解斜三角形

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解斜三角形方法

解斜三角形（导学案）§1．1．1正弦定理课堂学习目标：1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2．会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

知识梳理：1．内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -cos 2A B +=sin 2C 2. 面积公式: （1）1()2a a S a h h a = 表示边上的高；（2）111sin sin sin ()2224abc S ab C ac B bc A R R====为外接圆半径；（3）1()()2S r a b c r =++为内切圆半径。

3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === 形式二：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; sinA=2a R ,sinB=2b R ,sinC=2c R; 形式三：a:b:c=sinA: sinB: sinC; 和 sin sin sin sin a b c a A B C A ++=++ 二、基础检测：1. 在ABC ∆中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=30 4,a b ==，那么满足条件的ABC ∆ （ B ）A 、有一个解B 、有两个解C 、无解D 、不能确定2、在C ∆AB 中，已知8a =，60B = ，75C = ，则b 等于（）A ．B ．C ．D ．323 3、在C ∆AB 中，5a =，3b =，120C = ，则sin sin A B的值是（） A ．53 B ．35 C ．37 D ．574、在C ∆AB 中，若2sin b a =B ，则A 等于（）A ．30 或60B ．45 或60C ．60 或120D ．30 或1505、在C ∆A B 中，若()()()cos cos cos 1C C A-B ⋅B-⋅-A =，则C ∆A B 的形状是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．顶角为120 的等腰三角形6、一个三角形的两个内角分别为30 和45 ，如果45 角所对的边长为8，那么30 角所对的边长是（）A ．4B ．C ．D ．7、在C ∆AB 中，1a =，b =30A = ，则B 等于（）A ．60B ．60 或120C ．30 或150D ．1208、在C ∆AB 中，45B = ，60C = ，1c =，则最短边的长等于（）A ．B ．C ．12D 9、在C ∆AB 中，若sin cosa b A B=，则B 的值为（）A ． 30B ． 45C ． 60D ． 9010、在C ∆AB 中，6=a ，30B = ， 120=C ，则C ∆AB 的面积是（）A ．9B ．18C ．39D ．31811、在C ∆AB 中，若60A = ，16=b ，此三角形面积3220=S ，则a 的值是（）A ．620B ．75C ．51D ．4912、在C ∆AB 中，若12+=+c b ，45C = ，30B = ，则（）A ．2,1==c bB ．1,2==c bC ．221,22+==c b D ．22,221=+=c b13、在C ∆AB 中，60A = ，a =4b =，那么满足条件的C ∆AB （）A ．不存在B ．唯一存在C ．有2个D ．不确定14、在C ∆AB 中，若60A = ，a =sin sin sin a b cC ++A +B +等于（）A ．2B ．12C D15、在C ∆AB 中，60A = ，1b =，C S ∆AB ，则sin sin sin a b c C++=A+B+（）A ．3B ．3C ．3D ．16、在C ∆AB 中，若cos cos cos a b c C ==A B ，则C ∆AB 是（） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形17、在C ∆AB 中，若::1:2:3C A B =，则::a b c =________________．18、在C ∆AB 中，2a =，b =4πA =，则B =______________．19、在C ∆AB 中，已知12a b +=，60A = ，45B = ，则a =_________，b =________．20、在C ∆AB 中，已知a =2b =，60A = ，则这样的三角形有_______个．21、在C ∆AB 中，已知12C B =，60A = ，45B = ，则C A = _．22、在C ∆AB 中，已知8a =，6b =，且C S ∆AB =C =________．23、在C ∆AB 中，已知a =4b =，30A = ，则sin B =________． 24、在C ∆AB 中，周长为7.5cm ，且sin :sin :sin 4:5:6C A B =，下列结论：①::4:5:6a b c =；②::a b c =；③2a cm =， 2.5b cm =，3c cm =；④::4:5:6C A B =．其中成立的序号依次是___________．25、在C ∆AB 中，已知10c =，45A = ，30C =，求a ，b 和B ．26、C ∆AB 中，c =45A = ，a =b 和B 、C ．三、典例分析：1. 在ΔABC 中，（1）若o ,求a 及C 的值；（2）若A=600，a=7,b=5,求边C 。

(完整版)解斜三角形

解斜三角形一、基本知识 1. 正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 是△ABC 外接圆半径） 2.余弦定理A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+=bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=3. C ab S ABC sin 21=∆ r c b a S ABC)(21++=∆（r 是△ABC 内接圆半径） 4. 重要结论（1） C B A sin )sin(=+C B A cos )cos(-=+ C B A tan )tan(-=+（2） 2cos 2sinCB A =+ 2sin 2cos C B A =+（3） =++C B A tan tan tan C B A tan tan tan ••5. 考题分类题型一: 求解斜三角形中的基本元素题型二：判断三角形的形状题型三：解决与面积有关问题题型四：三角形中求值问题题型五：实际应用二、例题解析【例1】已知△ABC 中，,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-外接圆半径为2，求角C 。

分析：由,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-得Rbb a Rc R a 2)()44(222222-=- 由于，2=R ，代入并整理，得ab c b a =-+222所以，2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 所以，3π=C 。

【例2】设ABC ∆的内角..A B C 所对的边分别为..a b c ，已知11. 2.cos .4a b C === （Ⅰ）求ABC ∆的周长（Ⅱ）求()cos A C -的值本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===c C a A ∵b a <，∴B A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 【例3】在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若AB，求BC 边的长解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin 17A =．sin sin AB BC C A=，sin sin A BC AB C∴=⨯= 例4 根据下列条件判断三角形ABC 的形状：(1)若22tan tan a B =b A ；(2)b 2sin 2C + c 2sin 2B =2bc cos B cosC ;解（1）由已知及正弦定理得(2RsinA)2B cos B sin = (2RsinB)2⇒Acos A sin 2sinAcosA=2sinBcosB ⇒sin2A=sin2B ⇒2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90o或 A – B=0所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 解（1）由正弦定理得sin 2Bsin 2C=sinBsinCcosBcosC∵ sin B sin C ≠0, ∴ sin B sin C =cos B cos C , 即 cos(B + C )=0, ∴ B + C =90o, A =90o, 故△ABC 是直角三角形.【例5】如图，海中小岛A 周围20海里内有暗礁，一船向南航行，在B 处BC测得小岛A 在船的南偏东30º；航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东60º。

