2015届高考数学(二轮复习)专题检测：如何用好基本不等式
高考数学二轮复习微专题13利用基本不等式求代数式的最值问题(含解析)
微专题13 利用基本不等式求代数式的最值问题基本不等式是高中数学的一个重要知识点，在全国各地的高考考纲中都属于C 级(熟例题：(2017·苏锡常镇二模)已知a ，b 均为正数，且ab －a －2b ＝0，求a24－2a ＋b2－1b 的最小值．变式1若x>0，y>0，且x2＋y2＝1，则x 1－x2＋y1－y2的最小值是________________．变式2(2018·苏州调研三)设正实数x ，y 满足xy ＝x ＋9yy －x，则y 的最小值是________________．串讲1已知正实数x ，y 满足x ＋2x ＋3y ＋4y ＝10，则xy 的取值范围为________________．串讲2已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM 的值为________________．(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________________．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，求4a －1＋16b －1的最小值．答案：16.解析：因为a>0，b>0，1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，2分则4a －1＋16b －1＝4（b －1）＋16（a －1）（a －1） （b －1）＝4b ＋16a －20ab －（a ＋b ）＋1又4b ＋16a ＝4(b ＋4a)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝20＋4×b a ＋4a b ≥20＋4×2× b a ·4ab＝36，6分 微专题13例题答案：7.解法1a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 2＋4b 24－1，下面只要求a 2＋4b 2的最小值即可．因为a ＋2b ＝ab≥2ab ，所以ab≥8，当且仅当a ＝2b ＝4时取等号；又a 2＋4b 2≥2(a·2b)≥32，当且仅当a ＝2b ＝4时取等号，则a 2＋4b24－1≥7.解法2a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 2＋4b 24－1＝（a ＋2b ）2－4ab 4－1＝a 2b 2－4ab 4－1＝（ab －2）2－44－1；因为a ＋2b ＝ab≥2ab ，得ab≥8，当且仅当a ＝2b ＝4时取等号，所以（ab －2）2－44－1≥7.解法3因为ab －a －2b ＝0，所以a ＝2b b －1.那么a 2＋4b 2＝4b 2＋4b 2（b －1）24⎣⎢⎡⎦⎥⎤（c ＋1）2＋（c ＋1）2c 2＝ 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2＋1c 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ＋2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c≥4(22a 2＋4b24－1≥7.解法4因为ab －a －2b ＝0，有2a ＋1b ＝1，则a 2＋4b 2＝(a 2＋4b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 2≥4ab·⎝ ⎛⎭⎪⎫22ab 2＝32.，则a 2＋4b24－1≥7.解法5因为ab －a －2b ＝0，则2a ＋1b ＝1，则a 2＋4b 2＝(a 2＋4b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 2＝a 2b 2＋16b 2a 2＋4a b ＋16b a a 2＋4b24－1≥7.解法6因为ab －a －2b ＝0，令a ＝m ＋n ，2b ＝m －n ，有m 2－n 2＝4m ，n 2＝m 22＋4b 2＝2(m 2＋n 2)＝2(2m 2－4m)＝4(m －1)2－4≥4(4－1)2a 2＋4b 24－1≥7.解法7因为ab －a －2b ＝0，则2a ＋1b ＝1，设a ＝2cos 2θ，b ＝1sin 2θ；那么a 2＋4b 2＝4cos 4θ＋4sin 4θ＝4·sin 4θ＋cos 4θsin 4θcos 4θ＝ 4·1－2sin 2θcos 2θsin 4θcos 4θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2－2t ，其中t ＝ sin 2θcos 2θ＝sin 22θ4≤14，则4⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2－2t a 2＋4b 24－1≥7. 解法8因为ab －a －2b ＝0，则2a ＋1b ＝1，设a ＝2cos 2θ，b ＝1sin 2θ，那么a 2＋4b 2＝4cos 4θ＋4sin 4θ＝4⎣⎢⎡（sin 2θ＋cos 2θ）2sin 4θ＋ ⎦⎥⎤（sin 2θ＋cos 2θ）2cos 4θ＝4 ⎣⎢⎡sin 4θ＋cos 4θ＋2sin 2θcos 2θsin 4θ＋⎦⎥⎤sin 4θ＋cos 4θ＋2sin 2θcos 2θcos 4θ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋t 4＋2t 2＋2t 2＋1t 4＋1a 2＋4b 24－1≥7. 说明：也可利用幂平均不等式得到如下结果：4cos 4θ＋4sin 4θ＝ 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤13（sin 2θ）2＋13（cos 2θ）2≥4（1＋1）3（sin 2θ＋cos 2θ）2＝32. 变式联想变式1答案：2 2.解析：x 1－x 2＋y 1－y 2＝x y 2＋yx 2≥21xy ＝2xy≥2x 2＋y 22＝ 2 2. 变式2答案：3＋10.解析：由题意可知y －x ＝1y ＋9x ，即y －1y ＝x ＋9x ≥6，当且仅当x ＝3时，取等号；由y>0，y －1y ≥6可知y 2－6y －1≥0，解得y≥3＋10. 串讲激活串讲1答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，83.解析：设xy ＝k ，代入整理得10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4k x ＋3k ＋2x ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4k （3k ＋2），解得1≤k≤83.串讲2 答案：22. 解法1令a ＝1－x ，b ＝x ＋3，则a 2＋b 2＝4.又由－1≤x≤3可知a ，b ∈[0，2]．由（a ＋b ）24＝a 2＋2ab ＋b 2a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2，当ab ＝0时，a ＋b ＝2；当ab≠0，（a ＋b ）24＝1＋2aba 2＋b 2＝1＋2b a ＋a b，由b a ＋a b ≥2得1<（a ＋b ）24≤2，即2<a ＋b≤2 2.综上可知，a ＋b∈[2，22]，m M ＝22.解法2y 2＝4＋24－（x ＋1）2∈[4，8]，∵y ≥0，∴y ∈[2，22]∴m＝α，M ＝22，∴m M ＝22. 解法3设1－x ＝2cos α，3＋x ＝2sin α，α∈[0，π2]，∴y ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，∴y ∈[2，22]，下面同解法2. 新题在线答案：14.解析：由a －3b ＋6＝0可知a －3b ＝－6，且2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ，因为对于任意x ，2x>0恒成立，结合均值不等式的结论可得2a＋2－3b≥2×2a ×2－3b＝2×2－6＝14，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2－3b，a －3b ＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1，时等号成立．综上可得2a ＋18b 的最小值为14.。
2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题1_第2讲_不等式与线性规划(含答案)
第2讲 不等式与线性规划考情解读 1．在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2．多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题．1．四类不等式的解法 （1）一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． （2）简单分式不等式的解法①变形⇒f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；②变形⇒f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.（3）简单指数不等式的解法①当a >1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )>g (x )；②当0<a <1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )<g (x )． （4）简单对数不等式的解法①当a >1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )且f (x )>0，g (x )>0； ②当0<a <1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )<g (x )且f (x )>0，g (x )>0. 2．五个重要不等式 （1）|a |≥0，a 2≥0(a R ∈)． （2）a 2＋b 2≥2ab (a 、b R ∈)． （3）a ＋b2≥ab (a >0，b >0)．（4）ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b R ∈．（5）a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0)． 3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划（1）线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．（2）解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定最优解；③求出目标函数的最大值或者最小值． 4．两个常用结论（1）ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.（2）ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.热点一 一元二次不等式的解法例1 （1）(2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}（2）已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( ) A ．{x |x >2或x <－2} B ．{x |－2<x <2} C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4}思维启迪 (1)利用换元思想，设10x ＝t ，先解f (t )>0.(2)利用f (x )是偶函数求b ，再解f (2－x )>0.思维升华二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热点，“三个二次”的相互转化体现了转化与化归的数学思想方法．（1）不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．(－12，1]B ．[－12，1]C ．(－∞，－12)∪[1，＋∞)D ．(－∞，－12]∪[1，＋∞)（2）已知p ：∃x 0R ∈，mx 20＋1≤0，q ：∀x R ∈，x 2＋mx ＋1>0.若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．[－2,0) C ．(－2,0)D ．[0,2]热点二 基本不等式的应用例2 （1）(2014·湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.①如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/时；②如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比①中的最大车流量增加________辆/时．（2）(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1C ．94D ．3思维启迪 (1)把所给l 值代入，分子分母同除以v ，构造基本不等式的形式求最值；(2)关键是寻找xyz 取得最大值时的条件．思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．（1）若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值为________．（2）已知关于x 的不等式2x ＋2x －a ≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( )A ．1B ．32C ．2D ．52热点三 简单的线性规划问题例3 (2013·湖北)某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元 思维启迪 通过设变量将实际问题转化为线性规划问题．思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数．（1）已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >04x ＋3y ≤4y ≥0，则w ＝y ＋1x的最小值是( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1（2）(2013·北京)设关于x 、y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，43B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－23D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－531．几类不等式的解法一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点；分式不等式可转化为整式不等式(组)来解；以函数为背景的不等式可利用函数的单调性进行转化．2．基本不等式的作用二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题．解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创造基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件．利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可． 3．