函数的表示法(一)
1.2.2函数的表示法课件人教新课标
的三种表示法表示函数 y f (x)
。
例2．（书P20）下表是某校高一（1）班三名 同学在高一年度六次数学测试的成绩及班级 平均分表。
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
王伟 张城 赵磊
班级 平均分
98 90 68 88.2
⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量 的函数关系
优点：不需要计算就可以直接看出与自变 量的值相对应的函数值.
⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之 间的关系.
优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相 应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通 过图象来研究函数的某些性质.
二．例题讲授：
例1（书P19）.某种笔记本的单价是5元，买 x
四、作业
P24 A组7、8、9 B组3、4 补充：作出分段函数
y 2x 1 x 2 (3 x 3)
的图像并求值域。
（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加 1元（不足5公里按5公里计算）． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题 意，写出票价与里程之间的函数解析式，并 画出函数的图象．
练习：
x 2(x 1)
1．在函数
f
(x)
x
2
(1
x
2)
中，若 f (x) 3
2x(x 2)
则x的值为 。
3x2 2 (x 0)
1.2.2 函数的表示法(一)
一、讲授新课：
函数的表示方法 ⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用 一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表 达式，简称解析式.
优点：一是简明、全面地概括了变量间的关 系；二是可以通过解析式求出任意一个自变 量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数 主要是用解析法表示的函数.
函数的表示法(一)
1.2.2 函数的表示方法（一）一 、学习目标1．掌握函数的三种主要表示方法2．能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系3．会画简单函数的图像学习重难点：图像法、列表法、解析法表示函数二 、 学习过程表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种. ⑴解析法：就是用 表示两个 之间的例如，s=602t ，A=π2r ，S=2rl π,y=a 2x +bx+c(a ≠0),y=2-x (x ≥2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的 .例如，某班学生的身高 单位：厘米数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.⑶图象法：就是用 表示两个变量之间的 关系.例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.三、例题讲解例1某种笔记本每个5元，买 x ∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y （元），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像例2 作出函数y=∣x ∣的图象例3 已知f （x ）= 22x x -，求f （1x -）的解析式三 、当堂检测1、画出函数ψ=∣ξ－2∣的图象2、已知f （x ）= 21x -， 求f （2x ）的解析式3、已知f （x+1）= 223x x ++，求f （x ）的解析式。
函数的表示法知识点总结
（B）2 或 5 2
（D）2 或 2 或 5 2
习题 3.
已知
f
(
x)
2x(x x 1(x
0) 0)
,若
f (a)
f (1) 0 ,则实数 a 的值等于________.
3.求分段函数自变量的取值范围
在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法是:先假设自变量的值在分段函
1 1
,
若
f 1 a f 1 a , 则 a 的 值 为
_________. 解:当1 a 1,即 a 0 时,1 a 1
∴ f 1 a 21 a a 2 a , f 1 a 1 a 2a 1 3a
几种常见的分段函数
1.取整函数 y x（ x表示不大于 x 的最大整数）.
其图象如图（1）所示.
y
3 2 1
–3 –2 –1 O –1
1 2 3x
–2
–3
值 值 1值 值 值 值 值 值 值 值
y
fx = x + 2
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1 O –1
12x
值 值 2值 值 值 值 值 值 值 值 值
数的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可.
例 3.
已知函数
f
(
x)
3x 2 2x 2
2x(x 1) 3(x 1)
,求使
f (x) 2 成立的 x 的取值范围.
解:由题意可得:
x 1
x 1
3x 2
2x
或 2
函数的表示方法_1
0
1
4
2
3
12
4
5
20
映射f:A→B，可理解为以下4点：
1、A中每个元素在B中必有唯一的象 2、对A中不同的元素，在B中可以有相同的象 3、允许B中元素没有原象 4、A中元素与B中元素的对应关系，可以 是：一对一，多对一，但不能一对多
例7 以下给出的对应是不是从集合A到B的映射?
(1)集合A=｛P|P是数轴上的点｝，集合B=R，对应关 系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
一般地，我们有：
设A、B是两个非空的数集，如果按照某种 确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数 x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那 么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
（function），记作：y=f(x)， x A
映射
设A,B是两个非空的集合，如果按某一个 确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一 个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与 之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集 合B的一个映射。
(2)集合A＝｛x|x是新华中学的班级｝，集合B＝｛x|x 是新华中学的学生｝，对应关系f：每一个班级都对 应班里的学生；
课后作业: 练习本B
由此可知，映射是函数的推广，函 数是一种特殊的映射。
A 求 正弦 B
1
30 0
2
45 02 2ຫໍສະໝຸດ 60 032
90 0
1
A 求 平方 B
3
9
-3
2
4
-2
1
1
-1
A 开 平方 B
3
9
-3
4
2
-2
1
1 -1
A 乘 以 2B
人教版高中数学必修一1.2.2函数的表示法 (1)ppt课件
例5、下列映射是不是A到B的一一映射？
A
B
A
B
f
1
3
f
1
3
2
5
3
7
5 2
7
3
9
4
9
4
1
(1)
(2)
解：（1） 是
（2） 不是。由于B中元素1在集合A中没有原像
例6、 下列对应是不是A到B的映射？ 1 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9} ，f:乘2加1 2 A=N+，B={0,1} ，f: x 除以2得的余数 3 A=R+，B=R，f:求平方根 4 A={x|0≤ x<1}，B={y|y≥1} f:取倒数
5 , 1 5 < x 2 0 , 2 1
图公交车票价.gsp
05
10
15
20
我们把上述两例中的函数叫做分段函数: 即分区间定义的函数. 分段函数的图象要分段作出!
注意: （1）有时表示函数的式子可以不止一个，对于分几个 表示的函数，不是几个函数，而是一个函数,我们把它 分段函数.
（2） 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、 线、离散的点等等。
注意：解析法表示函数是中学研究函数的主要表示方法;用 法表示函数时,必须注明函数的定义域.
2.图像法：用函数图像表示两个变量之间的对应关系。
如:心电图，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变 化的曲线，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.
