九年级数学圆周角定理
圆周角定理的证明
圆周角定理的证明圆周角定理是现代初等几何学中的一个重要定理，它是指：同一个圆周上的两个弧所对的圆周角相等。
这个定理在初等几何中具有非常重要的地位，并且可以应用到各种各样的几何问题中。
下面我们来简要地介绍一下这个定理的证明过程。
首先，我们需要给出圆周角的定义。
圆周角是指以圆心为顶点，以圆周上的两条弧为两条边的角。
圆周角的单位是度或弧度。
接下来，我们来证明圆周角定理。
假设有一个圆，其半径为r，圆心角为θ。
那么我们可以把圆心角分成n个小角度，每个小角度的大小为θ/n，则整个圆周角的大小为θ。
接下来我们将圆分成n个扇形，每个扇形的圆心角为θ/n。
由于圆的周长为2πr，而每个扇形的弧长为(θ/n)r，因此整个圆周被分成了n个弧段，每个弧段的长度为(θ/n)r。
由于n很大，因此这些弧段可以被视为非常小的弧元，于是我们可以将圆周上的弧看成无数个非常小的弧元构成的。
现在，我们来证明同一圆周上的两个弧所对的圆周角相等。
假设我们有两个位于同一个圆周上的弧AB和CD，它们所对的圆周角分别为α和β。
我们可以将这些弧按照相对大小进行排序，即假设AC>BD。
然后我们取一个非常小的弧元E，它在弧AB的右侧。
我们再取一个点F，它在弧CD的右侧，这样E和F可以被视为同一位置的点。
接下来，我们将圆周上从E到F的这段弧分成n个弧元，每个弧元的长度为(α+β)/n。
然后我们用连线将圆周上的每个弧元都连接起来，最后我们得到的是一个角度接近于α+β的扇形。
由于这个扇形的圆心角为α+β，而且它趋近于一个极小角度，因此α+β=2π，即α=β。
综上所述，我们证明了同一个圆周上的两个弧所对的圆周角相等。
这个结论在数学和物理学等各个领域都有广泛的应用。
无论是在平面几何中还是在空间几何中，圆周角定理都是我们解决许多几何问题的重要工具。
九年级下册数学圆周角定理
九年级下册数学圆周角定理一、圆周角定理的定义圆周角定理指的是，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
用数学表达式表示为：在同圆或等圆中，若弧AB与弧CD相等，则AB所对的圆周角∠ACB = CD所对的圆周角∠ADC，且∠ACB = ∠ADC = ∠AOB / 2（其中O为圆心，A、B、C、D为各点）。
二、圆周角定理的证明证明圆周角定理可以采用以下步骤：1. 根据题目给出的条件，作直径上的圆周角。
2. 连接圆心和圆周角的顶点，并将直径平分该角。
3. 由于直径平分该角，所以该角是直角的一半。
4. 由于直角的一半是45度，所以该圆周角等于45度。
5. 根据等腰三角形的性质，我们可以证明圆周角所对的弧等于半圆的弧。
6. 由此可以得出结论，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
三、圆周角定理的应用圆周角定理是解决几何问题的重要工具之一，它可以应用于以下方面：1. 确定圆的中心：通过测量同弧所对的圆周角的大小，可以确定圆的中心。
2. 计算角度：通过圆周角定理，可以计算出圆中任意角度的大小。
3. 证明等腰三角形：利用圆周角定理可以证明等腰三角形的一些性质和判定方法。
4. 解决几何问题：利用圆周角定理可以解决一些与圆有关的几何问题。
四、圆周角定理的推论1. 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，同弧或等弧所对的圆周角相等。
2. 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；反之，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等。
3. 在同圆或等圆中，如果两个圆周角分别是α和β，那么它们所对的弧也满足|α - β| = |⊙o中相等的弧间的比例差|。
这些推论也可以应用于多个等圆的公共点处的情况。
九年级数学圆周角定理
圆周角定理及其运用1、如图，抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，3），平行于x轴的直线CD交抛物线于C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE＋FD的值是。
2、如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D。
（1）求证：OD∥AC；（2）若AC＝8，AB＝10，求AD。
知识点一圆周角定理及其推论【知识梳理】1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
（1）定理有三个方面的意义：A、圆心角和圆周角在同圆或等圆中；B、它们对着同一条弧或所对的弧是等弧；C、具备A、B两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半。
（2）因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
（3）定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立。
因为一条弦所对的弧有两段。
2、圆周角定理的推论：推论①：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。
推论②：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角（90°的圆周角）所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
推论③：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
【例题精讲一】 例1.1、如图，已知A （32，0）、B （0，2），点P 为△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP ＝45°，则P 点坐标为 。
（第1题）（第2题）2、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，则∠B ＝（ ） A ．46°B ．72°C ．64°D ．36°3、如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为 。
（第3 题）（第4 题）4、如图，∠A 是⊙O 的圆周角，则∠A ＋∠OCB ＝ 。
人教版数学九年级上册《圆周角的概念和圆周角定理》教学设计1
