高2021届高2018级福建省福州第一中学高三上学期期中考试数学试题及参考答案
2021届福建省福州市八县(市)一中高三上学期期中联考数学试卷及答案
（2）设 ,求数列 的前 项和 .
18．（本小题满分12分）
在① ,② ,
③ 这三个条件中任选一个,补充在下列问题中,并解答．
已知 的角 , , 对边分别为 , ,而且______．
（1）求 ；
（2）求 周长的范围．
19．（本小题满分12分）
已知如图①,在菱形 中, 且 , 为 的中点,将 沿 折起使 ,得到如图②所示的四棱锥 .
C．关于直线 对称D．关于直线 对称
8．已知可导函数 的定义域为 ,其导函数 满足 ,则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
二、选择题（每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的5分,有选错的得0分,部分选对得3分）
9．已知复数 满足 为虚数单位 ,复数 的共轭复数为 ,则（）
A． B．
C．复数 的实部为 D．复数 对应复平面上的点在第二象限
10．已知 ,如下四个结论正确的是（）
A． ；B．四边形 为平行四边形；
C． 与 夹角的余弦值为 ；D．
11．在 中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若 , ,则下列结论正确的是（）
A． B． C． D． 的面积为6
12．已知直三棱柱 中, , , 是 的中点, 为 的中点.点 是 上的动点,则下列说法正确的是（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知函数 是定义在 上的偶函数,且函数 在 上是减函数,如果 ,则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
4．右图是一个正方体的展开图,则在该正方体中（）
A．直线 与直线 平行B．直线 与直线 相交
C．直线 与直线 异面且垂直D．直线 与直线 异面且所成的角为60°
福建福州一中2021-2022学年高三上学期期中考试数学试题及答案
福州一中2021—2022学年第一学期第一学段模块考试高三数学期中考试卷（完卷时间：120分钟 满分150分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设43i z i ⋅=-(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为（ ）A. 4-B. 4C. 4i -D. 4i 2.已知全集{}15,U x x x Z =-≤≤∈，集合{}0,1,2,3,4A =，{}1,0,1,2B =-，则()UAB =（ ）A. {}0,1,2B. {}1,2C. {}3,4D. {}3,4,53.已知21log 4a =，3log 2b =，322c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A.a b c << B.a c b << C.c a b << D.b c a << 4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n a 是等比数列”为“存在R λ∈，使得11n n S a S λ+=+”的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.已知2sin 33πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．19B ．19- C ．19± D ．89-6.已知数列{}n a 满足：()*12211,n n n a a a a a n N ++===+∈.若35759611k a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=，则k =（ ） A. B.C. D.7.设a 、b 、c为非零不共线向量，若()()1a tc t b a c t R -+-≥-∈，则（ ）A.()()c a b a -⊥+B. ()()c b b a+⊥+C. ()()c a b a -⊥-D.()()cb c a+⊥- 8.若对任意的1x ，()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 2x x x x x x -<-，则m 的最小值是（ ）A.1e B. e C. 1 D. 3e二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中.有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9. 已知0ab <，则（ ）A ．222a b ab +≥ B．a b +< C ．()0a a b -> D ．||2b aa b+≥10.设函数()f x 的定义域为D ，x D ∀∈，y D ∃∈，使得()()f y f x =-成立，则称()f x 为“美丽函数”.下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（ ） A ．()2f x x =B ．()11f x x =- C ．()()ln 23f x x =+D ．()2cos f x x =11.若正三棱锥V ABC -和正四棱锥11111V A B C D -的所有棱长均为a ，将其中两个正三角形侧面VAB ∆与111V A B ∆按对应顶点粘合成一个正三角形以后，得到新的组合体是（ ） A.五面体 B.七面体 C.斜三棱柱 D.正三棱柱12.数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：ABC ∆的外心O ，重心G ，垂心H ，依次位于同一条直线上，GH 与GO 的比值为定值，该直线被称为欧拉线. 若4AB =，2AC =，则下列各式正确的是（ ） A. 20GO GH += B. 4AG BC ⋅= C. 6AO BC ⋅=- D. OH OA OB OC =++三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正项等比数列{}n a ，若1317a S ==，，则6S =______. 14.在ABC ∆中，已知3,5AB AC ==，23BAC π∠=，点D 在边BC 上，且满足AD BD =，则BC =__________，sin DAC ∠=__________.15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点,M N 间隔3分钟先后从点P 出发， 绕原点按逆时针方向作角速度为6π弧度/分钟的匀速圆周运动，则M 与N 的 纵坐标之差第5次达到最大值时，N 运动的时间为_________分钟.16.函数()int x 是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过x 的最大整数，例如()int 3.94-=-，()int 2.42=.已知函数()()()int ,0,log ,0ax x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩（0a >，且1a ≠），若()f x 的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数a 的取值范围是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.17.（10分）已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<的图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）首先将函数()f x 的图象上每一点横坐标缩短为原来的12， 然后将所得函数图象向右平移按8π个单位，最后再向上平 移1个单位得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内的值域.18．（12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，124AC AA ==，E 、F 分别是BC 、11A B 的中点．（1）求证：//EF 平面11ACC A ；（2）求直线AF 与直线1B C 所成角的余弦值．19.（12分）在①三边长成等差数列，②三边长为连续奇数，③22244c a b +=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cos C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC ∆，它的内角,,A B C 对边分别是,,a b c ，且a b c <<，2C A =，_____？注：选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 20.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，1=1a ，点()*,n S n n N n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭均在斜率为12的直线上.数列{}n a 、{}n b 满足()111222+12n n n a b a b a b n +++⋅⋅⋅=-⋅. （1）求数列{}{}n n a b 、的通项n n a b 、；（2）若数列{}n a 中去掉数列{}n b 的项后，余下的项按原来的顺序组成数列{}n c ，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，求100T .21. （12分）如图所示，在底半径为R 、高为H （,H R 为定值，且H R ≤）的圆锥内部内接一个底半径E FC 1B 1A BA 1为r 、高为h 的圆柱，甲、乙两位同学采用两种不同的方法来解决. 甲采用圆柱底面与圆锥底面重合的“竖放”方式（图甲），乙采用圆柱母线与圆锥底面直径重合的“横放”方式（图乙）. （1）设1V 、2V 分别“竖放”、“横放”时内接圆柱的体积，用内接圆柱的底半径r 为自变量分别表示1V 、2V ；（2）试分别求1V 、2V 的最大值()1max V 、()2max V ，并比较()1max V 、()2max V 的大小.22．（12分）形如()()k x y h x =的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得()ln ln ()()ln ()k x y h x k x h x ==，两边对x 求导数，得()()()ln ()()h x y k x h x k x y h x '''=+，于是()()()()()ln ()()k x h x y h x k x h x k x h x ⎡⎤⎢⎥⎣''=+⎦'. 已知()()()0,xf x xx =∈+∞，()21()22ag x x a R =+∈ （1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若()()0,,()x f x g x ∀∈+∞≥恒成立，求a 的取值范围.高三数学答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACAABCDA二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中.有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.题号 9 10 11 12 答案ACDBCDACACD三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. ____63____; 14.（1）___7 ____（2）___437___; 15.___49.5____; 16.__11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭__ 四、解答题：本题共6小题，共70分.17【解析】（1）由图象得2A =，13332,212344T πππωω-==⋅=，........................2分.由()13522,21223k k k Z πππϕπϕπ⨯+=+=-+∈........................3分.0,3πϕπϕ≤≤∴=.......................4分 ()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.......................5分（2）()2sin 412sin 41836g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.......................8分当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，114,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，[]sin 41,16x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，......9分()[]1,3g x ∴∈-....10分18.【解析】（Ⅰ）证明：如图，取11B C 的中点G ，连接EG ，FG ，...................1分 因为E ，F 分别是BC ，11A B 的中点，所以1//EG CC ，11//FG AC ，...................2分 又1111111,,//EG ACC A CC ACC A EG ACC A ⊄⊂∴平面平面平面，同理11//FG ACAC 平面...................4分又EGFG G =，1111CC A C C =，所以平面//EFG 平面11ACC A ，...................5分又EF ⊂平面EFG ，所以//EF 平面11ACC A ．...................6分（Ⅱ）法一：（几何法）取AB 中点M ，因连结1B M ，因为F 为11A B 中点，所以1//AF B M ，1CB M ∴∠（或其补角）为直线AF 与直线1B C 所成角....................8分124AC AA ==，E ，F 分别是BC ，11A B 的中点∴在1MB C ∆中，1MB1B CMC设直线AF 与直线1B C 所成角θ根据余弦定理得222+cosθ-==...................10分 所以直线AF 与直线1B C ．...................12分 法二：（向量法）如图所示，在平面ABC 内过A 作直线AX AE ⊥.以A 为原点，分别以1AX AE AA ，，的方向为x 轴，y 轴，，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系....................7分 则(0A ，0，0)，(1F2)，()1B ，(2C -，，0)，...................9分 所以(1AF =2)，()14,0,2B C =--，设直线AF 与直线1B C 所成角θ...................10分 所以1110cos =5AF B C AF BCθ⋅=⋅...................11分 所以直线AF 与直线1B C ．...................12分 19【解析】选①，不妨设()(),,0,,,0+a b d b b c b d d a b c =-==+>∈∞，..................1分 由正弦定理得sin 2sin b d b d A A +-=，得2sin cos sin b d b dA A A +-=，()cos 2b d A b d +=-，..................4分由余弦定理得()()()()()222244cos 222b b d b d b bd b dA b b d b b d b d ++--++===+++..................7分所以()()422b d b db d b d ++=-+，整理的25bd d =，因为0d >，所以5b d =..................9分而三边长为()45,60d d d d >，能构成三角形，所以()()()2224561cos 2458d d d C d d+-==⋅⋅..................11分 即1cos 8C =...................12分 (用正弦定理将三边关系转化为角的关系、结合三倍角公式也可解决此问题) 另解：由2b a c =+得，2sin sin sin B A C =+，..................1分 即()323sin 4sin sin 2sin cos A A A A A -=+，..................5分sin 0A >，化简得28cos 2cos 30A A --=，()()2cos 14cos 30A A +-=，..................9分2cos 10,A +>解得3cos 4A =，..................11分 1cos cos 28C A ==...................12分 选②，不妨设()2,,23a n b n c n n =-==+≥，且n 为奇数..................1分 由正弦定理得22sin 2sin n n A A +-=，222sin cos sin n n A A A+-=，得()2cos 22n A n +=-..................5分 由余弦定理得()()()222228cos 2224n n n n A n n n ++--+==++..................9分 所以()()82=2222n n n n +++-，整理的()()()2822n n n +-=+，所以10n =..................11分因为10n =不为奇数，不合题意，故不存在奇数满足要求..................12分选③，2C A =，222sin sin 2=2sin cos =2sin 2b c a C A A A A bc+-∴=⋅，..................3分由正弦定理得()2222222=22b c a ac a c b c a bc b+-⋅⇒=⋅+-..................6分 222222222114544,,4456a abc a b b a c c c c b b c ⎛⎫+=∴-=∴=⋅+∴== ⎪⎝⎭，，..................11分1cos 8C ∴=.................12分20【解析】（1）数列{}n a 的前n 项和是n S ，1=1a ，点()*,n S n n N n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭均在斜率为12直线上，()*112,12n n S S n n N n n -∴-=≥∈-，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是1以首项，12为公差的等差数列..................1分()2*1+,=22n n S n n n S n N n +∴=∴∈..................1分当2n ≥时，1n n n a S S n -=-=，1=1a 满足上式，故()*n a n n N =∈.................4分数列{}n a 、{}n b 满足()111222+12n n n a b a b a b n +++⋅⋅⋅=-⋅2n ≥时，()1122-1-12+22n n n a b a b a b n ++⋅⋅⋅=-⋅，两式相减得，2nn n a b n =⋅，1n =满足上式，故()*2n n n a b n n N =⋅∈..................6分()*2n n b n N ∴=∈ n a n ∴=，()*2n n n a b n n N =⋅∈.................8分（2）设数列{}n a 中前p 项中有数列{}n b 的q 项，则100p q -=，2qp ≤，即求满足2100q q ≤+的最大正整数q ，易得6q =，所以数列{}n a 中前106项有数列{}n b 的6项，..................10分所以()()()6261001062121106106=2225545212T S ⨯-+⨯-++⋅⋅⋅+=-=- (11)分1005545T ∴=.................12分21.【解析】（1）如图，设,,,AC H CB R DE x EF y ====，................1分根据三角形相似得，1,1,1x H y y y x x R y H R H H H R -⎛⎫⎛⎫==-∴=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭................2分 ①若圆柱“竖放”，则(),10r x r h y h H r R R ⎛⎫==∴=-<< ⎪⎝⎭，()3222110r r V r h r H H r r R R R πππ⎛⎫⎛⎫∴==-=-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭................4分②若圆柱“横放”，则22,21022h r H x y r h R r H ⎛⎫⎛⎫==∴=-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，322222221202r r H V r h r R R r r H H πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==-=-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (6)分（2）①()221320r V H r r R R π⎛⎫'∴=-<< ⎪⎝⎭，由2132=0r V H r R π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，解得23r R = 当203r R ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，10V '>；当23r R R ⎛⎫∈⎪⎝⎭，时，10V '<； ()221max 243327HV R R H ππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭.................8分②()226220r V R r r R H π⎛⎫'∴=-<< ⎪⎝⎭由22622=0r V R r H π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭解得13r H =当103r H ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，20V '>；当132H r H ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，20V '<；()222max223327H V R RH ππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭.................10分()()()2212max max 4222272727V V R H RH RH R H πππ-=-=-.......11分 ()()12maxmax ,H R V V ≤∴>.................12分22【解析】（1）由()xy f x x ==，不妨设()h x x =，()k x x =..............1分 由幂指函数导数公式得()(ln 1)x f x x x '=+，..............2分 所以(1)1f '=，又(1)1f =，所以，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y x =..................3分（2）先寻找必要条件：若()()0,,()x f x g x ∀∈+∞≥恒成立，则()(1)1f g ≥，解得1a ≤.................4分证明充分性：当1a ≤时，若()()0,,()x f x g x ∀∈+∞≥恒成立， 构造()()()F x f x g x =-，(0,)x ∈+∞，则()()()(ln 1)x F x f x g x x x ax '''=-=+-，..............5分 令()()(ln 1),(0,)x M x F x x x a x '==+-∈+∞，所以()21ln 2(1)ln ()ln 11(ln 1)x x x x x x M x x x x e x e a --'=++-=++-，因为1x -与ln x 同号，所以(1)ln 0x x -，所以(1)ln 1x x e a -≥≥，..............7分（也可以对()0,1x ∈[)1+x ∈∞，分类讨论） ln 2(ln 1)0x x e x +≥所以()0M x '，所以()M x 即()F x '为(0,)+∞上增函数，.................8分又因为(1)0F '=，所以，当(0,1)x ∈时，()(1)0F x F ''<=； 当(1,)x ∈+∞时，()(1)0F x F ''>=. 所以，()F x 为(0,1)上减函数，为(1,)+∞上增函数，.................10分所以，min ()(1)0F x F ==，无最大值.又因为(1)0F '=，所以，当(0,1)x ∈时，()(1)0F x F ''<=； 当(1,)x ∈+∞时，()(1)0F x F ''>=.()()0,,()x f x g x ∴∀∈+∞≥恒成立，.................12分。