例如： 我国人口出生率变化曲线：
图像法的优点： 能直观形象的表示出函数的变化情况。
(1)对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对
(2)对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数 (x,y)和它对应；
《函数的表示法》(第1课时)教学设计
函数的表示法（第1课时）教学设计一、内容和内容解析1.内容函数的表示法.2.内容解析在“对应关系”说的基础上建立了函数概念之后，随即而来的任务就是研究函数本身.而函数的呈现形式就是“函数的表示”问题.学习函数的表示，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须的，而且是加深理解函数概念，以及向学生渗透数形结合方法的过程.函数的表示法是在已有函数概念的基础上进行学习的，是对函数知识的深化.这部分内容也是函数内容的重要基础.本节的主要内容是在初中已经接触过函数的三种表示法——解析法、列表法和图象法的基础上，明确三种表示法各自的优点及适用对象；通过函数y=|x|引出分段函数的概念，并通过具体实例（例6）熟悉分段函数概念，掌握研究分段函数的一般思想和方法.基于以上分析，确定本节课的教学重点：使学生面对数学问题时，会根据不同的需要选择恰当的方法（解析法、列表法、图象法）表示函数；掌握分段函数概念.二、目标和目标解析1.目标（1）了解解析法、列表法、图象法各自的优点及适用对象；使学生面对数学问题时，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.（2）了解分段函数的概念，明确分段函数是一个函数，掌握研究分段函数的一般思想和方法.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）学生通过教科书第67页例4，以及之前的学习经验，能自主总结出解析法、列表法、图象法各自的特点；能举出具体实例说明三种表示法的适用情况.（2）学生能理解绝对值函数向分段函数的转化过程，通过具体实例体会分段函数是一个函数而不是几个函数.三、教学问题诊断分析学生在初中学习函数概念时，接触过函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法，但是对其并没有深入研究.尤其是在高中阶段“对应关系”说意义下重新建立了函数概念的基础上，函数的三种表示法又有怎样的特点呢？这就是本节课第一个教学问题.针对这一问题，教科书引入了一个实际问题，其本质为离散的一次函数模型，此问题三种表示法均适用，进而可直观地比较出三种表示法各自的特点.而后可根据不同表示法各自的适用范围，选择恰当的方法表示函数.三种表示法各自的特点清楚了，那么它们在研究具体函数问题时，是如何起到相应的作用的呢？于是教科书中举出了绝对值函数的例子（例5），从而引出了高中阶段非常重要的、实际问题中广泛应用的一类函数——分段函数.这是本节课第二个教学问题.通过例5、例6的学习，可让学生体会解析法、图象法在处理连续函数问题时的威力，同时也体现出研究函数的一个非常重要思想——数形结合.正所谓“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合研究函数是贯穿整个高中的思想方法.四、教学支持条件分析在研究绝对值函数（分段函数，例5）和最大值函数（例6）的过程中，可借助图形计算器、几何画板、Geogebra等技术工具画出函数图象，观察得出结论，体现信息技术在数学教学和学习过程中的辅助探究与检验作用.五、教学过程设计引导语：我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题1，2.列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题4.图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题3.这三种方法是常用的函数表示法.（一）函数的表示法问题1：某种笔记本的单价是5元，买x（x∈{1,2,3,4,5}）个笔记本需要y 元.（1）你能用函数的三种表示法分别表示函数y=f（x）吗？（2）比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？（3）所有函数都能用解析法表示吗？列表法与图象法呢？请你举出实例加以说明.师生活动：教师给出问题（1）后，让每位学生自己写出函数表达式、列表格、画图象，注意再次强调“研究函数，先看定义域”.之后让同桌互相核对结果，尤其注意函数图象是否为五个离散的点.然后出示问题（2），小组讨论，总结归纳三种表示法各自的优点，最后与教师一起总结出结论（可用PPT展示）：出示问题（3），找学生代表回答，例如可回答：不是，3.1.1的问题3、问题4就不能用解析法表示；3.1.1的问题1不能用列表法表示；3.1.1的问题4不能用图象法表示.答案均可从教科书中找到，如果学生理解了3.1.1的知识，回答此问题并不困难.设计意图：问题（1）是让学生回忆并熟悉三种表示法的具体呈现过程，并再次强调定义域的决定作用；问题（2）是为了让学生总结归纳三种表示法各自的优点，明确特征，方可合理运用；问题（3）是突出三种方法各自的局限性，从而在处理实际问题挑选方法时合理回避不需要的表示法.问题2：（教科书第69页练习1）如图，把直截面半径为25 cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为x（单位：cm），面积为y（单位：cm2），你能把y表示为x的函数吗？师生活动：学生阅读题目后，自主从三种表示法中选择恰当可行的方法解决此问题. 之后教师可利用多媒体手段将答案进行呈现，与其他同学一起点评结果.设计意图：考察学生对三种表示法的特点的理解与把握，以及在实际问题中选择恰当的表示法解决问题的能力.（二）分段函数问题3：（1）你了解函数y=|x|吗？（2）你会画函数y=|x|的图象吗？师生活动：教师出示问题（1），先让学生独立思考，之后可引导学生对不熟悉的绝对值函数y=|x|进行变形，去掉绝对值，转化成熟悉的一次函数，然后规范写法，写成分段函数形式.之后出示问题（2），学生即可很自然地画出相应图象.最后教师引入分段函数概念，强调分段函数是一个函数，而不是几个函数，并介绍其普遍性与应用价值；并总结思路：绝对值函数可转化为分段函数进行研究；对于分段函数的图象，只需分别画出每段的函数图象，并注意端点的开闭即可.教科书中对分段函数给出的是描述性定义，学生只需能判断什么样的函数是分段函数即可，不必纠结于分段函数的确切定义.追问：（教科书第69页练习2）有了问题3的基础，你会画函数y=|x-2|的图象吗？教师让学生自主研究，然后利用多媒体手段将典型作答图象投到屏幕上，叫同学回答解题过程，寻找问题所在，纠正错误，落实正确解题思路.对于中上等水平的班级，可根据时间情况，适当借助图形计算器、几何画板、Geogebra等技术工具，设计参数a，制作动态演示课件，介绍函数y=|x-a|的图象变化情况.设计意图：问题（1）是让学生从解析式入手，转化成熟悉的函数，为问题（2）解决画函数图象问题做铺垫，体现了转化与化归思想；问题（2）则是考查学生对图象法表示函数的掌握程度.追问是对问题3举一反三，考查学生的理解、掌握程度.