第三章图像变换

(3.2 − 4)
(3.2 − 5)
能量 E(u) = F(u) = R2 (u) + I 2 (u)
相位
傅立叶变换中出现的变量u 通常称为频率变量。
(3.2 − 6)
(3.2 − 7)
I (u ) φ (u) = tan [ ] R(u )
−1
傅里叶变换
一个实函数的傅里叶变换通常是复数， 一个实函数的傅里叶变换通常是复数，即
这 里 f(x) 是 实 函 数 ， 通 常 傅 立 叶 变 换 为 复 数 形 式 ( ) F(u)=R(u)+jI(u)。 ( 的实部 虚部、振幅、 的实部、 F(u)=R(u)+jI(u) 。 F(u)的实部、虚部 、振幅 、能量和相 位分别表示如下： 位分别表示如下： 欧拉公式： 欧拉公式：
正交变换广泛应用在图像增强、 图像恢复、 正交变换广泛应用在图像增强 、 图像恢复 、 特征提取、图像压缩编码和形状分析等方面。 特征提取、图像压缩编码和形状分析等方面。 在此，讨论常用的傅里叶变换。 在此，讨论常用的傅里叶变换。
重点内容
∗ 傅里叶变换的定义 ∗ 空间域频率域的理解 ∗ 离散傅里叶变换(DFT—Discrete Fourier 离散傅里叶变换(DFT— (DFT Transformation)的定义 的定义、 Transformation)的定义、性质和应用
e − j 2πux = cos 2πux − j sin 2πux (3.2 − 8)
实部
虚部
振幅
I (u) = −∫−∞ f (x) sin(2πux)dx
F (u ) = [ R 2 (u ) + I 2 (u )]
2
1 2
R(u) = ∫−∞ f (x) cos( πux)dx 2
∞
∞
(3.2 − 3)
M −1 N −1 u =0 v =0
∑ ∑ F (u , v ) e
j 2 π ( ux / M + vy / N )
(3.2—21)
式中 x=0，1，2，…，M-1；y=0，1，2，…，N-1。 ，， ， ， ； ，， ， ， 。 一维和二维离散函数的傅立叶谱、 一维和二维离散函数的傅立叶谱 、 相位和能量谱也分别 由前面式子给出，唯一的差别在于独立变量是离散的。 由前面式子给出，唯一的差别在于独立变量是离散的。
∗ 傅立叶变换：灰度分布函数 傅立叶变换： 频率分布函数 ∗ 傅立叶逆变换：频率分布函数 灰度分布函 傅立叶逆变换： 数
频谱图的理解
∗ 图像经傅里叶变换，在频谱图的四角（0,0）,（0,N-1 图像经傅里叶变换，在频谱图的四角（ ） （ 频率分量为0，中心点（ ， ）,（N-1,0）,(N-1,N-1)频率分量为 ，中心点（N/2， （ ） 频率分量为 N/2 ）处频率分量为最大值。 处频率分量为最大值。 ∗ 图像的信息主要集中在低频部分，在实际频谱分析 图像的信息主要集中在低频部分， 中，由于低频信息分布区域小 且四角分散，不利于分析理解。因此，常将 且四角分散，不利于分析理解。因此， 频谱中心移位， 频谱中心移位，使低频集中在中心 部分，高频分布在四周。 部分，高频分布在四周。 A D C B
F(u) = R(u) + jI(u)
极坐标表示： 极坐标表示：
F (u ) = F (u ) e
− j φ(u )
频率域的概念： 频率域的概念：
覆盖的域（ｕ的值） （ｕ的值 Ｆ(u) 覆盖的域（ｕ的值）称为频率域。 每一个Ｆ 每一个Ｆ(u) 称为频率分量。
变换分析的直观说明
1
1.299
2
f ( t) 5 0 5
研究快速傅立叶变换的必要性
∗ 一般来说，对一幅图像进行傅立叶变换运算 一般来说， 量很大，不直接利用以上公式计算。 量很大，不直接利用以上公式计算。现在都 采用傅立叶变换快速算法 傅立叶变换快速算法， 采用傅立叶变换快速算法，这样可大大减少 计算量。 计算量。
快速傅里叶变换（FFT)
∗ 一种称为逐次加倍法的快速傅立叶变换算法（FFT）， 一种称为逐次加倍法的快速傅立叶变换算法（ ）， 它是1965年Cooley和Tukey首先提出的。算法时间复杂度 首先提出的。 它是 年 和 首先提出的 很大时计算量可以大大减少。 为Nlog2N。当N很大时计算量可以大大减少。 。 很大时计算量可以大大减少
二维离散函数的傅立叶变换(DFT) 二维离散函数的傅立叶变换(DFT)
在二维离散的情况下， 在二维离散的情况下，傅立叶变换对表示为 F(u，v)= ，
M −1 N −1 1 MN
∑∑
f ( x , y ) e − j 2 π ( ux / M + vy / N ) (3.2—20)
x=0 y=0
式中u=0，1，2，…，M-1；v=0，1，2，…，N-1。 式中 ，， ， ， ； ，， ， ， 。 f(x，y)= ，
(3.2 − 1)
若已知F(u)，则傅立叶反变换为 ， 傅立叶反变换为 若已知
