高中数学北师大版选修2-1第二章《5.1直线间的夹角》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
北师大版高中数学2-1教案：直线间的夹角平面间的夹角
北师大版高中数学2-1教案：2北师大版选修2-1第二章空间向量与立体几何本节课题§5.1 直线间的夹角 5.2平面间的夹角课标要求能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的运算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
三维目标（1）知识与技能：能用向量方法解决线线、线面与面面的夹角的运算问题.（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的明白得。
（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探究精神。
学情分析教学对象是高二的学生，学生差不多具备空间向量与立方体几何的相关知识,上次课差不多学习了直线的方向向量和平面的法向量，因此本节课是通过举例来求空间的距离和角。
我们能够将空间中的有关距离和角的问题，转化为空间向量的数量积来解决。
教学重难点教学重点：异线角与面面角的运算教学难点：异线角与面面角的运算提炼的课题空间的角的运算教学手段运用教学资源选择P pt课件教学过程环节学生要解决的问题或任务教师教与学生学设计意图（一）、创设情形1、异面直线所称的角、定义及求解方法2、向量的夹角公式 例 1在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=41A 1B 1，D 1F 1=41D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的大小。
（二）、探析新课1、法向量在求面面角中的应用：原理：一个二面角的平面角α1与那个二面角的两个半平面的法向量所成的角α2相等或互补。
例2在正方体1111D C B A ABCD -中,F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且=11E D 41D 1C 1,试求直线E 1F 与平面D 1AC 所成角的大小补充例题： 在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠AC B =90°，AC =2，BC =13，SB =29（1）求证：SC ⊥BC ；（2）求SC 与AB 所成角的余弦值空间向量的教学应引导学生运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。
高中数学第二章空间向量与立体几何2.5.3直线与平面的夹角教案北师大版选修2_1
2.5.3直线与平面的夹角教学目标：能用向量方法解决线面夹角的计算问题教学重点：线面角的计算教学难点：线面角的计算教学过程一、创设情景1、线面角的定义及求解方法2、平面的法向量的定义及求法二、建构数学利用向量求线面角的大小。
方法一：几何法方法二:几何向量结合法方法三：向量法三、数学运用。
例1、在正方体AC1中，试求直线A1B与平面A1B1CD的夹角.例2、在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝BD＝2AE，M是AB的中点，求CM与平面CDE的夹角．[例3] 如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝3，BD＝CD＝1.另一个侧面ABC是等边三角形．点A在底面 BCD上的射影为H.以D点为原点建立空间直角坐标系，并求A，B，C的坐标(2)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD的夹角为30°？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．．※动手试试1、平面的一条斜线段长是它在平面上射影长的3倍，则这条斜线段与平面所成角的余弦值是（）A.13B.3C. 2D.232、四面体S—ABC中，SA、SB、SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求SC与平面ABC所成角的正弦值。
三、小结1. 理解直线与平面的夹角的概念；2.了解“几何法”求直线与平面的夹角；3. 掌握向量法求线面的夹角;四、回顾总结线面角的向量解法五、布置作业精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
2019-2020高中北师版数学选修2-1 第2章 §5 5.1 直线间的夹角 5.2 平面间的夹角 5.3 直线与平面的夹角
11 B. 11
C．－
110 11
913 D. 33
D
[cos〈n，a〉＝－
4 11 33
，∴l与α夹角的余弦为sin〈n，a〉
＝
913 33 .]
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4．已知平面α的一个法向量为n1＝(2，2，x)，平面β的一个法向 量为n2＝(2，x，－2)且平面α，β的夹角为60°，则x＝________．
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思考：空间中两个平面的夹角的范围是多少？ [提示] 0，π2
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3．直线与平面的夹角 设直线 l 的方向向量为 s，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 的夹角为 θ.
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1.判断正误
(1)两异面直线的夹角与两直线的方向向量的夹角相等． ( )
(2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角
[提示] 0，π2
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2．平面间的夹角 (1)平面间夹角的概念 如图，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点 R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R.我 们把直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．
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(2)平面间夹角的求法． 设平面 π1 与 π2 的法向量分别为 n1 与 n2. ①当 0≤〈n1，n2〉≤π2时，平面 π1 与 π2 的夹角等于_〈__n_1，__n__2〉__； ②当π2＜〈n1，n2〉≤π 时，平面 π1 与 π2 的夹角等于_π_－_〈__n_1_，__n_2〉_． 事实上，设平面 π1 与平面 π2 的夹角为 θ，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|.
