大学微积分l知识点总结二

【第五部分】不定积分

1.书本知识（包含一些补充知识）

（1）原函数：F ’（x ）=f （x ），x ∈I ，则称F （x ）是f （x ）的一个“原函数”。 （2）若F （x ）是f （x ）在区间上的一个原函数，则f （x ）在区间上的全体函数为F （x ）+c （其中c 为常数） （3）基本积分表

⎰⎰+==c x dx dx 1

c x dx x +⋅+∂=

⋅+∂∂⎰11

1

（α≠1，α为常数） c dx x

x +=⋅⎰ln 1 ()

()()⎰⎰

⎰⎰⎰+-⋅=⋅+-=⋅-+-=⋅++=⋅≠+=⋅c x x x dx x c

x x dx x

c x arc x dx x c e dx e a a a c a a dx a x x

x

x

ln ln arccos arcsin 11cot arctan 11

10ln 2

2

或或为常数，，＞ ()

c x

a x

a a dx x a c a

x

a dx x a c a

x

dx x a c

x x dx x +-+⋅=⋅-+=⋅++=⋅-+++=⋅+⎰⎰⎰⎰

ln 211arctan 11arcsin 1

1ln 112

22

22

222

c x x

x

d c

shx dx chx c chx dx shx +-=-+=⋅+=⋅⎰

⎰⎰cos ln cos cos

c

x dx x c x dx x c x dx x +=⋅+=⋅+-=⋅⎰⎰⎰cos ln tan sin cos cos sin c x dx x +=⋅⎰sin ln cot

c x dx x x c x dx x x c

x dx x c x dx x c x x dx x c x x dx x c x x dx x c x x dx x c

x x dx x c x x dx x +-=⋅⋅+=⋅⋅+-=⋅+=⋅+--=⋅+-=⋅++=⋅+-=

⋅+-=⋅++=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰csc cot csc sec tan sec cot csc tan sec cot cot tan tan 2sin 4

12cos 2sin 41

2sin cos csc ln csc tan sec ln sec 22222

2

c x dx a

x a x ++=⋅++⎰

2

2ln

12

2

（4）零函数的所有原函数都是c （5）C 代表所有的常数函数 （6）运算法则

数乘运算

[]⎰⎰⎰⎰⎰⋅±⋅=⋅±⋅⋅=⋅⋅dx

x g dx x f dx x g x f dx

x f a dx x f a )()()()()()(②①

（

7）[][]c x F dx x x f +=⋅⎰)()(')(ϕϕϕ复合函数的积分：

c

b x F dx b x f

c b ax F a b ax

d b ax f a dx b ax f ++=⋅+++⋅=+⋅+⋅=

⋅+⎰⎰⎰

)()()(1

)()(1)(一般地，

（9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。

（10）不定积分的计算方法

①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性

t

a x dx a x t a x dx a x t a x dx x a tan sec sin 222222⋅=⇒⋅+⋅=⇒⋅-⋅=⇒⋅-⎰

⎰⎰

③分部积分法：

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅-⋅=⋅⋅⋅-⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅==du

v v u dv u dx x v x u x v x u dx x v x u dx x v x u dx x v x u x v v x u u 简写为：并有：也存在存在，则均可导，且若)()(')()()(')()(')()()(')(),(

【解释：一阶微分形式不变性】 释义：函数 对应：y=f(u)

加减运算

线性运算

（8）

du u f du y dy ⋅=⋅=)(''功能：

说明：

[][][]()[]变性。

这称为一阶微分形式不，均有是自变量还是中间变量因此，无论带入得：因为的微分形式为：为中间变量，自变量为那么复合函数复合函数求导得：，即变量为函数即为复合函数。自是中间变量，即如果的微分形式为：是自变量，则函数此时如果设函数为du u f dy u du

u f dy du dx x g x g u dx x g x g f dx y dy u x g x x g f y x g x g f y x g y x x g u u du

u f du y dy u f y u u f y ⋅=⋅==⋅=⋅⋅=⋅===⋅===⋅=⋅===)(')('.)('),(.)(')(''')()().(')('',)(:),()('')(),(

（11）c x dx a

x a x ++⇒⋅++⎰

2

2ln

12

2

（12）分段函数的积分 例题说明：{}

dx x ⋅⎰2,1max

()需要调整

连续的原则，需要说明的一点，依据）＞

（）（）＜（）

＞（）

（）＜（解：

321322132

2

2

2,,1323

111-1-3231),1max(111-11-,1max c c c x c x x c x x c x dx x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++≤≤++-=⋅⎪⎩⎪

⎨⎧≤≤=⎰

（13）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一