人教版数学九年级上册《圆周角的概念和圆周角定理》教学设计1一. 教材分析《圆周角的概念和圆周角定理》是人教版数学九年级上册第五章第二节的内容。
本节主要让学生理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及推论。
教材通过实例引入圆周角的概念，引导学生探究圆周角定理，并通过练习让学生熟练运用圆周角定理解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了八年级的平面几何知识，对图形的性质和变换有一定的了解。
但是，对于圆周角的概念和定理，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过实例和引导，让学生逐步理解和掌握圆周角的概念和定理。
三. 教学目标1.知识与技能：理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及推论，能运用圆周角定理解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、探究等方法，培养学生的空间想象能力和几何思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.圆周角的概念。
2.圆周角定理及推论。
3.运用圆周角定理解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入圆周角的概念，让学生在实际情境中理解圆周角。
2.启发式教学法：引导学生探究圆周角定理，培养学生的几何思维能力。
3.合作学习法：分组讨论，让学生在团队合作中掌握圆周角定理。
4.巩固练习法：通过适量练习，让学生熟练运用圆周角定理解决实际问题。
六. 教学准备1.教材、教案、课件。
2.三角板、直尺、圆规等几何画图工具。
3.练习题及答案。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入圆周角的概念：“在圆形操场上，小明站在圆心，小红站在任意一点，小明观测到小红的角度是多少？”让学生思考并回答，引导学生认识圆周角。
呈现（10分钟）教师通过课件展示圆周角的定义，让学生观察和理解圆周角的特点。
同时，引导学生发现圆周角与圆心角的关系，为学生探究圆周角定理做好铺垫。
操练（10分钟）教师引导学生分组讨论，每组尝试画出几个不同的圆周角，并观察它们的特点。
数学知识点：圆周角定理_知识点总结
数学知识点：圆周角定理_知识点总结在数学的世界中，圆周角定理是一个非常重要的概念，它为我们解决与圆相关的几何问题提供了有力的工具。
接下来，让我们一起深入了解圆周角定理的奥秘。
圆周角的定义首先得搞清楚。
圆周角是指顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。
比如说，在一个圆中，顶点在圆上的角，如果它的两条边都与圆相交，那这个角就是圆周角。
圆周角定理指出：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
这是个关键且核心的定理。
为了更好地理解这个定理，咱们来看几个具体的例子。
假设在一个圆中，有一段弧 AB，那么不管在圆周上取哪个点作为顶点，形成的圆周角的度数都是相等的，并且都等于弧 AB 所对圆心角的一半。
这个定理的证明其实也不难。
我们可以通过连接圆心和圆周角的顶点，然后利用三角形的内角和定理以及圆心角和圆周角之间的关系来进行推导。
圆周角定理有很多重要的推论。
比如，半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
为什么说半圆（或直径）所对的圆周角是直角呢？因为半圆所对的圆心角是 180°，根据圆周角定理，它所对的圆周角就是 90°，所以是直角。
而 90°的圆周角所对的弦是直径，这是因为圆周角是 90°，那么它所对的圆心角就是 180°，而圆心角所对的弦就是直径。
在实际的解题应用中，圆周角定理及其推论的作用可大了。
比如，在证明一些直角三角形与圆的关系时，就经常会用到“半圆（或直径）所对的圆周角是直角”这个推论。
再比如，当我们已知圆周角的度数，要求圆心角的度数时，就可以直接运用圆周角定理来计算。
还有，在计算与圆相关的角度问题时，如果能够巧妙地运用圆周角定理，往往能够使问题变得简单明了。
另外，圆周角定理也和其他的几何定理相互关联。
比如，它和圆的内接四边形的性质定理就有着密切的联系。
圆的内接四边形的对角互补，而当其中一个角是圆周角时，通过圆周角定理和对角互补的性质，我们可以解决很多关于角度计算和证明的问题。
人教版初三上册数学第24章知识点复习：圆周角定理及推论
人教版初三上册数学第24章知识点复习：
圆周角定理及推论
一、圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
①定理有三方面的意义：
a.圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中;(相关知识点如何证明四点共圆 )
b.它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧
c.具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半.
②因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.
二、圆周角定理的推论
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角等于90°;90°的圆周角所对的弦是直径
推论3：如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
三、推论解释说明
圆周角定理在九年级数学知识点中属于几何部分的重要内容。
①推论1是圆中证明角相等最常用的方法，若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立.因为一条弦所对的圆周角有两个.
②推论2中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”
③圆周角定理的推论2的应用非常广泛，要把直径与90°圆周角联系起来，一般来说，当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题创造条件
④推论3实质是直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.
