第2章 平稳过程习题答案
随机过程第二章作业及参考答案
第二章 平稳过程2. 设随机过程()sin X t Ut =，其中U 是在[]02π，上均匀分布的随机变量。
试证 （1）若t T ∈，而{}12T = ，，，则(){}12X t t = ，，，是平稳过程； （2）若t T ∈，而[)0T =+∞，，则(){}0X t t ≥，不是平稳过程。
证明：由题意，U 的分布密度为：()10220u f u ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，，其它数学期望()()[]sin X m t E X t E Ut ==⎡⎤⎣⎦()()2220001111sin sin cos cos 212222ut du ut d ut ut t t t t ππππππππ=⋅==-=--⎰⎰.相关函数()()()()()sin sin X X R R t t E X t X t E Ut U t ττττ=+=+=⋅+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()2200111sin sin cos 2cos 222ut u t du ut u u du ππτττππ⎛⎫=⋅+⋅=⋅-+--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰ ()()2220001111cos 2cos sin 2sin 442u t u du u t u t πππττττππττ⎡⎤=-+-=-+-⎡⎤⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦⎰()()11sin 22sin 2424t t πτπτπτπτ=-+++.（1）若t T ∈，而{}12T = ，，时，()0X m t =，()X R τ只与τ有关，二者均与t 无关，因此，(){}12X t t = ，，，是平稳过程。
（2）若t T ∈，而[)0T =+∞，时，()X m t 可能取到不是常数的值，所取到的值与t 有关，()X R τ取到的值也与t 有关，因此，(){}0X t t ≥，不是平稳过程。
3. 设随机过程()()0cos X t A t ωΦ=+，t -∞<<+∞其中0ω是常数，A 和Φ是独立随机变量。
数字通信原理第二版课后习题答案 第2章
图 2-3RC 高通滤波器
设有一周期信号 x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为
y(t)= τ [ dx(t ) / dt ] 式中， τ 为常数。试求该线性系统的传输函数 H(f).
6
《通信原理》习题第二章
解：输出信号的傅里叶变换为 Y(f)= τ * j 2π f * X ( f ) ,所以 H(f)=Y(f)/X(f)=j 2π f τ 习题 2.15 功率谱密度为 设有一个 RC 低通滤波器如图 2-7 所示。当输入一个均值为 0、双边
2
4 1 + jω
则能量谱密度
4 16 G(f)= X ( f ) = = 1 + jω 1 + 4π 2 f 2
2
习题 2.4 X(t)= x1 cos 2π t − x2 sin 2π t ，它是一个随机过程，其中 x1 和 x2 是相互统 计独立的高斯随机变量，数学期望均为 0，方差均为 σ 2 。试求：
Rn (τ )
1
Pn ( f )
k 2
0 0
τ
f
图 2-2
习题 2.11
已知一平稳随机过程 X(t)的自相关函数是以 2 为周期的周期性函数：
R(τ ) = 1 − τ , − 1 ≤ τ < 1
试求 X(t)的功率谱密度 PX ( f ) 并画出其曲线。 解：详见例 2-12 习题 2.12 已知一信号 x(t)的双边功率谱密度为
+∞ −∞
j 2π f τ
1 + τ , df = 1 − τ 0,
−1 ≤ τ ≤ 0 0 ≤τ <1 其它
k -k τ e ，k 为常数。 2
习题 2.10
随机过程习题解答第1,2章
习题11. 令X(t)为二阶矩存在的随机过程，试证它是宽平稳的当且仅当EX(s)与E[X(s)X(s+t)]都不依赖s.证明：充分性：若X(t)为宽平稳的，则由定义知EX(t)=μ， EX(s)X(s+t)=r(t) 均与s 无关必要性：若EX(s)与EX(s)X(s+t)都与s 无关，说明EX(t)=常数， EX(s)X(s+t)为t 的函数2. 记1U ，．．．，n U 为在（０,１）中均匀分布的独立随机变量，对0 < t , x < 1定义I( t , x)=⎩⎨⎧>≤，，，，t x t x 01并记X(t)=),(11∑=nk k U t I n ，10≤≤t ，这是1U ，．．．，n U 的经验分布函数。
试求过程X （t ）的均值和协方差函数。
解： EI ()k U t ,= P ()t U k ≤= t ， D()),(k U t I = EI ()kU t ,－()2),(kU t EI= t －2t = t(1－t)j k ≠， cov ()),(),(j k U s I U t I ，=EI(t,k U )I(s,j U )－EI(t, k U )EI(s, j U ) = st －st=0k = j ， cov ()),(),(j k U s I U t I ，= EI(t,k U )I(s,j U )－st = min(t,s)－stEX(t)=),(11∑=n k k U t EI n =∑=nk t n 11= tcov ())(),(s X t X =()()),(),,(cov 1),(),,(cov 1212j k jk n k k k U s I U t I n U s I U t I n ∑∑≠=+=[]∑=nk st t s n12),min(1－=()st t s n－),min(13.令1Z ，2Z 为独立的正态分布随机变量，均值为0，方差为2σ，λ为实数，定义过程()t Sin Z t Cos Z t X λλ21+=.试求()t X 的均值函数和协方差函数，它是宽平稳的吗？Solution: ()221,0~,σN Z Z . 02221==EZ EZ .()()221σ==Z D Z D ，()0,21=Z Z Cov ,()0=t EX ，()()()()()[]s Sin Z s Cos Z t Sin Z t Cos Z E s X t X Cov λλλλ2121,+⋅+=[]s t C o s S i n Z Z s t S i n C o s Z Z s t S i n S i n Z s t C o s C o s Z E λλλλλλλλ12212221+++=()02++=s t S i n S i n s t C o s C o s λλλλσ =()[]λσs t Cos -2(){}t X 为宽平稳过程.4.Poisson 过程()0,≥t t X 满足（i ）()00=X ；(ii)对s t >，()()s X t X -服从均值为()s t -λ的Poisson 分布；（iii ）过程是有独立增量的.