数学：2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》课件(苏教版必修4)
平面向量的基本定理及坐标表示课件-2025届高三数学一轮复习
2
3
2
故
1
2
=
1
−
2
1=−
−
1
3
⇒
5
=
7
6
=−
7
,
6
6
2
8
所以= = + ,λ+μ= ,故B选项错误;
7
7
7
7
1
2
=-=- + ,
3
3
5
2
1
2
7
因为= ,所以= =- + ,故= ,C选项正确;
7
7
7
7
3
6
6
2
1
因为= ,所以S△ABM= S△ABF= S△ABC= S,故D选项正确.
(
,
).
3
3
2.如果对于一个基底 1 , 2 ,有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,那么可以得到λ1=μ1,λ2=μ2.
特别地,若λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0.
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
题号
1
2
4
3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在△ABC中,{,}可以作为基底.(
等分点,记=a,=b,则下列说法正确的是(
A.点M,N,E三点共线
9
B.若=λa+μb,则λ+μ=
7
7
C.=
3
1
D.S△ABM= S,S为平行四边形ABCD的面积
7
)
【解析】选ACD.如图所示:
第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
高中数学苏教版必修四《2.3.1 平面向量基本定理》课件
∴λ12b＋12c－μ23c－b＝b. 整理得12λ＋μb＋12λ－23μc＝b.
(10 分)
∵b、c 不共线，∴1212λλ－＋μ23＝ μ＝1， 0，
解得λμ＝＝4535，，
(12 分)
【题后反思】 用向量解决平面几何的问题时，常选取两个不 共线的向量作为基底，将相关向量用基底表示，进行向量的线性 运算求解．
由 C，E，M 三点共线知存在实数 n，满足A→E＝nA→M＋(1－n)A→C ＝12na＋(1－n)b.所以13mb＋(1－m)a＝12na＋(1－n)b，
由于 a，b 为基底，所以113－ m＝m＝ 1－12nn， ，
解得mn＝＝4535，，
所以
A→E＝25a＋15b.
规律方法 将两个不共线的向量都作为基底表示其他向量， 基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不 断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或 方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
么对于这一平面内的 任一 向量 a， 有且只有一对实数 λ1，λ2，
使 a＝ λ1e1＋λ2e2
.
(2)基底：把 不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向 量的一组基底．
2．正交分解 一个平面向量用一组基底 e1，e2 表示成 a＝λ1e1＋λ2e2 的形式， 我们称它为向量 a 的 分解 ，当 e1，e2 所在直线互相 垂直 时 ， 就称为向量的正交分解． 试一试：如何说明平面向量基本定理中 λ1，λ2 的唯一性？ 提示 平移向量 a，e1，e2，使它们共起点，以 a 为对角线．在 e1，e2 方向上作平行四边形，则这个平行四边形是唯一的．因此 a 在 e1，e2 案 ③
苏教版高中数学必修四课件平面向量的坐标表示与运算.pptx
小结反思
OA a (x1, y1),OB b (x2 , y2 ) a b (x1 x2 , y1 y2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 )
a (x1, y1)
AB OB OA (x2 x1, y2 y1)
作业 课本P75习题2.3-------1 , 4
y
M (4,3)
0 x
学生活动
问题2：在平面直角坐标系中，向量 OM 的 长度与方向是如何确定的？
y
M (4,3)
0 x
学生活动
问题3：这样一来，向量 OM 就可以用哪个 点的坐标来表示？反之，若点 M 的坐标 是 (4,3) ，则点 M (4,3) 对应的向量是什么？
y
M (4,3)
0 x
学生活动
量 i, j作为基底，则
a xi y j
数学应用
例1 已知O是坐标原点，点A在第一象限，
| OA | 4 3, xOA 600 ，求向量 OA 的坐
标。OA (2 3,6)
y
A
B
600
x
O
变式:若∠XOB=1500 ,OB=2,则向量 OB的
坐标是____(__3_,1_) .
构建数学 当向量用坐标表示时，向量的和、差以
数学应用 例3 已知 P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 ), ,P是直线 P1P2 上
一点,且 P1P PP2 ( 1) ,求点P的坐标;
及向量的数乘也都可以用坐标来表示；
a (x1, y1),b (x2 , y2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 )
a (x1, y1)
构建数学
苏教版高中数学必修四课件十二2.3.2平面向量的坐标运算
求向量OA,OB, AO,CD的坐标。 ｙ
注意： OA CD
两向量坐标相同
练习：P733
A Ｏ
Ｄ
C ｘ
B
例3：已知 P1(x1, y1), p2 (x2 , y2 ) 点P是直线 P1P2上一点，
且 P1P PP2( 1) ，求点P的坐标
课堂小结
平面向量的坐标运算.
(1)若a (x1, y1),b (x2, y2),则 a b (x1 x2 , y1 y2 ),
例1．已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，a-b，
3a+4b的坐标．
解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）； a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）； 3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）
例2：如图已知A1，3，B1， 3，C4,1, D3,4
y
得
a=xi+yj．
j
（x，y）叫做向量a的坐标，记作
Oi
a=(x,y)
那么i=（，10） j（，01）
0=（，00）
a x
概念理解
1．以原点O为起点作，OA点Aa的位置由谁确定?
由a唯一确定
y
2．点A的坐标与向量a的坐标的关系？
N
a A (x,y)
a=(x,y) OA=xi+yj=OM+ON
a
a b (x1 x2 , y1 y2 ), a ( x1, y1)
(2)若A(x1, y1), B(x2 , y2 ),
AB (x2 x1, y2 y1)
高中数学第二章平面向量2.1.2平面向量基本定理与平面向量坐标表示课件苏教版必修4
M
C
A
B
例２：
如图，质量为m的物体静止地放在斜面上， 斜面与水平面的夹角为，求斜面对物体 的摩擦力为f.
-f P f
w
例3.设 e1 , e2 是平面内的一组基底,如果 AB 3e1 2e2 , BC 4e1 e2 , CD 8e1 9e2
a me1 ne2 (4)向量e1 3e2与- 2e1 6e2不能作为平面向量基底.
