辽宁师大附中2015届高三上学期10月模块考试数学(理)试题含解析 (2)

辽宁师大附中2015届高三上学期10月模块考试数学（理）试题（解析版）【试卷综析】本次试卷考查的范围是三角函数和数列。

试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况。

整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查。

第Ⅰ卷 选择题（共50分） 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

1.若a 、b 为实数，则“1ab <”是“10a b<<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．L4【答案解析】B 解析：若a 、b 为实数，1ab <，令a=﹣1，b=1，ab=﹣1＜1，推不出10a b <<，若10a b<<，可得b ＞0，∴0＜1ab <，⇒1ab <， ∴1ab <”是“10a b<<必要不充分条件，故选B ． 【思路点拨】令a=﹣1，b=1特殊值法代入再根据必要条件和充分条件的定义进行判断. 【题文】2.已知实数,x y 满足(01)x ya a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ） A ．33x y > B. sin sin x y > C.22ln(1)ln(1)x y +>+D.221111x y >++ 【知识点】指数函数的图像与性质．L4【答案解析】A 解析：∵实数,x y 满足(01)x y a a a <<<，∴x ＞y ， A ．当x ＞y 时，33x y >，恒成立， B ．当x=π，y=时，满足x ＞y ，但sin sin x y >不成立．C ．若22ln(1)ln(1)x y +>+，则等价为x 2＞y 2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y ，但x 2＞y 2不成立．D ．若221111x y >++，则等价为x 2+1＜y 2+1，即x 2＜y 2，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y ，但x 2＜y 2不成立．故选：A ．【思路点拨】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键． 【题文】3．下列四个图中,函数10ln 11x y x +=+的图象可能是（ ）【知识点】函数的图象．L4【答案解析】C 解析：当x ＞0时，y ＜0，排除A 、B 两项；当﹣2＜x ＜﹣1时，y ＞0，排除D 项．故选：C ．【思路点拨】根据四个选择项判断函数值的符号即可选择正确选项．【题文】4.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满则a 的最小值是（ ）A ．1 C ．2L4【答案解析】C 解析：∵函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，∴，等价为f （log 2a ）+f （﹣log 2a ）=2f （log 2a ）≤2f （1），即f （log 2a ）≤f （1）． ∵函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增， ∴f （log 2a ）≤f （1）等价为f （|log 2a|）≤f （1）．即|log 2a|≤1， ∴﹣1≤log 2a≤1，解得，故a 的最小值是，故选：C【思路点拨】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行化简，即可得到结论． 【题文】5.已知向量b a 、，其中2=a ，2=b ，且a b)a ⊥-（，则向量a 和b 的夹角是 （ ）A ．4πB ．2πC ．43πD ．π【知识点】数量积表示两个向量的夹角．L4 【答案解析】A 解析：设两个向量的夹角为θ∵a b)a ⊥-（，∴，∴，即∴，∵θ∈[0，π]，∴，故选A【思路点拨】利用向量垂直的数量积为0列出方程；利用向量的平方等于向量模的平方及向量的数量积公式将方程用模与夹角表示求出夹角．【题文】6.把函数sin 3y x =的图象适当变化就可以得3cos3)2y x x =-的图象，这个变化可以是（ ）A ．沿x 轴方向向右平移4π B ．沿x 轴方向向左平移4π C ．沿x 轴方向向右平移12π D ．沿x 轴方向向左平移12π【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．L4【答案解析】C 解析：∵函数(sin 3cos3)2y x x =-=sin （3x ﹣）=sin3（x ﹣），∴把函数sin 3y x =的图象沿x 轴方向向右平移12π个单位，可得3cos3)2y x x =-的图象，故选：C ．【思路点拨】由条件根据函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【题文】7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又知(ln )'ln 1x x x =+，且101ln eS xdx =⎰，2017S =，则30S 为（ ）A ．33B ．46C ．48D ．50【知识点】等差数列的性质；定积分的简单应用．L4 【答案解析】C 解析：101ln eS xdx =⎰=（xlnx ﹣x ）=e ﹣e ﹣（﹣1）=1∵等差数列中，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20为等差数列， 即1，17﹣1，S 30﹣17为等差数列，∴32=1+S 30﹣17，∴S 30=48，故选 C 。