线性规划问题的基本步骤（1）定域——画出不等式(组)所表示的平面区域，注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对应； （2）平移——画出目标函数等于0时所表示的直线l ，平行移动直线，让其与平面区域有公共点，根据目标函数的几何意义确定最优解，注意要熟练把握最常见的几类目标函数的几何意义； （3）求值——利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标，代入目标函数，求出最值.真题感悟1．(2014·山东)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1>1y 2＋1 B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sin x >sin yD ．x 3>y 32．(2014·浙江)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．D 2．[1，32] A 2．6押题精练1．为了迎接2014年3月8日的到来，某商场举行了促销活动，经测算某产品的销售量P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用x 万元满足P ＝3－2x ＋1，已知生产该产品还需投入成本(10＋2P )万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4＋20P )万元/万件．则促销费用投入 万元时，厂家的利润最大？( )A ．1B ．1.5C ．2D ．32．若点P (x ，y )满足线性约束条件⎩⎨⎧3x －y ≤0，x －3y ＋2≥0，y ≥0，点A (3，3)，O 为坐标原点，则OA →·OP →的最大值为________．(推荐时间：50分钟)一、选择题1．(2014·四川)若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A ．a c >b d B ．a c <b d C ．a d >b c D ．a d <b c2．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x R ∈)D ．1x 2＋1>1(x R ∈) 3．(2013·重庆)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( ) A ．52 B ．72 C ．154 D ．1524．(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3 5．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0x －2y ＋1≤0x －1≥0，则z ＝x ＋2y －1的最大值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6 二、填空题6．已知f (x )是R 上的减函数，A (3，－1)，B (0,1)是其图象上两点，则不等式|f (1＋ln x )|<1的解集是________． 7．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a ，且z ＝2x ＋3y 的最大值是5，则实数a 的值为________．8．若点A (1,1)在直线2mx ＋ny －2＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为________．三、解答题9．设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式(ax －1a )(x＋4)≤0的解集．（1）求A ∩B ；（2）若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围．10．已知函数f (x )＝13ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，且0<x 1<1<x 2<2.（1）证明：a >0；（2）若z ＝a ＋2b ，求z 的取值范围．11．某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：万元)与日产量x (单位：吨)满足函数关系式C ＝3＋x ，每日的销售额S (单位：万元)与日产量x 的函数关系式S ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋k x －8＋5，0<x <6，14，x ≥6.已知每日的利润L ＝S －C ，且当x ＝2时，L ＝3. （1）求k 的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．例1 (1)D (2)C 变式训练1 (1)A (2)C例2 (1)①1 900 ②100 (2)B 变式训练2 (1)3 (2)B 例3 C 变式训练3 (1)D (2)CDCADB 6．(1e ，e 2) 7．1 8．32＋ 29．解 (1)由－x 2－2x ＋8>0得－4<x <2，即A ＝(－4,2)． y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，当x ＋1>0，即x >－1时y ≥2－1＝1，此时x ＝0，符合要求； 当x ＋1<0，即x <－1时，y ≤－2－1＝－3，此时x ＝－2，符合要求． 所以B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)，所以A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)． (2)(ax －1a )(x ＋4)＝0有两根x ＝－4或x ＝1a 2.当a >0时，C ＝{x |－4≤x ≤1a2}，不可能C ⊆∁R A ；当a <0时，C ＝{x |x ≤－4或x ≥1a 2}，若C ⊆∁R A ，则1a 2≥2，∴a 2≤12，∴－22≤a <0.故a 的取值范围为[－22，0)． 10．(1)证明 求函数f (x )的导数f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b . 由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值， 知x 1、x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1时，f (x )为增函数，f ′(x )>0，由x －x 1<0，x －x 2<0得a >0. (2)解 在题设下，0<x 1<1<x 2<2等价于⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －2b ＋2－b <0，4a －4b ＋2－b >0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －3b ＋2<0，4a －5b＋2>0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上的三条直线：2－b ＝0，a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为 A ⎝⎛⎭⎫47，67，B (2,2)，C (4,2)． z 在这三点的值依次为167，6,8.所以z 的取值范围为(167，8)．11．解 (1)由题意可得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋k x －8＋2，0<x <6，11－x ，x ≥6.因为当x ＝2时，L ＝3，所以3＝2×2＋k2－8＋2，解得k ＝18.(2)当0<x <6时，L ＝2x ＋18x －8＋2，所以L ＝2(x －8)＋18x －8＋18＝－[2(8－x )＋188－x ]＋18≤－22(8－x )·188－x＋18＝6，当且仅当2(8－x )＝188－x ，即x ＝5时取得等号．当x ≥6时，L ＝11－x ≤5. 所以当x ＝5时L 取得最大值6.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大，最大值为6万元．。
【高考解码】(新课标)2015届高考数学二轮复习 基本不等式及其应用
【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习 基本不等式及其应用基本不等式及其应用【例3】 (1)(2013·天津高考)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b的最小值为________．(2)(2014·湖北高考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000 vv 2＋18 ＋20l.①如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/小时；②如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时． 【解析】 (1)分a >0和a <0，去掉绝对值符号，用均值不等式求解．当a >0时，12|a |＋|a |b ＝12a ＋a b ＝a ＋b 4a ＋a b ＝14＋(b 4a ＋a b )≥54；当a <0时，12|a |＋|a |b ＝1－2a ＋－a b ＝a ＋b －4a ＋－a b ＝－14＋(b －4a ＋－a b )≥－14＋1＝34.综上所述，12|a |＋|a |b 的最小值是34.(2)①F ＝76 000v ＋20×6.05v＋18≤76 0002121＋18＝1 900，当且仅当v ＝11时等号成立． ②F ＝76 000v ＋20×5v＋18≤76 0002100＋18＝2 000，当且仅当v ＝10时等号成立，2 000－1 900＝100.【答案】 (1)34(2)①1 900 ②100【规律方法】 利用基本不等式求函数最值应注意的问题：(1)一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值．(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．注意：在使用基本不等式时，一般要把求最值的函数或代数式化为ax ＋b x的形式，常用的方法是变量分离和配凑法．[创新预测]3．(1)(2014·洛阳统考)若正实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2＝z ＋3xy ，则当xy z取最大值时，1x＋12y －1z的最大值为( ) A ．2 B.32 C ．1 D.12【解析】 ∵z ＝x 2＋4y 2－3xy ，x ，y ，z ∈(0，＋∞)，∴xy z ＝xy x 2＋4y 2－3xy ＝1x y ＋4yx－3≤1(当且仅当x ＝2y 时等号成立)，此时1x ＋12y －1z ＝1y －12y 2，令1y ＝t >0，则1x ＋12y －1z ＝t －12t 2≤12(当且仅当t ＝1时等号成立)．故选D.【答案】 D(2)(2014·潍坊联考)已知不等式x ＋2x ＋1<0的解集为{x |a <x <b }，点A (a ，b )在直线mx ＋ny＋1＝0上，其中mn >0，则2m ＋1n的最小值为( )A ．4 2B ．8C ．9D ．12【解析】 易知不等式x ＋2x ＋1<0的解集为(－2，－1)，所以a ＝－2，b ＝－1，则2m ＋n ＝1，2m ＋1n ＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2n m ≥5＋4＝9(当且仅当m ＝n ＝13时取等号)，所以2m ＋1n 的最小值为9.【答案】 C[总结提升] 通过本节课的学习，需掌握如下三点： 失分盲点1．(1)不等式变形时，不等号的方向易出错．(2)二次项的系数中含有参数时，该不等式不一定是二次不等式． (3)同向不等式可以相加，但能否相乘是有条件的． 2．(1)不等式(组)表示的区域确定错误．(2)线性目标函数的斜率与可行域的边界斜率大小分不清．(3)y ＝a b x ＋z b中截距的符号弄反，导致平移时上下方向错误．3．利用基本不等式求最值时，一定要注意基本不等式的适用条件，否则容易出错． 答题指导1．(1)看到不等式需要变形，想到用性质有根有据进行． (2)看到解含参数的不等式，想到参数对求解过程的影响．(3)看到求不等式中的参数，想到数形结合(画数轴或画函数图象)． 2．(1)看到不等式组的表示区域，想到“直线定界，特殊点定域”． (2)看到求线性目标函数最值，想到平移目标函数等直线进行观察．(3)看到求约束条件或目标函数中的参数，想到由目标函数的最值列方程(组)求解． 3．(1)看到和为定值，想到积是否有最值． (2)看到积为定值，想到和是否有最值． 方法规律一元二次不等式的解法，分离参数法解决不等式恒成立问题，利用“穿根法”求解高次不等式.运算的合理性与转化思想的体现运算能力不仅要求会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，还要求能根据问题的条件寻找合理的简捷的运算途径，这也是在实施运算过程中遇到障碍而调整运算能力的具体表现．【例1】 设实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则u ＝x 2＋y 2xy的取值范围是________．【解析】 画出的可行域为点(1,2)，(3,1)，(4,2)形成的三角形，u ＝x 2＋y 2xy ＝x y ＋y －0x －0，设k ＝y x ，则k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，所以u ＝k ＋1k 在k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时，u min ＝2，u max ＝3＋13＝103.所以u ＝x 2＋y 2xy 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103【规律感悟】 形如u ＝x 2＋y 2xy的式子在可行域确定的前提下需要进行适当转化，化为具有几何意义的算式，如直线的斜率、点到直线的距离等，从而求得相应的取值范围．【例2】 (2014·浙江高考)已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．【解析】 利用不等式求解．因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a .因为a 2＋b 2＋c 2＝1，所以－a 2＋1＝b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝a 2－2bc ，所以2a 2－1＝2bc ≤b 2＋c 2＝1－a 2，所以3a 2≤2，所以a 2≤23，所以－63≤a ≤63.所以a max ＝63. 【答案】63【规律感悟】 形如本题已知含有两个条件和三个变量的问题，要想求某个变量的取值范围，一般采用消元法．本题还可消b 或c 后利用方程求a 的最大值．(把c ＝－(a ＋b )代入a 2＋b 2＋c 2＝1得2b 2＋2ab ＋2a 2－1＝0，由Δ≥0得3a 2≤2，所以a max ＝63.)。
【志鸿优化设计】2015高考数学+二轮总复习【专项能力训练课件】专题2+不等式
解析 答案
第一部分
专题2 不等式
能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三
-6-
能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练
能力突破点一 基本不等式的应用
思考 1:x>0,y>0. (1)如果 xy 是定值 P,如何求 x+y 的最小值? (2)如果 x+y 是定值 S,如何求 xy 的最大值?