数m,n使
问题1:什么是向量的正交分解?
在平面上，如果选取互相垂直的 向量作为基底时，会为我们研究问题 带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系，每一 个点都可用一对有序实数（即它的坐标） 表示，对直角坐标平面内的任意一个以原 点O为起点的向量，如何表示？
3、如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线的向
λ 数对实数 λ 1 、 2 ，使 a =λe 1 1 +λ 2 e2
，则 λ λe 1 =λ 2 =0 1 1 +λ 2 e2 = 0
e1 、e2 是平面内的一组基底，若实数 λ λ 2、 1、 2使
解：由图可知 a=AA1+AA2=2 i+3 j, ∴ a=(2,3) c=-2 i-3 j=(-2,-3) A1 d=2 i-3 j=(2,-3)
平面向量的坐标表示
y
y M(4,3) a A(X,Y) a
O
OM (4,3)
x
j i
O
x
a xi y j
a ( x, y)
练习 如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、 d ,并求出它们的坐标。
高中数学2.3.1平面向量基本定理教案苏教版必修4
2.3.1 平面向量基本定理教学目标：1．了解平面向量的基本定理及其意义；2．通过定理用两个不共线向量来表示另一向量或将一个向量分解为两个向量； 3．能运用平面向量基本定理处理简单的几何问题．教学重点平面向量基本定理的应用；平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示． 教学难点：平面向量基本定理的理解.教学方法：引导发现、合作探究.教学过程：一、创设情境，揭示课题问题1 研究火箭升空的某一时刻的速度． 问题2 物理中的力的分解． 二、学生活动1．火箭升空的某一时刻的速度可分解为在竖直向上和水平向前的分速度.2．l 1→，l 2→是两个不共线的向量，a 是平面内的任一向量，如何将a 分解到l 1→，l 2→方向上去？三、构建数学 平面向量基本定理：探索 （1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是惟一的？ （2）对于平面上两个不共线向量1e r ，2e r ，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？ 教师引导学生分析设1e r ，2e r是不共线向量，a 是平面内任一向量．−→−OA =1e r −→−OM =1λ1e r −→−OC =a r =−→−OM +−→−ON =1λ1e r +2λ2e r−→−OB =2e r −→−ON =2λ2e r平面向量基本定理：如果1e r ，2e r是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a r ，有且只有一对实数1λ，2λ，使a r 1λ=1e r +2λ2e r ．我们把不共线向量1e r 、2e r叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；这个定理也叫共面．．向量定理. 注意：（1）1e r ,2e r均是非零向量，必须不共线．．．，则它是这一平面内所有向量的一组基底. （2）基底不唯一，当基底给定时，分解形式唯一；1λ，2λ是被a r ，1e r ，2e r唯一确定的实数．（3）由定理可将任一向量a r 在给出基底1e r 、2e r的条件下进行分解；同一平面内任一向量．．．．都可以表示为两个不共线向量的线性组合.（4）20λ=时，a r 与1e r 共线；10λ=时，a r 与2e r 共线；120λλ==时，0a =r r ． 基底：我们把不共线的向量1e r ,2e r叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．正交分解：一个平面向量用一组基底1e r ,2e r 表示成a r 1λ=1e r +2λ2e r的形式，我们称它为向量a r 的分解，当1e r ,2e r 所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a r的正交分解．思考 平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系？四、数学运用 1. 例题.例 1 平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，=−→−AB a r ,=−→−AD b r ,试用向量a r ,b r 表示−→−MA ,−→−MB ,−→−MC ,−→−MD ．1e r2e ra COBAP例2 如图2-3-4，质量为m 的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为θ，求斜面对物体的磨擦力→f ．例3 已知向量12,e e r r，求作向量-2.51e r ＋32e r作法：（1）取点O ，作−→−OA =-251e r −→−OB ＝32e r ；（2）作OACB ，−→−OC 即为所求-251e r ＋32e r．例4 设1e r ,2e r 是平面内的一组基底，如果−→−AB ＝31e r -22e r ，−→−BC ＝41e r ＋2e r ,−→−CD ＝81e r -92e r．求证：A ，B ，D 三点共线．变式 设12,e e r r 是两个不共线的向量，已知−→−AB ＝21e r ＋k 2e r ,−→−CB ＝1e r ＋32e r ,−→−CD ＝21e r -2e r，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．解 −→−BD ＝−→−CD -=−→−CB (21e r -2e r )-(1e r ＋32e r )＝1e r -42e r ,∵A ，B ，D三点共线，∴−→−AB 与−→−BD 共线,即存在实数λ,使得−→−AB ＝λ−→−BD ， 即是12122(4)e ke e e λ+=-r r r r.由向量相等的条件，得24k λλ=⎧⎨=-⎩，∴8k =-．例5 如图，−→−OA 、−→−OB 不共线，t AP =−→−−→−AB )(R t ∈, 用−→−OA 、−→−OB 表示−→−OP .变式1 如图,−→−OA ，−→−OB 不共线，P 点在AB 上，求证：存在实数1.=+μλμλ且 使−→−−→−−→−+=OB OA OP μλ.变式2 设−→−OA ,−→−OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且−→−−→−−→−+-=OB t OA t OP )1()(R t ∈．求证：A 、B 、P 三点共线．2．巩固：教材P71练习． 五、小结f－fWθθ P1．熟练掌握平面向量基本定理，平面向量基本定理的理解及注意的问题；2．会应用平面向量基本定理.充分利用向量的加法、减法及实数与向量的积的几何表示．。
高中数学必修四《平面向量的基本定理》PPT
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
数学：2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》课件(苏教版必修4)
学习目标:
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算； （3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
两个非零向量平行（共线）的充要条件
设a x1 , y1 , b x2 , y2 (b 0)
解: a // b
4y 2 6 0 y3
Байду номын сангаас
例2若向量 且方向相同，求x
a =(-1，x)与 b=(-x， 2)共线
解：∵
a =(-1，x)与 b =(-x， 2) 共线
∵
∴(-1)×2- x•(-x)=0
a 与b方向相同
∴x=
2
∴x=±
2
练习:
当且仅当存在实数 ,使
即a // b a b
a b
a // b x1 y2 x2 y1 0
注:（1）消去λ时不能两式相除
（2）充要条件不能写成
y1 y2 x1 x2
例1已知
a =(4，2)， b =(6， y)，且 a ∥ b ，求 y.