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(3)直线的方向向量的夹角与两直线夹角的关系 空间两条直线的夹角可由它们的方向向量的夹角来确定．已知直 线 l1 与 l2 的方向向量分别为 s1，s2. ①当 0≤〈s1，s2〉≤π2时，直线 l1 与 l2 的夹角等于 〈s1，s2〉 ； ②当π2<〈s1，s2〉≤π 时，直线 l1 与 l2 的夹角等于 π－〈s1，s2〉． 思考：空间两条直线的夹角的范围是多少？
5.2平面间的夹角-北师大版选修2-1教案
5.2 平面间的夹角-北师大版选修2-1教案一、教学目标1.理解夹角的概念和特点。
2.掌握直线与平面、平面与平面间的夹角的定义及求解方法。
3.培养学生的逻辑思维和空间思维能力。
二、教学重难点1.夹角的概念理解和应用。
2.平面间的夹角问题求解。
三、教学内容1.夹角的概念和特点。
1.夹角的定义：平面上有公共边的两条射线所夹的角称为夹角，两条射线称为夹角的两边，共享的端点称为夹角的顶点。
2.特点：大小只与顶点、两边有关，与边所在平面无关。
3.夹角的符号表示和计算方法。
2.直线与平面的夹角。
1.直线与平面的夹角定义：若直线与平面不在同一平面上，则直线与平面的夹角定义为直线上取定的一点到平面上取定的一点向平面作垂线所得的角。
2.直线与平面的夹角求解方法。
3.平面与平面的夹角。
1.平面与平面的夹角定义：若两个平面不在同一平面上，则它们的夹角定义为平面上两个相交直线所夹的角。
2.平面与平面的夹角求解方法。
四、教学方法1.教师讲授上述知识点，注重提高学生对夹角概念的理解和把握。
2.通过示例讲解、简单实例驱动学生积极思考和实践操作，提升实际应用能力。
3.鼓励学生在课下进行积极学习与实践，加深对知识点的理解和巩固。
五、教学过程1.引入：讲解夹角的概念，引导学生观察和分析不同夹角的特点。
2.直线与平面的夹角求解：通过示例讲解，引导学生理解夹角的定义和计算方法，并让学生自己尝试解决简单的问题。
3.平面与平面的夹角求解：同样通过示例来讲解定义和求解方法，并通过让学生自己解决简单的问题来提高其实践能力。
4.拓展：讲解夹角的应用，举例介绍在实际问题中如何求解夹角问题。
5.总结：对夹角的定义和求解方法再次进行总结和梳理，强化学生的记忆和理解。
六、教学评估1.课堂练习：老师可提供一些简单的练习题，考察学生对夹角概念和求解方法的掌握情况。
2.作业布置：老师可布置一些简单或中等难度的夹角相关的作业题，鼓励学生进行自主练习和思考，扩展其对知识点的应用。
5.3直线与平面的夹角-北师大版选修2-1教案
5.3 直线与平面的夹角-北师大版选修2-1教案一、教学目标1.理解直线与平面的夹角的概念。
2.学习如何计算直线与平面的夹角。
3.掌握求直线与平面夹角的方法。
4.能够应用所学知识解决相关的题目。
二、教学内容1.直线与平面的概念。
2.直线与平面的夹角的定义。
3.求解直线与平面夹角的方法。
4.与直线与平面夹角有关的例题。
三、教学方法1.讲授教学法。
2.互动式授课法。
3.实践演练法。
四、教学步骤1. 引入新课通过讲解一个实际生活中与直线与平面有关的例子，引入本节新内容，并介绍学习本节内容的必要性。
2. 讲解直线与平面的概念介绍直线和平面的概念，并掌握相关概念。
通过实例让学生理解什么是直线和平面。
3. 研究直线与平面夹角引导学生动手测量直线与平面的夹角。
在引导学生进行实践的基础上，帮助学生理解夹角的定义，了解夹角的基本知识和计算方法。
4. 讲解求解直线与平面夹角的方法讲解求解直线与平面夹角的方法，介绍使用向量和坐标系的计算方法，并引导学生进行计算练习。
5. 练习题目和解答设计一些与直线与平面夹角有关的问题，引导学生进行思考和练习，并解答练习题。
6. 深化学习通过深化学习的方式，巩固学生所学的知识。
通过对已学知识的串讲，提高学生对所学知识的理解和运用能力。
7. 作业布置设计几道练习题目作为作业布置，帮助学生巩固所学内容。
五、教学评估通过观察学生在课堂上的表现、讨论反应及作业的完成情况，评估学生掌握直线与平面夹角的程度，以便制定后续的教学计划。
六、教学反思总结本节课教学成果，并回顾所授内容的重点。
分析教学过程中的问题，并反思教学方式。
