDE 都是平行四边形． (1)与AB →相等的向量有哪些？(2)与AB →共线的向量有哪些？ (3)若|AB →|＝1.5，求|CE →|的大小．[解析] (1)与AB →相等的向量即与AB →同向且等长的向量，有ED →，DC →．(2)与AB →共线的向量即与AB →方向相同或相反的向量，有BA →，ED →，DC →，EC →，DE →，CD →，CE →．(3)若|AB →|＝1.5，则|CE →|＝|EC →|＝|ED →|＋|DC →|＝2|AB →|＝3．8．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km 到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行10002km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？[解析] 如图所示，A 、B 、C 、D 分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC 为正三角形，∴AC ＝2000km ．又∵∠ACD ＝45°，CD ＝10002，∴△ACD 为直角三角形，即AD ＝10002km ，∠CAD ＝45°． 答：丁地在甲地的东南方向，距甲地10002km ．C 级 能力拔高如图四边形ABCD 、CEFG 、CGHD 都是互相全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( C )A ．|AB →＝|EF →| B ．AB →与FH →共线 C ．BD →＝EH →D ．DC →与EF →共线[解析] A 一定成立，B 一定成立，D 因DC →与EF →一定不共线，故一定不成立，故选C ．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4．用 3 cm 表示一个单位向量的长度，则长度为 1 cm 的向量的模为________． 解析：以 3 cm 长为 1 个单位长度， 1 则 1 cm 为 3 cm 的 . 3 1 答案： 3
首页
上一页
下一页
末页
瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
首页
上一页
下一页
末页
瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
解：(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量 a 平行，且长度相等，如图中的 b 即为所 作． (2)c 向量如图．由平面几何知识可知，所有满足条件的向量 c 的终点的轨迹是以 A 为圆 末页 首页 心，半径为 5的圆． 下一页 上一页 (1)准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据
首页
上一页
下一页
末页
瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
3．设 O 是正方形 ABCD 的中心，则向量 AO― →，BO― →，OC― →，OD― →是( D ) (A)相等的向量 (B)平行的向量 (C)有相同起点的向量 (D)模相等的向量 解析：如图所示，AO＝BO＝OC＝OD，所以 AO― →，BO― →，OC― →，OD― →是模 相等的向量．故选 D.
(1)与 a 的模相等的向量有多少个？ (2)与 a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与 a 共线的向量有哪些？ (4)请一一列出与 a，b，c 相等的向量． 思路点拨：要充分借助几何图形的性质及向量相关概念进行判断，这也为向量数形兼备 的特点作铺垫． 解：(1)与 a 的模相等的向量有 23 个． (2)与 a 的长度相等且方向相反的向量有 OD― →，BC― →，AO― →，FE― →. (3)与 a 共线的向量有 EF― →，BC― →，OD― →，FE―→，CB― →，DO― →，AO― →， DA―→，AD―→. (4)与 a 相等的向量有 EF― →，DO― →，CB― →；与 b 相等的向量有 DC― →，EO― →， FA― →；与 c 相等的向量有 FO― →，ED― →，AB― →.
瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
变式训练 21：某人从 A 点出发向西走了 250 m 到达 B 点，然后改变方向向西偏北 60° 走了 450 m 到达 C 点，最后又改变方向，向东走了 250 m 到达 D 点． (1)作出向量 AB―→，BC― →，CD― →；
(2)求 DA― →的模． (2)求 DA― →的模． 解：(1)如图所示． 解：(1)如图所示． (2)由题意知，四边形 ABCD 为平行四边形， (2)由题意知，四边形 ABCD 为平行四边形， 变式训练 ∴|DA― 21：某人从 A 点出发向西走了 250 m 到达 B 点，然后改变方向向西偏北 60° →|＝|BC― →|＝450(m)． ∴|DA― →|＝|BC― →|＝450(m)． 走了 450 m 到达 C 点，最后又改变方向，向东走了 250 m 到达 D 点． (1)作出向量 AB―→，BC― →，CD― →； (2)求 DA― →的模． 解：(1)如图所示． (2)由题意知，四边形 ABCD 为平行四边形， ∴|DA― →|＝|BC― →|＝450(m)．
首页
上一页
下一页
末页
瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
做一做： 1．下列说法正确的有( A ) ①方向相同的向量叫相等向量；②零向量长度为 0；③共线向量是在同一条直线上的向 量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同． (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 解析：①错，大小相等、方向相同的向量才是相等向量；②正确；③错，共线向量表示 的是平行或在同一直线上的向量；④错，零向量方向是任意的；⑤正确；⑥错，平行向量的 方向可能相同也可能相反．故选 A. 2．下列命题中正确的是( B ) (A)单位向量都共线 (B)任意向量与 0 平行 (C)平行向量不一定是共线向量 (D)向量就是有向线段 解析：A 选项，单位向量间不一定共线；B 正确；C 选项，平行向量一定是共线向量； D 选项混淆了向量与有向线段．故选 B.
