函 数【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结十一、概率１．随机事件A 的概率0()1P A ≤≤，其中当()1P A =时称为必然事件；当()0P A =时称为不可能事件P(A)=0；2.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=nm 。
理解这里m 、ｎ的意义。
如（1）将数字1、2、3、4填入编号为1、2、3、4的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是______（答：3）；（2）设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①从中任取2件都1）P A A 这每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是________（答：9）；（4）一项“过关游戏”规则规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n ，则算过关，那么，连过前二关的概率是________（答：2536）；（5）有甲、乙两口袋，甲袋中有六张卡片，其中一张写有0，两张写有1，三张写有2；乙袋中有七张卡片，四张写有0，一张写有1，两张写有2，从甲袋中取一张卡片，乙袋中取两张卡片。
设取出的三张卡片的数字乘积的可能值为n m m m 21,且n m m m <<< 21，其相应的概率记为)(),(),(21n m P m P m P ，则)(3m P 的值为_____________（答：463）；（6）平面上有两个质点A 、B 分别位于（0，0）、（2，2）点，在某一时刻同时开始每隔1秒钟向上下左右四个方向中的任何一个方向移动1个单位，已知质点A 向左、右移动的概率都是41，向上、下移动的概率分别是31和p ，质点B 向四个方向中的任何一个方向移动的概率都是q 。
①求p 和q 的值；②试判断最少需要几秒钟，A 、B 能同时到达D （1，2）点？并求出在最短时间内同时到达的概率. （答：①11,64p q ==；②3秒；3256） 6、独立事件重复试验：事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生了．．．．．k 次．的概率()(1)k k n k n n P k C p p -=-(是二项展开式[(1)]n p p -+的第k +1项)，其中p 为在一次独立重复试验中事④1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ；⑤!(1)!!n n n n ⋅=+-；⑥(1)!!(1)!n n n =-++. 2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．如（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种（答：53）；（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（答：70）；（3）从集合{}1,2,3和{}1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___（答：23）；（4）72的正约数（包括1和72）共有 个（答：12）；（5）A ∠的一边AB 上有4个点，另一边AC 上有5个点，连同A ∠的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形（答：90）；（6）用六种不同颜色把右图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法（答：480）；（7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 种（答：9）；（8）f 是集合{},,M a b c =到集合{}1,0,1N =-的映射，且()()f a f b + ()f c =，则不同的映射共有 个（答：7）；（9）满足}4,3,2,1{=C B A 的集合A 、B 、C 共有 组（答：47）3.解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。
初中数学知识归纳函数题的解题思路与方法
初中数学知识归纳函数题的解题思路与方法在初中数学中，函数题是一个重要的考点，也是学生们经常遇到的难题之一。
解函数题的思路和方法对于学生来说非常关键，下面我将归纳总结一些解题思路和方法，希望能够帮助到大家。
1. 了解函数的概念和性质在解题之前，首先要对函数的概念和性质有一定的了解。
函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每一个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
函数具有定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，了解这些性质对于解题非常有帮助。
2. 分析题目中给出的条件和要求在解函数题时，要仔细分析题目中给出的条件和要求。
通常，题目会给出函数的定义式、特定的取值范围或条件等。
通过理解这些条件，可以帮助我们确定函数的定义域、值域以及其他限制条件。
3. 利用函数的性质进行转化和简化在解函数题时，我们可以运用函数的性质进行转化和简化。
例如，当函数关系较为复杂时，可以考虑利用函数的复合、求导、反函数等性质进行化简。
此外，还可以通过代入特定值的方法，计算函数的取值，从而找到一些规律和特点，帮助解题。
4. 利用图像和图表进行分析对于函数题，我们可以通过绘制函数的图像或者绘制函数值的表格进行分析。
图像和图表能够直观地展示函数的变化趋势，帮助我们理解函数的性质和规律。
通过观察图像和图表，我们可以找到函数的最值、零点、极值等重要信息，这些信息对于解题非常有帮助。