师生活动：给学生充分画图的时间，有初中的基础，学生基本都可画出图3.1-4，然后对最大值函数M（x）做适当解读：当x每取一个值时，f（x）与g （x）各有唯一一个函数值与之对应，而M（x）对应的则是两个函数值中的较大者，由函数定义可知，M（x）是x的函数.当最大值函数解释清楚后，学生可很自然地对图3.1-4进行处理，得到图3.1-5所示的函数M（x）的图象；利用图象和解方程知识，学生一般可顺利求出M（x）的解析式.追问：你能用其他方法求出M（x）的解析式吗？先小组讨论，然后找有想法的同学分享思路，最终达成共识.设计意图：问题4是训练学生同时研究两个函数的能力，以及对新概念的分析理解能力，感受分段函数的另一种构造方式及其图象和解析式的求法，加深对分段函数的理解与运用.追问是引导学生从不同的角度分析问题，解决问题，进一步加深对分段函数的理解.问题5：（教科书第69页练习3）给定函数f（x）=-x+1, g（x）=（x-a）2,x ∈R（1）你能画出函数f（x）,g（x）的图象吗？师生活动：学生自主完成练习，然后找代表分享思路与结果.有了问题4的铺垫，学生对最小值函数的理解应比较到位，解决此问题会相对顺利.设计意图：创设熟悉的情境，提出类似的问题，对学生的知识与解题技能进行再巩固.（三）课堂小结、布置作业教师引导学生回顾本节课的学习内容，并引导学生回答下列问题：（1）函数的三种表示法分别是什么？其各自的特点是什么？（2）什么样的函数称为分段函数？分段函数是几个函数还是一个函数？（3）如何画分段函数的图象？师生活动：教师出示问题后，先由学生思考后再进行全班交流，最后教师再进行总结。
1.2.2 函数的表示法 第一课时 课件(人教A版必修1)
图象法
课前自主学习
课堂讲练互动
课后智能提升
典例剖析
题型一 函数的表示法
【例 1】 已知完成某项任务的时间 t 与参加完成 b 此项任务的人数 x 之间适合关系式 t＝ax＋ ，当 x＝ x 2 时，t＝100；当 x＝14 时，t＝28，且参加此项任务 的人数不能超过 20 人．
课前自主学习
课堂讲练互动
1 1 解析：令 ＝t，则 x＝ ，且 t≠0， x t 1 t ∴f(t)＝ ＝ (t＋1≠0)， 1 t＋1 1＋ t x ∴f(x)＝ (x≠0 且 x≠－1)． x＋1
x 答案： (x≠0 且 x≠－1) x＋1
课前自主学习
课堂讲练互动
课后智能提升
4．如图，函数 f(x)的图象是曲 线 OAB，其中点 O，A，B 的坐标 1 分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则 f f3 的值等于________．
课前自主学习
课堂讲练互动
课后智能提升
正解：∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4， 令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)， ∴f(x)＝x2－4(x≥2)． 纠错心得：采用换元法求函数的解析式时，一 定要注意换元后的自变量的取值范围．如本题中令t ＝x2＋2后，则t≥2.
高一数学函数的表示方法
函数的表示方法(一)1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法2、图像法：如果图形F 是函数)(x f y =的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法.3、如果在函数)(x f y =)(A x ∈中，)(x f 是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法4、讨论分别用a x -，a y -分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？5、讨论分别用x -，y -分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？6、讨论分别用ax ，by 分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？7、讨论分别用||x ，|)(|x f 分别替换函数)(x f y =中的x ，)(x f 以后函数的图像会发生哪些变化？8、试作出下列函数的图像： （1）43-+=x x y （2）11-=x y11、若)3()3(x f x f +=-，那么函数)(x f 的图像有何性质？ 12、)3(x f y -=与)3(x f +的图像之间有何关系函数的表示方法(二)1．例题：例1．（1）已知一次函数()f x 满足(0)5f =，图象过点(2,1)-，求()f x ；（2）已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ； （3）已知二次函数()F x ，其图象的顶点是(1,2)-，且经过原点，()F x ．例2．（1）已知2()43f x x x =-+，(1)f x +； （2）已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．例3．函数在闭区间[1,2]-例4．某人开汽车以60/km h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50/km h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路程()x km 表示为时间()t h （从A 地出发是开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速v /km h 表示为时间()t h 的函数，并画出函数的图象．例5．已知一个函数的解析式为22y x x =-，它的值域为[1,3]-，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数．2．练习：（1）练习：（1）已知2(3)21f x x =-，求()f x ； （答案：22()19f x x =-）（2）已知2211()1f x x xx-=++，求()f x ．（答案：2()3f x x =+）3．小结：1．已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法；它的基本步骤是：设出函数的一般式（或顶点式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数； 2．已知()f x 的解析式，求[()]f g x 时，把x 用()g x 代替；已知[()]f g x 的解析式，求()f x 时，常用配凑法或换元法；3．在解决实际问题时，求出函数解析式后，一定要写出定义域。
新教材人教版高中数学必修1 第三章 3.1.2 函数的表示法(一)
集合B { x, y | x R, y R}
对应关系f : 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应; (3)集合A={x|x是三角形}，集合B={x|x是圆} 对应关系f : 每一个三角形都对应它的内切圆; (4)集合A {x | x是新华中学的班级}, 集合B {x | x是新华中学的学生}, 对应关系f : 每一个班级都对应班里的学生.