∴AB∥CD
小结:
（1）平面向量的坐标的概念；
（2）平面向量的坐标运算； （3）根据向量的坐标，判断向量是否共线.
作业:
课本P 3~5 113练习
； /2011/qilu/ 齐鲁制药
vgd58wjw
么啊？”我一边扒着米饭，不加思索地问道。“只是姐姐有事要做，要赶紧把碗筷送回去。”仁轩说罢，像是一个说错话的小 孩，马上把头低了下去。我听罢，更不好意思再慢悠悠地吃了，连忙三下五除二地把饭菜消灭干净，再整整齐齐摆好餐具端回 给仁轩手上，并说着些感谢他姐姐为我做饭菜等等的客气话。仁轩端回餐具，起身正准备离开，突然转身向我问道：“哥哥， 你叫什么名字啊？”我又这么一惊，又很不好意思地意识到，直到现在我还是个别人仁家一家子都不认识的陌生人。等等，现 在还不能透漏我身份证上的名字吧，虽说不知道这是一个怎样的世界，但是假如我说出我的姓名而影响了我所处的那个世界的 历史的话，我还是不要让自己的真名流传开为好。急中生智是很强大的，我又一次不假思索地答道：“我叫莲，姓氏就不方便 透露了。”其实我取这个名字，是出于穿越前我正在追的一部漫画，当中的男主角被人叫做莲先生，长得可真帅气真高大啊。 “好的，我会替莲哥哥把你刚才感谢姐姐的话说给姐姐听的。”说罢，仁轩就转身走开了。这仁轩真是个讨人喜欢的孩子啊！ 心里又开始感叹万分。吃饱了没事做，而且头昏了这么久，现在也全无睡意，倒不如去庭院散散步，反正这仁家也就这三人， 也不怕遇到什么其他人，除了仁老夫人外，因为我真不敢直接和这么封建得如此有代表性的人物谈话。夜幕也终于降临了，但 是风还是不减；月亮恰被云层遮住，虽已看不见柳叶，但是还是能听到清脆的拂叶之声。院子里已经变得漆黑黑的，也许古时 的夜才算是真正的黑夜，是少了繁华都市的霓虹灯的缘故吧。正当我在无限遐想的时候，发现有一身影匆匆掠过，并消失于院 子门外。我又是一惊，但是却下意识知道了这个人是谁了。更往深一层想去，感觉到情况大为不妙，这搞不好会出人命。于是， 我也急急忙忙地跟了上去。这陌生城市的大街小巷可真难辨认，尤其是没有现代路灯的指引，只靠偶尔会出现的月光的牵引来 行进，这可真苦了我。还好，月亮在与云朵淘气了一番之后，还是乖乖地露出脸来。这月光真突出一个亮，想必也是这只有月 光的缘故吧！跟着黑影在小巷里兜兜转转，接着又在没有一个人儿的大街上你走我跟的，最后是来到了湖边。这下我就完全知 道是什么事了。此时，那个黑影站在月光下，呆了良久；我就在一旁躲着，也跟着躲了很久。不出所料，那个黑影纵身一跃， 跳进湖里去了。黑影开始挣扎，偶尔发出几声响，呼吸声越来越急促，最后动作慢慢的缓了下来。月亮见证着这一切，那是月 亮千万年来，已经司空见惯的场景了。13小我重生|暑假还要在某公司进行无薪实习，可真够苦逼的。每天都要做一些琐碎的 小事，然后就浑浑噩噩的度过了这么一个白
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的坐标运算(1)课件苏教版必修4
知识点三 思考 1
平面向量的坐标运算
设i、j 是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x1 ，y1) ，b
＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向 量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
第2章 §2.3 向量的坐标表示
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 平面向量的正交分解
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
λ ＝1， 1 7 －1＝λ1－2λ2， ∴ 解得 4 2＝2λ1＋3λ2， λ＝ . 2 7
1 4 ∴a＝7e1＋7e2.
解析答案
1
2
3
4
5
→ 1→ 4.已知两点 M(3,2)，N(－5，－5)，MP＝2MN，则点 P
返回
题型探究
类型一 求向量的坐标
例1 如图，在直角坐标系xOy中，OA
重点难点 个个击破
＝ 4 ， AB ＝ 3 ， ∠AOx ＝ 45°， ∠OAB → → ＝105°， OA ＝a， AB ＝b.四边形 OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标；
解析答案
→ (2)求向量BA的坐标；
解
解析 因为点 P 在 MN 的延长线上，|MP|＝2|PN|，
→ → 又MN＝(0,5)－(2，－1)＝(－2,6)，所以MP＝(－4,12)，
第二节 平面向量基本定理及坐标运算 课件(共102张PPT)
( B)
A．－6
B．6
C．9
D．12
2．[必修4·P101·A组T7改编]已知点A(0,1)，B(3,2)，向量
→ AC
＝(－4，－3)，则向
量B→C＝( A )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
3．[必修4·P96·例2改编]若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝ 0，52 ，则c可用向量
1．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，( 2 ，0)，(0，－2)，O
为坐标原点，动点P满足|C→P|＝1，则|O→A＋O→B＋O→P|的最小值是( A )
A． 3－1
B． 11－1
C． 3＋1
D． 11＋1
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且M→P＝12M→N，则P点的坐标为( B )
A．(－8,1)
B．－1，－32
C．1，32
D．(8，－1)
[解析]
设P(x，y)，则
→ MP
＝(x－3，y＋2)，而
1 2
→ MN
＝
1 2
(－8,1)＝
－4，12
，所以
x－3＝－4， y＋2＝12，
x＝－1， 解得y＝－32，
所以P－1，－32.