高2021届高2018级福建省福州第一中学高三第一学期期中考试数学试卷参考答案
福州一中2020—2021学年第一学期高三数学半期考试卷高三数学半期考参考答案1-4 DBAC 5-8 CADA 9 BD 10 ABC 11 ACD 12 ABD 13.3 14.132 15.23π 16.16π17.解:若选①:因为sin cos 6c A a C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以sin sin sin cos 6C A A C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭又因为sin 0A ≠,所以sin cos 6C C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即2sin sin 3C C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,又因为(0,)C π∈,所以23C C π=-,所以3C π=.由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-,即227a b ab +-=,因为1sin 2ABC S ab C =△,所以8ab =,所以2()781a b -=-=-,与2()a b -≥0矛盾,所以满足条件的三角形不存在.若选②:…………即227a b ab +-=,又因为1a b -=,所以2221a b ab +-=,所以6ab =故22225a b ab ++=,即5a b +=,所以三角形周长57C a b c =++=+.若选③:…………即227a b ab +-=,又因为sin 2sin A B =,所以2a b =,联立,解得221a =,21b =,所以三角形周长217C a b c =++=+.18.证明:(1)连结A 1B 交AB 1于P .因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1,所以P 是A 1B 的中点.因为M ,N 分别是CC 1,AB 的中点,所以NP // CM ,且NP = CM ,所以四边形MCNP 是平行四边形,所以CN //MP .因为CN ⊄平面AB 1M ,MP ⊂平面AB 1M ,所以CN //平面AB 1M .(2)因为AC =BC =2,22AB =, 所以由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC .又因为CC 1⊥平面ABC ,以C 为原点,CA ,CB ,CC 1分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系C-xyz . 因为132C M =,所以C (0,0,0),A (2,0,0),B 1(0,2,4),5(0,0,)2M ,5(2,0,)2AM =-,13(0,2,)2B M =--. 设平面1AMB 的法向量(,,)n x y z =,则0n AM ⋅=,10n B M ⋅=.即5(2,0,)(,,)=023(0,2,)(,,)=0.2x y z x y z ⎧-⋅⎪⎪⎨⎪--⋅⎪⎩，令5x =,则3,4y z =-=,即(5,3,4)n =-.又平面MB 1C 的一个法向量是=(2,0,0)CA , 所以2cos ,>=2||||n CAn CA n CA ⋅<=.由图可知二面角A-MB 1-C 为锐角,所以二面角A-MB 1-C 的大小为4π.19.(1)∵32a +是24,a a 的等差中项,∴()32422a a a +=+,代入23428a a a ++=,可得38a =,∴2420a a +=,∴21211820a q a q a q ⎧=⎨+=⎩,解之得122a q =⎧⎨=⎩或13212a q =⎧⎪⎨=⎪⎩,∵1q >,∴122a q =⎧⎨=⎩,∴数列{}n a 的通项公式为2n n a = (2)∵1122log 2log 22n n n n n n b a a n ===-,∴()212222n n S n =-⨯+⨯++,...............①()2312122222n n S n n +=-⨯+⨯+++,.............②②—①得()23111121222222222212n n n n n n n S n n n ++++-=+++-=-=---∵121000n n S n ++⋅>,∴121002n +>,又因为*n N ∈,所以110n +≥,所以9n ≥,所以使121000n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为920.解:(1)∵PA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ,∴BD PA ⊥, 又tan tan 3ADBCABD BAC AB AB ∠==∠==∴0030,BAC 60ABD ∠=∠=,∴090AEB ∠=,即BD AC ⊥(E 为AC 与BD 交点).又PA AC ,∴BD ⊥平面PAC又因为BD PBD ⊂平面,所以PAC PBD 平面⊥平面.(2)解:如图,以AB 为x 轴,以AD 为y 轴,以AP 为z 轴,建立空间坐标系,如图, 设AP t =,则()()()()23,0,0,23,6,0,0,2,0,0,0,B C D P t , 则()23,2,0BD =-,()0,2,DP t =-,()23,6,PC t =-,设平面PBD 法向量为(),,n x y z =, 则00n BD n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即232020x y y tz ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩,取1x =,得平面PBD 的一个法向量为231,3,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,所以22226333cos ,1214448451PC n PC n PC n t t t t ⋅===++++,因为22221441445151275t t t t +++=≥,当且仅当23t =时等号成立,所以333cos ,=553PC n ≤,记直线PC 与平面PBD 所成角为θ,则sin cos ,PC n θ=,故3sin 5θ≤,即23t =时,直线PC 与平面PBD 所成角最大,此时该角的正弦值为35.21.(1)A 到E 弧长为θ,1OE =,1sin OF θ=,所以11sin ()833f v v v θθθ=++,所以11()833sin f v v v θθθ=++,3,44ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(2)222211cos 33cos 8cos (3cos 1)(cos 3)()83sin 24sin 24sin f v v v v θθθθθθθθθ----+'=+==-,记0(0,)θπ∈,且01cos 3θ=,则0,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,当0,4πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,1cos 3θ>,所以()0f θ'<,()f θ单调递减,当03,4πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,1cos 3θ<,所以()0f θ'>,()f θ单调递增,所以1cos 3θ=时,用时最短.答:当1cos 3θ=时,小球从A 到F 所用的时间最短.22.解(1)1'()(1)e 2(1)x f x x a x +=-++,记()'()g x f x =,则1'()e 2x g x x a +=+,1()(1)e x g x x +''=+,因为1x >-,所以()0g x ''>,所以()g x '在(1,)-+∞单调递增,(1)12g a '-=-+, 当12a ≥时,()(1)0g x g ''>-≥,所以()f x '在(1,)-+∞单调递增, (2)当12a ≥时,()f x '在(1,)-+∞单调递增,又(1)20f '-=-<,(1)40f a '=>,所以函数()f x '在(1,)-+∞有唯一的零点. 当12a <时,(1)0g '-<,(0)20g a '=>,故(1,0)t ∃∈-,使得()0g t '=,且 (1,)x t ∈-时,()0g x '<,()g x 单调递减,(,)x t ∈+∞时,()0g x '>,()g x 单调递增,又(1)20g -=-<,(1)40g a =>,所以函数()g x 在(1,)-+∞有唯一的零点. 综上所述,()f x '在(1,)-+∞有唯一的零点.当1x -≤时,1()(1)e 0x f x x +'-<≤,又()f x '有唯一的零点,记为s ,且当x s <时,()0f x '<,()f x 单调递减,当x s >时,()0f x '>,()f x 单调递增,所以s 是()f x 唯一的极小值点,即0(1,1)x s =∈-且满足0100(1)e 2(1)0x x a x +-++=, 由单调性知0()(1)3f x f <-=-,另一方面,00001111222000000000(1)e 1()(2)e (1)(2)e (1)(23)e 2(1)2x x x x x f x x a x x x x x x ++++-=-++=--+=--++ 记211()(23)e 2z h z z z +=--+,则211()(1)e 02z h z z +'=-+<, 所以()h z 单调递减,又因为0(1,1)x ∈-,所以20()(1)e h x h >=-,综上所述,()20e 3f x -<<-.。
2021届福建省福州第一中学高三第一学期期中考试数学试题(教师版含解析)
福州一中2020—2021学年第一学期高三数学半期考试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知命题2 :1,2log 1x p x x ∀-≥≥，则p ⌝为( ) A. 21,2log 1x x x ∀<-< B. 21,2log 1x x x ∀-<≥ C. 21,2log 1x x x ∃<-< D. 21,2log 1x x x ∃-<≥【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题判断即可. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题:p 1x ∀≥，22log 1xx -≥，:p ⌝1x ∃≥，22log 1x x -<.故选：D【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题. 2. 设复数z 满足1132z i z +=--，则||z =A. 5B.C. 2D.【答案】B 【解析】由1132z i z +=--，得1236z z zi i +=--+，即2z i =+，则z = B. 3. 已知集合{}2log (3)1P x x =-≤，322x Q x x ⎧⎫-=≤⎨⎬⎩⎭，则()R P Q =( ) A. ()0,1 B. (]0,1C. []1,2D. (]1,2【答案】A 【解析】 【分析】先解对数不等式和分式不等式分别化简集合,P Q ，求得RP ，再进行交集运算即可.【详解】22log (3)1l g 2o x -≤=，032x ∴<-≤，即13x ≤<，集合{}13P x x =≤<，则{1RP x x =<或}3x ≥，又由322x x-≤，得20x x -≤等价于()20x x -≤且0x ≠，即02x <≤，集合{}02Q x x =<≤，故()R P Q ={}01x x <<.故选：A.4. 已知等差数列{}n a 的公差为5，前n 项和为n S ，且1a 、2a 、5a 成等比数列，则6S =( )． A. 80 B. 85 C. 90 D. 95【答案】C 【解析】由题意，得2111(5)(45)a a a +=+⨯，解得152a =，所以6565659022S ⨯=⨯+⨯=． 故选C ．5. 设函数313log ,?0,()log (),? 0,x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是( ) A. (1,0)(0,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (1,0)(1,)D. (,1)(0,1)-∞-【答案】C 【解析】 【分析】由于a 的范围不确定，故应分0a >和0a <两种情况求解. 详解】当0a >时，0a -<，由()()f a f a >-得212log log a a >，所以22log 0a >，可得：1a >， 当0a <时，0a ->，由()()f a f a >-得()()122log log a a ->-，所以()22log 0a -<，即01a <-<，即10a -<<， 综上可知：10a -<<或1a >. 故选：C6. 《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈(如图)．问它的体积是多少? ”这个问题的答案是( )A. 5立方丈B. 6立方丈C. 7立方丈D. 9立方丈【答案】A 【解析】过点,E F 分别作平面EGJ 和平面FHI 垂直于底面，所以几何体的体积分为三部分中间是直三棱柱，两边是两个一样的四棱锥，所以113122131523V =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=立方丈，故选A.7. 设ln x a x =，ln y b y =，ln y c x =，其中x y >，则下列说法正确的是( ) A. a c b ≤≤ B. b c a ≤≤C. 2ab c <D. 2c ab <【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用函数的单调性可得答案.【详解】令ln ,ln x m y n ==，因为x y >，所以m n >，所以2m a e =，2n b e =，nm c e =，虽然xy e =是单调递增函数，而22,m n 无法比较大小，所以,a b 大小无法确定，排除AB ；22nm c e =2222+22m n m n nm ab e e e e c ==>=，故选：D.【点睛】本题考查比较大小，构造函数，利用函数的单调性是解答本题的关键点. 8. 已知函数()e e2xxf x a -=+⋅+(a R ∈， e 为自然对数的底数)，若()g f x =与()()y f f x =的值域相同，则a 的取值范围是 A. 0a < B. 1a ≤-C. 04a <≤D. 0a <或04a <≤【答案】A 【解析】排除法：当1a =时，令x e t = ，1()24f x t t=++≥ ，值域为[4,)+∞，(())f f x 在[4,)+∞上为增函数，值域为25[,)4+∞，不合题意舍去； 当0a <时，()2a f x t t =++ ，2223()120a t af x t t-=-+≥>' ，()f x 的值域为R (())y f f x =的值域也是R ，不符合题意，排除C 和D.当12a =-时，1()22f x t t =-+，21()102f x t =+>'，函数在(0,)+∞上单增，值域为R ，(())f f x 的值域也为R ，符合题意，排除B ，选A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 已知2()2sin cos f x x x x =+，下列说法正确的有( ) A. ()f x 的最小正周期是2π B. ()f x 最大值为2 C. ()f x 的图象关于3x π=对称D. ()f x 的图象关于2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 【答案】BD 【解析】【分析】利用三角函数的性质，逐个判断选项即可求解【详解】2()2sin cos 23cos 3f x x x x =+-sin 23cos 22sin(2)3x x x π=+=+，明显可得， A 错，B 对；对于C ，因为()03f π=，所以，()f x 的图象不关于3x π=对称，C 错；对于D ，因为2()03f π-=，所以，()f x 的图象关于2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，D 对； 故选：BD10. 已知平面向量OA 、OB 、OC 为三个单位向量，且0OA OB ⋅=，若OC xOA yOB =+(,x y R ∈)，则x y +的可能取值为( ) A. 0 B. 1C. 2D. 2【答案】ABC 【解析】 【分析】以向量OA 、OB 方向为x ，y 轴建立坐标系，则终点在单位圆上的向量()cos ,sin OC θθ=，可计算cos sin x y θθ+=+取值范围，即得结果.【详解】依题意，OA 、OB 是一组垂直的单位向量，如图建立坐标系，向量OA 、OB 作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C ()cos ,sin θθ(θ表示由x 轴非负半轴旋转到OC 所形成的角)构成的向量OC ，[)0,2θ∈π，因为()1,0OA =，()0,1OB =，()cos ,sin OC θθ=，OC xOA yOB =+，所以cos ,sin x y θθ==，故cos sin 2sin 4x y πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，[)0,2θ∈π，故2,2x y ⎡⎤+∈-⎣⎦，故可以是选项中的0，1，2.故选：ABC.11. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，线段11B D 上有两个动点,E F ，且1EF =，以下结论正确的有( )A. AC BE ⊥B. 异面直线,AE BF 所成的角为定值C. 点A 到平面BEF 的距离为定值D. 三棱锥A BEF -的体积是定值 【答案】ACD 【解析】【详解】由AC BD ⊥，1AC DD ⊥可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确；取特例，当E 与1D 重合时，F 是F '，AE 即1AD ，1AD 平行1BC ，异面直线,AE BF '所成的角是1C BF '∠，当F 与1B 重合时，E 是E '，BF 即1BB ，异面直线,AE BF '所成的角是1A AE '∠，可知1C BF '∠与1A AE '∠不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不是定值，故B 错误；连结BD 交AC 于O ，又AC ⊥平面11D DBB ，点A 到平面11BDD B 的距离是2=2AO ，也即点A 到平面BEF 的距离是2，故C 正确；=2AO 为三棱锥A BEF -的高，又1111224BEFS =⨯⨯=△，故三棱锥A BEF -的体积为1134224⨯⨯=D 正确. 故选：ACD【点睛】求空间中点到平面的距离常见方法为： (1)定义法：直接作平面的垂线，求垂线；(2)等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离； (3)向量法：计算斜线在平面的法向量上的投影即可. 12. 在n n n A B C (1,2,3,n =)中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n n A B C 的面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且222124n n n a c b++=，222124n n n a b c ++=，则( ) A.n n n A B C 一定是直角三角形B. {}n S 为递增数列C. {}n S 有最大值D. {}n S 有最小值【答案】ABD 【解析】 【分析】先结合已知条件得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，得A 正确，再利用面积公式得到递推关系1221875=644n n S S ++，通过作差法判定数列单调性和最值即可. 【详解】由222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c++=得，222222112244n n n n n n a c a b b c +++++=+()2221122n n n a b c =++()2225122n n b c =++，故()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，又221125=0b c +-，22250n n b c ∴+-=，22225=n n n b c a ∴+=，故n n n A B C 一定是直角三角形，A 正确；n n n A B C 的面积为12n n n S b c =，而()4222222222221124224416n n n n n n n n n n n n a b c a b c a c a b b c +++++++=⨯=，故()42222222222111241875161875==1616641n n n n n n n n n n n a b c a b bSS c cS +++++++==+，故22212218751875==6446434n n n n n S S SS S +-+--， 又22125=244n n n n n b c b c S +=≤(当且仅当==2n n b c ) 22121875=06344n n n S SS +∴--≥，又由14b =，13c =知n n b c ≠不是恒成立，即212n n S S +>，故1n n S S +>，故{}n S 为递增数列，{}n S 有最小值16=S ，无最大值，故BD 正确，C 错误. 故选：ABD .【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量(1,3)a =，(3,)b m =，且b 在a 上的投影为3，则m =______． 【解析】 【分析】利用数量积的定义得到投影cos a b b aθ⋅=，再利用数量积和模长的坐标运算代入计算即可.【详解】设a 与b 的夹角是θ，利用投影定义，b 在a 上的投影为cos b θ，因为cos a b a b θ⋅=⋅，33,1a b m a ⋅=+=，所以33cos 32ma b ab θ⋅+===，解得m =. 14. 设变量x ，y 满足约束条件1,4,2,x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则目标函数2z x y =+的最大值为__________．【答案】6.5 【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．详解：由题作出可行域如图，联立1{4x y x y -=-+=35(,)22A ⇒化目标函数22x zy =-+由图可知过A 时截距最大，故z 的最大值为6.5，故答案为6.5点睛：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 15. 已知函数()sin cos f x x a x =+的图象关于直线6x π=对称，1x 是()f x 的一个极大值点，2x 是()f x 的一个极小值点，则12x x +的最小值为______． 