f’：平面直角坐标系内的点跟它的坐标对应
f’ : E F
➢映射概念
非空集合、唯一确定的对应关系、任意x、唯一确定的y
1、下列对应中，能构成映射的有（
）
A
B
a1
b1
a2
b2
a3
b3
a4
b4
(1)
A
B
a1
b1 b2
a2
b3 b4
(4)
A
B
a1
b1
a2
b2
a3
b3
a4
b4
(2)
A
B
a1
b1
a2
b2
(5)
(3) f ( x) 2x2 3x 5
[0, )
(, 2) U(2, ) [ 31 , )
8
一、复习回顾
实例1：炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位:s)
变化的规律是 ： h=130t-5t2
解析法
实例2：南极上空臭氧空洞的面积从1979~2001年的变
化情况：
图象法
实例3：
列表法
二、基础知识讲解
A
B
a1
b1
a2
高一数学函数的表示法知识点
高一数学函数的表示法知识点导言：函数是数学中的一个重要概念，它描述了不同变量之间的关系。
在高一数学课程中，学生需要掌握函数的表示法知识点，包括函数的定义域、值域、图像等。
本文将从不同角度介绍这些知识点，以帮助读者更好地理解和应用函数的表示法。
一、函数的定义域：函数的定义域是指函数输入值的集合，也就是使函数有意义的取值范围。
在表示法上，常用的方式是用一个或多个不等式来描述定义域。
例如，对于一个简单的一次函数 y = 2x + 3，它的定义域可以表示为 x≥ -∞。
这意味着这个函数在实数集的所有值上都有定义。
但是，并不是所有函数都能在整个实数集上定义。
例如，一个分式函数 f(x) = 1 / (x - 2) 在定义域时需要排除使分母为零的情况，所以它的定义域可以表示为x ≠ 2。
这样，函数就在实数集中的所有值上有定义，除了 x = 2。
在求定义域时，我们还需要考虑根式函数的取值范围。
以一个简单的二次函数y = √x 为例，要使函数有意义，我们需要保证x ≥ 0，所以它的定义域可以表示为x ≥ 0。
二、函数的值域：函数的值域是函数输出值的集合，也叫做函数的取值范围。
在表示法上，我们可以用一个或多个不等式来描述值域。
例如，对于一个简单的一次函数 y = 2x + 3，它的值域可以表示为 y ∈ (-∞, +∞)。
这意味着这个函数在实数集的所有值上都有取值。
对于一个分式函数 f(x) = 1 / (x - 2)，我们可以通过分析分数的性质来确定它的值域。
当 x 趋近于正无穷时，分母接近于正无穷小，所以函数的值趋近于0。
同理，当x 趋近于负无穷时，函数的值也趋近于0。
因此，这个函数的值域可以表示为y ≠ 0。
三、函数的图像：函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示。
它反映了函数输入值和输出值的对应关系，帮助我们更直观地理解函数的性质。
在表示函数图像时，我们通常使用曲线来表示。
对于一个简单的一次函数 y =2x + 3，它的图像是一条直线。
函数的表示法
2023函数的表示法contents •函数的基本概念•函数的图像表示法•函数的表格表示法•函数的解析表示法•三种表示法的比较目录01函数的基本概念1函数的定义23函数是一种特殊的关系，它把输入值（或自变量）映射到输出值（或因变量）。
函数是一种关系函数定义了输入值和对应的输出值，即函数确定了输入值所对应的输出值。
函数定义了输入和输出函数通常由数学表达式表示，可以用于解决各种数学问题。
函数是数学表达式的组成部分符号表示法使用函数符号来表示函数，例如 $f(x) = x^2$ 表示一个函数，其中 $f$ 是函数符号，$x$ 是自变量，$x^2$ 是因变量。
表格表示法使用表格来表示函数，表格中列出输入值和对应的输出值。
图表示法使用图形来表示函数，图形的纵坐标表示输出值，横坐标表示自变量。
函数的表示方法函数的基本性质对于任意一个自变量，函数都有唯一确定的输出值与之对应。
确定性函数的输出值必须在一定范围内，即函数的值域是有界的。
有界性函数在一定区间内单调递增或单调递减，即因变量随自变量的增大（或减小）而增大（或减小）。
单调性对于任意两个自变量，如果它们的和也是自变量，那么函数的和等于两个自变量的和分别带入函数求得的结果的和。
可加性02函数的图像表示法首先确定函数的定义域，即自变量的取值范围。
函数图像的绘制确定函数定义域根据函数解析式，在坐标系中描点、连线，画出函数的图像。
画出函数图像检查所画图像是否符合函数解析式，确保准确性。
检查图像准确性图像的平移与伸缩图像的平移根据平移规则，将函数图像沿x轴或y轴方向移动一定距离。
图像的伸缩根据伸缩规则，将函数图像沿x轴或y轴方向放大或缩小一定倍数。
平移与伸缩的结合根据需要，可以将图像先平移再伸缩，或先伸缩再平移。
函数的奇偶性和周期性函数的奇偶性根据奇偶性定义，判断函数图像关于原点对称还是关于y轴对称。
函数的周期性根据周期性定义，判断函数图像是否具有重复出现的规律。
函数性质的应用了解函数具有的性质对解题和应用的帮助。
新教材北师大版必修第一册 第二章2.2函数的表示法1函数的表示法 课件(49张)
所以f(x)=- 1.
x
=-
x
,
3
xx
【补偿训练】
已知f(x)满足f(x)=2f ( 1 )+x,则f(x)的解析式为________.
x
【解析】因为f(x)=2f ( 1+) x,用
x
替1 换x得f
x
=( 12)f(x)+
x
,1
x
代入上式得f(x)= 2[2f x 1 ] x,
x
解得f(x)= 2 . x
【补偿训练】 某公共汽车,行进的站数与票价关系如表:
行进的 站数
票价
123456789 111222333
此函数的关系除了列表之外,能否用其他方法表示?
类型二 函数的图象及其应用(直观想象) 【典例】1.(2020·徐州高一检测)函数y= x2 的图象的大致形状是( )
x
2.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2). (1)画出f(x)图象的简图. (2)根据图象写出f(x)的值域. 【思路导引】1.分x>0,x<0两种情况作出判断. 2.先作出图象,再根据图象写值域.