5. 运用推理和证明进行问题求解有些函数题需要通过推理和证明进行求解。
在解题过程中，要注重观察函数的特点和规律，运用数学推理进行问题求解。
通过归纳、递推、反证法等方法，可以帮助我们解决一些较为复杂的函数问题。
6. 多做练习，积累经验最后，解函数题也需要多做练习，不断积累经验。
通过反复练习，可以熟悉各种类型的函数题目，提高解题的能力和速度。
同时，还可以总结不同类型的函数题解题思路和方法，积累解题经验，提高解题的准确性和效率。
综上所述，解函数题需要掌握函数的概念和性质，分析题目给出的条件和要求，利用函数的性质进行转化和简化，运用图像和图表进行分析，运用推理和证明进行问题求解，同时要进行大量的练习和积累经验。
2012高考数学函-数【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】
2012高考数学函-数【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】D234（答：[1,324]）；3．函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如求函数2sin 11sin y θθ-=+，313x x y =+，2sin 11cos y θθ-=+的值域（答：1(,]2-∞、（0,1）、3(,]2-∞）； 4．单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求1(19)y x x x =-<<，229sin 1sin y x x=++，532log 1x y x -=+- （答：80(0,)9、11[,9]2、[2,10]）； 5．数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如（1）已知点(,)P x y 在圆221xy +=上，求2yx +及2y x -的取值范围 （答：33[33-、[5,5]）； （2）求函数22(2)(8)y x x =-+（答：[10,)+∞）；（3）求函数2261345y x x x x -+++2261345y x x x x -+++的值域（答：43,)+∞、(26,26)-）注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在x 轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在x 轴的同侧。
6．判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：①2by k x =+型，可直接用不等式性质，如 求232y x =+的值域（答：3(0,]2） ②2bxy x mx n=++型，先化简，再用均值不等式，如（1）求21xy x=+的值域 （答：1(,]2-∞）；（2）求函数23x y x +=+的值域（答：1[0,]2） ③22x m x n y x mx n''++=++型，通常用判别式法；如已知函数2328log 1mx x ny x ++=+的定义域为R ，值域为[0，2]，求常数,m n 的值 （答：5m n ==）④2x m x n y mx n ''++=+型，可用判别式法或均值不等式法，如求211x x y x ++=+的值域（答：(,3][1,)-∞-+∞）7．不等式法――利用基本不等式(,)a b ab a b R ++≥∈求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
函数概念例题和知识点总结
函数概念例题和知识点总结在数学的广袤世界中，函数是一个极其重要的概念。
它就像是一座桥梁，连接着不同的数学领域，帮助我们理解和解决各种问题。
接下来，让我们通过一些例题来深入理解函数的概念，并对相关知识点进行总结。
一、函数的定义函数是一种特殊的对应关系。
在给定的集合中，对于每一个自变量的值，都有唯一确定的因变量的值与之对应。
例如，我们有一个函数 f(x) ＝ 2x ＋ 1。
当 x ＝ 1 时，f(1) ＝ 2×1 ＋1 ＝ 3；当 x ＝ 2 时，f(2) ＝ 2×2 ＋ 1 ＝ 5。
可以看到，对于每一个给定的 x 值，都能通过这个表达式得到唯一确定的 f(x) 值。
二、函数的表示方法函数可以用多种方式表示，常见的有解析法、列表法和图像法。
1、解析法就是用数学表达式来表示函数关系，如上面提到的 f(x) ＝ 2x ＋ 1 就是解析法。
2、列表法通过列出自变量和对应的因变量的值来表示函数，比如：｜ x ｜ 1 ｜ 2 ｜ 3 ｜｜｜｜｜｜｜ f(x) ｜ 3 ｜ 5 ｜ 7 ｜3、图像法用图像来直观地展示函数关系。
例如，对于函数 f(x) ＝ x²，它的图像是一个开口向上的抛物线。
三、函数的定义域和值域定义域是指自变量的取值范围，而值域则是因变量的取值范围。
例如，对于函数 f(x) ＝ 1 ／（x 1)，由于分母不能为 0，所以 x 1 ≠ 0，即x ≠ 1，定义域为x ≠ 1。
通过分析函数的表达式，可以得出值域。
四、例题分析例 1：已知函数 f(x) ＝√（x 2)，求其定义域。
要使根式有意义，被开方数必须大于等于 0，即x 2 ≥ 0，解得x ≥ 2，所以定义域为 2, ＋∞）。
例 2：若函数 f(x) ＝ 2x ＋ 3，当 x ＝－1 时，求 f(x)的值。
将 x ＝－1 代入函数中，f(－1) ＝ 2×（－1) ＋ 3 ＝ 1 。
例 3：已知函数 f(x)的图像经过点(1, 2)和(2, 4)，求函数的表达式。
高考数学概念、方法、易错点、题型总结大全
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。
本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点,按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧,相信通过对本资料的认真研读,一定能大幅度地提升高考数学成绩。