提示:(1)如果 xy 是定值 P,当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值 2 ������(积定和
∴f(x)的最大值为 1.
第一部分
专题2 不等式
能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三
-9-
能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练
分析推理基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化,使
用基本不等式求最值时,给定的形式不一定能直接应用基本不等式,这时往
往需要拆添项或配凑因式,构造出基本不等式的形式再进行求解.
第一部分
专题2 不等式
能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三
-8-
能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练
我的解答:
解:(1)y=������2+������7+x1+10
∴y=������2+������7+x1+10(x≠-1)的值域为(-∞,1]∪[9,+∞). (2)∵x<54,∴5-4x>0,
∴f(x)=4x-2+4���1���-5=-
5-4������
+
1 5-4������
+3≤-2
(5-4������)·5-14������+3=-2+3=1,
2015届高考数学总复习第六章 第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ )精讲课件 文
第四节 基本不等式： (a，b∈R＋)
利用基本不等式比较数(或式)的大小
【例1】 若a>b>1，P＝
ln ，试比较P，Q，R的大小．
，Q＝ (ln a ＋ln b)，R＝
自主解答： 解析：∵a>b>1，∴ln a>ln b>0，
点评：如果两个数(式)的关系符合基本不等式的结构形式，
则可以用基本不等式比较大小，如果两个数(式)的关系通过 变形可以变成基本不等式的结构形式，则可以用基本不等
和．
(1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解析：(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗 费用为C(x)＝ 因此C(x)＝ ，再由C(0)＝8，得k＝40，
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20× (2)由(1)知f(x)＝ ＋6x(0≤x≤10)， －10＝80－10＝70，
C．9
B．3
D．不存在
(2)(2012· 佛山一中期中)下列结论正确的是(
A．当x＞0且x≠1时，lg x＋ B．当x＞0时， C．当x≥2时，x＋ ≥2 的最小值为2 无最大值 ≥2
)
D．当0＜x≤2时，x－
思路点拨：对于(1)，根据等比数列所给的等式，找出m，n的
关系m＋n＝3，将所找的关系与
则t∈(0,1]，y＝t＋ 在(0,1]上为减函数， 故当t＝1时，y取最小值5，∴③错误．故选B. 答案：B
点评：利用基本不等式判断一个不等式的正误，主要看该
不等式是否满足基本不等式成立的条件．
变式探究
2015届高考数学二轮复习专题训练试题：不等式(4).pptx
31、若不等式 ．
表示平面区域内部及边界上运动，则
的取值范围
的解集为区间
,且
,则
32、已知 满足
，则
的取值范围是 .
学海无涯
33、已知对任意实数 x，二次函数 f(x)=ax2+bx+c 恒非负，且 a<b，则
的
最小值是 。
参考答案
一、选择题
1、C 2、D 3、D 4、C 5、C 6、C
7、 8、A 9、B 10、B 11、C 12、C 13、D 14 、 12. C 由
至少有两个公共点，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． C．
B． D．
7、已知正实数
满足
，则
的最小值为 。
学海无涯
8、已知函数 ，使得
，函数 成立，则实数 的取值范围是
(a>0)，若存在
A．
B．
C．
D．
9、函数 值与最小值之和为
A.18 B.16
，当
时，
C.14
恒成立, 则
的最大
D.
10、若关于 的不等式
30、 故
分析：圆心
，因为
关于
对称，所以 过圆心，
①，将
代入圆方程：
，所以
，
②，由①②得
或 2．经检验
满足条件，所以
，画
出平面区域 31、
，又
即为
与点 ，由图可知：
32、． 33、3
学海无涯
18、已知函数 是。
，当
恒成立，则实数 a 的取值范围
19、定义：关于 的两个不等式
和
不等式为对偶不等式。如果不等式
对偶不等式，且
2015届高考数学(新课标版,理)二轮复习专题讲解课件第四讲不等式(选择、填空题型)
第四讲不等式（选择、填空题型）備虞固。
劑霾慮。
画愆春勰刼谀••> *题导练1.（2014-新课标全国卷II ）设xj 满足约束条件兀+y—7W0，<x—3y+lW0，贝lj z=2x-y的最大值为（）備虞固。
劑霾慮。
画愆春勰刼谀3无一y—520，A.10B.8C.3D.2解析：选B作出可行域如图中阴影部分所示，由z=2x-y 得z,作岀直线平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(5,2)时，对应的z值最大•故Zmax=2X5—2=8・兀+歹一2三0 52.（2014-北京高考）若心满足］滋一y+2$0，且z=y—兀的、&° 5最小值为一4,则k的值为（）A.2B.-2C.£D.-£兀+『一2三0,解析：选D 作出线性约束条件<也一歹+220, 的可行域.当R>0时，如图⑴所示，此时可行域如图中阴影部分所示，显然此时X无最小值.当£V — 1时忆=y—X取得最小值2；当k= — 1时忆=歹一兀取得最小值一2,均不符合题惫.当一1 V £V 0时，如图⑵所示，此时可行域为点A(2,0阔一十0j，C(0,2)所围成的三角形区域，当直线z=yr 经过(2 \(2) 1点B—乙，0时，有最小值，即-\=—4^k=—^.故选D.\ K 丿\ K丿乙图(1)图(2)则实数a 的取值范围是 __________ ・解析：沧)的图象如图，由图象知，满足A/("))W2时，得几")2—2,而 满足时・答案：(一°°“ ]3.(201牛浙江高考)设函数f(x) =Jx 2+x ，x<0，—x 1，兀三0.4力4.(2014-湖北高考)设犬对是定义在(0,+ 8)上的函数，且»>0. 对任意">00>0,若经过点(必")),@,一/(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c 为a,b关于函数沧)的平均数，记为Mj(a,b).例如，当沧) =1 (x>0)时，可得M/(a0) = c=^^,即为a,b的算术平均数.(1)_____________ 当几x)= (x>0)时,M心0)为a,b的几何平均数；⑵当沧尸__________ (x>0)时,哝以)为a,b的调和平均数痒.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)解析：过点(以")),©-/^))的直线的方程为丁-血)=":］罗乙執⑵,可取 f(x) = g(x>0)；f(x)=x(x>0)・答案：(l)S (2)x(或填⑴⑵®，其中人,他为正常数均可)—◎令 y=o 得 c=艸)+WQ(1)令几何平均数A /^ =c 犯)+曲) 何+妙(2)令调和平均数2aba~\~b af(b)~}~bf(a) ab~\~ba crf(b) +bf(a)f(a)+f(b) a^b =f(a)+f(b)，可取••A图由圈金1 •不等式的四个性质注意不等式的乘法、乘方与开方对符号的要求，如⑴ ci>b,c>O=cic>bc.u>b.c<O=uc<bc・(2)a>b>0・C>d>0=uc>bd ・(3加>/?丸=>/>//“1)・(4)么>/?>0今聽(n丘N〃$2).2.六个重要的不等式(1)k/l20”20(aWR)；(2)/+戾^2^@0 G R)；(3)~y—^^/^(a>0,Z?>0)； (4)abWI a2+b? a+b i— 2ab(5)\/ —22^^2価2^qZ^(o>O0>O)；(6)2(a2+b2)^(a+bfya.b e R,当a=b时等号成立).3 ••判断二元一次不等式表示的平面区域的方法在直线Ax+By+C^0的某一侧任取一点(xojo)，通过4xo+Byo+C的符号来判断Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)所表示的区域.自主练透型不等式的解法（1〉利用不等式的性质解决不等式，如T1；（2） —元二次不等式的解法，如T2；（3） 与分段函数有关的不等式的解法，如T3. 1.（2014•新余模拟）设奇函数沧）在（0, +呵上为单调递减函数，且几2）=0,则不等式孰如W0的解集为（）A.（— a, —2] U （0,2] B ・[ —2,0] U [2, + oo ）C ・（一g, —2]U[2，+s ） D.[ —2,0）U （0,2]命题角度Y-- 12 •现有不等式亍ywo,则其解集为（） B.[-扌，1( 1)C ・[_8 , --lu [1,4-00)( 1]D ・[ —8 , — - U [1,4-00)解集为（）A.(2,6)B.(-l ,4)C.(l ,4)D.(-3,5)3 •已知函数沧）= 兀2—4X +3，xWO 5则不等式他？一4）才（3d ）的［自主解答］1 •因为加:）为奇函数，则3/（-牛如）wo今-3代「如）wo罟20,因为幷）在（°, + °°）上为单调递减函数，且夬2） = 0,则当金）>0时,0<vW2；由奇函数图象关于原点对称，得_/（x）<0时,一2Wx<0,选D.x—1 〔2x+ 1H0, 1 2•由寸T®得〔叶1）3+1）5 解之得―产勺，即不等式的解集为｝，故选A.+ — [1§ "O>17 — U£ —乙U(Z —) £輩挪畑昜土衍妙宀> [—議期0W _ u)([ 剖IS 蟲力£*—严 議巨S£”<(17—尹"甲础徹现律•总结不等式的求解技巧⑴对于一元二次不等式，应先化为一般形式ax2+bx+o>0(a#0),再求相应一元二次方程ax2+bx+ c=O(mHO)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集.(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把他们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解.简单的线性规划问题（1） 求面积，如T1；（2）求最值，如T2； （3） 根据可行域情况或最优解情况确定参数的值或取 值范围，如T3. 1•由不等式组＜ y^o确定的平面区域记为由不等式组〕一兀一2£0 确定的平面区域记为©2•在Q 中随机取一点，则该点恰好在 内的概率为（）1 A ・§ 命题角度7D S2.（2014-广东高考）若变量xj 满足约束条件， 且z=2无丁三―1 '+y 的最大值和最小值分别为m 和弘则m —n = （ ）A.8B.7C.6D.5+©的最小值为7,则u =( )A.-5B.3C.-5 或 3D.5 或一33.（2014-新课标全国卷I ）设兀y 满足约束条件 x+y^a ，尤一yW［自主解答］1 •由题意作图，如图所示Qi 的面积为＞2X2 = 2,图7中阴影部分的面积为2—弓,则所求的概率P=l=j. y-北-2二0、 /\-1 O\2 x%+y=l\x+y=-22.作出可行域（如图中阴影部分所示）后，结合目标函数可知，当直 线y=-2^+z 经过点A 时的值最大，由罕―： a［x+y=l则zz7=Nmax = 2X2—l = 3・当直线y=—2x+z 经过点L 时,z 的值最小, x=2,尸―1，解得a = 3或一5•当a=—5时,z=x+ay 的最大值是7；当a = 3时忆 =兀+与的最小值是7•故选B.［答案］l.D 2.C 3.B 由㈡'故加一 77=6. /= —1, 尸_1， 则刀=Zmin = 2X (—1) 一 1 = 一3,, k+y = a, 3•联立万程J ；—, 解得＜ y= a —1 ~T~ e+1~T~ 代入x+ay = l 中, X —互动探究在题2的条件下，若Mgy)为平面区域内的任意一点，求：⑴⑺一2)2解：(1 )/&—2)? + (y—1”表示点M (工，y)与点P(2,l)的距离，所以/＞一2)? + ($—1)?的最小值为d = 卑］一“=履,最大值为丨PE I =A/(2+1)2+(1+1)2= V 1 + 1A/13^*即(x—2)，+ (y—I〉？的最小值为2》最大值为13. (2)设直线x+y=l与的交点为N,则点N的坐标为N(y,y),借助图形可知.三|的最小值为T"2现律•总结+ ©—1)2的最值；(2)求巳的最小值.(1)首先要找到可行域,再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.(2)画可行域时应注意区域是否包含边界.⑶对目标函数z^Ax+By中3的符号，一定要注意B的正负与z的最值的对应，要结合图形分析.（1） 利用基本不等式求最值，如T1,T2； （2） 利用基本不等式求参数的取值范围，如T3, 1. 已知圆 J T +y2 + 4兀 一 8y + 1 = 0 关于直线 2ax — by 8 =Q 20（a>0，b>0）对称，则：+万的最小值是（）2 | 22. （2014-皖西七校联考）已知 Qb ，且ab=\,则专二匸的最小值是执占二八八基本不等式的应用 命题角度A.4B.6C.8D.93•已知 xjW （0，+oo ），2"| m ；若；+亍（加>0）的最小值为的值为2［自主解答］1 •由圆的对称性可得，直线2or—/?y+8=0必过圆心( — 24)，§+=辿也+字=笑+¥ + 5三2 a b a b ab/=4比又a + b—2^4 ?故当且仅当Q=古］时取等号.2. \9 ab— 1,cr~\~b^矿+Zr—2+2 矿+Zr—2o/?+2 (a— /?广+2a~b a~b a~b a~b二 --- = ------------- = ------------- = -- ------- =(。
2015届高考数学(理)二轮复习专题综合检测试题：不 等 式