【跟踪训练】 作出下列函数的图象并写出其值域. (1)y=-x,x∈{0,1,-2,3}. (2)y= 2 ,x∈[2,+∞).
x
【拓展延伸】关于图象变换的常见结论有哪些? 提示:(1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称. (2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称. (3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于点(0,0)对称. (4)y=f(|x|)是保留y=f(x)的y轴右边的图象,去掉y轴左边的图象,且将右边图象 沿y轴对折而成. (5)y=|f(x)|是保留y=f(x)的x轴上方的图象,将x轴下方的图象沿x轴对折且去掉 x轴下方的图象而成.
函数的表示法1(解析法)
数关系的方法叫做解析法.
问题二：股票问题
时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
收盘价 12 12.5 12.9 12.45 12.75
列表法: 用表格来表示两个变量之间函数
关系的方法叫做列表法.
问题三：气温问题
下图测温仪记录的图象，它反映了北京 的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化。
例2、按照我国税法规定,个人所得税的缴 付办法是:月收入不超过1600元,免交个人所 得税,超过1600元不超过5000元,超过部分需 缴纳5%的个人所得税;等等.
月收入 （元）
月缴付个 人所得税
1300
0
1600
0
1700
5
2000
20
2500
45
4500
145
(1)试写出月收入在1600元到5000元之间的个人所得 税 y(元)与月收入x(元)的函数解析式（x为精确到 0.01的正数)
T/℃ 8
04
14
24
图象法: 用图象来表示两个变量之间函数
关系的方法叫做列表法.
2、函数的表示法：
(1)解析法 (2)列表法 (3)图象法
解析法：
例1、学校为创建多媒体教学中心，备有资金 180万元，现计划分批购进电脑，每台电脑售 价6千元，求所剩资金与电脑台数之间的函数 解析式，并求出函数的定义域。
(2)求收入为3000元的职工每月需缴纳的个人所得税.
例3、一个等腰三角形的周长为10，设腰长 为x，底边长为y，求出y与x的函数关系式， 并求出函数的定义域．
例4、有长为60米的篱笆,围成一面靠墙的矩 形养鸡场(如图), 设矩形的宽为x米,试求矩形 养鸡场的面积S与x之间的函数关系式,并指出 函数的定义域.
函数的表示法
函数的定义 设A、B是非空的数集, 如果按照某都有唯一确定的数 f (x)与 之对应, 那么就把对应关系 f 叫作定义在集合A上的函数.
记作 f：A→B,或 y=f (x), x∈A.
其中x叫做自变量, x的取值范围A叫做函数的定义域, 与x的值相对应的 y [或 f (x)]值叫做函数值, 函数值的集 合｛y |y=f (x), x∈A｝叫做函数的值域.
二、例题与练习：
1.作函数的图像
x, x 0, 例1.请画出下面函数的图像：y x x, x 0.
解： 图像为第一和第二象限的角平分线，如图， y
1 o
1 2
x
x 4, 2 例2.已知函数 f ( x) x 2 x, x 2,
f f (5) f (3) 3 4 1.
( x 1) 2 , x 0, 练习1.已知函数 f ( x ) x 0. x, (2)画出函数的图像. (1)求 f f f 1 的值；
2.求函数的解析式 例3.国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应的邮资 如表.画出图像，并写出函数的解析式.
§2.2函数的表示法
一、函数的表示：
把函数的两个变量之间的函数关系, 用一个等式来表示, （1）解析法： 这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.
函数的表示法 （2）列表法： 列出表格来表示两个变量的函数关系. （3）图象法：用函数的图象表示两个变量之间的函数关系.
（1）函数关系清楚. 解析法的优点：（2）给自变量一个值,可求它的函数值. （3）便于研究函数的性质. 列表法的优点：不必计算,查表可得到自变量与函数的对应值. 图象法的优点：直观形象地表示出函数值随自变量的变化规律.
人教版高一数学课件-函数的表示方法(第1课时)
思考題：P25 B組 第3題
合A到集合B的一個映射。
2、映射與函數關係
函數一定是映射；映射不一定是函數！
函使映任數對射意：於是集集設函合合A數。、A的B中是推的函 什廣非任數 麼，空意與關即一數映係是個集將射呢數，函有？x如數，果中在按的集照兩合某個B中種數都確集有定推唯的廣一對為確應兩定關個的係f， 數f(x)和它對應，就稱f: A→B為從集合A到集合B的一個函數，
象法?
並非所有的函數都能用這三種方法來表示！
二、例題分析
例4、下表是某校高一（1）班三位同學在高一學年度 幾次數學測試的成績及班級平均分表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次源自王偉9887
91
92
88
95
張城
90
76
88
75
86
80
趙磊
68
65
73
72
75
82
班平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6
A：澄中所有學生組成的集合 f：學生找班級
f
A
B：澄中所有班級組成的集合
B
C：澄中106班同學組成的集合
g：學生找班級
g
C
D：澄中高一各班級組成的集合
D
數集 每一個數 唯一的數
集合 每一個元素 唯一的元素
➢映射概念
1、映射的概念
設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應 關係 f，使對於集合A中的任意一個元素 x，在集合B中都有 唯一確定的元素 y 與之對應，那麼就稱對應 f: A→B 為從集
f’：平面直角坐標系內的點跟它的座標對應
f’ : E F
1.2.2函数的表示法
例题剖析
例3 某种笔记本的单价是5元，买x（x{1,2,3,4,5}） 个笔记本需要y元。试用函数的三种表示法表示函数 y=(x)。 解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝用解 析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x{1,2,3,4,5}. 用列表法可将函数表示为 笔记本数x 钱数y 1 5 2 10 3 15 4 20 5 25
y 100
90 80
70
.
班♦ 平 均 分
■
▲
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ. . . .
▲
.
■ ▲
王伟
♦
▲
♦ ▲
■
■
♦
♦ 张城
▲ ■
■
♦
赵磊
60 0
1
2
3
4
5
6
x
例5 画出函数y=|x|的图象. 解：由绝对值的概念，我们有
y=
图象如下：
x, x≥0, -x, x<0.y
5
4 3 2
1 -3 -2 -1 0 1
2 3 x
有些函数在它的定义域中，对于自变量X的不同取值 范围，对应关系不同，这样函数通常称为分段函数。
第一次 第二次 王伟 张城 赵磊 班级平均分 98 90 68 88.2 87 76 65 78.3
第三次 91 88 73 85.4
第三次 92 75 72 80.3
第五次 88 86 75 75.7
第六次 95 80 82 82.6
y 100
90 80
70
.