以上就是为大家整理的人教版初三上册数学第24章知识点复习：圆周角定理及推论，大家还满意吗?希望对大家有所帮助!。
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角的概念和圆周角的定理教案
1.理解圆周角的概念，形成对圆周角本质的认识。
2.掌握圆周角定理，提高逻辑推理能力。
3.运用圆周角定理解决实际问题，增强几何直观和空间想象能力。
4.探索圆内接四边形的性质，培养学生的创新思维和解决问题的能力。
4.练习：设计不同难度的练习题，巩固学生对圆周角概念和圆周角定理的理解。
5.拓展：引入圆内接四边形的性质，引导学生探索圆周角与其他圆的性质之间的关系。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观和空间想象能力，通过圆周角的概念和圆周角定理的学习，使学生能够把握图形之间的关系，形成对圆周角本质的理解。
2.提高学生的逻辑推理能力，通过圆周角定理的证明过程，让学生学会运用严密的逻辑推理方法，形成合理的论证过程。
时间：40分钟
【教学目标】
1.理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其应用。
2.培养学生的几何直观和空间想象能力。
3.提高学生的逻辑推理能力和解决问题的能力。
【教学重点】
圆周角定理及其应用。
【教学难点】
圆周角定理的推理过程。
【教学过程】
一、导入（5分钟）
二、新课讲解（20分钟）
1.圆周角的概念
圆周角是圆上任意两点间的两条弧所对的角。
-圆周角定理：圆周角等于其所对圆心角的一半，这是本节课的核心知识，需要学生深刻理解并掌握。
-圆周角定理的应用：在实际问题中，能够正确识别并应用圆周角定理进行问题的解答。
举例解释：在讲解圆周角定理时，可以通过动画或实物演示，让学生直观地看到圆周角与圆心角的关系，强调圆周角定理在解决几何问题中的重要性。
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角的概念和圆周角的定理教案
一、教学内容
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角的概念和圆周角的定理。内容包括：
2.4 圆周角 课件 苏科版数学九年级上册(30张PPT)
知识点 1 圆周角
感悟新知
1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的 角叫做圆周角.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
特别解读 圆周角必须满足两个条件： 1. 顶点在圆上；2. 两边都和圆相交.
2. 圆心角与圆周角的区别与联系
感悟新知
名称 关系
圆心角
圆周角
顶点在圆心
顶点在圆上
区别
在同圆中，一条弧所 对的圆心角只有唯一
一个
特别提醒
感悟新知
1. 求圆中的某一个圆周角时，根据“圆内接四 边形的对角互补”，可以转化为求其内接四边形的 对角的度数.
2. 圆内接四边形的一组对角其实是圆中一条弧 所对的两个圆周角，因此，在同圆或等圆中，相等 的弧所对的圆周角相等或互补.
结构导图
课堂小结
圆周角
概念
圆周角定理的推论 圆周角定理 圆内接四边形的性质
感悟新知
2. 一条弦(非直径)所对的圆周角有两种类型，一类是劣弧所 对的圆周角，是一个锐角；另一类是优弧所对的圆周角， 是一个钝角. 如图2.4-4，弦AB所对的圆周角是∠ACB与 ∠ADB，它们分别是A⌒B所对的圆周角和 A⌒CB所对的圆周角.
特别提醒
感悟新知
1. 一条弧所对的圆周角有无数个. 2. 一条弧所对的圆心角只有一个. 3. 由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相 等，所以也可以说：圆周角的度数等于它所对 的弧的度数的一半. 这两种表述是一致的，解题 时，也可以直接作为定理加以应用.
∴ OB＝12BC．∵ OB＝2， ∴ BC＝2OB＝4．∴⊙A的半径为2．
方法点拨
感悟新知
“90°的圆周角所对的弦是直径”是判定直 径的常用方法．特别是在平面直角坐标系中， 当圆经过坐标原点O 时，连接圆与两坐标轴的 交点，得到的弦是直径．
初中数学人教九年级上册第二十四章 圆 圆周角定理PPT
(2)∵BA=BC，∴∠A=∠C. 由圆周角定理得∠A=∠E， ∴∠C=∠E，∴DC=DE.
27
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知识点三：圆周角定理的推论
合作探究
先独立完成导学案互动探究1、3， 再同桌相互交流，最后小组交流；
1.如图，在⊙O中，弦AB＝3cm，点C在 ⊙O上，∠ACB＝30°.求⊙O直径. 2.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦 ，延长BD到点C，使AC＝AB，BD与CD的 大小有什么关系?为什么?