集合与简易逻辑一．集合元素具有确定性、无序性和互异性。
在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如(1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=,若,，则P+Q中元素的有________个。
(答：8）（2）设，,，那么点的充要条件是________（答：）;（3）非空集合,且满足“若，则”,这样的共有_____个（答:7)二．遇到时,你是否注意到“极端”情况：或；同样当时，你是否忘记的情形?要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
如集合，,且,则实数＝___.（答：）三．对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为如满足集合M有______个。
（答：7）四．集合的运算性质：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺.如：设全集，若,,,则A＝_____,B＝___.（答：,) 五．研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素.如:—函数的定义域；—函数的值域；—函数图象上的点集，如(1）设集合，集合N＝，则___(答：）；（2）设集合，,，则_____（答：)六．数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具,在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况,补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.如: 已知函数在区间上至少存在一个实数，使,求实数的取值范围.（答:）特点是“一假即假，要真全真”；“非命题"的真假特点是“真假相反”。
初中数学解题技巧应对函数与像题的妙招
初中数学解题技巧应对函数与像题的妙招随着数学教育的不断发展，函数与像题在初中数学中显得越来越重要。
掌握好解题技巧将对学生的数学成绩有着显著的提升作用。
本文将为大家介绍一些应对函数与像题的妙招，帮助同学们在解题过程中更加得心应手。
第一招：理解函数与像的定义要想解题熟练，首先我们需要对函数与像的定义有一个深入的理解。
函数是一个将一个集合的元素（称为“自变量”）映射到另一个集合的元素（称为“因变量”）的规则。
而像则是指函数中自变量在定义域中的取值，经过函数计算后得到的因变量的取值。
理解了这两个概念，我们才能更好地应对相关题目。
第二招：掌握函数的性质掌握函数的性质对解题来说非常重要。
比如，了解函数的奇偶性质可以帮助我们判断函数的图像关于y轴对称还是关于原点对称；了解函数的单调性质可以帮助我们判断函数的增减区间；了解函数的周期性质可以帮助我们判断函数的周期等等。
只有充分了解函数的性质，我们才能更加准确地解题。
第三招：善于运用函数的性质解题在解题过程中，我们应该善于发现和利用函数的性质。
比如，在求解函数的最值问题时，我们可以通过函数的单调性质来判断极值点；在求解函数的解析式时，我们可以根据函数的已知性质来列方程。
通过运用函数的性质，我们能够更加简洁地解决问题。
第四招：解读函数的图像信息函数的图像是解题过程中的一大帮手。
通过观察函数的图像，我们可以更直观地理解函数的性质，进而解题。
首先，我们可以通过观察曲线与坐标轴的交点来求解方程；其次，我们可以通过观察曲线的斜率来判断函数的单调性；最后，我们可以通过观察曲线的形状来判断函数的周期等。
掌握了解读函数图像的技巧，解题效率将大大提升。
第五招：善用代数化简函数与像题中经常会出现复杂的表达式，对于这种情况我们需要学会使用代数化简来简化题目。
首先，我们可以尝试因式分解，将一个复杂的表达式分解为几个简单的因子；其次，我们可以运用消元法，将多个变量的方程化简为一个变量的方程；最后，我们可以利用恒等式或者等价变形，将复杂的等式或者不等式转化为更简洁的形式。
初中数学函数知识点归纳及学习技巧
初中数学函数知识点归纳及学习技巧数学函数是初中数学中的重要知识点，它包含了函数的定义、函数图像、函数性质及应用等内容。
掌握好函数知识对于进一步学习高中数学以及其他科学领域都有着重要的作用。
下面就是一个关于初中数学函数知识点归纳及学习技巧的详细介绍。
一、函数的定义1.函数的概念：函数是一个或多个自变量和因变量之间的对应关系。
2.自变量和因变量：自变量是函数中可以自由取值的变量，而因变量则是自变量的取值通过函数关系所确定的变量。
3.函数的表达方式：函数可以用分式、方程、图像等方式来表示。
二、函数的图像1.函数图像的概念：函数图像是表示函数关系的平面图形。
2.函数图像的绘制：可以通过绘制函数关系的坐标点来得到函数的图像。
3.函数图像的性质：函数图像可以根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期等性质进行分析。
三、函数的性质1.定义域：函数定义的自变量的取值范围称为函数的定义域。
2.值域：函数对应的因变量的取值范围称为函数的值域。
3.单调性：函数在定义域上的增减变化情况。
4.有界性：函数是否有上界或下界。
5.奇偶性：函数关系对称于原点的性质。
6.周期性：函数关系在一定范围内的重复性。
四、函数的应用1.实际问题中的函数：函数可以用来解决实际问题中的各种数学模型，如利润模型、付款模型等。
2.函数在生活中的应用：函数在日常生活中的应用非常广泛，如计算器、电脑图像处理等都是基于函数原理的。
学习函数知识的技巧：1.理论学习：首先要掌握函数的定义，理解函数的概念和特性，了解函数的图像和性质。
2.实践练习：通过大量的习题练习来加深对函数的理解，掌握函数的相关计算方法和技巧。
3.多角度思考：学习函数时要从不同角度思考问题，例如可以通过绘制函数图像、推导函数性质等多种方式来加深理解。
4.应用能力培养：掌握函数的应用技巧，通过解决实际问题来培养函数的应用能力。