根据需要进行教学计划的调整和改进。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-1 5.3直线与平面的夹角》0
直线与平面的夹角广西梧州市苍海高级中学 蒙先彩一、教学目标：理解直线与平面的夹角的概念，掌握利用空间向量求解直线与平面的夹角的方法和步骤。
二、教学重难点重点：掌握直线与平面的夹角的求解方法和步骤难点：推导直线和平面的夹角与直线的方向向量和平面的法向量的夹角关系。
三、教学过程：（一）复习回顾:直线间的夹角及平面间的夹角的向量求法。
线线角co θ= 面面角co θ=（二）合作探究1、直线与平面夹角的概念平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角．如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角为__ __如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角为_______由此可得,直线与平面夹角的范围是________2、直线与平面夹角的求法空间中，直线与平面的夹角由直线的方向向量与平面的法向量的夹角确定．设平面α的法向量为n ，直线的方向向量为，直线与平面α所成的角为θ当0≤〈，n 〉≤错误!时，θ＝当错误!<〈，n 〉≤π时，θ＝即in θ＝3、例题讲解''’''’33ABCD A B C D F A D FC ABCD A C θ-'与平面ABCD 的夹角的例在空间直角坐标系中有单位正方体，求对角线例变式：题目条件保持不变，若是的正中点，弦值求直线与平面的.夹角正弦值.例4 在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD -A’B’C’D’，E ，F 分别是B’C’,A’D’中点，求直线AC 与平面ABEF 的夹角θ的正弦值例4变式：题目条件保持不变，求直线AC与平面B’CD’的夹角的正弦值小结：向量法求直线与平面的夹角的步骤。
4课堂练习（1）如图，已知三棱椎，S分别为N所成角的大小．（2）（2021北京理科16改编）在四棱锥为线段C与平面BDP所成角的正弦值。
五、总结与反思收获什么知识:用到什么数学思想:六、课后作业: 必做题P47第3题选做题P57 第18题教学反思设计这节课时，我是希望学生真正理解有关的数学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背，因此没有让学生直接背概念和公式，而是考虑到学生已在上一节课中学习了直线与直线的夹角和平面与平面的夹角，有了一定的推导能力，因此设置了探究题，让学生分小组合作，动手设计，探究直线和平面的夹角与直线的方向向量和平面的法向量的夹角关系，并由课前复习的线线角和面面角的公式，尝试自己推导直线与平面的夹角公式，不仅完成了掌握知识到形成能力的转变，突破了本节课的重点和难点，同时培养了学生空间想象能力和逻辑思维能力，体现了数学的分类讨论思想、化归和转化思想、数形结合的思想。
优课系列高中数学北师大版选修21 2.5.1直线间的夹角 课件(共16张PPT)
s1 s2
| a ||b |
x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2
| s1 | | s2 |
x1 2 y1 2 z1 2
x22 y22 z22
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
则 cos a , b
a b
| a ||b |
x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2
2 3 1 1 4
方法感悟
方法技巧 求线线角的关键是 转化为直线的方向向量之间的角， 通过数量积求出。
小结
直线间夹角的计算
cos a,b a b ab
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
2.两向量夹角的余弦公式
设 s 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 )s2 , (x 2 ,y 2 ,z2 )
则 cos a,b
则 cos s1 , s 2 a b
的点，且EB＝FB＝1.