B A
O A
O B
知识点三：圆周角定理的推论
学以致用
1、如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中
点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( ) C
A.55°B.60°C.65°D.70°
B
A
O
2.如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条
弦，且AB＝ 3，则弦AB所对的圆周角的度 A
数为( )D A.30º B.60º C.30º或150 º D.60º或120º
如果AB＝CD，那么∠E和∠F是什么关系？ O1 D
反过来呢？
C
A
F
结合⑴、⑵你能得到什么结论？
O2
B
21
知识点三：圆周角定理的推论
归纳总结
圆周角定理推理1
同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
∵ AB=CD ∴∠E=∠F
在⊙O中∵∠E=∠F ∴AB=CD
E
A
F
O D
对的弧也相等；②两条弦相等，弦所对的弧也相等；③弦
心距弦心距所对的弦相等；④两个圆周角相等，圆周角所
对的弧相等；⑤弧相等弧所对的弦相等；
C
⑥弧相等弧所对的圆周角也相等。
数学知识点：圆周角定理_知识点总结
数学知识点：圆周角定理_知识点总结
顶点在圆上,它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦.
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆心角定理：
圆心角的度数等于它所对弧的度数。
推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径,高考物理。
圆周角的特点:
(1)角的顶点在圆上;
(2)角的两边在圆内的部分是圆的弦.
圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种:
解题规律:
解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.。
圆周角的定理及推论的应用
圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。
本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。
一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。
一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。
二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。
证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。
由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。
2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。
证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。
则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。
3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。
连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。
因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。
设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。
将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。
4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。
圆周角定理及其推论
圆周角定理及其推论一、圆周角定理圆周角定理是几何学的重要定理，它源于古希腊数学家弥尔顿（Archimedes）的研究。
圆周角定理规定：任何两个正夹角的正弦之积等于它们之间的乘积，也就是学术上说的“正夹角全乘积等于余弦。
”以上是圆周角定理的文字表示，而在数学上，圆周角定理又有如下式子体现：Sin（α+β）= Sinα×Cosβ+Cosα×Sinβ二、圆周角定理的推论1、正弦定理：一个三角形角α，β，γ的正弦值分别为Sinα，Sinβ，Sinγ，那么有Sinα：Sinβ：Sinγ=a：b：c；2、余弦定理：每个三角形角α，β，γ的余弦值分别为Cosα，Cosβ，Cosγ，那么有a2+b2=c2-2abCosγ；3、正切定理：任一三角形角α，β，γ的正切值分别为tanα，tanβ，tanγ，那么有tanα×tanβ=tanγ/1-tanαtanβ；4、正割定理：一个三角形角α，β，γ的正割值分别为cotα，cotβ，cotγ，那么有cotα+cotβ=cotγ/1+cotα cotβ；5、互补定理：任一角α，它的余角β满足Cosα=Sinβ；Cosβ=Sinα；6、倒数定理：对一角α，其余角β均有Secα=1/Cosα；Secβ=1/Cosβ；7、士角定理：一角α，其余角β乘积等于正弦定理，那么Sinα×Sinβ=Cos角γ/2;8、三边定理：任一三角形角α，β，γ的边长分别为a，b，c，那么有a/(Sinα)=b/(Sinβ)=c/(Sinγ)；9、兰勃托定理：一个等腰三角形，其底边和对边相较于当前对角之正弦的比值之和等于1，也就是说：Sinα/(a/2)+Sinβ/(a/2)=1；10、马克斯定理：一个三角形边长abc，那么有cosA+cosB+cosC=4cosA/2cosB/2cosC/2=3/2。
人教版初中九年级上册数学课件 《圆周角》圆(第1课时圆周角及其定理)
A．140° C．60°
B．70° D．40°
8
5．某小区新建一个圆形人工湖，如图所示，弦 AB 是湖上一座桥，已知桥 AB 长为 200 m，测得圆周角∠ACB＝45°，则这个人工湖的直径 AD 长为___2_0_0__2_____m.
9
6．如图，在⊙O 中，弦 AC＝2 3，B 是圆上一点，且∠ABC＝45°，则⊙O 的 半径 r＝___6___.
17
解：(1)∵∠APC＝∠CPB＝60°，∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，∴∠ABC ＝∠BAC＝60°，∴△ABC 为等边三角形．
(2)PC＝PA＋PB．证明：在 PC 上截取 PD＝PA，连接 AD．∵∠APC＝60°，∴ △APD 是等边三角形，∴AD＝PA＝PD，∠ADP＝60°，∴∠ADC＝120°.又∵∠APB ＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB．又∵∠ACP＝∠ABP，∴△APB≌△ ADC(AAS)，∴PB＝DC．又∵PD＝PA，∴PC＝PA＋PB．
18
︵ (3)在AB上任取一点 P，过点 P 作 PE⊥AB，垂足为点 E，过点 C 作 CF⊥AB，垂足 为点 F.∵S△APB＝12AB·PE，S△ABC＝12AB·CF，∴S 四边形 APBC＝12AB·(PE＋CF)．当点 P
︵ 为AB的中点时，PE＋CF＝PC 最长，即 PC 为⊙O 的直径，此时四边形 APBC 的面 积最大．又∵⊙O 的半径为 1，∴易得等边三角形的边长 AB＝ 3，∴四边形 APBC 的最大面积为 S 四边形 APBC＝12×2× 3＝ 3.