3．已知正△ABC的边长为2
3
，平面ABC内的动点P，M满足|
知识点二 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与__x_轴__、__y_轴__正__方__向__相__同____的两个单位向量i，j作为基 底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，__(_x_，__y_) _叫做向量a的 直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝__(1_,_0_)___，j＝__(_0_,1_)_____，0＝__(_0_,0_)___.
高中数学必修四[苏教版]2.3《向量的坐标表示》ppt课件2
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例3 已知 a (1,0), b (2,1)，当实数 k为何值时，向量 ka - b 与a +3 b
平行？并确定此时它们是同向还是反向．
例4 已知点 O, A, B,C 的坐标分别为(0,0), (3,4), (1,2), (1,1)，是否存在常数
，t 使得 OA t OB =OC成立？解释你所得到结论的几何意义.
巩固深化，反馈矫正
1．设
a
(
3 2
,
sin
)，b
(cos,
1)，
3
(0,
2
)，且a
//
b
，求锐角
2.当 x ____时，向量 a (1,2)与 b (x,4) 平行；
3.已知向量
a
(1,2)
,b
(
x,1)
,u
a+2b ,v 2a
-
b
，且
u //
v
，求
x
4.设 a、b是不共线的非零向量，求证 a +2 b 与a -2b不平行；
5.已知 a (1,2),b (3,2)，当k为何值时，ka +b 与a -3 b
平行？平行时它们是同向还是反向？
6.已知点A(1,
1)，B(1,
3)，C(1,
5)
，D(2,
7)，向量AB与
CD
平行吗？
4.a (1,4)与b (2,8)共线吗？
探究1
a =(x1, y1)， b =(x2, y2)，若 a∥b(b 0) 他们的坐标之间满足什么关系？
建构数学
向量平行（共线）的两种表达形式：
人教数学必修四课件-23平面向量的基本定理及坐标表示二
复习引入
平面向量基本定理：
(1)我们把不共线向量e1，e2 叫做表示 这一平面内所有向量的一组 基底 .
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量a在给出基底 e1、e2的条件下进行分解；
(4)基底给定时,分解形式惟一, 1、2
是被a、e1、e2惟一确定的数量.
思考1: 已知a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ), 你能 得出a b, a b, a的坐标吗?
讲解范例：
例3. 已知三个力F1(3, 4), F2(2, 5), F ( x, y)的合力F1 F2 F3 0, 求F3 的坐标.
练习 1. 若M(3, 2), N (5, 1)且MP 1 MN ,
2 求P点的坐标.
2. 若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4), 则
AB 2BC
思考2:
你能标出坐标为(x2 x1, y2 y1)的P点 吗？
向量 AB 的坐标与以原点为始点、
点P为终点的向量的坐标是相同的.
讲解范例： 例1. 已知a (2, 1), b (3, 4), 求 a b, a b, 3a 4b的坐标.
讲解范例：
例2. 已知平面上三点的坐标分别为 A(2, 1)， B(－1, 3)， C(3, 4)，求点 D的坐标使这四点构成平行四边形的 四个顶点.
B( x2 , y2 )
O
x
思考2: 已知A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 怎样求AB 的坐标?
一个向量的 坐标等于表示此 向量的有向线段 的终点坐标减去 始点的坐标.
y
A( x1, y1)
O
坐标为(x2 x1, y2 y1)的P点 吗？
高中数学必修四(苏教版)2.3《向量的坐标表示》ppt课件
向量的坐标运算
a (x1, y1),b (x2 , y2 ) 则：a b (x1 x2 , y1 y2 ) a b (x1 x2 , y1 y2 )
a (x1, y1)
练习，已知a (2,1),b (3, 4), 求a b, a b,3a 4b的坐标。
以下三个特殊向量的坐标是：
Y
i = (1,0) j= (0,1) 0= (0,0)
那若每么两个起个向点向量不量都在相有原等唯点则一的这的向两坐量个标的向.坐量标的是
什对么应呢坐？标每也个相向等量;反有之几对个应坐坐标标呢?
相等的两个向量一定是相等向量. j
O
a
X
每个向量都有唯一的坐标. i
如果a (x1, y1),b (x2, y2 ),
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?
解决方案:
可通过向量的平移， 将向量的起点移到坐 标的原点O处,其终点 的坐标（x，y）称为 a的（直角）坐标， 记a=（x，y）。
yA a
a
ox
归纳总结
在平面直角坐标系内，若分别取与X轴、Y轴正方向
相同的两个单位向量 i , j作为基底，任作一向量a， 由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y , 使得 a=x i+y j.
那么a b x1 x2 ,且y1 y2
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?
y
a
o
x
已知 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，求 AB 的坐标.