班♦ 平 均 分
■
▲
. . . .
▲
应关系f，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这个
高一数学函数的常用表示方法(新编201908)
（1）解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间 的对应关系。（实例1）
（2）图象法：就是用图象表示两个两个变量之间 的对应关系。（实例2）
（3）列表法：就是列出表格来表示两个变量之间 的对应关系。（实例3）
例3 某种笔记本的单价是5元，买x x 1,2,3,4,5
个笔记本需要元。试用函数的三种表示法表示函数
解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝ 用解析法可将函数y=f(x)表示为
y 可将函数表示为
笔记本数x 1
钱数y
5
234 5 10 15 20 25
用图象法可将函数表示为下图
y
．
25
. 20 ． 15 ．． 10
5
012345
笔记本数x 1 2 3
x
45
钱数y
5 10 15 20 25
； /naotanby 小儿脑瘫病因 新生儿脑瘫病因 脑瘫出现的原因
；
无以立学徒 乃从南门出 照臣款诚 生焘 颍川韩元长 贼十余人皆披散 寻见释 乐浪公 彦之进军 义宣 索虏寇青州 又被免 如日之明 云动权豪之术 积旬不克 侍中太尉征东大将军直勤驾头拔 就渊求官 征守度支尚书 为乡邑所美 未及结竟 宣令宿卫曰 焘既获茂虔 虏掘破许昌城 乘舶举 帆 中军司马刘冲之白孝武 玄谟曰 不审可得在此诏不 卒 兼率如故 病卒 修之率众南定遗寇 不愿望风容贷 正足自灭耳 固非深矣 州都郡正 而其形甚丑 安都幢主周文恭晨往侦候 自非戎军所指 扬言虎走城西 下诏曰 於是难当将妻子奔索虏 代王尚屯姑臧 寻阳太守 先是 请在降减 乃 追徽为持节 击之以石 天子内镇群心 忧在未萌 泰始二年三月三日 於是遣使求和 曾祖侃 太祖元嘉四年 通《毛诗》六义及《礼论》 玄谟军众亦盛 遂居交趾 运当攀龙 元嘉
函数的表示法(一)
2021-2022学年高中数学必修一第3章3．1.2函数的表示法(一)学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息．知识点函数的表示方法思考函数三种表示法的优缺点？答案1．任何一个函数都可以用解析法表示．(×)2．任何一个函数都可以用图象法表示．(×)3．函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．(√)4．函数的图象一定是一条连续不断的曲线．(×)一、函数的表示方法例1某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．解(1)列表法：x/台12345678910 y/元 3 000 6 0009 00012 00015 00018 00021 00024 00027 00030 000(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．反思感悟应用函数三种表示方法应注意以下三点(1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系；(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．跟踪训练1由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于()x 12345y 4532 1A.1 B．2 C．4 D．5答案 B解析由题中表格可知f(1)＝4，所以f(f(1))＝f(4)＝2.二、求函数解析式例2求下列函数的解析式：(1)已知函数f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)；(2)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)．解(1)方法一(换元法)设t＝x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二(配凑法)∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f (0)＝1，∴c ＝1. 又∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 整理，得2ax ＋(a ＋b )＝2x .由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. 反思感悟 求函数解析式的常用方法(1)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f (g (x ))的解析式求f (x )的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g (x )＝t ，反解出x ，然后代入f (g (x ))中求出f (t )，从而求出f (x )．(2)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． 跟踪训练2 (1)已知f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2，则f (x )的解析式为________________． 答案 f (x )＝x 2－4(x ≥2)解析 因为f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2＝(x 2＋2)2－4， 令t ＝x 2＋2(t ≥2)，则f (t )＝t 2－4(t ≥2)， 所以f (x )＝x 2－4(x ≥2)．(2)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，则f (x )＝________. 答案 2x －13或－2x ＋1解析 因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又因为f (f (x ))＝4x －1，所以a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1. 所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.三、函数的图象例3 作出下列函数的图象． (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．解 (1)当x ∈[0,2]时，图象是直线y ＝2x ＋1的一部分．(2)当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x的一部分．(3)当－2≤x ≤2时，图象是抛物线y ＝x 2＋2x 的一部分．延伸探究 根据作出的函数图象求其值域． 解 观察图象可知： (1)中函数的值域为[1,5]． (2)中函数的值域为(0,1]． (3)中函数的值域为[－1,8]．反思感悟 作函数y ＝f (x )图象的方法(1)若y ＝f (x )是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．(2)若y ＝f (x )不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y ＝f (x )的图象．跟踪训练3 作出下列函数的图象： (1)y ＝1－x (x ∈Z )； (2)y ＝x 2－4x ＋3，x ∈[1,3]． 解 (1)因为x ∈Z ，所以图象为直线y ＝1－x 上的孤立点，其图象如图①所示． (2)y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， 当x ＝1,3时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝－1，其图象如图②所示．函数图象的应用典例(1)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．考点函数图象题点函数图象的应用答案[－2,4]∪[5,8][－4,3]解析函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．(2)若函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．考点函数图象题点函数图象的应用解f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象如图，f(x)的图象与直线y＝m有2个不同交点，由图易知－1<m≤3.[素养提升](1)函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．(2)借助几何直观认识事物的位置关系，形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养．1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于()x 123 4f (x )3 24 1A ．1B ．2C ．3D ．4 考点 函数的表示法 题点 函数的表示法 答案 A2．已知函数f (2x ＋1)＝6x ＋5，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝3x ＋2 B ．