【答案】23π 【解析】 【分析】 根据图象关于6x π=对称，分析得到6f π⎛⎫⎪⎝⎭为函数最值，由此分析计算出a 的值并化简()f x ，根据条件表示出12,x x ，然后分析出12x x +的最小值. 【详解】因为()f x 的图象关于6x π=对称，所以213162f a π⎛⎫=±+=⎪⎝⎭， 所以解得3a =()sin 32sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 又因为()112sin 23f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以1112,32x k k Z πππ+=+∈，所以1112,6x k k Z ππ=+∈， 又因为()222sin 23f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以2222,32x k k Z πππ+=-+∈所以22252,6x k k Z ππ=-+∈， 所以121212522,,66x x k k k Z k Z ππππ+=+-+∈∈， 所以()12121222,,3x x k k k Z k Z ππ+=-++∈∈，显然当120k k +=时有最小值，所以12min2233x x ππ+=-=， 故答案为：23π. 【点睛】思路点睛：已知正、余弦型函数的一条对称轴求解参数的两种思路：(1)根据对称轴对应的是正、余弦型函数的最值，代入计算出函数值等于对应的最值，由此计算出参数值； (2)已知对称轴为x a =，则根据()()2f a x f x -=，代入具体x 的值求解出a 的值.16. 三棱锥A BCD -中，60ABC CBD DBA ===∠∠∠，2BC BD ==，面ACD 的面积为11，则此三棱锥外接球的表面积为___． 【答案】16π 【解析】 【分析】利用三角形全等和三角形面积公式求出高AE 为11，23AC AD ==，进而利用余弦定理，得出90ACB ADB ∠=∠=︒，即AC BC ⊥，AD DB ⊥，进而得出AB 为外接圆直径，进而求解【详解】如图，2BC BD ==，60ABC CBD DBA ===∠∠∠，ABC ABD ∴≅，则AC AD =，∴2CD =，又由面ACD 11，则ACD △的高AE 11，且根据余弦定理，可得23AC AD ==，60ABC DBA ==∠∠，可得4AB =，90ACB ADB ∠=∠=︒，即AC BC ⊥，AD DB ⊥，明显地，当球内有一条边能同时对应两个面的三角形的直角，则该边必为球的直径，所以，24AB R ==，所以，三棱锥外接球的表面积为2416R ππ= 故答案为：16π【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用余弦定理和三角形性质得到AC BC ⊥，AD DB ⊥，进而根据球内有一条边能同时对应两个面的三角形的直角，则该边必为球的直径来求解，难度属于中等四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 在①ABCS=1a b -=，③sin 2sin A B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求三角形的周长；若问题中的三角形不存在，请说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且c =sin cos 6c A a C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，？ 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】答案不唯一，见解析. 【解析】 【分析】先利用已知条件计算3C π=和227a b ab +-=，再利用所选条件逐一计算即可.【详解】因为sin cos 6c A a C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以sin sin sin cos 6C A A C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又因为sin 0A ≠，所以sin cos 6C C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2sin sin 3C C π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 又因为(0,)C π∈，所以23C C π=-，所以3C π=．由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即227a b ab +-=，若选①：因为1sin 2ABCSab C =，所以8ab =，所以2()781a b -=-=-，与2()0a b -≥矛盾，所以满足条件的三角形不存在．若选②：因为1a b -=，所以2221a b ab +-=，又227a b ab +-=，所以6ab =，故22225a b ab ++=，即5a b +=，所以三角形周长5C a b c =++=．若选③：因为sin 2sin A B =，所以2a b =，联立227a b ab +-=，解得a =，b =，所以三角形周长C a b c =++=．【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥面ABC ，2AC BC ==，22AB =，14CC =，M 是棱1CC 上一点．(1)若,M N 分别是1CC ，AB 的中点，求证：//CN 面1AB M ； (2)若132C M =，求二面角1A B M C --的大小． 【答案】(1)证明见解析；(2)4π. 【解析】 【分析】(1)连接A 1B 交AB 1于P ，根据平行四边形AA 1B 1B 的性质，结合三角形中位线定理，可得NP 与CM 平行且相等，从而四边形MCNP 是平行四边形，可得CN ∥MP ，再结合线面平行的判定定理，得到CN ∥平面AB 1M ；(2)以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图，根据题意得到C 、A 、、B 1、M 各点的坐标，从而得到向量AB 、1B M 的坐标，再利用垂直向量数量积为零的方法，列方程组可求出平面AMB 1的法向量n =(5，﹣3，4)，结合平面MB 1C 的一个法向量CA =(2，0，0)，利用空间两个向量的夹角公式，得到n 与CA 的夹角，即得二面角A ﹣MB 1﹣C 的大小．【详解】(1)连结A 1B 交AB 1于P ．因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1，所以P 是A 1B 的中点．因为M ，N 分别是CC 1，AB 的中点，所以NP // CM ，且NP = CM ，所以四边形MCNP 是平行四边形，所以CN //MP ．因为CN ⊄平面AB 1M ，MP ⊂平面AB 1M ，所以CN //平面AB 1M ．(2)因为AC =BC =2，22AB = 所以由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ．又因为CC 1⊥平面ABC ，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系C-xyz ．因为132C M =，所以C (0,0,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,4)，5(0,0,)2M ，5(2,0,)2AM =-，13(0,2,)2B M =--． 设平面1AMB 的法向量(,,)n x y z =，则0n AM ⋅=，10n B M ⋅=．即5 (2,0,)(,,)=023(0,2,)(,,)=0.2x y zx y z⎧-⋅⎪⎪⎨⎪--⋅⎪⎩，，令5x=，则3,4y z=-=，即(5,3,4)n=-．又平面MB1C的一个法向量是=(2,0,0)CA，所以2cos,>=||||n CAn CAn CA⋅<=．由图可知二面角A-MB1-C为锐角，所以二面角A-MB1-C的大小为4π．【点睛】关键点睛：解题关键在于由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．又因为CC1⊥平面ABC，进而以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，进而利用法向量计算二面角，难度属于中档题19. 已知等比数列{}n a的公比1q>，满足：23428a a a++=，且32a+是24,a a的等差中项．(1)求数列{}n a的通项公式；(2)若12logn n nb a a=，n S为数列{}n b的前n项和，求使121000nnS n++⋅>成立的正整数n的最小值．【答案】(1)2nna=；(2)9.【解析】分析】(1)先根据已知条件列基础量1,a q满足的关系，结合1q>计算解得1,a q，再写通项公式即可；(2)先化简n b，再利用错位相减法求其前n项和n S，再代入不等式解得121002n+>，结合*n N∈，得到n 的取值范围，即得结果.【详解】解：(1)∵32a+是24,a a的等差中项，∴()32422a a a+=+，代入23428a a a++=，可得38a=，∴2420a a+=，∴21211820a qa q a q⎧=⎨+=⎩，解之得122aq=⎧⎨=⎩或13212aq=⎧⎪⎨=⎪⎩，∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2nn a =；(2)∵1122log 2log 22n nnn n n b a a n ===-⋅，∴()212222n n S n =-⨯+⨯++⋅，①()2312122222n n n S n n +=-⨯+⨯++⋅+⋅，②②-①得()23111121222222222212n n n n n n nS n n n ++++-=+++-=-⋅=--⋅-∵1111222221000n n n n n S n n n +++++⋅=--⋅+⋅>，∴121002n +>，又因为*n N ∈，9102512,21024==，所以110n +≥，所以9n ≥， 所以使121000n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为9.【点睛】一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解, 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式，化简计算即可．20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABC ，//,90AD BC ABC ︒∠=，2AD =，23AB =，6BC =．(1)求证：平面PBD ⊥平面PAC ；(2)PA 长为何值时，直线PC 与平面PBD 所成角最大？并求此时该角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)23PA =，直线PC 与平面PBD 所成角最大，此时该角的正弦值为35. 【解析】 【分析】(1)根据已知条件，得到BD PA ⊥，再利用正切函数的性质，求得030,BAC 60ABD ∠=∠=，得到BD AC ⊥，进而可证得平面PBD ⊥平面PAC ；(2)建立空间坐标系，得到()23,2,0BD =-，()0,2,DP t =-，()23,6,PC t =-，进而得到平面PBD 的一个法向量为231,3,n t ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，进而可利用向量的公式求解 【详解】(1)∵PA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，∴BD PA ⊥， 又3tan ,tan 33AD BCABD BAC AB AB∠==∠==， ∴0030,BAC 60ABD ∠=∠=，∴090AEB ∠=，即BD AC ⊥(E 为AC 与BD 交点)． 又PAAC ，∴BD ⊥平面PAC ，又因为BD ⊂平面PBD ，所以，平面PAC ⊥平面PBD(2)如图，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，以AP 为z 轴，建立空间坐标系，如图， 设AP t =，则()()()()23,0,0,23,6,0,0,2,0,0,0,B C D P t ，则()23,2,0BD =-，()0,2,t DP =-，()23,6,PC t =-，设平面PBD 法向量为(),,n x y z =，则00n BD n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即232020x y y tz ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，得平面PBD 的一个法向量为231,3,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以22226333cos ,1214448451PC n PC n PC nt t t t ⋅===++++， 因为22221441445151275t t t t +++=≥，当且仅当23t =时等号成立， 所以5c 33353os ,PC n ≤=，记直线PC 与平面PBD 所成角为θ，则sin cos ,PC n θ=，故3sin 5θ≤， 即23t =时，直线PC 与平面PBD 所成角最大，此时该角的正弦值为35． 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用定义和正切函数的性质，得到BD ⊥平面PAC ，进而证明平面PAC ⊥平面PBD ；以及建立空间直角坐标系，求出法向量，进行求解直线PC 与平面PBD 所成角的最大值，难度属于中档题21. 一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以8v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，以3v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．记AOE θ∠=，(1)用θ表示小球从A 到F 所用的时间()f θ；(2)当小球从A 到F 所用的时间最短时，求cos θ的值． 【答案】(1)11()833sin f vv v θθθ=++，3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；(2)1cos 3θ= 【解析】 【分析】(1)先计算A 到E 弧长为θ，确定这一段的用时，再计算EF 长度确定此段用时，再相加即得结果； (2)对函数()f θ求导，研究其单调性得到极小值点，即得到最短时间时的cos θ值.【详解】解：(1)依题意，AOE θ∠=，半径是1，故A 到E 弧长为θ，通过A 到E 弧长所用时间是8vθ，过O 作OG BC ⊥于G ，则1OG =，1sin sin OG OF θθ==，得11sin EF θ=+，则此时所用时间为1133sin 3EF v v vθ=+所以11()833sin f vv v θθθ=++，3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； (2)222211cos 33cos 8cos (3cos 1)(cos 3)()83sin 24sin 24sin f v v v v θθθθθθθθθ----+'=+⋅==-，记0(0,)θπ∈，且01cos 3θ=，则0,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当0,4πθθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，1cos 3θ>，所以()0f θ'<，()f θ单调递减，当03,4πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos 3θ<，所以()0f θ'>，()f θ单调递增， 所以1cos 3θ=时，用时最短． 所以，当1cos 3θ=时，小球从A 到F 所用的时间最短．【点睛】利用导数研究实际问题时，首先构建模型得到函数关系，再通过导数研究其单调性和极值，尤其是开区间上只有一个极值点，也就是最值点，再将数据反馈到实际问题中去.22. 已知函数12()(2)e (1)x f x x a x +=-++(0a >，e 是自然对数的底数)，()'f x 是()f x 的导函数． (1)若12a ≥，求证：()'f x 在(1,)-+∞单调递增； (2)证明：()f x 有唯一的极小值点(记为0x )，且()203e f x -<<-．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)函数()f x 求导，记()()g x f x '=，函数()g x 求导，二次求导，分析函数的单调性，即可得证；(2)当12a ≥，102a <<利用零点存在性定理得到()'f x 在(1,)-+∞有唯一的零点．设()'f x 有唯一的零点，记为s ，分析函数单调性得到s 是()f x 唯一的极小值点，由单调性知0()(1)3f x f <-=-，20()(1)e h x h >=-，即可得出结论.【详解】(1)1'()(1)e 2(1)x f x x a x +=-++，记()()g x f x '=， 则1'()e2x g x x a +=+，1()(1)e x g x x +''=+，因为1x >-， 所以()0g x ''>，所以()'g x 在(1,)-+∞单调递增， (1)12g a '-=-+，当12a ≥时，()(1)0g x g ''>-≥，所以()'f x 在(1,)-+∞单调递增， (2)当12a ≥时，()'f x 在(1,)-+∞单调递增， 又(1)20f '-=-<，(1)40f a '=>， 所以函数()'f x 在(1,)-+∞有唯一的零点． 当102a <<时，(1)0g '-<，(0)20g a '=>， 故(1,0)t ∃∈-，使得()0g t '=，且(1,)x t ∈-时，()0g x '<，()g x 单调递减，(,)x t ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，又(1)20g -=-<，(1)40g a =>， 所以函数()g x 在(1,)-+∞有唯一的零点． 综上所述，()'f x 在(1,)-+∞有唯一的零点． 当1x ≤-时，1()(1)e 0x f x x +'-<≤， 又()'f x 有唯一的零点，记为s ，且当x s <时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当x s >时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以s 是()f x 唯一的极小值点，即0(1,1)x s =∈-且满足0100(1)e 2(1)0x x a x +-++=，由单调性知0()(1)3f x f <-=-， 另一方面，00001111222000000000(1)e 1()(2)e(1)(2)e(1)(23)e 2(1)2x x x x x f x x a x x x x x x ++++-=-++=--+=--++， 记211()(23)e 2z h z z z +=--+，则211()(1)e 02z h z z +'=-+<，所以()h z 单调递减， 又因为0(1,1)x ∈-， 所以20()(1)e h x h >=-，综上所述， ()203e f x -<<-．【点睛】方法点睛：究函数()f x 的单调性和极值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<③写出单调区间，并判断极值点.。
福建省福州市第一中学2018届高三上学期期中考试数学试题(理)(答案+解析)
福建省福州市第一中学2018届高三上学期期中考试数学试题（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，，故答案为C.2. 已知命题：“，都有成立”，则命题为（）A. ，有成立B. ，有成立C. ，有成立D. ，有成立【答案】D【解析】试题分析：全称量词的否定为存在量词，命题的否定只否定结论，的否定为．3. 已知直线，，且，则（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】当时，直线，直线，两直线不平行；当时，等价于，解得，故选B.4. 设，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意，，，显然，因此有．故选A．5. 已知，若的必要条件是，则之间的关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，即，按题意，因此．故选B．6. 已知函数的图象经过点，且的相邻两个零点的距离为，为得到的图象，可将图象上所有点（）A. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变B. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变C. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变D. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变【答案】A【解析】由题意可知，，，∵，∴，，∵，∴，可得：，∴将的图象先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，故选A.7. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则弦长（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：如图所示∵分别为圆的切线，∴∵，，∴，又∵，在中，，故选．8. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可以是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，B函数均为单调增函数，故不符合；对于C：，令，得到，与，则其图象没有交点，即没有零点，故C不符合；对于D：，令，得到与，则其图象有两个交点，故D符合，故选D.9. 已知函数，，若，下列说法错．误．的是（）A. 是以为最小正周期的周期函数B. 关于直线对称C. 在上单调递增D. 在上单调递减【答案】C【解析】∵，，当即，解得；当，即，解得，故，故函数在上单调递减，在上单调递增，故选C.10. 已知关于的方程有唯一实数解，则实数的值为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】A【解析】设，则函数在定义域上为偶函数，若关于的方程有唯一实数解，则等价为，即，则，得或，当时，方程等价为，即，作出函数和的图象如图，此时两个函数有3个交点，不满足条件．当时，方程等价为，即，作出函数和的图象如图，此时两个函数有1个交点，满足条件，综上，故选A.二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．11. 若函数，则与轴围成封闭图形的面积为____________.【答案】【解析】试题分析：．12. 函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】∵在定义域内为减函数，也为减函数，故要使在区间上是减函数，只需满足在内恒成立即可，即，可得，故答案为.13. 函数的图象在上至少有三个最大值点，则的最小值为______. 【答案】【解析】∵，∴，要使函数的图象在上至少有三个最大值点，由三角函数的图象可得，解得，即的最小值为，故答案为.14. 椭圆与抛物线有一个公共焦点，椭圆的另一个焦点为，且椭圆与抛物线交于两点，若三角形是直角三角形，则椭圆的离心率为______. 【答案】三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、、，已知.(1)求角C的大小；(2)若，，求△ABC的面积．解：(1)由得，根据正弦定理得，所以，整理得，所以，又因为，所以.(1)由正弦定理得，所以，因为，所以，所以角为锐角，所以，，所以..16. 已知函数（）.(1)若，求函数的极大值；(2)若时，恒有成立，求实数的取值范围．解：(1)时，，当，时，，单调递增，当，时，，单调递减，所以，当时，取得极大值，.(2)当，即时，，所以单调递增，所以；当时，，所以单调递增，，，所以有唯一零点，记为，当时，，单调递减，且，即不恒成立；综上所述，的取值范围是.17. 已知椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，且与轴交点恰为中点. （1）求椭圆的方程；（2）过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点和．求四边形的面积的最小值．解：（1）依题意，，另一焦点坐标为，，所以，，所以，所以椭圆的方程为．（2）当垂直于坐标轴时，，，，当不垂直于坐标轴时，设直线的方程为，，，由，得，，，，，，同理，，所以，因为，当且仅当，即时等号成立，所以.18. 已知函数，其中是实数。