试求其均值函数和协方差函数.它是宽平稳的吗？Solution ()()()()t X t X E t EX λ=-=0，()()t t X D λ= ()()()()()s t s X t EX s X t X Cov λλ⋅-=,()()()()()ts s EX s X s X t X E 22λ-+-= ()()()()ts s EX s X D 220λ-++= ()ts s s 22λλλ-+= ()t s s λλλ-+=1 显然()t X 不是宽平稳的.5. ()t X 为第4题中的Poisson 过程，记()()()t X t X t y -+=1，试求过程()t y 的均值函数和协方差函数，并研究其平稳性. Solution ()λλ=⋅=1t Ey , ()()λ=t y DCov(y(t),y(s))=Ey(t)y(s)-Ey(t)y(s)=E(x(t+1)-x(t))(x(s+1)-x(s))-λ2(1)若s+1<t, 即s≤t-1，则Cov(y(t),y(s))=0-λ2=-λ2(2)若t<s+1≤t+1, 即t>s>t-1, 则Cov(y(t),y(s))=E[x(t+1)-x(s+1)+x(s+1)-x(t)][x(s+1)-x(t)+x(t)-x(s)] -λ2=E(x(t+1)-x(s+1))(x(s+1)-x(t))+E(x(t+1)-x(s+1))(x(t)-x(s))+E(x(s+1)-x(t))+E(x(s+1)-x(t))(x(t)-x(s))- λ2=λ(s+1-t)= λ-λ(t-s)- λ2(3) 若t<s<t+1Cov(y(t),y(s))= E [x(t+1)-x(s)+x(s)-x(t)] [x(s+1)-x(t+1)+x(t+1)-x(s)]- λ2 =(x(t+1)-x(s))(x(s+1)-x(t+1))+E(x(t+1)-x(s))(x(t+1)-x(s))+E(x(s)-x(t))(x(s+1)-x(t+1))+E(x(s)-x(t))(x(t+1)-x(s))- λ2=0+λ(t+1-s)+0-λ2=λ+λ(t-s)- λ2(4) 若s>t+1 Cov(y(t),y(s))=0-λ2=-λ2由此知，故方差只与t-s有关，与t,s无关故此过程为宽平稳的。
人大版时间序列分析基于R(第2版)习题答案
第一章习题答案略第二章习题答案2.1答案：（1）非平稳，有典型线性趋势（2）延迟1-6阶自相关系数如下：（3）典型的具有单调趋势的时间序列样本自相关图2.2（1）非平稳，时序图如下（2）1-24阶自相关系数如下（3）自相关图呈现典型的长期趋势与周期并存的特征2.3R命令答案（1）1-24阶自相关系数（2）平稳序列（3）非白噪声序列Box-Pierce testdata: rainX-squared = 0.2709, df = 3, p-value = 0.9654X-squared = 7.7505, df = 6, p-value = 0.257X-squared = 8.4681, df = 9, p-value = 0.4877X-squared = 19.914, df = 12, p-value = 0.06873X-squared = 21.803, df = 15, p-value = 0.1131X-squared = 29.445, df = 18, p-value = 0.04322.4答案：我们自定义函数，计算该序列各阶延迟的Q统计量及相应P值。
由于延迟1-12阶Q统计量的P值均显著大于0.05，所以该序列为纯随机序列。
2.5答案（1）绘制时序图与自相关图（2）序列时序图显示出典型的周期特征，该序列非平稳（3）该序列为非白噪声序列Box-Pierce testdata: xX-squared = 36.592, df = 3, p-value = 5.612e-08X-squared = 84.84, df = 6, p-value = 3.331e-162.6答案（1）如果是进行平稳性图识别，该序列自相关图呈现一定的趋势序列特征，可以视为非平稳非白噪声序列。
如果通过adf检验进行序列平稳性识别，该序列带漂移项的0阶滞后P值小于0.05，可以视为平稳非白噪声序列Box-Pierce testdata: xX-squared = 47.99, df = 3, p-value = 2.14e-10X-squared = 60.084, df = 6, p-value = 4.327e-11（2）差分序列平稳，非白噪声序列Box-Pierce testdata: yX-squared = 22.412, df = 3, p-value = 5.355e-05X-squared = 27.755, df = 6, p-value = 0.00010452.7答案（1）时序图和自相关图显示该序列有趋势特征，所以图识别为非平稳序列。
第二章答案
k 1 对泊松过程证明， 当s t ， P( N (s) k | N (t ) n) Cn (s / t )k (1 s / t ) nk ， k 0,1,
,n.
证明
根据泊松过程的独立增量及平稳增量性，有
P{N (s) k N (t ) n}
=
P{N ( s) k , N (t ) n} P{N ( s) k , N (t ) N ( s) n k} = P{N (t ) n} P{N (t ) n} P{N ( s) k}P{N (t ) N ( s) n k} P{N (t ) n} P{N ( s) k}P{N (t s) n k} P{N (t ) n}
k p e k!
k k 0 j
=
2
pj
2
p
j
j
故 Var [ x j ]=
p
* 4 载有顾客的客车按参数为 的泊松过程来到一个有无穷多个服务员的排队系统.以 G 记 服务时间分布.一辆客车载有 j 个顾客的概率是 j , j 1,2, ， 以 X (t ) 表示到 t 时刻已被服
t k 1 k 1 0
(b)因为 X (t ) 不满足平稳增量性，故 X (t ) 不服从泊松分布。
* 5 设泊松过程的每个事件被分成类型 1,2, 互独立以概率 pi ( s) 划归为 i 型， i 1,2, 件来到的个数.证明{ Ni (t ) ，i 1,2, 松分布，其中 为泊松过程的参数.