求直线EC1与FD1所成
角的余弦值． 所以E→C1＝(－3，1，2)， F→D1＝(－2，－4，2)，
所以 cos〈E→C1，F→D1〉
＝E→→C1·F→→D1 |EC1||FD1|
＝
6－4＋4 ＝ 14× 24
21. 14
故异面直线
EC1，FD1
所成角的余弦值为
21. 14l2l1 BAC
(3)空间直线夹角的计算
空间直线由一点和一个方向确定, 所以空间两条直线的夹角由 它们的方向向量的夹角确定.
l2
s1 B
A
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-1 5.3直线与平面的夹角》
直线与平面的夹角教学目标1．理解直线与平面的夹角的定义，能用几何方法做出简单的线面角。
2．能用向量法解决直线与平面的夹角的计算问题．教学重难点1用两种方法解决直线与平面的夹角问题。
知识梳理1．空间向量与空间角1直线间的夹角①当两条直线1与2共面时，我们把两条直线夹角中不超过90°的角叫做两直线的夹角．②当直线1与2是异面直线时，在直线1上任取一点A作AB∥2，我们把直线1和直线AB的夹角叫做异面直线1与2的夹角．其夹角θ∈错误!③已知直线1与2的方向向量分别为1，2当〈1，2〉≤错误!时，直线1与2的夹角等于〈1，2〉；当错误!＜〈1，2〉≤π时，直线1与2的夹角等于π－〈1，2〉．2平面间的夹角①两个平面所成的二面角的平面角的大小就是这两个平面的夹角．其夹角θ∈[0，π]．②平面π1和π2的法向量为n1和n2，θ＝∠MRN为两个平面二面角的平面角，它由〈n1，n2〉确定．当〈n1，n2〉≤错误!时，θ＝〈n1，n2〉；当错误!＜〈n1，n2〉≤π时，θ＝π－〈n1，n2〉．3直线与平面的夹角①平面外一条直线与它在平面内投影的夹角叫做该直线与此平面的夹角．其夹角θ∈错误!②已知直线的方向向量与平面的法向量n，当〈，n〉≤错误!时，则θ＝错误!－〈，n〉；当〈，n〉＞错误!时，则θ＝〈，n〉－错误!2 直线的方向向量与平面的法向量的确定1直线的方向向量：是空间一直线，A，B是直线上任意两点，则称错误!，n分别是直线和平面α的方向向量、法向量，若co〈m，n〉＝－错误!，则与α所成的角为A．30° B．60°C．12021D．150°3．若A错误!，B错误!，C错误!是平面α内的三点，设平面α的法向量n＝，，，则∶∶＝________例题讲解2021·全国卷Ⅰ如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝12021E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC1证明：平面AEC⊥平面AFC；2求直线AE与直线CF所成角的余弦值．解析：1证明：如图，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF在菱形ABCD中，不妨设GB＝1由∠ABC＝12021可得AG＝GC＝错误!由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC又AE⊥EC，所以EG＝错误!，且EG⊥AC在Rt△EBG中，可得BE＝错误!，故DF＝错误!在Rt△FDG中，可得FG＝错误!在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝错误!，DF＝错误!，可得EF＝错误!从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC2如图，以G为坐标原点，分别以错误!错误!1C1C错误!C1C1C，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM1与AN所成角的余弦值为2．如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面P AC的夹角为________．3．2021·陕西卷四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H1证明：四边形EFGH是矩形；2求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．4 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD＝AB＝1，BC＝错误!1求证：平面PBD⊥平面PBC；2设H为CD上一点，满足错误!＝2错误!，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为错误!，求二面角H－PB－C的余弦值．布置作业：《金版新学案》课时作业课堂小结：两种方法求解直线与平面的夹角问题：几何法、向量法。
《直线间的夹角》教学案例(张艳琴)
《直线间的夹角》教学案例张艳琴为了探讨“高二数学课堂有效练习”，我设计了《直线间的夹角》为教学案例。
【案例背景】《直线间》是北师大版普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1第二章第五节第一课时的内容，是在系统学习了空间向量，掌握了空间向量的概念、运算和坐标表示的基础了展开的，夹角问题作为空间向量的重要应用之一，既是进一步研究空间向量的需要，更是几何问题代数化的重要应用。
近几年高考对夹角问题的要求有所降低，主要以求线线脚架、线面的夹角等形式出现，所以利用向量求直线间的夹角应重点研究。