2015届高考数学（理）二轮复习专题综合检测试题：不 等 式(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“a ＞b ＞0”是“ab＜a 2＋b22”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ＞b ＞0 ab ＜a 2＋b 22，而ab ＜a 2＋b22a ，b ∈R 且a≠b，但不能推出a ＞b ＞0.答案：A2．下列函数中，y 的最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4x B ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x＋4e x D ．y ＝log 2x ＋4log 2x解析：A 成立需x ＞0；B 取不到等号；D 成立需x ＞1. 答案：C3．不等式4x 2－12x ＋9≤0的解集为( )A ．B ．RC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠ 32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫32答案：D4．不等式x －1x ≥2的解集为( )A ．[－1，0)B ．[－1，＋∞)C ． (－∞，－1]D ．(－∞，－1]∪(0，＋∞)解析：x －1x ≥2x －1x －2≥0 －x －1x≥0 ⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋1）≤0，x ≠0 －1≤x ＜0.答案：A5．若不等式mx 2＋x ＋n>0的解集是{x|－13＜ x ＜12}，则m ，n 分别是( )A ．6，－1B ．－6，－1C ．6，1D ．－6，1答案：D6．下列函数中，最小值是2的是( ) A ．y ＝ 2x＋2－xB ．y ＝x 2＋2＋1x 2＋2C ．y ＝sin x ＋1sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2D ．y ＝x 2＋2x答案：A7．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表所示.植面积(单位：亩)分别为( )A ．50，0B ．30，20C ．20，30D ．0，50解析：本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力．设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，总利润为z 万元，则目标函数为z ＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y －0.9y)＝x ＋0.9y.线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤50，1.2x ＋0.9y≤54，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤50，4x ＋3y≤180，x ≥0，y ≥0，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤50，4x ＋3y≤180，x ≥0，y ≥0表示的可行域(如图)，易求得点A(0，50)，B(30，20)，C(45，0)． 平移直线z ＝x ＋0.9y ，可知当直线z ＝x ＋0.9y 经过点B(30，20)，即x ＝30，y ＝20时，z 取得最大值，且z max ＝48 万元．答案：B8．(2014·湖北卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤4，x －y≤2，x ≥0，y ≥0，则2x ＋y 的最大值是( )A ．2B ．4C ．7D ．8解析：不等式组表示的平面区域如图的四边形OABC(包括边界)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x ＋y ＝4，得点B(3，1)，令z ＝2x ＋y ，平移直线z ＝2x ＋y 经过点B 使得z 取最大值，即z max ＝2×3＋1＝7.故选C.答案：C9．已知向量a ＝(x ，2)，b ＝(1，y)，其中x ＞0，y ＞0.若a·b ＝4，则1x ＋2y 的最小值为( )A.32 B ．2 C.94 D ．2 2 答案：C10．(2013·新课标Ⅱ卷)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y≤3，y ≥a （x －3）.若z ＝2x ＋y的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2 解析：本题可先画出可行域，然后根据图形确定出最小值点进行解答．作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a （x －3），得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ， ∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.故选B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11. 已知x ＞2，则2x2x －2的最小值是________．解析：2x 2x －2＝2（x －2）2＋8（x －2）＋8x －2＝2(x －2)＋8x －2＋8≥22（x －2）·8x －2＋8＝16，当且仅当2(x －2)＝8x －2即x ＝4时等号成立．答案：1612．(2014·福建卷)已知圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝1，设平面区域Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0，若圆心C∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为________．解析：a 2＋b 2即圆心(a ，b)到原点O 距离的平方．画出可行域，由已知，当圆心为A(6，1)时，|OA|最大，此时(a 2＋b 2)max ＝62＋11＝37.答案：3713．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案：(0，8)14．若不等式x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a<0的解集为A ，不等式x 2－5x ＋4≥0的解集为B ，且AB ，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，0]∪[4，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知函数y ＝(k 2＋4k －5)x 2＋4(1－k)x ＋3的图象都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．解析：①由k 2＋4k －5＝0，得k ＝－5或k ＝1， 当k ＝1时，y ＝3，满足题意； 当k ＝－5时，y ＝24x ＋3，不合题意． ②当k 2＋4k －5≠0，即k≠－5且k≠1时， 函数的图象都在x 轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋4k －5＞0，Δ＝16（1－k ）2－12（k 2＋4k －5）＜0， 解得1＜k ＜19.综上所述，k 的取值范围是(1，19)．16. (12分) 已知直线过点P(3，2)且与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于A 、B 两点． (1)求△AOB 面积的最小值及此时直线l 方程(O 为原点)； (2)求直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值．解析：(1)设直线l 的方程x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)．则3a ＋2b＝1≥26ab，ab ≥26，ab ≥24.S ＝12ab ≥12. 仅当3a ＝2b ＝12，即a ＝6，b ＝4，S min ＝12.此时l ：x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.(2)∵3a ＋2b ＝1，∴a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2b (a ＋b)＝5＋3b a ＋2a b ≥5＋2 6. 仅当3b a ＝2ab 时，即a ＝3＋ 6 ，b ＝2＋6时，(a ＋b)min ＝5＋2 6.17．(14分)设f(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f(0)＞0，f(1)＞0，求证： (1)a ＞0且－2＜ba＜－1；(2)方程f(x)＝0在(0，1)内有两个实根．证明：(1)∵f(0)＞0，f(1)＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＞0，3a ＋2b ＋c ＞0. 又∵a＋b ＋c ＝0，∴b ＝－a －c ，代入不等式组得a ＞c ＞0. 要证－2＜ba＜－1，∵a ＞0，∴只需证－2a ＜b ＜－a ，即需证⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＞0，a ＋b ＜0.又∵a＋b ＝－c ＜0，∴2a ＋b ＝a ＋(a ＋b)＝a －c ＞0. ∴原不等式成立，即－2＜ba ＜－1.(2)证法一 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3a4＋b ＋c ＝－14a ＜0，又因为f(0)＞0，f(1)＞0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f(0)＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f(1)＜0，且f(x)为连续函数，所以方程f(x)＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12与⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内分别有一个实根，故方程f(x)＝0在(0，1)内有两个实根．证法二 ∵－2＜ba ＜－1，∴对称轴x ＝－b 3a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，又∵b＝－a －c.∴Δ＝4b 2－12ac ＝4(－a －c)2－12ac ＝4(a 2＋c 2－ac)＞0. 由⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＞0，Δ＞0，得方程f(x)＝0在(0，1)内有两个实根．18. (14分)某公司计划2015年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500 元/分钟和200 元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？分析：先列出约束条件，建立目标函数；然后求解．解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，收益为z 元．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤300，500x ＋200y≤90 000，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3 000x ＋2 000y.二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤300，5x ＋2y≤900，x ≥0，y ≥0，作二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如右图． 作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时，目标函数取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得x ＝100，y ＝200. ∴点M 的坐标为(100，200)．∴z max ＝700 000 元，即该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，才能使公司的收益最大，最大收益是70万元．19. (14分)某厂家拟在2015年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2015年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2015年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2015年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解析：(1)由题意可知当m ＝0时，x ＝1 万件， ∴1＝3－kk ＝2，∴x ＝3－2m ＋1.每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx元，2015年的利润y ＝x·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m)＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m≥0)．(2)当m≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1m ＝3 万元时，y max ＝21 万元．∴促销费用投入3 万元时，厂家的利润最大．20．(14分)已知函数f(x)＝x2ax ＋b (a ，b 为常数)且方程f(x)－x ＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式：f(x)＜（k ＋1）x －k2－x .解析：(1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程 x2ax ＋b －x ＋12＝0得⎩⎪⎨⎪⎧93a ＋b ＝－9，164a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.所以f(x)＝x 22－x(x≠2)．(2)不等式即为x 22－x ＜（k ＋1）x －k2－x ，可化为x 2－（k ＋1）x ＋k2－x ＜0，即(x －2)(x －1)(x －k)＞0.①当1＜k ＜2时，解集为{}x|1＜x ＜k 或x ＞2；②当k ＝2时，不等式化为(x －2)2(x －1)＞0，解集为{}x|x ＞1且x≠2；③当k ＞2时，解集为{}x|1＜x ＜2或x ＞k .。
2015届高考数学(文)二轮专题课件：4.2线性规划、基本不等式与不等式证明
栏 目 链 接
而 a2－b2＝(a－b)(a＋b)＞0，∴D 错．故选 C. 解法二(特殊值法) ∴取 a＝2，b＝－1. ∵a，b∈R 且 a－|b|＞0，
高考热 点突破
则 b－a＝－1－2＝－3＜0，∴A 错． a3＋b3＝8－1＝7＞0，∴B 错． a2－b2＝22－(－1)2＝3＞0，∴D 错．故选 C. (2)解法一 ∵a＞b＞0 且 ab＝1，
最大，此时z取最大值，即zmax＝2×4＋2＝10.
故选C.
栏 目 链 接
主干考 点梳理
4．(2014· 重庆卷)若 log4(3a＋4b)＝log2 ab，则 a ＋b 的最小值是( D ) A．6＋2 3 C．6＋4 3 B．7＋2 3 D．7＋4 3
栏 目 链 接
主干考 点梳理
解析：
0，b＞0.
a ，b＞0 ． (1)基本不等式成立的条件： ________ a＝b 时取等号． (2)等号成立的条件：当且仅当 ________
(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值 ______．两个正
栏 目 链 接
最大值 ． 数的和为常数时，它们的积有________
2．几个重要的不等式．
2ab (1)a2＋b2≥________(a ，b∈R)．
随堂讲义· 第一部分
知识复习专题
专题四
第二讲
不
等
式
线性规划、基本不等式与不等式 的证明
预测2015年高考中一定有线性规划小题，利用不等式性
质与基本不等式的小题也一般情况都会考到，而基本不
等式也可能在大题中求最值问题中用到．但由于现有导 数方法研究函数最值问题，故直接利用基本不等式求最 值机会变小，但仍然有考到的可能，特别是在小题中可 能性很大．
2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：不 等 式 基本不等式(含答案)