5.总结归纳：学习函数知识时要及时总结和归纳，形成属于自己的知识体系，以便于后续的学习和应用。
数学中函数题解题技巧与关键知识点
数学中函数题解题技巧与关键知识点数学中的函数题是学习数学的重要组成部分，它既考察了学生对函数的理解和掌握程度，又锻炼了学生的逻辑思维和解题能力。
要想在函数题中取得好成绩，除了掌握函数的基本概念和性质外，还需要了解和运用一些解题技巧和关键知识点。
本文将介绍一些在解决函数题时常用的技巧和需要注意的知识点，希望对大家的学习有所帮助。
一、函数图像的基本性质在解决函数题时，了解函数图像的基本性质是非常重要的。
函数图像的基本性质主要包括图像的对称性、变化趋势和特殊点等。
1.1 对称性函数图像可能具有的对称性分为两种情况：关于y轴对称和关于原点对称。
通过观察函数的解析式或图像，可以判断函数是否具有对称性，并运用对称性简化解题步骤。
1.2 变化趋势函数图像的变化趋势可以通过一阶导数（斜率）和二阶导数（曲率）来判断。
一阶导数表示函数的增减性，二阶导数表示函数的凹凸性。
利用这些性质可以判断函数的最值、拐点等信息，从而解决函数题。
1.3 特殊点在函数图像中，特殊点包括零点、极值点和间断点等。
通过求解方程或方程组，可以找到函数的零点；通过求导数，可以找到函数的极值点；通过观察函数图像，可以找到函数的间断点。
对这些特殊点的分析可以帮助我们更好地理解函数图像和解决函数题。
二、函数的综合运用在解决函数题时，经常会遇到一些需要综合运用多个函数概念或性质的问题。
以下是一些常见的情况。
2.1 函数的复合函数的复合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
通过理解函数复合的意义，可以将复杂的函数化简为简单的函数，从而解决函数题。
2.2 函数的反函数函数的反函数是指将函数的自变量和因变量对调得到的新函数。
通过求解函数的反函数，可以解决一些反函数性质相关的问题，如函数的对称性等。
2.3 函数的逆运算函数的逆运算是指将函数的运算过程逆转得到的新运算。
在一些函数题中，我们需要通过变换来求解函数的逆运算，从而找到函数的特定解或求解关于函数的方程。
V-函_数【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结函 数一．映射f : A →B 的概念。
在理解映射概念时要注意：㈠中元素必须都有象且唯一；㈡B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
如：（1）设:f M N →是集合M 到N 的映射，下列说法正确的是 A 、M 中每一个元素在N 中必有象 B 、N 中每一个元素在M 中必有原象 C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的 D 、N 是M 中所在元素的象的集合（答：A ）；（2）点),(b a 在映射f 的作用下的象是),(b a b a +-，则在f 作用下点)1,3(的原象为点________（答：（2，－1））；（3）若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个，A 到B 的函数有 个（答：81,64,81）；（4）设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5M N =-=，映射:f M N →满足条件“对任意的x M ∈，()x f x +是奇数”，这样的映射f 有____个（答：12）；（5）设2:x x f →是集合A 到集合B 的映射，若B={1,2}，则B A 一定是_____（答：∅或{1}）.二．函数f : A →B 是特殊的映射。
特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。
如：（1）已知函数()f x ，x F ∈，那么集合{(,)|(),}{(,)|1}x y y f x x F x y x =∈= 中所含元素的个数有 个（答： 0或1）；（2）若函数42212+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝（答：2）三．同一函数的概念。
构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。
而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。
数学中函数与方程题解题技巧与关键知识点
数学中函数与方程题解题技巧与关键知识点在数学学科中，函数和方程是常见的解题内容。
掌握函数与方程的解题技巧和关键知识点，对于解决各种数学问题至关重要。
本文将介绍函数与方程的解题技巧，并总结关键的知识点。
一、函数题解题技巧函数题主要涉及对函数的理解和运用。
以下是几个解题技巧：1. 明确函数的定义和性质在解函数题时，首先要明确函数的定义和性质。
了解函数的定义能够帮助我们准确地理解题目要求，并且在解题过程中遵循正确的思路。
2. 建立函数模型建立函数模型是解函数题的关键一步。
根据题目给出的条件，通过分析和推理，我们可以建立相应的函数模型。
模型的建立应该符合实际情况，并且能够准确地表示题目中的关系。
3. 利用函数的性质和图像进行推导函数的性质和图像是解题的重要工具。
根据函数的性质，我们可以使用代数方法进行推导和计算。
同时，观察函数的图像有助于我们直观地理解函数的特点，并在解题过程中进行判断和估计。
4. 特殊取值和特殊情况的考虑在解某些函数题时，我们可以选择合适的特殊取值，通过具体计算获得一些结果，然后对规律进行总结。
同时，考虑特殊情况也是解题的重要一环，特殊情况有助于我们深入理解函数的性质。
二、方程题解题技巧方程题在数学中占据重要地位，解题时需要掌握以下技巧：1. 明确方程的类型方程分为一元一次方程、一元二次方程、多元一次方程等类型。
在解题前，需要明确所给方程的类型，进而选择合适的解法。
熟悉各种方程类型的特点和解法，对于解题非常有帮助。
2. 运用等式性质和运算规律在解方程题时，我们可以利用等式的性质和运算规律进行变形和化简。