【案例描述】一、教学设计思路本节课是新授课，通过上复习空间中两条直线的位置关系，让学生自己观察、分析、发现解题规律，进而归纳总结出一般方法。
二、教学目标1、知识与技能：理解空间中两条直线的夹角的定义，会用向量求直线间的夹角．2、过程与方法：通过对问题的探究，培养学生分析问题、解决问题及归纳能力。
3、情感态度与价值观：激发学生学习和应用数学知识的兴趣，培养严谨的科学态度。
三、教学重难点教学重点：用向量求直线间的夹角教学难点：空间中中直线间的夹角与方向向量的夹角之间的联系与区别。
四、教学过程（一）复习回顾1.当直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在内的角叫作两条直线的夹角.2.当两条直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1和直线AB的夹角叫作 .3.两条异面直线所成的夹角的取值范围是 . （二）问题导入如何利用向量法解决空间中两条直线间的夹角问题呢？空间直线由一点和一个方向确定,所以空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定. （三）自主学习活动:请同学们阅读P43例1之前的内容，回答下列问题:时间：5分钟+4分钟 (5分钟自学+4分钟小组讨论)（四）典例精讲例1、如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，AB=2，BC=1，AA 1=3，求对角线 AC 1和侧面对角线A 1D 的夹角θ 的余弦值。
2.5夹角的计算 教案(高中数学北师大版选修2-1)
§5夹角的计算5．1直线间的夹角5．2平面间的夹角5．3直线与平面的夹角●三维目标1．知识与技能(1)使学生掌握空间向量的夹角公式及其简单应用(2)提高学生选择恰当的方法求夹角的技能．2．过程与方法(1)在与平面向量的夹角公式的比较基础上，培养学生观察、分析、类比转化的能力．(2)通过对空间几何图形的探究，使学生会恰当地建立空间直角坐标系．(3)通过空间向量的坐标表示法的学习，使学生经历对空间图形的研究从“定性推理”到“定量计算”的转化过程，从而提高分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位．(2)通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情．●重点难点重点：空间夹角的计算．难点：两平面的夹角与两平面法向量所成角的关系及直线与平面的夹角与直线的方向向量与平面法向量所成角的关系．本节课主要通过寻找空间角与向量夹角间的关系，在教学中，可以以教师为主导，学生为主体，训练为主线，创设情境，引导学生自主探究，通过启发、提问、讨论、点拨、演示、归纳，让学生想、学生做、学生说，在活动中，深化对夹角计算方法的认识．(教师用书独具)●教学建议1．通过提问、探索、讨论、归纳，让学生参与教学活动，调动学习积极性．2．渗透类比、分析、归纳的方法，加深学生对向量法的理解，培养学生探索能力．3．通过纯几何方法求空间角的“难”与向量法求空间角的“易”比较，加深对向量法的认识．●教学流程创设情境引入课题―→空间角的定义过程―→探究空间角与向量夹角的关系―→归纳空间角的向量求法―→通过例题与变式体验空间角的求法―→归纳总结形成整体认识图11．如图1，s1，s2分别是直线l1，l2的方向向量，则直线l1，l2的夹角θ与〈s1，s2〉有怎样的关系？【提示】θ＝〈s1，s2〉．2．将图1改成图2呢？图2【提示】θ＝π－〈s1，s2〉．直线间的夹角设直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.。
北师大版高中数学选修2-1导学案设计：2.5.1直线间的夹角(无答案)
§5.1直线间的夹角主备： 审核: 班级: 小组： 学生姓名： 【学习目标】1.理解共面直线与异面直线夹角的概念及夹角的范围；2.会用直线的方向向量求两直线的夹角．【学习重点】用直线的方向向量求两直线的夹角．【学习难点】两直线方向向量的夹角与两直线夹角的关系． 【自主预习】 （一）旧知回顾用向量法证明垂直与平行问题的本质（1）空间两条直线平行的本质是 ； （2）空间直线与平面平行的本质是 ； （3）空间两个平面平行的本质是 ； （4）空间两条直线垂直的本质是 ； （5）空间直线与平面垂直的本质是 ； （6）空间两个平面垂直的本质是 ． （二）自主探究1. （1）空间两直线的位置关系有： 、 、 ． （2）若直线l 1与l 2平行，l 1与l 2所成角是 ． （3）若直线l 1⊥l 2，l 1与l 2所成角是 ． （4）若直线l 1∩l 2=A ，构成四个角∠1=∠3=030，∠2=∠4=0150，则直线l 1与l 2所成角是 .（5）若直线l 1与l 2异面，在图中做出直线l 1与l 2所成角（6）两直线夹角的范围是 .1 23l 2 4l 1 A2. （1）当两条直线l 1与l 2共面时，我们把 叫做两直线的夹角.（2）当两条直线l 1与l 2共面时， 叫做两异面直线l 1与l 2的夹角.3.在△ABC 中，∠A=120゜，∠B=30゜. （1）向量BA 与BC 的夹角为 ；向量与的夹角为 ；直线AB 与BC 的夹角是 . （2）向量与的夹角为 ；向量与的夹角为 .