福建连城县第一中学高2021届高2018级高三上学期期中联考数学试卷参考答案
数学科试题参考答案及评分标准一、选择题二、多项选择题三、填空题13. 1 14.]1,(-∞ 15. ),1(+∞ 16.3 34 四、解答题17.(本题满分12分)解:(1)由已知得切点为)0,1(,且a x x f -='23)(,.........................1分∴⎩⎨⎧='=0)1(0)1(f f ,即⎩⎨⎧=-=+-0301a b a ,解得2,3==b a .........................5分（2）由(1)知23)(3+-=x x x f ,33)(2-='x x f 令033)(2=-='x x f 得1,1=-=x x .........................7分∴4)2(,0)1(,4)1(===-f f f则)(x f 在区间]2,1[-上的最大值与最小值之和为4..........................10分 18.(本题满分12分) 选择条件①:依题意,()f x 相邻两对称轴之间距离为π2,则周期为π,从而2ω=,..........2分 1()sin(2)2f x x φ=+,1π()sin(2)26g x x φ=+-,又()g x 的图像关于原点对称,则(0)0g =,由π||2φ<知π6φ=,................5分从而1π()sin(2)26f x x =+,π1()62f =........................7分选择条件②:())0(412cos 212cos 2sin 232>-+=ωωωω）（）（）（x x x x f即有:11π()cos =sin()426f x x x x ωωω=++ 又因为()f x 相邻两对称轴之间距离为π2,则周期为π,从而2ω=, 从而1π()sin(2)26f x x =+,π1()62f =........................7分 (2)1π()sin(2)26f x x =+,令ππ2π-22π,262k x k k z π≤+≤+∈,解得πππ,π,36x k k k z ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦, 从而()f x 在[]0,π上的单调递增区间为π20,,,63ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.........................12分19.(本题满分12分).解:(1)原式1tan 1tan cos sin cos sin -+=-+=αααααα 由已知可得34tan =α,故原式7=........................6分（3）由2tan tan =+βα,可得2cos cos )sin(cos sin cos sin =+=+βαβαββαα 41cos cos ,6=∴=+βαπβα 又23sin sin cos cos )cos(=+=+βαβαβα 2341sin sin -=∴βα 231sin sin cos cos )cos(-=+=-∴βαβαβα........................12分 20.(本题满分12分)解:(1)由已知得S △BCD ＝12BC ·BD ·sin B 又BC ＝2,sin B ∴BD ＝23,cos B ＝12.在△BCD 中,由余弦定理,得 CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos B ＝22＋232）（－2×2×23×12＝289.∴CD .........................6分(2) ∵CD ＝AD＝sin DE A =, 在△BCD 中,由正弦定理,得sin sin BC CDBDC B=∠,又∠BDC ＝2A ,得2sin2A =,解得cos A＝2,所以A ＝4π.........................12分 21.本题满分12分)解:解(1)()ln g x x a x =-的定义域为()0,∞+,()1a x ag x x x-'=-=....................2分 (i )若0a ≤,则()0g x '≥,所以()g x 在()0,∞+单调递增.........................3分 (ii )若0a >,当()0,x a ∈时,()0g x '<；当(),x a ∈+∞时,()0g x '>. 所以()g x 在()0,a 单调递减,在(),a +∞单调递增........................5分(2)因为()f x 存在两个极值点且2a >.()221x ax f x x-+'=-, 所以()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=, 所以121=x x ,不妨设12x x <,则21>x ........................7分则()()12121212121ln ln 1f x f x x x a x x x x x x --=--+--1221222ln ln 2ln 221x x x aax x x x --=-+=-+--,........................8分 要证()()12122f x f x a x x -<--,只需证22212ln 0x x x -+<.设()12ln (1)h x x x x x =-+>,则()22(01)h x x x-'=-<,........................10分 知()h x 在()1,+∞单调递减,又()10h =当()1,x ∈+∞时,()0h x <,故22212ln 0x x x -+<, 即()()12122f x f x a x x -<--,所以()()()1212(2)f x f x a x x ->--........................12分22.(本题满分12分) (1)令()0=x f ,即0=+mx e x0=x 不是方程的根,xe m x=-∴........................1分令x e x g x =)(,则()()21xe x x g x-='........................2分 当1>x 时,0)(>'x g ,)(x g 单调递增,当10<<x 时,0)(<'x g ,)(x g 单调递减,当0<x 时,0)(<'x g ,)(x g 单调递减.所以,当e m -=或0>m 时,函数有1个零点；当e m -<时,函数亦两个零点；当0e ≤<-m 时,函数亦0个零点.........................6分(2)不等式可化为()x a e x e x a x ln 1ln 1+≥-+-........................7分 令x e x h x+=)(,则)(x h 为增函数所以有()()x a h x h ln 1≥-,得到x a x ln 1≥-,所以不等式1ln 1++≥+-x a x x e a x 对1>x 恒成立等价于不等式0ln 1≥--x a x 对1>x 恒成立........................8分令)1(,ln 1)(>--=x x a x x m ,有xax x m -=')( 当1≤a 时,因为1>x ,所以0>-a x ,所以0)(>'x m ,函数)(x m 为增函数,所以0)1()(=≥m x m ,即1≤a 时,不等式恒成立；当1>a 时,因为a x <<1时,0)(<'x m ,函数)(x m 为减函数,有0)1()(=<m a m ,与题设矛盾. 综上,当1≤a 时,不等式1ln 1++≥+-x a x x e a x 对1>x 恒成立。
福建省福州市第一中学2018届高三上学期期中考试数学(文)试题(解析版)
福州一中2017—2018学年第一学期第一学段考试高三文科数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合{1234}A =，，，，{}260B x x x =--≤，则A B =I （ ） A. {1} B. {12}， C. {2,3} D. {12,3}， 【答案】D 【解析】{}60,23,1,2,3x x x A B Q --≤∴-≤≤⋂=,选D .2.已知x 、y R ∈，i 是虚数单位，若x yi +与21ii++互为共轭复数，则x y += A. 2 B. 1-C. 1D. 2-【答案】A 【解析】2(2)(1)33131,,1(1)(1)22222i i i i i x y i i i ++--===-∴==++-,则2x y +=.选D . 【点睛】复数问题的考查主要考查复数的概念、复数的运算及复数的几何意义，另外注意复数的模和共轭复数的考查，本题考查复数的除法和共轭复数的定义，此题简单，但要注意审题要清楚，运算要准确，小心失误.3.已知2AB =u u u v ，1CD =u u u v，且2AB CD -=u u u v u u u v AB u u u v 和CD uuuv 的夹角为A. 30°B. 60︒C. 120︒D. 150︒【答案】C 【解析】22224412AB CD AB AB CD CD -=-⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则1AB CD ⋅=-u u u r u u u r，11cos ,212AB CD AB CD AB CD ⋅-〈〉===-⨯⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，则向量AB u u u r 和CD uuu r 的夹角为0120，选C. 【点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，借助向量的模方和模，求向量的夹角，本题属于基础题.解决向量问题有两种方法，第一种是借助向量的几何意义，利用加法、减法、数乘、数量积运算，借助线性运算解题，另一种方法是建立适当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解题.4.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y +=，则C 的离心率为A.5B.5或5 C. 2D. 5【答案】D 【解析】由题2221145,5b e e a=+=+=∴=5.函数1()ln f x x x=+的图象大致为（ ） A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】当0x <时，函数()()1ln f x x x =+-，由函数的单调性，排除,C D ；当0x >时，函数()1ln f x x x=+，此时，代入特殊值验证，排除A ，只有B 正确. 【详解】当0x <时，函数()()1ln f x x x=+-， 由函数()1,ln y y x x ==-在()0,∞+上递减， 可得()()1ln f x x x=+-在()0,∞+上递减，排除,C D ；当0x >时，函数()1ln f x x x=+，此时()11ln111f =+=，而选项A最小值为2 ，故可排除A ，只有B 正确，故选B .【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.6.已知α，β为锐角，且1tan 7α=，()5cos 5αβ+=，则cos 2β=A.35B.23C.45D.10【答案】C 【解析】π,(0,)(0,π)cos()sin()2αβαβαβαβ∈∴+∈+=+=Q Q1tan sin 7ααα=∴==Qcos cos()cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++== 294cos 22cos 121105ββ=-=⨯-= ,选C. 7.设数列{}n a的各项均为正数，且28164,)(),n a a p n N *+==∈其中p为正的实常数，则=A. 81B. 64C. 48D. 32【答案】D 【解析】p =，则数列是等差数列，32==，故选D.8.设O 为坐标原点，第一象限内的点(),M x y 的坐标满足约束条件26020x y x y --≤⎧⎨-+≥⎩， (),ON a b u u u v =（0a >,0b >）.若OM ON ⋅u u u u v u u u v的最大值为40，则51a b+的最小值为 A.256 B.94C. 1D. 4【答案】B 【解析】OM ON ax by ⋅=+u u u u v u u u vQ ，∴设z =ax +by ，则z 的最大值为40．作出不等式组的对应的平面区域如图：（阴影部分）由z =ax +by ，得a z y x b b =-+，由图象可知当直线a z y x b b =-+，经过点A 时，直线a zy x b b=-+的截距最大，此时z 最大（∵b ＞0），由26020x y x y ＝＝--⎧⎨-+⎩，解得810x y ＝＝⎧⎨⎩，即A （8，10），代入z =ax +by ，得40=8a +10b ，即154a b+＝， 51511555519)(12254445445424a b b a b a a b a b a b a b ∴+=++=+++≥+⋅+⨯（）＝＝， 当且仅当545b aa b＝，即4a 2=25b 2，2a =5b 时取等号，∴5a +1b 的最小值为94，本题选择B 选项.9.圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线叫做“等宽曲线”．事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯（Reuleaux ）命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线.它的画法（如图1）：画一个等边三角形,,,ABC A B C 分别以为圆心，边长为半径，作圆弧»»»,,BCCA AB ,这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形.它的宽度等于原来等边三角形的边长.等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内（如图2）.在图2中的正方形内随机取一点，则这点落在鲁列斯曲边三角形内的概率是A.32π-B.2334π-C.22π- D.8π 【答案】A 【解析】【详解】设正方形的边长为1，则正方形的面积为1，鲁列斯曲边三角形的面积为13322ππ--⨯=，故选A.10.对任意的正数x ，都存在唯一的正数y ，使()22ln ln 0x y x ay --=成立，则实数a 的取值范围为A. 1{}(,0]2e⋃-∞ B. 1(,)2e-∞ C. 1{}2eD. (,0]-∞【答案】A 【解析】由()22ln ln 0x y x ay --=可得：2ln()yx a y x=，设0y t x =>，则2ln t a t =， 令2ln ()t g t t =，∴ 312ln ()tg t t-'=，故当0t e <<时，()0g t '>，当t e >时，()0g t '<，又1,()0t g t >>，当01t <<时，()0g t <，可得函数()g t 的图象：因此当12a e =或(,0]a ∈-∞时，存在唯一正数，使得2ln ta t=成立，即对任意的正数x ，都存在唯一一个正数y,使()22ln ln 0xy x ay --=成立，故选A.二.填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分.11.曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点,04M π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率为______．【答案】12【解析】试题分析：()()()()22222cos sin cos sin (cos sin )cos sin 1'sin cos sin cos sin cos x x x x x x x xy x x x x x x +--+===+++所以2411'|2sin cos 44x y πππ===⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故填．考点：导数在曲线的切线中的应用．12.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________. 【答案】乙 【解析】四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假，若同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真话，甲、丙说的是假话，甲说“乙、丙、丁偷的”是假话，即乙、丙、丁没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“乙、丙、丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话， 可知犯罪的是乙.【点评】本体是逻辑分析题，应结合题意，根据丁说“乙说的是事实”发现，乙、丁意见一致，从而找到解题的突破口，四人中有两人说的是真话，因此针对乙、丁的供词同真和同假分两种情况分别讨论分析得出结论.13.已知三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，且侧棱1AA ⊥平面ABC ，若123,,83AB AC BAC AA π==∠==，则球的表面积为________. 【答案】100π 【解析】∵ 3,120AB AC BAC ==∠=︒∴ 199233()332BC =+-⨯⨯⨯-=三角形ABC 外接圆直径3326,33r r ===， 1AA ⊥平面ABC ，18AA =，∴ 该三棱柱外接球的半径为5，所以外接球的表面积245100s ππ=⨯=，故填100π. 14.函数31()201720171.2x xf x x -+=+-+若(sin cos )(sin 2)2f f t θθθ++-< 对∀∈θR 恒成立，则t 的取值范围是___________.【答案】)+∞【解析】令3()20172017x x g x x -=+-，则31()201720171()12x xf x xg x -+=+-+=+，()()1111sin cos sin2(sin cos )(sin2)2222f f t f f t θθθθθθ++-=+-++--+11(sin cos )(sin2)2222g g t θθθ=+-+--+<，即11(sin cos )(sin2)022g g t θθθ+-+--<对R θ∀∈恒成立，因为3()20172017xxg x x -=+-是R 上的奇函数，也是增函数，所以11(sin cos )(sin2)22g g t θθθ+-<-++ 即sin cos sin21t θθθ++-<，令sin cos ,(m m θθ+=≤≤，则2sin cos sin212m m θθθ++-=+-，所以t >故填)+∞.点睛：本题综合考查了指数函数的增减性、幂函数的增减性，函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题.解决已知函数奇偶性求解析式中参数问题时，注意特殊值的使用，可以使问题简单迅速求解，但要注意检验，在处理恒成立问题时，注意利用分离参数求参数的取值范围，注意分离参数后转化为求函数最值问题.三．解答题：共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 的前n 项和585n n S n a =--， (Ⅰ)求{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 令12555666111log log log 181818n n a a a b L ---=+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】(Ⅰ)15115()6n n a -=-⋅(Ⅱ)21nn + 【解析】试题分析：(Ⅰ) 由585n n S n a =--① 可得：1111585a S a ==--114a ⇒=-． 同时11(1)585n n S n a ++=+--②②-①可得：1115()n n n a a a ++=--115166n n a a ++⇒=+151(1)6n n a a +⇒-=-． 从而{}1n a -等比数列，首项1115a -=-，公比为56．15115()6n n a -∴-=-⋅15115()6n n a -⇒=-⋅．(Ⅱ) 由(Ⅰ)知55661155log log 186186n nn n a a n --⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()11211122211n n n n b n b n n n n +⎛⎫∴=+++=⇒==- ⎪++⎝⎭L 故11111122121223111n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ． 考点：数列求通项求和点评：第一问由数列的n S 求n a 时利用关系式()()11{2n n n n S n a S S n -==-≥，第二问求数列前n 项和时用到了裂项相消的方法，这种方法一般适用于通项为()11n n -形式的数列16.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面,,PAD AB CD E P 是PB 的中点，F 是DC 上的点且1,2DF AB PH =为PAD △中AD 边上的高.（1）证明：EF P 平面PAD ；（2）若3,3,1PH AD FC ===，求三棱锥E BCF -的体积.【答案】（1）见解析；（2）3【解析】试题分析：（1）利用平行四边形得到线线平行，从而可证线面平行；（2）求棱锥髙时，利用E 是中点，转化为求P 到底面距离的一半，而易证PH ⊥平面ABCD ，高即为PH. 试题解析：（1）取PA 中点G ，连接,.GE DG∵E 为PB 中点，∴//EG AB ，12EG AB =,∵1//,2DF AB DF AB =，∴//EG DF ， ∴四边形DGEF 是平行四边形，∴//EF DG ，∵DG ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ∴//EF 平面PAD（2）∵AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ，∴AB PH ⊥，∵,PH AD AB AD A ⊥⋂=，∴PH ⊥平面ABCD ，∵E 为PB 中点， ∴E 到平面ABCD 的距离13=22h PH =，又1131322BCF S CF AD ∆=⋅⋅=⨯=，11333332E BCF BCF V S h -∆=⋅==17.为迎接校庆，学校决定在体育馆大门左侧布置大型花盆，该圆形花盆半径为1米，内部划分为不同区域种植不同花草.如图所示，在蝶形区域内种植一串红，该蝶形区域由四个对称的全等三角形组成，其中一个三角形OAB 的顶点O 为圆心，A 在圆周上，B 在半径OQ 上，设计要求23ABO π∠=.（1）设AOB x ∠=，写出该蝶形区域的面积S 关于x 的函数表达式； （2）x 为多少时，该蝶形区域面积S 最大？并求出最大值. 【答案】（1）43sin()sin ,(0,)33S x x x ππ=-∈；（2）6x π=时，S 3【解析】试题分析：（1）蝶形区域为四个全等三角形，利用三角形面积公式即可求出； （2）由（1）化简得233s )363x π=+-，由正弦型函数性质可求出最大值. 