通过巧妙的变形，可以使方程更容易解出。
3. 借助图像思考有些方程可能难以进行解析求解，这时我们可以借助图像进行思考。
观察方程对应的图像，通过图像的性质进行推理和解题。
4. 注意特殊解和解的存在性方程的解可能存在多个，也可能不存在解。
在解题时，需要注意特殊解的存在，并进行全面的计算和分析。
初二下涵数知识点归纳总结
初二下涵数知识点归纳总结初二下学期的数学课程中，我们学习了很多有关涵数的知识。
在这篇文章中，我将对这些知识点进行归纳总结。
涵数是一个重要的数学概念，它在数学中有着广泛的应用，并且在解决问题时起着重要的作用。
一、涵数的定义涵数是指在一个集合中使得某个条件成立的数的个数。
通常用符号n(E)来表示一个集合E中涵数的个数。
例如，如果集合E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，且条件是这些数都是正整数，则n(E) = 6。
二、涵数的性质涵数具有以下几个性质：1. 如果集合E是一个有限集合，且E为空集，则n(E) = 0。
2. 如果集合E是一个有限集合，且E中的元素互不相同，则n(E)就是这个集合的元素个数。
3. 如果集合E是一个有限集合，且E中的元素不互不相同，则可以通过求解条件成立的元素个数，来计算n(E)。
4. 如果集合E是一个无限集合，那么我们无法计算准确的n(E)，只能通过近似值或其他方法来估算。
三、涵数的计算涵数的计算方法因问题的不同而有所不同。
下面是一些常见的计算方法：1. 列举法：通过列举集合中满足条件的元素，然后计算元素个数，即可得出涵数。
2. 统计法：通过对问题进行统计，收集数据并计算个数，来得出涵数。
3. 公式法：有一些问题可以通过使用特定的公式来计算涵数。
四、涵数的应用涵数在生活和学习中有着广泛的应用，下面是一些例子：1. 投掷骰子：如果一个骰子投掷6次，求得到的点数和为10的可能性。
我们可以通过列举所有可能的组合，然后计算符合条件的组合个数来得到答案。
2. 统计调查：在进行调查时，我们可以使用涵数来计算满足特定条件的人数或事物的个数。
3. 概率计算：涵数可以用于计算概率，即某个事件发生的可能性。
综上所述，涵数是一个重要的数学概念，它帮助我们解决问题，计算个数以及推导概率等。
我们需要掌握涵数的性质和计算方法，并能够灵活运用到实际问题中。
希望通过这篇总结，能够帮助同学们更好地理解和应用涵数的知识。
考研数学函数题解题技巧
考研数学函数题解题技巧考研数学中，函数题是一项占比较大的知识点。
在解题过程中，掌握一些解题技巧能够提高解题效率，使得我们能够更好地应对函数题。
下面将介绍一些常见的解题技巧，希望对大家的备考有所帮助。
一、抓住函数的性质在解题过程中，首先要对给定的函数进行分析，抓住其性质。
了解函数的定义域、值域、奇偶性以及单调性等特点，能够在一定程度上指导解题思路。
例如，若函数为奇函数，则在求最值时只需考虑非负区间，这样能够简化计算过程。
二、变量替换变量替换是解决函数题中常用的一种方法。
通过适当替换变量，能够将复杂的函数简化为易于处理的形式。
例如，在计算积分时，可以通过变量替换将被积函数转化为更简单的形式，从而便于求解。
三、利用对称性对称性是函数题中常见的一种性质。
在熟悉常见函数的基础上，我们可以通过观察函数的对称性来简化解题过程。
例如，函数关于y轴对称的性质，可以在求解方程时将方程变为两个关于x的方程，从而减少计算量。
四、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微积分中常用的一个定理，也是解决函数题的一个重要工具。
该定理指出，若函数在闭区间上连续且在开区间上可导，那么在开区间内一定存在某个点，使得函数的导数在该点上的值与函数的两个端点之间的斜率相等。
利用拉格朗日中值定理，可以解决许多涉及函数的问题。
例如，在求证问题中，可以通过构造辅助函数，利用拉格朗日中值定理证明不等式的成立。
在求函数的极值点时，也可以通过求导证明函数的极值点存在。
因此，熟练掌握拉格朗日中值定理的应用是解决函数题的重要手段。
五、综合运用在解题过程中，我们需要充分利用已掌握的数学知识，将各种技巧进行综合运用。
这需要对题目进行分析和思考，合理地运用不同的方法。
有时候，我们还可以借鉴其他学科的知识，比如物理学中的对称性原理等，来解决函数题。
总之，考研数学函数题解题技巧的掌握是备考过程中的关键所在。
通过抓住函数的性质、变量替换、利用对称性、运用拉格朗日中值定理以及综合运用各种技巧，能够提高解题效率，更好地应对函数题的挑战。
数学高效学习方法解决函数与形问题的技巧与方法
数学高效学习方法解决函数与形问题的技巧与方法数学高效学习方法：解决函数与形问题的技巧与方法数学是一门需要理解和掌握的学科，而在学习数学过程中，函数与形问题是一大挑战。
然而，只要我们掌握了一些高效的学习方法和技巧，解决函数与形问题将变得更加容易。
本文将向你介绍一些解决函数与形问题的技巧与方法，帮助你在数学学习中取得更好的成绩。
一、理解函数与形概念函数与形问题中最关键的一步是理解函数与形的概念。
在开始解决问题之前，确保你对函数与形的定义和性质有所了解。
函数是一个输入与输出之间的关系，其中每个输入都有唯一的输出。
形则是指图形的属性和性质。
通过理解这些概念，你将能够更好地分析和解决相关问题。
二、掌握常见函数和形的性质函数与形问题中常常涉及一些常见的函数和形，例如线性函数、二次函数、三角函数以及圆、三角形、四边形等形。
对于这些函数和形，你需要掌握它们的基本性质，例如线性函数的图像为一条直线、二次函数的图像为抛物线等。
通过深入了解这些性质，可以更快地分析和解决相关问题。
三、运用图像化方法辅助解题在解决函数与形问题时，一个有用的方法是利用图像化方法。
通过绘制函数的图像或者形的示意图，可以更直观地理解问题，并找到解决问题的思路。
例如，在解决一道函数问题时，可以绘制函数的图像，并通过观察图像的变化来得到解题的线索。
类似地，在解决形问题时，可以画出形的示意图，以帮助理解问题，并推导出解题的方法。
四、灵活运用数学工具解决函数与形问题时，我们需要熟练地运用数学工具。