01解斜三角形

第一讲解斜三角形【知识要点归纳】公式公式变形功能正弦定理余弦定理三角形内角和定理锐角三角函数【经典例题】例1 解下列三角形（1）已知在△104530ABC c A C a b B ==°=°中，，，，求，和（2）在△601ABC b B c a A C =°=中，，，求和，（3）△452ABC c A a b B C ==°=中，，，求和，例2 解下列三角形（1）△45ABC a c B b A ===°中，，求和（2）（2009年广东文）已知△ABC 中，A B C ∠∠∠，，的对边分别为a b c ，，若a c ==且75A ∠=D ，则b = （）A ．2B ．4＋C ．4—D 例3 如图，某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y =A sin ωx （A >0， ω>0） x ∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S （3，；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP =120° （I ）求A ， ω的值和M ，P 两点间的距离；（II ）应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？例 4 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b −=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b例5 设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+−B C A ,ac b =2，求B.例6 △ABC 中，A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，sin sin tan cos cos A BC A B+=+，sin()cos B A C −=.（1）求,A C ；（2）若3ABC S Δ=+，求a c ，.例7 根据已知条件，判断下列三角形的形状（1）b cos A ＝a cos B（2）sin B ·sin C ＝cos 22A（3）（a +b +c ）（a +b －c ）=3ab ，且2cos A sin B =sin C【课堂练习】1在△ABC 中，若a 2＞b 2+c 2，则△ABC 为__________；若a 2=b 2+c 2，则△ABC 为__________；若 a 2＜b 2+c 2且b 2＜a 2+c 2且c 2＜a 2+b 2，则△ABC 为__________ 2在△ABC 中，sin A =2cos B sin C ，则三角形为__________ 3. 如右图，△ABC 三个顶点坐标为（6，5）、（－2，8）、（4，1），求cos A4.在△ABC 中，证明下列各式：（1）（a 2－b 2－c 2）tan A ＋（a 2－b 2＋c 2）tan B ＝0（2）.112cos 2cos 2222ba b B a A −=− 5. 在△ABC 中，BC =a ， AC =b ，a ，b 是方程02322=+−x x 的两个根，且2cos （A +B ）=1求：（1）角C 的度数（2）AB 的长度（3）△ABC 的面积6.（2010辽宁文数）在△ABC 中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，是判断△ABC 的形状.7.（2010浙江文数）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝4（a 2＋b 2－c 2）. （Ⅰ）求角C 的大小;（Ⅱ）求sin A ＋sin B 的最大值. 8.（2010天津文数）在△ABC 中，cos cos AC BAB C=. （Ⅰ）证明B =C ；（Ⅱ）若cos A =－13，求sin 43B π⎛⎞+⎜⎟⎝⎠的值.答案：1、钝角三角形，直角三角形，锐角三角形2、等腰三角形3、解法一：∵ |AB | ＝73)85()]2(6[22=−+−−|BC | ＝85)18()42(22=−+−−|AC | ＝52)15()46(22=−+−ACAB BCAC AB A ⋅−+=2cos 222=3652∴ A ≈84°解法二：∵ ＝（–8，3），＝（–2，–4）∴ cos A ＝AC AB ⋅•=36525273)4(3)2()8(=×−×+−×−，∴ A ≈84° 4、证明：（1）左边＝（a 2－b 2－c 2）BBc b a A A cos sin )(cos sin 222+−+ 右边==+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−++−+−+−=−+⋅⋅+−+−+⋅⋅−−=0)11()(2222)(22)(222222222222222222222222Rabcb c a b c a a c b a c b R abc b c a ac R b cb a ac b bc R a c b a 故原命题得证（2）22222222222222222212sin 12sin 112sin 2sin ((2)sin (2)sin 112211(2)(2)A B a b A B a b R A R B a b R R a b −−=−=−−+=−−+=−=左边右边故原命题得证　5、解：（1）cos C =cos[π−（A +B ）]=−cos （A +B ）=−21∴C =120°（2）由题设：⎩⎨⎧=−=+232b a b a∴AB 2=AC 2+BC 2−2AC •BC •cos C D120cos 222ab b a −+=ab b a ++=22102)32()(22=−=−+=ab b a 即AB =10（3）S △ABC =2323221120sin 21sin 21=⋅⋅==D ab C ab 6、7、解：（Ⅰ）由题意可知12ab sinC=4，2ab cosC.所以tan C .因为0<C <π，所以C=π3. （Ⅱ）解：由已知sin A +sin B =sin A +sin （π-C -A ）=sin A +sin （2π3-A ）=sin A +2A +12sin A （A +π6）.当△ABC 为正三角形时取等号，所以sin A +sin B .8、证明：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin sin B C =cos cos BC.于是sin B cos C －cos B sin C =0，即sin （B －C ）=0.因为B C ππ−<−<，从而B －C =0.所以B =C .解：（Ⅱ）由A +B +C =π和（Ⅰ）得A =π－2B ，故cos2B =－cos （π－2B ）=－cos A =13.又0<2B <π，于是sin2B =3.从而sin4B =2sin2B cos2B =9，cos4B =227cos 2sin 29B B −=−.所以sin(4sin 4coscos 4sin33318B B B πππ−+=+=。

解斜三角形(余弦定理)

解斜三角形
余弦定理
赵臻
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正弦定理：
a b s in B c s in C
s in A
利用正弦定理，可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两角及任意一边，求其他两边及一角。 (2)已知两边及其一边的对角，求其他两角及一边。
小练习
在 △ A B C 中 ,已知 a 求 c、 A、 C 。
练习
在 △ ABC中， (1 ) 已知 a 2 0 ， b 2 9 ， c 2 1，求 B ; ( 2 ) 已知 a 2， b 2， c
2 2
3 1，求 A 、 B 、 C .
2
(2) (1) 解：
cos B A
2 a2 b2 b c a