A．16° B．32°
C．58° D．64°
分析：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，∴∠A＝90°－ ∠ABD＝32°，∴∠BCD＝∠A＝ 32°.
初中圆周角定理
初中圆周角定理圆周角定理是中学数学中非常有重要的定理之一，它是由欧拉和塔利·布拉斯发现的，被广泛应用于日常生活中和许多学科中，特别是在数学和物理中。
下面我们来详细了解一下圆周角定理。
一、圆周角的定义在一个圆形中，圆心与圆上任意两个点所构成的角称为圆周角。
圆周角的大小是按照它所对应的圆弧长来计算的。
当圆周角的度数等于360°时，它就成为了一个完整的圆周。
1.圆周角等于半圆角：一个圆的直径所对应的半圆角是90 °。
因此，圆周角的度数显然是180°。
2.圆周角的大小只取决于圆弧的长度：在一个圆中，对于任意给定的圆弧，其所对应的圆周角的大小都是唯一确定的。
这就意味着，一旦我们知道了圆周角所对应的圆弧的长度，我们就能够准确地计算出圆周角的大小。
3.在同一条弦上的圆周角相等：当只考虑圆弧时，同一条弦上的圆周角大小是相等的。
4.在相等的圆弧所对应的圆周角也是相等的：如果两个圆弧的长度相等，那么所对应的圆周角大小也是相等的。
三、如何计算圆周角的大小在许多情况下需要计算圆周角的大小，下面我们来介绍一些实用的方法：1.使用弧度制：我们可以把圆周角大小表达成弧度制，其中1弧度对应的是圆弧的长度等于半径的弧长。
因此，我们可以利用圆弧长度和半径的关系简单地计算出弧度数。
2.使用角度制：如果需要在角度制下计算圆周角的大小，我们可以利用公式：圆周角的大小 = 圆弧的长度× 180°/πr。
其中，π是圆周率，r是圆的半径。
3.用正弦、余弦和正切函数来计算：如果我们知道圆周角的一个角度和半径的大小，我们可以使用三角函数来计算圆周角的大小。
我们可以使用下列公式来计算正弦、余弦和正切函数值：sinθ= a/r，cosθ=b/r，tanθ=a/b，其中，a和b是圆周角的两条边的长度，而r是圆的半径。
四、应用圆周角定理在许多应用中都有很大的作用，以下是一些典型的应用：1.在工程学中，圆周角定理有助于计算圆形结构中的挠曲和变形。
专题04 圆周角定理(解析版) -2021-2022学年九年级数学之专攻圆各种类型题的解法(人教版)
专题04 圆周角定理1.圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理及其推论定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC 与∠BOC 存在怎样的数量关系.推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．3.圆周角与圆心角的关系中圆心的位置存在的情形（1）圆心O 在∠BAC 的一边上（如图甲）（2）圆心O 在∠BAC 的 内部（如图乙）（3）圆心O 在∠BAC 的外部（如图丙）甲 乙 丙4.圆周角和直径的关系概念规律 重在理解12BAC BOC ∠=∠半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.5.方法总结在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．6.圆内接四边形如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.推论1：圆的内接四边形的对角互补.推论2：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．典例解析掌握方法【例题1】（2021湖南邵阳）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB 的大小为（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B【解析】由圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝60°，继而∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．∵∠BAC与∠BOC所对弧为，由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，又∠AOC＝90°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．【例题2】（2021黑龙江鹤岗）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为cm．【答案】5．【解析】连接OC，证明△AOC是等边三角形，可得结论．解：如图，连接OC．∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝5（cm），∴⊙O的半径为5cm．【例题3】如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？【答案】见解析。
人教版九年级数学上《圆周角》知识全解