例如，对于函数问题，可以利用方程、不等式、导数等数学工具来求解；对于形问题，可以使用几何关系、相似性、三角函数等工具来解决。
通过熟练地运用这些数学工具，可以更快速和准确地解决相关问题。
五、积极练习与应用数学学习最重要的一个环节是积极地练习与应用所学的知识和技巧。
通过大量的练习，我们能够更好地掌握函数与形的方法与技巧，并在实际问题中灵活运用。
建议你多做一些练习题和应用题，提高解决函数与形问题的能力。
数学必考知识点解题技巧助你理解数学函数和概率统计
数学必考知识点解题技巧助你理解数学函数和概率统计数学作为一门重要的学科，对于许多学生而言，常常是他们的心头之痛。
尤其是函数和概率统计这两个知识点，让许多学生望而生畏。
然而，只要掌握了解题的技巧和方法，函数和概率统计的难点就能被轻松攻克。
本文将介绍一些数学必考的知识点，以及解题技巧，帮助你更好地理解数学函数和概率统计。
一、数学函数函数是数学中最基本的概念之一，也是应用广泛的数学工具。
在数学函数的学习中，我们需要掌握以下几个重要的知识点和解题技巧：1. 函数的定义与性质：数学函数可以简单理解为两个集合之间的映射关系。
在解题过程中，我们需要了解函数的定义与性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性等，从而更好地理解和分析题目。
2. 函数的图像与图像变换：通过绘制函数的图像可以直观地理解函数的特点和性质。
同时，我们还需要掌握图像的平移、伸缩、翻转等变换规律，以便灵活应用于解题过程中。
3. 函数的性质和方程的求解：通过掌握函数的性质，我们可以更好地理解函数的方程，并且能够灵活运用各种方法求解函数的方程，如代入法、图像法、解方程法等。
二、概率统计概率统计是数学中的一门学科，它研究的是随机事件的可能性和规律。
在概率统计的学习中，我们需要掌握以下几个重要的知识点和解题技巧：1. 概率的基本概念：在解概率题目时，我们需要了解概率的基本概念，如样本空间、事件、试验等，并且要能够准确计算概率的大小。
2. 排列组合与概率：排列组合是概率统计中的重要工具，通过掌握排列组合的基本原理和计算方法，我们可以更好地解决和计算概率问题。
3. 随机变量与概率分布：随机变量是概率统计中的核心概念，我们需要了解随机变量的概念、特点以及各种常见的概率分布，如二项分布、正态分布等。
总结起来，数学函数和概率统计在数学考试中占据了重要的地位。
通过掌握函数和概率统计的知识点以及相应的解题技巧，我们可以更好地理解和应用数学知识，提高解题的准确性和效率。
因此，希望同学们在备考数学考试时，能够重视这两个知识点，通过不断的练习和巩固，将数学函数和概率统计变成自己的得力助手。
如何备考数学“函数”知识点
如何备考数学“函数”知识点函数是数学中的一个核心概念，也是高中数学的重点和难点。
要想在数学考试中取得好成绩，就需要对函数的知识点有深入的理解和掌握。
本文将详细介绍如何备考数学中的“函数”知识点。
1. 理解函数的基本概念首先，我们需要理解函数的基本概念。
函数是一种数学关系，它将一个集合（称为定义域）中的每个元素映射到另一个集合（称为值域）中的一个元素。
函数通常表示为f: A → B，其中 A 是定义域，B 是值域。
对于定义域中的每个元素 x，函数 f(x) 给出了其在值域中的唯一对应元素。
2. 掌握函数的性质函数的性质是备考的重点内容。
以下是一些重要的函数性质：•单调性：函数在某个区间内可能是单调递增或单调递减的。
单调性可以帮助我们确定函数的极值点。
•奇偶性：函数可能是奇函数、偶函数或既奇又偶的。
奇偶性可以帮助我们简化函数的表达式和计算。
•周期性：函数可能具有周期性，即存在一个正数T，使得对于所有x，有 f(x + T) = f(x)。
周期性可以帮助我们解决周期性问题。
•连续性：函数在整个定义域上可能是连续的或分段的连续。
连续性是函数图像的关键特征之一。
3. 学习函数的图像和性质之间的关系函数的图像和性质之间有密切的关系。
以下是一些重要的关系：•图像的形状：函数的图像可以是线性的、二次的、指数的、对数的等。
不同类型的函数图像有不同的特点和性质。
•图像的斜率：函数的导数表示图像的斜率。
导数的正负和零点可以帮助我们确定函数的单调性和极值点。
•图像的交点：函数的零点是图像与 x 轴的交点。
零点可以帮助我们解决方程和不等式问题。
4. 掌握函数的求导和积分求导和积分是函数的两个重要运算。
以下是一些重要的求导和积分的概念：•求导：函数的导数表示函数在某一点的斜率。
求导可以帮助我们研究函数的单调性和极值点。
•积分：函数的不定积分表示函数图像与 x 轴之间的面积。
积分可以帮助我们解决面积和弧长问题。
•导数的应用：导数可以应用于实际问题，如速度、加速度、曲线斜率等。
函授数学知识要点总结
第一讲函数、连续与极限一、理论要求二、题型与解法极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1、函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2、极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3、连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）第二讲导数、微分及其应用一、理论要求1、导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2、微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理会用定理证明相关问题3、会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法第三讲不定积分与定积分一、理论要求二、题型与解法1、不定积分掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）2、定积分理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何一、理论要求二、题型与解法1、向量代数理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模）了解两个向量平行、垂直的条件向量计算的几何意义与坐标表示2、多元函数微分理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质理解偏导数、全微分概念能熟练求偏导数、全微分熟练掌握复合函数与隐函数求导法3、多元微分应用理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值4、空间解析几何掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法会求平面、直线方程与点线距离、点面距离第五讲多元函数的积分一、理论要求。