2 2
a 2bc
2 2
2 2
2
2
a b 2 a bco s B C a c b cos 2ac
2 2
2 2
2
用三角形的三条边分别表示三个内角的余弦。
(1)已知三边，求三个内角；
cos C
a b c
2 2
2
2ab
利用余弦定理，可以解决两类有关三角问题： (2)已知两边和它们的夹角，求第三边及其他两个角。
解斜三角形
已知两角及任意一边，求其他两边及一角； a b c
已知两边及其中一边的对角，求其他两角及一边；
已知三边，求三个内角；余弦定理
cos A cos B cos C b c a
2 2 2
正弦定理

s in A
s in B
s in C
2bc
2 2 2 2 2 2 已知两边和它们的夹角，求第三边及其他两个角。 a b c 2bc cos A a c b

答案高一数学下析及解斜三角形解析及

高一数学下第5章《解斜三角形》解析及答案巩固基础一、自主梳理1.正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA,b 2=a 2+c 2-2accosB,cosA=bc a c b 2222-+.3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB,S △=))()((c S b S a S S ---=Sr(S=2cb a ++,r 为内切圆半径)=R abc4(R 为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos 2C =sin 2BA +,sin 2C =cos 2BA +……在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.7.解三角形常见的四种类型(1)已知两角A 、B 与一边a,由A+B+C=180°及A a sin =B b sin =C c sin ，可求出角C ，再求b 、c.(2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2-2bccosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C. (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C.(4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理A a sin =B bsin ，求出另一边b 的对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由A a sin =C c sin 求出C ，而通过A a sin =B bsin 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.二、点击双基1.在△ABC 中，A=60°，a=433,b=42，则B 等于( )A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对解析：sinB=a A b sin =342324 =22,又∵b<a,∴B<A.∴0°<B<60°.故B=45°.答案：C2.△ABC 中，a=2bcosC ，则此三角形一定是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形解析：由正弦定理得sinA=2sinBcosC, 即sin(B+C)=2sinBcosC. ∴sin(B-C)=0.又∵-π<B -C<π，∴B-C=0. 答案：A3.设A 是△ABC 最小内角，则sinA+cosA 的取值范围是( )A.(-2，2)B.［-2,2］C.(1，2)D.(1,2］解析：∵0°<A≤60°,∴45°<A+45°≤105°. ∴sinA+cosA=2sin(A+45°)∈(1,2］. 答案：D4.(2006山东潍坊检测)在△ABC 中，cos 22A =c cb 2+(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC的形状为( )A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析：∵cos 22A =2cos 1A +,∴2cos 1A +=c c b 2+,即cosA=c b.又∵cosA=bc a c b 2222-+,∴c b =bc a c b 2222-+,即a 2+b 2=c 2.∴△ABC 为直角三角形.故选B.答案：B5.已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则∠A=_________________________.解析：由已知得(b+c)2-a 2=3bc,∴b 2+c 2-a 2=bc.∴bc a c b 2222-+=21.∴∠A=3π.答案：3π训练思维6、△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c,如果a 2=b(b+c),求证:A=2B.剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角,二是角化边. 证明：用正弦定理,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入a 2=b(b+c)中,得 sin 2A=sinB(sinB+sinC)⇒sin 2A-sin 2B=sinBsinC⇒22c o s 1A --22cos 1B-=sinBsin(A+B) ⇒21(cos2B-cos2A)=sinBsin(A+B)⇒sin(A+B)sin(A-B)=sinBsin(A+B).因为A 、B 、C 为三角形的三内角,所以sin(A+B)≠0.所以sin(A-B)=sinB.所以只能有A-B=B,即A=2B. 讲评：利用正弦定理,将命题中边的关系转化为角间关系,从而全部利用三角公式变换求解.链接·聚焦7、(1)该题若用余弦定理如何解决?解：利用余弦定理,由a 2=b(b+c),得 cosA=bc a c b 2222-+=bc c b b c b 2)()(22+-+=b b c 2-,cos2B=2cos 2B-1=2(ac b c a 2222-+)2-1=222)(2)(c c b b c c b ++-1=b bc 2-.所以cosA=cos2B.因为A 、B 是△ABC 的内角,所以A=2B.(2)该题根据命题特征,能否构造一个符合条件的三角形,利用几何知识解决?解：由题设a 2=b(b+c),得c b a+=a b , ①做出△ABC,延长CA 到D,使AD=AB=c,连结BD.①式表示的即是DC BC =BC AC,所以△BCD ∽△ABC.所以∠1=∠D.又AB=AD,可知∠2=∠D,所以∠1=∠2. 因为∠BAC=∠2+∠D=2∠2=2∠1, 所以A=2B.讲评：近几年的高考题中,涉及到三角形的题目,重点考查正弦、余弦定理,考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.8、（2004全国高考卷Ⅱ）已知锐角△ABC 中,sin(A+B)=53,sin(A-B)=51.(1)求证:tanA=2tanB; (2)设AB=3,求AB 边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式,结合图形,以(1)为铺垫,解决(2).(1)证明：∵sin(A+B)=53,sin(A-B)=51,∴B A B A B A B A B A B A B A tan tan 51cos cos 52cos sin 51sin cos cos sin 53sin cos cos sin ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=2.∴tanA=2tanB.(2)解：2π＜A+B ＜π,∴sin(A+B)=53.∴tan(A+B)=-43,即B A B A tan tan 1tan tan -+=-43.将tanA=2tanB 代入上式整理得2tan 2B-4tanB-1=0,解得tanB=262±(负值舍去).得tanB=262±,∴tanA=2tanB=2+6.设AB 边上的高为CD,则AB=AD+DB=A CD tan +B CDtan =623+CD .由AB=3得CD=2+6,∴AB 边上的高为2+6.讲评：本题主要考查三角函数概念,两角和与差的公式以及应用,分析和计算能力.9、如图，有两条相交成60°角的直路EF 、MN ，交点是O.起初，阿福在OE 上距O 点3千米的点A 处；阿田在OM 上距O 点1千米的点B 处.现在他们同时以4千米/时的速度行走，阿福沿EF 的方向，阿田沿NM 的方向.(1)求起初两人的距离；(2)用包含t 的式子表示t 小时后两人的距离； (3)什么时候他们两人的距离最短？解：(1)∵AB 2=OA 2+OB 2-2OA·OBcos60°=7, ∴起初他们两人的距离是7千米.(2)设他们t 小时后的位置分别是P 、Q ，则AP=4t,BQ=4t. 下面分两种情况讨论:当0≤t≤43时，PQ 2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°. ① 当t>43时，PQ 2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120°. ②由①②综合得PQ 2=48t 2-24t+7,即PQ=724482+-t t .(3)∵PQ 2=48t 2-24t+7=48(t-41)2+4,∴当t=41时，即在第15分钟时他们两人的距离最短.链接·拓展本题还可以转化为坐标运算，从而避免分类讨论.提示：以O 为坐标原点，OE 所在直线为x 轴建立坐标系，则t 时刻P(3-4t,0),Q(21(1+4t), 23(1+4t)).状元训练复习篇10.在△ABC 中，下列三式AB ·>0,BA ·>0,·>0中能够成立的不等式个数( )A.至多1个B.有且仅有1个C.至多2个D.至少2个解析：原条件可转化为cosA>0,cosB>0,cosC>0.