【真题】16年湖北省重点高中联考协作体高三(下)数学期中试卷含答案(理科)
精品：湖北省优质高中2016届高三下学期联考理数试题(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知复数1z i =+（i 是虚数单位），则22z z-的共轭．．复数是（ ） A ． 13i -+ B ．13i +C ．13i -D ．13i --【答案】B 【解析】 试题分析：()()()()i i i i i i i i iz z 312121112112222-=--=--+-=+-+=-，其共轭复数是i 31+，故选B.考点：复数的代数运算2.已知定义域为R 的函数错误！未找到引用源。
不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是（ ） A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
【答案】C 【解析】试题分析：A.∀改为∃，B.是偶函数的定义,不是奇函数也不一定是偶函数；D.可能存在，也可能满足()()000,x f x f R x ≠-∈∀，只有D 正确，故选D.考点：1.全称命题；2.特称命题.3.若n 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x n+=的离心率是（ ）A ．B C D 【答案】D 【解析】试题分析：162=n ，所以4=n 或4-=n ，当4=n 时，1422=+y x 的离心率23=e ，当4-=n 时，14-22=y x 离心率5=e ，故选D. 考点：圆锥曲线的性质4.已知向量()()()3,1,1,3,,2a b c k ===-，若()//a c b -，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是（ ）A B ．15C ．D ．15-【答案】A 【解析】试题分析：()3,3k c a -=-，因为()//a c b -，所以()133-3⨯=⨯k ，解得2=k ，当2=k 时，5522104,cos =⨯=⋅>=<c a c a c a，故选A.考点：向量数量积的坐标表示5.已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：此几何体是如图所示四棱锥，底面是对角线为2的正方形，顶点在底面的射影落在点A,高为2，如图，EC 的中点O 为外接球的球心，因为EAC EDC EBC ∆∆∆,,都是直角三角形，所以点O 到顶点的距离都等于EC 21,根据勾股定理得，22=EC ,即外接球的半径是2，体积ππ238343==R V ,故选C. 考点：1.三视图；2.几何体与球6.如右图所示，执行程序框图输出的结果是（ ）A ．111123411+++⋅⋅⋅+ B ． 111124622+++⋅⋅⋅+C ．111123410+++⋅⋅⋅+ D ． 111124620+++⋅⋅⋅+【答案】D 【解析】试题分析：因为2+=n n ，所以很明显分母是偶数，所以是， (6)14121+++当10=k 时，是前10项的和即201......81614121+++++，当11=k 时，就输出，故选D. 考点：循环结构7.已知g (x )是R 上的奇函数，当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数()()⎩⎨⎧=x g x x f 3 00>≤x x若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(1，2) D ．(－2，1) 【答案】D 【解析】试题分析：设0>x ，0-<x ，所以()()()x x g x g +=--=1ln ，所以()()⎩⎨⎧+=x x x f 1ln 30>≤x x ，并且，函数()x f 是R 上的单调递增函数，所以当()()x f x f >-22时，满足x x>2-2，即解得12<<-x ，故选D.考点：1.分段函数；2.利用函数性质解不等式8.如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n(n>l ，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为n a ，则233445201520169999a a a aa a a a ++++= （ ）A ．20122013B ．20132012C ．20142015D ．20142013【答案】C 【解析】试题分析：每个边有n 个点，所以有3n 个点，三角形的顶点重复计算了一次，所以减3个顶点，即33-=n a n ，那么()()nn n n n n a a n n 11111333991--=-=⨯-=+，即233445201520169999a a a a a a a a ++++201520142015112015120141......41-3131-2121-11=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=,故选C. 考点：1.归纳推理；2.裂项相消法求和.9.要得到函数()sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的导函数()'f x 的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移3π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变） B ．向右平移6π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍（横坐标不变）C ．向左平移3π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍（横坐标不变）D ．向左平移6π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）【答案】D 【解析】试题分析：()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛+='233sin 333cos 3πππx x x f ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+6323ππx x 所以只需将()x f 的图像向左平行6π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变，）故选D.考点：三角函数的图像变换10.在双曲线22221x y a b -= (a ＞0，b ＞0)中，222c a b =+，直线2a x c=-与双曲线的两条渐近线交于A ，B两点，且左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(0，2)B ． (1，2) C.⎪⎪⎭⎫⎝⎛122， D ．(2，＋∞)【答案】B 【解析】试题分析：两条渐近线方程是x a b y ±=，当c a x 2-=时，c ab y ±=那么圆的半径cab R =，那么左焦点到圆心的距离cab c c a d <+-=2，即ab b <2，即a b <，那么22a b <，根据222a c b -=，整理为222a c <，那么，解得21<<ac，故选B. 考点：双曲线的性质11.从重量分别为1，2，3，4，…，10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m , 下列各式的展开式中9x 的系数为m 的选项是（ ） A ．2311(1)(1)(1)(1)x x x x ++++B ．(1)(12)(13)(111)x x x x ++++C ．2311(1)(12)(13)(111)x x x x ++++D ．223211(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x ++++++++++【答案】A 【解析】试题分析：9x 是有115432......,,,,x x x x x x 中的指数和等于9的那些项的乘积构成，有多少个这样的乘积就有多少个这样的9x ，这与从重量分别为1，2，3，4，…，10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法的意义一样，所以就是2311(1)(1)(1)(1)x x x x ++++的展开式中9x 的系数，故选A.考点：二项式定理的应用12.已知函数()g x 满足121()(1)(0)2x g x g e g x x -'=-+，且存在实数0x 使得不等式021()m g x -≥成立，则m 的取值范围为（ ）A.(],2-∞B. (],3-∞C. [)1,+∞D.[)0,+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：()()()x g e g x g x +-'='-011，当1=x 时，得到()10=g ，()()1010-'=e g g ，解得()e g ='1，所以()221x x e x g x+-=，设()x e x g x +-='1，()00='g ，当0<x 时，()0<'x g ，当0>x 时，()0>'x g 所以当0=x 时，函数取得最小值()10=g ，根据题意将不等式转化为()112min =≥-x g m ，所以1≥m ，故选C.考点：导数的应用第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某单位为了了解用电量y 度与气温x C 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表由表中数据得回归直线方程ˆˆˆybx a =+中ˆ2b =-，预测当气温为4-C 时，用电量的度数是 ． 【答案】68 【解析】试题分析：回归直线过()y x ,，根据题意()1041101318=-+++=x ，40464383424=+++=y ，代入()6010240=⨯--=a，所以4-=x 时，()()686042=+-⨯-=y ，所以用电量的度数是68. 考点：回归直线方程 14.设非负实数y x ,满足：⎩⎨⎧≤+-≥521y x x y ，（2,1）是目标函数y ax z 3+=（)0>a 取最大值的最优解，则a的取值范围是 ． 【答案】[)∞+，6 【解析】试题分析：根据图像分析，目标函数的图像在交点处位于两条直线之间，所以目标函数的斜率3ak -=，根据图像分析2-3≤-a，解得6≥a 考点：线性规划15.函数()112cos 2x f x x π-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（46x -≤≤）的所有零点之和为 ．【答案】10考点：函数图像的应用16.已知数列3nn a =，记数列{n a }的前n 项和为n T ，若对任意的 n ∈N* ，3()362n T k n +≥-恒成立，则实数 k 的取值范围 ． 【答案】272≥k 【解析】试题分析：()2323313131++-=--=n n n T ，所以23231+=+n n T ，将不等式转化为()nn n n k 32232)63(1-⨯=⨯-≥+恒成立，所以求数列n n 342-的最大值，113410++-=-n nn n a a ，当1=n 时，为32-，当2=n 时，为0，当3=n 时，为272，当4=n 时，为814，即数列值是先增后减，当3=n 时，取得最大值272，所以272≥k .考点：1.等比数列；2.数列的最值.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12 分）已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 且sin cos 0a B b A +=. （1）求角A 的大小；（2）若2a b ==，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）34A π=；（2）2=S .考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.面积公式. 18.（本小题满分12 分）当前，网购已成为现代大学生的时尚。
精品：湖北省优质高中2016届高三下学期联考文数试题(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.集U R =，集合{}|20A x x =-<，{}|10B x x =+<，那么集合()U AC B 等于（ ）A ． {}|12x x -<<B ． {}|12x x -≤<C ． {}|1x x ≥-D ． {}|2x x < 【答案】B 【解析】试题分析：{}2<=x x A ，{}1-≥=x x B C U ，所以{}21<≤-=x x B C A U ，故选B. 考点：集合的运算 2.在复平面内，复数31ii--对应的点的坐标为（ ） A ． (2,1) B ． (1,2)- C ． (1,2) D ． (2,1)- 【答案】A 【解析】 试题分析：()()()()i ii i i i i i z +=+=+-+-=--=2224111313，所对应的点的坐标是()1,2，故选A. 考点：复数的几何意义3.已知{}n a 是等差数列，1017a =，其前10项的和1080S =，则其公差d =（ ） A ． 1- B ． 2- C ． 2 D ． 1 【答案】C 【解析】试题分析：⎩⎨⎧=+==+=804510179110110d a S d a a ，解得⎩⎨⎧=-=211d a ，故选C.考点：等差数列4.设平面向量()()1,2,2,m n b =-=，若//m n ，则m n -等于（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：若//m n ，那么221-⨯=⨯b ，解得4-=b ，那么()6,3-=-n m，所以()536322=+-=-n m ，故选D.考点：平面向量的坐标运算5.甲几何体(上)与乙几何体（下）的组合体的三视图如下图所示，甲、乙几何体的体积分别为1V 、2V ,则12:V V 等于（ ）A ． 1:4B ． 1:3C ． 2:3D ． 1:π【答案】B 【解析】试题分析：甲几何体是半径为1的球，乙几何体是底面半径为2，高为3的圆锥，所以球的体积π341=V ,ππ4323122=⨯⨯=V ,所以体积31:21：=V V ,故选B.考点：1.三视图；2.几何体的体积.6.设函数cos ,0,3()4(),0,x x f x x x x π⎧≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩则((2))f f -＝( )A． B ．12 C ．12- D【答案】C试题分析：()42=-f ，()2134cos 4-==πf ，故选C. 考点：分段函数7.如右图所示，执行程序框图输出的结果是（ ）A ．111123411+++⋅⋅⋅+ B ． 111124622+++⋅⋅⋅+C ．111123410+++⋅⋅⋅+ D ． 111124620+++⋅⋅⋅+【答案】D 【解析】试题分析：因为2+=n n ，所以很明显分母是偶数，所以是， (6)14121+++当10=k 时，是前10项的和即201......81614121+++++，当11=k 时，就输出，故选D. 考点：循环结构 8.函数3log x xy x⋅=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】试题分析：()()()x f xxx x f -=--⋅-=-3log ，所以函数是奇函数，关于原点对称，排除A,C 有因为当()1,0∈x 时，0log 3<x ，所以0<y ，故选B.考点：函数的图像 9.若函数()cos(2)6f x x π=+的图像向右平移ϕ(0)ϕ>个单位后所得的函数为奇函数，则ϕ的最小值为（ ） A ．12π B ．6π C ．3π D ．23π 【答案】C 【解析】试题分析：向右平移ϕ个单位后函数为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=62cos πϕx y 为奇函数，关于原点对称，并过原点所以0=x 时，062cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-πϕ，即πππϕk +=+262-，Z k ∈,当1-=k 时，ϕ的最小正数为3π，故选C.考点：三角函数的图像和性质10.在同一直角坐标系内，存在一条直线l ，使得函数()y f x =与函数()y g x =的图像关于直线l 对称，就称函数()y g x =是函数()y f x =的“轴对称函数”．已知函数()xf x e =（e 是自然对数的底数），则下列函数不是函数()y f x =的“轴对称函数”的是（ ） A ． 2xy e =- B ． 2xy e -= C ． xy e -=- D ． ln y x =【答案】C 【解析】试题分析：因为()122=-+x x e e 所以x e y =与x e y -=2关于1=y 对称，()122=-+x x ，所以x e y =与x e y -=2关于1=x 对称，x e y =与x y ln =关于x y =对称，而x e y =与x e y --=关于原点对称，不是轴对称函数，故选C.考点：函数的对称性11.已知(0,)2πθ∈，则曲线222194sin x y θ-=与曲线222194cos 4x y θ-=-的（ ）A ． 离心率相等B ．焦距相等C ． 虚轴长相等D ． 顶点相同 【答案】B 【解析】试题分析：两个曲线的θ222sin 49+=+b a ，和θθ2222sin 494cos 49+=+-=+b a ，故两个曲线的2c 相等，即焦距相等，而两个曲线的92=a ，另一个θ22cos 49-=a ，所以离心率不同，虚轴也不同，故选B.考点：双曲线的性质12.函数()[]f x x x =-（函数[]y x =的函数值表示不超过x 的最大整数，如 []3.64-=-，[]2.12=），设函数()()lg g x f x x =+，则函数()y g x =的零点的个数为（ ） A ． 8 B ． 9 C ． 10 D ． 11 【答案】A 【解析】试题分析：()x g y =的零点就是[]x x x -=lg 的交点的个数，如图，[]x x y -=是周期为1的周期函数，两个函数的交点共8个，故选A.考点：1.新定义；2.函数的图像和应用.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.抛物线24y x =的准线方程是 ． 【答案】161-=y【解析】试题分析：抛物线的标准方程是y x 412=，所以准线方程是161-=y 考点：抛物线方程14.已知变量x ，y 满足约束条件20,0,20,x y x y y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩设2z x y =+，则z 的取值范围是 ．【答案】[]6,2 【解析】试题分析：如图，画出可行域，目标函数是z x y +-=2当目标函数过点C 时取得最小值，220min =+=z ，当目标函数过点()22，B 时，取得最大值，6222max =+⨯=z ，所以取值范围是[]6,2. 考点：线性规划15.在区间[]0,3上随机地取一个实数x ，则事件“1211log ()12x -≤-≤”发生的概率为 ．【答案】21 【解析】试题分析：不等式解为22121≤-≤x ，解得251≤≤x ，所以2103125=--=P考点：几何概型16.已知数列{}n a 的通项公式为111893842n n nna =-+-（）（）（） （其中n N *∈）,若第m 项是数列{}n a 中的最小项，则m a = ． 【答案】165- 【解析】试题分析：设⎥⎦⎤ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,021nt ，得t t t y 39823-+-=，()()14123318242---=-+-='t t t t y ，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈41,0t 时，0<'y ，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41t 时，0>'y ，所以当41=t 时，取得最小值165-.考点：1.数列；2.导数.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知(3sin ,2)m x =，2(2cos ,cos )n x x =，函数．（1）求函数()f x 的值域；（2）在△ABC 中，角,,A B C 和边,,a b c 满足()2,2,sin 2sin a f A B C ===,求边c ． 【答案】(1) []1,3-;(2) c =. 【解析】试题分析：（1）首先根据向量数量积坐标表示()x f ，再利用辅助角公式化简函数，最后求值域； （2）根据()2=A f ,解得3π=A ,再根据正弦定理得到c b 2=，再代入余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得到c .试题解析：解：（I ）()223sin cos 2cos fx m n x x x =⋅=+2cos 21x x =++2sin(2)16x π=++.........................3分1sin(2)16x π-≤+≤，则函数()f x 的值域为[]1,3-；. ........................5分（II ）()2sin(2)126f A A π=++=，1sin(2)62A π∴+=，.........................6分又132666A πππ<+<，5266A ππ∴+=，则3A π=，.........................8分 由sin 2sinBC =得2b c =，已知2a =，.........................10分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得c =．.........................12分 考点：1.三角函数的性质；2.正余弦定理. 18.（本小题满分12分）襄阳市某优质高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（NEPCS ）”，先在本校进行初赛（满分150分），若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；（2）该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．【答案】（1）中位数为81；（2）815P = 【解析】试题分析：（1）设初赛成绩的中位数为x ，那么x 两侧的矩形面积相等，都等于0.5，根据面积公式计算中位数；（2）首先根据频数=频率100⨯，计算初赛分数在[)110,130有4人，分别记为A ，B ，C ，D ，分数在[)130,150有2人，分别记为a ，b ，用列举的方法列出所有抽到两人的方法种数，和不在同一组的方法种数，最后相除就是概率.试题解析：（1）设初赛成绩的中位数为x ，则：()()0.0010.0040.009200.02700.5x ++⨯+⨯-=.........................4分解得81x =，所以初赛成绩的中位数为81；..... ....................6分考点：1.频率分布直方图；2.古典概型. 19.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，△PAB 是正三角形，在△ABC 中，AB BC ⊥,且D 、E 分别为AB 、AC的中点． （1）求证：//DE 平面PBC ；（2）求异面直线AB 与PE 所成角的大小．【答案】(1)详见解析；（2）090. 【解析】试题分析：(1)根据三角形中位线得BC DE //,根据线面平行的判定定理得证；（2）连接PD ,根据等边三角形得AB PD ⊥,根据已知条件可证AB DE ⊥,所以⊥AB 平面PDE ,即PE AB ⊥，得到异面直线所成角.试题解析：证明：（I ）在△ABC 中，//DE BCDE ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC .........................4分（少一个条件扣1分） ∴//DE 平面PBC ...... ...................5分（II ）连接PD ，在正△PAB 中，D 为AB 中点，PD AB ∴⊥,.........................7分AB BC ⊥，//DE BC ，DE AB ∴⊥，......... ................9分PD 与DE 是平面PDE 内的两相交直线，AB ∴⊥平面PDE ,.........................10分∴AB PE ⊥，故异面直线AB 与PE 所成角为90..........................12分（通过平移直线AB 至E 点后与BC 相交于点F ，连接PF ，在△PEF 内用余弦定理求解亦可） 考点：1.