结构力学讲稿八(课)

第八章 位移法§8-1概述1、位移法：以位移为基本未知量的方法2、思路：对比力法：对已知位移的点(例如支座)，建立关于位移的等式（合），而等式中的每一个位移（拆或分解）和力有关。

∑===∆+nj iP j ij n i X 1,,2,1,0 δ位移法：对已知力的点(结点)，建立关于力的平衡关系（合），而等式中的力（拆或分解）和结点的位移有关。

n i R Z r iP nj j ij ,,2,1,01==+∑=例如：刚架结构如图不考虑轴向变形时，结构只有一个独立角位移是未知量，（注意：点3处的角位移不独立）1313112拆,条件:有Z 1,没有线位移合,条件:M 12-M 13=0等效图如图：13112拆,条件:有Z 1,没有线位移合,条件:M 12-M 13=0即将问题转化为两个单跨超静定梁的组合问题 所以位移法需要解决三个问题：1)多少个独立位移作为基本未知量？（基本未知量如何确定？） 2)支座有位移时（包括线位移、角位移），单跨超静定梁的解答？（即如何求支反力/杆端剪力、支反力偶/杆端弯矩）（拆） 单跨超静定梁有：3）如何求出位移？（如何建立求解位移的方程组）（合）§8-2等截面直杆的转角位移方程(问题2)等截面单跨超静定梁在一些情况下的杆端弯矩和剪力如表8-1所示。

注意：线刚度的定义lEI i ，和杆件的弹性模量、杆件的长度、杆件的惯性矩有关。

正负号规定：弯矩：在杆端顺时针为正； 剪力：使研究对象顺时针转为正。

注意：两端支反力偶、两端支反力的符号是否相同。

用途：判断两端支反力偶转向间相对关系、两端支反力方向间的相对关系。

1)若杆件两端支反力偶符号相同，则两端支反力偶转向相同，否则两端支反力偶转向相反；2)若杆件两端支反力符号相同，则两端支反力方向相反，否则两端支反力方向相同；例如：编号1中杆端弯矩和剪力的实际方向如图M AB=BA=2ilFSAB liSBA6杆端弯矩和杆端剪力(杆端支反力偶和杆端支反力)的特点：在有转角的一端，杆端弯矩和转角转向相同（如编号1），在有线位移的一端，杆端的剪力和线位移方向一致（如编号2）。

由此可判断其它杆端弯矩和剪力的方向。

方法一(变形分析，通用方法)：先将所要判断的力或力偶对应的约束去掉，再给定位移Δ=1，或转角1=ϕ，最后再加力或力偶使不应有的位移消失，而所加力或力偶的方向就是杆端力或力偶的方向。

例如：表8-1中编号1中B处支反力偶转向的判断加力偶使转角消失例如：表8-1中编号1中B处支反力方向的判断例如：表8-1中编号1中A处支反力方向的判断方法二(平衡分析，建议先利用此方法)：利用平衡条件、杆件两端弯矩转向间的相对关系、杆件两端剪力方向间的相对关系，判断未知的杆端弯矩转向和杆端剪力的方向。

M AB=BA=2ilFSAB liSBA6BABABA 另外注意：在杆端弯矩顺时针为正，离杆端一小段距离弯矩转向的确定。

例如：????原则：1)满足平衡条件2)受拉侧要相同补充：i即，滑动支座处的位移不独立。

§8-3位移法的基本未知量和基本结构(问题1) 一、位移法的基本未知量从表8-1可知：只要杆端的线位移和转角已知，杆端的弯矩和剪力就可以确定，从而杆件的内力、变形都可以确定。

(杆端的弯矩和剪力确定后，杆上的内力全部都可以确定，杆端的线位移和转角已知，相当于微分方程EIx M dx y d )(22-= 的边界条件)0(y ，和)0('y 已知，通过积分可确定变形) 或者，由)()4(x q EIy-=，积分后的四个积分常数可以根据两端的四个位移边界条件确定。

