计算方法2006-2007试卷

计算方法2006-2007第一学期

1 填空

1）. 近似数253.1*=x 关于真值249.1=x 有几位有效数字 ； 2）. 设有插值公式)()(1

1

1

k n k k x f A dx x f ⎰∑-=≈，则∑=n

k k A 1

=______

3） 设近似数0235.0*1=x ，5160.2*2

=x 都是有效数，则相对误差≤)(*2

*1

x x e r ____

4） 求方程x x cos =的根的牛顿迭代格式为

5） 矛盾方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-=+1211212121x x x x x x 与⎪⎩⎪

⎨⎧-=+=-=+1

2122221

2121x x x x x x 得最小二乘解是否相同。

2 用迭代法（方法不限）求方程1=x xe 在区间（0，1）内根的近似值，要求先论证收敛性，误差小于210-时迭代结束。

3 用最小二乘法x be ax y +=2中的常数a 和b ，使该函数曲线拟合与下面四个点 （1，-0.72）(1.5, 0.02),(2.0, 0.61),(2.5, 0.32)

（结果保留到小数点后第四位）

4．（10分）用矩阵的直接三角分解法求解线性方程组

⎪⎪⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛717353010342110100201

4321x x x x 5．（10分）设要给出()x x f cos =的如下函数表

用二次插值多项式求)(x f 得近似值，问

步长不超过多少时，误差小于3

10- 6. 设有微分方程初值问题

⎩⎨

⎧=≤<-='2

)0(2

.00,42y x x y y －

)

(1) 写出欧拉预估－校正法的计算格式；

(2) 取步长h =0.1，用欧拉预估－校正法求该初值问题的数值解（计算结果保留4位小数）。

7. 设有积分⎰+=101x

dx

I

(1) 取11个等距节点（包括端点0和1），列出被积函数在这些节点上的函数值

（小数点侯保留4位）；

(2) 用复化Simpson 公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小

（小数点侯保留4位）。 8. 对方程组

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛314122*********x x x － (1) 用雅可比迭代法求解是否对任意初始向量都收敛？为什么？ (2) 取初始向量T )0,0,0(=x ，用雅可比迭代法求近似解)1(+k x ，使

)3,2,1(103

)()1(=<--+i x x k i k i

9. 设f (x )在区间[a ，b ]上有二阶连续导数，且f (a )=f (b )=0，试证明

)()(81

)(max max

2x f a b x f b

x a b

x a ''-≤≤≤≤≤

计算方法2006-2007第二学期

1 填空

1）. 近似数0142.0*=x 关于真值0139.0=x 有__为有效数字。

2） 适当选择求积节点和系数，则求积公式)()(1

1

1

k n

k k x f A dx x f ⎰∑-=≈的代数精确

度最高可以达到______次.

3） 设近似数0235.0*1=x ，5160.2*

2=x 都是四舍五入得到的，则相对误差

)(*

2*1x x e r 的相对误差限______

4) 近似值5**x y =的相对误差为)(*x e r 的____ 倍。

5） 拟合三点A(0,1), B(1,3)，C(2,2)的平行于y 轴的直线方程为_____.

2. 用迭代法求方程0222=++x x e xe x 在（-1，0）内的重根的近似值1+n x 。要求1）说明所用的方法为什么收敛；2）误差小于410-时迭代结束。

3．用最小二乘法确定x b ax y ln 2+=中的a 和b ，使得该函数曲线拟合于下面四个点 (1.0,1.01), (1.5,2.45), (2.0,4.35), (2.5,6.71) (计算结果保留到小数点后4位)

写出中心差分表示的二阶三点微分公式，并由此计算)1.1(''f 。

5 已知五阶连续可导函数)(x f y =的如下数据

试求满足插值条件的四次多项式).(x p

6 设有如下的常微分方程初值问题

⎪⎩

⎪⎨⎧=≤<=1)1(4

.11,y x y

x

dx dy 1）写出每步用欧拉法预估，用梯形法进行一次校正的计算格式。

2）取步长0.2用上述格式求解。

7 设有积分dx e I x ⎰=6

.002

1）取7个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些点出的值（保留到小数点后4位）

2）用复化simpson 公式求该积分的近似值。

8 用LU 分解法求解线性代数方程组

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-731395222211212032114321x x x x 9 当常数c 取合适的值时，两条抛物线c x x y ++=2 与x y 2=就在某点相切，试取出试点3.00=x ，用牛顿迭代法求切点横坐标。误差小于410-时迭代结束。

参考答案； 1: (1)2, (2) 2n-1 (3) 2.1457*10E-3 （4）1/5 (5) x=1 2 解：将方程变形为 0)(2=+x e x

即求0=+x e x 在（-1，0）内的根的近似值1+n x 牛顿迭代格式为 n

n

x x n n n e e x x x ++-=+11

收敛性证明； 非局部收敛定理 结果 56714.04-=x 。

3 用最小二乘法 正则方程组为

⎩⎨

⎧=+=+1586.1048446.141165

.986.6541165

.9125.61a b a 解得 a=1.0072; b=0.4563