Leslie人口模型及例题详解,DOC

Leslie 人口模型

现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。20世纪40年代提出的Leslie 人口模型，就是一个预测人

记

)]0(,),0(),0([)0(21m n n n n = （2）

假设n （0）和矩阵L 已经由统计资料给出，则

()(0),

0,1,2,t n t L n t ==

为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件：

(i) s i > 0，i =1，2，…，m -1;

(ii) b i 0≥，i =1，2，…，m ，且b i 不全为零。

2

1i s -，q （

(iii) 当λ=1时，人口数是稳定的。 根据（6）式，如果λ=1，则有

b 1 + b 2s 1 + b 3s 1s 2 + … + b m s 1 s 2…s m-1=1

记

R= b1 + b2s1 + b3s1s2 + … + b m s1s2…s m-1（7）

R称为净增长率，它的实际含义是每个妇女一生中所生女孩的平均数。当R>1时，人口递增；当R<1时，人口递减。

Leslie模型有着广泛应用，这里我们给出一个应用的例子，供大家参考。

公园大象管理

南非的一家大型自然公园放养了大约11000头大象，管理部门希望为大象创造一个健康的生存环境，将大象的总数控制在11000头左右。每年，公园的管理人员都要统计当年大象的总数。过去20年里，公园每年都要处理一些大象，以便保持大象总数维持在11000头左右，通常都是采用捕杀或者迁移的方法来实现。统计表明，每年约处理600-800头大象。

近年来，公众强烈反对捕杀大象行为，而且即使是迁移少量的大象也是不允许的。但是一种新的给大象打避孕针的方法也被研制成功。一只成年母象打了避孕针后，两年内不再怀孕。

公园有一些关于大象的资料，供建模参考：

1几乎不再迁入或迁出大象；

2目前性别比接近1：1，采取控制后，也希望维持这个比例；

3初生象的性别比也是大约1：1，生双胎的比例为1.35%

4母象初次怀孕大约在10-12岁,一直到60岁大约每3.5年怀胎一次,60岁后不再受孕,怀孕期为22个月；

5避孕针可能引起大象每个月都发情,但不受孕,因为大象通常每3.5年生育1次,所以按月循坏的方案是不足取的；

6避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；

7初生象存活到1岁的比例为70%-80%,此后,直至60岁前,存活率都比较均匀,大约在95%以上,大象一般只活到70岁；

8公园里不存在捕杀行为,偷猎可以不考虑；

公园管理部门有一份过去两年移出公园大象的粗略统计,不幸的是没有捕杀或公园大象的具体数据；

你的任务是,构造一个模型,利用模型研究如何采用避孕措施控制公园大象的总数.同时需要完成以下任务：

1 建立并利用模型推算2-60岁大象可能的存活率,以及目前的大象年龄结构；

2估计每年需要避孕多少大象,才能保证大象总数控制在11000头左右,说明数据不确定性对你的结论的影响,评价一下年龄结构的变化以及对旅游的影响,(你可能被要求观察30-60年)；

3假设每年可以移出50-300头大象,避孕大象数可以减少多少,评价如何根据经济效益平衡两种方案；

4有一些反对观点认为,假如出现疾病或者失控的偷猎,使大象总数突然大幅度下降,即使停止避孕,也会对大象群的恢复存在不良影响,研究并回答这个问题；

5公园公管理部门正在构造模型,特别希望批驳那些以缺乏完整数据为由而嘲笑利用模型指导决策的观点.希望你的模型包括一份技术报告能给公园管理部门提一些建议，提高公园管理部门的信心,除此之外,你的报告,还应该包括一个详细的技术流程(最多3页)回答公共关心的问题。

6假如非洲其它公园对你的模型感兴趣,有意利用你的模型,请为公园大象数在300-25000头规模的公园提供一份避孕计划,顺便考虑一下存活率稍有不同或者可以有迁移的情况.

附过去两年的迁出数据

年龄 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

总量1 103 77 71 70 68 61 58 51 52 51

母象1 50 36 41 29 31 30 28 24 22 29

总量2 98 74 69 61 60 54 52 59 58 57

母象2 57 34 33 29 34 28 27 31 25 25

年龄 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

总量1 51 50 51 48 47 49 48 47 43 42

母象1 27 27 26 27 26 25 28 27 19 25

总量2 60 63 64 60 63 59 52 55 49 50

母象2 26 36 38 30 33 34 24 30 21 30

年龄 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

总量1 42 37 39 41 42 43 45 48 49 47

母象1 18 16 19 24 17 25 21 26 29 27

总量2 53 57 65 53 56 50 53 49 43 40

母象2 29 27 40 23 29 24 21 26 24 16

年龄 30 31 32 33 3 4 35 36 37 38 39

总量1 46 42 44 44 46 49 47 48 46 41

母象1 24 22 20 22 24 24 23 25 21 24 总量2 38 35 37 33 20 33 30 29 29 26 母象2 17 16 18 18 15 18 12 17 16 13

年龄 40 41 42 43 4 4 45 46 47 48 49 总量1 41 42 43 38 34 34 33 30 35 26 母象1 24 19 26 20 20 15 16 13 20 11 总量2 10 24 25 22 21 22 11 21 21 19 母象2 6 11 14 10 10 12 8 11 12 9 年龄 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 总量1 21 18 14 5 9 7 6 0 4 4 母象1 10 9 8 4 4 4 3 0 3 2 总量2 15 5 10 9 7 6 5 4 7 0 母象2 6 4 5 4 4 2 3 2 4 0 年龄 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 总量1 4 3 2 2 1 3 0 2 1 0 2 母象1 2 1 1 1 0 3 0 0 1 0 2 总量2 2 3 0 2 0 2 0 1 0 0 0 母象2 2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0

假设与分析

1大象性别比接近1：1，初生象的性别比也是大约1：1，采取控制后，也希望维持这个比例；

2过去两年迁出的大象是随机抽样，其结构反映了象群总体的年龄结构；

3 避孕是随机的，母象是否避孕是不可识别的，假设各个年龄的母象是等比例避孕的，比例系数为k ，仅通过调节k 来控制公园大象数量；

4母象初次怀孕大约在10-12岁,简化假设大象初孕时间为11岁，当前状态下，成年象的成活率为s ，生育母象率为r ，老年象的成活率是线性逐渐递减的，因此其成活率可表示为

(70)/10,(6070)i s s i i =-≤≤

设初生象活到1岁的存活率为0s 。

5避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；且无论打避孕针前母象是