第六章 不 等 式第3课时基本不等式1. 已知x>54，则函数y ＝4x ＋14x －5的最小值为________． 答案：7 解析：y ＝4x ＋14x －5＝[4x －5]＋14x －5＋5≥2＋5＝7.当且仅当4x －5＝14x －5，即x ＝32时取等号．2. 已知函数f[x]＝x ＋p x －1[p 为常数且p>0]，若f[x]在区间[1，＋∞]上的最小值为4，则实数p 的值为________．答案：94解析：∵ x>1，∴ x －1>0，∴ f[x]＝x ＋p x －1＝[x －1]＋p x －1＋1≥2（x －1）·p x －1＋1＝2p ＋1.又f[x]在区间[1，＋∞]上的最小值为4，∴ 2p ＋1＝4，解得p ＝94. 3. 若函数f[x]＝x ＋1x －2[x>2]在x ＝a 处取最小值，则a ＝________． 答案：3解析：∵ x ＞2，∴ f[x]＝x ＋1x －2＝[x －2]＋1x －2＋2≥2（x －2）·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号． 4. 已知x 、y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________． 答案：3解析：x 3＋y 4＝1≥2x 3·y 4，即xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4且x 3＋y 4＝1，即x ＝32，y ＝2时等号成立．5. 已知x>0，y>0，若2y x ＋8x y>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案：[－4，2]解析：因为x>0，y>0，所以2y x ＋8x y≥216＝8.要使原不等式恒成立，只需m 2＋2m<8，解得－4<m<2.6. 若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．答案：233解析：∵ x 2＋y 2＋xy ＝1，∴ [x ＋y]2－xy ＝1，即[x ＋y]2－⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≤1，∴ [x ＋y]2≤43，x ＋y ≤233. 7. 已知a 、b 为正数，且直线2x －[b －3]y ＋6＝0与直线bx ＋ay －5＝0互相垂直，则2a ＋3b 的最小值为________．答案：25解析：依题意得2b －a[b －3]＝0，即2a ＋3b＝1，2a ＋3b ＝[2a ＋3b]⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥13＋6×2b a ×a b ＝25，当且仅当b a ＝a b，即a ＝b ＝5时取等号，因此2a ＋3b 的最小值是25. 8. 一批材料可以建成200m 长的围墙，现用这些材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间隔成3个面积相等的矩形[如图]，则围成的矩形最大总面积为________．答案：2500m 2解析：设3个面积相等的每个矩形长am ，宽bm ，如题图所示，则4a ＋3b ＝200，∴ 4a ＋3b ＝200≥43ab ，即3ab ≤2500.故围成的矩形最大总面积为S ＝3ab ≤2500.9. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品多少件？解：记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f[x]，则f[x]＝800＋x 8·x·1x ＝800x＋x 8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80件[x>0]时，取最小值． 10. 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1[阴影部分]和环公园人行道组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4000m 2，人行道的宽分别为4m 和10m.求：[1] 若设休闲区的长A 1B 1＝xm ，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S[x]的解析式；[2] 要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 解：[1] 由A 1B 1＝x ，知B 1C 1＝4000x， S ＝[x ＋20]⎝⎛⎭⎫4000x ＋8＝4160＋8x ＋80000x[x>0]． [2] S ＝4 160＋8x ＋80 000x ≥4160＋28x·80000x ＝5760，当且仅当8x ＝80000x即x ＝100时取等号，∴ 要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100m 、宽为40m.11. 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y[千辆/小时]与汽车的平均速度v[千米/小时]之间的函数关系为y ＝920v v 2＋3v ＋1 600[v>0]． [1] 在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？[保留分数形式][2] 若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？解：[1] 依题意，y ＝9203＋⎝⎛⎭⎫v ＋1 600v ≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时，上式等号成立，所以y max ＝92083千辆/小时． [2] 由条件得920v v 2＋3v ＋1 600>10，整理得v 2－89v ＋1 600<0，即[v －25][v －64]<0，解得25<v<64.故当v＝40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时．。
【步步高】2015届高考数学总复习 7.3基本不等式及其应用配套文档 理 新人教A版
§7.3 基本不等式及其应用1.基本不等式ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ). (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号). (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ).(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × )(2)ab ≤(a ＋b 2)2成立的条件是ab >0.( × )(3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × )(4)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( × )(5)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( × )(6)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R ).( √ )2.当x >1时，关于函数f (x )＝x ＋1x －1，下列叙述正确的是( )A.函数f (x )有最小值2B.函数f (x )有最大值2C.函数f (x )有最小值3D.函数f (x )有最大值3 答案 C3.若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A.a 2＋b 2>2ab B.a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误. 对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误. 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 4.设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A.2B.32C.1D.12答案 C解析 由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y ＝log 3a ＋log 3b＝log 3ab ≤log 3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1y 的最大值为1. 5.(2013·某某)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值. 答案 －2解析 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b≥2 b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b，a <0，即a ＝－2.题型一 利用基本不等式求最值例1 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x >0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________.思维启迪 利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第(1)问把1x ＋1y 中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式. 答案 (1)3＋22 (2)1解析 (1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号.(2)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号.思维升华 (1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式.(1)已知正实数x ，y 满足xy ＝1，则(x y ＋y )·(yx＋x )的最小值为________.(2)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________.答案 (1)4 (2)3解析 (1)依题意知，(x y ＋y )(y x ＋x )＝1＋y 2x ＋x 2y ＋1≥2＋2y 2x ×x 2y＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故(x y ＋y )·(yx ＋x )的最小值为4.(2)∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号. 题型二 不等式与函数的综合问题例2 (1)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值X 围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1) C.(－1,22－1)D.(－22－1,22－1)(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值X 围是________.思维启迪 对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数X 围. 答案 (1)B (2)[－83，＋∞)解析 (1)由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)， ∴k ＋1<22，即k <22－1. (2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值X 围是[－83，＋∞).思维升华 (1)a >f (x )恒成立⇔a >(f (x ))max ， a <f (x )恒成立⇔a <(f (x ))min ；(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性.若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，12)成立，则a 的最小值是( )A.0B.－2C.－52D.－3答案 C解析 方法一 设f (x )＝x 2＋ax ＋1， 则对称轴为x ＝－a2.当－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在(0，12)上是减函数，应有f (12)≥0⇒a ≥－52，∴－52≤a ≤－1.当－a 2≤0，即a ≥0时，f (x )在(0，12)上是增函数，应有f (0)＝1>0恒成立，故a ≥0. 当0<－a 2<12，即－1<a <0时，应有f (－a 2)＝a 24－a 22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a <0.综上，a ≥－52，故选C.方法二 当x ∈(0，12)时，不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立转化为a ≥－(x ＋1x )恒成立.又φ(x )＝x ＋1x 在(0，12)上是减函数，∴φ(x )min ＝φ(12)＝52，∴[－(x ＋1x )]max ＝－52，∴a ≥－52.题型三 基本不等式的实际应用例3某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？思维启迪 把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3 200元列等式，利用基本不等式即可求解.解 设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故0<S ≤10，从而0<S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米.思维升华 对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的X 围，然后再利用基本不等式求最值.(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件B.80件C.100件D.120件(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%，若p >q >0，则提价多的方案是________.答案 (1)B (2)乙解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.(2)设原价为1，则提价后的价格为 方案甲：(1＋p %)(1＋q %)， 方案乙：(1＋p ＋q2%)2，因为(1＋p %)(1＋q %)≤1＋p %2＋1＋q %2＝1＋p ＋q2%，且p >q >0，所以(1＋p %)(1＋q %)<1＋p ＋q2%，即(1＋p %)(1＋q %)<(1＋p ＋q2%)2，所以提价多的方案是乙.忽视基本不等式等号成立的条件致误典例：(10分)(1)(2012·某某)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.285C.5D.6 (2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________.