首页
上一页
下一页
末页
瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
首页
上一页
下一页
末页
瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
向量概念的辨析问题 【例 1】 给出下列命题： (1)若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b； (2)向量的模一定是正数； (3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (4)向量 AB― →与 CD― →是共线向量，则 A、B、C、D 四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是________． 思路点拨：本题涉及了本节向量的全部概念，解答本题可从向量的定义、向量的模、相 等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假． 解析：(1)错误．由|a|＝|b|仅说明 a 与 b 模相等，但不能说明它们方向的关系． (2)错误.0 的模为零． (3)正确．对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的． (4)错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反即可，并不要求两个向量 AB― →、 CD―→必须在同一直线上． 答案：(3) 对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断， 对错误命题的判断只需举一反例即可．
思路点拨： (1)根据相等向量的定义， 已知起点， 只需根据方向和长度便可确定 b 的终点； (2)根据勾股定理先找到以 A 为一个端点且长为 5的线段，便可得 c.
瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
解：(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量 a 平行，且长度相等，如图中的 b 即为所 作． (2)c 向量如图．由平面几何知识可知，所有满足条件的向量 c 的终点的轨迹是以 A 为圆 心，半径为 5的圆． (1)准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据 向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长 (1)准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据 度和终点，三者缺一不可．
首页
上一页
下一页
末页
瞻前顾后
向量的表示方法
要点突破
典例精析
演练广场
【例 2】 在如图的方格纸上，已知向量 a，每个小正方形的边长为 1. (1)试以 B 为起点画一个向量 b，使 b＝a； (2)在图中画一个以 A 为起点的向量 c，使|c|＝ 5，并说出向量 c 的终点的轨迹是什么？ 思路点拨： (1)根据相等向量的定义， 已知起点， 只需根据方向和长度便可确定 b 的终点； (2)根据勾股定理先找到以 A 为一个端点且长为 5的线段，便可得 c.
向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长 度和终点，三者缺一不可． (2)起点相同，模也相同的向量的终点组成以该起点为圆心，模长为半径的圆．
首页
上一页
下一页
末页
ห้องสมุดไป่ตู้了 450 m 到达 C 点，最后又改变方向，向东走了 250 m 到达 D 点． 走了 450 m 到达 C 点，最后又改变方向，向东走了 250 m 到达 D 点． (1)作出向量 AB―→，BC― →，CD― →； (1)作出向量 AB―→，BC― →，CD― →；
首页
上一页
下一页
末页
瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
知识要点二：共线向量 1．共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所 在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义． 2．共线向量有四种情况：方向相同且模相等，方向相同且模不等，方向相反且模相等， 方向相反且模不等．这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相 等向量，而相等向量一定是共线向量． 3．理解 AB― →∥CD― →与 AB∥CD 的区别和联系． AB― →∥CD― →表示平行向量，也叫做共线向量，指向量 AB― →与 CD― →的方向相同 或相反，对应的有向线段所在的直线可以平行，也可以重合．AB∥CD 表示直线(或线段)AB 与 CD 互相平行，不能重合．
向量也可以用字母 a，b，c，„表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示， 如 AB―→，CD― →. 3．长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0；长度等于 1 个单位的向量，叫做单位向量． 4．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，如果向量 a 和 b 平行，记作 a∥b. 5．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；任一组平行向量都可以移动到同一直线 上，因此，平行向量也叫做共线向量．
(2)求 DA― →的模． 解：(1)如图所示． (2)由题意知，四边形 ABCD 为平行四边形， ∴|DA― →|＝|BC― →|＝450(m)． 末页 首页 下一页 上一页
瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
共线向量问题 【例 3】 如图所示， 是正六边形 ABCDEF 的中心， OA― O 且 →＝a， OB― →＝b， OC― → ＝c.
瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
首页
上一页
下一页
末页
瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
2．1 平面向量的实际背景及基本概念 2．1.1 向量的物理背景与概念 2．1.2 向量的几何表示 2．1.3 相等向量与共线向量
首页
上一页
下一页
末页
瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
首页
上一页
下一页
末页
瞻前顾后
要点突破