t
P { N 1 (t ) = n1 , N 2 (t ) =
n
2
,… N k (t ) = nk ︱ N (t ) = ni }
随机过程第2章 平稳过程与二阶矩过程
2.1 相关函数
{
{
{
对于宽平稳过程 X (t )而言，其平均值定义为 η = E { X ( t )} = η x 其中 E ( X )表示对随机变量X取均值。 互相关函数为 R(τ ) = E{X(t +τ )X * (t)}= Rx (τ ) = Rxx(τ ) * 表示取共轭运算。 (τ ) 显然， R(−τ ) = R *。 若X(t) 是实的宽平稳过程，则R(τ)为偶函数。
R xy (t1 , t 2 ) = E ( X (t1 )Y (t 2 )) = R (t1 , t 2 + a ) − R (t1 , t 2 )
R yy (t1 , t 2 ) = E (Y (t1 )Y (t 2 )) = R xy (t1 + a, t 2 ) − R xy (t1 , t 2 ) = R (t1 + a, t 2 + a ) − R(t1 + a, t 2 ) − R(t1 , t 2 + a ) + R(t1 , t 2 )
平稳过程与二阶矩过程
第二章 平稳过程与二阶矩过程
授课教师：樊平毅 清华大学电子工程系 2012
内容简介
{ { { { { { { { { { {
2.1 相关函数 2.2 功率谱 2.3 功率谱与时域平均 2.4 线性系统 2.5 随机连续性 2.6 随机微分(均方意义) 2.7 Taylor级数 2.8 随机微分方程 2.9 随机积分 2.10 遍历性讨论 2.11 抽样定理与随机预测
推广 应用
思考: 0 在平稳分布中的作用
0 点的重要性,
1) 2) 3) 4)
连续性, 周期性, 有界性, 极值特性,
随机信号分析(常建平,李林海)课后习题答案第二章习题讲解
2-1 已知随机过程0()cos X t A t ω=，其中0ω为常数，随机变量A 服从标准高斯分布。
求000,3,2t πωπω=三个时刻()X t 的一维概率密度？解：221~(0,1)..........()2A a A N f a e π-=21211()~(0,1)(0)2t X x X t A N f x eπ-==⇒=；，2223203A 12()~(0,)()242X t x X t N f x e πωπωπ-==⇒；＝， 002323()0()()t X t f x x πωπωδ==＝，；(离散型随机变量分布律)2-2 如图2.23所示，已知随机过程()X t 仅由四条样本函数组成，出现的概率为1131,,,8484。
t()X t 1234561t 2t 1()x t 2()x t 3()x t 4()x t o图2.23 习题2-2在1t 和2t 两个时刻的分布律如下：1ζ 2ζ 3ζ 4ζ1()X t 1 2 6 3 2()X t 5 4 2 1 1212(,)k k p t t1/8 1/4 3/8 1/4求 ？ 1212[()],[()],[()()]E X t E X t E X t X t ()41129[()]8k k k E X t x p t ===∑221[()]8E X t =()()(){}121212121122[()()],,X k k E X t X t R t t k k p X t k X t k ====∑∑2－23[][]12()cos (0,1)(;),()()(,)X X X t A t XH A U f x t E X t D X t R t t =+~随机过程，其中（均匀分布）。
求,,？[][][][][][][][][][][]()()()22221212221121222()cos cos ()()()()cos cos cos cos 12(,)cos cos cos cos cos cos 1cos c 232o X XYD aE X t E A t XH t EA XHD X tE X t E X t D X t D A t XH D A t D XH tt DA R t t E A t XH X a D X b D Y abC EA EA A t XH t t XH t t XH t =+=⋅+⎡⎤=-⎣⎦=+=+=⋅=++⎡⎤⎣⎦+==+=+++公式：＋b =Ｙ方法：()2212s cos cos 2XH t t t XH +++()()()()22cos 022~,322cos 022~,cos 0()2122,cos 2cos cos cos c 21322,(;)cos o 2s 2X k t k t tX t U XH XH k t k t t X t U XH XH t k t X t XHk t k XH x XH t k t k XH x XH f x t t x X t t t t ππππππππππππππππππδ-+<<+>+<<+<=+==-+<<+<<-++<<+<+++<=-对某一固定时刻对某一固定时刻概率密度用冲激函数表示(),20H t k x XH else ππ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪⎩2-4 已知随机过程()X t A Bt =+，其中,A B 皆为随机变量。
(完整版)第二章精选部分答案
第二章课后习题6. 试求如下序列的傅里叶变换:(1) x 1(n )=δ(n －3) (2))1(δ21)(δ)1(δ21)(2-+++=n n n n x(3) x 3(n )=a n u (n ) 0<a <1 (4) x 4(n )=u (n +3)－u (n －4)12．设系统的单位脉冲响应h (n )=a n u (n ), 0<a <1， 输入序列为x (n )=δ(n )+2δ(n －2)完成下面各题：(1) 求出系统输出序列y (n )；(2) 分别求出x (n )、 h (n )和y (n )的傅里叶变换。
14． 求出以下序列的Z 变换及收敛域:(1) 2－n u (n ) (2) －2－n u (－n －1)(3) 2－n u (－n ) (4) δ(n )(5) δ(n －1) (6) 2－n ［u (n )－u (n －10)］16． 已知 112122113)(---+-=z z z X 求出对应X (z )的各种可能的序列表达式。
17． 已知x (n )=a n u (n ), 0<a <1。
分别求：(1) x (n )的Z 变换；(2) nx (n )的Z 变换；(3) a －n u (－n )的Z 变换。
18． 已知 2112523)(---+--=zz z z X 分别求：（1） 收敛域0.5<|z |<2对应的原序列x (n )；（2） 收敛域|z |>2对应的原序列x (n )。
19． 用部分分式法求以下X (z )的反变换：(1) 21||,252311)(211>+--=---z z z z z X (2) 21||,41121)(21<--=--z z z z X 20． 设确定性序列x (n )的自相关函数用下式表示∑∞-∞=+=n xx m n x n x m r )()()(试用x (n )的Z 变换X (z )和x (n )的傅里叶变换X (e j ω)分别表示自相关函数的Z 变换R xx (z )和傅里叶变换R xx (e j ω)。
第2章 平稳过程习题答案
第二章 平稳过程1．指出下面所给的习题中，哪些是平稳过程，哪些不是平稳过程？（1）设随机过程Xt e t X -=)(，t >0，其中X 具有在区间),0(T 中的均匀分布 解：∵ 该随机过程的数学期望为∴ 该随机过程不是平稳过程。
