2018届湖南省长郡中学高三第五次月考文科数学试题 及答案

湖南省长郡中学2018届高三第五次月考数
学文试题（word 版）
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，集合B={3，4}，则（)U A ðB= A ．{3}
B ．{4}
C ．{3，4}
D ．{2，3，4}
2．在复平面内，复数3 -4i ，i （2+i ）对应的点分别为A 、B ，则线段AB 的中点C 对应的复数为 A ．- 2+21 B ．2- 21 C ．-l 十i
D ．l-i
3．“m<14
”是“方程x 2
+x+m=0有实数解”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分
也不必要条件
4．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该 几何体的体积是 A ．108 cm 3
B ．100 cm 3
C ．92 cm 3
D ．84 cm
3 5．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =．'()f x 为 ()f x 的导函数，已知函数y='()f x 的图象如图所 示．若两正数a ，6满足(2)1f a b +<，则22
b a ++的取
值范围是
A ．（11,32）
B ．1,(3,)2⎛⎫
-∞⋃+∞ ⎪⎝
⎭
C ．（12
，3）
D ．(,3)-∞-
6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地
用三角函数cos (6)(1,2,3,,12)6
y a A x x π⎡⎤
=+-=⎢⎥⎣⎦
来表示，已知6
月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为 A ．20℃ B ．20．5℃ C ．21℃
D ．21．5℃
7．过双曲线
22
2
21(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点F （一c ，0）作圆
222x y a +='的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2
=4cx 于
点P ，若E 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为
A
B C 1 D 8．设函数
22221234()(8)(8)(8)(8)
f x x x c x x c x x c x x c =-+-+-+-+，集合
*127{|()0}{,,,}M x f x x x x N ===⊆ ，设c 1≥c 2≥c 3≥c 4，则c 1—c 4=
A ．11
B ．13
C ．7
D ．9
9．在△ABC 中，已知.9,sin cos .sin ,AB AC B A C ==
S △ABC =6，P
为线段
AB
上的一点，且..||||
CA
CB
CP x y CA CB =+
则11x y +的最小值为 A ．76
B ．
7
12
C
．
712．76
10．已知m∈R ，函数
221,1,()1(1),1,
x x f x og x x ⎧+<⎪=⎨
->⎪⎩,若函数
2()21(())g x x m y f g x m =+-=-有
6个零点，则实数m 的取值范围
是
A ．30,5⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．33,54⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．3,14⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．（1，3）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
11．已知实数z∈[0，10]，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于47概率为 。

12．在极坐标系中，圆2cos ρθ=与(0)3
πθρ=>所表示的图形的交
点的极坐标是____．
13．设b ，c 表示两条直线，,αβ表示两个平面，现给出下列命题：
①若b ⊂a ，c ∥a，则b ∥c； ②若b ⊂a ，b ∥c ，则c ∥a； ③若c∥α，β⊥βlp ，则c ⊥β; ④若c ∥a，c ⊥β，则a ⊥β．
其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号） 14．设x 为实数，[x]为不超过实数x 的最大整数，记{x}=x 一[x]，则{x}）的 取值范围为[0，1）．现定义无穷数列{a n }如下：a 1={a}，当a n ≠0
时，以11n n a a +⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
；当
a n =0时，
a n+1=0．当113
2
a <≤时，对任意的自然数n 都有a n =a ，则实数a 的值为____．
15．给机器人输入一个指令（m ，2m
+48）（m>0），则机器人在
坐标平面上先面向x 轴正方向行走距
离m ，接着原地逆时针旋转90°再面向y 轴正方向行走距
离2m
+ 48，这样就完成一次操作．机
器人的安全活动区域是：6
x y R
≤⎧⎨
∈⎩开始时机器人在函数()2x
f x =
图象上的点P 处且面向x ，轴正
方向，经过一次操作后机器人落在安全区域内的一点Q 处，且点Q 恰好也在函数()
f x 图象上，则向量
PQ
的坐标
是 ，
三、觯答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
设函数()f x =m ．n ，其中向量m=（2cos x ，1），n=（cos x ，
）
，x ∈R． （1）求()f x 的最小正周期与单调递减区间；
（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已
知()2,1,f A b ==△ABC 的面积为，求sin sin b c
B C ++的值．
17．（本小题满分12分）
某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：
（1）由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？并说明原因．
（2）据了解到，全小区节能意识强的人共有350人，估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人？
（3）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再从这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率．
18．（本小题满分12分）
平面图形ABB1A l C1C如图l所示，其中BB l C1C是矩形，BC=2，BB
1 =4，A1B1=A1C1
沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB l C1C，垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题．
（1）证明：AA1⊥BC；
（2）求AA1的长；
（3）求二面角A —BC —A 1的余弦值．
19．（本小题满分13分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>经过点3(1,)2M ，其离心率为1
2．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线1:(0,||2
l y kx m m k =+≠≤与椭圆C 相交于A ．B 两点，
以 线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点．求|OP|的取值范围．
20．（本小题满分13分）
一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数n ≥5）：第一行是以4 为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的 和，例如：f （2，1）=f （1，
1）+f （1，2）；f （i ，j ）为数表中第i 行的第j 个数． f （l,1） f （1,2） … f （l,n-l ） f （l ，n ） f （2,1） f （2,2） … f （2,n-l ） f （3，1） … f （3，n-2） …… f （n ，1）
（1）求第2行和第3行的通项公式f （2，j ）和f （3，j ）； （2）证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求f '（i ，1） 关于：i （i=1，2，…，n ）的表达式；
（3）若1
(,1)(1)(1),1
i i i i f i i a b a a =+-=
+，试求一个等比数列g （i ）（i=1，
2，…n ），使得121(1)(2()3
n n S b g b g b g n =+++< ，且对于任意的
11
(,)43
m ∈均存在实数λ，当n λ>时，都有
S n >m ．
21．（本小题满分13分） 已知函数2
()1f x nx x =+
（1）若函数g （x ）=()f x 一ax 在其定义域内为增函数，求实数a 的取值范围； （2）在（1）的条件下，若31,()3,[0,12]
x x a h x e ae x n >=-∈，求h
（x ）的极小值；
（3）设2()2()3()F x f x x kx k R =--∈，若函数F （x ）存在两个零点m ，n （0<rn<n ），且2x 0=m+n ．问：函数F （x ）在点（x 0，F （x 0））处的切线 能否平行于x 轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由，。