圆周角概念定理推论满足两个条件计算与证明计算与证明《圆周角》知识全解课标要求1．理解圆周角的概念，让学生探索和掌握圆周角定理，并能灵活地应用圆周角定理解决圆的有关说理和计算问题；2．让学生在探究过程中体会“由特殊到一般”、“分类”、“化归”等数学思想；3．培养学生观察、比较、分析、推理及小组合作交流的能力和创新能力，通过解决问题增强自信心，激发学习数学的兴趣．知识结构内容解析一、圆心角、圆周角的定义及其度量1．圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；圆心角的度数等于它所对的弧的度数．2．圆周角：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．3．区别：(1)顶点的位置不同：圆心角的顶点在圆心，而圆周角的顶点在圆周上．(2)与所对弧的关系不同：圆心角的度数与它所对弧的度数相等，圆周角的度数是它所对弧度数的一半．联系：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．二、圆周角与圆心角的关系1．同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；它包含两层含义：（1）圆周角与圆周角的关系：同弧或等弧所对的圆周角相等．这是圆中论证角相等非常重要的依据．（2）圆周角与圆心角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．圆周角和圆心角关系的纽带是“弧”，该“弧”确定了圆周角和圆心角的位置关系．2．半圆（或直径）所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）；90°（直角）的圆周角所对的弦是直径．它包含两层含义：（1）这时圆中最特殊的弦（直径）产生了最特殊的角（直角），体现了特殊的位置确定特殊的结果；（2）这个结论为在圆中确立直角，构造垂直关系创造了条件．在圆中见直径应联想到直角，圆周角是直角联想到直径，简记为：直径对直角，直角对直径．重点难点本节的重点是：经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程；教学重点的解决方法：为了突出重点，我设计了一系列的探究活动由浅入深，循序渐进．①一条弧对的圆心角有几个，圆周角有几个？②圆心与圆周角有几种位置关系? 当学生摆出三种位置关系时，教师提问是否还存在其他的位置关系，是否有遗漏？当确定只有这三种位置时，作出三个图中的圆心角，③同一条弧所对的圆周角∠BAC与圆心角∠BOC 的度数，你有什么发现等等．本节的难点是：了解圆周角的分类，用化归思想合情推理验证“圆周角与圆心角的关系”．教学难点的解决方法：为突破难点，在学生验证猜想时，教师要给学生充分探索的时间和空间，因为难点处是学生互相学习互相交流思维的最佳时机，相信学生的思维闪光点也正是在学生互相讨论中挖掘出来的．若学生一时难以找到证明的途径，教师提示可把第二类圆内部的图形想象成一面三角旗、则第一类、第三类分别想象成两面三角旗合并、两面三角旗叠成，化抽象为具体、化一般为特殊．向学生有机渗透“由特殊到一般”、“分类”、“化归”等数学思想．教法导引根据教材本身探究性较强的特点，我以“探究式教学法”为主，讲授法、发现法、分组交流合作法、启发式教学法等多种方法相结合的教学模式实施教学，由浅入深，鼓励学生采用观察分析、自主探索、合作交流的学习方式，让学生经历数学知识的形成与应用过程．俗话说：“听不如看，看不如做”．在新课教学时，借助教具学具的演示，使学生非常直观地掌握圆周角的特征，并且为学生如何使用学具完成一系列的探究活动做了很好的示范．为了简便快捷地充分利用好学具，我将学具中的塑料棒改为皮筋．学具的使用不仅激发了学生兴趣，充分调动了学生的学习积极性，使学生乐于探索，还体现了自主、探索、合作与实践的学习方式，让学生成为了学习的主人，让学生的主体意识、能动性得到了发展．学法建议探究式学习和有意义接受式学习都是学生的重要学习方式，本课尝试做两者相结合的学习方式的指导．力图转变学生以往只是认真听讲、单纯记忆、练习巩固的被动学习方式．引导学生在动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知和发展能力，与此同时教师通过适时的精讲、点拨使观察、实验、猜想、验证、归纳、推理贯穿整个学习过程．。
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探索：圆周角和圆心角的关系
A
D
24
●
C
O
13
B
∠ABC 与∠AOC的关系是
∠AOC =2∠ABC
∠4= 2∠3
1 ABC AOC 2
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
在⊙O中
A C
●
1 ABC AOC 2 或 ∠AOC =2∠ABC
思考与巩固
⌒ ⌒ 1.如图,在⊙O中,劣弧AD的度数是50°，优弧BFC 的度数是190°，求∠BEC的度数。 A
D C E O B
F
拓展 化心动为行动
D B
●
A E
O C
C
●
O
B
A
(3) 1.如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为 什么?
(2)
2.如图(3),BC是直径,你能确定∠A的度数吗?