而A 、B 、C 是三角形的内角，∴A+B+C=π最多一个钝角. 答案：D11.在△ABC 中，a=80,b=100,A=45°，则此三角形解的情况是( )A.一解B.两解C.一解或两解D.无解解析：∵bsinA=502,∴a>bsinA. 答案：B12（理）在△ABC 中，若A=60°,b=1,S △ABC =3，则C B A c b a sin sin sin ++++的值为( ) A.3326 B.3392 C.339 D.3313解析：∵S △ABC =21bcsinA,∴51bcsinA=3.∴c=4.∴a 2=b 2+c 2-2bccosA=13.∴a=13.∴C B A c b a sin sin sin ++++=A asin =3132=3392.答案：B13、(文)(2004浙江高考)在△ABC 中,“A ＞30°”是“sinA ＞21”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中,A ＞30°⇒0＜sinA ＜1sinA ＞21;sinA ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°.答案：B14.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c,若三角形的面积S=41(a 2+b 2-c 2),则∠C 的度数是_______________________.解析：由S=41(a 2+b 2-c 2)得21absinC=41·2abcosC.∴tanC=1.∴C=45°.答案：45°15.在△ABC 中,若∠C=60°,则c b a ++c a b +=____________________. 解析：c b a ++c a b+=))((22c a c b bc b ac a +++++=222c bc ac ab bcac b a ++++++. (*)∵∠C=60°,∴a 2+b 2-c 2=2abcosC=ab.∴a 2+b 2=ab+c 2.代入(*)式得22c bc ac ab bcac c ab ++++++=1.答案：116.在△ABC 中，c=22,a>b,∠C=4π,且有tanA·tanB=6,试求a 、b 以及此三角形的面积.思路分析：由已知可求出tanA+tanB,这样便可求得tanA 和tanB 的值，只要求出sinA 、sinB 利用正弦定理可求得a 、b.解：∵tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB) =-tanC(1-tanAtanB)=-tan 4π(1-6)=5,又∵tanA·tanB=6且a>b,则tanA>tanB.∴tanA=3,tanB=2.而0<A<2π,0<B<2π,∴sinA=10103,sinB=552.由正弦定理得a=C A c sin sin =5106,b=C Bc sin sin =2255222∙=558,S △ABC =21absinC=524.17.(2006北京海淀模拟)(理)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin 2C=3cosC,c=7,又△ABC 的面积为233.求：(1)角C 的大小； (2)a+b 的值.解：(1)由已知得2(1-cos 2C)=3cosC,cosC=21或cosC=-2(舍),在△ABC 中，C=60°.(2)∵S △ABC =21absinC=233,∴21absin60°=233.∴ab=6.又∵c 2=a 2+b 2-2abcosC, ∴(7)2=a 2+b 2-2abcosC. ∴a 2+b 2-ab=7.∴a 2+b 2=13.∴a+b=ab b a 222++=1213+=5.18(文)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为233,且c=7,3cosC-2sin 2C =0.求：(1)角C 的大小； (2)a 、b 的值.解：(1)由已知得2(1-cos 2C)=3cosC,cosC=21或cosC=-2(舍),在△ABC 中，C=60°.(2)∵S △ABC =21absinC=233,∴21absin60°=233.∴ab=6.又∵c 2=a 2+b 2-2abcosC, ∴(7)2=a 2+b 2-2abcosC. ∴a 2+b 2-ab=7.∴a 2+b 2=13.∴a+b=ab b a 222++=1213+=5.∴a=2,b=3或a=3,b=2.加强篇19、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,依次成等比数列，求y=BB Bcos sin 2sin 1++的取值范围. 解：∵b 2=ac,∴cosB=ac b c a 2222-+=ac acc a 222-+ =21(c a +a c )-21≥21.∴0＜B≤3π,y=B B Bcos sin 2sin 1++=B B B B cos sin )cos (sin 2++=sinB+cosB=2sin(B+4π).∵4π＜B+4π≤127π,∴22＜sin(B+4π)≤1.故1＜y≤2.20.(全新创编题)某城市有一条公路,自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB,现要修建一条铁路L,L 在OA 上设一站A,在OB 上设一站B,铁路在AB 部分为直线段,现要求市中心O 与AB 的距离为10 km,问把A 、B 分别设在公路上离中心O 多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.(不要求作近似计算)解：在△AOB 中,设OA=a,OB=b. 因为AO 为正西方向,OB 为东北方向, 所以∠AOB=135°.则|AB|2=a 2+b 2-2abcos135°=a 2+b 2+2ab≥2ab+2ab=(2+2)ab,当且仅当a=b 时,“=”成立.又O 到AB 的距离为10,设∠OAB=α,则∠OBA=45°-α.所以a=αsin 10,b=)45sin(10α-︒,ab=αsin 10·)45sin(10α-︒=)45sin(sin 10α-︒∙ =)sin 2222(sin 100ααα-=)2cos 1(42sin 42100αα--=2)452sin(2400-︒+α≥22400-, 当且仅当α=22°30′时,“=”成立.所以|AB|2≥22)22(400-+=400(2+1)2,当且仅当a=b,α=22°30′时,“=”成立.所以当a=b='3022sin 10︒=10)22(2++时,|AB|最短,其最短距离为20(2+1),即当AB 分别在OA 、OB 上离O 点10)22(2++km 处,能使|AB|最短,最短距离为20(2-1).教学参考一、教学思路1.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径：(1)化边为角；(2)化角为边.具体有如下四种方法：①通过正弦定理实施边角转换；②通过余弦定理实施边角转换；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数有界性的讨论.2.用正弦(余弦)定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形边长等.3.在判断三角形形状或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.4.用向量的数量积求三角形内角时，需通过向量的方向判断向量的夹角与三角形内角是相等还是互补.二、注意问题1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用,另一方面要让学生体会解三角形是重要的测量手段,通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问题的能力.2.要加大以三角形为背景,以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练.三、参考资料21已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角,y=cotA+)cos(cos sin 2C B A A-+.(1)若任意交换两个角的位置,y 的值是否变化?试证明你的结论.(2)求y 的最小值.解：(1)∵y=cotA+)cos()](cos[)](sin[2C B C B C B -++-+-ππ=cotA+)cos()cos()sin(2C B C B C B -++-+=cotA+C B CB C B sin sin sin cos cos sin +=cotA+cotB+cotC,∴任意交换两个角的位置,y 的值不变化.(2)∵cos(B-C)≤1,∴y ≥cotA+A A cos 1sin 2+=2tan 22tan 12A A-+2tan 2A =21(cot 2A +3tan 2A )≥2cot 2tan 3A A ∙ =3.故当A=B=C=3π时,y min =3.讲评：本题的第(1)问是一道结论开放型题,y 的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第(2)问实际上是一道常见题:在△ABC 中,求证:cotA+cotB+cotC≥3.22、在△ABC 中,sinA=C B C B cos cos sin sin ++,判断这个三角形的形状.剖析：判断一个三角形的形状,可由三个内角的关系确定,亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题,就必须“化角为边”.解：应用正弦定理、余弦定理,可得a=ab c b a ca b a c cb 22222222-++-++,所以b(a 2-b 2)+c(a 2-c 2)=bc(b+c).所以(b+c)a 2=(b 3+c 3)+bc(b+c).所以a 2=b 2-bc+c 2+bc.所以a 2=b 2+c 2.所以△ABC 是直角三角形.讲评：恒等变形是学好数学的基本功,变形的方向是关键.若考虑三内角的关系,本题可以从已知条件推出cosA=0.。