（2）设随机过程}),({+∞<<-∞t t X 在每一时刻的状态只取0或1数值，而在不同时刻的状态是相互独立的，且对任意固定的t 有1}0)({ }1)({p t X P p t X P -====其中10<<p解：∵ 该随机过程的数学期望为p t X P t X P t EX t m X ==⋅+=⋅==}0)({0}1)({1)()(（常数）该随机过程的自相关函数为：}0)()({0}1)()({1)]()([),(=+⋅+=+⋅=+=+ττττt X t X P t X t X P t X t X E t t R X2}1)({}1)({p t X P t X P ==+==τ 结果与t 无关∴ 该随机过程是平稳随机过程。
（3）设}1,{≥n X n 是独立同分布的随机序列，其中j X 的分布列为定义 ∑==nj jn XY 1，试对随机序列}1,{≥n Y n ，讨论其平稳性。
解：∵ 0211211}1{)1(}1{1=⋅-⋅=-=-+=⋅=j j j X P X P EX ∴ ∑∑=====nj jnj j n EXXE EY 110)(（常数）又因为随机序列n Y 的自相关函数。
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=+=+∑∑=+=n j m n k k j Y X X E m n Y n EY m n n R 11)()(),( m 为自然数⎰≠--=-===---TTtT xt xtx const e Tte Tt dx T e t EX t m 00]1[111)()(⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∑∑∑==+=n j n k m n k k j j X X X E 111 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∑∑∑=+===+==n j m n k k j n j j nj mn k k j nj j X X E X E X X X E 11211121 ∑∑=+=⋅+=nj mn k k jn EX EXEY 112n n n n DY EY DY EY =+==22)(∵ []∑∑∑∑======-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nj n j n j j j j j n j j n np EX EX EX DX X D DY 1112221)( 即)(),(m R np m n n R Y Y ≠=+ ∴ 该随机过程不是平稳过程。
化学平稳移动练习题(含答案)
第二章第三节化学平稳移动练习题（1）一、选择题1．对已达平稳状态的反映：2X(g)＋Y(g)2Z(g)，减小压强时，下列说法正确的是（）A．逆反映速度增大，正反映速度减小，平稳向逆反映方向移动B．逆反映速度减小，正反映速度增大，平稳向正反映方向移动C．正、逆反映速度都减小，平稳向逆反映方向移动D．正、逆反映速度都增大，平稳向正反映方向移动2．在必然条件下，可逆反映：N 2(g)+3H2(g)2NH3(g) △H<0，达到平稳时，当单独改变下列条件后，有关叙述错误的是（）A．加催化剂υ(正)、υ(逆)都发生转变且转变的倍数相等B．加压，υ(正)、υ(逆)都增大，且υ(正)增大倍数大于υ(逆)增大倍数C．降温，υ(正)、υ(逆)都减小，且υ(正)减小倍数小于υ(逆)减小倍数D．在体积不变时加入氩气，υ(正)、υ(逆)都增大，且υ(正)增大倍数大于υ(逆)增大倍数3．下列说法正确的是（）A．可逆反映的特点是正反映速度老是和逆反映速度相等B．其他条件不变时，利用催化剂只改变反映速度，而不能改转变学平稳状态C．在其他条件不变时，升高温度能够使化学平稳向放热反映的方向移动D．在其他条件不变时，增大压强必然会破坏气体反映的平稳状态4．关于任何一个平稳体系，采取下列方法后，必然会使平稳移动的是（）A．加入一种反映物 B．对平稳体系加压C．升高温度 D．利用催化剂5．对平稳CO 2(g)CO2(aq) △H= kJ/mol，为增大二氧化碳气体在水中的溶解度，应采纳的方式是（）A．升温增压B．降温减压 C．升温减压D．降温增压6．2007年10月10日，德国科学家格哈德·埃尔特生日的当天取得了诺贝尔化学奖，以奖励他在表面化学领域做出开拓性的奉献。
合成氨反映在铁催化剂表面进行时效率显著提高，确实是埃尔特的研究功效，下列关于合成氨反映的叙述中正确的是（）A．铁做催化剂可加速反映速度，且有利于平稳向合成氨的方向移动B．将氨气从混合气中分离，可加速反映速度，且有利于平稳向合成氨的方向移动C．升高温度可加速反映速度，且有利于平稳向合成氨的方向移动D．增大压强可加速反映速度，且有利于平稳向合成氨的方向移动7．关于催化剂的叙述，正确的是（）A.催化剂在化学反映前后性质不变B.催化剂在反映前后质量不变，故催化剂不参加化学反映C.利用催化剂能够改变反映达到平稳的时刻D.催化剂能够提高反映物的转化率8．关于可逆反映2A2(g)+B2(g) 2A2B(1)（正反映为放热反映）达到平稳，要使正、逆反映的速度都增大，而且平稳向右移动，能够采取的方法是（）A．升高温度B．降低温度C．增大压强D．减小压强9．在一容积固定的密闭容器中，反映 2SO 2（g）+O2(g) 2SO3（g）达平稳后，再通入18O2气体，从头达平稳。
2-2-平稳随机过程和各态历经过程
(x1)d x1
2 X
3
2、性质
二维分布只与时间间隔τ= t2- t1有关，即有
f2(x1, x2; t1, t2)=f2(x1, x2;τ)
fX (x1, x2;t1,t2 ) fX (x1, x2;t1 ,t2 ) 令t1 fX (x1x2;0,t2 t1) fX (x1, x2; )
广义各态历经过程，简称各态历经过程。
11
2.2.3各态历经过程
各态历经的含义： 随机过程中的任一次实现都经历了随机
过程的所有可能状态。
具有各态历经性的随机过程一定是平稳 随机过程，但平稳随机过程却不一定都具有 各态历经性。
12
例题
例2 某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωct+θ)，其中A和ωc 均为常数，θ是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。
τ→∞时 ，X(t) 与X(t+τ)统计独立，无依赖关系。
25
⑸R(0)- R(∞)=σ2 [方差，X(t)的交流功率] 平均功率-直流功率=交流功率
E[X2(t)] -[EX(t)]2= D[X(t)]
R(0) R() 2
26
2、相关系数
自相关系数
rX
(
)
CX CX
( )
(0)
RX
( )
fX(x1,x2,···,xn;t1,t2,···,tn)= fX(x1,x2,···,xn;t1+ τ,t2 + τ,···,tn+ τ)
则称X(t)是严格意义下的平稳随机过程（严平稳随机过
程或狭义的平稳随机过程 ）。
严平稳过程的n维概率密度不随时间起点不同而改变。
2
2、性质
（1）严平稳随机过程的一维分布与时间t无关。
371-第二章、平稳随机过程的谱分析习题
第二章、平稳随机过程的谱分析习题3－1、（a ）已知一个常数a ，一个密度是()f ω的随机变量ω，我们构成过程()j tX t a e ω=。
试证它的功率谱等于()22afπω。
（b ）若另外还知道一个在区间(),ππ-均匀分布的随机变量φ，证明过程()()co s X t a t ωφ=+的功率谱等于()()212a f f πωω+-⎡⎤⎣⎦3－2、试证，若输入到一个因果系统[当0t <时()0h t =]去的是白噪声，其功率谱是()S k ω=，则输出()Y t 的平均功率为(){}()22E Y t k h t d t ∞=⎰3－3、设()X t 和()Y t 是两个相互独立的平稳过程，均值X m 和Y m 都不为零，且已知()XS ω，定义()()()Z t X t Y t =+试求()X Y S ω和()X Z S ω。
3－4、设随机过程()()co s X t a t =Ω+Φ，式中a 是实常数；Ω、Φ是两个互相独立的随机变量，Ω具有频谱密度()()f f ωωΩΩ=-，Φ在()0,2π上均匀分布。