线面平行的判定定理；2.异面直线所成角. 20.（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B△AOB ． （1）求椭圆的方程；（2）直线2y =上是否存在点M ，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1) 22142x y +=;(2) 所以直线2y =上存在两点2)和(2)满足题意.（2）假设直线2y =上存在点M 满足题意，设(),2M m ，显然，当2m =±时，从点M 所引的两条切线不垂直，...... ...................5分 当2m ≠±时，设过点M 所引的切线l 的斜率为k ， 则l 的方程为() 2.y k x m =-+.........................6分由()22224,y k x m x y ⎧=-+⎨+=⎩消y 得()()()22212422240k x k mk x mk +--+--=.......8分()()()22221624122240k mk k mk ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦所以()()224420,m k mk --+=*...............10分设两条切线的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程()*的两根，故122214k k m ==--，解得m =，...............11分所以直线2y =上存在两点2)和(2)满足题意. ...............12分考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系.21.（本小题满分12分）已知函数()(ln 1)f x ax x =-（a R ∈且0a ≠）（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）当0a >时，设函数()()316g x x f x =-,函数()()h x g x '=, ①若()0h x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；②证明：()()22222ln 123123e n n n N *⋅⋅⋅⋅<++++∈【答案】(1) 0a >时函数()y f x =的单调递增区间是()1,+∞；0a <时函数()y f x =的单调递增区间是()0,1;(2)①(]0,e ;②详见解析.【解析】试题分析：(1)第一步先求()x f '，第二步讨论0>a 或0<a 时，()0>'x f 的解集；（2）①首先得到函数()x g ，再求其导数()()x a x x g x h ln 212-='=，若()0≥x h 恒成立，即()0min ≥x h ，将问题转化为求函数的最小值，利用导数求()x h 的最小值；②由①知a e =时，()21ln 02h x x e x =-≥在()0,x ∈+∞上恒成立，当x =时等号成立，22ln x N e x x *∴∈<时，令1,2,3,x n =⋅⋅⋅，累加可得结论.试题解析：解：（1）()()1ln 1ln f x a x x a x x ⎡⎤'=-+⋅=⎢⎥⎣⎦，令()0f x '>....................2分 当0a >时，解得1x >；当0a <时，解得01x <<， ....................3分所以0a >时函数()y f x =的单调递增区间是()1,+∞；0a <时函数()y f x =的单调递增区间是()0,1. ...................4分（2）①2211()()()ln 22h x g x x f x x a x ''==-=-，由题意得()min 0h x ≤，.......5分因为()2a x a h x x x x -'=-==，所以当x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；. ...................7分min 1()ln 2h x h a a ∴==-分由102a a ≤-得ln 1a ≤，则实数a 的取值范围是(]0,e （分离参数法亦可）.......9分②由（1）知a e =时，()21ln 02h x x e x =-≥在()0,x ∈+∞上恒成立，当x = 22ln x N e x x *∴∈<时，令1,2,3,x n =⋅⋅⋅，累加可得.... ................10分()22222ln1ln 2ln 3ln 123e n n ++++<++++ ....... ..................11分 即()()22222ln 123123,e n n n N *<++++∈ ...... ...................12分考点：导数的综合应用请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。
2016年湖北省重点高中联考协作体高三(下)期中数学试卷含解析答案(理科)
2015-2016学年湖北省重点高中联考协作体高三（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i2．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．104．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：根据上表可得回归方程=x+中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．67.7万元C．65.5万元D．72.0万元5．（5分）为得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A． B． C． D．7．（5分）（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．408．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．810．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（）A．6 B．4 C．6 D．411．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．14．（5分）函数f（x）=log 2•log（2x）的最小值为．15．（5分）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种．（用数字作答）16．（5分）平面向量，，满足||=1，•=1，•=2，|﹣|=2，则•的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）已知=（sinx，sin（x﹣）），=（sinx，cos（x+）），f（x）=•．（1）求f（x）的解析式及周期；（2）求f（x）在x∈[﹣，]上的值域．18．（12分）双“十一”结束之后，某网站针对购物情况进行了调查，参与调查的人主要集中在[20，50]岁之间，若规定：购物600（含600元）以下者，称为“理智购物”，购物超过600元者被网友形象的称为“剁手党”，得到如下统计表：若参与调查的“理智购物”总人数为7720人．（1）求a的值；（2）从年龄在[20，35）的“剁手党”中按照年龄区间分层抽样的方法抽取20人；①从这20人中随机抽取2人，求这2人恰好属于同一年龄区间的概率；②从这20人中随机抽取2人，用ζ表示年龄在[20，25）之间的人数，求ξ的分布列及期望值．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．20．（12分）如图已知椭圆C：+y2=1，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0）．设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求•的最小值；（2）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：丨OR丨•丨OS丨为定值．21．（12分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）．（1）a=时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）存在两个不同的极值x1，x2，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，求f（x）在（0，a]上的最小值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。
湖北省部分重点高中2016届高三十月联考理科数学
省部分重点高中2016届高三十月联考理科数学试题考试时间2015年10月27日15:00-17:00 满分150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知11abi i=-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -= A ．3B ．2C ．5D ．5 2．下列命题中正确命题的个数是(1)对于命题2:,10p x R x x ∃∈++<使得，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++>； (2)命题 “已知,x y ∈R ，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”是真命题 (3)回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为ˆy＝1.23x ＋0.08 (4)3=m 是直线02)3(=-++my x m 与直线056=+-y mx 互相垂直的充要条件；(5)若[],0,1a b ∈，则不等式2214a b +<成立的概率是4π； A ．4 B ．3 C ．2 D ．13．执行右面框图，则输出m 的结果是 A ．5B ．7C ．9D ．114．某几何体的正视图和侧视图如图所示（方格长度为1个单位），则该几何体的体积不可能是 A ．13B ．6πC ．23D ．1 5．在ABC ∆中， ac b =2，且33,cos 4a c B +==，则BC AB ⋅= A ．32 B ．32- C ．3D ．－3 6．定义在R 上的函数()xxg x eex 则满足(21)(3)g x g 的x 的取值围是A ．(－∞，2)B ．(－2，2)C ．(－1，2)D ．(2，＋∞)7．若x 、y 满足，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为A ．2B ．2-C ．12D ．12-8．)sin()(ϕω+=x A x f （其中0>A ，0>ω，2||πϕ<）的图象如图，为了得到2cos 2y x =的图象，只要将)(x f 的图象 A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个共同的焦点F ，两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则点F 到双曲线的渐近线的距离为 A ．3B ．2C ．6D ．310．已知()3sin 2cos 2f x x a x =+，其中a 为常数.()f x 的图象关于直线6x =π对称，则()f x 在以下区间上是单调函数的是A ．31[,]56--ππB ．71[,]123--ππC ．11[,]63-ππD ．1[0,]2π 11．定义一：对于一个函数()()f x x D ∈，若存在两条距离为d 的直线1m kx y +=和2m kx y +=，使得在D x ∈时，21)(m kx x f m kx +≤≤+ 恒成立，则称函数)(x f 在D 有一个宽度为d 的通道.定义二：若一个函数)(x f ，对于任意给定的正数ε，都存在一个实数0x ，使得函数)(x f 在),[0∞+x 有一个宽度为ε的通道，则称)(x f 在正无穷处有永恒通道.下列函数①()ln f x x =,②sin ()x f x x=，③2()1f x x =-，④()x f x e -=，其中在正无穷处有永恒通道的函数的个数为A ．1B ．2C ．3D ．412．已知函数()2f x x x a x =-+,若存在[]3,3a ∈-，使得关于x 的方程()()f x tf a =有三个不相等的实数根，则实数t 的取值围是 A ．95(,)84B ．25(1,)24C ．9(1,)8D ．5(1,)4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
湖北省七市(州)2016届高三3月联合调研数学(理)试题 Word版含答案
2016年3月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试理科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
(l) i 505的虚部为(A) -i (B) i (C)-l (D) l(2)命题“∀x ∈的值为．(A)e-l (B)e (C)3 (D)e+l(9)设M 、N 是抛物线C: y 2 =2px (p>0)上任意两点，点E 的坐标为（一λ，0）（λ≥0）若 EM EN ⋅ 的最小值为0，则λ= (A)2p (B)p (C) 2p (D)0 (10)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为(11)已知集合P={n|n=2k 一l ，k ∈N*，k ≤50}，Q={2，3，5}，则集合T ={xy|x ∈P, y ∈Q} 中元素的个数为(A) 147 (B) 140 (C) 130 (D) 117(12)设向量a=(1，k)，b=(x ，y)，记a 与b 的夹角为θ．若对所有满足不等式|x 一2|≤y ≤l的x ，y ，都有θ∈（0，2π），则实数k 的取值范围是 (A)（一l ，+∞） (B)（一l ，0） (0，-∞)(C)(1,+∞) (D)（一l,0) (1,+∞)第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须 作答。
第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
(13)观察下列等式l+2+3+…+n=12n(n+l)；l+3+6+…+12n(n+1)=16n（n+1）（n+2）；1+4+10+ (1)6n(n+1)(n+2)=124n(n+1）（n+2）（n+3）；可以推测，1+5+15+…+124n（n+1）（n+2）（n+3）= .(14)函数f(x)=3-x +x2-4的零点个数是(15)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°．若A，B两点相距130m，则塔的高度CD= m．(16)平面区域A1={(x，y)|x2+ y2<4，x，y∈R}，A2={(x, y)||x|+|y|≤3，x，y∈R)．在A2内随机取一点，则该点不在A1的概率为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2015—2016学年度湖北省部分高中期中联考高三理科数学参考答案
a 2, 所以当 a 0 时，有 解得 1 a 2; 3 3a,
所以实数 a 的取值范围是 1 a 2 . 18. 解：(1)设公差为 d ，由已知得 解得 d 1或d 0(舍去） …..3 分 所以 a1 3, a n n 2 …………..5 分 ……10 分
由 f ( x ) 0, 得x ln 当 x ln ③当 e
2
a a 1,2 ，当 x 1, ln 时f ( x ) 0, f ( x )递减 ， 2 2
a a a ,2时f ( x ) 0, f ( x )递增 所以 f ( x ) min f (ln ) a a ln 2 ….5 分 2 2 2 a 即 a 2e 2 时 2
MF2 MF1 PF1 2 3 ，且 F1 F2 2 2 2 3 …………..3 分
M在以 F1，F2 为焦点，长轴长为 2 3的椭圆上
。
点M的轨迹方程为：x 2
y2 1 …………………5 分 3
（2）假设存在满足条件的点 Q（x ,0) 。
1 当 l x轴 时， l的方程为 x 0
3/5
k 点Q到直线l的距离d
d
所以
2 2k 2 3 k2 1 k 2
3 2 1 k 2 3 k2
3 2 1 k 2 3 2 3 (1 k 2 ) 3 AB 即： 2 2 3 k2 3 k2
k2 1
点Q的坐标为（
2 2 2 2 或点 Q的坐标为（ ， 0） ， 0） 4 4 2 2 ， 0） 4 …….12 分
此时 A 点坐标为 (0, 3 ) ， 显然 x轴上存在点Q（ 3， 满足题意。 B点坐标为（0， - 3） 0） …6 分
2016年最新高三联合考试理科数学原创试卷(2016.3.19含参考答案)汇总
2016届最新高三数学试卷（理科）命题：泰和中学、高安中学、分宜中学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间为120分钟.2、本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷的无效.第Ⅰ卷（选择题共60分）一. 选择题:本大题共12小题,每小题５分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数21iZ i-=+的共轭复数对应的点在复平面内位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的N ＝3，则输出i ＝（ ） A.6 B.7 C.8 D.93.设集合},12|{},12|{A x y y B xx A x ∈-==>=， 则()R A C B ⋂等于（ ） A.)2,3(B. )2,3[C. )3,0(D. )2,0(4.函数2sin y x =的图像的一个对称中心为（ ） A. (0,0) B. (,0)4πC. 1(,)42π D. (,1)2π5. 棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ）A.314B.4C.310D.36、在如图所示的正方形中随机投掷10 000 个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）A.1 193B.1 359C.2 718D.3 4132(,)2XX X μσμσμσμσμσ<<+<<+附：若，则P(-)=0.6826P(-2)=0.95447.已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若161116117a a a b b b π⋅⋅=-++=,则3948tan 1b b a a +-⋅的值是( )A.1B.22C . 22-D. 8.已知实数y x ,满足401010x y y x +-≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，则2y z x =的最大值是（ ）A. 13B. 1 C . 3 D. 99、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若cos 2B ＋cos B ＝ 1－cos A cos C 则（ ）A 、a ，b ，c 成等差数列B 、a ，b ，c 成等比数列C 、a ，2b ，3c 成等差数列D 、a ，2b ，3c 成等比数列10.某高中数学老师从一张测试卷的12道选择题、4道填空题、6道解答题中任取3道题作分析，则在取到选择题时解答题也取到的概率为（ ）A.11112620332210C C C C C ⋅⋅-B. 111121264126332210C C C C C C C ⋅⋅+⋅- C. 11122112646126332210()C C C C C C C C ⋅⋅++⋅- D. 333221016332210C C C C C --- 11.双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2 ,则双曲线的离心率是( )12.已知()||xf x x e =⋅，又=)(xg )2()()10f tf x t R ++=∈()2()10f x tf x t R +=∈，若满足1)(-=x g 的x 有四个，则t 的取值范围为( )A ．21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭ B ．21(,)e e ++∞ C ．21,2e e ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭D ．212,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题共90分，其中22-24题三选一）二．填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.设24sin n xdx π=⎰，则nxx x x )2)(2(-+的展开式中各项系数和为_________. 14.正ABC ∆中，AB 在BC 方向上的投影为1-，且2AD D C =,则BD AC ⋅=________. 15.已知P,A,B,C 是球O 球面上的四点，ABC ∆是正三角形，三棱锥ABC P -的体积为439，且︒=∠=∠=∠30CPO BPO APO ,则球O 的表面积为______________. 16、下列说法中所有正确的序号是________①、""""p q p q ∧∨为真的一个必要不充分条件是为真.②、若11:0,:0.p p x x>⌝≤则③、1,1, 1.2a b a b =≤+≤若实数则④、数列*22{}()(21)n n n N ∈+的最大项为2.9三．解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S *()n N ∈，且满足21n n a S n +=+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：21223111112223nn n a a a a a a ++++<．18. （本小题满分12分）已知正方形CD AB 的边长为2，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、C B 、CD 、D A 的中点．（1）在正方形CD AB 内部随机取一点P ，求满足1PE <的概率；（2）从A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离的平方为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望ξE ．19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱错误！未找到引用源。
数学---湖北省重点高中联考协作体2016-2017学年高二下学期期中考试(理)(解析版)