从向量运算的角度
AB OB OA
【精编】苏教版高中数学必修四课件2.3.2平面向量的坐标运算(1)-精心整理
同理，
平面向量的坐标运算
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两个向量和与差的坐标分别等于这两向量对应坐 标的和与差； 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向 量的相应坐标．
平面向量的坐标运算
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y
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 的坐标减去起点的坐标．
练习2．已知a=（2，1），b=（-3，4），求
a+b，a-b，3a+4b的坐标．
解：a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）； a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）； 3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）
平面向量的坐标运算
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制作不易 尽请参考
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
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No单位向量
Image y a
j
那么i=（，10） j=（，01） 0=（，00） Oi
x
概念理解
一一对应 向量a
y
a
A(x,y)
坐标（x，y） a
j
Oi
x
2．两个向量相等，利用坐标如何表示？
练习1．如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、 d，并求它们的坐标．
(精校版讲义)高中数学必修四 第12讲 平面向量的基本定理及坐标表示(可直接打印)
第十二讲：平面向量的基本定理及坐标表示【学习目标】1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【要点梳理】要点一：平面向量基本定理 1．平面向量基本定理如果12,e e u r u u r是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量a r ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+r u r u u r ，称1122e e λλ+u r u u r 为12,e e u r u u r的线性组合.①其中12,e e u r u u r叫做表示这一平面内所有向量的基底；②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e u r u u r的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.这说明如果1122a e e λλ=+r u r u u r 且''1122a e e λλ=+r u r u u r ，那么1122λλλλ''=,=.③当基底12,e e u r u u r是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.要点诠释：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.2．如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合．（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量1e u r 、 2e u u r ，平面上的任何一个向量a r 都可以用1e u r 、 2e u u r唯一表示为a r =1λ1e u r +2λ2e u u r ，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有1e u r 、 2e u u r的代数运算．要点二：向量的夹角已知两个非零向量a r 与b r ，在平面上任取一点O ，作OA =u u u r a r ，OB =u u u r b r，则(0180)AOB θθ∠=≤≤叫做a r 与b r 的夹角，记为〈a r ，b r 〉．当向量a r 与b r 不共线时，ar与b r 的夹角()000,180θ∈；当向量a r 与b r 共线时，若同向，则00θ=；若反向，则0180θ=，综上可知向量a r 与b r 的夹角000,180θ⎡⎤∈⎣⎦．当向量a r 与b r 的夹角是90o，就说a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r ．要点诠释：（1）向量夹角是指非零向量的夹角，零向量与任何向量不能谈夹角问题．（2）向量a r ⊥b r是两向量夹角的特殊情况，可以理解为两向量所在直线互相垂直．要点三：平面向量的坐标表示 1．正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 要点诠释：如果基底的两个基向量1e u r 、2e u u r互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．2．平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i r、j r作为基底，对于平面上的一个向量a r ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数,x y ，使得a r =x i r +y j r .这样，平面内的任一向量a r都可由,x y 唯一确定，我们把有序数对(,)x y 叫做向量a r 的（直角）坐标，记作a r =(,)x y ，x 叫做a r在x 轴上的坐标，y 叫做a r 在y 轴上的坐标．把a r=(,)x y 叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．要点诠释：（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即12a b x x =⇔=r r 且12y y =，其中1122(,),(,)a x y b x y ==r r．（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若(2,3)A ，(5,8)B ，则(3,5)AB =u u u r；若(4,3)C -，(1,8)D -，则(3,5)CD =u u u r，AB CD =u u u r u u u r ，显然A 、B 、C 、D 四点坐标各不相同．（3）(,)x y 在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．要点四：平面向量的坐标运算1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． （3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的． （4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．要点五：平面向量平行(共线)的坐标表示 1．平面向量平行(共线)的坐标表示设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==r r ，则a →∥b →⇔(x 1，y 1)=λ(x 2，y 2)，即1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩，或x 1y 2-x 2y 1=0.要点诠释：若()()1122,,,a b x y x y ==r r ，则a →∥b →不能表示成,2121y yx x =因为分母有可能为0.2.三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y AB --→=(x 2-x 1，y 2-y 1)，AC --→=(x 3-x 1，y 3-y 1)，若21313121()()()()0,x x y y x x y y -----=则A ，B ，C 三点共线. 【典型例题】类型一：平面向量基本定理例1．如果1e u r 、2e u u r是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ）①12e e λμ+u r u u r(,R)λμ∈可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a r ，使12a e e λμ=+u r u u r 的实数对(,)λμ有无穷多个；③若向量1112e e λμ+u r u u r 与2122e e λμ+u r u u r共线，则有且只有一个实数λ，使得11122122()e e e e λμλλμ+=+u r u u r u r u u r；④若实数λ，μ使得120e e λμ+=u r u u r，则0λμ==．