试证()X t 的功率谱密度为()()()()222X aS f f af πωωωπωΩΩΩ=+-=⎡⎤⎣⎦3－5、设()X t 和()Y t 是两个相互独立的平稳过程，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为()21616X S ωω=+， ()21616Y S ωω=+现设()()()Z t X t Y t =+，求：（1）()Z t 的功率谱密度；（2）()X t 和()Y t 的互谱密度()X Y S ω；（3）()X t 和()Z t 的互谱密度()X Z S ω。
3－6、已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为()22X R eττ-=，求()X t 与其导数过程()Xt ∙的互谱密度()X XSω∙。
3－7、设()X t 是复平稳过程，试证：（1）()X t 的自相关函数()()*X X R R ττ-=； （2）()X t 的功率谱密度为实函数。
随机过程平稳过程作业2 中科大
1.设A 和B 是两个独立的服从[−1,1]上均匀分布的随机变量，定义随机过程：X (t )=A cos λt +B sin λt,(t ∈R,λ为非零常数).(a)证明X (t )平稳；(b)求其谱密度函数S (ω)；(c)X (t )是否具有均值遍历性？为什么？2.设二阶矩过程X ={X (t ),t ∈R }有均值函数µX (t )=α+βt ,协方差函数r X (s,t )=exp {−λ|s −t |},(λ>0).令Y (t )=X (t +1)−X (t )−β,(t ∈R ).(a)验证Y 的平稳性；(b)求Y 的功率谱密度S (ω)；(c)Y 是否具有均值遍历性？为什么？3.设有关于ω的六个函数如下(ω∈R ):S 1(ω)=ω2−4ω4+4ω2+3;S 2(ω)=ω2+1ω4+5ω2+6;S 3(ω)=ω2+3ω4−7ω2+12;S 4(ω)=cos ωω2+2;S 5(ω)=e −jω2ω2+2,(j =√−1);S 6(ω)=ω6+7ω4+10ω2+3ω8+6ω6+13ω4+12ω2+4(a)问其中哪些函数能作为一个平稳过程的功率谱密度函数？并求其对应的协方差函数；(b)对应平稳过程是否具有均值遍历性？为什么？4.设X (t )=a cos(Θt +Ψ)，其中a 为常数，Ψ∼U (0,2π)，Θ的密度函数f (θ)为偶函数，且Θ和Ψ独立.(a)证明{X (t ),t ∈R }为一个平稳过程；(b)证明{X (t ),t ∈R }的功率谱密度函数为S (ω)=a 2πf (ω)(提示：对任意的连续随机变量X ，其密度函数与特征函数g (t )=E [e jtX ]互为一对Fourier 变换，其中j =√−1).5.设有随机过程：X (t )=cos(tξ+η),(t ∈R ),1其中，ξ与η独立，η服从均匀分布U[0,2π]，ξ服从Cauchy分布，即ξ的密度函数为f(x)=1π(1+x2),(x∈R).(a)证明X(t)为平稳过程；(b)求其功率谱密度函数.2。
八年级物理下册82二力平稳课后拓展训练题新版新人教版
第2节二力平稳1.判定物体受到的两个力是不是是一对平稳力的方式：(1)若这两个力知足“作用在同一个物体上，大小相等，方向相反，而且在同一直线上”的条件，这两个力确实是一对平稳力.(2)若物体在这两个力的作用下维持静止状态或匀速直线运动状态，这两个力确实是一对平稳力.2.物体维持静止状态或匀速直线运动状态的条件：(1)物体受平稳力的作用；(2)物体不受力.二力平稳条件的口诀：同体、等大、反向、共线.一对平稳力与一对彼此作使劲的区别：一对平稳力作用在同一个物体上，而一对彼此作使劲作用在两个不同的物体上.【例】如图所示是人们向空中抛出实心球到实心球落地而停止运动的场景.下列情形中实心球受到平稳力作用的是( )A.实心球在空中上升B.实心球从空中下落C.实心球在地上越滚越慢D.实心球停在地上【分析】实心球是减速上升，加速下落，地面上是越滚越慢，不能维持匀速直线运动状态，因此没有受到平稳力；最后停在地面上，维持了静止状态，因此受到了平稳力.【答案】D知识点1 平稳状态状态和______________运动状态叫平稳状态.2.物体同时受到几个力作历时，若是_______________________________________，咱们就说这几个力彼此平稳. 知识点2 二力平稳的条件3.作用在同一个物体上的两个力，若是大小________，方向_______，而且______________，这两个力就彼此平稳.4.小明用10 N的力推着重50 N的小车在水平地面上沿直线匀速运动，则小车受到的摩擦阻力为_______N，小车受到的支持力为_______N.1.(2014·巴中)如图所示，物体运动状态发生改变的是( )A.弯道上沿曲线滑行的运动员B.吊在天花板下的静止电灯C.路上匀速直线行驶的小车D.空中匀速直线下落的降落伞2.下图中的A、B、C、D别离是用照相机拍照(每 s拍照一次)的小球在四种不同运动状态下的照片，其中小球受到平稳力作用的是( )3.如图所示，F1与F2是平稳力的是( )4.(2013·上海)如图所示，一名同窗用水平力F推停在水平地面上的汽车，但没有推动，推车时，水平力F与地面对车的摩擦力f的大小关系是( )必然小于f可能小于f必然等于f可能大于f5.(2014·大连)如图所示，建筑工人将绳的一端固定在砖上，绳的另一端系上重锤，用来检查墙壁是不是竖直.重锤静止时，与重锤的重力相平稳的力是( )A.砖对绳的拉力B.绳对砖的拉力C.重锤对绳的拉力D.绳对重锤的拉力6.(2014·南昌)如图所示，已知足球放在桌子上，而桌子立于地球表面.下列两个力是一对平稳力的是( )A.足球对桌子的压力与桌子对足球的支持力B.桌子对地球的压力与地球对桌子的支持力C.足球受到的重力与桌子对足球的支持力D.桌子受到的重力与地球对桌子的支持力7.(2014·天津)一辆汽车在水平公路上匀速行驶，下列与其相关的各对力中，属于平稳力的是( )A.汽车受到的牵引力和汽车受到的阻力B.汽车受到的牵引力和汽车受到的重力C.汽车受到的重力和汽车对路面的压力D.汽车对路面的压力和路面对汽车的支持力8.(2013·安徽)如图所示为研究二力平稳条件的实验装置，下列关于那个实验的叙述错误的是( )A.应选用尽可能滑腻的水平桌面进行实验B.为使实验成效明显，应选用质量较大的小车C.调整两边托盘所放钩码的数量，能够改变力的大小D.将小车扭转一个角度，是为了改变力的作用线的位置9.(2014·巴中)有关力与运动的关系，下列说法中正确的是( )A.有力作用在物体上，物体就运动B.力能改变物体的运动状态，它的三要素阻碍力的作用成效C.物体所受的合力为零，该物体必然处于静止状态D.没有力的作用，运动的物体会慢慢停下来10.如图所示，跳伞运动员在从飞机上跳下，降落伞没有打开之前，会下落得愈来愈快，此刻运动员受到的阻力______重力；当降落伞打开后，运动员匀速下落时，受到的阻力_______重力.(填“大于”“小于”或“等于”)11.如图为一对平稳力与一对彼此作使劲的维恩图.它们的相同点已标明在两圆相重叠的区域.请你将它们的独有特性(不同点)写在相应圆中重叠区域之外的部份内.12.(2013·株洲)甲、乙两个质量相同的小球，均从位置a竖直下落到位置b，其各自的频闪照片如图所示，则甲球做________(填“匀速”或“变速”)直线运动，乙球做_______(填“匀速”或“变速”)直线运动；_____球受到的重力和阻力是一对平稳力；甲球受到的阻力______(填“大于”“小于”或“等于”)乙球受到的阻力.13.(2014·泰州)利用如图所示器材“探讨二力平稳的条件”.(1)将卡片上的两根线跨放在支架的滑轮上，并在两个线端别离挂上钩码，使作用在卡片上的两个拉力方向相反，且在一条直线上.当卡片平稳时，从钩码质量看，卡片两边所受的拉力________.