易错分析 (1)对x ＋3y 运用基本不等式得xy 的X 围，再对3x ＋4y 运用基本不等式，利用不等式的传递性得最值；(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x ≥2 6.解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5， 当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.(2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x )≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故y 有最小值1＋2 6. 答案 (1)C (2)1＋2 6温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.方法与技巧1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件. 失误与防X1.使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1.已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13B.12C.34D.23 答案 B解析 ∵0<x <1，∴1－x >0. ∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号.2.若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A.1＋2B.1＋ 3C.3D.4 答案 C解析 f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2.∵x >2，∴x －2>0.∴f (x )＝x －2＋1x －2＋2≥2 (x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，“＝”成立.又f (x )在x ＝a 处取最小值.∴a ＝3.3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A.a <v <ab B.v ＝ab C.ab <v <a ＋b 2 D.v ＝a ＋b2答案 A解析 设甲、乙两地相距s ，则小王往返两地用时为s a ＋sb ，从而v ＝2ss a ＋s b＝2ab a ＋b . ∵0<a <b ，∴ab <a ＋b 2，2ab a ＋b >2ab2b＝a ， ∴2a ＋b <1ab ，即2aba ＋b<ab ，∴a <v <ab .4.若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b 的最小值是( )A.14B.1C.4D.8 答案 C解析 由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1a >0b >0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1(a ＋b 2)2＝1(12)2＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时上式取“＝”.5.(2012·某某)下列不等式一定成立的是( ) A.lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B.sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C 解析应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件. 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确； 由基本不等式可知，选项C 正确； 当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确.二、填空题6.设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)的最小值为________.答案 9解析 (x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立.7.已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________. 答案 94解析 由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94.8.某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是__________________.答案 20解析 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x ＋x ≥2400x·x ＝40，当且仅当400x＝x ，即x ＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨.三、解答题9.(1)已知0<x <25，求y ＝2x －5x 2的最大值； (2)已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x ＋2y的最小值. 解 (1)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x ). ∵0<x <25，∴5x <2,2－5x >0， ∴5x (2－5x )≤(5x ＋2－5x 2)2＝1， ∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15. (2)∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1， ∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y)(x ＋y ) ＝10＋8y x ＋2x y ≥10＋2 8y x ·2x y ＝18， 当且仅当8y x ＝2x y ，即x ＝23，y ＝13时等号成立， ∴8x ＋2y的最小值是18. 10.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解 (1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x米. 总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162x)＋248×2x ＋80×162 ＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296(x ＋100x)＋12 960 ≥1 296×2 x ·100x＋12 960＝38 880(元)， 当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时取等号. ∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元.(2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<162x ≤16，∴818≤x ≤16. 设g (x )＝x ＋100x (818≤x ≤16)， g (x )在[818，16]上是增函数， ∴当x ＝818时(此时162x＝16)， g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即为 1 296×(818＋80081)＋12 960＝38 882(元). ∴当污水处理池的长为16米，宽为818米时总造价最低，总造价最低为38 882元. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1.已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A.4B.16C.9 D.3答案 B解析 因为a >0，b >0，所以由m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒成立.因为3b a ＋3a b ≥2 3b a ·3a b ＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3a b≥16， 所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B.2.(2013·某某)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A.0B.1C.94D.3 答案 B解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1. 3.定义“*”是一种运算，对于任意的x ，y ，都满足x *y ＝axy ＋b (x ＋y )，其中a ，b 为正实数，已知1].答案 1解析 ∵1]6ab )，∴ab ≤23. 当且仅当2a ＝3b ，即a ＝1时等号成立，所以当a ＝1时，ab 取最大值23. 4.(1)若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求xy 的最小值.(2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值. 解 (1)xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，令xy ＝t 2，可得t 2－22t －6≥0，注意到t >0，解得t ≥32，故xy 的最小值为18.(2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1(t >0)，∴y ＝(t －1)2＋7(t －1)＋10t＝t ＋4t ＋5≥2 t ·4t＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2，且此时x ＝1时，取等号，∴y min ＝9.5.经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N ＋)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|. (1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N ＋)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值.解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|) ＝⎩⎨⎧ 401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20，559＋140t－4t ， 20<t ≤30. (2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值). 当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减， 所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323， 所以t ∈[1,30]时，W (t )的最小值为441万元.。
2015高考数学二轮复习热点题型：专题35 基本不等式(解析版)
专题三十五基本不等式 【高频考点解读】 1.了解基本不等式的证明过程． 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 【热点题型】 题型一基本不等式 例1、函数f(x)＝x＋(x>1)的最小值为( ) A．11 B．5 C．6 D．7 【提分秘籍】 1．基本不等式成立的条件是a，b都是正数．在解题时，如果a，b为负数，可提取负号，创造变量为正数的条件，再利用基本不等式解题． 2．在运用基本不等式的变形时，注意一定要验证它们成立的条件是否满足． 【举一反三】 已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值为________． 【热点题型】 题型二利用基本不等式求最值 例2、若不等式m≤＋在x∈(0,1)时恒成立，则实数m的最大值为( ) A．9 B. C．5 D. 【提分秘籍】 1.利用基本不等式求最值时要注意： (1)基本不等式中涉及的各数(或式)均为正； (2)和或积为定值； (3)等号能否成立． 即要满足“一正、二定、三相等”的条件．另外需注意变形公式的灵活运用及通过对原代数式或解析式的拆分来创造利用公式的条件． 2. 不等式求最值常用的变形方法 (1)变符号；(2)拆项；(3)添项；(4)凑系数；(5)同除构造ax＋型． 【举一反三】 若点A(1,1)在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________． 解析：由已知得m＋n＝2，所以＋＝(m＋n)·＝≥2，当且仅当m＝n＝1时取等号． 答案：2 【热点题型】 题型三条件最值问题 例3、(2013年高考天津卷)设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值． 【提分秘籍】 利用基本不等式解决条件最值的关键是分析条件如何用，主要有两种思路 (1)对条件使用基本不等式建立所求目标函数的不等式求解； (2)条件变形进行“1”的代换求目标函数最值． 【举一反三】 已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为( ) A．2 B．12 C．6 D．3 【热点题型】 题型四基本不等式的实际应用 例4、为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x＝4－(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2014年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)． (1)将该厂家2014年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数； (2)该厂家2014年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 【提分秘籍】 在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点 (1)设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数； (2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域； (3)在定义域内只需再利用基本不等式，求出函数的最值； (4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案． 【举一反三】 某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( ) A．10 B．11 C．13 D．21 【热点题型】 题型五利用基本不等式求解三元函数的最值策略 例5、(2013年高考山东卷)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为( ) A．0 B．1 C. D．3 【提分秘籍】利用基本不等式求解三元函数的最值策略 近几年三元函数的最值逐渐成为高考的热点，主要考查考生的变形推理能力、构造能力、化归能力．