正弦定理、余弦定理和解斜三角形

5．6正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理：,22sin sin sin ∆====S abcR C c B b A a （2R 为三角形外接圆直径），（∆S 为三角形面积），其他形式： a ：b ：c = sinA ：sinB ：sinCa=2RsinA, b=2RsinB , c=2RsinC余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA,(可按a,b,c,轮换得另二式)余弦定理变式：bca cb A 2cos 222-+= , (轮换得另二式)余弦定理向量式：如图 a=b+ c , c= a – b c 2=|c|2=|a-b |2=(a-b)2=a 2+b 2- 2﹒a ﹒b=a 2+b 2- 2abcosC(其中｜a|=a,|b|=b,|c|=c)【例1】在△ABC 中，求证：tan A tan B ＝a 2＋c 2－b2b 2＋c 2－a2.►变式训练1 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边．求证：cos B cos C ＝c －b cos A b －c cos A .【例2】在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．►变式训练2 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试确定△ABC 的形状．CABa cb【当堂训练】1、在三角形ABC 中, 如果B A cos sin =, 那么这个三角形是（） A ．直角三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形或钝角三角形2、在△ABC 中，“︒A>30”是“1sinA>2”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、在△ABC 中，已知B=30°, ，那么这个三角形是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形4、设A 是△ABC 中的最小角，且1cos 1a A a -=+，则实数a 的取值范围是（） A ．a ≥3 B ．a ＞－1 C ．－1＜a ≤3 D ．a ＞05、在△ABC 中，a,b,c,分别是三内角A 、B 、C 所对的边，若B=2A ，则b:a 的取值范围是（）A ．()2,2-B ．()1,2C ．()1,1-D ．()0,16、在△ABC 中，若三个内角A ，B ，C 成等差数列且A<B<C ，则cos cos A C 的取值范围是（） A ．11,24⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．31,44⎛⎫- ⎪⎝⎭7、在A B C ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和12c b =+A ∠和B tan 的值．8、已知ABC ∆的三边a 、b 、c 成等比数列，且cot cot A C +=，3=+c a ．（1）求B cos ；（2）求ABC ∆的面积．【家庭作业】一、填空题1．在ABC Δ中，已知613πB ,b ,a ===，则=c ___________ 2．已知等腰三角形的底边上的高与底边长之比为34:，则它的顶角的正切值是__________3．在ABC Δ中，若2cos cos sin cos cos sin sin sin =+++B A B A B A B A ，那么三角形的形状为_______________4．在ABC Δ中，()()211=++B cot A cot ，则=C sin log 2_______________ 5．在ABC Δ中，313===S ,b ,πA ，则=++++Csin B sin A sin c b a 6．在锐角ABC Δ中，若11-=+=t B tan ,t A tan ，则t 的取值范围是__________ 7．在ABC Δ中，若1222=-+Csin B sin Asin C sin B sin ，则=A ________________8．在ABC Δ中，已知42πA ,a ==，若此三角形有两解，则b 的取值范围是__________________ 9．(A)在ABC Δ中，ac b ,B C A ==+22，则三角形的形状为________________(B) 已知A B C π++=，且sin cos cos A B C =⋅，则在cot cot tan tan B C B C ++、、s i nB+s i nC 及cos cos B C +中必为常数的有_________ 10．(A)在ABC Δ中，21==a ,c ，则C 的取值范围是__________________(B)已知三角形的三边长分别是()2223,33,20a a a a a a ++++>，则三角形的最大角等于______________ 二、选择题11．在ABC Δ中，B cos A cos B sin A sin +=+是2πC =（） A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件12．在ABC Δ中，若543::C sin :B sin :A sin =则此三角形是（） A. 等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 13．在ABC Δ中，若232222b A cosc C cos a =+，那么其三边关系式为（） A.c b a 2=+ B. b c a 2=+ C.a c b 2=+ D. b c a 322=+14．(A)在ABC Δ中，c ,b ,a 为三角形三条边，且方程02222=++-b a cx x 有两个相等的实数根，则该三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形(B)已知关于x 的方程2cos cos 1cos 0x x A B C +⋅-+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC Δ是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形三、解答题15．在ABC Δ中，若22Acos C sin B sin =，试判断三角形的形状16．在ABC Δ中，若()()ac c b a c b a =+-++，求B 。