不是
不是
是
不是
不是
想一想
类比圆心角探知圆周角
• 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等. • 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？ 为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周 角和圆心角之间有的关系. A
C
●
பைடு நூலகம்
O
B
⌒ 位置关系：圆周角∠ABC所对的弧是 AC 。 ⌒ 圆心角∠AOC所对的弧是 AC 。 ⌒ ∠ABC 与∠AOC所对的弧是 AC 。 同弧所对的圆周角与圆心角 数量关系：连接BO并延长交⊙O于D
如图，D是弧BC的中点， （1）找出与∠DBE相等的角； （2）找出与△DBE相似的三角形
B E D C A
； 红包群 / 红包群 ；
者来到了这间酒楼中丶根汉并没有用天眼去扫视外面,而是在自己の屋外,布上了壹座简单の法阵,用作隔开,防止别人扫视自己元灵丶果然,没壹会尔,自己屋外便传来了脚步声丶声音还很清晰,根汉可以听见小二说话の声音："客官,您の房间就在这里了,需要给您准备洗澡水吗?""不用了,你下去 吧丶"对方の房间,就在根汉の隔壁,小二立即离开了,对方进入了隔壁の房间丶"还真是巧呀丶"根汉心头暗想,这个家伙正巧住在自己隔壁,这就有些意思了,难道是冲自己来の?对方进入房间,连法阵也没有布置,根汉甚至可以清楚の听到隔壁の细微の声音丶好像是对方在解衣服の声音,对方坐在桌 子旁边,给自己倒了壹杯水,似乎要喝水了丶"有意思。"很快又传来了,疑似对方躺在铺上の声音,没壹会尔就传来了对方打呼噜の声音丶对方很快就安祥の睡着了,至始至终,也没有布下哪怕半座法阵丶这令根汉感觉很稀奇,壹般来说,修仙者在外面打尖住店,几乎都会布置法阵の丶因为这毕竟是修 仙界,谁又能保证自己绝对の安全呢,反倒越是这样随性の人,壹般实力都不会弱丶刚刚根汉就感应到了,对方最弱也是壹位魔仙强者,而且可能是壹位高阶,甚至是接近大魔仙の魔仙强者丶要不然,他不可能半夜惊醒,还特别有感应丶"五号城虽是八大外城之壹,看来这里の强者还是多如牛毛呀,正巧 了,现在这个点,咱可以出去布置聚元灵阵了。"根汉刚刚也睡了有两个时辰了,差不多了,现在城中大部分修仙者都休息了,是时候出去布置法阵了丶他没有再睡了,醒了就干脆离开了这里,带上自己の阵环神石,开始围着这五号外城悄悄の布置聚元灵阵去了丶。时间壹晃,便是壹个月过去了丶根汉 每天白天睡觉,晚上出没,围着这五号外城,悄悄の布置聚元灵阵丶由于聚元灵阵,需要两重法阵の组合,首先要布置壹座巨大の阵环法阵,然后再在里面加上聚元灵阵の阵线丶最终二者合二为壹,成为真正の聚元灵阵,才能起到应有の效果丶这壹个月の时间过去了,根汉终于是完成了阵环法阵の布置 了,整个五号外城,都被他の阵环法阵给悄悄の包裹起来了丶这几乎花掉了,之前根汉手里所有の阵环神石了,而多余の阵纹线の话,自己也没有空去揉了,正好差不多够了丶接下去の事情,就是布置聚元灵阵の阵纹了,让两者顺利の结合丶。时间转眼又过了壹个月丶这壹天,在五号外城の地底下,深 达数万米の地方,有壹座闪烁の洞府丶根汉出现在了这里,地底下の石隙间,被根汉清理出了壹个足球场大小の空间丶这里面,被他弄出了生活区,还有休闲区,另外还放了两艘现代化の飞船,这是做为他以后の主要の区丶洞府の四周,还有数十万道阵线,与周围土地壹样颜色の阵线,发散向四面八方, 连接着上面の五号外城丶这座全新の聚元灵阵,被根汉顺利の完成了,而在洞府の入口处,还悬着黑铁剑,做为整个聚元灵阵の阵眼之壹丶这壹天,五号外城现在还是夜晚,根汉の洞府内却是亮如白昼,根汉盘腿坐在壹片巨石上,双目紧闭,双手迅速の捏出壹系列复杂の手印丶随着他手速越来越快,壹 团团の神光,从他の体内溢出来,顺着黑铁剑,向数十万道阵线上涌上去丶"开。"根汉大喝壹声,黑铁剑猛の转了起来,与此同时,根汉右手腕上の九龙珠环,也适时の闪烁了起来丶"呼。"数十万条阵线,悄悄の向上延伸,壹直深入到了五号外城の大地上丶与此同时,五号外城外面の,巨型の聚元灵阵, 也悄然运转了起来丶根汉の元灵之力,顺着这数十万道阵线,悄悄の渗进了聚元灵阵中,五号外城の天空上闪过壹瞬の金光,但是马上又消失不见了丶"呼。"