因此，独立的杆端(或各结点)角位移和线位移就是基本未知量。

二、独立的结点角位移和线位移数目的确定1、独立的结点角位移数目：刚结点的数目 注意：可以证明铰结点的角位移不独立例如：两个独立角位移2、独立的结点线位移数目：1)2×结点总数-已知独立线位移数-非独立线位移数-杆件数（不考虑杆件的轴向变形，每根杆相当一个约束） 例如：7结点,6根杆,6个已知线位移2个独立线位移6个结点,5根杆,6个已知线位移,1个独立线位移再例如：节点数:5已知线位移数:5杆件数:4独立线位移:1加一根链杆结点数：2已知独立线位移数：2非独立线位移数：1杆件数：1独立线位移数：02)将原结构中的刚结点换成铰结点、固支端换成固定铰支座，形成一个桁架结构，则两结构的线位移一样。

桁架结构有两种情况：(1)若桁架结构为几何不变，则原结构所有结点无线位移(2)若桁架结构为几何可变，或瞬变，则看最少增加几根链杆可使其变为几何不变体系，增加的链杆数就是原结构独立线位移数例如：6个结点,5根杆,6根链杆,计算自由度为1,增加1根链杆7结点,6根杆,6个链杆计算自由度为2,增加两链杆或6个结点,5根杆,6根链杆,计算自由度为1,增加1根链杆7结点,6根杆,6个链杆计算自由度为2,增加两链杆再例如：加一个链杆三铰共线,瞬变体系三、基本结构基本结构：在原结构有独立角位移处加刚臂（作用：约束转动），有独立线位移处加链杆（作用：约束线位移）后形成的结构。

例如：原结构:两个独立角位移一个独立线位移基本结构再例如：原结构:四个独立角位移两个独立线位移基本结构注意：2处铰的作用2处铰的作用再例如：最后注意：上述确定独立线位移的方法，只适用于不考虑轴向变形的直杆（∞→EA ），若考虑轴向变形，或曲杆，则不适用。