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概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结函 数一．映射f : A →B 的概念。
在理解映射概念时要注意：㈠中元素必须都有象且唯一；㈡B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
如：（1）设:f M N →是集合M 到N 的映射，下列说法正确的是 A 、M 中每一个元素在N 中必有象 B 、N 中每一个元素在M 中必有原象 C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的 D 、N 是M 中所在元素的象的集合（答：A ）；（2）点),(b a 在映射f 的作用下的象是),(b a b a +-，则在f 作用下点)1,3(的原象为点________（答：（2，－1））；（3）若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个，A 到B 的函数有 个（答：81,64,81）；（4）设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}M N =-=，映射:f M N →满足条件“对任意的x M ∈，()x f x +是奇数”，这样的映射f 有____个 （答：12）；（5）设2:x x f →是集合A 到集合B 的映射，若B={1,2}，则B A 一定是_____（答：∅或{1}）.二．函数f : A →B 是特殊的映射。
特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。
如：（1）已知函数()f x ，x F ∈，那么集合{(,)|(),}{(,)|1}x y y f x x F x y x =∈=中所含元素的个数有 个（答： 0或1）；（2）若函数42212+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝（答：2）三．同一函数的概念。
构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。
而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。
如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为2y x =，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个（答：9） 四．求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：1．根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数log a x 中0,0x a >>且1a ≠，三角形中0A π<<, 最大角3π≥，最小角3π≤等。
如 （1）函数lg 3y x =-____(答：(0,2)(2,3)(3,4))；（2）若函数2743kx y kx kx +=++的定义域为R ，则k ∈_______ (答：30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭)；（3）函数()f x 的定义域是[,]a b ，0b a >->，则函数()()()F x f x f x =+-的定义域是__________(答：[,]a a -)；（4）设函数2()lg(21)f x ax x =++，①若()f x 的定义域是R ，求实数a 的取值范围；②若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围（答：①1a >；②01a ≤≤）2．根据实际问题的要求确定自变量的范围。
3．复合函数的定义域：若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可；若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时，求()g x 的值域（即()f x 的定义域）。