试题解析：（1）在AOB ∆中，由正弦定理得2sin 3sinsin 33ABOB AO xx ππ===⎛⎫- ⎪⎝⎭4342sin sin 0,333AOB S S OA OB x x x x ππ∆⎛⎫⎛⎫∴==⋅⋅=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， （2）231=sin 3233S x sinx x π⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭31cos211233[sin(2)]=)4426436333x x x x ππ⎛⎫-=-=+-+-⎪⎪⎭， ∵0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴52,666x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴6x π=时，S 取最大值33（平方米） 点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.18.已知12,F F 是椭圆:C 22221x y a b+=的左右焦点，O 为坐标原点，3(1)2P -，在椭圆C 上，线段1PF 与y 轴的交点N 满足()112ON OP OF =+u u u v u u u v u u u v. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B 、两点， 34OA OB k k ⋅=-，判断AOB ∆的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2【解析】试题分析：（1）根据题目条件，可求出a,再根据a,b,c 三者关系求出b ，即可写出椭圆方程；（2）联立直线和椭圆方程，消元得二次方程，根据根与系数的关系，写出弦长，利用点到直线的距离公式求三角形的高，写出三角形的面积，化简即可得出是定值. 试题解析：（1）因为()112ON OP OF u u u r u u u r u u u r=+知,N 为1PF 中点，而O 又为12F F 中点，所以ON 为12F F P ∆的中位线，又由于12ON F F ⊥，所以212PF F F ⊥，由P 坐标可知()210F ，，所以()()1210,10,F F -，， 12Rt F F P ∆中，由勾股定理得112553,242,1,222PF a PF PF a c b ==∴=+=+=∴==∴=Q ∴椭圆C 标准方程为22143x y +=.（2）设()()1122,,A x y B x y ，由221{43x y y kx m+==+得，()()22348430k x mkx m +++-= 由()()()2228163430mk km∆=-+->得2234m k <+，且有()2121222438,3434m mk x x x x k k -+=-=++，且有()221223434m k y y k-=+ 因为34OA OBk k ⋅=-，得121234y y x x =-，即()2223434m k k -=+ ()22433434m k--⋅+化简得： 22243m k -=满足0∆>，AB ==点O 到直线l的距离d =，所以1122S AB d =⨯⨯== 点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立,,a b c 的方程，求出22,a b 即可，注意222,ca b c e a=+=的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出1212,x x x x +⋅，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用． 19.已知函数()()ln 1f x x a x =+-，其中a R ∈． （1）当1a =-时，求证：()0f x ≤；（2）对任意t e ≥，存在()0,x ∈+∞，使()()ln 10t t t f x a ⎡⎤+-+>⎣⎦成立，求a 的取值范围.（其中e 是自然对数的底数， 2.71828e =L ）【答案】（1）见解析；（2）11,e e -⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）求出函数()f x 的导数，解关于导函数的不等式，求出函数()f x 的最大值，证明结论即可；（2）问题转化为()()minminln 1t t f x a t ⎛⎫>-- ⎪-⎝⎭, 设()ln 1t t h t t =-，求导，利用单调性求范围即可. 试题解析：解：（1）当1a =-时，()ln 1(0)f x x x x =-+>， 则()111xf x x x-=-='，令()0f x '=，得1x =， 当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减， 故当1x =时，函数()f x 取得极大值，也为最大值，所以()()max 10f x f ==， 所以()0f x ≤，得证．（2）原题即对任意t e ≥，存在()0,x ∈+∞，使()ln 1t tf x a t >---成立， 只需()()min minln 1t t f x a t ⎛⎫>-- ⎪-⎝⎭，设()ln 1t t h t t =-，则()()21ln 1t t h t t ---'=， 令()1ln u t t t =--，则()1110t u t t t='-=->对于t e ≥恒成立， 所以()1ln u t t t =--为[),e +∞上的增函数， 于是()()1ln 20u t t t u e e =--≥=->，即()()21ln 01t th t t --=>-'对于t e ≥恒成立，所以()ln 1t th t t =-为[),e +∞上的增函数，则()()min minln 11t t e h t h e t e ⎛⎫=== ⎪--⎝⎭， 令()()p x f x a =--，则()()ln 1ln p x x a x a x ax =----=--，当0a ≥时，()ln p x x ax =--为()0,+∞的减函数，且其值域为R ，符合题意． 当0a <时，()1p x a x =--，由()0p x '=得10x a=->， 由()0p x '>得1x a >-，则()p x 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上为增函数；由()0p x '<得10x a <<-，则()p x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，所以()()min1ln 1p x p a a ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，从而由()ln 11e a e -+<-，解得110e ea --<<，综上所述，a的取值范围是11,e e -⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．点睛：利用导数解决不等式有解问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，()f x a ≥恒成立，只需()max f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需()min f x a ≤即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.。
2018届福建省师大附中高三上学期期中考试理科数学试卷及答案
福建师大附中2018-2018学年第一学期高三半期考试卷高三数学(理科)（满分：150分，时间：120分钟）说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答模卷.一、选择题：（每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求）1．已知会合A{xx3n2,n N},B{6,8,10,12,14}，则会合A B中的元素个数为()A．C．4 D.52．已知12i1i（i为虚数单位），则复数z=（）zA.1iB.1iC.1iD.1i3.已知命题p:x R,2x3x；命题q:xR,x31x2,则以下命题中为真命题的是：（）A．pq B.pq C．p q D.p q4．已知点的坐标为43,1，将绕坐标原点逆时针旋转3至，则点的纵坐标为（）A．33B．53C．13D．11 22222＋2115．若f(x)＝x f(x)d，则f(x)d x＝()x0011A．－1B．－3 C.3D．16.已知a n为等比数列,a4a72,a5a68,则a1a10（）A．7 B.5C． D.7.若cos41tan() ,是第三象限的角,则251tan2A．D.-21 B.122．28.若cos22,则cossin的值为（）π2sin4Ａ．7Ｂ．1Ｃ．1Ｄ．72222 9．存在函数f(x)知足：对随意xR都有（）A.f(sin2x)sinxC.f(x21)x1B.D.f(sin2x) x2xf(x22x) x110．设函数f(x)ln(1 |x|)121 x值范围是（）,则使得f(x)f(2x 1)建立的x的取A．1,1B．,11,C．1,1D．,11,333333设为两个非零向量a、b的夹角，已知对随意实数t，|ba t|的最小值为1,（）A.若确立，则|a|独一确立B.若确立，则|b|独一确立C.若|a|确立，则独一确立D.若|b|确立，则独一确立12．设函数f(x)=e x(2x1)axa,此中a1，若存在独一的整数x0，使得A．[-f(x0)0，则3，1）a的取值范围是（）B.[-错误！未找到引用源。
福建省闽侯第一中学2018届高三上学期期中考试数学(理)试题(附答案)
2018届高三第一学期期中质量检测数学(理科)试卷（共5页；完卷时间120分钟；满分150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1.已知全集U为实数集，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|1≤x＜3} B．{x|x＜3} C．{x|x≤﹣1} D．{x|﹣1＜x＜1}2.若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度4.已知d为常数，p：对于任意n∈N*，a n+2﹣a n+1=d；q：数列 {a n}是公差为d的等差数列，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6 B．7 C．8 D．96.函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．7.O为△ABC内一点，且2++=， =t，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．8.已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）A．B．C．D．9.设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣3，﹣2] D．[﹣3，1]10.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＜b），在R上是单调递增函数，则的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．611.设f（x）=，g（x）=ax+3﹣3a（a＞0），若对于任意x1∈[0，2]，总存在x0∈[0，2]，使得g（x0）=f（x1）成立，则a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．[1，2] C．[0，2] D．[1，+∞）12.定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）﹣f（x）=x•e x，且f（0）=，则的最大值为（）A．0 B．C．1 D．2第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足4bsinA=a，若a，b，c 成等差数列，且公差大于0，则cosA﹣cosC的值为．14.已知，则二项式展开式中的常数项是．15.如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC，∠CBA=30°，D、E分别是BC、AP 的中点，则异面直线AC与DE所成角的大小为．16.函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于x的方程f（x）+g（x）=﹣2在[0，π）内有两个不同的解α，β，则cos（α﹣β）的值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=1，AD=2．（I）若BD=，求角C；（II）若BC=3，CD=4，求四边形ABCD的面积．18.(本小题满分12分)若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A）＞0，ω＞0，﹣＜φ＜的部分图象如图所示，B，C分别是图象的最低点和最高点，其中|BC|=．（I）求函数f（x）的解析式；（II）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=，a=2，求△ABC周长的取值范围．19.(本小题满分12分)等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}中各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，数列{b n}的公比．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）求数列{（﹣1）n a n•b n}的前2n项的和．20.(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．21.(本小题满分12分)已知函数f（x）=lnx，（1）当a=1时，若曲线y=f（x）在点M（x0，f（x0））处的切线与曲线y=g（x）在点P （x0，g（x0））处的切线平行，求实数x0的值；（2）若∀x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．22.(本小题满分10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为x 2cos y 22sin =α=+α⎧⎨⎩（α为参数），直线C 2的方程为 y=33x ，以O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；（2）若直线C 2与曲线C 2交于P ，Q 两点，求|OP|•|OQ|的值．2018届高三第一学期期中质量检测数学(理科)试卷参考答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1-5 ACAAD 6-10DBCBB 11-12 BD13. 14.240 15. 16.17.解：（I）在△ABD中，由余弦定理得，cosA==﹣．又0＜A＜π，∴A=．∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴C=π﹣A=．…（6分）（II）因为BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosA=5﹣4cosA，且BD2=CB2+CD2﹣2CB•CD•cos（π﹣A）=25+24cosA，∴cosA=﹣．…（9分）又0＜A＜π，∴sinA==．∴S△BCD=S△ABD+S△CBD=+=2．…（12分）18.解（Ⅰ）由图象可得：f（x）的周期T=[﹣（﹣）]=π，即：=π得ω，又由于B（﹣，﹣A），C（，A），∴|BC|==，∴A=2，又将C（，2）代入f（x）=2sin（2x+φ），2sin（2×+φ）=2，∵﹣＜φ＜解得φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣），（Ⅱ）∵f（A）=2sin（2A﹣）=，∴2A﹣=或2A﹣=，解得A=或A=（舍去）正弦定理===得：b+c=（sinB+sinC）=[sinB+sin（B+）]=4sin（B+），△ABC 是锐角三角形，∴B+C=，0＜B＜，0＜C＜，∴＜B＜，＜B+＜∴2＜b+c≤4，∴求△ABC周长的取值范围为（2+2，6]19.解：（1）∵a1=3，b2+S2=12，b1=1，∴S2=12﹣b2=12﹣q，又∵q=，∴，解得：q=3或q=﹣4（舍去），S2=9，d=a2﹣a1=S2﹣2a1=3，∴a n=3+3（n﹣1）=3n，b n=3n﹣1；（2）由（1）可知，c n=（﹣1）n a n•b n=（﹣1）n n•3n，记数列{（﹣1）n a n•b n}的前2n项的和为T2n，则T2n=﹣1•31+2•32﹣3•33+…﹣（2n﹣1）•32n﹣1+（2n）•32n，记T2n′=2•32+4•34+…+（2n）•32n，则9T2n′=2•34+4•36+…+（2n）•32n+2，两式相减得：=，∴，同理，记T2n″=1•31+3•33+…+（2n﹣1）•32n﹣1，利用错位相减法计算可知T2n″=+，∴T2n=T2n′﹣T2n″=．20.解：（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG．因为PA∥BE，且PA=4，BE=2，所以BE∥AG且BE=AG，所以四边形BEGA为平行四边形．所以EG∥AB，且EG=AB．因为正方形ABCD，所以CD∥AB，CD=AB，所以EG∥CD，且EG=CD．所以四边形CDGE为平行四边形．所以CE∥DG．因为DG⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，所以CE∥平面PAD．…（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则B（4，0，0），C（4，4，0），E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0），所以=（4，4，﹣4），=（4，0，﹣2），=（0，4，﹣4）．设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），所以，可得．令x=1，则，所以=（1，1，2）．设PD与平面PCE所成角为a，则sinα=|cos＜，＞|=|=||=．．所以PD与平面PCE所成角的正弦值是．…（Ⅲ）依题意，可设F（a，0，0），则， =（4，﹣4，2）．设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），则．令x=2，则，所以=（2，，a﹣4）．因为平面DEF⊥平面PCE，所以•=0，即2++2a﹣8=0，所以a=＜4，点．所以．…21.解：（1）把a=1代入得，g（x）=﹣+，则f′（x）=，g′（x）=，∵f（x）在点M （x0，f（x0））处的切线与g（x）在点P （x0，g（x0））处的切线平行，∴=，解得x0=1，∴x0=1，（2）由题意设F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx+﹣，∵∀x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x），∴只要F（x）在（0，e]上的最小值大于等于0即可，则F′（x）=﹣=，由F′（x）=0得，x=a，F（x）、F′（x）随x的变化情况如下表：当a≥e时，函数F′（x）在（0，e）上单调递减，F（e）为最小值，∴F（e）=1+﹣≥0，得a，∴a≥e当a＜e时，函数F（x）在（0，a）上单调递减，在（a，e）上单调递增，则F（a）为最小值，所以F（a）=lna+﹣，得a≥∴≤a＜e，综上所述，a≥．22.解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为普通方程：，即，则C1的极坐标方程为，∵直线C2的方程为，∴直线C2的极坐标方程．（2）设P（ρ1，θ1），Q（ρ2，θ2），将代入，得：ρ2﹣5ρ+3=0，∴ρ1•ρ2=3，∴|OP|•|OQ|=ρ1ρ2=3．。
2020-2021学年福州一中高三上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年福州一中高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.与命题“若m∈M，则n∉M”等价的命题()A. 若m∉M，则n∉MB. 若n∉M，则m∈MC. 若m∉M，则n∈MD. 若n∈M，则m∉M2.设复数z满足z(2−3i)=6+4i(i为虚数单位)，则|z|=()A. 4B. 2C. √2D. 13.设集合A={y|y=lnx,x>1}，集合B={x|y=√4−x2}，则A∩∁R B=()A. ⌀B. (0,2]C. (2,+∞)D. (−∞,−2)∪(2,+∞)4.实数a、b满足a<b<0，按顺序a、a+b、b、√ab可以构成的数列()2A. 可能是等差数列，也可能是等比数列B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列5.给出四个函数，分别满足①f(x+y)=f(x)+f(y)，②g(x+y)=g(x)·g(y)，③ℎ(x·y)=ℎ(x)+ℎ(y)，④m(x·y)=m(x)·m(y).又给出四个函数的图像，那么正确的匹配方案可以是()甲乙丙丁A. ①甲，②乙，③丙，④丁B. ①乙，②丙，③甲，④丁C. ①丙，②甲，③乙，④丁D. ①丁，②甲，③乙，④丙6.如图是一个简单几何体的三视图，其正视图和左视图是边长为2的正三角形，其俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的体积为()A.B. C. D. 7. 下列函数中，满足f(xy)=f(x)+f(y)的单调递增函数是( )A. f(x)=log 2xB. f(x)=x 2C. f(x)=2xD. f(x)=log 12x 8. 若函数y =2 x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件则实数m 的最大值为( )A. B. 1 C. D. 2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)，f(5π12)=0，f(2π3)=−1，且f(x)在(−π3,π12)上单调，则下列结论正确的是( ) A. (−7π12,0)是f(x)的一个对称中心B. 函数f(x)的图象关于直线x =π6对称C. 函数f(x)在区间[π24,π4]的值域是[√22,√32]D. 将y =sinx 的图象的横坐标缩短为原来是12，然后向左平移π12个单位得到f(x)的图象10. 对任意向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ ，下列关系式中恒成立的是( ) A. |a ⃗ ⋅b ⃗ |≤|a ⃗ ||b ⃗ |B. (a ⃗ ⋅b ⃗ )c ⃗ =a ⃗ (b ⃗ ⋅c ⃗ )C. (a ⃗ +b ⃗ )2=|a ⃗ +b ⃗ |2D. (a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=|a ⃗ |2−|b ⃗ |211. 下列有关向量命题，不正确的是( )A. 若{a ⃗ ,b ⃗ }是平面向量的一组基底，则{a ⃗ −2b ⃗ ,−a ⃗ +2b ⃗ }也是平面向量的一组基底B. 已知点A(6,2)，B(1,14)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量为(−513,1213)C. 若a ⃗ //b ⃗ ，则存在唯一的实数λ，使得a ⃗ =λb ⃗D. 若|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=6，则|a ⃗ +b ⃗ |的取值范围[5,7]12. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可循的.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，段AB 的长度为a ，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得AC =DB =14AB ，以CD 为边在线段AB 的上方作一个正六边形，然后去掉线段CD ，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF 做相同的操作，到图3中的图形；……依此类推，得到第n 个图形．记第n 个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为S n ，现给出有关数列{S n }的四个结论，其中正确的有( )A. 数列{S n }是等比数列B. 数列{S n }是递增数列C. 存在最小的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有S n >2020D. 存在最大的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有S n <2020三、单空题（本大题共1小题，共5.0分）13. 在三棱锥中，已知，则三棱锥外接球的表面积为 ． 四、解答题（本大题共9小题，共85.0分）14. 已知平面向量OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足条件OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1．(1)求证：△P 1P 2P 3是正三角形；(2)试判断直线OP 1与直线P 2P 3的位置关系，并证明你的判断．15.某人上午7：00乘汽车以v1千米/小时(30≤v1≤100)匀速从A地出发到距300公里的B地，在B地不作停留，然后骑摩托车以v2千米/小时(4≤v2≤20)匀速从B地出发到距50公里的C地，计划在当天16：00至21：00到达C地．设乘汽车、骑摩托车的时间分别是x，y小时，如果已知所需的经费p=100+3(5−x)+2(8−y)元，那么v1，v2分别是多少时走的最经济，此时花费多少元？16.设函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗，其中向量m⃗⃗⃗ =(2cosx,1)，n⃗=(cosx,√3sin2x)，x∈R．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知f(A)=2，b=1，△ABC的面积为√3，求2 c的值．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csinA=√3acosC(1)求角C的值；(2)若a=8，c=7，求△ABC的面积．18.如图，P为菱形ABCD所在平面外一点，且△PAD为正三角形，∠BAD=60°，E为PC的中点．(1)求证：AP//平面BDE；(2)求证：AD⊥PB．19.已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1−a n=2，n∈N∗，数列{a n}的前n项和为S n(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n公式；}的前n项和T n．(2)求数列{1a n⋅a n+120.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面相互垂直，AB//CD，AB⊥AB=1，点M在线段EC上．BC，DC=BC=12(1)证明：平面BDM⊥平面ADEF；(2)若AE//平面MDB，求三棱锥E−MDB的体积．21.已知函数f(x)=xe x+1．(1)求函数f(x)的极值；(2)若直线y=m与函数f(x)的图象有两个不同交点A(x1,y1)，B(x2,y2)，求证：x1+x2<−2．22.已知f(x)=2ax+blnx−1，设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为y=0．(Ⅰ)求实数a，b的值；(Ⅱ)设函数g(x)=mf(x)+x2−mx．2(i)若m∈R，求函数g(x)的单调区间；(ii)若1<m<3，求证：当x∈[1,e]时，g(x)<e2−2．2。
