数学所讲座第54讲-中科院数学研究所

牛顿运动方程的数学推导（牛顿）
伽利略时空 E R { (r , t ) }
伽利略变换：(1) 保持时间间隔不变; (2) 保持同一时刻两事件间距离不变

匀速直线运动 时空参照系原点平移 坐标系的旋转 一般的伽利略变换是上述三个基本变换的复合 N质点系统的伽利略变换：每个质点做相同的上述伽利略变换 相对性原理：在惯性参照系中运动方程在伽利略变换下不变 牛顿运动方程的一般形式：一个封闭的力学系统，物体之间的作用力只依赖各个 物体之间的距离及其相对速度；惯性系下加速度不变。
N=2（Kepler二体问题）, 6N-10=2 (方程可解！）； N=3（三体问题），6N-10=8（方程不可解！） N=3, 第三体质量为零，被称为“限制性三体问题”,在一些特殊情形可求得 一些重要的解析解（但求不出全部解！）。
太阳系：是以太阳为中心，和所有受到太阳引力约束的天体集合。 八大行星：水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星； 173颗已知的卫星；5颗已经辨认出来的矮行星；数以亿计的太阳系小天体 （包括人造卫星、航天飞行器等）。
数学所讲座, 2016年9月7日
从太阳系的稳定性问题谈起
尚在久 中科院数学与系统科学研究院 数学研究所
报告摘要
本报告围绕基于牛顿运动方程的太阳系的稳定性 问题（简称“稳定性问题”），简要介绍天体力学和动 力系统的若干交叉发展历史片段，特别侧重于介绍在解 决“稳定性问题”的过程中发展起来的某些动力系统基 本概念、基本方法和基本结果，从中窥探一个好的科学 问题如何持久地推动数学基础理论发展，一个有生命力 的数学基础理论如何深刻地影响着科学的发展。 本报告在某种程度上是程崇庆2012年数学所讲座 “哈密尔顿系统的运动复杂性”的部分细节性补充。
万有引力定律（牛顿，1687）: 由Kepler三定律+力的叠加性质导出。
• Kepler问题：N=2
• 牛顿根据 Kepler三定律推导出天体间作用力与距离的平方成反比 "The direct Kepler problem" ("le probleme direct"): given a curve (e.g. an ellipse) and the center of attraction (e.g. the focus), what is the law of this attraction if Kepler's second law holds? Proposition (Newton): if a body moves on an ellipse and the center of force is at one of the foci, then the force is inversely proportional to the square of the distance from the center to the body.
问题：给定N质点系的初始位置和初始速度，确定该质点系在任 一时刻的位置和速度，使之满足牛顿运动方程。
N质点系统的状态空间（6N维）：TM, 其中 M=E×E×…×E Δ, Δ是碰撞流形
10个首次积分： 质心做匀速直线运动：6个首次积分； 动量矩守恒：3个首次积分； 能量守恒：一个首次积分
拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）：法国的牛顿 1749-1827
法国数学家、天体力学的主要奠基人

Mé canique Cé leste (Celestial Mechanics) 5卷 (1799–1825）
牛顿虽然发明了微积分，但是并没有用来求解他建立的运动方程，他研究天体力学问题还是运用繁 琐的几何推理方法； 经麦克劳林、伯努利兄弟、泰勒和欧拉等对微积分的发展，特别是伯努利兄弟和欧拉对微分方程的 研究，开始了求解牛顿运动方程的漫长征程。关于太阳系稳定性问题，第一个提出并取得实质性进 展的是拉普拉斯。
1571-163Biblioteka Baidu，德国天文学家，丹麦天文台台长
Kepler 问题
（轨线方程）
Trajectory (in polar coordinates)
f=真近点角
a =半长轴 p a(1 e2 ) ， e=离心率
开普勒轨道根数： (a, e, i, , , M ) 天体状态坐标： ( x, y, z , y , z ) ,x
牛顿运动方程求解
（J. Hermann, J. Bernoulli, Euler, etc)
• Kepler问题求解（N=2)： • “The inverse Kepler problem”： 牛顿验证了Kepler 三定律； • J. Hermann, Johann Bernoulli （1710）： 给出了Kepler问题的精确 解；特别，J. Bernoulli的解 法成为标准解法（利用了守恒 律）
N-体问题
N 3 (无解析解！---Poincaré） N-体问题：
在Poincaré以前，牛顿运动方程的求解一直是 微分方程的主要研究课题，鲜有实质性进展。但是 此问题刺激了常微分方程、变分学、拓扑学、动力 系统和数学其它分支的发展，涌现了大批著名数学 家。本报告涉及到的还有：Laplace, Lagrange, Poisson, Liouville, Hamilton, Poincaré, Kolmogorov和Arnold，Moser等，他们在数学和力学 界都享有盛誉。
牛顿（Isaac Newton，1643-1727）
Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687) 自然哲学的数学原理 牛顿运动方程（第二定律+万有引力定律）：
d 2ri mi d 2t Fi (t , r1 , r2 ,...,rN , ), i 1,...,N mi m j ri r j ( t , r , r ,..., r ) G Fi 1 2 N | ri r j |2 | ri r j | j i