2020选修2-3精编培优讲义《1.2排列》教师版

a2 b2
x2 y2 1？可以得到多少个焦点在 x 轴上的双曲线方程 － ＝1?
a2 b2
(3)从 1,3,5,7,9 中任取 3 个数字，有多少种方法？若这 3 个数字组成没有重复的三位数，又有多少种方法？
【答案】见解析
【解析】(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题与顺序有关，故选 3
（2）排列与顺序有关，故②④⑤是排列．
【举一反三】 1.判断下列问题是否为排列问题．
(1)会场有 50 个座位，要求选出 3 个座位有多少种方法？若选出 3 个座位安排三位客人，又有多少种方法？
x2 y2 (2)从集合 M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为 a，b，可以得到多少个焦点在 x 轴上的椭圆方程 ＋ ＝
∴2<x≤8，②
由①②及 x∈N*得 x＝8.
2x 1 4，
（4）因为
x 3， 所以 x≥3， x N * ，
由
A4 2 x1
140A3x
得(2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2).
化简得，4x2－35x＋69＝0，解得
x1＝3，
x2
23 4
(舍去).
所以方程的解为 x＝3.
【解析】（1）从 7 人中选 5 人排列，共有 A75 7 6 5 4 3 2520 （种 ) ． （2）分两步完成，先选 3 人站前排，有 A73 种方法，余下 4 人站后排，有 A44 种方法，按照分步乘法计数原 理计算可得一共有 A73 A44 7 6 5 4 3 2 1 5040 （种 ) . （3）捆绑法，将女生看成一个整体，进行全排列，有 A44 种，再与 3 名男生进行全排列有 A44 种，共有 A44 A44 576 （种 ) ． （4）插空法，先排女生，再在空位中插入男生，故有 A44 A53 1440 （种 ) ． （5）先排甲，有 5 种方法，其余 6 人有 A66 种排列方法，共有 5 A66 3600 (种). （6） 7 名学生全排列，有 A77 种方法，其中甲在最左边时，有 A66 种方法，乙在最右边时，有 A66 种方法， 其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有 A55 种方法，故共有 A77 2 A66 A55 3720 (种).
nn!
n
1!
n!
），
Anm
mAnm1
Am n1
的应用．
【举一反三】
2
1．（2019·青海高二月考（理）） (n 3)(n 4)(n 9)(n 10)(n N, n 10) 可表示为（ ）
A．
A9 n3
B．
A8 n3
C．
A
7 n3
D．
C7 n3
【答案】B
【解析】
(n
3)(n
4)...(n
k)
到
(50
k)
之间的连续整数，共计
30
个，用排列数符号表示为
A30 (79k )
，
选 C.
（2）
A85 A84 A96 A95
8765 4 8765 98765 4 98765
4 1 9 4 9
5 27
．故选 A．
（3）由
A
x 8
6A8x2
，得
8!
8 x!
6
8!
10 x !
，
化简得 x2－19x＋84<0，解之得 7<x<12，①又
5
第三步：排其他位，有 A 44种排法． 故可以组成无重复的六位数且是奇数的共有 A13A14A44＝288(个)． 解法二：从特殊元素入手(直接法) 0 不在两端有 A 14种排法；从 1,3,5 中任选一个排在个位上，有 A 13种排法； 其他数字全排列有 A 44种排法．故可以组成无重复的六位数且是奇数的共有 A14A13A44＝288(个)． 解法三：(排除法) 6 个数字全排列有 A 66种排法，0,2,4 在个位上的排列数有 3A 55个， 1,3,5 在个位上且 0 在十万位上的排列数有 3A 44个，故可以组成无重复的六位数且是奇数的有 A66－3A55－3A44＝ 288(个)． (2)解法一：(排除法) 0 在十万位上的排列，5 在个位上的排列都是不符合题意的六位数，故符合题意的六位数共有 A66－2A55＋A44＝ 504(个)． 解法二：(直接法) 十万位上的数字的排法因个位上排 0 与不排 0 而有所不同，因此分两类． 第一类：当个位上排 0，有 A 55种排法； 第二类：当个位上不排 0，有 A14A14A 44种排法． 故符合题意的六位数共有 A55＋A14A14A44＝504(个)． (3)当千位上排 1,3 时，有 A12A13A 24种排法； 当千位上排 2 时，有 A12A 24种排法； 当千位上排 4 时，形如 40××，42××的偶数各有 A 13个，形如 41××的偶数有 A12A 13个，形如 43××的偶 数只有 4310 和 4302 这两个数满足题意． 故不大于 4310 的四位数且是偶数的共有 A12A13A24＋A12A24＋2A13＋A12A13＋2＝110(个)．
A30 50k
1
（2）（2019·安徽六安一中高二月考（理））
A85 A84 A96 A95
（
）
5
A．
27
25
B．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
54
3
C．
10
（3）解不等式 A8x 6A8x2 ；
3
D．
20
（4）解方程
A4 2 x1
140A3x
.