湖北省重点高中联考协作体2016-2017学年高二下学期期中考试（理）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.命题“存在0x R ∈，使得20010x x +-<”的否定是( )A. 不存在0x R ∈，使得20010x x +-<B. 对于任意的x R ∈， 210x x +-< C. 存在0x R ∈，使得20010x x +-≥ D. 对于任意的x R ∈， 210x x +-≥2.命题:p 若()22,,ac bc a b c R <∈，则a b <，命题:q 任意向量c ，若/,/a cb c，则//a b，则下列命题为真命题的是( )A. p q ∧B.()()p q ⌝∧⌝C.()p q ∨⌝D.()p q ⌝∨3.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距为( )A. 4B. 22C. 2D.424.以椭圆2212516x y +=的焦点顶点，离心率为2的双曲线方程为( ) A.2211648x y -= B. 221927x y -= C. 2211648x y -=或 221927x y -= D.以上都不对 5.经过椭圆22221x y a b+=右焦点2F 作与x 轴垂直的直线l ，直线l 与椭圆交于A,B 两点，若A,B 与左焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率为( ) A.12 B.22 C. 33 D.326.一个动圆与定圆()22:21F x y ++=相外切，且与直线:1l x =相切，则动圆圆心的轨迹方程为( )A. 24y x =B. 22y x =C.24y x =-D.28y x =-7.如图所示，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c === 点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，则MN等于( )A. 121232a b c -+B.211322a b c -++C.112223a b c +-D. 221332a b c +- 8.已知向量()()2,1,2,2,2,1a b =-=，以,a b 为邻边的平行四边形的面积为( )A.65 B.652C. 4D. 8 9.22y x =上一点P 到()1,3A 的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标为( ) A. ()2,1- B. ()1,2- C. ()2,1 D.()1,210.直线()11y k x =-+与椭圆2219x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是( ) A. 9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B. ()9,99,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C. ()9,99,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D.9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11.圆O 的半径为定长r,A 是圆O （点A 与点O 不重合）内或外的一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当P 在圆上运动时，Q 的轨迹是( ) A. 椭圆 B. 双曲线 C. 椭圆或双曲线 D. 椭圆或双曲线的一支 12.过抛物线24y x =的焦点作两条相互垂直的弦AB,CD ，则11AB CD+的值为( ) A.1 B. 2 C.14 D.12第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.经过点()4,2P -的抛物线的标准方程为 .14.若0ab =，则0a =或0b =的否命题为 .15.如图60的二面角的棱上有A,B 两点，直线AC ，BD 分别在二面角两个半平面内，且垂直于AB,AC=BD=6，AB=8，则CD= .16.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则2212e e +的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分10分）设命题2:2310p x x -+≤；命题22:210q x ax a -+-≤，若非p 是非q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18.（本题满分12分）已知抛物线()220y px p =>的准线方程为1.2x =- （1）求抛物线方程；（2）设直线()2y k x =-与抛物线相交于M,N 两点，O 为坐标原点，证明：以MN 为直径的圆过点O.19.（本题满分12分）如图，已知O 是边长为22的正方形ABCD 的中心，点E,F 分别是AD,BC 的中点，沿对角线AC 把正方形ABCD 折成二面角D-AC-B.（1）证明：四面体ABCD 的外接球的体积为定值，并求出定值； （2）若二面角D-AC-B 的为直二面角，求二面角E-OF-A 的余弦值.20.（本题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11,3, 5.A ACC AB BC ==， （1）求证：1AA ⊥平面ABC ；（2）求BC 与平面11A C B 所成角的正弦值；（3）在线段1BC 上是否存在点D,使得1AD A B ⊥？若存在，求出1BDBC 的值.21.（本题满分12分）平面内一动点P 与两定点()()1,0,1,0-斜率之积为2. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,1M 能否做一条直线l 与曲线C 交于A,B 两点，且M 为线段AB 的中点，若能，求出l 的方程；若不能，说明理由.22.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线60x y -+=相切. （1）求椭圆的包标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A,B 两点，且22OA OB b k k a⋅=-，求证：AOB ∆的面积为定值.参考答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.【答案】D【解析】由题意知，原命题是特称命题，其否定需要由全称命题来完成，即“对任意的”，故选D.2.【答案】C3.【答案】A【解析】由题意知，取双曲线的渐近线，焦点，则，又，则，解得，故选C.4.【答案】B【解析】试题分析：因为椭圆方程为:所以分两种情况讨论.⑴当顶点为时,，，，则双曲线方程为：；⑵当顶点为时,，则双曲线方程为：；故选C 考点：圆锥曲线问题,椭圆与双曲线有共同顶点问题.5.【答案】C6.【答案】D【解析】由题意，圆的圆心坐标为，半径为1，不妨设动圆圆心坐标为（其中），则，整理得，故选D.7.【答案】B【解析】由题意，以为基底建立空间向量，则故选B.8.【答案】A9.【答案】D【解析】由题意知，抛物线的焦点为，准线为，且点在抛物线内部，过点作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可知，垂线与抛物线的交点即为所求的点，且易求得，点的坐标为，故选D.10.【答案】B【解析】试题分析：恒过点，由点在椭圆内或椭圆上得：得且，选.考点：直线与椭圆位置关系11.【答案】C【解析】由题意，当定点在圆内时，交点到点与到点的距离之和等于圆的半径，则此时点的轨迹是以，为焦点，长轴为的椭圆；当点在圆外时，交点到点与到点的距离之差等于圆的半径，则此时点的轨迹是以，为焦点，长轴为的双曲线，故选C.点睛：此题主要考查平面解析几何中的轨迹问题，以及圆、椭圆、双曲线的定义的应用等有关方面知识，属于中档题型，也是常考考点.此类型的轨迹问题相对容易些，前提是要熟悉各类圆锥曲线的定义，常常需要画出草图协助观察，在动点运动的环境下寻找不变的条件，并判断其特点符合哪种圆锥曲线，从而问题得于解决.12.【答案】C点睛：此题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及平面解析几何中定值问题等有关方面知识，属于中档题型，也是高频考点.此类问题常需要联立直线与抛物线方程消去（或是），再利用弦长公式或者韦达定理，将所求最值式子进行转化为某参数（或是消参）的表达式，再讨论其值情况，从而问题可得解.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.【答案】或【解析】由点在第四象限，则抛物线的开口方向为向右或向下，所以可设该抛物线的方程为或（），将点坐标分别代入两方程得，所求抛物线的方程为或.14.【答案】若，则且【解析】由题意，原命题为“或”命题，其否命题需由“且”命题来完成，所以所求命题的否命题为，若，则且.15.【答案】10【解析】由题意得，过点作，且，如图所示，则，又，所以为等边三角形，且四边形为矩形，即且平面，而平面，所以，由勾股定理得，.点睛：此题主要考查二面角在空间立体图形中求线段长度的应用，以及数形结合法的应用，属于中档题型，也是常考考点.在解决此类问题中，常常把立体问题转化为平面图形问题来解决，根据条件画出草图，观察图形特点，利用勾股定理、正弦定理或是余弦定理进行运算，从而问题可得解.16.【答案】点睛：此题主要考查椭圆、双曲线的定义、离心率在解决问题中的应用，以及余弦定理和柯西不等式在求最值中应用的有关方面知识，属于中高档题型，也是高频考点.在解决此类问题中，注意从数和形两方面分析椭圆、双曲线的定义、离心率与基本量之间的关系，根据所求最值式子的特点，结合柯西不等式，从而问题可得解.三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题22分，共6小题70分.）17.解：由命题得，命题得，由题意，根据命题的等价命题知，命题是命题的充分不必要条件，所以，从而问题可得解.18.解：（1）由题意（2）联立得即令以为直径的圆过点.19.则，∴，，设平面的法向量为，则，即，令，则，∴，又平面的法向量为，∴，∴二面角的余弦值为．20.∴以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A－xyz.，于是，，，，设平面法向量为，令与平面所成角正弦值为.21.联系得：无解矛盾，所以不存在.点睛：此题主要考查了轨迹方程，直线与双曲线的位置关系，以及点差法的应用等有关方面的知识，属于中高档题型，也是常考考点.在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到点差法：设弦的两个端点坐标，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解.22.解：（1）由题意知，∴，即又，∴，椭圆的方程为。
湖北省优质高中2016届高三下学期联考理数试题(原卷版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知复数1z i =+（i 是虚数单位），则22z z-的共轭．．复数是（ ） A ． 13i -+B ．13i +C ．13i -D ．13i --2.已知定义域为R 的函数错误！未找到引用源。
不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是（ ） A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
3.若n 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x n+=的离心率是（ ）A ．B C D 4.已知向量()()()3,1,1,3,,2a b c k ===-，若()//a c b -，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是（ ）A B ．15C ．D ．15-5.已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．6.如右图所示，执行程序框图输出的结果是（ ）A ．111123411+++⋅⋅⋅+ B ． 111124622+++⋅⋅⋅+C ．111123410+++⋅⋅⋅+ D ． 111124620+++⋅⋅⋅+7.已知g (x )是R 上的奇函数，当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数()()⎩⎨⎧=x g x x f 3 00>≤x x若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(1，2) D ．(－2，1)8.如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n(n>l ，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为n a ，则233445201520169999a a a a a a a a ++++= （ ）A ．20122013B ．20132012C ．20142015D ．201420139.要得到函数()sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的导函数()'f x 的图象，只需将()f x 的图象（ ） A ．向右平移3π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变） B ．向右平移6π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍（横坐标不变）C ．向左平移3π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的3倍（横坐标不变）D ．向左平移6π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）10.在双曲线22221x y a b -= (a ＞0，b ＞0)中，222c a b =+，直线2a x c=-与双曲线的两条渐近线交于A ，B两点，且左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A ．(0，2) B ． (1，2) C.⎪⎪⎭⎫⎝⎛122， D ．(2，＋∞) 11.从重量分别为1，2，3，4，…，10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m , 下列各式的展开式中9x 的系数为m 的选项是（ ） A ．2311(1)(1)(1)(1)x x x x ++++B ．(1)(12)(13)(111)x x x x ++++C ．2311(1)(12)(13)(111)x x x x ++++D ．223211(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x ++++++++++12.已知函数()g x 满足121()(1)(0)2x g x g e g x x -'=-+，且存在实数0x 使得不等式021()m g x -≥成立，则m 的取值范围为（ ）A.(],2-∞B. (],3-∞C. [)1,+∞D.[)0,+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某单位为了了解用电量y 度与气温x C 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表由表中数据得回归直线方程ˆˆˆybx a =+中ˆ2b =-，预测当气温为4-C 时，用电量的度数是 ． 14.设非负实数y x ,满足：⎩⎨⎧≤+-≥521y x x y ，（2,1）是目标函数y ax z 3+=（)0>a 取最大值的最优解，则a的取值范围是 ．15.函数()112cos 2x f x x π-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（46x -≤≤）的所有零点之和为 ．16.已知数列3n n a =，记数列{n a }的前n 项和为n T ，若对任意的 n ∈N* ，3()362n T k n +≥-恒成立，则实数 k 的取值范围 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12 分）已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 且sin cos 0a B b A +=. （1）求角A 的大小；（2）若2a b ==，求ABC ∆的面积. 18.（本小题满分12 分）当前，网购已成为现代大学生的时尚。
2015-2016学年湖北省重点高中联考协作体高三下学期期中数学试卷(文科)【解析版】
2015-2016学年湖北省重点高中联考协作体高三（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.）1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{x|1≤2x≤4，x∈Z}，则M∩N ＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）若a为实数，且，则a＝（）A．﹣4B．﹣3C．3D．43．（5分）已知＝（0，﹣1），＝（﹣1，2），则（2﹣）•＝（）A．﹣1B．0C．1D．44．（5分）在圆C1：x2+y2＝4内任取一点P，P落在圆C2：（x﹣a）2+y2＝1内的概率是，则a的范围是（）A．﹣1≤a≤1B．﹣2≤a≤2C．0≤a≤1D．﹣1≤a≤0 5．（5分）已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线x2＝﹣4y的焦点重合，则此椭圆的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）已知S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则＝（）A．4B．6C．8D．127．（5分）如图是某函数图象的一部分，则该函数表达式是（）A．B．C．D．8．（5分）如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若在框图中输入的a，b分别为30、18，则输出的a为（）A．0B．2C．6D．149．（5分）实数x，y满足（a＜1），且z＝2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．D．10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．B．16πC．144πD．288π11．（5分）已知函数且f（a）≥﹣2，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[3，+∞）C．（﹣∞，3]D．[1，3]12．（5分）已知函数f（x）＝（2ax﹣lnx）x有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，1）D．（0，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）在数列{a n}中，已知a1＝1，a n+1＝3a n，S n为{a n}的前n项和．若S n ＝40，则n＝．14．（5分）某空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则其表面积是cm2．15．（5分）某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为48的样本，则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是．16．（5分）已知双曲线C1：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的顶点在原点，对称轴为x轴，它的准线过双曲线C1的左焦点F1，若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足PF2⊥F1F2，双曲线C1的一个焦点到其渐近线距离的平方是2+2，则抛物线C2的方程是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2＝b2+c2+bc，（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝，C＝，求△ABC的面积．18．（12分）2016年“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从小型汽车中按进服务区的先后每间隔35辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值；（Ⅱ）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率．19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝1，点M是SD的重点，AN⊥SC，且交SC于点N．（Ⅰ）求证：直线SC⊥平面AMN；（Ⅱ）求点N到平面ACM的距离．20．（12分）已知直线l：4x+3y+15＝0，半径为3的⊙C与l相切，圆心C在x 轴上且在直线l的右上方．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）如图过点M（1，0）的直线与圆C交于A、B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在顶点N，使得x轴评分∠ANB？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝ax+xlnx的图象在点（e，f（e））（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞1恒成立，求k的最大值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD相交于点F．（Ⅰ）证明：A、E、F、M四点共圆；（Ⅱ）若MF＝4BF＝2，求线段BC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l与曲线C交于A、B两点，并与y轴交于点P．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求的值．[选修4-5：不等式选讲]24．（10分）设函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）当a＝4时，求不等式f（x）≥6的解集；（Ⅱ）若f（x）≥5对x∈R恒成立，求a的取值范围．2015-2016学年湖北省重点高中联考协作体高三（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.）1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{x|1≤2x≤4，x∈Z}，则M∩N ＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【解答】解：由N中不等式变形得：20＝1≤2x≤4＝22，即0≤x≤2，x∈Z，∴N＝{0，1，2}，∵M＝{﹣2，﹣1，0，1}，∴M∩N＝{0，1}，故选：B．2．（5分）若a为实数，且，则a＝（）A．﹣4B．﹣3C．3D．4【考点】A5：复数的运算．【解答】解：由，得2﹣ai＝（1+i）（3+i）＝2+4i，则a＝﹣4．故选：A．3．（5分）已知＝（0，﹣1），＝（﹣1，2），则（2﹣）•＝（）A．﹣1B．0C．1D．4【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：2﹣＝（1，﹣4），∴（2﹣）•＝0×1+（﹣1）×（﹣4）＝4．故选：D．4．（5分）在圆C1：x2+y2＝4内任取一点P，P落在圆C2：（x﹣a）2+y2＝1内的概率是，则a的范围是（）A．﹣1≤a≤1B．﹣2≤a≤2C．0≤a≤1D．﹣1≤a≤0【考点】CF：几何概型．【解答】解：圆C1的面积为4π，∵P落在圆C2：（x﹣a）2+y2＝1内的概率是，∴圆C2：（x﹣a）2+y2＝1在圆C1：x2+y2＝4内的面积为π，∴圆C2：（x﹣a）2+y2＝1在圆C1：x2+y2＝4内，即两圆内含或内切，∴|a|≤1，∴﹣1≤a≤1．故选：A．5．（5分）已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线x2＝﹣4y的焦点重合，则此椭圆的方程为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【解答】解：抛物线x2＝﹣4y的焦点为（0，﹣1），为椭圆的一个焦点．因此可设椭圆的标准方程为：＝1（a＞b＞0）．则c＝1，，a2＝b2+c2，联立解得a＝2，b2＝3．∴此椭圆的标准方程为：＝1．故选：B．6．（5分）已知S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则＝（）A．4B．6C．8D．12【考点】88：等比数列的通项公式．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，∵S1，S2，S4成等比数列，∴S22＝S1S4，即（2a1+d）2＝a1（4a1+6d），解方程可得d＝2a1，故＝＝12，故选：D．7．（5分）如图是某函数图象的一部分，则该函数表达式是（）A．