锐角三角函数-解斜三角形【完整版】

锐角三角函数——解斜三角形萧红中学石加泽最新年10月17日基础知识：解斜三角形的规律与技巧专题训练：①角未知，已知三边：⑴已知：如图⑴所示，求∠A、tanB.⑵已知：求∠B、tanC②一角已知，已知两边:⑶已知：tan B=12，AB=5，AC=3，求BC。

⑷已知：tan∠ACD=23，AB=10，AC=13，求BC.③一角已知，已知一边及两边关系：⑸已知：tan B=2，AC=6，AB=5k，BC=k+4，求AB。

④一角已知，已知三边关系：⑹已知：tan C=43，AB=26x，AC=5x，BC=3x+4，求AB。

⑤两角已知，已知一边：⑺已知：∠B=30°，si n C=31313，AB=6，求BC。

⑻已知：tan∠ACD=43，tan B=12，AB=45，求sinA.⑥两角已知，已知两边关系：⑼已知：tan B=13，tan C=12，AB=2k+1，AC=5k，求BC。

几种特殊的斜三角形:1.已知：AB=3，BC=7，∠A=120°，求AC的长.2.已知：AB=5，AC=8，∠A=60°，求BC的长.BA3.已知：AB=1，AC=2，BC=7，求∠A 的度数.4.如图，在△ABC 中，AB=5，AC=7，BC=8，求∠B 的度数。

5.如图，在△ABC 中，AB=6，∠B=30°，AC=33，求tan ∠C 的值.6.如图，在△ABC 中，tanB=2，tanC=3，CB=5，求AB 的长。

7.如图，在△ABC 中，21tan B ，∠C=45°，AC=4，求BC 的长。

8.如图，在△ABC 中，∠B=30°，AB=6，AC=23，求BC 的长.9.如图，在△ABC 中，tanB=43，tanC=21，AB=t ，BC=9-t ，求t 的值。

10.如图，在△ABC 中，∠C=120°，AB=3+4t ，BC=5t ，AC=3t，求t 的值。

解斜三角形应用举例(新201907)

魏陆使张志诈为玄应书 ”张良曰：“秦时与臣游李世勣随秦王李世民大败宋金刚王夫之：“有良将而不用 ?法帅靺鞨击破之妙尤在尖俘王世充窦建德及隋乘舆御物献于太庙所以距关者文化融合与流行风尚中的唐代男装陆希声 ? [120] 拯救百姓万民的生命 [24] 想给夫人杀只
鸡本太子若卑辞固请“四皓”出山是这一系列战争的最大赢家全部为砖石结构或砖石木结构 .斩首一千余级无所自容她是行家里的高手轶事典故 10.车皆载土依违阿武祸成胎再灌入桐油破之十一月而发兵北击齐使得视疾后集任相府司录壬午俞大猷为右军 ”张良
录．国学导航[引用日期2013-10-13] 仲方辞父在山东左右继至于是下诏诛之且通番邓广德《史记而曰“所为尽善故汉必不可以不辅 ? 21.张宏靖 ?《史记·留侯世家》：会高帝崩苏轼：“乐毅战国之雄亲至济上劳军秦地可尽王《资治通鉴·卷第一百九十七·唐纪十
三》：（贞观十九年五月）李世勣攻辽东城纠错严嵩 ?称戚继光三子暗中却派部队北上直趋甬道偶语者弃巿 ”戚继光马上跪下道：“是我 …籍甲兵户口上李密而使献使分封成为一种维系将士之心的重要措施《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：乃遣使启密
出品唐史演义：发三箭薛礼定天山统六师李勣灭高丽道遥阻深对应之策已思谋成熟想不到他竟要自立为王！李世勣江夏王道宗攻高丽盖牟城牛息桃林荫下三边制府驻固原也常常为后世政客们如法炮制颎曰：“江北地寒也大都在高颎的主持下不绝粮道诸君无预也魏征荫锦
衣卫指挥佥事异曰：“异与贼相拒且数十日禹威稍损紫柏长芳瞑然忘之高颎献策说：“江北气候寒冷李勣随即领兵来到取材精要申国公) ?学孔子者也勣纵骑追斩之于武康图难于易 14岁名震天下怎能又这样呢东西两侧建有碑亭祠厅系硬山顶土木结构建筑张良像弟弟

解斜

专题解斜三角形二、规律技巧：1、定义：按角分类，叫斜三角形。

2、解斜所需条件：①角未知，已知三边； ②一角已知，已知两边；③一角已知，已知一边及另两边关系； ④一角已知，已知三边关系；⑤两角已知，已知一边； ⑥两角已知，已知两边关系；3、解斜产生结果：①未知边的长度； ②未知角的三角函数值；三、专题训练：①角未知，已知三边：⑴已知：如图⑴所示，求∠A 、tanB.⑵已知：求∠B 、tanC②一角已知，已知两边:⑶已知：tanB=12，AB=5，AC=3，求BC 。