(2)为观看不在同一直线上的两个力是不是能平稳，可用手将卡片____________，释放时观看其是不是维持平稳.(3)在卡片平稳时，用剪子将卡片从中间剪开，并观看随之发生的现象.由此能够取得二力平稳的又一个条件是__________________________.(4)该实验在选择卡片时，选用较轻卡片的目的是_________________.挑战自我14.(2014·内江)我国已成功发射“嫦娥三号”探月卫星，该卫星着陆以前，在距月球表面约为100 m的高度处开启喷气发动机，向下喷气使其处于悬浮状态，以观看地形，选择适合的着陆地址.若是月球表面的g是地球表面的1/6，探月卫星在着陆时的质量为吨，那么，“嫦娥三号”探月卫星，在着陆前悬停时开动的喷气发动机的推力为(g地取10 N/kg)( )A.1.2×104 N NN N第2节二力平稳课前预习1.静止匀速直线2.维持静止或匀速直线运动状态3.相等相反作用在同一条直线上 50当堂训练课后作业10.小于等于 11.平稳力的图中：作用在同一物体上彼此作使劲的图中：作用在两个物体上 12.匀速变速甲大于 13.（1）相等（2）旋转必然角度（3）必需作用在同一物体上（4）卡片重力能够忽略。
平稳过程例题
相关函数和密度谱的关系()X t()X R τ ()X S ω1 1. 随机电报信号2. 随机二元波(双向噪声)3.窄带噪声4.带限白噪声(低通白噪声)5. 直流6. 白噪声7. 随机相位正弦波四、举例例1 离散白噪声{X (n ), n = 0, ±1, ±2, … }，其中X (n )是两两不相关的随机变量．E [X (n )]＝0, D [X (n )]＝σ 2。
相关函数[]2, 0()()()0, 0m R m R X n X n m m σ⎧=⎪=+=⎨≠⎪⎩谱密度∑+∞-∞=-<≤-==m im em R S )( ,)()(2πωπσωω例 2 设{X (n ), n = 0, ±1, ±2, … }是离散白噪声。
E [X (n )]＝0, D [X (n )]＝σ 2，X (n ), n = 0, ±1,±2, …，两两不相关。
(1) 离散白噪声滑动和 ∑=±±=-=Nk k ,, , , n , k n X a n Y 0210)()(均值：[][]∑==-=Nk k k n X E a n Y E 00)()(相关函数[][]()00002 00(,)()()()()()() 0, , 0N N Y k j k j N Nk j k j Nk m k l k m k NR n n m E Y n Y n m E a X n k a X n m j a a E X n k X n m j a a l l N a σ====+=≤+≤⎡⎤+=+=-+-⎢⎥⎣⎦=-+-=<>=∑∑∑∑∑设时谱密度2 002()2002()()Nim im Y Xk m k m m k m k N NNNNl m ki l k ik ilk l klk l k l Nik kk S Rm eea a ea a a e a e a e ωωωωωωωσσσσ+∞+∞--+=-∞=-∞=≤+≤=+--=========∑∑∑∑∑∑∑=∑令(2) 离散白噪声无限滑动和 )210()()(∑+∞-∞=±±=-=k k,, , , n , k n X an Z均值： [][]∑+∞-∞==-=k kk n X E a n Z E 0)()(相关函数：[](,)()()()()()()Zk j k j k j k j R n n m E Z n Y n m E a X n k a X n m j E a a X n k X n m j +∞+∞=-∞=-∞+∞+∞=-∞=-∞⎡⎤+=+=-+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑[]2()()()kjk j kjXk m k k j k a a E X n k X n m j a a Rm j k a a σ+∞+∞=-∞=-∞+∞+∞+∞+=-∞=-∞=-∞=-+-=-+=∑∑∑∑∑谱密度：2 2()2()22()()= =im im Z Zk m k m m k i m k ik i m k k m k km kk m k m ik ijkjk j ik kk S Rm eea a ea a a e ae a e a e a e ωωωωωωωωωσσσσσ+∞+∞+∞--+=-∞=-∞=-∞+∞+∞+∞+∞-+-+++=-∞=-∞=-∞=-∞+∞+∞=-∞=-∞+∞=-∞====∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑例3 连续参数白噪声{X (t ), –∞<t <+∞}均值： []0)(=t X E ； 相关函数：)()(2τδστ=R ； 谱密度: ⎰⎰+∞∞--+∞∞--===22)()()(σττδσττωωτωτd e d e R S i i因此，连续白噪声的谱密度为常数．[]()1δτ=F, []11()δτ-=F.例4 若平稳过程{X (t ), t ∈R }的谱密度S(ω)＝2πδ(ω)则其相关函数1)(2 21)(21)(===⎰⎰+∞∞-+∞∞-ωωδππωωπτωτωτd e d e S R i i ,[]12()πδω=F, []12()1πδω-=F .例5 随机电报信号{X (t ), –∞ < t < +∞}, (a ＝I 2，α＝2λ)均值： []0)(=t X E ； 相关函数：||)(τατ-=aeR ；谱密度: ⎪⎭⎫ ⎝⎛+===⎰⎰⎰⎰+∞+-∞--+∞∞---+∞∞--0 )(0 )(||)()(τττττωτωατωαωτταωτd e d e a d eea d eR S i i i i . 44222222λωλαωα+=+=I a 从而21||22e αταωα--+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦F， 22||2e αταωα-+⎡⎤=⎣⎦F . 例6 已知零均值平稳过程{X (t ), –∞ < t < +∞}的谱密度9104222)(+++=ωωωωS , 求它的相关函数R(τ)、方差D (t )、平均功率ψ . 解法1 利用留数计算224222222330114()()22109(4)(4)1 2Res , +Res , 32(9)(1)(9)(1)351 95164848i i iZ iZ R S e d e d Z e Z e i i i Z Z Z Z i e e e e i i ωτωττττττττωτωωωππωωππ+∞+∞-∞-∞---->+==++++⎧⎫⎡⎤⎡⎤=⋅⎨⎬⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎡⎤⎡⎤+=+⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰ R (τ)为偶函数，一般地 ||3||1()9548R e e τττ-⎡⎤=+⎣⎦ 因均值E [X (t )]＝0，从而方差D (t )＝R (0), 7()(0)24D t R ==，而平均功率7(0)24R ψ==解法2 利用博氏逆变换性质 1||222eαταωα--⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦F[]2112212211222||3||3164(9)(1)315188(1)(9)522348(1)(3)351648()()R S e eττωωωωωωωτω-------+++++⨯++⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+FFFFF例7 已知平稳过程{X (t ), –∞ < t < +∞}的相关函数3||()52(1cos 4)R e τττ-=++求谱密度S (ω).