福建省福州第一中学高2021届高2018级高三上学期期中考试数学试卷
福州一中2020—2021学年第一学期高三数学半期考试卷(考试时间:120分钟试卷满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知命题2 :1,2log 1x p x x ∀-≥≥ ,则p ⌝为A.21,2log 1x x x ∀<-<B.21,2log 1x x x ∀-<≥C.21,2log 1x x x ∃<-<D.21,2log 1x x x ∃-<≥2.设复数z 满足113i 2z z +=--,则||z = A.5 5 C.2 23.已知集合{}2log (3)1P x x =-≤,322x Q x x ⎧-⎫=⎨⎬⎩⎭≤,则()R P Q =A.()0,1B.(]0,1C.[]1,2D.(]1,2 4.已知等差数列{}n a 的公差为5,前n 项和为n S ,且125,,a a a 成等比数列,则6S =A.80B.85C.90D.95 5.设函数313log , 0,()log (), 0,x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数a 的取值范围是A.(1,0)(0,1)-B.(,1)(1,)-∞-+∞C.(1,0)(1,)-+∞D.(,1)(0,1)-∞-6.《九章算术》卷第五《商功》中,有问题“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈.问积几何？”,意思是:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈,长4丈；上棱长2丈,无宽,高1丈(如图).问它的体积是多少? ”这个问题的答案是A. 5立方丈B. 6立方丈C. 7立方丈D. 9立方丈12347.设ln x a x =,ln y b y =,ln y c x =,其中x y >,则下列说法正确的是A.a c b ≤≤B.b c a ≤≤C.2ab c ≤D.2c ab ≤8.已知函数()e e 2x x f x a -=++(a R ∈,e 为自然对数的底数),若()y f x =与))((x f f y =的值域相同,则a 的取值范围是A.0a <B.1a -≤C.04a <≤D.0a <或04a <≤ 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分 9.已知2()2sin cos 23cos 3f x x x x =+-,下列说法正确的有A.()f x 的最小正周期是2πB.()f x 最大值为2C.()f x 的图象关于3x π=对称D.()f x 的图象关于2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称10.已知平面向量OA 、OB 、OC 为三个单位向量,且0OA OB ⋅=,若OC xOA yOB =+(,x y R ∈),则x y +的可能取值为A.0B.1C.2D.211.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3,线段11B D 上有两个动点,E F ,且1EF =,以下结论正确的有 A.AC BE ⊥B.异面直线,AE BF 所成的角为定值C.点A 到BEF 平面的距离为定值D.三棱锥A BEF -的体积是定值12.在n n n A B C △(1,2,3,n =)中,内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ,n n n A B C △的面积为n S ,若5n a =,14b =,13c =,且222124n n n a c b++=,222124n n n a b c ++=,则 A.n n n A B C △一定是直角三角形 B.{}n S 为递增数列 C.{}n S 有最大值 D.{}n S 有最小值 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量(1,3)a =,(3,)b m =,且b 在a 上的投影为3,则m =______.14.设变量x ,y 满足约束条件142x y x y y --⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥,则目标函数2z x y =+的最大值为______.15.已知函数()sin cos f x x a x =+的图象关于直线6x π=对称,1x 是()f x 的一个极大值点,2x 是()f x 的一个极小值点,则12x x +的最小值为______.16.三棱锥A BCD -中,60ABC CBD DBA ===∠∠∠,2BC BD ==,面ACD 的面积为11,则此三棱锥外接球的表面积为______.四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(10分)在①23ABC S =△,②1a b -=,③sin 2sin A B =这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求三角形的周长；若问题中的三角形不存在,请说明理由. 问题:是否存在ABC △,它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且7c =,sin cos 6c A a C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭, ？注:如果选择多个条件分别作答,按第一个解答计分.18.(12分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1CC ABC ⊥平面,2AC BC ==,22AB =,14CC =,M 是棱1CC 上一点.(1)若,M N 分别是1CC ,AB 的中点,求证:1CN AB M ∥平面； (2)若132C M =,求二面角1A B M C --的大小.19.(12分)已知等比数列{}n a 的公比1q >,满足:23428a a a ++=,且32a +是24,a a 的等差中项. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若12log n n n b a a =,n S 为数列{}n b 的前n 项和,求使121000n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值.20.(12分)FOCBADE如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABC ,0,90AD BC ABC ∠=∥,2AD =,23AB =,6BC =. (1)求证:平面PBD ⊥平面PAC ；(2)PA 长为何值时,直线PC 与平面PBD 所成角最大？并求此时该角的正弦值.21.(12分)一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成,1AB =米,如图所示.小球从A 点出发以8v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后,以3v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内,落点记为F .记AOE θ∠=, (1)用θ表示小球从A 到F 所用的时间()f θ； (2)当小球从A 到F 所用的时间最短时,求cos θ的值.22.(12分)已知函数12()(2)e (1)x f x x a x +=-++(0e a >，是自然对数的底数),()f x '是()f x 的导函数.(1)若12a ≥,求证:()f x '在(1,)-+∞单调递增；(2)证明:()f x 有唯一的极小值点(记为0x ),且()20e 3f x -<<-.。
福建省福州市高三上学期期中数学试卷
福建省福州市高三上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2018高二下·辽宁期末) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·淮南模拟) 已知向量，则是“ 与反向”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2016高一下·安徽期末) 在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为、，则 =（）A . ﹣B . +C . ﹣ +D . ﹣﹣4. （2分）在区间[0，]上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·大新模拟) 已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）=2g（x）+ ，若f（）+f（cos2θ）＜f（π）﹣f（），则θ的取值范围是（）A . （2kπ+ ，2kπ+ ），k∈ZB . （2kπ﹣，2kπ）∪（2kπ，2kπ+π）∪（2kπ+π，2kπ+ π），k∈ZC . （2kπ﹣，2kπ﹣），k∈ZD . （2kπ﹣，2kπ﹣π）∪（2kπ﹣π，2kπ）∪（2kπ，2kπ+ ），k∈Z6. （2分） (2017高一下·温州期末) 已知x＞0，y＞0，x+2y=1，若不等式＞m2+2m成立，则实数m 的取值范围是（）A . m≥4或m≤﹣2B . m≥2或m≤﹣4C . ﹣2＜m＜4D . ﹣4＜m＜27. （2分）若△ABC顶点B,C的坐标分别为(－4,0),(4,0)，AC,AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高三上·贵阳月考) 已知为坐标原点，设，分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线左支上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率是（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共8分)9. （1分） (2018高二下·龙岩期中) 是虚数单位，复数满足，则 =________．10. （1分）(2013·江西理) 抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线 =1相交于A，B 两点，若△ABF为等边三角形，则p=________．11. （1分）(2017·黄石模拟) 已知（3x2﹣1）dx=m，则的展开式中x4的系数是________．12. （2分） (2018高一上·北京期末) 已知函数f（x）=2sin2x-2sin2x-a．①若f（x）=0在x∈R上有解，则a的取值范围是________；②若x1 ， x2是函数y=f（x）在[0， ]内的两个零点，则sin（x1+x2）=________13. （1分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1=1，anan+1=3n（n∈N+），则S2014=________14. （1分）现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有________ 种．（用数字作答）15. （1分） (2016高三上·北区期中) 已知各项为正数的等比数列{an}满足：a7=a6+2a5 ，若存在两项am、an使得，则的最小值为________．三、解答题 (共5题；共50分)16. （5分）(2018·淮北模拟) 如图，在中，，，且点在线段上．（Ⅰ）若，求长；（Ⅱ）若，，求的面积．17. （15分）已知函数f（x）= x3﹣ x2+1，x∈R．（1）求函数f（x）的极大值和极小值；（2）求函数图象经过点（，1）的切线的方程；（3）求函数f（x）= x3﹣ x2+1的图象与直线y=1所围成的封闭图形的面积．18. （15分）(2017·河西模拟) 记U={1，2，…，100}，对数列{an}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义ST=0；若T={t1 ， t2 ，…，tk}，定义ST= + +…+ ．例如：T={1，3，66}时，ST=a1+a3+a66 ．现设{an}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，ST=30．（1）求数列{an}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：ST＜ak+1；（3）设C⊆U，D⊆U，SC≥SD，求证：SC+SC∩D≥2SD．19. （10分）已知椭圆过左焦点的直线l的倾角为45°与椭圆相交于A，B两点（1）求AB的中点坐标；（2）求△ABF2的周长与面积．20. （5分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b∈R）满足条件：①当x∈R时，f（x）的最大值为0，且f （x﹣1）=f（3﹣x）成立；②二次函数f（x）的图象与直线y=﹣2交于A、B两点，且|AB|=4（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求最小的实数n（n＜﹣1），使得存在实数t，只要当x∈[n，﹣1]时，就有f（x+t）≥2x成立．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共8分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共50分)16-1、17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、。
2023-2024学年福建省福州一中高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年福建省福州一中高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个1．命题“∀x∈（1，+∞），sin x﹣2x＜0”的否定是（）A．∃x0∈（1，+∞），sinx0−2x0≥0B．∀x∈（﹣∞，1]，sin x﹣2x≥0C．∀x∈（1，+∞），sin x﹣2x≥0D．∃x∈（﹣∞，1]，sin x0−2x0≥02．已知集合A={x|x−2x≤0，x∈N}，B={x|log2√x＜1，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3，4}C．{1，2}D．{0，1，2}3．已知a＝cos2，b＝sin3，c＝tan4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b4．设函数y＝f（x）的定义域为D，∀x1，x2∈D，当x1+x2＝2a时，恒有f（x1）+f（x2）＝2b，则称点（a，b）为函数y＝f（x）图象的对称中心．利用对称中心的上述定义，研究函数f（x）＝e x﹣e﹣x+sin x+1，可得到f（﹣2023）+f（﹣2022）+…+f（2022）+f（2023）＝（）A．0B．2023C．4046D．40475．设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么下列关系正确的是（）A．a+2b＝c B．ac+bc＝2ab C．1a+12b=1cD．1a+1b=2c6．设a，b，c分别是△ABC中内角A，B，C的对边，且ab+ba=4cosC，则tanCtanA+tanCtanB=（）A．1B．2C．3D．47．若（3x+y）2023+x2023+4x+y＝0，则4x+y＝（）A．0B．1C．2D．38．函数f（x）＝a sin x+cos x（a＜0）的图象向右平移φ个单位长度后，所得的函数为偶函数，则2sin2φ−a−1a的最小值为（）A．2B．4C．6D．8二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．该图象对应的函数解析式为f(x)=2sin(2x+π3)B．函数y＝f（x）的图象关于点(−5π12，0)对称C．函数y＝f（x）的图象关于直线x=−π6对称D．函数y＝f（x）在[π12，7π12]上单调递减10．已知函数f（x）的定义域为R，且函数f（2x+1）是周期为2的奇函数，则（）A．函数f（x）的图像关于点(12，0)中心对称B．函数f（x）的图像关于点（1，0）中心对称C．2是函数y＝f（x）的一个周期D．4是函数y＝f（x）的一个周期11．已知函数f（x）＝x cos x﹣sin x﹣x的定义域为[﹣2π，2π]，则（）A．f（x）为奇函数B．f（x）在[0，π）上单调递减C．f（x）恰有2个极值点D．f（x）有且仅有2个极大值点12．函数f（x）＝x3﹣ax2﹣x+1，则下列结论正确的是（）A．若函数f（x）在(−12，13)上为减函数，则−1≤a≤14B．若函数f（x）的对称中心为（1，﹣2），则a=32C．当a＝3时，若f（x）＝﹣2有三个根x1，x2，x3，且x1+x2+x3＝3D．当a＝1时，若过点（﹣1，n）可作曲线y＝f（x）的三条切线，则0＜n＜6427三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知角θ的终边过点P（﹣3，4），则sinθ+cosθ的值为．14．已知正实数x，y满足1x+2y=1，则2xy﹣2x﹣y的最小值为．15．已知函数f(x)=sin(2ωx +2π3)−√32（x ∈[0，π2]，ω＞0）有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围是 ．16．已知在函数f （x ）＝lnx +3x 2与函数g （x ）＝4x 2﹣ax （a ≠0）的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分，17题10分，其他小题各12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n =n 2+3n2．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设T n 为数列{1a n a n+1}前n 项的和，若λT n ≤a n +1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最大值． 18．（12分）在图1中，∠B ＝90°，AB =BC =√2，△ACD 为等边三角形，O 为AC 边的中点，E 在BC 边上，且EC ＝2BE ，沿AC 将△ACD 进行折叠，使点D 运动到点F 的位置，如图2，连接FO ，FB ，FE ，FB ＝2．（1）证明：FO ⊥平面ABC ． （2）求二面角E ﹣F A ﹣C 的余弦值．19．（12分）已知函数f(x)=cos 2x +2√3sinxcosx −sin 2x ． （1）若f(x 02)=15，x 0∈[0，π3]，求cos2x 0的值．（2）A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，f （B ）＝2；若D 是AC 边上的点，且AD ＝3DC ＝3，∠A ＝∠ABD ＝θ，求sin θ的值．20．（12分）福州某公园有一个半圆形荷花池（如图所示），为了让游客深入花丛中体验荷花美景，公园管理处计划在半圆形荷花池中设计栈道观景台P 和栈道P A 、PB 、PC 、AB ，观景台P 在半圆形的中轴线OC 上（如图，OC 与直径AB 垂直，P 与O ，C 不重合），通过栈道把荷花池连接起来，使人行其中有置身花海之感．已知AB ＝200米，∠P AB ＝θ，栈道总长度为L ．（1）求L 关于θ的函数关系式．（2）若栈道的造价为每米5千元，问：栈道PC 长度是多少时，栈道的建设费用最小？并求出该最小值．21．（12分）已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点G 是△ABC 的重心，且AG →•BG →=0． （1）若∠GAB =π6，①直接写出AG CG=_____；②设∠CAG ＝α，求tan α的值．（2）求cos ∠ACB 的取值范围．22．（12分）已知函数f(x)=alnx −bx −1x(x ＞0，a ＞0)，f ′（x ）为f （x ）的导函数．（1）当a ＝1时，讨论函数f （x ）的单调性；（2）已知x 1，x 2∈（0，+∞）（x 1≠x 2），若存在b ∈R ，使得f （x 1）＝f （x 2）成立，求证：f ′（x 1）+f ′（x 2）＞0．2023-2024学年福建省福州一中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个1．命题“∀x∈（1，+∞），sin x﹣2x＜0”的否定是（）A．∃x0∈（1，+∞），sinx0−2x0≥0B．∀x∈（﹣∞，1]，sin x﹣2x≥0C．∀x∈（1，+∞），sin x﹣2x≥0D．∃x∈（﹣∞，1]，sin x0−2x0≥0解：“∀x∈（1，+∞），sin x﹣2x＜0”的否定是：∃x0∈（1，+∞），sinx0−2x0≥0．故选：A．2．已知集合A={x|x−2x≤0，x∈N}，B={x|log2√x＜1，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3，4}C．{1，2}D．