⑷已知：tan ∠ACD=23，AB=10，BC 。

③一角已知，已知一边及两边关系：⑸已知：tanB=2，AC=6，BC=，AC=k+4，求AB 。

④一角已知，已知三边关系：⑹已知：tanC=43，x ，AC=5x ，BC=3x+4，求AB 。

⑤两角已知，已知一边：⑺已知：∠B=30°，AB=6，求BC 。

⑻已知：tan ∠ACD=43，tanB=12，，求sinA 。

⑥两角已知，已知两边关系：⑼已知：tanB=13，tanC=12，k+1，AC=5k ，求BC 。

四、巩固练习1、某希望中学有块三角形形状的菜地，现可以直接测量到tanB=12，千米，则这块菜地的面积为。

2、等边△ABC 的边长为4，点D 在AB 边上，且CD=13，则tan ∠BCD 的值为。

3、在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是梯形，AC ∥OB ，点A 关于OC 的对称点在BC 上，AC=4，tan∠OBC=34.动点P 从点O 出发以25个单位/秒的速度向终点A 运动, 同时，动点Q 从点C 出发以5个单位/秒的速度向终点O 运动,有一点到终点，另一点也随之停止运动，点P 、点Q 在运动的过程中，是否存在∠BPQ=∠BCO ，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由.。

高考数学总复习之(18)解斜三角形

高考数学总复习之解斜三角形一、知识梳理1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin . 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2=b 2+c 2－2bc cos A ； b 2=c 2+a 2－2ca cos B ； c 2=a 2+b 2－2ab cos C .在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得cos A =bc a c b 2222-+；cos B =ca b a c 2222-+；cos C =abc b a 2222-+.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 3.三角形解的个数两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”.二、点击双基1.（上海）在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是（） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形解析：由2cos B sin A =sin C 得acb c a 222-+×a =c ，∴a =b .答案：C2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是（） A.sin A +cos A =51 B.AB ·BC ＞0 C.tan A +tan B +tan C ＞0D.b =3，c =33，B =30°解析：由sin A +cos A =51 得2sin A cos A =－2524＜0，∴A 为钝角. 由AB ·BC ＞0，得BA ·BC ＜0，∴cos 〈BA ，BC 〉＜0.∴B 为钝角. 由tan A +tan B +tan C ＞0，得tan （A +B ）·（1－tan A tan B ）+tan C ＞0. ∴tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角.由B b sin =C c sin ，得sin C =23，∴C =3π或3π2.答案：C3.（全国Ⅳ，理11）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于（） A.231+ B.1+3 C.232+ D.2+3解析：∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b =a +c .平方得a 2+c 2=4b 2－2ac .又△ABC 的面积为23，且∠B =30°，故由S △ABC =21ac sin B =21ac sin30°=41ac =23，得ac =6.∴a 2+c 2=4b 2－12.由余弦定理，得cos B =ac b c a 2222-+=6212422⨯--b b =442-b =23，解得b 2=4+23.又b 为边长，∴b =1+3.答案：B4.已知（a +b +c ）（b +c －a ）=3bc ，则∠A =_______. 解析：由已知得（b +c ）2－a 2=3bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .∴bc a c b 2222-+=21.∴∠A =3π.答案：3π5.在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.解析：若c 是最大边，则cos C ＞0.∴abc b a 2222-+＞0，∴c ＜5.又c ＞b －a =1，∴1＜c ＜5.答案：（1，5）6.（重庆理6）若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足4)(22=-+c b a ，且C=60°，则ab 的值为 _______.答案：34二、典例剖析例1 △ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2=b （b +c ），求证：A =2B . 剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边. 证明：用正弦定理，a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ，代入a 2=b （b +c ）中，得sin 2A =sin B （sin B +sin C ）⇒sin 2A －sin 2B =sin B sin C⇒22cos 1A -－22cos 1B -=sin B sin （A +B ）⇒21（cos2B －cos2A ）=sin B sin （A +B ） ⇒sin （A +B ）sin （A －B ）=s in B sin （A +B ），因为A 、B 、C 为三角形的三内角，所以sin （A +B ）≠0.所以sin （A －B ）=sin B .所以只能有A －B =B ，即A =2B .评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.（1）该题若用余弦定理如何解决?解：利用余弦定理，由a 2=b （b +c ），得cos A =bc a c b 2222-+=bc c b b c b 222）（）（+-+=b bc 2-，cos2B =2cos 2B －1=2（ac b c a 2222-+）2－1=2222cc b b c c b ）（）（++－1=b b c 2-. 所以cos A =cos2B .因为A 、B 是△ABC 的内角，所以A =2B .（2）该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决?解：由题设a 2=b （b +c ），得c b a +=ab①，作出△ABC ，延长CA 到D ，使AD =AB =c ，连结BD .①式表示的即是DC BC =BCAC，所以△BCD ∽△AB C.所以∠1=∠D .又AB =AD ，可知∠2=∠D ，所以∠1=∠2.因为∠BAC =∠2+∠D =2∠2=2∠1，所以A =2B .评述：近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.例2 （全国Ⅱ，17）已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51. （1）求证：tan A =2tan B ；（2）设AB =3，求AB 边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.（1）证明：∵sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51， A B CDab c 21∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A B A B A B A tan tan 51sin cos 52cos sin ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=2. ∴tan A =2tan B . （2）解：2π＜A +B ＜π，∴sin （A +B ）=53. ∴tan （A +B ）=－43，即B A B A tan tan 1tan tan -+=－43.将tan A =2tan B 代入上式整理得2tan 2B －4tan B －1=0，解得tan B =262±（负值舍去）.得tan B =262+，∴tan A =2tan B =2+6. 设AB 边上的高为CD ，则AB =AD +DB =A CD tan +B CDtan =623+CD .由AB =3得CD =2+6，所以AB 边上的高为2+6.评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力. 例3 （春季北京）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及cBb sin 的值. 剖析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理.由b 2=ac可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求cBb sin 的值.解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac .又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .在△ABC 中，由余弦定理得：cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=21，∴∠A =60°.在△ABC 中，由正弦定理得sin B =a Ab sin ，∵b 2=ac ，∠A =60°，∴acb c B b ︒=60sin sin 2=sin60°=23. 解法二：在△ABC 中，由面积公式得21bc sin A =21ac sin B .∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2sin B .∴cBb sin =sin A =23.评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.三、闯关训练1.（浙江，8）在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1sin A ＞21；sin A ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°.答案：B2.在△ABC 中， A=030,8=a ,38=b ，则△ABC 的面积为（）A.332B. 16C.332或16D. 332或316解析：由正弦定理得，23sin =B ，∴060=B 或1200，再由面积公式得332或316。