解：我们先推导公式 2222001||0()()cos e ατααωωαωωαωτ---+++⎡⎤=+⎣⎦F利用傅氏变换线性和位移性质，且||222e αταωα-⎡⎤=⎣⎦+F002222002222001||1||||022()()()()1cos 212i i e e e e e ωτωτατατατααωωαωωαααωωαωωαωτ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+-+++-+++⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦==+FF 从而所求谱密度[][]2222222222223||3||23333(4)3(4)312663(4)3(4)3()()5122cos410()2210()S R e e ττωωωωωωωττπδωπδω--⨯++-+++++++-+⎡⎤⎡⎤==++⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+⨯+⎢⎥⎣⎦=++FF FF例8 低通白噪声的谱密度00, ||<()0, ||S S ωωωωω⎧=⎨≥⎩解: 其相关函数：[]0100011()()()22sin i i R S S e d S e d S ωωτωτωτωωωωππωτπτ+∞+--∞-====⎰⎰F。
人教版高二化学化学平稳习题(附答案详解)一般用卷
C.第t1min时说明反应达到了平衡
D.第10 min时，可能采取了降温
24.如下图，在一个容积固定的恒温容器中，有两个可左右滑动的密封隔板，在A、B、C处别离充入等质量的X、H2、Y三种气体，当隔板静止时，A、C内的气体密度相等，以下说法正确的选项是（ ）
实验二：已知2KMnO4+5H2C2O4+3H2SO4═K2SO4+2MnSO4+8H2O+10CO2↑，在开始一段时刻内，反映速度较慢，溶液褪色不明显；但不久突然褪色，反映速度明显加速．
（1）针对上述现象，某同窗以为该反映放热，致使溶液温度上升，反映速度加速．从阻碍化学反映速度的因素看，你猜想还可能是______的阻碍．
50.（3）假设上述反映别离在甲、乙、丙三个相同的密闭容器中进行，经同一段时刻后，测得三个容器中的反映速度别离为
51.甲：v（X）=0.3mol•L-1•s-1；
52.乙：v（Y）=0.12mol•L-1•s-1
53.丙：v（Z）=9.6mol•L-1•min-1；
54.那么甲、乙、丙三个容器中反映速度由慢到快的顺序为______．
A.等于10s
B.等于12s
C.小于12s
D.大于13s
6.在一恒温恒压的密闭容器中发生如下反映：A（g）+B（g）⇌2C（g）△H＜0，t1时刻达到平稳后，在t2时刻改变某一条件，其反映进程如下图．以下说法不正确的选项是（ ）
A.0～t2时，v（正）＞v（逆）
B.Ⅰ、Ⅱ两过程达到平衡时，A的体积分数Ⅰ=Ⅱ
38.（1）起始时充入H2物质的量为______ mol；
39.（2）该反映的热化学方程式为______；
12.2平稳过程
具有遍历性.
(三) 遍历过程的例子
例1 设 X (t) a cos(t ), t (,) ，其中
a,( 0) 是实常数,
22
服从区间 (0,2 )上的均匀分布, 讨论
X (t) 的各态遍历性. 解 由 E( X (t)) 0, R( ) a2 cos( ) 及例1结论，
内容复习
严平稳过程
一．定义1 随机过程 {X (t),t T} ，如果对任意 n 维
分布函数,任意实数 ,满足:
F (x1, x2 , , xn ;t1, t2 , , tn )
F(x1, x2 ,, xn;t1 ,t2 ,,tn ) n 1,2,
则称 X (t)为严平稳过程,或称狭义平稳过程.
1.广义平稳过程,不一定是严平稳过程. 2.严平稳过程,(如果二阶矩不存在),不一定 是广义平稳过程
5
五. 两个平稳过程的关系
下文中广义平稳过程简称平稳过程. 定义3 设 X (t)和 Y (t) 是两个平稳过程,如果互相关
函数 E[X (t)Y (t )] RXY ( ) 仅是参数间距 的函数,则称 X (t)与 Y (t)平稳相关,或称其为
称为随机过程
X (t) 对于参数 t 的平均值,通常称为随机过程 X (t)
的时间均值.
显然
X (t)
X (e,t)
lim 1
l 2l
l
l
X
(e, t )dt
是一个随机变量.
在任意 t 处, 给任意实数 ，过程在 t 和 t 的两个
状态的乘积X (e,t)X (e,t ), 在 (,)上的平均值, 记为
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第二章 平稳过程1．指出下面所给的习题中，哪些是平稳过程，哪些不是平稳过程？（1）设随机过程Xtet X -=)(，t >0，其中X 具有在区间),0(T 中的均匀分布解：∵ 该随机过程的数学期望为∴ 该随机过程不是平稳过程。
（2）设随机过程}),({+∞<<-∞t t X 在每一时刻的状态只取0或1数值，而在不同时刻的状态是相互独立的，且对任意固定的t 有1}0)({ }1)({p t X P p t X P -====其中10<<p解：∵ 该随机过程的数学期望为p t X P t X P t EX t m X ==⋅+=⋅==}0)({0}1)({1)()(（常数）该随机过程的自相关函数为：}0)()({0}1)()({1)]()([),(=+⋅+=+⋅=+=+ττττt X t X P t X t X P t X t X E t t R X2}1)({}1)({p t X P t X P ==+==τ 结果与t 无关∴ 该随机过程是平稳随机过程。
（3）设}1,{≥n X n 是独立同分布的随机序列，其中j X 的分布列为定义 ∑==nj jn XY 1，试对随机序列}1,{≥n Y n ，讨论其平稳性。
解：∵ 0211211}1{)1(}1{1=⋅-⋅=-=-+=⋅=j j j X P X P EX ∴ ∑∑=====nj jnj j n EXXE EY 110)(（常数）又因为随机序列n Y 的自相关函数。
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=+=+∑∑=+=n j m n k k j Y X X E m n Y n EY m n n R 11)()(),( m 为自然数⎰≠--=-===---TTtT xt xtx const e Tte Tt dx T e t EX t m 00]1[111)()(⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∑∑∑==+=n j n k m n k k j j X X X E 111 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑∑∑∑∑=+===+==n j m n k k j n j j nj mn k k j nj j X X E X E X X X E 11211121 ∑∑=+=⋅+=n j mn k k jn EX EXEY 112n n n n DY EY DY EY =+==22)(∵ []∑∑∑∑======-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nj n j n j j j j j n j j n np EX EX EX DX X D DY 1112221)(即)(),(m R np m n n R Y Y ≠=+ ∴ 该随机过程不是平稳过程。
（4）设随机过程+∞<<-∞Φ+=t t A t X ),cos()(0ω，其中0ω为正常数，Φ,A 是相互独立的随机变量，且A 服从在区间[0，1]上均匀分布，而Φ服从在区间[0，2π]上的均匀分布。