【思路点拨】先利用微积分基本定理求定积分的值，得S 10=1，再利用等差数列的性质，即S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20为等差数列，即可列方程得所求值.【题文】8 .已知2sin()sin 3παα-+=7sin()6πα+的值是 （ ）A ．B ．532 C ．45-D ．54【知识点】两角和与差的正弦函数．L4 【答案解析】C 解析：sin （﹣α）+sinα=sincosα﹣cos sinα+sinα=cosα+sinα+sinα=cosα+sinα=（cosα+sinα）=（sincosα+cossinα）=sin （）=∴=sin （）=，∴=sin （）=﹣sin （）=﹣故答案选：C【思路点拨】先用正弦两角和公式把sin （﹣α）+sinα展开求的sin （）的值，然后通过诱导公式展开则，把sin （）的值代入即可．【题文】9．已知函数f （x ）＝lnx ＋tan α（α∈（0，2π））的导函数为()f x '，若使得0()f x '＝0()f x 成立的0x ＜1，则实数α的取值范围为（ ） A ．（4π，2π） B ．（0，3π） C ．（6π，4π） D ．（0，4π） 【知识点】导数的运算．L4【答案解析】A 解析：∵f ′（x ）=，f ′（x 0）=，f ′（x 0）=f （x 0），∴=ln x 0+tan α，∴tan α=﹣ln x 0，又∵0＜x 0＜1，∴可得﹣ln x 0＞1，即tan α＞1，∴α∈（，）．故选：A ．【思路点拨】由于f ′（x ）=，f ′（x 0）=，f ′（x 0）=f （x 0），可得=ln x 0+tan α，即tanα=﹣ln x 0，由0＜x 0＜1，可得﹣ln x 0＞1，即tan α＞1，即可得出．【题文】10．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，实数a 、b 、c 满足f (a )f (b )f (c )<0(0<a <b <c )，若实数x 0是方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是( ) A ．x 0<a B ．x 0>b C ．x 0<c D ．x 0>c 【知识点】函数零点的判定定理．L4【答案解析】D 解析：因为f （x ）=（）x ﹣log 2x ，在定义域上是减函数，所以0＜a ＜b ＜c 时，f （a ）＞f （b ）＞f （c ）又因为f （a ）f （b ）f （c ）＜0， 所以一种情况是f （a ），f （b ），f （c ）都为负值，①， 另一种情况是f （a ）＞0，f （b ）＞0，f （c ）＜0．② 在同一坐标系内画函数y=（）x 与y=log 2x 的图象如下，对于①要求a ，b ，c 都大于x 0， 对于②要求a ，b 都小于x 0是，c 大于x 0． 两种情况综合可得x 0＞c 不可能成立 故选D ．【思路点拨】有f （a ）f （b ）f （c ）＜0可得①f （a ），f （b ），f （c ）都为负值；②（a ）＞0，f （b ）＞0，f （c ）＜0，对这两种情况利用图象分别研究可得结论.第Ⅱ卷 （共70分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案填在相应位置上。

