2010~2014年高考真题备选题库-第3章 第6节 简单的三角恒等变换

2010~2014年高考真题备选题库第3章 三角函数、解三角形 第6节 简单的三角恒等变换1．(2014·课标Ⅰ，8,5分)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：选B 由条件得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α，因为－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.2．(2014·江苏，5,5分)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．解析：由题意可得两个函数图象有一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫π3，12，所以sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝12，又0≤φ<π，解得φ＝π6. 答案：π63．(2014·广东，16,12分)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若 f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ. 解析：(1)∵f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322， ∴A sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π3＝322⇒A sin 3π4＝322⇒A ＝3. (2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，∵f (θ)－f (－θ)＝3，∴ 3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎫－θ＋π3＝3，展开得3⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ－3⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θ＝3，化简得sin θ＝33.∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos θ＝63. ∴f ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝3sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6. 4．(2014·湖北，17,11分)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解：(1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3， 又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1； 当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3， 故有10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3>11， 即sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3<－12. 又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.在10时至18时实验室需要降温． 5．(2013浙江，5分)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43B.34 C ．－34D ．－43解析：选C 本题考查对任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义、同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦、余弦、正切公式的理解，考查考生灵活运用公式以及运算的能力．法一：(直接法)两边平方，再同时除以cos 2α，得3tan 2α－8tan α－3＝0，tan α＝3或tan α＝－13，代入tan2α＝2tan α1－tan 2α，得到tan 2α＝－34. 法二：(猜想法)由给出的数据及选项的唯一性，记sin α＝310，cos α＝110，这时sin α＋2cos α＝102符合要求，此时tan α＝3，代入二倍角公式得到答案C.6．(2013新课标全国Ⅱ，5分)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________. 解析：本题考查同角三角函数关系式以及两角和三角函数公式的基本运用，意在考查考生灵活运用知识解决问题的能力以及合理选取解法的能力．法一：由θ在第二象限，且tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，因而sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－55，因而sin θ＋cos θ＝ 2 sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－105. 法二：如果将tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12利用两角和的正切公式展开，则tan θ＋11－tan θ＝12，求得tan θ＝－13.又因为θ在第二象限，则sin θ＝110，cos θ＝－310，从而sin θ＋cos θ＝－210＝－105.答案：－1057．(2013四川，5分)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：本题考查同角三角函数的基本关系与倍角公式，意在考查考生的运算能力及符号取舍的判断能力．因为sin 2α＝－sin α，所以2sin αcos α＝－sin α，cos α＝－12.又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以α＝2π3，tan 2α＝tan 4π3＝3.答案： 38．(2013广东，12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π6的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3. 解：本题考查特殊角的三角函数值，同角三角函数的基本关系、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力．(1)f ⎝⎛⎭⎫－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π6－π12＝ 2cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝2cos π4＝1. (2)f (2θ＋π3)＝ 2 cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－π12＝2cos ⎝⎛⎫2θ＋π4＝cos 2θ－sin 2θ. 因为cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以sin θ＝－45. 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725.所以f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ＝－725－⎝⎛⎭⎫－2425＝1725. 9．(2013重庆，12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2 ＋2ab ＝c 2.(1)求C ；(2)设cos A cos B ＝325，cos (α＋A )cos (α＋B )cos 2α＝25，求tan α的值． 解：本题主要考查解三角形问题，意在考查考生对公式的运用能力．(1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22.故C ＝3π4.(2)由题意得(sin αsin A －cos αcos A )(sin αsin B －cos αcos B )cos 2＝25. 因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝25， tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ＝25， tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝25. ① 因为C ＝3π4，所以A ＋B ＝π4，所以sin(A ＋B )＝22，因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ， 即325－sin A sin B ＝22， 解得sin A sin B ＝325－22＝210.由①得tan 2α－5tan α＋4＝0， 解得tan α＝1或tan α＝4.10．(2012山东，5分)若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35B.45C.74D.34解析：因为θ∈[π4，π2]，所以2θ∈[π2，π]，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.11．(2012辽宁，5分)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )A ．－1B ．－22C.22D ．1解析：由sin α－cos α＝2sin (α－π4)＝2，α∈(0，π)，解得α＝3π4，所以tan α＝tan 3π4＝－1.答案：A12．(2012江西，5分)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.12解析：法一：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan 2 θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan 2 θ，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2 θ＋cos 2 θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝12. 法二：∵tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2sin 2θ∴4＝2sin 2θ，故sin 2θ＝12.答案：D13．(2012江苏，5分)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．解析：因为α为锐角，cos(α＋π6)＝45，所以sin(α＋π6)＝35，sin 2(α＋π6)＝2425，cos 2(α＋π6)＝725，所以sin(2α＋π12)＝sin[2(α＋π6)－π4]＝22×1725＝17250. 答案：1725014．(2012广东，12分)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (5α＋53π)＝－65，f (5β－56π)＝1617，求cos(α＋β)的值．解：(1)∵f (x )＝2cos(ωx ＋π6)，ω>0的最小正周期T ＝10π＝2πω，∴ω＝15.(2)由(1)知f (x )＝2cos(15x ＋π6)，而α，β∈[0，π2]，f (5α＋5π3)＝－65，f (5β－5π6)＝1617，∴2cos[15(5α＋5π3)＋π6]＝－65，2cos[15(5β－5π6)＋π6]＝1617，即cos(α＋π2)＝－35，cos β＝817，于是sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.15．(2011江苏，14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若sin(A ＋π6)＝2cos A ，求A 的值；(2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．解：(1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A .从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A ＝ 3. 因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2.所以sin C ＝cos A ＝13.16．(2011辽宁，5分)设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19C.19D.79解析：sin2θ＝－cos(π2＋2θ)＝2sin 2(π4＋θ)－1＝2×(13)2－1＝－79.答案：A17．(2010新课标全国，5分)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B.12 C ．2D ．－2解析：∵cos α＝－45且α是第三象限的角，∴sin α＝－35，∴1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sin α2cos α2cos α2－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sinα2＝(cos α2＋sin α2)2(cos α2－sin α2)(cos α2＋sin α2)＝1＋sin αcos 2α2－sin 2α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.答案：A18．(2010福建，5分)计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于( )A.12B.33C.22D.32解析：sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.答案：A。