A ．①②B ．②③C ．③④D ．② 【思路点拨】考查平面向量基本定理． 【答案】 B【解析】由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当向量1112e e λμ+u r u u r 与2122e e λμ+u r u u r均为零向量，即12120λλμμ====时，满足条件的实数λ有无数个．故选B ．【总结升华】考查两个向量能否构成基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．例2．如图所示，四边形OADB 是以向量OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r为邻边的平行四边形，C为对角线的交点．又13BM BC =u u u u r u u u r ，13CN CD =u u u r u u u r，试用a r ，b r 表示OM u u u u r ，ON u u u r ．【解析】 由题意，得OB BA OA +=u u u r u u u r u u u r ，所以BA a b =-u u u r r r，则1()2BC a b =-u u u r r r ，11()36BM BC a b ==-u u u u r u u u r r r ，115()666OM OB BM b a b a b =+=+-=+u u u u r u u u r u u u u r r r r r r ．144122()333233ON OC CN OC CD OC a b a b =+=+==⨯+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r ．【总结升华】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平面四边形法则结合实数与向量的积的定义，解题时要注意解题途径的优化与组合．举一反三：【变式1】如图，在ABC ∆中，:1:2OA a OB b BE EA ===u u u r u u u r rr ，，，F 是OA 中点，线段OE 与BF 交于点G ，试用基底,a b rr 表示：（1）OE uuu r ；（2）BF u u u r ；（3）OG u u u r .【解析】（1）OE OB BE =+u u u r u u u r u u u r=13b BA +r u u u r=1()3b OA OB +-r u u u r u u u r=1()3b a b +-r r r=1233a b +r r（2）BF OF OB =-u u u r u u u r u u u r =1122OA b a b -=-u u u r r r r（3）在OAE ∆中，取13MN BA =u u u u r u u u r//FM OE ∴u u u u r u u u r 1||||2FM OE ∴=u u u u r u u u r同理：//GE FM u u u r u u u u r1||||2GE FM =u u u r u u u u r∴G 是BF 的中点 1()2OG OB OF ∴=+u u u r u u u r u u u r =111222b a +⋅r r =1142a b +r r类型二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题例3．设两个非零向量1e u r 和2e u u r不共线．（1）如果12AB e e =-u u u r u r u u r ，1232BC e e =+u u u r u r u u r ，1282CD e e =--u u u r u r u u r，求证：A 、C 、D 三点共线；（2）如果12AB e e =+u u u r u r u u r ，1223BC e e =-u u u r u r u u r ，122CD e ke =-u u u r u r u u r，且A 、B 、C 三点共线，求k 的值．【思路点拨】向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想．【解析】（1）证明：12AB e e =-u u u r u r u u r ，1232BC e e =+u u u r u r u u r ，1282CD e e =--u u u r u r u u r， 1212114(82)22AC AB BC e e e e CD =+=+=---=-u u u r u u u r u u u r u r u u r u r u u r u u u r ，∴AC u u u r 与CD uuu r共线．又∵AC u u u r 与CD uuu r有公共点，∴A 、C 、D 三点共线．（2）121212()(23)32AC AB BC e e e e e e =+=++-=-u u u r u u u r u u u r u r u u r u r u u r u r u u r ，∵A 、C 、D 三点共线，∴AC u u u r 与CD uuu r 共线，从而存在实数λ使得AC CD λ=u u u r u u u r ，即31e u r ―22e u u r =λ(21e u r ―k 2e u u r)，由平面向量的基本定理， 得322kλλ=⎧⎨-=-⎩，解之得32λ=，43k =．【总结升华】证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．举一反三：【变式1】设1e u r ，2e u u r 是平面内的一组基底，如果124AB e e =-u u u r u r u u r ，12BC e e =+u u u r u r u u r，1269CD e e =-u u u r u r u u r，求证：A ，C ，D 三点共线．【解析】 因为1212121(4)()233AC AB BC e e e e e e CD =+=-++=-=u u u r u u u r u u u r u r u u r u r u u r u r u u r u u u r，所以AC u u u r 与CD uuu r共线．类型三：平面向量的正交分解例4．如下图，分别用基底i r ，j r 表示向量a r 、b r 、c r，并求出它们的坐标．【解析】 由图可知23a OA OB i j =+=-+r u u u r u u u r r r，∴a r =（―2，3）．同理可知b r =3i r +4j r=（3，4）． c r =4i r ―4j r=（4，―5）．举一反三：【变式1】已知O 是坐标原点，点M 在第二象限，||63OM =u u u u r，∠xOM=120°，求OMu u u u r 的坐标．【解析】设M （x ，y ），则63cos 6033x =-︒=-．63sin 609y =︒=，即(33,0)M -，所以(33,9)OM =-u u u u r．【总结升华】向量的坐标表示是向量的另一种表示方法，对此要从两个方面加深理解：一是相等向量的坐标相同；二是当向量的起点在原点时，终点坐标即为向量的坐标．类型四：平面向量的坐标运算例5．已知(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----，且3,2,CM CA CN CB ==u u u u r u u u r u u u r u u u r求M 、N 及MN u u u u r 的坐标.【思路点拨】根据题意可设出点M 、N 的坐标，然后利用已知的两个关系式，列方程组，求出坐标.【解析】(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----Q(1,8),(6,3).3(3,24),2(12,6).CA CB CM CA CN CB ∴==∴====u u u r u u u ru u u u r u u u r u u u r u u u r设(,)M x y ，则(3,4)(3,24),CM x y =++=u u u u r 33,0,,(0,20).424,20x x M y y +==⎧⎧∴∴∴⎨⎨+==⎩⎩同理可求(9,2)N ，因此(9,18).MN =-u u u u r(0,20),(9,2),(9,18).M N MN ∴=-u u u u r【总结升华】向量的坐标是向量的另一种表示形式，它只与起点、终点、相对位置有关，三者中给出任意两个，可求第三个.在求解时，应将向量坐标看做一“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算，必须熟练掌握.举一反三：【变式1】 已知点)8,2(),2,1(B A -以及11,,33AC AB DA BA ==-u u u r u u u r u u u r u uu r 求点C ，D 的坐标和CDuuu r 的坐标.