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2002年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）第Ⅰ卷（选择题共60分）试卷类型：A参考公式：三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式 )sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若直线0201)1(22=-+=+++x y x y x a 与圆相切，则a 的值为A ．1，－1B ．2，－2C ．1D ．－12．复数3)2321(i +的值是A ．－iB ．iC ．－1D ．13．不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是 A ．}10|{<≤x x B ．}10|{-≠<x x x 且C ．{11|<<-x x }D ．}11|{-≠<x x x 且4．函数]1,0[在xa y =上的最大值与最小值的和为3，则a =A ．21 B ．2 C ．4 D ．41 5．在（π2,0）内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为A ．)45,()2,4(ππππ B ．),4(ππC ．)45,4(ππ D ．)23,45(),4(ππππS 台侧=l c c )(21+'其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 球的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径6．设集合M=},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=，则 A ．M =NB ．N M ⊂C ．N M ⊃D ．=N M ø7．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是（0，2），那么k =A ．－1B ．1C ．5D ．5-8．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是A ．43B ．54 C ．53 D ．53-9． 已知,10<<<<a y x 则有 A ．0)(log <xy a B ．1)(log 0<<xy aC ．2)(log 1<<xy aD ．2)(log >xy a10．函数)),0[(2+∞∈++=x c bx x y 是单调函数的充要条件是A ．b ≥0B ．b ≤0C ．b>0D ．b<011．设)4,0(πθ∈，则二次曲线122=-θθtg y ctg x 的离心率的取值范围为A ．)21,0(B ．)22,21(C ．)2,22(D ．),2(+∞12．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．据新华社2002年3月12日电，1985年到2000 年间，我国农村人均居住面积如图所示，其中， 从 年到 年的五年间增长最快. 14．函数)),1((12+∞-∈+=x xxy 图象与其反函数图象的交点坐标为 .15．72)2)(1(-+x x 的展开式中x 3项的系数是 .16．对于项点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上 ②焦点在x 轴上； ③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为x y 102=的条件是 .（要求填写合适条件的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω. （Ⅰ）求这段时间的最大温差；（Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式. 18．（本小题满分12分）甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动.甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m.（Ⅰ）甲、乙开始运动后几分钟相遇？（Ⅱ）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 19．（本小题满分12分）四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD.（Ⅰ）若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（Ⅱ）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90° 20．（本小题满分12分） 设函数.,1|2|)(2R x x x x f ∈--+= （Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶数；（Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.21．（本小题满分14分）已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为2，点N到直线PM的距离为1.求直线PN的方程.22．（本小题满分12分，附加题满分4分）（Ⅰ）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；（Ⅱ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；（Ⅲ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分.）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明.数学试题（文史类）参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.A卷选择题答案：一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.1．D 2．C 3．D 4．B 5．C 6．B7．B 8．C 9．D 10．A 11．D 12．B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．1995 2000 14．（0，0），（1，1） 15．1 008 16．②，⑤三、解答题17．本小题主要考查正弦函数的基本概念、基本性质等基础知识，考查读图识图能力和基本的运算技能.满分12分.解：（Ⅰ）由图示，这段时间的最大温差是30－10=20（℃）. (2)分（Ⅱ）图中从6时到14时的图象是函数b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期的图象， .8,614221πωωπ=-=⋅∴解得 (5)分由图示，.20)1030(21,10)1030(21=+==-=b A (7)分这时.20)8sin(10++=ϕπx y将.43,10,6πϕ===可取代入上式y x ………10分 综上，所求的解析式为].14,6[,20)438sin(10∈++=x x y ππ ………12分18．本小题主要考查等差数列求和等知识，以及分析和解决问题的能力.满分12分.解：（Ⅰ）设n 分钟后第1次相遇，依题意，有 7052)1(2=+-+n n n n (3)分 整理得 .0140132=-+n n 解得 20,7-==n n （舍去）. 第1次相遇是在开始运动后7分钟. (6)分 （Ⅱ）设n 分钟后第2次相遇，依题意，有.70352)1(2⨯=+-+n n n n (9)分 整理得 .0706132=⨯-+n n解得 28,15-==n n （舍去）.第2次相遇是在开始运动后15分钟. ………12分 19．本小题考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分.（Ⅰ）解：⊥PB 面ABCD∴BA 是PA 在面ABCD 上的射影.又DA ⊥AB ，∴PA ⊥DA ，∴∠PAB 是面PAD 与面ABCD 所成的二面角的平面角， ∠PAB=60°. …………3分而PB 是四棱锥P —ABCD 的高，PB=AB ·tg60°=3a ,3233331a a a V =⋅=∴锥. (6)分（Ⅱ）证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形. 作AE ⊥DP ，垂足为E ，连结EC ，则△ADE ≌△CDE ， CEA CED CE AE ∠=∠=∴故,90, 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角. (8)分设AC 与DB 相交于点O ，连结EO ，则EO ⊥AC ， .22a AD AE OA a =<<=∴………10分在.0)2)(2(2)2(cos ,2222<-+=⋅⋅-+=∠∆AE OA AE OA AE EC AE OA EC AE AEC AEC 中所以，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°. ………12分 20．本小题主要考查函数的概念、函数的奇偶性和最小值等基础知识，考查运算能力的逻辑思维能力.满分12分.解：（Ⅰ）.7)2(,3)2(=-=f f由于),2()2(),2()2(f f f f -≠-≠-故)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数. (4)分（Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=.2,1,2,3)(22x x x x x x x f (6)分由于),2[)(+∞在x f 上的最小值为)2,(,3)2(-∞=在f 内的最小值为.43)21(=f (10)分故函数),()(+∞-∞在x f 内的最小值为.43………12分21．本小题主要考查直线方程、点到直线的距离等基础知识，以及运算能力.满分14分.解：设点P 的坐标为（x ,y ），由题设有,2||||=PN PM 即.)1(2)1(2222y x y x +-⋅=++整理得 .01622=+-+x y x ① (4)分因为点N 到PM 的距离为1，|MN|=2，所以33,30±=∠的斜率为直线PM PMN， 直线PM 的方程为).1(33+±=x y ② (8)分将②式代入①式整理得.0142=+-x x解得32,32-=+=x x .代入②式得点P 的坐标为);31,32()31,3,2(+--++或 ).31,32()31,32(----+或 ………12分 直线PN 的方程为11+-=-=x y x y 或.………14分22．本小题主要考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力.满分12分,附加题4分. 解：（I ）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥. ………4分 如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的41，有一组对角为直角.余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底. ………8分 （Ⅱ）依上面剪拼的方法，有V 柱>V 锥. ………9分 推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为.43现在计算它们的高：.633021,36)2332(12===⋅-= tg h h 柱锥,02432243)6396(43)31(<-=⋅-=⋅-=-∴柱锥柱锥h h V V所以，V 柱>V 锥. ………12分（Ⅲ）（附加题，满分4分）如图3，分别连结三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形.以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型.注：考生如有其他的剪拼方法，可比照本标准评分.-。