11．函数()f x 的定义域为R ，(1)1f -=，对任意x ∈R ，'()f x >3，则()f x >3x +4的解集为 .【知识点】函数的单调性与导数的关系．L4【答案解析】()1,-+∞ 解析：设F （x ）=f （x ）﹣（3x+4），则F （﹣1）=f （﹣1）﹣（﹣3+4）=1﹣1=0， 又对任意x ∈R ，f ′（x ）＞3，∴F ′（x ）=f ′（x ）﹣3＞0， ∴F （x ）在R 上是增函数， ∴F （x ）＞0的解集是（﹣1，+∞），即f （x ）＞3x+4的解集为（﹣1，+∞）． 故答案为：（﹣1，+∞）【思路点拨】构造函数F （x ）=f （x ）﹣（3x+4），由f （﹣1）=1得F （﹣1）的值，求F （x ）的导函数，根据f ′（x ）＞3，得F （x ）在R 上为增函数，根据函数的单调性得F （x ）大于0的解集，从而得所求不等式的解集．【题文】12．已知()()m x x x f ++=cos tan 为奇函数,且m 满足不等式()0192≤--m m m ,则实数m 的值为 .【知识点】函数奇偶性的性质．L4【答案解析】2π±解析：不等式≤0等价于或，解得，或，即有﹣3≤m ＜0或1＜m≤3，①∵f （x ）=tanx+cos （x+m ）为奇函数，∴f （﹣x ）=﹣f （x ），即tan （﹣x ）+cos （﹣x+m ）=﹣tanx ﹣cos （m+x ）， ∴cos （﹣x+m ）=﹣cos （x+m ），∴cosmcosx+sinmsinx=﹣cosmcosx+sinmsinx ， ∴cosm=0，m=k，k 为整数，②∴由①②得，m=±．故答案为：±．【思路点拨】首先解不等式≤0，得到﹣3≤m ＜0或1＜m≤3，①再根据f （x ）=tanx+cos（x+m ）为奇函数，由奇函数的定义，以及应用三角恒等变换公式，求出m=k ，k 为整数，②，然后由①②得，m=±．【题文】13．已知x>0，y>0，，若x+2y>m 2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围 . 【知识点】函数恒成立问题．L4 【答案解析】-4<M<2 解析 ∵，∴x+2y=（x+2y ）=4++≥4+2=8∵x+2y ＞m 2+2m 恒成立，∴m 2+2m ＜8，求得﹣4＜m ＜2，故答案为：﹣4＜m ＜2． 【思路点拨】先把x+2y 转化为（x+2y ）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y ＞m 2+2m 求得m 2+2m ＜8，进而求得m 的范围【题文】14. 已知点O 是ABC ∆的外接圆圆心，且3,4AB AC ==．若存在非零实数,x y ，使得 AO xAB y AC =+，且21x y +=，则cos BAC ∠= . 【知识点】平面向量的基本定理及其意义．L4 【答案解析】32解析：如图所示，∵=x +y ，且x+2y=1，∴﹣=y （﹣2），∴=y （+）， 取AC 的中点D ，则+=2，∴=2y，又点O 是△ABC 的外心，∴BD ⊥AC ．在Rt △BAD 中，cos ∠BAC=．故答案为：，【思路点拨】由=x+y，且x+2y=1，可得﹣=y （﹣2），利用向量的运算法则，取AC 的中点D ，则=2y，再利用点O 是△ABC 的外心，可得BD ⊥AC ．即可得出．三、解答题：本大题共5小题，共50分.15．已知命题p ：任意[1,2]x ∈，有20x a -≥，命题q ：存在0R x ∈，使得200(1)10x a x +-+<.若“p 或q 为真”，“p 且q 为假”，求实数a 的取值范围． 【知识点】复合命题的真假．L4 【答案解析】-1≤a ≤1或a ＞3解析：p 真，任意[1,2]x ∈，有20x a -≥，即2a x £在[1,2]x ∈恒成立，[]21,4x Î， 则a ≤1 …（2分）q 真，则△=（a-1）2-4＞0,即a ＞3或a ＜-1 …（4分）∵“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,∴p,q 中必有一个为真,另一个为假…当p 真q 假时，有a 11a 3ì£ïí-＃ïî得-1≤a ≤1 …（8分）当p 假q 真时，有a 1a 3a 1ìïí-ïî＞＞或＜得a ＞3∴实数a 的取值范围为-1≤a ≤1或a ＞3 …（12分）【思路点拨】先求出命题p ，q 为真命题时，a 的范围，据复合函数的真假得到p ，q 中必有一个为真，另一个为假，分两类求出a 的范围． 【题文】16．已知()322sin()sin(),x 2f x xx x R ππ=++-∈ (1)最小正周期及对称轴方程；(2)已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且 ()f A =3a =,求BC 边上的高的最大值.【知识点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．L4 【答案解析】(1) p , 5,212k x k Z p p =+ ；(2)解析：(1)()2sin 22sin 23f x x x x π⎛⎫=-=--⎪⎝⎭()f x π∴的最小正周期为,52,,32212k x k x k Z πππππ-=+=+∈令得(2)由()f A =sin 20=323A A πππ⎛⎫⎛⎫-=∈∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又A ，， 由余弦定理得222222cos 9=a b c bc A b c bc bc =+-+-≥得9bc ≤即（当且仅当b=c 时取等号）设BC 边上的高为h ,由三角形等面积法知11sin ,322ah bc A h ==≤得2h ∴≤,即h 的最大值为2.【思路点拨】(1) 利用二倍角公式，诱导公式和两角和公式对函数解析式进行化简，利用三角函数图象和性质求得其最小正周期T ，及对称轴; (2) 利用三角形面积公式得到h 和bc 的关系式，进而利用余弦定理得到b 和c 的关系式，利用基本不等式的性质求得bc 的最大值，进而求得h 的最大值．【题文】17．已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n . 【知识点】数列递推式；数列的求和．L4 【答案解析】(1) c n ＝2n －1 (2) S n ＝(n －1)3n＋1.解析：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2， 即c n ＋1－c n ＝2，所以数列{c n }是以c 1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列， 故c n ＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1，知a n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和 S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n，将两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)×3n，所以S n ＝(n －1)3n＋1.【思路点拨】（1）由a n b n+1﹣a n+1b n +2b n+1b n =0，e n =，可得数列{c n }是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求数列{c n }的通项公式；（2）用错位相减法求和．【题文】18．已知向量3(sin ,),(cos ,1)4a xb x ==-．(1)当//a b 时，求2cos sin 2x x -的值；(2)设函数()2()f x a b b =+⋅，已知在△ ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，若 36sin ,2,3===B b a,求()⎪⎭⎫⎝⎛++62cos 4πA x f （0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的取值范围．【知识点】解三角形；平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数的恒等变换及化简求值．L4 【答案解析】(1)85； (2) ()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f 解析：（1）33//,cos sin 0,tan 44a b x x x ∴+=∴=-22222cos 2sin cos 12tan 8cos sin 2sin cos 1tan 5x x x x x x x x x ---===++（2）()2()2sin(2)4f x a b b x π=+⋅=++32由正弦定理得sin ,sin sin 4a b A A A B π===可得所以或43π=A因为a b>，所以4π=A()⎪⎭⎫ ⎝⎛++62cos 4πA x f =)4x π+12-,0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦, 所以()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f 【思路点拨】（1）由//a b 可得，从而可求tanx ，再代入即可人；（2）由正弦定理得sin ,sin sin 4a b A A A B π===可得所以代入可得()f x ，结合已知x可求函数的值域【题文】19．已知函数22()(2)ln 2f x x x x ax =-⋅++.(1)当1a=-时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；(2)设函数()()2g x f x x =--，（ⅰ）若函数()g x 有且仅有一个零点时，求a 的值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若2ex e -<<，()g x m ≤，求m 的取值范围。