f (x )＝3x ＋1 C ．f (x )＝3x －1 D ．f (x )＝3x ＋4答案 A解析 方法一 令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.所以f (t )＝6×t －12＋5＝3t ＋2，所以f (x )＝3x ＋2.方法二 因为f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2， 所以f (x )＝3x ＋2.3．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是( )考点 函数图象题点 函数图象的判断与理解 答案 C 4．设函数f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( )A.1＋x 1－x(x ≠－1) B.1＋x x －1(x ≠－1) C.1－x 1＋x (x ≠－1) D.2x x ＋1(x ≠－1) 答案 C解析 令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t1＋t ，∴f (t )＝1－t1＋t，即f (x )＝1－x1＋x.5．已知二次函数f (x )的图象经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则函数f (x )的解析式为__________． 答案 f (x )＝－x 2－4x －1解析 设f (x )＝a (x ＋2)2＋3(a ≠0)， 由y ＝f (x )过点(－3,2)，得a ＝－1， ∴f (x )＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1.1．知识清单： (1)函数的表示方法． (2)求函数解析式． (3)函数的图象． 2．方法归纳：(1)待定系数法、换元法． (2)数形结合法．3．常见误区：求函数解析式时易忽视定义域．1．已知函数f (x －1)＝x 2－3，则f (2)的值为( ) A ．－2 B ．6 C ．1 D ．0 答案 B解析 令t ＝x －1，则x ＝t ＋1， ∴f (t )＝(t ＋1)2－3＝t 2＋2t －2， ∴f (2)＝22＋2×2－2＝6.2．已知函数y ＝f (x )的对应关系如表所示，函数y ＝g (x )的图象是如图的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2,1)，C (3,2)，则f (g (2))的值为( )x 1 2 3 f (x )23A.3 B ．2C ．1D ．0 答案 B解析 ∵g (2)＝1， ∴f (g (2))＝f (1)＝2.3．从甲市到乙市t min 的电话费由函数g (t )＝1.06·(0.75[t ]＋1)给出，其中t >0，[t ]为不超过t 的最大整数，则从甲市到乙市5.5 min 的电话费为( ) A ．5.04元 B ．5.43元 C ．5.83元 D ．5.38元 答案 A解析 依题意知g (5.5)＝1.06(0.75×5＋1) ＝5.035≈5.04，故选A.4．如果f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ，则当x ≠0,1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x －1 考点 求函数的解析式 题点 换元法求函数解析式 答案 B解析 令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ， 则有f (t )＝1t1－1t ＝1t －1，故f (x )＝1x －1.故选B.5．函数y ＝x1＋x的大致图象是( )考点 函数图象题点 求作或判断函数的图象 答案 A解析 方法一 y ＝x1＋x 的定义域为{x |x ≠－1}，排除C ，D ，当x ＝0时，y ＝0，排除B. 方法二 y ＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，由函数的平移性质可知A 正确．6．已知函数f (x )＝x －mx ，且此函数图象过点(5,4)，则实数m 的值为________．答案 5解析 将点(5,4)代入f (x )＝x －mx，得m ＝5.7．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x (kg)与其运费y (元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________kg.答案 19解析 设一次函数解析式为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入点(30,330)与点(40,630)得⎩⎪⎨⎪⎧330＝30a ＋b ，630＝40a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝30，b ＝－570.即y ＝30x －570，若要免费，则y ≤0，所以x ≤19.8．已知a ，b 为常数，若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝________. 答案 2解析 ∵f (x )＝x 2＋4x ＋3， ∴f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3 ＝a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3 ＝x 2＋10x ＋24，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，2ab ＋4a ＝10，b 2＋4b ＋3＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－7. ∴5a －b ＝2.9.如图所示，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V 以x 为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域．解 由题意可知该盒子的底面是边长为(a －2x )的正方形，高为x ， 所以此盒子的体积V ＝(a －2x )2·x ＝x (a －2x )2，其中自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a －2x >0，x >0，即0<x <a 2.所以此盒子的体积V 以x 为自变量的函数式为V ＝x (a －2x )2，定义域为⎝⎛⎭⎫0，a2. 10．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域． 考点 函数图象 题点 函数图象的应用解 函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ， 列表：x －1 0 1 3 y34描点，连线，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3， f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．11．若一次函数的图象经过点A (1,6)和B (2,8)，则该函数的图象还经过的点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫12，5 B.⎝⎛⎭⎫14，4 C ．(－1,3) D ．(－2,1)答案 A解析 设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则该函数的图象经过点A (1,6)和B (2,8)，得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝6，2k ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝4，所以此函数的解析式为y ＝2x ＋4，只有A 选项的坐标符合此函数的解析式．故选A.12．设函数f ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝2x ＋1，则f (x )的表达式为( ) A.1＋x1－x(x ≠1) B.1＋xx －1(x ≠1) C.1－x 1＋x (x ≠－1) D.2x x ＋1(x ≠－1) 答案 B解析 令1＋1x ＝t ，则t ≠1，∴x ＝1t －1，t ≠1，∴f (t )＝2t －1＋1＝1＋t t －1，t ≠1，∴f (x )＝1＋xx －1(x ≠1)，故选B.13．已知函数F (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且F ⎝⎛⎭⎫13＝16，F (1)＝8，则F (x )的解析式为________． 答案 F (x )＝3x ＋5x(x ≠0)解析 设f (x )＝kx (k ≠0)，g (x )＝m x (m ≠0，且x ≠0)，则F (x )＝kx ＋mx .由F ⎝⎛⎭⎫13＝16，F (1)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋3m ＝16，k ＋m ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，m ＝5，所以F (x )＝3x ＋5x(x ≠0)．