B．C．D．【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【解答】解：设函数的表达式为f（x）＝A sin（ωx+φ）或f（x）＝A cos（ωx+φ），函数的最大值为1，都满足条件．函数的周期T＝4×[]＝4×＝π，则ω＝2，排除C．当x＝时，函数取得最大值1，则＝cos（﹣）＝cos0＝1，满足条件．＝cos（﹣）＝cos（﹣）＝≠1，排除B，＝sin（﹣）＝sin0＝0≠1，排除D，故选：A．8．（5分）如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若在框图中输入的a，b分别为30、18，则输出的a为（）A．0B．2C．6D．14【考点】EF：程序框图．【解答】解：由程序框图可知：当a＝30，b＝18时，满足a＞b，则a变为30﹣18＝12，由b＞a，则b变为18﹣12＝6，由b＜a，则a变为12﹣6＝6，由a＝b＝6，则输出的a＝6．故选：C．9．（5分）实数x，y满足（a＜1），且z＝2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．D．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（1，1），此时z＝2×1+1＝3，当直线y＝﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（a，a），此时z＝2×a+a＝3a，∵目标函数z＝2x+y的最大值是最小值的4倍，∴3＝4×3a，即a＝．故选：B．10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．B．16πC．144πD．288π【考点】LG：球的体积和表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC＝V C﹣AOB＝，故R＝2，则球O的表面积为4πR2＝16π，故选：B．11．（5分）已知函数且f（a）≥﹣2，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[3，+∞）C．（﹣∞，3]D．[1，3]【考点】5B：分段函数的应用．【解答】解：若a≤1，则由f（a）≥﹣2得2a﹣1﹣2≥﹣2，即2a﹣1≥0，此时不等式恒成立，若a＞1，则由f（a）≥﹣2得﹣log2（a+1）≥﹣2，即log2（a+1）≤1，得0＜a+1≤2，即﹣1＜a≤1，此时不等式无解，综上a≤1，故选：A．12．（5分）已知函数f（x）＝（2ax﹣lnx）x有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，1）D．（0，+∞）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：f（x）＝（2ax﹣lnx）x＝2ax2﹣xlnx（x＞0），f′（x）＝4ax﹣lnx ﹣1．设g（x）＝4ax﹣lnx﹣1，∵函数f（x）＝（2ax﹣lnx）x有两个极值点，则g（x）＝0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x）＝4a﹣＝，当a≤0时，g′（x）＜0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递减，因此g（x）＝0在区间（0，+∞）上没有两个实数根，舍去．当a＞0时，令g′（x）＝0，解得：x＝．令g′（x）＜0，解得：0＜x＜，此时函数g（x）单调递减；令g′（x）＞0，解得：x＞，此时函数g（x）单调递增．∴当x＝时，函数g（x）取得极小值．要使g（x）＝0在区间（0，+∞）上有两个实数根，只需g（）＝4a×﹣ln﹣1＜0，即ln＞0，解得：0＜a＜．∴实数a的取值范围是（0，）．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）在数列{a n}中，已知a1＝1，a n+1＝3a n，S n为{a n}的前n项和．若S n ＝40，则n＝4．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：a n+1＝3a n，a1＝1，可知数列{a n}是1为首项，3为公比的等比数列，S n＝40，＝40，解得：n＝4，故答案为：4．14．（5分）某空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则其表面积是12+4cm2．【考点】L!：由三视图求面积、体积；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体，切去两个三棱锥所得：其表面由一个边长为2正方形，四个直角边长为2等腰直角三角形和两个边长为2等边三角形组成，故表面积：S＝2×2+4××2×2+2××＝12+4cm2，故答案为：12+4cm215．（5分）某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为48的样本，则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是8，16，24．【考点】B3：分层抽样方法．【解答】解：∵单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为48样本，每个人被抽到的概率为＝，∴利用分层抽样方法得到：老年人应抽取的人数为：×27＝8人，中年人应抽取的人数为：×54＝16人，青年人应抽取的人数为：×81＝24人．故答案为：8，16，2416．（5分）已知双曲线C1：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的顶点在原点，对称轴为x轴，它的准线过双曲线C1的左焦点F1，若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足PF2⊥F1F2，双曲线C1的一个焦点到其渐近线距离的平方是2+2，则抛物线C2的方程是y2＝4（+1）x．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：∵抛物线C2的顶点在原点，对称轴为x轴，它的准线过双曲线C1的左焦点F1，∴抛物线的焦点坐标为（c，0），则抛物线方程为y2＝4cx，若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足PF2⊥F1F2，则P点的横坐标为x＝c，则y2＝4c•c，则y＝±2c，不妨设P（c，2c），则PF2＝2c，F1F2＝2c，则PF1＝2c，∵PF1﹣PF2＝2a，∴2c﹣2c＝2a，则（﹣1）c＝a，①双曲线的焦点F2（c，0）到渐近线y＝x，即bx﹣ay＝0的距离d＝＝＝b，∵双曲线C1的一个焦点到其渐近线距离的平方是2+2，∴b2＝2+2，②联立①②得c＝+1，则抛物线的方程为y2＝4（+1）x，故答案为：y2＝4（+1）x三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2＝b2+c2+bc，（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝，C＝，求△ABC的面积．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵a2＝b2+c2+bc，∴cos A＝＝＝﹣…3分∵A∈（0，π）．∴A＝…6分（Ⅱ）根据题意B＝C＝，…7分根据正弦定理，可得：，所以，b＝c＝1，…9分＝bc sin A＝sin＝…12分故，S△ABC18．（12分）2016年“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从小型汽车中按进服务区的先后每间隔35辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值；（Ⅱ）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率．【考点】B8：频率分布直方图；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，得：众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5；设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣75）＝0.5，解得x＝77.5，即中位数的估计值为77.5；（Ⅱ）根据频率分布图知，车速在[60，65）的车辆数为：m1＝0.01×5×40＝2（辆），分别记为A、B；车速在[65，70）的车辆数为：m2＝0.02×5×40＝4（辆），分别记为c、d、e、f；∴从这6辆车中任抽取2辆，基本事件数是，AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共有15种；则车速在[65，70）的车辆至少有一辆的基本事件数是，Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共有14种；故所求的概率为：p＝．19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝1，点M是SD的重点，AN⊥SC，且交SC于点N．（Ⅰ）求证：直线SC⊥平面AMN；（Ⅱ）求点N到平面ACM的距离．【考点】LW：直线与平面垂直；MK：点、线、面间的距离计算．【解答】（Ⅰ）证明：∵DC⊥SA，DC⊥DA，∴DC⊥平面SAD，∴AM⊥DC，又∵SA＝AD，M是SD的中点，∴AM⊥SD，∴AM⊥平面SDC，∴SC⊥AM，∵SC⊥AN，∴SC⊥平面AMN．＝＝＝＝＝（Ⅱ）解：V M﹣ANC，MA＝，AC＝，MC＝，∴S△AMC＝＝，＝，∴h＝．∴V N﹣ACM∴点N到平面ACM的距离为．20．（12分）已知直线l：4x+3y+15＝0，半径为3的⊙C与l相切，圆心C在x 轴上且在直线l的右上方．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）如图过点M（1，0）的直线与圆C交于A、B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在顶点N，使得x轴评分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【解答】解：（1）设圆心C（a，0）（a＞﹣），∵直线l：4x+3y+15＝0，半径为3的圆C与l相切，∴d＝r，即＝3，解得：a＝0或a＝﹣（舍去），则圆C方程为x2+y2＝9；（2）当直线AB⊥x轴，则x轴平分∠ANB，若x轴平分∠ANB，则k AN＝﹣k BN，即+＝0，整理得：2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t＝0，即﹣+2t＝0，解得：t＝9，当点N（0，0），能使得∠ANM＝∠BNM总成立．21．（12分）已知函数f（x）＝ax+xlnx的图象在点（e，f（e））（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞1恒成立，求k的最大值．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：（1）由已知得f′（x）＝a+lnx+1，故f′（e）＝3，∴a+lne+1＝3，∴a＝1；（2）由（1）知，f（x）＝x+xlnx∴k＜对任意x＞1恒成立，等价于k＜对任意x＞1恒成立令g（x）＝，则g′（x）＝令h（x）＝x﹣lnx﹣2，x＞1，则h′（x）＝1﹣＝＞0∴h（x）在（1，+∞）上单调增加，∵h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣2ln2＞0，∴h（x）在（1，+∞）上在唯一实数根x0，满足x0∈（3，4），且h（x0）＝0当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，∴g′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）＝在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增∴g（x）min＝g（x0）＝＝∈（3，4），∴k＜g（x）min＝x0∈（3，4），∴整数k的最大值为3．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD相交于点F．（Ⅰ）证明：A、E、F、M四点共圆；（Ⅱ）若MF＝4BF＝2，求线段BC的长．【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定；NC：与圆有关的比例线段．【解答】（Ⅰ）证明：如图，连结AM，由AB为直径可知∠AMB＝90°，又CD⊥AB，所以∠AEF＝∠AMB＝90°，因此A、E、F、M四点共圆．（Ⅱ）解：连结AC，由A、E、F、M四点共圆，所以BF•BM＝BE•BA，在Rt△ABC中，BC2＝BE•BA，又由MF＝4BF＝2，知BF＝，BM＝2+＝，所以BC2＝BF•BM＝×，即BC＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l与曲线C交于A、B两点，并与y轴交于点P．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数，可得普通方程为x﹣y+1＝0．由曲线C的极坐标方程ρ＝，展开为ρ2＝2ρsinθ+2ρcosθ，∴普通方程是x2+y2＝2y+2x，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．（Ⅱ）设直线与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，把直线的参数方程（t为参数），代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2中，得t2﹣t﹣1＝0，∴t1+t2＝，t1t2＝﹣1，∴＝＝＝．[选修4-5：不等式选讲]24．（10分）设函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）当a＝4时，求不等式f（x）≥6的解集；（Ⅱ）若f（x）≥5对x∈R恒成立，求a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【解答】解：（Ⅰ）当a＝4时，求不等式f（x）≥6，即|x﹣1|+|x﹣a|＝|x﹣1|+|x ﹣4|≥6，∴①，或②，或③．解①求得x≤﹣，解②求得x∈∅，解③求得x≥，综上可得，不等式的解集为{|x≤﹣，或x≥}．（Ⅱ）若f（x）≥5对x∈R恒成立，而f（x）＝|x﹣1|+|x﹣a|≥|x﹣1﹣（x﹣a）|＝|a﹣1|，∴|a﹣1|≥5，即a﹣1≥5，或a﹣1≤﹣5，求得a≥6，或a≤﹣4．。
湖北省重点高中联合协作体高三数学期中试题理(扫描版)
湖北省重点高中联合协作体2017届高三数学期中试题理（扫描版）高三（理）数学试题参考答案及评分细则一 选择题二 填空题13．（2，－4）或(－2,4) 14．21π 15．24 16．1)21(23--=n n T 三 解答题17．解（1）∵“log 2g(x)<1”是真命题∴log 2(22－2)<1 ∴0<2x－2<2 ∴1<x<2 ∴x 的取值范围是(1,2) （2）p ∧q 是真命题 ∴p 与q 都是真命题 当x>1时，g(x)=2x－2>0 ∴f(x)<0∵m<－1 ∴2m<―m ―3 ∴由f(x)<0得x<2m 或x>―m ―3 ∴―m ―3≤1 得m ≥－4 ∴4≤m<－1 当－1<x<0时，g(x)=2x－2<0 ∴对)0,1(-∈∀x 使f(x)>0而f(x)>0⇔2m<x<－m －3 ∴⎩⎨⎧≥---≤0312m m ∴m ≤－3综上，－4≤m ≤－3.18 (Ⅰ) 解法一： 在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =．在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =， 所以cos CD CDB BD ∠=52x=．………………………………………………………2分在△ACD 中，因为AD x =，5CD =，AC =由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD +-∠==⨯⨯ ………4分 因为CDB ADC ∠+∠=π， 所以cos cos ADC CDB ∠=-∠，52x=-．………………………………………………………5分 解得5x =．所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分 解法二： 在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =． 在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =，所以BC =所以cos 2BC CBD BD x∠==．……………………………………………2分在△ABC 中，因为3AB x =，BC AC =由余弦定理得2222cos 2AB BC AC CBA AB BC +-∠==⨯⨯．…………4分所以2x =2．………………………………………………5分 解得5x =．所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC ==．………………8分所以cos BC CBD BD ∠==1sin 2CBD ∠=．…………………………10分所以1sin 2ABC S AB BC CBA ∆=⨯⨯⨯∠111522=⨯⨯=12分解法二：由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC ==．………………8分因为AC =ABC 为等腰三角形．因为cos BC CBD BD ∠==30CBD ∠=．……………………………10分所以△ABC 底边AB 上的高12h BC ==所以12ABC S AB h ∆=⨯⨯1152=⨯=．………………………………12分解法三：因为AD 的长为5， 所以51cos ==22CD CDB BD x ∠=，解得3CDB π∠=．……………………8分所以12sin 234ADC S AD CD ∆π=⨯⨯⨯=．1sin 23BCD S BD CD ∆π=⨯⨯⨯=．……………………………………10分所以ABC ADC BCD S S S ∆∆∆=+=12分 19法一（Ⅰ）取AD 中点F ，连接BF ，则//FD BE ，∴四边形FBED 是平行四边形，∴ FB //ED ∵直角△BAF 和直角△CBA 中，2BA CBAF BA==∴直角△BAF直角△CBA ，易知BF AC ⊥∴ED AC ⊥………2分又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥……4分，而PA AC A =∴ED ⊥平面PAC .得证. ……5分（Ⅱ）由△AGD△CGE ，知23DG AD GE EC ==，∵2AB AD ==∴35EG DE ==DG =设ED 交AC 于G ，连接PG ，则EPG ∠是直线PE 与平面PAC 所成的角，55sin ==∠EP EG EPG ，∴3PE =，而AE =故2PA ==.……7分.作GH PC ⊥于H ，由PC DE ⊥，知PC ⊥平面HDG ，∴PC DG ⊥，∴GHD ∠是二面角A PC D --的平面角.……9分∵△PCA △GCH ，∴PA PC GH GC =，而GC ==PA GC GH PC ⋅==∴tan GHD ∠=，∴cos GHD ∠=A PC D --的平面角的余弦值为……12分（其他方法酌情给分）法二：（Ⅰ）∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥ 又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系……1分.由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC =，(0,0,)AP λ=，(2,1,0)DE =-∴4400DE AC ⋅=-+=，0DE AP ⋅=.……4分，∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，(2,1,)PE λ=-设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，∴sin |cos ,|PE DE θ=<>==，2λ=±∵0λ>∴2λ=，即(0,0,2)P ………8分设平面PCD 的一个法向量为n 000(,,)x y z =，(2,2,0)DC =，(0,2,2)DP =- 由n DC ⊥，n DP ⊥∴0000220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则n (1,1,1)=-- ………10分∴cos <n，DE >==………11分 显然二面角A PC D --的平面角是锐角，∴二面角A PC D --的平面角的余弦值为515………12分（其他方法可酌情给分） 20解（1）由题设知(p －1)a 1=p 2－a 1，得p=a 1或p=0（舍）由条件知(p －1)S 2=(p －1)(a 1+a 2)=p 2－a 2 得a 2=1 再由(p －1)S 3=(p －1)(a 1+a 2+a 3)=p 2－a 3 得a 3=p1 由a 3=31得p 1=31 故p=3=a 1 ∴2S n =9－a n ，则2S n+1=9－a n+1 两式相减得：2(S n+1－S n )=a n －a n+1 即2a n+1=a n －a n+1 ∴a n+1=31a n ∴{a n }是首项为3，公比为31的等比数列，故a n =3·(31)n －1=32－n（2）∵b n =nn a n 1)2(21log 213=--=-∴b n ·b n+2=)211(21)2(1+-=+n n n n∴T n =b 1b 3+b 2b 4+b 3b 5+…+b n ·b n+2=)]211()5131()4121()311[(21+-+⋅⋅⋅+-+-+-n n=43)2111211(21<+-+-+n n 故要使T n <m 2－m+43恒成立，只需43≤m 2－m+43解得m ≤0或m ≥1故所求实数m 的取值范围为),1[]0,(+∞-∞ .21（1）因点B 与（-1,1）关于原点对称，得B 点坐标为（1，-1）。
湖北省八校2016届高三联考 数学试题