f ( x ) = ∫ F (u )e j 2πux du
−∞
∞
(3 .2 − 2 )
傅立叶变换对 式（3.2-1）和（3.2-2）称为傅立叶变换对。 ） ）称为傅立叶变换对。
称为时域变量 式中： j = − 1 ，x称为时域变量，u为频域变量。 称为时域变量， 为频域变量。
第三章 图像变换
讲解内容
1. 图像变换的概念、目的、要求和应用 图像变换的概念、目的、 2. 一维、二维连续、离散傅立叶变换定义 一维、二维连续、 3.傅立叶变换性质及其应用 傅立叶变换性质及其应用
目的
熟悉二维傅立叶变换定义、性质及其应用； 1. 熟悉二维傅立叶变换定义、性质及其应用； 2. 了解一维傅立叶变换算法及频谱分析方法 3.掌握利用 掌握利用Matlab做傅里叶变换的常用命令 掌握利用 做傅里叶变换的常用命令
11
2012年4月17日
由欧拉公式可知 可得
e jθ = cos θ + j sin θ e − jθ = cos θ − j sin θ
N −1 x=0
F (u ) =
∑
2π ux 2π ux f ( x )(cos − j sin ) N N
可见， 可见，离散序列的傅立叶变换仍然是一个离散的 序列，每一个 对应的傅立叶变换结果是所有输入 序列，每一个u对应的傅立叶变换结果是所有输入 序列f(x)的加权和。 的加权和。 序列 的加权和 每个f(x)都乘以不同频率的正弦和余弦值。 都乘以不同频率的正弦和余弦值。 每个 都乘以不同频率的正弦和余弦值
思考问题： 思考问题： • 为什么要进行傅里叶变换 • 什么是图像
傅立叶变换
∗ 傅立叶变换域也称为频域变换，它把图像从图像 傅立叶变换域也称为频域变换，它把图像从图像 也称为频域变换 空间变换到频率空间。 空间变换到频率空间。 ∗ 将原定义在图像空间的图像以某种形式转换（正 将原定义在图像空间的图像以某种形式转换（ 变换）到另外一些空间， 变换）到另外一些空间，并利用在这些空间的特 有性质方便地进行一定的加工， 有性质方便地进行一定的加工，最后再转换回图 像空间（反变换或逆变换）以得到所需要的效果。 像空间（反变换或逆变换）以得到所需要的效果。
1
1 t
h( t )
4
2
0
2
4
1
⊕
0.5
− 1.299 −5
2 t 5
g( t )
把一个信号的波形分解为许 多不同频率正弦波之和。 多不同频率正弦波之和。
10 2012年4月17日
5
0
5

0.5 t
第三章 图像变换
一维离散傅立叶变换(DFT) 一维离散傅立叶变换
数学上建立傅立叶变换的f(x)是连续的模拟信号，而计算 数学上建立傅立叶变换的 是连续的模拟信号， 是连续的模拟信号 机处理的是离散的数字信号，同时数学上用无穷大概念，而计 机处理的是离散的数字信号，同时数学上用无穷大概念， 数字信号 算机只能进行有限次计算。通常就将这种受限的傅立叶变换称 算机只能进行有限次计算。 有限次计算 为离散傅立叶变换（DFT）。 离散傅立叶变换（ ）
5
2012年4月17日
第三章 图像变换
傅里叶（Fourier），法国数学及物理学家，傅里叶级数（ 傅里叶（Fourier），法国数学及物理学家，傅里叶级数（三角级 ），法国数学及物理学家 创始人。 数）创始人。 1801年任伊泽尔省地方长官，1817年当选科学院院士，1822年任 1801年任伊泽尔省地方长官，1817年当选科学院院士，1822年任 年任伊泽尔省地方长官 年当选科学院院士 该院终身秘书， 该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会 主席。 主席。 主要贡献：在研究热的传播时创立了一套数学理论，1807年向巴 主要贡献：在研究热的传播时创立了一套数学理论，1807年向巴 黎科学院呈交了《热的传播论文》 推导著名的热传导方程， 黎科学院呈交了《热的传播论文》，推导著名的热传导方程，并在求 解该方程时发现函数可由三角函数构成的级数形式表示， 解该方程时发现函数可由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任 意函数可以展成三角函数的无穷级数。 意函数可以展成三角函数的无穷级数。
2012年4月17日 第三章 图像变换 12
二维连续函数的傅立叶变换
傅立叶变换很容易推广到二维的情况。如果 ， 是连续 傅立叶变换很容易推广到二维的情况。如果f(x，y)是连续 和可积的， 是可积的， 和可积的，且F(u，v)是可积的，则二维傅立叶变换对为 ， 是可积的
F (u , v) = ∫ ∫ f ( x, y )e − j 2π (ux + vy ) dxdy
• 数学与图像处理 • 空域与频域的桥梁 • 第二种语言
傅里叶变换
1. 一维连续函数的傅立叶变换