直线AB 与AC 的夹角是 . （3）已知直线l 1与l 2的方向向量分别为→1S ,→2S , 则<→1S ,→2S >与l 1,l 2的夹角有什么关系？4.已知直线l 1与l 2的方向向量分别为→1S ,→2S ，设直线l 1与l 2的夹角为θ.θcos = = . []0090,0∈θ 【合作探究】 探究活动一例1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，试用向量法求异面直线的夹角. (1)D 1B 1与AC 的夹角； (2)A 1D 与AC 的夹角.C120 030 0BAC 1B 1D 1 A 1 CBDBCDSAE探究活动二例2．已知两个正四棱锥P-ABCD 与Q-ABCD 的高都为2，AB=4,求异面直线AQ 与PB 所成角的余弦值．例3. 已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，求AE, SD 所成的角的余弦值．【达标测评】1. 已知直线l 1的方向向量为)1,1,1(1-=→S ，直线l 2的方向向量为)0,2,1(2-=→S ． 求两条直线夹角的余弦值．【作业】课本P 47 习题 1，5题1.5.（选做）如图，已知点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA=60°，求DP 与CC 1所成角的大小．EB 'C 'D 'B C DA A'。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-1 5.3直线与平面的夹角》4
《直线与平面的夹角》教学设计榆林中学 郭娜一、概述本节内容在空间几何中占有重要位置,考纲要求掌握直线与平面所成角的概念,并会利用向量方法求直线与平面所成角的大小或正余弦值 这是对点、线、面在空间中的位置关系进行定量分析的重要概念,也是高考的考察重点二、学习目标1通过本节知识的学习，使学生理解直线与平面的夹角的概念，并能实际做出这个角，培养学生的分析问题及作图能力，加强对知识的直观认识；(2) 通过实际作图与分析，知道直线与平面的夹角同直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，并由此找出直线与平面的夹角的向量求法；三、学情分析高二13班学生好奇心强,求知欲胜,有较强的学习需要，学生已有一定的空间想象力,空间思维正处于发展期,在概念的输入上一定要加强学生的理解，学生对学科内和学科间的学习迁移和联系的能力还需要进一步的锻炼，学生有小组学习的经验。
四、教学过程1、方向探究2、自主探究（学生阅读课本完成导学案自主探究部分）问题1：直线与平面的位置关系有哪些？线在面内、线面平行、线面相交问题2[0,]2π(0,]2π归纳：问题31如何用 , 计算直线AB 与直线AC 夹角θ1 的余弦值2如何用向量计算直线与平面的夹角θ与θ1的关系例1 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， E ，F 分别是棱AA1、AB 的中点，求EF 和平面ACC1A1所成角的大小．n s n s ,2,2,-=≤πθπ时当2,,,2πθππ-=≤<n s n s 时当s n课堂练习：的夹角的正弦值六：小结七：作业布置公式 直线与 平面夹角 当s,n 时,2s,n 2π≤πθ=-ABC D1A 1B 1C 1概念当s,n 时,2s,n 2π<≤ππθ=-八：总结与评价问题激发策略：给学生提供一系列的问题，激发学生的兴趣和好奇心 ;由直观到抽象的策略:借助微课，通过观察生活中的一些实际例子过渡到数学上的一些模型课堂中教师对学生的学习、探究、讨论、课堂发言等给予及时的评价、引导和总结；课堂结束时，教师引导学生进行本次课综合性总结；课后，教师布置相应的习题,通过学生做题,了解学生对本堂课的掌握情况。
北师大版高中数学选修2-1课件：2.5.1直线间的夹角平面间的夹角
【学习目标】
1 理解异面直线的夹角，两平面的夹角的概念；
2 能用向量方法解决线线、面面夹角计算问题． 3 会灵活选择运用向量法和综合法，从不同角度解决立 体几何问题。
1、直线间的夹角
导
0， 2
当两条直线l1与l2共面时,我们把两条
平面间的夹角
议展
例 2 如图 2－5－7 所示在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， E， F 分别是棱 BC，CC1 上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1 ＝1∶2∶4. (1)证明 AF⊥平面 A1ED； (2)求二面角 A1－ED－F 的正弦值．
图 2－5－7
【解】 以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设 AB 3 ＝1，依题意得 D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，E(1，2，0)． 3 → → → ＝(－ (1)证明： 易得AF＝(1,2,1)， EA1＝(－1， －2， 4)， ED 1 → → → → 1，2，0)．于是 AF· EA1＝0，AF· ED＝0.因此，AF⊥EA1，AF ⊥ED． 又 EA1∩ED＝E，所以 AF⊥平面 A1ED．
s1 , s 2
直线间的夹角 设直线 l1 与 l2 的方向向量分别为 s1，s2.