{0，1，2}解：∵A={x|x−2x≤0，x∈N}，∴A＝{1，2}，∵B={x|log2√x＜1，x∈Z}，∴B＝{1，2，3}，∴A∩B＝{1，2}．故选：C．3．已知a＝cos2，b＝sin3，c＝tan4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b解：令f（x）＝x﹣sin x，则f′（x）＝1﹣cos x≥0，所以函数f（x）在(0，π2)上单调递增，所以当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0，即有x＞sin x成立，所以b＝sin3＝sin（π﹣3）＜π﹣3；令g(x)=tanx−x(0＜x＜π2)，则g′(x)=cos2x+sin2xcos2x−1=1−cos2xcos2x＞0，所以函数g（x）在(0，π2)上单调递增，所以当0＜x＜π2时，g（x）＞g（0）＝0，即有tan x＞x成立，所以c＝tan4＝tan（4﹣π）＞4﹣π，因为4﹣π＞π﹣3，所以c＞b，又a=cos2＜cos π2=0，所以a＜b＜c．故选：A．4．设函数y＝f（x）的定义域为D，∀x1，x2∈D，当x1+x2＝2a时，恒有f（x1）+f（x2）＝2b，则称点（a，b）为函数y＝f（x）图象的对称中心．利用对称中心的上述定义，研究函数f（x）＝e x﹣e﹣x+sin x+1，可得到f（﹣2023）+f（﹣2022）+…+f（2022）+f（2023）＝（）A．0B．2023C．4046D．4047解：f（x）＝e x﹣e﹣x+sin x+1的定义域为R．因为f（x）+f（﹣x）＝（e x﹣e﹣x+sin x+1）+[e﹣x﹣e x+sin（﹣x）+1]＝2，所以f（x）的图象关于点（0，1）对称．所以f（﹣2023）+f（﹣2022）+…+f（2022）+f（2023）＝2×2023+f（0）＝4047．故选：D．5．设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么下列关系正确的是（）A．a+2b＝c B．ac+bc＝2ab C．1a+12b=1cD．1a+1b=2c解：由3a＝4b＝6c＝k，得a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，1 a =logk3，1b=logk4，1c=logk6，则12b=12logk4=logk2，根据log k3+log k2＝log k6可知，1a+12b=1c．故选：C．6．设a，b，c分别是△ABC中内角A，B，C的对边，且ab+ba=4cosC，则tanCtanA+tanCtanB=（）A．1B．2C．3D．4解：由ab+ba=4cosC得a2+b2＝4ab cos C，所以c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝2ab cos C，由正弦定理得sin2C＝2sin A sin B cos C，tanC=sinCcosC=2sinAsinBsinC=2sinAsinBsin(A+B)=2sinAsinBsinAcosB+cosAsinB=21tanB+1tanA，所以tanCtanA+tanCtanB=2．故选：B．7．若（3x+y）2023+x2023+4x+y＝0，则4x+y＝（）A．0B．1C．2D．3解：设f（x）＝x2023+x，x∈R，因为f（﹣x）＝（﹣x）2023+（﹣x）＝﹣（x2023+x）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，又因为y＝x2023和y＝x在R上都为增函数，所以f（x）在R上为增函数．由（3x+y）2023+x2023+4x+y＝0得（3x+y）2023+3x+y＝﹣（x2023+x），即f（3x+y）＝﹣f（x）＝f（﹣x），所以3x+y＝﹣x，即4x+y＝0．故选：A．8．函数f（x）＝a sin x+cos x（a＜0）的图象向右平移φ个单位长度后，所得的函数为偶函数，则2sin2φ−a−1a的最小值为（）A．2B．4C．6D．8解：f(x)=asinx+cosx=√a2+1sin(x+α)，其中tanα=1 a ，函数的图象向右平移φ个单位长度后，得到函数y=√a2+1sin(x+α−φ)为偶函数，则当x＝0时，α−φ=π2+kπ，k∈Z，即φ=α−π2−kπ，则2φ＝2α﹣π﹣2kπ，k∈Z，sin2φ=sin(2α−π−2kπ)=−sin2α=−2sinαcosαsin2α+cos2α=−2tanα1+tan2α=−2a1+1a2=−2aa2+1，即2sin2φ−a−1a=−4aa2+1−a2+1a，因为a＜0，所以−4aa2+1＞0，−a2+1a＞0，所以−4aa2+1−a2+1a≥2√(−4aa2+1)×(−a2+1a)=4，当4aa2+1=a2+1a，即a＝﹣1时，等号成立，所以2sin2φ−a−1a的最小值为4．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．该图象对应的函数解析式为f(x)=2sin(2x+π3)B ．函数y ＝f （x ）的图象关于点(−5π12，0)对称 C ．函数y ＝f （x ）的图象关于直线x =−π6对称D ．函数y ＝f （x ）在[π12，7π12]上单调递减解：由函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的部分图象知，A ＝2， 所以T ＝4×（π3−π12）＝π，所以ω=2πT=2， 又因为f （π12）＝2sin （2×π12+φ）＝2，所以π6+φ=π2+2k π，k ∈Z ，解得φ=π3+2k π，k ∈Z ， 又因为|φ|＜π2，所以φ=π3，所以f （x ）＝2sin （2x +π3），故A 正确；因为x =−5π12时，f （−5π12）＝2sin （−5π6+π3）＝﹣2≠0， 所以函数y ＝f （x ）的图象不关于点(−5π12，0)对称，选项B 错误； 因为x =−π6时，f （﹣）＝2sin （−π3+π3）＝0≠±2，所以f （x ）的图象不关于x =−π6对称，选项C 错误；因为x ∈[π12，7π12]时，2x +π3∈[π2，3π2]，所以函数f （x ）＝2sin （2x +π3）单调递减，选项D 正确．故选：AD ．10．已知函数f （x ）的定义域为R ，且函数f （2x +1）是周期为2的奇函数，则（ ） A ．函数f （x ）的图像关于点(12，0)中心对称B ．函数f （x ）的图像关于点（1，0）中心对称C ．2是函数y ＝f （x ）的一个周期D ．4是函数y ＝f （x ）的一个周期解：根据题意，因为f（2x+1）是奇函数，所以f（2x+1）+f（﹣2x+1）＝0，则f（x+1）+f（﹣x+1）＝0，所以f（x）的图像关于点（1，0）中心对称，故B正确；因为f（2x+1）的周期是2，所以f（2x+1）＝f（2（x+2）+1）＝f（2x+5），即f（x+1）＝f（x+5）⇒f（x）＝f（x+4），即4是函数y＝f（x）的一个周期，故D正确；不妨令f（2x+1）＝sin（πx），显然符合要求，此时f(x)=sin(π2x−π2)，显然其周期为T=2ππ2=4≠2，且f(12)≠0，故A、C错误．故选：BD．11．已知函数f（x）＝x cos x﹣sin x﹣x的定义域为[﹣2π，2π]，则（）A．f（x）为奇函数B．f（x）在[0，π）上单调递减C．f（x）恰有2个极值点D．f（x）有且仅有2个极大值点解：A．函数的定义域为[﹣2π，2π]，关于原点对称，又f（﹣x）＝﹣x cos（﹣x）﹣sin（﹣x）+x＝﹣x cos x+sin x+x＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数，故A正确；B．由f（x）＝x cos x﹣sin x﹣x，得f′（x）＝cos x﹣x sin x﹣cos x﹣1＝﹣x sin x﹣1，当x∈[0，π）时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在[0，π）上单调递减，故B正确；C．显然f′（0）≠0，当x≠0时，令f′（x）＝0，则﹣x sin x﹣1＝0，所以sinx=−1x，分别作出y＝sin x和y=−1x在[﹣2π，2π]的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[﹣2π，2π]上共有4个公共点，且图象在这些公共点处都不相切，故f（x）在区间[﹣2π，2π]上的极值点的个数为4，有2个极大值点，故C错误，D正确．故选：ABD．12．函数f（x）＝x3﹣ax2﹣x+1，则下列结论正确的是（）A ．若函数f （x ）在(−12，13)上为减函数，则−1≤a ≤14B ．若函数f （x ）的对称中心为（1，﹣2），则a =32C ．当a ＝3时，若f （x ）＝﹣2有三个根x 1，x 2，x 3，且x 1+x 2+x 3＝3D ．当a ＝1时，若过点（﹣1，n ）可作曲线y ＝f （x ）的三条切线，则0＜n ＜6427解：对于A ，f （x ）＝x 3﹣ax 2﹣x +1，∴f ′（x ）＝3x 2﹣2ax ﹣1， 函数f （x ）在(−12，13)上为减函数，则f ′（x ）≤0，对∀x ∈(−12，13)，所以{f ′(−12)=34+a −1≤0f′(13)=13−23a −1≤0，解得−1≤a ≤14，故A 正确；对于B ，函数f （x ）的对称中心为（1，﹣2），则f （0）+f （2）＝﹣4， 即1+8﹣4a ﹣2+1＝﹣4，解得a ＝3，故B 错误；对于C ，当a ＝3时，f （x ）＝x 3﹣3x 2﹣x +1，则f （x ）＝﹣2，即x 3﹣3x 2﹣x +3＝0，化简得（x +1）（x ﹣1）（x ﹣3）＝0，其3个根为x 1＝﹣1，x 2＝1，x 3＝3，所以x 1+x 2+x 3＝3，故C 正确； 对于D ，当a ＝1时，f （x ）＝x 3﹣x 2﹣x +1，设切点为（x 0，y 0），则y 0=x 03−x 02−x 0+1，切线的斜率k =f ′(x 0)=3x 02−2x 0−1， 则切线方程为y −(x 03−x 02−x 0+1)=(3x 02−2x 0−1)(x −x 0)， 将点（﹣1，n ）代入上式，整理得n ＝﹣2x 03−2x 02+2x 0+2，过点（﹣1，n ）可作曲线y ＝f （x ）的三条切线，即方程n ＝﹣2x 03−2x 02+2x 0+2有三个不同的解，令g （x ）＝﹣2x 3﹣2x 2+2x +2，则g ′（x ）＝﹣6x 2﹣4x +2＝﹣2（x +1）（3x ﹣1）， 当x ∈（﹣∞，﹣1）时，g ′（x ）＜0，函数g （x ）单调递减， 当x ∈(−1，13)时，g ′（x ）＞0，函数g （x ）单调递增，当x ∈(13，+∞)时，g ′（x ）＜0，函数g （x ）单调递减，所以函数g （x ）在x ＝﹣1处取得极小值，极小值为g （﹣1）＝0， 在x =13处取得极大值，极大值为g(13)=6427，由方程n ＝﹣2x 03−2x 02+2x 0+2有三个不同的解，所以0＜n ＜6427，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知角θ的终边过点P （﹣3，4），则sin θ+cos θ的值为15 ． 解：∵θ的终边过点P （﹣3，4），∴cos θ=−3√(−3)+4=−35， sin θ=√(−3)+4=45， ∴sin θ+cos θ=45+（−35）=15． 故答案为：15． 14．已知正实数x ，y 满足1x +2y=1，则2xy ﹣2x ﹣y 的最小值为 8 ． 解：因为x ＞0，y ＞0，所以1=1x +2y ≥2√2xy，即xy ≥8，当且仅当x ＝2，y ＝4时，等号成立， 所以2xy ﹣2x ﹣y =xy(2−2y −1x)=xy(2−1)=xy ≥8． 即2xy ﹣2x ﹣y 的最小值为8．故答案为：8．15．已知函数f(x)=sin(2ωx +2π3)−√32（x ∈[0，π2]，ω＞0）有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围是 [53，2) ． 解：令f(x)=sin(2ωx +2π3)−√32=0，得sin(2ωx +2π3)=√32， 由题意方程sin(2ωx +2π3)=√32在x ∈[0，π2]上有且仅有两个实根， 由x ∈[0，π2]，得2ωx +2π3∈[2π3，ωπ+2π3]， 所以7π3≤ωπ+2π3＜8π3，解得53≤ω＜2， 所以实数ω的取值范围是53≤ω＜2． 故答案为：[53，2)． 16．已知在函数f （x ）＝lnx +3x 2与函数g （x ）＝4x 2﹣ax （a ≠0）的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是 （﹣∞，﹣1] ．解：设f （x ）＝lnx +3x 2上一点坐标（x 0，f （x 0））（x 0＞0），则其关于y 轴对称的点为（﹣x 0，f （x 0）），若该点在函数g（x）＝4x2﹣ax（a≠0）上，则有g（﹣x0）＝f（x0），故有4x02+ax0=lnx0+3x02⇒a=lnx0x0−x0，令ℎ(x)=lnxx−x，则ℎ′(x)=1−x2−lnxx2，令m（x）＝1﹣x2﹣lnx，m′(x)=−2x−1x＜0，所以m（x）在（0，+∞）上单调递减，又m（1）＝0⇒x＞1时，m（x）＜0，h′（x）＜0，即此时h（x）单调递减，0＜x＜1时，m（x）＞0，h′（x）＞0，即此时h（x）单调递增，所以h（x）≤h（1）＝﹣1，所以a≤﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1]．四、解答题：本题共6小题，共70分，17题10分，其他小题各12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知S n是数列{a n}的前n项和，S n=n 2+3n 2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{1a n a n+1}前n项的和，若λT n≤a n+1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．解：（1）因为S n是数列{a n}的前n项和，且S n=n2+3n2，则S n−1=(n−1)2+3(n−1)2，当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2+3n2−(n−1)2+3(n−1)2=n+1，当n＝1时，a1＝S1＝2，满足通项公式，所以{a n}的通项公式为a n＝n+1．（2）因为T n为数列{1a n a n+1}前n项的和，令b n=1a n a n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，则T n=b1+b2+b3+⋯+b n−1+b n=(12−13)+(13−14)+(14−15)+⋯+(1n−1n+1)+(1n+1−1n+2)，=12−1n+2=n2(n+2)，因为λT n≤a n+1对一切n∈N*恒成立，则λ≤a n+1T n=2(n+4n)+8，因为n+4n≥2√n⋅4n=4，当且仅当n＝2时，等号成立．所以2(n+4n)+8≥16，所以实数λ的最大值为16．18．（12分）在图1中，∠B＝90°，AB=BC=√2，△ACD为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC 边上，且EC＝2BE，沿AC将△ACD进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，FB＝2．（1）证明：FO⊥平面ABC．（2）求二面角E﹣F A﹣C的余弦值．（1）证明：由题意FO⊥AC，又AC＝2，FO=√3，OB＝1，而FB＝2，所以FO2+BO2＝FB2，所以FO⊥BO，因为AC∩BO＝O，AC，BO⊂平面ABC，所以FO⊥平面ABC；（2）解：以O为坐标原点，分别以OB，OC，OF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则A（0，﹣1，0），F(0，0，√3)，E(23，13，0)，AF →=(0，1，√3)，AE →=(23，43，0)， 设平面AEF 的一个法向量是m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅AF →=y +√3z =0m →⋅AE →=23x +43y =0，取y =−√3，则x =2√3，z ＝1，则m →=(2√3，−√3，1)， 显然n →=（1，0，0）是平面AFC 的一个法向量，cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=√312+3+1×1=√32， 所以二面角E ﹣F A ﹣C 的余弦值为√32． 19．（12分）已知函数f(x)=cos 2x +2√3sinxcosx −sin 2x ． （1）若f(x 02)=15，x 0∈[0，π3]，求cos2x 0的值． （2）A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，f （B ）＝2；若D 是AC 边上的点，且AD ＝3DC ＝3，∠A ＝∠ABD ＝θ，求sin θ的值．解：（1）因为f(x)=cos 2x +2√3sinxcosx −sin 2x =√3sin2x +cos2x =2sin(2x +π6)， 所以f(x 02)=√3sinx 0+cosx 0=15， 将cosx 0=15−√3sinx 0代入sin 2x 0+cos 2x 0=1， 得4sin 2x 0−2√35sinx 0−2425=0， 解得sinx 0=√3+3√1120或sinx 0=√3−3√1120又x 0∈[0，π3]，所议sinx 0=√3+3√1120， 所以cos2x 0=1−2sin 2x 0=1−2(√3+3√1120)2=49−3√33100． （2）f(B)=2sin(2B +π6)=2，因为B ∈（0，π），所以2B +π6∈(π6，13π6)， 所以2B +π6=π2，即B =π6， 因为∠A ＝∠ABD ＝θ，所以BD ＝AD ＝3， 在△ABC 中，由正弦定理可得BC =ACsinθsin30°=8sinθ， 因为∠BCD ＝2θ，CD ＝1，所以，在△BCD 中，由余弦定理有32+12−2×3×1×cos2θ=(8sinθ)2，整理得10﹣6cos2θ＝64sin 2θ，即10﹣6+12sin 2θ＝64sin 2θ，解得sin 2θ=113， 因为0＜θ＜π6， 所以sinθ=√1313．20．（12分）福州某公园有一个半圆形荷花池（如图所示），为了让游客深入花丛中体验荷花美景，公园管理处计划在半圆形荷花池中设计栈道观景台P 和栈道P A 、PB 、PC 、AB ，观景台P 在半圆形的中轴线OC 上（如图，OC 与直径AB 垂直，P 与O ，C 不重合），通过栈道把荷花池连接起来，使人行其中有置身花海之感．已知AB ＝200米，∠P AB ＝θ，栈道总长度为L ．（1）求L 关于θ的函数关系式．（2）若栈道的造价为每米5千元，问：栈道PC 长度是多少时，栈道的建设费用最小？并求出该最小值．解：（1）因为P 在半圆形的中轴线OC 上，OC ⊥AB ，AB ＝200米，∠P AB ＝θ，所以PA =PB =12OA cosθ=100cosθ，PO =12ABtanθ=100tanθ， 所以PC ＝OC ﹣PO ＝100﹣100tan θ，所以栈道总长度L =PA +PB +PC +AB =100cosθ+100cosθ+100−100tanθ+200=200cosθ−100tanθ+300，θ∈(0，π4)． （2）由（1）得L ′(θ)=100(2sinθ−1)cos 2θ，θ∈(0，π4)， 所以当0＜θ＜π6时，L ′（θ）＜0，L 单调递减，当π6＜θ＜π4时，L ′（θ）＞0，L 单调递增， 所以当θ=π6，即PC =100−100tan π6=100(3−√3)3时，栈道的建设费用最小， 建设费用最小值为5×(200cos π6−100tan π6+300)=500√3+1500千元． 21．（12分）已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点G 是△ABC 的重心，且AG →•BG →=0．（1）若∠GAB =π6，①直接写出AG CG=_____；②设∠CAG ＝α，求tan α的值． （2）求cos ∠ACB 的取值范围．解：（1）①设AB 的中点为D ，则D ，G ，C 三点共线且CG ＝2DG ，因为AG →⋅BG →=0，所以AG ⊥BG ，所以AD ＝DG ，因为∠GAB =π6，所以∠GAB ＝∠AGD =π6，∠ADG =2π3， 所以在△ADG 中，由余弦定理得AG =√AD 2+DG 2−2AD ⋅DGcos∠ADG =√3DG ，所以AG CG =√32． ②以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立如图平面直角坐标系，设AB ＝2，则B （2，0），G(32，√32)，D （1，0）， DG →=(12，√32)，GC →=2DG →=(1，√3)，故C(52，3√32)， 所以tan ∠BAC =3√35， 所以tanα=tan(∠BAC −π6)=tan∠BAC−tan π61+tan∠BAC⋅tan π6=3√35−√331+3√35×√33=√36． （2）设∠GAB =θ，θ∈(0，π2)，则G （2cos 2θ，2cos θsin θ），DG →=(2cos 2θ−1，2cosθsinθ)=(cos2θ，sin2θ)，GC →=2DG →=(2cos2θ，2sin2θ)，故C （2cos2θ+2cos 2θ，3sin2θ），即C （3cos2θ+1，3sin2θ）所以CA →=(−3cos2θ−1，−3sin2θ)，CB →=(1−3cos2θ，−3sin2θ)，|CA → |=√9cos 22θ+1+6cos2θ+9sin 22θ=√10+6cos2θ，|CB → |=√1−6cos2θ+9cos 22θ+9sin 22θ=√10−6cos2θ，所以cos ∠ACB =CA →⋅CB→|CA →||CB →|=8√100−36cos 2θ，因为θ∈(0，π2)，所以2θ∈（0，π），所以﹣1＜cos2θ＜1，所以45≤√100−36cos 22θ1， 即cos ∠ACB ∈[45，1)．22．（12分）已知函数f(x)=alnx −bx −1x(x ＞0，a ＞0)，f ′（x ）为f （x ）的导函数． （1）当a ＝1时，讨论函数f （x ）的单调性；（2）已知x 1，x 2∈（0，+∞）（x 1≠x 2），若存在b ∈R ，使得f （x 1）＝f （x 2）成立，求证：f ′（x 1）+f ′（x 2）＞0．解：（1）当a ＝1时，f(x)=lnx −bx −1x，x ＞0， f ′(x)=1x −b +1x 2=−bx 2+x+1x 2， 当b ＝0时，f ′（x ）在区间（0，+∞）上恒大于0，此时函数的单调递增区间是（0，+∞）； 当b ＞0时，设g （x ）＝﹣bx 2+x +1＝0，其中Δ＝1+4b ＞0，当x ∈(0，1+√1+4b 2b )，f ′（x ）＞0，函数单调递增， 当x ∈(1+√1+4b 2b，+∞)，f ′（x ）＜0，函数单调递减， 当b ＜0时，Δ＝1+4b ，当b ≤−14时，Δ≤0，此时f ′（x ）≥0恒成立，函数的单调递增区间是（0，+∞）， 当−14＜b ＜0时，Δ＝1+4b ＞0， 当1−√1+4b 2b ＜0且1+√1+4b 2b＜0， 所以f ′（x ）在区间（0，+∞）上恒大于0，即函数的单调递增区间是（0，+∞），综上可知，b ≤0时，函数的单调递增区间是（0，+∞），当b ＞0时，函数的单调递减区间是(0，1+√1+4b 2b )，函数的单调递减区间是(1+√1+4b 2b，+∞)； （2）证明：不妨设x 1＞x 2，因为f （x 1）＝f （x 2），则alnx1−bx1−1x1=alnx2−bx2−1x2，即alnx1−alnx2−1x1+1x2=b(x1−x2)，得aln x1x2x1−x2+1x1x2=b，由f′(x)=1x2+ax−b，则f′(x1)+f′(x2)=(1x12+1x22)+a(1x1+1x2)−2(aln x1x2x1−x2+1x1x2)，f′(x1)+f′(x2)=(1x12+1x22−2x1x2)+a(1x1+1x2−2ln x1x2x1−x2)，所以f′(x1)+f′(x2)=(x1−x2)2x12x22+ax1−x2(x12−x22x1x2−2lnx1x2)，f′(x1)+f′(x2)=(x1−x2)2x12x22+ax1−x2(x1x2−x2x1−2lnx1x2)，设t=x1x2∈(1，+∞)，构造函数φ(t)=t−1t−2lnt(t＞1)，φ′(t)=1+1t2−2t=(t−1)2t2＞0，所以φ（t）在（1，+∞）上为增函数，所以φ（t）＞φ（1）＝0，即x1x2−x2x1−2lnx1x2＞0，又(x1−x2)2x12x22＞0，a＞0，x1﹣x2＞0，所以f′（x1）+f′（x2）＞0．。