14．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则满足f (g (x ))＝g (f (x ))的x 的值为________.x 1 2 3 4 f (x ) 1 3 1 3 g (x )3232考点 函数的表示法 题点 函数的表示法 答案 2或4解析 当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3. 当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝3. 当x ＝3时，f (g (3))＝f (3)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3. 当x ＝4时，f (g (4))＝f (2)＝3，g (f (4))＝g (3)＝3. 满足f (g (x ))＝g (f (x ))的x 的值只有2或4.15．已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，则f (x )的解析式是________． 考点 求函数的解析式 题点 方程组法求函数解析式 答案 f (x )＝－x ＋14解析 因为f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，①所以把①中的x 换成－x ，得f (－x )＋3f (x )＝－2x ＋1.② 由①②解得f (x )＝－x ＋14.16．某企业生产某种产品时的能耗y 与产品件数x 之间的关系式为y ＝ax ＋bx .且当x ＝2时，y＝100；当x ＝7时，y ＝35.且此产品生产件数不超过20件． (1)写出函数y 关于x 的解析式； (2)用列表法表示此函数，并画出图象．解 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝100与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝35代入y ＝ax ＋bx 中，得⎩⎨⎧2a ＋b2＝100，7a ＋b7＝35⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋b ＝200，49a ＋b ＝245⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝196.所以所求函数解析式为y ＝x ＋196x (x ∈N,0<x ≤20)．(2)当x ∈{1,2,3,4,5，…，20}时，列表：x 12345678910 y 19710068.35344.238.73532.530.829.6x 11121314151617181920 y 28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8。
1.2.2 函数的表示法第1课时 函数的表示法
1．2.2函数的表示法第1课时函数的表示法明目标、知重点了解函数的三种表示法的各自优点，掌握用三种不同形式表示函数.自主学习1．函数的三种表示法(1)解析法——用表示两个变量之间的；(2)图象法——用表示两个变量之间的；f x为纵坐标就得到一个点，当自变量取完定义（以自变量x为横坐标，以对应的函数值()域内所有值时，即可得到函数图像。
一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．）(3)列表法——列出来表示两个变量之间的．2．(了解)函数三种表示法的优缺点例题解析探究点一函数的表示方法例1某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．探究点二如何求函数的解析式例2已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，求f(x)．反思与感悟本题已知函数类型，故可用待定系数法求解．即设出函数关系式，代入已知条件，建立关于x的恒等式求解．跟踪训练2（1）已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)的解析式（2）已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式．例3已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式．反思与感悟利用换元法、配凑法求函数解析式时要注意新元的取值范围，即所求函数的定义域．跟踪训练3．已知f (1x )＝1x ＋1，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝11＋x B ．f (x )＝1＋x x C ．f (x )＝x 1＋xD ．f (x )＝1＋x 例4 已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x)＋x ，则f (x )的解析式为。
跟踪训练4：已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (－x )＋x ，则f (x )的解析式为。
函数的三种表示方法
函数的三种表示方法
函数是数学中一个非常重要的概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在数学中，函数可以用不同的方式来表示，下面我们将介绍函数的三种表示方法。
一、显式表示法。
显式表示法是指通过一个公式或者表达式来表示函数。
例如，函数y = 2x + 3就是一个显式表示法的函数。
在这个表示法中，我们可以直接通过公式或者表达式来计算函数在任意一点的取值，非常直观和方便。
二、参数方程表示法。
参数方程表示法是指用另外一个变量t来表示函数的自变量和因变量。
例如，对于圆的参数方程表示为x = rcos(t)，y = rsin(t)，其中r为圆的半径，t为参数。
这种表示方法在描述一些曲线、曲面等几何图形时非常方便，可以将复杂的曲线简化为参数方程的形式。
三、隐式表示法。
隐式表示法是指用一个方程来表示函数，其中自变量和因变量之间的关系并不是直接展现出来的。
例如，对于圆的隐式表示为x^2 + y^2 = r^2。
在这种表示方法中，函数的形式可能会比较复杂，但是在一些情况下，隐式表示法可以更好地描述函数的性质。
总结。
以上就是函数的三种表示方法，它们分别是显式表示法、参数方程表示法和隐式表示法。
每种表示方法都有着自己的特点和适用范围，选择合适的表示方法可以更好地描述和应用函数。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的表示方
法来进行分析和计算，从而更好地理解和利用函数。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
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典例分析
某市某条公交线路的总里程是20公里， 在这条线路上公交车“招手即停”， 其票价如下： （1）5公里以内（含5公里），票价2 元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价 增加1元（不足5公里按照5公里计算）.
表示 x1 , x2中较小的那个数，若f ( x) 2 x，
2
g ( x) x，求 min f ( x), g ( x)的最大值.
练习作业： 一、P23练习：1，2，3； (做在书本上)
二、自主作业
1 求 f ( ), f (1), f (6)的值. 2
巩固提升
n 2 (n 10, n N *) （2）设 f (n) f ( f (n 5))(n 10, n N *)
求 f (4) 的值.
巩固提升
（3）对于任意的实数 x1 , x2， min x1, x2
例1 设周长为20cm的矩形的一边长为xcm， 面积为Scm2,那么x与S的对应关系是否为函 数？若是,试用适当的方法表示出来.
S x(10 x), x (0,10)
例2 画出函数y=|x|的图象.
y
o
x
巩固提升
2 x 2 (1 x 0) 1 (0 x 2) （1）设 f ( x) x 2 3 ( x 2)
1.2.2
第一课时
函数的表示法
函数的表示法
自学检测
1.从集合与对应的观点分析，函数的定义 是什么？
2.函数有哪几种常用的表示法？ （1）解析法：用数学表达式表示两个变 量之间的对应关系； （2）图象法：用图象表示两个变量之间 的对应关系； （3）列表法：用表格表示两个变量之间 的对应关系.
上述三种表示法各有什么特点？ 解析法： （１）简单全面地概括了变量间的关系； （２）通过解析式可求出任意一个自变 量的值对应的函数值.
1:该函数用解析法怎样表示？ 里程与票价之间的对应关系是否为函 思考2: 数？若是，函数的自变量是什么？定义域是 什么？
ห้องสมุดไป่ตู้
解：设里程为x公里，票价为y元，则
2, 0 x 5, 3, 5 x 10, y 4,10 x 15, 5,15 x 20.
思考3:该函数用列表法怎样表示？
里程x （公里） 票价y （元） （0，5] （5，10] （10，15] （15，20]
2
3
4
5
思考4:该函数用图象法怎样表示？
y
5 4 3 2 1
O
5
10
15
20
x
分段函数：在函数的定义域内，对于自 变量x的不同范围的取值，函数有着不 同的对应关系.
理论迁移