2、平面间的夹角
二面角定义：从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫作二面角。
导
F
以二面角棱上任一点为端点，在两个 半平面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫作二面角的平 面角.
B
l2
s2
s1
导
B C
A
s2
C
l1
已知直线
高中数学北师大版选修2-1第二章《习题2—5》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学北师大版选修2-1第二章《习题2—5》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1.能用向量方法解决直线间的夹角的计算问题.
2.能用向量方法解决平面间的夹角的计算问题.
3.能用向量方法解决直线与平面的夹角的计算问题.
4.了解空间向量在解决立体几何问题中的作用.
2学情分析
本节内容常与空间中的平行与垂直相结合命题.是学生在学习了有关角的概念之后的一节习题课,学习起来相对要轻松很多。
3重点难点
重点:利用向量方法求线线角、面面角、线面角.
难点:.注意线线角、面面角、线面角的范围与向量夹角的范围.
4教学过程
4.1第一学时夹角的计算
教学活动
1【导入】复习引入
1.空间中两条直线的位置关系有——、——、——三种情况.
2.正方体的相邻两个侧面所成的二面角是——
2【讲授】求异面直线所成的角
四棱锥P—ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为60°,在四边形ABCD中,∠D=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2.
(1)建立适当的坐标系,并写出点B、P的坐标;
(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值.
3【讲授】两平面的夹角。
高中数学北师大版选修2-1 2.5.1-2.5.2直线间的夹角 平面间的夹角 课件(33张)
A.
2 5 4 D. 5
B.
答案 :D 【做一做 1-2】 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中 ,若 AB= 2BB1,则 AB1 与 C1B 所成角的大小为 .
π 答案 : 2
-7-
2.平面间的夹角 (1)如图所示,平面π1与π2相交于直线l,R为直线l上任意一点,过点R 在平面π1上作直线l1⊥l,在平面π2上作直线l2⊥l,则l1∩l2=R.我们把 直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角.
π 2
,所以若求得余弦值为负数 ,则异面直线所成角为其补角 .
再者应用向量解决几何问题时一定要合理建系使向量的表达更科 学、合理 .
-13-
题型一
题型二
题型三
【变式训练 1】 在三棱锥 S-ABC 中,∠SAB=∠SAC=∠ ACB=90° ,AC=2,BC= 13,SB= 29.求 SC 与 AB 所成角的余弦值. 解 :如图所示 ,以 A 为坐标原点,过点 A 且垂直平面 ABS 的直线为 x 轴 ,直线 AB,AS 分别为 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系,则由 ∠SAB= ∠SAC=∠ACB=90° ,AC=2,BC= 13,SB= 29,得 B(0, 17,0),S(0,0,2 3),C 2
13 4 , ,0 17 17
,
∴������������ = 2
13 4 , ,-2 17 17
3 .
-14-
题型一
题型二
题型三
设 SC 与 AB 所成的角为 α.