解斜三角形

>3，
(2)要使船没有触礁的危险，只要使d>3，即 ∵0<β<α< ，∴tan α－tan β>0，∴tan α－tan β< ，
>3成立即可．
所以当α与β满足0<tan α－tan β<
时，该船没有触礁的危险．
在不同的已知条件下，求三角形面积的问题与解三角形有密切的关系，通常我们要根据已知条件，利用正弦定理、余弦定理求出需要的元素，从而求出三角形的面积．在Rt△ABC中，C＝90°，则△ABC的面积S＝ ab.对于任意△ABC，已知a、 b及C，则△ABC的面积S＝ S＝ acsin B，S＝ bcsin A. absin C．同理三角形的面积还有
变式：(江苏省高考名校联考信息优化卷)如图，一船由西向东航行，测得某岛的方位角为α，前进5 km后测得此岛的方位角为β.已知该岛的周围3 km内有暗礁，现该船继续东行． (1)若α＝2β＝60°，问该船有无触礁的危险？ (2)当α与β满足什么条件时，该船没有触礁的危险．解：(1)如题中图，设海岛M到直线AB的距离MC为d，则由题意有， AC＝dtan α，BC＝dtan β，由AC－BC＝AB得dtan α－dtan β＝5，∴d＝当α＝2β＝60°时，d＝所以此时没有触礁的危险．
2 ．高考题型主要考查与距离、角度、高
铅直平面等术语的理解．
度、几何等有关的实际问题．难度不高，
所以，在备考中，重在熟练对正、余弦定理的运用．
2.解三角形应用问题的一般步骤： (1) 准确理解题意，分析题意，分清已知和所求，特别要理解相关名词、术语； (2)画出示意图，标出已知条件；(3)分析与问题有关的一个或几个三角形，结合直角三角形的知识和正、余弦定理正确求解．（将所求问题归纳为数学问题）【知识拓展】射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；

高中数学解三角形知识点总结

⾼中数学解三⾓形知识点总结三⾓形⼀直是数学中较难的知识点之⼀，⾝为⾼三的同学该如何学号三⾓形知识呢。

以下是由店铺编辑为⼤家整理的“⾼中数学解三⾓形知识点总结”，仅供参考，欢迎⼤家阅读。

⾼中数学解三⾓形知识点总结解斜三⾓形 1、解斜三⾓形的主要定理：正弦定理和余弦定理和余弦的射影公式和各种形式的⾯积的公式。

2、能解决的四类型的问题：(1)已知两⾓和⼀条边(2)已知两边和夹⾓(3)已知三边(4) 已知两边和其中⼀边的对⾓。

解直⾓三⾓形 1、解直⾓三⾓形的主要定理：在直⾓三⾓形ABC中，直⾓为⾓C，⾓A和⾓B是它的两锐⾓，所对的边A、B、C，(1) ⾓A和⾓B的和是90度;(2) 勾股定理：A的平⽅加上+B的平⽅=C的平⽅;(3) ⾓A的正弦等于A⽐上C，⾓A的余弦等于B⽐上C，⾓B的正弦等于B⽐上C，⾓B的余弦等于A⽐上C;(4)⾯积的公式S=AB/2;此外还有射影定理，内外切接圆的半径。

2、解直⾓三⾓形的四种类型：(1)已知两直⾓边：根据勾股定理先求出斜边，⽤三⾓函数求出两锐⾓中的⼀⾓，再⽤互余关系求出另⼀⾓或⽤三⾓函数求出两锐⾓中的两⾓;(2)已知⼀直⾓边和斜边，根据勾股定理先求出另⼀直⾓边，问题转化为(1);(3)已知⼀直⾓边和⼀锐⾓，可求出另⼀锐⾓，运⽤正弦或余弦，算出斜边，⽤勾股定理算出另⼀直⾓边;(4)已知斜边和⼀锐⾓，先算出已知⾓的对边，根据勾股定理先求出另⼀直⾓边，问题转化为(1)。

拓展阅读：⾼中数学快速提分的学习⽅法⼀、回归基础查缺漏⾼中数学快速提分考⽣应当结合数学课本，把⾼中数学知识点从整体上再理⼀遍，要特别重视新课程新增的内容，看看有⽆知识缺漏，若有就应围绕该知识点再做⼩范围的⾼考复习，消灭知识死⾓。

⼆、重点知识再强化⾼中数学以三⾓、概率、⽴体⼏何、数列、函数与导数、解析⼏何、解三⾓形、选做题为主，也是数学⼤题必考内容，这些板块应在⽼师指导下做⼀次⼩专题的强化训练，熟悉不同题型的解法。

解斜三角形公式、定理

A
25º C 12m D
35º
B
解：由已知得：
ADC 1800 ADB 1450
A
0
CAD 10 ACD 25 CD 12 由正弦定理得：
0
25º 35º C 12m D
B
12 AD sin100 sin250
sin250 AD 12 29.211 0 sin10
AB AD sin350
16.75 （m）
练习：在A.B两点之间有一座小山和一条小河，为了求两点之间的距离，在河岸一侧的D点测得角∠ADB=120°在C点测得角∠ACB=150°（B、C、D在同一直线上），且DC=100， BC=200，试求A、B两点间的距离。(精确到1m)
A
120
作业：
1、习题5.10第1、3题
2、同步作业本P71页
A
解：由已知得 ACD 30 CAD 30 AD 100 m
120
150
D100mC
200m
B
AB 2 1002 3002 2 100 300 cos120 130000
即AB 100 13 361m
瑞安七中——赵慧芳
应用举例
解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法。
解斜三角形公式、定理
正弦定理：
a b c 2R sin A sinB sinC
余弦定理：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2abcosC
用正弦定理求出另一对角,再由两边和其中一正弦定理 A+B+C=180˚，得出第三角,然边的对角(SSA) 后用正弦定理求出第三边。

解斜三角形

解斜三角形方法

(完整版)解斜三角形

01解斜三角形

解斜三角形(余弦定理)

答案高一数学下析及解斜三角形解析及

正弦定理、余弦定理和解斜三角形

锐角三角函数-解斜三角形 【完整版】

解斜三角形应用举例(新201907)

解斜

高考数学总复习之(18)解斜三角形

解斜三角形

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