【解析】设点C 、D 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，由题意得1122(1,2),(3,6),(1,2),(3,6).AC x y AB DA x y BA =+-==---=--u u u r u u u r u u u r u u u r因为11,,33AC AB DA BA ==-u u u r u u u r u u u r u uu r ，所以有1111,22x y +=⎧⎨-=⎩和2211,22x y --=⎧⎨-=⎩，解得110,4x y =⎧⎨=⎩和222,0x y =-⎧⎨=⎩所以点C 、D 的坐标分别是(0，4)，(-2，0)，从而(2,4).CD =--u u u r类型五：平面向量平行的坐标表示例6．如图所示，在平行四边形ABCD 中，A （0，0）、B （3，1）、C （4，3）、D（1，2），M 、N 分别为DC 、AB 的中点，求AM u u u u r 、CN u u u r 的坐标，并判断AM u u u u r 、CNu u u r 是否共线．【解析】 已知A （0，0）、B （3，1）、C （4，3）、D （1，2），又M 、N 分别为DC 、AB 的中点，∴由中点坐标公式可得M （2.5，2.5），N （1.5，0.5），∴(2.5,2.5)AM =u u u u r ，( 2.5, 2.5)CN =--u u u r，其坐标满足2.5×(―2.5)―2.5×(－2.5)=0，∴AM u u u u r 、CN u u ur 共线．【总结升华】求出两向量的坐标，验证x 1y 2－x 2y 1=0即可． 举一反三：【变式1】向量(,12)PA k =u u u r ，(4,5)PB =u u u r ，(10,)PC k =u u u r，当k 为何值时，A 、B 、C三点共线？【解析】 (,12)(4,5)(4,7)BA PA PB k k =-=-=-u u u r u u u r u u u r， (,12)(10,)(10,12)CA PA PC k k k k =-=-=--u u u r u u u r u u u r．∵A 、B 、C 三点共线，∴//BA CA u u u r u u u r，即(k ―4)(12―k)―(k ―10)×7=0．整理，得k 2―9k ―22=0．解得k 1=―2或k 2=11． ∴当k=―2或11时，A 、B 、C 三点共线．【总结升华】以上方法是用了A 、B 、C 三点共线即公共点的两个向量BA u u u r ，CA u uu r 共线，本题还可以利用A 、B 、C 三点共线6(1)11PB PA k λλλ=-⎧⇔=+-⇔⎨=⎩u u u r 或122k λ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，即得k=―2或11时，A 、B 、C 三点共线．【变式2】已知向量a r =（1，2），b r =（1，0），c r =（3，4）．若λ为实数，（a r +λb r）∥c r，则λ=（ ）A ．14 B ．12C ．1D ．2 【答案】B例7．如图，已知点A （4，0），B （4，4），C （2，6），求AC 与OB 的交点P 的坐标．【解析】方法一：由O 、P 、B 三点共线，可设(4,4)OP OB λλλ==u u u r u u u r，则(44,4)AP OP OA λλ=-=-u u u r u u u r u u u r． (2,6)AC OC OA =-=-u u u r u u u r u u u r，由AP u u u r 与AC u u u r 共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)=0，解得34λ=，所以3(3,3)4OP OB ==u u u r u u u r．所以P 点坐标为（3，3）．方法二：设P （x ，y ），则(,)OP x y =u u u r，因为(4,4)OB =u u u r ，且OP uuu r 与OB uuu r 共线，所以44x y=，即x=y ．又(4,)AP x y =-u u u r ，(2,6)AC =-u u u r ，且AP u u u r 与AC u u ur 共线，则得(x －4)×6－y ×(－2)=0，解得x=y=3，所以P 点坐标为（3，3）．【总结升华】（1）平面向量的坐标表示，使向量问题完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多几何问题的证明，就转化为熟悉的数量运算．（2）要注意把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有当始点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等．举一反三：【变式1】如图，已知Y ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（―2，1）、（―1，3）、（3，4），试求顶点D 的坐标．【解析】设顶点D 的坐标为（x ，y ）．∵(1(2),31)(1,2)AB =----=u u u r ，(3,4)DC x y =--u u u r．由AB DC =u u u r u u u r，得（1，2）=（3―x ，4―y ）．∴1324x y =-⎧⎨=-⎩，∴22x y =⎧⎨=⎩．∴顶点D 的坐标为（2，2）．【巩固练习】1．设1e u r 、2e u u r是同一平面内的两个向量，则有（ ）A ．1e u r 、2e u u r一定平行 B ．1e u r 、2e u u r的模相等C ．对一平面内的任一向量a r ，都有a r =λ1e u r +μ2e u u r（λ、μ∈R ）D ．若1e u r 、2e u u r 不共线，则对同一平面内的任一向量a r ，都有a r=λ1e u r +μ2e u u r （λ、μ∈R ）2．已知四边形ABCD 的三个顶点(0,2)A ，(1,2),(3,1)B C --，且2BC AD =u u u r u u u r，则顶3.已知向量()()()1,2,2,3,3,4,a b c ===且12c a b λλ=+.则1λ，2λ的值分别为( ) A. –2，1 B.1，-2 C.2，-1 D.-1，24．已知向量a r ，b r 不共线，且4AB a b =+u u u r r r ，9BC a b =-+u u u r r r ，3CD a b =-u u u r r r，则一定共线的是（ ）A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D5．已知向量a r =（3，2），b r =（x ，4），且a r ∥b r，则x 的值是（ ）A ．―6B ．6C ．83 D ．83- 6．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r ，则BD u u u r 等于（ ）A ．（―2，―4）B ．（―3，―5）C ．（3，5）D ．（2，4）7．已知向量a r 、b r 不共线，c r ＝k a r ＋b r (k ∈R )，d u r ＝a r －b r .如果c r ∥d u r，那么( )A ．k ＝1且c r 与d u r同向B ．k ＝1且c r 与d u r反向C ．k ＝－1且c r 与d u r同向D ．k ＝－1且c r 与d u r反向 8．设点A （2，3），B （5，4）C （7，10），若()AP AB AC R λλ=+∈u u u r u u u r u u u r，若点P 在第三象限，则λ的取值范围是（ ）A ．0λ< B ．1λ<- C ．1λ> D ．2λ>9．如图在正方形ABCD 中，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，BD c =u u u r r ，则在以a r ，b r 为基底时，AC u u u r 可表示为________，在以a r ，c r 为基底时，AC u u u r可表示为________．10.若M(1，0)，N(0，1)，P(2，1)，Q(1， y)，且MN PQ =u u u u r u u u r ，则y 的值为_______ . 11.(2,3),2,(3,0)AB CD AB C ==u u u r u u u r u u u r ，则点D 的坐标是__________.12．已知a r =―1e u r +32e u u r ，b r =41e u r +22e u u r ，c r =―31e u r +122e u u r ，若用b r 与c r 表示a r ，则应有a r =________．13．如图所示，在Y ABCD 中，M 、N 分别是DC 、BC 的中点，已知AM c =u u u u r r ，AN d =u u u r u r ，试用c r 、d u r 表示AB u u u r 与AD u u u r ．14．