∵������������=(0, 17,0), ∴������������ ·������������ =4,| ������������ ||������������|=4 17,∴cos α= 17 ,
2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1讲义：第二章 §5 第二课时 直线与平面的夹角 W
姓名，年级：时间：§5夹角的计算第二课时直线与平面的夹角错误!在上节研究的山体滑坡问题中，A，B两点到直线l（水平地面与山坡的交线）的距离分别为AC和BD，直线BD与地面ACD的夹角为φ.问题1：φ与〈CA，DB〉有什么关系？提示：φ＝π－〈CA，DB〉．问题2：φ与<BD，n>有何关系？(n为地面法向量)提示：φ＝错误!－<BD，n>或φ＝〈BD，n〉－错误!，即sin φ＝｜cos<BD，n>｜.直线与平面的夹角(1)平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角．（2）如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为π2。
(3)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为0.（4)设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，l与α的夹角为θ，则，当〈a，n〉≤错误!时，θ＝错误!－〈a,n〉;当〈a，n〉〉错误!时,θ＝<a，n〉－错误!。
即sin<a，n>＝｜cos〈a,n〉|。
（1)直线与平面夹角范围是错误!；（2)求直线与平面夹角θ时，可用定义求解；也可用直线的方向向量s、平面的法向量n 的夹角进行求解，但要注意sin θ＝|cos〈s，n〉｜.错误!求直线与平面的夹角[例1] 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB,AB＝AA1,∠BAA1＝60°.（1)证明：AB⊥A1C;(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB＝CB,求直线A1C与平面BB1C1C的夹角的正弦值．[思路点拔］（1）先证明直线与平面垂直,再利用线面垂直的性质求证线线垂直；（2)建立空间直角坐标系，写出点与向量坐标，将线面角的大小用方向向量和法向量表示，但要注意线面角的范围．[精解详析] (1)如图，取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B。
因为CA＝CB,所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB。
数学第二章5夹角的计算课件(北师大版选修2-1)
解：如图，作 AP⊥CD 于点 P，分别以 AB， AP，AO 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建 立空间直角坐标系． ∵ OA＝ 2， AB＝ 1， AP＝AD·cos45°＝1× 2＝ 2，
5 5 5 10
解析：选 B.设棱长为 2，则 AM＝(0，1，2)， CN＝(2，0，1)，可求得夹角的余弦值为2.
5
2.平面间的夹角
(1)平面间夹角的概念
如图，平面π1和π2相交于直线l， 点R为直线l上任意一点，过点R，在平面π1上 作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2 ＝ R ， 我 们 把 直l1和线l2_的__夹__角________ 叫 作 平 面 π1中，直线与平面的夹角由直线的方向向 量与平面的法向量的夹角确定． 设平面 α 的法向量为 n，直线 l 的方向向量为 a，直线 l 与平面 α 所成的角为 θ.
当 0≤〈n，a〉≤π 时，θ ＝π －〈n，a〉；
2
2
当π <〈n，a〉≤π 时， 2
θ ＝_〈__n_，__a_〉__－__π_2________．
§5 夹角的计算
学习导航
学习目标
重点难点 重点：直线间的夹角、平面间的夹角、直线 与平面的夹角的定义． 难点：用向量法(“基底法”“坐标法”)解决 线线角、线面角、面面角的计算．
新知初探思维启动
1.直线间的夹角 (1)共面直线的夹角 当角两中[0条，，直范π2线围] 在l1与__l2_共__面__时_内，的我角们叫把作两两条直直线线的交 夹角．如图1所示．
即 sinθ ＝|cos〈n，a〉|.
做一做
4.若平面 α 的一个法向量 n＝(4，1，1)，直
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高中数学北师大版选修2-1第二章《5.1直线间的夹角》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1、知识目标:
①使学生理解直线夹角的定义使学生掌握空间向量的夹角公式及其简单应用;
②提高学生选择恰当的方法求两条异面直线夹角的技能;
2、能力目标:
①在与平面向量的夹角公式的比较基础上,培养学生观察、分析、类比转化的能力;
②通过对空间几何图形的探究,使学生会恰当地建立空间直角坐标系;通过空间向量的坐标表示法的学习,使学生经历对空间图形的研究从“定性推理”到“定量计算”的转化过程,从而提高分析问题、解决问题的能力。
3、情感目标:
①通过自主探究与合作交流的教学环节的设置,激发学生的学习热情和求知欲,充分体现学生的主体地位;
②通过数形结合的思想和方法的应用,让学生感受和体会数学的魅力,培养学生“做数学”的习惯和热情。
2教材分析
教材的地位与作用
本节课是在已完成了“平面向量的数量积公式、夹角公式,空间向量的坐标表示,空间向量的数量积”等内容的教学以后进行的,是《夹角的计算》的第1课时,是空间向量在立体几何中的简单应用。
这节课的教学,为向量在数学和物理上的综合运用奠定了基础。
按照传统方法解立体几何题,需要有较强的空间想象能力、演绎推理能力以及作图能力,学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。
用向量法处理立体几何问题,把对空间图形的研究从“定性推理”转化为“定量计算”,有助于学生克服空间想象力的障碍而顺利解题。
3重点难点
重点:(1)理解直线夹角的定义及其取值范围
(2)掌握夹角公式及其坐标表示法;选择恰当的方法求两条异面直线的夹角。