大概过了壹个时辰后,洞府外の黑铁剑发出了壹声嗡鸣,与之相连の数十万道阵线,此时开始亮了起来丶有各种颜色の元灵之气,顺着阵线往黑 铁剑汇聚过来,黑铁剑立即被这些神光给缠绕住了,黑铁剑立即高速旋转起来丶与此同时,根汉の手腕处传来了壹阵温热之流,九龙珠环也亮了起来,有元灵之气,从那边传了过来丶这座聚元灵阵,他壹共设置了两个阵眼,壹个是主阵眼黑铁剑,还有壹个就是这九龙珠环丶九龙珠环传来了元灵之气,顺 着根汉の胳膊,经脉,立即渗进了他の体内,进入到了他の气海,涌向了根汉の元灵深处丶"果然美妙无比。"仅仅是过了壹会尔,根汉の脸色就有些发红了,整个身子都变得温暖起来,有元灵之气开始滋润他の金色元灵了丶金色元灵得到滋润,修为也在悄然之间,就开始往上涨了丶就刚刚这么小半个时 辰の功夫,吸收到の元灵之气,相当于根汉自己修炼好几年の时间了丶"现在外面の人,应该没有察觉吧,咱得出去看看。"毕竟是刚刚开始运转聚元灵阵,根汉还有些不放心,怕外面の人发现他の聚元灵阵丶他立即从地底出来了,起码外面の五号外城の街道上,众多修仙者现在并没有半点异常丶这里 有二三百亿修仙者,自己吸收到の那壹丁点元灵之气,平摊到每个修仙者の元灵身上,几乎可以忽略不计の丶不过根汉还是扫到了壹些高手,来应证他の猜测,起码居住在他旁边の那个家伙,现在还是壹如既往,在屋里睡觉他似乎也没有察觉丶"看来可以这么干了,大胆の开始吧丶"根汉再壹次沉入地 底,开始了自己の闭关修炼大计了丶。浩瀚仙城,仙主府丶最高の那座大殿顶部,壹道紫裙靓影,此时正站在那里如仙妃壹般安静丶"大人。"不壹会尔,壹个红裙女子,出现在这个紫裙女人の面前向她汇报："好像没有发生什么,是不是您の直觉出错了呢?"就在刚刚不久前,紫天感觉到,那西面方向,好 像有壹道神光闪过,但是马上就消失不见了丶于是乎,她便让这个仙师,下去查壹查丶"西面の五号和六号外城,你都查了吗?"紫天还是有些不放心丶女仙师说："咱都细细の查了壹遍,还找了两个外城城主,他们都没有什么发现丶""都没有发现吗?"紫天喃喃自语,抬头看着星空,对她说："你下去吧。 ""是大人。"女仙师立即离开了,紫天则是自言自语,神情有些凝重"咱怎么感觉有些不对劲呢。""看来,咱还得亲自去看壹看丶"。『加入书签,方便阅读』肆叁10金娃娃『部分节错误,点此举报』壹百年后,南风圣城丶城主府外,来了壹个浑身闪烁着金光の胖子丶"走走走,咱们这里没有你要找の人, 赶紧走哈。""再不走咱要打人了哈。""赶紧の。"胖子来这里,声称要叫小叶子,结果被守卫给轰出去了丶没多久后,胖子又来到了叶家宅院丶刚刚到这里,胖子の嘴角便露出了笑意："应该就是这里了。""小叶子,快出来接客了。""来生意了。"胖子哈哈笑了笑,声音传进了宅院内丶院内,魔石正躺 在温泉池中泡澡,突然听到这个声音,眉头也微锁了起来丶"你是何人?"魔石回声问丶"你是谁?你不是小叶子?你是壹个男人,小叶子不会这么重口味吧?""那小子竟然找了壹个男人?""哦,咱の天哪。"胖子の声音,传到院内,极其の夸张,猥锁丶"你到底是谁。"魔石神色凝重,他不知道这个家伙,所说 の小叶子,是不是指の就是根汉丶"臭小子。"下壹秒,胖子直接就走了进来,出现在了魔石面前丶把魔石给吓了壹跳,胖子扫了他壹眼,表情夸张の说："根汉那小子品味是真差呀,这么丑の他也看得上眼?有没有搞错?起码弄个细皮嫩肉の男人呀!""呃。""你,你到底是谁?"魔石神色壹紧,立即从池中 冲了上来,周身闪烁着壹团煞气,眼看就要冲过来丶"别紧张,小屁孩。"金胖子咧嘴笑了笑,右手壹摆,魔石身上の这壹团煞气便消失了丶魔石在他面前,似乎不堪壹提,完全不是金胖子の对手而且金胖子竟然可以破开这里の法阵封印丶"你认识叶大哥吗?"魔石低声问丶这个死胖子の实力,似乎远远强 于他,即使他现在是魔仙强者了,在对方面前,也毫无还手之力丶这种实力不济の无力感,当真是太打击人了丶"叶大哥?"金胖子还在开他の玩笑："没听说那小子还有弟弟呀,不会是他爸和他妈,又跑出来生了壹个吧?""呃。"魔石壹阵无语,不过也基本上可以断定,这个死胖子应该和根汉很熟了丶被 死胖子调侃了好壹阵,他才知道,这个死胖子原来是根汉の三师兄,又叫金娃娃丶这回是来找根汉の,不过魔石也只有遗撼の告诉他,根汉现在不在这南风圣城,他于百年前离开了丶"不过你若是想找叶大哥の话,可以去浩瀚仙城,或者是与之相邻の地方看壹看,也许他