求解时要注意以下二种策略的应用： 1. 消元化三元为二元后使用基本不等式：由条件，分离一元后代入所求函数式中，化三元为二元，再分解变形构造基本不等式的条件求解，注意等号成立的条件． 2. 变形条件构造定值、直接使用基本不等式求最值：观察分解条件与所求函数式的结构，变形分解构造出积式和为定值后，直接使用基本不等式求最值，注意等号成立的条件． 【举一反三】 若a，b，c>0，且a2＋ab＋ac＋bc＝4，则2a＋b＋c的最小值为________． 【高考风向标】 1．（2014·辽宁卷）对于c>0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，－＋的最小值为________． 当且仅当a＝，b＝，c＝时，－＋取最小值－2. 2．（2014·山东卷）若的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________． 3．（2014·四川卷）已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( ) A．2 B．3 C. D. 4．（2014·四川卷）设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________． 5．(2013年高考山东卷)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为( ) A．0 B. C．2 D. 6．（2013·重庆卷）(－6≤a≤3)的最大值为( ) A．9 B. C．3 D. 【随堂巩固】 1．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，则的最小值为( ) A. B．4 C. D．2 2．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( ) A．2 B. C．4 D．8 解析：由题意知3a×3b＝()2，即3a＋b＝3，所以a＋b＝1.所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4，当且仅当＝，且a＝b＝时取等号，所以最小值为4，选C. 答案：C 3．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则n的最大值为( ) A．10 B．9 C．8 D．7 4．若直线ax＋by－1＝0(a，b∈(0，＋∞))平分圆x2＋y2－2x－2y－2＝0，则＋的最小值为( ) A．4 B．3＋2 C．2 D．5 5．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为( ) A. B. C．5 D．6 6．若两个正实数x，y满足＋＝1，并且x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( ) A．(－∞，－2)∪(4，＋∞) B．(－∞，－4)∪[2，＋∞) C．(－2,4) D．(－4,2) 7．已知向量a＝(m,1)，b＝(1－n,1)，m>0，n>0，若a∥b，则＋的最小值是________． 8．已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________． 9．某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价%，若p>q>0，则提价多的方案是________． 10．已知a>0，b>0，c>0，d>0.求证：＋≥4. 证明：＋＝＋＋＋＝＋≥2＋2＝4(当且仅当a＝b，c＝d时，取“＝”)，故＋≥4. 11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0， 求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值． (2)∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0， ∴2x＋8y＝xy，即＋＝1. ∴x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋≥10＋2 ＝18， 当且仅当＝，即x＝2y＝12时“＝”成立． ∴x＋y的最小值为18. 12．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总收入之和？并求出此时商品的每件定价．。
2015届高考数学(新课标版,理)二轮复习专题讲解 课件 第四讲 不等式(选择、填空题型)
＝0,则不等式3f－x5－x 2fx≤0 的解集为(
)
A.(－∞,－2]∪(0,2]
B.[－2,0]∪[2,＋∞)
C.(－∞,－2]∪[2,＋∞)
D.[－2,0)∪(0,2]
2.现有不等式2xx－＋11≤0,则其解集为(
)
A.－12，1 B.－21，1
C.－∞，－21∪[1,＋∞)
D.－∞，－
12∪[1,＋∞)
(2)令调和平均数a2＋abb＝affab＋＋bffba ⇒aab＋＋bba＝affab＋＋bffba ,可取 f(x)＝x(x>0).
答案：(1) x (2)x(或填(1)k1 x (2)k2x,其中 k1,k2 为正常数均可)
1.不等式的四个性质 注意不等式的乘法、乘方与开方对符号的要求,如 (1)a>b,c>0⇒ac>bc,a>b,c<0⇒ac<bc. (2)a>b>0,c>d>0⇒ac>bd. (3)a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1).
3.(2014·浙江高考)设函数 f(x)＝x－2＋x2x，，xx≥<00.， 若 f(f(a))≤2, 则实数 a 的取值范围是________.
解析：f(x)的图象如图,由图象知,满足 f(f(a))≤2 时,得 f(a)≥－2,而 满足 f(a)≥－2 时,a≤ 2.
答案：(－∞, 2 ]
4.(2014·湖北高考)设 f(x)是定义在(0,＋∞)上的函数,且 f(x)>0. 对任意 a>0,b>0,若经过点(a,f(a)),(b,－f(b))的直线与 x 轴的交点为 (c,0),则称 c 为 a,b 关于函数 f(x)的平均数,记为 Mf(a,b).例如,当 f(x) ＝1
2015届高考数学第二轮知识梳理复习学案7
专题十七 基本不等式（一）知识梳理：1、均值不等式：如果,a b R ∈，那么222a b ab +≥（1）适用范围：_________________；（2）等号成立的条件：__________________。
2、基本不等式：如果,a b R +∈2a b +≤ （1）适用范围：_________________；（2）等号成立的条件：__________________。
（3）应用：求最值若,,,a b R a b S ab P +∈+==，则①如果P 是定值，那么当_________时，S 有最____值，为_________；②如果S 是定值，那么当_________时，P 有最____值，为_________。
这两个结论常常用于求解最值问题。
在具体应用时，要注意“一正、二定、三相等”。
（二）例题讲解：考点1：利用基本不等式求最值例1（a 级）、设0x >，函数x x y 3+=的值域是变式1：设5≥x ，函数x x y 3+=的值域是变式2：设x R ∈，函数x x y 3+=的值域是变式3：设1x >，函数31y x x =+-的值域是易错笔记：例2（b 级）、已知,,22,,xy c y x R y x ==+∈+那么c 的最大值为 ( ) A 、1 B 、21 C 、22 D 、41易错笔记：考点2：基本不等式的实际应用例3（b 级）、某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室。
在温室内，沿左、右两侧和后侧内墙各留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地。
当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少？易错笔记：例4（b 级）、某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增．问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)？易错笔记：（三）练习巩固：一、选择题1、a b +≥0,0a b >>的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2、函数1()f x x x=+的值域是 ( )A ．[)2,+∞ B. ()2,+∞ C. R D. (][),22,-∞-+∞3、若,Q=12(lga+lgb),R=lg （2a b +），则 （ ） A . R<p<Q B. p<Q<R C. Q<p<R D. p<R<Q4、下列不等式的证明过程正确的是 ( ) A .若,,R b a ∈则22=⋅≥+ba ab b a a b B .若+∈R y x ,,则y x y x lg lg 2lg lg ≥+C .若,-∈R x 则4424-=⋅-≥+xx x x D .若,-∈R x 则222x x -+>= 5、设b a ,为实数且,3=+b a 则b a 22+的最小值是 ( )A .6B .24C .22D .62二、填空题6、设22,0,0,1y x y x y x +≥≥=+则的最小值为7、当=x ______时，函数)2(22x x y -=有最_______值，且最值是_________。
属中学2015届高考一轮复习 基本不等式及其应用教案 理(1)
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考一轮复习基本不等式及其应用教案理知识梳理：1、基本不等式(1)重要不等式:如果a,b ,那么+2ab.当且仅当a=b时,等号成立.(2)基本不等式: 如果a,b>0.那么可以表述为两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2、重要结论：（1）a+ 2 （a）1（2）a+2（a）1（3）、（4）、+ab+bc+ca（5）、（ a,b>0.）（6）、+3、如果a,b ,那么(不等式证明选讲内容)4、推广：对于n个正数它们的算术平均数不小于它们的几何平均数.即二、题型探究探究一：利用基本不等式求最值：例1：（1）x,y ,x+y=S（和为定值），则当x=y时，积xy取得最大值；（2）x,y , xy=P（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值2即：和定，积最大；积定，和最小。
应用基本不等式的条件：（1）、一正：各项为正数；（2）、二正：“和”或“积”为定值；（3）、三等：等号一定能取到，这三个条件缺一不可。
例2：解答下列问题（1）已知x，求x+的最小值；（2）已知0，求函数f(x)=x(8-3x)的最大值；（3）求函数y=（4）已知x，且x+y=1，求+。
探究二：基本不等式的实际应用在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点： （1）、先理解意，设变量时一般把要求的最值的变量定为函数； （2）、建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； （3）、在定义域内，求出函数的最值； （4）、正确写了答案。
例3：某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过a 米，房屋正面的造价为400元/ 平方米,房屋侧面的造价为150元/ 平方米,屋顶和地面的造价费用合计5800元，如果墙高为3米，且不房屋背面的费用。
（1）、把房屋总选价y 表示为x 的函数，并写出该函数的定义域； （2）、当侧面的长度为多少时？房屋的总造价最低，最低造价是多少？三、方法提升基本不等式（也称均值定理）具有将“和式”，“积式”相互转化的功能，应用比较广泛，为了用好该不等式，首先要正确理解该不等式中的三人条件（三要素）正（各项或各因式为正值）、定（“和”或“积”为定值）、等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号成立的条件），简称“一正，二定，三相等”，这三个条件缺一不可，当然还要牢记结论：和定，积最大；积定，和最小。
2015届高考数学二轮专题检测：5 如何用好基本不等式(无答案)
5 如何用好基本不等式1．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则a ，ab ，v 的大小关系为________．2．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________. 3．(2014·南通模拟)设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为________． 4．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝x －2(x ≥12)，则m 与n 之间的大小关系为________． 5．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________．6．已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为________． 7．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．8．已知a >0，b >0，函数f (x )＝x 2＋(ab －a －4b )x ＋ab 是偶函数，则f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为________．9．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 10．(1)已知0<x <25，求y ＝2x －5x 2的最大值；(2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值．11．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120(1＋k2)x2 (k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．12．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．(1)若建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y＝f(x)的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？。
2015高考数学(新课标)大二轮复习配套课件：专题2 再谈数形结合的应用 第5练
第十七页，编辑于星期五：十五点 十二分。
精题狂练
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2.若函数 f(x)＝x＋x－1 2 (x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于( C )
A.1＋ 2
B.1＋ 3
C.3
D.4
解析 ∵x>2，∴f(x)＝x＋x－1 2＝x－2＋x－1 2＋2 ≥2 x－2×x－1 2＋2＝4， 当且仅当 x－2＝x－1 2,即 x＝3 时等号成立,即 a＝3,f(x)min＝4.