湖北省八校2016届高三联考数学试题（理科）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知集合，则( )A．B．C．D．2．若复数是纯虚数（为虚数单位），则的值为( ) A．B．C．D．或3．在各项均为正数的等比数列中，且成等差数列，记S n是数列{a n}的前n项和，则( )A．32 B．62 C．27 D．814．已知函数的最小正周期为，且其图像向左平移个单位后得到函数的图像，则函数的图像( )A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点对称5．甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为( ) A．B．C．D．6．已知定义在R上的函数满足，，且当时,,则= ( )A．B．C．D．7．若如下框图所给的程序运行结果为S=41，则图中的判断框①中应填入的是( )A．B．C．D．8．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A．甲B．乙C．丙D．丁9．设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则的值为( ) A．B．C．D．10．已知变量满足若目标函数取到最大值，则的值为( ) A．B．C．D．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为( )A．B．C．D．12．已知直线与曲线相交于,且曲线在处的切线平行，则实数的值为( )A．B．4或C．或D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知，则二项式的展开式中的系数为．14．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点D为AC中点，点E满足，则＝．15．已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为．16．已知数列的前项和为，对任意，且恒成立，则实数的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在中，角的对边分别为，且满足．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若点为中点，且，求．18．(本小题满分12分)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均课外课外体育运动时间在上的学生评价为“课外体育达标”．（Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的数学期望和方差．参考公式：，其中参考数据：19．(本小题满分12分)已知四棱锥,底面是直角梯形，∥,,，是边长为的等边三角形，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若点为中点,求二面角的余弦值．20．（本题满分12分）已知抛物线上点处的切线方程为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设和为抛物线上的两个动点，其中且，线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值．21．（本题满分12分）已知函数．（Ⅰ）当时，求的单调性；（Ⅱ）若,且方程有两个不相等的实数根．求证：．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.23．(本小题满分10分) 选修4-4 ：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以为圆心，为半径．（Ⅰ）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；（Ⅱ）设直线与圆相交于两点，求．24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数的定义域为．（Ⅰ）求实数的范围；（Ⅱ）若的最大值为，当正数满足时，求的最小值．湖北省八校2016届高三第二次联考理科数学试题答案及评分参考一、选择题1．C 2．A 3．B 4．C 5．D 6．C7．C 8．D 9．B 10．B 11．D 12．B二、填空题13．14．15．16．三、解答题17．解答：（Ⅰ），即，，，所以，得．………6分（Ⅱ）解法一：取中点,连,则,则，则，由（Ⅰ）知，，由正弦定理知，，得. ………12分解法二：由（Ⅰ）知，又为中点，，在中，由余弦定理分别得：又，，由正弦定理知，，得.………5分所以在犯错误的概率不超过的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关．………6分（Ⅱ）由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，将频率视为概率，．………12分19．解答：（Ⅰ）是边长为的等边三角形, 底面是直角梯形，又又………6分（Ⅱ）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，则设平面的法向量为，则取………8分为中点，则，设平面的法向量为，则取………10分由．二面角的余弦值为．………12分20．解答：（Ⅰ）设点，由得，求导，因为直线的斜率为1，所以且，解得，所以抛物线的方程为．………4分（Ⅱ）设线段中点，则，∴直线的方程为，即，过定点. ………6分联立得，，………8分设到的距离，，………10分当且仅当，即时取等号，的最大值为8. ……12分21．解答：（Ⅰ）设当时，在上单调递增．………4分（Ⅱ）在上单调递增，当时，必存在使得即在上单调递减，在上单调递增，又设则在上单调递减，在上单调递增，又不妨设则由（Ⅰ）知，，………12分23．解答：（Ⅰ）直线的参数方程为，（答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为. ………5分（Ⅱ）把代入，得，，设点对应的参数分别为，则,………10分24．解答：（Ⅰ）函数的定义域为R，，.………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由柯西不等式知，，当且仅当时取等号，的最小值为.。
2015-2016学年湖北省重点高中联考协作体高三(下)期中数学试卷和答案(文科)
2015-2016学年湖北省重点高中联考协作体高三（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.）1．（5分）已知集合M={﹣2，﹣1，0，1}，N={x|1≤2x≤4，x∈Z}，则M∩N=（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）若a为实数，且，则a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．43．（5分）已知=（0，﹣1），=（﹣1，2），则（2﹣）•=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．44．（5分）在圆C1：x2+y2=4内任取一点P，P落在圆C2：（x﹣a）2+y2=1内的概率是，则a的范围是（）A．﹣1≤a≤1 B．﹣2≤a≤2 C．0≤a≤1 D．﹣1≤a≤05．（5分）已知椭圆的中心在原点，离心率e=，且它的一个焦点与抛物线x2=﹣4y的焦点重合，则此椭圆的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）已知S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则=（）A．4 B．6 C．8 D．127．（5分）如图是某函数图象的一部分，则该函数表达式是（）A．B．C．D．8．（5分）如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若在框图中输入的a，b分别为30、18，则输出的a为（）A．0 B．2 C．6 D．149．（5分）实数x，y满足（a＜1），且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．D．10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．B．16πC．144πD．288π11．（5分）已知函数且f（a）≥﹣2，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[3，+∞）C．（﹣∞，3]D．[1，3]12．（5分）已知函数f（x）=（2ax﹣lnx）x有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，1） D．（0，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）在数列{a n}中，已知a1=1，a n+1=3a n，S n为{a n}的前n项和．若S n=40，则n=．14．（5分）某空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则其表面积是cm2．15．（5分）某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为48的样本，则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是．16．（5分）已知双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的顶点在原点，对称轴为x轴，它的准线过双曲线C1的左焦点F1，若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足PF2⊥F1F2，双曲线C1的一个焦点到其渐近线距离的平方是2+2，则抛物线C2的方程是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2=b2+c2+bc，（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，C=，求△ABC的面积．18．（12分）2016年“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从小型汽车中按进服务区的先后每间隔35辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值；（Ⅱ）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率．19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=1，点M是SD的重点，AN⊥SC，且交SC于点N．（Ⅰ）求证：直线SC⊥平面AMN；（Ⅱ）求点N到平面ACM的距离．20．（12分）已知直线l：4x+3y+15=0，半径为3的⊙C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）如图过点M（1，0）的直线与圆C交于A、B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在顶点N，使得x轴评分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点（e，f（e））（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞1恒成立，求k的最大值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD相交于点F．（Ⅰ）证明：A、E、F、M四点共圆；（Ⅱ）若MF=4BF=2，求线段BC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l与曲线C交于A、B两点，并与y轴交于点P．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求的值．[选修4-5：不等式选讲]24．（10分）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）当a=4时，求不等式f（x）≥6的解集；（Ⅱ）若f（x）≥5对x∈R恒成立，求a的取值范围．2015-2016学年湖北省重点高中联考协作体高三（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.）1．（5分）已知集合M={﹣2，﹣1，0，1}，N={x|1≤2x≤4，x∈Z}，则M∩N=（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}【解答】解：由N中不等式变形得：20=1≤2x≤4=22，即0≤x≤2，x∈Z，∴N={0，1，2}，∵M={﹣2，﹣1，0，1}，∴M∩N={0，1}，故选：B．2．（5分）若a为实数，且，则a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4【解答】解：由，得2﹣ai=（1+i）（3+i）=2+4i，则a=﹣4．故选：A．3．（5分）已知=（0，﹣1），=（﹣1，2），则（2﹣）•=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．4【解答】解：2﹣=（1，﹣4），∴（2﹣）•=0×1+（﹣1）×（﹣4）=4．故选：D．4．（5分）在圆C1：x2+y2=4内任取一点P，P落在圆C2：（x﹣a）2+y2=1内的概率是，则a的范围是（）A．﹣1≤a≤1 B．﹣2≤a≤2 C．0≤a≤1 D．﹣1≤a≤0【解答】解：圆C1的面积为4π，∵P落在圆C2：（x﹣a）2+y2=1内的概率是，∴圆C2：（x﹣a）2+y2=1在圆C1：x2+y2=4内的面积为π，∴圆C2：（x﹣a）2+y2=1在圆C1：x2+y2=4内，即两圆内含或内切，∴|a|≤1，∴﹣1≤a≤1．故选：A．5．（5分）已知椭圆的中心在原点，离心率e=，且它的一个焦点与抛物线x2=﹣4y的焦点重合，则此椭圆的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线x2=﹣4y的焦点为（0，﹣1），为椭圆的一个焦点．因此可设椭圆的标准方程为：=1（a＞b＞0）．则c=1，，a2=b2+c2，联立解得a=2，b2=3．∴此椭圆的标准方程为：=1．故选：B．6．（5分）已知S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则=（）A．4 B．6 C．8 D．12【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，∵S1，S2，S4成等比数列，∴S22=S1S4，即（2a1+d）2=a1（4a1+6d），解方程可得d=2a1，故==12，故选：D．7．（5分）如图是某函数图象的一部分，则该函数表达式是（）A．B．C．D．【解答】解：设函数的表达式为f（x）=Asin（ωx+φ）或f（x）=Acos（ωx+φ），函数的最大值为1，都满足条件．函数的周期T=4×[]=4×=π，则ω=2，排除C．当x=时，函数取得最大值1，则=cos（﹣）=cos0=1，满足条件．=cos（﹣）=cos（﹣）=≠1，排除B，=sin（﹣）=sin0=0≠1，排除D，故选：A．8．（5分）如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若在框图中输入的a，b分别为30、18，则输出的a为（）A．0 B．2 C．6 D．14【解答】解：由程序框图可知：当a=30，b=18时，满足a＞b，则a变为30﹣18=12，由b＞a，则b变为18﹣12=6，由b＜a，则a变为12﹣6=6，由a=b=6，则输出的a=6．故选：C．9．（5分）实数x，y满足（a＜1），且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（1，1），此时z=2×1+1=3，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（a，a），此时z=2×a+a=3a，∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3a，即a=．故选：B．10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．B．16πC．144πD．288π【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB=，故R=2，则球O的表面积为4πR2=16π，故选：B．11．（5分）已知函数且f（a）≥﹣2，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[3，+∞）C．（﹣∞，3]D．[1，3]【解答】解：若a≤1，则由f（a）≥﹣2得2a﹣1﹣2≥﹣2，即2a﹣1≥0，此时不等式恒成立，若a＞1，则由f（a）≥﹣2得﹣log2（a+1）≥﹣2，即log2（a+1）≤1，得0＜a+1≤2，即﹣1＜a≤1，此时不等式无解，综上a≤1，故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=（2ax﹣lnx）x有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，1） D．（0，+∞）【解答】解：f（x）=（2ax﹣lnx）x=2ax2﹣xlnx（x＞0），f′（x）=4ax﹣lnx﹣1．设g（x）=4ax﹣lnx﹣1，∵函数f（x）=（2ax﹣lnx）x有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x）=4a﹣=，当a≤0时，g′（x）＜0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递减，因此g（x）=0在区间（0，+∞）上没有两个实数根，舍去．当a＞0时，令g′（x）=0，解得：x=．令g′（x）＜0，解得：0＜x＜，此时函数g（x）单调递减；令g′（x）＞0，解得：x＞，此时函数g（x）单调递增．∴当x=时，函数g（x）取得极小值．要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，只需g（）=4a×﹣ln﹣1＜0，即ln＞0，解得：0＜a＜．∴实数a的取值范围是（0，）．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）在数列{a n}中，已知a1=1，a n+1=3a n，S n为{a n}的前n项和．若S n=40，则n=4．=3a n，a1=1，【解答】解：a n+1可知数列{a n}是1为首项，3为公比的等比数列，S n=40，=40，解得：n=4，故答案为：4．14．（5分）某空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则其表面积是12+4 cm2．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体，切去两个三棱锥所得：其表面由一个边长为2正方形，四个直角边长为2等腰直角三角形和两个边长为2等边三角形组成，故表面积：S=2×2+4××2×2+2××=12+4cm2，故答案为：12+4cm215．（5分）某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为48的样本，则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是8，16，24．【解答】解：∵单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为48样本，每个人被抽到的概率为=，∴利用分层抽样方法得到：老年人应抽取的人数为：×27=8人，中年人应抽取的人数为：×54=16人，青年人应抽取的人数为：×81=24人．故答案为：8，16，2416．（5分）已知双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的顶点在原点，对称轴为x轴，它的准线过双曲线C1的左焦点F1，若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足PF2⊥F1F2，双曲线C1的一个焦点到其渐近线距离的平方是2+2，则抛物线C2的方程是y2=4（+1）x．【解答】解：∵抛物线C2的顶点在原点，对称轴为x轴，它的准线过双曲线C1的左焦点F1，∴抛物线的焦点坐标为（c，0），则抛物线方程为y2=4cx，若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足PF2⊥F1F2，则P点的横坐标为x=c，则y2=4c•c，则y=±2c，不妨设P（c，2c），则PF2=2c，F1F2=2c，则PF1=2c，∵PF1﹣PF2=2a，∴2c﹣2c=2a，则（﹣1）c=a，①双曲线的焦点F2（c，0）到渐近线y=x，即bx﹣ay=0的距离d===b，∵双曲线C1的一个焦点到其渐近线距离的平方是2+2，∴b2=2+2，②联立①②得c=+1，则抛物线的方程为y2=4（+1）x，故答案为：y2=4（+1）x三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2=b2+c2+bc，（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，C=，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵a2=b2+c2+bc，∴cosA===﹣…3分∵A∈（0，π）．∴A=…6分（Ⅱ）根据题意B=C=，…7分根据正弦定理，可得：，所以，b=c=1，…9分=bcsinA=sin=…12分故，S△ABC18．（12分）2016年“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从小型汽车中按进服务区的先后每间隔35辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值；（Ⅱ）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，得：众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5；设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣75）=0.5，解得x=77.5，即中位数的估计值为77.5；（Ⅱ）根据频率分布图知，车速在[60，65）的车辆数为：m1=0.01×5×40=2（辆），分别记为A、B；车速在[65，70）的车辆数为：m2=0.02×5×40=4（辆），分别记为c、d、e、f；∴从这6辆车中任抽取2辆，基本事件数是，AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共有15种；则车速在[65，70）的车辆至少有一辆的基本事件数是，Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共有14种；故所求的概率为：p=．19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=1，点M是SD的重点，AN⊥SC，且交SC于点N．（Ⅰ）求证：直线SC⊥平面AMN；（Ⅱ）求点N到平面ACM的距离．【解答】（Ⅰ）证明：∵DC⊥SA，DC⊥DA，∴DC⊥平面SAD，∴AM⊥DC，又∵SA=AD，M是SD的中点，∴AM⊥SD，∴AM⊥平面SDC，∴SC⊥AM，∵SC⊥AN，∴SC⊥平面AMN．（Ⅱ）解：V M=====，﹣ANCMA=，AC=，MC=，∴S△AMC==，∴V N=，∴h=．﹣ACM∴点N到平面ACM的距离为．20．（12分）已知直线l：4x+3y+15=0，半径为3的⊙C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）如图过点M（1，0）的直线与圆C交于A、B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在顶点N，使得x轴评分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设圆心C（a，0）（a＞﹣），∵直线l：4x+3y+15=0，半径为3的圆C与l相切，∴d=r，即=3，解得：a=0或a=﹣（舍去），则圆C方程为x2+y2=9；（2）当直线AB⊥x轴，则x轴平分∠ANB，若x轴平分∠ANB，则k AN=﹣k BN，即+=0，整理得：2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0，即﹣+2t=0，解得：t=9，当点N（0，0），能使得∠ANM=∠BNM总成立．21．（12分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点（e，f（e））（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞1恒成立，求k的最大值．【解答】解：（1）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1；（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx∴k＜对任意x＞1恒成立，等价于k＜对任意x＞1恒成立令g（x）=，则g′（x）=令h（x）=x﹣lnx﹣2，x＞1，则h′（x）=1﹣=＞0∴h（x）在（1，+∞）上单调增加，∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，∴h（x）在（1，+∞）上在唯一实数根x0，满足x0∈（3，4），且h（x0）=0当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，∴g′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）=在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增∴g（x）min=g（x0）==∈（3，4），∴k＜g（x）min=x0∈（3，4），∴整数k的最大值为3．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD相交于点F．（Ⅰ）证明：A、E、F、M四点共圆；（Ⅱ）若MF=4BF=2，求线段BC的长．【解答】（Ⅰ）证明：如图，连结AM，由AB为直径可知∠AMB=90°，又CD⊥AB，所以∠AEF=∠AMB=90°，因此A、E、F、M四点共圆．（Ⅱ）解：连结AC，由A、E、F、M四点共圆，所以BF•BM=BE•BA，在Rt△ABC中，BC2=BE•BA，又由MF=4BF=2，知BF=，BM=2+=，所以BC2=BF•BM=×，即BC=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l与曲线C交于A、B两点，并与y轴交于点P．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求的值．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数，可得普通方程为x﹣y+1=0．由曲线C的极坐标方程ρ=，展开为ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，∴普通方程是x2+y2=2y+2x，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）设直线与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，把直线的参数方程（t为参数），代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，得t2﹣t﹣1=0，∴t1+t2=，t1t2=﹣1，∴===．[选修4-5：不等式选讲]24．（10分）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）当a=4时，求不等式f（x）≥6的解集；（Ⅱ）若f（x）≥5对x∈R恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=4时，求不等式f（x）≥6，即|x﹣1|+|x﹣a|=|x﹣1|+|x ﹣4|≥6，∴①，或②，或③．解①求得x≤﹣，解②求得x∈∅，解③求得x≥，综上可得，不等式的解集为{|x≤﹣，或x≥}．（Ⅱ）若f（x）≥5对x∈R恒成立，而f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|x﹣1﹣（x﹣a）|=|a﹣1|，∴|a﹣1|≥5，即a﹣1≥5，或a﹣1≤﹣5，求得a≥6，或a≤﹣4．。