高三数学数学福建省福州三中2018届高三上学期期
福建省福州三中2021届高三上学期期中考试数学〔理〕第一卷〔选择题，共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．集合A{x|1x1}，B{x|x2x}，那么A B等于〔〕A．{x|0x1}B．{x|0x1}C．{x|0x1}D．{x|0x1}2．命题“对任意的x R，x3x210〞的否认是〔〕A．不存在x R，x3x210B．存在x R，x3x210C．存在x R，x3x210D．对任意的x R，x3x2103．记S n是等差数列a的前n项和，a23，a611，那么S7等于〔〕nA．13B．35C．49D．634．对定义域内的任意两个不相等实数x1，x2，以下满足(x1x2)[f(x1)f(x2)]0的函数是〔〕A．f(x)x2B．f(x)1C．f(x)lnx D．f(x)xx5．以下函数中，其图象的一局部如以下列图所示的是〔〕A．y sin(x6)B．ysin(2x)6C．y cos(4x)D．y cos(2x6)36．函数f(x)x33x m在区间[3,0]上的最大值与最小值的和为14，那么实数m的值为〔〕A．8B．9C．1D．27．不等式(x y)(1a)9对任意正实数x,y恒成立，那么正实数a的最小值为〔〕x yA．2B．4C．9D．168．设三次函数f(x)的导函数为f(x)，函数y xf(x)的图象的一局部如下列图，那么〔〕A．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(3)B ．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(3)C ．f(x)的极大值为f(3) ，极小值为 f(3)D ．f(x)的极大值为f(3) ，极小值为f(3)9．假设sin( ) 1，那么cos(2 )等于〔〕333A ．7B ． 1C ．1D ．7933910．函数①f (x) 5x2；② f(x)5cosx ；③f(x)5e x ；④f(x)5lnx ．其中对于f(x)定义域内的任意一个自变量x 1，都存在唯一的自变量x 2，使f(x 1)f(x 2)5成立的函数为〔〕A ．①③④B ．②④C ．①③D ．③第二卷〔非选择题，共 100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题 4分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上．11．函数f(x)3tan(2x)1的最小正周期是____________．4e 1)dx 等于____________．12．计算(2x1x13．曲线 ysinxcosx 在x处的切线方程是____________．14．如果只有一个实数x满足x 2ax54，那么实数a 的值为____________．15．根据三角恒等变换，可得如下等式：cos cos ；cos2 2cos 2 1；cos3 4cos 3 3cos ； cos48cos 48cos 21； cos516cos 5 20cos 35cos ．依此规律，猜测 cos632cos 6mcos 4ncos 21，其中mn =_______． 三、解答题：本大题共 6小题，共 80分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．〔本小题总分值13分〕函数f(x)3sin2x 2sin(x)sin(x)．4 4〔Ⅰ〕求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；〔Ⅱ〕求函数f(x)在区间[,]上的值域．12217．〔本小题总分值13分〕三个实数a，8，2，适当调整这三个实数的顺序，使它成为递增的等比数列{a n}的前三项．〔Ⅰ〕请写出所有可能的前三项，并求相应的a值；〔Ⅱ〕记首项和公比都最大的数列的前n项和为S n，求数列S n的前n项和T n．4n18．〔本小题总分值13分〕m R，命题p：对任意x[0,8]，不等式log1(x1)m23m恒成立；命题q：3对任意x R，不等式|1sin2xcos2x|2m|cos(x)|恒成立．4〔Ⅰ〕假设p为真命题，求m的取值范围；〔Ⅱ〕假设p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．19．〔本小题总分值13分〕某玩具生产公司每天方案生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，总生产时间不超过10小时．假设生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．〔Ⅰ〕用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w〔元〕；〔Ⅱ〕怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？20．〔本小题总分值14分〕a，b R，函数f(x)ln(x1)x2ax b的图象经过点A(0,2)．〔Ⅰ〕假设曲线y f(x)在点A处的切线与直线3x y10平行，求实数a的值；〔Ⅱ〕假设函数f(x)在[1,)上为减函数，求实数a的取值范围；〔Ⅲ〕令a1，c R，函数g(x)c2cx x2．假设对任意x1(1,)，总存在x2[1,)，使得f(x1)g(x2)成立，求实数c的取值范围．21．此题有〔Ⅰ〕、〔Ⅱ〕、〔Ⅲ〕三个选答题，每题7分，请考生任选两题做答，总分值14分．如果多做，那么按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．7分〕选修02〔Ⅰ〕〔本小题总分值4－2：矩阵与变换a R，矩阵P0，1 010变为直线l2：Q，假设矩阵PQ对应的变换把直线l1：xy4a0xy40，求实数a的值．〔Ⅱ〕〔本小题总分值7分〕选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求圆C：2上的点P到直线l：(cos3sin)6的距离的最小值．〔Ⅲ〕〔本小题总分值7分〕选修4－5：不等式选讲实数x,y满足x24y2a(a0)，且xy的最大值是5，求实数a的参考答案一、选择题：每题5分，共50 分． 二、填空题：每题 4分，共 20分．1 2 3 4 5 11． /214． 2A C C DB 12． e215．306 7 8 9 10yx1CBDAD13．三、解答题：本大题共 6小题，共 80分．16．f(x)3sin2x2sin(x)cos(x 4 )43sin2xsin(2x) 2分23sin2x cos2x2sin(2x)． 4分6〔Ⅰ〕函数f(x)的最小正周期T2 ；6分2由2x6k2，k得对称轴方程为 x，k Z ．8分235〔Ⅱ〕因为x，所以2x，12 2 366所以当2x6即x时，f(x)max2，10分23当2x6即x时，f(x)min2 ( 3)3，3122所以f(x)的值域是[3,2]．13分17．〔Ⅰ〕假设a ， 2 ，8为递增的等比数列 {a n }的前三项，那么a 1；假设2 ，a ，8 {a n }的前三项，那么a 4； 2为递增的等比数列假设2 ，8 ，a 为递增的等比数列 {a n }的前三项，那么a 32．6分〔Ⅱ〕首项和公比都最大的数列的前三项为 2 ，8， 32所以a 12，q4，所以前n 项和S n2[1 4n ] 2 4n 2 ， 9分S n1 43 3所以2 2 1 n4n3()．3 421[1 (1)n]2 21所以T n64) n]．13分n1n9 [1(31 34418．〔Ⅰ〕令f(x)log1(x1)，3那么f(x)在(1,)上为减函数，因为x[0,8]，所以当x8时，f(x)min f(8)2．2分不等式log1(x1)m23m恒成立，等价于2m23m，3解得1m2．4分〔Ⅱ〕不等式|1sin2x cos2x|2m|cos(x)|，4即|2sinx(sinx cosx)|2m|sinx cosx|，所以m2|sinx|．7分即命题q：m2．9分假设p且q为假，p或q为真，那么p与q有且只有一个为真．假设p为真，q为假，那么1m2m2；m，那么12假设p为假，q为真，那么m1或m22．m2，那么m综上所述，1m2或m2，即m的取值范围是[1,2)(2,)．13分19．〔Ⅰ〕依题意每天生产的伞兵个数为100x y，所以利润w5x6y3(100xy)2x3y300．3分〔Ⅱ〕约束条件为：5x7y4(100x y)600,100x y0,x0,y0.x3y200,整理得x y100,6分x0,y0.目标函数为w2x3y300．如下列图，做出可行域．:2x3y9分初始直线l 0 ，平移初始直线经过点 A 时，w 有最大值．由x 3y 200, 得x 5011分x y100,y 50,最优解为A(50,50)，所以w max 550 元．答：每天生产的卫兵个数 50 个，骑兵个数50 个，伞兵个数 0个时利润最大为 550元．13分20．〔Ⅰ〕f(x)1 2x a ，x1．2分x 1Af(0) 1 a3那么在 点出的切线的斜率为，=所以a 2． 4分〔Ⅱ〕函数 f(x)在[1, )上为减函数，所以f (x)12x a0在[1,)上恒成立，x 1所以a2x1 在[1,)上恒成立．6分x 1令g(x)2x1，那么g(x)21 ．x 1 (x 1)2因为x 1 ，所以g(x)0，所以g(x)在[1,)为增函数，所以g(x)ming(1) 21 74，74所以a．4,7]．经检验，a 的取值范围是(9分4〔Ⅲ〕假设对任意x 1 (1,)，总存在x 2 [ 1, )，使得f(x 1)g(x 2)成立，那么函 数f(x)在(1, )上的值域是函数 g(x)在[ 1, )上的值域的子集．对于函数f(x)，因为a 1，所以f(x)ln(x 1)x 2xb ，又因为过点A(0,2)，所以b2，所以f(x)ln(x1)x2x2，定义域(1,)．f(x)112x23x2xx．x11令f(x)0，得x10，x23〔舍去〕．2当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：所以f(x)max f(0)2，所以f(x)的值域为(,2]．12分对于函数g(x)x22cx c(x c)2c c2．〔ⅰ〕当c1时，g(x)的最大值为g(1)12c c1c，g(x)值域为(,1c]，所以(,2](,1c]，即以1c2，解得c3，所以c3．c2〔ⅱ〕当c1时，g(x)的最大值为g(c)c，g(x)值域为(,c2c]．所以(,2](,c2c]，即c2c2，解得c2或c1，所以c1．综上所述，c的取值范围是(,3][1,)．14分21．〔Ⅰ〕选修4－2：矩阵与变换PQ 2a0，2分01设直线l1上一点M(x,y)，那么经矩阵PQ对应的变换后为l2上一点M(x,y)，那么x2a0x，所以x2ax,4分y01y y y.代入l2：x y40，得2ax(y)42axy40，6分得l1：x y40，比较系数可得2a1，所以a 1．7分24－4：坐标系与参数方程〔Ⅱ〕选修圆C的普通方程为x2y24，2分直线l的普通方程为x3y60，4分所以圆心到直线l的距离d 63，6分2所以点P到直线l的距离的最小值为321．7分〔Ⅲ〕选修4－5：不等式选讲高三数学数学福建省福州三中2021届高三上学期期11 / 1111解法〔1〕：由柯西不等式， 知(xy)2(x24y 2)(1 1)5a ，⋯⋯4分4 4又因xy 的最大是5，所以 5 a25 ，⋯⋯6分所以a20⋯⋯7分4．解法〔2〕：xacos,yasin，⋯⋯2分2xyacosasin=5asin()，⋯⋯4分24所以x y 的最大是5 5，⋯⋯6分a解得a204．⋯⋯7分精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐值得拥有。
2021年福建省福州市市第一中学高三数学理测试题含解析
2020-2021学年福建省福州市市第一中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知△ABC的三个内角A,B、C所对的三边分别为a，b、c，若△ABC的面积则tan等于A．1/2 B．1/4C．1/8 D．1参考答案：答案：B2. ( )A． B． C． D．参考答案：C略3. 已知下图（1）中的图像对应的函数为，则下图（2）中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是（）A． B． C． D．参考答案：D略4. 早在公元前三百多年我国已经运用“以度审容”的科学方法，其中商鞅铜方升是公元前344年商鞅督造的一种标准量器，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x为A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4参考答案：B由三视图知，商鞅铜方升是由一个圆柱和一个长方体组合而成的，故其体积为，又故.故选B．5. 已知，则（）A. B. C. D.参考答案：D.考点：诱导公式.6. 某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着A车和B车，同时进来C，D两车，在C，D不相邻的条件下，C和D至少有一辆与A和B车相邻的概率是（）A．B．C． D．参考答案：B【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n==34，C和D至少有一辆与A和B车相邻的对立事件是C和D都不与A和B车相邻，由此能求出C和D至少有一辆与A和B车相邻的概率．【解答】解：某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着A车和B车，同时进来C，D两车，在C，D不相邻的条件下，基本事件总数n==34，C和D至少有一辆与A和B车相邻的对立事件是C和D都不与A和B车相邻，∴C和D至少有一辆与A和B车相邻的概率：p=1﹣=．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．7. 执行如图所示的程序框图，若输出，则框图中①处可以填入（）参考答案：C8. 下列选项中，说法正确的是( )A．命题“?x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“?x∈R，x2﹣x＞0”B．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件C．命题“若am2≤bm2，则a≤b”是假命题D．命题“在△ABC中，若sinA＜，则A＜”的逆否命题为真命题参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定，充要条件的定义，四种命题的关系，逐一分析四个答案是否成立，最后综合讨论结果，可得结论．【解答】解：对于A，命题“?x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“?x∈R，x2﹣x＞0”，故错误；对于B，命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件，故错误；对于C，命题“若am2≤bm2，则a≤b”在m=0时，不一定成立，故是假命题，故正确；对于D，“在△ABC中，若sinA＜，则A＜或A＞”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错误；故选：C【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，特称命题的否定，充要条件的定义，四种命题的关系，难度不大，属于基础题．9. 若函数，函数，则的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：B【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．B11 B12解析：设z=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，则z的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方，求函数y=sin2x﹣（x∈[0，π]）的导数，f′（x）=2cos2x，直线y=x+3的斜率k=1，由f′（x）=2cos2x=1，即cos2x=，即2x=，解得x=，此时y=six2x﹣=﹣=0，即函数在（，0）处的切线和直线y=x+3平行，则最短距离d=，∴（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值d2=（）2=，故选：B【思路点拨】根据平移切线法，求出和直线y=x+3平行的切线方程或切点，利用点到直线的距离公式即可得到结论．10. （5分）若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（）A． ac2＜bc2 B．＜ C．＞ D． a2＞ab＞b2参考答案：D【考点】：不等式比较大小；不等关系与不等式．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：本题可以利用基本不等关系，判断选项中的命题是否正确，正确的可加以证明，错误的可以举反例判断，得到本题结论．解：选项A，∵c为实数，∴取c=0，ac2=0，bc2=0，此时ac2=bc2，故选项A不成立；选项B，=，∵a＜b＜0，∴b﹣a＞0，ab＞0，∴＞0，即，故选项B不成立；选项C，∵a＜b＜0，∴取a=﹣2，b=﹣1，则，，∴此时，故选项C 不成立；选项D ， ∵a＜b ＜0，∴a 2﹣ab=a （a ﹣b ）＞0， ∴a 2＞ab ．∴ab﹣b 2=b （a ﹣b ）＞0， ∴ab＞b 2．故选项D 正确，故选D ．【点评】： 本题考查了基本不等关系，本题难度不大，属于基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）。
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高1 丈（如图）．问它的体积是多少? ”这个问题的答案
2
是
A． 5 立方丈
B． 6 立方丈
1
C． 7 立方丈
D． 9 立方丈
3 4
7．设 a xln x ， b yln y ， c xln y ，其中 x y ，则下列说法正确的是
A． a≤c≤b
B． b≤c≤a
C． ab≤c2
D． c2≤ab
(3
x)≤1
，
Q
x
Байду номын сангаас
3x x
2
≤2
，则
ðR
P
I
Q
A． 0,1
B． 0,1
C． 1, 2
D． 1, 2
4．已知等差数列an 的公差为 5，前 n 项和为 Sn ，且 a1, a2 , a5 成等比数列，则 S6
A． 80
B． 85
C． 90
D． 95
5．设函数
f
(x)
log3 x,
log
1 3
（1）若 M , N 分别是 CC1 ， AB 的中点，求证： CN∥平面AB1M ；
（2）若 C1M
3 2
，求二面角
A B1M
C
的大小．
19．（12 分）
已知等比数列 an 的公比 q 1，满足： a2 a3 a4 28 ，且
a3 2 是
a2 , a4 的等差中项．
（1）求数列an 的通项公式；
A． x 1, 2x log2 x 1
B． x≥1, 2x log2 x 1
C． x 1, 2x log2 x 1 2．设复数 z 满足 z 1 1 3i ，则 | z |
z2
A． 5
B． 5
D． x≥1, 2x log2 x 1
C． 2
D． 2
3．已知集合 P x
log2
（2）若 bn an log1 an ， Sn 为数列bn 的前 n 项和，求使 Sn n 2n1 1000 成立的正整数 n 的最小值．
2
20．（12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA⊥平面 ABC ， AD∥BC,ABC 900 ， AD 2 ， AB 2 3 ， BC 6 ． （1）求证：平面 PBD⊥平面 PAC ； （2） PA 长为何值时，直线 PC 与平面 PBD 所成角最大？并求此时该角的正弦值．
,
0
对称
uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur
10．已知平面向量 OA 、OB 、OC 为三个单位向量，且 OA OB 0 ，若 OC xOA yOB （ x, y R ），则 x y
的可能取值为
A． 0
B．1
C． 2
D． 2
11．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 3 ，线段 B1D1 上有两个动点 E, F ，且 EF 1 ，以下结论正确
部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分
9．已知 f (x) 2sin x cos x 2 3 cos2 x 3 ，下列说法正确的有
A． f (x) 的最小正周期是 2
B． f (x) 最大值为 2
C． f (x) 的图象关于 x 对称 3
D．
f
(x)
的图象关于
2 3
福建省福州
福州一中 2020—2021 学年第一学期
高三数学半期考试卷
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的．
1．已知命题 p : x≥1, 2x log2 x≥1 ，则 p 为
x y≥ 1
14．设变量
x
，
y
满足约束条件
x y≤4
，则目标函数 z x 2y 的最大值为______．
y≥2
15．已知函数
f
x
sin
x
acos x
的图象关于直线
x
6
对称，
x1
是
f
x
的一个极大值点，
x2
是
f
x
的
一个极小值点，则 x1 x2 的最小值为______．
16．三棱锥 A BCD 中，∠ABC ∠CBD ∠DBA 60o ， BC BD 2 ，面 ACD 的面积为 11 ，则此三棱 锥外接球的表面积为______．
8．已知函数 f (x) ex aex 2 （ a R ， e 为自然对数的底数），若 y f (x) 与 y f ( f (x)) 的值域相同，
-1-
福建省福州
则 a 的取值范围是
A． a 0
B． a≤1
C． 0 a≤4
D． a 0 或 0 a≤4
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
问题：是否存在 △ABC ，它的内角 A, B,C 的对边分别为
a,b, c ，且 c
7
，
c
sin
A
a
cos
C
6
，
？
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
中任 角形
18．（12 分）
如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， CC1⊥平面ABC ， AC BC 2 ， AB 2 2 ， CC1 4 ， M 是棱 CC1 上 一点．
的有
A． AC⊥BE
B．异面直线 AE, BF 所成的角为定值
C．点 A 到 平面BEF 的距离为定值
D．三棱锥 A BEF 的体积是定值
12．在 △AnBnCn （ n 1, 2,3,L ）中，内角 An , Bn ,Cn 的对边分别为 an ,bn , cn ，△An BnCn 的面积为 Sn ，若 an 5 ，
b1
4 ， c1
3
，且
bn
2 1
an2
2cn2 4
，
c2 n 1
an2
2bn2 4
，则
A． △An BnCn 一定是直角三角形
B．Sn 为递增数列
C．Sn 有最大值
D．Sn 有最小值
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
r
r
rr
13．已知向量 a (1, 3) ， b (3, m) ，且 b 在 a 上的投影为 3 ，则 m ______．
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福建省福州
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10 分）
在① S△ABC 2 3 ，② a b 1，③ sin A 2sin B 这三个条件
选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求三
的周长；若问题中的三角形不存在，请说明理由．
(
x),
A． (1,0) U(0,1)
x 0, x 0, 若 f (a) f (a) ，则实数 a 的取值范围是
B． (,1) U(1,)
C． (1,0) U(1, )
D． (,1) U(0,1)
6．《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问
积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 3 丈，长 4 丈；上棱长 2 丈，无宽，