解：∵ ⎰⎰=+⋅=Φ+==120000)c o s (211)]cos([)()(πϕϕωπωd t da t A E t EX t m x （常数）而自相关函数为：τωτωωττ0002cos 61)])(cos()cos([)()(),(=Φ++Φ+=+=+t t A E t X t EX t t R X∴ 该随机过程是平稳随机过程。
（5）设随机过程+∞<<-∞=t t t X ,cos )(ω，其中ω在区间)21,21(00∆+∆-ωω中服从均匀分布。
解：随机变量ω的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∆+∆-∈∆=其它 0)21,21( 1)(00ωωωωf∴ )0( sin 1cos 1)(212121210000≠∆=∆==⎰∆+∆-∆+∆-t t ttd t EX t m x ωωωωωωωt t t 0cos )2sin(2ω∆∆=不是常数 ∴ 该随机过程不是平稳过程。
（6）设有随机过程+∞<<-∞+=t Yt X t X ,)(，而随机向量τ),(Y X 的协旗阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2221σσrr 解：∵ t E Y EX Yt X E t EX t m x +=+==)()()(当0≠t 时)(t m x 不是常数∴ 该随机过程不是平稳随机过程。
（7）设有随机过程+∞<<-∞++=t Zt Yt X t X ,)(2，其中X ，Y ，Z 是相互独立的随机变量，各自的数学期望为0，方差为1。
解：∵ 0][)()(22=++=++==EZ t tEY EX Zt Yt X E t EX t m x （常数）22222)()(1)()(ττττ++++=++++=t t t t EZ t t EY t t EX自相关函数 )(),(ττx x R t t R ≠+ ∴ 该随机过程不是平稳随机过程。
（8）设有随机过程X t X =)(（随机变量），则2,σ==DX a EX 。
解：∵ a EX t EX t m x ===)()(（常数）)()()()(),(2222τσττx x R a EX DX EX t X t EX t t R =+=+==+=+∴ 该随机过程是平稳随机过程。
2．设随机过程Ut t X sin )(=，其中U 是在[0，2π]上均匀分布的随机变量。
试证（1）若T t ∈，而},2,1{ =T ，而},2,1),({ =t t X 是平稳过程； （2）若T t ∈，而),0[+∞=T ，而}0),({≥t t X 不是平稳过程。
证明：（1）∵ 该随机过程Ut t X sin )(=的数学期望为0]12[cos 21cos 21sin 21)()(2020=--=-===⎰ππππππt tvt tvtdv t EX t M x （常数） )](sin [sin )()(),(m t V Vt E m t X t EX m t t R x +=+=+0)2sin(2141sin 141)2cos(2121cos 2121)2cos(21cos 21)]2cos([cos 2120202020=++⋅-=+-=+-=+-=⎰⎰ππππππππv m t mt mv m vdvm t mvdv Vm Vt E mV E vm Vt mV E ∴ },2,1),({ =t t X 是平稳随机过程。
（2）∵ )},0[),({+∞∈t t X 的数学期望为⎰-====ππππ2020cos 21sin 21sin )()(vt tvtdv Vt E t EX t m x ]2cos 1[21t tππ-=不是常数 ∴ ]},0[),({+∞∈t t X 不是平稳过程。
)])()()([()]()([),(2ττττ++++++=+=+t Z t Y X Zt Yt X E t X t X E t t R X ])()( )()()()([222222Z t t YZ t tXZ YZ t t Y t t t XY XY t XZ t X E ττττττ+++++++++⋅+++++=3．设随机过程+∞<<-∞Φ+=t t A t X ),cos()(0ω其中0ω是常数，A 与Φ是独立随机变量。
Φ服从在区间（0，2π）中的均匀分布。
A 服从瑞利分布，其密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-000 )(2222x x e x x f x σσ 设随机过程+∞<<-∞+=t t C t B t Y ,sin cos )(00ωω，其中B 与C 是相互独立正态变量，且都具有分布N （0，2σ）。
（1）试证)(t X 是平稳过程证明：对于随机过程)cos()(0Φ+=t A t X ω的数学期望为)cos()cos()()(00Φ+⋅=Φ+==t E EA EA t EX t m x ωω⎰⎰∞+-=+⋅=200220)cos(2122πσϕϕωπσd t dxexx x （常数） 自相关函数)]cos()cos([)()(),(0002Φ++Φ+⋅=+=+τωωωττt t A E t X t EX t t R x )]cos()[cos(0002Φ++Φ+⋅=τωωωt t E EA)]22cos([cos 21)]cos()[cos(000000Φ+++=Φ++Φ+τωωτωτωωωt E t t E )22cos(21)(cos 21000Φ+++=τωωτωt E E τωϕϕτωωπτωπ000200cos 21)22cos(2121cos 21=+++=⎰d t ⎰⎰∞+-∞+--==22022222222σσσx x dex dx exx EA⎰⎰∞+-∞+-∞+-=---=022020222222222)(dx xex d eex x x x σσσdx e dx e x x ⎰⎰∞+-∞+-'⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅'⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=02220222222)(2σσσσ20222222σσσ=⋅-=∞+-x e∴ τωστωστ0202c o s c o s 212),(=⋅=+t t R x ∴ 该随机过程为平稳随机过程。
（2）用本章例4说明Y(t)是平稳过程证明：∵ 0DC DB 0)()(2>====σc E B E根据例4，随机过程Y(t)是平稳随机过程。
4．设S(t)是周期为T 的周期函数，而Φ是在区间（0，T ）上的均匀分布的随机变量，随机过程+∞<<-∞Φ+=t t S t X ),()(称为随机相位周期过程。
试问X(t)是否为平稳过程，又问它是否具有各态历经性 解：∵ ⎰⎰⎰+==++==T t t T Tx du u S T du u S T u t d t S T t EX t m 00)(1)(1)(1)()(ϕϕϕ （周期函数性质）∴ ⎰==Tx du u S T t m 0)(1)(常数又 ∵ )]()([)()(),(τττ+Φ+Φ+=+=+t S t S E t X t EX t t R x⎰⎰++=+++=TT t td u S u S T d t S t S T 0)()(1)()(1ττϕϕτϕ∴ )()(Φ+t S t S 的周期也为T 。
∴ ⎰⎰+=+=+=+T t t Tx x R du u S u S T du u S u S T t t R 0)()()(1)()(1),(ττττ∴ )()(Φ+=t S t X 是平稳随机过程。
再讨论随机过程X(t)的各态历经性∵ ⎰⎰--+∞→+∞→=>=<l l lll l dt t X l dt t X l t X )(21lim )(21lim )(⎰-+∞→Φ+=lll dt t S l )(21lim 5．设}),({+∞<<-∞t t X 是随机相位周期过程，它的一个样本函数)(t X 如下图所示。