【最新经典文档】湖北省重点高中联考协作体高三(下)期中数学试卷含解析答案(理科)
为
．
15．（ 5 分）已知各项都为正数的数列 { an} ，对任意的 m， n∈ N*，am?an=am+n 恒
成立，且 a3?a5+a4=72，则 log2a1+log2a2+…+log2a7=
．
16．（ 5 分）若以曲线 y=f（ x）上任意一点 M （x， y）为切点作切线 l，曲线上总
存在异于 M 的点 N（x1，y1），以点 N 为切点作线 l1，且 l∥l1，则称曲线 y=f（x）
= （6+a+3+2）．
∵回归直线方程必过（ ， ） ∴回归方程 =﹣ 1.4x+12.4， （ 6+a+3+2）=﹣1.4×6+12.4=4，即 6+a+3+2=16， 可得： a=5， ∴ D 对． 变量 x 与 y 之间是函数关系，显然不正确． 故选： D．
4．（5 分）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问 题： “今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织
C）+sin（ +C）= ． （ 1）求角 C；
第 3 页（共 25 页）
（ 2）若 c=3 且 sinA=2sinB，求△ ABC的面积． 18．（12 分）从某校高中男生中随机选取 100 名学生，将他们的体重（单位： kg） 数据绘制成频率分布直方图，如图所示． （ 1）估计该校的 100 名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代 表）； （ 2）若要从体重在 [ 60，70），[ 70，80）内的两组男生中，用分层抽样的方法选 取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 3 人，记体重在 [ 60， 70）内的人数为 ξ，求其 分布列和数学期望 E（ξ）．
湖北省重点高中联考协作体2016届高三下学期期中考试数学理试题扫描版含答案
2016年春季湖北省重点高中联考协作体期中考试高三数学（理科）选择题：CBDBA ADCCC DC填空题：[3,3]-41-364517解析18解：(1)由“理智购物”者总人数为7720人，可得1000+1800×6.06.01-+1200+a×4.04.01-+300×2.02.01-+200×1.01.01-=7720解得a=880 …………4分(2)年龄在【20,35）的“剁手党”共有1000+1800+1200=4000人，则年龄在区间【20,25）的应该抽取5人，年龄在区间【25,30）的应该抽取9人，年龄在区间【30,35）的应该抽取人. …………6分从这20人中随机抽取2人,这2人属于同一年龄区间的概率为P=220262925C C C C ++=19061 …………8分 由题意可知ξ的取值可能为0,1,2.P(ξ=0)=220215C C =3821 P(ξ=1)=22011515C C C =3815 P(ξ=2)=22025C C =191故ξ的分布列为E(ξ)=2…………12分 19（Ⅰ）∵平面平面，平面平面∴平面又∵，…………2分故可如图建立空间直角坐标系,设BC=4由已知∴∴ ∴，∴平面∴平面平面…………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ），平面的一个法向量是，设直线与平面所成的角为，∴，∵∴，即………… 8分设平面的一个法向量为 ，，，由，∴，令，则…………10分515353,cos =⋅>=< 又二面角的平面角是锐角， ∴二面角的平面角的余弦值为…………12分20解析（1）由于点),(11y x M 在椭圆上，所以． …………1分 由已知，则，， 所以． …………3分由于，故当时，取得最小值为． …………4分(2)设，则直线的方程为：，令，得，同理：，故 （**） …………6分又点与点在椭圆上，故，， …………8分代入（**）式，得：．所以为定值． …………12分21解(1)12ln )('+-=ax x x f , ……1分当 21=a 时 ,0)1('=f 且21)1(-=f 则过点(1,f(1))的切线方程为21-=y …… 4 分 （2）令12ln )()('+-==ax x x f x g则xaxx g 21)('-=01≤︒a 时,0)('>x g ,g(x)在上递增),0(+∞g(x)与X 轴只有一个交点即f(x)只有一个极值点，不合题意 ……5分02>︒a 时,)21,0(a x ∈时，0)('>x g ，g(x)在)21,0(a上递增 ),21(+∞∈a x 时,0)('<x g ,g(x)在),21(+∞a上递减 只需021ln )21(>=a a g 即210<<a 时，f(x)有两个极值点 故210<<a ……8分 （3）由（2）知 210<<a 时，f(x)有两个极值点x 1,x ,2，f(x)在(0,x 1)上递减,在(x 1,x 2)上递增，在),(2+∞x 上递减又021)1('>-=a f 则101<<x 且012ln 11=+-ax x可得1121ln x x a +=此时12111221ln x x x x a -+=- ……10分令)10(21ln )(2<<-+=x x x x h ，xx x h 2'41)(-=从而h(x)在)21,0(上递增，)1,21(上递减故02121ln)21()(<+=≤h x h 所以1x a <，又f(x)在),0(1x 上递减 从而f(x)的最小值为)(ln )(2a a a a f -= ……12分22（1） 因为是圆的直径，是圆的切线，所以．又因为，所以， …………2分可知，，所以，所以． …………4分因为是的中点，所以， …………5分所以是的中点，． （2）如图，连接，因为是圆的直径，所以在中，由（Ⅰ）知是斜边的中点，所以，所以． …………7分 又因为，所以． …………8分 因为是圆的切线，所以．因为，所以是圆的切线． …………10分23（1）因为圆，所以所以圆:…………3分又直线所以所以直线方程为………… 5分（2）联立，解得：（0，1）…………7分故极坐标为（1，）．…………10分23（1）由|ax＋1|得：，…………2分又不等式f（x）≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，所以a>0，得：a=2．…………5分（2）设，…………8分所以…………10分。
2016届湖北七市教研协作体高三4月联考试数学(理)试题(解析版)
2016届湖北七市教研协作体高三4月联考试数学（理）试题一、选择题1．设全集为R ，集合{|||2}A x x =<，{|14}B x x =-<≤，则()R A C B = （ ） A ．1,2-（） B ．2,1--（） C ．2,1--（） D ．2,2-（） 【答案】B 【解析】试题分析：{|||2}{|22}A x x x x =<=-<<，{}{|14}|14R B x x x x x =-<≤=≤->或ð，所以{}()|21R A C B x x =-<≤ ，故选B 。
【考点】1.含绝对值不等式的解法；2.集合的运算。
2．已知集合{1,}A i =-，i 为虚数单位，则下列选项正确的是（ ） A ．1A i ∈ B ．4i A ∈ C ．11iA i+∈- D ．||i A -∈ 【答案】C【解析】试题分析：1i A i=-∉,所以选项A 错；41i A =∉，所以选项B 错；21(1)21(1)(1)2i i ii A i i i ++===∈--+，所以C 正确；||1i A -=∉，选项D 错，故选C 。
【考点】1.复数的运算；2.元素与集合的关系。
3．若函数()f x 定义域为R ，则“函数()f x 是奇函数”是“(0)0f =”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 【答案】B【解析】试题分析：当函数()f x 的定义域为R 时，“函数()f x 是奇函数”⇒“(0)0f =”成立，而“(0)0f =”时,函数()f x 不一定是奇函数，所以“函数()f x 是奇函数”是“(0)0f =”的充分不必要条件，故选B 。
【考点】1.函数的奇偶性；2.充分条件与必要条件。
4．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数3, 2.7x y ==，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．^0.2 3.3y x =-+ B ．^0.4 1.5y x =+ C ．^2 3.2y x =- D ．^28.6y x =-+【答案】A 【解析】试题分析：因数变量x 与y 负相关,所以回归方程中的回归系数为负，排除B,C ，又样本平均数3, 2.7x y ==适合A,不适合D,故选A 。
湖北省重点高中联考协作体2016届高三下学期期中考试数学文试题扫描版含解析
2016年春季湖北省重点高中联考协作体期中考试高三数学(文科)参考答案一、选择题：每题5分，共50分.1~5 BADDB 6~10 DACCB 11~12 CA二、填空题：每小题4分，共20分，请将答案填入相应栏内.13.414.12+15.8,16,2416.21)y x =1. B 【解析】由已知得{}{}0,1,2,0,1N M N =∴=. 选B.2. A 【解析】由2(3)(1)24,ai i i i -=++=+根据复数的相等有4,a -=即 4.a =- 选A.3. D 【解析】(2 a -b ) ·a =2 a²- a ·b 2220(1)(02)4.⎡⎤=+---=⎣⎦ 选D.4. D 【解析】依题意1C 的圆心1(0,0),C 半径2;r =2C 的圆心2(,0),C a 半径1,r =由 01a -≤可得11a -≤≤. 选D.5. B 【解析】抛物线的焦点(0,1),-故椭圆的焦点在y 轴上. 12c a =，又1,c =故2,1,a c b ===椭圆方程是221.34x y += 选B. 6. D 【解析】设等差数列公差是(0),d d ≠1121,2,S a S a d ==+414342S a d ⋅=+146,a d =+由2214S S S =⋅得,2111(2)(46),a d a a d +=+212,d a d ∴=0,d ≠12,d a ∴=341a a a +=11111(2)(3)1212a d a d a a a +++==. 选D. 7. A 【解析】可设函数sin()y A x ωϕ=+，由图知111,(),41264A T πππ==--= 2,2,T T ππω=∴==sin(2),y x ϕ∴=+由“五点法”得，22,,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈ 取.sin(2)cos(2).336y x x πππϕ=∴=+=- 选A. 8. C 【解析】即求,a b 的最大公约数，由于30与18的最大公约数是6. 选C.9. C 【解析】由已知不等式组可得三个顶点(,),(1,1),(,2),A a a B C a a -在(1,1)B 处max 3,z = 在(,)A a a 处min 33,2,3z a a =∴=即1.2a = 选C. 10. B 【解析】设球的半径为R ，三棱锥O ABC -体积的最大值111()32V R R R =⋅⋅=314,2,63R R =∴=22=442=16S R πππ=⋅球面. 选B. 11. C 【解析】①当11,222a a -≤-≥-恒成立1a ∴≤合题意；②当1,a >由2log (1)2,3,1 3.a a a -+≥-∴≤∴<≤综合可得a 的取值范围是(],3-∞.选C.12. A 【解析】.1()(2)(2ln )4ln 1,f x a x ax x ax x x'=-+-=--令()4ln 1g x ax x =--， 141'()4,ax g x a x x -=-=由'()0,g x =得14x a =，依题意10,4a >①当1(0,),4x a∈ '()0,g x <所以()g x 单调递减; ②当1(,),4x a∈+∞ '()0,g x >所以()g x 单调递增. 11111()1ln 10,ln 0,1,0.44444g a a a a a ∴=--<>>∴<< 选A. 13. 4 【解析】由已知可得{}n a 是首项是1公比是3的等比数列.1(1)1n n a q S q-==- 1(13)40,13n ⋅-=-381, 4.n n ∴== 填4.14. 12+【解析】由三视图可知对应立体几何图形是一个立方体(边长是2)的一部分, 切去了两个三棱锥(沿立方体三个顶点切),剩下底面,侧面4个直角三角形和两个正三角形.所以211=24(22)2(60)1222S +⋅⋅+=+表填12+. 15. 8,16,24【解析】按比例抽样，老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是27488,275481⨯=++544816,275481⨯=++814824275481⨯=++. 填8,16,24 .16. 21)y x =【解析】设P 点到抛物线的准线距离为PD ,由已知得,四边形12F F PD 是正方形,设边长是2,c 1,PF =由双曲线的定义得，122PF PF a -=，又122,22,PF PF c c a -=-∴-=1,c e a ===双双曲线的焦点 到渐近线0bx ay ±=的距离平方是2222d b ===+由1c a=及22b =+，知1c =.所以抛物线的方程是21)y x =.填21)y x =.三、解答题:本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 考点：正、余弦定理的应用．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形,面积的计算．解答:（I ）根据余弦定理化简题中等式，得2221cos 22b c a A bc +-==-, ………3分 所以2.3A π= ………6分 （II ）根据题意,6BC π== ………7分根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得sin sin sin 366b c ππ==, 所以 1.b c == ………9分故112sin 11sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯⨯=． ………12分 点评：本题已知三角形的边角关系式，求角A的大小，并在边a =形的另两边长及三角形面积．着重考查了正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，属于容易题．18.考点：众数、中位数的计算．专题：概率中数据分析，众数、中位数的求值；古典概型．解答: (I) 众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5 …… 3分设图中虚线所对应的车速为x ，则中位数的估计值为：0.0150.0250.0450.06(75)50.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-⋅=，解得77.5x =，即中位数的估计值为77.5 . ………6分 （II ）从图中可知，车速在[60,65)的车辆数为：10.015402m =⨯⨯=（辆）车速在[65,70)的车辆数为：20.025404m =⨯⨯=（辆） ………8分设车速在[60,65)的车辆设为,a b ，车速在[65,70)的车辆设为,,,c d e f ，则所有基本 事件有：(,),(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,)(,),(,)(,)a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种 ,其中车速在[65,70)的车辆恰有一辆的事件有：(,),(,),(,),(,),a c a d a e a f(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f 共14种 ,所以，车速在[65,70)的车辆至少有一辆的概率为1415P =. ……………12分 点评：本题已知直方图，求众数、中位数的值，众数是“最高矩形的横坐标中点”，中位数是概率为12的点，古典概型的计算，属容易题． 19.考点：线线垂直与线面垂直的相互转换；距离的求解．专题：计算与证明题；线面垂直的判定；距离的转换．（I ）证明：由已知条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面SAD ，∴.AM DC ⊥又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥∴AM ⊥平面.SDC ∴.SC AM ⊥由已知SC AN ⊥及AMAN A =，∴SC ⊥平面.AMN ……………6分（II ）解：2111211111122233218M ANC D ANC N ACD S ACD V V V V ----⎛⎫===⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭…8分22MA AC MC ===，122AMC S ∆=⨯=………10分11318N ACM V -==, h = ∴点N 到平面ACM. ………12分 (其它解法请酌情给分!)点评：本题是立几综合题，证明线面垂直，等积法求距离，属容易题．20. 考点：圆的方程求解，斜率的计算方法．专题：平面几何综合题，点到直线的距离，存在性问题．解答：（I ）设圆心(),0C a （154a >-），则41535a +=0a ⇒=或152a =-（舍） 所以圆C 方程是229x y +=. …………5分（II ）当直线AB x ⊥轴，则x 轴平分ANB ∠,当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为()1y k x =-，(),0N t ，()11,A x y ，()22,B x y ,直线方程与圆的方程联立得,()2219y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩()22221290k x k x k ⇒+-+-=, 212221k x x k +=+，212291k x x k -=+． ………………8分 若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-12120y y x t x t ⇒+=--()()1212110k x k x x t x t--⇒+=--, ()()12122120x x t x x t ⇒-+++=()()222229212011k t k t k k -+⇒-+=++9t ⇒=． 存在点()9,0N ，能使得ANM BNM ∠=∠总成立． ………………12分点评：本题要求运用点到直线的距离公式求圆的方程;直线的方程与圆的方程联立．角的相等转化为斜率的关系，属容易题．21．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：综合题；导数的综合应用．分析：（I ）由已知得()ln 1f x a x '=++，故()4f e '=，由此能求出a ．（II ）()1f x k x <-对任意1x >恒成立，等价于2ln 1x x x k x +<-对任意1x >恒成立，求出右边的最小值，即可求得k 的最大值．解答：（I ）由已知得()ln 1f x a x '=++，故()4f e '=，∴ln 14a e ++=，∴2a = . ………………4分 （II ）由（I ）知，()2ln f x x x x =+, ∴()1f x k x <-对任意1x >恒成立，等价于2ln 1x x x k x +<-对任意1x >恒成立 ……5分令2ln ()1x x x g x x +=-，则2ln 3'(),(1)x x g x x --=- 令()ln 3,(1)h x x x x =-->, 则11'()10x h x x x-=-=>, ∴()h x 在(1,)+∞上单调递增， ∵(4)1ln 40h =-<，(5)2ln50h =->， ……………8分 ∴()h x 在(1,)+∞上在唯一实数根0x ，满足0(4,5)x ∈，且0()0h x =,当0(1,)x x ∈时，()0h x <，∴'()0g x <；当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，∴'()0g x >， ∴2ln ()1x x x g x x +=-在0(1,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增, ∴00000min 00002ln (23)()()(4,5)11x x x x x g x g x x x x ++-====∈--， ∴min 0()(4,5)k g x x <=∈，∴整数k 的最大值为4． ……………12分点评：本题考查学生会利用导数求切线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负确定函数的单调区间，会利用导数研究函数的极值，掌握导数在最大值、最小值问题中的应用，属于中档题．22.分析：（I ）连结AM ，由AB 为直径可知90AMB ∠=，又CD ⊥AB ，由此能证明A 、E 、F 、M 四点共圆．（II ）连结AC ，由A 、E 、F 、M 四点共圆，得BF BM BE BA ⋅=⋅，由此能求出线段BC 的长．解答：（I ）证明：如图，连结AM ，由AB 为直径可知，90AMB ∠=又CD ⊥AB ，所以90AEF AMB ∠=∠=，因此A 、E 、F 、M 四点共圆． ………………5分 （II ）解：连结AC ，由A 、E 、F 、M 四点共圆，所以BF BM BE BA ⋅=⋅，在RT ABC ∆中，2BC BE BA =⋅，又由42MF BF ==知12BF =，52BM =， 所以25BC =， BC =． ……………10分点评：本题考查四点共圆的证明，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．23．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I ）消去参数t ，把直线l 的参数方程化为普通方程，利用极坐标公式，把曲线C 的极坐标方程化为普通方程；（II ）把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，得到23440t t --=，由根与系数的关系，求出121211t t PA PB t t -+=的值． 解答：（I ）消去参数t ，把直线l 的参数方程212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）化为普通方程是10x y -+=，利用极坐标公式，把曲线C 的极坐标方程)4πρθ=+化为22sin 2cos ρρθρθ=+,∴普通方程是2222x y y x +=+，即22(1)(1)2x y -+-= ． ……………5分 （II ）∵直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ， A B把直线l的参数方程212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入曲线C 的普通方程22(1)(1)2x y -+-=中，得210t -=,∴12121t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩∴12121211111t t PA PB t t t t -+=+====. ………10分 点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟悉参数方程、极坐标方程与普通方程的互化问题，是中档题．24．考点：带绝对值的函数；绝对值不等式．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（I ）不等式即146x x -+-≥|，等价于1256x x <⎧⎨-+≥⎩，或 1436x ≤≤⎧⎨≥⎩，或 4256x x >⎧⎨-≥⎩，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求． （Ⅱ）因为()11f x x x a a =-+-≥-，由题意可得15a -≥，由此解得a 的范围． 解：（I ）当4a =时，不等式()6f x ≥，即|146x x -+-≥，等价于1256x x <⎧⎨-+≥⎩，或 1436x ≤≤⎧⎨≥⎩，或 4256x x >⎧⎨-≥⎩． 解得：12x ≤-或112x ≥． 故不等式()6f x ≥的解集为 11122x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或． ……………5分 （Ⅱ）因为()1(1)()1f x x x a x x a a =-+-≥---≥-．（当1x =时等号成立） 所以：min ()1f x a =-． 由题意得：15a -≥，解得4a ≤-，或6a ≥． ……………10分 点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．。