例 1 (1)设正实数 x，y，z 满足 x2－3xy 破题切入点
＋4y2－z＝0，则当xzy取得最小值时，x
＋2y－z 的最大值为( )
9
9
A.0
B.8
C.2
D.4
利用基本不等式确 定 z 取得最小值时x，
xy y，z之间的关系，进
而 可 求 得 x＋ 2y －z 的
最大值.
第四页，编辑于星期五：十五点 十二分。
破题切入点
依条件，构 建关于p，t的方
程.
第九页，编辑于星期五：十五点 十二分。
题型二 与函数定义域、值域综合考查
解 y2＝2px(p>0)的准线 x＝－p2， ∴1－(－p2)＝54，p＝12， ∴抛物线C的方程为y2＝x. 又点M(t,1)在曲线C上，∴t＝1.
第十页，编辑于星期五：十五点 十二分。
目中，一般很少直接考查基本不等式的应用，而是需要将式子进行变形，
寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式求出最值. (2)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“ 三相等”，所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求 最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.若连续
高考数学复习点拨 用基本不等式证题的技巧与策略
高考数学复习点拨 用基本不等式证题的技巧与策略 在使用基本不等式证明问题时，根据所证不等式的结构，常常需要配合一定的变形技巧与转化策略，才可以使用基本不等式把问题．现举例说明如下．一、凑项在凑“和”或“积”为定值时，还需要注意凑“等号”成立，此时必须合理凑项．例1 设a 、b 、c 均为正数，且a + b + c = 1，求证：14+a +14+b +14+c ≤21．分析：考虑等号成立的条件时，必须注意a 、b 、c 在问题中的对称地位，即只有a = b = c =31时，才有可能达到最值，而此时4a + 1 = 4b + 1 = 4c + 1=37． 证明：∵14+a =73·37)14(⋅+a ≤73·23714++a ， 同理14+b ≤73·23714++b ，14+c ≤73·23714++c ． ∴14+a +14+b +14+c ≤73·21[4(a + b + c) + 3 + 7] =21． 当且仅当4a + 1 = 4b + 1 = 4c + 1=37，即a = b = c =31时，上式“=”号成立．二、配项 在使用基本不等式时，若能巧妙地添式配项，就可以把问题转化． 例2 已知a 1，a 2，…，a n 均为正数，且a 1+ a 2+ … + a n = 1，求证：2121a a a + + 3222a a a ++ … + 12a a a n n +≥21． 证明：因a 1，a 2，…，a n 均为正数，故2121a a a + + 421a a +≥a 1，3222a a a + + 432a a +≥a 2，……，12a a a n n + + 41a a n +≥a n ． 又因421a a + + 432a a + + … + 41a a n + =21( a 1+ a 2+ … + a n ) =21， 所以，把以上各同向不等式相加，得：2121a a a + + 3222a a a ++ … + 12a a a n n ++21≥a 1+ a 2+ … + a n = 1 ． 故2121a a a + + 3222a a a ++ … + 12a a a n n +≥21． 三、构造根据问题的整体结构，用基本不等式构造对偶式，然后经过某些运算，促使问题的转化与解决．例3 已知a 1，a 2，…，a n 均为实数，且a 1+ a 2+ … + a n = A (A ＞0)，a 21+ a 22+ … + a 2n = 12-n A (n ∈N ，n ≥2) ，求证：0≤a k ≤n A 2． ( k =1，2，…，n)证明：构造基本不等式如下：11--n a A · a 2≤21[(11--n a A )2+ a 22]， 11--n a A · a 3≤21[(11--n a A )2+ a 23]，……，11--n a A · a n ≤21[(11--n a A )2+ a 2n ] ． 将上述(n －1)个同向不等式相加得：11--n a A ( a 2+ a 3+ … + a n )≤21[2)1(1--n n (A －a 1)2+ a 22+ a 23 + … + a 2n ]， 即1)(21--n a A ≤21[1)(21--n a A +12-n A －a 21] ⇒ na 21－2a 1A ≤0，⇒0≤a 1≤nA 2 ． 同理可求得0≤a k ≤nA 2． ( k =1，2，…，n)四、平方通过平方运算，一可以把和(积)凑成定值，二可以把和(积)问题转化为积(和)问题．例4 若a 、b 、c ∈R +，a + b + c =3，求证：12+a +12+b +12+c ≤33．证明：∵(12+a +12+b +12+c )2= 2a + 1 + 2b + 1 + 2c + 1 +2)12)(12(++b a +2)12)(12(++c b + 2)12)(12(++a c ≤2(a + b + c) + 3 + (2a + 1) + (2b + 1) + (2b + 1) + (2c + 1) + (2c + 1) + (2a + 1) = 6(a + b + c) + 9 = 27． ∴12+a +12+b +12+c ≤33．五、引参通过巧妙地引入参数，把问题转化成基本不等式结构，使参数在用不等式证题过程中起到一个桥梁作用．例5 已知a 、b 、c ∈R +，a + b + c = 1,，求证：113+a +113+b +113+c ≤43．证明：引入待定正参数t ，∵t 113+a =)113(2+a t ≤21(t 2+ 13a + 1) ①， 同理t 113+b =)113(2+b t ≤21(t 2+ 13b + 1) ②， t 113+c =)113(2+c t ≤21(t 2+ 13c + 1) ③。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5 如何用好基本不等式
1．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则a，，v的大小关系为________．
答案 a<v<
解析 设甲、乙两地之间的距离为s.
∵a<b，∴v＝＝＝＝0，∴v>a.
2．若函数f(x)＝x＋ (x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________.
答案 3
解析 ∵x>2，∴f(x)＝x＋＝x－2＋＋2
≥2＋2＝4，
当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立，即a＝3，f(x)min＝4.
3．(2014·南通模拟)设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为________．
答案 4
解析 因为3a·3b＝3，所以a＋b＝1.
＋＝(a＋b)＝2＋＋
≥2＋2 ＝4，当且仅当＝，
即a＝b＝时等号成立．
4．已知m＝a＋(a>2)，n＝x－2(x≥)，则m与n之间的大小关系为________．
答案 m≥n
解析 m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥4(a>2)，
当且仅当a＝3时，等号成立．由x≥得x2≥，
∴n＝x－2＝≤4即n∈(0,4]，∴m≥n.
5．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．
答案 2
解析 ∵x>0，y>0，
∴x＋2y≥2(当且仅当x＝2y时取等号)．
又由x＋2≤λ(x＋y)可得λ≥，
而≤＝2，
∴当且仅当x＝2y时，max＝2.
∴λ的最小值为2.
6．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为________．
答案 16
解析 因为a>0，b>0，所以由－－≤0恒成立得m≤(＋)(3a＋b)＝10＋＋恒成立．
因为＋≥2 ＝6，
当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋＋≥16，
所以m≤16，即m的最大值为16.
7．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．
答案 18
解析 ∵x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，
∴2＋6≤xy，即xy－2－6≥0，
解得xy≥18.
∴xy的最小值是18.
8．已知a>0，b>0，函数f(x)＝x2＋(ab－a－4b)x＋ab是偶函数，则f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为________．
答案 16
解析 根据函数f(x)是偶函数可得ab－a－4b＝0，函数f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为ab.由ab－a－4b＝0，得ab＝a＋4b≥4，解得ab≥16(当且仅当a＝8，b＝2时等号成立)，即f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为16.
9．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
答案
解析 ∵a≥＝对任意x>0恒成立，设u＝x＋＋3，∴只需a≥恒成立即可．
∵x>0，∴u≥5(当且仅当x＝1时取等号)．
由u≥5知0<≤，∴a≥.
10．(1)已知0<x－1)的最小值．
解 (1)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝·5x·(2－5x)．
∵0<x<，∴5x0，
∴5x(2－5x)≤()2＝1，
∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，即x＝时，ymax＝.
(2)设x＋1＝t，则x＝t－1(t>0)，
∴y＝
＝t＋＋5≥2 ＋5＝9.
当且仅当t＝，即t＝2，且此时x＝1时，取等号，
∴ymin＝9.
11．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2 (k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
解 (1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，
由实际意义和题设条件知x>0，又k>0，
故x＝＝≤＝10，
当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10千米．
(2)因为a>0，所以炮弹可击中目标?存在k>0， 使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立
?关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 ?判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0?0。