【答案】（1）C（2）A（3）8(4)3
【解析】（1）由于所表示的积为
(79
【举一反三】 1．（2019·上海中学高二期末）老况、老王、老顾、小周、小郭和两位王女士共 7 人要排成一排拍散伙纪 念照. （1）若两位王女士必须相邻，则共有多少种排队种数？ （2）若老王与老况不能相邻，则共有多少种排队种数？ （3）若两位王女士必须相邻，若老王与老况不能相邻，小郭与小周不能相邻，则共有多少种排队种数？
【答案】 D
【解析】 由 A8x<6Ax8－2，得8－8！x！<6×108－！x！，化简得 x2－19x＋84<0，解得 7<x<12，①
x≤8， 又
所以 2≤x≤8，②由①②及 x∈N*，得 x＝8.
x－2≥0，
4．解方程 A42x＋1＝140A3x. 【答案】3
2x＋1≥4，
【解析】根据题意，原方程等价于 x≥3， x∈N*， 2x＋1·2x·2x－12x－2＝140xx－1x－2，
1.2 排列
【基础梳理】
【典型例题】
题型一 排列数公式及运用
【例 1】（1）（2019·湖北省松滋市第一中学高二单元测试） k N , 且 k 40, 则 (50 k)(51 k)(52 k)(79 k) 用排列数符号表示为（ ）
A．
A50k 79k
B．
A29 79k
C．
A30 79k
D．
6
（3）首先把两位女士捆绑在一起看做一个符合元素，再将老王与老况（或小郭与小周）插入到符合元素和 老顾全排列所形成的 3 个空中的 2 个，
此时形成了 5 个空，将小郭与小周（或老王与老况）插入其中，故有 A22 A32 A52 A22 480 种．
2．（2019·平罗中学高二月考（理））现有 5 名男生和 3 名女生站成一排照相，
C．平面上有 5 个点，任意三点不共线，这 5 个点最多可确定多少条直线？
D．从 1,2,3,4 四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？
【答案】 B
【解析】 排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有 B 中的问题是与顺序有关的，其他问题都与顺
序无关．故选 B.
题型三 排列的运用
4
【例 3-1】（2020·全国高三专题练习）有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总 数. (1)选 5 人排成一排； (2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； (3)全体排成一排，女生必须站在一起； (4)全体排成一排，男生互不相邻； (5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边； (6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边. 【答案】（1）2520；（2）5040；（3）576；（4）1440；（5）3600；（6）3720.
x≥3， 即 x∈N*，
2x＋12x－1＝35x－2，
整理得 4x2－35x＋69＝0(x≥3，x∈N*)，
23 x＝ ∉
N*，舍去
解得 x＝3 4
.
题型二 排列概念辨析 【例 2】（1）下列问题是排列问题的是( ) A．从 10 名同学中选取 2 名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10 个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有 5 个点，任意三点不共线，这 5 个点最多可确定多少条直线？ D．从 1,2,3,4 四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？
【解析】（1）根据题意，分 2 步分析：
①，3 名女生看成一个整体，考虑其顺序有 A33＝6 种情况，
②，将这个整体与 5 名男生全排列，有 A66＝720 种情况，则 3 名女生排在一起的排法有 6×720＝4320 种；
（2）根据题意，将
5
人排到
8
个位置，有
A5 8
种排法，
由于 3 名女生次序一定，就一种排法，则其排法有 A85 6720 种排法；
【答案】（1） A22 A66 1440 ；（2） A55 A62 3600 ；（3） A22 A32 A52 A22 480 ；
【解析】（1）首先把两位女士捆绑在一起看做一个符合元素，和另外 5 人全排列，故有 A22 A66 1440 种，