2016-2017学年湖北省普通高中联考协作体高二(下)期中数学试卷(理科)(A卷)
2016-2017学年湖北省普通高中联考协作体高二（下）期中数学试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1. 椭圆的实轴长是（）A. B. C. D.2. 双曲线的一条渐近线方程为（）A. B.C. D.3. 命题“若，则”，其否命题记为，则下列命题中，真命题是（）A.￢B.C.D.4. “为真命题”是“为真命题”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件5. 下列命题中，假命题是（）A.对任意双曲线，的离心率B.椭圆的左、右焦点分别为，，在上存在点，使C.抛物线的焦点为，直线，在上存在点，点到直线的距离等于D.椭圆，直线，对任意实数，直线与椭圆总有两个公共点6. “方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件是（）A.B.C.D.7. 在空间直角坐标系中，，为直线上的点，，为直线上的两点，则异面直线与所成角的大小是（）A.B.C.D.8. 已知曲线的方程为，命题使得曲线的焦距为，则命题的否定是（）A.曲线的焦距都为B.曲线的焦距都不为C.曲线的焦距不为D.曲线的焦距不都为9. 双曲线的离心率为，点为上的一个动点，分别为的左、右顶点，则直线与直线的斜率之积为（）A. B.C. D.10. 在空间直角坐标系中，，，确定的平面记为，不经过点的平面的一个法向量为，则（）A.B.C.，相交但不垂直D.，所成的锐二面角为11. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.12. 抛物线的焦点为，在该抛物线上存在一组点列，…，使得，则A. B.C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.1. 若“存在实数，使”为真命题，则实数的取值范围是________．2. 椭圆的两个焦点分别为，，过的直线交于，两点，若，则的值为________．3. 已知点为抛物线的焦点，为抛物线上的点，且，线段的中点为，点为上的一个动点，则的最小值为________．4. 双曲线的、左右焦点分别为，，，点，分别为的边，的中点，点在第一象限内，线段的中点恰好在双曲线上，则的值为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.1. 已知命题：曲线：表示双曲线，命题：方程表示的曲线是焦点在轴的负半轴上的抛物线，若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．2. 抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，求抛物线的解析式．3. 如图所示的三棱锥中，，平面，，，，，分别为棱，，的中点，点在棱上，．（1）试判断与是否共线；（2）求空间四面体的体积．4. 已知动圆经过点，且与圆：相内切（为圆心）．（1）求动圆的圆心的轨迹的方程；（2）过点且斜率为的直线与轨迹交于，两点，求的周长．5. 四棱锥的底面为边长为的正方形，，，，，，分别为棱，，，的中点．（1）求与平面所成角的正弦值；（2）是探究棱上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．6. 已知椭圆的离心率，，为椭圆的右焦点和右顶点，，且（1）求椭圆的方程；（2）设是第三象限内且椭圆上的一个动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．参考答案与试题解析2016-2017学年湖北省普通高中联考协作体高二（下）期中数学试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.【答案】D【考点】椭圆的性质【解析】直接利用椭圆的标准方程求解实轴长即可．【解答】解：椭圆的实轴长是：．故选：．2.【答案】A【考点】双曲线的性质【解析】根据题意，由双曲线的方程分析可得、的值以及焦点位置，进而计算可得其渐近线方程，分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，则其焦点在轴上，且，，则其渐近线方程：，即；分析可得：是双曲线的一条渐近线方程；故选：．3.【答案】D【考点】复合命题的真假【解析】分别判断出，的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：命题“若，则”是真命题，其否命题记为，故是假命题，故是真命题，故选：．4.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断复合命题的真假【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若为真命题，则，至少有一个为真命题，若为真命题，则，都为真命题，则“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件，故选：5.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据双曲线离心率的定义即可判断结论正确；根据椭圆的定义即可判断结论正确；根据抛物线与准线的定义即可判断结论错误；根据直线恒过定点，且定点在椭圆内部，即可判断结论正确．【解答】解：对于，对任意双曲线中，，∴的离心率为，正确；对于，椭圆的左、右焦点分别为，，∴，∴；根据椭圆的定义知，在上存在点，使，正确；对于，抛物线的焦点为，则，准线是，在上存在点，点到直线的距离等于，直线，在上存在点，点到直线的距离等于，∴错误；对于，椭圆，直线恒过点，且点在椭圆内部，∴对任意实数，直线与椭圆总有两个公共点，正确．故选：．6.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】求出条件的等价条件，结合必要不充分条件的定义进行求解即可．【解答】解：若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则等价为，得得，则方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆的必要不充分条件，故选：7.【答案】B【考点】异面直线及其所成的角【解析】求出，，设异面直线与所成角为，则，由此能求出异面直线与所成角的大小．【解答】解：∵空间直角坐标系中，，为直线上的点，，为直线上的两点，∴，，设异面直线与所成角为，则，∴．∴异面直线与所成角的大小为．故选：．8.【答案】B【考点】命题的否定【解析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是：曲线的焦距都不为，故选：9.【答案】B【考点】双曲线的性质【解析】由离心率公式和，，的关系，可得，的关系，设，代入双曲线的方程，设，，运用直线的斜率公式，化简整理即可得到所求积．【解答】解：双曲线的离心率为，可得，即，，设，可得，即有，，，直线与直线的斜率之积为，故选：．10. 【答案】A【考点】平面的法向量【解析】求出，，设平面的法向量，列出方程组，求出，由此能求出．【解答】解：∵，，确定的平面记为，∴，，设平面的法向量，则，取，得，∵不经过点的平面的一个法向量为，，∴．故选：．11.【答案】C【考点】椭圆的性质双曲线的性质【解析】根据题意，由双曲线的方程分析可得双曲线的焦点在轴上，且，又由题意，椭圆与双曲线有相同的焦点，则有且，解可得的值，即可得椭圆的方程，由椭圆的离心率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，必有，而，其焦点在轴上，且，若椭圆与双曲线有相同的焦点，则有且，解可得或（舍），故椭圆的方程为：，则其离心率；故选：．12.【答案】D【考点】抛物线的性质【解析】根据抛物线的性质计算各点横坐标之和，从而得出结论．【解答】解：抛物线的准线方程为，由抛物线的性质可知：，，…，，∵，∴，∴．故选．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.1.【答案】【考点】特称命题【解析】根据“存在，”为真命题，解不等式求出的取值范围．【解答】解：∵ “存在，”为真命题，即，解得．∴实数的取值范围是：．故答案为：．2.【答案】【考点】椭圆的性质【解析】利用椭圆的定义即可得出．【解答】解：由题意可得：，解得．故答案为：．3.【答案】【考点】抛物线的性质【解析】求出抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义可得的方程，求得，可得焦点和准线，再由中点坐标公式，可得的横坐标，结合抛物线的定义和三点共线取得最小值，即可得到所求值．【解答】解：点为抛物线的焦点，准线方程为，为抛物线上的点，且，由抛物线的定义可得，解得，即有抛物线的方程为，，，准线方程为，设垂直于准线于，由，当，，三点共线时，取得等号．由中点坐标公式可得的横坐标为，即有的最小值为．故答案为：．4.【答案】【考点】双曲线的性质【解析】连接，，运用双曲线的定义和三角形的中位线定理，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线中，，连接，，由是的中位线，可得，由是的中位线，可得，由双曲线的定义可得：，则．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.1.【答案】解：若表示双曲线，则，解得：，故：，若方程表示的曲线是焦点在轴的负半轴上的抛物线，则，解得：，故：，若为真命题，为假命题，则，一真一假，故或，故．【考点】复合命题的真假【解析】分别求出，为真时的的范围，根据，一真一假，得到关于的不等式组，解出即可．【解答】解：若表示双曲线，则，解得：，故：，若方程表示的曲线是焦点在轴的负半轴上的抛物线，则，解得：，故：，若为真命题，为假命题，则，一真一假，故或，故．2.【答案】解：抛物线的焦点为，若直线垂直于轴，可设，．．若直线不垂直于轴，设其方程为，，．由，∴，．∴．综上，．由题意可得，解得，则抛物线的方程为．【考点】抛物线的性质【解析】求出抛物线的焦点，分情况讨论：当直线垂直于轴时，的值；当直线不垂直于轴时，再设出直线方程，把直线与抛物线方程联立，得到，两点的坐标和斜率之间的关系，再代入，计算即可得到结论，再由条件解方程可得的值，进而得到所求抛物线的方程．【解答】解：抛物线的焦点为，若直线垂直于轴，可设，．．若直线不垂直于轴，设其方程为，，．由，∴，．∴．综上，．由题意可得，解得，则抛物线的方程为．3.【答案】解：（1）∵三棱锥中，，平面，∴以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，∵，，，，分别为棱，，的中点，∴，，，，，，，，，∴，∴与共线．（2）∵点在棱上，，∴，，，，，∵，∴，∴，设平面的法向量，则，取，得，点到平面的距离，∴空间四面体的体积：．【考点】柱体、锥体、台体的体积【解析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能推导出与共线．（2）点在棱上，，得，利用向量法求出，从而，出平面的法向量，从而点到平面的距离，由此能求出空间四面体的体积．【解答】解：（1）∵三棱锥中，，平面，∴以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，∵，，，，分别为棱，，的中点，∴，，，，，，，，，∴，∴与共线．（2）∵点在棱上，，∴，，，，，∵，∴，∴，设平面的法向量，则，取，得，点到平面的距离，∴空间四面体的体积：．4.【答案】解：（1）动圆经过点，且与圆：相内切（为圆心），可得，，，由双曲线的定义可得，的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支，且，，，即有动圆的圆心的轨迹的方程为；（2）过点且斜率为的直线方程为，代入双曲线的方程，可得，设，，可得，，则，则的周长为．【考点】轨迹方程【解析】（1）由两圆相内切的条件可得，，再由双曲线的定义，可得的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支，且，，，即可得到所求轨迹方程；（2）求出直线方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，求得，再由双曲线的定义可得的周长为，计算即可得到所求周长．【解答】解：（1）动圆经过点，且与圆：相内切（为圆心），可得，，，由双曲线的定义可得，的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支，且，，，即有动圆的圆心的轨迹的方程为；（2）过点且斜率为的直线方程为，代入双曲线的方程，可得，设，，可得，，则，则的周长为．5.【答案】解：（1）∵四棱锥的底面为边长为的正方形，，，∴，，∴，，∴以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，∵，，，分别为棱，，，的中点．∴，，，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，设与平面所成角为，则．∴与平面所成角的正弦值为．（2）假设棱上是否存在点，且，，使得平面平面，则，∴，，，即，，，，，设平面的法向量，则，取，得，平面的法向量，∵平面平面，∴，解得．∴棱上存在点，使得平面平面，此时．【考点】直线与平面所成的角平面与平面垂直的判定【解析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能出与平面所成角的正弦值．（2）假设棱上是否存在点，且，，使得平面平面，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出棱上存在点，使得平面平面，此时．【解答】解：（1）∵四棱锥的底面为边长为的正方形，，，∴，，∴，，∴以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，∵，，，分别为棱，，，的中点．∴，，，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，设与平面所成角为，则．∴与平面所成角的正弦值为．（2）假设棱上是否存在点，且，，使得平面平面，则，∴，，，即，，，，，设平面的法向量，则，取，得，平面的法向量，∵平面平面，∴，解得．∴棱上存在点，使得平面平面，此时．6.【答案】解：（1）∵椭圆的离心率，，为椭圆的右焦点和右顶点，，且，∴，解得，，，∴椭圆的方程为．（2）证明：∵椭圆的方程为，∴，，设，，则，∴，直线的方程为，令，得，直线的方程为，令，得，∴四边形的面积为：．∴四边形的面积为定值．【考点】直线与椭圆的位置关系【解析】（1）由椭圆的离心率，，为椭圆的右焦点和右顶点，，且，列出方程组，求出，，，由此能求出椭圆的方程．（2）求出，，设，，则，直线的方程为，令，得，直线的方程为，令，得，四边形的面积为：，由此能证明四边形的面积为定值．【解答】解：（1）∵椭圆的离心率，，为椭圆的右焦点和右顶点，，且，∴，解得，，，∴椭圆的方程为．（2）证明：∵椭圆的方程为，∴，，设，，则，∴，直线的方程为，令，得，直线的方程为，令，得，∴四边形的面积为：．∴四边形的面积为定值．。
湖北省重点高中联考协作体高三数学下学期期中试题文(扫描版)
湖北省重点高中联考协作体2016届高三数学下学期期中试题文（扫描版）2016年春季湖北省重点高中联考协作体期中考试高三数学(文科)参考答案一、选择题：每题5分，共50分.1~5 BADDB 6~10 DACCB 11~12 CA二、填空题：每小题4分，共20分，请将答案填入相应栏内.13.414.12+15.8,16,2416.21)y x =1. B 【解析】由已知得{}{}0,1,2,0,1N M N =∴=. 选B.2. A 【解析】由2(3)(1)24,ai i i i -=++=+根据复数的相等有4,a -=即 4.a =- 选A.3. D 【解析】(2 a -b ) ·a =2 a²- a ·b 2220(1)(02)4.⎡⎤=+---=⎣⎦ 选D.4. D 【解析】依题意1C 的圆心1(0,0),C 半径2;r =2C 的圆心2(,0),C a 半径1,r =由 01a -≤可得11a -≤≤. 选D.5. B 【解析】抛物线的焦点(0,1),-故椭圆的焦点在y 轴上. 12c a =，又1,c =故2,1,a c b ===椭圆方程是221.34x y += 选B. 6. D 【解析】设等差数列公差是(0),d d ≠1121,2,S a S a d ==+414342S a d ⋅=+146,a d =+由2214S S S =⋅得,2111(2)(46),a d a a d +=+212,d a d ∴=0,d ≠12,d a ∴=341a a a +=11111(2)(3)1212a d a d a a a +++==. 选D. 7. A 【解析】可设函数sin()y A x ωϕ=+，由图知111,(),41264A T πππ==--= 2,2,T T ππω=∴==sin(2),y x ϕ∴=+由“五点法”得，22,,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈ 取.sin(2)cos(2).336y x x πππϕ=∴=+=- 选A. 8. C 【解析】即求,a b 的最大公约数，由于30与18的最大公约数是6. 选C.9. C 【解析】由已知不等式组可得三个顶点(,),(1,1),(,2),A a a B C a a -在(1,1)B 处max 3,z = 在(,)A a a 处min 33,2,3z a a =∴=即1.2a = 选C. 10. B 【解析】设球的半径为R ，三棱锥O ABC -体积的最大值111()32V R R R =⋅⋅=314,2,63R R =∴=22=442=16S R πππ=⋅球面. 选B. 11. C 【解析】①当11,222a a -≤-≥-恒成立1a ∴≤合题意；②当1,a >由2log (1)2,3,1 3.a a a -+≥-∴≤∴<≤综合可得a 的取值范围是(],3-∞.选C.12. A 【解析】.1()(2)(2ln )4ln 1,f x a x ax x ax x x'=-+-=--令()4ln 1g x ax x =--， 141'()4,ax g x a x x -=-=由'()0,g x =得14x a =，依题意10,4a >①当1(0,),4x a∈ '()0,g x <所以()g x 单调递减; ②当1(,),4x a∈+∞ '()0,g x >所以()g x 单调递增. 11111()1ln 10,ln 0,1,0.44444g a a a a a ∴=--<>>∴<< 选A. 13. 4 【解析】由已知可得{}n a 是首项是1公比是3的等比数列.1(1)1n n a q S q-==- 1(13)40,13n ⋅-=-381, 4.n n ∴== 填4.14. 12+(边长是2)的一部分, 切去了两个三棱锥(沿立方体三个顶点切),剩下底面,侧面4个直角三角形和两个正三角形.所以211=24(22)2(60)1222S +⋅⋅+=+表填12+15. 8,16,24【解析】按比例抽样，老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是 27488,275481⨯=++544816,275481⨯=++814824275481⨯=++. 填8,16,24 .16. 21)y x =【解析】设P 点到抛物线的准线距离为PD ,由已知得,四边形12F F PD 是正方形,设边长是2,c 1,PF =由双曲线的定义得，122PF PF a -=，又122,22,PF PF c c a -=-∴-=1,c e a ===双双曲线的焦点 到渐近线0bx ay ±=的距离平方是2222d b ===+由1c a=及22b =+，知1c =.所以抛物线的方程是21)y x =.填21)y x =.三、解答题:本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 考点：正、余弦定理的应用．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形,面积的计算．解答:（I ）根据余弦定理化简题中等式，得2221cos 22b c a A bc +-==-, ………3分 所以2.3A π= ………6分 （II ）根据题意,6BC π== ………7分根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得sin sin sin 366b c ππ==, 所以 1.b c == ………9分故112sin 11sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯⨯=． ………12分 点评：本题已知三角形的边角关系式，求角A的大小，并在边a =形的另两边长及三角形面积．着重考查了正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，属于容易题．18.考点：众数、中位数的计算．专题：概率中数据分析，众数、中位数的求值；古典概型．解答: (I) 众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5 …… 3分 设图中虚线所对应的车速为x ，则中位数的估计值为：0.0150.0250.0450.06(75)50.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-⋅=，解得77.5x =， 即中位数的估计值为77.5 . ………6分 （II ）从图中可知，车速在[60,65)的车辆数为：10.015402m =⨯⨯=（辆）车速在[65,70)的车辆数为：20.025404m =⨯⨯=（辆） ………8分设车速在[60,65)的车辆设为,a b ，车速在[65,70)的车辆设为,,,c d e f ，则所有基本 事件有：(,),(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,)(,),(,)(,)a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种 ,其中车速在[65,70)的车辆恰有一辆的事件有：(,),(,),(,),(,),a c a d a e a f(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f 共14种 ,所以，车速在[65,70)的车辆至少有一辆的概率为1415P =. ……………12分 点评：本题已知直方图，求众数、中位数的值，众数是“最高矩形的横坐标中点”，中位数是概率为12的点，古典概型的计算，属容易题． 