【全程复习方略】2014年人教A版数学理(福建用)课时作业：第三章 第七节正弦定理和余弦定理

课时提升作业(二十三)
一、选择题
1.(2013·珠海模拟)△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若3
π,
cosB=5
,则b=( )
(A)5 (B)5 (C)5 (D)5
2.在△ABC 中，若b=2asin B ，则A 等于( )
(A)30°或60° (B)45°或60°
(C)120°或60° (D)30°或150°
3.在△ABC 中，2B a c cos 22c
+=(a,b,c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) (A)等边三角形
(B)直角三角形
(C)等腰三角形或直角三角形
(D)等腰直角三角形
4.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c,若C=120°，则( )
(A)a ＞b
(B)a ＜b
(C)a=b
(D)a 与b 的大小关系不能确定
5.若满足条件C=60°的△ABC 有两个,那么a 的取值范围是
( )
(D)(1,2)
6.(2013·福州模拟)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若
a 2-
b 2则A= ( ) (A)30° (B)60° (C)120° (D)150°
二、填空题
7.(2013·龙岩模拟)在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C=2∶3∶4,则cos C=______.
8.(2013·泉州模拟)在△ABC 中,BC=1，角B=3
π，若△ABC 则AC=______.
9.(2013·哈尔滨模拟)在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，若
cos C=18，5CB CA ,a b 92
=+=，则c= . 三、解答题 10.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且满足
csinA=acosC. (1)求角C 的大小.
(2)4
π)的最大值,并求取得最大值时角A,B 的大小. 11.(2013·山西大学附中模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A=
14. (1)求2B C sin 2
+-cos 2A 的值. (2)若bc 的最大值.
12.(能力挑战题)在△ABC 中,A,B,C 为三个内角,a ,b,c 为三条边, 3π<C<2π且b sin 2C .a b sin A sin 2C
=-- (1)判断△ABC 的形状.
(2)若|BA +BC |=2,求BA ·BC 的取值范围.
答案解析
1.【解析】选C.∵
∴∴a
b ,sin A sin B ＝
则a sin B b sin A ⨯=== 2.【解析】选D.由已知得sin B=2sin Asin B,
又∵A ，B 为△ABC 的内角，
故sin B ≠0，故sin A=12
, ∴A=30°或150°.
3.【思路点拨】将等式利用倍角公式及正弦定理转化为角的关系,再将sin A 化为sin(B+C)展开可解.
【解析】选B.由已知及正弦定理得2sin Ccos 2B 2 =sin A+sin C,
即sin C(1+cos B)=sin A+sin C,
故sin Ccos B=sin A=sin(B+C)，
即sin Ccos B=sin Bcos C+cos Bsin C ，
即sin Bcos C=0.
又∵sin B ≠0，故cos C=0,
∴C=2
π，∴△ABC 为直角三角形. 【方法技巧】三角形形状判断技巧
三角形形状的判断问题是解三角形部分的一个重要题型，也是高考的热点问题，因而正确快速地判断是解题的关键.其基本技巧就是利用正、余弦定理快速实现边角互化，常规是边化角，再利用三角恒等变换公式结合三角形中角的关系正确判断三角形的形状.
4.【解析】选A.∵C=120°，，
∴2a 2=a 2+b 2-2abcos 120°，
∴a 2=b 2+ab,∴2b
b ()10,a a
+-=
b 1,a ∴=∴a ＞b. 5.【解析】选C.由正弦定理得:
AB BC
,sin C sin A
= ∴a=2sinA.
∵C=60°,∴0°<A<120°.
又∵△ABC 有两个,如图所示:
∴asin 60°
6.【思路点拨】由题目中已知等式的形式,利用正、余弦定理求解.
【解析】选A.由
b c sin B sin C =及
得
∴cosA=222b c a 2bc 2bc 2
+-+== ∵A 为△ABC 的内角,∴A=30°.
7.【解析】根据正弦定理a ∶b ∶c=sin A ∶sin B ∶sin C=2∶3∶4. 设a=2k ，则b=3k,c=4k, cos C=222222a b c 4k 9k 16k 1.2ab 22k 3k 4
+-+-==-⨯⨯ 答案：14
-
8.【解析】S △ABC =
12
BC ·∴BA=4,
AC 2=BC 2+BA 2-2BC ·BAcos B=1+16-2×1×4×12=13,∴AC =
9.【解析】由5CB CA 2=
得a ·b ·cos C= 52, 即a ·b=20,
又a+b=9,故c 2=a 2+b 2-2abcos C=a 2+b 2-14ab =(a+b)2-
94ab=92-94×20=36， 故c=6.
答案：6
10.【解析】(1)由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC.
因为0<A<π,所以sinA>0.
从而sinC=cosC.
又sinC ≠0,故cosC ≠0,
所以tanC=1, ∵0<C<π,∴C=4
π. (2)方法一:由(1)知,B=
34π-A,
4ππ-A)
6
π).
因为0<A<
34
π, 所以6π<A+6π<1112π.从而当A+6π=2π,即A=3π时,2sin(A+6
π)取最大值2.
综上所述4π)的最大值为2,此时A=3π,B=512
π. 方法二:由(1)知,A=π-(B+4
π)
4π4π)-cos(B+4π)=2sin(B+12
π). 因为0<B<34π,所以12π<B+12π<1012
π. 从而当B+12π=2π,即B=512π时,2sin(B+12
π)取最大值2.
综上所述4π)的最大值为2,此时A=3π,B=512π.
【变式备选】在△ABC 中,a,b,c 分别为内角A,B,C 所对的边长1+2cos(B+C)=0,求边BC 上的高.
【解析】由1+2cos(B+C)=0和B+C=π-A,得
1-2cosA=0,cosA=12.
由正弦定理,得sinB=bsin A a = 由b<a 知B<A,所以B 不是最大角,B<
2π,
从而
由上述结果知
sinC=sin(A+B)= 2×(2+12
).
设边BC 上的高为h,则有h=bsinC=
1.2 11.【解析】(1)2B C sin
2+ -cos 2A =12
［1-cos(B+C)］-(2cos 2A -1)
=
12
(1+cos A)-(2cos 2A-1) =12(1+14)-(18
-1) =32. (2)∵222
b c a 2bc
+-=cos A=14, ∴
12
bc=b 2+c 2-a 2≥2bc-a 2, ∴bc ≤23a 2.
又∵∴bc ≤2.
当且仅当bc=2，故bc 的最大值是2.
12.【解析】(1)由b sin 2C a b sin A sin 2C
=--及正弦定理有: sinB=sin 2C,∴B=2C 或B+2C=π.
若B=2C,且
3π<C<2π, ∴23
π<B<π,B+C>π(舍). ∴B+2C=π,则A=C,∴△ABC 为等腰三角形.
(2)∵|BA +BC |=2,
∴a 2+c 2
+2ac ·cosB=4, ∵a=c,∴cosB=2
2
2a a -,而cosB=-cos 2C, ∴12<cosB<1,∴1<a 2<43
, ∴BA ·BC =2-a 2,
故BA ·BC ∈(23
,1).。