如（1）若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为__________（答：{}42|≤≤x x ）；（2）若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________（答：[1,5]）．五．求函数值域（最值）的方法：1．配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域（答：[4,8]）；（2）当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是___（答：21-≥a ）；（3）已知()3(24)x b f x x -=≤≤的图象过点（2,1），则1212()[()]()F x f x f x --=-的值域为______（答：[2, 5]）2．换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如 （1）22sin 3cos 1y x x =--的值域为_____（答：17[4,]8-）；（2）21y x =++_____（答：(3,)+∞）（3）sin cos sin cos y x x x x =++的值域为____（答：1[1,2-+）；（4）4y x =+____（答：4]）；3．函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如求函数2sin 11sin y θθ-=+，313x x y =+，2sin 11cos y θθ-=+的值域 （答： 1(,]2-∞、（0,1）、3(,]2-∞）；4．单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求1(19)y x x x =-<<，229sin 1sin y x x=++，532log x y -=+ （答：80(0,)9、11[,9]2、[2,10]）；5．数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如（1）已知点(,)P x y 在圆221x y +=上，求2yx +及2y x -的取值范围（答：[、[）；（2）求函数y =（答：[10,)+∞）；（3）求函数y y =的值域（答：)+∞、(）注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在x 轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在x 轴的同侧。
6．判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：①2by k x =+型，可直接用不等式性质，如求232y x=+的值域 （答：3(0,]2）②2bxy x mx n=++型，先化简，再用均值不等式，如（1）求21xy x=+的值域 （答：1(,]2-∞）；（2）求函数3y x =+的值域 （答：1[0,]2）③22x m x n y x mx n''++=++型，通常用判别式法；如已知函数2328log 1mx x ny x ++=+的定义域为R ，值域为[0，2]，求常数,m n 的值（答：5m n ==）④2x m x n y mx n ''++=+型，可用判别式法或均值不等式法，如求211x x y x ++=+的值域（答：(,3][1,)-∞-+∞）7．不等式法――利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
如设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则21221)(b b a a +的取值范围是__.（答：(,0][4,)-∞+∞）。
8．导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。
（答：－48）提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？ （2）函数的最值与值域之间有何关系？六．分段函数的概念。
分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。
在求分段函数的值0()f x 时，一定首先要判断0x 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。
如（1）设函数2(1).(1)()41)x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围是__（答：(,2][0,10]-∞-）；（2）已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集_____（答：3(,]2-∞）七．求函数解析式的常用方法：1．待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：2()f x ax bx c =++；顶点式：2()()f x a x m n =-+；零点式：12()()()f x a x x x x =--，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。
如已知()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式 。
（答：21()212f x x x =++） 2．代换（配凑）法――已知形如(())f g x 的表达式，求()f x 的表达式。
如（1）已知,sin )cos 1(2x x f =-求()2x f 的解析式（答：242()2,[f x x x x =-+∈）；（2）若221)1(xx x x f +=-，则函数)1(-x f =_____（答：223x x -+）；（3）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，那么当)0,(-∞∈x 时，)(x f =________（答：(1x -）.这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即()f x 的定义域应是()g x 的值域。
3．方程的思想――已知条件是含有()f x 及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。
如 （1）已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式（答：2()33f x x =--）；（2）已知()f x 是奇函数，)(x g 是偶函数，且()f x +)(x g = 11-x ,则()f x = _（答：21xx -）。