19.考点：线线垂直与线面垂直的相互转换；距离的求解．专题：计算与证明题；线面垂直的判定；距离的转换．（I ）证明：由已知条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面SAD ，∴.AM DC ⊥又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥∴AM ⊥平面.SDC ∴.SC AM ⊥由已知SC AN ⊥及AMAN A =，∴SC ⊥平面.AMN ……………6分（II ）解：2111211111122233218M ANC D ANC N ACD S ACD V V V V ----⎛⎫===⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭…8分MA AC MC ===，12AMC S ∆==………10分113418N ACM V h -=⨯=, 9h =， ∴点N 到平面ACM的距离为9. ………12分 (其它解法请酌情给分!)点评：本题是立几综合题，证明线面垂直，等积法求距离，属容易题．20. 考点：圆的方程求解，斜率的计算方法．专题：平面几何综合题，点到直线的距离，存在性问题．解答：（I ）设圆心(),0C a （154a >-），则41535a +=0a ⇒=或152a =-（舍） 所以圆C 方程是229x y +=. …………5分 （II ）当直线AB x ⊥轴，则x 轴平分ANB ∠,当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为()1y k x =-，(),0N t ，()11,A x y ，()22,B x y ,直线方程与圆的方程联立得,()2219y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩()22221290k x k x k ⇒+-+-=, 212221k x x k +=+，212291k x x k -=+． ………………8分 若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-12120y y x t x t ⇒+=--()()1212110k x k x x t x t--⇒+=--, ()()12122120x x t x x t ⇒-+++=()()222229212011k t k t k k -+⇒-+=++9t ⇒=． 存在点()9,0N ，能使得ANM BNM ∠=∠总成立． ………………12分点评：本题要求运用点到直线的距离公式求圆的方程;直线的方程与圆的方程联立．角的相等转化为斜率的关系，属容易题．21．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：综合题；导数的综合应用．分析：（I ）由已知得()ln 1f x a x '=++，故()4f e '=，由此能求出a ．（II ）()1f x k x <-对任意1x >恒成立，等价于2ln 1x x x k x +<-对任意1x >恒成立，求出右边的最小值，即可求得k 的最大值．解答：（I ）由已知得()ln 1f x a x '=++，故()4f e '=，∴ln 14a e ++=，∴2a = . ………………4分 （II ）由（I ）知，()2ln f x x x x =+, ∴()1f x k x <-对任意1x >恒成立，等价于2ln 1x x x k x +<-对任意1x >恒成立 ……5分令2ln ()1x x x g x x +=-，则2ln 3'(),(1)x x g x x --=- 令()ln 3,(1)h x x x x =-->, 则11'()10x h x x x-=-=>, ∴()h x 在(1,)+∞上单调递增， ∵(4)1ln 40h =-<，(5)2ln 50h =->， ……………8分 ∴()h x 在(1,)+∞上在唯一实数根0x ，满足0(4,5)x ∈，且0()0h x =,当0(1,)x x ∈时，()0h x <，∴'()0g x <；当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，∴'()0g x >， ∴2ln ()1x x x g x x +=-在0(1,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增, ∴00000min 00002ln (23)()()(4,5)11x x x x x g x g x x x x ++-====∈--， ∴min 0()(4,5)k g x x <=∈，∴整数k 的最大值为4． ……………12分点评：本题考查学生会利用导数求切线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负确定函数的单调区间，会利用导数研究函数的极值，掌握导数在最大值、最小值问题中的应用，属于中档题．22.分析：（I ）连结AM ，由AB 为直径可知90AMB ∠=，又CD ⊥AB ，由此能证明A 、E 、F 、M 四点共圆．（II ）连结AC ，由A 、E 、F 、M 四点共圆，得BF BM BE BA ⋅=⋅，由此能求出线段BC 的长．解答：（I ）证明：如图，连结AM ，由AB 为直径可知，90AMB ∠=又CD ⊥AB ，所以90AEF AMB ∠=∠=，因此A 、E 、F 、M 四点共圆． ………………5分 （II ）解：连结AC ，由A 、E 、F 、M 四点共圆，所以BF BM BE BA ⋅=⋅，在RT ABC ∆中，2BC BE BA =⋅，又由42MF BF ==知12BF =，52BM =， 所以25BC =， BC =． ……………10分点评：本题考查四点共圆的证明，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．23．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I ）消去参数t ，把直线l 的参数方程化为普通方程，利用极坐标公式，把曲线C 的极坐标方程化为普通方程；（II ）把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，得到23440t t --=，由根与系数的关系，求出121211t t PA PB t t -+=的值． 解答：（I ）消去参数t ，把直线l 的参数方程21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）化为普通方程是10x y -+=，利用极坐标公式，把曲线C 的极坐标方程)4πρθ=+化为22sin 2cos ρρθρθ=+,∴普通方程是2222x y y x +=+，即22(1)(1)2x y -+-= ． ……………5分 （II ）∵直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ， A B把直线l的参数方程21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入曲线C 的普通方程22(1)(1)2x y -+-=中，得210t -=,∴12121t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩∴12121211111t t PA PB t t t t -+=+====. ………10分 点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟悉参数方程、极坐标方程与普通方程的互化问题，是中档题．24．考点：带绝对值的函数；绝对值不等式．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（I ）不等式即146x x -+-≥|，等价于1256x x <⎧⎨-+≥⎩，或 1436x ≤≤⎧⎨≥⎩，或 4256x x >⎧⎨-≥⎩，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求． （Ⅱ）因为()11f x x x a a =-+-≥-，由题意可得15a -≥，由此解得a 的范围． 解：（I ）当4a =时，不等式()6f x ≥，即|146x x -+-≥，等价于1256x x <⎧⎨-+≥⎩，或 1436x ≤≤⎧⎨≥⎩，或 4256x x >⎧⎨-≥⎩． 解得：12x ≤-或112x ≥． 故不等式()6f x ≥的解集为 11122x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或． ……………5分 （Ⅱ）因为()1(1)()1f x x x a x x a a =-+-≥---≥-．（当1x =时等号成立） 所以：min ()1f x a =-． 由题意得：15a -≥，解得4a ≤-，或6a ≥． ……………10分 点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015-2016学年湖北省重点高中联考协作体高三（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i2．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．104．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：根据上表可得回归方程=x+中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．67.7万元C．65.5万元D．72.0万元5．（5分）为得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A． B． C． D．7．（5分）（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．408．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．810．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（）A．6 B．4 C．6 D．411．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．14．（5分）函数f（x）=log 2•log（2x）的最小值为．15．（5分）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种．（用数字作答）16．（5分）平面向量，，满足||=1，•=1，•=2，|﹣|=2，则•的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）已知=（sinx，sin（x﹣）），=（sinx，cos（x+）），f（x）=•．（1）求f（x）的解析式及周期；（2）求f（x）在x∈[﹣，]上的值域．18．（12分）双“十一”结束之后，某网站针对购物情况进行了调查，参与调查的人主要集中在[20，50]岁之间，若规定：购物600（含600元）以下者，称为“理智购物”，购物超过600元者被网友形象的称为“剁手党”，得到如下统计表：若参与调查的“理智购物”总人数为7720人．（1）求a的值；（2）从年龄在[20，35）的“剁手党”中按照年龄区间分层抽样的方法抽取20人；①从这20人中随机抽取2人，求这2人恰好属于同一年龄区间的概率；②从这20人中随机抽取2人，用ζ表示年龄在[20，25）之间的人数，求ξ的分布列及期望值．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．20．（12分）如图已知椭圆C：+y2=1，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0）．设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求•的最小值；（2）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：丨OR丨•丨OS丨为定值．21．（12分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）．（1）a=时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）存在两个不同的极值x1，x2，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，求f（x）在（0，a]上的最小值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。
做答时请写清题号。
[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线，（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若f（x）﹣2f（）≤k恒成立，求k的取值范围．2015-2016学年湖北省重点高中联考协作体高三（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i【解答】解：复数===i，它的共轭复数为：﹣i．故选：C．2．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．10【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选：D．4．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：根据上表可得回归方程=x+中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．67.7万元C．65.5万元D．72.0万元【解答】解：由表中数据得：=3.5，==42，又回归方程=x+中的为9.4，故=42﹣9.4×3.5=9.1，∴=9.4x+9.1．将x=6代入回归直线方程，得y=9.4×6+9.1=65.5（万元）．∴此模型预报广告费用为6万元时销售额为65.5（万元）．故选：C．5．（5分）为得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得y=sin2（x+）=sin（2x+）=cos（2x+）的图象，故选：A．6．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A． B． C． D．【解答】解：设等差数列的公差为d由题意可得，解方程可得，d=1，a1=1由等差数列的通项公式可得，a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n∴===1﹣=故选：A．7．（5分）（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40【解答】解：令x=1则有1+a=2，得a=1，故二项式为（x+）（2x﹣）5故其常数项为﹣22×C53+23C52=40．故选：D．8．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为=．故选：C．9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n值为7，故选：C．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（）A．6 B．4 C．6 D．4【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴BC=CD==2．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：C．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Z max=3，Z min=﹣3则z=x﹣2y∈[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]14．（5分）函数f（x）=log 2•log（2x）的最小值为．【解答】解：∵f（x）=log 2•log（2x）∴f（x）=log（）•log（2x）=log x•log（2x）=log x（log x+log2）=log x（log x+2）=，∴当log x+1=0即x=时，函数f（x）的最小值是．故答案为：﹣15．（5分）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有36种．（用数字作答）【解答】解．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，∵先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，∴不同的选法共有C31•A42=3×4×3=36种．16．（5分）平面向量，，满足||=1，•=1，•=2，|﹣|=2，则•的最小值为．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．∵||=1，∴不妨设=（1，0）．∵•=1，•=2，∴可设=（1，m），=（2，n）．∴=（﹣1，m﹣n）．∵|﹣|=2，∴，化为（m﹣n）2=3，∴（m+n）2=3+4mn≥0，∴，当且仅当m=﹣n=时取等号．∴=2+mn．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）已知=（sinx，sin（x﹣）），=（sinx，cos（x+）），f（x）=•．（1）求f（x）的解析式及周期；（2）求f（x）在x∈[﹣，]上的值域．【解答】解：（1）f（x）=sin2x+sin（x﹣）cos（x+）=sin2x﹣sin2（x）=﹣=[cos（2x﹣）﹣cos2x]=（sin2x﹣cos2x）=sin（2x﹣）．∴f（x）的周期T==π．（2）∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣=﹣时，f（x）取得最小值=﹣．当2x﹣=时，f（x）取得最大值=．∴f（x）在x∈[﹣，]上的值域是[﹣，]．18．（12分）双“十一”结束之后，某网站针对购物情况进行了调查，参与调查的人主要集中在[20，50]岁之间，若规定：购物600（含600元）以下者，称为“理智购物”，购物超过600元者被网友形象的称为“剁手党”，得到如下统计表：若参与调查的“理智购物”总人数为7720人．（1）求a的值；（2）从年龄在[20，35）的“剁手党”中按照年龄区间分层抽样的方法抽取20人；①从这20人中随机抽取2人，求这2人恰好属于同一年龄区间的概率；②从这20人中随机抽取2人，用ζ表示年龄在[20，25）之间的人数，求ξ的分布列及期望值．【解答】解：（1）由“理智购物”者总人数为7720人，可得：1000+1800×+1200+a×+300×+200×=7720，解得a=880．…（4分）（2）①年龄在[20，35）的“剁手党”共有1000+1800+1200=4000人，则年龄在区间[20，25）的应该抽取5人，年龄在区间[25，30）的应该抽取9人，年龄在区间[30，35）的应该抽取6人．…（6分）从这20人中随机抽取2人，这2人属于同一年龄区间的概率为：P==．…（8分）②由题意可知ξ的取值可能为0，1，2．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，故ξ的分布列为：E（ξ）==．…（12分）19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA ∴PA⊥平面ABCD结合AB⊥AD，可得分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，如图所示…（2分）可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ）（λ＞0）∴，，得，，∴DE⊥AC且DE⊥AP，∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC．（4分）∵ED⊂平面PED∴平面PED⊥平面PAC（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，设直线PE与平面PAC所成的角为θ，则，解之得λ=±2∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐标为（0，0，2）（8分）设平面PCD的一个法向量为=（x 0，y0，z0），，由，，得到，令x0=1，可得y0=z0=﹣1，得=（1，﹣1，﹣1）（10分）∴cos＜，（11分）由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角，∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为．（12分）20．（12分）如图已知椭圆C：+y2=1，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0）．设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求•的最小值；（2）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：丨OR丨•丨OS丨为定值．【解答】（1）解：依题意，得a=2，b=1，c==，T（﹣2，0）．点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），不妨设y1＞0．由于点M在椭圆C上，∴=1﹣，（*）=（x1+2，y1），=（x1+2，﹣y1），∴•=（x1+2）2﹣==﹣，由于﹣2＜x1＜2，故当时，•取得最小值为﹣．（2）证明：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：y﹣y0=（x﹣x0），令y=0，得x R=，同理：x S=，故x R•x S=，（**）又点M与点P在椭圆上，故，=4，代入（**）式，得：x R•x S===4．∴丨OR丨•丨OS丨=|x R•x S|=4为定值．21．（12分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）．（1）a=时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）存在两个不同的极值x1，x2，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，求f（x）在（0，a]上的最小值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=x（lnx﹣ax），∴f′（x）=lnx﹣2ax+1，…（1分）当a=时，f′（1）=0，且f（1）=﹣，∴过点（1，f（1））的切线方程为y=﹣．…4 分（2）令g（x）=f′（x）=lnx﹣2ax+1，则，当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）与X轴只有一个交点即f（x）只有一个极值点，不合题意．…（5分）当a＞0时，x∈（0，）时，g′（x）＞0，g（x）在（0，）上递增，x∈（）时，g′（x）＜0，g（x）在（）上递减，只需g（）=ln＞0，即0＜a＜时，f（x）有两个极值点故0＜a＜．…（8分）（3）由（2）知0＜a＜时，f（x）有两个极值点x1，x2，f（x）在（0，x1）上递减，在（x1，x2）上递增，在（x2，+∞）上递减，又f′（1）=1﹣2a＞0，则0＜x1＜1，且lnx1﹣2ax1+1=0，解得a=，此时a﹣x1=，…（10分）令h（x）=lnx+1﹣2x2，（0＜x＜1），，从而h（x）在（0，）上递增，（，1）上递减，故h（x）≤h（）=ln，所以a＜x1，又f（x）在（0，x1）上递减，从而f（x）的最小值为f（a）=a（lna﹣a2）．…（12分）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。