确定如下结构的位移法基本结构(1)(3)(4)(8)(9)(10)原结构原结构基本结构原结构基本结构原结构基本结构原结构基本结构原结构原结构原结构原结构基本结构基本结构基本结构基本结构原结构基本结构§8-4位移法的典型方程及计算步骤(问题3)例1两跨连续梁如图，EI 为常量 解：基本体系及等效图如图：基本体系基本体系：在基本结构上加上荷载，并使其变形同原结构完全一样1R ：附加反力矩（同外荷载、转角1Z 有关）ij R ：反力矩，第一个下标表示位置和方向（在第i 位移处沿第个i 位移方向），第二个下标表示原因(第个j 位移) 根据叠加原理，有：01111=+=P R R R (在B 处没有刚臂，也没有外力偶)又11111Z r R =，11r ：单位转角引起的反力矩 所以，有01111=+P R Z r基本结构上，刚臂单位转角引起的弯矩图，以及外载引起的弯矩图如图：ZM 1图M P 图(kN·m)考虑B 结点的平衡：i r 611= m kN 241⋅-=P R注意：r 11，R 1P 设成和Z 1同转向 代入上述平衡方程01111=+P R Z r ，得：ir R Z P 41111=-=弯矩：P M Z M +=11 关键点弯矩：m kN 10896129631⋅=+=+=iZ M BA （在杆端顺时针为正） m kN 1081201212031⋅-=-=-=iZ M BC （在杆端顺时针为正） 利用叠加法绘出弯矩图如图：M 图(kN·m)问题:如何处理?例2刚架结构如图，EI为常量，绘弯矩图 解：1）基本体系及等效图如图：FZ 2基本体系21R 2P2）典型方程 利用叠加原理，有：011211=++P R R R022221=++P R R R再设1211,r r 是11=和12=引起的刚臂上的反力矩 再设2221,r r 是11=Z 和12=Z 引起的链杆上的支反力 则平衡方程成为：01212111=++P R Z r Z r 02222121=++P R Z r Z r推广到有n 个独立线位移和角位移的问题，有：n i R Z r iP nj j ij ,,2,1,01==+∑=——位移法基本方程或位移法典型方程式中：（1）0>ii r （因其为产生1=i Z 时力或力偶，两者方向一致）称为主系数，或主反力)(j i r ij ≠称为副系数，或副反力 iP R 称为自由项（2）对称性：根据反力互等定理，有ji ij r r =，所以典型方程是对称的 （3）由于ij r 是单位位移引起的力，也就是刚度，所以ij r 又称为结构的刚度系数，典型方程称为刚度方程，位移法也称为刚度法 3）计算系数和自由项对于本例题，列出典型方程后，根据如下三种情况求iP ij R r ,21R 2P(一)(二)(三)第一种情况： 1M ，1S F 图如图：考虑平衡，得：i r 711=Z 4iZ li 6li r r 61221-== 第二种情况：2M ，2S F 图如图： 考虑平衡，得：l ir r 61221-==22215li r =第三种情况：P M ，SP F 图如图：考虑平衡，得：81Fl R P =22F R P -= 4）求解未知量将各系数和自由项代入典型方程，得：02156086722121=-+-=+-F Z li Z l i Fl Z l i iZ解得：iFl Z i Fl Z 22155222,5529==2l Z Zlli 6lli 62lM P 图F SP 图8Fl 2F5）求关键点弯矩值由公式：P M Z M Z M M ++=2211计算各关键点弯矩值（杆端顺时针为正）Fl Fl Fl i Fl l i i Fl i M 5521835526913218855222655292231-=---=-⨯-⨯=Fl Fl Fl i Fl l i i Fl i M 552275526913236855222655294213-=+--=+⨯-⨯=Fl i Fl i Fl i M 55227055222055293212=+⨯+⨯=(也可利用结点平衡计算)02421==M MFl i Fl l i i Fl M 55266055222355290242-=+⨯-⨯=6)绘弯矩图1、2点，以及2、4点间用斜直线连接，1、3点间用叠加法画出弯矩图如图：27Fl Fl 183552M 图(Fl Fl Fl Fl Fl 55260552138552784552227183-=-=-⨯-)6)绘剪力图和轴力图1)弯矩图已知后，所有支反力都可求出，通过取隔离体计算出关键点的剪力和轴力，然后再绘剪力图和轴力图X 4342)先利用杆段的平衡求出关键点的剪力，再通过结点的平衡求出关键点的轴力，再绘图3)叠加计算剪力：SP S S S F Z Z F ++=2211，再由结点平衡求轴力 例8-1 绘变截面阶梯梁的弯矩图，E=常量2基本体系CC解：1) 基本体系如图： 2) 计算系数和自由项 (1)1M 图，1S F 图如图： 由结点平衡：ir 1611=（lEI i =）li r 1221-= (2)2M 图，2S F 图如图： 由结点平衡：li r 1212-= 22248l i r =(3)0==P P F M 由结点平衡：01=P R F R P -=2 3) 求解未知量将系数和自由项代入典型方程，得：0121621=-Z liiZ 04812221=-+-F Z liZ l i 解得：iFl Z i Fl Z 39,52221==4) 绘弯矩图Fl Fl Fl Fl Fl Z l i iZ M AB 2692612263391852618621-=-=-=-=（杆端顺时针为正）12M 2图36i 2l 36i 2F S2图l 12i2Fl Fl Fl Fl Fl Z l i iZ M CB 2652642613965226221=+=+=+=（杆端顺时针为正）利用叠加法绘出弯矩图， 如图：例8-2 刚架的支座A 有转角ϕ，支座B 有竖向位移ϕl 43=∆，绘刚架的弯矩图，E=常量解：1) 基本体系如图：基本体系2) 典型方程01111=+∆R Z r其中，∆1R 为支座位移引起的反力矩3) 计算系数和自由项Fl 269Fl(1)1M 图如图：(注意：两杆长度、EI 均不同)i r 1211= 其中，lEI i =(2)∆M 图如图：ϕϕϕϕi l l i i lii R 6433322 33221-=-=∆-=∆4) 求解未知量将系数和自由项代入典型方程，得：21261111ϕϕ=--=-=∆i i r R Z 5) 绘弯矩图公式：∆+=M Z M M 11 关键点弯矩值：ϕϕϕϕi i i i iZ M AC 54421=+=+= ϕϕϕϕi i i i iZ M CA 422241=+=+= 弯矩图如图问题:用位移法绘出下列问题的弯矩图4i8i2i 32i Δ3l 32i Δ3l例8-3注意：静定部分的处理方法。