已知a r =（1，2），b r =（―3，2），当k 为何值时，k a r +b r 与a r ―3b r 平行？平行时它们是同向还是反向？15．已知点(0,0),(1,4),(4,2)O A B -，线段AB 的三等分点,C D （点C 靠近A ）．（1）求点C ，D 的坐标； （2）若点E 相对点B 的位置向量为2OC OD +u u u r u u u r ，求点E 的坐标．【答案与解析】1．【答案】D【解析】 1e u r 、2e u u r 是任意向量，A 、B 、C 都不一定成立，只有1e u r 、2e u u r 不共线，由平面向量基本定理知，D 正确．2．【答案】A3. 【答案】D4．【答案】A【解析】282(4)2BD BC CD a b a b AB =+=+=+=u u u r u u u r u u u r r r r r u u u r ，故A 、B 、D 共线．5．【答案】B【解析】 由a r ∥b r ⇒3×4=2x ，∴x=6．6．【答案】B【解析】设AC 与BD 交于O 点，则2BD BO =u u u r u u u r ，而12BO AC AB =-u u u r u u u r u u u r ， ∴22(1,3)(4,8)(3,5)Bd BO AC AB ==-=-=--u u u r u u u r u u u r u u u r ．7．【答案】D【解析】不妨设a r ＝(1,0)，b r ＝(0,1)．依题意d u r ＝a r －b r ＝(1，－1)，又c ＝k a r ＋b r ＝(k,1)，∵c r ∥d u r ，∴12－(－1)·k ＝0，∴k ＝－1，又k ＝－1时，c r ＝(－1,1)＝－d u r ，∴c r 与d u r 反向．8．【答案】B9．【答案】a r +b r 2a r +c r【解析】以d u r ，c r 为基底时将BD u u u r 平移，使B 与A 重合，再由三角形法则或平面四边形法则即得．10. 【答案】2【解析】(01,10)(12,1)112MN PQ y y y =∴--=--∴-=∴=u u u u r u u u r Q11. 【答案】(7，6)【解析】(2,3),2(4,6)AB CD AB ===u u u r u u u r u u u r ，而C(3，0)，设D 点的坐标为(x ，y)，则⎩⎨⎧⎩⎨⎧==∴=-=-676043y x y x 12．【答案】171827b c -+r r 【解析】设a b c λμ=+r r r ，则1212123(42)(312)e e e e e e λμ-+=++-+u r u u r u r u u r u r u u r12(43)(212)e e λμλμ=-++u r u u r ，故12(431)(2123)0e e λμλμ-+++-=u r u u r ．∴431021230λμλμ-+=⎧⎨+-=⎩，解得118727λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故171827a b c =-+r r r ． 13．【解析】可以借鉴解方程组的思想，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，在△ABN 中，有12a b d +=r r u r ； 在△ADM 中，有12b a c +=r r r ，联立以上两式可得 2(2)3AB d c =-u u u r u r r ，2(2)3AD c d =-u u u r r u r ．14．【解析】 k a r +b r =k （1，2）+（―3，2）=（k ―3，2k+2），a r ―3b r =（1，2）―3（―3，2）=（10，―4）．当k a r +b r 与a r ―3b r 平行时，存在唯一实数λ使k a r +b r =λ(a r －3b r )．由（k ―3，2k+2）=λ（10，―4）得310224k k λλ-=⎧⎨+=-⎩，解得1313k λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 当13k =-时，k a r +b r 与a r ―3b r 平行， 这时11(3)33ka b a b a b +=-+=--r r r r r r ， ∵10λ=-<，∴k a r +b r 与a r －3b r 反向． （2）2(2,2)2(3,0)(8,2),OC OD +=+=u u u r u u u r2(4,2)(8,2)(12,0)OE OB OC OD =++=-+=u u u r u u u r u u u r u u u r点E 坐标为（12，0）．。
高中数学第二章平面向量2.3向量的坐标表示课件苏教版必修4
2．3 向量的坐标(zuòbiāo)表示
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第2章 平面(píngmiàn)向量
学习(xuéxí)导航
学习 目标
1.了解平面内所有向量的一组基底的含义． 2．理解平面向量基本定理．(重点、难点) 3．掌握平面向量的正交分解．(重点)
学法 指导
平面向量基本定理的实质：平面内的任一向量都可以 沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式；而且 基底一旦确定，这种分解是惟一的.
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[解] (1)∵O→E＝12a，O→L＝12(b＋c)， ∴E→L＝O→L－O→E＝12(b＋c－a)． 同理：F→M＝12(a＋c－b)，G→N＝12(a＋b－c)． (2)证明：设线段 EL 的中点为 P1，则 O→P1＝12(O→E＋O→L)＝14(a＋b＋c)．
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方法归纳 需表示的向量与基底间直接或间接的关系是借助平行向 量的关系及封闭四边形的结论来找到的．如B→E与基底 A→D共线，C→F与基底A→B共线，由封闭四边形 DABE，求 出D→E.
第十一页，共28页。
1.如图所示，四边形 OADB 是以向量O→A＝a， O→B＝b 为邻边的平行四边形．又B→M＝13B→C， C→解N：＝由13C→题D意，，试得用O→aB，＋bB→表A示＝OO→→MA，，O→N. 所以B→A＝a－b，则B→C＝12(a－b)，B→M＝13B→C＝16(a－b)， O→M＝O→B＋B→M＝b＋16(a－b)＝16a＋56b. O→N＝O→C＋C→N＝O→C＋13C→D＝43O→C ＝43×12(a＋b)＝23a＋23b.
[解] 设重物的重力为 G，如图所示可知C→B方向上的力的 大小为
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r r 解: Q a // b
∴ 4y − 2× 6 = 0 ∴ y=3
例2若向量 且方向相同，求x 解：∵
r r a=(-1，x)与 b =(-x， 2)共线
r r a =(-1，x)与 b =(-x， 2) 共线
∵
∴(-1)×2- x•(-x)=0
r r a 与b 方向相同
∴x=
2
∴x=±
2
练习:
已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ， 向量 AB 与 CD 平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？ 解：∵ AB =(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4)
CD =(2-1，7-5)=(1，2)
又 ∵2×2-4×1=0
∴ AB ∥ CD
又 ∵ AC =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) AB =(2， 4)，2×4-2×6≠0 ∴ AC 与 AB 不平行 ∴ A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD
当且仅当存在实数 λ ,使
r r 即a // b ⇔ a = λb
a = λb
a // b ⇔ x1 y2 − x2 y1 = 0
注:（1）消去λ时不能两式相除 （2）充要条件不能写成
y1 y = 2 x1 x2
例1已知
r r a =(4，2)， b =(6， y)，且 r r a ∥ b ，求 y.
小结:
（1）平面向量的坐标的概念； （2）平面向量的坐标运算； （3）根据向量的坐标，3
2.3平面向量的基本定理 及坐标表示（第2课时）
学习目标: 学习目标
（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算； （3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
两个非零向量平行（共线） 两个非零向量平行（共线）的充要条件
r r r r 设a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) (b ≠ 0)